11 matematik ka pdf
Post on 10-Nov-2023
1 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Mil li E i tim Ba kan l Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Ba kan l ’n n 24.08.2011 ta rih ve
121 sa y l ka ra r ile ka bul edi len ve 2011-2012 Ö re tim Y l n dan iti ba ren uy gu la-
na cak olan prog ra ma gö re ha z r lan m t r.
steme Adresi
ESEN BASIN YAYIN DA ITIM LTD. T .
Bay nd r 2. Sokak No.: 34/11–12 K z lay/ANKARA
tel.: (0312) 417 34 43 – 417 65 87
faks: (0312) 417 15 78
ISBN : 978–975–6913–95–6
Genel Müdür
Temel AteGenel Koordinatör
Ak n AteE itim Koordinatörü - Editör
Nevzat AsmaE itim Koordinatör Yard mc s
Halit B y k
Dizgi, Grafik, Tasar mEsen Dizgi Servisi
Bu ki ta b n ta ma m n n ya da bir k s m n n elek tro nik, me ka nik, fo to ko pi ya da her han gi bir ka y t sis te miy le ço al t l ma s , ya y m lan ma s ve de po lan ma s ya sak t r.
Bu ki ta b n tüm hak la r ya za rlar na ve Esen Ba s n Ya y n Da t m Li mi tet ir ke ti ne ait tir.
www.esenyayinlari.com.tr
Görsel Tasar mErol Faruk Yücel
Bask
Bahçekap Mah. 2460. Sok. Nu.:706370 a maz / ANKARATel: (0312) 278 34 84 (pbx)www.tunamatbaacilik.com.tr
Bask Tarihi2012 – VIII
Sevgili Ö renciler;
Halen yürürlükte olan s nav sistemine göre, üniversiteye giri s navlar nda sorulan
matematik sorular n n bir k sm 11. s n f konular ndan olu maktad r. Ayr ca, üniversiteye giri
puan n n hesaplanmas nda orta ö retim ba ar puan n n etkisi çok fazlad r ve bunun telafisi de
ileriki y llarda mümkün de ildir.
Bu sebepten dolay ;
Bu kitap, 11. s n f ö rencileri için okuldaki derslerine yard mc ve üniversiteye giri
s navlar na yönelik haz rlanm t r.
11. s n f konular içinde yer alan temel kavram ve bilgiler, gereksiz detaylardan
uzak, aç k, anla l r ve özlü bir anlat m ekli ile verilmi tir.
Bu kitap, 4 y ll k müfredatta yer alan 5 üniteden olu maktad r. Her bir ünitede konu
anlat m ndan sonra; konunun daha iyi anla lmas için çok say da çözümlü örnekler, okula yöne-
lik al t rmalar, yaz l ya haz rl k sorular , üniversiteye giri s navlar na yönelik testler, konu ile ilgili
üniversiteye giri s navlar nda ç km sorular ve çözümleri bulunmaktad r.
Kitab n kontrolünde yard mlar ndan dolay Ay en AKGÖNÜL’e te ekkür ederiz.
Mutlu, sa l kl ve ba ar l bir hayat geçirmeniz dile iyle...
Nevzat ASMA Halit BIYIK
www.nevzatasma.com www.halitbiyik.com
Korkma, sönmez bu afaklarda yüzen al sancak;Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.O benim milletimin y ld z d r, parlayacak;O benimdir, o benim milletimindir ancak.
Çatma, kurban olay m, çehreni ey nazl hilâl!Kahraman rk ma bir gül! Ne bu iddet, bu celâl?Sana olmaz dökülen kanlar m z sonra helâl...Hakk d r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!
Ben ezelden beridir hür ya ad m, hür ya ar m.Hangi ç lg n bana zincir vuracakm ? a ar m!Kükremi sel gibiyim, bendimi çi ner, a ar m.Y rtar m da lar , enginlere s mam, ta ar m.
Garb n âfâk n sarm sa çelik z rhl duvar,Benim iman dolu gö süm gibi serhaddim var.Ulusun, korkma! Nas l böyle bir iman bo ar,‘Medeniyet!’ dedi in tek di i kalm canavar?
Arkada ! Yurduma alçaklar u ratma, sak n.Siper et gövdeni, dursun bu hayâs zca ak n.Do acakt r sana va’detti i günler Hakk’ n...Kim bilir, belki yar n, belki yar ndan da yak n.
Bast n yerleri “toprak!” diyerek geçme, tan :Dü ün alt ndaki binlerce kefensiz yatan .Sen ehit o lusun, incitme, yaz kt r, atan :Verme, dünyalar alsan da, bu cennet vatan .
Kim bu cennet vatan n u runa olmaz ki fedâ?ühedâ f k racak topra s ksan, ühedâ!
Cân , cânân , bütün var m als n da Huda,Etmesin tek vatan mdan beni dünyada cüdâ.
Ruhumun senden, lâhi, udur ancak emeli:De mesin mabedimin gö süne nâmahrem eli.Bu ezanlar-ki ahadetleri dinin temeli-Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli.
O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- ta m,Her cerîhamdan, lâhi, bo an p kanl ya m,F k r r ruh- mücerred gibi yerden na’ m;O zaman yükselerek ar a de er belki ba m.
Dalgalan sen de afaklar gibi ey anl hilâl!Olsun art k dökülen kanlar m n hepsi helâl.Ebediyen sana yok, rk ma yok izmihlâl:Hakk d r, hür ya am , bayra m n hürriyet;Hakk d r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!
Mehmet Âkif ERSOY
ST KLÂL MAR I
ATA TÜRK’ÜN GENÇ L E H TA BE SEy Türk gençli i! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriyetini, ilelebet, muhafaza
ve müdafaa etmektir.
Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin, en k ymetli hazinendir. stikbalde dahi, seni, bu hazineden, mahrum etmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahlar n olacakt r. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine dü ersen, vazifeye at lmak için, içinde bulunaca n vaziyetin imkân ve eraitini dü ünmeyeceksin! Bu imkân ve erait, çok nâmüsait bir mahiyette tezahür edebilir. stiklâl ve cumhuriy-etine kastedecek dü manlar, bütün dünyada emsali görülmemi bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatan n, bütün kaleleri zapt edilmi , bütün tersanelerine girilmi , bütün ordular da t lm ve memleketin her kö esi bilfiil i gal edilmi olabilir. Bütün bu eraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde, iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ h yanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri ahsî menfaatlerini, müstevlilerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap dü mü olabilir.
Ey Türk istikbalinin evlâd ! te, bu ahval ve erait içinde dahi, vazifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmakt r! Muhtaç oldu un kudret, damarlar ndaki asîl kanda, mevcuttur!
1. ÜN TE KARMA IK SAYILARSanal Say Birimi ..........................................................................................................................10Karma k Say lar ..........................................................................................................................12ki Karma k Say n n E itli i .........................................................................................................13Karma k Düzlem .........................................................................................................................13Bir Karma k Say n n E leni i ......................................................................................................142. Dereceden Bir Denklemin Sanal Köklerini Bulmak ..................................................................14Al t rmalar - 1 .............................................................................................................................16Karma k Say larda Dört lem ....................................................................................................18Al t rmalar - 2 .............................................................................................................................22Bir Karma k Say n n Mutlak De eri (Modülü) ............................................................................24ki Karma k Say Aras ndaki Uzakl k .........................................................................................26Al t rmalar - 3 .............................................................................................................................29Karma k Say lar n Kutupsal (Trigonometrik) Biçimi ...................................................................31Kutupsal Biçimde lemler ...........................................................................................................37Al t rmalar - 4 .............................................................................................................................41Bir Karma k Say n n Kuvveti .......................................................................................................44Bir Karma k Say n n Orijin Etraf nda Döndürülmesi ...................................................................45Bir Karma k Say n n Kökleri .......................................................................................................46Al t rmalar - 5 .............................................................................................................................49Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 .................................................................................................51Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9........................................................................................55Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................73Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................77
2. ÜN TE LOGAR TMAÜstel Fonksiyon ............................................................................................................................82Logaritma Fonksiyonu .................................................................................................................84Logaritma Fonksiyonunun En Geni Tan m Kümesini Bulma ....................................................86Onluk Logaritma Fonksiyonu ......................................................................................................87Do al Logaritma Fonksiyonu ......................................................................................................88Al t rmalar - 1 .............................................................................................................................89Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ..........................................................................................91Al t rmalar - 2 .............................................................................................................................99Bir Gerçek Say n n Logaritmas n n Hangi kiArd k Tam Say Aras nda Oldu unu Bulma ...............................................................................102Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonunun Grafi i ................................................................106Üstel Denklemler .........................................................................................................................110Logaritmal Denklemler ...............................................................................................................110Logaritmal E itsizlikler ................................................................................................................116Al t rmalar - 3 .............................................................................................................................118Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 .................................................................................................121Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9........................................................................................125Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................143Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................148
3. ÜN TE PERMÜTASYON, KOMB NASYONB NOM, OLASILIK ve STAT ST K
Sayma Kurallar ............................................................................................................................154
Faktöriyel (Çarpansal) ..................................................................................................................159
Al t rmalar - 1 ..............................................................................................................................161
Permütasyon (S ralama) ..............................................................................................................164
Al t rmalar - 2 ..............................................................................................................................170
Kombinasyon (Seçme) .................................................................................................................173
Al t rmalar - 3 ..............................................................................................................................182
Binom Aç l m ...............................................................................................................................185
Al t rmalar - 4 ..............................................................................................................................189
Olas l k..........................................................................................................................................191
Al t rmalar - 5 ..............................................................................................................................201
statistik.........................................................................................................................................204
Al t rmalar - 6 ..............................................................................................................................225
Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 .................................................................................................227
Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 ..............................................................231
Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................255
Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................260
4. ÜN TE TÜME VARIM ve D Z LER
TÜME VARIMTüme Var m Yöntemi ...................................................................................................................266
Al t rmalar - 1 ..............................................................................................................................273
Toplam Sembolü ..........................................................................................................................274
Toplam Formülleri ........................................................................................................................276
Al t rmalar - 2 ..............................................................................................................................281
Çarp m Sembolü ..........................................................................................................................283
Al t rmalar - 3 ..............................................................................................................................289
Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 .................................................................................................291
Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 ...................................................................................................295
Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................309
Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................311
D Z LERDiziler ............................................................................................................................................314Dizilerin E itli i .............................................................................................................................320Dizilerde lemler ..........................................................................................................................321Monoton Diziler ............................................................................................................................322Alt Dizi ..........................................................................................................................................324Al t rmalar - 1 ..............................................................................................................................326Aritmetik Dizi ................................................................................................................................329Al t rmalar - 2 ..............................................................................................................................333Geometrik Dizi ..............................................................................................................................335Al t rmalar - 3 ..............................................................................................................................341Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 .................................................................................................343Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 ................................................................................................................347Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................357Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................360
5. ÜN TE MATR S, DETERM NANT ve DO RUSAL DENKLEM S STEMLER
Matris ............................................................................................................................................364ki Matrisin Çarp m ......................................................................................................................370Kare Matrisin Kuvvetleri ..............................................................................................................373Bir Matrisin Çarpma lemine Göre Tersi .....................................................................................375Bir Matrisin Devri i (Transpozu) ...................................................................................................378Al t rmalar - 1 ..............................................................................................................................380Do rusal (Lineer) Denklem Sistemleri .........................................................................................383Gauss Yok Etme Yöntemi ............................................................................................................384Gauss - Jordan Yok Etme Yöntemi ..............................................................................................386Al t rmalar - 2 ..............................................................................................................................388Determinant ..................................................................................................................................389Minör ve E Çarpan (Kofaktör).....................................................................................................389Sarrus Kural ................................................................................................................................390Determinant n Özellikleri ..............................................................................................................391Ek (Adjoint) Matris ........................................................................................................................394Cramer Kural ...............................................................................................................................397Al t rmalar - 3 ..............................................................................................................................398Yaz l ya Haz rl k Sorular - 1 – 2 ..................................................................................................401Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 ....................................................................................................405Üniversiteye Giri S nav Sorular ................................................................................................419Üniversiteye Giri S nav Sorular n n Çözümleri ..........................................................................424
KARMA IK SAYILAR
ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T
Karma k Say lar
1. Kazan m : Gerçek say lar kümesini geni letme gere ini örneklerle aç klar.
2. Kazan m : Sanal birimi (i say s n ) belirtir ve bu say n n kuvvetlerini hesaplar.
3. Kazan m : Karma k say y , standart biçimini, gerçek k sm n , sanal k sm n aç klar ve iki karma k say n n e itli ini ifade eder.
4. Kazan m : Karma k düzlemi aç klar ve verilen bir karma k say y karma k düzlemde gösterir.
5. Kazan m : Bir karma k say n n e leni ini ve modülünü aç klar, karma k düzlemde gösterir.
6. Kazan m : Karma k say larda toplama ve ç karma i lemlerini ve geometrik yorumlar n yapar, top-lama i leminin özelliklerini gösterir.
7. Kazan m : Karma k say larda çarpma ve bölme i lemlerini yapar, çarpma i leminin özelliklerini gösterir.
8. Kazan m : E lenik ve modül ile ilgili özellikleri gösterir.
9. Kazan m : Karma k say larda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer.
10. Kazan m : Karma k düzlemde iki karma k say aras ndaki uzakl aç klar ve karma k say ile çember ili kisini belirtir.
Karma k Say lar n Kutupsal Biçimi
1. Kazan m : Bir noktan n kartezyen koordinatlar ile kutupsal koordinatlar aras ndaki ba nt lar bulur, standart biçimde verilen bir karma k say n n kutupsal koordinatlar n belirler ve karma-
k düzlemde gösterir.
2. Kazan m : Kutupsal biçimde verilen iki karma k say aras nda toplama, ç karma, çarpma ve bölme i lemleri yapar.
3. Kazan m : Bir karma k say n n orijin etraf nda pozitif yönde aç s kadar döndürülmesi ile elde edilen karma k say y bulur.
4. Kazan m : De Moivre kural n ifade eder ve kutupsal koordinatlarda verilen bir karma k say n n kuvvetlerini belirler.
5. Kazan m : Verilen bir karma k say n n (n N) n. dereceden köklerini belirler, karma k düzlemde gösterir ve geometrik olarak yorumlar.
10
i nin (Sanal Birimin) Kuvvetleri
i1 = c–1
i2 = –1
i3 = i2.i = –1.i = – i
i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1
i5 = i4.i = i
i6 = i4.i2 = –1
i7 = i4.i3 = – i
i8 = (i4)2 = 1
.....................
Yanda elde etti imiz sonuçlara göre, i nin tam say kuvvetlerinde i, –1, – i, 1 dörtlüsünün tekrarland n görürüz. Bu durumu,
n N olmak üzere,
ik =
,
,
,
,
k n
i k n
k n
i k n
1 4
4 1
1 4 2
4 3
–
–
=
= +
= +
= +
Z
[
\
]]]
]]]
biçiminde, ya da k saca
m, n N olmak üzere,
i4n+m = im biçiminde gösterebiliriz.
KARMA IK SAYILAR
x – 2 = 0 , 3x + 1 = 0 , x2 – 4 = 0 , x2 – 5 = 0 denkleminin her birinin çözüm kümelerini bulmay daha önceki y llarda ö rendiniz. Bunlar tekrar hat rlayacak olursak;
x – 2 = 0 x = 2 Ç = {2}
3x + 1 = 0 x = –31 Ç =
31–' 1
x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = 2 x = –2 Ç = {–2, 2}
x2 – 5 = 0 x2 = 5 x = –v5 x = v5 Ç = {–v5, v5 }
Yukar daki çözümlerde de görüldü ü gibi verilen denklemlerin her birinin gerçek say lardaki (gerçek say lar kümesindeki) çözüm kümeleri bo kümeden farkl birer kümedir.
imdi de x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek say lar kümesindeki çözüm kümesini bulmaya çal al m.
x2 + 1 = 0 x2 = –1 olur.
Gerçek say lar kümesinde karesi –1 e e it olan bir say bulunmad ndan x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek say lar kümesindeki çözüm kümesi bo kümedir.
Ünlü matematikçi Euler a a daki tan m yaparak bu tür denklemlerin çözülmesini sa lam t r.
Ka re si –1 olan sa y ya sa nal (ima ji ner) sa y bi ri mi de nir ve i ile gös te ri lir. Yani i2 = –1 veya i = c–1 dir.
Bu tan mdan yararlanarak, x2 + 1 = 0 , x2 + 4 = 0 gibi denklemleri çözebiliriz.
x2 + 1 = 0 x2 – (–1) = 0 x2 – i2 = 0 (x – i)(x + i) = 0 x = i x = –i dir.
x2 + 4 = 0 x2 – (– 4) = 0 x2 – 4i2 = 0 (x – 2i)(x + 2i) = 0 x = 2i x = –2i dir.
m pozitif bir gerçek say olmak üzere, m i m– = dir.
, , , .i i i diri4 2 9 3 12 2 3 16 4– – – –= = = =
SANAL SAYI B R M
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
11
ÖRNEK 1
A a daki say lar n her birinin e itini bulunuz.
a. i23 b. i121 c. i2008 d. i–3 e. i– 41
Çözüm
a. 23 ün 4 ile bölümünden kalan 3 oldu undan
i23 = i3 = – i
b. 121 in 4 ile bölümünden kalan 1 oldu undan
i121 = i1 = i
c. 2008, 4 ile tam bölündü ünden kalan 0 d r.
i2008 = i0 = 1
d. i–3 = i–3+4 = i
e. – 41 in 4 ile bölümünden kalan 3 oldu undan
i–41 = i3 = – i
ÖRNEK 2
ive
i1 1
3 say lar n n e itlerini bulunuz.
Çözüm
i1 = i–1 = i–1+4 = i3 = – i
i13
= i–3 = i–3+4 = i1 = i dir.
ÖRNEK 3
n N olmak üzere, a a daki say lar n her birinin
e itini bulunuz.
a. i4n+3 b. i8n+5 c. i8n–1 d. i2–12n
Çözüm
a. 4n + 3 ün 4 ile bölümünden kalan 3 olup
i4n+3 = i3 = –i
b. 8n + 5 in 4 ile bölümünden kalan 1 olup
i8n+5 = i1 = i
c. i8n–1 = i–1 = i–1+4 = i3 = –i
d. i2–12n = i2 = –1 dir.
ÖRNEK 4
c–2.c–3.c–6 i leminin sonucunu bulunuz.
Çözüm
c–2 = v2 i , c–3 = v3 i ve c–6 = v6 i olup
c–2.c–3.c–6 = v2 i.v3i.v6i = c36 i3
= 6i3 = 6(– i) = –6i dir.
m ve n R+ .m n = sm.n
m ve n R– .m n sm.n
ÖRNEK 5
c–4 . c–9 . s–16 . c–1 i leminin sonucunu bulunuz.
Çözüm
c–4 = 2i , c–9 = 3i
s–16 = 4i , c–1 = i oldu undan
c–4 . c–9 . s–16 . c–1 = 2i.3i.4i.i
= 24.i4
= 24.1 = 24 bulunur.
ÖRNEK 6
i6 + i7 + i8 + i9 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
i6 + i7 + i8 + i9 = i2 + i3 + i0 + i1
= –1 – i + 1 + i = 0 olur.
i nin ard k 4 kuvvetinin toplam 0 d r.
ÖRNEK 7
i1 + i2 + i3 + ... + i81 + i82 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8 + ... + i77 + i78
+ i79 + i80
+ i81 + i82
0 0 0= i81 + i82 = i1 + i2 = i – 1 bulunur.
Karma k Say lar
12
ES
EN
YAY
INLA
RI
ÖRNEK 8
A a daki tabloda baz karma k say lar n reel ve sanal k s mlar belirtilmi tir. nceleyiniz.
� ����� �����
��
���
��
v�
�
��
�
v��
�
�
v
�
��
�
v��
�
��
��
�
�
�
�
�
ÖRNEK 9
z = i2 + i3 + i6 + i7 ise Re(z) ve Im(z) de erlerini bulunuz.
Çözüm
z = i2 + i3 + i6 + i7
= i2 + i3 + i2 + i3
= –1 – i – 1 – i = –2 – 2i olur.
z = –2 – 2i ise Re(z) = –2 ve Im(z) = –2 dir.
ÖRNEK 10
z = c–2.c–8 + c–9 + c–4 ise Re(z) ve Im(z) de-
erlerini bulunuz.
Çözüm
z = c–2.c–8 + c–9 + c–4
= v2i.2v2 i + 3i + 2i
= 4i2 + 5i
= –4 + 5i olur.
z = –4 + 5i Re(z) = –4 ve Im(z) = 5 tir.
ÖRNEK 11
z = i i i1 1 1
2 3+ + ise Re(z) ve Im(z) de erlerini bu-
lunuz.Çözüm
z = i i i1 1 1
2 3+ +
= i–1 + i–2 + i–3
= i–1+4 + i–2+4 + i–3+4
= i3 + i2 + i
= –i – 1 + i = –1 olur.
z = –1 Re(z) = –1 ve Im(z) = 0 d r.
i2 = –1 ve a, b R olmak üzere,
a + bi biçiminde ifade edilen say lara karma k (kompleks) say denir.
Karma k say lar kümesi C ile gösterilir ve C = {z: z = a + bi , a, b R} dir.
z = a + bi yaz l na karma k say n n standart yaz l denir.
a ya karma k say n n reel k sm denir ve Re(z) = a olarak gösterilir.
b ye karma k say n n sanal (imajiner) k sm denir ve Im(z) = b biçiminde gösterilir.
KARMA IK SAYILAR
Karmaşık Sayılar
ES
EN
YAY
INLA
RI
13
İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
İki karmaşık sayının eşit olabilmesi için reel ve sanal kısımlarının ayrı ayrı birbirine eşit olması gerekir.
z1 = a + bi
z2 = c + di }
verildiğinde
z1 = z2 ⇒ a = c ve b = d dir.
ÖRNEK 12
z1 = m – 3 + 4i , z2 = 5 + (n – 1)i
ve z1 = z2 olduğuna göre m ve n değerlerini bu-lunuz.
Çözüm
z1 = z2 ise
m – 3 = 5 ve n – 1 = 4 tür.
m = 8 ve n = 5 bulunur.
ÖRNEK 13
a < b < 0 < c olmak üzere,
( )b c a ab i3 4– + = + ise b.c kaçtır?
Çözüm
b < 0 ve c – a > 0 olduğundan,
b(c – a) < 0 olur. Bu durumda,
( ) ( ) ( )b c a b a c i b a c– – – –==
olacağından,
( )b c a ab– + = 3 + 4i
( )i b a c ab– + = 3 + 4i
( )b a c– = 4 ve cab = 3
ab – bc = 16 ve ab = 9
ab – bc = 16 ⇒ 9 – bc = 16
⇒ bc = –7 bulunur.
KARMAŞIK DÜZLEM
Karmaşık sayıların, analitik düzlemin noktalarıyla bire bir eşlenmesi ile oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.
�
�
� �
� ��������
�� ������
��������
x eksenine karmaşık düzlemin reel ekseni, y ekseni-ne de karmaşık düzlemin sanal ekseni denir.
ÖRNEK 14
Aşağıdaki sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz.
z1 = 2 + 4i , z2 = – 4 + 2i
z3 = –3 – 5i , z4 = 6 – 2i
z5 = 4 , z6 = –1
z7 = 6i , z8 = – 4i
Çözüm
x
y
0
z1 = 2 + 4i
sanaleksen
reeleksen
z2 = – 4 + 2i
z3 = – 3 – 5i
z4 = 6 – 2i
z5z6
z7
z8
–5
–4
–2
–1
6
4
2
2 4
6
–4
–3
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
14
B R KARMA IK SAYININ E LEN
Z = a + bi nin reel eksene göre simetri i olan a – bi say s na Z nin e leni i denir.–Z = a – bi biçiminde gösterilir.
�
�
� �
� �
���
ÖRNEK 15
A a daki tabloda baz karma k say larla e lenikleri verilmi tir. nceliyiniz.
� �
���
��
��
� �
�
�
��v�
���
��
��
�� �
�
��
��v�
ÖRNEK 16
z = 1 + 2i karma k say s ile e leni ini karma k düzlemde gösteriniz.
Çözüm
�
�
� �
� �
���
z = 1 + 2i ise–z = 1 – 2i dir.
Grafikte de görüldü ü gibi, bir karma k say ile e leni i reel eksene göre simetriktir.
ÖRNEK 17
( )z = z oldu unu gösteriniz.
Çözüm
z = a + bi olsun.–z = a – bi ve ( )z = a + bi olur.
Dolay s yla,
Bir kar ma k sa y n n e le ni i nin e le ni i ken di si-ne e it tir.
K NC DERECEDEN B R DENKLEM NSANAL KÖKLER N BULMAK
a, b, c R ve a 0 için ax2 + bx + c = 0 denklemini çözerken
= b2 – 4ac ve x1,2 = a
b2
– ! 3 olmak üzere
> 0 ise denklemin fark iki gerçel kökünün
= 0 ise denklemin e it iki gerçel kökünün
< 0 ise denklemin gerçel kökünün bulunmad -n biliyoruz. te, < 0 durumunda denklemin
sanal iki kökü vard r.
ÖRNEK 18
x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
x2 – 2x + 2 = 0 denkleminde,
a = 1 , b = –2 ve c = 2 oldu undan
= b2 – 4ac = (–2)2 – 4.1.2
= 4 – 8 = – 4 tür.
< 0 oldu undan verilen denklemin sanal kökle-ri vard r. Bu kökler,
x1,2 = .
( )a
b2 2 1
2 4– – – –! 3 !=
= i2
2 2!
= 1 ± i olur.Çözüm kümesi, Ç = {1 – i , 1 + i } bulunur.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
15
ÖRNEK 19
x2 – 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulup köklerin aras ndaki ili kiyi tespit ediniz.
Çözüm
x2 – 2x + 5 = 0 denkleminde,
a = 1 , b = –2 ve c = 5 oldu undan
= b2 – 4ac = 4 – 4.1.5 = –16 olur.
x1,2 = .
( )a
b2 2 1
2 16– – – –! 3 != = i i
22 4 1 2!
!=
x1 = 1 + 2i ve x2 = 1 – 2i bulunur.
1 + 2i ve 1 – 2i karma k say lar n n birbirle-
rinin e leni i oldu una dikkat ediniz.
Reel kat say l , ikinci dere ce den bir denk le mde
< 0 iken kök le r bir bi ri nin e le ni idir.
ÖRNEK 20
Reel kat say l ikinci dereceden bir denklemin kökle-rinden biri 3 – 2i ise bu denklemi bulunuz.
Çözüm
x1 = 3 – 2i ise x2 = 3 + 2i olaca ndan
x1 + x2 = 3 – 2i + 3 + 2i = 6
x1.x2 = (3 – 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13 tür.
x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 x2 – 6x + 13 = 0 olur.
ÖRNEK 21
m ve n reel say lar olmak üzere, x2 + mx + n = 0 denkleminin köklerinden biri x1 = 2 – 3i ise m ve n de erlerini bulunuz.
Çözüm
Köklerden biri, x1 = 2 – 3i ise di eri x2 = 2 + 3i dir.
x2 + mx + n = 0 denkleminde;
x1 + x2 = ab– = – m oldu undan
2 – 3i + 2 + 3i = – m m = – 4 olur.
x1.x2 = ac = n oldu undan
(2 – 3i)(2 + 3i) = n n = 4 + 9 n = 13 bulunur.
ÖRNEK 22
Toplamlar 4 ve çarp mlar 8 olan iki karma k sa-y y bulunuz.
Çözüm
Toplamlar 4, çarp mlar 8 olan iki say x1 ve x2 olsun.
x1 + x2 = 4 ve x1.x2 = 8 ko ullar n sa layan ikinci dereceden denklem
x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 eklinde yaz l rsa,
x2 – 4x + 8 = 0 olur.
Bu denklemin kökleri x1 ve x2 say lar d r.
= b2 – 4ac = (– 4)2 – 4.1.8
= 16 – 32
= –16
x1,2 = .
( )a
b2 2 1
4 16– – – –! 3 !=
= i2
4 4!
= 2 ± 2i bulunur.
Arad m z say lar, 2 + 2i ve 2 – 2i dir.
ÖRNEK 23
Köklerinden biri 2, di er ikisi 2 + i ve 2 – i komp-leks say lar olan üçüncü dereceden reel kat say l denklem nedir?
Çözüm
x1 = 2 + i ve x2 = 2 – i ise
x1 + x2 = 2 + i + 2 – i = 4
x1.x2 = (2 + i).(2 – i) = 4 + 1 = 5
x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 x2 – 4x + 5 = 0
denklemi bir çarpan olmal d r.
Köklerinden biri de x = 2 ise x – 2 = 0 denklemi de bir çarpand r.
O halde, istenen üçüncü dereceden reel kat say -l denklem,
(x – 2).(x2 – 4x + 5) = 0
x3 – 4x2 + 5x – 2x2 + 8x – 10 = 0
x3 – 6x2 + 13x – 10 = 0 olarak bulunur.
16
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a daki say lar n e itini i cinsinden bulunuz.
a. c–8 b. s–25
c. s–49 d. s–50
2. A a daki say lar n e itini bulunuz.
a. i27 b. i41 c. i105
d. i–4 e. i–17 f. i–341
g. i4n+1 h. i8n+2 i. i3–12n
j. i16n–3 k. i–16n–7 l. i26–24n
3. A a daki i lemleri sonuçland r n z.
a. c–2 . c–4
b. c–3 . c–6 . c–9
c. c–2 . c–8 . s–10
d. c–1 . c–3 . c–6 . c–8
4. A a daki i lemleri sonuçland r n z.
a. i5 + i6 + i7 + i8
b. i–2 + i–3 + i–4 + i–5
c. i1 + i2 + i3 + ... + i60
d. i2 + i4 + i6 + ... + i80
e. i1 + i3 + i5 + ... + i27
f. i4 + i8 + i12 + ... + i40
5. A a daki tabloda bulunan bo luklar uygun bir ekilde doldurunuz.
� ����� �����
��
��
�
��v�
�
�
�
�
��
ALIŞTIRMALAR – 1
1. a. 2v2i b. 5i c. 7i d. 5v2i 2. a. – i b. i c. i d. 1 e. – i f. – i g. i h. –1 i. – i j. i k. i l. –1
3. a. –2v2 b. –9v2i c. –4c10i d. 12 4. a. 0 b. 0 c. 0 d. 0 e. 0 f. 10
Karma k Say lar
17
6. A a daki e itliklerden a ve b de erlerini bulu-nuz.
a. (a – 1) + (b – 2)i = 4 + 3i
b. 2a – 1 + i = 4 – bi + i
c. 2ai + b = 3
d. 4 + a + 2i – bi = 4i
7. A a daki karma k say lar karma k düzlemde gösteriniz.
a. 3 + 4i b. 2 – 3i
c. –3 + i d. –1 – i
e. 3i f. –2i
g. 4 h. –3
8. A a daki tabloda bulunan bo luklar uygun bir ekilde doldurunuz.
� �
��
��
v��
��
��
9. z = 3 – 2i karma k say s ile e leni ini karma k düzlemde gösteriniz.
10. A a daki 2. dereceden denklemlerin çözüm kü-melerini bulunuz.
a. x2 – x + 1 = 0
b. x2 – 2x + 4 = 0
c. x2 + 4 = 0
d. x2 + 4x + 6 = 0
11. Reel kat say l ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri 2 + i ise bu denklemi bulunuz.
12. a ve b gerçek say lar olmak üzere,
x2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri
x1 = 3 + 4i ise a.b kaçt r?
13. Toplamlar –2 ve çarp mlar 4 olan iki karma k say y bulunuz.
ES
EN
YAY
INLA
RI
6. a. a = 5 , b = 5 b. a = 25 , b = 0 c. a = 0 , b = 3 d. a = –4 , b = –2 10. a. i
21 3!) 3 b. {1 m v3 i} c. {m2i} d. {–2 m v2 i}
11. x2 – 4x + 5 = 0 12. –150 13. –1 + v3 i , –1 – v3 i
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
18
KARMA IK SAYILARDA DÖRT LEM
Karma k Say larda Toplama lemi
z1 = a1 + b1i ve z2 = a2 + b2i ise
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i dir.
�
�
�
�������
��
��
( , )( , )
z a bz a b
1 1 1
2 2 2
==
4 z = (a1 + a2 , b1 + b2) ve
Oz1zz2 paralelkenard r.
ÖRNEK 24
z iz i
2 53 4–
1
2
= +=
3 ise z1 + z2 = 5 + i dir.
ÖRNEK 25
z1 = 3 + pi , z2 = k + 2i ve z1 + z2 = –3 + 4i
oldu una göre p ve k de erlerini bulunuz.
Çözüm
z1 + z2 = (3 + k) + (p + 2)i
(3 + k) + (p + 2)i = –3 + 4i oldu undan,
3 + k = –3 k = –6
p + 2 = 4 p = 2 bulunur.
z = a + bi kar ma k sa y s n n top la ma i le mine göre tersi,
–z = –(a + bi) = –a – bi dir.
ÖRNEK 26
3 – 5i nin toplama i lemine göre tersi –3 + 5i dir.
4i nin toplama i lemine göre tersi –4i dir.
5 in toplama i lemine göre tersi –5 tir.
Karma k Say larda Ç karma lemi
z1 = (a1, b1) ve z2 = (a2, b2)
z1 – z2 = z1 + (– z2) = a1 + b1i + (–a2 – b2i)
= (a1 – a2) + (b1 – b2)i dir.
ÖRNEK 27
z1 = 2 – 6i ve z2 = 5 + 4i oldu una göre,
z2 – z1 i leminin sonucunu bulunuz.
Çözüm
z2 – z1 = z2 + (– z1) = (5 + 4i) + (–2 + 6i)
= 5 + 4i – 2 + 6i
= 3 + 10i bulunur.
ÖRNEK 28
z1 = 5 + 3i ve z2 = 2 – i oldu una göre,
a. z1 + 2z2 b. 3z1 – 4z2
i lemlerini sonuçland r n z.
Çözüm
a. z1 + 2z2 = (5 + 3i) + 2(2 – i)
= 5 + 3i + 4 – 2i = 9 + i bulunur.
b. 3z1 – 4z2 = 3(5 + 3i) – 4(2 – i)
= 15 + 9i – 8 + 4i = 7 + 13i bulunur.
Karma k Say larda Çarpma lemi
z1 = a + bi ve z2 = c + di ise
z1.z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= ac + i(ad + bc) – bd
= (ac – bd) + (ad + bc)i dir.
ÖRNEK 29
z1 = 4 – 7i ve z2 = 5 + 2i oldu una göre,
z1.z2 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
z1.z2 = (4 – 7i)(5 + 2i)
= 20 + 8i – 35i + 14
= 34 – 27i bulunur.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
19
ÖRNEK 30
z1 = 2 + i ve z2 = –3 + i oldu una göre,
z1.z2 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
z1.z2 = (2 + i)(–3 + i)
= –6 + 2i – 3i + i2 = –7 – i bulunur.
z = a + bi olmak üzere,
z.–z = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 dir.
ÖRNEK 31
A a daki tabloda z , –z ve z.
–z aras ndaki ili kiler
sonuçland r lm t r. nceleyiniz.
�
���
��
��
��
�
��
v���
���
��
��
��
� �
�
v���
�����
�������
�������
�������
�������
�������
������
�v�����
� � �
z = a + bi nin çarpma i lemine göre tersi
z–1 = a bi
1+
dir.
z–1 = a bi
1+
nin pay ve paydas n a + bi nin e le-
ni i olan a – bi ile çarpal m.
z–1 = ( ) ( )
. ( )a bi a bi
a bia ba bi1
–– –
2 2+=
+
z–1 = a b
aa b
b i–2 2 2 2+ +
olur.
ÖRNEK 32
z = 3 – 2i nin çarpmaya göre tersini bulunuz.
Çözüm
z–1 = i
i i3 2
19 43 2
133 2
–=
++ = +
= i133
132+ bulunur.
ÖRNEK 33
z = – 4 + 3i ise Re(z–1) de erini bulunuz.
Çözüm
z = – 4 + 3i z–1 = i4 3
1– +
z–1 = 4 3i i25 25
4253– – – –=
Re(z–1) = 254– bulunur.
Karma k Say larda Bölme lemi
z1 = a + bi ve z2 = c + di , (z2 0) olmak üzere,
zz
2
1 = z1.z2–1 =
c dia bi
++ olur. Bu durumda,
zz
2
1 = ( ) ( )( ) ( )c di c dia bi c di
––
++ i lemi sonuçland r larak
zz
2
1
bulunur.
ÖRNEK 34
z1 = 5 + i ve z2 = 3 – 2i ise
zz
2
1 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
zz
ii
3 25–2
1 = +
pay ve payday paydan n e leni i ile çarpal m.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
zz
i ii i i
3 2 3 25 3 2
9 415 2 10 3
––
2
1 =+
+ +=
++ +
i1313
1313= +
= 1 + i bulunur.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
20
ÖRNEK 35
z1 = 2 + i ve z2 = 1 + 3i ise zz
2
12
ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
( )zz
ii
ii
ii
1 32
1 34 1 4
1 33 4–
2
12 2
=++
=+
+ =++
( ) ( )
(3 12) ( 9 4)
5
.
i i
i
i
i bulunur
1 93 4 1 3
10
1015
10
23
21
–
–
–
–
=+
+
=+ + +
= +
=
ÖRNEK 36
zii
32 –=
+ ise Re(z) ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm( ) ( )
(6 1) ( 3 2)
.
ii i i
i
i
i olur
32
9 12 3
10
105
105
21
21
– – –
– – –
–
–
+=
+
=+
=
=
Bu durumda Re(z) = 21 bulunur.
ÖRNEK 37
zi2
1–
= karma k say s n n e leni inin sanal k s-
m n bulunuz.
Çözüm
zi
i i i2
14 12
52
52
51
–= =
++ = + = +
( )i2 +
olaca ndan, –z = i
52
51– dir.
Bu durumda,
Im(–z) = –
51 olur.
ÖRNEK 38
z = ii x
12
–– karma k say s n n reel k sm
23 ise sanal
k sm kaçt r?
Çözüm(2 )( 1)
zii x i x i i i xi x
12
1 1 22 2
–– – – – – –2
= =+
= + +
( )i 1– –
( )x xi
22
22–
= + ++
Re(z) = 23 x
22
23+ = x = 1 olur.
Im(z) = x2
22
2 121– – –+ = + = bulunur.
(1 + i)2 = 12 + 2.1.i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i dir.Benzer ekilde,(1 – i)2 = –2i ve (–1 – i)2 = 2i olur.
ÖRNEK 39
(1 + i)20 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
(1 + i)20 = [(1 + i)2]10 = (2i)10
= 210.i10
= 210.i2
= –210 bulunur.
ÖRNEK 40
(1 – i)21 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
(1 – i)21 = (1 – i)20.(1 – i)
= [(1 – i)2]10.(1 – i)
= (–2i)10(1 – i)
= 210.i10(1 – i)
= 210.i2(1 – i)
= –210(1 – i) bulunur.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
21
ÖRNEK 41
(–2 + 2i)31 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
(–2 + 2i)31 = [2(–1 + i)]31
= 231 (–1 + i)31
= 231[(–1 + i)2]15(–1 + i)
= 231(–2i)15(–1 + i)
= 231.(–2)15.i15(–1 + i)
= –246.i3(–1 + i)
= –246.(–i)(–1 + i)
= 246(–i + i2) = 246(–i – 1) bulunur.
ÖRNEK 42
(1 + i)40(1 – i)41 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
(1 + i)40(1 – i)41 = (1 + i)40(1 – i)40(1 – i)
= [(1 + i)(1 – i)]40(1 – i)
= [1 + 1]40(1 – i)
= 240(1 – i) bulunur.
ÖRNEK 43
( )( )
ii
11–
17
18
+ ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
( )( )
( )( )
( )ii
ii
i11
11
1– –
· –17
18
17
17
+=
+
= ( )ii i
11 1 – –( )i1
17
–+f p
= ( )i1 11– 2 17
+d n (1 – i)
= i22– 17c m (1 – i)
= (–i)17(1 – i)
= –i(1 – i)
= –i + i2 = –i – 1 bulunur.
ÖRNEK 44
z(2 + i) = 5 + i + –z e itli ini sa layan z karma k
say s n bulunuz.
Çözüm
z = a + bi al n rsa, –z = a – bi olur.
Bu de erleri verilen e itlikte yerine yazarsak
(a + bi)(2 + i) = 5 + i + a – bi
2a + ai + 2bi – b = 5 + i + a – bi
2a – b + i(a + 2b) = (5 + a) + i(1 – b) olur.
ki karma k say n n e itli inden
2a – b = 5 + a ve a + 2b = 1 – b
a – b = 5 ve a + 3b = 1 olur.
a ba b
53 1
– =+ =
3 a = 4 ve b = –1 bulunur.
Bu durumda, z = a + bi = 4 – i dir.
ÖRNEK 45
z3 + z2 + mz + 6 = 0 denkleminin bir kökü 1 + i ise
m de erini bulunuz.
Çözüm
Denklemin bir kökü 1 + i ise bu kök denklemi sa lar.
(1 + i)3 + (1 + i)2 + m(1 + i) + 6 = 0
(1 + i)2.(1 + i + 1) + m(1 + i) + 6 = 0
(1 + 2i – 1)(2 + i) + m(1 + i) + 6 = 0
2i(2 + i) + m(1 + i) + 6 = 0
4i – 2 + m + mi + 6 = 0
(m + 4) + i(m + 4) = 0
m = – 4 bulunur.
Karma k Say n n E leni i le lgili Özellikler
z z=^ h z z z z1 2 1 2+ = +
z z z z– –1 2 1 2=
. .z z z z1 2 1 2=
: :z z z z1 2 1 2=
22
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. z1 = 3 + 2i ve z2 = 4 – 3i olmak üzere a a da-kilerin e itini bulunuz.
a. z1 + z2
b. z1 – z2
c. 2z1 + 3z2
d. 3z1 – 5z2
e. z1.z2
f. i.z1
g. 2i.z1 + 3z2
h. (z1 + 1)(z2 – i)
2. A a daki tablodaki bo luklar doldurunuz.
�
��
v� �
v��
�
v�
� � �
3. A a daki karma k say lar n çarpma i lemine göre terslerini bulunuz.
a. 4 – 2i
b. 3 + i
c. 2 – i
d. 2i
4. A a daki i lemleri sonuçland r n z.
a. ii
32
–+
b. i
i3
4 2+
c. ii
11
–+
d. ( ) ( )i
i i3
1 2 –+
+
e. (1 + i)10
f. (2 – 2i)13
g. (2 + i)10(2 – i)10
h. (4 – 4i)6(4 + 4i)7
i. ( )( )
ii
11–
7
6
+
ALIŞTIRMALAR – 2
1. a. 7 – i b. –1 + 5i c. 18 – 5i d. –11+21i e. 18 – i f. –2 + 3i g. 8 – 3i h. 24 – 8i 3. a. i10
2 + b. i10
3 – c. i5
2 + d. i2–
4. a. i2
1 + b. i3
2 4– c. i d. 1 e. 32i f. 219(i–1) g. 510 h. 232(1+i) i. i2
1–
Karma k Say lar
23
ES
EN
YAY
INLA
RI
5. z = ii
23 –
+ ise Im(
–z) nedir?
6. i1
2+
say s n n e leni inin reel k sm kaçt r?
7. z = 3 + 2i ve w = 1 – 2i olmak üzere a a daki-lerin e itini bulunuz.
a. z.w
b. z w2+
c. .i z – 3w
d. z.w2
e. z
w2
f. (z + 1)(w + i)
8. A a daki e itliklerden do ru olanlar için bo kutuya “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
z.–z = z2
z^ h = z
z w+ = z – w
. .z w z w=
: :z w z w=
9. A a daki e itlikleri sa layan z karma k say la-r n bulunuz.
a. z.i + 3z = 2 + i
b. (1 + i)2.z + z = 2
c. 3z + 3 = –z – 2i
d. 1 – 3z = –z + 4i
e. 2z – –z = 3i5
10. A a daki i lemleri sonuçland r n z.
a. ii i
ii
21 2
1 22– –10 10
++
+c cm m
b. (1 + i)2 + (1 + i)3 + (1 + i)4 + (1 + i)5
c. (1 + i) (1 + i2) (1 + i3) ...... (1 + i41)
5. 1 6. 1 7. a. –1 + 8i b. 5 + 2i c. –5 + 3i d. –1 – 18i e. i13
1 18– – f. 6 – 2i 8. Y, D, Y, D, D
9. a. i107
101+ b. i
52
54– c. i
23
21– – d. i
41 2– e. i 10. a. –1 – i b. –10 c. 0
Karma k Say lar
24
ÖRNEK 46
A a daki tabloda baz karma k say lar ve mutlak de erleri ifade edilmi tir. nceleyiniz.
z
a + bi
3 + 4i
3 – 4i
–3 – 4i
–1 + v3i
–2i
4i
–3
a2 + b2
32 + 42 = 5
32 + (– 4)2 = 5
(–3)2 + (– 4)2 = 5
(–1)2 + (v3)2 = 2
02 + (–2)2 = 2
02 + 42 = 4
(–3)2 + 02 = 3
|z|
Yukar daki örneklerde görüldü ü gibi,
|z| = |–z| = |–z| = |–
–z| dir.
ÖRNEK 47
z.–z = |z|2 oldu unu gösterelim.
Çözüm
z = a + bi al n rsa –z = a – bi olur.
z.–z = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2
|z| = a b2 2+ |z|2 = a2 + b2 dir.
O halde, z.–z = |z|2 bulunur.
ÖRNEK 48
z = ii
23 –
+ ise z.
–z ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
z.–z = |z|2 oldu undan,
|z| = ii
ii
23
23
4 19 1
510 2– –
+=
+=
++ = = olur.
z.–z = |z|2 = ( 2 )2 = 2 bulunur.
ÖRNEK 49
zi i1
111–
=+
+ oldu una göre |z| nedir?
Çözüm
zi i
i i1
111
1 11 1
22
––=
++ =
++ + = = 1
O halde, |z| = 1 bulunur.
ÖRNEK 50
z – i = 5 – |z|.i e itli ini sa layan z karma k say -s n bulunuz.
Çözüm
z = a + bi al n rsa |z| = a b2 2+ olur.
z – i = 5 – |z|.i a + bi – i = 5 – a b2 2+ i
a + i(b – 1) = 5 – a b2 2+ i
a = 5 ve b – 1 = – a b2 2+
b – 1 = – a b2 2+ e itli inde a = 5 yazarsak,
b – 1 = b25– 2+ b2 – 2b + 1 = 25 +b2
b = –12 olur.
z = a + bi z = 5 – 12i bulunur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
Karma k düzlemde, bir karma k say ya kar l k gelen noktan n ba lang ç noktas na olan uzakl na bu karma-
k say n n mutlak de eri veya modülü denir ve |z| biçiminde gösterilir.
x
y
0 a
b z = a + bi
|z|
Grafikte görüldü ü gibi
|z|2 = a2 + b2
|z| = a b2 2+ dir.
B R KARMA IK SAYININ MUTLAK DE ER (MODÜLÜ)
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
25
Mutlak De erlerle lgili Özellikler
|z | = |–z| = |–z| = |–
–z|
|z |2 = z.–z
|z1.z2| = |z1|.|z2|
zz
zz
2
1
2
1= , (z2 0)
n N olmak üzere, |zn| = |z |n
||z1| – |z2|| |z1 + z2| |z1| + |z2|
ÖRNEK 51
z = 2 + i oldu una göre |z4| nin de erini bulunuz.
Çözüm
|z | = |2 + i | = 2 12 2+ = v5
|z4| = |z |4 = (v5)4 = 25 bulunur.
ÖRNEK 52
z1 = 5 – 2i ve z2 = 3 + i oldu una göre
zz
2
1 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
|z1| = ( )5 2–2 2+ = c29 ve
|z2| = 3 12 2+ = c10 olaca ndan
,zz
zz
1029 2 9
2
1
2
1= = = bulunur.
ÖRNEK 53
z = a2 – b2 + 2abi oldu una göre |z| de eri kaçt r?
Çözüm
|z| = ( )a b ab2–2 2 2 2+^ h = a a b b a b2 4–4 2 2 4 2 2+ +
= a a b b24 2 2 4+ +
= ( )a b2 2 2+ = a2 + b2 bulunur.
ÖRNEK 54
z = 1 + cos + isin
oldu una göre |z| de erini bulunuz.
Çözüm
|z| = ( )cos sin1 2 2i i+ +
= cos cos sin1 2 2 2i i i+ + +
= cos2 2 i+
= . ( )cos2 1 i+
= cos2 1 22
1–2 i+c m = . cos2 2
22 i = 2.cos
2i bulunur.
ÖRNEK 55
z = ( )( )
a b i a ba b i a b
–– –+ +
+ ise |–z| de erini bulunuz.
Çözüm
|–z| = |z | =
( )( )
a b i a ba b i a b
–– –+ +
+
= ( )( )
a b i a ba b i a b
–– –+ +
+
= ( ) ( )
( ) ( )
a b a b
a b a b
–
–2 2
2 2
+ +
+ + = 1 bulunur.
ÖRNEK 56
z = ( ) ( )( ) ( )
i ii i
1 31 2
––+
+ ise |z–1| de erini bulunuz.
Çözüm
|z| = i ii i
1 31 2
––+
+^ ^^ ^
h hh h
= i ii i
1 31 2
––+
+
= 1 1 9 11 1 4 1
+ ++ +
= ..
2 102 5
21= olup
|z–1| = z1
211 2= = bulunur.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
26
K KARMA IK SAYI ARASINDAK UZAKLIK
z1 ve z2 karma k say lar na kar l k gelen noktala-r birle tiren do ru parças n n uzunlu u bu karma k say lar aras ndaki uzakl kt r.
�
�
�
��
��
! �
"
�
z1 = a + bi ve z2 = c + di karma k say lar aras ndaki uzakl k z1z2 do ru parças n n uzunlu udur.
|z1z2| = |z2 – z1| = |(c + di) – (a + bi)| = |(c – a) + i(d – b)| = ( ) ( )c a d b– –2 2+
ÖRNEK 57
z1 = 4 – 5i ve z2 = 1 – i karma k say lar aras ndaki uzakl bulunuz.
Çözüm
z1 ile z2 aras ndaki uzakl k |z2 – z1| olup
|z2 – z1| = |(1 – i) – (4 – 5i)| = |1 – 4 – i + 5i| = |–3 + 4i| = ( )3 4– 2 2+ = c25 = 5 tir.
ÖRNEK 58
z1 = 1 + xi ve z2 = 4 + 2i olmak üzere z1 ile z2 aras ndaki uzakl k 5 br ise x de erini bulunuz.
Çözüm
z1 ile z2 aras ndaki uzakl k 5 br ise,
|z2 – z1| = 5 |(4 + 2i) – (1 + xi)| = 5
|(4 – 1) + i(2 – x)| = 5
|3 + i(2 – x)| = 5
( )x3 2 5–2 2+ =
9 + (2 – x)2 = 25
(2 – x)2 = 16
|x – 2| = 4 x – 2 = 4 x – 2 = –4 x = 6 x = –2 dir.
ÖRNEK 59
|z – 1| = |z – i| e itli ine kar l k gelen z karma k say lar n n geometrik yer denklemini bulunuz.
Çözüm
z = x + iy alal m.
|z – 1| = |z – i| |x + iy – 1| = |x + iy – i|
|(x – 1) + iy| = |x + i (y – 1)| ( ) ( )x y x y1 1– –2 2 2 2+ = +
x2 – 2x + 1 + y2 = x2 + y2 – 2y + 1
–2x = –2y y = x olur.
O halde, z karma k say lar n n geometrik yer denklemi y = x do rusunun denklemidir.
ÖRNEK 60
|z – a – bi| = r e itli ine kar l k gelen z karma k say lar n n geometrik yerinin M(a, b) merkezli, r ya-r çapl çember oldu unu gösteriniz.
Çözüm
|z – a – bi| = r |x + iy – a – bi| = r
|(x – a) + i(y – b)| = r
( ) ( )x a y b r– –2 2+ =
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 olur.
Bu denklem M(a, b) merkezli, r yar çapl çember denklemidir.
z = x + iy , z0 = a + bi olmak üzere,
|z – z0| = r e itli i, merkezi (a, b) ve yar çap
r olan bir çember belirtir.
|z – z0| < r e itsizli i, merkezi (a, b) ve
yar çap r olan çemberin iç bölgesini belirtir.
|z – z0| > r e itsizli i, merkezi (a, b) ve yar -
çap r olan çemberin d bölgesini belirtir.
r1 < |z – z0| < r2 e itsizli i, merkezleri (a, b)
ve ya r çap la r r1 ile r2 olan çem ber ler ara-
s ndaki bölgeyi belirtir.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
27
ÖRNEK 61
|z – 3 – 2i| = 1
e itli ini sa layan z karma k say lar n n geometrik
yerinin denklemini bulup karma k düzlemde göste-
relim.
Çözüm
|z – 3 – 2i| = 1 |z – (3 + 2i)| = 1
olaca ndan z karma k say lar n n geometrik
yeri, M(3, 2) merkezli ve r = 1 yar çapl çember
olup, denklemi (x – 3)2 + (y – 2)2 = 1 dir.
�
�
�
� #
ÖRNEK 62
|z + i| 1
e itsizli ine kar l k gelen noktalar n geometrik yerini bulunuz.
Çözüm
|z + i| 1 |z – (0 – i)| 1
e itsizli ini sa layan noktalar n geometrik yeri M(0, –1) merkezli ve r = 1 yar çapl çember ve bu çemberin d d r.
�
�
# ��
�
��
ÖRNEK 63
|z – 3| < 2
e itsizli ine kar l k gelen noktalar n geometrik yerini bulunuz.
Çözüm
|z – 3| < 2 |z – (3 + 0i)| < 2 e itsizli ini sa la-
yan noktalar n geometrik yeri M(3, 0) merkezli
ve r = 2 yar çapl çemberin iç bölgesidir.
�
�
#� �
ÖRNEK 64
1 |z| < 2
e itsizlik sistemine kar l k gelen noktalar n geomet-rik yerini bulunuz.
Çözüm
1 |z| < 2 e itsizlik sistemine kar l k gelen nok-
talar n geometrik yeri (0, 0) merkezli, r1 = 1 ve
r2 = 2 yar çapl çemberler aras ndaki bölgedir.
(r1 = 1 yar çapl çember bölgeye aittir.)
�
�
��
�
��
�� ��
�
�
��
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
28
ÖRNEK 65
= {z: z C, |z – 2| 1, Re(z) 2}
biçiminde tan mlanan ba nt s n karma k düz-lemde gösterelim.
Çözüm
|z – 2| 1 e itsizli i
(2, 0) merkezli, r = 1 yar çapl çember ve içini gösterir.
Re(z) 2 x 2 olaca ndan ba nt s a a daki gibi olur.
�
�
� �
�������
�
ÖRNEK 66
z iz 2 1–
+= ba nt s n n kompleks düzlemdeki grafi-
ini çiziniz.
Çözüm
z = x + yi olmak üzere,
z i
z 2 1 –+
= z iz 2
1–+
=
|z – 2| = |z + i|
|x + yi – 2| = |x + yi + i|
( ) ( )x y x y2 1– 2 2 2 2+ = + +
x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2 + 2y + 1
– 4x – 2y + 3 = 0 bulunur.
�
�
�
�
�
, ,ve023
43 0c cm m
noktalar ndan
geçen bir do rudur.
ÖRNEK 67
|z | 1 olmak üzere, |z – 3 + 4i | ifadesinin en büyük
ve en küçük de erlerini bulunuz.
Çözüm
|z| 1 ko ulunu sa layan z karma k say lar n n
görüntüsü O(0, 0) merkezli ve r = 1 br yar çapl
çember ile bu çemberin iç bölgesidir.
|z – 3 + 4i| = |z – (3 – 4i)| ifadesi z say lar ile
z1 = 3 – 4i say s aras ndaki uzakl gösterir.
�
�
�
�
�
��
��
��
�
�����
$
�
%
z1 noktas ndan ve çemberin merkezinden geçen
do ru çemberi K ve L noktas nda kessin.
z ile z1 aras ndaki en k sa uzakl k |KZ1| ve en
uzun uzakl k |LZ1| dir. O halde,
|z – 3 + 4i| ifadesinin en büyük de eri
|OZ1| + |OL| = 5 + 1 = 6
en küçük de eri;
|OZ1| – |OK| = 5 – 1 = 4 olur.
29
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a daki tabloyu uygun de erlerle doldurunuz.
� &�& � �
��
��
��
��
�
��
v��
�� ��
&�&
2. A a daki karma k say lar n ba lang ç noktas -na olan uzakl klar n bulunuz.
a. z = (2 + i)(2 – 4i)
b. z = (3 – i)6
c. z = b aia bi–
+
d. z = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
i i ii i i
2 3 1 2 11 2 3 2
–– –+ +
+
e. z = ( )( )
ii
21 2
– 2
3+
f. z = ( )
( ) ( )i
i i2 2
3 1 2–
–2
2 4+
3. A a da verilen z1 ve z2 karma k say lar na kar-l k gelen noktalar aras ndaki uzakl bulunuz.
a. z1 = 1 – 2i , z2 = 4 + i
b. z1 = 2 , z2 = 3 – i
c. z1 = –2i , z2 = 4i
d. z1 = 1 – i , z2 = 1 + i
e. z1 = –2 , z2 = 4
f. z1 = v3 + i , z2 = –v3 – 2i
4. A a daki kümelere karma k düzlemde kar l k gelen noktalar n geometrik yerini bulunuz.
a. A = {z : 4 z.–z 9 , z C}
b. A = {z : z iz
21 –
+ = 1 , z C}
c. A = {z : |Im(z)| 2 , z C}
d. A = {z : |Re(z)| > 1 , z C}
ALIŞTIRMALAR – 3
2. a. 10 b. 103 c. 1 d. 1 e. v5 f. 2
25 3. a. 3v2 b. v2 c. 6 d. 2 e. 6 f. c21
4. a. 4 x2 + y2 9 b. 2x + 4y + 3 = 0 c. –2 y 2 d. x > 1 veya x < –1
Karma k Say lar
30
ES
EN
YAY
INLA
RI
5. z = x + iy olmak üzere,
a a daki ifadelere karma k düzlemde kar l k gelen noktalar kümesini gösteriniz.
a. Re(z) + Im(z) = 2
b. 2Re(z) – Im(z) < 1
c. Re(z) – Im(z) > 0
d. |z| = 2
e. |z| 1
f. |z + 2| = |z – i|
g. |z – 2 + 3i| = 2
h. |z – 1| < 2
i. |z + 2i| 3
j. |z – 1| |z + i|
k. 2 |z| < 4
6. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
z.–z = |z|2
|z| = |––z|
| | | |z z z z1 1 2 1 22
+ +| | | |z z–
z z z z1 2 1 2+ = +
|–z| = –|z|
7. A a da karma k düzlemde grafikleri verilmi olan kümeleri bulunuz.
a.
�
�
� �
b.
�
�
�
�
c.
�
�
��
�
d.
�
�
�
�
�
e.
�
�
�
6. D, D, D, Y, Y 7. a. Re(z) > 1 b. Im(z) 1 c. |z| 3 d. |z – 2 – 2i| < 2 e. 1 |z| < 3
Karma k Say lar
31
ÖRNEK 68
�
�
�
�
%��'
Grafikte, |OZ| = 3 br, m(aZOK) = 20° ise z karma k
say s n n kutupsal biçimini bulunuz.
Çözüm
|OZ| = |z| = r oldu undan, r = 3 tür.
m(aZOK) = 20° oldu undan arg(z) = 20° dir.
Bu durumda z karma k say s n n kutupsal
biçimi;
z = r(cos + isin )
z = 3(cos20° + isin20°) veya k saca
z = 3cis20° dir.
�
�
�
(��)�������
*��)��
&�&���
�
z = a + bi karma k say s n n karma k düzlemdeki görüntüsü
yanda çizilmi tir. |OZ| = |z| = r ve m(aZOA) = olmak üzere
ZOA dik üçgeninde,
cos = OZOA
za= a = |z|.cos
sin = OZZA
zb= b = |z|.sin d r.
Bu de erleri z = a + bi karma k say s nda yerine yazarsak
z = a + bi = |z|.cos + i.|z|.sin = |z|(cos + isin ) e itli ini elde ederiz.
Bu yaz l a z = a + bi karma k say s n n kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir.
Bu gösterim k saca, z = rcis biçiminde de gösterilebilir.
Ayr ca, k Z olmak üzere,
z = rcis = rcis( + k.2 ) olarak yaz labilece ine de dikkat ediniz.
Bir Karma k Say n n Kutupsal Koordinatlar
Yukar daki ekilde OZ do rusunun x ekseniyle yapt pozitif yönlü aç ya z karma k say s n n ARGÜMENT
denir.
cos = za , sin =
zb veya tan =
ab e itliklerini sa layan gerçek say s , z karma k say s n n argümenti
olup arg(z) = biçiminde gösterilir.
k Z olmak üzere ölçüsü, + k.2 olan aç lar z karma k say s n n argümentleridir. Buradaki gerçel
say s z nin esas argümentidir.
Bir karma k say n n, mutlak de eri ile esas argümentinin olu turdu u s ral ikiliye bu say n n KUTUPSAL
KOORD NATLARI denir ve (|z |, ) veya (r, ) biçiminde gösterilir.
KARMA IK SAYILARIN KUTUPSAL (TR GONOMETR K) B Ç M
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
32
ÖRNEK 69
�
�
�
� %
��'�
$
Grafikte, |OZ| = 2 br, m(aZOK) = 40° ise z karma k
say s n n kutupsal biçimini bulunuz.
Çözüm
|OZ| = |z| = r oldu undan, r = 2 dir.
m(aZOK) = 40° ise m(
aZOL) = 40° + 90° = 130°
olaca ndan arg(z) = 130° dir.
Bu durumda z karma k say s n n kutupsal biçimi;
z = r(cos + isin )
z = 2(cos130° + isin130°) veya k saca
z = 2cis130° dir.
ÖRNEK 70
�
�
��
�
Grafikte, |OZ| = 4 br ise z karma k say s n n kutup-sal biçimini bulunuz.
Çözüm
r = |OZ| = 4 tür.
OZ do rusunun x ekseni ile yapt pozitif yönlü aç 0° oldu undan, arg(z) = 0° dir.
Bu durumda,
z = r(cos + isin ) = 4(cos + isin )
= 4(cos0° + isin0°)
veya z = 4cis0° biçiminde gösterilir.
ÖRNEK 71
A a daki grafiklerde verilen karma k say lar n ku-tupsal biçimi alt na yaz lm t r. nceleyiniz.
�
�
�
��
��
�
�
���
z1 = 3cis180° z2 = 5cis90°
�
�
�
� ��
�
�
�
���
�'
z3 = 2cis270° z4 = 4cis330°
ÖRNEK 72
z = –3i karma k say s n n kutupsal biçimini bulunuz.
Çözüm
�
�
�
��+�'
�
z = –3i karma k say s n n düzlemdeki gösterili i
yandaki gibidir. Burada görüldü ü gibi,
|z| = 3 br
arg(z) = 270° dir. Buna göre,
z = r(cos + isin )
z = 3(cos270° + isin270°) veya
z = 3cis270° dir.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
33
ÖRNEK 73
z = 1 + v3i karma k say s n n kutupsal biçimini bulunuz.
Çözüm
�
�
�
v�
�
r = |z| = 1 32 2+ ^ h = 1 3+ = 2
tan = 13 = v3 =
3r olaca ndan,
z = r(cos + isin )
z = cos sini23 3r r+b l veya k saca
z = 2cis3r bulunur.
ÖRNEK 74
z = –1 + v3i karma k say s n n kutupsal biçimini bulunuz.Çözüm
�
�
�
v�
��
r = |z| = ( ) ( )1 3 1 3 2– 2 2+ = + =
tan = –tan = 13 3– –=
= 3
2r olaca ndan,
z = rcis z = 2cis3
2r olur.
ÖRNEK 75
z = 1 – i karma k say s n n kutupsal biçimini bulu-nuz.
Çözüm
�
�
���
�
r = |z| = 1 1 2– 2+ =^ h
tan = tan(2 – )
= –tan
= –1 = 4
7r olaca ndan,
z = r (cos + isin )
z = cos sini24
74
7r r+c m olur.
ÖRNEK 76
Kutupsal koordinatlar ,2 23
5rc m olan karma k
say y standart biçimde yaz n z.
Çözüm
Kutupsal koordinatlar ,2 23
5rc m olan kar-
ma k say n n mutlak de eri (modülü) 2 2 ve
argümenti 3
5r tür. Buna göre,
z = r (cos + isin )
= cos sini2 23
53
5r r+c m = i2 2
21
23–+ dd nn
= 2 6– i bulunur.
Karma k Say lar
34
z = a + bi
z = v3 + i
z = 2 – 2i
z = –2 + 2v3i
z = –1 – i
z karma ›ksay›s›n›nstandartbiçimi
|z| = r
r = (v3)2 + 12
= 2
r = 22 + (–2)2
= 2v2
r = (–2)2 + (2v3)2
= 4
r = (–1)2 + (–1)2
= v2
r = |z|
= a2 + b2
z karma ›ksay›s›n›ndüzlemde
gösterilmesi
z karma ›ksay›s›n›nkutupsal
biçimi
arg(z) =
tan = –1–1
=
= 1
54
tan = – 2v32
=
= – v3
23
tan = – 22
=
= –1
tan = 1v3
=6
tan = ba
z = rcis
z = 2cis
z = 2v2cis
z = 4cis
z = v2cis
23
6
74
54
x
y
0 a
b z
x
y
0 v3
1 z
2
6
74
x
y
74
z
2v2
–2
2
x
y
–2
2v3
423
z
x
y
54
–1zv2
–1
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
35
z0 = a + bi karma k say s n n karma k düzlem-deki görüntüsü A(a, b) olmak üzere,
�
�
%
��*
�
arg(z – z0) = ko ulunu sa layan z karma k say lar n n görüntüsü AK yar do rusudur.
ÖRNEK 77
arg(z – 2i) = 4r e itli ini sa layan z karma k sa-
y lar n n karma k düzlemdeki görüntüsünü bulunuz.
Çözüm
�
�
%
��
���'
�
arg(z – 2i) = 4r oldu undan z karma k say la-
r n n görüntüsü z0K yar do rusudur.
ÖRNEK 78
arg(z + 2) = 3r ve arg(z – i) =
2r ko ullar n sa -
layan z karma k say s n bulunuz.
Çözüm
�
�
%
���
��'��
arg(z + 2) = arg(z – (–2)) = 3r oldu undan bu ko-
ulu sa layan z karma k say lar n n görüntüsü
z1K yar do rusudur.
�
�
,
��
�
�
arg(z – i) = 2r ko ulu sa layan z karma k
say lar n n görüntüsü z2P yar do rusudur.
�
�
,
��
�
�
%*
��
��
��'
arg(z + 2) = 3r ve arg(z – i) =
2r ko ullar n
birlikte sa layan z karma k say s n n görüntüsü
z1K ve z2P yar do rular n n kesim noktas olan
A noktas d r. AOz1 dik üçgeninde,
|Oz1| = 2 |OA| = 2v3 olaca ndan
A(0, 2v3) olup z = 0 + 2v3i = 2v3i bulunur.
ÖRNEK 79
z = sin – icos ise z nin esas argümentini bulunuz.
Çözüm
sin = cos2
–r ib l ve cos = sin2
–r ib l olup
z = sin – icos = cos2
–r ib l – isin2
–r ib l
= cos sini2 2
– – – – –i r i rb bl l: :D D
= cos sini2 2
– –i r i r+b bl l olur.
O halde, arg(z) = 2
–i r dir.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
36
ÖRNEK 80
arg(z + 1) = 3
5r ve arg(z – 3) = 3
4r e itliklerini
sa layan z karma k say s n bulunuz.
Çözüm
z = x + iy olsun.
z + 1 = (x + 1) + iy ve z – 3 = (x – 3) + iy
olaca ndan
arg(z + 1) = 3
5r tanx
y1 3
5r+
=
x
y1
3–+
=
y = –v3x – v3 ..... (I)
arg(z – 3) = 3
4r tanx
y3 3
4–
r=
x
y3
3–
=
y = v3x – 3v3 ..... (II)
I ve II e itliklerinden
–v3x – v3 = v3x – 3v3
–v3(x + 1) = v3(x – 3)
–(x + 1) = x – 3 –x – 1 = x – 3
x = 1 olur.
y = –v3x – v3 y = –v3.1 – v3
y = –2v3 olur.
Bu durumda
z = x + iy = 1 + i(–2v3) = 1 – 2v3i bulunur.
ÖRNEK 81
Kutupsal koordinatlar ,43
2rc m olan karma k say y
standart biçimde yazal m.
Çözüm
r = |4| ve arg(z) = 3
2r oldu undan
z = r(cos + isin )
z = i421
23– +d n
z = 2(–1 + v3i) bulunur.
ÖRNEK 82
z = sin50° – icos50° ise z nin esas argümentini bulunuz.
Çözüm
z = sin50° – icos50°
= cos(90° – 50°) – isin(90° – 50°)
= cos40° – isin40°
= cos(360° – 320°) – isin(360° – 320°)
= cos320° – i(–sin320°)
= cos320° + isin320° olaca ndan
arg(z) = 320° dir.
ÖRNEK 83
z = 1 + cos40° + isin40° ise |z| de erini bulunuz.
Çözüm
1. Yol
|z| = cos sin1 40 40° °2 2+ +^ h = cos cos sin1 2 40 40 40° ° °2 2
1
+ + +1 2 344444 44444
= cos2 2 40°+
= ( )cos2 2 2 20 1° –2+
= cos2 4 20 2° –2+
= cos4 20°2 = 2 cos20° bulunur.
2. Yol
z = 1 + cos40° + isin40°
z = 1 + 2cos220° – 1 + i2sin20°.cos20°
= 2cos220° + 2isin20°.cos20°
= 2cos20°(cos20° + isin20°) olur. |z|
Bu durumda, |z| = 2cos20° bulunur.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
37
ÖRNEK 84
z = 1 + i.tan20° karma k say s n n esas argümenti a a dakilerden hangisidir?
Çözüm
z = 1 + i.tan20° = 1 + icossin
2020
°°
= cos
cos sini20
20 20°
° °+
= cos20
1°
(cos20° + isin20°) dir.
Bu durumda,
|z| = cos20
1°
ve arg(z) = 20° bulunur.
ÖRNEK 85
|z + 4| = 2 ko ulunu sa layan z karma k say lar n-dan esas argümenti en küçük olan n esas argümen-tini bulunuz.
Çözüm
|z + 4| = 2 ko ulunu sa layan z karma k say lar ,
M(–4, 0) merkezli r = 2 yar çapl çember üze-rindeki noktalar oldu undan
�
�
�����
��
�#
grafikte de görüldü ü gibi z karma k say lar n-dan argümenti en küçük olan z1 dir.
MOz1 dik üçgeninde,
|OM| = 4 br ve |Mz1| = 2 br oldu undan
( )m MOz1% = 30° olur. Bu durumda
arg(z1) = 180° – 30° = 150° bulunur.
KUTUPSAL B Ç MDE LEMLER
Toplama ve Ç karma lemi
Kutupsal biçimde verilen iki karma k say toplan r veya ç kar l rken reel k s mlar kendi aralar nda, sanal k s mlar da kendi aralar nda toplan r veya ç kar l r.
z1 = r1(cos + isin )
z2 = r2(cos + isin ) olmak üzere
z1 + z2 = (r1cos + r2cos ) + (r1sin + r2sin )i
ÖRNEK 86
z1 = 4(cos45° + isin45°)
z2 = 2(cos60° + isin60°) ise
z1 + z2 say s n bulunuz.
Çözüm
z1 = 4cos45° + 4isin45°
z2 = 2cos60° + 2isin60°
z1 + z2 = 4cos45°+2cos60°+i(4sin45°+2sin60°)
= i422 2
21 4
22 2
23+ + +d n
= 2v2 + 1 + i(2v2 + v3) olur.
ÖRNEK 87
z1 = cos60° + isin60°
z2 = cos30° + isin30° ise
z1 – z2 say s n bulunuz.
Çözüm
z1 = cos60° + isin60° = i21
23+
z2 = cos30° + isin30° = i23
21+
z1 – z2 = i i21
23
23
21– –+
= i21
23
23
21– –+d dn n dir.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
38
ÖRNEK 88
z1 = cos75° + isin75°
z2 = cos15° + isin15° ise
z1 + z2 say s n bulunuz.
Çözüm
z1 + z2 = (cos75° + cos15°) + i(sin75° + sin15°)
= .cos cos sin cosi22
75 152
75 15 22
75 152
75 15° ° °– ° ° ° °– °+ + +
= 2cos45°.cos30° + 2isin45°.cos30°
= i222
23 2
22
23· · · ·+ = i
26
26+ olur.
Çarpma ve Bölme lemi
z1 = r1(cos + isin ) ve z2 = r2(cos + isin ) ise
z1.z2 = r1.r2[cos( + ) + isin( + )]
zz
rr
2
1
2
1= [cos( – ) + isin( – )] d r.
z1.z2 = r1(cos + isin ).r2(cos + isin )
= (r1cos + i r1sin )(r2cos + i r2sin )
= r1.r2cos cos + i2r1.r2sin sin
+ i r1.r2cos sin + i r1.r2sin cos
= r1.r2(cos cos – sin sin )
+ i r1.r2(cos sin + sin cos )
= r1.r2cos( + ) + i r1.r2sin( + )
= r1.r2(cos( + ) + isin( + )) bulunur.
( )( )cos sincos sin
zz
r ir i
2
1
2
1
b b
a a=
++
= ( ) ( )( ) ( )cos sin cos sincos sin cos sin
r i ir i i
––
2
1
b b b b
a a b b
++
= . ( )
. . ) ( . . )
cos sin
cos cos sin sin sin cos cos sin
r
r i–
22 2
1
b b
a b a b a b a b
+
+ +6 @
= .
( ( ) ( ))cos sinr
r i1
– –2
1 a b a b+
= rr2
1 .(cos ( – ) + isin ( – )) bulunur.
ÖRNEK 89
z1 = 2(cos75° + isin75°) ve
z2 = 4(cos15° + isin15°) isez1.z2 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
z1.z2 = 2.4(cos(75° + 15°) + isin(75° + 15°))
= 8(cos90° + isin90°) = 8(0 + i.1) = 8i dir.
ÖRNEK 90
z1 = 6(cos130° + isin130°) ve
z2 = 3(cos70° + isin70°) oldu una göre,
zz
2
1 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
zz
36
2
1 = .(cos(130° – 70°) + isin(130° – 70°))
= 2(cos60° + isin60°)
= i221
23+d n = 1 + v3i bulunur.
ÖRNEK 91
z1 = (cos114° + isin66°) , z2 = (cos42° + isin138°)
z3 = (sin24° – isin246°) ise .z
z z3
1 2 ü bulunuz.
Çözüm
z1 = cos114° + isin66° = cos114° + isin114° = cis114°
z2 = cos42° + isin138° = cos42° + isin42° = cis42°
z3 = sin24° – isin246°
= cos66° + isin66° = cis66° olaca ndan
.z
z z3
1 2 = .cis
cis cis66
114 42°
° ° = ( )cis
cis66
114 42°
° °+
= ciscis
66156
°°
= cis(156° – 66°)
= cis90°
= cos90° + isin90° = 0 + i.1 = i bulunur.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
39
ÖRNEK 92
�
�
� ��'
�
�
��
��
��'
z1 ve z2 karma k say lar grafikte gösterilmi tir.
zz
1
2 i leminin sonucunu bulunuz.
Çözüm
z1 = 2cis(90° + 10°) = 2cis100°
z2 = 4cis(360° – 20°) = 4cis340° olaca ndan
zz
ciscis
2 1004 340
°°
1
2 =
= 2cis(340° – 100°)
= 2cis240°
= 2(cos240° + isin240°)
= i221
23– –d n = –1 – v3i bulunur.
ÖRNEK 93
Bir ABC üçgeninin iç aç lar n n ölçüleri
, ve olmak üzere,
z1 = 2cis , z2 = 4cis ve
z3 = cis ise z1.z2.z3 i leminin sonucunu bulunuz.
Çözüm
z1.z2.z3 = 2.4.cis( + + ) 180°
= 8.cis180°
= 8(cos180° + isin180°)
= 8.(–1 + i.0) = –8 bulunur.
ÖRNEK 94
sin coscos sin
ii
105 105135 135
° – °– ° °+
i leminin sonucunu bulunuz.
Çözüm
–cos135° = –(–cos45°) = cos45°
sin135° = sin45°
sin105° = sin75° = cos15°
–cos105° = –(–cos75°) = cos75° = sin15°
de erlerini verilen ifadede yerine yazarsak,
sin coscos sin
cos sincos sin
ii
ii
105 105135 135
15 1545 45
° – °– ° °
° °° °+ =
++
= cos(45° – 15°) + isin(45° – 15°)
= cos30° + isin30°
= i23
21+ bulunur.
ÖRNEK 95
�
�
�
�
�
��
��
z1 ve z2 karma k say lar grafikte gösterilmi tir.
zz
1
2 i leminin sonucunu bulunuz.
Çözüm
argz1 = al n rsa, arg(z2) = 90° + olur.
( )zz
ciscis
24 90
24°
1
2aa
=+
= cis(90° + – )
= 2cis90°
= 2(cos90° + isin90°)
= 2(0 + i.1) = 2i bulunur.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
40
ÖRNEK 96
|2cis70° – 4cis10°| ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
z1 = 2cis70° ve z2 = 4cis10° olmak üzere,
arad m z de er |z1 – z2| olup bu da z1 ile z2
aras ndaki uzakl a e ittir.
�
�
�
��
��
��'��'
�
�
�
Grafikte görüldü ü gibi istenen x de eridir.
Oz2z1 üçgeninde, kosinüs teoremine göre
x2 = 22 + 42 – 2.2.4.cos60°
x2 = 20 – 16.21
x2 = 12 x = 2v3 bulunur.
ÖRNEK 97
|cis20° + 3cis50°| ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
|cis20° + 3cis50°| = |cis20° – (–3cis50°)|
= |cis20° – 3cis(180° + 50°)|
= |cis20° – 3cis230°|
olaca ndan
z1 = cis20° ve z2 = 3cis230° olmak üzere
arad m z de er grafikte görüldü ü gibi z1 ile
z2 aras ndaki uzakl k olan x de eridir.
Oz1z2 üçgeninde, kosinüs teoremine göre
�
�
�
��
��
��'
��'
�
�
x2 = 32 + 12 – 2.3.1.cos150°
x2 = 10 – 6.23–d n
x2 = 10 + 3v3 x = 10 3 3+ bulunur.
ÖRNEK 98
arg(z1.z2) = 6
5r ve argzz
32
2
1 r=c m ise
Re(z1) + Im(z1) ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
arg(z1.z2) = argz1 + argz2
argzz
2
1c m = argz1 – argz2 oldu undan
argz1 + argz2 = 6
5r
argz1 – argz2 = 3
2r + –––––––––––––––––––
2argz1 = 6
53
2r r+
2argz1 = 6
9r argz1 = 4
3r olur.
z1 = r1(cos + isin ) al rsak
z1 = r1 cos sini4
34
3r r+c mz1 = r1 i
22
22– +d n olaca ndan
( )
( )( ) ( )
Re
ImRe Im
z r
z rz z
22
22
0–1 1
1 1
1 1
=
=+ =
_
`
a
bb
bb bulunur.
41
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a da görüntüleri verilen karma k say lar kutupsal biçimde yaz n z.
a.
�
�
�
�
+�'
�
b.
�
�
�
�
�'
�
c.
��'
�
�
�
�
d.
�
�
� �
�
��'
e.
�
�
�
�
f.
�
�
�
�
��
g.
�
�
�
� �
h.
�
�
�
�
�
ALIŞTIRMALAR – 4
1. a. 4cis70° b. 2cis150° c. 3cis260° d. 5cis335° e. 3cis90° f. 2cis180° g. 3cis270° h. 4cis0°
Karma k Say lar
42
ES
EN
YAY
INLA
RI
2. A a daki karma k say lar kutupsal biçimde yaz n z.
a. z = –2i
b. z = 4 + 4v3i
c. z = –v3 + i
d. z = –3 – 3i
e. z = 4
f. z = i
g. z = –3
3. arg(z + 2) = 4r ve arg(z + i) =
43r
ko ullar n sa layan z karma k say s n bulu-nuz.
4. z = r(cos + isin ) olmak üzere, a a dakilerden do ru olanlar için bo kutulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
–z = r [cos(2 – ) + isin(2 – )]
–z = r [cos( + ) + isin( + )]
––z = r [cos( – ) + isin( – )]
z–1 = r1 [cos(2 – ) + isin(2 – )]
5. z = 1 + cos20° + isin20° karma k say s n ku-tupsal biçimde ifade ediniz.
6. z = 1 + cos200° + isin200° karma k say s n kutupsal biçimde ifade ediniz.
2. a. 2cis270° b. 8cis60° c. 2cis150° d. 3v2cis225° e. 4cis0° f. cis90° g. 3cis180° 3. i23
21– +
4. D, D, D, D 5. 2cos10°.cis10° 6. 2sin10.cis280°
Karma k Say lar
43
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. A a daki karma k say lar n e itlerini bulunuz.
a. sin cos
sin cosi
i80 80
70 70– ° °
° – °+
b. sin cossin cos
ii
40 4010 10
° °– ° – °
+
8. |z – 6i| = 3 ko ulunu sa layan z karma k sa-y lar ndan esas argümenti en küçük olan ile en büyük olan n n esas argümentlerini bulunuz.
9. z1 = 2(cos120° + isin120°)
z2 = 4(cos30° + isin30°)
ise z1 + z2 karma k say s n bulunuz.
10. z1 = cos105° + isin105°
z2 = cos15° + isin15°
ise z1 – z2 karma k say s n bulunuz.
11. z1 = 4cis100° ve z2 = 2cis80° ise z1.z2 karma-k say s n bulunuz.
12. z1 = cis40° , z2 = 4cis70° ve z3 = 2cis50° ise
.z
z z3
1 2 karma k say s n bulunuz.
13. z1 = 2cis10° ve z2 = 3cis40° ise
.z z14
22 karma k say s n bulunuz.
14. z = 2cis35° ve w = 4cis65° ise
|z – w| kaçt r?
7. a. cis170° b. cis210° 8. 60°, 120° 9. 2v3 – 1 + (v3 + 2)i 10. i26
22– +
11. –8 12. 1 + v3 i 13. 72(–1 + v3i) 14. 2 5 2 3–
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
44
B R KARMA IK SAYININ KUVVET
De Moivre Teoremi
z = r(cos + isin ) ise n N+ için
zn = rn(cosn. + isinn. ) d r.
ÖRNEK 99
z = 2(cos15° + isin15°)
oldu una göre, z6 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
z = 2(cos15° + isin15°) ise
z6 = 26(cos6.15° + isin6.15°)
z6 = 64(cos90° + isin90°) = 64(0 + 1.i)
= 64i bulunur.
ÖRNEK 100
z = v3 + i ise z6 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
z = v3 + i karma k say s n n kutupsal biçimde
yaz l z = 2(cos30° + isin30°) oldu undan
z6 = 26(cos6.30° + isin6.30°)
= 26(cos180° + isin180°)
= 26(–1 + i.0) = –26 bulunur.
ÖRNEK 101
(1 – v3i)40 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
1 – v3i = z olsun. z karma k say s n n kutupsal
biçimde ifadesi z = 2cis300° oldu undan
z40 = (2cis300°)40 = 240cis(40.300°)
= 240cis(12000°) olur.
12000° nin esas ölçüsü 120° oldu undan
z40 = 240(cos120° + isin120°)
z40 = 240 i21
23– +d n = 239(–1 + v3i) bulunur.
ÖRNEK 102
(–1 + i)–10 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
–1 + i = z olsun. z karma k say s n n kutupsal
biçimde ifadesi z = v2cis135° oldu undan
z–10 = (v2cis135°)–10 = (v2)–10cis(–10.135°)
= 2–5cis(–1350°) olur.
–1350° nin esas ölçüsü 90° oldu undan
z–10 = 2–5cis90° = 321 (cos90° + isin90°)
= 321 (0 + i) =
321 i bulunur.
ÖRNEK 103
z = rcis ise –z, –z ve z–1 karma k say lar n
bulunuz.
Çözüm
z = rcis = r(cos + isin ) ise
–z = –r(cos + isin ) = –r(–cos( + ) – isin( + )) = r(cos( + ) + isin( + ))
= rcis( + ) bulunur.
–z = r(cos – isin ) = r[cos(2 – ) – i(–sin(2 – ))] = r[cos(2 – ) + isin(2 – )]
= rcis(2 – ) bulunur.
z–1 = [r(cos + isin )]–1 = r–1(cos(– ) + isin(– ))
= r1 (cos(2 – ) + isin(2 – ))
= r1 cis(2 – ) bulunur.
argz = ise
arg(–z) = +
arg(–z) = 2 –
arg(z–1) = 2 – d r.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
45
ÖRNEK 104
argz = 3r ise arg(–z) , arg(
–z) ve arg(z–1) de er-
lerini bulunuz.
Çözüm
argz = 3r ise arg(–z) = +
3 34r r=
arg(–z) = 2 –
3 35r r=
arg(z–1) = 2 – 3 3
5r r= bulunur.
ÖRNEK 105
z1 = v2cis5° , z2 = 2cis20° ve z3 = 4cis25° ise
.
z
z z
32
18
24
ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
z1 = v2cis5° z81 = (v2)8.cis8.5° = 24.cis40°
z2 = 2cis20° z42 = 24.cis4.20° = 24.cis80°
z3 = 4cis25° z32 = 24.cis2.25° = 24.cis50° olur.
. .z
z zcis
cis cis2 50
2 40 2 80°
° °
32
18
24
4
4 4=
= 24cis(40° + 80° – 50°) = 24cis70° olur.
Bir Karma k Say n n Orijin Etraf nda Döndürülmesi
z = r(cos + isin ) say s n n orijin etraf nda pozitif
yönde kadar döndürülmesi ile elde edilen say
z1 ise z1 = r(cos( + ) + i sin( + )) olur.
z say s n n orijin etraf nda negatif yönde
kadar döndürülmesi ile elde edilen say z2 ise
z2 = r(cos( – ) + i sin( – )) olur.
�
�
�
�
��
��
�
ÖRNEK 106
z = 2cis40° say s n n orijin etraf nda pozitif yönde 50° döndürülmesi ile elde edilen say y bulunuz.
Çözüm
z = 2cis40° say s n n orijin etraf nda pozitif yönde döndürülmesi ile elde edilen say z2 ise
z2 = 2cis(40° + 50°) = 2cis90°
= 2(cos90° + isin90°) = 2(0 + i) = 2i olur.
ÖRNEK 107
z = 4cis70° say s n n orijin etraf nda negatif yönde 20° döndürülmesi ile elde edilen say y bulunuz.
Çözüm
z = 4cis70° say s n n orijin etraf nda negatif yönde döndürülmesi ile elde edilen say z1 ise
z1 = 4cis(70° – 20°) , z1 = 4cis50° olur.
z = rcis kar ma k sa y s n n ori jin et ra f n da po-
zi tif yön de kadar döndürülmesi ile elde edilen
karma k say z1 = rcis( + ) oldu undan
z1 = rcis( + ) = rcis .cis = z.cis
biçiminde ifade edilebilir.
ÖRNEK 103
z = 1 + 2i karma k say s n n orijin etraf nda pozitif yönde 60° döndürülmesi ile elde edilen say y bu-lunuz.
Çözüm
z nin orijin etraf nda pozitif yönde 60° döndürül-
mesi ile elde edilen say z1 olsun.
z1 = z.cis60° olaca ndan
z1 = (1 + 2i)(cos60° + isin60°)
= (1 + 2i) i21
23+d n = ( ) ( )i i
21 2 1 3+ +
= ( ) i2
1 2 32
2 3– ++ dir.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
46
ÖRNEK 108
z = 2v3 – 2i karma k say s n n orijin etraf nda po-zitif yönde 30° döndürülmesi ile elde edilen say y bulunuz.
Çözüm
z nin orijin etraf nda pozitif yönde 30° döndürül-
mesi ile elde edilen say z1 olsun.
z1 = z.cis30° = (2v3 – 2i)(cos30° + isin30°)
= 2(v3 – i) i23
21+d n
= 2(v3 – i) ( )i2
3 +
= (v3 – i)(v3 + i)
= 3 + 1 = 4 bulunur.
ÖRNEK 109
z = 3 + 2i karma k say s n n orijin etraf nda pozitif yönde 90° döndürülmesi ile elde edilen say y bu-lunuz.
Çözüm
1. Yol
Arad m z say z1 olsun.
z1 = z.cis90° = (3 + 2i)(cos90° + isin90°)
= (3 + 2i)(0 + i)
= 3i – 2 bulunur.
2. Yol
�
�
�
��
����
�
*�)��(���)��
Grafikte OAz z BO1+& &
|Oz1| = |Oz| oldu undan OAz ve z1BO üçgen-leri e tir.
Bu durumda |BO| = |Az| = 2 ve |Bz1| = |OA| = 3
olaca ndan z1 = –2 + 3i bulunur.
B R KARMA IK SAYININ KÖKLER
z = r [cos + isin ] karma k say s n n n. dereceden kökleri
wk = . .cos sinz rnk i
nk2 2n n
1 1i r i r= + + +c m dir.
(k = 0, 1, 2, 3, ..., n – 1)
Örne in z = rcis karma k say s n n
karekökleri
.z r cis k 22
21
21
i r= + olup
k = 0 için w0 = vr cis2i
k = 1 için w1 = vr cis2i r+c m dir.
küpkökleri
.z r cis k3
231
31
i r= + olup
k = 0 için w0 = r cis3
3 i
k = 1 için w1 = r cis3 3
23 i r+c mk = 2 için w2 = r cis
3 343 i r+c m tür.
S f rdan farkl z = rcis karma k say s n n:
n. dereceden n tane kökü vard r. Bu kökler karma k düzlemde, merkezi ba lang ç nokta-
s , yar çap rn olan çember üzerinde n
360°
aral klarla s ralan rlar.
x
y
r
w0
w1
180°x
y
r3 w0
w2
120°w1
120°120°
z = rcis n n z = rcis n n karekökleri küpkökleri w0 , w1 w0 , w1 , w2
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
47
ÖRNEK 110
z = 4cis80° karma k say s n n kareköklerini bulunuz.
Çözüm
z = rcis n n karekökleri
w0 = vr cis2i ve w1 = vr cis
2180°i +c m
olaca ndan
w0 = v4 cis 2
80° = 2cis40°
w1 = 2cis(40° + 180°) = 2cis220° olur.
������-.����.�. /�
�! ���'
�� ������0����
/�
! ���' ! ����'
��! �
1v�! �
�1
v�! �
�! ����' �! ���' �! ���'
����
! ���
! ��
! �
ÖRNEK 111
z = 4cis60° karma k say s n n kareköklerini bulunuz.
Çözüm
w0 = v4 cis 2
60° = 2cis30°
= 2(cos30° + isin30°)
= 2 i23
21+d n
= v3 + i
w1 = 2cis(30° + 180°) = 2cis210°
= 2(cos210° + isin210°)
= 2 i23
21– –d n
= i3– – olur.
= –v3 – i olur.w1 = – w0 oldu una dikkat ediniz.
ÖRNEK 112
z = –1 + v3i karma k say s n n kareköklerini bu-lunuz.
Çözüm
Önce z = –1 + v3i say s n kutupsal biçimde
ifade edelim.
|z| = 1 3+ = 2 ve arg(z) = 120° oldu undan
z = 2cis120° dir. Bu durumda,
w0 = v2 cis2
120° = v2cis60°
= v2(cos60° + isin60°)
= v2 i21
23+d n
= i22
26+ olur.
w0 = i22
26+ ise w1 = i
22
26– – dir.
ÖRNEK 113
z2 – 4i = 0 denkleminin köklerini bulunuz.
Çözüm
z2 – 4i = 0 z2 = 4i olur.
Bu denklemin kökleri 4i say s n n karekökleridir.
4i say s n n kutupsal biçimde ifadesi
4i = 4cis90° oldu undan
w0 = v4 cis2
90° = 2cis45°
= 2(cos45° + isin45°)
= 2 i22
22+d n
= v2 + v2i olur.
w0 = v2 + v2i ise w1 = –v2 – v2i dir.
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
48
ÖRNEK 114
z = 3 – 4i karma k say s n n kareköklerini bulunuz.
Çözüm
z = 3 – 4i karma k say s n kutupsal biçimde ifade edemedi imizden bu soruyu farkl bir yön-temle çözece iz.
z karma k say s n n kareköklerinden biri
w0 = a + bi olsun.
Bu durumda,
w02 = z (a + bi)2 = 3 – 4i olur.
a2 + 2abi + b2i2 = 3 – 4i
(a2 – b2) + 2abi = 3 – 4i dir.
ki karma k say n n e itli inden
a2 – b2 = 3 ve 2ab = – 4 olur.
2ab = – 4 b = –a2 olaca ndan bu de eri
a2 – b2 = 3 e itli inde yerine yazarsak
a2 – b2 = 3 a2 –a2 3–
2=c m
a2 –a4 32
=
a4 – 3a2 – 4 = 0
(a2 – 4)(a2 + 1) = 0
a2 – 4 = 0
a = 2 a = –2 olur.
a1 = 2 b1 = a2
22 1– – –= =
a2 = –2 b2 = a2
22 1– –
–= = olup
arad m z karekökler
w0 = 2 – i ve w1 = –2 + i bulunur.
ÖRNEK 115
z = 8cis30° karma k say s n n küpköklerini bulunuz.
Çözüm
z = rcis karma k say s n n küpkökleri
w0 = r cis3
3 i
w1 = r cis3
120°3 i +c mw2 = r cis
3240°3 i +c m oldu undan
z = 8cis30° nin küpkökleri
w0 = c s cisi83
30 2 10° °3 =
w1 = 2cis(10° + 120°) = 2cis130°
w2 = 2cis(10° + 240°) = 2cis250° bulunur.
ÖRNEK 116
1 – 2i karma k say s n n kareköklerinden biri x + iy ise (x + iy)4 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
z = 1 – 2i karma k say s n n kareköklerinden biri
w0 = x + iy ise
w02 = z olur.
w02 = z (x + iy)2 = 1 – 2i
(x + iy)4 = (1 – 2i)2
(x + iy)4 = 1 – 4i + 4i2
(x + iy)4 = –3 – 4i bulunur.
ÖRNEK 117
z13 + z = 0 e itli ini sa layan s f rdan farkl z karma-k say lar ndan birini bulunuz.
Çözüm
z13 + z = 0 z13 = –z z12 = –1 olur.
z12 = –1 z12 = cis180°
z cis12
180°1212 =
z = cis15° bulunur.
49
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a daki i lemleri sonuçland r n z.
a. (v3 – i)10
b. (2 – 2v3i)20
c. (1 + i)15
2. argz1 = 3r , argz2 =
43r ve argz3 =
6r
olmak üzere a a dakilerin her birini bulunuz.
a. .arg z z13
22_ i
b. arg(2z1.z2)
c. 3argz1 + 2argz2
d. .argz
z z3
1 2c m
e. .arg
z
z z
33
12
2f p
3. z = 2(cos20° + isin20°) karma k say s orijin etraf nda pozitif yönde 40° döndürülürse hangi karma k say elde edilir?
4. z = 1 + v3i karma k say s orijin etraf nda pozitif yönde 60° döndürülürse hangi karma k say elde edilir?
5. 2 – 3i karma k say s orijin etraf nda pozitif yönde 90° döndürülürse hangi karma k say elde edilir?
6. z = –16i karma k say s n n 4. dereceden kökle-rini bulunuz.
ALIŞTIRMALAR – 5
1. a. 29(1 + v3 i) b. 239(–1 – v3 i) c. 27(1 – i) 2. a. 2r b.
1213r c.
25r d.
1211r e.
1211r
3. 1 + v3i 4. –1 + v3i 5. 3 + 2i
Karma k Say lar
50
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. A a daki karma k say lar n kareköklerini bulu-nuz.
a. 2cis42°
b. 4cis76°
c. 4 + 4v3i
d. 3 – 3i
e. 3 + 4i
f. –4i
g. 9i
8. A a daki karma k say lar n küpköklerini bulu-nuz.
a. 27cis36°
b. 4 – 4v3i
c. –16i
d. –9
e. 8
f. –8i
g. 27
ES
EN
YAY
INLA
RI
51
YAZILIYA HAZIRLIK – 1
1. i.z + 2–z = 1 – 4i e itli ini sa layan z karma k
say s n bulunuz.
2. zii
32
–= + ise Im(
–z) ifadesinin e itini bulunuz.
3. i2 + i3 + i4 + ..... + i54 + i55 ifadesinin e itini bulunuz.
4. a, b R olmak üzere,
2x2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri
i1
1+
ise a + b kaçt r?
5. zb ai i
a bi1– –
–= + karma k say s n n ba lang ç nok-
tas na olan uzakl n bulunuz.
6. zi
i i1 2
2 1 3–
=+ +^ ^h h
ise z.–z ifadesinin e itini
bulunuz.
Karma k Say lar
52
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 2 + 3i 2. –21 3. –1 – i 4. –1 5. 1
6. 4 7.
� � ���
� 8. 219(–1 – v3i) 9. 70° 10. 32i , –32i
7. 1 < |z – 2| 2 e itsizli ine karma k düzlemde kar l k gelen noktalar kümesini gösteriniz.
8. (1 – v3 i)20 ifadesinin e itini bulunuz.
9. sin cos
cos sinzii
20 2040 40
– ° – °° – °= olmak üzere,
z karma k say s n n esas argümenti kaç dere-cedir?
10. z = (1 + i)20 karma k say s n n kareköklerini bulunuz.
ES
EN
YAY
INLA
RI
53
YAZILIYA HAZIRLIK – 2
1. z + |z| = 8 + 4i e itli ini sa layan z karma k say s n bulunuz.
2. ( ) ( )
zi i
i1 1
2–
=+
+ ise Re(z–1) ifadesinin e itini
bulunuz.
3. (a – ai)20 = –230 e itli ini sa layan a de erini bulunuz.
4. |2cis50° – 3cis110°| ifadesinin e itini bulunuz.
5. |z – 2 + i| 1 olmak üzere, |z – 6 – 2i| ifadesinin en küçük de eri ile en büyük de erinin toplam n bulunuz.
6. z – 4 + 2i = 0 ko ulunu sa layan z karma k say s n n argümenti ise tan2 kaçt r?
Karma k Say lar
54
7. ekilde z1 ve z2 kar-
�
�
��
��
�
�
ma k say lar gösteril-mi tir.
zz
2
1 ifadesinin e itini
bulunuz.
8. z = –2 + 2v3 i karma k say s n n dördüncü de-receden köklerini bulunuz.
9. z = 27i karma k say s n n küpkökleri w0, w1 ve w2 dir.
Kö eleri w0, w1 ve w2 olan üçgenin alan n bu-lunuz.
10. z = 3 – 4i karma k say s n n kareköklerini bulu-nuz.
1. 3 + 4i 2. 54 3. 2 4. v7 5. 10
6. –34 7. 2i 8. ,i i
26
22
22
26–+ + 9.
427 3 10. 2 – i, i – 2
,i i26
22
22
26– – –
ES
EN
YAY
INLA
RI
ES
EN
YAY
INLA
RI
55
TEST – 1 Sanal Birim ve Karma k Say larda lemler
1. a + 3 – 4bi = 2 + 8i ise a + b kaçt r?
A) –4 B) –3 C) –2 D) 0 E) 2
2. ii
21 2
–+ karma k say s n n reel k s m a a da ki-
ler den han gi si dir?
A) –2 B) –1 C) 51– D) 0 E)
51
3. 1 42 9
– –– – i leminin sonucu kaçt r?
A) i45
4+ B) i
45
4– C) i
5
D) i58
5+ E)
58
4. i
i i1
–14 16
+ i leminin sonucu kaçt r?
A) 1 – i B) i – 1 C) i D) 2i E) 2
5. (1 – i) (1 – i5) (1 + i9)2 (i12 + i7) ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) 2 – 6i B) 4 – 4i C) –2 + 2i D) –4 E) –2
6. zi i2
12
1–
= ++
ise –z a a dakilerden hangisine
e ittir?
A) 54– B) i
54 2– C) i
54 2+
D) i54 E)
54
7. (i–2 + i–3 + i–5)3 ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) –2 B) –1 C) –i D) i E) 2i
8. ( )( )
ii
11–
41
40
+ ifadesinin e i ti a a da ki ler den han gi si-
dir?
A) i2
1– B) i2
1 + C) i2
1– +
D) 21– E)
21
ES
EN
YAY
INLA
RI
56
Karma k Say lar
1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.E 7.B 8.A 9.E 10.C 11.C 12.A 13.E 14.A 15.A 16.C
9. x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi a a dakilerden hangisidir?
A) {1–i, i } B) {1+i, i } C) {1–i} D) {1+i} E) {1–i, 1+i}
10. a ve b gerçek say lar olmak üzere x2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri 2 – i ise di er kökü nedir?
A) –2 + i B) –2 – i C) 2 + i D) –2i E) 2i
11. (z – i) (1 – i) = 1 + i ise –z nedir?
A) 1 – i B) 1 + i C) –2i D) 2i E) 0
12. z2 – 4z + 6 = 0 denkleminin köklerinden biri a a dakilerden hangisidir?
A) 2 + v2i B) 1 + v2i C) v2 – i D) 1 + 2i E) 2 – 3i
13. i5 + i6 + i7 + ..... + i83 ifadesinin e i ti a a da ki ler den han gi si dir?
A) 1 B) i C) 0 D) –i E) –1
14. zi i
i i
2 5 2
3 2 3 4–=
+
+
^^ ^
hh h
ise |z| kaçt r?
A) 25 B) 5 C)
215 D) 10 E)
223
15. z = 1 – 4– ise (–z)–1 a a dakilerden han gi si-
dir?
A) 51 (1 – 2i) B)
51 (1 + 2i) C)
51 (1 – i)
D) 51 (2 – i) E)
51 (1 + i)
16. ii
ii1
11
–
++
ifadesinin e iti a a dakilerden
hangisidir?
A) –3i B) –2i C) –i D) i E) 2i
ES
EN
YAY
INLA
RI
57
Sanal Birim ve Karma k Say larda lemler
1. 4 – 3i – a + bi = 0 ise a + b kaçt r?
A) 7 B) 5 C) 4 D) –1 E) –7
2. 4 94 9
– – –– –+ ifadesinin e iti a a dakilerden
hangisidir?
A) 5 B) 4 C) –3 D) –4 E) –5
3. ( )i i
i i2 1 –5 9
5 3
+ ifadesinin e i ti a a da ki ler den
han gi si dir?
A) i B) 2i C) 1 + i D) 1 – i E) i – 1
4. ii
11– 7
+^ h
ifadesi nin e i ti a a da ki ler den han gi si-
dir?
A) 8i B) 8 C) 4 D) 2 E) 4i
5. z = 2 – i ise zz1+ ifa de si nin e i ti a a da ki ler-
den han gi si dir?
A) 512 B) i
56– C) i
512
56–
D) i512
56+ E) i
512
6. z = (1 – i)9 ise z + –z a a da ki ler den han gi si ne
e ittir?
A) –32 B) –16i C) 16i D) 16 E) 32
7. z.(3 + i) – 2.–z = 4i – 8 ise |z| kaçt r?
A) 2c10 B) 4v5 C) 3v5
D) c10 E) v5
8. x2 + mx + n = 0 denkleminin köklerinden biri – i + 1 ise m + n kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
TEST – 2
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
58
1.A 2.E 3.C 4.B 5.C 6.E 7.A 8.C 9.B 10.C 11.E 12.E 13.E 14.A 15.C 16.B
9. z = 1 – 2i ise Re(z–1) + Im(z–1) ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
) ) ) ) )A B C D E54
53
52
52
53– –
10. f(x) = 2x2 – 4x + 3 ise f(1 – 2i) a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 3 – 8i B) 4 + i C) –7 D) 5 E) 7
11. ( ) ( )( ) ( )
zb a i i
i a b i2
1 2– – –
– –=
+ ise |z| ifa de si nin e i ti ne-
dir?
A) v5 B) 2 C) v3 D) v2 E) 1
12. zii
3 23=+
+ ise z.–z kaçt r?
A) 132 B)
132 C)
131
D) 132 E)
134
13. (a + bi)20 ifadesinin aç l m yap ld nda elde edilen terimlerin kat say lar toplam kaçt r?
A) 220 B) 210 C) –210i D) –28 E) –210
14. z(2 + i) + i.–z = 4 + 2i
olmak üzere, |z| ifa de si nin e i ti ne dir?
A) v5 B) v6 C) 3 D) c10 E) 4
15. z1 = 5 + i ve z2 = 2 – 3i noktalar aras ndaki uzakl k kaç br dir?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
16. za b ib a i–=
+ ise Re(z) + Im(z) ifa de si nin e i ti
a a da ki ler den han gi si dir?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
ES
EN
YAY
INLA
RI
59
Sanal Birim ve Karma k Say larda lemler
1. z = a + bi olmak üzere,
(1 + z + –z)2 + ( i + z –
–z)2 ifade si nin e i ti a a -
da ki ler den han gi si dir?
A) 2(a – b)(a + b + 1) B) 2(a – b)(a + b) C) 4(a – b)(a + b + 1) D) 2(a + b) E) 2(a – b)
2. (1 – 2i)z = i – z e itli ini sa layan z karma k say s a a dakilerden hangisidir?
A) i41
41– + B) i
41
41– C) i
41
41– –
D) i21
21– E) i
21
21– +
3. ii
11– 88
+c m ifa de si nin e i ti a a da ki ler den han gi si-
dir?
A) 1 – i B) –1 C) – i D) 1 E) i
4. 3z – z.–z = 0 e itli ini sa layan z karma k sa y s
a a da ki ler den han gi si ola bi lir?
A) –3i B) 2i C) 3 – i D) 1 – 2i E) 3
5. z i2
1= + karma k say s n n çarpma i lemine
göre tersi a a dakilerden hangisidir?
A) 1 – i B) i2
1– C) 1 + i
D) i2
1 + E) –1 – i
6. zi i
i1
112––
=+
olmak üzere,
Im(–z) a a dakilerden hangisidir?
) ) ) ) )A B C D E23
21 1
21
23– – –
7. Köklerinden biri cos sini26
116
11r r+c m olan
ikinci dereceden denklem a a dakilerden hangi-sidir?
A) x2 – 2x + 4 = 0 B) x2 + 2x + 4 = 0
C) x2 – 2v3x – 4 = 0 D) x2 + 2v3x + 4 = 0
E) x2 – 2v3x + 4 = 0
8. Grafikte
x
y
O
z1
z2
|Oz1| = |Oz2| + = 90° z1 = –2 + 3i ise z2 a a dakilerden hangisidir?
A) –2 – 3i B) –3 – 2i C) –1 – 2i
D) –2 – i E) –3 – i
TEST – 3
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
60
1.C 2.A 3.D 4.E 5.A 6.E 7.E 8.B 9.B 10.E 11.B 12.A 13.E 14.E 15.E 16.C
9. ( ) ( )z
ii x i
2 21
–=
+ + ve |z| = 1 ise x in po zi tif de e ri
kaç t r?
A) 2 B) v3 C) v2 D) 23 E) 1
10. z1 = 3 + i ve z2 = 4i – 1 olmak üzere, z1 ile z2 aras ndaki uzakl k a a dakilerden
hangisidir?
A) v2 B) 2v2 C) 3 D) 4 E) 5
11. zyi xi
y i x1 –
–=
++ karma k say s n n ba lang ç
noktas na olan uzakl kaç birimdir?
A) 21 B) 1 C) v2 D) 2 E) v3
12. f(z) = |z|.z.–z – z2 ise f(1 + v3i) ifadesinin e iti
a a dakilerden hangisidir?
A) 10 – 2v3i B) 6 – 2v3i C) 4 – 2v3i
D) 10 + 2v3i E) 6 + 2v3i
13. ( ) . ( )z
i
i i
2 2
1 3 1–4
2=
+
+
^ h ise z.–z ifadesinin e iti
a a dakilerden hangisidir?
A) 2 B) 1 C) 21 D)
41 E)
81
14. z = 2 – 2v3i ise |z–1| ifa de si nin e i ti a a da ki-ler den han gi si dir?
A) 4 B) 2 C) 1 D) 21 E) 1
4
15. zi2
5–
= karma k say s için
|–z| a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 5 B) 3 C) c10 D) 2 E) v5
16. 3z + 4zi = i e it li i ni sa la yan z kar ma k sa y s -n n ba lang ç noktas na olan uzakl kaç br dir?
) ) ) ) )A B C D E31
41
51
61
71
ES
EN
YAY
INLA
RI
61
Grafik Çizimi
1. z = x + iy olmak üzere, Re(z) + 2Im(z) = 4 e it li i ne kar l k ge len nok-
ta lar kü me si a a da ki ler den han gi si ile ifa de edi lir?
x
yA)
x
yB)
x
yC)
x
yD)
x
yE)
–4
2
–2
44
2
4
2
0 0 0
0
0
–24
2. z = x + yi olmak üzere, |z + 2| = |z – 3i| e itli ine düzlemde kar l k ge len
nok ta lar kü me si a a dakilerin hangisi ile ifade edilir?
A) 4x – 6y + 5 = 0 B) 2x – 3y – 5 = 0 C) 4x – 6y – 5 = 0 D) 4x + 6y – 5 = 0 E) 2x + 3y – 5 = 0
3.
x
y
0 1 2 3 4
Grafikteki taral böl ge a a da ki ler den han gi si ile ifa de edilir?
A) 2 |z – 2| 4 B) 1 |z – 2| 2 C) 1 |z – 1| 2 D) 1 |z + 2| 2 E) 2 |z + 2| 4
4. |z – i| = 1 e it li i ne kar l k ge len nok ta lar kü me si a a dakilerden hangisi ile ifade edilir?
x
yA)
0 x
yB)
0
x
yC)
0 x
yD)
0
x
yE)
0
1 2
–1
2
1 1
1
–1–1
–2 –1
–2
5. |z + i| |z – 2| e it siz li i ni sa la yan z kar ma k say lar n n gö rün tü sü a a da ki ler den han gi si-dir?
x
yA)
0
B)
C) D)
E)
34
32
x
y
0
34
x
y
0 x
y
0
32
x
y
0
32
34
32
34
34
32
TEST – 4
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
62
1.D 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10.C 11.C
6. |z + 2 – 3i| = 2 ise |z – 1 + i| ifa de si nin en kü çük de eri kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. z = x + iy olmak üzere, |z – 2 + i| = 2 ile |z + 1 + 5i| = 1 aras ndaki en
k sa uzakl k kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8. 1 < |z| < 2 ko u lu nu ger çek le yen z kar ma k sa-y la r n n görüntüsü a a dakilerden hangisidir?
x
yA)
x
yB)
x
yC)
x
yD)
x
yE)
2
–4 –2
2
1
1 2–1–2
–2
–1
2
1
1 2–1–2
–2
–11 2 4
4
9. z = 2 + i karma k sa y s n n kar ma k düz lem de po zi tif yön de 90° dön dü rül me si ile el de edi len kar ma k sa y w ise |z – w| kaç t r?
A) 2 B) 2v2 C) c10 D) 4 E) 2c10
10. |z – 1| 1 |z + i| 1 e itsizlik sistemine kar l k gelen z karma k say lar n n düzlemdeki görüntüsü
a a dakilerden hangisidir?
x
yA)
x
yB)
x
yC)
D) E)
0 0 0
x
y
0 x
y
0
1
1
1
11
–1
1
11
–1
11. A = {z : Re(z) Im(z)} ve B = {z : 1 |z| 2} olmak üzere, A B kü me si nin gra fi i a a da ki ler den han gi-
si dir?
x
yA) B)
C) D)
E)
y
y
x
y
x
y
–1
–2
1
2
0
00
00–1–2 1 2
–1–2 1 2
–1–2
1
2
–1
–2
1 2
1 2
x
x
y=x y=x
ES
EN
YAY
INLA
RI
63
Karma k Say lar n Kutupsal Biçimi
1. z = 2v3 – 2i karma k say s n n kutupsal biçimi a a dakilerden hangisidir?
A) 4(cos150° + isin150°) B) 4(cos210° + isin210°) C) 4(cos330° + isin330°) D) 2(cos150° + isin150°) E) 2(cos330° + isin330°)
2. z = –1 + i ise –z nin kutupsal biçimdeki ifadesi a a dakilerden hangisidir?
A) v2cis4
3r B) v2cis4
5r
C) 2cis4
3r D) 2cis4
5r
E) v2cis4
7r
3. z = 1 – v3i ise z12
nin kutupsal biçimde ifadesi
a a dakilerden hangisidir?
A) 21 cis120° B) 2cis120° C)
41 cis240°
D) 4cis120° E) 41 cis120°
4. z1, z2 ve z3 karma k say lar için
argz1 = 8r
argz2 = 12r
argz3 = 18r ise
arg .
z
z z
36
12
23f p a a dakilerden hangisidir?
) ) ) ) )A B C D E6 9 12 18 36r r r r r
5. z = 4 – 3i karma k say s n n esas argümenti
ise sin2 kaçt r?
A) –1 B) 2524– C)
2512– D)
2512 E)
2524
6. cos sin
coszi40 40
60° °
°=+
ise [Re(z)]2 + [Im(z)]2
ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) 0 B) 41 C)
21 D) 1 E) 2
7. z1 ve z2 kar ma k sa-
x
y
0
z1
z2
10°
10°
2
3
y la r n n gö rün tü le ri gra fik te ve ril mi tir.
Bu na gö re, z1.z2 a a- da ki ler den han gi si-
dir?
A) –6i B) –6 C) –3i D) 6 E) 6i
8. z1 = cos50° + isin50° ve z2 = 2(cos20° + isin20°) ise
z12.z2
4 ifa de si nin e i ti a a da ki ler den han gi si dir?
A) –16 B) –8 C) –16i D) –8i E) 16
TEST – 5
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
64
1.C 2.B 3.E 4.A 5.B 6.B 7.A 8.A 9.E 10.A 11.D 12.E 13.E 14.B 15.E 16.E
9. z = 2(cos15° + isin15°) ise Im(z6) a a da ki ler-den han gi si ne e it tir?
A) –64 B) –16 C) 16 D) 48 E) 64
10. ,zi
i1 3
0 4=+
karma k say s n n esas ar gü men ti
a a da ki ler den han gi si dir?
A) 6r B)
5r C)
4r D)
3r E)
2r
11. z1 , z2 ve z3 kar ma k sa y la r n n esas ar gü-ment le ri s ra s y la,
, ve3
212 5
3r r r ise .
z
z z
35
13
24
karma k say s n n
esas ar gü men ti a a da ki ler den han gi sidir?
) ) ) ) )A B C D E3
84
73
53
44
3r r r r r
12. z = v3 – i karma k say s orijin etraf nda pozitif
yönde 3
2r radyan ka dar dön dü rü lür se a a da ki
kar ma k sa y lar dan han gi si el de edi lir?
A) 1 – v3i B) 1 + v3i C) v3 + i D) –1 – v3i E) 2i
13. z i63 –= kar ma k sa y s n n esas ar gü men ti
a a da ki ler den han gi si dir?
) ) ) ) )A B C D E3
23
46
56
76
11r r r r r
14. z1 = 2(cos310° + isin310°) ve
z2 = 3(cos220° + isin220°) ise
|z1 – z2| ifadesinin e iti nedir?
A) 3 B) c13 C) c15 D) 4 E) c17
15. 0° < – < 90° olmak üze re z1 = co s + i si n
ve z2 = 2(cos + isin ) kar ma k sa y la r ara-
s n da ki uzak l k v3 ise z1.z2–1 ifa de si nin e i ti
a a da ki ler den han gi si dir?
A) 83 (1 + v3i) B)
83 (v3 + i) C)
41 (v3 + i)
D) 18
(1 + v3i) E) 41 (1 + v3i)
16. arg(z + 1) = , arg(z + 3i) = 4
3r ise z a a -
da ki ler den han gi si dir?
A) –4 B) –2 C) –2i D) –3i E) –3
ES
EN
YAY
INLA
RI
65
Karma k Say lar n Kutupsal Biçimi
1. . cos sin cos sini i212 12 24 24
2r r r r+ +b bl l
i leminin e iti nedir?
A) –1 – v3i B) 1 + v3i C) v3 + i D) v3 – i E) 1 – v3i
2. cos sinz i25 5r r= +b l karma k say s için
z–5 a a dakilerden hangisine e ittir?
) ) ) ) )A B C D E321
161
81
161
321– – –
3.
Re (z)
Im (z)
0
z1
z2
60°
30°
2
4
Grafikte, z1 ve z2 karma k say lar n n gö rün tü-le ri ve ril mi tir. Bu na gö re z1.z2 a a da ki ler den han gi si ne e it tir?
A) 2(–1 + v3i) B) 4(–1 + v3i)
C) 2(1 – v3i) D) 4(1 – v3i)
E) 8(–1 + v3i)
4. z karma k say s için argz3 + argz3
4r= ise
arg(z) a a dakilerden hangisine e ittir?
) ) ) ) )A B C D E8 6 4 3 2r r r r r
5. Esas argümenti 3
2r olan ve z = 4(–z)–1
ko ulunu gerçekleyen z kar ma k sa y s a a -da ki ler den han gi si dir?
A) v3 – i B) v3 + i C) 1 + v3i D) –1 + v3i E) 1 – v3i
6. arg[z.(1 – v3i) ] = 9
16r ise arg(z) a a da ki ler-
den han gi si dir?
) ) ) ) )A B C D E9 8 6 4 3r r r r r
7. z1 ve z2 kar ma k
Re (z)
Im (z)
0
z1
z2
15°15°
sa y la r n n gö rün tü-le ri gra fik te ki gi bi dir. Bu na gö re,
argz1 + argz2 a a -da ki ler den han gi si ne e it tir?
A) 315° B) 330° C) 345° D) 370° E) 390°
8. z = v3 – i ise z1 say s n n esas ar gü men ti a a-
da ki ler den han gi si dir?
) ) ) ) )A B C D E3
23
42
36
56
11r r r r r
TEST – 6
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
66
1.C 2.E 3.B 4.A 5.D 6.A 7.E 8.E 9.B 10.A 11.E 12.B 13.C 14.C 15.B 16.B
9. z = cos10° – i sin10° ise arg z23– 3+d n ifa de-
si nin e i ti a a da ki ler den han gi si dir?
) ) ) ) )A B C D E6
112
33
46
72
r r r r r
10. z = 4(cos75° + isin75°) ise |z2| a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 16 B) 12 C) 8 D) 6 E) 4
11. zi
i1 3
1–
–= karma k say s için z6 a a da ki-
ler den han gi si ne e it tir?
) ) ) ) )A B C i D i E i81
21
2 4 8
12. i
i1–
karma k say s n n esas argümenti kaç
radyand r?
) ) ) ) )A B C D E4 4
34
52
3r r r r r
13.
x
y
0z1
z22
30°
Grafikte z1 ve z2 karma k say lar belirtilmi tir.
Buna göre zz
2
1 a a dakilerden hangisine e ittir?
A) –v3i B) – i C) v3i D) v3 E) 2v3
14. z karma k say s n n kar ma k düz lem de ki gö-rün tü sü II. böl ge de ol du u na gö re i.z kar ma k sa y s n n gö rün tü sü kaç nc bölgededir?
A) I. bölge B) II. bölge C) III. bölge D) IV. bölge E) Reel eksen
15. z = sin50° – i cos50° ve w = –sin80° – i cos80°
karma k say lar için argwzb l kaç derecedir?
A) 120 B) 130 C) 140 D) 150 E) 160
16. (1 – cis60°)3 ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2
ES
EN
YAY
INLA
RI
67
Karma k Say lar n Kökleri
1. z = – i say s n n karekök le rin den bi ri a a da ki-ler den han gi si dir?
A) i22
22+ B) v2 + v2i
C) i22
22– D) i
22
22– –
E) –v2 – v2i
2. v2 + c–2 say s n n kare kök le rin den bi ri a a -da ki ler den han gi si dir?
A) cos sini28
78
7r r+c m B) cos sini2
815
815r r+c m
C) cos sini28 8r r+b l
D) cos sini28 8r r+b l
E) cos sini28
78
7r r+c m
3. i2 2 1– ifadesi nin e i ti a a da ki ler den han-gi si ola bi lir?
A) v2 – i B) –1 + v2i C) v2 + i D) 1 + v2i E) 1 – v2i
4. z = i2 karma k say s n n kareköklerinden biri
a a dakilerden hangisidir?
A) v2cis4
3r B) 2cis4r C) v2cis
23r
D) 2cis
43r E) v2cis
4r
5. i1 3+ ifadesinin e iti a a da ki ler den han gi si ola bi lir?
A) i26
22– + B) i
22
26+
C) i22
26 – D) i
26
22–
E) i26
22+
6. z = –27 nin küp köklerinden biri a a dakilerden hangisidir?
A) i23
23 3– B) i
21
23–
C) i23
23– D) i
23
23 3– +
E) i23
23 3– –
7. 12i – 5 karma k say s n n kare kök le rin den bi ri a a da ki ler den han gi si dir?
A) 2 – 3i B) –2 + 3i C) 3 – 2i D) 2 + 3i E) 3 + 2i
8. i3 4+ karma k say s n n e iti a a daki-lerden hangisi olabilir?
A) 1 – 2i B) 1 + 2i C) –2 – i D) 2 + 2i E) 2 – i
TEST – 7
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
68
1.C 2.C 3.D 4.A 5.E 6.A 7.D 8.C 9.C 10.C 11.D 12.E 13.E 14.A 15.D 16.C
9. z1 = cis200° ve z2 = cis20° ise
zz
2
1 ifadesi nin e i ti a a da ki ler den han gi si
ola bi lir?
A) –1 B) 1 C) – i D) 1 – i E) v2 – v2i
10. (z + iz)3 = 4z e it li i ni sa la yan z kar ma k sa-y s a a dakilerden hangisi olabilir?
A) cis24
5r B) cis24
54 r
C) cis2
854 r D) cis2
85r
E) cis24
5r
11. z karma k say s n n 6. de re ce den kök le rin den bi ri cis70° ise a a da ki ler den han gi si 6. de re-ce den kök le rin den bi ri de il dir?
A) cis10° B) cis130° C) cis190° D) cis220° E) cis310°
12. Re el kat sa y l 5. de re ce den bir denk le min çö züm kü me si {2, 1 – i , 4 + 2i , z, u} ise z + u a a da-ki ler den han gi si dir?
A) 5 + 2i B) 5 – 2i C) 5 + 3i D) 5 + i E) 5 – i
13. z1 ve z2 kar ma k sa-
x
y
0z1
z2
y la r na kar l k ge len nok ta lar yan da ki gi bi-dir. Bu na göre, .z z1
32
kar ma k say s n n yeri için a a da ki ler den han gi si do ru dur?
A) Reel eksen üzerindedir. B) I. bölgededir. C) III. bölgededir. D) Sanal eksen üzerindedir. E) IV. bölgededir.
14. zii
11
–
5= +c m karma k sa y s n n ka re kök le rin den
biri a a dakilerden hangisidir?
A) i22
22+ B) i
22
22– C) i
D) – i E) i22
22– +
15. Bir karma k say n n 10. dere ce den kök le rin den bi ri 2(cos12° + isin12°) ise a a da ki ler den han-gi si 10. dereceden köklerinden biridir?
A) 2cis36° B) –1 – i C) 2cis144° D) –1 + 3 i E) 2cis72°
16. z3 – 27i = 0 denkleminin kök le rin den bi ri a a -da ki ler den han gi si dir?
A) i23
21+ B) i
23 3
23– C) –3i
D) i23
21– E) 3i
ES
EN
YAY
INLA
RI
69
1. (x + iy)2 = 3 – 4i ise x + y a a da ki ler den han-gi si ne e it ola bi lir?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 2 E) 3
2. :zii
ii
1 51 5
2 35 12
– ––= + ise z.
–z ifadesinin e iti
a a dakilerden hangisidir?
A) 13 B) 12 C) 121 D)
131 E)
261
3. |z – 2i| – 2 = 2i – z e it li i ni sa la yan z kar ma k say s a a dakilerden hangisidir?
A) 1 + 2i B) 1 – 2i C) 2 + i D) 2 – i E) 2 + 2i
4. ( ) ( )i
i1
1 3 3 1–
– 9+ +d n ifadesinin e i ti a a da-
ki ler den han gi si dir?
A) 29i B) 29 C) –25
D) –29i E) –29
5. z2 – 3z + 4 = 0 denkleminin kökleri m ve n dir. Buna göre, (m + n – 2i)(m.n + 3i) ifa de si nin e i ti
ne dir?
A) 18 + i B) 12 + i C) 18 – i D) 12 – i E) 12 + 2i
6.
x
y
0
z1
z2
2
4
30°
30°
Grafikteki verilenle re gö re zz
2
1 a a da ki ler den
han gi si ne e it tir?
A) i43
41– + B) i
43
41– C) i
23
21–
D) i23
21– + E) i
43
41+
7. z = 3 – 4i say s n n esas argümenti ise cos2 kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E52
259
258
257
51– – – – –
8. |z – 4 + 2i| = 1 ve |z – i| = 2 ko ullar n sa layan karma k say lar aras ndaki en k sa uzakl k kaç birimdir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
TEST – 8
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
70
1.B 2.D 3.A 4.E 5.A 6.A 7.D 8.B 9.B 10.C 11.A 12.A 13.C 14.B 15.D 16.C
9. zii
23
–= + karma k say s n n esas argümenti
kaç derecedir?
A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90
10. |z – 3i| = v5 ve arg(z) = 4r ko ul la r n sa la-
yan z kar ma k sa y s a a da ki ler den han gi si
olabilir?
A) 1 – i B) 2 – i C) 2 + 2i
D) 3 + 3i E) 4 + 4i
11. |z – 2 – i| < 2 e it siz li i ne kar l k ge len nok ta lar kü me si a a dakilerden hangisidir?
x
yA)
x
yB)
x
yC)
D) E)
x
y
x
y
2
1
2
1 2
–1
–2
11
1
12. Ar gü men ti, z = 1 + 2i kar ma k sa y s n n ar-gü men ti nin iki ka t olan kar ma k sa y lar dan bi ri a a da ki ler den han gi si dir?
A) –3 + 4i B) –3 + 2i C) –2 + 3i
D) –3 – 4i E) –3 – 2i
13. |z – 3 + 4i| = 1 ko u lu nu sa la yan z kar ma k sa y la r n dan x ek se ni ne en ya k n ola n a a da-ki ler den han gi si dir?
A) 2 – 2i B) 2 – 3i C) 3 – 3i D) 3 + 3i E) 3 – 2i
14. °cos cossin cos
ii
40 13080 100
° – °° – ifadesinin e i ti a a da ki ler-
den han gi si dir?
A) i23
2– + B) i
23
2– C) i
23
2+
D) i21
23– E) i
15.
x
y
0
z1
z2–a
b
b a
Gra fik te, z1 ve z2 kar ma k sa y la r n n gö rün-
tü le ri ve ril mi tir. Bu na gö re zz
2
1 ifa de si nin e i ti ne dir?
A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i
16. |z + 2i| = |z + 1| ko u lu nu sa la yan z kar ma k say lar n n geometrik yer denk le mi a a da ki ler-den han gi si dir?
A) 4x – 2y + 3 = 0 B) 4y – 2x – 3 = 0 C) 4y – 2x + 3 = 0 D) 4x – 2y – 3 = 0 E) 4x + 2y + 3 = 0
ES
EN
YAY
INLA
RI
71
1. P(x) = x7 + x4 + x – 1 olmak üzere P(1 – i) a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 4 + 5i B) 3 + 6i C) 3 + 7i D) 4 + 6i E) 4 + 7i
2. P(x, y) = x5.y6 + 1 olmak üzere P(1 + i, 1 – i) a a da ki ler den han gi si ne e it tir?
A) 33 – 32i B) 32 – 32i C) 64 – 63i D) 63 – 63i E) 65 – 64i
3. ii
11– 2008
+c m i leminin sonucu a a dakilerden
hangisine e ittir?
A) –i B) –1 C) i D) 1 E) 0
4. z i
i3 2 3= + ise Im(–z) kaçt r?
A) 136– B)
139– C)
136 D)
139 E)
1310
5. i–z + z = 2 –
–z e itli ini sa layan z karma k
say s a a dakilerden hangisidir?
A) –2i B) – i C) 1 – 2i D) 1 + 2i E) 2i
6. | i3.z| = 2 ise |z| kaçt r?
A) 4 B) 2 C) 1 D) i E) 2i
7. |z + i – 2| > 3 e it siz li i ni sa la yan kar ma k sa-y la r n n ge omet rik yer denk le mi a a da ki ler den han gi si dir?
A) (x + 2)2 + (y – 1)2 > 3
B) (x – 2)2 + (y – 1)2 > 3
C) (x + 2)2 + (y – 1)2 > 9
D) (x – 2)2 + (y + 1)2 > 9
E) (x – 2)2 + (y – 1)2 > 9
8. z1 ve z2 karma k say lar z2 = 4i denk le mi nin
kök le ri dir. Karma k düzlemde z1 ve z2 nok ta la r ara s n da ki
uzak l k kaç bi rim dir?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
9. z = 1 + v3i karma k say s n n karekökleri w0 ve w1 ise w0.w1 a a da ki ler den han gi si ne e it-tir?
A) 1 – v3i B) 4 + 2v3i C) –1 + v3i
D) –1 – v3i E) –4 – 2v3i
TEST – 9
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
72
1.E 2.A 3.D 4.A 5.E 6.B 7.D 8.C 9.D 10.D 11.A 12.A 13.C 14.D 15.E 16.A
10. z = sin60° – i cos30° ise z karma k say s n n esas argümenti kaç derecedir?
A) 45 B) 120 C) 300 D) 315 E) 330
11. x
x xi1
2–2
2
++ ifa de si nin sa de le mi bi çi mi a a -
da ki ler den han gi si dir?
A) x i
x i2–
– B) x i
x i2–+
C) x ix i2
–+
D) x ix i2
++ E)
x ix 2–
+
12. A = {z: |z – 2| 1} ve B = {z: Re(z) 2} olmak üzere A B kü me si nin gra fi i a a da ki ler den han gi-
si dir?
x
yA)
0
B)
C) D)
E)
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
–1
1
2 3 2
3
–1 1
–2–3
–1 1
–2
–3
–11
–1
1
1
2
13. zz i
21
–+ e itsizli ini sa la yan z kar ma k
sa y la r n n ge omet rik yer denk le mi a a da ki ler-den han gi si dir?
A) 4y + 2x – 3 0 B) 2y – 4x + 3 0 C) 2y + 4x – 3 0 D) 4y + 2x + 3 0 E) 2y – 4x – 3 0
14. z2 + 2z + 2 ifadesinin çarpan la r n dan bi ri a a -da ki ler den han gi si dir?
A) z + 2 – i B) z – 2 + i C) z – 2 – i D) z + 1 – i E) z – 1 – i
15. z = 2cis20° ve w = 4cis80° ol mak üze re z ile w kar ma k sa y la r ara s n da ki uzak l k kaç bi rim dir?
A) 3v2 B) 4 C) c15 D) c13 E) 2v3
16. arg(z + i) = 4
3r ve arg(z + 2) = 4r
e itliklerini sa layan z kar ma k sa y s a a da-ki ler den han gi si dir?
A) i23
21– + B) i
23
21+ C) i
21
23+
D) i21
23– + E) i
23
23– –
73
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 1989 – ÖYS (1 + i)5 + (1 – i)5 toplam kaçt r? (i2 = –1)
A) –8 B) –5 C) 0 D) 5 E) 8
2. 1989 – ÖYS
z i2
3 323– –= karma k say s n n ku tup sal bi-
çi mi, a a da ki ler den han gi si dir?
A) cos sini96 6r r+b l
B) cos sini93
23
2r r+c m C) cos sini3
32
32r r+c m
D) cos sini36
76
7r r+c m E) cos sini3
3 3r r+b l
3. 1990 – ÖYS z = 3 + 2i ,
–z = 3 – 2i oldu una göre,
z zz z
–
4+d n a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 1681 B) –
1681 C) –
1681 i D)
1681 i E) –i
4. 1991 – ÖYS i2 = –1 oldu una göre, (1 + i) (1 + i3) (1 + i5) (1 + i7) çar p m , a a da ki-
ler den han gi si ne e it tir?
A) 2 B) 4 C) 1 + i D) 1 – i E) 4i
5. 1991 – ÖYS Karma k düzlemde A(4 + 6i), B(–2 – i), C(4 + 5i) noktalar veriliyor. A n n [BC] nin or ta s na olan uzak l kaç bi rim-
dir?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 3v2 E) 3v3
6. 1992 – ÖYS
i2 = –1 oldu una göre, ii
11
–
20+c m sa y s a a da-
ki lerden han gi si dir?
A) –2i B) –i C) –1 D) 1 E) 2i
7. 1993 – ÖYS Karma k düzlemde, z = 3 – i oldu una göre, |z–1| kaçt r?
A) 1010 B)
2010 C)
2015 D)
3015 E)
5010
8. 1994 – ÖYS Karma k düzlemde, (cosx + isinx)2 = cos2x + isin2x oldu una göre, a a dakilerden hangisi x in de erlerinden biri-
dir?
) ) ) ) )A B C D E6 4 3 2r r r r r
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
74
9. 1994 – ÖYS |z + 2 – i| = 10 e itli ini sa la yan z kar ma k
sa y la r n n ge omet rik ye ri nin denk le mi, a a da-ki ler den han gi si dir?
A) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 16 B) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 64 C) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 100 D) (x – 4)2 + (y – 1)2 = 81 E) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 121
10. 1995 – ÖYS i = c–1 ve n pozitif tam say olmak üzere,
i
i in
n n
4 1
8 1 4
–
– + ifadesinin k sal t l m bi çi mi, a a da-
ki ler den han gi si dir?
A) i B) i + 1 C) i – 1 D) 1 E) 2
11. 1995 – ÖYS z = x + iy ve |z| = |z – 2| oldu una göre, z nin karma k düzlemdeki ge omet rik ye ri, a a-
da ki ler den han gi si dir?
A) Gerçek eksene dik bir do ru B) Sanal eksene dik bir do ru C) 2 birim çapl bir çember D) Bir elips E) Bir parabol
12. 1996 – ÖYS z – 5 – i = 1 ko u lu nu sa la yan z kar ma k sa-
y s n n ar gü men ti ol du u na gö re, tan kaç t r?
A) 51– B)
21– C) 0 D)
61 E) 1
13. 1997 – ÖYS
z = 2 + 4i ve u = 3i kar ma k sa y lar ol du u na
gö re, .i
z u6 3+
de eri a a dakilerden han gi si dir?
A) –2 B) –1 C) 2
D) i3
1 2+ E) i3
1 2–
14. 1998 – ÖYS
i2 = –1 , z i23
21= + oldu una göre,
z9 a a dakilerden hangisidir?
A) –i B) 1 C) i21
23+
D) i23
21– E) i
23
21– +
15. 2006 – ÖSS |z| + z = 3 – 2i e itli ini sa la yan z kar ma k
sa y s a a da ki ler den hangisidir?
A) i53 2– B) i
65 2– C) i
43 2+
D) i32 3– E) i
53 3+
16. 2007 – ÖSS Karma k say lar kümesi üzerinde i lemi, z1 z2 = z1 + z2 + |z1z2|
biçiminde tan mlan yor. Buna göre (1 – 2i) (2 + i) i leminin sonucu
nedir?
A) 1 + 8i B) 1 – 8i C) 8 + i D) 8 – i E) 2 – i
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
75
17. 2008 – ÖSS z1 ve z2 kar ma k sa y la r z2 = i denk le mi nin
kök le ri dir. Kar ma k düz lem de z1 ve z2 nok ta la r ara s n-
da ki uzak l k kaç bi rim dir?
A) 41 B)
21 C) 1 D) 2 E) 4
18. 2009 – ÖSS
cos sincos sinz
ii
15 1575 75
° °° °=
++
karma k say s a a dakilerden hangisidir?
A) i2
3 + B) i2
3 – C) 1
D) i2
1 3– E) i2
1 3+
19. 2010 – LYS Karma k say lar düzleminde |z – 1| = |z + 2| denklemi a a dakilerden hangisini belirtir?
A) x = 1 do rusu
B) x = 21– do rusu
C) x = 2 do rusuD) (x – 1)2 + y2 = 1 çemberiE) x2 + (y + 2)2 = 1 çemberi
20. 2010 – LYS z ile z nin e leni i gösterildi ine göre, z = 2 + i karma k say s için,
z
z1–
ifadesi a a dakilerden hangisine e ittir?
A) i21
23+ B) i
32
23– C) 1 + 3i
D) 2 – 3i E) 3 + i
21. 2010 – LYS z = 1 + iv3 karma k sa y s a a da ki ler den
han gi si ne e it tir?
A) cos sini26 6r r+b l
B) cos sini26 6
–r rb lC) cos sini2
3 3r r+b l
D) cos sini3 3
4 r r+b lE) cos sini4
3 3–r rb l
22. 2010 – LYS b ve c gerçel say lar olmak üzere, P(x) = x2 + bx + c polinomunun bir kökü 3 – 2i
karma k say s d r. Buna göre, P(–1) kaçt r?
A) 5 B) 10 C) 20 D) 25 E) 30
23. 2011 – LYS Ba katsay s 1 olan, – i ve 2i karma k say la-
r n kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel katsay l P(x) polinomu için P(0) kaçt r?
A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
76
24. 2011 – LYS z = a + bi (b 0) ve w = c + di kar ma k sa-
y la r için z + w top la m ve z.w çar p m bi rer ger çel sa y ol du u na gö re,
I. z ve w birbirinin e leni idir.
II. z – w gerçeldir.
III. z2 + w2 gerçeldir.
ifadelerinden hangileri do rudur?
A) Yaln z I B) Yaln z II C) I ve III
D) II ve III E) I, II ve III
25. 2011 – LYS
–z ile z nin e leni i gösterildi ine göre, z2 =
–z
e itli ini sa layan ve argümenti 2r ile ara-
s n da olan s f r dan fark l z kar ma k sa y s ne-dir?
A) i21 3– + ^ h B) 3 i
21
2– + d n
C) i2
221– + c m D) i
22
22– + d n
E) i2 2
13– + c m
26. 2012 – LYS
Karma k say lar kümesi üzerinde,
f(z) = 1 – 2.z6
fonksiyonu tan mlan yor.
z0 = cos3rc m + isin
3rc m için f(z0) kaçt r?
A) 1 + i B) 2i C) 1 – i
D) –1 E) 3
27. 2012 – LYS
(|z| + z).(|z| – z ) = i
denklemini sa layan z karma k say lar n n
sanal k sm a a dakilerden hangisine e ittir?
A) z2 B)
z1 C)
z
2
– D)
z21 E) z–
28. 2012 – LYS
1 say s na olan uzakl 2 birim ve i say s na
olan uzakl 3 birim olan z = a + ib karma k
say lar için a – b fark kaçt r?
A) 23 B)
25 C)
27 D)
34 E)
37
77
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. (1 + i)5 + (1 – i)5 = [(1 + i)2]2.(1 + i) + [(1 – i)2]2.(1 – i)
= (2i)2.(1 + i) + (–2i)2.(1 – i)
= –4.(1 + i) – 4(1 – i)
= –4 – 4i – 4 + 4i
= –8 bulunur.Do ru Seçenek A
2. z i2
3 323– –= z
427
49 3= + =
tan =
23 3
23
31
–
–= =
6r
= + 6r =
67r olur. O halde,
z = |z|.(cos + isin )
z = . cos sini36
76
7r r+c m bulunur.
Do ru Seçenek D
3. z = 3 + 2i , –z = 3 – 2i ise
.
z zz z
i ii i
i ibulunur
3 2 3 23 2 3 2
46
23
1681
– ––4 4
4 4
+ =+ ++ +
= = =
d cc c
n mm m
Do ru Seçenek A
4. (1 + i)(1 + i3)(1 + i5)(1 + i7) = (1 + i)(1 – i)(1 + i)(1 – i)
= (12 – i2).(12 – i2)
= (1 + 1).(1 + 1)
= 4 bulunur.
Do ru Seçenek B
5. A(4 + 6i) = A(4, 6)
B(–2 – i) = B(–2, –1)
C(4 + 5i) = C(4, 5)
[BC] nin orta noktas
, ( , )D D2
2 42
1 5 1 2– –+ + =c m olup A ile D aras ndaki uzakl k
( ) ( )AD br4 6 2 51– –2 2= + = bulunur.
Do ru Seçenek A
6. ii
i ii i
11
1 11 1
– –
20 20+ =
++ +c ^ ^
^ ^fm h hh h p
.i i bulunur1 1
2 120
20=+
= =c mDo ru Seçenek D
7. z = 3 – i ise
|z–1| = z i1
31
9 11
1010
–= =
+=
olarak bulunur.Do ru Seçenek A
8. (cosx + isinx)2 = cos2x + isin2x
cos2x + 2i.cosx.sinx – sin2x = cos2x + isin2x
2i.cosx.sinx – sin2x – i sin2x = 0
sinx.(2i.cosx – sinx – i) = 0
sinx = 0 2i.cosx – sinx – i = 0
sinx = 0 x = bulunur.Do ru Seçenek E
ÇÖZÜMLER
ES
EN
YAY
INLA
RI
78
Karma k Say lar
9. z = x + yi al n rsa,
|z + 2 – i| = 10 |x + yi + 2 – i| = 10
|(x + 2) + (y – 1)i| = 10
( )x y2 1 10–2 2+ + =^ h (x + 2)2 + (y – 1)2 = 100 olur.
Do ru Seçenek C
10. i8n–1 = i8n.i–1 = i i
1 1 1· = , i4n = 1
i4n–1 = i4n.i–1 = i i
1 1 1· = oldu undan,
i
i i
i
ii
i i i1
1 1 11
1·n
n n
4 1
8 1 4
–
– + =+
= + = + dir.
Do ru Seçenek B
11. z = x + iy ise |z| = |z – 2| |x + iy| = |x + iy – 2|
( )x y x y2–2 2 2 2+ = +
x2 + y2 = x2 – 4x + 4 + y2 x = 1 bulunur.
x = 1 do rusu, gerçek eksene dik bir do rudur.
Do ru Seçenek A
12. z – 5 – i = 1 z = 6 + i
x
y
O
1
6
z = 6 + i tan = 61 d r.
Do ru Seçenek D
13. z = 2 + 4i ve u = 3i ise
. ( ) . ( )i
z ui
i ii
i ii
i6 3 6 3
2 4 36 36 12
6 36 12– – – – –2
+=
+=
++ =
+
= ( )i
i6 32 3 6
2–
–+
+= bulunur.
Do ru Seçenek A
14. z i23
21= +
karma k say s n n kutupsal biçimini bulal m.
|z| = 43
41 1+ =
tan =
23
21
31= = 30°
O halde, z = 1.(cos30° + isin30°)
z9 = 19.(cos(9.30°) + i sin(9.30°))
z9 = cos270° + isin270°
z9 = 0 + i(–1)
z9 = – i bulunur.Do ru Seçenek A
15. z = x + yi olsun.
|z| + z = 3 – 2i
x y2 2+ + x + yi = 3 – 2i
x y2 2+ + x = 3 ve y = –2 olup,
( )x 2–2 2+ = 3 – x x2 + 4 = 9 – 6x + x2
6x = 5 x = 65
z = x + yi = 65 – 2i bulunur.
Do ru Seçenek B
16. z1 z2 = z1 + z2 + |z1z2| oldu undan
(1 – 2i) (2 + i) = (1 – 2i) + (2 + i) + |(1 – 2i)(2 + i)|
= 3 – i + |1 – 2i|.|2 + i|
= 3 – i + .1 4 4 1+ +
= 3 – i + v5 . v5
= 3 – i + 5
= 8 – i bulunur.Do ru Seçenek D
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
79
17. z2 = i z2 = cis(90° + 360°k)
z2 = cis k2
90 360° °+c m z = cis(45° + 180°k)
z1 = cis45° , z2 = cis225°
x
y
1
z1
z2
1v2
– 1v2
1v2
– 1v2
1
45°45°
O halde, |z1 – z2| = 2 br dir.Do ru seçenek D
18. z = cos sincos sin
ii
15 1575 75
° °° °
++
= ciscis
1575
°° = cis(75° – 15°) = cis60°
= cos60° + i.sin60° = .i i21
23
21 3·+ = +
Do ru Seçenek E
19. z = x + iy ise
|z – 1| = |z + 2| |x + iy – 1| = |x + iy + 2|
( ) ( )x y x y1 2– 2 2 2 2+ = + +
x2 – 2x + 1 + y2 = x2 + 4x + 4 + y2
–2x + 1 = 4x + 4
–6x = 3
x = 21– bulunur.
Do ru Seçenek B
20. 2 ( )( )z
zi
iii
ii i
2 12
1 12 1
1 – – – –– 2= + = + =
+ +
( )i1+
= .i i i i i dir1 1
2 22
1 321
232
++ + + = + = +
Do ru Seçenek A
21. z = 2.cis3r Im(z)
Re(z)
2
z=1+v3 iv3
60°1
z = cos sini23 3r r+b l
bulunur.
Do ru Seçenek C
22. Köklerden birisi x1 = 3 – 2i ise di eri bunun
e leni i olan x2 = 3 + 2i dir.
T = x1 + x2 = 3 – 2i + 3 + 2i = 6
Ç = x1 . x2 = (3 – 2i) (3 + 2i) = 9 – 4i2 = 13
x2 + Tx + Ç = 0 P(x) = x2 – 6x + 13
P(–1) = (–1)2 – 6(–1) + 13
P(–1) = 1 + 6 + 13
P(–1) = 20 bulunur.
Do ru Seçenek C
23. Köklerinden ikisi – i ve 2i ise di erleri i ve –2i dir. O halde,
P(x) = 1.(x + i)(x – i)(x – 2i)(x + 2i)
= (x2 – i2).(x2 – 4i2)
= (x2 + 1).(x2 + 4) olup
P(0) = (02 + 1).(02 + 4) = 4 bulunur.Do ru Seçenek B
Karma k Say lar
ES
EN
YAY
INLA
RI
80
24. z = a + bi ve w = c + di için z + w ve z.w birer gerçel say ise
z + w = a + bi + c + di
= a + c + (b + d)i b + d = 0 d r.
z.w = (a + bi)(c + di)
= a.c + a.di + b.ci + b.d.i2
= a.c – b.d + (a.d + b.c)i
a.d + b.c = 0 ve b + d = 0 a = c dir.
O halde, z ve w birbirinin e leni idir.
z = a + bi ise w = a – bi dir.
z – w = a + bi – a + bi = 2bi R
z2 + w2 = (a + bi)2 + (a – bi)2
= a2 – b2 + 2abi + a2 – b2 – 2abi
= 2a2 – 2b2 RDo ru Seçenek C
25. z = r.cis ve 2r < < r olmak üzere,
z2 = r2.cis2 , –z = r.cis(2r – )
z2 = –z r = 1
2 = 2r – = 23r tür.
z = r.cis z = 1.cis 23r
= cos 23r + i sin 2
3r
= .i21
23– + olur.
Do ru Seçenek B
26. z0 = cis3r .z cis 6
306 r= c m
= cis2r
= 1 + 0.i = 1
f(z) = 1 – 2.z6 f(z0) = 1 – 2.z06
= 1 – 2.1
= –1 dir.
Do ru Seçenek E
27. z = x + iy ise z = x – iy dir.
(|z| + z).(|z| – z ) = i
|z|2 + |z|.z + z.|z| – z.z = i
|z|2 + |z|.(z + z) – |z|2 = i
|z|.2x = i x = zi2
olup z nin sanal k sm z21 dir.
Do ru Seçenek D
28. |z – 1| = 2 ve |z – i| = 3
( )a b1 2– 2 2+ = ( )a b 1 3–2 2+ =
a2 – 2a + 1 + b2 = 4 a2 + b2 – 2b + 1 = 9
a2 + b2 = 3 + 2a a2 + b2 = 8 + 2b
denklemlerinin ortak çözümünden,
3 + 2a = 8 + 2b 2a – 2b = 5
a – b = 25 dir.
Do ru Seçenek B
LOGAR TMA
ÜN TE 2. ÜN TE 2. ÜN TE 2. ÜN TE 2. ÜN T
Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu
1. Kazan m : Üstel fonksiyonu olu turur, tan m ve görüntü kümesini aç klar.
2. Kazan m : Üstel fonksiyonlar n birebir ve örten oldu unu gösterir.
3. Kazan m : Logaritma fonksiyonunu üstel fonksiyonunun tersi olarak kurar.
4. Kazan m : Onluk logaritma fonksiyonunu ve do al logaritma fonksiyonunu aç klar.
5. Kazan m : Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gösterir ve uygulamalar yapar.
Üslü ve Logaritmik Denklemler ve E itsizlikler
1. Kazan m : Üslü ve logaritmik denklem ve e itsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
82
LOGAR TMA
9. s n fta üslü ifadeler ve özelliklerini ö renmi tik. Bu özellikleri bir kez daha hat rlayal m.
a, b R+ – {1} ve x, y R olmak üzere,
ax.ay = ax+y ax.bx = (a.b)x (ax)y = axy
aa a
y
xx y–=
ba
ba
x
x x= b l a
a1xx
– =
imdi de üstel fonksiyonu tan mlayal m.
a R+ – {1} ve x R olmak üzere, f: R R+ , f(x) = ax fonksiyonuna, taban “a” olan üstel fonksiyon denir.
f(x) = 2x , g(x) = (v2)x ve h(x) = 31 xc m fonksiyonlar n n her biri, birer üstel fonksiyondur.
Bu fonksiyonlardan f(x) = y = 2x fonksiyonunu ele al p, bu fonksiyonun grafi ini çizerek özelliklerini ara t ral m.
f(x) = y = 2x fonksiyonu için x e baz de erler verip, y de erlerini bulal m.
�2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�����2�
x = –2 için, y = 2–2 = 41
x = –1 için, y = 2–1 = 21
x = 0 için, y = 20 = 1
x = 1 için, y = 21 = 2
x = 2 için, y = 22 = 4 olur.
O halde, y = 2x fonksiyonunun grafi i , , ,241 1
21– –c cm m, (0, 1), (1, 2) ve (2, 4) noktalar ndan geçmektedir.
Reel say lar n tümünü y = 2x fonksiyonunda yerine yaz p y de erlerini bularak düzlemde i aretleseydik yuka-
r daki grafi i elde ederdik. Bu grafi i inceledi imizde;
x R için , y = 2x > 0 oldu unu görürüz.
x de erleri büyüdükçe, y de erlerinin büyüdü ünü görürüz.
O halde, f(x) = 2x fonksiyonu artan bir fonksiyondur.
x e verilen farkl de erlerin fonksiyondaki görüntüleri de farkl d r.
Yani, x1, x2 R , x1 x2 için f(x1) f(x2) dir. O halde , f(x) = 2x fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
y R+ için , 2x = y e itli ini sa layan bir x de eri vard r. O halde, f(x) = 2x örten fonksiyondur.
ÜSTEL FONKS YON
Logaritma
83
f(x) = y = 21 xc m fonksiyonunu ele al p, bu fonksiyonun grafi ini çizerek özelliklerini ara t ral m.
�2�
�
�
�
�
�
�
�
�
�����2�
x = –2 için, y = 21 4
2–=c m
x = –1 için, y = 21 2
1–=c m
x = 0 için, y = 21 1
0=c m
x = 1 için, y = 21
211
=c mx = 2 için, y =
21
412
=c m olur.
O halde, y = 21 xc m fonksiyonunun grafi i, (–2, 4), (–1, 2), (0, 1), , , ,1
21 2
41c cm m noktalar ndan geçmektedir.
Buldu umuz bu grafi i inceledi imizde;
x R için y = 21 0>
xc m oldu unu görürüz.
x de erleri büyüdükçe, y de erlerinin küçüldü ünü görürüz.
O halde, f(x) = 21 xc m fonksiyonu azalan fonksiyondur.
x1, x2 R , x1 x2 için f(x1) f(x2) dir. f(x) = 21 xc m fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
y R+ için 21 xc m = y e itli ini sa alayan bir x de eri vard r. O halde, f(x) =
21 xc m örten fonksiyondur.
a R+ – {1} olmak üzere, f: R R+ , f(x) = ax fonksiyonu
a > 1 için artan fonksiyon, 0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.
f(x) = ax fonksiyonu bire bir ve örtendir.
Üstel fonksiyonlar n özellikleri yard m yla bir çok denklemin çözüm kümesini elde edebilece imizi biliyoruz.
A a da bu denklemlere baz örnekler verilmi tir.
2x = 16 2x = 24 x = 4
4x–1 = 16. 2x 22(x–1) = 24.2x2 22x–2 =
4 +2
x2 2x – 2 = 4 + x
2 x
23 = 6 x = 4
2x + 2x+1 + 2x–1 = 28 2x + 2x.2 + 2x.21 = 28 2x.
27 = 28 2x = 8 2x = 23 x = 3
Ancak 2x = 5 , 3x = 23 , 5x–1 = 16 gibi denklemleri sa layan x de erlerini üslü ifadelerin kurallar yard m y-la bulamay z. Bu tür denklemlerin çözüm kümelerini bulmak için yeni bir fonksiyon olan logaritma fonksiyonunu tan mlayaca z.
Logaritma
84
ÖRNEK 1
A a da baz logaritmal ifadeler, üstel biçimde yaz l-m t r. nceleyiniz.Çözüm
log2x = 5 x = 25 = 32
log5x = 1 x = 51 = 5
log7x = 0 x = 70 = 1
log2x = 21 x = 2 2
1
= v2
log 3 x = 4 x = 3 4^ h = 9
ÖRNEK 2
log3(log2x) = 1
e itli ini sa layan x de erini bulunuz.
Çözüm
log3(log2x) = 1 log2x = 31
log2x = 3
x = 23
x = 8 bulunur.
f: R R+ , a R+ – {1} için f(x) = ax fonksiyonunun bire bir ve örten bir fonksiyon oldu unu ö rendik. O halde bu fonksiyonun ters fonksiyonu vard r.
a R+ – {1} ol mak üze re, f: R R+ , f(x) = ax fonk si yo nu nun ters fonk si yo nu na, a ta ba n na gö re lo ga rit ma fonk si yo nu de nir. f: R+ R , f(x) = logax biçiminde gösterilir.
Bu tan ma göre, y = ax x = logay dir.
��3����� ��3���
3��4�56��
$56�� 7��35��� �5�8
9�7��35��� �5�
34��
���
Yandaki ema incelendi inde, üstel fonksiyonun verilen belli bir tabana “üs koyma” i lemi,
logaritma fonksiyonunun ise verilen belli bir tabana göre “üs indirme” i lemi oldu u söylenebilir.
y = logax e itli ini, “y e ittir a taban na göre logaritma x” biçiminde okuruz. Bu e itlikte,
x say s n n pozitif gerçek say
a say s n n 1 den farkl bir pozitif gerçek say
y say s n n bir gerçek say oldu una dikkat ediniz.
Örne in, log216 ifadesinin de erini, “2 say s n n hangi üssü 16 d r?” biçiminde dü ünerek bulabiliriz.
Bu durumda, 24 = 16 oldu undan log216 = 4 sonucuna ula abiliriz.
Benzer ekilde,
log327 = x e itli ini sa layan x de erini bulmak için, “3 say s n n hangi üssü 27 dir?” sorusuna cevap bul-mal y z. 33 = 27 oldu undan log327 = 3 olur.
Bu durumu daha sade olarak ab = c b = logac biçiminde ifade edebiliriz. Örne in,
24 = 16 log216 = 4 , 32 = 9 log39 = 2 , 103 = 1000 log101000 = 3 , 2–3 = 81 log2 8
1 = –3 tür.
LOGAR TMA FONKS YONU
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
85
ÖRNEK 3
log4[13 + log2(x – 1)] = 2
e itli ini sa layan x de erini bulunuz.
Çözüm
log4[13 + log2(x – 1)] = 2 13 + log2(x – 1) = 42
13 + log2(x – 1) = 16
log2(x – 1) = 3
x – 1 = 23
x = 9 bulunur.
ÖRNEK 4
f(x) = log2(x – 3)
oldu una göre, f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
log2(x – 3) = y e itli inde x yerine y, y yerine x yaz p, y yi yaln z b rakal m (ters fonksiyon ta-n m )
log2(y – 3) = x y – 3 = 2x
y = 2x + 3 olur.
O halde, f –1(x) = 2x + 3 bulunur.
ÖRNEK 5
f(x) = 2[log3(x + 1)] – 1
oldu una göre, f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
2[log3(y + 1)] – 1 = x log3(y + 1) = x2
1+
y + 1 = 3x
21+
y = 3x
21+
– 1 olur.
O halde f–1(x) = 3x
21+
– 1 bulunur.
ÖRNEK 6
A a da ab = c logac = b e itli inden yararlan la-
rak üstel biçimde verilmi ifadeler logaritma kullan la-
rak yaz lm t r. nceleyiniz.
Çözüm
2x = 3 log23 = x
3x = 5 log35 = x
2x–1 = 10 log210 = x – 1
x = 1 + log210
5x+2 = 2 log52 = x + 2
x = (log52) – 2 olur.
ÖRNEK 7
f(x) = 3x–1 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
3x–1 = y e itli inde,
x yerine y, y yerine x yaz p y yi yaln z b ra-
kal m.
3y–1 = x log3x = y – 1
y = 1 + log3x olur.
O halde, f–1(x) = 1 + log3x bulunur.
ÖRNEK 8
f(x) = 23x–1 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
23y–1 = x log2x = 3y – 1
y = log x3
1 2+ olur.
O halde, f–1(x) = log x3
1 2+ bulunur.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
86
LOGAR TMA FONKS YONUNUN EN GEN TANIM KÜMES N BULMA
f(x) = logax fonksiyonunda a R+ – {1} ve x R+ oldu undan bu fonksiyonun en geni tan m kümesini bulurken, a > 0 , x > 0 ve a 1 ko ullar n birlikte sa layan aral klar bulunur.
ÖRNEK 9
f(x) = log3(x – 4) fonksiyonunun en geni tan m kü-mesini bulunuz.
Çözüm
x – 4 > 0 x > 4 olaca ndan f(x) in en geni tan m kümesi (4, ) aral d r.
ÖRNEK 10
f(x) = log2(9 – x2) fonksiyonunun en geni tan m kü-mesini bulunuz.
Çözüm
9 – x2 > 0 olmal d r. Bu durumda,
x
– + –
–3 3–
9 – x2
çözüm
Yukar daki i aret tablosuna göre,
9 – x2 > 0 e itsizli inin sa land (–3, 3) aral f(x) in en geni tan m aral d r.
ÖRNEK 11
f(x) = log4–x(x – 1) fonksiyonunun en geni tan m kü-
mesini bulunuz.
Çözüm
x
xx
1 04 04 1
–––
>>
_
`
a
bb
bbSisteminin sa land aral k,
f(x) in en geni tan m aral d r.
1 0 1
4 0 41 4
x xx x
x––
> >> <
< <&
&&3 olur.
4 – x 1 x 3 olaca ndan f(x) in en geni tan m kümesi, (1, 4) – {3} aral d r.
ÖRNEK 12
f(x) = log2–x(x2 – x – 12) fonksiyonunun en geni ta-
n m kümesini bulunuz.
Çözüm
12 02 0x x
xx2 1
– –––
>>
2 _
`
a
bb
bb
Sisteminin sa land aral k, f(x) in en geni tan m aral d r.
�
� ��
� ��: :
�������
;0�<�
�
�
� ����� �
Yukar daki i aret tablosuna göre,
x xx
12 02 0
– ––
>>
2 4 Sisteminin sa land aral k, (– , –3) aral d r.
2 – x 1 x 1 dir.
Buldu umuz aral k için x 1 oldu undan en geni tan m aral (– , –3) aral d r.
ÖRNEK 13
f(x) = log(x2 – 2mx + 4) fonksiyonu x R için ta-n ml bir fonksiyon ise m nin de er aral n bulunuz.
Çözüm
f(x) = log(x2 – 2mx + 4) fonksiyonu x R için tan ml ise x2 – 2mx + 4 > 0 olmal d r.
ax2 + bx + c > 0 e itsizli i x R için sa lan -yorsa a > 0 ve < 0 olmal yd .
Bu durumda
< 0 b2 – 4ac < 0
(–2m)2 – 4.1.4 < 0
4m2 – 16 < 0
m2 – 4 < 0
|m| < 2
–2 < m < 2 olmal d r.
Logaritma
87
ÖRNEK 14
f(x) = log3(x2 – 9) + logx x
x3
5 –+c m
fonksiyonunun en geni tan m kümesini bulunuz.
Çözüm
9 0
0
1
x
x
x
xx3
5 0
–
–
>
>
>
2
+
_
`
a
bbbb
bbbb
sisteminin sa land aral k,
f(x) in en geni tan m aral d r.
x
+ ++
–3 3–
x2 – 9
çözüm
5
–
– –++5 – xx + 3
x2 – 9 > 0 ve x
x3
5 –+
> 0 ko ullar n sa layan
(3, 5) aral di er ko ullar olan x > 0 ve x 1
ko ullar n da sa lad ndan f(x) in en geni
tan m kümesidir.
ONLUK LOGAR TMA FONKS YONU
ONLUK LOGAR TMA FONKS YONUTaban 10 olan logaritma fonksiyonuna, onluk logaritma fonksiyonu denir.
f(x) = log10x veya f(x) = logx biçiminde gös-terilir.
ÖRNEK 15
A a da ab = c logac = b e itli inden yararlan la-
rak üstel biçimde verilmi ifadeler logaritma kullan la-
rak yaz lm t r. nceleyiniz.
100 = 1 log101 = 0
101 = 10 log1010 = 1
102 = 100 log10100 = 2
103 = 1000 log101000 = 3
10–1 = 101 log10 10
1 = –1
10–2 = 1001 log10 100
1 = –2 olur.
ETK NL K
Okyanus co rafyas (o inografi) alan ndaki ara t rmalar sonucunda, plaj n e imi ile üzerindeki kum tanecikleri-nin büyüklü ü aras ndaki ili kiyi ortaya ç karm t r.
Plaj n e imi: m , Kum taneciklerinin ortalama çap : d mm olmak üzere,
m = 0,159 + 0,118.logd ba nt s vard r.
Örne in, kum taneciklerinin ortalama çap : 0,2 mm olan bir plaj n e imini hesap makinesi yard m yla
m = 0,159 + 0,118.log(0,2) 0,159 + 0,118.(–0,299) 0,159 – 0,035 0,124 bulunur.
Benzer ekilde i lem yaparak a a daki tabloyu siz doldurunuz.
Çap (d)
0,08 mm
0,6 mm
1 mm
5 mm
Kum türü
‹nce kum
Kal›n kum
Çok iri taneli kum
Çak›l
Plaj›n e¤imi (m)
Logaritma
88
e Say s
Bir çok bilim dal nda ve mühendisliklerde yayg n olarak kullan lan e say s da say s gibi irrasyonel bir sa-y d r. Bu say y kimin buldu u tam bilinmesede Euler’in buldu u kabul edilmektedir. Dolay s yla e, Euler Say s olarak adland r lm t r.
Euler x
1 1 x+c m ifadesinin, x sonsuz büyüdü ünde 2,718281828459...... say s na yakla t n tespit etmi ve
bu say y virgülden sonraki 23 ondal a kadar hesaplam t r.
Hesap makinesi yard m yla doldurulan a a daki iki tabloyu inceleyiniz.
10
100
1000
1 000 000
1 000 000 000
2,59374246
2,704813829
2,716923932
2,718282031
2,718281827
1+1x
x
x
–10
–100
–1000
–1 000 000
–1 000 000 000
2,867971991
2,731999026
2,719642216
2,718281758
2,718281827
1+1x
x
x
Bu iki tabloda, x say s n n alaca çok büyük pozitif ve çok küçük negatif de erler için x
1 1 x+c m ifadesinin bir
say ya yakla t görülmektedir. Bu say e say s olup
e = 2,718281828459045235360287471..... dir.
Taban e olan loga rit ma fonk si yo nu na, do al lo ga rit ma fonk siyonu denir.
f(x) = lo gex ve ya f(x) = lnx bi çi min de gös te ri lir.
Leonhard Euler (1707 - 1783) sviçre’li matemmatikçi ve fizikçi.
18. Yüzy l’ n en önemli ve tüm zamanlar n önde gelen matematik-çilerinden biri kabul edilmektedir.
Euler matemati in neredeyse bütün dallar nda çal m t r. Temel analiz, grafik teorisi ve u anda in aat, elektrik ve havac l k mü-hendisliklerine temel te kil eden matemati in fiziksel uygulamala-r n n bir ço unun kurucusu olmu tur.
DO AL LOGAR TMA FONKS YONU
89
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. x
y = 3x
–2 –1 0 1 2
Yukar daki tabloyu doldurarak elde etti iniz nok-talar analitik düzlemde i aretleyerek
f: R R+ , f(x) = 3x fonksiyonunun grafi ini elde ediniz.
2. � �� �� � � �
�
�
��
Yukar daki tabloyu doldurarak elde etti iniz nok-talar analitik düzlemde i aretleyerek
f : R R+ , f(x) = 31 xc m fonksiyonunun grafi ini
elde ediniz.
3. a R+ – {1}, y R+ ve x R olmak üzere a a-daki ifadelerden do ru olanlar için bo kutulara
D yanl olanlar için Y yaz n z.
f(x) = ax fonksiyonu bire bir dir.
f(x) = ax fonksiyonu örten de ildir.
a > 1 için, f(x) = ax artan bir fonksiyondur.
0 < a < 1 için, f(x) = ax azalan bir fonksi-
yondur.
4. A a daki e itliklerin her birinde x de erini bulu-nuz.
a. 2x = 321
b. 3x–1 = 3v3
c. 2x – 2x+1 + 2x–1 = –1
d. 2x + 2x + 2x + 2x = 2x.2x.2x
e. 4 4
2 2 257
x x
x x x
1
1 1–
++ + =
+
+
f. 32x – 9x–1 = 24
5. A a daki logaritmal ifadelerin her birini, üstel bi-çimde yaz p x de erlerini bulunuz.
a. log3x = 4
b. log2x = 2
c. log8x = 1
d. log x21 = 9
e. log x 62 =
f. log5 x1 = –2
g. logx2 1–
31 =
ALIŞTIRMALAR – 1
3. D, Y, D, D 4. a. –5 b. 25 c. 1 d. 1 e. –1 f.
23 5. a. 81 b. 4 c. 8 d. 2–9 e. 8 f. 25 g.
32
Logaritma
90
ES
EN
YAY
INLA
RI
6. log2(log3x) = 2 e itli ini sa layan x de erini bu-lunuz.
7. log3[log2(log4x)] = 0 e itli ini sa layan x de e-rini bulunuz.
8. log3[25 + log2(2x – 1)] = 3 e itli ini sa layan x de erini bulunuz.
9. log[log2(lnx)] = 0 e itli ini sa layan x de erini bulunuz.
10. A a daki fonksiyonlar n her birinin ters fonksi-yonlar n bulunuz.
a. f(x) = log3x
b. f(x) = log2(x + 1)
c. f(x) = 1 – log3(x – 2)
d. f(x) = 1 + 2log(x – 1)
11. A a daki üstel ifadelerin her birini logaritma kul-lanarak yaz p x de erlerini bulunuz.
a. 3x = 2
b. 5x–1 = 3
c. 10x+2 = 4
d. 21–x = 5
12. A a daki fonksiyonlar n her birinin ters fonksi-yonlar n bulunuz.
a. f(x) = 2x+2
b. f(x) = 31–x
c. f(x) = 52x–5
d. f(x) = 1 + 2x–1
13. A a daki fonksiyonlar n en geni tan m kümele-rini bulunuz.
a. f(x) = log8(x – 1)
b. f(x) = log4(x + 2)
c. f(x) = log(16 – x2)
d. f(x) = logx(x – 5)
e. f(x) = log5–x(x – 2)
f. f(x) = logx(x2 – 8x – 9)
6. 81 7. 16 8. 25 9. e2 10. a. f–1(x) = 3x b. f–1(x) = 2x – 1 c. f–1(x) = 31–x + 2 d. f–1(x) = 10
x2
1– + 1
11. a. log32 b. 1 + log53 c. –2 + log4 d. 1 – log25 12. a. f–1(x) = –2 + log2x b. f–1(x) = 1 – log3x c. f–1(x) = 21 (5 + log5x)
d. f–1(x) = 1 + log2(x–1) 13. a. (1, ) b. (–2, ) c. (–4, 4) d. (5, ) e. (2, 5) – {4} f. (9, )
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
91
LOGAR TMA FONKS YONUNUN ÖZELL KLER
a1 = a logaa = 1 bulunur.
a R+ – {1} olmak üzere, logaa = 1 dir.
ÖRNEK 16
log22 = 1
log10 = log1010 = 1
lne = logee = 1 dir.
a0 = 1 loga1 = 0 bulunur.
a R+ – {1} olmak üzere, loga1 = 0 d r.
ÖRNEK 17
log31 = 0
log1 = 0
ln1 = 0
log 1 02 = d r.
logaxn = k ve n.logax = p olsun.
logaxn = k xn = ak ..... (I)
n.logax = p logax = np
x = a np
xn = ap ..... (II)
I ve II e itliklerinden
x a
x a
n k
n p
=
=4 ak = ap k = p dir.
k = p logaxn = n.logax bulunur.
x R+ , a R+ – {1} ve n R olmak üzere, logax
n = n.logax tir.
ÖRNEK 18
log24 = log222 = 2.log22 = 2.1 = 2
log3 91 = log33
–2 = –2log33 = –2.1 = –2
logc10 = log10 21
= 21 log10 =
21 .1 =
21
log1000 = log103 = 3.log10 = 3.1 = 3
log3 39 = log33
221–
= log33 23
= 23 log33 =
23
lne3 = 3.lne = 3.1 = 3
lne
e3 = lne
321–
= lne 25
= 25 .lne =
25
logax = k ve logay = p olsun.
logax = k x = ak ve logay = p y = ap olup
x.y = ak.ap x.y = ak+p bulunur.
x.y = ak+p loga(x.y) = k + p
loga(x.y) = logax + logay olur.
a R+ – {1} ve x, y R+ olmak üzere,
loga(x.y) = logax + logay dir.
ÖRNEK 19
log2 = x ve log3 = y ise log12 nin x ve y cinsin-den de erini bulunuz.
Çözüm
log12 = log(22.3) = log22 + log3
= 2log2 + log3
= 2x + y bulunur.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
92
ÖRNEK 20
loga = 2 , logb = 4 ve logc = 3 ise log(a.vb.c2) ifa-desinin e itini bulunuz.
Çözüm
log(a.vb.c2) = loga + logvb + logc2
= loga + logb 21
+ logc2
= loga + 21 logb + 2logc
= 2 + 21 .4 + 2.3 = 10 bulunur.
ÖRNEK 21
log2 + 2log3 + log5 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
log2 + 2log3 + log5 = log2 + log32 + log5
= log(2.32.5)
= log90 bulunur.
ÖRNEK 22
logabca + logabcb + logabcc ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
logabca + logabcb + logabcc = logabc(abc)
= 1 olur.
ÖRNEK 23
log122 + log128 + log129 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
log122 + log128 + log129 = log12(2.8.9)
= log12144
= log12122
= 2log1212 = 2 bulunur.
ÖRNEK 24
ln2 = x ise ln8e2 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
ln8e2 = ln8 + lne2 = ln23 + 2lne
= 3ln2 + 2.1
= 3x + 2 bulunur.
logax = k ve logay = p olsun.
logax = k x = ak
logay = p y = ap olaca ndan
yx
aa
p
k= = ak–p dir.
yx = ak–p loga = k – p
loga = logax – logay olur.
xy
xy
a R+ – {1} ve x, y R+ olmak üzere,
loga yx = logax – logay dir.
ÖRNEK 25
log2 = x ise log5 in x cinsinden de erini bulunuz.
Çözüm
log5 = log210 = log10 – log2 = 1 – x olur.
log5 = 1 – log2 , log2 = 1 – log5
ÖRNEK 26
log2 = x , log3 = y ve log7 = z ise log4924 ifadesinin
e itini bulunuz.
Çözüm
log4924 = log24 – log49 = log(23.3) – log72
= log23 + log3 – log72
= 3log2 + log3 – 2log7
= 3x + y – 2z bulunur.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
93
ÖRNEK 27
logx – 2logy + 21 logz – logt
ifadesini tek bir logaritma alt nda yaz n z.
Çözüm
logx – 2logy + 21 logz – logt
= logx – logy2 + logz 21
– logt
= log .y t
x z2
bulunur.
ÖRNEK 28
logx = a , logy = b ve logz = c ise
logy zx2
ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
logy zx2
= logx2 – logy – logvz
= 2logx – logy – logz 21
= 2logx – logy – 21 logz
= 2a – b – c2
bulunur.
ÖRNEK 29
1 + log3 – log2 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
1 = log10 oldu undan,
1 + log3 – log2 = log10 + log3 – log2
= log .2
10 3 = log15 bulunur.
ÖRNEK 30
2 – log23 + log215 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
2 = 2.1 = 2log22 = log222 = log24 oldu undan
2 – log23 + log215 = log24 – log23 + log215
= log2.3
4 15 = log220 bulunur.
ÖRNEK 31
log23 = x , log25 = y ve log27 = z ise log2420 ifa-desinin e itini bulunuz.
Çözüm
420 = 22.3.5.7 oldu undan
log2420 = log2(22.3.5.7)
= log222 + log23 + log25 + log27
= 2log22 + x + y + z
= 2 + x + y + z bulunur.
Taban De i tirme Kural
logab = k ve logca = p olsun.
logab = k ak = b
logca = p cp = a
cp = a (cp)k = ak cp.k = b olur.
cp.k = b logcb = p.k logcb = logca.logab
logab = loglog
ab
c
c bulunur.
a, c R+ – {1} ve b R+ olmak üzere,
logab = loglog
ab
c
c dir.
ÖRNEK 32
log23 = x ise log1218 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
( . )
( . )
.
logloglog
log
log
log log
log log
log loglog log
xx bulunur
181218
2 3
2 3
2 3
2 3
2 2 32 2 3
21 2
122
2
22
22
22
2
2 22
2 2
2 2
= = =+
+
=+
+
=++
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
94
ÖRNEK 33
log1872 = x ise log23 ifadesinin x cinsinden de e-
rini bulunuz.
Çözüm
x = log1872 x = loglog
1872
2
2
x = ( . )( . )
loglog
2 32 3
22
23 2
x = log loglog log
2 32 3
2 22
23
22
++
x = log loglog log
2 2 33 2 2 3
2 2
2 2
++
x = loglog
1 2 33 2 3
2
2
++ olur.
log23 = a al n rsa
x = aa
1 23 2
++ x + 2ax = 3 + 2a
a(2x – 2) = 3 – x
a = x
x2 23
––
log23 = x
x2 23
–– bulunur.
ÖRNEK 34
A a daki i lemleri inceleyiniz.
log34 = loglog
loglog
InIn
34
34
34
2
2 = =
log5 = loglog
loglog
InIn
105
105
105
3
3
7
7= =
ln7 = loglog
loglog
e e7 7
5
5 =
ÖRNEK 35
loglog
InIn
63
62+ ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
loglog
63 = log63 ve
InIn
62 = log62 olup,
loglog
InIn
63
62+ = log63 + log62 = log6(3.2)
= log66 = 1 bulunur.
Taban de i tirme özelli ine göre,
logab = loglog
logab
a1
b
b
b= bulunur.
a, b R+ – {1} olmak üzere,
logab = log a
1b
d r.
ÖRNEK 36
log log61
61
4 9+ ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
log log61
61
4 9+ = log64 + log69
= log6(4.9)
= log636
= log662
= 2.log66 = 2 bulunur.
ÖRNEK 37
log log log701
701
701
2 7 5+ + ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
log log log70
170
170
12 7 5
+ + = log702+log707+log705
= log70(2.7.5)
= log7070 = 1 bulunur.
ÖRNEK 38
log1
31
1
2+
ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
( . )
.
loglog
log log
log
loglog bulunur
13
11
11
3 21
3 21
61 3
22
3
3 3
3
36
+=
+
=+
=
= =
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
95
Taban de i tirme özelli ine göre,
loganb = .
.
loglog
loglog
loglog
ab
n ab
nb
nb olur1
an
a
a
a
aa
=
= =
loganb
m = nm logab
a R+ – {1} , b R+ ve n R
olmak üzere, loganb =
n1 logab dir.
ÖRNEK 39
log42 = log222 =
21 log22 =
21 .1 =
21
logv39 = log
31/232 =
212 log33 = 4.1 = 4
log log log2
422 2
/2
1 3 1 3
22
31–
/1/2 1 2––= =
2 2
= log log2
21
35
2–
35
2/1 2–=
2
= 35
12 1
310· – · –=c m
log0,2 5v5 = log102 5.5 2
1
= log 551
121+
= log5–15 2
3
= 1
23
23
––=
log log827
32
23–
94
32
3–2=
=
cc mm
logab = logaxb
x ve logab = .log b dira
nn
ÖRNEK 40
log49 = log 94
= log23
log827 = log 278
33 = log23
logv23 = log 3( )2
22 = log29
log log log3 3 35 52
52= =^^ hh
logab.logbc.logcd ... logpk
= …loglog
loglog
loglog
loglog
ab
bc
cd
pk
· ·
= loglog
ak = logak bulunur.
a, b, c, ... p, k R+ – {1} olmak üzere,
logab.logbc.logcd ... logpk = logak d r.
ÖRNEK 41
log23.log35.log516 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
log23.log35.log516 = log216
= log224
= 4log22 = 4 olur.
ÖRNEK 42
log25.logv549.log7v2 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
log25.logv549.log7v2 = log25.log
51/272.log721/2
= 2.12
21· log25.log57.log72
= 2.log22 = 2 bulunur.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
96
ÖRNEK 43
log23 = a ve log35 = b ise log12 ifadesinin a ve b cinsinden de erini bulunuz.
Çözüm
.log log3 5log
2 3
521 2 3444 444
= a.b log25 = a.b dir.
log12 = loglog
1012
2
2 = ..
loglog
2 52 3
2
22
^^
hh
= log loglog log
2 52 3
2 2
22
2
++
= .log loglog log
2 52 2 3
2 2
2 2
++
= aba
12++ bulunur.
ÖRNEK 44
logv34 = a ve log29 = b ise logab4 ifadesinin e i-
tini bulunuz.
Çözüm
logv34.log29 = a.b log
31/222.log232 = a.b
2.12 .2log32.log23 = a.b
8.log33 = a.b a.b = 8
logab4 = log84 = log(23)
(22) = 32 log22
= 32 bulunur.
alogab = x logab = logax
b = x olur.
O halde, b = alogab elde edilir.
a R+ – {1} ve b R+ olmak üzere,
alogab = b dir.
ÖRNEK 45
2log23 = 3
23log2a = 2log2a3 = a3
2log425 = 2logv4 c25 = 2log25 = 5
10log3 = 3
eln5 = 5
101+log2 = 101.10log2 = 10.2 = 20
e1–ln3 = e1.e–ln3 = e.eln3–1 = e.3–1 = e
3
e2 2 2loglog
Ine
21
21
e2= = =
logbc.logba = logba.logbc
logbalogbc = logbc
logba
alogbc = clogba bulunur.
a, b, c R+ – {1} olmak üzere,
alogbc = clogba dir.
ÖRNEK 45
2log3x + xlog32 = 8 ise x de erini bulunuz.
Çözüm
2log3x = xlog32 oldu undan
2log3x + xlog32 = 8 2log3x + 2log3x = 8
2.2log3x = 8
2log3x = 4
2log3x = 22
log3x = 2
x = 32 = 9 olur.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
97
ÖRNEK 46
f(x) = log2(x – 1) ise f–1(x) fonksiyonunun e itini bu-
lunuz.
Çözüm
y = log2(x – 1) x – 1 = 2y
x = 2y + 1 olur.
x yerine y , y yerine x yazarsak
y = 2x + 1 f–1(x) = 2x + 1 bulunur.
ÖRNEK 47
f(x) = 2log(3x – 1) + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm
y = 2log(3x – 1) + 1 y2
1– = log(3x – 1)
3x – 1 = 10y
21–
(10 1)x31
y2
1–
= + olur.
x yerine y , y yerine x yazarsak
(10 1)y31
x2
1–
= + f –1(x) = (10 1)31
x2
1–
+
bulunur.
ÖRNEK 48
f(x) = ln(x – 3) fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm
y = ln(x – 3) x – 3 = ey
x = ey + 3 olur.
x yerine y , y yerine x yazarsak
y = ex + 3 f–1(x) = ex + 3 bulunur.
ÖRNEK 49
f(x) = 2x–3 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
y = 2x–3 x – 3 = log2y
x = 3 + log2y olur.
x yerine y , y yerine x yazarsak,
y = 3 + log2x f–1(x) = 3 + log2x bulunur.
ÖRNEK 50
f(x) = 102x–1 ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
y = 102x–1 2x – 1 = logy
x = logy2
1 + olur.
x yerine y , y yerine x yazarsak
logy
x2
1=
+ f–1(x) = logx2
1 + bulunur.
ÖRNEK 51
f(x) = 2ex–1 + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm
y = 2ex–1 + 1 ye
21– x 1–=
x – 1 = ln y2
1–c m
x = 1 + ln y2
1–c m olur.
x yerine y , y yerine x yazarsak
y = 1 + ln x2
1–c m f–1(x) = 1 + ln x2
1–c m bulunur.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
98
ÖRNEK 52
f(x) = 2log3(x – 1) + 1 ise f–1(5) ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
f–1(5) = a olsun. Bu durumda f(a) = 5 olur.
f(a) = 5 2log3(a – 1) + 1 = 5
log3(a – 1) = 2
a – 1 = 32
a = 10 olur.
O halde, f–1(5) = a = 10 bulunur.
ÖRNEK 53
f(x) = 2.32x–1 + 1 olmak üzere,
f–1(7) ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
f–1(7) = a al n rsa, f(a) = 7 olur.
f(a) = 7 2.32a–1 + 1 = 7
32a–1 = 3
2a – 1 = 1
a = 1 olur.
O halde, f–1(7) = a = 1 bulunur.
ÖRNEK 54
f(x) = ln(2x + n) ve f –1(–1) = 21
oldu una göre, n kaçt r?
Çözüm
f –1(–1) = 21 f
21c m = –1
ln . n221 +c m = –1
ln(1 + n) = –1
1 + n = e–1
n = e1 – 1 bulunur.
ÖRNEK 55
f(x) = 6 + log3x ise (fof)(27) kaça e ittir?
Çözüm
(fof)(27) = f (f(27))
= f(6 + log327)
= f(6 + log333)
= f(6 + 3.log33)
= f(6 + 3)
= f(9)
= 6 + log39
= 6 + log332
= 6 + 2.log33
= 6 + 2
= 8 bulunur.
ÖRNEK 56
f(x) = log3x ve (fog)(x) = 2x oldu una göre,
g–1(81) nedir?
Çözüm
(fog)(x) = 2x f(g(x)) = 2x
log3(g(x)) = 2x
g(x) = 32x
g(x) = 9x tir. O halde,
9x = y x = log9y
y = log9x
g–1(x) = log9x olup,
g–1(81) = log981
= log992
= 2 bulunur.
99
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a daki ifadelerden her birini sonuçland r n z.
a. log216 + log3v3 + log
101
b. log2 42 – log55v5
c. lnve + lne12
– lne
d. log10 – log101 + log1000
e. log0,1 + log0,001 – log100
2. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tulara D yanl olanlar için Y yaz n z.
log(x + y) = logx.logy
log(x.y) = logx + logy
logyxc m = logx – logy
loglog
yx = logx – logy
logxn = n.logx
logx.yn = n.logx.y
(logx)n = n.logx
3. log2 = x ve log3 = y ise a a dakilerin her biri-nin x ve y cinsinden de erlerini bulunuz.
a. log18
b. log0,24
c. log3600
d. log75
e. log2716
4. log2[log3(5 – log25625)]
ifadesinin e itini bulunuz.
5. 2log25 + 4log2v3 + 2 ifadesini tek bir logaritma
cinsinden yaz n z.
6. log2(a.b) = 12 ve log2 ba = 4 ise a + b kaçt r?
ALIŞTIRMALAR – 2
1. a. 27 b. –3 c.
25– d. 5 e. –6 2. Y, D, D, Y, D, Y, Y
3. a. x + 2y b. 3x + y – 2 c. 2x + 2y + 2 d. y + 2 – 2x e. 4x – 3y 4. 0 5. log2900 6. 272
Logaritma
100
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. log23 = x ise log1854 ifadesinin x cinsinden de-
erini bulunuz.
8. logaba.logba
2 = 16 ise a kaçt r?
9. logv2v6.log
v3v2.logv6 813
ifadesinin e iti kaçt r?
10. log2 = 0,30103 ise log625 in de erini bulunuz.
11. log5 = a ise log ,0 0004 ifadesinin e itini bulu-nuz.
12. log34.log45.logv5x = 2 ise x kaçt r?
13. A a daki i lemlerin her birini sonuçland r n z.
a. 2log23
b. 4log25
c. 3log92
d. 101–log3
e. eln5
f. e1+ln2
14. 2log4(x+1) = v5 ise x kaçt r?
15. log215! = a ise log216! ifadesinin a cinsinden de erini bulunuz.
16. log21 + log
32 + log
43 + ..... + log
10099
ifadesinin e iti kaçt r?
7. xx
2 13 1
++ 8. 8 9.
38 10. 2,79588 11. –1 – a 12. 3
13. a. 3 b. 25 c. v2 d. 3
10 e. 5 f. 2e 14. 4 15. a + 4 16. –2
Logaritma
101
ES
EN
YAY
INLA
RI
17. 349log x
41
=2 – 9 ise x kaçt r?
18. 2a = 3b ise log1627 ifadesinin a ve b cinsin-den de erini bulunuz.
19. log23 = a ise log6 32 ifadesinin a cinsinden de-
erini bulunuz.
20. eln(2x–2) = log2(1 + log327)
e itli ini sa layan x de eri kaçt r?
21. f(x) = ex–2 ise f–1(e2) kaçt r?
22. f(x) = 2 – log2(3 – x) ise f–1(–1) kaçt r?
23. f(x) = 2 + log3x ise (fof)(3) kaçt r?
24. f(x) = ( )log x2
3 1–2+ ise f–1(x) fonksiyonunu
bulunuz.
25. f(x) = 2 + ex–1 ve g(x) = 2 – lnx ise
(fog–1)(2) kaçt r?
26. f(x) = ln(ex – 1) ise f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
27. log35 = x ise log81125 ifadesinin x cinsinden de erini bulunuz.
28. f(x) = log2(x + 1) ve g(x) = log3(3 – x) ise
(gof–1)(0) kaçt r?
17. 216 18. ba
43 19.
aa
11–
+ 20. 2 21. 4 22. –5 23. 3
24. f–1(x) = 22x–3 + 1 25. 3 26. f–1(x) = e
e 1x + 27. x43 28. 1
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
102
Bir Gerçek Say n n Logaritmas n n Hangi ki Ard k Tam Say Aras nda Oldu unu Bulma
ÖRNEK 57
A a daki ifadelerin hangi iki ard k tam say aras n-da oldu unu bulunuz.
a. log240 b. log3142
c. ln4 d. log170
e. log1257 f. log0,004
g. log0,0032 h. log0,000102
Çözüm
a. 25 < 40 < 26 log225 < log240 < log22
6
5.log22 < log240 < 6.log22
5 < log240 < 6 olur.
b. 34 < 142 < 35 log334 < log3142 < log33
5
4.log33 < log3142 < 5.log33
4 < log3142 < 5 olur.
c. e1 < 4 < e2 lne < ln4 < lne2
1 < ln4 < 2lne
1 < ln4 < 2 olur.
d. 102 < 170 < 103 log102 < log170 < log103
2.log10 < log170 < 3.log10
2 < log170 < 3 olur.
O halde, log170 = 2,...
e. 103 < 1257 < 104 log103 < log1257 < log104
3.log10 < log1257 < 4.log10
3 < log1257 < 4 olur.
O halde, log1257 = 3,...
f. 0,001 < 0,004 < 0,01 10–3 < 0,004 < 10–2
log10–3 < log0,004 < log10–2
–3log10 < log0,004 < –2log10
–3 < log0,004 < –2 olur.
O halde, log0,004 = – 2, ....
g. 0,001 < 0,0032 < 0,01
10–3 < 0,0032 < 10–2
log10–3 < log0,0032 < log10–2
–3log10 < log0,0032 < –2log10
–3 < log0,0032 < –2 olur.
O halde, log0,0032 = –2,...
h. 0,0001 < 0,000102 < 0,001
10–4 < 0,000102 < 10–3
log10–4 < log0,000102 < log10–3
–4log10 < log0,000102 < –3log10
–4 < log0,000102 < –3 olur.
O halde, log0,000102 = –3,...
d, e, f, g, h klar nda elde edilen sonuçlar bir arada görelim.
log170 = 2,...
log1257 = 3,...
log0,004 = –2,...
log0,0032 = –2,...
log0,000102 = –3,...
Bu sonuçlara göre,
1 den büyük bir say n n onluk logaritmas pozitif-tir.
0 ile 1 aras ndaki bir say n n onluk logaritmas negatiftir.
1 den büyük bir say n n onluk logaritmas n n tam k sm , say n n tam k sm n n 1 eksi ine e ittir.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
103
0 ile 1 aras ndaki bir say n n onluk logaritmas ,
ondal k yaz l ta, s f rdan farkl ilk rakam n solun-
daki s f r say s n n 1 eksi inin negatif i aretlisidir.
Bu sonuçlara göre doldurulmu a a daki tablo-
yu inceleyiniz.
Onluk say›n›nlogaritmas›
log4
log12
log937
log756,23
log1457
log10021,361
log0,0216
log0,00010321
log0,01010203
Onluk logaritman›ntam k›sm›
0
1
2
2
3
4
–1
–3
–1
Bu tablodan a a daki sonuçlara da ula abiliriz.
1 den büyük bir say n n tam k sm n n kaç basa-
makl oldu unu bulmak için say n n logaritmas
al n r ve ç kan say n n tam k sm na 1 eklenir.
0 ile 1 aras ndaki bir say n n onluk gösteriminde-
ki s f rdan farkl ilk rakam n n solunda kaç s f r ol-
du unu bulmak için say n n logaritmas al n r ve
ç kan say n n mutlak de erinin tam k sm na 1 ek-
lenir.
ÖRNEK 58
logx = 26,123 ise x say s , 26 + 1 = 27 basamak-l bir say d r.
logx = 253,246 ise x say s 253 + 1 = 254 basa-makl bir say d r.
ÖRNEK 59
log2 = 0,30103 ise 220 say s n n kaç basamakl bir say oldu unu bulunuz.
Çözüm
x = 220 olsun.
logx = log220 = 20.log2 = 20.(0,30103)
= 6,0206 olur.
logx = 6,0206 ise x say s 6 + 1 = 7 basamakl bir say d r. Bu durumda,
220 say s 7 basamakl bir say d r.
ÖRNEK 60
log2 = 0,30103 ise 4040 say s kaç basamakl bir say d r?
Çözüm
x = 4040 olsun.
logx = log4040 = 40.log40
= 40.(log22 + log10)
= 40.(2log2 + 1)
= 40.(2.0,30103 + 1)
= 40.(0,60206 + 1)
= 40.1,60206
= 64,0824 olur.
logx = 64,0824 ise x say s 64 + 1 = 65 basa-
makl bir say d r. Bu durumda,
4040 say s 65 basamakl bir say d r.
ÖRNEK 61
log2 = 0,30103 ise log80 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
log80 = log(23.10) = log23 + log10
= 3log2 + 1
= 3(0,30103) + 1
= 0,90309 + 1
= 1,90309 bulunur.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
104
ÖRNEK 62
log27,5 = a ise log0,275 ifadesinin a cinsinden de-
erini bulunuz.
Çözüm
log0,275 = log(27,5.10–2) = log(27,5) + log10–2
= log(27,5) – 2.log10
= a – 2 bulunur.
ÖRNEK 63
log2 = 0,30103 ise log0,004 ifadesinin e itini bu-
lunuz.
Çözüm
log0,004 = log(4.10–3) = log(22.10–3)
= log22 + log10–3
= 2log2 – 3log10
= 2.(0,30103) – 3.1
= 0,60206 – 3
= –2,39794 bulunur.
ÖRNEK 64
log2 = 0,30103 ise log250 ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
log250 = log(25.10) = log52 + log10
= 2log5 + 1
= 2(1 – log2) + 1
= 2(1 – 0,30103) + 1
= 2(0,69897) + 1
= 1,39794 + 1
= 2,39794 bulunur.
f(x) = lo gax fonk si yo nu
a > 1 için ar tan fonk siyon
0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.
ÖRNEK 65
a = log22 , b = log24 , c = log28
say lar n kar la t r n z.
Çözüm
a = log22 = 1
b = log24 = log222 = 2.log22 = 2
c = log28 = log223 = 3.log22 = 3
olaca ndan, a < b < c dir. Yani
log22 < log24 < log28 dir.
Bu durumda y = logax fonksiyonunda,
a > 1 iken, x artt kça y nin de artt görülmek-
tedir.
ÖRNEK 66
, ,log log loga b c2 4 821
21
21= = =
say lar n kar la t r n z.
Çözüm
loga 221= = log
2–12 = –1.log22 = –1
logb 421= = log
2–12
2 = 12– .log22 = –2
logc 821= = log
2–12
3 = 13– .log22 = –3
olaca ndan, a > b > c dir.
Bu durumda y = logax fonksiyonunda,
0 < a < 1 iken, x artt kça y nin azald görül-
mektedir.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
105
ÖRNEK 67
a = log25 , b = log215 ve c = log210 say lar aras n-
daki s ralamay bulunuz.
Çözüm
f(x) = logax fonksiyonu a > 1 için artan bir fonk-
siyon oldu undan
5 < 10 < 15 log25 < log210 < log215
a < c < b olur.
ÖRNEK 68
,log log loga b ve c7 42 1831
31
31= = =
say lar aras ndaki s ralamay bulunuz.
Çözüm
f(x) = logax fonksiyonu 0 < a < 1 için azalan bir
fonksiyon oldu undan
7 < 18 < 42 log log log7 18 42> >31
31
31
a > c > b olur.
ÖRNEK 69
a = log76 , b = log45 ve c = log310
say lar aras ndaki s ralamay bulunuz.
Çözüm
log71 < log76 < log77 0 < log76 < 1
0 < a < 1
log44 < log45 < log416 1 < log45 < 2
1 < b < 2
log39 < log310 < log327 2 < log310 < 3
2 < c < 3
olaca ndan, a < b < c bulunur.
ÖRNEK 70
a = log34 , b = log
43 ve c = log
65
say lar aras ndaki s ralamay bulunuz.
Çözüm
43
65
34< < oldu undan,
log43 < log
65 < log
34 b < c < a bulunur.
ÖRNEK 71
a = log16125 , b = logv225 ve c = log
251
21 say lar
aras ndaki s ralamay bulunuz.Çözüm
a = log16125 = log 543
23
4 = .log25
b = logv225 = . .log log log5
21
5 4 522 2 2
2/1 2 = =
c = log251
21 = . .log log log5
12 5 2 5
––
22
2 2–
1– = =
43 2 4< <
43 .log25 < 2.log25 < 4.log25
a < c < b bulunur.
ÖRNEK 72
a < b ve a ile b ard k tam say lard r.
a < log 6013
< b oldu una göre, a + b kaçt r?
Çözüm
33 < 60 < 34 3 3log log log60> >31
3
31
31
4
. .log log log3 3 60 4 3> >3
31 31 1– –
. .log log log3 3 60 4 3– –> >3
31 3
log3 60 4– –> >31
log4 60 3– –< <31 olup,
a + b = –4 + (–3) = –7 bulunur.
Logaritma
106
Bir f(x) fonksiyonu ile bu fonksiyonun tersi olan f–1(x) fonksiyonlar n n grafikleri y = x do rusuna göre simet-riktir. Buna göre, f(x) = ax fonksiyonu ile f –1(x) = logax fonksiyonlar n n grafikleri y = x do rusuna göre simet-rik olur. f(x) = ax fonksiyonu ile ilgili özellikleri bir kez daha hat rlayal m.
f(x) = ax fonksiyonunda,
x
y
0
y=ax
1
a > 1 iken
f(x) = ax fonksiyonu artand r.
x R için f(x) = ax > 0 d r.
x = 0 için y = f(0) = a0 = 1 noktas ndan geçer.
Bu bilgiler nda, f(x) = ax fonksiyonunun
a > 1 iken grafi i yandaki gibidir.
x
y
0
y=ax
1
0 < a < 1 iken
f(x) = ax fonksiyonu azaland r.
x R için f(x) = ax > 0 d r.
x = 0 için y = f(0) = a0 = 1 dir.
Yani f(x) in grafi i (0, 1) noktas ndan geçer.
Bu bilgiler nda, f(x) = ax fonksiyonunun
0 < a < 1 iken grafi i yandaki gibidir.
Elde etti imiz bu iki grafi in de y = x do rusuna göre simetriklerini çizersek f(x) = logax fonksiyonunun gra-fi ini elde ederiz.
�
�
�
����
�
�
���
���56��
�
�
�
�����
�
������56��
a > 1 için 0 < a < 1 için
ÜSTEL FONKS YON VE LOGAR TMA FONKS YONUNUN GRAF
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
107
ÖRNEK 73
f(x) = 2x–1 fonksiyonunun grafi ini çiziniz.
Çözüm
Taban = 2 oldu undan, f(x) artan fonksiyondur.
2x–1 > 0 d r.
x = 0 y = 20–1 = 21 oldu undan grafik ,0
21c m
noktas ndan geçer. Dolay s yla f(x) = 2x–1 fonksi-yonunun grafi i a a daki gibi olur.
x
y
0
y=2x–1
12
ÖRNEK 74
f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun grafi ini çiziniz.
Çözüm
Taban = 2 oldu undan, f(x) artan fonksiyondur.
2x > 0 2x + 1 > 1 f(x) > 1 dir.
x = 0 y = 20 + 1 = 2 oldu undan grafik (0, 2)
noktas ndan geçer. Dolay s yla f(x) = 2x + 1 fonk-siyonunun grafi i a a daki gibi olur.
�
�
�
������
�
�
ÖRNEK 75
f(x) = 21 2–
xc m fonksiyonunun grafi ini çiziniz.
Çözüm
Taban = 21 olup, f(x) azalan bir fonksiyondur.
21 0>
xc m 21 2 2– –>
xc m f(x) > –2 dir.
x = 0 y = 21 0c m – 2 = –1
y = 0 0 = 21 xc m – 2 2–x = 2
x = –1 oldu undan
grafik, (0, –1) ve (–1, 0) noktalar ndan geçer.
Dolay s yla f(x) = 21 xc m – 2 fonksiyonunun grafi i
a a daki gibi olur.
x
y
0
–2
–1
y= – 212
x
–1
Pratik Yol
c > 0 olmak üzere,
y = f(x) + c fonksiyonunun grafi i;
y = f(x) fonksiyonunun grafi inin y ekseni üzerinde c kadar kayd r lm d r.
x
y
0
y = f(x) + c
c
c
y = f(x)
y = f(x) – c
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
108
ÖRNEK 76
y = 2x fonksiyonunun grafi inden yararlanarak,
y = 2x + 2 , y = 2x + 1 , y = 2x – 1 ve y = 2x – 2fonksiyonlar n n grafikleri çizilmi tir. nceleyiniz.
�
�
�
������
������
����
��
������
������
�
�
ÖRNEK 77
f(x) = ( )log x 421 + fonksiyonunun grafi ini çiziniz.
Çözüm
x + 4 > 0 x > –4 oldu undan
f(x) in tan m kümesi, (–4, ) aral d r.
Taban = 21 oldu undan f(x) azaland r.
x = 0 y = log21 (0 + 4) = log
2–12
2 = –2
y = 0 0 = log21 (x + 4) x + 4 =
21 0c m
x = –3
oldu undan, grafik (0, –2) ve (–3, 0) noktalar n-
dan geçer. Dolay s yla f(x) = log21 (x + 4) fonksi-
yonunun grafi i a a daki gibi olur.
�
�
�
��
���
� = �56��
�� + ��
ÖRNEK 78
f(x) = log2(x – 1) fonksiyonunun grafi ini çiziniz.
Çözüm x – 1 > 0 x > 1 oldu undan
f(x) in tan m kümesi, (1, ) aral d r.
Taban = 2 oldu undan f(x) artand r.
y = 0 0 = log2(x – 1) 20 = x – 1 x = 2 oldu undan grafik (2, 0) noktas ndan geçer.
Dolay s yla f(x) = log2(x – 1) fonksiyonunun gra-fi i a a daki gibidir.
x
y
1
y=log2(x–1)
20
ÖRNEK 79
f(x) = ln(x – e) fonksiyonunun grafi ini çiziniz.
Çözüm
x – e > 0 x > e oldu undan
f(x) in tan m kümesi (e, ) aral d r.
Taban = e oldu undan f(x) artan fonksiyondur.
y = 0 0 = ln(x – e) e0 = x – e
x = e + 1 oldu undan grafik (e + 1, 0) noktas ndan geçer.
Dolay s yla f(x) = ln(x – e) fonksiyonunun grafi i a a daki gibidir.
x
y
e+10 e
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
109
Pratik Yol
c > 0 olmak üzere,
y = f(x – c) fonksiyonunun grafi i;
y = f(x) fonksiyonunun grafi inin x ekseni üzerinde
c kadar kayd r lm d r.
x
y
y = f(x + c)
c c
y = f(x)
y = f(x – c)
ÖRNEK 80
y = log2x fonksiyonunun grafi inden yararlanarak,
y = log2(x – 2) , y = log2(x – 1) , y = log2(x + 1) ve
y = log2(x + 2) fonksiyonlar n n grafikleri çizilmi tir.
nceleyiniz.
x
y
y=log2(x+2)
–1 0 1 2 3
y=log2(x+1)y=log2x
y=log2(x–1)y=log2(x–2)
ÖRNEK 81
x
y
y = a + logb(x – c)
50 1 2
2
f(x) = a + logb(x – c) fonksiyonunun grafi i yukar daki
gibidir. Buna göre f(9) de erini bulunuz.
Çözüm
f(x) = a + logb(x – c) fonksiyonunun tan m kümesi
x – c > 0 x > c dir.
Grafik incelendi inde tan m kümesinin x > 1
oldu u görülmektedir.
Bu durumda c = 1 dir.
Ayr ca grafik (5, 0) ve (2, 2) noktalar ndan geç-
ti i için bu noktalar sa lar. Yani
f(5) = 0 ve f(2) = 2 dir.
f(2) = 2 a + logb(2 – 1) = 2
a + logb1 = 2
a + 0 = 2 a = 2
f(5) = 0 a + logb(5 – 1) = 0
2 + logb4 = 0
logb4 = –2
4 = b–2 b = 21 olup
f(x) = 2 + ( )log x 1–21 f(9) = 2 + ( )log 9 1–
21
= 2 + log2
–123
= 2 – 13 = –1 dir.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
110
ÜSTEL DENKLEMLER
2x = 4 , 3x – 9x + 2 = 0
ex – e2x = 0 , 4x – 2x – 12 = 0
biçimindeki denklemler üstel denklemlerdir. Bu tür denklemler genellikle de i ken dönü türülüp 2. dere-ceden denklem elde edilerek çözülür.
ÖRNEK 82
4x – 2x – 12 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulu-nuz.
Çözüm
2x = t al n rsa 4x = t2 olur.
Bu de erler verilen e itlikte yerine yaz l rsa
4x – 2x – 12 = 0 t2 – t – 12 = 0
(t – 4)(t + 3) = 0
t – 4 = 0 t + 3 = 0
t = 4 t = –3 olur.
t = –3 2x = –3 e itli ini sa layan x de eri yok-
tur. (2x > 0 d r.)
t = 4 2x = 4 = 22 x = 2 olur.
Çözüm kümesi, Ç = {2} bulunur.
ÖRNEK 83
e2x – ex – 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulu-nuz.
Çözüm
ex = t al n rsa e2x = t2 olur.
Bu de erler verilen e itlikte yerine yaz l rsa,
e2x – ex – 2 = 0 t2 – t – 2 = 0
(t – 2)(t + 1) = 0
t = 2 t = –1 olur.
t = –1 ex = –1 e itli ini sa layan x de eri yok-tur. (ex > 0 d r.)
t = 2 ex = 2 x = loge2
x = ln2 bulunur.
Çözüm kümesi, Ç = {ln2} olur.
ÖRNEK 84
ex + 3e–x – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bu-lunuz.
Çözüm
ex = t al n rsa, e–x = e t1 1x
= olur.
Bu de erler verilen e itlikte yerine yaz l rsa,
t + t3 – 4 = 0 t2 – 4t + 3 = 0
(t – 3)(t – 1) = 0
t = 3 t = 1 olur.
t = 3 ex = 3 x = ln3
t = 1 = ex = 1 x = 0 bulunur.
Çözüm kümesi Ç = {0, ln3} olur.
LOGAR TMALI DENKLEMLER
Verilen logaritmal denklemler
logaf(x) = b biçiminde ise
logaf(x) = b f(x) = ab olaca ndan
f(x) = ab denklemi çözülür.
logaf(x) = logag(x) biçiminde ise
f(x) = g(x) denklemi çözülür.
(f(x) > 0 , g(x) > 0 d r.)
ÖRNEK 85
log3(2x – 1) = 2 denkleminin çözüm kümesini bulu-
nuz.
Çözüm
log3(2x – 1) = 2 2x – 1 = 32
2x = 10
x = 5 olup, Ç = {5} dir.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
111
ÖRNEK 86
ln[ 2 – log2(x – 1) ] = 0 denkleminin çözüm kümesi-ni bulunuz.
Çözüm
ln[ 2 – log2(x – 1) ] = 0 2 – log2(x – 1) = e0 = 1
–log2(x – 1) = 1 – 2
log2(x – 1) = 1
x – 1 = 21 x = 3
Ç = {3} bulunur.
ÖRNEK 87
log(x+1)(4x + 1) = 2 e itli ini sa layan x de erini bu-lunuz.
Çözüm
log(x+1)(4x + 1) = 2 (4x + 1) = (x + 1)2
4x + 1 = x2 + 2x + 1
x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x1 = 0 x2 = 2 olur.
x = 0 için x + 1 = 0 + 1 = 1 olaca ndan x = 0 al namaz. (taban 1 olamaz.)
Bu durumda x = 2 bulunur.
ÖRNEK 88
log(x + 8) – log(x – 1) = 1 denkleminin çözüm küme-sini bulunuz.Çözüm
log(x + 8) – log(x – 1) = 1 logxx
18 1
–+ =c m
xx
18 10
–1+ =
x + 8 = 10x – 10 9x = 18
x = 2 bulunur.
x = 2 için x + 8 > 0 ve x – 1 > 0 oldu undan çözüm kümesi Ç = {2} bulunur.
ÖRNEK 89
log2(x – 1) + log2(x + 5) = 4 denkleminin çözüm kü-mesini bulunuz.Çözüm log2(x – 1) + log2(x + 5) = 4 log2[(x – 1).(x + 5)] = 4
(x – 1)(x + 5) = 24
x2 + 5x – x – 5 = 16
x2 + 4x – 21 = 0
(x + 7)(x – 3) = 0
x + 7 = 0 x – 3 = 0
x = –7 x = 3
x = –7 için x – 1 < 0 ve x + 5 < 0 d r. Bu durumda x = –7 de eri çözüm kümesine
dahil edilemez. Ç = {3} bulunur.
ÖRNEK 90
log2x + logx2 = 2 denkleminin çözüm kümesini bu-
lunuz.Çözüm
log2x = t al n rsa logx2 = t1 olur.
log2x + logx2 = 2 t + t1 = 2
t2 – 2t + 1 = 0
t = 1 olur. t = 1 log2x = 1 x = 2 bulunur.
Çözüm kümesi, Ç = {2} dir.
ÖRNEK 91
2logx + xlog2 = 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.Çözüm
alogbc = clogba oldu undan 2logx = xlog2 dir.
2logx + xlog2 = 8 2logx + 2logx = 8
2.2logx = 8
2logx = 4
2logx = 22
logx = 2 olur.
logx = 2 x = 102 x = 100 bulunur.
Çözüm kümesi, Ç = {100} dür.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
112
ÖRNEK 92
10log3x – eln(x+7) = 2log8x3 denklemini sa layan x de-
erini bulunuz.
Çözüm
10log3x = 10log103x = 3x
eln(x+7) = eloge(x+7) = x + 7
log8x3 = log
23x3 = log2x 2log8x3
= 2log2x = x olur.
Bu de erler verilen denklemde yerine yaz l rsa,
10log3x – eln(x+7) = 2log8x3 3x – (x + 7) = x
x = 7 bulunur.
ÖRNEK 93
(log2x)2 – log2x4 + 3 = 0 denkleminin çözüm küme-
sini bulunuz.Çözüm log2x = t al n rsa log2x
4 = 4log2x = 4t olur.
Bu de erler verilen denklemde yerine yaz l rsa,
t2 – 4t + 3 = 0 (t – 3)(t – 1) = 0
t = 3 t = 1 olur.
t = 3 log2x = 3 x = 23 = 8
t = 1 log2x = 1 x = 21 = 2 bulunur.
Denklemin çözüm kümesi, Ç = {2, 8} olur.
ÖRNEK 94
(lnx)2 – lnx2 – 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.Çözüm
lnx = t al n rsa, lnx2 = 2lnx = 2t olur.
Bu de erler verilen denklemde yerine yaz l rsa,
t2 – 2t – 3 = 0 (t – 3)(t + 1) = 0
t = 3 t = –1 olur.
t = 3 lnx = 3 x = e3
t = –1 lnx = –1 x = e–1 = e1 bulunur.
Ç = ,e
e1 3' 1 olur.
ÖRNEK 95
2lnx + 21–lnx = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
2lnx = t al n rsa, 21–lnx = t2
2 2In x
= olur.
Bu de erler verilen denklemde yerine yaz l rsa,
t + t2 = 3 t2 – 3t + 2 = 0
t = 1 t = 2 olur.
t = 1 2lnx = 1 lnx = 0 x = 1
t = 2 2lnx = 2 lnx = 1 x = e dir.
Ç = {1, e} olur.
ÖRNEK 96
3logx = 2log3 e itli ini sa layan x de erini bulunuz.
Çözüm
3logx = 2log3 log3logx = log2log3
logx.log3 = log3.log2
logx = log2 x = 2 bulunur.
ÖRNEK 97
xlogx = 100x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Verilen e itlikte her iki taraf n 10 taban nda lo-garitmas al n rsa,
logxlogx = log(100x) logx.logx = log100 + logx
(logx)2 = 2 + logx
(logx)2 – logx – 2 = 0 d r.
logx = t al n rsa,
t2 – t – 2 = 0 (t – 2)(t + 1) = 0
t = 2 t = –1 bulunur.
t = 2 logx = 2 x = 102 = 100
t = –1 logx = –1 x = 10–1 = 101
Ç = ,101 100' 1 olur.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
113
ÖRNEK 98
xlog2x = 4x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Verilen e itlikte her iki taraf n 2 taban nda loga-ritmas al n rsa,
log2xlog2x = log24x
log2x.log2x = log24 + log2x
(log2x)2 = 2 + log2x
(log2x)2 – log2x – 2 = 0 olur.
log2x = t al n rsa,
t2 – t – 2 = 0 (t – 2)(t + 1) = 0
t = 2 t = –1 bulunur.
t = 2 log2x = 2 x = 22 = 4
t = –1 log2x = –1 x = 2–1 = 21
Ç = ,21 4' 1 olur.
ÖRNEK 99
log2(x + 2) – logv2 (x – 1) = 1 denkleminin çözüm kü-
mesini bulunuz.
Çözüm
logv2(x – 1) = log(v2)2(x – 1)2 = log2(x – 1)2 dir.
Bu de eri verilen denklemde yerine yazarsak
log2(x + 2) – log2(x – 1)2 = 1
log2 xx
12 1
– 2+ =^ h
( )xx
12 2
– 2+ =
x + 2 = 2(x2 – 2x + 1)
x + 2 = 2x2 – 4x + 2
2x2 – 5x = 0
x(2x – 5) = 0
x = 0 x = 25 olur.
x = 0 için x – 1 < 0 olaca ndan x = 0 de eri çözüm kümesine dahil edilemez. Bu durumda
Ç = 25' 1 bulunur.
ÖRNEK 100
Inx In x 0– = denkleminin kökler çarp m n bulu-nuz.
Çözüm
ln x t= al n rsa,
In x Inx Inx t21
21/1 2 2= = = olur.
Bu de erleri verilen denklemde yerine yazarsak,
t – 21 t2 = 0 t t1
2–b l = 0
t = 0 1 – t2
= 0
t = 0 t = 2 olur.
t = 0 In x = 0 lnx = 0 x = e0 = 1
t = 2 In x = 2 lnx = 4 x = e4
Bu durumda denklemin kökleri,
x1 = 1 ve x2 = e4 olaca ndan kökler çarp m :
x1.x2 = 1.e4 = e4 bulunur.
ÖRNEK 101
lnx – 3 = 4logxe denkleminin kökler toplam n bulu-nuz.
Çözüm
lnx = t al n rsa,
logxe = log x In x t
1 1 1e
= = olur.
Bu de erler verilen denklemde yerine yaz l rsa,
lnx – 3 = 4logxe t – 3 = 4.t1
t2 – 3t – 4 = 0
(t – 4)(t + 1) = 0
t = 4 t = –1
t = 4 lnx = 4 x = e4
t = –1 lnx = –1 x = e–1 = e1 olur.
Denklemin kökleri
x1 = e4 ve x2 = e1 oldu undan kökler toplam :
e4 + e1 bulunur.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
114
ÖRNEK 102
exlna.exlnb = ab e itli ini sa layan x de erini bu-lunuz.
Çözüm
exlna.exlnb = ab elnax.elnbx
= ab
ax.bx = ab
(a.b)x = (a.b)1/2
x = 21 bulunur.
ÖRNEK 103
log3(2x + 4) = log35 + xlog32 e itli ini sa layan x de-
erini bulunuz.
Çözüm
log3(2x + 4) = log35 + log32
x
log3(2x + 4) = log3(5.2x)
2x + 4 = 5.2x 4.2x = 4
2x = 1 x = 0 bulunur.
ÖRNEK 104
log2(2x – 4) + x – 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi-
ni bulunuz.
Çözüm
log2(2x – 4) = 5 – x 2x – 4 = 25–x
2x – 4 = 232
x olur.
Bulunan bu e itlikte 2x = t al n rsa
2x – 4 = 232
x t – 4 =
t32
t2 – 4t – 32 = 0
(t – 8)(t + 4) = 0
t = 8 t = –4 olur.
t = –4 2x = –4 e itli ini sa layan x yoktur.
(2x > 0 d r.)
t = 8 2x = 8 2x = 23 x = 3 olur.
Çözüm kümesi, Ç = {3} bulunur.
ÖRNEK 105
xlog2x + 2(log2x)2 – 32 = 0 denkleminin çözüm küme-sini bulunuz.
Çözüm
log2x = t al n rsa, x = 2t olur.
Bu durumda,
xlog2x = xt = (2t)t = 2(t2)
2(log2x)2 = 2(t2) olur.
Bu de erleri verilen e itlikte yerine yazarsak,
2(t2) + 2(t2) – 32 = 0 2.2(t2) = 32
2(t2) = 16 = 24
t2 = 4
t = 2 t = –2 olur.
t = 2 log2x = 2 x = 22 = 4
t = –2 log2x = –2 x = 2–2 = 41 bulunur.
Çözüm kümesi, Ç = ,41 4' 1 olur.
ÖRNEK 106
xlnx = e6+lnx denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
xlnx = e6+lnx xlnx = e6.eIn x
.X
xlnx = e6.x olur.
xlnx = e6.x ln(xlnx) = ln(e6.x)
lnx.lnx = lne6 + lnx
(lnx)2 = 6.lne + lnx
(lnx)2 = 6 + lnx
(lnx)2 – lnx – 6 = 0 olur.
Bu e itlikte lnx = t al n rsa
t2 – t – 6 = 0 (t – 3)(t + 2) = 0
t – 3 = 0 t + 2 = 0
t = 3 t = –2 olur.
t = 3 lnx = 3 x = e3
t = –2 lnx = –2 x = e–2 = e12
bulunur.
Çözüm kümesi, Ç = ,e
e12
3' 1 olur.
Logaritma
115
ETK NL K
Türkiye’nin 1990 ve 2000 y llar nda yap lan genel nüfus say mlar na göre nüfusu a a daki gibi tespit edilmi tir.
21.10.1990
22.10.2000
56.473.035
67.844.903
Say›m Tarihi Nüfus
Bu verilerle y ll k nüfus art h z n n yakla k % 1,85 oldu u sonucu ç kar labilir. 2000 y l ndan sonraki herhangi
bir t y l ndaki N nüfusu N(t) = 67,8.e0,0185.t milyon ki i biçiminde modellenebilir.
Bu ba nt y kullanarak hesap makinesi yard m yla
Türkiye’nin 2010 y l ndaki nüfusunu bulunuz.
t = 2010 – 2000 = 10
N(10) = 67,8.e0,0185.10 = 67,8.e0,185 = 67,8.(1,203) = 81,6 olur.
O halde Türkiye’nin 2010 y l ndaki nüfusu 81 600 000 ki idir.
Türkiye’nin nüfusunun 100 000 000 ki iye ula aca y l bulunuz.
67,8.e0,0185.t = 100 e0,0185.t = 1,474926 lne0,0185.t = ln(1,474926)
0,0185.t = 0,388608
t 21
2000 + 21 = 2021 bulunur. O halde, Türkiye’nin nüfusu 2021 y l içinde 100 000 000 ki i olacakt r.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
116
ÜSLÜ E TS ZL KLER
af(x) > ag(x) e itsizli i çözülürken
a > 1 ise f(x) > g(x) e itsizli i çözülür.
0 < a < 1 ise f(x) < g(x) e itsizli i çözülür.
ÖRNEK 107
24x–1 > 4x–2 e itsizli inin çözüm kümesini bulunuz.Çözüm
24x–1 > 4x–2 24x–1 > (22)x–2
24x–1 > 22x–4
4x – 1 > 2x – 4
2x > –3 x > – 23 olur.
Çözüm kümesi, Ç = ,23– 3c m bulunur.
ÖRNEK 108
23
32x x2 2 1– –c cm m e itsizli inin çözüm kümesini bu-
lunuz.Çözüm
23
32x x2 2 1– –c cm m
23
23x x2 1 2 1– – –c cm m= G
23
23x x2 2 1– – +c cm m
x – 2 –2x + 1
x 1 olur.
Çözüm kümesi, Ç = (– , 1] bulunur.
ÖRNEK 109
43
43>
x x2 1 2– +c cm m e itsizli inin çözüm kümesini bu-
lunuz.Çözüm
0 < a < 1 için an > am n < m oldu undan,
43
43>
x x2 1 2– +c cm m 2x – 1 < x + 2
x < 3 olur.
Çözüm kümesi, Ç = (– , 3) bulunur.
ÖRNEK 110
32
49>
x x2 1 2 1– –+c cm m e itsizli inin çözüm kümesini
bulunuz.
Çözüm
32
49>
x x2 1 2 1– –+c cm m 32
32>
x x2 1 2 2 1– – –+c cm m= G
32
32>
x x2 1 4 2+ +c cm m 2x + 1 < 4x + 2
–1 < 2x
21– < x
Çözüm kümesi, ,21Ç – 3= c m bulunur.
LOGAR TMALI E TS ZL KLER
logaf(x) < b e itsizli i çözülürken
a > 1 ise,
f(x) < ab
f(x) > 0 }
sistemi çözülür.
0 < a < 1 ise,
f(x) > ab
f(x) > 0 }
sistemi çözülür.
ÖRNEK 111
log2(x – 1) < 3 e itsizli inin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
log2(x – 1) < 3 x – 1 < 23
x < 9 olur.
Ayr ca, x – 1 > 0 x > 1 olaca ndan
x < 9
x > 1 }
1 < x < 9 bulunur.
Çözüm kümesi, Ç = (1, 9) olur.
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
117
ÖRNEK 112
log3(x – 2) log34 e itsizli inin çözüm kümesini bu-lunuz.
Çözüm
log3(x – 2) log34 x – 2 4 x 6 olur.
Ayr ca, x – 2 > 0 x > 2 olaca ndan
x 6
x > 2 }
x 6 bulunur.
Çözüm kümesi, Ç = [6, ) olur.
ÖRNEK 113
( )log x 2 2– <21 e itsizli inin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
( )log x 2 2– <21 x – 2 >
21 2c m x >
49 olur.
Ayr ca, x – 2 > 0 x > 2 olaca ndan
x
x
2
49
>
> 4 x49> bulunur.
Çözüm kümesi, Ç = ,493c m olur.
ÖRNEK 114
( ) ( )log logx x2 1 2– –<21
21
e itsizli inin çözüm küme-
sini bulunuz.
Çözüm
log21 (2x – 1) < log
21 (x – 2) 2x – 1 > x – 2
x > –1 olur.
Ayr ca, 2x – 1 > 0 ve x – 2 > 0 olaca ndan,
x > 21 ve x > 2 olur.
x
x
x
1
21
2
–>
>
>
_
`
a
bb
bb
x > 2 bulunur.
Çözüm kümesi, Ç = (2, ) olur.
ÖRNEK 115
1 < log2(3x – 1) < 2 e itsizli inin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
1 < log2(3x – 1) < 2 21 < 3x – 1 < 22
3 < 3x < 5
1 < x < 35 olur.
Çözüm kümesi, ,135Ç = c m bulunur.
ÖRNEK 116
1 < log21 (2x – 1) < 2 e itsizli inin çözüm kümesini
bulal m.
Çözüm
1 < log21 (2x – 1) < 2
21 1c m > 2x – 1 >
21 2c m
23 > 2x >
45
43 > x >
85 olur.
Çözüm kümesi, ,85
43c m bulunur.
ÖRNEK 117
log4(x2 – 9) 2 e itsizli inin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
log4(x2 – 9) 2 x2 – 9 42 x2 – 25 0 olur.
Ayr ca, x2 – 9 > 0 olaca ndan
x2 – 25 0
x2 – 9 > 0 }
sisteminin çözüm kümesi arad -
m z kümedir.
;0�<�;0�<�
�
� ��
�� ��: :
�����
�
� ������ �
�
�
�
Tablodan da görüldü ü gibi
Ç = [–5, –3) (3, 5] bulunur.
118
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a daki ifadelerin hangi iki ard k say aras n-da oldu unu bulunuz.
a. log270
b. log3210
c. log5612
d. ln8
e. log1987
f. log0,0003
g. log4,23
h. log19,93
2. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tuya D yanl olanlar için Y yaz n z.
logx = 2341,23 ise x , 3 basamakl d r.
logy = 12,314 ise x , 13 basamakl d r.
logz = 196,8 ise z , 195 basamakl d r.
logt = 1,134 ise t , 2 basamakl d r.
3. log2 = 0,30103 ise
a. 2400 kaç basamakl d r?
b. 2010 kaç basamakl d r?
c. 400100 kaç basamakl d r?
4. log7 = 0,8451 ise
a. 750 kaç basamakl d r?
b. 4920 kaç basamakl d r?
c. 49040 kaç basamakl d r?
5. A a daki say lar küçükten büyü e do ru s rala-y n z.
a. x = log210 , y = log25 , z = log240
b. x = log31 100 , y = log
31 22 , z = log
31 56
c. x = log78 , y = log9 , z = log310
d. x = log911 , y = log
1113 , z = log
1315
ALIŞTIRMALAR – 3
1. a. (6, 7) b. (4, 5) c. (3, 4) d. (2, 3) e. (3, 4) f. (–4, –3) g. (0, 1) h. (1, 2) 2. Y, D, Y, D 3. a. 121 b. 14 c. 261
4. a. 43 b. 34 c. 108 5. a. y < x < z b. x < z < y c. y < x < z d. z < y < x
Logaritma
119
6. A a daki fonksiyonlar n grafiklerini çiziniz.
a. y = 2x–1
b. y = 3x+1 + 1
c. y = 2–x – 3
d. y = log3x
e. y = log21 (x – 1)
f. y = log(x – 2)
g. y = ln(x + e)
h. y = log4(x + 2)
7. logx = 4,4272 ise logvx ifadesinin e itini bulu-nuz.
8. logx = –1,2412 ve logy = 2,1215 ise log(x2.y3) ifadesinin e itini bulunuz.
9. A a daki denklemlerin çözüm kümelerini bulu-nuz.
a. 9x – 3x+1 – 10 = 0
b. 6.e2x – 11ex + 3 = 0
c. e2–ln2x = x
d. 16x + 4x = 12
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. 2,2136 8. 3,8821 9. a. {log35} b. ,In In31
23' 1 c. e
2' 1 d. {log43}
Logaritma
120
ES
EN
YAY
INLA
RI
10. A a daki denklemlerin çözüm kümelerini bulu-nuz.
a. log2(x – 1) – log2(x – 2) = 2
b. log3(x – 2) + log3(x – 4) = 1
c. log(x + 1) – log(x – 2) = logx – log(x – 1)
d. log22(x + 1) + log2(x + 1) = 6
e. elnx = 7x – 12
f. log2x = logx2
g. log x2 = 2 – log2x
h. xlog6x = 36x
i. lnx – 3logxe = 2
j. xlogx = 103+2logx
k. log2 x3 = log 2x3
11. A a daki e itsizliklerin çözüm kümelerini bulu-nuz.
a. 2x–1 < 2
1x2 3–
b. 43
34x x1 2 1– –c cm m
c. 4x–1 < 2x+2
d. 94
827>
x x2 1–+c cm m
e. log2(x – 3) 1
f. log21 (2x – 6) 2
g. |log3(x – 2)| 3
h. 1 log3(x – 1) 2
i. log22x – log2x
3 < 10
j. 2 log21 (x – 1) < 4
10. a. 37' 1 b. {5} c. Ø d. ,
87 3–' 1 e. {2} f. ,
21 2' 1 g. {2} h. ,
61 36' 1 i. {e–1, e3} j. ,
101 1000' 1 k. ,8
81' 1
11. a. ,34–3c m b. ,
32–3c E c. (– , 4) d. ,
51– –3c m e. (3, 5] f. ,3
825c E g. ,
2755 29; E h. [4, 10] i. ,
41 32c m j. ,
1617
45c E
ES
EN
YAY
INLA
RI
121
YAZILIYA HAZIRLIK – 1
1. log2 = a, log3 = b ve log156 = c ise log1300 ifadesinin a, b, c cinsinden de erini bulunuz.
2. log2 [2 + 2log3(4x – 1)] = 2
denkleminin kökü kaçt r?
3. log log log18
418
218
13 6 2
+ +
ifadesinin e itini bulunuz.
4. f(x) = logx – 1 xx
8 –b l fonksiyonunun en geni
tan m kümesini bulunuz.
5. 2logx3 + 3logx2 = 8 ise log9x in e itini bulunuz.
6. log2 = 0,301 ve log3 = 0,477 ise
log241 ifadesinin e itini bulunuz.
Logaritma
122
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. f(x) = 2.e4x – 1 + 1
fonksiyonu için f–1(x) in e itini bulunuz.
8. lnxe + (lnx)2 = 3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
9. xlnx = x.e2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
10. f(x) = 1 + log2(x + 2)
fonksiyonunun grafi ini çiziniz.
1. c – b – 2a + 2 2. 1 3. 3 4. (1, 8) – {2} 5. 41 10.
6. –1,380 7. In x41
21 1– +c m; E 8. ,
ee1
2' 1 9. ,e
e1 2' 1 –2x
y
–1
1
2
ES
EN
YAY
INLA
RI
123
YAZILIYA HAZIRLIK – 2
1. ln2e = x, ln3e = y ve ln66 = z ise
lne11 ifadesinin e itini bulunuz.
2.
log log1
31
1
12
11
2 3+
++
ifadesinin e itini bulunuz.
3. loga27 = 6 ve logv3a = 2b ise a.b kaçt r?
4. f(x) = log3(x – 2) ve (gof)(x) = 3x + 1 ise g(x) fonksiyonunu bulunuz.
5. log5 = x ise log85v5 ifadesinin x cinsinden de-erini bulunuz.
6. ( ) logf xxx2
11 1– –3=
+c m; E fonksiyonu için
f –1(x) in e itini bulunuz.
Logaritma
124
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. log2 = 0,30103 ise 2525 say s kaç basamakl -d r?
8. logv2(x – 1) – log2(x – 2) = 2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
9. 2x + 21 – x = 3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
10. f(x) = 1 – 2x – 1
fonksiyonunun grafi ini çiziniz.
1. z – x – y + 1 2. 1 3. 23 4. 3x+1 + 7 5.
xx
2 2– 10.
6. 1 3
3 1
–x
x
21
21
++
+
7. 35 8. {3} 9. {0, 1}
1/2
x
y
1
ES
EN
YAY
INLA
RI
125
TEST – 1
1. log2(3x – 1) = 3 ise x kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. 2x = 5 ise x a a dakilerden hangisine e ittir?
A) log52 B) log2 C) log5
D) log510 E) log25
3. logx9 = 2 ise x kaçt r?
A) v2 B) v3 C) 2 D) 3 E) 6
4. log23 + log4x = log165 e itli ini sa layan x de-eri a a dakilerden hangisidir?
A) 25 B)
35 C)
65
D) 85 E)
95
5. log3 x1 = –2 ise x kaçt r?
A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) 27
6. log4 = x ise log5 in x cinsinden de eri a a -dakilerden hangisidir?
A) x2
1– B) x2
2 – C) x2
2–
D) x2
1– E) 2 – x
7. ln(1 + lnx) = 1 e itli ini sa layan x de eri a a-dakilerden hangisidir?
A) e1–e B) ee C) ee–1 D) e–e E) e
8. ln[ 1 + log3(2 – log2x)] = 0 e itli ini sa layan x de eri a a dakilerden hangisidir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
126
1.C 2.E 3.D 4.E 5.D 6.B 7.C 8.C 9.C 10.A 11.E 12.B 13.B 14.C 15.C 16.C
9. f(x) = 2log(x – 1) olmak üzere,
f –1(x) a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 10x B) 10 1–x C) 10 1x +
D) 2 10x E) 2 10 1x +
10. f(x) = 2x+1 – 3 olmak üzere,
f –1(x) a a dakilerden hangisine e ittir?
A) log2x
23+c m B) log2(x + 3)
C) log2(x – 3) D) log2x
23–c m
E) log2x
32–c m
11. logx = 346,123 ise x say s kaç basamakl d r?
A) 2 B) 3 C) 345 D) 346 E) 347
12. a = log78 , b = log9 ve c = log524 olmak üzere, a a daki s ralamalardan hangisi do rudur?
A) b < c < a B) b < a < c C) a < c < bD) a < b < c E) c < a < b
13. log log log6
136
16
2
2 9 6+ + ifadesinin e iti a a-
dakilerden hangisidir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
14. f(x) = logx–1(3 – x) fonksiyonunun en geni tan m kümesi a a dakilerden hangisidir?
A) (1, 3) B) (1, 2) C) (1, 3) – {2}D) [1, 2) E) (0, 2) – {1}
15. log2(x + 2) + log2(x – 1) = 2 denkleminin çözüm kümesi a a dakilerden hangisidir?
A) {–3, 2} B) {–2, 3} C) {2}D) {3} E) {4}
16. 4x + 1 = 21–x denkleminin gerçek köklerinin top-lam kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
ES
EN
YAY
INLA
RI
127
TEST – 2
1. logx64 = 3 ise log4x kaçt r?
A) 21 B) 1 C)
23 D) 2 E) 3
2. log2[log4(log216)] ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
3. log2x = a ise log x21 a a dakilerden hangisi-
dir?
A) –2a B) – a2
C) –a D) a E) a2
4. log2 = x olmak üzere, log250 ifadesinin e iti a a dakilerden hangisi-
dir?
A) 3 – 2x B) 2 – 2x C) 2 – 3xD) 1 – 2x E) 1 – 3x
5. log log16 92
333+ ifadesinin e iti a a daki-
lerden hangisidir?
A) 319 B)
323 C) 8 D)
326 E) 9
6. loglog
1 61 3
– 2
2+ ifadesinin e iti a a dakilerden
hangisidir?
A) log3 61 B) log2 6
1 C) log26
D) log36 E) log3 121
7. log151 325+
5 ifadesinin e iti a a dakilerden han-
gisidir?
A) 4 B) 8 C) 10 D) 18 E) 20
8. log2240 say s a a daki aral klardan hangisinde bulunur?
A) (4, 5) B) (5, 6) C) (6, 7)D) (7, 8) E) (8, 9)
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
128
1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.A 7.E 8.D 9.A 10.A 11.B 12.D 13.B 14.A 15.D 16.D
9. log50,02 = x ise log25 ifadesinin e iti a a da-kilerden hangisidir?
A) x 2
1–+
B) x 1
1–+
C) x 2
1+
D) x 2
1–
E) x 1
1–
10. log9 = 0,724 ise log30 ifadesinin e iti a a da-kilerden hangisidir?
A) 1,362 B) 2,362 C) 1,724D) 2,724 E) 3,362
11. e2–ln4 = x ise ln2vx ifadesinin e iti a a dakiler-den hangisidir?
A) 21 B) 1 C) e D) 2e E) 4
12. f(x) = log(6–x)(x – 2) fonksiyonunu tan ml yapan
x tam say lar n n toplam kaçt r?
A) 12 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5
13. log525! = a ise log524! ifadesinin e iti a a da-kilerden hangisidir?
A) a – 5 B) a – 2 C) a – 1D) a + 2 E) a + 5
14. elogxe – ex2 = 0 e itli ini sa layan x de erlerinin çarp m a a dakilerden hangisidir?
A) e
1 B)e1 C) ve D) e E) 2e
15. log23.log34.log45.log56.....log6364
ifadesinin e iti kaçt r?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
16. log2(x + 2) – log4(x + 3) = 1 denkleminin kökler çarp m a a dakilerden hangisidir?
A) –8 B) – 4 C) 4 D) 2v2 E) 8
ES
EN
YAY
INLA
RI
129
TEST – 3
1. log2(log93) = log41 x ise x kaçt r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
2. log35 = x ise log515 ifadesinin x cinsinden e iti
a a dakilerden hangisidir?
A) x
x1+
B) x
x1–
C) x
x 2+
D) x
x 1– E) x
x 1+
3. logx4 = log38 e itli ini sa layan x de eri a a -dakilerden hangisidir?
A) 33 B) 63 C) 93 D) 3v3 E) 4v3
4. log713,416 = x ise x say s n n tam k sm kaçt r?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
5. log log2
4 3 421–+ log5 + 8log5
ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) 213 B) 7 C)
215 D) 8 E)
217
6. . .log log log5 6 82
33625
ifadesinin e iti a a -
dakilerden hangisidir?
A) 21 B) 1 C)
23 D) 2 E) 3
7. log2[3 + log3(8 – log232)] ifadesinin e iti a a -dakilerden hangisidir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
8. log23 = x ise log2454 ifadesinin x cinsinden de-
eri a a dakilerden hangisidir?
A) xx
23 1–
+ B)
xx
23 1
++ C)
xx
33 1
++
D) xx
33 1–
+ E)
xx
32 1
++
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
130
1.C 2.E 3.C 4.D 5.C 6.A 7.C 8.C 9.D 10.C 11.E 12.B 13.D 14.D 15.C 16.D
9. log99! = a ise log100! ifadesinin a cinsinden de eri a a dakilerden hangisidir?
A) a – 2 B) a – 1 C) a + 1D) a + 2 E) a + 10
10. log2 = 0,30103 ise 550 kaç basamakl d r?
A) 33 B) 34 C) 35 D) 36 E) 37
11. x = loga5 ve y = logv5a ise log8xy ifadesinin
e iti a a dakilerden hangisidir?
A) 3 B) 23 C) 1 D)
32 E)
31
12. f: (2, ) R , f(x) = 3 + 2log3(x – 2) fonksiyonu
için f –1(x) a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 3 2x
32–
+ B) 3 2x
23–
+ C) 3 2–x
23–
D) 3 2x
22–
+ E) 3 2–x
32–
13. lnx + ln3 = ln(x + 3) e itli ini sa layan x de eri a a dakilerden hangisidir?
A) 52 B)
32 C) 1 D)
23 E) 2
14. log2(x + y) = 4 ve log2(x – y) = 2 e itliklerini sa layan x ve y de erlerinin çarp m
kaçt r?
A) 40 B) 48 C) 52 D) 60 E) 66
15. 5log72 – 2log75 ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
16. log2,34 = x ise log(23,4) ifadesinin e iti a a -dakileden hangisidir?
A) x – 1 B) 10x C) 10x – 1D) x + 1 E) x + 2
ES
EN
YAY
INLA
RI
131
TEST – 4
1. log2[ log3(4x – 1)] = 0 e itli ini sa layan x de eri
a a dakilerden hangisidir?
A) 21 B) 1 C)
23 D) 2 E) 3
2. log(x.y) = 2logyx ise logyx ifadesinin e iti
a a dakileden hangisidir?
A) 31 B)
21 C) 1 D) 2 E) 3
3. 2 ( )log log3 32+4 2^ h ifadesinin e iti a a dakiler-den hangisidir?
A) 84 B) 88 C) 2v2 D) 43 E) 2
4. logaba = x ise logba ifadesinin e iti a a dakiler-
den hangisidir?
A) x
x1–
B) x
x1 + C) x
x1–
D) x
x1 +
E) x
x1–
5. log52 = x ise log25 in x cinsinden de eri a a-dakilerden hangisidir?
A) x 1
2+
B) x 2
1+
C) x 1
1–
D) x 1
2–
E) xx
11–
+
6. x = log524 , y = log637 , z = log78 say lar aras ndaki s ralama a a dakilerden
hangisidir?
A) z < x < y B) z < y < x C) y < x < zD) y < z < x E) x < y < z
7. log2 = 0,30103 ise 2020 say s kaç basamakl -d r?
A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29
8. log3(x – 2) – log3(x + 4) = –1 ise logx5x kaçt r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
132
1.B 2.E 3.A 4.E 5.A 6.A 7.C 8.A 9.C 10.C 11.A 12.E 13.E 14.D 15.B 16.D
9. 3x – 31–x = 2 denkleminin kökler çarp m kaçt r?
A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
10. log2x + logx2 = 24 denkleminin kökler çarp m a a dakilerden hangisidir?
A) 10–4 B) 10–3 C) 10–2 D) 102 E) 103
11. ln2e = 1 + elnx e itli ini sa layan x de eri a a-dakilerden hangisidir?
A) ln2 B) ln3 C) ln5 D) ln6 E) ln10
12. f: R (– , 2) , f(x) = 2 – 2.32x–1 fonksiyonu için
f –1(x) a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 1 + log3x
22 – B) log x
21 1
2– 3: D
C) log x21 1
22 – –
3; E D) 1 – log3x
22 –
E) log x21 1
22 –
3+; E
13. log52 = x ise xx
2 13 1
++ ifadesinin e iti a a daki-
lerden hangisidir?
A) log4020 B) log3020 C) log4030D) log2030 E) log2040
14. |1 – log2x| < 2 e itsizli inin çözüm kümesi a a -dakilerden hangisidir?
A) ,21 4c m B) (2, 4) C) (2, 8)
D) ,21 8c m E) ,
41
21c m
15. 3logx2 + 2logx3 = 16 ise x kaçt r?
A) v3 B) 33 C) v2 D) 23 E) v6
16.
x
y
y=logax
0 1 8
3
f(x) = logax fonksiyonunun grafi i yukar daki gi-bidir. Buna göre f –1(4) kaçt r?
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 32
ES
EN
YAY
INLA
RI
133
TEST – 5
1. log a32
= ve log34 = b ise logab16 ifadesinin
e iti a a dakilerden hangisidir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
2. log6! = a ve log7! = b ise a + b ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) log9! B) log10! C) log11!D) log12! E) log13!
3. log35 = x ise log15375 ifadesinin x cinsinden de eri a a dakilerden hangisidir?
A) xx
13 2
++ B)
xx
13 1
++ C)
xx
12 3
++
D) xx
23 1
++ E)
xx
22 3
++
4. ln(x.y) = 4 ve lnyx = 2 ise
x a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 1 B) e1 C) e D) e2 E) e3
5. log4125 say s ndan küçük olan en büyük tam say kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. log log16 421
24
23+a ^k h ifadesinin e iti a a -
dakilerden hangisidir?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
7. log2 2 2 44 3 ifadesinin e iti a a dakilerden
hangisidir?
) ) ) ) )A B C D E2411
21
2413
127
41
8. 3logx = 2 e itli ini sa layan x de eri a a daki-lerden hangisidir?
A) 2log32 B) 10log23 C) 10log210 D) 2log310 E) 2log3
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
134
1.C 2.B 3.B 4.E 5.C 6.D 7.A 8.D 9.C 10.D 11.C 12.B 13.E 14.C 15.B 16.C
9. f(x) = logx–2 xx
25–
+c m fonksiyonunun tan m kümesi
a a dakilerden hangisidir?
A) (– , –2) B) (–2, 5) C) (5, )D) (2, 5) E) (2, )
10. log3150 < x < log2150 olmak üzere, x in alabilece i tam say de erlerinin toplam
kaçt r?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
11. log6 = 0,7781 ise 360100 say s kaç basamakl bir say d r?
A) 254 B) 255 C) 256 D) 257 E) 258
12. log2(x + 2) – log23 = 1 ise log4x kaçt r?
A) 21 B) 1 C)
23 D) 2 E) 4
13. logx + lnx = lnex e itli ini sa layan x de eri a a dakilerden hangisidir?
A) 1 B) e C) 2 D) 2e E) 10
14. xlog2x = 4x e itli ini sa layan x de erlerinin top-lam kaçt r?
A) 27 B) 4 C)
29 D) 5 E)
211
15. f(x – 1) = 2 + loga(x + 3) fonksiyonunda f(1) = 3
ise f –1(4) kaçt r?
A) 22 B) 21 C) 20 D) 18 E) 16
16.
x
yy=logax
0
y=logbx
y=logcx
ekildeki grafi i çizilen fonksiyonlara göre a, b ve c aras ndaki do ru s ralan a a dakilerden hangisidir?
A) c < b < a B) b < a < c C) c < a < bD) b < c < a E) a < b < c
ES
EN
YAY
INLA
RI
135
TEST – 6
1. loga[2 – log3(b + 2)] = 0 ise b kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
2. logabcab + logabcac + logabcbc ifadesinin e iti a a-
dakilerden hangisidir?
A) 1 B) 23 C) 2 D)
25 E) 3
3. e2–xlnx = e2–e e itli ini sa layan x de eri a a -dakilerden hangisidir?
A) –e B) e1 C) 1 D) e E) 2e
4. log372 say s n n tam k sm kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5. f(x) = log(x2 – 5x + 6) fonksiyonunun tan ms z ol-du u aral k a a dakilerden hangisidir?
A) (2, 3) B) (3, 4) C) [2, 3]D) (– , 2) E) [3, 4]
6. f(x) = 3 – log2(3 – x) ise f –1(2) ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
7. e 2 2Inx2 = ise x a a dakilerden hangisine
e ittir?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
8. log200250 = x ise log25 ifadesinin e iti a a da-kilerden hangisidir?
A) xx
2 33 1
++ B)
xx
3 12 3
++ C)
xx
3 13 2
––
D) xx
2 33 1
–– E)
xx
3 23 1
––
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
136
1.D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.D 8.E 9.D 10.E 11.D 12.C 13.C 14.E 15.A 16.A
9. log25 = x ve log23 = y ise log2545 ifadesinin
e iti a a dakilerden hangisidir?
A) x
x y2+ B)
xx y2+ C)
xx y2
2 +
D) x
x y2
2+ E) x
y x2
2 +
10. log2 = 0,301 ve log3 = 0,477 ise 2410 say s kaç basamakl d r?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
11. 2 < log2(2 – x) < 3 e itsizli inin çözüm kümesi
a a dakilerden hangisidir?
A) (–8, –4) B) (–7, –3) C) (–4, –2)D) (–6, –2) E) (–5, –3)
12. logx = 2,2464 ise logvx ifadesinin e iti a a -dakilerden hangisidir?
A) 0,1232 B) 0,2464 C) 1,1232D) 2,1232 E) 2,2464
13. log2x – logx8 + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi a a dakilerden hangsidir?
A) ,81 1' 1 B) ,
21 4' 1 C) ,
81 2' 1
D) ,21 8' 1 E) ,
41 2' 1
14. log log1 5 52 2+ + ifadesinin de eri a a daki-lerden hangisidir?
A) log5 B) 1 C) log20D) log25 E) log50
15. log3(x + 1) – 1 > log3(x – 5)
e itsizli inin çözüm kümesi a a dakilerden han-gisidir?
A) (5, 8) B) (– , –1) C) (–1, 5)D) (5, ) E) (8, )
16.
x
y
0
y=loga(x+b)–2
–13
f(x) = loga(x + b) fonksiyonunun grafi i yukar da-ki gibidir. Buna göre a + b kaçt r?
A) 23 B) 1 C)
21 D) –
21 E) –
23
ES
EN
YAY
INLA
RI
137
TEST – 7
1. log x621 =
ise log1218 ifadesinin x cinsinden
de eri a a dakilerden hangisidir?
A) xx
12 1
–+ B)
xx
12 1
–– C)
xx
12
–+
D) xx
12
–– E)
xx
22 1
–+
2. x y3 = ise logxy ifadesinin e iti a a dakiler-
den hangisidir?
A) 31 B)
32 C) 1 D)
23 E) 3
3. logx = 1 – lnx e itli ini sa layan x de eri a a-dakilerden hangisidir?
A) elog10e10 B) eloge C) elog e
10
D) elog10ee E) elog10e
4. ( ) ( )logf x x1 2–21= fonksiyonunun en geni
tan m kümesi a a dakilerden hangisidir?
A) ,213c m B) ,
21–3c m C) [0, )
D) (– , 0] E) ,021 m;
5. f(x + 1) = e2x–5 ve g(x – 1) = 2 + ex ise (fog–1)(3) ifadesinin e iti a a dakilerden hangi-
sidir?
A) e13
B) e15
C) e16
D) e18
E) e19
6. log2x + logx2 = 3 denkleminin kökler çarp m a a-dakilerden hangisidir?
A) 1001 B)
101 C) 1 D) 10 E) 100
7. log152 = x ise 53
x
x
1
1
–
+ ifadesinin e iti kaçt r?
A) 56 B) 1 C)
54 D)
53 E)
52
8. log(x + 2) = logx + log2 ise log2vx kaçt r?
A) 21 B) 1 C)
23 D) 2 E) 4
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
138
1.A 2.B 3.A 4.E 5.E 6.A 7.A 8.A 9.E 10.E 11.C 12.C 13.D 14.C 15.C 16.E
9. f(x) = log(x–4)(10 – x) fonksiyonunun tan m küme-
sindeki tam say lar n toplam kaçt r?
A) 35 B) 34 C) 32 D) 31 E) 30
10. a = log3 ve b = ln3 ise a a daki ifadelerden hangisi do rudur?
A) b < 0 < a B) b < a < 0 C) a < 0 < bD) a < b < 1 E) a < 1 < b
11. a = log39 , b = log25 , c = log520 olmak üzere, a a daki s ralamalardan hangisi do rudur?
A) b < a < c B) a < b < c C) c < a < bD) c < b < a E) a < c < b
12. log49 – log2x = log2v5 ise log5x3
ifadesinin e iti
a a dakilerden hangisidir?
A) 23– B) –1 C)
21– D)
21 E) 1
13. logx = –0,203 ise logx12
ifadesinin e iti a a -
dakilerden hangisidir?
A) –0,406 B) –0,102 C) 1,102D) 0,406 E) 1,203
14. log2[3 – log4(2 + log3(x + 1)] = 1 e itli ini sa la-yan x de eri kaçt r?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6
15. loglog
loglog
logzz
zz
z1
x y xy+ =
e itli ini sa layan z kaçt r?
A) 2 B) 5 C) 10 D) 20 E) 100
16. f(x) = x.log3(x + k) fonksiyonunda f –1(4) = 2 ise
f –1(60) kaçt r?
A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20
ES
EN
YAY
INLA
RI
139
TEST – 8
1. log(x+1)(x2 – 5) = 1 ise logx(x + 6) kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. a = lnx ve b = logx ise a say s , b say s n n kaç kat d r?
A) 10 B) loge C) 10eD) e E) ln10
3. ln(lnx) + lnx = 2 + ln2 e itli ini sa layan x de eri a a dakilerden hangisidir?
A) e B) 2e C) e2 D) 2e2 E) 4e
4. x = 2log34 ve y = 4log32 ise logxy ifadesinin e iti kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
5. log32 = x ve log53 = y ise log6 ifadesinin x ve y cinsinden de eri a a dakilerden hangisidir?
A) xyxy y
1++ B)
xyxy x
1–+
C) xyxy x
1–+
D) xyxy y
1–+ E)
xy xxy y
–+
6. (log10x – 1)log x100
2= – logx denkleminin çö-
züm kümesi a a dakilerden hangisidir?
A) {10} B) {100} C) ,101 10' 1
D) ,101 100' 1 E) ,
1001 10' 1
7. log229 = x ise x a a daki aral klar n hangisinde bulunur?
A) (6, 7) B) (5, 6) C) (4, 5)D) (3, 4) E) (2, 3)
8. loga2 = logb4 ise logaba2 – logabb
2 ifadesinin
e iti a a dakilerden hangisidir?
A) –1 B) 32– C)
32 D) 1 E)
23
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
140
1.B 2.E 3.C 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B 9.A 10.E 11.E 12.C 13.A 14.C 15.A 16.E
9. logva
b + c.logab = 3 ise a c 23+ ifadesinin e iti
a a dakilerden hangisidir?
A) b B) b1 C)
b12
D) b2 E) vb
10. loglog
loglog x
53
164
2
3
5= e itli ini sa layan x de eri
a a dakilerden hangisidir?
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28
11. f(x) = log2(x2 – mx + 1) fonksiyonu
x R için tan ml oldu una göre m nin de er aral a a dakilerden hangisidir?
A) (– 4, 0) B) (–2, 0) C) (0, 2)D) (0, –4) E) (–2, 2)
12.
0
y=loga(x+b)
x
y
1
3
10
f(x) = loga(x + b) fonksiyonunun grafi i yukar da-ki gibidir. Buna göre f(4) kaçt r?
A) 21 B) 1 C)
23 D) 2 E)
25
13. logxxy + logxyx = logxy ise log(x2.y) ifadesinin
e iti a a dakilerden hangisidir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
14. log20 = 1,30103 ise log21 ifadesinin e iti
a a dakilerden hangisidir?
A) 0,69897 B) 1,69897 C) –0,30103D) –0,69897 E) –1,30103
15. x = logy2 ve 20 < y < 400 ise x a a dakiler-den hangisine e it olabilir?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
16. ABC üçgeninde
log2 log6
log3x
A
B C
|AB| = log2 cm
|AC| = log6 cm
|BC| = log3x cm ise x in de er aral a a dakilerden hangisidir?
A) (1, 3) B) (0, 3) C) (0, 4)D) (2, 5) E) (1, 4)
ES
EN
YAY
INLA
RI
141
TEST – 9
1. logx + log5 = 1 e itli ini sa layan x de eri kaç-t r?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 10
2. x R olmak üzere, logx < 0 olmas için x a a daki aral klar n han-
gisinde de er almal d r?
A) (– , –1) B) (– , 0) C) (–1, 0)
D) (0, 1) E) (1, )
3. log(x + 1) – logx = 2 denkleminin çözüm kümesi a a dakilerden hangisidir?
A) 991' 1 B)
91' 1 C)
31' 1
D) 21' 1 E) {1}
4. loga = 1,44 oldu una göre,
a259 nin de eri a a dakilerden hangisidir?
A) 10 B) 102 C) 122 D) 104 E) 124
5. log(cotx) = 0 ise x in en küçük radyan ölçüsü a a dakilerden hangisidir?
) ) ) ) )A B C D E6 4 3 2 4
3r r r r r
6. log2a = log b21 oldu una göre,
log(a.b) nin de eri nedir?
A) 2 B) 1 C) 21 D)
41 E) 0
7. log10(log232) = log100x oldu una göre,
x in de eri nedir?
A) v5 B) 5 C) 25 D) 125 E) 625
8. xlog32 – (vx + 1)log92 = 0 denkleminin kökü a a-
dakilerden hangisidir?
A) 32 B)
21 C) 1 D) 2 E) 3
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
142
1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 6.E 7.C 8.C 9.B 10.E 11.D 12.C 13.A 14.D 15.E 16.B
9. 2n = a ve loga162 = n2 oldu una göre,
n kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
10. g(f(x)) = f(x + 1) ve f(x) = lnx ise
g(g(lnx)) a a dakilerden hangisine e ittir?
A) ln(x + 1)x+2 B) ln(x + 1)x
C) lnx D) ln(x + 1) E) ln(x + 2)
11. log20 – log(x – 1) = 1 denkleminin kökü a a da-kilerden hangisidir?
A) 23 B) 2 C)
25 D) 3 E) 4
12. a3 = b4 oldu una göre,
log(b3)
a2 ifadesinin de eri kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E94
21
98
34
89
13. log2ex = lnxn oldu una göre,
n a a dakilerden hangisine e ittir?
A) log2ee B) ln2e C) 2 + ln2
D) In21 E) log2e
14. x = log2 91 , y = log3 25
1 , z = log4 51
oldu una göre, a a daki s ralamalardan hangisi do rudur?
A) z < y < x B) z < x < y C) y < x < zD) x < y < z E) x < z < y
15. ln2x – lnx2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) Ø B) {1} C) {e2}D) {1, e} E) {1, e2}
16. an = bm oldu una göre, mn kesri a a dakilerden
hangisine e ittir?
A) log(a.b) B) logab C) logbaD) log(a + b) E) ln
ba
143
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 1981 – ÖYS
y = log7 x1 ve x = 75 ise y nin de eri nedir?
A) –5 B) 51– C)
51 D) 5 E) 7
2. 1982 – ÖYS
( )log log2212
2+ c m ifadesinin de eri nedir?
A) 0 B) logv2 C) v2 log21c m
D) log21c m E) v2 log2
3. 1983 – ÖYS logac = x , logbc = y oldu una göre x in a, b, y
türünden de eri a a dakilerden hangisidir?
A) logaby B) log
yab C)
logy
ba
D) y.logba E) y.logab
4. 1984 – ÖYS log2(log10x) = 3 e itli ini sa layan x de eri a a-
dakilerden hangisidir?
A) 102 B) 103 C) 106 D) 108 E) 109
5. 1985 – ÖYS log35 = a oldu una göre log515 ifadesinin de-
eri nedir?
A) a 1
1–
B) a
a1–
C) a
a 1–
D) a
a1+
E) a
a 1+
6. 1986 – ÖYS log1656 = a , log2 = b , log3 = c oldu una göre log23 ün de eri nedir?
A) a – 2b – 3c B) a – 3b – 2c C) a – b – 3c D) a – 2b – c E) a – b – c
7. 1987 – ÖYS log(a + b) = loga + logb oldu una göre b nin a türünden de eri nedir?
A) a
a1+
B) a
a 1+ C) a
a1–
D) a
a 1– E) aa
11
–+
8. 1987 – ÖYS ln(xy) = 2a , ln
yxc m = 2b oldu una göre
x in de eri nedir?
A) ea+b B) eb–a C) ea–b D) e–(a+b) E) eab
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
144
9. 1988 – ÖSS
logx + 2logx1 = log8 – 2logx denkleminin çözü-
mü nedir?
A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2
10. 1988 – ÖYS lna = p olarak verildi ine göre, loga2 a a daki-
lerden hangisine e ittir?
A) ploge B) 2ploge C) plog2e
D) plog e2
E) p2
loge
11. 1988 – ÖYS y = log x
31 in grafi i hangisi olabilir?
0 x
yA)
0 x
yB)
0 x
yC)
0 x
yD)
0 x
yE)
1
1
1
1
12. 1988 – ÖYS log2 = 0,301 , log3 = 0,477 oldu una göre, log360 n de eri kaç olur?
A) 2,731 B) 2,556 C) 3,043D) 1,987 E) 1,865
13. 1989 – ÖSS a5 = b oldu una göre, logba
3 kaçt r?
A) 2 B) 8 C) 15 D) 53 E)
35
14. 1989 – ÖYS logx + log(3x + 2) = 0 denklemini sa layan de er
nedir?
) ) ) ) )A B C D E21
31
41
51
61
15. 1990 – ÖYS log7(2x – 7) – log7(x – 2) = 0 oldu una göre,
log5x in de eri nedir?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
145
16. 1991 – ÖYS log35 = a oldu una göre, log925 in de eri nedir?
A) a B) 2a C) a2 D) a2
E) va
17. 1992 – ÖYS log53 + log5a = 1 oldu una göre, a kaçt r?
A) 3 B) 2 C) 1 D) 35 E)
34
18. 1993 – ÖYS loga9 = 4 , log3a = b oldu una göre,
a.b çarp m kaçt r?
A) v2 B) v3 C) 2v3D)
23 E)
32
19. 1994 – ÖYS log3(9.3x+3) = 3x + 1 denkleminin çözüm kümesi
a a dakilerden hangisidir?
A) {–1, 1} B) {0, 2} C) {0}D) {1} E) {2}
20. 1994 – ÖYS f(x) = log2x , (gof)(x) = x + 2 oldu una göre, g(x) a a dakilerden hangisidir?
A) 2x B) 2x – 1 C) 2x + 1D) 2x + 2 E) 2x – 2
21. 1995 – ÖYS
loglog
logx
x94 27
3
33= denklemini sa layan x de e-
ri kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9
22. 1996 – ÖYS log102 = a , log103 = b oldu una göre,
log1072 nin a ve b türünden de eri a a daki-
lerden hangisidir?
A) 2b – 3a B) 3a – b C) 3a – 2bD) 3a + 2b E) 2a + 3b
23. 1997 – ÖYS log2(2log3(3log4(x + 2) ) ) = 1 oldu una göre x kaçt r?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
146
24. 1998 – ÖYS
log log log24
324
624
12
4 2 34+ +
i leminin sonucu kaçt r?
A) 1 B) 3 C) 6 D) 8 E) 12
25. 2006 – ÖSS
: ,f31–3c m R fonksiyonu
f(x) = log3(3x + 1) ile tan mlan yor. Buna göre, ters fonksiyonu belirten f –1(x) a a -
dakilerden hangisidir?
A) f –1(x) = 3x B) f –1(x) = 3x + 1
C) f –1(x) = log(3x + 1) D) f –1(x) = 3
3 1–x
E) f –1(x) = x3
13 +
26. 2007 – ÖSS log2(log3(5x + 6)) = 2 oldu una göre x kaçt r?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 15 E) 18
27. 2008 – ÖSS log49 + log2(a – 3) < 4
e itsizli ini sa layan kaç tane a tam say s var-d r?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
28. 2009 – ÖSS y
x0 1
3
1
f(x)=logax
Yukar da logax fonksiyonunun grafi i verilmi tir.
Buna göre, f f271cc mm de eri kaçt r?
A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
29. 2010 – LYS log35 = a oldu una göre, log515 in de eri kaçt r?
A) a
a1+
B) a
a 1+ C) a
a3+
D) a
a 3+ E) a34
30. 2010 – LYS
log log6
16
1
2 3+
ifadesi a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 31 B) 1 C) 2
D) log62 E) log63
31. 2010 – LYS 0 log2(x – 5) 2 e itsizliklerini sa layan kaç tane x tam say s
vard r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
147
32. 2010 – LYS 1 den farkl a, b, c pozitif gerçel say lar için,
logab = 21
logac = 3
oldu una göre, logc ab
b
2d n ifadesinin de eri
kaçt r?
A) 23 B)
25 C)
35 D) –6 E) –5
33. 2011 – LYS log9(x
2 + 2x + 1) = t , (x > –1) oldu una göre, x in t tü rün den e i ti a a da ki-
ler den han gi si dir?
A) 3t – 1 B) 3t–1 C) 3 – 2t
D) 2.3t–1 E) 3t – 2
34. 2012 – LYS
log23x + log4x2 = 2
denklemini sa layan x de eri kaçt r?
A) 22 B)
223 C)
225
D) 33 E)
332
35. 2012 – LYS
2x = 51
3y = 14
oldu una göre, x.y çarp m n n de eri kaçt r?
A) lnln23 B)
lnln215 C)
lnln45
D) lnln253
E) lnln56
148
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. x = 75 ise
y = log7 x1 = log7 7
15
= log77–5 = –5.log77 = –5
elde edilir.Do ru Seçenek A
2.
.
. ( )
log log log log
log log
log log
log
221 2 2
2 1 2
2 2
2 2
–
2 2 2 1 2
2 2
2 2
2
–+ = +
= +
= +
=
^ c ^ ^^ ^^ ^
h m h hh hh h
= 2 .log2 bulunur.Do ru Seçenek E
3. logbc = y c = by dir.
x = logac = logaby = y.logab olur.
Do ru Seçenek E
4. log2(log10x) = 3 log10x = 23
log10x = 8
x = 108 bulunur.Do ru Seçenek D
5. log35 = a olmak üzere,
log515 = log5(5.3)
= log55 + log53
= 1 + log 5
1
3
= 1 + a1
= a
a 1+ bulunur.
Do ru Seçenek E
6. 1656 2 1656 = 23.32.23log2 = blog3 = c
828 2 414 2 207 3 69 3 23 23 1
log1656 = a log(23.32.23) = a
log23 + log32 + log23 = a
3.log2 + 2.log3 + log23 = a
3.b + 2.c + log23 = a
log23 = a – 3b – 2c dir.
Do ru Seçenek B
7. log(a + b) = loga + logb log(a + b) = log(a.b) a + b = a.b a = ab – b a = b(a – 1)
b = a
a1–
bulunur.
Do ru Seçenek C
8. ln(xy) = 2a lnx + lny = 2a
lnyxc m = 2b lnx – lny = 2b
+ –––––––––––––––– 2.lnx = 2a + 2b
2.lnx = 2(a + b)
lnx = a + b
x = ea+b olur.
Do ru Seçenek A
9. logx + 2logx1 = log8 – 2logx
logx + 2logx–1 = log8 – 2logx
logx – 2logx = log8 – 2logx
logx = log8 x = 8 bulunur.
Do ru Seçenek B
ÇÖZÜMLER
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
149
10. lna = p a = ep dir.
loga2 = 2loga
= 2logep
= 2ploge bulunur.Do ru Seçenek B
11. y = log31 x fonksiyonu x > 0 için tan ml d r. Yani,
grafik I. ve IV. bölgelerde olmal d r. Ayr ca taban
1 den küçük oldu undan azalan fonksiyondur.
x = 1 y = log31 1 = 0 olup (1, 0) dan geçer.
O halde grafik,
0 x
y
1
eklindedir.Do ru Seçenek A
12. log2 = 0,301 ve log3 = 0,477 ise
log360 = log(4.9.10)
= log4 + log9 + log10
= 2log2 + 2log3 + 1
= 2.(0,301) + 2.(0,477) + 1
= 2,556 bulunur.Do ru Seçenek B
13. a5 = b olmak üzere,
logba3 = 3.logba
= 3.log(a5)
a
= 53 .logaa
= 53 bulunur.
Do ru Seçenek D
14. logx + log(3x + 2) = 0
log [ x.(3x + 2) ] = log1
x.(3x + 2) = 1
3x2 + 2x – 1 = 0 (3x – 1)(x + 1) = 0
x = 31 x = –1
x = –1 için logaritma tan ms z olup,
x = 31 denkleminin köküdür.
Do ru Seçenek B
15. log7(2x – 7) – log7(x – 2) = 0
log7 xx
22 7 0
–– =
xx
22 7 7
–– 0=
xx
22 7 1
–– =
x = 5 tir. O halde,
log5x = log55 = 1 bulunur.Do ru Seçenek B
16. log35 = a olmak üzere,
log925 = log3252 =
22 .log35 = 1.a = a
olarak bulunur.Do ru Seçenek A
17. log53 + log5a = 1 log5(3.a) = 1
3.a = 51
a = 35 bulunur.
Do ru Seçenek D
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
150
18. loga9 = 4 a4 = 9 a = 94 a = v3 tür.
log3a = b 3b = a 3b = v3 b = 21 dir.
O halde, a.b = .321
23= bulunur.
Do ru Seçenek D
19. log3(9.3x+3) = 3x + 1 ise
9.3x+3 = 33x+1 32.3x+3 = 33x+1
3x+5 = 33x+1
x + 5 = 3x + 1
x = 2 bulunur.
Do ru Seçenek E
20. f(x) = log2x olmak üzere,
(gof)(x) = x + 2 g(f(x)) = x + 2
g(log2x) = x + 2
g(x) = 2x + 2 olur.
(log2x ifadesinin tersi 2x oldu u için)
Do ru Seçenek D
21. loglog
logx
x94 27
3
33=
loglog
logx
x2 34 27
3
33=
2.log3x = logx
273
log3x2 = log
x27
3 x2 = x
27
x3 = 27
x = 3 bulunur.
Do ru Seçenek C
22. log102 = a ve log103 = b olmak üzere,
log1072 = log10(23.32)
= log1023 + log103
2
= 3.log102 + 2.log103
= 3.a + 2.b bulunur. Do ru Seçenek D
23. log2(2log3(3log4(x + 2))) = 1
2log3(3log4(x + 2)) = 21
log3(3log4(x + 2)) = 1
3log4(x + 2) = 31
log4(x + 2) = 1
x + 2 = 41
x = 2 bulunur.Do ru Seçenek E
24. log log log24
324
624
12
4 2 34+ +
= 3.log244 + 6.log24v2 + 12.log24 34
= log2443 + log24(v2)6 + log24( 34 )12
= log2443 + log242
3 + log2433
= log24(43.23.33)
= log24(4.2.3)3
= log24243
= 3.log2424
= 3 olarak bulunur.Do ru Seçenek B
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
151
25. log3(3x + 1) = y log3(3y + 1) = x
3y + 1 = 3x
3y = 3x – 1
y = 3
3 1–x
f –1(x) =
33 1–x
olur.
Do ru Seçenek D
26. log2(log3(5x + 6)) = 2 log3(5x + 6) = 22
log3(5x + 6) = 4
5x + 6 = 34
5x + 6 = 81
x = 15 bulunur.
Do ru Seçenek D
27. log49 + log2(a – 3) < 4
log23 + log2(a – 3) < 4
log23(a – 3) < log216 3a – 9 < 16
a < 325
Tan ml olabilmesi için a – 3 > 0 a > 3 olmal d r. O halde,
3 < a < 325 a {4, 5, 6, 7, 8} olup 5 tane
a tam say s vard r.Do ru seçenek C
28. f(x) = logax fonksiyonu ,31 1c m noktas ndan
geçti inden,
log131
a= a31= olup f(x) = log x
31 tir.
O halde, log logf f f f271
271
31
31
31
3= =cc c cdmm m m n
= f(3)
= log 3 1–31 = dir.
Do ru Seçenek B
29. log35 = a log53 = a1 d r. O halde,
log515 = log55 + log53
= 1 + a1
= a
a 1+ bulunur.
Do ru Seçenek B
30. log log6
16
1
2 3+ = log62 + log63
= log6(2.3)
= log66 = 1 bulunur.Do ru Seçenek B
31. 0 log2(x – 5) 2 log21 log2(x – 5) log24 1 x – 5 4 6 x 9
O halde, x in 4 tane tam say de eri vard r.Do ru Seçenek C
32. logab = 21 b = a 2
1
a = b2
logac = 3 c = a3 c = (b2)3 c = b6
log logc ab
b bb
b b
2
2
2
6=d fn p
= logb bb
7
2
= logbb–5 = –5 bulunur.
Do ru Seçenek E
Logaritma
ES
EN
YAY
INLA
RI
152
33. log9(x2 + 2x + 1) = t log
32(x + 1)2 = t
log3(x + 1) = t
x + 1 = 3t
x = 3t – 1 dir.Do ru Seçenek A
34. log23x + log4x2 = 2
log23x + log2x = 2
log2(3x.x) = 2 3x2 = 22
x2 = 34
x = 3
232 3
= tür.
Do ru Seçenek E
35. 2x = 51 x = log2 5
1 = –log25
3y = 14
y = log314
= –log34
x.y = log34. log25
= 2.log32.log25
= 2.log35 = log325 = lnln325 olur.
Do ru Seçenek D
PERMÜTASYON, KOMB NASYONB NOM, OLASILIK ve STAT ST K
ÜN TE 3. ÜN TE 3. ÜN TE 3. ÜN TE 3. ÜN TPermütasyon
1. Kazan m : E leme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini aç klar.
2. Kazan m : n elemanl bir kümenin r li permütasyonlar n belirleyerek n, r N ve n r olmak üzere, n elemanl bir kümenin r li permütasyonlar n n say s n n
P(n, r) = n(n – 1)(n – 2)…(n – r + 1) = ( ) !
!n r
n–
oldu unu gösterir.
3. Kazan m : Dönel (dairesel) permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar.
4. Kazan m : Tekrarl permütasyon ile ilgili uygulamalar yapar.
Kombinasyon
1. Kazan m : n elemanl bir kümenin r li kombinasyonlar n belirleyerek n, r N ve n r olmak üzere, n elemanl bir kümenin r li kombinasyonlar n n say s n n
C(n, r) = !
( , )! ( ) !
!r
P n rr n r
n–
= oldu unu ve kombinasyonun özelliklerini gösterir.
Binom Aç l m
1. Kazan m : Binom aç l m n yapar.
Olas l k
1. Kazan m : Deney, ç kt , örneklem uzay, örneklem nokta, olay, kesin olay, imkâns z olay, ayr k olaylar kavramlar n aç klar.
2. Kazan m : Olas l k fonksiyonunu belirterek bir olay n olma olas l n hesaplar ve olas l k fonksiyo-nunun temel özelliklerini gösterir.
3. Kazan m : E olas l (olumlu) örneklem uzay aç klar ve bu uzayda verilen bir A olay için
P(A) = ( )( )
s Es A oldu unu belirtir.
4. Kazan m : Ko ullu olas l aç klar.
5. Kazan m : Ba ms z ve ba ml olaylar örneklerle aç klar, A ve B ba ms z olaylar için
P(A B) = P(A).P(B) oldu unu gösterir.
statistik
1. Kazan m : Verilen bir gerçek ya am durumuna uygun serpilme grafi i ve kutu grafi i çizer ve bu grafikler üzerinden ç kar mlarda bulunur.
2. Kazan m : Verilen bir gerçek ya am durumunu yans tabilecek en uygun grafik türünün hangisi oldu-una karar verir, grafi i olu turur ve verilen bir grafi i yorumlar.
3. Kazan m : Merkezi e ilim ve yay lma ölçüleri kullan larak gerçek ya am durumlar için hangi e ilim veya yay l m ölçüsünü kullanmas gerekti ine karar verir.
4. Kazan m : Verilen iki de i ken aras ndaki korelasyon kat say s n hesaplar ve yorumlar.
154
ÖRNEK 1
4 erkek ve 2 kad n aras ndan 1 erkek ve 1 kad n kaç
de i ik ekilde seçilebilir?
Çözüm
Erkeklerin say s s(E) = 4 ve
Kad nlar n say s s(K) = 2 ise
s(E x K) = s(E).s(K) = 4.2 = 8
olup 8 de i ik ekilde seçilebilir.
ÖRNEK 2
3 mektup 5 posta kutusuna kaç de i ik ekilde at -labilir?Çözüm
Birinci mektup 5 kutudan birine, kinci mektup 5 kutudan birine, Üçüncü mektup 5 kutudan birine at labilece in-
den 3 mektup 5 posta kutusuna 5.5.5 = 125 farkl ekilde at labilir.
PERMÜTASYON, KOMB NASYONB NOM, OLASALIK ve STAT ST K
Bire Bir E leme Yoluyla SaymaBir kümenin eleman say s n , sayma say lar kümesinin yani N+ = {1, 2, 3, .....} kümesinin elemanlar ile bire bir e leyerek bulmaya bire bir e leme yoluyla sayma denir.Örne in; bir s n ftaki ö renci say s n veya bir kitaptaki yapraklar n say s n bu yolla bulabiliriz.
Toplama Yoluyla SaymaA ve B ayr k ve sonlu iki küme olmak üzere, A ve B kümelerinin toplam kaç eleman oldu unu,s(A B) = s(A) + s(B) , ( A B = ) eklinde toplama yaparak buluruz.Örne in; bir s n fta 12 k z, 15 erkek ö renci varsa, toplam kaç ö renci oldu unu bulmak için ö rencilerin hepsini saymaya gerek yoktur. K saca, s n fta 12 +15 = 27 ö renci vard r diyebiliriz. Bu yolla yap lan sayma i lemine toplama yoluyla sayma denir.
Çarpma Yoluyla Saymaki er iki er ayr k ve her biri a elemanl b tane kümenin birle iminin eleman say s a.b dir. Birle im kümesinin eleman say s n bu ekilde bulma i lemine çarpma yoluyla sayma denir.Örne in; bir okulda 10 s n f ve her s n fta 30 ö renci varsa, bu okulda 10.30 = 300 ö renci vard r.
Sayman n Temel lkesiBir olaylar dizisinde birinci olay n1 de i ik biçimde, bunu izleyen ikinci olay n2 de i ik biçimde ve bu ekilde i leme devam edildi inde r. olay nr farkl biçimde olu uyorsa, olay n tamam n1.n2. ... nr çarp m kadar de i ik biçimde olu ur.
Örne in, 3 farkl gömle i, 2 farkl kravat olan bir ki i, bir gömlek ve bir kravat 3.2 = 6 farkl biçimde giyebilir.
g1
k1 k2
g2
k1 k2
g3
k1 k2
Bu durumu a aç diyagram ad verilen yandaki
yöntemle de bulabilirdik.
Gömlekler: g1, g2, g3 , Kravatlar: k1, k2, k3
olmak üzere biçiminde 6 farkl durum vard r.Burada, G = {g1, g2, g3}, K = {k1, k2} olmak üzere, 1 gömlek ve 1 kravattan olu an gömlek - kravat ikilisinin seçilece i kartezyen çarp m kümesi ise G x K = {(g1, k1), (g1, k2), (g2, k1), (g2, k2), (g3, k1), (g3, k2)} dir. G x K kümesi 3.2 = 6 tane ikiliden olu maktad r. Yani, 3 gömlek ve 2 kravat olan bir ki inin, bir gömlek ve bir
kravat 6 farkl biçimde giyebilece ini bu yolla da bulabiliriz.
SAYMA KURALLARI
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
155
ÖRNEK 3
Bir kutuya en çok bir mektup atmak ko ulu ile 3 mek-tup 5 posta kutusuna kaç de i ik ekilde at labilir?
Çözüm
Birinci mektup 5 kutudan birine,
kinci mektup 4 kutudan birine,
Üçüncü mektup 3 kutudan birine
at labilece inden bir kutuya en çok bir mektup atmak ko ulu ile 3 mektup 5 posta kutusuna
5.4.3 = 60 de i ik ekilde at labilir.
ÖRNEK 4
Birbirinden farkl 3 matematik, 4 fizik ve 2 kimya kitab aras ndan 1 matematik, 1 fizik ve 1 kimya kitab kaç farkl ekilde seçilebilir?
Çözüm
s(M) = 3 , s(F) = 4 , s(K) = 2 ise
s(M x F x K) = s(M).s(F).s(K)
= 3.4.2 = 24 farkl ekilde seçilir.
ÖRNEK 5
5 ki ilik bir komisyondan bir ba kan, 1 ba kan yar-d mc s ve bir sekreter kaç farkl ekilde seçilebilir?
Çözüm
Ba kanl k için 5 ki i adayd r. Ba kan belli olduk-tan sonra geriye kalan 4 ki i ba kan yard mc l için adayd r. Ba kan yard mc s da belli olduktan sonra geriye kalan 3 ki i sekreterlik için adayd r.
O halde, 5 ki i içinden bir ba kan, 1 ba kan yard mc s ve 1 sekreter 5.4.3 = 60 farkl ekilde seçilebilir.
ÖRNEK 6
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlar n kullanarak;
a. Üç basamakl kaç say yaz labilir?
b. Rakamlar farkl üç basamakl kaç say yaz labilir?
c. Üç basamakl kaç çift say yaz labilir?
d. Üç basamakl ve rakamlar farkl kaç tek say
yaz labilir?
Çözüm
a. Her basamakta, verilen 5 rakam da kullanabiliriz.
Çarpma kural na göre,
yüzler
5
onlar
5
birler
5
5.5.5 = 125 tanedir.
(Kutular n içine yaz lm say lar, o basamakta kullan labilecek rakam say s d r.)
b. yüzler
5
onlar
4
birler
3
Yüzler basama na verilen 5 rakam da seçe-biliriz. Yüzler basama na bir rakam seçildikten sonra geriye kalan 4 rakamdan birini onlar basa-ma na ve geri kalan 3 rakamdan birini de birler basama na seçeriz.
Çarpma kural na göre 5.4.3 = 60 tane say ya-z labilir.
c. yüzler
5
onlar
5
birler
2
{2, 4}
stenilen say n n çift say olabilmesi için birler basama 2 ve 4 rakamlar aras nda 2 de i ik ekilde seçilebilir. Rakamlar n farkl olma ko ulu
olmad ndan onlar ve yüzler basamaklar na ve-rilen 5 rakamdan biri seçilebilir.
Buna göre 5.5.2 = 50 tane say yaz labilir.
d. yüzler
4
onlar
3
birler
3
{1, 3, 5}
stenilen say n n tek say olabilmesi için birler basama 1, 3, 5 rakamlar aras ndan 3 de i ik ekilde seçilebilir. Bu rakamlardan biri, birler
basama na konaca ndan ve rakamlar n farkl olmas ko ulundan dolay , yüzler basama nda kalan 4 rakamdan biri, onlar basama nda ise kalan 3 rakamdan biri kullan labilir. Buna göre istenen ko ullarda 4.3.3 = 36 say yaz labilir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
156
ÖRNEK 7
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlar n kullanarak;
a. Üç basamakl kaç say yaz labilir?
b. Rakamlar farkl üç basamakl kaç say yaz labilir?
c. Üç basamakl kaç çift say yaz labilir?
d. Üç basamakl ve rakamlar farkl kaç çift say
yaz labilir?
e. 5 ile bölünebilen üç basamakl kaç farkl say
yaz labilir?
Çözüm
a. yüzler
5
onlar
6
birler
6
{1, 2, 3, 4, 5}
Yüzler basama na s f r yaz lamayaca için bu-
raya {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar ndan biri
yaz labilir. Ba ka bir ko ul olmad için birler ve
onlar basamaklar na verilen rakamlar n hepsi de
yaz labilir. Buna göre { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin
elemanlar ile üç basamakl 5.6.6 = 180 tane
say yaz labilir.
b. yüzler
5
onlar
5
birler
4
{1, 2, 3, 4, 5}
Yüzler basama na {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin ele-
manlar ndan biri yaz labilir. Rakamlar farkl ola-
ca için, yüzler basama belirlendikten sonra
kalan 5 rakam aras ndan biri onlar basama na
seçilir. Daha sonra kalan 4 rakam aras ndan biri
de birler basama na seçilir. Buna göre, üç basa-
makl ve rakamlar farkl 5.5.4 = 100 tane say
yaz labilir.
c. Say n n çift olabilmesi için birler basama na, ve-
rilen kümedeki 0, 2, 4 rakamlar ndan biri gelme-
lidir. S f r yüzler basama na gelemeyece inden
ve rakamlar n farkl olma ko ulu olmad ndan,
yüzler
5
onlar
6
birler
3
{1, 2, 3, 4, 5} {0, 2, 4}
5.6.3 = 90 tane say yaz labilir.
d. Burada, rakamlar farkl olma ko ulu oldu undan
ve s f r rakam hem birler hem de yüzler basama-
n ilgilendirdi inden iki ayr inceleme yapmal y z.
S f r birler basama nda ise,
yüzler
5
onlar
4
birler
1
{1, 2, 3, 4, 5} {0}
5.4.1 = 20 tanesi s f r ile biter.
S f r birler basama nda de il ise,
yüzler
4
onlar
4
birler
2
{2, 4}
Birler basama nda 2 veya 4 ten biri seçilir.
Yüzler basama na s f r yaz lamayaca ndan
geriye kalan 4 rakamdan biri yüzler basama na
seçilir. Bize verilen 6 rakamdan 2 si birler ve
yüzler basamaklar nda kullan ld ndan onlar ba-
sama na yaz labilecek 4 rakam kal r.
Buna göre son rakam s f r ile bitmeyen
4.4.2 = 32 tane üç basamakl ve rakamlar farkl
çift say vard r. O halde, üç basamakl rakamlar
farkl 20 + 32 = 52 tane çift say yaz labilir.
e. yüzler
5
onlar
6
birler
2
{0, 5}{1, 2, 3, 4, 5}
Be ile bölünebilmesi için birler basama na
0 veya 5 ten biri seçilmelidir. Yüzler basama na
s f r yaz lamayaca ndan ve rakamlar n farkl
olma ko ulu bulunmad ndan verilen rakam-
larla, 5 ile bölünebilen ve üç basamakl olan
5.6.2 = 60 tane say yaz labilir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
157
ÖRNEK 8
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlar ile 4000 den büyük, rakamlar farkl dört basamakl kaç farkl say yaz labilir?
Çözüm
yüzler
6
onlar
5
birler
4
{4, 5, 6}
binler
3
Say n n 4000 den büyük olmas için 4, 5, 6 ra-kamlar ndan birini binler basama na seçmeliyiz. Rakamlar n farkl olmas ko ulundan dolay geri-ye kalan 6 rakamdan birini yüzler basama na, geriye kalan 5 rakamdan birini onlar basama na ve geriye kalan 4 rakamdan birini de birler basa-ma na seçebiliriz. Buna göre istenen ko ullar sa layan 3.6.5.4 = 360 tane say yaz labilir.
ÖRNEK 9
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanlar ile 300 den büyük 500 den küçük, rakamlar farkl kaç çift say yaz labilir?
Çözüm
Rakamlar n farkl olma ko ulu oldu undan ve 4 rakam n n hem birler hem de yüzler basama n ilgilendirmesinden dolay iki ayr ekilde incele-meliyiz.
Say 4 ile ba lamazsa;
yüzler
1
onlar
5
birler
4
{0, 2, 4, 6}{3}
1.5.4 = 20 tane say yaz labilir.
Say 4 ile ba larsa;
yüzler
1
onlar
5
birler
3
{0, 2, 6}{4}
1.5.3 = 15 tane say yaz labilir. O halde, istenen
ko ullara uygun 20 + 15 = 35 tane say yaz labilir.
ÖRNEK 10
, S, T, A, N, B, U, L
harflerini bir kez kullanmak art yla 4 harfli anlaml ya
da anlams z kelimeler yaz lacakt r.
Bu kelimelerin kaç tanesinde A harfi vard r?
Çözüm
Yaz labilecek 4 harfli kelimelerin hepsinden, için-
de A harfi olmayanlar n ç kar rsak geriye kalan-
lar n hepsinde de A harfi vard r.
, S, T, A, N, B, U, L harflerini bir kez kullanarak 4
harfli anlaml ya da anlams z 8.7.6.5 = 1680 tane
kelime yaz labilir. Bunlar n içinde A harfi olanlar
da olmayanlar da vard r. çinde A harfi olmayan-
lar, yani , S, T, N, B, U, L harfleri kullan larak
yaz labilen 7.6.5.4 = 840 tanedir. Buna göre
1680 – 840 = 840 tanesinde A harfi vard r.
ÖRNEK 11
5 ki inin kat ld bir yar ta ilk üç derece kaç farkl
biçimde olu abilir?
Çözüm
Çarpma kural na göre, birinci olacak ki i 5 ki i
aras ndan 5 farkl ekilde belirlenir. Kalan 4 ki i
aras ndan ikinci olacak ki i 4 farkl ekilde ve
kalan 3 ki i aras ndan da üçüncü olacak ki i 3
farkl ekilde belirlenir. Buna göre, ilk üç derece
5.4.3 = 60 de i ik ekilde olu abilir.
ÖRNEK 12
3 farkl oyuncak 6 çocu a kaç de i ik biçimde da -
t labilir?
Çözüm
Bir çocu a birden fazla oyuncak verememe ko-
ulu olmad ndan; birinci oyunca 6 çocu a,
ikinci oyunca yine 6 çocu a ve üçüncü oyunca-
da yine 6 çocu a da verebiliriz.
O halde 6.6.6 = 216 farkl biçimde da t labilir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
158
ÖRNEK 13
3 farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla
oyuncak vermemek koşulu ile kaç değişik biçimde
dağıtılabilir?
Çözüm
Birinci oyuncak 6 çocuğa 6 farklı şekilde dağı-
tılabilir. İkinci oyuncak diğer 5 çocuğa 5 farklı
şekilde dağıtılabilir. Üçüncü oyuncak ise kalan 4
çocuğa 4 farklı şekilde dağıtılabilir. Buna göre, 3
farklı oyuncak 6 çocuğa, bir çocuğa birden fazla
oyuncak vermemek koşulu ile 6.5.4 = 120 farklı
şekilde dağıtılabilir.
ÖRNEK 14
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları ile en az iki ra-
kamı birbirinin aynı olan, üç basamaklı kaç farklı sayı
yazılabilir?
Çözüm
Üç basamaklı yazılabilen tüm sayılardan, rakam-
ları farklı olanlarını çıkarırsak geriye en az iki
rakamı aynı olanlar kalır.
yüzler
5
onlar
5
birler
5
5.5.5 = 125 tane üç basamaklı sayının
yüzler
5
onlar
4
birler
3
5.4.3 = 60 tanesinin rakamları farklıdır. O halde
125 – 60 = 65 tanesinin en az iki rakamı birbirinin
aynıdır.
ÖRNEK 15
{ 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm beş ba-
samaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Buna göre, 50. sırada hangi sayı vardır?
Çözüm
1 ile bafllayan 1 4 3
{1}
2 1
1.4.3.2.1 = 24 tane sayı vardır. Aynı şekilde 2 ile
başlayan da 24 tane sayı vardır. 3 ile başlayan
en küçük sayı baştan 49. sıradadır. Yani, 31245
baştan 49. sayıdır. Bundan sonra yazılabilen
31254 ise baştan 50. sırada bulunan sayıdır.
ÖRNEK 16
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanlarını kullanarak
yazılan, rakamları birbirinden farklı olan tüm dört
basamaklı sayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Buna göre, 3214 sayısı kaçıncı sırada yer alır?
Çözüm 1 ile bafllayan 1 5 4
{1}
3
1.5.4.3 = 60 tane sayı vardır.
2 ile başlayan da 60 tane sayı vardır.
3 ile başlayanlar ise;
→ 1.2.4.3 = 24 tane1 2 4
{3}
3
{0, 1}
→ 1.1.1.3 = 3 tane1 1 1
{3}
3
{2} {0}
Şimdiye kadar bulunduğumuz en büyük sayı
3205 olup 60 + 60 + 24 + 3 = 147. sıradadır.
Bundan sonra yazılabilen 3210 sayısı 148. sıra-
dadır. 3214 sayısı ise 149. sıradadır.
ÖRNEK 17
A B C
Şekildeki çizgiler A, B ve C kentleri arasındaki yolları
göstermektedir. Buna göre, A kentinden hareket edip
C kentine gidecek olan bir kimse kaç değişik yol iz-
leyebilir?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
159
Çözüm
A kentinden hareket eden bir kimse, B kentine u rayarak C kentine varabilece i gibi B kentine u ramadan da C kentine varabilir.
ABC güzergâh nda 3.2 = 6 ve
AC güzergâh nda 2 de i ik yol oldu undan top-lam 6 + 2 = 8 de i ik yol izleyebilir.
ÖRNEK 18
Bir toplant da herkes birbiri ile tokala m t r. Toplam 45 tokala ma oldu una göre, toplant da kaç ki i vard r?
Çözüm
Toplant da n ki i olsun. Herkes kendisi d ndaki n – 1 ki i ile tokala acakt r. n.(n – 1) kez tokala -ma oldu u san labilir. Fakat gerçekteki tokala -ma say s bunun yar s kadard r. Çünkü iki ki i için de ayr ayr say lmaz. ki ki i tokala t nda ortada bir kez tokala ma söz konusudur.
O halde, . ( )n n2
145
–= n(n – 1) = 90
n = 10 olur.
FAKTÖR YEL (ÇARPANSAL)
n N+ olmak üzere, 1 den n ye kadar olan do al say lar n çarp m na n faktöriyel (çarpansal) denir ve n! ile gösterilir. Buna göre,
n! = 1.2.3. ......... (n – 1).n olur.
1! = 1
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n! = 1.2.3..............n
n! = (n – 1)!.n
n! = (n – 2)!.(n – 1).n
0! = 1 dir.
ÖRNEK 19
15! = 14!.15 = 13!.14.15
= 12!.13.14.15 olur.
ÖRNEK 20
A a daki ifadeleri sadele tiriniz.
a. !!
810 b.
!! !10
8 9+
c. ( ) !( ) !nn
11
–+ d.
! !! !
5 45 6
–+ e.
!( !) !73
Çözüm
a. !!
!!. . .
810
88 9 10 9 10 90= = =
b. !
! !!
! !.!. .
!. ( ).10
8 910
8 8 98 9 10
8 1 99 1010
91+ = + =
+= =
c. ( ) !( ) !
( ) !( ) !. . ( )
. ( )nn
nn n n
n n11
11 1
1– –
–+=
+= +
d. ! !! !
!. !! !.
!. ( )!. ( )
!.!.
5 45 6
4 5 45 5 6
4 5 15 1 6
4 45 7
435
– – –+ = + =
+= =
e. !
( !) !!
( . . ) !!!
!.! .olur
73
71 2 3
76
6 76
71= = = =
ÖRNEK 21
0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ………+19!
say s n n birler basama ndaki rakam kaçt r?
Çözüm
4! den sonraki say lar n birler basama ndaki
rakam s f rd r. Dolay s ile verilen toplam n birler
basama , 0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplam n n birler
basama na e ittir.
0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34
olup verilen toplam n birler basama ndaki rakam
da 4 tür.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
160
ÖRNEK 22
20! say s 19! say s ndan kaç fazlad r?
Çözüm
20! – 19! = 19!.20 – 19! = 19!.(20 – 1)
= 19!.19 olur.
ÖRNEK 23
85! say s n n sondan kaç basama 0 (s f r) d r?
Çözüm
Faktöryelli say lar n sonundaki s f rlar n say s 10
çarpanlar n n say s kadard r. 10 = 2.5 oldu un-
dan az say da olan 5 çarpanlar n n say s kadar
s f r vard r.
85 5
175
35
35
0
15
2
5
3
oldu undan 17 + 3 = 20 tane 5 yani, 20 tane
10 çarpan vard r. O halde, 85! say s n n son-
dan 20 basama s f rd r.
ÖRNEK 24
23! + 24! toplam n n sondan kaç basama s f rd r?
Çözüm
Verilen toplam önce çarp m ekline dönü türüp
içindeki 5 çarpanlar n n say s n bulmal y z.
23! + 24! = 23! + 23!.24 = 23!.(1 + 24)
= 23!.25 = 23!.52
23 5
420
3
23! de 4 tane 5 çarpan var.
2 tane de 25 çarpan nda 5 çarpan var. O halde,
4 + 2 = 6 tane 5 çarpan olup 23! + 24! toplam n n
sondan 6 basama s f rd r.
ÖRNEK 25
78! – 1 say s n n sonunda kaç tane 9 rakam vard r?
Çözüm
78! say s n n sonundaki s f rlar n say s kadar
78! – 1 say s n n sonunda 9 rakam vard r.
78 5
155
28
25
3
15
0
5
3
15 + 3 = 18 oldu undan, 78! – 1 say s n n so-
nunda 18 tane 9 rakam vard r.
ÖRNEK 26
A ve n do al say lar olmak üzere, 26! = 6n.A e itli-
ini sa layan n de eri en çok kaç olabilir?
Çözüm
6 = 2.3 oldu undan az say da olan 3 çarpanla-
r n n say s kadar 6 çarpan vard r.
26 3
824
2 6
2
3
2
8 + 2 = 10 tane 3 çarpan yani, 10 tane 6 çarpa-
n vard r. O halde, 26! = 6n.A e itli ini sa layan
n do al say de eri en çok 10 olabilir.
ÖRNEK 27
x ve y birer do al say d r.
x! = 6. y! ise y kaç farkl de er alabilir?
Çözüm
x = 6 6! = 6.y! y = 5 olur.
x! = 6.y! x! = 1.2.3.y!
x = 3 iken y = 0 veya y = 1 olabilir.
O halde, y üç farkl de er alabilir.
161
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 2 mektup 4 posta kutusuna kaç farkl ekilde at labilir?
2. Bir kutuya en çok 1 mektup atmak ko uluyla 2 mektup 4 posta kutusuna kaç de i ik biçimde at labilir?
3. 20 ki ilik bir s n ftan bir ba kan, bir ba kan yar-d mc s kaç farkl ekilde seçilebilir?
4. 10 ki ilik bir arkada grubunda herkes birbiri ile tokala m t r. Kaç tokala ma olmu tur?
5. Be soruluk bir test s nav nda her soru için 5 seçenek vard r. Bu s nav için kaç farkl cevap anahtar hesaplanabilir?
6. 2 ki i 6 farkl ehire kaç farkl ekilde gidebilir?
7. Herkesin birbirine bir foto raf verdi i bir topluluk-ta da t lan foto raf say s 56 oldu una göre bu toplulukta kaç ki i vard r?
8. A kentinden B kentine 3 farkl yol, B kentinden C kentine 4 farkl yol vard r. B ye u ramak ko uluy-la A dan C ye
a. Kaç türlü gidilebilir?
b. Kaç türlü gidilip gelinebilir?
c. Giderken kullan lan yolu dönerken kullanma-mak ko uluyla kaç türlü gidilip gelinebilir?
9. Birbirinden farkl 4 Geometri, 5 Matematik ve x Türkçe kitab aras ndan, 1 Geometri, 1 Matematik ve 1 Türkçe kitab 60 farkl ekilde seçilebildi ine göre x kaçt r?
ALIŞTIRMALAR – 1
1. 16 2. 12 3. 380 4. 45 5. 55 6. 36 7. 8 8. a. 12 , b. 144, c. 72 9. 3
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
162
ES
EN
YAY
INLA
RI
10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere A kümesinin elemanlar n kullanmak ko uluyla a a dakiler-den do ru olanlar için bo kutulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
Üç basamakl 216 say yaz labilir.
Rakamlar farkl üç basamakl 120 say
yaz labilir.
Rakamlar farkl , üç basamakl 60 çift say yaz labilir.
Rakamlar farkl ve 400 den büyük 60 say yaz labilir.
En az iki rakam ayn olan 96 say yaz la-bilir.
Üç rakam ayn olan 6 say yaz labilir.
11. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlar n kullanarak
a. Üç basamakl kaç say yaz labilir?
b. Rakamlar farkl üç basamakl kaç say yaz -labilir?
c. Rakamlar farkl 5 ile bölünebilen üç basa-makl kaç say yaz labilir?
d. Rakamlar farkl üç basamakl 300 den büyük kaç say yaz labilir?
e. Rakamlar farkl 500 den küçük 200 den büyük kaç say yaz labilir?
12. A a dakilerden do ru olanlar için bo kutulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
G, , Z, E, M harflerini bir kez kullanarak
4 harfli, 120 tane sözcük yaz labilir?
A, Y, B, E, N, , Z harflerini bir kez kulla-narak 5 harfli 840 tane sözcük yaz labilir?
Ü, Ç, G, E, N harflerini bir kez kullanarak yaz labilecek 4 harfli sözcüklerin 98 tane-sinde E harfi vard r?
13. A a daki i lemlerin her birinin sonucunu bulu-nuz.
a. !!
1012
b. !
! !8
6 7+
c. ( ) !( ) !nn
13
++
d. ! !! !
5 64 5
++
10. D, D, D, Y, Y, Y 11. a. 294 , b. 180 , c. 55 , d. 120 , e. 90 12. D, Y, Y 13. a. 132 , b. 71 , c. n2 + 5n + 6 , d.
356
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
163
ES
EN
YAY
INLA
RI
14. A a dakilerden do ru olanlar için bo kutulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
0! = 0 d r.
1! = 1 dir.
10! say s 8! say s n n 90 kat d r.
(n + 2)! = (n – 2)!.(n – 1)n(n + 1) dir.
6!.7! = 10! dir.
!
( ) !nn2
2= dir.
15. 2! + 4! + 6! + ..... + 80! say s n n birler basama-ndaki rakam kaçt r?
16. 2! + 3! + 4! + ..... + 40! say s n n 40 ile bölümün-den kalan kaçt r?
17. 72! say s n n sondan kaç basama s f rd r?
18. 23! + 24! + 25! say s n n sondan kaç basama s f rd r?
19. 60! – 1 say s n n sonunda kaç tane 9 rakam vard r?
20. A a daki e itliklerin herbirinde x ve y do al say lard r. Buna göre bu e itlikleri sa layan en büyük x de erlerini bulunuz.
a. 32! = 3x.y
b. 40! = 6x.y
c. 28! = 4x.y
d. 46! = 12x.y
21. 10! say s 8! say s ndan kaç fazlad r?
14. Y, D, D, Y, D, Y 15. 6 16. 32 17. 16 18. 8 19. 14 20. a. 14 , b. 18 , c. 12 , d. 21 21. 8!.89
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
164
PERMÜTASYON (SIRALAMA)
A sonlu bir küme olmak üzere, A dan A ya tan mlanan
bire bir ve örten her fonksiyona, A n n bir permütas-
yon fonksiyonu ya da k saca permütasyonu denir.
A = { 1, 2, 3 } olsun.
1
2
3
1
2
3
A Af
Yukar daki ema ile tan mlanan bire bir ve örten f
fonksiyonu bir permütasyon fonksiyonudur.
f fonksiyonunu,
f = { (1, 2) , (2, 1) , (3, 3) } veya f 12
21
33
= c m biçiminde gösterebiliriz.
ÖRNEK 28
A = { 1, 2, 3 } kümesinde tan mlanan tüm permütas-
yon fonksiyonlar n gösteriniz.
Çözüm
f11
22
331 = c m f
11
23
322 = c m
f12
21
333 = c m f
12
23
314 = c m
f13
21
325 = c m f
13
22
316 = c m
olur. Bu permütasyonlar ,
(1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1)
eklinde de gösterebiliriz.
Burada da görüldü ü gibi A n n her bir permü-
tasyonu A kümesinin elemanlar n n farkl birer
s ralan d r.
Permütasyonlar n Say s
n, r N+ ve r n olmak üzere, n elemanl bir küme-
nin birbirinden farkl r tane eleman ndan olu mu s -
ral r lilerin her birine n nin r li permütasyonu denir.
n elemanl bir kümenin r li permütasyonlar n n say s ,
( , )( ) !
!P n rn r
n–
= olur.
r = n ise n elemanl bir kümenin permütasyonlar n n
say s , P(n, n) = n! olacakt r.
ÖRNEK 29
A = { a, b, c } kümesinin ikili permütasyonlar n n sa-
y s n bulunuz.
Çözüm
s(A) = 3 olup P(3, 2) = ( ) !
!3 2
3–
= !!
13 = 6 olur.
Gerçekten, A kümesinin 2 li permütasyonlar
(ab), (ac), (ba), (bc), (ca), (cb) olup 6 tanedir.
ÖRNEK 30
Bir A kümesinin üçlü permütasyonlar n n say s 60
ise s(A) kaçt r?
Çözüm
s(A) = n olsun
P(n, 3) = 60 ( ) !
!n
n3
60–
=
n.(n – 1).(n – 2) = 60
n = 5 tir.
ÖRNEK 31
P(n, 1) = P(8, 2) ise n kaçt r?
Çözüm
P(n, 1) = P(8, 2) ( ) !
!( ) !
!n
n1 8 2
8– –
=
( ) !
( ) !.!
!. .n
n n1
16
6 7 8–
–=
n = 7.8 n = 56 bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
165
ÖRNEK 32
A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonlar -
n n kaç tanesinde a bulunur?
Çözüm
s(A) = 6 olup 3 lü permütasyonlar n n say s
P(6, 3) = ( ) !
!!
!. . .6 3
63
3 4 5 6 120–
= = dir.
{ b, c, d, e, f } kümesinin 3 lü permütasyonlar n n
say s ,
( , )( ) !
! . .P 5 35 3
5 3 4 5 60–
= = = d r.
A kümesinin 3 lü permütasyonlar n n say s ndan
a n n bulunmad 3 lü permütasyonlar n say s n
ç kar rsak a n n bulundu u 3 lü permütasyonlar n
say s n buluruz. Yani, A kümesinin 3 lü permü-
tasyonlar n n
P(6, 3) – P(5, 3) = 120 – 60 = 60 tanesinde a
bulunur.
ÖRNEK 33
5 ki i, 3 ki ilik bir banka kaç farkl ekilde oturabilir?
Çözüm I. Yol
5 eleman n 3 lü permütasyonlar n say s olup
( , )( ) !
!!!P 5 3
5 35
25 60
–= = = bulunur.
II. Yol
Çarpma kural na göre, birinci yere 5 ki iden biri,
ikinci yere kalan 4 ki iden biri ve üçüncü yere de
kalan 3 ki iden biri oturabilece inden,
5.4.3 = 60 olarak bulunur.
ÖRNEK 34
5 ki i, 5 ki ilik banka kaç de i ik ekilde oturabilir?
Çözüm
P(5, 5) = 5! = 120 olarak bulunur.
ÖRNEK 35
Birbirinden farkl 3 matematik, 2 fizik ve 1 kimya kitab
bir rafa kaç farkl ekilde s ralanabilir?
Çözüm
Toplam 3 + 2 + 1 = 6 kitap olup hiç bir ko ul da
bulunmad ndan,
P(6, 6) = 6! = 720 farkl ekilde s ralanabilir.
ÖRNEK 36
Birbirinden farkl 3 matematik ve 4 tarih kitab bir
rafa, matematikler bir arada olmak ko ulu ile kaç türlü
s ralanabilir?
Çözüm
M1 M2 M3 T1 T2 T3 T4
Matematik kitaplar bir arada bulunaca ndan
bunlar bir kitap gibi dü ünelim. 4 tarih kitab ile
birlikte bunlar 5 kitap olup 5! farkl ekilde dizile-
bilirler. 3 matematik kitab da kendi aralar nda 3!
farkl ekilde dizilece inden tüm farkl s ralamala-
r n say s 5!.3! dir.
ÖRNEK 37
5 farkl matematik, 4 farkl fizik ve 3 farkl kimya kitab
bir rafa ayn tür kitaplar bir arada bulunmak ko uluyla
kaç de i ik biçimde s ralanabilir?
Çözüm
M1 M2 M3 M4 M5 F1 F2 F3 F4 K1 K2 K3
Ayn tür kitaplar birer kitap gibi dü ünülürse bun-
lar 3! biçimde s ralanabilir. Matematikler kendi
aralar nda 5!, fizikler kendi aralar nda 4! ve kim-
yalar kendi aralar nda 3! farkl ekilde s ralanabi-
lece inden, tüm s ralamalar n say s
3!.5!.4!.3! olur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
166
ÖRNEK 38
Ay e ve Fatma’n n da aralar nda bulundu u 6 ki i,
Ay e ile Fatma art arda gelmemek art yla bir kuy-
rukta kaç farkl ekilde dizilebilirler?
Çözüm
Tüm durumlardan, art arda gelmeleri durumunu
ç karmal y z.
Toplam 6 ki i oldu udan 6! farkl ekilde dizilirler.
Ay e ve Fatma’y bir ki i kabul edersek di er
4 ki i ile birlikte 5! farkl ekilde dizilirler. Fakat
Ay e ile Fatma’n n kendi aralar ndaki de i imi
de dikkate al rsak 5!.2! olur. Yani Ay e ile
Fatma’n n art arda oldu u 5!.2! farkl s ralama
vard r. Ay e ile Fatma’n n art arda olmad ,
6! – 5!.2! = 720 – 120.2 = 480
farkl s ralama vard r.
ÖRNEK 39
6 k z ve 3 erkek ö renci, erkeklerden herhangi ikisi
yan yana gelmemek art ile bir s rada kaç farkl
ekilde dizilerek foto raf çektirebilirler?
Çözüm
–– K1 –– K2 –– K3 –– K4 –– K5 –– K6 ––
Erkeklerin herhangi ikisi yan yana gelemeyece-
inden öncelikle k zlar n dizili lerini ele alal m.
K z ö renciler kendi aralar nda 6! de i ik ekilde
s ralanabilirler. K z ö renciler s raland ktan sonra
yukar daki ekilde de görüldü ü gibi, 3 erkek için
7 uygun bo yer vard r.
Birinci erkek için 7 yer, ikinci erkek için 6 yer ve
üçüncü erkek için 5 yer oldu undan sayman n
temel ilkesine göre erkek ö renciler 7.6.5 farkl
ekilde dizilebilirler.
O halde, erkek ö rencilerden herhangi ikisi yan
yana gelmemek art ile 6!.7.6.5 = 6!.210 farkl
ekilde dizilerek foto raf çektirebilirler.
ÖRNEK 40
4 erkek ve 3 bayan, bir erkek – bir bayan düzeninde yan yana kaç farkl ekilde s ralanabilirler?
Çözüm
E B E B E B E düzeninde olmal lar.
Buna göre, erkekler kendi aralar nda 4! ve k zlar kendi aralar nda 3! farkl ekilde s ralanabilirler. O halde, tüm farkl s ralamalar n say s
4!.3! = 24.6 = 144 olur.
TEKRARLI PERMÜTASYON
n elemanl bir kümenin;
n1 tanesi ayn tür, n2 tanesi ayn tür, .........., nr tanesi ayn tür ve n1 + n2 + ......... + nr = n ise bu n tane
eleman n permütasyonlar n n say s
P(n; n1, n2, ..., nr) = !. !…… !
!n n n
nr1 2
kadard r.
ÖRNEK 41
Özde 2 sar ve 3 k rm z bilye bir s rada kaç farkl
ekilde dizilebilir?
Çözüm
2 + 3 = 5 olup, P(5; 2, 3) = !. !!
2 35 10= dur.
Burada, ayn türden olan elemanlar n kendi ara-
lar ndaki yer de i tirmelerinin farkl l k yaratma-
d na dikkat ediniz. Örne in, 2 sar ve 3 k rm z
bilyeyi KSSKK eklindeki s ralamayla, sar bilye-
lerin yerlerini de i tirerek yap lan s ralama ayn
eydir.
ÖRNEK 42
333221 say s n n rakamlar n n yerleri de i tirilerek
alt basamakl kaç farkl say yaz labilir?
Çözüm
Üç tane 3, iki tane 2 ve bir tane 1 rakam oldu-
undan; P(6; 3, 2, 1) = !. !. !
!3 2 1
6 60= bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
167
ÖRNEK 43
ANKARA sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek
anlamlı ya da anlamsız 6 harfli kaç farklı sözcük ya-
zılabilir?
Çözüm
3 tane A, 1 tane N, 1 tane K ve 1 tane R harfi
olduğundan;
P(6; 3, 1, 1, 1) = !. !. !. !
!3 1 1 1
6 120= bulunur.
ÖRNEK 44
MATEMATİK sözcüğünün harflerinin yerleri değiştiri-
lerek anlamlı ya da anlamsız, 9 harfli ve M ile başla-
yıp M ile biten kaç farklı sözcük yazılabilir?
Çözüm
M M
A, A, T, T, E, ‹, K
M leri başa ve sona koyduktan sonra geriye
kalan harfler ortaya sıralanacaktır. Bu 7 harfin
farklı sıralanışlarının sayısı ise,
P(7; 2, 2,1, 1, 1) = !. !. !. !. !
!2 2 1 1 1
7 1260= olur.
ÖRNEK 45
4442200 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek
7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?
Çözüm
Verilen 7 rakamın yerleri değiştirilerek
!. !. !
!3 2 2
7 210= farklı sıralama elde edilir. Fakat,
bu 7 rakamdan 2 tanesi 0 olduğundan elde edi-
len 210 farklı sıralamanın 72 si 0 ile başlar. Yani
7 basamaklı sayı değildir. Geriye kalan 75 si 7
basamaklı sayı olup 210.75 = 150 tanedir.
ÖRNEK 46
KELEBEK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek
yazılabilen anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kelimelerin
kaç tanesinde E harfini K harfi takip eder?
Çözüm
Bizden istenen EKLEBEK, ELEKBEK, ......gibi
sıralamaların sayısıdır.
E harfini K harfi takip edecekse bu iki harfi bir harf
biçiminde düşünmeliyiz.
Buna göre, EK, EK, L, E, B harflerinin farklı sıra-
lamalarının sayısı
P(5; 2, 1, 1, 1) = !. !. !. !
!2 1 1 1
5 60= bulunur.
ÖRNEK 47
A
B
Şekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokak-
larını göstermektedir. A dan hareket edip B noktasına
en kısa yoldan gidecek olan bir kimse kaç değişik yol
izleyebilir?
Çözüm
A dan B ye en kısa yoldan gidecek olan bir kişi 3
sokak aşağı (a) ve 4 sokak sağa (s) gitmelidir.
aaassss, aassass, ...... gibi.
Buna göre,
P(7; 3, 4) = !. !!
3 47 35=
değişik yol izleyebilir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
168
ÖRNEK 48
333001 say s n n rakamlar n n yerleri de i tirilerek 1
ile ba layan 6 basamakl kaç farkl say yaz labilir?
Çözüm
1 rakam n en ba a yaz p geriye kalan 3, 3, 3, 0, 0
rakamlar n s ralayaca z. 133300, 130303, ....
gibi. Bu s ralamalar n n say s ,
P(5; 3, 2) = !. !!
3 25 10= dur.
ÖRNEK 49
1103334 say s n n rakamlar ile 7 basamakl kaç fark-
l çift do al say yaz labilir?
Çözüm
Birler basama 0 ise,
0
113334 rakamlar n n farkl s ralamalar n n say s
P(6; 2, 3, 1) = !. !. !
!2 3 1
6 60= d r.
Birler basama 4 ise,
4
110333 rakamlar n n farkl s ralamalar n n say s
P(6; 2, 3, 1) = !. !. !
!2 3 1
6 60= olur.
Fakat, bu 6 rakamdan bir tanesi 0 oldu undan
elde edilen say lar n 61 s 7 basamakl say de-
ildir.
6061 10· = ise geriye kalan 60 – 10 = 50 tanesi-
nin birler basama 4 tür ve 7 basamakl d r.
O halde, istenen ko ullar sa layan
60 + 50 = 110 tane say yaz labilir.
DÖNEL (DA RESEL) PERMÜTASYON
Sonlu bir kümenin elemanlar n n bir daire üzerinde
birbirlerine göre farkl dizili lerinin her birine bu ele-
manlar n bir dönel (dairesel) permütasyonu denir.
Sonlu n eleman n farkl dairesel permütasyonlar n n
say s (n – 1)! tanedir.
ÖRNEK 50
Ahmet, Bar ve Ceylan’ n yuvarlak bir masa etraf n-
da kaç de i ik ekilde oturabileceklerini bulunuz.
Çözüm
Bu üç ki iyi A, B, C olarak al rsak;
C
B
A
– I –
B
C
A
– II –
biçiminde iki farkl s ralama vard r.
B
A
C
A
C
B
biçimindeki s ralamalar I. s ralama ile ayn d r.
C
A
B
A
B
C
biçimindeki s ralamalar ise II. s ralama ile ayn d r.
ÖRNEK 51
2 k z ve 3 erkek, yuvarlak bir masa etraf nda kaç de-
i ik ekilde oturabilirler?
Çözüm
2 + 3 = 5 oldu undan, 5 ki inin dönel permütas-
yonlar n n say s (5 – 1)! = 4! = 24 tür.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
169
ÖRNEK 52
3 k z ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etraf nda, k zlar
yanyana olmak ko ulu ile kaç farkl ekilde oturabilir?
Çözüm
K1 K2 K3 E1 E2 E3 E4
K zlar bir arada olaca ndan, 3 k z bir eleman
gibi dü ünülürse, 4 erkekle beraber 5 eleman
olu ur. Bunlar n dönel permütasyonlar n n say s
(5 – 1)! = 4! dir. 3 k z kendi aralar nda 3! kadar
yer de i tirece inden, çarpma kural na göre
yan t 4!.3! = 24.6 = 144 olur.
ÖRNEK 53
3 k z ve 4 erkek, yuvarlak bir masa etraf nda, k zlar
yanyana olmamak ko ulu ile kaç farkl ekilde otu-
rabilir?
Çözüm
Burada istenen k zlar n yanyana olmamalar
oldu undan, tüm durumlardan k zlar n yan yana
olmalar durumunu ç karmal y z.
3 + 4 = 7 oldu undan, 7 ki inin dönel permütas-
yonlar n n say s , (7 – 1)! = 6! = 720 dir.
K zlar n yanyana olduklar durumu yukar daki
örnekte 4!.3! = 144 olarak bulmu tuk.
O halde, 720 – 144 = 576 farkl ekilde k zlar
yanyana olmamak ko ulu ile yuvarlak bir masa
etraf nda oturabilirler.
ÖRNEK 54
4 ö retmen, 3 mühendis ve 2 doktor yuvarlak bir
masa etraf nda oturacaklard r. Ayn meslekten olan-
lar birbirinden ayr lmamak ko ulu ile kaç farkl ekilde
oturabilirler?
Çözüm
Ö1 Ö2 Ö3 Ö4 M1 M2 M3
D1 D2
Üç ayr meslek grubu oldu undan, 3 ki i yuvarlak
masa etraf na 2! farkl ekilde oturabilir. Ayr ca
ö retmenler kendi aralar nda 4!, mühendisler
kendi aralar nda 3! ve doktorlar kendi aralar nda
2! farkl ekilde s ralanabilirler. Çarpma kural na
göre, istenen durum say s ,
2!.4!.3!.2! = 576 olur.
ÖRNEK 55
4 k z ve 4 erkek ö renci yuvarlak bir masa etraf na
2 erkek aras nda 1 k z olmak ko ulu ile kaç de i ik
ekilde oturabilirler?
Çözüm
E1
K1
E2
E3
E4
K3
K4
K2
Yuvarlak masaya, erkeklerden biri sabit tutu-
larak geri kalanlar (4 – 1)! = 3! de i ik ekilde
oturabilirler. ekildeki gibi erkeklerin aras nda
kalan 4 yere, 4 k z ö renci kendi aralar nda yer
de i tirerek 4! farkl ekilde oturabilirler. Buna
göre, istenen durumlar n say s 3!.4! = 144 olarak
bulunur.
ÖRNEK 56
Renkleri farkl 5 boncuk bir halkaya kaç de i ik ekil-
de dizilebilir?
Çözüm
Masa etraf ndaki s ralamalarda yaln zca yukar -
dan bak labilir. Fakat halkaya s ralarken önden
ve arkadan bak labilir. Bu durum s ralama say -
s n yar ya dü ürür. Yani, 5 farkl renkteki boncuk
bir halkaya ( ) !2
5 112
–= ekilde dizilebilir.
170
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin üçlü permütasyonları-nın herbirini yazınız.
2. A = {a, b, c, d, e} kümesinin dörtlü permütasyon-larının kaç tanesinde a bulunur?
3. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
Üçlü permütasyonlarının sayısı 24 olan
küme 4 elemanlıdır.
İkili permütasyonlarının sayısı 20 olan küme 5 elemanlıdır.
P(n, 0) = 120 ise n = 4 tür.
P(4, 2) + P(3, 2) = 18 dir.
4. Aşağıda sol sütunda verilen ifadelerin eşitini sağ sütundan bulup eşleştiriniz.
P(n, 0)
P(n, 1)
P(n, 2)
P(n, n)
n2 – n
n
n!
1
5. Aşağıdaki eşitliklerin her birinde n değerlerini bulunuz.
a. ( , )( , )
P nP n
65
32=
b. P(n + 1, 2) = 2.P(n, 2)
c. P(n, 5) = 5.P(n – 1, 3)
d. P(n, 0) + P(n, 1) + P(n, 2) = 10
6. 4 kişilik bir banka 120 farklı şekilde oturabilen bir grupta kaç kişi vardır?
7. 5 erkek ve 5 bayan, bir erkek - bir bayan düzenin-de yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
ALIŞTIRMALAR – 2
2. 96 3. D, D, Y, D 4. 1. d , 2. b , 3. a , 4. c 5. a. 2 , b. 3 , c. 5 , d. 3 6. 5 7. 5!.5!.2
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
171
ES
EN
YAY
INLA
RI
8. Birbirinden farkl 4 Matematik, 3 Fizik ve 2 Türkçe kitab bir kütüphanenin raf na,
a. Kaç farkl ekilde s ralanabilir?
b. Matematikler bir arada olmak üzere kaç türlü s ralanabilir?
c. Türkçelerin biri ba ta, di eri sonda olacak ekilde kaç türlü s ralanabilir?
d. Belli iki Matematik kitab bir arada olmak üzere kaç türlü s ralanabilir?
9. 5 erkek ve 4 bayan, bir erkek - bir bayan düzenin-de yan yana kaç farkl ekilde s ralanabilir?
10. Bir grup arkada , yan yana bulunan iki koltu a 30 farkl ekilde oturabiliyorsa, yan yana bulunan 4 koltu a kaç farkl ekilde oturabilirler?
11. ECEM sözcü ündeki harfleri yer de i tirerek anlaml ya da anlams z 4 harfli kaç farkl sözcük yaz labilir?
12. OLASILIK sözcü ündeki harfleri yer de i tirerek anlaml ya da anlams z 8 harfli, O ile ba layan kaç farkl sözcük yaz labilir?
13. 12232100 say s n n rakamlar n yer de i tirerek 8 basamakl kaç farkl say yaz labilir?
14. F R K K sözcü ündeki harflerin yerleri de i tiri-lerek yaz labilen 7 harfli sözcüklerin kaç tanesin-de harfini K harfi takip eder?
15. Aybars ile Ecem’in de aralar nda bulundu u 7 ki i, Aybars ile Ecem yan yana gelmemek ko u-luyla bir s ra halinde kaç farkl ekilde s ralanabi-lirler?
8. a. 9! , b. 6!.4! , c. 2.7! , d. 8!.2! 9. 5!.4! 10. 360 11. 12 12. !. !
!2 2
7 13. 1260 14. 5! 15. 5.6!
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
172
ES
EN
YAY
INLA
RI
16. 21130751 say s n n rakamlar ile 8 basamakl kaç farkl çift say yaz labilir?
17. A
C
D
B
ekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen sokaklar n göstermektedir. A dan harekete ba -lay p B ve C ye u rayarak D kentine en k sa yoldan gitmek isteyen biri kaç de i ik yol izleye-bilir?
18. 5 k z, 5 erkek arkada yuvarlak masa etraf nda 2 erkek aras nda 1 k z olmak ko uluyla kaç türlü oturabilirler?
19. 4 evli çift yuvarlak masa etraf nda, e ler birbi-rinden ayr lmamak ko uluyla kaç farkl ekilde oturabilirler?
20. 5 erkek, 3 k z arkada yuvarlak masa etraf nda
a. Kaç türlü oturabilirler?
b. K zlar bir arada olmak üzere kaç türlü otura-bilirler?
c. Erkekler bir arada olmak üzere kaç türlü otu-rabilirler?
21. 2 k z ve bir grup erkekten olu an topluluk yuvar-lak masa etraf nda, k zlar bir arada olmak ko u-luyla 48 farkl ekilde oturabiliyorsa bu toplulukta kaç erkek vard r?
22. x ki i yuvarlak masa etraf na a farkl ekilde,
bir bank n üzerine b farkl ekilde oturabiliyorsa
ab kaçt r?
16. 1560 17. 100 18. 4!.5! 19. 96 20. a. 7! , b. 5!.3! , c. 3!.5! 21. 4 22. x
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
173
ÖRNEK 57
A = {a, b, c} kümesinin 2 elemanl kombinasyonlar ile 2 elemanl permütasyonlar n kar la t r n z.
Çözüm
A kümesinin 2 elemanl kombinasyonlar , bu kü-menin 2 elemanl alt kümeleri olup
{a, b}, {a, c}, {b, c} dir.
Kombinasyonlar Permütasyonlar –––––––––––––– ––––––––––––––
{a, b} ( )( )abba*
{a, c} ( )( )acca*
{b, c} ( )( )bccb*
Burada da görüldü ü gibi
( , )( ) !. !
!. .. .
( , )( ) !
! . . .
C
P d r
3 23 2 2
31 2 13 2 1 3
3 23 2
31
3 2 1 6
–
–›
= = =
= = =
ÖRNEK 58
.n
nn
12
2–=c cm m oldu una göre, n kaçt r?
Çözüm
.n
nn
12
2–=c cm m
( ) !. ( ) !! .
( ) !. !!
n n nn
nn
1 12
2 2– – –+=
!. ( ) !
( ) !..
( ) !. .( ) ! ( ) .
nn n
nn n n
1 11
22 2 1
2 1–
––
– –=
n = (n – 1).n
1 = n – 1 n = 2 bulunur.
ÖRNEK 59
n n5 7
=c cm m ise n kaçt r?
Çözüm: l. Yol
n n5 7
=c cm m ( ) !. !
!( ) !. !
!n
nn
n5 5 7 7– –
=
(n – 5)!.5! = (n – 7)!.7!
(n – 7)!.(n – 6)(n – 5).5! = (n – 7)!.5!.6.7
(n – 6).(n – 5) = 6.7
n – 6 = 6 n = 12 olur.
ll. Yolnx
ny
=c dm n x = y veya x + y = n oldu undan
n n5 7
=c cm m n = 5 + 7 n = 12 olur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
r, n N ve r n olmak üzere, n elemanl bir A kümesinin r elemanl alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li
kombinasyonu denir ve n elemanl bir kümenin r li kombinasyonlar n n say s
( , )( ) !. !
!C n rnr n r r
n–
= =c m biçiminde ifade edilir.
nr
nn r–
=c cm m nn
n0
1= =c cm m n
nn
n1 1–
= =c cm m n
rnr
nr1
1–
+ =+c c dm m n
P(n, r) = C(n, r).r! n n n n
n0 1 22… n+ + + + =c c c cm m m m
nx
ny
=c dm n x = y veya x + y = n dir.
Kombinasyonda s ran n önemi yoktur. n eleman n r li seçimleri söz konusudur. Permütasyonda ise s ral dizili vard r.
KOMB NASYON (SEÇME)
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
174
ÖRNEK 60
n62
61
=+
d dn n ise n nin alabilece i de erlerin toplam
kaçt r?
Çözüm
n + 1 = 2 veya 2 + n + 1 = 6 olabilir.
O halde, n = 1 veya n = 3 olup toplamlar
1 + 3 = 4 tür.
ÖRNEK 61
62
63
74
85
96
+ + + +d d d d dn n n n n toplam n n sonucu kaçt r?
Çözüm
n
rnr
nr1
1–
+ =+c c dm m n oldu undan,
62
63
73
+ =d d dn n n olur. O halde,
62
63
74
85
96
73
74
85
96
+ + + + = + + +d d d d d d d d dn n n n n n n n n
84
85
96
= + +d d dn n n
95
96
= +d dn n
.olur106
= d n
ÖRNEK 62
n n n
r5 61
719
+ ++
=c c d dm m n n ise n + r kaç olabilir?
Çözüm
n n n
r5 61
719
+ ++
=c c d dm m n n
n nr
16
17
19++
+=d d dn n n
nr
27
19+=d dn n olup
n + 2 = 19 7 = r veya r = 12 dir.
O halde, n + r = 17 + 7 = 24 veya
n + r = 17 + 12 = 29 dur.
ÖRNEK 63
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin 2 elemanl kaç tane alt kümesi vard r?
Çözüm
s(A) = 4 oldu undan 2 elemanl alt kümelerinin say s ,
( ) !. !
!. . .. . .4
2 4 2 24
2 1 2 14 3 2 1 6
–= = =d n tanedir.
Üstelik bu alt kümeleri,
{1,2} , {1,3} , {1,4} , {2,3} , {2,4} , {3,4}
biçiminde de yazabiliriz.
ÖRNEK 64
9 elemanl bir kümenin en çok 7 elemanl alt küme say s kaçt r?
Çözüm
x olsun90
91
92
97
…+ + + + =d d d dn n n n
90
91
92
97
98
99
2…
x
9+ + + + + + =d d d d d dn n n n n n1 2 3444444 444444
x + 9 + 1 = 512 x = 502 bulunur.
ÖRNEK 65
7 elemanl bir kümenin en az 2 elemanl alt küme say s kaçt r?
Çözüm
x72
73
77
…+ + + =d d dn n n olsun.
70
71
72
73
77
2…
x
7+ + + + + =d d d d dn n n n n1 2 344444 44444
1 + 7 + x = 128 x = 120 bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
175
ÖRNEK 66
8 ki ilik bir sporcu grubundan, 5 ki ilik bir basketbol tak m , kaç farkl ekilde olu turulabilir?
Çözüm
Burada s ran n önemi olmay p, 8 ki i içinden 5 ki inin seçimi söz konusudur. Seçimi kombinas-yonla yapt m zdan,
( ) !. !
!. . . !!. . .8
5 8 5 58
3 2 1 55 6 7 8 56
–= = =d n bulunur.
ÖRNEK 67
7 soruluk bir s navda ö rencilerden 5 soruyu cevap-lamalar istenmi tir.
Bu s nava giren bir ö renci bu seçimi kaç farkl ekil-de yapabilir?
Çözüm
Burada s ran n önemi olmay p, 7 elemanl bir kümenin 5 elemanl alt kümelerinin say s n bul-mam z istenmi tir. O halde, bir ö renci istenen seçimi,
( ) !. !
!. . !!. .7
5 7 5 57
2 1 55 6 7 21
–= = =d n ekilde yapabilir.
ÖRNEK 68
Bir ö rencinin seçmesi gereken 7 seçmeli dersin 3 ü ayn gün ve ayn saatte okutulmaktad r. 4 ders seçmek isteyen bu ö rencinin kaç de i ik seçene i vard r?
Çözüm
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7
Ayn gün ve saatte okutulan derslere D1, D2, D3 dersek bu üç dersten en çok birini seçebilir.
Yani, ilk 3 dersten birini ve son 4 dersten üçünü seçebilir veya son 4 dersin dördünü de seçebilir. O halde,
. .31
43
44
3 4 4+ = +d d dn n n = 12 + 1 = 13 bulunur.
ÖRNEK 69
Bir ö renciden 8 soruluk bir s navda 5 soruyu cevap-lamas isteniyor. lk 3 sorudan en az ikisinin cevap-lanmas zorunlulu u oldu una göre, bu ö renci bu sorular kaç farkl biçimde cevaplayabilir?
Çözüm
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8
lk 3 sorudan ikisini ve son 5 sorudan üçünü se-çebilir veya ilk 3 sorudan üçünü ve son 5 sorudan ikisini seçebilir. Buna göre,
. . . .32
53
33
52
3 10 1 10+ = +d d d dn n n n = 40 bulunur.
ÖRNEK 70
A = {3, 5, 7} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor.
Bu kümelerden seçilen 2 tek ve 3 çift rakam ile 5 ba-samakl rakamlar farkl kaç say yaz labilir?
Çözüm
A kümesinden 2 rakam 32
3=d n de i ik biçimde
B kümesinden 3 rakam 43
4=d n de i ik biçimde
seçilir.
Seçilen bu 5 rakam da 5! = 120 farkl ekilde s ralan r. Buna göre, istenilen ko ullarda,
. . ! . .32
43
5 3 4 120 1440= =d dn n
farkl say yaz labilir.
ÖRNEK 71
5 erkek, 4 k z aras ndan 3 ki ilik bir grup olu turula-cakt r. Grupta en az 2 erkek olmas ko ulu varsa, bu grup kaç farkl ekilde olu turulabilir?
Çözüm
Grup 2 erkek, 1 k z veya 3 erkekten olu abilir.
. .52
41
53
10 4 10 50+ = + =d d dn n n bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
176
ÖRNEK 72
15 ki ilik bir sporcu grubundan tak ma girecek 3 ki i bellidir. Buna göre, bu gruptan 11 ki ilik futbol tak m kaç de i ik biçimde seçilebilir?
Çözüm
15 ki iden 3 ki i seçildi ine göre, geriye kalan 12 ki iden 8 ki i daha seçerek tak m 11 ki iye tamamlamal y z. Buna göre,
( ) !. !
!. . . . !
!. . . .128 12 8 8
124 3 2 1 8
8 9 10 11 12 495–
= = =d n de i ik biçimde seçilebilir.
ÖRNEK 73
6 s doktor, 6 s hem ire olan bir gruptan 4 ki ilik bir sa l k ekibi olu turulacakt r. Ekipte en az bir doktor bulunmas istenirse, bu seçim kaç farkl biçimde yap labilir?
Çözüm
Tüm durumlardan, ekibin tamam n n hem ireler-den olu mas durumunu ç kar rsak, ekipte en az bir doktor bulunmas durumunu bulmu oluruz.
( ) !. !
!( ) !. !
!124
64 12 4 4
126 4 4
6––
––
=d dn n
!. !!. . . .
!. !!. .
8 48 9 10 11 12
2 44 5 6–=
= 480 bulunur.
ÖRNEK 74
Bir otelde 3 yatakl bir oda ve 2 yatakl üç oda bo tur. 9 ki i bu odalara kaç farkl biçimde yerle tirilebilir?
Çözüm
9 ki iden 3 ki i 3 yatakl odaya, sonra kalan 6 ki-iden 2 ki i 2 ki ilik odalardan birine, daha sonra
kalan 4 ki iden 2 ki i 2 ki ilik di er odaya ve en son kalan 2 ki i de 2 ki ilik son odaya yerle tirilirse
. . . . . .93
62
42
22
84 15 6 1 7560= =d d d dn n n n bulunur.
ÖRNEK 75
4 ü subay, 6 s er olan bir gruptan 3 ki ilik bir ekip olu turulacakt r. Ekipte en çok 2 er bulunmas istenir-se, bu seçim kaç farkl biçimde yap labilir?
Çözüm
3 subay 43d n
2 subay, 1 er 42
61
·d dn n
1 subay, 2 er 41
62
·d dn n farkl biçimde seçilebildi inden, toplama yolu ile
sayma kural na göre,
. .43
42
61
41
62
4 6 6 4 15· ·+ + = + +d d d d dn n n n n = 4 + 36 + 60
= 100 bulunur.
ÖRNEK 76
10 k z ö renci ve 8 erkek ö renci aras ndan 2 k z ö -renci ve 2 erkek ö renci kaç farkl ekilde seçilebilir?
Çözüm
10 k z ö renci aras ndan 2 k z ö renci,
( ) !. !
!!. !
!. .102 10 2 2
108 2
8 9 10 45–
= = =d n farkl ekilde seçilebilir.
8 erkek ö renci aras ndan 2 erkek ö renci;
( ) !. !
!!. !!. .8
2 8 2 28
6 26 7 8 28
–= = =d n
farkl ekilde seçilebilir. Çarpma yoluyla sayma kural na göre, 2 k z ö renci ve 2 erkek ö renci 45.28 = 1260 farkl ekilde seçilebilir.
Bu örnekte bizden istenen 2 k z ö renci veya 2 erkek ö rencinin kaç farkl ekilde seçilebilmesi olsayd , toplama yoluyla sayma kural na göre, yan t 45 + 28 = 73 olarak bulunurdu.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
177
ÖRNEK 77
10 ki iden 6 s Urfa’ya ve 4 ki i Çorum’a gidecektir. Bu iki grup kaç farkl biçimde olu turulabilir?
Çözüm
10 ki iden 6 s seçilip Urfa’ya ve kalan 4 ki inin 4 ü de Çorum’a gidece ine göre bu seçim,
.
( ) !. !!
. . . . !!. . . .10
644 10 6 6
10 14 3 2 1 66 7 8 9 10 210
–·= = =d dn n
farkl ekilde yap labilir.
ÖRNEK 78
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlar ile a < b < c olmak üzere kaç farkl abc üç basamakl say s yaz labilir?
Çözüm
A kümesinden seçilecek olan herhangi 3 rakam ile a < b < c ko ulunu sa layan yaln zca bir tane abc üç basamakl say s yaz labilir.
Örne in, 1, 3, 6 rakamlar ile 1 < 3 < 6 oldu un-dan uygun say 136 d r. O halde,
( ) !. !!
!. . .!. . .6
3 6 3 36
3 3 2 13 4 5 6 20
–= = =d n
farkl abc üç basamakl say s yaz labilir.
ÖRNEK 79
a, b, c, d birer rakam olmak üzere, a < b < c < d ko ulunu sa layan kaç farkl abcd dört basamakl say s yaz labilir?
Çözüm
a 0 olaca ndan ve a < b < c < d ko ulundan dolay 0 (s f r) d ndaki rakamlardan seçim yap-mal y z.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinden seçilen herhangi 4 rakam ile istenen ko ullarda yaln zca 1 say yaz labilir. Buna göre,
( ) !. !
!!. . . .!. . . .9
4 9 4 49
5 4 3 2 15 6 7 8 9 126
–= = =d n
farkl say yaz labilir.
ÖRNEK 80
Anne, baba ve 4 çocuktan olu an bir ailenin elinde 3
ki ilik bir davetiye vard r. Anne veya babadan en az
birisinin davete kat lmas gerekti ine göre, bu davete
3 ki i kaç farkl ekilde kat labilirler?
Çözüm
Davete, anne ve 2 çocuk 42
6=d n farkl ekilde
kat labilir.
Baba ve 2 çocuk 42
6=d n farkl ekilde kat labilir.
Anne, baba ve 1 çocuk
41
4=d n farkl ekilde
kat labilir. Toplama yoluyla sayma kural na göre,
istenen ko ullarda 6 + 6 + 4 = 16 farkl durum
vard r.
ÖRNEK 81
5 farkl oyunca n 3 ü Özge’ye, 2 si Özlem’e kaç farkl ekilde da t labilir?
Çözüm
5 farkl oyunca n 3 ü Özge’ye ve kalan 2 si de Özlem’e
.53
22
10 1 10· = =d dn n farkl ekilde da t labilir.
ÖRNEK 82
Herhangi üçü do rusal olmayan 6 noktan n ikisinden geçen en fazla kaç do ru çizilebilir?
Çözüm
ki noktadan bir do ru geçece inden,
6 farkl noktadan geçen en fazla
( ) !. !
!!. .!. .6
2 6 2 26
4 2 14 5 6 15
–= = =d n
tane do ru çizilebilir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
178
ÖRNEK 83
Herhangi üçü do rusal olmayan 7 farkl noktadan, kö eleri bu noktalar olan kaç farkl üçgen çizilebilir?
Çözüm
7 noktadan seçilen her 3 nokta ile kö eleri bu 3 nokta olan bir üçgen çizilebilir. Çünkü, herhangi üç noktan n do rusal olmad n biliyoruz.
O halde istenen ko ullarda
( ) !. !
!!. . .!. . .7
3 7 3 37
4 3 2 14 5 6 7 35
–= = =d n
tane üçgen çizilebilir.
ÖRNEK 84
Ayn düzlemde bulunan 10 farkl do ru en fazla kaç noktada kesi ebilir?
Çözüm
Kesi tikleri nokta say s n n en fazla olmas için herhangi iki do runun paralel olmad n dü ün-meliyiz.
Paralel olmayan iki do ru bir noktada kesi ti in-den,10 do ru
( ) !. !
!!. !
!. .102 10 2 2
108 2
8 9 10 45–
= = =d n noktada kesi ebilir.
ÖRNEK 85
A, B, C, D, E, F, G, H noktalar ayn düzlemde olup herhangi üçü do rusal de ildir.
Kö eleri bu noktalar olan üçgenlerden kaç tanesinin bir kö esi A noktas d r?
Çözüm
Üçgenin bir kö esi A noktas olaca na göre, geriye kalan 7 noktadan 2 kö e daha seçmeliyiz. O halde, istenen ko ullar sa layan
( ) !. !
!!. !!. .7
2 7 2 27
5 25 6 7 21
–= = =d n
üçgen çizilebilir.
ÖRNEK 86
d1
d2D E GF
A B C
Yukar daki ekilde d1 // d2 olmak üzere, kö eleri bu 7 noktadan herhangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
Çözüm
I. Yol
d1 do rusundan 1 nokta ve d2 do rusundan 2 nokta seçilirse
.31
42
f fp p = 3.6 = 18 tane üçgen çizilir.
d1 do rusundan 2 nokta ve d2 do rusundan 1 nokta seçilirse
.32
41
f fp p = 3.4 = 12 tane üçgen daha çizilir.
O halde, 18 + 12 = 30 tane üçgen çizilmi olur.
II. Yol
Verilen 7 noktadan seçilebilen tüm üçlülerden do rusal oldu u için üçgen olu turmayan üçlüleri ç kararak olu an üçgenlerin say s n bulabiliriz.
( ) !. !
!73
33
43 7 3 3
7 1 4– ––
– –=d d dn n n
!. . .!. . . 5
4 3 2 14 5 6 7 –= = 30 bulunur.
ÖRNEK 87
d1
d2
DB
C
AE
GF
Yukar daki ekilde A noktas nda kesi en iki do ru üzerindeki baz noktalar verilmi tir. Kö eleri bu 7 nok-tadan herhangi üçü olan kaç tane üçgen çizilebilir?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
179
Çözüm
Verilen 7 noktadan seçilebilen tüm üçlülerden doğrusal olduğu için üçgen oluşturmayan üçlüleri çıkararak oluşan üçgenlerin sayısını bulabiliriz.
O halde,
( ) !. !
!( ) !. !
!73
33
53 7 3 3
7 15 3 3
5– ––
– ––
=d d dn n n
!. . .!. . .
. !!. .
4 3 2 14 5 6 7 1
2 33 4 5– –=
= 24 bulunur.
ÖRNEK 88
Düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi doğrusaldır. Köşeleri bu noktalar olan en çok kaç tane üçgen çizilebilir?
Çözüm
Tüm durumlardan üçgen oluşmayan durumları çıkarırsak,
( ) !. !
!!. . .!. . .8
343 8 3 3
8 45 3 2 15 6 7 8 4–
–– –= =d dn n = 52
tane üçgenin çizilebileceğini bulmuş oluruz.
ÖRNEK 89
Birbirine paralel olan 4 doğru ile birbirine paralel olan 5 doğru kesiştirilirse oluşan şekilde kaç tane paralel-kenar vardır?
Çözüm
d1
d2
d3
d4
t1 t2 t3 t4 t5
2 yatay ve 2 düşey doğru seçilerek oluşan para-
lelkenar sayısı bulunur. O halde,
. .42
52
6 10 60= =d dn n tane paralelkenar vardır.
ÖRNEK 90
6 farklı çemberin kesişmesi ile en çok kaç tane kesi-şim noktası oluşur?
ÇözümA
B
6 çemberden seçilen ikililer 62d n tanedir.
Fakat her ikili farklı iki noktada kesişebileceğinden
. .!. !!2
62
24 26 30= =d n
tane kesişim noktası oluşabilir.
ÖRNEK 91
dA B
C D
E
GF
Yukarıdaki şekilde verilen A, B, C, D, E, F, G nok-talarının herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir?
Çözüm
Şekildeki 7 noktadan herhangi ikisi
!. !!
!. !!. .7
2 5 27
5 25 6 7 21= = =d n
farklı şekilde seçilebilir. Fakat A, B, F, G nokta-larından seçilen ikililerin hepsi de d doğrusunu verir. O halde
42
6=d n yı çıkarıp, d doğrusunu bir kez saymalı-
yız. Yani,
72
42
1 21 6 1 16– –+ = + =d dn n doğru çizilebilir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
180
ÖRNEK 92
Bir çember üzerindeki 8 noktay birle tirerek kö eleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?
ÇözümA
E F
H
GD
C
B
Çember üzerinde seçilen herhangi üç nokta do -
rusal olmad ndan daima kö eleri bu noktalar
olan bir üçgen çizilmi olur.
O halde istenilen ko ullarda
!. !!
!. . .!. . .8
3 5 38
5 3 2 15 6 7 8 56= = =d n
tane üçgen çizilebilir.
ÖRNEK 93
B C
A
D G
E
F H
Kö eleri ekildeki noktalar olan kaç farkl üçgen çi-zilebilir?
Çözüm
A, F, E, D noktalar ndan seçilen üçlüler,
B, D, G, C noktalar ndan seçilen üçlüler ve
A, H,C noktalar ndan seçilen üçlüler do rusal olup üçgen olu turmazlar. Dolay s ile verilen 8 noktadan seçilen üçlülerden,
83
43
43
33
56 4 4 1 47– – – – – –= =d d d dn n n n tanesi üçgen olu turur.
ÖRNEK 94
B C
A
G HE F
D
Yukar daki ekilde kaç tane üçgen vard r?
Çözüm
Üçgenin bir kö esi A ise di er iki kö esi [BC]
veya [BD] üzerinden seçilmeli. [BC] üzerindeki
B, E, F, G, H, C noktalar ndan ikisi
62
15=d n farkl ekilde seçilir.
Ayn ekilde [BD] üzerinden de iki kö e 15 farkl ekilde seçilir.
O halde, bir kö esi A olan 15 + 15 = 30 tane üçgen vard r.
Üçgenin bir kö esi A olmay p B olsun.
B E G HF C
D
E
GH
F
Bir kö esi B iken, B nin kar kenar EE , FF , GG , HH , CD den biri olmal d r. Bu ekilde de 5 farkl üçgen daha vard r.
Buna göre, toplam 30 + 5 = 35 tane üçgen var-d r.
ÖRNEK 95
5 farkl dikdörtgenin herhangi iki kenar n n veya ke-narlar n n bir parças n n çak madan kesi tirilmesiyle en çok kaç kesi im noktas olu ur?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
181
Çözüm
5 dikdörtgenden seçilebilen ikililer
52
10=d n tanedir.
Seçilen her ikili yukar daki gibi en çok 8 farkl noktada kesi ir. Dolay s ile en çok
. .852
8 10 80= =d n tane kesi im noktas olu ur.
ÖRNEK 96
4 farkl üçgenin herhangi iki kenar n n veya kenarla-r n n bir parças n n çak madan kesi tirilmesiyle en çok kaç kesi im noktas olu ur?
Çözüm
B CE
A D
Herhangi iki kenar çak rsa, ekilde görüldü ü gibi sonsuz tane ortak noktalar olur.
( [BC] üzerinde sonsuz tane nokta var.)
F
E
B C
D
A
Çak t rmadan, ekildeki gibi kesi irse 6 farkl nokta ortakt r. Buna göre,
4 üçgenden seçilebilen ikililer 42
6=d n tanedir.
Seçilen her ikili 6 farkl noktada kesi ebilece in-
den en çok 6. .42
6 6 36= =d n tane kesi im nokta-
s olu ur.
ÖRNEK 97
B K CE
A
L
N
MF
D
ekilde kaç tane dörtgen vard r?
Çözüm
K CE
A
L
N
MF
D
ekildeki mavi do ru parçalar ndan 2 tane ve k r-m z do ru parçalar ndan yine 2 tane seçmeliyiz. O halde,
..!. !!
!. !!3
2 25
2 13
3 25=d dn n
= 3.10 = 30 tane dörtgen vard r.
ÖRNEK 98
Yandaki ekilde, bir hareketliC
B
A
A noktas ndan sa veya
yukar yönde ilerleyerek B
noktas ndan geçmemek
ko ulu ile çizgiler üzerinden
C noktas na kaç farkl ekilde gider?
Çözüm
Hareketli sa a veya yukar hareket ederek A dan
C ye 4 yukar ve 5 sa olmak üzere 9 ad mda var r. Buna göre, bu 9 do ru parças ndan 4 ü seçil-di inde di er 5 i de seçilmi olur.
O halde, A dan C ye
!. !!9
4 4 59=d n = 126 farkl ekilde gider.
A dan B ye 2 + 2 = 4 ve B den C ye 3 + 2 = 5 ad m oldu undan B noktas na u raya-
rak A dan C ye .2
543
d dn n = 6.10 = 60 farkl yolla
gider. Bu durumda, B noktas ndan geçmemek ko ulu ile A dan C ye 126 – 60 = 66 farkl ekilde gider.
182
1. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
C(n, 0) = 1
C(n, n) = n
C(n, 1) = n
C(n, n–1) = 1
C(n, r) + C(n, r+1) = C(n+1, r+1)
P(n, r) = r!.C(n, r)
2. A a daki e itliklerin her birinde n de erlerini bulunuz.
a. C(2n, 1) = 2.C(n, 2)
b. P(n, 2) = 2.C(n, 3)
c. P(n, 2) + C(n, 2) = 30
3. A a daki e itliklerin her birinde n de erlerini bulunuz.
a. n n2 5
=c cm m
b. nn
n2 11
2 14–
+=
+d dn n
4. A a daki ifadelerin her birinin e itini bulunuz.
a. 82
83
84
85
86
87
+ + + + +d d d d d dn n n n n n
b. 91
92
99
……+ + +d d dn n n
c. 41
42
53
64
75
+ + + +d d d d dn n n n n
5. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin
a. 3 elemanl kaç alt kümesi vard r?
b. En az 3 elemanl kaç tane alt kümesi vard r?
c. En çok 3 elemanl kaç tane alt kümesi var-d r?
6. Herhangi üçü do rusal olmayan 6 noktan n;
a. kisinden geçen kaç tane do ru çizilebilir?
b. Kö eleri bu noktalar olan kaç tane üçgen çizilebilir?
c. Kö eleri bu noktalar olan kaç tane çokgen çizilebilir?
ES
EN
YAY
INLA
RI
ALIŞTIRMALAR – 3
1. D, Y, D, Y, D, D 2. a. 3, b. 5, c. 5 3. a. 7, b. 2 veya 5 4. a. 246, b. 511, c. 56 5. a. 10 , b. 16 , c. 26 6. a. 15, b. 20, c. 42
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
183
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. 10 ki ilik bir sporcu grubundan 5 ki ilik bir basket-bol tak m olu turulacakt r. Tak ma girecek olan 2 ki i biliniyorsa kaç farkl tak m olu turulabilir?
8. 6 k z ve 4 erkek ö rencinin bulundu u bir gruptan
a. 4 ki ilik kaç ekip olu turulabilir?
b. 3 k z, 1 erkekten olu an 4 ki ilik kaç ekip
olu turulabilir?
c. En az 3 ü k z olan 4 ki ilik kaç ekip olu turu-
labilir?
d. En çok 3 ü erkek olan 4 ki ilik kaç ekip olu -
turulabilir?
9. A B
C
D
E
K
F
Bir çember üzerindeki 7 farkl noktadan çizilebile-cek üçgenlerden kaç tanesinin bir kö esi A d r?
10. Bir s navda sorulan 10 sorunun ilk dördünden en az üçünü cevapland rmak ko uluyla 7 soru kaç de i ik biçimde seçilebilir?
11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanl alt kümelerinin kaç tanesinde,
a. 3 bulunur?
b. 2 bulunmaz?
c. 2 ve 3 bulunur?
d. 2 veya 3 bulunmaz?
12. 5 elemanl alt kümeleri say s 4 elemanl alt kü-melerinin say s na e it olan kümenin 2 elemanl kaç tane alt kümesi vard r?
13. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar ile,
a < b < c olmak üzere kaç farkl abc üç basa-makl say s yaz labilir?
7. 56 8. a. 210 , b. 80 , c. 95 , d. 209 9. 15 10. 80 11. a. 10 , b. 5 , c. 6 , d. 1 12. 36 13. 10
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
184
ES
EN
YAY
INLA
RI
14. Ayn düzlemde bulunan 8 do ru en fazla kaç noktada kesi ebilirler?
15. A
B
C
D
E
K
L
M
F
ekildeki 5 nokta do rusal, di er 4 nokta bir çem-ber üzerindedir. Kö eleri bu 9 noktadan seçilen en çok kaç üçgen çizilebilir?
16.
A
BC
DE
LM
K
Yukar daki ekilde B noktas nda kesi en iki do ru üzerinde 8 nokta verilmi tir.
Bu noktalar n,
a. En az ikisinden geçen kaç do ru çizilebilir?
b. Kö eleri bu noktalardan seçilen kaç üçgen çizilebilir?
c. Bir kö esi C olan ve di er kö eleri öteki nok-talardan seçilen kaç üçgen çizilebilir?
17. 4 farkl çemberin kesi mesiyle en çok kaç tane kesim noktas olu ur?
18.
B C
A
K
D E F
Yukar daki ekilde kaç tane üçgen vard r?
19. 1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
Yukar da bir kenar uzunlu u 4 br olan kare çizil-mi tir.
a. ekilde kaç tane dikdörtgen vard r?
b. Kaç tane kare vard r?
c. Karelerden kaç tanesinin kenar uzunlu u 1 den büyüktür?
14. 28 15. 74 16. a. 14 , b. 42 , c. 18 17. 12 18. 24 19. a. 100 , b. 30 , c. 14
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
185
ÖRNEK 99
A a daki aç l mlar inceleyiniz.
1. (x + y)1 = x y x y10
11
1 1+ = +d dn n
2. (x + y)2 = x xy y20
21
22
2 2+ +d d dn n n = x2 + 2xy + y2
3. (x + y)3 = x x y xy y30
31
32
33
3 2 2 3+ + +d d d dn n n n = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
4. (x + y)4 = x x y x y xy y40
41
42
43
44
4 3 2 2 3 4+ + + +d d d d dn n n n n = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
n pozitif tam say olmak üzere, (x + y)n ifadesinin aç l m na binom aç l m denir.
(x + y)n = n
xn
x yn
x ynn
y0 1 2
…n n n n1 2 2– –+ + + +c c c cm m m m aç l m ;
x in azalan, y nin artan kuvvetlerine göre yap lm t r.
y nin yerine –y yaz l rsa (x – y)n ifadesinin aç l m elde edilir.
Her terimdeki dereceler toplam n dir.
n + 1 tane terim vard r.
Kat say lar toplam x = y = 1 al narak bulunur.
Ba tan ve sondan e it uzakl ktaki terimlerin kat say lar e ittir.
(x + y)2n aç l m nda, ortadaki terim .nn
x y2 n nd n dir.
.nr
x yn r r–c m terimine genel terim denir. Genel terim; ba tan (r +1). terim, sondan (n – r + 1). terimdir.
Pascal Üçgeni
1051 1510
641 14
31 13
1 12
1 1
1(x + y)0
(x + y)1
(x + y)2
(x + y)3
(x + y)4
(x + y)5
(x + y)0
00d n
(x + y)1 10
11
d dn n (x + y)2
20
21
22
d d dn n n (x + y)3
30
31
32
33
d d d dn n n n (x + y)4
40
41
42
43
44
d d d d dn n n n n ........... ............................................................... ............. .............................................
Kombinasyon konusu i lenirken verilen, n
rnr
nr1
1–
+ =+c c dm m n ba nt s n , Pascal üçgenini kombinasyon
biçiminde yukar daki gibi yazd m zda rahatl kla görebiliriz.
Örne in, , gibi10
11
21
21
22
32
+ = + =d d d d d dn n n n n n
B NOM AÇILIMI
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
186
ÖRNEK 100
(2x – 5y)3 ifadesinin aç l m n yap n z.
Çözüm
(2x – 5y)3 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y x y y30
231
2 532
2 533
5– – –3 2 1 1 2 3+ + +d d d dn n n n
= 1.8.x3 + 3.4x2.(–5y) + 3.2x.25y2 + 1.(–125)y3
= 8x3 – 60x2y + 150xy2 – 125y3
ÖRNEK 101
a b23
2+c m ifadesinin aç l m n yap n z.
Çözüm
( ) . .a b a a b b23
20
221
23
22 3
22
2+ = + +c d d d cm n n n m
= 1.4a2 + 2.2a. b3
+ 1. b9
2
= 4a2 + ab b3
49
2+
ÖRNEK 102
(2a + 3)4 ifadesinin aç l m n yap n z.
Çözüm
( ) ( ) ( ) . ( ) .
. .
a a a a
a
2 340
241
2 342
2 3
43
2 344
3
4 4 3 2 2
3 4
+ = + +
+ +
d d dd dn n nn n
= 1.16a4 + 4.8a3.3 + 6.4a2.9 + 4.2a.27 + 1.81
= 16a4 + 96a3 + 216a2 + 216a + 81
ÖRNEK 103
(2a – b2 + c)5 aç l m nda kat say lar toplam kaçt r?
Çözüm
a = b = c = 1 al n rsa kat say lar toplam ,
(2.1 – 12 + 1)5 = (2 – 1 + 1)5 = 25 = 32 bulunur.
ÖRNEK 104
(3x – 4y)n aç l m nda 8 tane terim bulundu una göre, bu terimlerin kat say lar toplam kaçt r?
Çözüm
(3x – 4y)n aç l m nda n + 1 tane terim bulunur. Dolay s ile n + 1 = 8 n = 7 dir.
Kat say lar toplam n bulmak için x = y = 1 al n r ve (3x – 4y)7 aç l m ndan
(3.1 – 4.1)7 = (–1)7 = –1 bulunur.
ÖRNEK 105
(x3 – 5x + 2)6 aç l m nda sabit terim kaçt r?
Çözüm
Sabit terim içinde de i ken olmayan terimdir.
De i keni yok etmek için x = 0 al n rsa,
(03 – 5.0 + 2)6 = 26 = 64 bulunur.
ÖRNEK 106
(x + 2y)6 aç l m nda ortadaki terim nedir?
Çözüm
6 32
= olup ortadaki terim
( ) ( )!. !! . .x y x y
63
23 36 83 3 3 3=d n = 160.x3.y3 dir.
ÖRNEK 107
(2x + y)10 aç l m x in azalan kuvvetlerine göre s rala-n rsa ba tan 4. terim ne olur?
Çözüm
Ba tan (r + 1). terim .nr
x yn r r–c m oldu undan,
4. terim, ( ) . . . .x y x y103
2103
210 3 3 7 7 3– =d dn n olur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
187
ÖRNEK 108
(x – 2y)n = xn + ...... + Ax6y4+.......
biçiminde x in azalan kuvvetlerine göre aç l m yap ld -na göre A kaçt r?
Çözüm
Her terimdeki dereceler toplam n ye e it oldu-undan,
Ax6y4 teriminde de n = 6 + 4 = 10 dur.
(x + y)n aç l m ndaki genel terim
nr
x yn r r–c m oldu undan,
(x – 2y)10 aç l m nda genel terim
( ) . ( )r
x y10
2–r r10 –d n olmal d r.
( ) . ( )r
x y10
2–r r10 –d n = A.x6y4 ise r = 4 tür.
( ) . ( ) . .
. . .
x y x y
x y
104
2104
16
16104
–10 4 4 6 4
6 4
– =
=
d d
d
n n
n olup A = 16.
104d n bulunur.
ÖRNEK 109
(x2 – y)12 aç l m x in azalan kuvvetlerine göre s rala-n rsa sondan 4. terim ne olur?
Çözüm
nrc mxn–ryr terimi sondan (n – r + 1). terimdir.
O halde, n = 12 ve n – r + 1 = 4 12 – r + 1 = 4
r = 9 dur.
Buna göre, sondan 4. terim
( ) ( ) . ( ) .
. . . .
x y x y
x y dur
129
129
1
1129
– –
–
2 3 9 6 9
6 9
=
=
d d
d
n n
n
ÖRNEK 110
xx12
6+c m ifadesinin aç l m ndaki x6 l terimin kat sa-
y s kaçt r?
Çözüm
. ( ) . .
. . .
. .
rx
xA x
rx
xA x
rx A x
6 1
6 1
6
rr
rr
r
2 6 6
12 2 6
12 3 6
–
–
–
=
=
=
d c
d
d
n m
n
n 12 – 3r = 6 r = 2 dir. O halde,
. .x A x62
6 6=d n A = 62
15=d n olur.
ÖRNEK 111
aa1–32
5c m ifadesinin aç l m ndaki sabit terim kaçt r?
Çözüm
Bizden de i kenin olmad , yani a0 n kat say s isteniyor. Buna göre,
. ( ) . .
. . ( ) . .
. ( ) . .
ra
aA a
ra a A a
ra A a
5 1
51
51
–
–
–
rr
r r r
r r
3 52
0
15 3 2 0
15 5 0
–
– –
–
=
=
=
f c
f
f
p m
p
p
15 – 5r = 0 r = 3 tür. O halde,
. ( ) . .a A a53
1– 3 0 0=d n . ( )A53
1– 3= d n = –10 olur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
188
ÖRNEK 112
xx
13 8+c m ifadesinin aç l m ndaki x li terimin kat
say s kaçt r?
Çözüm
. .r
xx
A x8 1r r3 8 –
=d ^ cn h m . . .r
x x A x8 r r
38
2– –
=d n
. .r
x A x8 r
616 5–
=d n r
616 5 1– = r = 2 dir. O halde,
. .x A x82
=d n A82
= d n = !. !!
6 28 = 28 olur.
ÖRNEK 113
5 53 5 11+^ h aç l m nda rasyonel terim kaça e ittir?
Çözüm
. . . .
.
r r
r
115 5
115 5
115
r rr r
r
3 11 5 311
5
1555 2
––
–
=
=
d ^ ^ d
d
n h h n
n Bu genel terimin rasyonel olmas için r
1555 2–
oran n n bir tam say olmas gerekir. 0 r 11
oldu unu da dikkate al rsak, r = 5 bulunur.
Buna göre, 5 53 5 11+^ h aç l m n n rasyonel
olan terimi,
. . . .dir115
5115
5 125115
.15
55 2 5 3–
= =d d dn n n
ÖRNEK 114
(x + y + z)n aç l m ndaki terimlerden birisi A.x2.y3.z5
oldu una göre, A kaçt r?Çözüm
x, y ve z nin üslerinin toplam n ye e ittir. Yani,
n = 2 + 3 + 5 = 10 dur.
x + y = k al n rsa, (x + y + z)10 = (k + z)10
olup genel terim r
10d n.k10 – r.zr olur.
A.x2.y3.z5 teriminde z nin kuvveti 5 oldu undan
r = 5 tir. O halde, genel terim
. . . ( ) .k z x y z105
105
5 5 5 5= +d dn n olur.
(x + y)5 aç l m nda genel terim
r5d n.x5 – r.yr olup y nin kuvveti 3 oldu undan
r = 3 tür. O halde, (x + y)5 aç l m n n genel terimi
53d n.x2.y3 tür. Buna göre,
(k + y + z)10 aç l m ndaki terimlerden biri
.105
53
d dn n.x2.y3.z5 olup A = .105
53
d dn n bulunur.
(ax + by + cz)n ifadesinin aç l m nda xp.yq.zt li
terimin kat say s ap.bq.ct.!. !. !
!p q t
n dir.
ÖRNEK 115
(x – 3y + 2z)6 ifadesinin aç l m ndaki terimlerden biri
A.x3.y2.z oldu una göre, A kaçt r?
Çözüm
Yukar daki kurala göre,
A = 13.(–3)2.21.3!.2!.1!
6! = 18.!.
!. . .3 24 5 63 = 1080 dir.
ÖRNEK 116
(x2 + 2y3 – z4)10 aç l m yap ld nda, içinde x6 çar-pan olup ba ka x çarpan olmayan kaç terim vard r?
Çözüm
x6 elde edebilmek için terimlerden biri
. . .x y z x y z107
2107
2– –2 3 3 4 7 6 3 4 7=d ^ ^ d ^n h h n h olarak al nmal d r.
(2y3 – z4)7 aç l m nda 8 terim oldu u için içinde
x6 olup ba ka x çarpan olmayan terim say s da
8 dir.
189
1. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
(a + b)n aç l m nda;
Ba tan r. terim nr
a bn r r–c m dir.
Sondan (r + 1). terim nr
a br n r–c m dir.
Kat say lar toplam 2n dir.
n çift olmak üzere ortadaki terim için
r n2
= dir.
Ba tan ve sondan e it uzakl ktaki terimle-rin kat say lar e ittir.
2. (2x – y)6
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre aç l rsa ba tan 3. terim ne olur?
3. A a daki aç l mlar n her birinde sabit terimleri bulunuz.
a. (x – 1)3
b. (3x – 2)4
c. (x2 – x + 2)5
4. A a daki aç l mlar n her birinde kat say lar top-lam n bulunuz.
a. (2x – 1)20
b. (3x + 1)4
c. (2x – 3y)7
d. (2x – 3y + z)40
e. (x – 2y + 3z)7
5. (2x2 – y)8
ifadesi x in azalan kuvvetlerine göre aç l rsa sondan 4. terim ne olur?
ES
EN
YAY
INLA
RI
ALIŞTIRMALAR – 4
1. Y, D, D, D, D 2. 240.x4.y2 3. a. –1 , b. 16 , c. 32 4. a. 1 , b. 256 , c. –1 , d. 0 , e. 128 5. –448.x6.y5
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
190
ES
EN
YAY
INLA
RI
6. xx
3 1–2
6c m
aç l m nda ortadaki terim nedir?
7. (x – 3y)n = xn + ..... + Ax4y2 + .....
e itli ine göre A kaçt r?
8. xx1–3
7c m
ifadesinin aç l m nda x5 li terimin kat say s kaçt r?
9. x
x1 –2
6c m
ifadesinin aç l m nda sabit terim kaçt r?
10. (x2 – 3y2)n
aç l m nda terimlerden biri Ax4y8 ise A kaçt r?
11. xx2–23
5c m
aç l m nda sabit terim ba tan kaç nc terimdir?
12. (x – y + 3z)6
aç l m nda terimlerden biri Ax2yz3 ise A kaçt r?
13. (v2 – 1)6
aç l m nda elde edilen terimlerden rasyonel olan-lar bulunuz.
6. x540–
3 7. 135 8. 35 9. 15 10. 1215 11. 3 12. –1620
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
191
ÖRNEK 117
Bir madeni paran n at lmas deneyinin;
ç kt lar : Y (yaz ) ve T (tura) d r.
Örnek uzay : E = {Y, T} dir.
Buna göre, bir madeni paran n at lmas sonucu, yaz veya tura gelmesi olay na (örnek uzaya) kesin olay
denir. Paran n dik gelmesi olay ise olanaks z olayd r.
ÖRNEK 118
Bir tavla zar n n at lmas deneyindeki örnek uzay
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dir.
Üste gelen say n n tek gelmesi olay , T = {1, 3, 5} ve
çift gelmesi olay Ç = {2, 4, 6} d r. Bu iki olay n kesi-
imleri bo küme oldu undan, bu iki olaya ayr k (ba-
ms z) olaylar denir. Gelen say n n asal say olmas
olay , A = {2, 3, 5} olup A T Ø ve Ç A Ø d r. Yani, A olay ile T ve Ç olaylar ayr k olaylar de ildir.
ÖRNEK 119
ki madeni paran n at lmas deneyinin örnek uzay n yaz n z.
Çözüm
Y
T
Y
(Y,Y)
(T,Y)
T
(Y,T)
(T,T)
E = {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)}
olup s(E) = 4 tür.
Burada iki madeni paran n at lmas de il de, bir madeni paran n art arda iki kez at lmas deneyi yap lsayd ayn sonucun elde edilece ine dikkat ediniz.
Olas l k, sonucu kesin olmayan olaylar say larla ifade eder. Olas l k teorisi günümüzde ans oyunlar n n yan -
s ra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler, meteoroloji, sigortac l k, bankac l k ve milli savunma gibi pek çok
uygulama alan nda kullan lmaktad r.
Deney ve Ç kt
Yeni bilgi kazanmak ve olaylar n geli imini incelemek için yap lan deneme ve testlere deney denir. Bir deneyin
mümkün olan her türlü sonucuna ç kt ad verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paran n at lmas bir deneydir.
Yaz gelmesi ve tura gelmesi ise bu deneyin ç kt lar d r. Ayn ekilde bir tavla zar n n at lmas bir deneydir.
1 gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi, 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin ç kt lar d r.
Örnek (Örneklem) Uzay
Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçlar n kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzay n her
bir eleman na ise örnek nokta denir.
Olay
Örnek uzay n her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzay na kesin olay, bo kümeye ise olanaks z (imkan-
s z) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olay n ara kesitleri (kesi imleri) bo küme ise bu iki olaya ayr k (ba ms z)
olaylar denir.
OLASILIK
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
192
ÖRNEK 120
Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız.
ÇözümYYY
YYT
YTY
YTT
TYY
TYT
TTY
TTT
Y
T
Y
T
Y
T
Y
T
Y
T
Y
T
Y
T
E = {(Y, Y, Y), (Y, Y, T), (Y, T, Y), (Y, T, T),
(T, Y, Y), (T, Y, T), (T, T, Y), (T, T, T)}
olup s(E) = 8 dir.
Art arda yapılan madeni para atma deneyinde, para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı s(E) = 2n olur.
ÖRNEK 121
İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek uzayı yazınız.
Çözüm
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
1. zarın 6 farklı çıktısı ve 2. zarın da 6 farklı çıktısı
olduğundan, örnek uzayın eleman sayısı
6.6 = 36 dır.
Bu 36 eleman içindeki
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) ve (6, 6)
çıktıları birer kez yazılmışken,
(1, 2) ile (2, 1), (1, 3) ile (3, 1), (4, 5) ile (5, 4), .....
gibi olaylar farklı olaylar olup ayrı ayrı yazılmıştır.
Yani, (4, 5) çıktısı birinci zarın üst yüzünün 4 ikin-
cisinin 5 geldiğini, (5, 4) çıktısı ise birinci zarın üst
yüzünün 5 ikincisinin 4 geldiğini göstermektedir.
Buna göre aşağıda verilen bazı olayları inceleyi-niz.
A = {Toplamın 10 olması olayı}
= {(6, 4), (5, 5), (4, 6)}
B = {Çarpımın 12 olması olayı}
= {(6, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 6)}
C = {Toplamın 1 olması olayı}
= ∅ (imkansız olay)
D = {Toplamın en az 11 olmaı olayı}
= {(6, 5), (6, 6), (5, 6)}
ÖRNEK 122
İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki;
a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır?
b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayının eleman sayısı kaçtır?
Çözüm
a. Torbada 3 + 4 = 7 tane bilye olup bunlardan
2 tane bilyeyi !. !!7
2 5 27 21= =d n farklı şekilde
çekebiliriz. Yani, s(E) = 21 dir.
b. Çekilen bilyeler aynı renkte olacaksa, 3 kır-
mızı bilyenin 2 si veya 4 beyaz bilyenin 2 si
çekilmeli.
O halde, 32
42
3 6 9+ = + =d dn n bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
193
OLASILIK FONKS YONU
E örnek uzay n n tüm alt kümelerinin olu turdu u
küme (kuvvet kümesi) K olsun.
P : K [0, 1]
fonksiyonu a a daki aksiyomlar sa larsa P fonk-
siyonuna olas l k fonksiyonu, P(A) görüntüsüne de
A olay n n olas l denir.
A E 0 P(A) 1
P(E) = 1
A, B E ve A B = ise
P(A B) = P(A) + P(B)
ÖRNEK 123
Bir madeni paran n düzgün bir zemine at lmas dene-
yini inceleyelim.
E = {Y, T} örnek uzay ve
K = { , {Y,}, {T}, {Y, T}} kuvvet kümesidir.
A olay n n olma olas l da P(A) d r.
P( ) = 0 [0, 1]
P(Y) = 21 [0, 1]
P(T) = 21 [0, 1]
P(Y, T) = P(E) = 1 [0, 1]
P(Y T) = P(Y) + P(T) = 21
21 1+ =
oldu undan olas l k fonksiyonunun tan m ndaki 3 aksiyom da sa lan r.
Yani, P : K [0, 1] fonksiyonu bir olas l k fonksi-
yonudur.
Teorem:
A, B E ve P bir olas l k fonksiyonu ise
a. P( ) = 0
b. A B ise P(A) P(B)
c. A = E – A ise P(E) = P(A) + P(A ) = 1
d. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) dir.
ÖRNEK 124
E örnek uzay nda iki olay A ve B olsun. P(A )= 31
P(B) = 41 ve P(A B)
61 ise P(A B) kaçt r?
Çözüm
P(A) + P(A ) = 1 P(A) + 31 1=
P(A) = 1 – 31
P(A) = 32 olur.
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
= 32
41
61
43–+ = bulunur.
ÖRNEK 125
E örnek uzay nda iki olay A ve B olsun. P(A) = 31
P(B) = 53 ve P(A B) =
41 oldu una göre a a daki
olas l klar hesaplay n z.
a. P(A B)
b. P(B )
c. P(A B )
Çözüm
a. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
= 31
53
41–+ = .olur
6041
b. P(B) + P(B ) = 1 P(B ) = 1 – P(B)
P(B ) = 153– =
52 olur.
c. Kümelerdeki De Morgan kural na göre,
A B = (A B) dir.
P(A B) + P(A B) = 1 oldu undan
6041 + P(A B) = 1 P(A B) = 1 –
6041
P(A B) = 6019
P(A B ) = 6019 olur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
194
E Olumlu Örnek Uzay
E = {a1, a2, ...., an} bir sonlu örnek uzay olsun.
P(a1) = P(a2) = .... = P(an) ise E örnek uzay na
e olumlu örnek uzay ad verilir.
E olumlu bir uzayda, aksi belirtilmedikçe,
olas l k fonksiyonu
( )( )( )
P As Bs A
T m durumlar n say sstenen durumlar n say s
ü › ›‹ › › ›
= = d r.
ÖRNEK 126
E = {1, 2, 3, 4, 5} e olumlu örnek uzay ise
P(2) + P(5) toplam kaçt r?
Çözüm
s(E) = 5 olup E e olumlu örnek uzay olup,
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 51 dir.
P(2) + P(5) = 51 +
51 =
52 bulunur.
ÖRNEK 127
Bir madeni paran n düzgün bir zemine at lmas dene-yinde, yaz (Y) ve tura (T) olmak üzere,
E = {Y, T} olup s(E) = 2 dir. Buna göre,
P(Y) = ( )( )
s Es Y
21= ve P(T) =
( )( )
s Es T
21= olur.
P(Y) = P(T) = 21 oldu undan bu deneydeki örnek
uzay, e olumlu örnek uzayd r.
ÖRNEK 128
ki madeni paran n düzgün bir zemine at lmas sonu-cu ikisinin de tura gelme olas l kaçt r?
Çözüm
Örnek uzay = E = { YY, YT, TY, TT }, s(E) = 4
stenen olay = A = { TT }, s(A) = 1
O halde, P(A) = ( )( )
s Es A =
41 olur.
ÖRNEK 129
Bir madeni paran n arka arkaya üç kez at lmas sonu-cu en az iki yaz gelmesi olas l kaçt r?
Çözüm
E = { YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT }
olup s(E) = 8 dir.
stenen olay ise
A = { YYY, YYT, YTY, TYY } olup s(A) = 4 tür.
P(A) = ( )( )
s Es A =
84 =
21 bulunur.
ÖRNEK 130
Bir madeni paran n arka arkaya 5 kez at lmas sonu-cu 2 tura, 3 yaz gelme olas l kaçt r?
Çözüm
Örnek uzay n eleman say s ,
s(E) = 2.2.2.2.2 = 25 = 32 dir.
2 tura ve 3 yaz n n kendi aralar ndaki dizili lerinin
say s , tekrarl permütasyondan
s(A) = !. !!
2 35 10= dur.
P(A) = ( )( )
s Es A =
3210 =
165 bulunur.
ÖRNEK 131
Bir tavla zar bir kez at ld nda üst yüze gelen say -n n asal say olma olas l kaçt r?
Çözüm
Örnek uzay = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(E) = 6
stenen olay = A = {2, 3, 5}, s(A) = 3
P(A) = ( )( )
s Es A =
63 =
21 bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
195
ÖRNEK 132
Bir tavla zar arka arkaya iki kez at ld nda üst yüze gelen say lar n ayn olma olas l kaçt r?
Çözüm
Örnek uzay n eleman say s , s(E) = 6.6 = 36 d r.
stenen olay,
A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} olup
s(A) = 6 d r.
P(A) = ( )( )
s Es A =
366 =
61 bulunur.
ÖRNEK 133
Bir tavla zar arka arkaya iki kez at ld nda üst yüze gelen say lar n toplam n n 8 olma olas l kaçt r?
Çözüm
Örnek uzay n eleman say s , s(E) = 6.6 = 36 d r.
stenen olay,
A = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} olup
s(A) = 5 tir.
P(A) = ( )( )
s Es A =
365 bulunur.
ÖRNEK 134
Bir torbada 3 sar , 4 k rm z ve 5 beyaz bilye vard r.
Torbadan bir bilye çekildi inde, bu bilyenin k rm z olma olas l nedir?
Çözüm
3 + 4 + 5 = 12 bilyeden 1 bilye
121
12=d n farkl ekilde seçilebilece inden örnek
uzay n eleman say s s(E) = 12 dir.
Torbadan 1 k rm z bilye 41
4=d n farkl ekilde
seçilebilece inden istenen olay n eleman say s
s(A) = 4 tür. O halde,
P(A) = ( )( )
s Es A
124
31= = tür.
ÖRNEK 135
Bir torbada 4 k rm z ve 5 beyaz bilye vard r. Torbadan rastgele 2 bilye çekildi inde, bilyelerin farkl renkte olma olas l kaçt r?Çözüm
s(E) = !. !!9
2 7 29 36= =d n olup, bilyeler farkl renkte
olacaksa, biri k rm z , biri beyaz olmal d r. Yani,
s(A) = .41
51
d dn n = 4.5 = 20 dir.
P(A) = ( )( )
s Es A =
3620 =
95 bulunur.
ÖRNEK 136
Bir torbada 4 k rm z ve 5 beyaz bilye vard r. Torbadan arka arkaya 2 bilye çekildi inde, çekilen birinci bilye-nin k rm z , ikinci bilyenin beyaz olma olas l kaçt r?Çözüm
4 + 5 = 9 bilyeden bir bilye çekti imizde
bunun k rm z olma olas l , 91
41
94=
ddnn
dur.
Geriye kalan 8 bilyeden bir bilye daha çekildi in-
de bunun beyaz olma olas l , 81
51
85=
ddnn
dir.
O halde, çekilen birinci bilyenin k rm z ve ikinci
bilyenin beyaz olma olas l 94
85
185· = dir.
ÖRNEK 137
Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vard r. Torbadan rastgele 3 bilye çekildi inde ikisinin siyah, birinin beyaz olma olas l kaçt r?Çözüm
s(E) = !. !!8
3 5 38 56= =d n olup
2 siyah, 1 beyaz gelme olay n n eleman say s ,
s(A) = . .52
31
10 3 30= =d dn n dur. O halde,
P(A) = ( )( )
s Es A
5630
2815= = dir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
196
ÖRNEK 138
7 k z ve 5 erkek ö rencinin bulundu u bir s n fta k z-
lar n 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. S n ftan rastgele
seçilen iki ö rencinin,
a. kisinin de k z olma olas l ,
b. kisinin de gözlüklü olma olas l ,
c. Birisinin k z di erinin erkek olma olas l ,
d. kisinin de gözlüklü ve k z olma olas l ,
e. kisinin de gözlüklü veya ikisinin de k z olma ola-
s l n hesaplay n z.
Çözüm
Gözlüklü
Gözlüksüz
K›z
3
4
Erkek
2
3
a. 122
72
6621
227= =
ddnn
b. 122
52
6610
335= =
ddnn
c. .
.122
71
51
667 5
6635= =
dd d
nn n
d. 122
32
663
221= =
ddnn
e. P(G K) = P(G) + P(K) – P(G K)
= 335
227
221–+ =
3314 bulunur.
ÖRNEK 139
5 doktor ve 6 hem ire aras ndan 3 ki ilik bir ekip olu turulacakt r. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olas l kaçt r?
Çözüm
5 + 6 = 11 ki iden 3 ki i,
!. !
!113 8 3
11 165= =d n farkl ekilde seçilebilir.
Ekipte en az 2 doktor bulunacaksa; 2 doktor, 1 hem ire veya 3 doktor olabilir. Yani, istenen olay n eleman say s ,
.52
61
53
+d d dn n n = 10.6 + 10 = 70 dir.
P(A) = ( )( )
s Es A
16570
3314= = bulunur.
ÖRNEK 140
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar kullan larak yaz labilen 4 basamakl ve rakamlar farkl say lardan bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu say n n 5 ile bölünebi-len bir say olma olas l kaçt r?
Çözüm
yüzler
5
onlar
4
birler
3
{1, 2, 3, 4, 5}
binler
5
s(E) = 5.5.4.3 = 300 dür.
yüzler
4
onlar
3
birler
1
{1, 2, 3, 4, 5}
binler
5
{0}
yüzler
4
onlar
3
birler
1
{1, 2, 3, 4}
binler
4
{5}
s(A) = 5.4.3.1 + 4.4.3.1 = 108 dir.
P(A) = ( )( )
s Es A =
300108 =
259 bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
197
ÖRNEK 141
Bir oylama sırasında, birinci sandıkta 4 siyah 5 beyaz ve ikinci sandıkta, 5 siyah 3 beyaz oy pusulası vardır. Birinci sandıktan bir oy pusulası alınarak rengine bakılmadan ikinci sandığa atıldıktan sonra ikinci san-dıktan alınan bir oy pusulasının beyaz olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
4S
5B
5S
3B
beyaz
I II
Birinci sandıktan alınan oy pusulası siyah veya beyaz olabilir. Buna göre,
S B B B –– –– –– –– P(A) =
94
93· +
95
94·
= 8112
8120+ =
8132 bulunur.
ÖRNEK 142
İki torbadan her birinde 4 beyaz, 3 siyah bilye vardır. Birinciden bir bilye alınıp ikinciye ve sonra da ikinci-den bir bilye alınıp birinci torbaya atılıyor. Renk bakı-mından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır?
Çözüm
4B
3S
4B
3S
I II
Renk bakımından ilk durumu elde edebilmek için I. den alınıp II. ye atılan bilyenin rengi ile II. den alınıp I. ye atılan bilyenin rengi aynı olmalıdır.
Buna göre,
B B S S –– –– –– –– P(A) =
74
85· +
73
84· =
74 bulunur.
KOŞULLU OLASILIK
E örnek uzay ve A ile B herhangi iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması halinde A olayının ger-çekleşmesi olasılığına A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A / B) biçiminde gösterilir.
P(A / B) = ( )
( )P B
P A B+ dir.
E eş olumlu örnek uzay ise,
P(A / B) = ( )
( )s B
s A B+ dir.
A nın B koşullu olasılığı hesaplanırken B küme- si örnek uzay olarak düşünülüp hesap yapılabilir.
ÖRNEK 143
E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. P(A) = 31
P(B) = 21 ve P(A ∪ B) =
43 ise P(A / B) kaçtır?
Çözüm
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
43
31
21= + – P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 31
21
43–+ =
121
P(A / B) = ( )
( )P B
P A B+ =
21121
= 61 bulunur.
ÖRNEK 144
Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması de-neyinde yazı geldiği bilindiğine göre, ikisinin de yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
Çözüm
Bir madeni paranın iki kez arka arkaya atılması deneyinde yazı gelmesi olayı, B = { YY, YT, TY }
İkisinin de yazı gelmesi olayı, A = { YY } dir.
O halde A ∩ B = { YY } olup istenen olasılık,
P(A / B) = ( )
( )s B
s A B+ = 31 bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık ve İstatistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
198
ÖRNEK 145
İki tavla zarının birlikte atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre, sayıların ikisinin de çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olması olayı,
B = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} dır.
Üst yüze gelen sayıların ikisinin de çift sayı olma-sı olayı,
A = {(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}
olur. O halde,
A ∩ B = {(6,2), (4,4), (2,6)} olup istenen olasılık,
P(A / B) = ( )
( )s B
s A B+ = 53 bulunur.
ÖRNEK 146
I. torbada 2 sarı 3 kırmızı top, II. torbada 3 sarı 4 kırmızı top vardır. Torbaların birinden rastgele bir top çekildiğinde topun kırmızı renkte olduğu bilindiğine göre, I. torbadan çekilmiş olma olasılığı nedir?
Çözüm
2S
3K
3S
4K
I II
Çekilen topun kırmızı renkte olması olayı B ise,
P(B) = P(I).P(K / I) + P(II).P(K / II)
= 21
53
21
74· ·+ =
103
72+ =
7041 tir.
İstenen olay I. torbadan kırmızı top çekilmesi olduğundan,
P(I / B) = ( )
( )P B
P I B+
= ( )
( ) . ( / )P B
P I P K I =
7041
21
53·
= 4121 bulunur.
BAĞIMSIZ OLAYLAR
İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme-mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar denir.
A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı P(A ∩ B) demektir.
A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı
P(A ∪ B) demektir.
ÖRNEK 147
A ve B bağımsız olaylardır.
P(A) = 32 ve P(B) =
61 ise
P(A ∩ B) ve P(A ∪ B) kaçtır?
Çözüm
A ve B bağımsız olaylar olduğundan,
P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 32
61· =
91 bulunur.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 32
61
32
61– ·+ =
1813 bulunur.
ÖRNEK 148
Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
Paranın tura gelme olasılığı P(A) = 21
Zarın asal sayı gelme olasılığı P(B) = 63
21=
olup paranın tura gelmesi zarın asal sayı gel-mesini etkilemediğinden bu iki olay bağımsızdır. O halde, paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı
P(A ∩ B) = P(A).P(B) = 21
21· =
41 bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
199
ÖRNEK 149
Bir madeni para ile bir zar birlikte at l yor. Paran n tura veya zar n asal say gelme olas l kaçt r?
Çözüm
Paran n tura gelme olas l P(A) = 21
Zar n asal say gelme olas l P(B) = 63
21=
olup paran n tura veya zar n asal say gelme olas l
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
= 21
21
21
21– ·+ =
43 bulunur.
ÖRNEK 150
Bir topluluktaki 12 bayan n 7 si gözlüklü ve 9 erke in 6 s gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir ki inin erkek veya gözlüklü olma olas l kaçt r?
Çözüm: I. Yol
Gözlüklü
Gözlüksüz
Bayan
7
5
Erkek
6
3
Erkek veya gözlüklü 7 + 6 + 3 = 16 ki i
olup istenen olas l k,
211
161
2116=
ddnn
bulunur.
II. Yol
Seçilen bir ki inin erkek olma olas l 219
gözlüklü erkek olma olas l 216 ve
gözlüklü olma olas l 2113 oldu undan,
erkek veya gözlüklü olma olas l ;
P(E G) = P(E) + P(G) – P(E G)
= 219
2113
216–+ =
2116 olur.
ÖRNEK 151
Bir s nava giren Ali’nin s nav geçme olas l 53 ve
Bar ’ n ayn s nav geçme olas l 31 tür. Buna göre,
a. Her ikisinin de s nav geçme olas l kaçt r?
b. Sadece Ali’nin s nav geçme olas l kaçt r?
c. En az birisinin s nav geçme olas l kaçt r?
d. kisinin de s nav geçememe olas l kaçt r?
Çözüm
a. Ali’nin s nav geçme olay A ve Bar ’ n s -
nav geçme olay B olsun. Buna göre,
P(A) = 53 ve P(B) =
31 tür.
Her ikisinin de s nav geçme olas l ,
P(A B) = P(A).P(B) = 53
31· =
51 olur.
b. Sadece Ali s nav geçecekse; Ali s nav ge-
çecek ve Bar s nav geçemeyecek demek-
tir. Buna göre,
P(A B ) = P(A).P(B )
= 53 1
31· –c m =
52 olur.
c. En az birisinin s nav geçme olas l
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
= 53
31
53
31– ·+ =
1511 olur.
d. kisinin de s nav geçememe olas l ,
P(A B ) = P(A ).P(B )
= .153 1
31– –c cm m
= .52
32
= 154 olur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
200
SONSUZ ÖRNEK UZAYI
E örnek uzay sonsuz çoklukta örnek noktalardan
(uzunluk, alan, hacim, a rl k, aç ölçüsü, ...) olu uyor-
sa bu örnek uzaya sonsuz örnek uzay denir. A olay da
E örnek uzay nda bir olay ise bu A olay n n olas l ,
A n n ölçüsü P(A) = –––––––––––– olur. E nin ölçüsü
ÖRNEK 152
Yar çap r cm olan bir dairenin içinden seçilen bir nok-tan n, dairenin merkezine olan uzakl n n, dairenin çevresine olan uzakl ndan daha k sa olma olas l kaçt r?
Çözüm
r2
r2
O
Yar çap r olan dairenin alan örnek uzayd r. stenen noktalar ise taral alanla gösterilmi tir.
Buna A olay dersek,
P(A) = E nin alanA n n alan =
.
.
r
r2
2
2
r
r b l =
.r
r4
·2
2
r
r =
41
ÖRNEK 153
Boyutlar 20 cm ve 30 cm olan dikdörtgen eklindeki bir ka t üzerinde rastgele i aretlenen bir noktan n, ka d n a rl k merkezine en çok 10 cm uzakl kta olma olas l kaçt r?
Çözüm
O1020
30
Örnek uzay, boyutlar 20 cm ve 30 cm olan dik-dörtgenin üzerindeki noktalard r. stenen noktalar ise yar çap 10 cm olan ekildeki taral dairedir. stenen olaya A olay dersek
P(A) = E nin alanA n n alan =
..
20 30102r = .
600100 r =
6r d r.
ÖRNEK 154
E = { x : |x| 3, x R }
örnek uzay nda seçilen bir noktan n
[0, 2] aral na ait olma olas l kaçt r?
Çözüm
|x| 3 –3 x 3
Örnek uzay n uzunlu u 6 br dir.
–3 0 32
stenen noktalar n [0, 2] aral na ait olmas ola-y na A dersek,
A n n uzunlu u P(A) = –––––––––––––– E nin uzunlu u
= 62 =
31 olur.
ÖRNEK 155
CD
BA
N M
K L
35
4
2
ekildeki ABCD dikdörtgeni, K, L, M, N dikdörtgen-
sel bölgelerinin birle iminden olu maktad r ve kenar
uzunluklar ekildeki gibidir.
Buna göre, ABCD dikdörtgeni içinde bir nokta rast-
gele i aretlendi inde bu noktan n M bölgesinde olma
olas l kaçt r?
Çözüm
P(A) = isinABCD dikd rtgeninin alan
b l n alanMö
ö eg
= ..
8 64 3
= 41 bulunur.
201
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tulara “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
Bir para üst üste 4 kez at l rsa örnek uzay 16 elemanl olur.
Bir zar üst üste 3 kez at l rsa örnek uzay 216 elemanl olur.
5 para at ld nda örnek uzay 25 eleman-l olur.
Bir A olay n n olas l P(A) ise
–1 P(A) 1 dir.
A kesin olay ise P(A) = 1 dir.
2. ki madeni para at ld nda en çok bir yaz gelme-si olas l kaçt r?
3. Bir madeni para art arda 3 kez at ld nda, 2 kez yaz 1 kez tura gelme olas l kaçt r?
4. Bir madeni para art arda 5 kez at ld nda, 2 kez yaz 3 kez tura gelme olas l kaç olur?
5. Bir çift zar at ld nda üste gelen say lar n
a. Ayn olma olas l n
b. Farkl olma olas l n
c. Toplamlar n n 9 olma olas l n
d. Birinin tek, di erinin çift say olma olas l n
e. Toplamlar n n 13 olma olas l n
f. Toplamlar n n en az 2 olma olas l n bulu-
nuz.
6. 4 k z, 5 erkek arkada yanyana foto raf çek-tireceklerdir. K zlar n bir araya gelme olas l kaçt r?
ALIŞTIRMALAR – 5
1. D, D, Y, Y, D 2. 43 3.
83 4.
165 5. a.
61 , b.
65 , c.
91 , d.
21 , e. 0 , f. 1 6.
211
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
202
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. Ayn büyüklükte 5 k rm z ve 3 beyaz bilyenin bulundu u bir torbadan, rastgele 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin,
a. Üçünün de beyaz olma olas l n
b. Üçünün de k rm z olma olas l n
c. Üçünün de ayn renk olma olas l n
d. kisinin beyaz, birinin k rm z olma olas l n
e. En az birinin k rm z olma olas l n bulunuz.
8. 4321132 say s n n rakamlar yer de i tirilerek olu turulan 7 basamakl say lardan biri rastgele al nd nda bunun 4 ile ba lay p 3 ile biten bir say olma olas l kaçt r?
9. Bir torbada, ayn büyüklükte 4 sar , 3 lacivert ve 5 beyaz bilye vard r. Torbadan geri at lmamak ko uluyla art arda 3 bilye çekildi inde birincisi-nin sar , ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyaz olma olas l kaç olur?
10. 5 elemanl bir kümenin alt kümelerinden herhangi 2 tanesi rastgele al nd nda ikisinin de 3 ele-manl olma olas l kaç olur?
11. E örneklem uzay na ait iki olay A ve B olmak
üzere, P(A) = 41 , P(B ) =
87 ve
P(A B) = 161 ise P(A B) kaçt r?
12. 20 ki ilik bir s n fta bulunan ö rencilerin 12 si erkektir. Erkeklerin 4 ü, k zlar n 3 ü gözlüklü oldu-
una göre, s n ftan rastgele seçilen bir ö rencinin erkek veya gözlüklü olma olas l kaç olur?
13. ki madeni para ve bir zar ayn anda at l yor. Paralar n birinin yaz , di erinin tura ve zar n çift say gelme olas l kaç olur?
7. a. 561 , b.
285 , c.
5611 , d.
5615 , e.
5655 8.
211 9.
221 10.
49645 11.
165 12.
43 13.
41
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
203
ES
EN
YAY
INLA
RI
14. Bir madeni para iki kez at l yor. Birinci at ta tura geldi i biliniyorsa, ikinci at ta yaz gelme olas l -
kaç olur?
15. Bir çift zar at ld nda zarlar n üstündeki say lar n toplam n n 10 oldu u biliniyorsa ikisinin de tek say olma olas l kaç olur?
16. ki torbadan birincisinde 3 k rm z , 5 beyaz; ikinci-sinde 4 k rm z , 3 beyaz bilye vard r. Torbalardan biri rastgele al n p içinden bir bilye al n rsa bu bilyenin k rm z olma olas l kaç olur?
17. ki torbadan birincisinde 4 beyaz, 5 ye il; ikinci-sinde 3 beyaz, 4 ye il bilye vard r. Birinci torba-dan bir bilye rastgele al n p, ikinci torbaya konu-yor ve ikinci torbadan rastgele bir bilye al n yor. Bu bilyenin ye il olma olas l nedir?
18. ki torbadan birincisinde 6 k rm z , 4 mavi; ikinci-sinde 5 k rm z , 3 mavi bilye vard r. Torbalardan biri rastgele al n p, içinden bir bilye çekiliyor. Bu bilyenin k rm z oldu u biliniyorsa, birinci torba-dan çekilmi olma olas l kaç olur?
19. s(A) = 3 ve s(B) = 4 olmak üzere, A dan B ye tan ml ba nt lardan biri rastgele seçilirse bunun A dan B ye bir fonksiyon olma olas l kaç olur?
20. ekildeki O merkezli
5 puan
3 puan
1 puan
BC
A O
hedef tahtas nda
|CB| = |BA| = |AO|
olmak üzere,
al nabilecek puanlar
verilenler gibidir.
Tek at yapan birisinin tahtay vurdu u bilindi i-ne göre, 3 puan alma olas l kaçt r?
21. Yandaki ekilde A, B, C, D
50°120°
80°
BA
D
C fabrikalar n n üretti i mallar n
dairesel grafi i verilmi tir.
Bu fabrikalar n üretti i mal-lardan seçilen bir mal n C veya D fabrikas nda üretilmi olma olas l kaçt r?
14. 21 15.
31 16.
11253 17.
7241 18.
4924 19.
641 20. 1
3 21. 19
36
204
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
statistik; örnek verilerden hareket ederek popülasyon (ana kitle – y n) hakk nda yorumlama, genelleme ve tahmin yapma bilimidir. 20. yüzy ldan itibaren istatistik; muhasebe, yönetim, finansman ve pazarlama gibi pek çok uygulama alan bulmu tur.
Trafik kazalar , evlenme, bo anma, do um, ölüm, kâr, zarar gibi konular istatisti in ilgilendi i konulard r.
statistikte incelenen olay n özellik ya da özelliklerinin ald de erler rakamlarla ifade edilebilmelidir.
Bir olaylar kümesindeki tek bir olay, tüm olaylar kümesini temsil edebiliyorsa bu tür olaylar istatisti in ilgi alan na girmez. (Suyun 100°C de kaynamas gibi, ayn yerde ayn ko ullarda yap lan her deneyin sonucu ayn olur.)
Ölçülmeye veya say lmaya elveri li tüm canl ve cans z varl klar ve olaylara; okul, insan, bina, araba, do um, ölüm, evlenme, kâr zarar gibi kavramlara istatistiki birim denir.
Sevinç, korku, rüya, renk ve koku gibi soyut kavramlar say lamad klar ve ölçülemedikleri için istatistik için birim olamazlar.
Birimlerin sahip oldu u özelliklere de i ken, de i kenlerin ald de erlere de k denir.
Belirlenen amaçlar için gözlenecek olan birimlerin ölçülmesi, say lmas ve ald klar de erlerin belirlenmesi ve kaydedilmesine veri derleme denir. Elde edilen bu verilerin istatistiksel yöntemlerle de erlendirildikten sonra uygun araçlar kullanarak sunumunun yap lmas istatisti in amac d r.
statistik;
Yeni bilgilere ula mak ve bunlar geli tirmek için yap lan ara t rmalardan elde edilen verileri düzenlemek,
Problem çözümleri için çal ma teknikleri olu turmak,
De i kenlerin ürünleri ve üretim süreçlerini nas l etkileyece ini tahmin etmek,
Yap lan gözlem ve deneylerden elde edilen sonuçlar , do ru yorumlamak ve anla l r bir biçimde sunmak,
Sonuçlar n güvenilirli ini test etmek gibi birçok amaç için ço u bilim dal na yard mc olmaktad r.
statistiksel çal malar yap l rken,
Grafikler Frekans Tablolar
Merkezi E ilim Ölçüleri Merkezi Yay lma (Da l m) Ölçüleri (De i kenlik Ölçüleri)
gibi yöntemlerden yararlan l r.
statistiksel verileri sözel ifadelerle aç klayarak, frekans tablolar yaparak ve grafik gösterimler kullanarak daha anlaml ve kolay anla labilir hale getirebiliriz. Verileri ise iki ana grup alt nda toplayabiliriz.
Veri
Kategorik (‹simsel)
Say sal
Kesikli Marka, kanal ad ,ders ad , ülke,ehir v.b. gibi
SürekliKarde say s ,araç sat› adedi,ya , v.b. gibi
Boy, a¤›rl›k,s›cakl›k v.b. gibi
STAT ST K
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
205
GRAF KLER
Verilerin veya kar la t r lmas yap lacak de i kenlerin çizgi, tablo, nokta veya ekillerle ifade edilmesine grafik denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmas n sa lar. Veri türlerine ve istenen amaca göre çizilebilecek çe itli grafik türleri vard r. Bunlar;
Çizgi grafi i Sütun grafi i (Çubuk - Histogram) Daire grafi i
Serpilme grafi i Kutu grafi i
ba l klar alt nda ifade edilebilir.
Ç ZG GRAF
Verilerin yatay ve dikey eksendeki de erleri i aretlenerek bulunan noktalar n çizgilerle birle tirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir de i kenin zaman içerisindeki de i imini (artma, azalma) ince-lemek için kullan lan en uygun grafiktir.
ÖRNEK 156
Yanda bir hareketlinin belli zaman aral nda ald yolu1
2
3
4
5
100
150
175
175
200
Zaman (dk) Yol (m)
gösteren tablo verilmi tir. Bu tablodan yararlanarak hare-ketlinin ald yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik a a da çizilmi tir.
200
175
150
125
100
75
50
25
0
Yol (m)
Zaman (dk)1 2 3 54 76
Hareketin toplam süresi 5 dakikad r.
Hareket süresince al nan toplam yol 200 metredir.
1. dakikan n sonunda al nan yol 100 metredir.
2. ve 3. dakikalar aras nda al nan yol 175 – 150 = 25 metredir.
3. ve 4. dakikalar aras nda yol al nmam t r. Yani bu zaman diliminde hareketli durmu tur.
H z = zaman
yol oldu undan, hareketlinin en yüksek h za sahip oldu u aral k 0-1 dakika aral d r.
Bu aral ktaki h z V = 1 0
100 0 100–
– = m/dk d r.
En çok yol ald aral k 0-1 dakikalar aras d r. Bu aral kta 100 metre yol alm t r.
2. ve 3. dakikalar aras nda ald yol, 4. ve 5. dakikalar aras nda ald yola e ittir (25 m).
Ayn süre içinde (1 dk) ald yollar e it oldu undan bu aral klarda h zlar da e ittir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
206
ÖRNEK 157
1
25
2
30
3
20
4
30
5
40
S›nav No
Netlerin Say›s›
Yukar daki tabloda Serasu’nun 40 ar sorudan olu an 5 farkl matematik s nav ndaki netlerinin say s göste-rilmi tir. Tablodaki verileri çizgi grafi i ile gösterelim.
Çözüm
S nav numaralar n yatay (x), matematik netlerini de dü ey (y) eksende göstererek;
(1, 25), (2, 30), (3, 20), (4, 30), (5, 40) noktalar i aretlenir ve bu noktalar do rusal çizgilerle bir-le tirilerek istenen grafik elde edilir.
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Net say lar›
S›navlar3 4 51 2
Grafik incelindi inde a a daki sonuçlara ula a-biliriz.
En dü ük net 3. s navda ç kar lm t r.
En yüksek net 5. s navda ç kar lm t r.
2. ve 4. s navlardaki netler e ittir.
Uyar
En dü ük netin 3. s navda ç kar lm olmas na bakarak, bu s navlar içinde en zor olan n 3. s nav oldu unu söyleyemeyiz. Çünkü netlerin dü üklü-
ü ba ka sebeplere de ba l olabilir; rahatl k, çok i lem hatas , konsantre bozuklu u vs. gibi.
Ayn ekilde, en kolay s nav n 5. deneme s nav oldu u söylenemez.
Serasu’nun s n f n n içindeki ve okul genelindeki s ralamas ile ilgili bir yorum yap lamaz.
ÖRNEK 158
10
8
6
4
2
0
Ö¤renci Say›s›
Notlar1 2 3 54
Yukar daki grafik bir s n ftaki tüm ö rencilerin mate-matik dersinden ald notlar gösterdi ine göre, a a-
daki bilgilerden hangisi yanl t r?
I. 3 alan 9 ki i vard r.
II. En dü ük geçme notu 2 ise matematik dersinden kalan ö renci yoktur.
III. 2 alanlar n say s 5 alanlar n say s na e ittir.
IV. S n f mevcudu 27 ki idir.
V. 1 ve 3 alan ö renci say lar n n toplam s n f n ya-r s ndan azd r.
VI. S n f n 31 ünün notu 3 tür.
Çözüm
I. 3 alan 9 ki i oldu una göre do rudur.
II. 2 nin alt nda not alan, yani 1 alan 4 ö renci oldu una göre, matematik dersinden kalan 4 ö renci vard r. Bu seçenek yanl t r.
III. 2 alan ve 5 alan 3 ki i oldu u için say lar e ittir.
IV. S n f mevcudu = 4 + 3 + 9 + 8 + 3 = 27 ki idir.
V. 1 alan 4 ve 3 alan 9 ö renci vard r.
4 + 9 = 13 < 227 oldu u için do rudur.
VI. S n f mevcudu 27 ve notu 3 olan ö renci
say s 9 oldu undan s n f n 279
31= ünün
notu 3 tür.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
207
ÖRNEK 159
8
10
6
8
12
14
16
12
20
18
22
22
ehirler
Aylar
Ankara
Çorum
Oca
k
ubat
Mar
t
Nis
an
May
›s
Haz
iran
Yukar daki tabloda Ankara ve Çorum’daki 2010 y l -n n ilk 6 ay na ait güne li gün say lar verilmi tir. Bu tabloya ait çizgi grafi i a a da çizilmi tir. nceleyiniz.
22
20
18
16
14
12
10
8
6
Güne li Gün Say›s›
Aylar
AnkaraÇorum
Oca
k
ubat
Mar
t
Nis
an
May
›s
Haz
iran
ÖRNEK 160
S cakl k (°C)
Aylar
40
30
20
10
0
–109 101 2 3 7 85 64 11 12
Bir kentin 1 y l boyunca ayl k ortalama hava s cak-l klar yukar daki grafikle ifade edilmi tir. Buna göre, elde edilen a a daki bilgileri inceleyiniz.
En so uk ay ocak, en s cak ay ise temmuzdur.
Kuzey yar mkürede yer al r.
Y ll k s cakl k fark 37°C civar ndad r.
Kar ya ve donma görülebilir.
ubat ve aral k aylar n n s cakl k de erleri ayn d r.
Üç ay n s cakl k de erleri 0°C nin alt ndad r.
Yaz s cak, k ise so uktur.
ÖRNEK 161
Al nan yol (km)
0 600
Yak t miktar (litre)
60
Deposu 60 litre yak t alan bir arac n, ehirler aras yolda bir depo benzinle alabildi i yol 600 km dir. Bu durum yukar daki grafikle ifade edilmi tir. Buna göre,
a. Bu araç 1 L benzinle kaç km yol alabilir?
b. ehir içinde, % 20 daha fazla yak t tüketti ine göre ayn araç bir depo yak t ile ehir içinde kaç km yol alabilir?
c. Arac n deposunda 50 km lik yola yetecek yak t kald nda uyar yand na göre, deposunda kaç litre benzin kald nda uyar yanar?
Çözüm
a. I. Yol:
60 L benzinle 600 km yol al rsa
1 L benzinle x km yol al r –––––––––––––––––––––––––––– x.60 = 1.600 x =
60600 = 10 km
II. Yol: y : yak t miktar , x : al nan yol olmak üzere grafikteki do runun denklemi;
x y600 60
1+ = x + 10y = 600 olur.
y1 = 1 x1 = 590
y2 = 2 x2 = 580
x1 – x2 = 590 – 580 = 10 km
b. 1 km lik yolda tüketilen yak t miktar :
60060 = 0,1 L olup bu miktar n % 20 fazlas :
0,1.100120 = 0,12 L dir.
60 L ile ,0 1260 = 500 km yol alabilir.
c. 600 km lik yol için 60 L benzin gerekiyorsa
50 km lik yol için x L benzin gerekir ––––––––––––––––––––––––––––––––––
x = .600
50 60 = 5 L benzin bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
208
SÜTUN GRAF
Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun eklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafi inde iki eksen vard r. Yatay ve dü ey eksende ölçülen de erlerin birbirine göre durumlar sütunlarla (çubuklarla) belirtilir.Çiftli sütunlar halinde çizildi inde farkl iki veri kümesi-nin kar la t r lmas n da sa larlar. simsel veriler için zorunlu bir s ralama ko ulu yoktur. Süreksiz (aral kl ) veriler için çubuk grafi i, sürekli veriler için de his-togram olarak çizilir. Histogramda sütunlar birbirine biti ik ve veriler s ral d r.
Çubuk Grafi i
ÖRNEK 162
Ülke Üretim Miktar (ton)
spanya 3.500.000
talya 2.700.000
Yunanistan 2.100.000
Türkiye 1.800.000
Tunus 1.000.000
Dünya zeytin üretimi ile ilgili bilgiler yukar daki tablo ile verilmi tir. Bu verilere ili kin çubuk grafi ini olu -tural m.
Çözüm
‹spanya ‹talya Yunanistan Türkiye Tunus
3.0
2.0
1.0
0
Üretim miktar› (milyon ton)
Ülke
ÖRNEK 163
876543210
Ö¤renci say s
Notlar1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Yukar daki grafik bir s n ftaki ö rencilerin matematik dersinin 1. yaz l s ndan ald klar notlar göstermekte-dir. Buna göre, s n f n yüzde kaç 9 alm t r?
Çözüm
Grafik dikkatle incelenirse,
1 alan ö renci say s 1
2 alan ö renci say s 3
3 alan ö renci say s 4
4 alan ö renci say s 2
5 alan ö renci say s 7
6 alan ö renci say s 3
7 alan ö renci say s 8
8 alan ö renci say s 2
9 alan ö renci say s 4
10 alan ö renci say s 6 oldu u görülmektedir.
O halde s n f mevcudu,
1 + 3 + 4 + 2 + 7 + 3 + 8 + 2 + 4 + 6 = 40 olup
bu 40 ö rencinin 4 tanesi 9 ald ndan,
9 alan ö renci yüzdesi
404
101= = % 10 dur.
ÖRNEK 164
Ülke S n r Uzunlu u (km)
Brezilya 15.000
Rusya Federasyonu 20.000
Çin 22.000
Hindistan 14.000
A.B.D. 12.000
Dünyada en uzun kara s n rlar na sahip ülkelerle ilgili bilgiler yukar da tablo halinde verilmi tir. Bu verilere ili kin çubuk grafi i çizelim.
Çözüm
Brezilya Rusya Çin Hindistan A.B.D.
22
20
18
16
14
12
10
S n r uzunlu¤u (bin km)
Ülke0
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
209
Baz çubuk grafiklerinin çiziminde a a daki yollar takip edilir.
Veriler küçükten büyü e do ru s ralan r. Grup geni li i (aral k) bulunur. Bu aral k en büyük
veri ile en küçük verinin fark d r. Verilerin kaç alt grupta toplanaca na karar veri-
lir. Tespit edilen say grup geni li ine bölünerek alt grup geni li i bulunur. Bu say ondal k bir say ise yuvarlanarak tam say tespit edilir.
Bazen i lemi kolayla t rmak için alt grup say s -n buldu umuz say n n yak n ndaki ba ka say ile de i tirebiliriz.
ÖRNEK 165
20 ki ilik bir s n ftaki ö rencilerin, matematik dersin-deki I. yaz l s nav sonuçlar ;
24, 28, 32, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 52, 54, 60, 60, 64, 70, 78, 82, 86, 92, 94
olarak verilmi tir. Bu notlar çubuk grafi i ile göste-relim.
Çözüm
Grup geni li ini (aral n ) bulal m. En büyük not – En küçük not = 94 – 24 = 70
Verileri 5 alt grupta toplamaya karar verirsek,
alt grup geni li i = 570 = 14 olur.
Grafikte daha kolay gösterilece inden alt grup geni li i olarak buldu umuz 14 yerine 15 al rsak grup s n rlar ; 20, 35, 50, 65, 80, 95 olur.
Bu bilgiler a a daki tabloya aktar lm t r.
Notlar Ö renci Say s
20 x < 35 3
35 x < 50 6
50 x < 65 5
65 x < 80 2
80 x < 95 4
Bu tabloya göre çubuk grafi i a a da çizilmi tir.
20-35 35-50 50-65 65-80 80-95
6
5
4
3
2
1
0
Ö¤renci say s
Matematiknotlar
Çubuk grafi i çizerken de i kenleri y ekseninde, ald klar de erleri de x ekseninde gösterebiliriz.
ÖRNEK 166
Göl Yüzölçümü (km2)
E irdir 470
znik 300
Manyas 170
Tuz 1500
Van 3700
Ülkemizdeki tan nm 5 gölün yüzölçümleri (yakla k) yukar da tablo halinde verilmi tir. Bu verilere ili kin çubuk grafi ini çizelim.
Çözüm
Van
Yüzölçümü(km2)
Göller
Tuz
Manyas
‹znik
E¤irdir
0 1000 2000 3000 4000
Frekans TablosuGruplama sonucunda olu an ve belirli bir özelli i temsil eden birey say s na frekans denir. Frekans, bir özelli in olayda kaç kez tekrarland n gösterir.
x(Puan Aral )
f(Frekans)
35 – 44 4
45 – 54 5
55 – 64 6
65 – 74 5
75 – 84 3
Yukar da, bir s n fta bulunan 23 ö rencinin matema-tik s nav na ili kin puanlar n frekans tablosu verilmi -tir. Bu tabloya göre, puan 35 – 44 arall nda olan 4 ö rencinin bulundu u v.s. söylenebilir.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
210
HistrogramAlan , ilgili s n f n frekans na, taban da ilgili s n f n aral na e it olan ve birbirine biti ik dikdörtgenlerden olu an bir grafik çe itidir. Sürekli verileri göstermek için çizilirler. Tek bir de i kenin da l m n göstermek için oldukça kullan l bir grafik sunumudur.
ÖRNEK 167
Sürekli bir K de i keninin ald de erler a a da tablo ile gösterilmi tir.
S n flar Frekans
0 – 4 20
4 – 8 16
8 – 12 28
12 – 16 24
16 – 20 12
Bu verilerin histogram grafi ini çizelim.
Çözüm
S n f aral n 4 seçerek a a daki tabloyu olu -turabiliriz.
S n flar Frekans S n f Aral AyarlamFrekans
0 – 4 20 4 5
4 – 8 16 4 4
8 – 12 28 4 7
12 – 16 24 4 6
16 – 20 12 4 3
0 4 8 12 16 20
7
6
5
4
3
2
1
S n flar
Frekans
Her bir aral k üzerindeki dikdörtgenin alan o s n f n frekans n vermektedir.
Herhangi bir s n ftaki verilerin tüm verilere oran ; s n f temsil eden dikdörtgenin alan n n, tüm dik-dörtgenlerin alanlar toplam n n oran na e ittir.
Örne in 12 – 16 grubundaki veriler için bu oran:
. . . . .. ( )
5 4 4 4 7 4 6 4 3 46 16 12–
+ + + + =
256 tir.
ÖRNEK 168
Bir otoparkta bulunan 20 otomobilin modelleri a a -da verilmi tir.
1986, 1990, 1993, 1994, 1994, 1996, 1998, 1998, 2000, 2001, 2002, 2002, 2004, 2005, 2006, 2007, 2007, 2008, 2009, 2009
Bu araçlar n modellerine göre da l m için histogram olu turunuz.
Çözüm
Grup geni li i (aral ) : 2009 – 1986 = 23 tür.
Verileri 5 alt grupta toplamaya karar verirsek
alt grup geni li i : 523 = 4,6 olur.
Yuvarlama ile alt grup geni li ini 5 alabiliriz.
Alt grup s n rlar n 1985, 1990, 1995, 2000, 2005 alarak a a daki tabloyu olu turabiliriz.
Model S n flar Frekans
1. 1985 x < 1990 1
2. 1990 x < 1995 4
3. 1995 x < 2000 3
4. 2000 x < 2005 5
5. 2005 x < 2010 7
Toplam 20
Tablodaki verileri grafi e aktard m zda, a a daki histogram elde edilir.
7
6
5
4
3
2
1
0
Frekans
1 2 3 4 5Model s n flar
Grafik : Otoparkta bulunan otomobillerin modelleri
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
211
DA RE GRAFEldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmas d r. De i kenlerin bir bütün içerisindeki oranlar , yüzde veya merkez aç ölçüleri gösterilerek haz rlan r. Her bir dilimin içine veya dilimin yak n ndaki bir yere, o de i kenin ad ve yüzdelik dilimi yaz l r. E er merkez aç lar kullan lacaksa her bir de i kene dü en merkez aç lar ve bunlar n toplamlar 360° olacak ekilde daire dilimlere ayr l r. Bu grafik türüne pasta grafi i de de-nilmektedir. Kesikli veriler için uygundur.
ÖRNEK 169
Ülke Üretim Miktar (Bin ton)
Hindistan 870
Çin 650
Kenya 300
Sri Lanka (Seylan) 280
Endonezya 150
Türkiye 135
Toplam 2385
Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve üretim miktarlar yukar da tablo eklinde verilmi tir.Bu tabloya kar l k gelen daire grafi ini olu turunuz.
Çözüm
Öncelikle, her bir ülkenin üretiminin toplam üre-timdeki pay n bulal m.
Hindistan : 2385870 = 0,364 (% 36)
Çin : 2385650 = 0,272 (% 27)
Kenya : 2385300 = 0,126 (% 13)
Sri Lanka : 2385280 = 0,117 (% 12)
Endonezya : 2385150 = 0,062 (% 6)
Türkiye : 2385135 = 0,057 (% 6)
% 12 Sri Lanka
% 6 Endonezya
% 6 Türkiye
% 36 Hindistan
% 13 Kenya
% 27 Çin
ÖRNEK 170
Örnek 13 teki tabloya kar l k gelen daire grafi ini merkez aç lar kullanarak gösteriniz.
Çözüm
Her ülkeye dü en daire diliminin olu turdu u merkez aç lar n n ölçüleri basit bir orant ile bu-lunabilir.
Türkiye için;
2385 lik üretime 360° kar l k geliyorsa
135 lik üretime x kar l k gelir–––––––––––––––––––––––––––––––––––2385.x = 135.360 x 21° olur.
Yukar daki orant ya benzer orant lar kurarak di er ülkelere kar l k gelen merkez aç lar n da bulabiliriz.
Hindistan için;
2385870 .360° 131°
Çin için;
2385650 .360° 98°
Kenya için;
2385300 .360° 45°
Sri Lanka için;
2385280 .360° 42°
Endonezya için;
2385150 .360° 23° olaca ndan,
a a daki grafik elde edilir.
Hindistan Çin Kenya
Sri Lanka Endonezya Türkiye
21°23°42°45°
131°98°
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
212
ÖRNEK 171
Ezgi, s n f ndaki 20 arka-
% 40TRT 1
% 15Show TV
ATV
% 20
Kanal D% 25
da na TRT 1, Kanal D, Show TV, ATV kanallar n-dan hangisini daha çok iz-ledi ini sormu ve sonuç-lar a a daki daire grafi-
inde göstermi tir.
Grafikteki verileri kullanarak a a daki tabloyu dol-durunuz.
TVkanal
zleyicisay s
Daire dilimin-deki merkez aç n n ölçüsü
TRT 1
Kanal D
Show TV
ATV
Toplam 20 360°
Çözüm
TRT 1 i izleyenlerin say s ;
100 de 40 ise
20 de x tir. –––––––––––––– 100.x = 20.40 x = 8 olur.
Benzer ekilde orant lar kurularak,
Kanal D yi izleyenlerin say s ; .100
25 20 = 5
Show TV yi izleyenlerin say s ; .100
20 20 = 4
ATV yi izleyenlerin say s ; .100
15 20 = 3 olur.
TRT 1 i izleyenlere kar l k gelen daire diliminde-ki merkez aç n n ölçüsü;
20 ö renciye 360° kar l k geliyorsa
8 ö renciye x kar l k gelir. ––––––––––––––––––––––––––––––– 20.x = 360.8 x = 144° olur.
Benzer ekilde orant lar kurularak,
Kanal D için; .20
5 360° = 90°
Show TV için; .20
4 360° = 72°
ATV için; .20
3 360° = 54° olarak bulunur.
Bulunan de erleri yukar daki tabloda yerine ya-zabiliriz.
SERP LME GRAFki de i kenin bir arada incelenmesi için çizilen gra-fiklerdir. De i kenlerden birinin de erleri yatay, di er de i kenin de erleri de dü ey eksende gösterilir.
ÖRNEK 172
A a da 5 ö rencinin matematik ve fizik derslerinden ald klar notlar s ras yla verilmi tir.Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75Fizik Notu : 20, 40, 45, 70, 80
Bu verilere ait grafi i olu tural m.
20 40 60 80
80
60
40
20
0Matematik
Notu (X)100
Fizik Notu (Y)
Noktalar n da l m na bakarak, matematik notu yük-sek olan ö rencilerin fizik notu da yüksektir sonucunu ç karabiliriz. Ba ka bir deyi le, notlar aras nda do ru orant vard r diyebiliriz.
ÖRNEK 173
Ayn yay n saatinde farkl kanallarda yay nlanan iki TV dizisi için 6 defa izlenme ölçümü yap lm ve iz-lenme oranlar zamana göre s ral olarak a a daki serpilme grafi inde verilmi tir.
10
8
6
4
2
0
B dizisinin izlenme oran
A dizisinin izlenmeoran
2 4 6 108 12
Grafikten yararlanarak elde edilen a a daki bilgile-ri inceleyiniz.
A dizisinin izlenme oran artt kça B dizisinin izlenme oran azalm t r.
ki dizinin izlenme oranlar ters orant l d r. Dizilerin yay na ba lad ilk zamanlarda B dizisi-
ni izleyenlerin oran daha fazlad r. B dizisinin izlenme oran sürekli azalm t r.
ES
EN
YAY
INLA
RI
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
213
60
40
25
125
MarkaY llar
A
B
C
Toplam
2007
45
20
20
85
2008
55
30
25
110
2009
50
40
30
120
2010Bir araba galerisindeki 4 y ll k otomobil sat lar
yandaki tablo ile verilmi tir.
Araç markalar ve sat lar ile ilgili a a daki
grafikler olu turulabilir.
Üç markan n y llara göre sat adetlerini incelemek için çizgi grafi i ile sütun grafi inden yararlanabiliriz.
Bu grafikler a a da çizilmi tir.
Sat lar (Adet)
Y llar2007 2008 2009 2010
70
60
50
40
30
20
10
0
A: B: C:
A CB70
60
50
40
30
20
10
0
Sat lar (Adet)
2007Y llar
2008 2009 2010
Sadece A markas n n y llara göre sat adet-lerini incelemek için çizgi ve sütun grafi ini bir arada ifade edebiliriz. Bunlar a a da çi-zilmi tir.
B markas n n sat lar n , toplam sat adetle-
ri ile k yaslamak için sütun grafi inden yarar-lanabiliriz. Bu grafik a a da çizilmi tir.
60
40
20
0
Sat lar (Adet)
2007Y llar
2008 2009 2010 2007
150
100
50
0
Sat› lar (Adet)
Y›llar
ToplamB
2008 2009 2010
2010 y l sat adetlerinin üç marka için hangi
oranda oldu unu kolay bir ekilde incelemek
için daire grafi inden yararlanabiliriz.
Bu grafik yanda çizilmi tir.
A% 41,7
C% 25
B% 33,3
ETK NL K
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
214
MERKEZ E L M ÖLÇÜLER
Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafik-lerle sunulmas ço u durumda yeterli olmaz. Genel durumu yans tacak bir tak m ölçülere gereksinim vard r. Bu ölçüler merkezi e ilim ölçüleri olup en çok kullan lanlar ; ortalama (aritmetik ortalama), ortanca (medyan), mod (tepe de eri) olmak üzere üç grupta toplanabilir. Ayr ca geometrik ortalama ve harmonik ortalama da merkezi e ilim ölçüleridir.
ORTALAMAMerkezi e ilim ölçülerinin en s k kullan lan d r.
Aritmetik ortalamay ifade eder.
Eldeki veriler toplam n n veri say s na bölümüdür.
x ile gösterilir.
Veri de erleri x1, x2, ...., xn olan n tane veri için,
...x
x x x
nn1 2+ + +
= dir.
A rl kl Ortalama: Aritmetik ortalamada, her bir ve-ri de erinin öneminin e it oldu u varsay lmaktad r. Fakat baz de erlerin önemi di erlerinden farkl olabi-lir. Bu durumlarda a rl kl ortalama kullan l r.
ÖRNEK 174
7, 6, 7, 8, 10, 12, 6
veri grubundaki say lar n ortalamas kaçt r?
Çözüm
x7 7
56 8= = =7 6 7 8 10 12 6+ + + + + + dir.
ÖRNEK 175
Ö¤renci say›s›
Karde say›s›
5
1
12
2
8
3
3
4
0
5
0
6
1
7
29 ö renci bulunan bir s n ftaki ö rencilere, karde say lar sorulmu ve verilen cevaplara göre yuka-r daki tablo olu turulmu tur. Buna göre, bu s n fta bulunanlar n ortalama karde say s kaçt r?
Çözüm
5 12 8 3 0 0 1. . . . . . . .x 1 5 2 12 3 8 4 3 5 0 6 0 7 1 2 5,=
+ + + + + ++ + + + + +
ÖRNEK 176
Kredi
4
3
2
2
Ders
Matematik
Fizik
Kimya
Biyoloji
Not
84
72
65
70
Furkan’ n say sal derslerinden ald y l sonu notlar ve bu derslerinin haftal k kredileri yukar da tablo halinde verilmi tir. Furkan’ n say sal karnesinin not ortalamas n , kredi a rl na göre bulunuz.
Çözüm
3 272.3 65.2 .4
84.4x2
70 2=+ + +
+ + + = 74.73 tür.
MEDYAN (ORTANCA)
Bir say dizisinin medyan n bulmak için, say lar kü-çükten büyü e do ru s ralan r.
Dizinin terim say s tek ise ortadaki terim med-
yand r.
Dizinin terim say s çift ise ortadaki iki terimin
aritmetik ortalamas medyand r.
Ba ka bir deyi le, n terimli bir say dizisinde
n tek ise medyan : xn2
1+
n çift ise medyan : x x
2
n n2 2 1
++
dir.
ÖRNEK 177
3, 2, 2, 1, 4, 5, 5, 7, 4
verilerinin ortancas (medyan) kaçt r?
Çözüm
1, 2 , 2 , 3 , , 4 , 5 , 5 , 741 2 344 44 1 2 344 44
I. Yol : Yukar da da görüldü ü gibi terimler küçük-ten büyü e do ru s raland nda ortadaki terim yani 4 medyand r.
II. Yol : Terim say s 9 (tek say ) oldu undan
medyan xn2
1+ = x2
19+ = x5 = 4 tür.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
215
ÖRNEK 178
2, 7, 2, 5, 3, 4, 4, 1
verilerinin ortancas (medyan) kaçt r?
Çözüm
1, 2 , 2 , 3 , 4 , 4 , 5 , 7\ \I. Yol : Yukar daki dizili te de görüldü ü gibi
ortanca = 2
3 4+ = 3,5 tir.
II. Yol : n çift say oldu undan (n = 8)
ortanca = x x
2
n n2 2 1
++
= x x
22 2 18 8+
+
= x x
2 23 44 5+
= + = 3,5
MOD (Tepe De eri)
Bir veri grubundaki en çok (en s k) tekrarlanan de-ere mod (tepe de eri) denir. Tekrar say lar frekans
olarak adland r l r.
ÖRNEK 179
5, 11, 4, 13, 7, 6, 11
verilerinin tepe de eri (mod) kaçt r?
Çözüm
4, 5, 6, 7, 11, 11, 13
Di er veriler 1 er defa, 11 iki defa tekrarland için, bu veri grubunun modu (tepe de eri) 11 dir.
Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden de er yoksa, bu veri grubunun modu yoktur.
ÖRNEK 180
1, 2, 3, 4, 5, 6 veri grubunun modu yoktur.
3, 3, 3, 3, 3, 3 veri grubunun modu yoktur.
1, 1, 2, 2, 3, 3 veri grubunun modu yoktur.
Bir veri grubunda ayn say da tekrar eden birden fazla de er varsa, mod de eri de birden fazla ola-bilir. Fakat, tüm de erler e it say da tekrar ediyorsa mod yoktur.
ÖRNEK 181
1, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 9, 5
say dizisinin modu kaçt r?
Çözüm
1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 9
3 ve 5 say lar iki er defa tekrar etti i için, verilen say dizisinin modu 3 ve 5 tir.
ÖRNEK 182
7, 19, 11, 3, 3, 5, 7, 6, 7, 1, 19
verilerinin modu kaçt r?
Çözüm
1, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 7, 11, 19, 19
3 ve 19 iki er defa tekrar etmesine ra men, 7 üç defa tekrar etti i için mod 7 dir.
ÖRNEK 183
Meyve suyu üreten bir fabrikada, rastgele seçilen 15 i e meyve suyunun bozulma süreleri ay olarak a a-daki gibi tespit edilmi tir.
18, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 30, 31, 32
Bu süreler için merkezi e ilim ölçüleri olan; ortalama, ortanca ve mod de erleri nelerdir?
Çözüm
18, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 25 , 25, 26, 27, 30, 30, 31, 32
Ortanca = 25
Mod (en çok tekrarlanan de er) = 22 (3 defa)
Ortalama = .....x15
18 20 3215375 25= + + + = =
Not: Ortalama, mod ve ortanca de erler birbirine yak n oldu u için da l m düzgündür veya veriler ho-mojen da lm t r diyebiliriz.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
216
ÖRNEK 184
Baz özelliklerde Türkiye’nin dünya s ralamas ndaki yeri a a daki tablo ile belirtilmi tir.
Özellik Dünya S ralamas ndaki Yeri
Nüfus say s 17
Yüzölçümünün büyüklü ü 36
Kentli nüfus oran 13
Ekonomik büyüme 16
Ki i ba na dü en milli gelir 21
Bor ve krom üretimi 1
Alt n ve toryum üretimi 2
C va, mermer ve jeotermalenerji üretimi
7
F nd k, incir ve kiraz üretimi 1
Çelik üretimi 9
Çimento üretimi 2
Kömür üretimi 15
laç üretimi 18
Koyun, keçi sütü üretimi 1
D sat m (ihracat) 30
Tekstil ihracat 3
Çimento ihracat 2
Mermer ihracat 8
En çok tatil yap lan ülkeler 3
Tablodan elde edilen verilerin modu, medyan ve ortalamas n bulunuz.
Çözüm
Verileri küçükten büyü e do ru s ralarsak;
1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 7, 8 , 9, 13, 15, 16, 17, 18, 21, 30, 36
elde edilir. Bu durumda,
Yukar daki say dizisinde 1 ve 2 say lar 3 er kez tekrar etti inden mod 1 ve 2 dir.
19 adet veri oldu u için, tam ortadaki 10. veri olan, 8 say s medyand r.
1 1 2 ... 361x19 19
205,
+ + + + += = 11 oldu undan,
bu veri grubunun ortalamas 11 dir.
Geometrik Ortalama: x1, x2, ... xn gibi n tane verinin
geometrik ortalamas . .....x x xnn
1 2 dir. Gözlem so-
nuçlar n n her biri bir önceki gözlem sonuçlar na ba -l olarak de i iyorsa bu de i imin h z n belirtmek için geometrik ortalama daha sa l kl sonuçlar verir.
Örnekstanbul’da bir sitedeki ev kiralar a a da verilmi tir.
Y llar Kira (TL) ––––– –––––––– 1980 100 1995 800 2010 1600
1980-2010 y llar aras ndaki ortalama kira art oran -n hesaplay n z.Çözüm
Kiralar n 1995 y l nda, 1980 y l na göre 8 kat, 2010 y l nda da 1995 y l na göre 2 kat artt gö-rülmektedir. Ortalama kira art oran ise,
G.O = .8 2 16 4= = tür. Yani 15 y ll k bir di-limde kiralar ortalama 4 kat art göstermi tir.
Harmonik Ortalama: x1, x2, ... xn gibi n tane verinin
harmonik ortalamas .....
x x x
n1 1 1
n1 2+ + +
dir.
Harmonik ortalama s k kullan lmayan bir ortalama çe itidir. Genellikle ekonomik olaylarda 1 birim ile al -nabilen ortalama miktara veya bir ürünün bir birimi-nin üretimi için harcanan ortalama gideri hesaplarken kullan l r. Ayr ca ortalama h z hesab nda da kullan l r.
Örnek
B CAO
ekilde |OA| = |AB| = |BC| dir. Bir arac n h z O – A aras 60 km/saat, A – B aras 80 km/saat ve B – C aras 100 km/saattir. Bu arac n bu yolculuk esnas n-daki ortalama h z kaç km/saattir?Çözüm
H.O =
601
801
1001
3
+ + = 75 km/saattir.
ETK NL K
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
217
MERKEZ YAYILMA (DA ILIM) ÖLÇÜLER
Merkezi e ilim ölçüleri, birimlerin kendi aralar nda nas l bir da l m (yay l m) gösterdiklerini ifade etmede yetersiz kal rlar. Örne in;
VER‹LER
Y
2
25
30
31
32
X
22
23
24
25
26
Z
7
9
11
13
80
x, y ve z verilerinin ortalamalar e it ( )x y z 24= = = oldu u halde verilerin da l mlar oldukça farkl d r.
Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi ara-lar nda nas l bir da l m gösterdiklerini incelemek için merkezi da l m ölçüleri kullan l r. Bunlar,
Aç kl k – Çeyrekler aç kl
Varyans (de i im) – Standart Sapma
olarak ifade edilirler.
AÇIKLIK (Aral k – Ranj)Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük de er aras ndaki farkt r ve genellikle R ile gösterilir.
R = En Büyük De er – En Küçük De er
ÇEYREKLER AÇIKLI I (Q)Bir veri grubundaki terimler küçükten büyü e do -ru s raland nda ilk terime alt uç, son terime üst uç, bunlar n ortas ndaki terime de ortanca denir.
Ortancadan küçük terimlerin ortancas na alt çeyrek (Q1) denir.
Ortancadan büyük terimlerin ortancas na üst çeyrek (Q3) denir.
Bir ba ka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik k sm n n ortancas na Q1 , sonraki % 50 lik k sm n n ortanca-s na da Q3 denir.
Çeyrekler aç kl = Üst çeyrek – Alt çeyrek
Q = Q3 – Q1
% 0 % 25 % 50 % 75 % 100
Çeyrekler aç kl ¤›
ortanca üst uç de¤eralt uç de¤er
Q1 Q3
ÖRNEK 185
7, 3, 4, 9, 2, 7, 5
veri grubunun aç kl ile çeyrekler aç kl n bulunuz.
Çözüm
2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 7 , 9
Ortanca Üst uçde¤er
Alt uçde¤er
Altçeyrek
Üstçeyrek
Aç kl k = 9 – 2 = 7 dir.
Çeyrekler aç kl = 7 – 3 = 4 olur.
ÖRNEK 186
16, 18, 30, 4, 6, 10, 8, 8, 12, 17, 20, 24, 36, 22, 28
veri grubunun çeyrekler aç kl n bulunuz.
Çözüm
4, 6, 8, 8, 10, 12, 16, 17 , 18, 20, 22, 24, 28, 30, 36
Ortanca Üst uçde¤er
Alt uçde¤er
Altçeyrek
Üstçeyrek
Çeyrekler aç kl = Üst çeyrek – Alt çeyrek
= 24 – 8 = 16 olur.
ÖRNEK 187
1, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20
veri grubunun aç kl ile çeyrekler aç kl n bulunuz.
Çözüm
1, 3, 4, 6 , 7, 7, 8, 10 , 11, 12, 13 ,15, 16, 20
Ortanca Üst uçde¤er
Alt uçde¤er
Altçeyrek
Üstçeyrek
Ortanca = 2
8 10+ = 9
Alt çeyrek = Q1 = 6
Üst çeyrek = Q3 = 13
Çeyrekler aç kl = Q3 – Q1 = 13 – 6 = 7
Grubun aç kl = 20 – 1 = 19 bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
218
KUTU GRAF
Bir de i kenin s kl k da l m n göstermek için kullan -lan kutu grafikleri, da l m n ekli, merkezi e ilimi ve de i kenlerin yay l m düzeyini göstermesi aç s ndan kullan l d r. Kutu grafi i, veri için çeyreklere dayal grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafi inin çizimi için,
en küçük de er (alt uç de er)
alt çeyrek (Q1), ortanca, üst çeyrek (Q3) ve
en büyük de er (üst uç de er) bulunur.
Kutu gösteriminde;
Kutunun uç noktalar Q1 ve Q3 tedir.
Kutunun uzunlu u Q3 – Q1 dir. Bu fark, verilerin ortadaki yar s n n yay lma ölçüsüdür.
Ortanca, kutunun içinde çizgi ile i aretlenir.
Kutu d ndaki iki çizgi, alt uç de er ve üst uç de-ere kadar uzat l r.
Kutu grafi inde, da l m n merkezi, verilerin yay lma geni li i ve uç de erleri kolayl kla görülür.
En KüçükDe¤er
AltÇeyrek Ortanca
ÜstÇeyrek
En BüyükDe¤er
ÖRNEK 188
Bir s n ftaki ö rencilerin bir dakikal k zaman dilimi içe-risinde nab zlar n saymalar istenmi tir. Ölçüm so-nuçlar cinsiyet de i kenine göre a a daki tabloya aktar lm t r.
56
60
En Dü ükDe¤er
Erkek
K z
60
68
AltÇeyrek
66
74
Ortanca
76
80
ÜstÇeyrek
96
110
En BüyükDe¤er
Bu tabloya kar l k gelen kutu grafi i a a daki gibidir.
85657060
Erkek
K z
Nab z Say s80756555 11010090 10595
Cinsiyet
Bu grafik üzerinden k zlarla erkeklerin nab z say la-r n , farkl aç lardan (ortanca, en büyük ve en küçük de erler, çeyrekler) kar la t rabiliriz.
ÖRNEK 189
Bir okulun 11–K ve 11–L ubelerindeki ö rencilerin, fizik dersinde uygulanan ayn s nav n sonucunda al-d klar puanlar a a da verilmi tir.
70
80
11 – K
11 – L
40
20
50
40
50
30
80
50
60
70
40
40
90
50
60
80
Bu notlara ait kutu grafi ini olu tural m ve s n flar n fizik notlar n yorumlayal m.
Çözüm
11 – K için, 40, 40, 50 , 50, 60, 60, 70, 80 , 90
Ortanca
Q3=70 + 802
= 75
Üst uçde¤er
Alt uçde¤er
11 – L için, 20, 30, 40 , 40, 50, 50, 70, 80 , 80
Ortanca
Q1=30 + 402
= 35
Üst uçde¤er
Alt uçde¤er
1004020
11 – K
Fiziknotu
S n flar
11 – L
806035 45 50 75 90
Alt çeyrek
Alt çeyrek
Üst çeyrek
Q3=70 + 802
= 75
Üst çeyrek
Q1=40 + 502
= 45
Bu kutu grafi ine göre, a a daki sonuçlar ç -karabiliriz.
11–K s n f n n ortanca de eri 60, 11–L s n f n n ortanca de eri 50 oldu undan, 11–K s n f daha ba ar l d r.
Bu iki s n ftaki ö renciler içinde en yüksek notu alan ö renci 11–K s n f nda, en dü ük notu alan ö renci 11–L s n f ndad r.
11–K s n f için kutu boyu daha k sa oldu u için, bu ö rencilerin notlar daha homojendir (birbirine daha yak n) diyebiliriz.
Geçme notu 40 olsayd , 11–K s n f ndaki tüm ö rencilerin fizik dersinden ba ar l oldu unu söyleyebilirdik.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
219
VARYANSGözlemlenen de erlerin (verilerin) ortalama etraf nda nas l yay ld klar n n (da ld klar n n) ölçüsüne var-yans denir.
Belli karakterleri ortak olan birimlerin olu turdu u top-lulu a popülasyon (kitle - y n) denir. (Hayvan popü-lasyonu, bitki popülasyonu, ö renci popülasyonu gibi)n (mü) : Y n aritmetik ortalamasN : Y n olu turan birimlerin say sv2 : Y n varyans
olmak üzere, v2 = ( )
N
x –ii
N2
1n
=/
dir.
( ) ( ) ( ) ..... ( )x x x x– – – –ii
N
N2
1
2 2 21 2n n n n= + + +
=f p/
Popülasyonda üzerinde çal lan obje veya bireyle-ri teker teker incelemek; zaman, maliyet, i çilik ve-ya yasalar aç s ndan ço u zaman mümkün de ildir. Bundan dolay , popülasyonun tümünün üzerinde ça-l lmas yerine ondan belli yöntemlerle al nan örnek-ler üzerinde çal l r.
x (x bar) : Örnek aritmetik ortalamas
n : Örne i olu turan birimlerin say s
s2 : Örnek varyans
olmak üzere, s2 = ( )
n
x x
1–
–ii
n2
1=/
dir.
n ve v2 popülasyonun özelliklerini tan mlayan para-
metrelerdir. statistikler, parametrelerin birer tahmini
de erleridir. Yani; x , n nün, s2 ise v2 nin tahmini de erleridir.
N
( , 2
)
n
( x, s2 )
Parametreler ‹statistikler
Y›¤›n
Örnek
Örnekleme
Yorumlama
statistik bilimi, örnek verilerden hareket ederek po-pülasyon (ana kitle – y n) hakk nda yorumlama ve genelleme yapar.
Çizgi Grafi i Bir de i kenin zaman içerisindeki de i imini incelemek için en uygun grafik türüdür.• Birden çok sürekli veri grubunun k yaslanmas kolayl kla görülebilir.
SÜTUN
GRAF
Çubuk Grafi i
• Görselli i kuvvetlidir.• 2 veya 3 veri grubu kolayl kla k yaslanabilir.• Her bir kesikli veri ayr sütunda gösterildi i için incelenmesi kolayd r ve verinin gerçek
de eri kolayl kla görülebilir.
Histogram• Gruplanm (s n fland r lm ) sürekli verilerin gösterimi için iyi bir görselli e sahiptir.
• Her bir kategoriye dü en frekans say lar kolayl kla görülebilir.
Daire Grafi iBir de i kenin bir bütün içerisindeki oran n belirlemek için en uygun grafik türüdür.• Göze ho gelen bir sunumu vard r.
• Her bir kategorinin toplam içindeki pay çok rahat anla l r.
Kutu Grafi i
Verilerin geni li ini, y l m n ö renmek için en uygun grafik türüdür.• Uç de erleri ve sapan de erleri görmek çok kolayd r.• Veri say s çok oldu unda bile kolayl kla gösterilebilir.• Da l m n ekli, merkezi e ilim ve yay l m ölçüleri hakk ndaki bilgileri çok rahat sunar.
Serpilme Grafi i
ki de i ken aras ndaki ili kiyi göstermek için en uygun grafik türüdür.• Veriler aras ndaki ili kiyi (do ru orant l , ters orant l , ili ki yok gibi) aç klamak için çok
uygundur.• Verilerin gerçek de erleri göz önündedir.
Grafik Türünün Seçimi ve Avantajlar
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
220
ÖRNEK 190
1, 2, 3, 4, 5 veri grubunun örnek varyans kaçt r?
Çözüm
x = 1 2 3 45
5 3+ + + + =
s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1
1 3 2 3 3 3 4 3 5 3–
– – – – –2 2 2 2 2+ + + +
= 4 1 0 14
4+ + + + = 2,5 tir.
Verilerin ortalama etraf nda daha uzak (geni ) bir da l m göstermeleri durumunda varyans büyük, ortalamaya daha yak n de erler almas durumunda varyans küçük olur. Varyans n küçük olmas daha homojen ve birbirine yak n bir veri grubu oldu unu gösterir. Ba ka bir deyi le küçük varyans daha is-tikrarl bir durum, büyük varyans ise daha riskli bir durum oldu unun göstergesi olarak yorumlanabilir.
ÖRNEK 191
A veri grubu : 2, 3, 4
B veri grubu : 1, 3, 5
olmak üzere bu veri gruplar na ait örnek varyanslar bulup birbiriyle k yaslay n z.
Çözüm
x3
2 3 4 3= + + =A
(2 3) ( 3) ( 3)s
3 13 4
–– – –
A2
2 2 2=
+ + = 1
x33 31 5= + + =B
( ) ( ) ( )s
3 13 3 3 31 5
–– – –
B2
2 2 2=
+ + = 4
2A
3 4
1B
3 5
A ve B kümelerindeki verilerin ortalamalar ayn oldu u halde varyanslar farkl d r.
B deki verilerin varyans daha büyük oldu u için, veriler ortalamadan (3 ten) daha uza a da l-m lard r.
STANDART SAPMA
Varyans n karekök de erine standart sapma denir. En yayg n merkezi yay l m ölçüsüdür. Varyansa ben-zer ekilde verilerin ortalama etraf nda nas l bir yay l-ma gösterdi inin ölçüsüdür. Dü ük standart sapma de eri, bir araya toplanm ve ortalamaya daha yak n verilerin çok oldu unun ölçüsüdür.
ÖRNEK 192
5, 3, 7 veri grubunun standart sapmas kaçt r?
Çözüm
3 5 7x3
5= + + =
( ) ( ) ( )s
3 13 5 5 5 7 5
–– – –2
2 2 2=
+ + = 4 oldu undan,
standart sapma s = 4 2= bulunur.
ÖRNEK 193
Araç aküsü üreten bir firman n üretti i 61 akünün dayanma sürelerine ait frekans tablosu a a da ve-rilmi tir.
Y l
1 – 5
6 – 10
11 – 15
16 – 20
Toplam
21
15
19
6
61
Frekans
Tablo: Akülerin Dayanma Süreleri
Akülerin ortalama ömürleri ve dayanma sürelerinin standart sapmas nedir?
Çözüm
Her bir s n fa giren akü say s farkl oldu u için, aritmetik ortalama yerine a rl kl aritmetik ortala-ma almak daha uygun olacakt r.Ortalama akü ömrü,
5.21 10.15 15.19 20.6x61 61
660 11,= + + + = y ld r.
s2 = (21 11) (15 11) (19 11) (6 11)4 1–
– – – –2 2 2 2+ + +
= 1003
16 64 25+ + + = 3
205 70,
s = 70 , 8,2 bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
221
ÖRNEK 194
Gün Alper Burak
1 4 3
2 2 3
3 5 4
4 3 5
5 4 5
6 6 4
Bir pazarlama irketi Alper ve Burak isminde iki ele-mandan birisini 6 günlük deneme süresi sonunda i e alacakt r. Bu elemanlar n 6 günlük (y n verisi) sat -lar yukar daki gibidir. Buna göre, bu irketin daha is-tikrarl bir eleman almak için Alper ve Burak’tan han-gisini tercih etmesini gerekti ini bulunuz.
Çözüm
Alper’in ortalama günlük sat , varyans ve stan-dart sapmas ,
A = 4 2 5 3 46
6624 4+ + + + + = =
( )
N
x –
A
i Ai
N
2
2
1v
n
= =/
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6
4 4 2 4 5 4 3 4 4 4 6 4– – – – – –2 2 2 2 2 2+ + + + +
= ,610 1 6= br2
A = , ,1 6 1 29, birim
Burak’ n ortalama günlük sat , varyans ve standart sapmas ,
B = 6
5 4624 43 3 4 5+ + + + + = =
( )
N
x –ii
N
B
B2
2
1v
n
= =/
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6
4 4 4 4 4 43 3 4 5 5 4– – – – – –2 2 2 2 2 2+ + + + +
= 432
6= br2
B = ,32 0 82, birim
Alper ve Burak’ n ortalama günlük sat lar e ittir. Dolay s ile standart sapmalar na bakarak kar -la t rmak mümkündür. Burak’ n standart sapmas daha küçük oldu undan, günlük sat lar Alper’e göre daha istikrarl d r. O halde pazarlama irketi-nin tercihi Burak olmal d r.
A, B ve C oyuncular n n son 7 maçta att klar basket say lar a a daki tabloda verilmi tir.
A B C
12 18 24
13 21 14
12 15 14
14 13 22
11 16 25
20 18 16
16 18 11
a) Bu tablo yard m yla A, B ve C basketçilerine ait merkezi e ilim ve yay lma ölçülerini bulunuz.
b) Bu oyunculara sahip basketbol tak m n n koçusu-nuz ve önünüzdeki maç çok farkl bir ekilde ka-zanman z gerekiyor. Aksi takdirde tak m n z ele-necek. A, B ve C oyuncular ndan birini seçerek maça ba lamak istiyorsunuz. Hangi basketçiyi seçersiniz?
c) Bir tak m n koçusunuz ve sezon ba nda istikrarl bir tak m olu turmak istiyorsunuz. Bu oyuncular-dan hangisini tak m n za al rs n z?
Çözüm
a) A B C
En yüksek say 20 21 25
En dü ük say 11 13 11
Aritmetik ortalama 14 17 18
Ortanca 13 18 16
Mod 12 18 14
Aral k 9 8 14
Standart sapma 3,1 2,5 5,56
A B C –––––––––– –––––––––– ––––––––––– x – s = 10,9 x – s = 14,5 x – s = 12,44
x + s = 17,1 x + s = 19,5 x + s = 23,56
b) Ortalamas ve standart sapmas yüksek oldu un-dan C oyuncusu için x + s = 23,56 dir. Maç çok farkl kazanma zorunlulu undan dolay C oyun-cusunun seçimi ile oyuna ba lamak gerekir.
c) B oyuncusunun ortalamas C oyuncusunun orta-lamas ndan 1 dü ük olmas na ra men standart sapmas daha küçüktür. Dolay s yla B oyuncusu-nun seçimi ile daha istikrarl bir tak m olu turulur.
ETK NL K
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
222
1 TL, 7 TL, 8 TL, 9 TL, 10 TL, 13 TL, 50 TL
Bir lokantadaki 7 masada 13.00 – 14.00 saatleri aras nda ödenen hesaplar yukar daki gibi olsun.
Bu verilerden yararlanarak sonraki 1 saatlik dilim içinde gelen yeni bir mü terinin yakla k ne kadar hesap ödeyece ini tahmin etmeye çal al m ve hangi ölçülerin bize nas l bir bilgi verebilece-
ini inceleyelim.
Ortalama: 7 8 9 10 13 501x7
14+ + + + + += =
Ödenen hesaplar n birço u ortalamadan çok uzakta oldu u için ortalama çok faydal bir gösterge de ildir.
Mod: Mod olmad ndan incelemeye katk s yoktur.
Medyan: 1, 7, 8, , 10, 13,9 50a kA r uç de erlerden (1 ve 50) etkilenmedi i için medyan iyi bir göstergedir.
Yani gelecek olan bir mü terinin ortalama 9 TL hesap ödeyece i beklentisi oldukça gerçekçidir.
Standart Sapma:
s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 1
1 14 7 14 8 14 9 14 10 14 13 14 50 14–
– – – – – – –2 2 2 2 2 2 2+ + + + + + 265
Standart sapma: s = 265 , 16
x – s = 14 – 16 = –2 , x + s = 14 – 16 = 30
Yeni gelecek bir mü terinin –2 TL ile 30 TL aras nda bir hesap ödeyebilece i tahmini bize katk sa layan bir ölçü de ildir. Ortalamaya göre k yasland nda oran çok yüksek oldu u için standart sapmay göz önüne ala-rak yap lan tahmin oldukça riskli olacakt r.
imdi de 1 TL ve 50 TL lik hesaplar n genellikle olmad n dü ünerek bu sapan de erleri veri grubundan ç kararak tahminde bulunmaya çal al m. 7 TL , 8 TL , 9 TL , 10 TL , 13 TL
Ortalama: x = .5
7 8 9 10 13547 9 2,
+ + + + =
Sapan de erler veri grubundan at larak elde edilen bu de er öncekine göre daha gerçekçidir.
Medyan: Medyan 9 TL olup bu durumda da iyi bir hesap tutar tahmini yans tmaktad r.
Standart Sapma:
s2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1
9 13 97 9 8 9 9 9 10–
– – – – –2 2 2 2 2+ + + + = .422 5 5=
Standart sapma: . .5 5 2 3,
x – s = 9.2 – 2.3 = 6.9 , x + s = 9.2 + 2.3 = 11.5
Yeni gelecek mü terilerin ortalama 6.9 TL ile 11.5 TL aras nda bir hesap ödeyecekleri beklentisi gerçekçidir.
Standart sapma de eri öncekine göre daha dü ük ç kt için veriler birbirine daha yak n olup tahminlerde yan lma pay daha azd r.
ETK NL K
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
223
STANDART PUANLAR
Standart puan gözlenen puanlar n ortalamadan olan farklar n standart sapma cinsinden belirtilmesidir.
Standart puanlar, yap lan ölçümlerden elde edilen puanlar n aritmetik ortalamas n n s f r (0), standart sapmas n n bir (1) kabul edildi i puanlard r.
z puan
z-puan bir verinin ortalamadan kaç standart sapma kadar uzakta oldu unu gösterir ve
z puan = darttan sapma
Ham puan Aritmetik ortalama–S
z = s
X x–
formülü ile hesaplan r.
Herhangi bir ki inin alm oldu u puan z puan na dö-nü türerek, verilen bir puan n standart sapmaya göre ortalaman n ne kadar alt nda veya üstünde kald belirlenebilir.
z puan n n (–) veya s f r (0) ç kmas mümkündür.
T puanz puan nas l ki verilen puanlar ortalamas 0, standart sapmas 1 olan puanlara dönü üyorsa, T puan da verilen puanlar ortalamas 50, standart sapmas 10 olan puanlara dönü türür. z puanlar ndan T punlar na geçi T = 50 + 10.z formülü ile elde edilir.
ÖRNEK 195
Bir ülkedeki insanlar bir y lda 19 standart sapma ile ortalama 249 gün çal maktad rlar. z puan 2 oldu-
unda bu durum, ortalama kaç günlük çal ma süre-sini ifade eder?
Çözüm
z = s
X x– X = x + z.s = 249 + 2.19
= 287 gün bulunur.
ÖRNEK 196
Ö renci Puan
Melis 30
Zeynep 50
Burcu 90
Ezgi 70
Efe 40
Mesut 80
Tabloda 6 ö rencinin kimya dersi I. yaz l s nav ndan
ald notlar (standart puanlar) verilmi tir.
Melis ve Ezgi’nin bu s nav için ald klar kimya notlar -
n n z ve T puanlar n bulal m.
Çözüm
x6
30 50 90 70 40 80= + + + + + = 60
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s
6 130 60 50 60 90 60 70 60 40 60 80 60
–– – – – – –2
2 2 2 2 2 2=
+ + + + +
s2 = 28005
= 560 s = 560 24, olaca ndan
Melis’in z puan ;
z = s
X x– = 24
30 60– = –1.25
Ezgi’nin z puan ;
z = s
X x– = ,24
70 60 0 42–,
Ezgi’nin z puan pozitif oldu u için ortalamadan
daha yüksek, Melis’in z puan negatif oldu u
için ortalamadan daha dü ük puan ald n ve
bu farklar n kaç standart sapma büyüklü ünde
oldu unu anlayabiliriz.
Melis’in T puan ;
T = 50 + 10.z = 50 + 10.(–1,25) = 37,5
Ezgi’nin T puan ;
T = 50 + 10.z = 50 + 10.(0,42) = 54,2 bulunur.
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
224
ES
EN
YAY
INLA
RI
ÖRNEK 197
3 ki inin kat ld bir s navda puanlar hesaplan rken;
I. Her ö renciye 100 taban puan verilmektedir.
II. En yüksek puan alan ö rencinin puan 500 e çekilerek di er puanlar n da l m buna göre yap lmaktad r.
III. Test fark gözetilmeksizin her sorunun puan geti-risi e it kabul edilmektidir.
A a daki tablodaki verileri kullanarak Aybars’ n pua-n n hesaplayal m.
Ö¤renci
Ecem
Aybars
Gizem
28
34
39
MatematikNeti
32
36
36
FenNeti
30
30
35
TürkçeNeti
24
26
30
SosyalNeti
Çözüm
Toplam neti en çok olan Gizem (140 net) 500 puan alaca ndan, 500 = 100 + 140.x e itli in-den bir netin getirdi i puan
x = .140
500 100 2 86–, bulunur.
Aybars’ n 126 neti oldu undan;
Puan = 100 + 126.2,86 100 + 360 460 t r.
ÖRNEK 198
‹statistik
Fatma’n›n notu ( X )
S›n›f ortalamas› ( x )
Standart sapma ( s )
70
60
5
Matematik
75
70
10
EdebiyatDers
Fatma’n n matematik ve edebiyat derslerinin I. yaz -
l lar ndan ald notlar, s n f n ortalamas ve standart
sapmas yukar da verilmi tir. Buna göre, Fatma’n n
bu s navlar ile ilgili z ve T puanlar n bulunuz.
Çözüm
z = s
xX – oldu undan,
zmatematik = 5
70 60 2– = , zedebiyat = 10
75 7021– =
T = 50 + 10.z oldu undan,
Tmatematik = 50 + 10.2 = 70
Tedebiyat = 50 + 10.21 = 55 bulunur.
Tabloda verilen ham puanlara bak ld nda
Fatma’n n edebiyat dersinden daha ba ar l ol-du u görülse de, notlar n standart puanlar na (z ve T puanlar na) dönü türdü ümüzde matematik
dersinden daha ba ar l oldu unu söyleyebiliriz.
KORELASYON
ki de i ken aras nda ili ki olup olmad n , varsa bu ili kinin derecesini gösteren kat say ya korelasyon kat say s denir.
Korelasyon kat say s [–1, 1] aral nda de erler al r.
Korelasyon kat say s s f ra e it ise de i kenler aras nda bir ili kiden söz edilemez.
Korelasyon kat say s n n 1 e yakla mas , de i kenler aras nda olumlu ve kuvvetli bir ili kinin bulundu unu; –1 e yakla mas , de i kenler aras nda olumsuz ve kuvvetli bir ili kinin bulundu unu gösterir.
ÖRNEK 199
B
0,9A
C
0,2
D
– 0,1
E
– 0,8
Yukar daki tabloda A ile B, C, D ve E de i kenleri aras ndaki korelasyon kat say lar gösterilmi tir.
Buna göre, bu ili kileri yorumlay n z.
Çözüm
A ile B aras nda pozitif yönlü (olumlu) ve çok kuv-vetli bir ili ki vard r.
A ile C aras nda pozitif yönlü (olumlu) fakat zay f bir ili ki vard r.
A ile D aras nda negatif yönlü (olumsuz) ve zay f bir ili ki vard r.
A ile E aras nda negatif yönlü (olumsuz) ve çok kuvvetli bir ili ki vard r.
225
1. 12, 12, 13, 14, 14, 15 (saniye)
6 ki ilik bir sporcu grubunun 100 metreyi ko ma süreleri yukar daki gibidir. Buna göre, bu spor-cular n 100 metreyi ko ma süreleri ortalama kaç saniyedir?
2. I. 7, 9, 6, 8, 9, 4, 2
II. 1, 4, 3, 2, 1, 5, 5, 3
Yukar da verilen I ve II nolu say dizilerinin med-yanlar n n toplam kaçt r?
3. 8, 9, 11, 11, 7, 8, 6, 13, 6, 6, 4
Yukar da verilen say dizisinin mod ve medyan -n n toplam kaçt r?
4. 14, 17, 10, 12, 19, 21, 9, 24
verilenlerin aç kl kaçt r?
5. 4, 5, 8, 12, x, x + 1
say dizisinin aritmetik ortalamas 9 oldu una göre, tepe de eri kaçt r?
6. 10 ö rencinin matematik dersinden ald klar not-lar,
25, 30, 30, 45, 45, 50, 60, 60, 60, 85
eklindedir. Bu veri grubunun,
a. Ortancas n b. Tepe de erini (mod)
c. Alt uç de erini d. Üst uç de erini
e. Alt çeyrek de erini f. Üst çeyrek de erini
g. Çeyrek aç kl n h. Grup aç kl n
bulunuz.
7. 50, 54, 58, 60, 66, 72
Yukar da, bir s n fta bulunan herhangi 6 ö ren-cinin geometri s nav ndan ald klar puanlar veril-mi tir. Bu puanlar n standart sapmas n bulunuz.
8. S nav ortalamas 60, standart sapmas 4 olan bir s navda 40 alan Ali ile 100 alan Bar ’ n z puan-lar n bulunuz.
9. S nav ortalamas 70, standart sapmas 8 olan bir s navda 60 alan Fatma’n n T standart puan kaçt r?
ALIŞTIRMALAR – 6
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 13, 3 2. 10 3. 14 4. 15 5. 12
6. a. 47,5 b. 60 c. 25 d. 85 e. 30 f. 60 g. 30 h. 60 7. 8 8. zA = –5 , zB = 10 9. 37,5
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
226
10. ekilde verilen grafik bir
Di¤er% 45
Kira% 30
Yiyecek
ailenin ayl k harcamala-r n göstermektedir. Bu ailenin ayl k kira gideri 450 TL oldu una göre, ayl k yiyecek gideri kaç TL dir?
11.
1 2 3 4 5
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Ö¤renci say s
Al nan Not
Yukar daki grafik bir s n ftaki ö rencilerin tarih dersinin s nav ndan ald klar notlar göstermekte-dir. 2 ve üzeri not alanlar ba ar l oldu una göre, bu s n f n yüzde kaç tarih dersinden ba ar l d r?
12.
25
20
15
10
5
0
Benzin (L)
Zaman (gün)1 2 3 54 6
Yukar daki grafik, bir arac n benzin tüketimini göstermektedir. Buna göre, bu arac n hangi gün-ler aras nda benzin tüketim h z en fazlad r?
13. A a daki grafik bir otobüsteki yolcular n meslek-lerine göre da l m n göstermektedir.
Ö¤r
etm
en
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Ki i say s
Meslek
Mem
ur
Esn
af
‹çi
a. Otobüsteki yolcular mesleklerine göre bir daire grafi iyle gösterildi inde ö retmenleri gösteren daire diliminin merkez aç s n n ölçüsü kaç derece olur?
b. Bu otobüsten x say da yolcu inip otobüse x say -da yolcu binerse otobüste her meslek grubundan e it say da yolcu oluyor. Buna göre, x en az kaç-t r?
c. Otobüsten belirli say da i çi inip otobüse i çi ol-mayan 8 ki i binerse otobüsteki i çilerin say s , tüm yolcular n say s n n % 25’i oluyor. Buna gö-re, otobüsten inen i çilerin say s kaçt r?
10. 375 11. 90 12. (2, 3) 13. a. 70 b. 6 c. 4
ES
EN
YAY
INLA
RI
227
YAZILIYA HAZIRLIK – 1
1. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlar kullan la-rak yaz labilecek rakamlar farkl , üç basamakl 200 den büyük kaç çift say vard r?
2.
Kö eleri ekildeki üçgenin üzerinde bulunan 12 nokta olan kaç üçgen çizilebilir?
3. çinde 3 mavi, 4 sar , 2 beyaz bilye bulunan bir torbadan rastgele seçilen 3 bilyeden sadece ikisinin sar olma olas l kaçt r?
4. 8 ki inin kat ld bir s nav ba ar yönünden kaç farkl ekilde sonuçlanabilir?
5.
ekildeki dikdörtgen 20 e kareden olu mu tur. ekildeki tüm karelerin say s kaçt r?
6. 6 noktadan 2 tanesi A ve B dir. Bu noktala-r n herhangi üçü do rusal de ildir. Bu noktalarla olu turulan tüm üçgenlerden iki tanesi rastgele seçilirse ikisinin de bir taban n n [AB] olma ola-s l kaçt r?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
228
1. 48 2. 186 3. 145 4. 256 5. 40
6. 51 7.
107 8. 60 9. 54 10.
7. 24 futbolcu ve 16 basketbolcunun bulundu u bir sporcu grubunda futbolcular n 6 s , basketbol-cular n 4 ü ye il gözlüdür. Bu gruptan rastgele al nan birinin futbolcu veya ye il gözlü olma ola-s l kaçt r?
8. A
B
C
D
ekildeki çizgiler bir kentin birbirini dik kesen so-kaklar n göstermektedir. A dan hareket etip B ve C ye u rayarak D noktas na en k sa yoldan gidecek olan bir kimse kaç de i ik yol izleyebilir?
9. (x2 – 3y2)n aç l m nda terimlerden biri Ax4y4 ise A kaçt r?
10. A a daki grafik, bir irketin 2008, 2009, 2010 ve 2011 y llar nda giyim ve g da alan nda yapt ihracat tutarlar n göstermektedir.
2008
400
200
0
Bin TL
Y l2009 2010 2011
Giyim G da
150
Buna göre, bu irketin y llara göre toplam ihraca-t n n daire grafi iyle gösterimini yap n z.
2008
2009
2010
2011 110°120°
60°70°
ES
EN
YAY
INLA
RI
ES
EN
YAY
INLA
RI
229
YAZILIYA HAZIRLIK – 2
1. {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlar n kulla-narak yaz labilecek iki basamakl çift say lar n toplam kaçt r?
2. 8 TV program ndan 3 ü ayn gün ve saatte yay nlanmaktad r. Bu 8 programdan 4 ünü izlemek isteyen biri kaç farkl seçim yapabilir?
3. Çak k olmayan 5 farkl çember en çok kaç noktada kesi ir?
4. 12 farkl do rudan 3 tanesi bir A noktas ndan, 4 tanesi bir B noktas ndan geçmektedir.
Bu do rular n en fazla kaç kesim noktas vard r?
5. Düzgün bir madeni para 6 kez at ld nda en az 4 kez yaz gelme olas l kaç olur?
6. Duru, Ecem ve Gizem’in s n flar n geçme olas -
l klar s ras yla , ve52
21
43 tür. Üçünden en az
birinin s n f n geçme olas l kaçt r?
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
230
1. 702 2. 35 3. 20 4. 59 5. 3211
6. 4037 7.
12425 8. 12 9. zEd < zMat < zGeo 10. 189
7. 5 elemanl bir kümenin tüm alt kümelerinden rastgele 2 tanesi seçildi inde birinin 2 elemanl di erinin 3 elemanl olma olas l kaçt r?
8. Bir torbada e it say da sar ve mavi bilyeler var-
d r. Bu torbadan geri konulmamak üzere, art arda
çekilen iki bilyenin de mavi olma olas l 225 ise
torbada kaç bilye vard r?
9.
‹statistik
Aritmetik Ort. ( x )
Mod
Medyan
Standart Sapma ( s )
77
75
80
2
Matematik
80
90
70
4
EdebiyatDers
60
70
70
6
Geometri
Bir s n fa uygulanan üç dersle ilgili istatistikler yukar daki tabloda verilmi tir. Bu s n ftaki bir ö -renci matematikten 80, geometriden 72 ve ede-biyattan 84 ald na göre, bu ö rencinin standart z puanlar aras ndaki s ralama nedir?
10. xx3–2
7c m aç l m nda x8 li terimin kat say s n
bulunuz.
ES
EN
YAY
INLA
RI
231
TEST – 1
1. 0! + 2! + 4! + ..... + 400! say s n n birler basama-ndaki rakam kaçt r?
A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8
2. 13! + 14! toplam n n sonunda kaç tane s f r var-d r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
3. 4! + 6! + 8! + ..... + 120! say s n n onlar basama-ndaki rakam kaçt r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
4. 40! – 1 say s n n sonunda kaç tane 9 rakam vard r?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
5. 3! + 4! + 5! + ..... + 140! say s n n 30 ile bölü-münden kalan kaçt r?
A) 0 B) 1 C) 3 D) 12 E) 17
6. x ve y do al say lar olmak üzere 24! = 4x.y e itli ini sa layan x en çok kaçt r?
A) 22 B) 20 C) 18 D) 14 E) 11
7. x ve y do al say lar olmak üzere
!y2440
x= e itli ini sa layan x de erlerinin toplam
kaçt r?
A) 80 B) 79 C) 78 D) 77 E) 76
8. x ve y do al say lar olmak üzere 32! = 12x.y e itli ini sa layan en büyük x de eri kaçt r?
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
Faktöriyel ve Permütasyon
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
232
1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.E 7.C 8.C 9.A 10.E 11.D 12.C 13.A 14.C 15.C 16.D
9. 5 soruluk bir test s nav nda her soru için 5 se-çenek vard r. Ard k iki sorunun do ru yan tlar ayn seçenek olmayacak ekilde kaç farkl cevap anahtar haz rlanabilir?
A) 1280 B) 1240 C) 1220 D) 1140 E) 1020
10. 7 rakaml telefon numaras n n ilk 5 rakam bilin-mektedir. Kaç de i ik deneme ile bu telefon nu-maras kesin olarak tespit edilebilir?
A) 80 B) 90 C) 96 D) 98 E) 100
11. 3 ö renci 5 farkl dersten birer tane seçecektir. Her birinin seçti i ders farkl olmak ko uluyla kaç seçim yap labilir?
A) 24 B) 32 C) 48 D) 60 E) 72
12. 18 tak m n bulundu u süper ligde her tak m birbi-riyle 2 maç yapacakt r. Toplam kaç maç oynan r?
A) 304 B) 305 C) 306 D) 308 E) 309
13. A = {0, 1, 3, 4} kümesinin elemanlar n kullana-rak rakamlar farkl üç basamakl kaç tek say ya-z labilir?
A) 8 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30
14. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamlar kullan -larak, rakamlar farkl , 4 basamakl kaç tane çift say yaz labilir?
A) 96 B) 120 C) 156 D) 180 E) 196
15. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar n kul-lanarak 400 den küçük rakamlar farkl kaç çift say yaz labilir?
A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50
16. A = {2, 4, 5, 7, 9} kümesinin elemanlar ile ra-kamlar farkl 4 ile bölünebilen 3 basamakl kaç say yaz labilir?
A) 30 B) 24 C) 18 D) 12 E) 9
ES
EN
YAY
INLA
RI
233
TEST – 2
1. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlar n kul-lanarak rakamlar farkl üç basamakl 400 den küçük kaç say yaz labilir?
A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 180
2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin farkl elemanlar n kullanarak 400 den büyük 3 basamakl kaç say yaz labilir?
A) 48 B) 60 C) 72 D) 96 E) 120
3. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin farkl elemanlar n kullanarak 3 basamakl kaç tek say yaz labilir?
A) 6 B) 9 C) 15 D) 18 E) 24
4. A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlar n kulla-narak rakamlar farkl 2300 den küçük kaç do al say yaz labilir?
A) 106 B) 105 C) 104 D) 103 E) 102
5. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar n kul-lanarak rakamlar farkl dört basamakl 25 ile bö-lünebilen kaç farkl do al say yaz labilir?
A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21
6. A = {0, 3, 5, 6, 8} kümesinin elemanlar ile 6000 den büyük, rakamlar farkl ve 5 ile tam bölünebi-len kaç say yaz labilir?
A) 48 B) 54 C) 66 D) 72 E) 76
7. P(n, 2) = 56 ise n nedir?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
8. P(n, 4) = 2P(n, 2) oldu una göre n kaçt r?
A) 1 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12
Permütasyon
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
234
1.B 2.B 3.D 4.B 5.E 6.C 7.D 8.B 9.A 10.D 11.B 12.B 13.C 14.E 15.B 16.C
9. Yanyana bulunan 7 koltu a, 4 ki i aralar nda bo luk kalmayacak ekilde kaç türlü oturabilirler?
A) 96 B) 97 C) 98 D) 99 E) 100
10. 3 k z, 3 erke in bulundu u bir grup erkekler bir arada olmak ko uluyla yuvarlak masa etraf na kaç de i ik biçimde oturabilirler?
A) 30 B) 32 C) 35 D) 36 E) 38
11. 3 ki i, yanyana bulunan 7 koltu a, her iki ki inin aras nda bir koltuk bo kalacak ekilde kaç türlü oturabilirler?
A) 19 B) 18 C) 17 D) 16 E) 15
12. Herhangi iki ö retmen aras nda bir ö renci olmak kayd yla 3 ö retmen ve 3 ö renci bir yuvarlak masa etraf na kaç de i ik biçimde oturabilir?
A) 6 B) 12 C) 14 D) 16 E) 24
13. E it say da erkek ve k z n bulundu u bir grup her iki k z n aras nda 1 erkek olacak ekilde 72 fark-l ekilde bir s raya yanyana oturabildi ine göre grupta kaç ki i vard r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
14. Be evli çift bir yuvarlak masa etraf na evli çiftler yanyana gelmek ko ulu ile kaç de i ik biçimde oturabilirler?
A) 24 B) 48 C) 384 D) 732 E) 768
15. Bir grupta bulunanlardan belli iki tanesi yanyana gelecek ekilde yuvarlak masa etraf na 12 farkl ekilde oturabiliyorlar.
Bu grup kaç ki iden olu maktad r?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
16. 5 ö retmen 5 ö renci yuvarlak masa etraf na otu-racaklard r. ki ö retmen aras na bir ö renci otu-racak ekilde kaç türlü oturabilirler?
A) 9! B) 4!.5!.2 C) 4!.5!D) 10! E) 5!.5!
ES
EN
YAY
INLA
RI
235
TEST – 3
1. 2 k z ve 4 erkek arkada yanyana, ba ta ve sonda birer erkek bulunacak ekilde kaç türlü s -ralanabilir?
A) 288 B) 240 C) 220 D) 144 E) 120
2. 3 ö retmen, 5 ö renci aras ndan seçilen 1 ö ret-men ve 2 ö renci yanyana kaç de i ik biçimde foto raf çektirebilirler?
A) 120 B) 136 C) 140 D) 160 E) 180
3. Murat 6 arkada ndan 2 sini tiyatroya davet ede-cektir. Belli iki arkada birlikte olmak istemiyor-lar. Buna göre Murat 2 arkada n kaç de i ik ekilde seçer?
A) 6 B) 10 C) 14 D) 15 E) 20
4. 9 ki iden belli iki ki i ayn odada kalmamak ko u-lu ile bir oteldeki 4 ve 5 ki ilik iki odaya kaç de i-ik biçimde yerle ebilir?
A) 60 B) 62 C) 68 D) 70 E) 72
5. Bir çember üzerinde bulunan 7 nokta ile kö eleri bu noktalar olan kaç çokgen olu turulabilir?
A) 64 B) 72 C) 89 D) 99 E) 101
6. C(n + 1, 11 – n) = C(n + 1, 6) e itli ini gerçekleyen n de erlerinin çarp m a a dakilerden hangisi-dir?
A) 8 B) 12 C) 24 D) 40 E) 48
7. 5 k z ve 4 erkek aras ndan seçilen 3 k z ve 2 erkek yuvarlak masa etraf na erkekler yanyana olmak ko uluyla kaç de i ik biçimde oturabilir?
A) 720 B) 600 C) 540 D) 480 E) 240
8. 21 ki ilik bir grupta erkeklerden olu turulabilecek iki erli gruplar n say s k zlar n say s na e ittir.
Bu grupta kaç erkek vard r?
A) 6 B) 9 C) 12 D) 14 E) 15
Kombinasyon
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
236
1.A 2.E 3.C 4.D 5.D 6.D 7.A 8.A 9.B 10.C 11.D 12.E 13.A 14.E 15.E 16.C
9. 10 do rudan 2 tanesi bir A noktas nda kesi mi -tir. Di er do rulardan 3 tanesi paralel oldu una göre bu 10 do ru en fazla kaç noktada kesi ir?
A) 41 B) 42 C) 43 D) 44 E) 45
10.
d1
d2
d3
d4
d5 d6 d7 d8
d1 // d2 // d3 // d4 ve d5 // d6 // d7 // d8 oldu u-na göre, yukar daki ekilde kaç tane paralelkenar vard r?
A) 16 B) 20 C) 36 D) 40 E) 48
11. 8 kenarl bir konveks çokgenin kaç kö egeni var-d r?
A) 16 B) 18 C) 19 D) 20 E) 22
12. 6 s k z olan 11 ki ilik bir gruptan 4 ki ilik bir ekip olu turulacakt r. Grupta en az bir k z ö renci bu-lunmas ko uluyla kaç grup olu turulabilir?
A) 332 B) 330 C) 328 D) 326 E) 325
13. 6 farkl oyuncak her çocu a iki er tane verilmek üzere 3 çocu a kaç farkl ekilde da t labilir?
A) 90 B) 80 C) 72 D) 60 E) 54
14. 6 ki i her birinde en az bir ki i bulunan üç gruba kaç farkl ekilde ayr labilirler?
A) 72 B) 80 C) 90 D) 120 E) 180
15. A
B C
ekildeki üçgen üzerinde i aretlenmi 12 nokta-dan kaç farkl üçgen çizilebilir?
A) 190 B) 189 C) 188 D) 187 E) 186
16. A
B CD E K L MF
Yukar daki ekilde kaç üçgen vard r?
A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30
ES
EN
YAY
INLA
RI
237
TEST – 4
1. (ax – 2y2)6 aç l m nda kat say lar toplam 64 ise a n n alabilece i de erler toplam kaç olur?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. (3x – 2y)n aç l m nda 8 terim varsa, bu terimlerin kat say lar toplam kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
3. (x – 2y)7 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre aç l rsa, ba tan 4. terim ne olur?
A) –120x3y4 B) –120x4y3 C) –280x4y3 D) –240x4y3 E) –240x3y4
4. (2x – y2)6 ifadesi, x in azalan kuvvetlerine göre aç l rsa, sondan 3. terimin kat say s kaç olur?
A) 32 B) 48 C) 50 D) 58 E) 60
5. xx1–2
6c m ifadesinin aç l m nda ortadaki terim
nedir?
A) x10–
3 B)
x20–
3 C)
x30–
3
D) x20
3 E)
x30
3
6. xx2
138
+c m ifadesinin aç l m nda sabit terim kaç-
t r?
A) 167 B)
21 C)
169 D)
85 E)
1611
7. x
x1 – 26c m ifadesinin aç l m nda sabit terim
ba tan kaç nc terimdir?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
8. xxa–
8b l ifadesinin aç l m nda sabit terim 70 ise
a n n pozitif de eri kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Binom Aç l m
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
238
1.D 2.D 3.C 4.E 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 10.B 11.C 12.E 13.D 14.A 15.A 16.A
9. (x + y)16 ifadesinin aç l m nda kat say larn en büyük olan nedir?
) ) ) ) )A B C D E159
168
167
169
158
d d d d dn n n n n
10. (vx + x)6 ifadesinin aç l m nda x5 li terim ba tan kaç nc terimdir?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
11. (x + y)n ifadesinin aç l m nda x4 lü terimin kat sa-y s 5 ise y3 lü terimin kat say s kaçt r?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15
12. (x2 – 2y)n aç l m ndaki terimlerden biri Ax6y2 ise A kaçt r?
A) 112 B) 102 C) 80 D) 60 E) 40
13. (x2 + vx)8 ifadesinin aç l m nda terimlerden biri 7ax7 dir. Buna göre a kaçt r?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) 3
14. xx
241–5
2
10c m = 210.x50 + ..... + K.x29 + .....
e itli inde K kaçt r?
A) –240 B) –216 C) –196 D) –172 E) –150
15. (2x2 + y2)n aç l m yap ld nda bir terim,
A.x6.y18 oldu una göre A kaçt r?
A) 8129d n B)
129d n C)
128d n
D) 6128d n E)
1412d n
16. (1 – 23 )6 ifadesinin aç l m düzenlenirse olu an rasyonel terim kaç olur?
A) –35 B) –34 C) –33 D) –32 E) –31
ES
EN
YAY
INLA
RI
239
TEST – 5
1. Bir s n fta 5 siyah 4 k rm z 3 beyaz elbiseli ö -renci vard r. Rastgele seçilen iki ö rencinin ikisi-nin de k rm z elbiseli olma olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E51
61
71
101
111
2. 40 mevcutlu bir s n ftaki ö rencilerin 14 tanesi matematikten, 20 tanesi kimyadan ba ar l ol-mu tur. 10 ö renci de hem matematik hem de kimyadan ba ar l ise rastgele seçilen 1 ö ren-cinin matematik veya kimyadan ba ar l olmas olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E103
107
54
53
52
3. s(A) = 3 ve s(B) = 3 olmak üzere A dan B ye ta-n ml fonksiyonlardan biri rastgele al n rsa, bunun bire bir ve örten bir fonksiyon olma olas l kaç-t r?
) ) ) ) )A B C D E91
92
31
94
95
4. Bir zar n iki yüzü beyaz, bir yüzü mavi, üç yüzü sar ya boyanm t r. Bu zar üç kez at ld nda, bi-rinci ve ikinci at larda beyaz, üçüncü at ta mavi gelme olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E271
481
541
601
721
5. Bir torbada 5 mavi, 3 beyaz bilye vard r. Bir zar at l p torbadan bir bilye çekildi inde; zar tek say gelirse beyaz bilye, zar asal say gelirse, mavi bilye çekme olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E21
31
41
51
61
6. 20 den 100 e kadar olan (20 ve 100 dahil) do al say lar içerisinden rastgele seçilen bir say n n 6 veya 8 ile tam bölünen bir say olma olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E8119
8120
10019
277
10021
7. ki torbadan birincisinde 2 sar 4 beyaz, ikincisin-de 3 sar 5 beyaz bilye vard r. Rastgele seçilen bir torbadan al nan bir bilyenin sar oldu u bili-niyorsa, 2. torbadan al nm olma olas l kaç olur?
) ) ) ) )A B C D E179
178
176
174
161
8. Bir yar A n n kazanma olas l 52
B nin kazanmama olas l 31 tür.
A ve B den sadece birinin kazanma olas l kaç-t r?
) ) ) ) )A B C D E52
157
158
53
32
Olas l k
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
240
ES
EN
YAY
INLA
RI
1.E 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.A 8.C 9.B 10.A 11.A 12.A 13.D 14.A 15.A 16.C
9. Bir torbada üzerinde 1 den 10 a kadar numara-lar bulunan 10 top vard r. Bu torbadan seçilecek üç topun üzerindeki say lar n toplam n n çift olma olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E32
21
31
41
51
10. 5 k z ve 4 erkek ö rencinin bulundu u bir grup-ta 3 ve 4 ki ilik iki ayr grup olu turulacakt r. Gruplarda k zlar n ve erkeklerin bir araya gelme-me olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E421
211
4217
4231
4241
11. 7 evli çift aras ndan rastgele seçilen iki ki inin kar -koca olma olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E131
111
91
71
51
12. 4 k rm z , 2 sar , 3 lacivert bilye bulunan bir torba-dan ayn anda 3 bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin içinde en az bir k rm z bilye olma olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E4237
4337
4336
4940
4943
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanl alt kü-melerinden biri rastgele seçildi inde bu kümenin elemanlar aras nda 5 in bulunma olas l kaç olur?
) ) ) ) )A B C D E43
54
65
32
31
14. Bir yar mada A, B, C ki ileri yar acakt r. A n n kazanma olas l B nin kazanma olas l n n 3 kat , C nin kazanma olas l n n yar s ise bu ya-r A veya B nin kazanma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E52
21
53
97
94
15. ALPAY sözcü ündeki harflerin yerleri de i tirile-rek olu turulan 5 harfli sözcüklerden biri rastge-le seçiliyor. Bu sözcü ün PA ile ba layan sözcük olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E101
51
103
52
21
16. Bir torbada 3 tanesi beyaz olan bir miktar beyaz ve k rm z bilye vard r. Bu torbadan, çekilen geri torbaya konmamak ko uluyla art arda iki bilye seçildi inde birincisinin beyaz, ikincisinin k rm z olma olas l
41 ise bu torbada kaç tane k rm z
bilye olabilir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
ES
EN
YAY
INLA
RI
241
TEST – 6
1. ÖNDER sözcü ündeki harflerin yerleri de i tirile-rek olu turulan 5 harfli sözcüklerden biri rastgele seçildi inde bu sözcü ün D harfiyle ba lama ola-s l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E21
52
51
61
81
2. 36 ki ilik bir sporcu grubunda 25 ki i futbol veya basketbol oynuyor. 20 ki i futbol, 4 ki i her iki oyunu oynamaktad r. Rastgele seçilen bir spor-cunun basketbol oynuyor olmas olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E51
41
31
21
32
3. 28 ki ilik bir s n fta sadece ngilizce konu abilen 8 ki i, Frans zca konu abilen 16 ki i bulunuyor.
S n ftan rastgele seçilen birinin ngilizce veya Frans zca konu amayan biri olma olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E31
41
51
61
71
4. Bir torbada 5 siyah, 3 k rm z , 2 beyaz bilye var-d r. Torbadan art arda, geri konmamak üzere 3 bilye çekildi inde birinci ve ikincinin beyaz, üçün-cünün k rm z gelmesi olas l a, torbadan rast-gele 3 bilye birden çekildi inde ikisinin beyaz, di-
erinin k rm z olma olas l b oldu una göre,
ba oran nedir?
) ) ) ) )A B C D E21
31
41
51
61
5. Bir torbada 6 k rm z ve 4 beyaz bilye vard r.
Torbadan rastgele seçilen 4 bilyeden en az biri-nin k rm z olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E210139
210203
105103
105104
210209
6. Üzerinde 1 den 15 e kadar numaralar bulunan 15 kart bir torbaya konuyor. Torbadan rastgele al -nan 2 kart n üzerindeki say lar n çarp m n n asal say olma olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E356
71
354
353
352
7. Bir at c hedefe arka arkaya üç at yapacakt r.
I. at nda hedefi vurma olas l % 25
II. at nda hedefi vurma olas l % 40
III. at nda hedefi vurma olas l % x
Bu at c n n hedefi üçünde de vurmama olas l
259 oldu una göre x kaçt r?
A) 10 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30
8.
K
L
M
A B C D E F
ekildeki yar m çemberin çap [AF] dir.
Verilen noktalardan rastgele seçilen üç noktan n bir üçgenin kö eleri olma olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E4241
4237
1411
2116
4229
Olas l k
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
242
1.C 2.B 3.E 4.B 5.E 6.E 7.C 8.D 9.C 10.D 11.C 12.D 13.C 14.A 15.B 16.A
9. K z ve erkeklerden olu an 7 ki ilik bir grup yan-
yana bir s raya oturdu unda k zlar n bir araya
gelme olas l 71 ise bu grupta kaç erkek vard r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
10.
A B
CD
E F
100
Dikdörtgen biçimindeki ABCD arsas n n ayr tlar 80 m ve 100 m |DE| = |EA| ve |CF| = |FB| dir.
E den F ye EF do rultusunda hareket eden biri-nin görü mesafesi 30 m oldu una göre, bu ki-inin arsan n içindeki bir noktay görme olas l
kaçt r?
) 5 ) ) ) )A B C D E6 5
453
43
52
11. Bir para 6 kez üst üste at l yor. 2 yaz , 4 tura gelme olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E6413
327
6415
41
6417
12. Farkl m çift eldiven aras ndan 2 tanesi seçiliyor.
Bu seçilen eldivenlerin birbirlerinin e i olmama
olas l 1514 oldu una göre m kaçt r?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
13.
A
B
C
Yukar daki ekil 30 e kareden olu mu tur.
A noktas ndan B noktas na olan en k sa yollar n C den geçme olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E23125
23130
231100
231150
231200
14. ki torbadan birincisinde 2 sar , 5 beyaz, ikincisin-de 3 sar , 4 beyaz bilye vard r. Birinci torbadan bir bilye rastgele al n p ikinci torbaya at l yor ve ikinci torbadan bir bilye çekiliyor. Bu bilyenin sar olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E5623
2811
83
145
5619
15. 24 ki ilik bir s n fta 10 k z ö renci vard r. K zlar n 4 ü erkeklerin 6 s gözlüklüdür. Bu s n ftan rast-gele bir ki i seçildi inde k z veya gözlüklü olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E43
32
52
31
41
16. Bir torbadaki sar ve mavi bilyelerin toplam say -s 7 dir. Bu torbadan çekilen iki bilyeden birinin
sar di erinin mavi olma olas l 74 ise torbada-
ki mavi bilyelerin say s ile sar bilyelerin say lar fark kaç olabilir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ES
EN
YAY
INLA
RI
243
TEST – 7
1. Bir marketin 2011 y l n n 1. yar s ndaki aylara göre, kâr-zarar durumu a a daki grafikte veril-mi tir.
18000
15000
12000
9000
6000
3000
0
Miktar (TL)
KârZarar
Oca
k
ubat
Mar
t
Nis
an
May
›s
Haz
iran Aylar
Grafi e göre, bu marketin kâr-zarar durumu a a-dakilerden hangisidir?
A) 3000 TL kâr B) 9000 TL kâr
C) 3000 TL zarar D) Ne kâr, ne de zarar
E) 9000 TL zarar
2. Bir ülkede üretilen kömür miktarlar n n cinslerine göre oranlar a a daki grafikte verilmi tir.
Linyit
Ta kömürüKok
Yaln zca bu grafikten yararlanarak a a daki bil-
gilerden hangisine kesinlikle ula labilir?
A) Üretim miktar az oldu u için en pahal kömür
koktur.
B) Linyit üretim miktar , toplam kömür üretim
miktar n n yar s ndan azd r.
C) Bu ülkedeki kömür üretiminde ta kömürünün
maddi de eri en yüksektir.
D) Kok ve ta kömürü üretim miktarlar toplam ,
linyit üretim miktar ndan azd r.
E) Kok kömürünün elde edilmesi daha masrafl
bir süreçtir.
3.
1995 2000 2005 2010
40
30
20
10
0
Nüfus (milyon ki i)
Y›llar
ErkekKad›n
Grafikte bir ülkedeki kad n-erkek nüfusunun 4
nüfus say m na göre de i imi gösterilmi tir.
I. 2000 y l say m nda erkek nüfusu bir önceki
say ma göre artmam t r.
II. Toplam nüfustaki art oran en yüksek 2000-
2005 y llar aras nda olmu tur.
III. Kad n say s , erkek say s n hiç geçmemi tir.
IV. 2010 y l ndaki kad n/erkek say lar oran 1995
y l ndaki orana e ittir.
Yukar daki ifadelerin Do ru(D) ve Yanl (Y)
olarak s ralamas a a dakilerden hangisidir?
A) D – D – D – Y B) D – Y – D – Y
C) D – Y – D – D D) Y – Y – D – Y
E) D – D – D – D
4. Bir i yerinde çal an 8 ki i A ve B diye iki gruba ayr lm t r. Bu ki ilerin isimleri ve maa lar n gös-teren tablo a a da gösterilmi tir.
B grubu Maa (TL)
Derya 1.400
Selma 1.800
Fatma 1.500
Soner 2.100
A grubu Maa (TL)
Hülya 1.800
Ümit 1.600
lhami 3.200
Turan 2.600
A ve B gruplar ndaki hangi iki ki i yer de i tirirse
gruplardaki maa lar n ortalamas e it olur?
A) lhami ile Soner B) Turan ile Derya
C) Hülya ile Derya D) lhami ile Selma
E) Turan ile Selma
statistik
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
244
1.D 2.D 3.B 4. B 5.D 6.A 7.E 8.E
5.
120°
60°80°
2000
60°
2010
61 ekran
67 ekran
106 ekran
51 ekran
60°
Dairesel grafiklerde, 2000 ve 2010 y l ekranla-
r na göre TV sat oranlar verilmi tir. 106 ekran
TV sat ndaki de i im için ne söylenebilir?
A) 2000 y l na göre % 90 artm t r.
B) 2010 y l daire grafi indeki merkez aç s 120°
olmu tur.
C) Toplam sat içindeki pay 41 oran nda art-
m t r.
D) 2010 y l sat lar , 2000 y l na göre % 150 art-
m t r.
E) 2000 y l nda 61 l k paya sahipken, 2010 y l n-
da 31 lük paya sahip olmu tur.
6. 3 tane 11. s n f bulunan bir okuldaki ö rencilerin s n flara da l m a a da sütun grafi i ile göste-rilmi tir.
24
20
16
12
8
4
0
Ö¤renci say›s›
S›n›flar11–A 11–B 11–C
B
C
A
E
D
Erkek
K›z
Bu s n flar aras ndan seçilecek 11. s n f temsil-
cisinin k z veya 11-C s n f ndan olma olas l 32
oldu una göre, 11-C s n f ndaki k z ö renci say -
s na hangi harf kar l k gelir?
A) A B) B C) C D) D E) E
7.
32028024020016012080400
Yukar daki grafikte bir veri grubuna ait kutu grafi-
i verilmi tir. Buna göre, a a dakilerden hangisi
yanl t r?
A) Alt uç de er 40 t r.
B) Medyan 160 t r.
C) Veri grubunun aral k (geni li i) de eri 280 dir.
D) Üst çeyrek de eri 280 dir.
E) Çeyrekler aç kl 160 t r.
8. A a daki grafikte bir i letmenin 2005-2010 y lla-r aras ndaki gelir-gider durumlar gösterilmi tir.
100
80
60
40
20
0
Para (bin TL)
Y›llar2005 2006 2007 2008 2009 2010
Gelir Gider
Grafi e göre, bu i letme için a a da verilen bil-
gilerden hangisi yanl t r?
A) 2008 y l nda kâr etmemi tir.
B) En yüksek kâr 2010 y l nda yapm t r.
C) 2006 y l nda, 2005 e göre geliri artmam
fakat kâr artm t r.
D) 2008-2009 aras nda zarar etmi tir.
E) Bu y llar içindeki toplam kâr 140 bin TL dir.
ES
EN
YAY
INLA
RI
245
TEST – 8
1.
5
4
3
2
1
0
Otobüs say›s›
Zaman (dk)
06.3
1-07
.00
07.0
1-07
.30
07.3
1-08
.00
08.0
1-08
.30
08.3
1-09
.00
09.3
1-10
.00
Yukar daki histogramda 06.31-10.00 saatleri ara-
s nda bir dura a gelen otobüs say lar verilmi tir.
Grafi e göre, a a dakilerden hangisi do rudur?
A) Otobüslerin % 25 i, 08.01-08.30 zaman aral -
nda dura a gelmi tir.
B) 07.31-08.00 dilimindeki otobüs say s bir
önceki zaman dilimine göre % 40 artarak 5
olmu tur.
C) 07.31-10.00 zaman aral nda yakla k olarak
10 dakikada bir otobüs dura a gelmi tir.
D) Otobüs say lar n n ortalamas ve medyan
birbirine e ittir.
E) 09.31-10.00 dilimindeki otobüs say s bir ön-
ceki dilimin % 75 ine dü mü tür.
2.
12
10
8
6
4
2
0
Ö¤renci say›s›
A¤›rl›k (kg)50-55 56-61 62-67 68-73 74-79 80-85
Yukar daki grafikte 12–C s n f ndaki ö rencile-rin a rl klar gösterilmi tir. 68-73 kg aral nda kalan ö renci say s , tüm s n f n % 10 u oldu una
göre, s n f n mevcudu kaç ki idir?
A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44
3.
14
8
10
H z (m/s)
Zaman (s)
4
AB
0
ekilde A ve B araçlar na ait h z-zaman grafi i
verilmi tir. Kaç nc saniyede h zlar fark 10 m/s
olur?
A) 40 B) 35 C) 30 D) 25 E) 20
4. 20 ki ilik bir s n fta fizik dersi y l sonu notlar a a-da verilmi tir.
62, 56, 82, 50, 78, 54, 60, 88, 77, 62, 74, 95, 80, 52, 92, 60, 86, 74, 58, 71
Sütun grafi i çizmek için bu verileri 9 alt gruba
ay rmak istersek alt grubun geni li i kaç olur?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 9
5. 120 ö rencinin kat ld 1. YGS deneme s na-v nda ö rencilerin matematik netlerinden olu an tablo a a da verilmi tir.
Matematik Netleri Ö renci Say s
0 – 10 10
11 – 20 20
21 – 30 60
31 – 40 30
Bu verilerle olu turulan dairesel grafikte, 31-40
net yapan ö renci say s na kar l k gelen daire
diliminin merkez aç s n n ölçüsü kaç derecedir?
A) 30 B) 36 C) 60 D) 90 E) 108
statistik
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
246
1.E 2.C 3.B 4.C 5.D 6.E 7.C 8.C 9.B 10.E 11.A
6. Bir k rtasiyecinin 4 çe it kalem için sat fiyatlar ve bunlara ait elde etti i kârlar a a daki grafikte gösterilmi tir.
12.5
10.0
7.5
5.0
0
Kâr (TL)
Sat fiyat (TL)10 15 20 25
I. tip II. tip III. tip IV. tip
Grafi e göre, a a dakilerden hangisi yanl t r?
A) III. tip ve IV. tip kalemlerden ayn oranda kâr
etmi tir.
B) En yüksek kâr oran I. tip kalem içindir.
C) En dü ük kâr yüzdesi II. tip kalem içindir.
D) II. tip bir kalemin al fiyat , III. tip bir kalemin
al fiyat na e ittir.
E) IV. tip kalem için, al fiyat na göre kâr yüzde-
si 50 dir.
7.
120°
K›yafet
Kitap100TL
Yemek200TL
Yol120TL
Yukar daki dairesel grafik bir lise ö rencisinin ay-
l k giderlerini göstermektedir. Bu ö rencinin ayl k
giderlerinin tamam kaç TL dir?
A) 420 B) 540 C) 630 D) 720 E) 840
8. Ortalamas 50 ve varyans 36 olan bir ö renci notu grubunda, notu 68 olan bir ö rencinin stan-
dart z notu kaçt r?
A) 2 B) 2.5 C) 3 D) 3.5 E) 4
9.
Or r2r 2r
C
B DA E
ekilde BCD)
, O merkezli yar m çemberdir.
A noktas ndan harekete ba layarak,
A B C D noktalar ndan E noktas na
gelen hareketlinin, hareketi süresince O nokta-
s na uzakl n gösteren grafik a a dakilerden
hangisidir?
3r
2r
r
X
t
A)3r
2r
r
X
t
B)
3r
2r
r
X
t
C)3r
2r
r
X
t
D)
3r
2r
r
X
t
E)
10. A a dakilerden hangisi kesikli de i kendir?
A) Kan ekeri düzeyi B) Suyun s cakl
C) Boy uzunlu u D) A rl k
E) l plaka numaralar
11. Ortalamas 75, standart sapmas 5, standart z
notu 2 olan bir ö rencinin ald not kaçt r?
A) 85 B) 80 C) 75 D) 70 E) 65
ES
EN
YAY
INLA
RI
247
TEST – 9
1.
400
300
200
100
0
Nükleotit Say s
G S A TNükleotit Çe itleri
Bir DNA molekülünde Adenin (A) nükleotit sa-y s , Timin (T) nükleotit say s na ve Guanin (G) nükleotit say s , Sitozin (S) nükleotit say s na e it olmak zorundad r. Yukar da verilen grafikte be-lirtilen nükleotitlerin bulundu u bir ortamda üreti-lecek bir DNA molekülü en fazla kaç nükleotide sahip olabilir?
A) 400 B) 500 C) 600 D) 700 E) 800
2. Bir ailenin ayl k har-
%30
%30
%25
Kira
E¤itim
YiyecekgiyecekE¤lence
camalar n n tüm harcamalar na oran-lar yandaki grafikte
verilmi tir.
E lence için harca-
mas 150 TL olan bu
ailenin ayl k harcamalar toplam kaç TL dir?
A) 750 B) 850 C) 900 D) 1000 E) 1150
3. A a dakilerden hangisi yanl t r?
A) Da l m ölçüleri, verilerin de i kenli ini gös-
terir.
B) Varyans ve standart sapma da l m ölçüleri-
dir.
C) Varyans n ölçüm birimi, de i kenin ölçüm
birimidir.
D) Standart sapman n ölçüm birimi, de i kenin
ölçüm birimidir.
E) Ortalama, merkezi e ilim ölçüsüdür.
4. Ankara’da Mart ay n n ilk haftas na ait günlük hava s cakl klar a a daki grafikte gösterilmi tir.
S cakl k (°C)
Günler
6
4
3
0
–21 2 3 75 64
ABCDE
Bu haftaya ait hava s cakl ortalamas 3°C oldu-
una göre, grafik 7. gün hangi noktadan geçer?
A) A B) B C) C D) D E) E
5. Yandaki silindirik tank n
h
h
A
•
•
r
2r
altta bulunan silindirinin
yar çap 2r, yüksekli i h
t r. Üstteki silindirinin ise
yar çap r, yüksekli i h t r.
Sabit debili A muslu u
aç ld ktan sonra tanktaki
su seviyesini zamana
kar gösteren grafik a a-
dakilerden hangisidir?
2h
t
A)
h
2t 3t 4t 5t
2h
t
B)
h
2t 3t 4t 5t
2h
t
C)
h
2t 3t 4t 5t
2h
t
D)
h
2t 3t 4t 5t
2h
t
E)
h
2t 3t 4t 5t
Su seviyesi (m)
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
Zaman (dk)
Su seviyesi (m)
Zaman (dk)
statistik
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
248
1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.D 9.D 10.C 11.D
6. A a da üç atletin 200 m ko usunda zamana kar ko tuklar mesafeyi gösteren çizgi grafik ve-rilmi tir.
200
150
100
50
0
Ko ulan mesafe (m)
Zaman (sn)
Ali
Veli
Selami
5 10 15 20
Grafikteki bilgilere göre, yar la ilgili yap lan yo-
rumlardan hangisi yanl t r?
A) Yar Veli kazanm t r.
B) Yar a en h zl ba layan Selami’dir.
C) Veli tüm yar boyunca sabit h zla ko mu tur.
D) 150. metrede üçü yanyana gelmi lerdir.
E) Ali sürekli artan bir tempo ile ko mu tur.
7. Bir liseden mezun olan 180 ö rencinin üniversi-teye giri s nav nda ald MF4 puanlar a a da tablo halinde verilmi tir.
Puan: x Ö renci Say s
x < 300 36
300 x < 350 50
350 x < 400 64
400 x 30
Bu verilere uygun daire grafi i çizildi inde, en
büyük merkez aç ile en küçük merkez aç n n
fark kaç derecedir?
A) 68 B) 56 C) 40 D) 28 E) 12
8. 7, 4, 8, 6, 5, 12, x
say lar ndan olu an veri grubunun ortalama, mod ve medyan de erinin ayn olmas için x kaç ol-
mal d r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
9. A a dakilerden hangisi merkezi e ilim ölçüsü-dür?
A) Varyans B) Aral k
C) Standart sapma D) Medyan
E) Varyasyon kat say s
10.
14131211109876543210
Yukar da kutu grafi i verilen, veri gurubu a a -
dakilerden hangisi olabilir?
A) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14
B) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 14
C) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 14
D) 1, 2, 4, 5, 5, 8, 10, 14
E) 2, 3, 4, 5, 5, 8, 10, 10
11. Bir s n fta bulunan 15 ö renciye ayakkab numa-ralar sorulmu ve a a daki çetele elde edilmi -tir.
38 :
39 :
40 :
41 :
Bu veriler için a a dakilerden hangisi yanl t r?
A) Modu 41 dir.
B) Medyan 40 t r.
C) Aritmetik ortalamas 40 tan küçüktür.
D) Aç kl 2 dir.
E) lk çeyrek de eri 39 dur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
249
TEST – 10
1. 6 farkl kitaptan 4 tanesi üst rafa, 2 tanesi alt rafa kaç türlü s ralanabilir?
A) 320 B) 600 C) 720 D) 900 E) 1440
2. 2! + 3! + 4! + ..... + 20! toplam nda, faktöriyeli al nm her say 1 art r l r-
sa toplam n sonucu ne kadar artar?
A) 21! B) 21! + 1 C) 21! – 1 D) 21! – 2 E) 21! + 2
3. 8 televizyon program ndan 3 tanesi ayn saatte yay nlanmaktad r. Bu programlardan iki tanesini izlemek isteyen biri kaç de i ik seçim yapabilir?
A) 30 B) 25 C) 24 D) 20 E) 18
4. A = {1, 2, 3, 5, 7} kümesinin elemanlar n kulla-narak rakamlar farkl , 5 basamakl , 4 ile bölüne-bilen kaç say yaz labilir?
A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30
5. 12334 say s n n rakamlar yer de i tirilerek 4 basamakl kaç say yaz labilir?
A) 72 B) 68 C) 64 D) 60 E) 52
6. En çok 2 elemanl 16 tane alt kümesi olan bir kü-menin, 2 elemanl kaç alt kümesi vard r?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7. P(n+1, 2) – C(n+2, n+2) = C(n+2, 3) + C(n+3, 0) e itli ini sa layan n kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8.
A
B C
D
E
FK
L
MN
Yukar daki ekilde L, M, N ve D do rusald r. Kö eleri verilen 10 nokta olan en çok kaç üçgen
çizilebilir?
A) 116 B) 115 C) 114 D) 113 E) 112
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
250
1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.E 7.C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.C 13.E 14.E 15.A 16.E
9. 6 ki inin kat ld bir s navda 2 ki inin ba ar s z, 4 ki inin ba ar l olmas durumu kaç farkl ekilde gerçekle ebilir?
A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18
10. Kenar uzunluklar farkl ve herhangi iki kenar ça-k k olmayan 5 kare en fazla kaç noktada kesi-ir?
A) 80 B) 75 C) 72 D) 70 E) 64
11. yx
xy
–2 2
6d n ifadesinin aç l m nda yx
9
3 içeren teri-
min kat say s kaçt r?
A) –18 B) –12 C) –6 D) 6 E) 12
12. (x + y + z)9 aç l m nda olu acak terimlerden kaç tanesinde y5 bulunur?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
13. Madeni bir para 3 defa at ld nda en az 1 kez tura gelme olas l kaç olur?
) ) ) ) )A B C D E81
41
83
85
87
14. ki zar birlikte at l yor. Gelen zarlar n üzerinde-ki say lar n toplam n n 6 oldu u bilindi ine göre, zarlardan birinin 2 olma olas l kaç olur?
) ) ) ) )A B C D E76
65
54
53
52
15. Üç yar mac n n, bir yar kazanma olas l klar
, ve52
61
85 dir.
Bu yar mac lardan en az birinin yar kazanma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E1613
87
1615
1211
2423
16. 112334 say s n n rakamlar ile olu turulan 6 ba-samakl say lardan bir tanesi rastgele seçilirse bu say n n 1 ile ba lay p 4 ile bitme olas l kaç olur?
) ) ) ) )A B C D E52
103
51
101
151
ES
EN
YAY
INLA
RI
251
TEST – 11
1. 38! + 30! – 1 say s n n sondan kaç basama 9
dur?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
2. !51215 say s n n sondan kaç basama s f rd r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Bir torbada 3 beyaz, 5 mavi ve 8 k rm z bilye var-
d r. Bu torbadan renklerine bak lmadan en az kaç
bilye al nmal d r ki kesinlikle her renkten 2 er
tane bilye al nm olsun?
A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11
4. 3P(n, 2) – 2P(n+1, 2) = 6 e itli ini sa layan n
kaçt r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
5. Bir turnuvada tak mlar kendi aralar nda birer maç yapm lard r. Toplam 36 maç oynand na göre turnuvaya kaç tak m kat lm t r?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
6. ki elemanl 21 tane alt kümesi olan bir kümenin,
en az iki elemanl kaç tane alt kümesi vard r?
A) 57 B) 120 C) 125 D) 126 E) 127
7. A = {a, b, c, d, e} kümesinin üçlü permütasyon-
lar n n kaç tanesinde a veya b bulunur?
A) 53 B) 54 C) 56 D) 58 E) 60
8. {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlar n kullana-
rak üç basamakl , iki veya üç basama ayn olan
kaç tek say yaz labilir?
A) 40 B) 42 C) 48 D) 50 E) 52
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
252
1.B 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7. B 8. B 9.A 10.D 11.C 12.A 13.D 14.E 15.B 16.D
9. 4 k z ve 5 erkek ö renci k zlar n tümü bir arada
olmayacak ekilde bir s raya yan yana kaç türlü
oturabilirler?
A) 480.6! B) 1360.6! C) 480.5!D) 360.5! E) 120.6!
10. A = { –3, –2, –1, 0, 1, 2 } kümesinin üç elemanl
alt kümelerinden kaç tanesinin elemanlar çarp -
m bir negatif tam say ya e ittir?
A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
11. (2x – vx)6 ifadesinin aç l m nda ortadaki terim
a a dakilerden hangisidir?
A) –240x4vx B) –160x3vx
C) –160x4vx D) 160x4vx
E) 240x4vx
12. (x2 – 2y2)n aç l m nda terimlerden biri Ax4y8 ise
A kaçt r?
A) 240 B) 220 C) 200 D) 180 E) 120
13. xx
2 129
+c m aç l m nda sabit terim kaçt r?
A) 924 B) 884 C) 744 D) 672 E) 596
14. A = {x : 0 < x < 100, x N} kümesinin eleman-
lar olan say lar n herbirinin rakamlar tek tek ke-
silerek birer karta yaz l yor. Bu kartlardan rastge-
le biri al nd nda kart n üstünde yazan say n n 5
olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E18914
18917
634
627
18920
15. Bir çember üzerinde bulunan 5 nokta ile olu -
turulmu , çokgenlerden biri rastgele seçildi inde
bunun üçgen olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E21
85
43
54
87
16. Farkl 7 çift ayakkab dan seçilen iki ayakkab n n
bir çift olu turmama olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E451
261
562
1312
421
ES
EN
YAY
INLA
RI
253
TEST – 12
1. Bir zar art arda iki kez at ld nda gelen say lar n ard k olma olas l nedir?
) ) ) ) )A B C D E185
31
95
3617
3619
2. Aralar nda Elif ve Arman’ n da bulundu u 10 ki i-lik bir grupta herkes birbiri ile tokala acakt r.
lk tokala acak iki ki inin Elif ve Arman olma ola-s l nedir?
) ) ) ) )A B C D E451
452
151
454
91
3. x pozitif tam say olmak üzere 2x say lar içinden seçilen bir say n n 2 ile biten bir say olma olas -l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E21
31
41
61
81
4. 1 den 100 e kadar (1 ve 100 dahil) olan say lar aras ndan seçilen iki say dan birinin di erinin iki kat olmas olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E91
991
253
174
85
5. A = { Ç, A, R, P, I, M } kümesinin elemanlar n bir kez kullanarak olu turulabilecek 6 harfli sözcük-lerin kaç tanesinde sesli harfler alfabedeki s rala-r na göre yer al r?
A) 180 B) 240 C) 300 D) 360 E) 420
6. Suat ile Seçkin’in de bulundu u 7 ki i bir s rada, Suat ile Seçkin aras nda hep 3 ki i olacak ekilde kaç farkl biçimde oturabilirler?
A) 180 B) 360 C) 420 D) 600 E) 720
7. d1
d2
A B C
D E GF
d1 // d2 olmak üzere, d1 üzerinde 3 ve d2 üze-rinde 4 nokta vard r. Kö eleri verilen bu 7 nok-tadan herhangi üçü olan üçgenler içinden seçilen bir üçgenin bir kö esinin A olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E154
31
52
157
158
8. Ali ve Bar bir madeni para ile oyun oynuyorlar. Tura atan oyunu kazanacakt r. Paray ilk kez Ali ataca na göre, oyunu Bar ’ n kazanma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E32
21
31
41
81
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
254
1.A 2.A 3.C 4.B 5.D 6.E 7.D 8.C 9.D 10.D 11.E 12.A 13.A 14.B 15.C 16.D
9. ki zar birlikte at ld nda zarlardan en az biri-nin 4 geldi i bilindi ine göre, toplamlar n n 6 dan büyük olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E61
31
21
32
65
10. Bir kap y açmak için denenen 5 anahtardan yal-n z biri bu kap y açabilmektedir. Anahtarlar s -rayla denerek kap aç lmaya çal l rsa en çok ikinci denemede kap n n aç lmas olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E259
254
53
52
51
11.
A B
CD
1 1 1 1 1
1
1
1
Üsteki ekilde alan 1 br2 olan 15 tane kare var-d r. Buna göre, ekilde olu an dikdörtgenler için-den rastgele birisi boyan rsa, bu boyal dikdörtge-nin kare olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E51
92
4511
154
4513
12. 4 madeni para ayn anda at ld nda 3’ünün yaz , birinin tura gelme olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E41
81
83
161
163
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanlar ndan ikisi rastgele seçiliyor. Seçilen bu iki say n n çar-p m n n çift say olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E75
74
73
72
71
14. Farkl 6 çift ayakkab aras ndan rastgele seçilen 1 çift ayakkab n n birbirinin e i olma olas l kaç-t r?
) ) ) ) )A B C D E121
111
112
61
31
15. Fatih ve Mehmet poligonda ayn hedefe birer kez
ate etmi lerdir. Fatih’in hedefi vurma olas l 32
ve Mehmet’in hedefi vurma olas l 43 ise hede-
fin yaln z bir kez vurulmu olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E127
31
125
21
1712
16. Anne, baba ve 4 çocu un bulundu u bir aile yu-varlak masa etraf nda oturacaklard r. Buna göre, anne ile baban n yan yana oturmama olas l klar kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E61
65
52
53
54
255
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 1990 – ÖYS
S f rdan ve birbirinden farkl A, B, C, D rakamla-r n n yerleri de i tirilerek elde edilen dört basa-makl 24 say toplan yor. Bu toplam için a a da-kilerden hangisi kesinlikle do rudur?
A) 6 ile bölünebilir.
B) 9 ile bölünebilir.
C) 14 ile bölünebilir.
D) Tek say d r.
E) Be basamakl bir say d r.
2. 1990 – ÖYS
x
x2 – 27c m nin aç l m nda x8 li terimin kat say s
kaçt r?
A) 84 B) 48 C) 28 D) – 48 E) –84
3. 1990 – ÖYS
A B C D E
ekildeki A, B, C, D, E noktalar bir do ru ve ay-r ca C, D noktalar bir çember üzerindedir.
Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki nokta-dan yaln z birinin çembere ait olma olas l kaç-t r?
) ) ) ) )A B C D E32
52
53
65
107
4. 1991 – ÖYS
n elemanl bir kümenin r li bütün kombinas-yonlar n n (kombinezonlar n n) say s C(n, r) ile gösterildi ine göre, C(n, 2) + C(n, 3) = 4C(n, 1) e itli inde n kaç olmal d r?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
5. 1992 – ÖYS
Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vard r. Ayn anda çekilen 2 bilyeden birinin beyaz öbürünün siyah olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E61
111
112
334
335
6. 1995 – ÖYS
8 ki ilik bir gruptan 5 ki ilik kaç de i ik tak m ku-rulabilir?
A) 336 B) 224 C) 168 D) 112 E) 56
7. 1995 – ÖYS
Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vard r.
Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin beyaz, di er ikisinin siyah olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E103
193
154
145
135
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
256
8. 1996 – ÖSS
d1
d2
A B C
D E F G H
A, B, C d1
D, E, F, G, H d2
Yukar daki ekilde d1 // d2 oldu una göre, kö-eleri bu 8 noktadan (A, B, C, D, E, F, G, H) her-
hangi üçü olan kaç üçgen çizilebilir?
A) 45 B) 48 C) 52 D) 56 E) 72
9. 1996 – ÖYS
xx12
6+c m ifadesinin aç l m ndaki sabit terim kaç-
t r?
A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22
10. 1997 – ÖYS
(x2 – 2y2)n aç l m nda x4y4 lü terimin kat say s kaçt r?
A) – 48 B) –24 C) 12 D) 24 E) 48
11. 1997 – ÖYS
A torbas nda 3 beyaz, 4 k rm z ; B torbas nda 5 beyaz, 2 k rm z top vard r. Ayn anda her iki torbadan birer top al n yor ve öteki torbaya (A tor-bas ndan al nan B ye, B torbas ndan al nan A ya) at l yor.
Bu i lemin sonucunda torbalardaki k rm z ve beyaz top say lar n n ba lang çtakiyle ayn olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E4918
4919
4920
4922
4923
12. 1998 – ÖYS
(3x + 2y)23 ün aç l m nda ba tan 11. teriminin kat say s kaçt r?
A) 210.313 C(23, 10)
B) 211.312 C(23, 11)
C) 211.312 C(23, 12)
D) 212.311 C(23, 12)
E) 213.311 C(23, 11)
13. 1998 – ÖYS
Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane ye il mendil var-d r. Bu torbadan, geri at lmamak ko ulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekili in birincisinde mavi, ikincisinde de ye il mendil çekme olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E1270
4920
4510
2110
215
14. 1999 – ÖSS
Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri e kenar üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yü-zünde de T harfleri yaz l d r. Bu düzgün dörtyüz-lü bir kez at ld nda yan yüzlerinde, s ras na ve yönüne bak lmaks z n A, T, A harflerinin görülme olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E21
31
32
41
43
15. 1999 – ÖSS
5, 6, 7, 8, 9 rakamlar kullan larak rakamlar bir-birinden farkl olan, üç basamakl ve 780 den küçük kaç de i ik say yaz labilir?
A) 46 B) 42 C) 36 D) 30 E) 24
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
257
16. 2000 – ÖSS
l. fiekil lI. fiekil
16 küçük kareden olu an l. eklin her sat r ve her sütununda bir ve yaln z bir küçük kare karalana-rak ll. ekildeki gibi desenler elde edilmektedir.
Bu kurala göre, en çok kaç farkl desen elde edi-lebilir?
A) 16 B) 20 C) 24 D) 32 E) 36
17. 2001 – ÖSS
B
C
A
ekildeki çizgiler bir kentin dik kesen sokaklar n göstermektedir. A dan hareket edip C ye u ra-yarak B noktas na en k sa yoldan gidecek olan kimse kaç de i ik yol izleyebilir?
A) 24 B) 18 C) 16 D) 12 E) 9
18. 2003 – ÖSS
Yüksekö renim için A ve B ülkelerine gönderil-mek üzere 5 ö renci seçilmi tir. Her iki ülkeye en az birer ö renci gidece ine göre, bu 5 ö renci kaç farkl gruplama ile gönderilebilir?
A) 10 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40
19. 2004 – ÖSS A
B C
Yukar daki ABC üçgeninin kenarlar üzerinde 9 nokta verilmi tir. Kö eleri bu 9 noktadan üçü olan kaç üçgen olu turulabilir?
A) 64 B) 69 C) 74 D) 79 E) 84
20. 2005 – ÖSS
3 tane madeni 1 TL, kumbaralara istenen say da at lmak suretiyle de i ik bankalardan al nm 5 farkl kumbaraya kaç de i ik ekilde at labilir?
A) 10 B) 21 C) 24 D) 35 E) 45
21. 2006 – ÖSS
A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlar yla, en az iki basama ndaki rakam ayn olan üç basamakl kaç say yaz labilir?
A) 52 B) 40 C) 38 D) 30 E) 24
22. 2007 – ÖSS
A = {–2, –1, 0, 1}
B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor.
A x B kartezyen çarp m ndan al nan bir eleman n (a, a) biçiminde olma olas l kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E41
61
81
121
245
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
258
23. 2008 – ÖSS K = { –2,–1, 0, 1, 2, 3 }
kümesinin üç elemanl alt kümelerinden kaç ta-nesinin elemanlar çarp m bir negatif tam say ya e ittir?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
24. 2008 – ÖSS A a daki yedi nokta, e karelerin kö eleri üze-
rinde bulunmaktad r. Bu yedi noktadan rastgele seçi-
len üç noktan n bir üçgen olu -turma olas l a a dakilerden hangisidir? (Ayn do ru üzerin-
deki üç noktan n bir üçgen olu turmad kabul edilecektir.)
) ) ) ) )A B C D E3532
3527
3524
75
73
25. 2009 – ÖSS Bir ma azadan belirli miktar n üzerinde al veri
yapan mü teriler, 4 e parçaya ayr lm birinci çark iki defa çevirmektedir. Bu iki çeviri te gelen iki say n n toplam 6 ya da 6 dan büyükse 6 e parçaya ayr lm ikinci çark çevirerek ç kan he-diyeyi almaktad r.
II. çarkI. çark
ütü
ütüütü
çama ›rmakinesi
kahvemakinesi
tostmakinesi
1 2
3 4
Buna göre, birinci çark çevirmeyi hak eden bir mü terinin çama r makinesi kazanma olas l kaçt r?
A) 141 B)
161 C)
245 D)
283 E)
325
26. 2009 – ÖSS Ayn düzlemde al nan 4 farkl çember en fazla
kaç noktada kesi ir?
A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18
27. 2010 – YGS Bir torbada 2 k rm z , 2 beyaz ve 1 sar bilye
vard r. Torbadan rastgele 4 bilye al nd nda tor-bada kalan bilyenin k rm z renkte olma olas l kaçt r?
A) 21 B)
32 C)
43 D)
52 E)
53
28. 2010 – LYS A = {1, 2, 3, 4} ve B = {–2, –1, 0} olmak üzere
A x B kartezyen çarp m kümesinden al nan her-hangi bir (a, b) eleman için a + b toplam n n s f r olma olas l kaçt r?
A) 41 B)
51 C)
61 D)
71 E)
72
29. 2011 – YGS Meriç’in elinde k rm z ve beyaz renklerde top-
lam 10 top vard r. Meriç bu toplar iki torbaya her bir torbada en az bir k rm z ve bir beyaz top ola-cak ekilde da tt ktan sonra unlar söylüyor:
“Birinci torbada 3 k rm z top vard r. Torbalardan rastgele birer top çekildi inde toplar n ikisinin de
k rm z olma olas l 21 dir.”
Buna göre, ikinci torbada kaç beyaz top vard r?
A) 3 B) 5 C) 1 D) 2 E) 4
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
259
30. 2011 – LYS 6 k z ve 7 erkek ö rencinin bulundu u bir grup-
tan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden birinin k z, di erinin erkek olma olas l kaçt r?
A) 43 B)
83 C)
132 D)
137 E)
139
31. 2012 – YGS Boylar farkl dört ö renci bir çizgi boyunca rast-
gele s raya giriyor. Buna göre, en k sa ve en
uzun boylu ö rencilerin uçlarda olma olas l
kaçt r?
A) 21 B)
31 C)
41 D) 1
6 E)
121
32. 2012 – LYS
Bir çiçekçide 5 farkl renkten çok say da gül ve
2 çe it vazo vard r. Bir mü teri, 2 farkl renkten
toplam 3 gül ve 1 vazo sat n almak istiyor.
Bu mü teri al veri ini kaç farkl ekilde yapabi-
lir?
A) 15 B) 20 C) 25 D) 40 E) 50
33. 2012 – LYS
Bir torbada 5 k rm z ve 5 beyaz bilye vard r.
Bu torbadan ayn anda rastgele 3 bilye çekil-
di inde her bir renkten en fazla 2 bilye olma
olas l kaçt r?
A) 32 B)
43 C)
65 D)
87 E)
98
260
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A, B, C, D rakamlar n n yerleri de i tirilerek elde edilen 4.3.2.1 = 24 say n n toplam nda; A raka-m birler, onlar, yüzler ve binler basamaklar nda 6 ar kez yer alaca ndan hepsinin toplam
6000A + 600A + 60A + 6A = 6666.A olur. Ayn durum B, C, D rakamlar için de geçerlidir. Dolay s yla hepsinin toplam ,
6666A + 6666B + 6666C + 6666D = 6666(A+B+C+D) bulunur. 6666 say s 6 ya kalans z bölünebil-di ine göre bu toplam için kesin söylenebilecek durum 6 ile bölünebildi idir.
Do ru Seçenek A
2. .r x
x7 2 –
r r72
–d c ^n m h = A.x8
r7d n27 – r.x–7 + r.(–1)r.x2r = A.x8
r7d n27 – r.(–1)r.x–7 + 3r = A.x8
–7 + 3r = 8 r = 5 tir. O halde,
75d n27 – 5.(–1)5.x8 = A.x8
A = 75d n .22.(–1) =
!. !!
5 27 .4.(–1) = – 84 bulunur.
Do ru Seçenek E
3. A, B, C, D, E noktalar ndan 2 tanesi seçilece-
inden örnek uzay n eleman say s 52d n dir.
{A, B, E} kümesinden 1 eleman 31d n ve
{C, D} kümesinden 1 eleman 21d n farkl ekilde
seçilece inden istenilen olas l k,
.
.52
31
21
103 2
53= =
dd d
nn n
bulunur.
Do ru Seçenek C
4. C(n, 2) + C(n, 3) = 4C(n, 1)
( ) !. !!
( ) !. !!
( ) !. !!
. ( ) . ( ) ( )
( ) .
( ) ·
nn
nn
nn
n n n n n n
n n n n
n n
2 2 3 34
1 1
21
61 2
41
121
62 4
16
3 2 4
– – –
– – –
– –
– –
+ =
+ =
+ =
+ =
c m
(n – 1).(n + 1) = 24 n2 – 1 = 24
n2 = 25
n = 5 bulunur.
Do ru Seçenek C
5. 2 + 4 + 6 = 12 bilyeden 2 bilye,
!.!12
2 10 212 66= =d n olup s(E) = 66 d r.
Bilyelerden birinin beyaz, öbürünün siyah olma olay na A dersek,
s(A) = . .21
41
2 4 8= =d dn n dir.
O halde, P(A) = ( )( )
s Es A =
668 =
334 bulunur.
Do ru Seçenek D
6. 8 ki ilik bir gruptan 5 ki ilik,
!. !!
. .
. .85 3 5
83 2 18 7 6 56= = =d n de i ik tak m kurulabilir.
Do ru Seçenek E
7. 6 + 4 = 10 bilyeden 3 bilye,
!. !
!. .. .10
3 7 310
3 2 110 9 8 120= = =d n olup, s(E) = 120 dir.
Bilyelerden biri beyaz, di er ikisi siyah olacaksa,
s(A) = . .61
42
6 6 36= =d dn n olur.
O halde, P(A) = ( )( )
s Es A
12036
103= = bulunur.
Do ru Seçenek A
ÇÖZÜMLER
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
261
8. d1
d2
A B C
D E F G H
d1 den 1 nokta ve d2 den 2 nokta seçilirse,
. .31
52
3 10 30= =d dn n tane üçgen,
d1 den 2 nokta ve d2 den 1 nokta seçilirse,
. .3 5
32 1
5 15= =d dn n tane üçgen çizilebilir.
Toplam 30 + 15 = 45 tane üçgen çizilebilir.Do ru Seçenek A
9. ( ) .r
xx r
x xr
x6 1 6 6r r r r
r6
26 2 6 3– – – –= =d c d dn m n n
6 – 3r = 0 r = 2 olup sabit terim,
!. !!x x
6 62 4 2
6 1 152
·.6 3 2 0– = = =d dn n bulunur.
Do ru Seçenek A
10. nrc m(x2)n–r.(–2y2)r = A.x4y4
r = 2 ve n – r = 2 n = 4 olup
42d n(x2)2.(–2y2)2 = A.x4y4
6.x4.4.y4 = A.x4y4 A = 6.4 = 24 olur.Do ru Seçenek D
11.
A B
3 beyaz
4 k›rm›z›
5 beyaz
2 k›rm›z›
Renk durumunun de i memesi için; i. A dan al nan ve B den al nan n beyaz olmas
73
75
4915· =
ii. A dan al nan ve B den al nan n k rm z olmas
74
72
498· = olup iki durumdan birinin gerçek-
le mesi olas l ,
4915
498
4923+ = bulunur.
Do ru Seçenek E
12. (3x + 2y)23 ün aç l m nda ba tan 11. terim,
C(23, 10).(3x)23–10.(2y)10 olup bunun kat say s ,
C(23, 10).323–10.210 = C(23, 10).313.210
olarak bulunur.
Do ru Seçenek A
13. Geri at lmamak ko ulu ile iki çe-
2 mavi
5 ye il
kili ten birincisinde mavi, ikinci-sinde ye il mendil çekme olas -l ,
72
65
215· = bulunur.
Do ru Seçenek E
14.
T
A, A, T, T
Yan yüzlerinde A, T, A harflerinin görülebilmesi için tabana T harfi gelmelidir. Bu durumun ola-s l ise,
42
21= olarak bulunur.
Do ru Seçenek A
15. 5, 6, 7, 8, 9 rakamlar ile rakamlar farkl ve 780 den küçük, üç basamakl ;
1
{7}
yüzler
2
{5,6}
onlar
3 1.2.3 = 6 tane
birler
2
{5,6}
yüzler
4
onlar
3 2.4.3 = 24 tane
birler
olmak üzere, toplam 6 + 24 = 30 tanedir.
Do ru Seçenek D
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
262
16. Her sat rdan farkl bir kare seçilirse, her sütundan da farkl bir kare seçilmi olur.
1. sat rdan bir kare için 4 seçenek,
2. sat rdan bir kare için 3 seçenek,
3. sat rdan bir kare için 2 seçenek,
4. sat rdan bir kare için 1 seçenek
vard r. Bu durumda,
4.3.2.1 = 24 farkl desen olu ur.
Do ru Seçenek C
17. A dan C ye 1 a a , 3 sa a olmak üzere,
!. !!
1 34 4= farkl yolla gidilir.
C den B ye 2 a a , 2 sa a olmak üzere,
!. !!
2 24 6= farkl yolla gidilir.
O halde A dan B ye 4.6 = 24 farkl yolla gidi-lebilir.
Do ru Seçenek A
18. A ülkesi B ülkesi ––––––– –––––––
1 ki i 4 ki i .51
44
5=d dn n 2 ki i 3 ki i .
52
33
10=d dn n 3 ki i 2 ki i .
53
22
10=d dn n 4 ki i 1 ki i .
54
11
5=d dn n 5 + 10 + 10 + 5 = 30 farkl gruplama ile gönderi-
lebilir.
Do ru Seçenek D
19.
A
B C
Herhangi üç tanesi do rusal olmayan 9 nokta-
dan 93d n tane üçgen elde edilir.
Fakat [AB] üzerindeki 4 noktan n 3 tanesi ile ve [AC] üzerindeki 3 nokta ile üçgen elde edi-lemez. Bu durumda,
93
43
33
84 4 1– – – –=d d dn n n = 79 tane üçgen olu turulabilir.
Do ru Seçenek D
20.
A B C D E
i. 3 tane paran n üçü de ayn kumbaraya,
51
5=d n de i ik ekilde at labilir.
ii. 3 tane paran n ikisi ayn kumbaraya, biri ba -
ka kumbaraya, �
� ���� ����"�= - �-�� �"��7.��� � �
>���?������5��!�=.�"��@
iii. 3 tane paran n herbiri farkl kumbaraya,
53
10=d n de i ik ekilde at labilir.
O halde, toplam 5 + 20 + 10 = 35 farkl du-
rum vard r.
Do ru Seçenek D
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
263
21. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlar yla, üç basamakl 4 4 4 4.4.4 = 64 tane ve rakam-
lar farkl üç basamakl 4 3 2 4.3.2 = 24 tane say yaz labilece inden, en az iki basama nda-ki rakam ayn olan üç basamakl 64 – 24 = 40 tane say yaz labilir.
Do ru Seçenek B
22. s(A x B) = s(A).s(B) = 4.6 = 24 tür.
A x B kümesinin elemanlar aras nda (a, a) biçi-minde yaz labilecekler
(–1, –1) , (0, 0) ve (1, 1)
oldu undan, al nan bir eleman n (a, a) biçiminde
olma olas l 243
81= bulunur.
Do ru Seçenek C
23. K = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} Seçilecek üç eleman n çarp m n n nagatif olmas
için 1 tanesi negatif 2 tanesi pozitif olmal d r.
. .21
32
2 3 6= =d dn n olur.
Do ru seçenek A
24. Verilen 7 noktadan 3 nokta
. .
. .73 1 2 3
7 6 5 35= =d n farkl ekilde
seçilebilir. Bu seçimlerden üçünde (do rusal olan üç nokta)
üçgen olu maz. O halde seçilen üç noktan n
üçgen olu turma olas l 35
35 33532– = bulunur.
Do ru seçenek A
25. Birinci çarkta 4.4 = 16 sonuç vard r. Bu sonuçlardan 6 s ikinci çark çevirecektir. ( (2, 4)(4, 2)(3, 3)(3, 4)(4, 3)(4, 4) )
2. çarkta çama r makinesi gelme olas l 61 d r.
1. çark 2. çark –––––– ––––––
166 .
61 =
161 bulunur.
Do ru Seçenek B
26. 4 farkl çemberden iki tanesini
..4
2 1 24 3 6= =d n farkl ekilde seçebiliriz.
Seçilen iki çember en çok 2 farkl noktada kesi e-ce inden
6.2 = 12 farkl kesim noktas olu ur.Do ru Seçenek A
27.
2 K2 B1 S
4 bilye al nd nda 1 k rm z bilyenin kalmas için al nan bilyelerin 1 k rm z , 2 beyaz ve 1 sar olmas gerekir.
21
22
11 . .
52 1 1
52
54
= =d
d d dn
n n n
Do ru Seçenek D
28. s(AxB) = s(A).s(B) = 4.3 = 12 dir. (1, –1) ve (2, –2) ikililerindeki terimlerin toplam
s f r olaca ndan, kartezyen çarp m kümesinden al nan herhangi bir eleman n terimlerinin toplam -
n n s f r olma olas l 122
61= d r.
Do ru Seçenek C
Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olas l k ve statistik
ES
EN
YAY
INLA
RI
264
29. Birinci torbada 3 k rm z ve 1 beyaz top olmas durumunda bu torbadan k rm z çekme olas l -
m z 43 tür. Kalan 6 topun 4 ünü k rm z kabul
edersek ikinci torbadan k rm z top çekme olas l -
m z 64 olur.
3K1B
I. torba
4K2B
II. torba
O halde top da l m yukar daki gibi oldu unda istenen olas l k,
.43
64
21= olarak bulunuyor.
Bu durumda ikinci torbada 2 beyaz top vard r.
Do ru Seçenek D
30. .
.
.
.1 1132
6 7
2 113 126 7
137= =
dd d
nn n
bulunur.
Do ru Seçenek D
31. Uzun K sa K sa Uzun –––– – – –––– veya –––– – – ––––
. .4131
4131
121
121
+ = +
= 122
61
= bulunur.
Do ru Seçenek D
32. 2 farkl renkten toplam 3 gül,
.5
2
2
1d dn n = 10.2 = 20 farkl ekilde al nabilir.
1 vazo ise 2
1d n = 2 farkl ekilde al n r.
O halde, 20.2 = 40 farkl ekilde istenen ko ul-
larda al veri yap labilir.
Do ru Seçenek D
33.
5 K
4 B
. .
. .
. .. .
93
52
41
51
42
3 2 19 8 7
10 4 5 6+
=+
cc c c c
mm m m m
= . .3 4 7
40 30+
= . . .3 4 770
3 410
65
= =
Do ru Seçenek C
TÜME VARIM ve D Z LER
ÜN TE 4. ÜN TE 4. ÜN TE 4. ÜN TE 4. ÜN T
TÜME VARIM
Tüme var m
1. Kazan m : Tüme var m yöntemini aç klar ve uygulamalar yapar.
Toplam ve Çarp m Sembolü
1. Kazan m : Toplam sembolünü ve çarp m sembolünü aç klar, kullan lar ile ilgili özellikleri aç klar ve temel toplam formüllerini modelleyerek in a eder.
266
ES
EN
YAY
INLA
RI
ÖNERME
Do ru ya da yanl , kesin bir hüküm bildiren ifadelere
önerme denir. Örne in;
“Türkiye’nin ba kenti Ankara’d r.” ifadesi do ru bir
önermedir. “ 32 = 6 ” ifadesi yanl bir önermedir.
AÇIK ÖNERME
çinde en az bir de i ken bulunan önermelere aç k
önerme denir. Aç k önermeler, bu de i kenlere ve-
rilen de erlere göre “do ru” ya da “yanl ” bir yarg
bildirir. Aç k önermeyi do ru yapan de i kenlerin
kümesine önermenin do ruluk kümesi denir.
ÖRNEK 1
n bir do al say olmak üzere,
P(n) : 5.n > 2n – 3
aç k önermesinin do ruluk kümesi nedir?
Çözüm
n = 0 için P(0) : 5.0 > 20 – 3 0 > –2 (do ru)
n = 1 için P(1) : 5.1 > 21 – 3 5 > –1 (do ru)
n = 2 için P(2) : 5.2 > 22 – 3 10 > 1 (do ru)
n = 3 için P(3) : 5.3 > 23 – 3 15 > 5 (do ru)
n = 4 için P(4) : 5.4 > 24 – 3 20 > 13 (do ru)
n = 5 için P(5) : 5.5 > 25 – 3 25 > 29 (yanl )
O halde, P(0), P(1), P(2), P(3), P(4) önermeleri
do ru, di er önermeler yanl olup, verilen aç k
önermenin do ruluk kümesi D = { 0, 1, 2, 3, 4 } dir.
E T KÜME, DENK KÜME
Ayn elemanlardan olu an iki kümeye e it kümeler
denir ve A = B biçiminde gösterilir.
Eleman say lar e it olan kümelere denk kümeler
denir ve A B biçiminde gösterilir.
ÖRNEK 2
A = {1, 2, 3} ve B = {x: 1 x 3, x Z} kümeleri için,
A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3} oldu undan A = B dir.
Ayr ca s(A) = s(B) oldu undan A B dir.
SONLU ve SONSUZ KÜME
Eleman say s tespit edilebilen kümeye sonlu küme
denir. Eleman say s tespit edilemeyen kümeye son-
suz elemanl küme denir.
n N+ için A = {1, 2, 3, ..., n} kümesine denk olabi-
len veya eleman olmayan her küme sonlu kümedir.
Sonlu olmayan küme ise sonsuz kümedir.
A = { x: x < 6, x N } kümesi sonlu kümedir.
B = { x: 2 < x < 6, x Z } kümesi sonlu kümedir.
C = { x: 2 < x < 6, x R } kümesi sonsuz kümedir.
N+ = { 1, 2, 3, ... } kümesi sonsuz kümedir.
N5 = { 5, 6, 7, 8, ... } kümesi sonsuz kümedir.
SAYILAB L R KÜME
N+ = {1, 2, 3, ..., n, ...} kümesinin bir alt kümesine
denk olan kümelere say labilir küme denir.
A = {1, 3, 5, ..., 2007} say labilir sonlu küme,
B = {1, 3, 5, ..., 2n–1, ...} say labilir sonsuz kümedir.
TÜME VARIM YÖNTEM
P(n) bir aç k önerme ve a N önermeyi do rulayan
en küçük say olsun.
k a ve k N olmak üzere,
i. P(a) n n do rulu u gösterilir,
ii. P(k) n n do rulu u kabul edilip, P(k + 1) in do -
rulu u gösterilirse,
P(n) aç k önermesinin do rulu u ispatlanm olur.
TÜME VARIM
Tüme Var m
267
ÖRNEK 3
Her n N+ için
P(n) : 1 + 2 + 3 + ... + n = ( )n n2
1+
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.Çözüm
i. n = 1 için P(1) : 1 = ( )2
1 1 1+ 1 = 1
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için P(k) : 1 + 2 + 3 + ... + k = ( )k k2
1+
olsun. n = k + 1 için P(k + 1) :
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = .k k2
1 2+ +^ ^h h oldu unu gösterelim.
P(k) da e itli in her iki yan na k + 1 ekleyelim.
1 + 2 + 3 + ... + ( )k
k k2
1=
+
k + 1 = k + 1 + ––––––––––––––––––––––––– 1 + 2 + 3 + .. + k + (k + 1) = ( )k k
21+ + k + 1
= (k + 1) k2
1+c m =
.k k2
1 2+ +^ ^h h P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için
P(n) önermesi do rudur.
Tüme var mda, P(1) do ru ise P(2) do ru olmal -d r, P(2) do ru ise P(3) do ru olmal d r, P(3) do ru ise P(4) do ru olmal d r, ... eklinde i lem devam eder. Böylece P(n) önermesinin n k için do ru oldu u ispatlanm olur.
ÖRNEK 4
Her n N+ için P(n) : 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n.(n + 1)
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.Çözüm
i. n = 1 için P(1) : 2.1 = 1.(1 + 1) 2 = 2
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için P(k) : 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k.(k + 1)
olsun. n = k + 1 için P(k + 1) :
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2.(k + 1) = (k + 1).(k + 2)
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itli in her iki yan na 2.(k + 1) ekleyelim.
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k.(k + 1)
2(k + 1) = 2(k + 1) + –––––––––––––––––––––––––– 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
= (k + 1)(k + 2) P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için
P(n) önermesi do rudur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
ETK NL K
Tüme var m yöntemini daha iyi kavrayabilmek için sonsuz domino do rusu örne ini ele alal m.Domino ta lar n , biri dü ünce bir sonraki de dü ecek ekilde ayarlayarak, birinci domino ta n dü ürmekle ard ard na hepsini de basitçe dü ürebiliriz. P(1) önermesinin do rulu unu ispatlamak, domino ta lar ndan birincisini dü ürmek gibidir. P(k) önermesinin do rulu unu kabul edip P(k + 1) önermesinin do rulu unu göstermek, domino ta lar ndan biri dü ünce bir sonraki de dü ecek ekilde ayarlanmas na benzer.
Tüme Var m
ES
EN
YAY
INLA
RI
268
ÖRNEK 5
Her n N+ için
P(n) : 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için
P(1) : 2.1 – 1 = 12 1 = 1
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için
P(k) : 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2 olsun.
n = k + 1 için
P(k + 1) : 1 + 3 + 5 + ... + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itli in her iki yan na
2(k + 1) –1 = 2k + 2 – 1 = 2k + 1 ekleyelim.
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2
2k + 1 = 2k + 1 + –––––––––––––––––––––––––––– 1 + 3 + 5 + ... + (2k + 1) = k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için
P(n) önermesi do rudur.
ÖRNEK 6
Her n N+ için
P(n) : 12 + 22 + 32 + ... + n2 = ( ) . ( )n n n6
1 2 1+ +
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için P(1) : 12 = . .6
1 2 3 1 = 1
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için P(k) :
12 + 22 + 32 + ... + k2 = ( ) . ( )k k k6
1 2 1+ + olsun.
n = k + 1 için P(k + 1) :
12 + 22 + 32 +...+ (k+1)2 = ( ) ( ) ( )k k k6
1 2 2 3+ + +
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itli in her iki yan na (k + 1)2 ekleyelim.
12 + 22 + 32 + ... + k2 = ( ) . ( )k k k6
1 2 1+ +
(k + 1)2 = (k + 1)2 + ––––––––––––––––––––––––––––––––––
12 + 22 + ... + (k + 1)2 = ( ) . ( )k k k6
1 2 1+ + + (k + 1)2
= (k + 1). ( )k kk
62 1
1+
+ +c m
= (k + 1). k k k6
2 6 62 + + +c m
= (k + 1). k k6
2 7 62 + +
= ( ) . ( ) . ( )k k k6
1 2 2 3+ + +
P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için
P(n) önermesi do rudur.
A a daki ekillerde kare say lar hesaplanm t r.nceleyiniz.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62
12 + 22 + 32 + 42 + 5212 + 22 + 32 + 42
12 + 22 + 3212 + 2212
ETK NL K
Tüme Var m
ES
EN
YAY
INLA
RI
269
ÖRNEK 7
Her n N+ için
P(n) : 13 + 23 + 33 + ... + n3 = ( )n n2
1 2+; Eoldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için
P(1) : 13 = .2
1 2 2; E 1 = 1
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için
P(k) : 13 + 23 + 33 + ... + k3 = ( )k k2
1 2+; E olsun.
n = k + 1 için
P(k + 1) :13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 = ( ) ( )k k2
1 2 2+ +; E oldu unu gösterelim.
P(k) da e itli in her iki yan na (k + 1)3 ekleyelim.
13 + 23 + 33 + ... + k3 = ( )k k2
1 2+; E (k + 1)3 = (k + 1)3 + ––––––––––––––––––––––––––––––––––
13 + 23 + 33 + ... + (k + 1)3 = ( )k k2
1 2+; E + (k + 1)3
= (k + 1)2. ( )k k2
12
+ +c m= G
= (k + 1)2. k k44 42 + +; E
= (k + 1)2. k2
2 2+; E
= ( ) ( )k k2
1 2 2+ +; E P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için
P(n) önermesi do rudur.
ÖRNEK 8
Her n N+ için
P(n) : . . . . ( )n n n
n1 21
2 31
3 41
11
1…+ + + +
+=
+
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için
P(1) : . ( )1 1 1
11 1
1+
=+
21
21=
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için
P(k) : . . . . ( )k k k
k1 21
2 31
3 41
11
1…+ + + +
+=
+
olsun.
n = k + 1 için
P(k + 1) : . . ( ) ( )k k k
k1 21
2 31
1 21
21…+ + +
+ +=
++
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itli in her iki yan na ( ) ( )k k1 2
1+ +
ekleyelim.
. . . . ( ) ( ) ( )k k k k1 21
2 31
3 41
11
1 21…+ + + +
++
+ +
= ( ) ( )k
kk k1 1 2
1+
++ +
= ( ) ( )
( )k kk k
1 22 1
+ ++ +
= ( ) ( )k kk k
1 22 12
+ ++ +
= ( ) ( )
( )k k
k1 2
1 2
+ ++
= kk
21
++
P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için
P(n) önermesi do rudur.
Tüme Var m
ES
EN
YAY
INLA
RI
270
ÖRNEK 9
Her n N+ , r 1 için
P(n) : 1 + r + r2 + r3 + ... + rn–1 = rr
11
–– n
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için P(1) : r1–1 = rr
11
–– 1
1 = 1
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için P(k) :
1 + r + r2 + r3 + ... + rk–1 = rr
11
–– k
olsun.
n = k + 1 için P(k + 1) :
1 + r + r2 + r3 + ... + rk = r
r1
1–
– k 1+
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itli in her iki yan na rk ekleyelim.
1 + r + r2 + r3 + ... + rk–1 + rk = rr r
11
–– k
k+
= .r
r r r r1
1–
– –k k k+
= r
r1
1–
– k 1+
P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için
P(n) önermesi do rudur.
ÖRNEK 10
Her n N+ için
P(n) : 1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! – 1
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için P(1) : 1.1! = (1 + 1)! – 1 1 = 1
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için P(k) : 1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k! = (k + 1)! – 1
olsun. n = k + 1 için P(k + 1) :
1! + 2.2! + 3.3! + ... + (k + 1).(k + 1)! = (k + 2)! – 1
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itli in her iki yan na
(k + 1).(k + 1)! ekleyelim.
1! + 2.2! + 3.3! + ... + k.k! = (k + 1)! – 1
(k + 1).(k + 1)! = (k + 1).(k + 1)! + ––––––––––––––––––––––––––––––––––––1! + 2.2! + 3.3! + ... + (k + 1)(k + 1)! = (k + 1)(k + 1)! + (k + 1)! – 1
= (k + 1)!(k + 1 + 1) – 1
= (k + 1)!(k + 2) – 1
= (k + 2)! – 1
P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için
P(n) önermesi do rudur.
ÖRNEK 11
n 4 ve n N için
P(n) : n! > 2n
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 4 için P(4) : 4! > 24 24 > 16
oldu undan P(4) do rudur.
ii. n = k için P(k) : k! > 2k olsun.
n = k + 1 için P(k + 1) : (k + 1)! > 2k+1
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itsizli in her iki yan n k + 1 ile çar-
pal m.
k! > 2k k!.(k + 1) > 2k.(k + 1)
(k + 1)! > 2k.(k + 1) olur.
k + 1 > 2 2k.(k + 1) > 2k.2
2k.(k + 1) > 2k+1 dir. O halde,
(k + 1)! > 2k.(k + 1) > 2k+1 (k + 1)! > 2k+1 dir.
P(k + 1) do ru oldu undan, n 4 ve n N için
P(n) önermesi do rudur.
Tüme Var m
ES
EN
YAY
INLA
RI
271
ÖRNEK 12
Her n N+ için
P(n) : n! nn–1
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için
P(1) : 1! 11–1 1 1
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için
P(k) : k! kk–1 olsun.
n = k + 1 için
P(k + 1) : (k + 1)! (k + 1)k
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itsizli in her iki yan n k + 1 ile çar-
pal m.
k! kk–1 k!.(k + 1) kk–1.(k + 1)
(k + 1)! kk–1.(k + 1) dir.
kk–1 (k + 1)k–1 kk–1.(k + 1) (k + 1)k–1.(k + 1)
kk–1.(k + 1) (k + 1)k olur.
O halde,
(k + 1)! kk–1.(k + 1) (k + 1)k olup
(k + 1)! (k + 1)k elde edilir.
P(k + 1) do ru oldu undan, her n N+ için
P(n) önermesi do rudur.
ÖRNEK 13
Her n N+ için
P(n) : n2 – n say s 2 ile tam bölünür.
önermesinin do rulu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için
P(1) : 12 – 1 = 0 olup, 0 say s 2 ile tam bölünür.
Yani, P(1) do rudur.
ii. n = k için k2 – k ifadesi 2 ile tam bölünsün.
Bu durumda, r Z olmak üzere,
k2 – k = 2.r k2 = k + 2r dir.
n = k + 1 için (k + 1)2 – (k + 1) say s n n 2 ile
tam bölündü ünü gösterelim.
(k + 1)2 – (k + 1) = k2 + 2k + 1 – k – 1
= k2 + k , ( k2 = k + 2r )
= k + 2r + k
= 2(k + r) , ( k + r Z )
bulunur. O halde, (k + 1)2 – (k + 1) ifadesi de
2 ile tam bölünür.
Bu durumda, P(n) önermesi do rudur.
ÖRNEK 14
Her n N+ için
P(n) : 7n – 2n say s 5 ile tam bölünür.
önermesinin do rulu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için
71 – 21 = 5 olup, 5 say s 5 ile tam bölünür.
Yani, P(1) do rudur.
ii. n = k için
7k – 2k ifadesi 5 ile tam bölünsün.
Bu durumda, r Z olmak üzere,
7k – 2k = 5.r 7k = 2k + 5.r dir.
n = k + 1 için 7k+1 – 2k+1 say s n n 5 ile tam
bölündü ünü gösterelim.
7k+1 – 2k+1 = 7k.7 – 2k.2 , ( 7k = 2k + 5.r )
= (2k + 5.r).7 – 2k.2
= 7.2k + 35.r – 2k.2
= 5.(2k + 7.r) , ( 2k + 7.r Z )
bulunur. O halde, 7k+1 – 2k+1 say s da 5 ile tam bölünür. Bu durumda, P(n) önermesi do rudur.
Tüme Var m
ES
EN
YAY
INLA
RI
272
ÖRNEK 15
i2 = –1 olmak üzere, her n N+ için
P(n) : (cos + i.sin )n = cosn + i.sinn
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için
(cos + i.sin )1 = cos(1. ) + i.sin(1. )
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için
P(k) : (cos + i.sin )k = cosk + i.sink olsun.
n = k + 1 için P(k + 1) :
(cos + i.sin )k+1 = cos(k + 1) + i.sin(k + 1)
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itli in her iki yan n cos + i.sin ile
çarpal m.
(cos +i.sin )k.(cos +i.sin ) = (cosk +isink ).(cos +isin )
(cos + i.sin )k+1 = cosk .cos + i.cosk .sin +
i.sink .cos + i2.sink .sin
= cosk .cos – sink .sin +
i.(cosk .sin + sink .cos )
= cos(k + ) + i.sin(k + )
= cos(k+1) + i.sin(k+1)
O halde, P(n) önermesi do rudur.
ÖRNEK 16
n 3 ve n N için
P(n) : 2n > 2n + 1
oldu unu tüme var m yöntemi ile ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 3 için
P(3) : 23 > 2.3 + 1 8 > 7
oldu undan P(3) do rudur.
ii. n = k için
P(k) : 2k > 2k + 1 olsun.
n = k + 1 için
P(k + 1) : 2k+1 > 2(k + 1) + 1
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itsizli in her iki yan n 2 ile çarpal m.
2k > 2k + 1 2.2k > 2.(2k + 1)
2k+1 > 4k + 2
2k+1 > 2k + 2 + 2k , (2k > 1)
2k+1 > 2(k + 1) + 2k > 2(k + 1) + 1
2k+1 > 2(k + 1) + 1 olur.
P(k + 1) önermesi do ru oldu undan
n 3 ve n N için P(n) önermesi do rudur.
ÖRNEK 17
Bernoulli E itsizli i denilen,
“ n N+ ve h > –1 için (1 + h)n 1 + n.h”
oldu unu ispatlay n z.
Çözüm
i. n = 1 için
(1 + h)1 1 + 1.h 1 + h 1 + h
oldu undan P(1) do rudur.
ii. n = k için
P(k) : (1 + h)k 1 + k.h olsun.
n = k + 1 için
P(k + 1) : (1 + h)k+1 1 + (k + 1).h
oldu unu gösterelim.
P(k) da e itsizli inin her iki yan n 1 + h ile
çarpal m.
(1 + h)k(1 + h) (1 + k.h)(1 + h)
(1 + h)k+1 1 + h + k.h + k.h2
(1 + h + k.h + k.h2 > 1 + h + k.h oldu undan)
(1 + h)k+1 1 + h + k.h
(1 + h)k+1 1 + (k + 1)h olur.
P(k + 1) önermesi do ru oldu undan Bernoulli
E itsizli i de do rudur.
273
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. n N+ için a a daki önermelerin do rulu u-nu tüme var m yöntemi ile ispat ediniz.
a. 1.2+2.3+3.4+ ... +n.(n+1) = ( ) . ( )n n n3
1 2+ +
b. . . ( ) ( )n n n
n1 31
3 51
2 1 2 11
2 1…
–+ + +
+=
+
c. ! 3!
.......! !! n
nn2
1 243 1 1 1– –+ + + + =
d. 12 + 32 + 52 + ... + (2n – 1)2 = ( )n n3
4 1–2
e. 1 + 5 + 52 + ... + 5n–1 = 4
5 1–n
2. A a daki önermelerin n N+ için do rulu u-nu gösteriniz.
a. 4n > n2
b. 5n 1 + 4.n
c. 21
41
81
21 1… <n
+ + + +
d. 2!.4!.6! ... (2n)! [(n + 1)!]n+1
3. “ n N+ için, 6n – 1 say s 5 ile tam bölünebilir.” önermesinin do rulu unu ispatlay n z.
4. n 3 olmak üzere, n kenarl bir konveks çokgenin iç aç lar n n ölçülerinin toplam n n (n – 2).180° oldu unu ispatlay n z.
5. n 3 olmak üzere, n kenarl bir konveks çokge-
nin kö egenlerinin say s n n ( )n n2
3– oldu unu
ispatlay n z.
6. n N+ ve a, b R için
(a+b)n= . .n
an
a bn
a bnn
b0 1 2
…n n n n1 2 2– –+ + + +c c c cm m m m teoreminin (Binom teoremi) do rulu unu tüme
var m yöntemiyle ispatlay n z.
7. n 5 ve n N için 2n > n2 oldu unu ispatlay -n z.
8. n > 1 ve n N için ( !)( ) !nn
nn21
4>2 +
oldu unu ispatlay n z.
9. n N için n3 + 3n2 + 5n + 3 ifadesinin 3 ile bölünebildi ini ispatlay n z.
10. n N için 4n + 15n – 1 ifadesinin 9 ile bölü-nebildi ini ispatlay n z.
ALIŞTIRMALAR – 1
ES
EN
YAY
INLA
RI
274
Toplam ve Çarp m Sembolleri
TOPLAM SEMBOLÜ ( )
f: Z R , f(k) = ak ve r n, (r, n Z) olmak üzere,
f(r) = ar , f(r + 1) = ar+1 , f(r + 2) = ar+2, ... , f(n) = an terimlerinin toplam n
ar + ar+1 + ar+2 + ... + an = akk r
n
=/
biçiminde ifade edebiliriz. Burada kullan lan sembol, toplam sembolü ya da Yunan alfabesinin / (sigma) sembolüdür.
akk r
n
=/ ifadesinde; r alt s n r, n üst s n r ve k de i -
kendir. Bu ifade “k = r den n ye kadar ak say lar n n
toplam ” eklinde okunur.
ÖRNEK 18
A a daki örnekleri inceleyiniz.
a3 + a4 + a5 + ... + a15 = akk 3
15
=/
1 + 2 + 3 + ... + 25 = kk 1
25
=/
10 + 11 + 12 + ... + 25 = kk 10
25
=/
1 + 4 + 9 + ... + 169 = kk
2
1
13
=/
e
5 5 5 5 5…tann k
n
1+ + + + =
=1 2 34444 4444 /
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 50.51 = . ( )k k 1k 1
50+
=/
kk 2
3
–=/ = –2 + (–1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3
k2k 2
5
=/ = 4 + 6 + 8 + 10 = 28
kk
3
5
15
=/ = 53 + 63 + 73 + ... + 153
ÖRNEK 19
4 + 7 + 10 + 13 + ... + 100 ifadesini / sembolü ile yaz n z.
Çözüm
Verilen say lar üçer üçer artmakta ve ilk say 3 ün 1 kat ndan 1 fazlad r. Dolay s ile,
4 + 7 + 10 + 13 + ... + 100 = ( )k3 1k 1
33+
=/
biçiminde yazabiliriz.
ÖRNEK 20
2 + 5 + 10 + 17 + 26 + ... + 626 ifadesini / sem-bolü ile yaz n z.
Çözüm
2 = 12 + 1
5 = 22 + 1
10 = 32 + 1
17 = 42 + 1
626 = 252 + 1 oldu undan,
2 + 5 + 10 + 17 + 26 + ... + 626 = ( )k 1k
2
1
25+
=/
biçiminde yazabiliriz.
ÖRNEK 21
–1 + 2 – 3 + 4 – ... – 19 + 20 ifadesini / sembolü ile yaz n z.
Çözüm
Ard k terimlerin i aret de i tirmesini (–1)k çar-pan ile sa layabiliriz.
1 + 2 + 3 + ... + 19 + 20 = kk 1
20
=/ oldu undan
–1 + 2 – 3 + 4 – ... – 19 + 20 = ( ) .k1– k
k 1
20
=/
biçiminde yazabiliriz.
ES
EN
YAY
INLA
RI
275
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ÖRNEK 22
( )k k1 –k 1
35+
=/ ifadesinin de eri kaçt r?
Çözüm
( ) 2k k1 1– –k 1
35+ =
=/
+ 3 2–
+ 4 3–
.........
+ c36 – 35 +
= c36 – v1 = 6 – 1 = 5 olur.
ÖRNEK 23
logk
k 1 2k
n
1
+ ==
c m/ oldu una göre, n kaçt r?
Çözüm
logk
k 1k
n
1
+=
c m/ = log2+log23 +log
34 +...+log
nn 1+
= log …n
n223
34 1· · +c m
= log(n + 1) oldu undan,
log(n + 1) = 2 n + 1 = 102
n = 99 bulunur.
ÖRNEK 24
( )a n n 4kk
n
1= +
=/ ise a4 kaçt r?
Çözüm
n = 4 . ( )a 4 4 4kk 1
4= +
=/
a1 + a2 + a3 + a4 = 32 dir.
n = 3 . ( )a 3 3 4kk 1
3= +
=/
a1 + a2 + a3 = 21 oldu undan,
a1 + a2 + a3 + a4 = 32 21 + a4 = 32
a4 = 11 bulunur.
ÖRNEK 25
r6
r 0
6
=d n/ ifadesinin de eri kaçt r?
Çözüm
r6 6
061
62
63
64
65
66r 0
6= + + + + + +
=d d d d d d d dn n n n n n n n/
= 26 = 64 bulunur.
ÖRNEK 26
f(x) = x2 + 3 , x1 = 1 , x2 = 4 oldu una göre,
( ) . ( )x f x1i ii 1
2+
=/ ifadesinin de eri kaçt r?
Çözüm
( ) . ( )x f x1i ii 1
2+
=/ = (x1 + 1).f(x1) + (x2 + 1).f(x2)
= (1 + 1).f(1) + (4 + 1).f(4)
= 2.f(1) + 5.f(4)
= 2.(12 + 3) + 5.(42 + 3)
= 103 bulunur.
ÖRNEK 27
kk
5
3
3
–=/ ifadesinin e iti kaçt r?
Çözüm
kk
5
3
3
–=/ = (–3)5 + (–2)5 + (–1)5 + 05 + 15 + 25 + 35
= 0 d r.
.k d r0n
k m
m2 1
–=+
=/
ÖRNEK 28
( )k k2k
3
4
5
–+
=/ ifadesinin e iti kaçt r?
Çözüm
( ) ( ) ( . )k k k k2 2 5 2 5k k
3
4
53
4
43
– –+ = + + +
= =/ /
= 0 + 125 + 10 = 135 bulunur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
276
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ÖRNEK 29
cos °1
180a
a =/ ifadesinin e iti kaçt r?
Çözüm
cos180° = –1, cos179° = – cos1°,
cos178° = – cos2°, ..., cos92° = – cos88°,
cos91° = – cos89°, cos90° = 0 oldu undan,
cos °1
180
aa=
/ = cos1° + cos2° + ... + cos178° +
cos179° + cos180°
= cos1°+cos2°+...– cos2°– cos1°–1
= –1 olur.
ÖRNEK 30
sin k2k 1
90 r
=/ ifadesinin e iti kaçt r?
Çözüm
sin k2k 1
90 r
=/ =sin
2r +sin +sin
23r +sin2 +...+sin45
= 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0– – …0 0 1
+ + + + + + + +1 2 3444 444 1 2 3444 444 Z
= 1 olur.
Burada, arka arkaya gelen dört terimin toplam 0 d r. 90 tane terim olup 90 2 (mod 4) oldu undan son 2 terimin toplam sonucu vermektedir.
ÖRNEK 31
i2 = –1 olmak üzere,
i2
1k
k
1
50 2+
=d n/ ifadesinin e iti nedir?
Çözüm
i i i i
i
i
21
21
21 2
21 2 1–
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
1
50 2 2
1
50 2
1
50
1
50
1
50
+ = + = + +
= +
=
= = =
=
=
d d c
c
n n m
m
> H/ / /
/
/
= i + i2 + i3 + i4 + ... + i49 + i50
= i i i1 1 1– – … –0
+ + +1 2 344 44
= i – 1 bulunur.
ÖRNEK 32
!kk 1–
k 1
50
=/ ifadesinin e iti kaçt r?
Çözüm
! ! ! ! !k
kkk
k k k1 1
11 1– ––
–kk k1
50
1
50
1
50= =
== =c ^dm h n// /
! !
! !
! !
! !
01
11
11
21
21
31
491
501
–
–
–
…………
–
=
+
+
+ +
! ! ! !
.olur01
501
11
501 1
501– – –= = =
TOPLAM FORMÜLLER
Tüme var mda ispat n yapt m z baz önemli toplam formülleri a a da verilmi tir. Bu formülleri ezber-lemek bize, toplam sembolü ile ifade edilen de eri kolayca hesaplamam z sa layacakt r.
1 + 2 + 3 + ... + n = ( )k
n n2
1
k
n
1=
+
=/
2 + 4 + 6 + ... + 2n = ( ) ( )k n n2 1k
n
1= +
=/
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = ( )k n2 1–k
n2
1=
=/
12 + 22 + 32 + ... + n2 = ( ) ( )
kn n n
61 2 1
k
n2
1=
+ +
=/
13 + 23 + 33 + ... + n3 = ( )k
n n2
1
k
n3
2
1=
+
=; E/
1 + r + r2 + ... + rn–1 = rrr
11
––k
n
k
n1
1
– ==/ , (r 1)
. . ( ) ( )n n k k n
n1 21
2 31
11
11
1…
k
n
1+ + +
+=
+=
+=/
ES
EN
YAY
INLA
RI
277
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ÖRNEK 33
A a daki örnekleri inceleyiniz.
. ( )k
210 10 1
k 1
10=
+
=/ = .
210 11 = 55
k2k 1
10=
=^ h/ 10.(10 + 1) = 10.11 = 110
( )k2 1 10–k
2
1
10=
=/ = 100
. ( ) . ( . )k
610 10 1 2 10 1
k
2
1
10=
+ +
=/ = . .
610 11 21
= 385
. ( )k
210 10 1
k
3
1
10 2
=+
=; E/ = .
210 11 2; E = 3025
21 2
1 2–
–k
k
1
1
10 10– =
=/ = –1 + 210 = 1023
( )k k 1
11110
k 1
10
+=
=/
. ( ) . ( ) ( . ) .k r i2
5 5 16
5 5 1 2 5 12
5 6irk
2 32
1
5
1
5
1
5+ + =
++
+ ++
===c m///
= . . . ( . )2
5 66
5 6 11 5 3 2+ +
= 5.3 + 5.11 + 152
= 295
ÖRNEK 34
10 + 11 + 12 + ... + 30 toplam n n de eri kaçt r?
Çözüm
10 + 11 + 12 + ... + 30 = kk 10
30
=/
= k k–kk 1
9
1
30
==//
= . .2
30 312
9 10–
= 420 olur.
Toplam Sembolünün Kullan m le lgili Özellikler
a bk kk
n
1!
=^ h/ = (a1 b1) + (a2 b2) + ... + (an bn)
= (a1 + a2 + ... + an) (b1 + b2 + ... + bn)
= a bkk
n
kk
n
1 1!
= =/ /
a b a bk kk
n
k kk
n
k
n
1 11! !=
= ==^ h/ //
ÖRNEK 35
k k–k
2
1
8
=^ h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
. ( ) . ( . ) . ( )
. . . .
k k k k
bulunur
68 8 1 2 8 1
28 8 1
68 9 17
28 9 168
– –
–
–
k kk
2
1
82
1
8
1
8=
=+ + +
= =
= ==^ h/ //
e
.c c c c n c…tannk
n
1= + + + =
= 1 2 3444 444/
.c n ck
n
1=
=/ dir.
ÖRNEK 36
5k 1
20
=/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
.5 20 5k 1
20=
=/ = 100 bulunur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
278
Toplam ve Çarp m Sembolleri
.c akk
n
1=
=/ c.a1 + c.a2 + c.a3 + ... + c.an
= c.(a1 + a2 + a3 + ... + an)
= .c akk
n
1=/
. .c a c ak kk
n
k
n
11=
==// dir.
ÖRNEK 37
( . )i5i 1
10
=/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
. .i i5 5ii 1
10
1
10=
==^ h // = .5
210 11· = 275 bulunur.
aak kk p
n
k
p
11+
= +=// = a1+ a2 +...+ ap+ ap+1+ ap+2+ ... + an
= a1 + a2 + ... + an
= akk
n
1=/
a a ak k kk
n
k p
n
k
p
111+ =
== +=/// dir.
ÖRNEK 38
k kkk 10
15
1
10+
==// ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
k k k k10kkkk 11
15
1
10
10
15
1
10+ = + +
====////
= 10 + k kk k1
10
11
15+
= =/ /
= 10 + kk 1
15
=/
= 10 + .2
15 16 = 130 bulunur.
ak rk p r
n r
–
–
+=/ = ap – r +r + ap – r + 1 + r + ... + an – r + r
= ap + ap+1 + ... + an = akk p
n
=/
ak rk p r
n r
–= +
+/ = ap + r – r + ap + r + 1 – r + ... + an + r – r
= ap + ap+1 + ... + an = akk p
n
=/
a a ak k r k rk p r
n r
k p r
n r
k p
n
––
–= =+
= +
+
==/// dir.
ÖRNEK 39
( )k2 3–k 4
10
=/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
[ ]k k2 3 2 3 3– –k k4
10
4 3
10 3
–
–= +
= =^ ^h h/ /
= k2 6 3–k 1
7+
=^ h/
= k2 3k 1
7+
=^ h/
= . k2 3kk 1
7
1
7+
==//
= . .22
7 8 3 7· + = 77 bulunur.
ÖRNEK 40
k3 1k 1
8
–+
=^ h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
[ ]k k3 1 3 2 1–kk 1 2
8 2
1
8
––+ = +
= +
+
=^ ^h h//
= k3 5–k 1
10
=^ h/
= . k3 5–kk 1
10
1
10
==
//
= . .32
10 11 5 10· – = 115 bulunur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
279
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ÖRNEK 41
k n2 1kn 0
2
1
3+ +
==^ h// ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
. . .
[ ]
. .
k n k n
k
k
k
k
2 1 2 1
2 32
3 4 1 3
6 9
6 1 9
6 3
62
3 4 3 3
–
·
kn nk
k
k
k
k
0
2
1
3
1
3
0
2
0
2
0
2
0 1
2 1
1
3
+ + = + +
= + +
= +
= +
= +
= +
== ==
=
=
= +
+
=
^ ^
c
^
^
^
h h
m
h
h
h
// //
/
/
/
/
= 45 bulunur.
ÖRNEK 42
[ ]n n1 2–n 2
10+
=^ ^h h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
[ ]n n1 2–n n2
10
2 1
10 1
–
–+ =
= =^ ^h h/ / [(n + 1 + 1).(n + 1 – 2)]
= n 1
9
=
/ [(n + 2).(n – 1)]
= n 1
9
=
/ (n2 – n + 2n – 2)
= n 1
9
=
/ (n2 + n – 2)
= . . . .6
9 10 192
9 10 2 9–+
= 312 bulunur.
ÖRNEK 43
k k1–k
22
15
=/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
k k k
Ak
B1
11– –
= +^ h 1 = A(k – 1) + Bk
1 = (A + B)k – A
A + B = 0 , 1 = –A
A = –1 , B = 1
k k k1
11
1– –kk
22
15
2
15=
== ^ h//
= k k1
11––k 2
15+
=c m/
= 21
11
31
21
41
31
151
141– – – … –+ + + + + + + +c c c cm m m m
= 11
151–+
= 1151–
= 1514 bulunur.
ÖRNEK 44
( )f n i 2i
n
1= +
=^ h/ ve ( )g n i
i
n2
1=
=/ ise
(fog)(3) ün de eri kaçt r?
Çözüm
(fog)(3) = f(g(3)) = f ii
2
1
3
=f p/
= . .f6
3 4 7c m = f(14)
= i 2i 1
14+
=^ h/
= . .2
14 15 2 14+
= 133 bulunur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
280
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ÖRNEK 45
2 k
k
2
3
15
=/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
.
·4
·4
.bulunur
2 4 4
4 4
1 41 4
34 1
34 4
––
–
–
k
k
k
k
k
k
k
k
2
3
15
3
152
3 2
15 2
1 3
1
13
133
133
16 3
–
–
–
= =
=
=
=
=
= =
+
=
=
/ / /
/
ÖRNEK 46
n n5 61
–n2
4
30
+=/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
n n n n n
An
B5 61
2 31
2 3– – – – –2 += = +^ ^h h
1 = A(n – 3) + B(n – 2)
1 = (A + B)n – 3A – 2B
A + B = 0 , –3A – 2B = 1
A = –1 , B = 1 dir. O halde,
n n n n6
12
13
15– –
––n n
24
30
4
30
+= +
= =c m/ /
= 21
11
31
21
281
271– – … –+ + + + + +c c cm m m
= 11
281–+
= 2827 bulunur.
ÖRNEK 47
mn
nm 1
2
1
6
==// ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
m m mn
mnm
1 2
1
6
1
2
1
6= +
===^ h///
= m mmm
2
1
6
1
6+
==//
= . . .2
6 76
6 7 13+
= 112 bulunur.
ÖRNEK 48
k A2k
2
1
10+ =
=^ h/ ise
B = 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + 11.12 toplam n n A türün-
den de eri nedir?
Çözüm
B = 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + 11.12
= k k1 2k 1
10+ +
=^ ^h h/
= k k3 2k
2
1
10+ +
=^ h/
= k k k4 4 2– –k
2
1
10+ +
=^ h/
= k 1
10
=
/ [(k + 2)2 – k – 2]
= k k2 2– –k k k
2
1
10
1
10
1
10+
= = =^ h/ / /
= A – .2
10 11 – 2.10
= A – 75 bulunur.
281
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a daki toplamlar sembolü ile ifade ediniz.
a. 5 + 10 + 17 + 26 + ... + 145
b. –11 – 8 – 5 – ... + 34 + 37
c. 32
53
74
3317…+ + + +
d. –1 + 2 – 3 + 4 – ... – 19 + 20
e. 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 50.51.52
f. 1.3 + 2.7 + 3.11 + ... + 14.55 + 15.59
2. A a daki toplamlar n sonucunu bulunuz.
a. 3–k 1
8
=^ h/
b. 8k 2
8
–=/
c. kn 1
10
–=/
d. ii
2
1
3
=/
e. 2r
r 0
5
=/
f. n 1n 1
52+
=^ h/
g. k k 1k
2
1
10+ +
=^ h/
h. a3 2a 0
10+
=^ h/
i. n n 1n 1
10+
=^ h/
j. k k k2 4–k
5 3
12
12
–+
=^ h/
3. A a daki toplamlar n sonucunu bulunuz.
a. kr 3rk 1
3
1
4+
==^ h//
b. mn n2–nm 2
5
1
5
==^ h//
c. bb
a
a 11
3
==
//
d. z y xzyx 1
2
1
3
1
4+ +
===^ h///
4. a3 kk
n
1=/ = 32n+1 ise a5 + a6 kaçt r?
5. f(x) = x – 1 ve g(x) = x2 – 1 ise gof xx 1
4
=^ ^h h/
ifadesinin de eri kaçt r?
ALIŞTIRMALAR – 2
1. a. ( )k 1k
2
2
12+
=/ b. ( )k3 14–
k 1
17
=/ c.
nn
2 11
n 1
16
++
=/ d. .k1– k
k 1
20
=^ h/ e. . ( 1) . ( 2)k k k
k 1
50+ +
=/ f. (4 1)k k –
k 1
15
=/
2. a. –24 b. 88 c. 12k d. 14 e. 63 f. 90 g. 450 h. 187 i. 440 j. 0 3. a. 96 b. 70 c. 10 d. 144 4. 38.80 5. 10
Toplam ve Çarp m Sembolleri
282
ES
EN
YAY
INLA
RI
6. ( )k k 1k
n
1+
=/ ifadesi neye e ittir?
7. k k
1k
n
21 +=/ ifadesi neye e ittir?
8. logk
k 1k
n
1
+=
c m/ ifadesi neye e ittir?
9. [ ]f k f k1 –k
n
1+
=^ ^h h/ ifadesi neye e ittir?
10. k4 1
1–k
n
21=/ ifadesi neye e ittir?
11. k2 5k 2
10
–+
=^ h/ ifadesi neye e ittir?
12. . r1 2 1– –r
r
0
15
=^ ^h h/ ifadesi neye e ittir?
13. an = 1 + 21
41+ + ... +
21n 1–
ise akk 1
3
=/
ifadesi kaça e ittir?
14. !S knk
n
1=
=/ ise S2 + S3 + S4 kaçt r?
15. 5 40k
n
0=
=/ ise n kaçt r?
6. n n n
31 2+ +^ ^h h
7. n
n1+
8. log(n + 1) 9. f(n + 1) – f(1) 10. nn
2 1+
11. 169 12. –16 13. 4
17 14. 45 15. 7
ES
EN
YAY
INLA
RI
283
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ÇARPIM SEMBOLÜ ( )
f: Z R , f(k) = ak ve r n , (r, n Z) olmak üzere,
f(r) = ar , f(r+1) = ar+1 , f(r+2) = ar+2 , ..., f(n) = an terimlerinin çarp m n
ar.ar+1.ar+2. ... .an = akk r
n
=%
biçiminde ifade edebiliriz. Burada kullan lan sembol, çarp m sembolü ya da Yunan alfabesinin pi ( ) har-fini içeren sembolüdür.
akk r
n
=% ifadesinde;
r alt s n r, n üst s n r ve k de i kendir.
Bu ifade “k = r den n ye kadar ak say lar n n çarp m ” eklinde okunur.
ÖRNEK 49
A a daki örnekleri inceleyiniz.
a4.a5.a6......a16 = akk 4
16
=%
1.2.3.4......20 = kk 1
20
=%
6.7.8.9......34 = kk 6
34
=%
2.4.6.8......50 = k2k 1
25
=^ h%
1.4.9.16......169 = kk
2
1
13
=%
e
. .6 6 6 6 6……tann k
n
1=
=1 2 344 44 %
5.52.53......5n = 5k
k
n
1=%
………k
k21
32
43
2120
1· ·
k 1
20=
+=%
kk 2
4
–=
=% (–2).(–1).0.1.2.3.4 = 0
. . . .a a a a a a ak
5
1
5= =
=%
ÖRNEK 50
3.8.15.24......120 ifadesini sembolü kullanarak yaz n z.
Çözüm
3 = 22 – 1
8 = 32 – 1
15 = 42 – 1
120 = 112 – 1 oldu undan,
3.8.15.24......120 = k 1–k
2
2
11
=^ h%
biçiminde yaz l r.
ÖRNEK 51
k1
11
k 1
98+
+=c m% ifadesinin de eri kaçt r?
Çözüm
……
.
k kk
olur
11
112
23
34
45
99100
2100 50
· ·
k k1
98
1
98+
+=
++
=
= =
= =c m% %
ÖRNEK 52
log k 1k 2
255+
=k ^ h% ifadesinin de eri kaçt r?
Çözüm
log k 1k 2
255+
= k^ h% = log23.log34.log45.......log255256
= log2256
= log228
= 8.log22 = 8.1 = 8 olur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
284
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ÖRNEK 53
k k 6–k
2
1
20+
=^ h% ifadesinin de eri kaçt r?
Çözüm
[ ]k k k k6 3 2– –k k
2
1
20
1
20+ = +
= =^ ^ ^h h h% %
= [4.(–1)].[5.0].[6.1]......[23.18]
= 4.(–1).5.0.6.1......23.18
= 0 olur.
ÖRNEK 54
k k9–k
3
1
30
=^ h% ifadesinin de eri kaçt r?
Çözüm
[ ( )]
[ . ]
k k k k
k k k
9 9
3 3
– –
–
k k
k
3
1
302
1
30
1
30
=
= +
= =
=
^
^ ^
h
h h
% %
%
= [1.(–2).4].[2.(–1).5].[3.0.6]...[30.27.33]
= 1.(–2).4.2.(–1).5.3.0.6......30.27.33
= 0 olur.
ÖRNEK 55
tan °1
89a
a =% ifadesinin de eri kaçt r?
Çözüm
tan89° = cot1°, tan88° = cot2°, ..., tan46° = cot44°
ve tan45° = 1 dir.
Ayr ca, tanx.cotx = 1 oldu undan,
tan °1
89a
a =% = tan1°.tan2°.....tan45°.....tan88°.tan89°
= tan1°.tan2° ... tan45° ... cot2°.cot1°
= tan1°.cot1°.tan2°.cot2° ... tan44°.cot44°.tan45° 1 1 1 1
= 1.1 ..... 1.1 = 1 olur.
ÖRNEK 56
x2 – 6x – 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak
üzere xkk 1
2
=% ifadesinin e iti kaçt r?
Çözüm
ax2 + bx + c = 0 denkleminde kökler çarp m
x1.x2 = ac oldu undan;
x2 – 6x – 4 = 0 denklemi için,
.x x xkk
1 21
2=
=% =
14– = –4 olur.
ÖRNEK 57
x3 + 2x2 – 2x – 1 = 0 denkleminin kökleri x1 , x2 ve
x3 olmak üzere, x xk kkk 1
3
1
3+
==%/ ifadesinin e iti kaçt r?
Çözüm
ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri ara-
s nda x1 + x2 + x3 = ab– ve x1.x2.x3 =
ad–
ba nt lar vard r. Dolay s ile,
x3 + 2x2 – 2x – 1 = 0 denklemi için,
x xk kkk 1
3
1
3+
==%/ = x1 + x2 + x3 + x1.x2.x3
= 12
11– + = –1 olur.
ÖRNEK 58
k1 1 3–
k
n
4
4–==c m% ise n kaçt r?
Çözüm
k1 1 3–
k
n
4
4–==c m%
kk 1 3–
k
n4
4
–==%
…n
n43
54
65 1 3· · – 4–=
n3 = 3–4
n3
= 34 n = 35 olur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
285
Toplam ve Çarp m Sembolleri
Çarp m Sembolünün Özellikleri
e
. .c c c c c c…tann
n
k
n
1= =
= 1 2 344 44%
c cn
k
n
1=
=% dir.
ÖRNEK 59
2k 1
6
=% ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
2k 1
6
=% = 2.2.2.2.2.2 = 26 = 64 bulunur.
. . !k n n1 2 3……k
n
1= =
=%
!k nk
n
1=
=% dir.
ÖRNEK 60
kk 1
10
=% ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
kk 1
10
=% = 1.2.3......10 = 10! bulunur.
.c akk
n
1=^ h% = c.a1.c.a2.c.a3......c.an
= cn.a1.a2.a3......an = cn. akk
n
1=%
.c akk
n
1=^ h% = cn. ak
k
n
1=% dir.
ÖRNEK 61
k2k 1
5
=^ h% ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
.k k2 2k k1
55
1
5=
= =^ h% % = 25.5! bulunur.
rk
k
n
1=% = r1.r2.r3......rn = r1+2+3+......+n = r
( )n n2
1+
r r( )
kn n
k
n2
1
1=
+
=% dir.
ÖRNEK 62
3k
k 1
6
=% ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
3k
k 1
6
=% = 3
.2
6 7
= 33.7 = 321 dir.
.a bk kk
n
1=^ h% = a1.b1.a2.b2......an.bn
= a1.a2......an.b1.b2......bn
= .a bk kk
n
k
n
11 ==%%
. .a b a bk k k kk
n
k
n
k
n
111=
===^ h %%% dir.
ÖRNEK 63
.k2k
k 1
5
=^ h% ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
. .k k2 2k
k
k
kk1
5
1
5
1
5=
= ==^ h% %%
= . !2 5.2
5 6
= 215.5! bulunur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
286
Toplam ve Çarp m Sembolleri
a k pk m p
n p
–= +
+
^ h% = a(m+p–p).a(m+p+1–p)......a(n+p–p)
= am.am+1......an = akk m
n
=%
a k pk m p
n p
–
–
+=
^ h% = a(m–p+p).a(m–p+1+p)......a(n–p+p)
= am.am+1......an = akk m
n
=%
a a akk m
n
k pk m p
n p
k pk m p
n p
––
–
= == = +
+
+=
^ ^h h% % % dir.
ÖRNEK 64
r 3r 2
7
–+
=^ h% ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
[ ]r r3 3 3–r r2
7
2 3
7 3
– –+ = +
= = +
+^ ^h h% % = rr 1
10
=% = 10!
ÖRNEK 65
15k 5
10
–=% ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
15 15kk 5 6
10 6
5
10
––=
= +
+
=%% = 15
k 1
16
=% = 1516 bulunur.
.a a a a…kpp
m
k
n
k k kmk
n
111 2
1=
== =f ^p h%% %
= (a11.a12......a1m).(a21.a22......a2m)
......(an1.an2......anm)
= .a a a…p p npp
m
p
m
p
m
1 2111 ===%%%
= .a a a…p p npp
m
1 21=^ h% = akp
k
m
p
m
11 ==d n%%
a akpp
m
kpk
n
p
m
k
n
1 111=
= ===f dp n% %%% dir.
ÖRNEK 66
.k ppk 1
5
1
2
==^ h%% ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
. .k p k ppk kp1
5
1
2
1
2
1
5=
== ==^ ^h h%% %%
= [ . . . ]p p1 2p 1
5
=^ ^h h%
= p2p
2
1
5
=^ h%
= . p2p
5 2
1
5
=^ h% = 25.(5!)2 bulunur.
ÖRNEK 67
rk
rk 1
2
1
3
==c m%% ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
.
! .
rk k k
k
k
bulunur
1 2
2
21
81 3
29
·
·
rk k
k
k
1
2
1
3
1
3
2
1
3
32
1
3
2
=
=
=
= =
== =
=
=
c c
c ^^
m m
m hh
%% %
%
%
ÖRNEK 68
m n 2nm 1
3
1
2+ +
==^ h% / ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
. . .m n m2 32
3 4 2 3nm m1
3
1
2
1
2+ + = + +
== =^ ch m% %/
= .m3 12m 1
2+
=^ h%
= [ . ]m3 4m 1
2+
=^ h%
= 32. m 4m 1
2+
=^ h%
= 32.5.6 = 270 bulunur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
287
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ÖRNEK 69
m n 2mn 1
2
1
3+ +
==^ h%/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
m n 2mn 1
2
1
3+ +
==^ h%/ =
n 1
3
=/ [(1 + n + 2).(2 + n + 2)]
= n 1
3
=/ [(n + 3).(n + 4)]
= n 1
3
=/ (n2 + 7n + 12)
= . . . .6
3 4 7 72
3 4 12 3·+ +
= 14 + 42 + 36
= 92 bulunur.
Burada, m n m n2 2mn nm1
2
1
3
1
3
1
2+ + + +
== ==^ ^h h% %/ /
oldu una dikkat ediniz. Yani,
.a a dirkpp
m
k
n
kpk
n
p
m
11 11== ==% %/ /
ÖRNEK 70
r rr
2
1
10+
=^ h% ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
r rr
2
1
10+
=^ h% = [ . ]r r 1
r 1
10+
=^ h%
= .r r 1rr 1
10
1
10+
==^ h%%
= 10!.11! = 11.(10!)2 bulunur.
ÖRNEK 71
2r
n
i 11
5
==d n%% ifadesinin sonucu nedir?
Çözüm
2 2r
n
i
n
i11
5
1
5=
== =d n%% % = (2n)5 = 25n bulunur.
ÖRNEK 72
2r
n
i 11
5
==d n%/ ifadesinin sonucu nedir?
Çözüm
2 2r
n
i
n
i11
5
1
5=
== =d ^n h%/ /
= 5.2n bulunur.
ÖRNEK 73
k k1 2 1 100
k
n
21
+ + ==c m% ise n kaçt r?
Çözüm
k k1 2 1 100
k
n
21
+ + ==c m%
kk k2 1 100
k
n
2
2
1
+ + ==%
k
k 1 100k
n 2
1
+ ==c m%
n
n12
23
34 1 100· · …
2+ =c m (n + 1)2 = 100
n = 9 bulunur.
ÖRNEK 74
log 34k
n
1=
2% ifadesinin e iti nedir?
Çözüm
log 9
2. 3log log34 2
2
9
k
n
k
n
k
n
k
n
1 1
2
1
1
2=
=
=
= =
=
=
2% %
%
%
= 9n bulunur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
288
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ÖRNEK 75
a xrr
n3
1=
=% ve log a 3r
r
n
1=
=^ h/ ise x kaçt r?
Çözüm
log a 3rr
n
1=
=^ h/ loga1 + loga2 + ... + logan = 3
log(a1.a2.....an) = 3
a1.a2.....an = 103
a 10rr
n3
1=
=%
x3 = 103
x = 10 bulunur.
ÖRNEK 76
k 2 30k
n21
1=
=% ise n kaçt r?
Çözüm
k 2 30k
n21
1=
=% !n 2 302
1=^ h
n! = (2c30)2
n! = 4.30
n! = 120
n! = 5!
n = 5 bulunur.
ÖRNEK 77
5log k
k 1
4
=24% ifadesinin e iti kaçt r?
Çözüm
. . .
.bulunur
5 5 5 5 5
5
5
5 5 5
. . .
log log log log log
log log log log
log
log
k
k 1
41 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
24 1
=
=
=
= = =
=
+ + +
24 24 24 24 24
24 24 24 24
24
24
^ h
%
ÖRNEK 78
. .r k k4–rk 1
15
1
10
==^ h%/ ifadesinin e iti kaçt r?
Çözüm
. . .
.
[ . . . . . ]
[ . ] . .
r k k k r
k r
k
k d r
4 4
4
3 2 1 0 1 11
0 0 0 15 0
– –
–
– – – …
rk rk
rk
k
k k
1
15
1
10
1
15
1
10
15
1
15
1
10
15
1
15
15
1
15
1
15
=
=
=
= = = =
== ==
==
=
= =
^ ^
^
^ ^ ^
h h
h
h h h
% %
%
/ /
/
/
/ /
ÖRNEK 79
f, g : N+ N+ , f(x) = kk
x
1=/ ve g(x) = k
k
x
1=%
ise (gof)(5) kaça e ittir?
Çözüm
(gof)(5) = g(f(5)) = g kk 1
5
=f p/ = .g
25 6c m
= g(15)
= kk 1
15
=% = 15! olur.
ÖRNEK 80
x2 – 6x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak
üzere, .x xk mmk 1
2
1
2
==%/ ifadesinin sonucu kaçt r?
Çözüm
. . ..x x x x x x1
k mmk
k kk1
2
1
2
1
2
2=== =
^ ^h h6 @%/ /
= . . .,x x x x xac
kk
21 2 2
1
2
1 ==_ bi l/
= .x 3kk
2
1
2
=_ i/
= . x3 kk
2
1
2
=/
= . x x3 2 21 2+_ i
= 3[(x1 + x2)2 – 2x1.x2]
= 3(62 – 2.3)
= 3.30 = 90 bulunur.
289
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a daki çarp mlar % sembolü ile ifade ediniz.
a. 5.7.9......81
b. 42.62.82......802
c. 7.10.13.16......79
d. 3.(–5).7.(–9)......(–41).43
e. 119.219.319......1919
f. 2.22.23......219
2. A a daki çarp mlar n sonucunu bulunuz.
a. 21
k 1
5
=c m% f. k
n 1
20
=%
b. 31
t 3
10
=c m% g. n2
n 1
10
=^ h%
c. kk 1
10
=% h. 3k
k 1
12
=%
d. tt 3
10
=% i. [ . ]k2 1k
k 1
8+
=^ h%
e. n 3–n 5
16
=^ h% j. ( )n n 20–
n
2
3
13
–+
=%
3. A a daki ifadelerin sonucunu bulunuz.
a. .n knk 3
4
1
2
==^ h%%
b. kn
nk
2
1
2
1
2
==c m%%
c. 2nk 1
5
1
4
==%%
d. 2n
x
k 10
4
==%%
e. 2nk 1
5
1
4
==%/
f. n3np 1
6
1
8
==%%
g. 2k
x
p 21
15
==%/
h. nk
nk 1
10
1
10
==%%
ALIŞTIRMALAR – 3
1. a. ( )k2 3k 1
39+
=% b. ( )k2 2
k
2
1
39+
=% c. (3 4)k
k 1
25+
=% d. ( 1) . (2 1)k– 1k
k 1
21++
=% e. k
k
19
1
19
=% f. 2k
k 1
19
=% 2. a.
321 b. 3–8 c. 10! d. !
210
e. 13! f. k20 g. 210.10! h. 378 i. 236.9! j. 0 3. a. 576 b. 4 c. 220 d. 25x e. 128 f. 8180 8c m g.
215 2x h. (10!)55
Toplam ve Çarp m Sembolleri
290
ES
EN
YAY
INLA
RI
4. ba
b
a
k
k
k
n
kk
n
kk
n
1
1
1==
=
=%%
% oldu unu gösteriniz.
5. cos °0
180a
a =% ifadesinin de eri nedir?
6. kkk 1
10
1
10
==%% ifadesinin de eri nedir?
7. f: N+ R , f(x) = 3k
k
x
1=% oldu una göre,
(fof)(1) kaça e ittir?
8. 1–k
k
0
50
=^ h% ifadesinin e iti kaçt r?
9. log k k k3 3 1k
3 2
2
15+ + +
=k ^ h% ifadesinin e iti nedir?
10. k
k k2 1k
n 2
1
+ +=% ifadesinin e iti nedir?
11. cot °1
89a
a =% ifadesinin de eri nedir?
12. kk
49
––
k2
2
4
20
=% ifadesinin sonucu kaçt r?
13. P(x) = x k–k
2
1
10
=^ h% polinomunun sabit terimi kaç-
t r?
14. n > 1 olmak üzere, log k 1k n
m+
=k ^ h% ifadesinin
de eri nedir?
15. log2 = x ve log3 = y oldu una göre,
log k 1k 3
11+
=k ^ h% ifadesinin x ve y türünden
de eri nedir?
5. 0 6. (10!)10 7. 36 8. 1 9. 314.4 10. (n + 1)!.(n + 1)
11. 1 12. 10823 13. (10!)2 14. logn(m + 1) 15. 1 +
yx2
ES
EN
YAY
INLA
RI
291
YAZILIYA HAZIRLIK – 1
1. k3 1k 2
7
–+
=^ h/ ifadesinin e itini bulunuz.
2. k2 1 25–k
n
1=
=^ h/ ise
k2k
n
1=/ ifadesinin e itini bulunuz.
3. k k2 4k 2
7
–+ +
=^ ^h h/ ifadesinin e itini bulunuz.
4. n m m3–nm
2
2
3
1
5
==^ h// ifadesinin e itini bulunuz.
5. k1 3 1– k
k 1
21+
=^ ^h h/ ifadesinin e itini bulunuz.
6. coskk 180
360
°
°
=/ ifadesinin e itini bulunuz.
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
292
1. 85 2. 30 3. 375 4. 105 5. –34
6. 0 7. 1050 8. !210
9 9. 231 10. 121
7. k k 2k
3
9
10
–+ +
=^ h/ ifadesinin e itini bulunuz.
8. k2k 2
10
=% ifadesinin e itini bulunuz.
9. k
k 2k 1
20 +=% ifadesinin e itini bulunuz.
10. k k
1 1 2k
21
10+ +
=c m% ifadesinin e itini bulunuz.
ES
EN
YAY
INLA
RI
293
YAZILIYA HAZIRLIK – 2
1. k k 1–k 1
35+
=^ h/ ifadesinin e itini bulunuz.
2. f(x) = 2x + 1 , x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3 ise
x f x1–k kk 1
3
=^ ^h h/ ifadesinin e itini bulunuz.
3. k k n an bn c1–k
n
1
2= + +=^ ^h h/ e itli ini sa layan
a + b + c de erini bulunuz.
4. k k 2
1k 1
20
+= ^ h/ ifadesinin e itini bulunuz.
5. ,x n y m x1 1 0–kk
n
k kk
n
1 1+ = + =
= =^ ^h h/ / ise
.x yk kk
n
1=/ ifadesinin e itini bulunuz.
6. ,a x a y ve a zk k kkk
n
k
n
1
3
13= = =
===/// ise
a3 nedir?
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
294
1. –5 2. 19 3. 0 4. 462325 5. m
6. x – y + z 7. 1 8. 16 9. 26 10. ( ) ( )m m m3
1 7 5+ +
7. tankk 1
89
°
°
=% ifadesinin e itini bulunuz.
8. log logk x1k 3
80+ =
=k 2^ h% e itli ini sa layan x de-
erini bulunuz.
9. !k
4152x
k 2
16=
=% e itli ini sa layan x de erini bulu-
nuz.
10. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + n(n + 1) = ( ) ( )n n n3
1 2+ +
olmak üzere,
m(m + 1) + (m + 1)(m + 2) + ..... + 2m(2m + 1) ifadesinin e itini bulunuz.
ES
EN
YAY
INLA
RI
295
TEST – 1 Toplam Sembolü
1. k2 3–k 1
12
=^ h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 114 B) 120 C) 132 D) 140 E) 153
2. k k 1–k 1
6
=^ h/ ifadesi kaça e ittir?
A) 56 B) 60 C) 64 D) 70 E) 78
3. 2k
k 0
12
=/ ifadesinin e iti a a dakilerden hangisi-
dir?
A) 212 + 1 B) 213 C) 212 D) 212 – 1 E) 213 – 1
4. k k2 –kk
5 5
2
15
1
15+
==^ h // ifadesinin e iti kaçt r?
A) 0 B) 30 C) 31 D) 45 E) 46
5. kn
nk 2
3
1
2
==// ifadesinin e iti kaçt r?
A) 215 B) 8 C)
217 D) 9 E) 10
6. . n1 3 1– n
n 1
3+
=^ ^h h/ ifadesi kaça e ittir?
A) –21 B) –7 C) 1 D) 7 E) 21
7. k 1
80
=
/ [ log3k – log3(k + 1)] ifadesinin e iti nedir?
A) –1 B) –2 C) –3 D) – 4 E) –5
8. i2 = –1 olmak üzere,
ikk 1
19
=/ ifadesinin sonucu nedir?
A) 1 B) 0 C) 2i – 1D) –2i E) –1
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
296
1.B 2.D 3.E 4.C 5.A 6.B 7.D 8.E 9.A 10.C 11.D 12.E 13.A 14.B 15.C 16.B
9. k3 2k 2
9
–+
=^ h/ ifadesinin e iti kaçt r?
A) 150 B) 144 C) 136 D) 130 E) 124
10. ,2 1 6r
r
8
6
3
–++
=^ h/ ifadesinin e iti kaçt r?
A) 2048 B) 2064 C) 4108D) 4124 E) 4408
11. x 1 48n
x
1
1–+ =
=^ h/ ise x kaçt r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
12. iji 1
5
1
5
–==// ifadesinin e iti kaçt r?
A) 80 B) 92 C) 94 D) 100 E) 105
13. .x n1 2 3 120……k
n
k
n
k
n
k
n
111 1+ + + + =
=== =/// /
oldu una göre, x kaçt r?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
14. ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre,
x x2 –k kkk 1
2
1
2
==// ifadesinin e iti nedir?
A) ab B)
ab– C)
ac D)
ac– E) 0
15. cos °2
1
90a
a =/ ifadesinin e iti kaçt r?
A) 0 B) 44 C) 289 D) 45 E)
291
16. . ( )k f k xk
x2
1=
=/ oldu una göre, f(10) kaçt r?
A) 1 B) 1019 C) 2 D)
1021 E) 10
ES
EN
YAY
INLA
RI
297
Toplam SembolüTEST – 2
1. k k3 4–k
2
7
12+
=^ h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 420 B) 412 C) 360 D) 320 E) 300
2. 3k 5
12
=/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 E) 30
3. 1– k
k
2 1
4
10–
=^ h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 8 B) 7 C) 0 D) –7 E) – 8
4. kk
3
5
4
–=/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) –125 B) – 64 C) –27D) 0 E) 64
5. f(x) = 2x – 1 ve g(x) = 3x + 1 olmak üzere,
fog xx 1
6
=^ ^h h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 108 B) 114 C) 120 D) 126 E) 132
6. . k1 2– k
k 3
25
–+
=^ ^h h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) –14 B) –13 C) –12 D) 14 E) 15
7. b jkkjb 1
5
1
4
1
3+
===^ h/// ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 480 B) 500 C) 540 D) 570 E) 600
8. x x2 1 2 1– –x 4
31+
=^ h/ ifadesinin sonucu ne-
dir?
A) –v7 B) 3 + v7 C) 2v7
D) 3v7 E) 3 61–
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
298
1.B 2.C 3.D 4.A 5.E 6.B 7.D 8.C 9.E 10.A 11.B 12.C 13.D 14.E 15.A 16.B
9. k 7
7
–=/ (k7 + 7) ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 0 B) 7 C) 91 D) 98 E) 105
10. .k x 1 407k 1
11+ =
=^ h/ oldu una göre, x kaçt r?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
11. f(x) = 2x – 3 , x1 = 2 ve x2 = 3 oldu una göre,
i 1
2
=/ [(xi – 1).f(xi)] ifadesinin e iti kaçt r?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
12. k k2 3
1k 2
15
+ += ^ ^h h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 365 B)
61 C)
367 D)
92 E)
185
13. 6.8 + 8.10 + 10.12 + ...... + 24.26 toplam n n sonucu kaçt r?
A) 1440 B) 1820 C) 2440D) 2880 E) 4320
14. k 1
1–k
23
14
=/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 10573 B)
10576 C)
21083
D) 21078 E)
21073
15. logk
11
1–k 2
53
+=3 c m/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) –3 B) –2 C) 1 D) 2 E) 3
16. cos k2k 2
34
–
r
=c m/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
ES
EN
YAY
INLA
RI
299
Çarp m SembolüTEST – 3
1. kk 2
10
=% ifadesinin sonucu nedir?
A) 10! B) !2
10 C) 108
D) 210 E) 5!
2. k 3–k
2
4
8
–=^ h% ifadesinin sonucu nedir?
A) 0 B) 12! C) (12!)2
D) 13! E) (13!)2
3. 2k 3
15
=% ifadesinin sonucu nedir?
A) 2 B) 26 C) 30 D) 213 E) 215
4. k
k 1–k 4
15
=c m% ifadesinin sonucu nedir?
) ) ) ) )A B C D E61
51
41
31
21
5. cos °1
135a
a =% ifadesinin sonucu nedir?
A) –1 B) 21– C) 0 D)
21 E) 1
6. log k 1–k 4
27
=k ^ h% ifadesinin sonucu nedir?
A) 23 B) 1 C)
21 D)
31 E)
41
7. 2k
k
1
1
8–
=% ifadesinin sonucu nedir?
A) 220 B) 222 C) 224 D) 226 E) 228
8. log n 1n 2
15+
=n ^ h% ifadesinin sonucu nedir?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
300
1.A 2.A 3.D 4.B 5.C 6.D 7.E 8.B 9.C 10.E 11.D 12.C 13.B 14.C 15.E 16.A
9. °
sincos 1
°–
1
90
a
a
a =
^ h% ifadesinin sonucu nedir?
A) 0 B) 2– 45 C) 1 D) 2 E) 245
10. x2 + 4x + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise
x 3–ii 1
2
=^ h% çarp m n n sonucu nedir?
A) 0 B) 1 C) 12 D) 13 E) 22
11. ik2ki 1
2
1
2
==^ h%% ifadesinin sonucu nedir?
A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29
12. 4log
n
x 4
1=
2% ifadesinin sonucu a a dakilerden
hangisidir?
A) 2x B) 22x C) 24x D) 16x E) 16!
13. n
1 1 7n
x
3+ =
=c m% oldu una göre, x kaçt r?
A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) 17
14.
n27
3
n
k
1
40
10
=
=
%
% ifadesinin e iti nedir?
A) 0 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16
15. n nn
2
1
10+
=^ h% ifadesinin sonucu a a dakilerden
hangisidir?
A) 2.10! B) (10!)2 C) (10!)2.2D) 10!.11 E) (10!)2.11
16. nk
nk 1
10
1
10
==%% ifadesinin e iti a a dakilerden han-
gisidir?
A) (10!)55 B) (10!)10! C) (10!)10
D) 1055 E) 1010
ES
EN
YAY
INLA
RI
301
TEST – 4
1. 1.3 + 2.5 + 3.7 + ...... + 12.25 toplam n n de eri kaçt r?
A) 1378 B) 1360 C) 1340D) 1324 E) 1300
2. n2 78n k
k
2
2 3
–
–=
=^ h/ ise k kaçt r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
3. k xk
n
1=
=/ oldu una göre,
k kk
n
k
n
91+
==// ifadesinin de eri a a dakilerden
hangisidir?
A) x + 9 B) x + 10 C) x + 18D) x + 19 E) x + 20
4. 2kn 3
4
1
6
==f p%/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36
5. k an bn c3 1–k n
n
2
2 12
–= + +
=
+ ^ h/ ise
a + b + c toplam kaçt r?
A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10
6. k k 180k mk
m
4
20
1+ =
= +=// ise m kaçt r?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
7. !
( )k
k f n1k
n
1 +=
= ^ h/ ise 1 – f(49) kaçt r?
A) !50
1 B) !49
1 C) 49!
D) 50! E) 50! + 1
8. . . . ( )n n n
n1 21
2 31
3 41
11
1……+ + + +
+=
+ ise
. . .20 211
21 221
99 1001…+ + + ifadesinin e iti
kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E501
251
1009
9910
10099
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
302
1.A 2.C 3.D 4.B 5.E 6.A 7.A 8.B 9.B 10.D 11.C 12.D 13.E 14.E 15.D 16.C
9. 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 + ..... + 1.2.3.....15 ifadesi a a dakilerden hangisi ile ifade edilebi-
lir?
A) nnk 1
10
1
15
==%/ B) n
n
k
k 11
15
==%/
C) nn
k
k 11
15
==% / D) n
nk 1
15
1
10
==%/
E) nnk 1
15
1
15
==
%%
10. n 1n
3
5
5
–+
=^ h/ ifadesinin sonucu a a dakilerden
hangisidir?
A) 0 B) 1 C) 10 D) 11 E) 230
11. . .n4 2n
n 1
10
=^ h% ifadesinin sonucu a a dakilerden
hangisidir?
A) 10!.255 B) 10!.257 C) 10!.275 D) 10!.2110 E) 10!.2112
12. k n2 1–kn 1
3
1
4+
==^ h// ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 75 B) 60 C) 45 D) 30 E) 15
13. x
n
1=/ (x2 – 4x + 6) –
x
n
1=/ (2 – x)2 = 36 ise
n kaçt r?
A) 4 B) 6 C) 9 D) 12 E) 18
14. cot °k 1
89
1
5
–a
a ==f p%/ ifadesinin e iti kaçt r?
A) 0 B) 1 C) 5 D) 6 E) 7
15. 41
31 2–
k
n k
1
20–=
=c m/ ise n kaçt r?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12
16. .ise k n2 2 1 2–k n
kk
4
1
4
0
11= +
==^ h//
ifadesinin de eri kaçt r?
A) 34 B) 36 C) 38 D) 40 E) 42
ES
EN
YAY
INLA
RI
303
TEST – 5
1. n2 5–n 5
15
=^ h/ toplam n n sonucu kaçt r?
A) 135 B) 145 C) 150 D) 160 E) 165
2. !k 1k 1
60+
=^ h/ toplam n n 15 ile bölümünden
kalan kaçt r?
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
3. k1 2 3– –k
k 1
25
=^ ^h h/ i leminin sonucu nedir?
A) –23 B) –12 C) 0 D) 24 E) 26
4. an 2 56–n 2
8=
=^ h/ ise a kaçt r?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
5. f, g: N+ N+ için f(x) = kk
x
1=/ ve ( )g x k
k
x
1=
=/
fonksiyonlar na göre, (fog)(3) kaçt r?
A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 E) 27
6. n3 9–n
n 1
10
=^ h% ifadesinin de eri nedir?
A) –310 B) –35 C) 0 D) 35 E) 310
7. f(n) = 3n + 1 olmak üzere, n1 = 1 ve n2 = 4 ise
n f n5–kk
k1
2
=^ ^h h/ kaçt r?
A) –26 B) –27 C) –28 D) –29 E) –30
8. 3 4kkk
n
1
5
3
4
0
4–+
===f p/// = 130 ise n kaçt r?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
304
1.E 2.B 3.A 4.E 5.C 6.C 7.D 8.A 9.B 10.B 11.B 12.E 13.C 14.A 15.D 16.A
9. m n 2–nm 0
3
1
4+
==^ h// ifadesinin e iti kaçt r?
A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38
10. logan
n 1
10
=/ ifadesinin e iti nedir?
A) 10.loga B) 55.loga C) log(10.a)D) log(55.a) E) 110.loga
11. 2k
k
2
2
10–
=/ ifadesinin e iti kaçt r?
A) 512 B) 511 C) 256 D) 255 E) 127
12. 3k
k 1
20
=/ toplam n n sonucu a a dakilerden han-
gisidir?
A) 21 .(320 – 1) B) 321 – 1 C) 320 – 1
D) 321 – 3 E) 23 .(320 – 1)
13. k3 6k 1
5+
=/ i leminin sonucu nedir?
A) 36 B) 45 C) 51 D) 60 E) 75
14. a n n 4ii
n
1= +
=^ h/ oldu una göre, a5 kaçt r?
A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 E) 21
15. n knk 3
4
1
3+
==^ h%/ i leminin sonucu kaçt r?
A) 65 B) 76 C) 87 D) 92 E) 95
16. 3
3
nk
kn
1
4
1
51
5
1
4
==
==
^^hh
%
%
/
/ i leminin sonucu kaçt r?
A) 125 B) 25 C) 1 D) 251 E)
1251
ES
EN
YAY
INLA
RI
305
TEST – 6
1. log k
k
1
2 121
k
nk
n
2
1
+
+=
=
=
k ^^
hh
%
/ oldu una göre, n kaçt r?
A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 14
2. n x tnn
t
1
2+ ==^ h/ oldu una göre, x5 kaçt r?
A) 4 B) 9 C) 14 D) 16 E) 25
3.
�
�
��� �
��
��3���
ekilde grafi i verilen y = f(x) parabolüne göre,
( )f kk 3
2
–=/ ifadesinin de eri kaçt r?
A) 5 B) 3 C) 0 D) –3 E) –5
4. n1n 1
20
=c m/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 200 B) 210 C) 240 D) 250 E) 270
5. n n n3 2n
3 2
10
10
–+ +
=^ h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 0 B) 385 C) 770D) 1540 E) 2310
6. 25 ten küçük çift do al say lar n kareleri toplam kaçt r?
A) 1800 B) 2400 C) 2600D) 2700 E) 3200
7. .k1– k
k 20
2
–=^ h/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) –10 B) –9 C) –8 D) –7 E) –6
8. x 20kk
44
5
–=+
=/ oldu una göre,
k xkk 0
9+
=^ h/ ifadesinin e iti kaçt r?
A) 25 B) 30 C) 45 D) 65 E) 75
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
306
1.C 2.A 3.E 4.B 5.D 6.C 7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.E 13.B 14.C 15.E 16.A
9. [( ) . ]n1– k
nk 1
5
1
10
==%/ ifadesinin sonucu a a daki-
lerden hangisidir?
A) –10.5! B) –5.5! C) 0 D) 5.5! E) 10.5!
10. 1–yx 1
1938
1
1881
==^ h%/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) 1938 B) 1881 C) 1D) –1 E) –1881
11. k k5 6k
2
1
15
–+ +
=^ h% ifadesinin sonucu a a daki-
lerden hangisidir?
A) (16!)2 B) (16!)2.17 C) (17!)2 D) (17!)2.18 E) (18!)2
12. log 5n
n
m
m
1
11
5–
==5 d n= G%/ ifadesinin sonucu
kaçt r?
A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20
13. f, g: N+ R , f(x) = kk
x2
1=% ve g(x) = .k2
k
x
1=^ h/
ise (gof)(2) kaçt r?
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
14. x3 – 4x2 + x + 6 = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olmak üzere,
x xi jji 1
3
1
3+
==%/ ifadesinin sonucu kaçt r?
A) –6 B) –4 C) –2 D) 2 E) 4
15. nx1 –nm 4
4
2
6
–==^ h> H% / ifadesinin de eri kaçt r?
A) 9 B) 81 C) 36 D) 38 E) 310
16. b
1 1b
a
a 11
5+
==c m%% ifadesinin de eri kaçt r?
A) 720 B) 480 C) 360 D) 240 E) 120
ES
EN
YAY
INLA
RI
307
TEST – 7
1. , ,f k a f k b f k ckkk 10
20
1
10
1
20= = =
===^ ^ ^h h h///
ise f(10) un a, b ve c cinsinden de eri a a da-kilerden hangisidir?
A) a – b + c B) a – b – c C) b + c – a
D) a + b – c E) a + b + c
2. k k3 1– –k 3
10
=^ ^h h/ ifadesinin e iti a a dakilerden
hangisidir?
A) 194 B) 195 C) 196 D) 197 E) 198
3. k k
k1
1–k
2
3
1
6
+ +=/ ifadesinin e iti a a dakilerden
hangisidir?
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
4. !k
k1k 1
4
+= ^ h/ ifadesinin e iti a a dakilerden han-
gisidir?
A) 1211 B)
2423 C)
4544 D)
7978 E)
120119
5. f(x) = x – 1 olmak üzere,
x 1
6
=/ [f(x2) – f2(x)] ifadesinin e iti a a dakilerden
hangisidir?
A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36
6. k k3 2
1–k
23
7
+=/ ifadesinin e iti a a dakilerden
hangisidir?
A) 65 B)
76 C)
87 D)
98 E)
109
7. k k3 3 1 10– – –k
x2
1
100=
=^ h/ e itli ini sa layan x
kaçt r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
8. k k 30k
n
k
n3
11= +
==// ise n kaçt r?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
308
1.C 2.C 3.B 4.E 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 10.E 11.C 12.D 13.A 14.C 15.A 16.C
9. 2
4 1–k
k
k 0
3
=d n/ ifadesinin e iti kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E8
1058
1038
101899
897
10. k
1 2k 1
10+
=c m% ifadesinin e iti a a dakilerden han-
gisidir?
A) 44 B) 50 C) 55 D) 60 E) 66
11. f(x) = k2k
x
1=% ise
( )( )
ff
78 kaçt r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9
12. 2 4k
k
n
1
9==% e itli ini sa layan n kaçt r?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
13. k x3 1–k 2
11=
=^ h% ise k3 2
k 1
9+
=^ h% ifadesinin x
cinsinden de eri a a dakilerden hangisidir?
) ) ) ) )A x B x C x D x E x32 30 24 16 8
14. k k
1 2 1k
21
6+ +
=c m% ifadesinin e iti a a dakilerden
hangisidir?
A) 25 B) 36 C) 49 D) 64 E) 81
15. k2k
k 1
5
=% ifadesinin e iti a a dakilerden hangisi-
dir?
A) 15.2–12 B) 15.2–11 C) 15.2–10 D) 15.2–9 E) 15.2–8
16. !. !n x x2 1n
k
k 11
13= +
==^ h% / e itli ini sa layan x
kaçt r?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
309
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 1981 – ÖYS
y n ve x y1 1 0–i ii
n
i
n
i11
a+ = + ===
^ ^h h// , ( R)
oldu una göre, x yi ii
n
1=/ nin de eri a a dakiler-
den hangisidir?
A) 2a B) C) n
D) – 1 E) (n – 1)
2. 1982 – ÖYS f ve g, N N a a daki biçimde tan ml iki
fonksiyondur. f: x nn
x
1=/ , g: x n
n
x2
1=/
verildi ine göre (fog)(2) nin de eri nedir?
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
3. 1983 – ÖYS f(x) = 3x + 1 , x1 = 1 , x2 = 4 oldu una göre
x f x3–i ii 1
2
=^ ^h h/ toplam kaçt r?
A) –1 B) 0 C) 2 D) 3 E) 5
4. 1986 – ÖYS
m n n6–mn
2
2
3
1
4
==^ h> H// toplam n n say sal de e-
ri kaçt r?
A) 30 B) 20 C) 10 D) –10 E) –20
5. 1986 – ÖYS 1 den n ye kadar olan n tane do al say n n
kareleri toplam , T = 12 + 22 + ..... + n2 dir. Bu n tane say dan herbiri 1 kadar art r ld nda,
T ne kadar artar?
A) n(n + 2) B) n(n – 1) C) n(n + 1)D) n2 E) n
6. 1989 – ÖYS
na2 70n 1
20+ =
=^ h/ oldu una göre, a kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E51
61
71
81
91
7. 1990 – ÖYS
s k4 2 1–sk 1
2
1
4+
==^ h// ifadesinin de eri kaçt r?
A) –12 B) –8 C) 0 D) 16 E) 24
8. 1994 – ÖYS
mn n3–mn 2
8
1
10
==^ h%/ ifadesinin de eri kaçt r?
A) –726 B) –363 C) 0D) 363 E) 726
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
310
9. 1996 – ÖYS 102 ile 353 aras nda bulunan ve 5 ile kalans z
bölünebilen say lar n toplam kaçt r?
A) 9875 B) 10100 C) 10350D) 11250 E) 11375
10. 2007 – ÖSS n 1 için
ak k 1
1n
k
n
1=
+= ^ h/ oldu una göre
a99 a a dakilerden hangisidir?
A) 4950 B)
5049 C)
9998
D) 99100 E)
10099
11. 2008 – ÖSS n pozitif tam say oldu una göre,
! !.n n k n kk 0
8+ + +
=^ ^h h/
toplam a a dakilerden hangisine e ittir?
A) (n + 7)! B) (n + 8)! C) (n + 9)!D) (2n + 8)! E) (2n + 10)!
12. 2010 – LYS
3n
n 0
100
=/
toplam n n 5 ile bölümünden kalan kaçt r?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
13. 2011 – LYS Karma k say lar kümesi üzerinde f fonksiyonu
f(z) = zk
k 0
101
=/ biçiminde veriliyor.
Buna göre, f(i) de eri nedir?
A) 1 + i B) 1 – i C) i
D) –i E) 1
14. 2011 – LYS
( )n3 2n 1
7+
=%
say s 10m ile tam bö lü ne bil di i ne gö re, m nin ala bi le ce i en büyük tam say de eri kaçt r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
15. 2012 – LYS
kk 1
k
n
n 14
9 +
==f p%/
i leminin sonucu kaçt r?
A) 45 B) 48 C) 50 D) 52 E) 54
311
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. y n1 1ii
n
1+ = +
=^ h/ y n1 1i
i
n
i
n
11+ = +
==//
.y n n1 1ii
n
1+ = +
=/
y 1ii
n
1=
=/ oldu undan,
x y 0–ii
n
i1
a ==^ h/ x y y 0–i i i
i
n
1a =
=^ h/
x y y 0–i i ii
n
i
n
11a =
==//
.x y 1 0–i ii
n
1a =
=/
x yi ii
n
1a=
=/ bulunur.
Do ru Seçenek B
2. (fog)(2) = f(g(2))
= f nn
2
1
2
=f p/ = f(12 + 22) = f(5)
= nn 1
5
=/ = .
25 6 = 15 bulunur.
Do ru Seçenek D
3. f(x) = 3x + 1 , x1 = 1 , x2 = 4 ise
i 1
2
=
/ (xi – 3)f(xi) = (x1 – 3) f(x1) + (x2 – 3) f(x2)
= (1 – 3) f(1) + (4 – 3) f(4)
= –2.(3.1 + 1) + 1.(3.4 + 1)
= –2.4 + 13
= 5 bulunur.Do ru Seçenek E
4. m n n6–mn
2
2
3
1
4
==^ h> H// =
n 1
4
=
/ [(22n–6n)+(32n–6n)]
= n 1
4
=/ (4n – 6n + 9n – 6n)
= nn 1
4
=/ = .
24 5
= 10 bulunur.Do ru Seçenek C
5. T = 12 + 22 + ..... + n2 = kk
n2
1=/ ise
her terimi 1 art rd m zda toplam;
22 + 32 + ... + (n + 1)2 = k 1k
n2
1+
=^ h/
= k k2 1k
n2
1+ +
=^ h/
= .k k2 1k
n
k
n
k
n2
111+ +
===///
= T + ( ).
n nn2
21
1·+
+
= T + n2 + 2n
= T + n(n + 2)
oldu undan T say s , n(n + 2) kadar artar.Do ru Seçenek A
6. na2 70n 1
20+ =
=^ h/ na2 70
nn 1
20
1
20+ =
==//
2.20 + . a2
20 21 70· =
40 + 210.a = 70
210.a = 30
a = 71 bulunur.
Do ru Seçenek C
7. . . .s k k4 2 1 42
2 3 2 2 1 2– · –sk k1
2
1
4
1
4+ = +
== =^ ch m// /
= k12 4 2–k 1
4+
=^ h/
= k14 4–k 1
4
=^ h/
= . .14 4 42
4 5– ·
= 56 – 40 = 16 bulunur.
Do ru Seçenek D
8. mn n3–mn 2
8
1
10
==^ h%/
= n 1
10
=/ [(2n – 3n).(3 3n n–
0\ ) ..... (8n – 3n)]
= 0n 1
10
=/ = 0.10 = 0 bulunur.
Do ru Seçenek C
ÇÖZÜMLER
Toplam ve Çarp m Sembolleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
312
9. 102 ile 353 aras ndaki 5 ile bölünen say lar n toplam ;
105 + 110 + ... + 350 = k5k 21
70
=/
= k5 20k 1
50+
=^ h/
= k5 100k 1
50+
=^ h/
= . .52
50 51 50 100· +
= 6375 + 5000
= 11375 bulunur.
Do ru Seçenek E
10. k k n
n1
11k
n
1 +=
+= ^ h/ oldu undan
ak k 1
1n
k
n
1=
+= ^ h/ ise
ak k 1
110099
k99
1
99=
+=
= ^ h/ bulunur.
Do ru Seçenek E
11. 1! + 2.2! + 3.3! + ..... + n.n! = (n + 1)! – 1
oldu unu biliyoruz. O halde,
!.n k n kk 0
8+ +
=^ ^h h/
= n!.n + (n + 1)!.(n + 1) + ..... + (n + 8)!.(n + 8)
= (n + 9)! – 1 – (1! + 2.2! + ..... + (n – 1)!.(n – 1))
= (n + 9)! – 1 – (n! – 1)
= (n + 9)! – 1 – n! + 1
= (n + 9)! – n! oldu undan
!nk 0
8+
=/ (n + k)!.(n + k) = (n + 9)! bulunur.
Do ru seçenek C
12. 31 3
1 32
3 1–
– –n
n 0
100 101 101= =
=/
31 3 (mod 5)
32 4 (mod 5)
33 2 (mod 5)
34 1 (mod 5) 3100 1 (mod 5)
3101 3 (mod 5) O halde,
23 1–101
nin 5 ile bölümünden kalan
23 1– = 1 dir.
Do ru Seçenek B
13. f(z) = zk
k 0
101
=/
f(i) = ikk 0
101
=/
= i0 + i1 + i2 + i3 + ...... + i100 + i101
= 1 + i – 1 – i + ...... + 1 + i 14243 123
0 0
= 1 + i bulunur.Do ru Seçenek A
14. ( )n3 2n 1
7+
=% = 5.8.11.14.17.20.23
= 5.23.11.2.7.17.2.10.23
= 24.7.11.17.23.102
sa y s 10m ile tam bö lü ne bil di i ne gö re, m nin
ala bi le ce i en bü yük tam sa y de e ri 2 dir.Do ru Seçenek A
15. kk
nn1
122334 1
k
n
n n14
9
4
9+=
+
== =
. . .....f cp m%/ /
( )n 1n 4
9
= +=/
( )n 3 1n 4 3
9 3
–
–
= + +=/
( )n 4n 1
6
= +=/
.26 7
= + 4.6 = 45 tir.
Do ru Seçenek A
TÜME VARIM ve D Z LER
ÜN TE 4. ÜN TE 4. ÜN TE 4. ÜN TE 4. ÜN T
D Z LER
Diziler
1. Kazan m : Dizi, sonlu dizi ve sabit diziyi aç klar, dizilerin e itli ini ifade eder ve verilen bir dizinin grafi ini çizer.
2. Kazan m : Verilen (an), (bn) gerçek say dizileri ve c R için (an) + (bn), (an) – (bn), c. (an),
(an).(bn) ve n N+ için bn 0 olmak üzere (an) : (bn) dizilerini bulur.
3. Kazan m : Artan, azalan, azalmayan ve artmayan dizileri aç klar.
Aritmetik ve Geometrik Diziler
1. Kazan m : Aritmetik diziyi aç klar, özelliklerini gösterir ve aritmetik dizinin ilk n teriminin toplam n bulur.
2. Kazan m : Geometrik diziyi aç klar, özelliklerini gösterir ve geometrik dizinin ilk n teriminin toplam -n bulur.
314
ÖRNEK 1
an
n 1–n =^ ch m ifadesi bir dizi belirtir mi?
E er bir dizi belirtiyorsa, ilk dört terimini yazarak gra-fi ini çiziniz.
Çözüm
Tan m kümesi sayma say lar kümesi yani,
N+ = {1, 2, 3, ....} oldu undan
an
n 1–n =^ ch m ifadesi bir dizi belirtir. O halde,
,
,
a a
a a
11 1
10 0
22 1
21
33 1
32
44 1
43
– –
– –
1 2
3 4
= = = = =
= = = =
olup grafi i a a daki gibidir.
n
an
0
1/2
1
2/33/4
n–1n
2 3 4 n
ÖRNEK 2
an1
n =^ ch m ifadesi bir dizi belirtir mi?
E er bir dizi belirtiyorsa grafi ini çiziniz.
Çözüm
Tan m kümesi N+ = {1, 2, 3, ....} oldu undan
an1
n =^ ch m ifadesi bir dizi belirtir.
, , , ,…
, , , , , , ,
a a a a
a
11 1
21
31
41
1 1 221 3
31 4
41 ……n
1 2 3 4= = = = =
=^ ^ c c ch h m m m' 1olup (an) dizisinin grafi inin bir kesiti a a daki gibidir.
n
an
0
1/4
1
1/31/2
2 3 4
1
D Z LER
Tan m kümesi sayma say lar olan her fonksiyona dizi denir.
f: N+ R tan ml bir fonksiyon f(n) = an ile gösterilir. Burada an ye (an) dizisinin n. terimi ya da genel terimi denir. (an) = (a1, a2, a3, ..., an, ...) yaz l nda dizinin;
birinci terimi: f(1) = a1 , ikinci terimi: f(2) = a2 , üçüncü terimi: f(3) = a3 , ……… , n. terimi: f(n) = an dir.
Diziler de er kümelerine göre adland r l r. Örne in;
f: N+ R , f(n) = an reel say dizisi,
f: N+ N+ , f(n) = an sayma say dizisidir.
Aksi belirtilmedikçe dizi sözünden reel (gerçel) say dizisi anla l r.
Diziler genel terimleri ile belirlenir. Genel terimi verilmeden yaz lan say gruplar dizi belirtmez.
(an) yaz l an dizisini ifade ederken, an yaz l dizinin genel terimini ifade etmektedir. Örne in;
f(n) = 2n – 1 dizisi (an) = (2n – 1) eklinde yaz labildi i gibi, (an) = (1, 3, 5, ..., 2n – 1, ...) eklinde de aç k olarak yaz labilir. Bu dizinin genel terimi an = 2n – 1 eklinde yaz l r. Burada, dizi yazarken parantez kullan l-d na, genel terim yazarken ise parantez kullan lmad na dikkat ediniz.
D Z LER
ES
EN
YAY
INLA
RI
Diziler
315
ES
EN
YAY
INLA
RI
ÖRNEK 3
A a daki ba nt lardan hangileri bir reel say dizisi-nin genel terimi olabilir?
a. an = 5n+1 b. bnn
31
n = ++
c. cnn
32 1
–n = + d. dn = n 2–
e. en = n 3 5–+ f. fn = cotn°
g. gn = cosn° h. hn = log(n–1)
Çözüm
a. an = 5n+1 ifadesi bir dizinin genel terimi
olabilir. Çünkü n N+ için an R dir.
b. bnn
31
n =++ ifadesi bir dizinin genel terimi
olabilir. Çünkü n N+ için bn R dir.
c. cnn
32 1
–n = + ifadesi bir dizinin genel terimi
olamaz. Çünkü 3 N+ için c3 R dir.
d. d n 2 –n = ifadesi bir dizinin genel terimi
olamaz. Çünkü 1 N+ için d1 R dir.
e. e n 3 5–n = + ifadesi bir dizinin genel
terimi olabilir. Çünkü n N+ için en R
dir.
f. fn = cotn° ifadesi bir dizinin genel terimi
olamaz. Çünkü n = 180.k , k N+ için
fn R dir.
g. gn = cosn° ifadesi bir dizinin genel terimi
olabilir. Çünkü n N+ için gn R dir.
h. hn = log(n–1) ifadesi bir dizinin genel terimi
olamaz. Çünkü 1 N+ için h1 R dir.
ÖRNEK 4
Genel terimi an3 21
––
n
n2 1
=+^ h
olan dizinin ilk üç terimi-
nin toplam kaçt r?
Çözüm
.
.
.,
.
a
a
a olup
a a a
dir
3 1 21
11 1
3 2 21
41
3 3 21
71
141
71
2839
–– – –
–– –
–– –
– – –
–
1
3
2
5
3
7
1 2 3
= = =
= =
= =
+ + =
=
^^^
hhh
ÖRNEK 5
,
,
mod
modGenel terimi a n
n
n n
2 0 2
1 2n
/
/=
^^
hh*
olan (an) dizisinde, a3 + a4 + a5 kaçt r?
Çözüm
3 1 (mod 2) oldu undan a3 = 3
4 0 (mod 2) oldu undan a4 = 42
21=
5 1 (mod 2) oldu undan a5 = 5 tir.
O halde, a3 + a4 + a5 = 321 5+ + =
217 olur.
ÖRNEK 6
Genel terimi ,
,a
n n tek ise
n n ift ise
2 1
1– çn 2
=+*
olan (an) dizisi için, a4 + a5 + a6 toplam kaçt r?
Çözüm
a4 = 42 – 1 = 16 – 1 = 15
a5 = 2 . 5 + 1 = 10 + 1 = 11
a6 = 62 – 1 = 36 – 1 = 35 oldu unda,
a4 + a5 + a6 = 15 + 11 + 35 = 61 bulunur.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
316
ÖRNEK 7
Bir (an) dizisinde n N+ için,
an+1 = an + 3 ve a3 = 6 ise a30 kaçt r?
Çözüm
n = 3 a4 = a3 + 3
n = 4 a5 = a4 + 3
n = 5 a6 = a5 + 3........ ..................n = 29 a30 = a29 + 3
+ a4 + a5 + ... + a30 = a3 +a4 + a5 + ... + a29 + 27.3
a30 = a3 + 27.3
a30 = 6 + 81 = 87 bulunur.
ÖRNEK 8
Bir (an) dizisinde n N+ için,
an+1 = an + n – 1 ve a1 = 2 ise a25 kaçt r?
Çözüm
n = 1 a2 = a1 + 1 – 1
n = 2 a3 = a2 + 2 – 1
n = 3 a4 = a3 + 3 – 1......... ........................n = 24 a25 = a24 + 24 – 1
+
a2+a3+a4+...+a25 = a1+a2+a3+...+a24+1+2+3+...+23
a25 = a1 + 1 + 2 + 3 + ... + 23
a25 = 2 + .2
23 24
a25 = 2 + 276 = 278 bulunur.
ÖRNEK 9
Genel terimi an = logn+2(n + 3) olan dizinin ilk 78
teriminin çarp m kaçt r?
Çözüm
a1.a2.a3. ... .a78 = log34.log45.log56. ... .log8081
= log381
= log334
= 4.log33 = 4 bulunur.
ÖRNEK 10
Bir (an) dizisinde, a1 = 5 ve an+1 = 4n + an oldu una
göre, bu dizinin genel terimi nedir?
Çözüm
n = 1 a2 = 4 . 1 + a1
n = 2 a3 = 4 . 2 + a2
n = 3 a4 = 4 . 3 + a3......... ......................n = n–1 an = 4.(n–1) + an–1 + a2+a3+...+an= 4(1+2+3+...+(n–1))+a1+a2+...+an–1
an = 4.(1 + 2 + 3 + ..... + (n–1)) + a1
an = n n
42
1 1 15·
– – ++
^ ^h h an = 2.(n – 1)(n) + 5
an = 2n2 – 2n + 5 bulunur.
ÖRNEK 11
Genel terimi a21
nk
k
n 1
1
–=
=c m/
olan dizinin alt nc
terimi kaçt r?
Çözüm
a21
121
121
2 121
–
–· –n
k
k
n
n
n
1
1
–= = =
=c c
cm mm/
oldu undan, .a bulunur2 121
3263· –6 6
= =c m
ÖRNEK 12
Genel terimi a knk
n
1==
/ olan dizi için a10 kaçt r?
Çözüm
. .a k bulunur2
10 11 55k
101
10= = =
=/
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
317
ÖRNEK 13
ann
2 11–
n =+^ ch m dizisinin kaç nc terimi
52 tir?
Çözüm
nn
2 11
52–
+= 5n – 5 = 4n+2
5n – 4n = 5 + 2 n = 7
oldu undan (an) dizisinin 7. terimi .tir52
ÖRNEK 14
ann
2 133
––
n =^ ch m dizisinin kaç terimi negatiftir?
Çözüm
nn
2 133 0
–– < e itsizli inin çözüm kümesindeki
sayma say lar arad m z terimlerdir.
n – 32n – 13
n
+ – +
1323
,n 3213
! c m için veya n {4, 5, 6} için
(an) dizisi negatiftir. Yani,
a4 < 0 , a5 < 0 ve a6 < 0 olup
(an) dizisinin 3 tane terimi negatiftir.
ÖRNEK 15
an
n9 2
4–n = +^ ch m dizisinin kaç terimi pozitiftir?
Çözüm
n
n9 2
4 0–
>+ e itsizli inin çözüm kümesindeki
sayma say lar arad m z terimlerdir.
n + 49 – 2n
n
– + –
92– 4
n {1, 2, 3, 4} için (an) dizisi pozitif olup
dizinin 4 tane terimi pozitiftir.
ÖRNEK 16
an
n2 1
2–
–n =^ ch m dizisinin kaç terimi
41 ten küçüktür?
Çözüm
nn
nn
2 12
41
2 12
41 0
––
–– –< <&
nn n
8 44 8 2 1 0
–– – <&
+
nn
8 42 7 0
–– <&
2n – 78n – 4
n
+ – +
72
12
n {1, 2, 3} için a41<n olup
(an) dizisinin 3 tane terimi 41 ten küçüktür.
ÖRNEK 17
an
n n2 9n 2
3 2= + +^ dh n dizisinin kaç terimi tam say d r?
Çözüm
n
n nnn
nn
nn
n2 9 2 9 2 9
2
3 2
2
3
2
2
2 2+ + = + + = + +
oldu undan n {1, 3} için (an) dizisi tam say olur. Yani, a1 Z ve a3 Z olup 2 tane terim tam say d r.
ÖRNEK 18
Genel terimi ann
24–
n =+
olan dizinin kaç terimi tam
say d r?
Çözüm
ann
nn
nn
n
n
24
22 2 4
22
26
12
6
– – – –
–
n =+
=+
+ =++
+
=+
oldu undan n + 2 nin 6 y bölen de erleri için
(an) dizisi tam say d r. O halde, n = 1 ve n = 4
için n
Z2
6 !+
olup, a1 ve a4 terimleri birer tam
say belirtir. Yani, 2 tanedir.
Diziler
318
ÖRNEK 19
Genel terimi an
n n1
2 2 8–n
2=
++ olan dizinin kaç teri-
mi tam say d r?
Çözüm
2n2–2n+8 n+12n – 42n2+2n
– 4n+8– 4n– 4
12n
n n nn1
2 2 8 2 41
12– –2
++ = +
+
oldu undan n + 1 in 12 yi bölen de erleri için
(an) dizisi tam say d r. O halde, n {1, 2, 3, 5, 11}
için (an) dizisi tam say olup 5 tanedir.
ÖRNEK 20
an
n4
3n =
+^ ch m dizisinin kaç terimi (1, 2) aral nda-
d r?
Çözüm
1 < an < 2 n
n14
3 2< <+
, n + 4 Z+
1.(n + 4) < 3n < 2.(n + 4)
n + 4 < 3n ve 3n < 2n + 8
2 < n ve n < 8
n {3, 4, 5, 6, 7} olup 5 tanedir.
Fibonacci Dizisi ...1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...Bir terim kendinden önceki iki terimin toplam na e ittir.
Örne in; 1 + 1 = 2, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, ... gibi.
Bu dizinin ileri elemanlar nda, bir sonraki eleman n bir öncekine oran alt n oran ad verilen ve yakla k 1,618 de erine e it bir say y verir. Alt n orana uygun ölçülerdeki nesneler ve canl lar daha estetik ve daha güzel görünür.
3
25
8
13
11
Fibonacci dizisinin göründü ü ve kullan ld baz yerler:
1. Ayçiçe i: Ayçiçe inin merkezinden d ar ya do ru sa dan sola ve soldan sa a do ru taneler say ld nda ç kan say lar Fibonacci dizisinin ard k terimleridir.
2. Papatya Çiçe i: Papatya çiçe inde de ayçiçe inde oldu u gibi bir Fibonacci dizisi mevcuttur.
3. Çam Kozala : Çam kozala ndaki taneler kozala n alt ndaki sabit bir noktadan kozala n tepesindeki ba ka bir sabit noktaya do ru spiraller (e riler) olu turarak ç karlar. te bu taneler soldan sa a ve sa dan sola say ld nda ç kan say lar, Fibonacci dizisinin ard k terimleridir.
4. Tütün Bitkisi: Tütün bitkisinin yapraklar n n dizili inde bir Fibonacci dizisi söz konusudur; yani yapraklar n diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolay tütün bitkisi Güne ’ten en iyi ekilde güne ve havadan en iyi ekilde karbondioksit alarak fotosentezi mükemmel bir ekilde gerçekle tirir.
5. Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsay lar veya terimler yaz l p çapraz toplamlar al nd nda Fibonacci dizisi ortaya ç kar.
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
2
20
6
3 3
10 10
4 4
5 5
6 615 15
123
85
13
1
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
319
ÖRNEK 21
(an) = (–n2 + 9n – 14) dizisinin en büyük terimi kaçt r?
Çözüm
f: R R , f(x) = –x2 + 9x – 14 fonksiyonunun
grafi i a a daki gibidir.
92
6
4
–6
1 23 4 5
x
y
0 6 78
(an) dizisinin tan m kümesi Z+ oldu undangrafik üzerinde apsisi pozitif tam say olan noktalar bu dizinin analitik düzlemde görüntüleri olup, (an) dizisinin en büyük terimi
a4 = a5 = 6 d r.
ÖRNEK 22
(an) = (n2 – 4n – 5) dizisinin en küçük terimi kaçt r?
Çözüm
f: R R , f(x) = x2 – 4x – 5 fonksiyonunun
grafi i a a daki gibidir.
f(x) = x2 – 4x – 5 = (x – 2)2 – 9 , T(2, –9)
y = 0 0 = x2 – 4x – 5 0 = (x + 1)(x – 5)
x = –1 , x = 5(an) dizisinin tan m
–9
–8
–5
1 2 3 45
x
y
–1kümesi Z+ oldu-
undan grafik üze-rinde apsisi pozitif tam say olan nokta-lar bu dizinin anali-tik düzlemde görün-tüleri olup, (an) dizi-sinin en küçük terimi a2 = –9 dur.
ÖRNEK 23
(an) = (–n2 + 4n + 12) dizisinin kaç terimi pozitiftir?
Çözüm
I. Yol
f(x) = –x2 + 4x + 12 y
x0
–2 6
fonksiyonunun grafi ine
göre, (an) = (–n2 + 4n + 12)
dizisinin a1, a2, a3, a4, a5
terimleri pozitiftir.
II. Yol
–n2 + 4n + 12 > 0 e itsizli inin çözüm kümesinde
kaç farkl sayma say s oldu unu tespit ederek de
çözebiliriz.
SONLU D Z
k Z+ ve Ak = {1, 2, 3, ..., k} Z+ olmak üzere, tan m kümesi Ak olan her fonksiyona sonlu dizi denir.
Örne in; A6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere,
An: A6 R , (an) = (2n) dizisi sonludur.
Üstelik, (an) = (2, 4, 6, 8, 10, 12) olup
(an) dizisinin 6 terimi vard r.
Sonlu dizi oldu u belirtilmedi i sürece her dizinin sonsuz dizi oldu u anla l r.
ÖRNEK 24
ann
81
–n = +^ ch m ifadesinin bir sonlu dizi belirtebilmesi
için terim say s en çok kaç olabilir?Çözüm
a1 R, a2 R, ..., a7 R, a8 R, a9 R, ...
oldu undan, A7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} olmak üzere,
an: A7 R sonlu dizisi tan ml d r. Dolay s yla
bu sonlu dizinin terim say s en çok 7 olabilir.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
320
SAB T D Z
Bütün terimleri birbirine e it olan dizilere sabit dizi denir. (an) bir sabit dizi ise,
a1 = a2 = a3 = ... = an = c , (c R) dir.
Örne in; (an) = (5) dizisi bir sabit dizidir.
Çünkü (an) = (5, 5, 5, ..., 5, ...) olup dizinin bütün elemanlar 5 e e ittir.
ÖRNEK 25
(an) = ((–1)n) dizisi sabit dizi midir?
Çözüm
a1 = –1 , a2 = 1 , a3 = –1 , a4 = 1 , ...
(an) = (–1, 1, –1, 1, ...) olup (an) dizisinin bütün elemanlar birbirine e it de ildir. Dolay s ile (an) bir sabit dizi de ildir.
ÖRNEK 26
(an) = (cos(2n )) dizisi sabit dizi midir?
Çözüm
a1 = cos2 = 1 , a2 = cos4 = 1 , ...
(an) = (1, 1, 1, ...) olup (an) dizisi bir sabit dizidir.
ÖRNEK 27
an kn2 3
n =++^ ch m ifadesi bir sabit dizi oldu una göre,
k kaçt r?
Çözüm: I. Yol
a1 = a2 = a3 = ... oldu undan
.
a ak k k k
k k
k bulunur
12 3
24 3
15
27
7 7 10 5
23
1 2 & &
&
&
=++ =
++
+=
+
+ = +
=
II. Yol Pay ve paydadaki ayn dereceli terimlerin kat
say lar n n oran birbirine e it olmal d r. O halde,
n kn sabit dizi ise2 3++c m .
kk dir
12 3
23
&= =
D Z LER N E TL
n N+ için an = bn oluyorsa, (an) ve (bn) dizile-rine e it diziler denir ve (an) = (bn) eklinde gösterilir.
ÖRNEK 28
(an) = (cos(n )) ve (bn) = ((–1)n) olmak üzere,
(an) = (bn) oldu unu gösteriniz.
Çözüm
(an) = (cos(n )) = (–1, 1, –1, 1, ...)
(bn) = ((–1)n) = (–1, 1, –1, 1, ...)
a1 = b1 , a2 = b2 , ... , an = bn , ...
olup n N+ için an = bn dir.
Dolay s ile (an) = (bn) dir.
ÖRNEK 29
1 , n 0 (mod 2)(an) = ((–1)n+1) ve (bn) = { –1 , n 1 (mod 2)
dizileri e it midir?
Çözüm
(an) = (1, –1, 1, –1, ...)
(bn) = (–1, 1, –1, 1, ...)
a1 b1 , a2 b2 , ... , an bn , ...
oldu undan (an) (bn) dir.
ÖRNEK 30
Genel terimi an = xn2 + yn + z ve b k2 3–nk
n
1=
=^ h/
olan dizilerde (an) = (bn) ise x.y.z kaçt r?
Çözüm( )
b kn n
n n n2 3 22
13 2– · – –n
k
n2
1= =
+=
=^ h/
an = bn xn2 + yn + z = n2 – 2n
xn2 + yn + z = 1.n2 – 2.n + 0
x = 1 , y = –2 , z = 0
oldu undan x.y.z = 1.(–2).0 = 0 d r.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
321
D Z LERDE LEMLER
(an) ve (bn) herhangi iki dizi ve c R olmak üzere,
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) – (bn) = (an – bn)
(an).(bn) = (an.bn)
,ba
ba b 0
n
n
n
nn=^
^ c ^hh m h
c.(an) = (c.an)
eklinde dizilerin genel terimleri aras nda yap lan dört i leme, dizilerde dört i lem denir.
ÖRNEK 31
(an) = (n2 – 1) ve bn1
n =^ ch m olmak üzere,
a a da yap lan i lemleri inceleyiniz.
Çözüm
a b a b
nn n
nn1
1 1
–
–n n n n
3
2+ = +
= +
= +^ ^ ^ cc
h h h mm
1 1a b a b nn n
n n1– – – – – –n n n n
23
= = =^ ^ ^ c ch h h m m
. .a b a b nn n
n1 1 1– · –n n n n
22
= = =^ ^ ^ ^c ch h h h m m
ba
ba
n
n n n1
1 – –n
n
n
n 23= = =^
^ c f ^hh m p h
3.(an) = (3.an) = (3.(n2 – 1)) = (3n2 – 3)
ÖRNEK 32
(an) = 3 12 1–
n
n
+c m ve (bn) =
nn
5 14
–c m dizileri için
(an.bn) dizisinin üçüncü terimi kaçt r?
Çözüm
(an.bn) dizisinin üçüncü terimi,
a3.b3 = ..
.3 12 1
5 3 14 3–
–3
3
+ = .
287
1412 =
143 bulunur.
ÖRNEK 33
Genel terimi
,
,
,
,a
n n tek
n n iftve b
n n tek
n n ift
1
2 1
1
2– ç
–
çn n
2
=+
=+
* *olan diziler için a a daki i lemleri inceleyiniz.
Çözüm
,
,a b
n n n tek
n n n ift
1 1
2 1 2
–
– çn n
2
+ =+ +
+ +*
,
,
n n n tek
n n ift3 1 ç
2
=+
+*
( ) ,
,a b
n n n tek
n n n ift2
2 1 1
2 2 1 2–
– –
– – çn n
2
=+
+
^^ ^
hh h*
,
,
n n n tek
n n ift
2 3
3 4
–
– ç
2
=+ +*
ÖRNEK 34
,
,
,
,
,
an
n nve b
n n
n n
n n
2 5
1 5
1 2
2 2 5
1 5
–<
< <n n
2
=+
=
+
^ ^h hZ
[
\
]]
]]*
için (an + bn) dizisini bulunuz.
Çözüm
(an) dizisini (bn) dizisi gibi parçal ekilde yaz-mal y z.
oldu�undan
,
,
,
,
,
,
,
,
,
a
n
n
n n
a b
n n
n n
n n n
n n
n n
n n n
2 2
2 2 5
1 5
2 1 2
2 2 2 5
1 1 5
1 2
2 2 2 5
2 5
–
< <
< <
< <
n
n n
2
2
=
+
+ =
+
+
+ + +
=
+
+
+ +
^
^
h
h
Z
[
\
]]
]]
Z
[
\
]]
]]
Z
[
\
]]
]]
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
322
MONOTON D Z LER
Bir (an) dizisinde her terim bir sonrakinden hep
küçük kal yorsa, bu dizilere monoton artan dizi denir.
(an) monoton artan dizi ise,
a1 < a2 < a3 < ... < an < an+1 < ... olur.
Bir (an) dizisinde her terim bir sonrakinden hep büyük
kal yorsa, bu dizilere monoton azalan dizi denir.
(an) monoton azalan dizi ise,
a1 > a2 > a3 > ... > an > an+1 > ... olur.
Monoton artan ya da monoton azalan dizilere, mono-
ton diziler denir.
ÖRNEK 35
(an) = (3n + 1) dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.
Çözüm
a1 = 3.1 + 1 = 4
a2 = 3.2 + 1 = 7
a3 = 3.3 + 1 = 10
...........................
an = 3n + 1
an+1 = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4
...........................
a1 < a2 < a3 < ... < an < an+1 < ...
oldu undan (an) dizisi monoton artand r.
ÖRNEK 36
(an) = (2 – n) dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.
Çözüm
a1 = 2 – 1 = 1
a2 = 2 – 2 = 0
a3 = 2 – 3 = –1
........................
an = 2 – n
an+1 = 2 – (n + 1) = 1 – n
........................
a1 > a2 > a3 > ... > an > an+1 > ...
oldu undan (an) dizisi monoton azaland r.
ÖRNEK 37
(an) = (n2 – 4n) dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.
Çözüm
–4
1 2 34
n
an
0
–3
a1 = 12 – 4.1 = –3
a2 = 22 – 4.2 = –4
a3 = 32 – 4.3 = –3
a4 = 42 – 4.4 = 0
............................
(an) dizisinin terimleri önce azal p, sonra artt için (an) dizisi monoton de ildir.
(an) bir dizi olsun. n N+ için,
an+1 > an (an) monoton artand r.
an+1 < an (an) monoton azaland r.
an+1 an (an) monoton azalmayand r.
an+1 an (an) monoton artmayand r.
an+1 = an (an) sabit dizidir.
Bir (an) dizisinin monotonlu unu incelerken
an+1– an fark n n i aretine bak l r.
an+1– an > 0 an+1 > an olup monoton artand r.
an+1– an < 0 an+1 < an olup monoton azaland r.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
323
ÖRNEK 38
(an) = (n2 + 1) dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.
Çözüm
an+1 – an = (n + 1)2 + 1 – (n2 + 1)
= n2 + 2n + 1 + 1 – n2 – 1
= 2n + 1 > 0 olur. (n N+)
an+1 – an > 0 an+1 > an olup
(an) dizisi monoton artand r.
ÖRNEK 39
(an) = (n2 – 3n + 2) dizisinin monotonlu unu ince-leyiniz.
Çözüm
an+1 – an = (n + 1)2 – 3(n + 1) + 2 – (n2 – 3n + 2)
= n2 + 2n + 1 – 3n – 3 + 2 – n2 + 3n – 2
= 2n – 2 dir.
n N+ için, 2n – 2 0 d r. Dolay s ile
an+1 – an 0 an+1 an oldu undan
(an) dizisi monoton azalmayan bir dizidir.
Grafi i a a da verilmi tir. nceleyiniz.
1 2 3n
an
0
2
ÖRNEK 40
ann
21
n =++^ ch m dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.
Çözüm
a ann
nn
nn
nn
n nn n n
n nn n n n n
n n
1 21 1
21
32
21
2 32 1 3
2 34 4 3 3
2 31
– – –
–
– – – –
n n1
2
2 2
=+ ++ +
++ =
++
++
=+ +
+ + +
=+ +
+ +
=+ +
+
^ ^^ ^ ^
^ ^^ ^
h hh h h
h hh h
n N+ için, n n2 3
1 0>+ +^ ^h h
an+1 – an > 0
an+1 > an
oldu undan (an) dizisi monoton artand r.
.
.ac n da n b
n =++^ ch m eklindeki dizilerde monotonluk
durumu a a daki gibi de incelenebilir.
Paydan n kökü; cd 1– < ise dizi monotondur.
a.d – b.c > 0 ise, dizi monoton artand r.
a.d – b.c < 0 ise, dizi monoton azaland r.
a.d – b.c = 0 ise, dizi sabit dizidir.
Paydan n kökü; cd 1– > ise dizi monoton
de ildir.
ÖRNEK 41
ann
3 22 1
–n = +^ ch m dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.
Çözüm
Paydan n kökü, 3n – 2 = 0 n32 1<=
oldu undan dizi monotondur.
a = 2, b = 1, c = 3, d = –2 olup,
a.d – b.c = 2.(–2) – 1.3 = –7 < 0 oldu undan
(an) dizisi monoton azaland r.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
324
ÖRNEK 42
an
n2 3
3n =
+^ ch m dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.
Çözüm
Paydan n kökü, 2n + 3 = 0 n23 1– <=
oldu undan dizi monotondur.
a = 3 , b = 0 , c = 2 , d = 3 olup,
a.d – b.c = 3.3 – 0.2 = 9 > 0 oldu undan
(an) dizisi monoton artand r.
ÖRNEK 43
ann
2 52 1
–n = +^ ch m dizisinin monotonlu unu inceleyiniz.
Çözüm
Paydan n kökü, 2n – 5 = 0 n25 1>=
oldu undan (an) dizisi monoton de ildir.
ÖRNEK 44
.bn
a n3 4
2n =
++^ ch m dizisinin monoton azalan olmas için
a n n alabilece i en büyük tam say de eri kaçt r?
Çözüm
Paydan n kökü, 3n + 4 = 0 n34 1– <=
oldu undan dizi monotondur.
Dizinin monoton azalan olmas için,
a.d – b.c < 0 a.4 – 2.3 < 0
a23< olmal d r.
O halde, a n n alabilece i en büyük tam say
de eri 1 dir.
ÖRNEK 45
ann b
3 42
n =++^ ch m dizisinin sabit bir dizi olmas için b
ne olmal d r?
Çözüm
a.d – b.c = 0 2.4 – b.3 = 0 b = 38 olur.
Ayn soru tipinin farkl yollardan da çözülebildi ini sabit dizi bölümünü tekrarlayarak hat rlay n z.
ALT D Z
Bir (an) dizisi verildi inde, (kn) monoton artan bir
sayma say dizisi olmak üzere elde edilen (akn) dizi-
sine (an) dizisinin bir alt dizisi denir ve (akn) (an)
eklinde gösterilir. Burada (kn) monoton artan bir dizi
ve n N+ için kn N+ olmal d r.
ÖRNEK 46
A a da (an) = (n) dizisinin baz alt dizileri yaz lm -t r. nceleyiniz.
Çözüm
(an) = (n) = (1, 2, 3, 4, ..., n, ...) oldu una göre,
(a2n) = (2n) = (2, 4, 6, ..., 2n, ...)
(a2n) (an)
(a2n–1) = (2n–1) = (1, 3, 5, ..., 2n–1, ...)
(a2n–1) (an)
(an–2) = (n–2) = (–1, 0, 1, 2, ..., n–2, ...)
(an–2) (an) dir. Çünkü, (n–2) dizisi sayma
say dizisi de ildir.
(a2–n) = (2–n) = (1, 0, –1, ..., 2–n, ...)
(a2–n) (an) dir. Çünkü, (2–n) monoton artan
bir sayma say dizisi de ildir.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
325
ÖRNEK 47
bnn
2 34 1
n =++^ ch m dizisinin a
nn
22 1–
n =+^ ch m dizisinin
bir alt dizisi oldu unu gösteriniz.
Çözüm
(bn) (an) ve (akn) (an) ise
(akn) = (bn) olmal d r. O halde,
kk
nn
22 1
2 34 1–
n
n+
=++
4nkn – 2n + 6kn – 3 = 4nkn + 8n + kn + 2
5kn = 10n+5
kn = 2n + 1 bulunur.
n N+ için (kn) = (2n + 1) monoton artan bir
sayma say s dizisidir.
Dolay s yla (bn) = (a2n+1) (an) dir.
ÖRNEK 48
ann
3 22 1
n 1 =++
+^ ch m oldu una göre (an) dizisini bu-
lunuz.
Çözüm
(an+1) dizisinde n yerine n – 1 yazmal y z.
ann
ann
3 1 22 1 1
3 12 1
––
––
n n1 1– &=++
=+^ ^^f ^ ch h
h p h m
ÖRNEK 49
(an) = ( )n3 5
1– n
+c m dizisi veriliyor. (a2n+1) alt dizisinin 2.
terimi kaçt r?
Çözüm
(a2n+1) dizisinin 2. terimi
a2.2+1 = a5 oldu undan;
(an) = ( )n3 5
1– n
+c m a5 =
.( )3 5 5
1– 5
+
= 201– bulunur.
ÖRNEK 50
ann
2 33 1
n2 1– =++^ ch m ise (a3n+2) dizisinin 3. terimi
kaçt r?
Çözüm
(a3n+2) dizisinin 3. terimi a3.3+2 = a11 dir.
a11 = a2n–1 2n – 1 = 11 n = 6 olmal d r.
.
.a2 6 33 6 1
.2 6 1– =++ a
1519
11 = bulunur.
ÖRNEK 51
N+ da tan ml ve genel terimi;
an = 3n.(n!) olan bir dizide, an+1, an in kaç kat d r?
Çözüm
. ( !)
.
. ( !). . ( !) . ( )!
aa
n
n
nn n
3
3 1
33 3 1
n
nn
n
n
n1
1=
+=
+++ ^^ h h
= 3(n + 1) bulunur.
ÖRNEK 52
Genel terimi, an = 3 , 1 ( 2)
, ( 2)
mod
mod
n n
nn n2 0
/
/
+
+
Z
[
\
]]
]] olan
(an) dizisinin (a2n) ve (a2n+1) alt dizilerini bulunuz.
Çözüm
2n 0 (mod 2) oldu undan,
(a2n) = n
n2
2 2+c m =
nn 1+c m elde edilir.
2n + 1 1 (mod 2) oldu undan,
(a2n+1) = (2n + 1 + 3)
= (2n + 4) elde edilir.
326
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a daki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terimi olabilir?
a. nn
21
++ b.
nn
21
––
c. nn
52 1
–2+ d.
nn
93 1
––
2
e. n6 2– f. tan(n )
g. cot n2r h. log(n – v2)
2. A a da genel terimleri verilen dizilerin ilk üç terimlerinin grafi ini koordinat düzleminde göste-riniz.
a. sin n2r b. (n – 1)!
c. n1– n^ h
d. kk
n2
1=/
e. n
n1 2 3
1 2 3…
…2 2 2 2+ + + +
+ + + +
f. ,
,
mod
mod
nn
n n
1 0 2
1 1 22
/
/+
^^
hh
Z
[
\
]]
]]
3. Bir (an) dizisinde n N+ için an = an – 1 + n ve a1 = 2 ise a19 kaçt r?
4. (an) = nn
4 31
–+c m dizisinin kaç nc terimi
31 tür?
5. Genel terimi an = n
n n4
3 2 4–2
2
++ olan dizinin ka-
ç nc terimi 3 tür?
6. Genel terimi an = 3n.(n + 1)! olan dizi için aa
9
10
oran kaçt r?
7. n N+ için a1 = 1 ve an + 1 = 3an – 2 olan (an) dizisinin genel terimi nedir?
8. Genel terimi an = n
n 12+ olan dizinin kaç tane
terimi 4 ten büyüktür?
9. (an) = (n2 – 8n + 12) dizisinin kaç tane terimi negatiftir?
ALIŞTIRMALAR – 1
1. a, b, c, f 3. 191 4. 6 5. 8 6. 33 7. 1 8. 3 9. 3
Diziler
327
ES
EN
YAY
INLA
RI
10. (an) = n
n3 2
7––c m dizisinin kaç tane terimi pozitif-
tir?
11. (an) = (n2 – 8n + 15) dizisinin kaç terimi pozitif de ildir?
12. an
n n2 6n
2= + +^ ch m dizisinin kaç terimi tam
say d r?
13. Genel terimi an
n n2
3 2–n
2=
++ olan dizinin kaç
terimi tam say d r?
14. (an) = (n2 – 6n + 13) dizisinin en küçük terimi kaçt r?
15. (an) = (n2 + 4n + 1) dizisinin en küçük terimi kaç-t r?
16. (an) = (–n2 + 8n + 1) dizisinin en büyük terimi kaçt r?
17. (an) = .c nn
32 1–
+c m dizisi sabit dizi oldu una göre,
c kaçt r?
18. (an) = (t2n + 3tn + 2) dizisinin sabit dizi olmas için t nin alabilece i de erlerin toplam kaçt r?
19. A4 = {1, 2, 3, 4}, an : A4 R, (an) = (n2 – 1)
sonlu dizisinin terimlerinin toplam kaçt r?
20. (an) = (1 + 2 + 3 + .....+ n) ve (bn) = (xn2 + yn)
dizileri e it oldu una göre, x.y kaçt r?
10. 5 11. 3 12. 4 13. 4 14. 4 15. 6 16. 17 17. –6 18. –3 19. 26 20. 41
Diziler
328
ES
EN
YAY
INLA
RI
21. Genel terimleri ann
33 2
n =++ ve
.
.bd nc n
96
n =++
olan diziler e it oldu una göre, c + d kaçt r?
22. Genel terimleri an
n1n =
+ ve b
n 11
n =+
olan
(an) ve (bn) dizileri için a a daki i lemleri yap -
n z.
a. (an) + (bn) b. (an) – (bn)
c. (an).(bn) d. ba
n
n^^hh
e. 2(an) – 3(bn) f. ba
23
n
n^^hh
23. Genel terimleri an = (–1)n.(n + 1) ve
,
,
mod
modb
n n
n nolan a ve b
2 0 2
1 1 2–n n n
/
/=
+
^^ ^ ^h
h h h*
dizileri için a a daki i lemleri yap n z.
a. (an) + (bn) b. (an) – (bn)
c. (an).(bn) d. ba
n
n^^hh
e. 2(an) – 3(bn) f. ba
23
n
n^^hh
24. .an
k n2 5
6–n =
+^ ch m dizisinin monoton artan olmas
için k n n alabilece i en küçük tam say de eri kaçt r?
25. A a daki dizilerin monoton olup olmad klar n gösteriniz.
a. n
1 1+c m b. n
1 1–c m
c. 16n 1+^ h d. (n! – 2)
e. (n2 – 4n) f. (n2 + n)
g. n1– n^d h n h.
nn
2 31
–+c m
i. nn3 2
1++c m j.
nn
3 12 1
–+c m
26. .n
k n p2
+c m dizisi nn
12 3–
+c m dizisinin bir alt dizisi
oldu una göre, k + p kaçt r?
27. (an + 1) = (n2 – 2n) dizisine göre a a daki dizile-rin genel terimlerini bulunuz.
a. (an) b. (an2+ 1)
c. (an – 1) d. (an + 2)
21. 12 24. –2 25. a. monoton b. monoton c. monoton d. monoton e. monoton de il f. monoton g. monoton de il
h. monoton de il i. monoton j. monoton 26. –1 27. a. n2 – 4n + 3 b. n4 – 2n2 c. n2 – 6n + 8 d. n2 – 1
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
329
AR TMET K D ZArd k terimleri aras ndaki fark hep ayn sabit say ya
e it olan dizilere aritmetik dizi , bu sabit farka da
ortak fark denir.
Buna göre, n N+ için an + 1 – an = r ise
r R say s na bu dizinin ortak fark denir.
(an) bir aritmetik dizi ve r R ise
a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ..... = an + 1 – an = r dir.
Örne in;
(an) = (4, 6, 8, ....., 2n + 2, .....) monoton artan,
(bn) = (9, 5, 1, –3 ....., 13 – 4n, .....) monoton azalan,
(cn) = (3, 3, 3, ....., 3, .....) sabit dizileri birer aritmetik
dizidir.
ÖRNEK 53
(an) = n3
6+c m dizisinin aritmetik dizi oldu unu gös-
teriniz.
Çözüm
an + 1 – an = r olacak ekilde bir r R varsa (an) aritmetik dizidir. Buna göre,
an + 1 – an = n n31 6
36–+ + +
= n n3
7 6– –+ = 31 bulunur.
O halde, (an) bir aritmetik dizidir.
Aritmetik Dizinin Genel Terimi
lk terimi a1 ve ortak fark r olan (an) aritmetik dizisinin genel terimi
an = a1 + (n – 1).r
olarak bulunur. Çünkü,
an + 1 – an = r an + 1 = an + r oldu undan,
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a4 = a3 + r ................... an = an – 1 + r+––––––––––––– an = a1 +
e
r r r r……tann 1–
+ + + +1 2 34444 4444
an = a1 + (n – 1).r olarak bulunur.
ÖRNEK 54
lk terimi 3 ve ortak fark 4 olan bir (an) aritmetik dizisinin genel terimi nedir?
Çözüm
a1 = 3 ve r = 4 olmak üzere,
an = a1 + (n – 1)r an = 3 + (n – 1).4
an = 3 + 4n – 4
an = 4n – 1 olur.
ÖRNEK 55
lk terimi 4 olan bir (an) aritmetik dizisinde
a10 – a9 = 2 ise a15 kaçt r?
Çözüm
a10 – a9 = r r = 2 dir.
an = a1 + (n – 1)r an = 4 + (n – 1).2
an = 2n + 2 dir.
O halde, a15 = 2.15 + 2 = 32 olur.
ÖRNEK 56
Genel terimi an = 2n – 1 olan aritmetik dizinin ortak fark kaçt r?
Çözüm
a2 – a1 = r 2.2 – 1 – (2.1 – 1) = r
4 – 1 – 1 = r r = 2 bulunur.
ÖRNEK 57
lk terimi a1 ve ortak fark r olan bir aritmetik dizinin 4. terimi 6 ve 6. terimi 9 oldu una göre, a1 + r kaçt r?
Çözüm
a4 = 6 a1 + 3r = 6
a6 = 9 a1 + 5r = 9 – –––––––––––– –2r = –3 r =
23
a1 + 3.23 = 6 a1 +
29 = 6 a1 =
23
O halde, a1 + r = 23
23 3+ = olur.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
330
ÖRNEK 58
lk terimi –3 ve ortak fark 2 olan bir aritmetik dizinin 20. terimi kaçt r?
Çözüm
a1 = –3 ve r = 2 olmak üzere,
a20 = a1 + 19.r a20 = –3 + 19.2 = 35 olur.
ÖRNEK 59
Bir dörtgenin iç aç lar n n ölçüleri bir aritmetik dizinin
ard k 4 terimidir. En küçük aç n n ölçüsü 30° oldu-
una göre, di er aç lar n n ölçülerini bulunuz.
Çözüm
Aç lar bir aritmetik dizi olu turuyorlar ve en kü-
çükleri de 30° ise ölçüleri;
30° , 30° + r , 30° + 2r , 30° + 3r eklindedir.
Dörtgenin iç aç lar n n ölçüleri toplam 360° ol-
du undan,
30°+30°+r+30°+2r+30°+3r=360° 120°+6r=360°
6r = 240°
r = 40° dir.
O halde, a1 = 30°, a2 = 30° + 40° = 70°,
a3 = 30° + 2.40° = 110° ve a4 = 30° + 3.40° = 150°
olur.
ÖRNEK 60
5 ile 27 say lar n n aras na ilk terimi 5, son terimi 27 olan aritmetik dizi olu acak ekilde 10 terim daha yerle tiriliyor. Olu an aritmetik dizinin 8. terimi kaç olur?
Çözüm
5, ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., 27
a1 = 5 ve a12 = 27 dir.
a12 = a1 + 11.r 27 = 5 + 11.r r = 2 dir.
O halde, a8 = a1 + 7r a8 = 5 + 7.2
a8 = 19 olur.
ÖRNEK 61
Bir aritmetik dizinin ard k üç terimi s ras yla, x – 2, 2x + 1, 2x – 4 ise x kaçt r?
Çözüm
a, b, c bir aritmetik dizinin ard k üç terimi ise
b a c2
= + dir. Yani, ortadaki terim, di er ikisinin
aritmetik ortalamas na e ittir. Buna göre,
x x x2 12
2 2 4– –+ = + 2x + 1 = x2
3 6–
4x + 2 = 3x – 6
x = –8 olur.
ÖRNEK 62
2, x, y, z, 58 sonlu dizisi bir aritmetik dizi ise
x + y + z kaçt r?
Çözüm
y2
2 58= + y = 30
xy
22
=+ x
22 30= + x = 16
zy
258
=+ z
230 58= + z = 44
O halde, x + y + z = 16 + 30 + 44 = 90 olur.
Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden e it uzakl ktaki iki terimin aritmetik ortalamas d r.
,aa a
n p2
>nn p n p–=
+ + ^ h
ÖRNEK 63
Bir aritmetik dizinin 8. terimi 12 ve 20. terimi –16
ise 14. terimi kaçt r?
Çözüm
a8 = 12 ve a20 = –16 olmak üzere,
14 – 8 = 20 – 14 oldu undan 8. ve 20. terimler
14. terimden e it uzakl ktad r.
O halde, a14 = a a2
8 20+ = 2
12 16–+ ^ h = –2 dir.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
331
Aritmetik Dizinin lk n Teriminin Toplam
Ortak fark r olan bir (an) aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplam n Sn ile gösterelim.
Sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an
= a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + ..... + [a1 + (n – 1)r]
= n.a1 + r + 2r + ..... + (n – 1)r
= n.a1 + r(1 + 2 + ..... + (n – 1))
= n.a1 + r..n n
21–^ h
= n2
[ 2a1 + (n – 1)r ]
= n2
[ a1 + a1 + (n – 1)r ]
= n2
(a1 + an) bulunur.
Sn = n2
(a1 + an)
ÖRNEK 64
lk terimi 2 ve ortak fark 21 olan (an) aritmetik dizi-
sinin ilk 10 teriminin toplam kaçt r?
Çözüm
a1 = 2 ve r = 21 oldu undan,
Sn = n2
(a1 + an) S10 = 210 (a1 + a10)
= 5.(a1 + a1 + 9r)
= 5.(2a1 + 9r)
= . .5 2 2 921·+c m
= 285 bulunur.
ÖRNEK 65
Genel terimi an = 2n + 1 olan aritmetik dizinin ilk 8 teriminin toplam kaçt r?
Çözüm
Sn = n2
(a1 + an) oldu undan,
S8 = 28 (a1 + a8) S8 = 4.(3 + 17) = 80 olur.
ÖRNEK 66
10 ile 100 say lar aras nda 3 ile tam bölünebilen tam say lar n toplam kaçt r?
Çözüm
12, 15, 18, ....., 99 say lar istenen ko ullar
sa layan say lard r. Üstelik bu say lar; ilk terimi
12, son terimi 99 ve ortak fark 3 olan sonlu bir
aritmetik dizi olu turmaktad r.
Terim Say s = n = r
a a 1–n 1 + = 3
99 12 1– + = 30
Sn = n2
(a1 + an) S30 = 230 (12 + 99)
= 1665 olur.
ÖRNEK 67
Ya lar toplam 68 olan dört ki inin ya lar bir aritme-tik dizi olu turmaktad r. Bu 4 ki inin en büyükleri 20 ya nda oldu una göre, en küçükleri kaç ya ndad r?
Çözüm
Sn = n2
(a1 + an) S4 = 24 (a1 + a4)
68 = 2.(a1 + 20)
34 = a1 + 20
a1 = 14 olur.
Yani, bu 4 ki inin en küçükleri 14 ya ndad r.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
332
ÖRNEK 68
lk n terim toplam Sn = n2 olan bir aritmetik dizinin
7. terimi kaçt r?
Çözüm
a7 = a1 + a2 + ..... + a7 – (a1 + a2 + ..... + a6)
= S7 – S6
= 72 – 62 = 49 – 36 = 13 bulunur.
ÖRNEK 69
lk n teriminin toplam Sn = 2n2 + 3n olan bir (an)
aritmetik dizisi için a3 + a4 + a5 toplam kaçt r?
Çözüm
a3 + a4 + a5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 – (a1 + a2)
= S5 – S2
= (2.52 + 3.5) – (2.22 + 3.2)
= 65 – 14 = 51 bulunur.
ÖRNEK 70
lk n terimi toplam Sn olan bir aritmetik dizide
n N+ için Sn = Sn–1 + 2n + 1 ise bu dizinin 5.
terimi kaçt r?
Çözüm
a5 = S5 – S4 oldu undan,
Sn = Sn–1 + 2n + 1 ifadesinde n = 5 al n rsa,
S5 = S4 + 2.5 + 1 S5 – S4 = 11
a5 = 11 bulunur.
ÖRNEK 71
x3 – 3x2 + 2ax + 8 = 0 denkleminin kökleri bir aritme-
tik dizi olu turdu una göre, a kaçt r?
Çözüm
Kökleri x1, x2, x3 olsun. Bu kökler bir aritmetik
dizi olu turuyorsa,
x x x22
1 3= + x1 + x3 = 2x2 dir.
x1 + x2 + x3 = ab– x2 + 2x2 =
13– –
3x2 = 3
x2 = 1 olur.
x2 = 1 kökü denklemi sa layaca ndan,
13 – 3.12 + 2a.1 + 8 = 0 1 – 3 + 2a + 8 = 0
2a = –6
a = –3 olur.
ÖRNEK 72
Bir aritmetik dizinin 8. ve 9. terimlerinin toplam 15
oldu una göre, ilk 16 teriminin toplam kaçt r?
Çözüm
a8 + a9 = 15 a1 + 7r + a1 + 8r = 15
2a1 + 15r = 15 dir.
S16 = 216 (a1 + a16) S16 = 8.(a1 + a1 + 15r)
= 8.(2a1 + 15r)
= 8.15
= 120 olur.
333
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a da verilenlerden hangileri bir aritmetik dizi-nin genel terimidir?
a. an = 2n – 1 b. a n2
3 1n = +
c. an = n2 – 1 d. an
n 1n = +
2. A a da ilk terimi ve ortak fark verilen aritmetik dizilerin genel terimlerini bulunuz.
a. a1 = 5 , r = 5
b. a1 = –2 , r = 21
c. a1 = 0 , r = v2
3. A a da iki terimi verilen aritmetik dizilerin genel terimlerini bulunuz.
a. a3 = 5 , a7 = 3
b. a2 = –4 , a4 = 6
c. a1 = 5 , a8 = 26
4. lk terimi 3 ve ortak fark 41 olan bir aritmetik
dizinin kaç nc terimi 7 dir?
5. 3, a, b, c, 13, d say lar bir aritmetik dizinin ard -k alt terimi ise a + b + c + d kaçt r?
6. 3 , log2a , 29 say lar bir aritmetik dizinin ard k üç terimi ise a kaçt r?
7. (an) aritmetik dizisinde a1 – a2 = 3 ise
a20 – a19 fark kaçt r?
8. lk terimi 1 ve ortak fark 3 olan bir aritmetik dizinin 15. terimi kaçt r?
ALIŞTIRMALAR – 2
1. a, b 2. a. 5n b. n2
5– c. nv2 – v2 3. a. n2
13 – b. 5n – 14 c. 3n + 2 4. 17 5. 39,5 6. 216 7. –3 8. 43
Diziler
334
ES
EN
YAY
INLA
RI
9. (an) aritmetik dizisinde a2 + a3 = 7 ve
a1 + a6 = 5 ise a10 kaçt r?
10. lk n teriminin toplam Sn = 2n2 + 4n olan bir
aritmetik dizinin 2. terimi kaçt r?
11. (an) = (3n – 1) aritmetik dizisinin ilk on teriminin
toplam kaçt r?
12. 4 ile tam bölünebilen iki basamakl say lar n top-
lam kaçt r?
13. (an) aritmetik dizisinde, a3 + 8 = 3.a8 e itli i sa -
lan yorsa dizinin ilk yirmi teriminin toplam kaçt r?
14. Bir (an) aritmetik dizisinde a1 = 3 ve n N+
için an+1 = an + 2 oldu una göre, dizinin ilk 10
teriminin toplam kaçt r?
15. Bankadan al nan faizsiz 2080 TL destek kredisi
için ilk ay 100 TL, ikinci ay 110 TL, üçüncü ay
120 TL vb. kademeli ödeme plan uygulanm t r.
Buna göre, borcun bitmesi kaç ay sürer?
16. Bir tiyatro salonunun birinci s ras nda 16 koltuk,
ikinci s ras nda 18 koltuk, üçüncü s ras nda 20
koltuk vard r. Salonda bu ekilde devam eden
toplam 40 s ra oldu una göre, salonda toplam
kaç koltuk vard r?
17. –8 ile 24 say lar n n aras na ilk terimi –8, son
terimi 24 olan aritmetik dizi ola acak ekilde 63
terim daha yerle tiriliyor. Olu an aritmetik dizinin
40. terimi kaç olur?
9. –4 10. 10 11. 155 12. 1188 13. 80 14. 120 15. 13 16. 2200 17. 2
23
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
335
GEOMETR K D Z
Ard k iki teriminin oran hep ayn sabit say ya e it olan dizilere geometrik dizi , bu sabit orana da ortak çarpan denir. Buna göre,
n N+ için a
a rn
n 1 =+ ise r R say s na bu dizinin
ortak çarpan denir.(an) bir geometrik dizi ve r R ise
aa
aa
aa
aa r……
n
n
1
2 3
3
4 1
2= = = = =+ dir. (r 0)
ÖRNEK 73
(an) = (3.2n) dizisinin geometrik dizi oldu unu gös-teriniz.Çözüm
a
a rn
n 1 =+ olacak ekilde bir r R varsa (an)
geometrik dizidir. Buna göre,
.
..
. .a
a R3 2
3 23 2
3 2 2 2n
nn
n
n
n1 1!= = =+ +
bulunur.
O halde, (an) bir geometrik dizidir.
Üstelik r = 2 > 1 oldu undan (an) monoton artan bir geometrik dizidir.
(an) geometrik dizisinde ortak çarpan r olmak üzere,
r > 1 ise (an) monoton artan,
0 < r < 1 ise (an) monoton azalan,
r = 1 ise (an) sabit bir geometrik dizidir.
ÖRNEK 74
(an) = 32nc m dizisinin geometrik dizi oldu unu gös-
teriniz.
Çözüm
a
a R
32
32
32
23
31·
n
n
n
n
n
n1 1
1!= = =+ +
+ oldu undan
geometrik dizidir. Üstelik 0 < 31 < 1 oldu un-
dan (an) monoton azalan bir geometrik dizidir.
ÖRNEK 75
(an) = (n2 + 1) bir geometrik dizi midir?
Çözüm
a
an
n
nn n
1
1 1
12 2
n
n 12
2
2
2=
+
+ +=
++ ++ ^ h
R dir.
Dolay s ile (an) bir geometrik dizi de ildir.
Geometrik Dizinin Genel Terimi
aa r
n
n 1 =+ an+1 = an.r oldu undan
a2 = a1.r
a3 = a2.r
a4 = a3.r ............... an = an–1.r x ––––––––––––– an = a1.
e
. . .……r r r rtann 1–
1 2 344 44
an = a1.rn–1 olarak bulunur.
lk terimi a1 ve ortak çarpan r olan bir geometrik dizinin genel terimi an = a1.r
n–1 dir.
ÖRNEK 76
(an) geometrik dizisinde a1 = 2 ve a2 + a3 = 21–
e itlikleri veriliyor. Buna göre, bu dizinin genel terimi nedir?
Çözüm
a2 + a3 = 21– a1.r + a1.r
2 = 21–
2r + 2r2 = 21–
4r2 + 4r + 1 = 0
(2r + 1)2 = 0
r = 21– dir.
an = a1.rn–1 an = .2
21–
n 1–c m bulunur.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
336
ÖRNEK 77
lk terimi 2 ve ortak çarpan 21 olan bir geometrik
dizinin 12. terimi nedir?
Çözüm
a1 = 2 ve r = 21 olmak üzere,
an = a1.rn–1 a12 = a1.r
11 = .221 11c m =
2110
olur.
ÖRNEK 78
Bir geometrik dizinin ilk 5 teriminin çarp m , 32 ol-du una göre, bu dizinin üçüncü terimi kaçt r?
Çözüm
a1.a2.a3.a4.a5 = 32
a1.a1.r.a1.r2.a1.r
3.a1.r4 = 32
a15.r10 = 32 (a1.r
2)5 = 25 a1.r2 = 2 a3 = 2
ÖRNEK 79
Genel terimi an = 48n
olan (an) geometrik dizisinin
ortak çarpan kaçt r?
Çözüm
aa r
1
2 = r
4848
1
2= r
48
84·
2
1=
r41= bulunur.
ÖRNEK 80
Ortak çarpan 3 ve 5. terimi 36 olan geometrik di-zinin 8. terimi kaçt r?
Çözüm
r = 3 ve a5 = 36 olmak üzere,
an = a1.rn–1 a5 = a1.r
4 36 = a1.34
a1 = 32 dir.
a8 = a1.r7 a8 = 32.37 a8 = 39 olur.
ÖRNEK 81
Bir geometrik dizinin 3. terimi 50 ve 6. terimi 52
ise ortak çarpan kaçt r?
Çözüm
a3 = 50 a1.r2 = 50
a6 = 52 a1.r
5 = 52 } Taraf tarafa bölünürse,
..
a ra r
5250
15
12
= r1 50
25·
3=
r1 53
3=
r = 51 bulunur.
Bir geometrik dizide, herhangi bir te ri min ka re si ken di sin den e it uzak l k taki iki terimin çarp m na e ittir. (an)
2 = an–p.an+p , (n > p)
ÖRNEK 82
Pozitif terimli bir geometrik dizinin ikinci terimi 4 ve sekizinci terimi 9 ise be inci terimi kaçt r?
Çözüm
a2 = 4 ve a8 = 9 oldu unu biliyoruz.
5 – 2 = 8 – 5 oldu undan 2. ve 8. terimler
5. terimden e it uzakl ktad r.
O halde, (a5)2 = a2.a8 (a5)
2 = 4.9 a5 = 6
ÖRNEK 83
(an) geometrik dizi ve a3.a4.a5.a6.a7 = 32 ise a5 kaçt r?
Çözüm
a4.a6 = (a5)2 ve a3.a7 = (a5)
2 oldu undan,
a3.a4.a5.a6.a7 = 32 (a5)2.(a5)2.a5 = 32
(a5)5 = 32
(a5)5 = 25
a5 = 2 bulunur.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
337
ÖRNEK 84
a1 = –2 ve n > 1 için an+1 = 2an – 1 ve
bn = 2an – 2 ile verilen (bn) dizisinin geometrik dizi
oldu unu gösteriniz ve bn genel terimini bulunuz.
Çözüm
( )
( )
bb
aa
aa
aa
aa
R
2 22 2
2 22 2 1 2
2 24 2 2
2 22 2 2
2
––
–– –
–– –
––
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1 1
!
= =
= = =
+ +
oldu undan (bn) ortak çarpan 2 olan bir geo-
metrik dizidir.
bn = 2an – 2 b1 = 2a1 – 2 b1 = 2.(–2) – 2
b1 = –6 d r.
Buna göre (bn) nin genel terimi,
bn = b1.rn–1 bn = –6.2n–1 bn = –3.2.2n–1
bn = –3.2n olur.
ÖRNEK 85
(an) pozitif terimli bir geometrik dizidir.
. .a
a aa
2
3
1 79= oldu una göre, dizinin ortak çarpan
kaçt r?
Çözüm
a1.a7 = (a4)2 ve a3.a5 = (a4)
2 oldu undan,
a1.a7 = a3.a5 yaz labilir.
O halde,
. .a
a aa
2
3
1 79=
. .a
a aa
2
39
3 5 =
2a5 = a9
2a5 = a5.r4
r4 = 2
r = 24 bulunur.
Geometrik Dizinin lk n Teriminin Toplam
Ortak çarpan r olan bir (an) geometrik dizisinin ilk
n teriminin toplam n Sn ile gösterelim.
Sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an
= a1 + a1.r + a1.r2 + ..... + a1.r
n–1
= a1(1 + r + r2 + ..... + rn–1)
= arr
11·
–– n
1 bulunur.
Sn = arr
11·
–– n
1 , (r 1)
ÖRNEK 86
Ortak çarpan 21 ve dördüncü terimi
161 olan (an)
geometrik dizisinin ilk dört teriminin toplam kaçt r?
Çözüm
r21= ve a
161
4 = a1.r3 =
161
a1. 21
1613
=c m
a1 = 21 dir.
Sn = a1. rr
11
–– n
S4 = 21
121
121
·–
–4c m
S4 = 21
21
1161
·–
S4 = 1 – 161 =
1615 bulunur.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
338
ÖRNEK 87
lk n terim toplam Sn = 21 1
31–
nc m= G olan (an) ge-
ometrik dizisinde a7 + a8 kaçt r?
Çözüm
a7 + a8 = S8 – S6
.bulunur
21 1
31
21 1
31
21
21
31
21
21
31
21
31
31 1
21
31
38
34
– – –
– · – ·
· · –
· ·
8 6
8 6
6 2
6 2 8
=
= +
= +
= =
c c
c
m m
m
= =G G
ÖRNEK 88
Bir geometrik dizinin ilk terimi 21 , ortak çarpan 2
ve n. terimi 16 ise bu sonlu dizinin terimleri toplam kaçt r?
Çözüm
a1 = 21 , r = 2 ve an = 16 ise,
a1.rn–1 = 16
21 .2n–1 = 16
2n–1 = 32
n – 1 = 5
n = 6 d r. O halde,
Sn = a1. rr
11
–– n
S6 = 21
1 21 2·
–– 6
= 21
163·
––
= 263 bulunur.
ÖRNEK 89
x3 – 7x2 + 2kx – 8 = 0 denkleminin kökleri bir geomet-rik dizinin ard k üç terimi ise k kaçt r?
Çözüm
Denklemin kökleri bir geometrik dizinin ard k üç
terimi ise x1 , x1.r , x1.r2 eklindedir.
ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminde
x1.x2.x3 = ad– oldu undan;
x1.x1.r.x1.r2 =
18– – (x1.r)
3 = 8
x1.r = 2 olur.
x2 = x1.r = 2 oldu undan, 2 bir kök olup verilen
denklemi sa lar. O halde,
23 – 7.22 + 2k.2 – 8 = 0 8 – 28 + 4k – 8 = 0
k = 7 bulunur.
ÖRNEK 90
(an) = (2.3n) geometrik dizisinin ilk n teriminin çar-p m neye e ittir?
Çözüm
ra
an
n 1= + .
.r2 3
2 3n
n 1=
+ r = 3 tür.
a1 = 2.31 = 6 d r. O halde,
a1.a2.a3 ..... an = a1.(a1.r).(a1.r2).....(a1.r
n–1)
= (a1)n.r.r2.....rn–1
= (a1)n.r1+2+.....+(n–1)
= (a1)n. r
.n n21 –^ h
= 6n. 3.n n
21–^ h
bulunur.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
339
ÖRNEK 91
Monoton artan bir geometrik dizinin ard k üç terimi-nin çarp m 64 ve bu terimlerinin aritmetik ortalama-
s 314 tür. Buna göre, bu üç terimi bulunuz.
Çözüm
Dizinin ard k üç terimi x, y, z olsun.
x.y.z = 64 ve x y z3 3
14+ += x + y + z = 14
tür. Dizi geometrik oldu undan, y2 = x.z dir.
O halde, x.y.z = 64 y.y2 = 64
y3 = 43
y = 4 tür.
y2 = x.z x.z = 16
x + y + z = 14 x + z = 10 olur.
Dizi artan olaca ndan x = 2 ve z = 8 dir.
Buna göre, bu dizinin ard k üç terimi 2, 4, 8 dir.
ÖRNEK 92
(an) = (x, y, z) dizisinin hem aritmetik hem de ge-ometrik dizi olmas için x, y, z aras nda nas l bir ba nt olmal d r?
Çözüm
(an) = (x, y, z) dizisi;
aritmetik dizi ise y = x z2+
geometrik dizi ise y2 = x.z dir.
O halde, x z2
2+b l = x.z . .x x z z x z4
22 2+ + =
x2 + 2x.z + z2 = 4x.z
x2 – 2x.z + z2 = 0
(x – z)2 = 0
x = z olur.
y x z2
= + y z z2
= + y = z olur.
Bu durumda, x = y = z olmal d r.
(an) = (x, y, z) di zi si nin hem arit me tik hem de ge-omet rik dizi olmas için x = y = z olmal d r.
ÖRNEK 93
(an) = (x+y, 3+y, 2x–y) dizisi hem aritmetik hem de
geometrik bir dizi ise x.y kaçt r?Çözüm Terimleri birbirine e it olmal . O halde, x + y = 3 + y x = 3
3 + y = 2x – y y = 23 oldu undan,
x.y = 323
29· = bulunur.
ÖRNEK 94
a b c olmak üzere,
a, b, c say lar verilen s rayla aritmetik dizi ve
ab, bc, ac say lar verilen s rayla geometrik dizi
olu turmaktad r. Buna göre, geometrik dizinin ortak
çarpan kaçt r?
Çözüm
a, b, c say lar aritmetik dizi olu turuyorsa,a c
2+ = b c = 2b – a ..... I
ab, bc, ac say lar geometrik dizi olu turuyorsa,
(bc)2 = ab.ac b2c2 = a2bc
bc = a2 ..... II
I ve II nin ortak çözümünden,
b(2b – a) = a2 2b2 – ab – a2 = 0
(2b + a)(b – a) = 0
a = –2b veya a = b dir.
a b oldu undan a = –2b dir.
Geometrik dizinin ortak çarpan r olsun.
r = aa
aa
1
2
2
3= r = abbc
bcac=
r = ac
ba=
r = a bc a
++
r = a b
b2+
r = b bb
22
– +
r = –2 bulunur.
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
340
ÖRNEK 95
3600 nüfuslu bir köyün nüfusu y lda ortalama % 2 ar-t yor. Buna göre, 10 y l sonra köyün nüfusu yakla k olarak kaç olur?
Çözüm
Bir y l sonra nüfus % 2 artaca ndan,
3600 + 3600.1002 = 3600.(1,02) olur.
2 y l sonra nüfus yine % 2 artaca ndan,
3600.(1,02) + 3600.(1,02).1002 = 3600.(1,02)2
olur.
Buna göre, 10 y l sonra köyün nüfusu
3600.(1,02)10 = 4388 ki i olur.
3600.(1,02)10 i lemini üslü i lem yapabilen hesap makinesi ile hesaplayabilece iniz gibi a a daki ekilde de hesaplayabiliriz.
y = 3600.(1,02)10 denkleminin logaritmas n al r-sak,
logy = log[3600.(1,02)10 ]
= log3600 + log(1,02)10
= 3,5563 + 10.log(1,02)
= 3,5563 + 10.(0,0086)
= 3,6423 y 4388 olur.
Yukar daki i lemleri logaritma cetveli yard m ile hesaplad k.
ÖRNEK 96
Bugünkü de eri 1500 TL olan paran n % 2.5 ayl k faiz oran ile 6 ay sonundaki de eri kaç TL dir?
Çözüm
Bir ay sonra 100025 faiz i leyece inden
1500 + 1500.100025 = 1500.(1,025) TL olur.
ki ay sonra yine 100025 faiz i leyece inden,
1500.(1,025) + 1500.(1,025).100025 = 1500(1,025)2
TL olur. Bu ekilde 6 ay sonunda paran n de eri
1500.(1,025)6 1740 TL bulunur.
ÖRNEK 97
Yukar daki grafik, bir ailenin 2001–2005 y llar ara-s ndaki y ll k gelirini göstermektedir. Bu ailenin 2001–2005 y llar aras ndaki y ll k geliri, her y l ortalama % 15 artm t r. Buna göre, bu ailenin bu dönemdeki 5 y ll k toplam geliri yakla k kaç TL dir?
Çözüm
2001 y l nda geliri 6000 TL iken 2002 y l nda
% 15 artaca ndan,
6000 + 6000.10015 = 6000(1,15) TL olur.
2003 y l nda ise yine % 15 artaca ndan,
6000.(1,15) + 6000.(1,15).10015 = 6000.(1,15)2 TL
olur. Buna göre, bu y llar aras nda y ll k gelir
G = 6000.(1,15)n–1 TL eklinde modellenebilir.
Bu dönemdeki 5 y ll k toplam gelir, geometrik dizi toplam kullan larak bulunur.
6000.(1,15) 1n
n 1
5–
=/ = 6000.
,,
1 1 151 1 15
–– 5
^^
hh> H
40 454 TL
Buna göre, bu ailenin 2001–2005 y llar aras n-daki toplam geliri yakla k 40 454 TL dir.
341
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A a da verilenlerden hangileri bir geometrik dizinin genel terimi olabilir?
a. an = 2n + 1 b. an = 5n
c. an = (–2)n d. an = 5.3n+1
2. A a da ilk terimi ve ortak çarpan verilen geo-metrik dizilerin genel terimlerini bulunuz.
a. a1 = 3 , r = 2
b. a1 = v2 , r = v3
c. a1 = 32 , r = 21–
3. A a da iki terimi verilen geometrik dizilerin genel terimini bulunuz.
a. a2 = 8 , a4 = 2
b. a1 = 31 , a6 = 81
c. a8 = 5 , a11 = 5
4. Bir (an) geometrik dizisinde a5 = 3 ve a8 = 24 oldu una göre, a10 kaçt r?
5. 91 , a, b, c, 9, d say lar bir geometrik dizinin ar-
d k alt terimi ise a.b.c.d kaçt r?
6. Bir (an) geometrik dizisinde a7 = 31 ve
a10 = 241 ise ortak çarpan kaçt r?
7. Be inci terimi 2 olan bir geometrik dizinin ilk dokuz teriminin çarp m kaçt r?
8. Genel terimi an = 2.5n+2 olan (an) geometrik dizisinin ortak çarpan kaçt r?
ALIŞTIRMALAR – 3
1. b, c, d 2. a. 3.2n–1 b. v2 . (v3)n–1 c. 32.(–2)1–n 3. a. m25–n b. 3n–2 c. 5 4. 96 5. 27 6. 21 7. 29 8. 5
Diziler
342
ES
EN
YAY
INLA
RI
9. Ortak çarpan 2 ve dördüncü terimi 16 olan bir geometrik dizinin ilk be teriminin toplam kaçt r?
10. Bir (an) geometrik dizisinde a1 = 1 ve a7 = 214 ise a2.a3.a4.a5.a6 çarp m kaçt r?
11. lk n teriminin toplam Sn = 2.(3n – 1) olan (an) geometrik dizisinde a4 + a5 toplam kaçt r?
12. lk n teriminin toplam Sn = 1 – 3–n olan bir geometrik dizinin ortak çarpan kaçt r?
13. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk alt teriminin toplam , ilk üç teriminin toplam n n 9 kat ise bu dizinin ortak çarpan kaçt r?
14. a, 5, b sonlu dizisi hem aritmetik hem de geo-metrik dizi ise a2 + b2 kaçt r?
15. a1 = 3 ve n N+ için 3.an = 2.an+1 oldu una göre, (an) dizisinin ilk dört teriminin çarp m kaç-t r?
16. Bir (an) geometrik dizisinde 4.an = an+2 ise
aa
6
14 kaçt r?
17. 10 y l önce y lda 6000 TL ile i e giren bir ki inin ücreti, her y l % 10 artm t r. Bu 10 y l boyunca ald toplam ücret kaç TL dir?
18. Bir bakteri çe idinin nüfusu, uygun bir ortam-da her 30 saniyede bir ikiye katlanmaktad r. Ba lang çta ortamda 10 tane bakteri oldu una göre, 15 dakika sonra ortamda kaç tane bakteri olur?
9. 62 10. 235 11. 432 12. 13
13. 2 14. 50 15. 23
6
10 16. 28 17. 95624 18. 10.230
ES
EN
YAY
INLA
RI
343
YAZILIYA HAZIRLIK – 1
1. (an) dizisi için,
an+1 – an = n + 3 ve a1 = 4 ise a20 kaçt r?
2. (an) = (n2 – 7n + 3) dizisinin terimlerinden en
küçük olan kaçt r?
3. ak k 1
1n
k
n
2=
+=^ ^fh h p/ dizisi için
ak+1 , ak n n 2021 kat ise k kaçt r?
4. lk n teriminin toplam Sn = n2 – n + 1 olan dizinin 5. terimi kaçt r?
5. 5 ile 62 aras na aritmetik dizi olu turacak e-kilde 18 terim yerle tiriyor. Yerle tirilen terimler-den ba tan dördüncüsü kaçt r?
6. Bir aritmetik dizinin sekizinci terimi 71, onüçün-cü terimi 96 ise ilk 20 teriminin toplam kaçt r?
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
344
1. 251 2. –9 3. 6 4. 8 5. 17
6. 1670 7. 2y – x 8. 210 – 1 9. 38 10. (6, )
7. Bir geometrik dizinin ilk iki terimi s ras yla x ve 2x, n. terimi y dir. Bu dizinin ilk n teriminin toplam n n x ve y cinsinden de eri nedir?
8. Yedinci terimi 64, üçüncü terimi 4 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk 10 teriminin topla-m kaçt r?
9. (an) = nn k
3 42
++c m
dizisi sabit dizi ise k kaçt r?
10. (an) = nn k
23
++c m
dizisi monoton azalan ise k hangi aral kta de er
al r?
ES
EN
YAY
INLA
RI
345
YAZILIYA HAZIRLIK – 2
1. (an) dizisi için,
an+3 = an + 4 ve a1 = 6 ise a25 kaçt r?
2. an
n4
244n =
++^ ch m dizisinin kaç terimi tam say -
d r?
3. an
n n4
8 7–n
2=
++^ ch m dizisinin kaç terimi pozitif
de ildir?
4. Genel terimi an n
1n 2
=+
olan bir dizinin ilk 6
teriminin toplam kaçt r?
5. (an) aritmetik dizisi için
a28 = 4x – 3 , a14 = 6x + 1 ise a21 nedir?
6. lk terimi 2 olan bir aritmetik dizinin ilk 12 teri-minin toplam ile ilk 8 teriminin toplam n n fark 122 dir. Bu dizinin ortak fark kaçt r?
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
346
1. 38 2. 16 3. 7 4. 76 5. 5x – 1
6. 3 7. 10 8. 32 9. Monoton artmayan 10. 45
7. Bir geometrik dizinin ard k üç terimi s ras yla x – 1, x + 2 ve x + 6 ise x kaçt r?
8. x 0 ve y 0 olmak üzere, x + y, 2xy ve xy2 hem aritmetik dizinin, hem
de geometrik bir dizinin ard k üç terimi ise x kaçt r?
9. (an) = ( ) !n 2
4n
+d n
dizisinin monotonluk durumunu inceliyiniz.
10. n > 1 için genel terimi,
an = 1 + 2 + 3 + ... + n olan dizinin bir alt dizisi
(a3n) dir. Buna göre, (a3n) dizisinin üçüncü terimi kaçt r?
ES
EN
YAY
INLA
RI
347
TEST – 1 Genel Terim – Monoton Dizi – Alt Dizi
1. A a dakilerden kaç tanesi bir dizinin genel teri-mi olur?
I. n
n1+
II. v5 III. nn
IV. n 1– V. n5 – VI. sinn°
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
2. Genel terimi a n2
1n = + olan (an) dizisinin ilk
dört teriminin toplam kaçt r?
A) 6 B) 213 C) 7 D)
215 E) 8
3. (22, x) ikilisi (an) = (n2 – 3) dizisinin ard k iki teriminden olu tu una göre x a a dakilerden hangisi olabilir?
A) 32 B) 33 C) 38 D) 46 E) 61
4. log
ak
k
2 1
1
–n
k
nk
n
1
3=+
=
=k
J
L
KKKKK
^ ^^ N
P
OOOOO
h hh%
/ ise a8 kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E641
321
241
161
81
5. A5 = {1, 2, 3, 4, 5} , an: A5 R , (an) = (2n)
sonlu dizisinin terimlerinin toplam kaçt r?
A) 30 B) 24 C) 20 D) 15 E) 10
6. an
ve bn d
n c13
22 1
––n n=
+=
++^ c ^ bh m h l
olmak üzere (an) = (bn) ise c + d kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
7. ann
27–
n =+^ ch m dizisinin kaç tane terimi pozitif
de ildir?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
8. an
n2 6n = +^ ch m dizisinin kaç tane terimi tam sa-
y d r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
348
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D 9.A 10.A 11.D 12.E 13.D 14.B 15.E 16.D
9. (an) = (n2 – 6n + 6) dizisinin en küçük terimi nedir?
A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2
10. (an) = (n2 – 11n + 15) dizisinin kaç terimi –13 ten
küçüktür?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
11. an n
n1 2 13
2–
–n =
+^ ^ ^dh h h n dizisinin kaç terimi ne-
gatiftir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12. an kn
42 3
n =++^ ch m dizisinin sabit dizi olmas için k
reel say s kaç olmal d r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
13. Genel terimi an n3 2
1n 2
=+ +
olan (an) dizisi-
nin ilk 10 teriminin toplam kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E121
41
31
125
21
14. Genel terimi a 10nk
k
n
1=
=% olan (an) dizisinin
15. terimi kaç basamakl bir say d r?
A) 120 B) 121 C) 122 D) 123 E) 124
15. Genel terimi an = 3n.n! olan bir (an) dizisinde,
(n + 1). terim n. terimin kaç kat d r?
A) 3 B) 3n C) 3n + 1D) n + 3 E) 3n + 3
16. A a dakilerden hangisi monoton azalan bir dizi-dir?
A) n2
1+c m B) n2nc m C)
.n
n1
1– n
+^d h n
D) nn
12
++c m E)
nn
21
++c m
ES
EN
YAY
INLA
RI
349
Genel Terim – Monoton Dizi – Alt DiziTEST – 2
1. A a dakilerden hangisi bir dizinin genel terimi-dir?
A) logn(n + 2) B) logn
1 C) n 2008
2007–
D) n 11–
E) n 1–
2. Genel terimi an = ,,,
modmodmod
n nn nn n
3 0 33 1 3
2 33
/
/
/
+^^^
hhh
Z
[
\
]]
]]
olan (an) dizisinde, a2 + a3 + a4 kaçt r?
A) 25 B) 24 C) 23 D) 22 E) 21
3. ann
2 75 3
–n = +^ ch m dizisinin kaç nc terimi 3 tür?
A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25
4. Bir (an) dizisinin n N+ için, an+1 = an + 1 ve a2 = 4 ise a20 kaçt r?
A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26
5. i2 = –1 olmak üzere, genel terimi
a ink
k
n
1=
=/ olan (an) dizisi için a30 kaçt r?
A) –1 B) 0 C) i D) –i E) i – 1
6. Genel terimi loga k 2n kk
n
11
= ++=
^ h% olan (an)
dizisi için a30 kaçt r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
7. Bir (an) dizisinde a1 = 2 ve an+1 = n + an
oldu una göre, bu dizinin genel terimi a a daki-lerden hangisidir?
A) n + 1 B) 3n – 1 C) n2 – n + 2
D) n n2
4–2 + E) n n2
22 + +
8. ann
3 163
–n = +^ ch m dizisinin kaç terimi negatiftir?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
350
1.E 2.B 3.D 4.C 5.E 6.B 7.D 8.C 9.D 10.D 11.E 12.B 13.D 14.C 15.A 16.B
9. ann2 3
4––
n =^ ch m dizisinin kaç terimi 31 ten kü-
çüktür?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
10. (a2n–1) = nn
3 13 2
––c m olmak üzere,
(an) dizisinin 6. terimi kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E1914
1915
1916
1917
1918
11. Genel terimi an = 2(n+1)! olan dizi için aa
3
4 oran
kaçt r?
A) 212 B) 236 C) 248 D) 292 E) 296
12. (an) = n
n n2
42
++ +c m dizisinin kaç terimi tam say -
d r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
13. (an) = (–n2 + 8n – 5) dizisinin en büyük terimi kaçt r?
A) 2 B) 7 C) 10 D) 11 E) 12
14. .an
k n2 3
1n =
++^ ch m dizisinin monoton azalan olma-
s için k n n alabilece i en büyük tam say de eri kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
15. A a dakilerden hangisi monoton artan bir dizi-dir?
A) nn
32
++c m B)
nn
23
++c m C) ((– 1)n.n)
D) (n2 – 3n + 2) E) n2nc m
16. Bir (an) dizisinde n yerine a a daki ifadelerden hangisi yaz l rsa (an) dizisinin bir alt dizisi elde edilir?
A) 2n – 5 B) n! C) n2 + 21
D) !n2
1+ E) 1 – n
ES
EN
YAY
INLA
RI
351
Genel Terim – Monoton Dizi – Alt DiziTEST – 3
1. (an) = kk
n2
1=d n/ ve (bn) = k2
k
n
1=d n/ ise
ba
n
nc m dizisinin genel terimi a a dakilerden han-
gisidir?
A) n
n6
2 1+ B) nn
12 1
++ C) n
22 1+
D) n3
2 1+ E) n6
2 1+
2. an
n ve bn
n3 2 4– –n n= =^ c ^ ch m h m
oldu una göre, (2an – bn) dizisi a a dakilerden hangisine e ittir?
A) n
n5 8–c m B) (n) C) n8c m
D) (5) E) (1)
3. (an) = (n2 – 11n + 18) dizisinin kaç terimi negatif-
tir?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
4. an
n n1
8– –n
2=
+^ ch m dizisinin kaç terimi tam say -
d r?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
5. an2 3
1–
–n
n
=^ ^dh h n oldu una göre,
(a2n+1) alt dizisinin 3. terimi kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E31
91
111
111
31– – –
6. Genel terimi a 2nk
k
n
1
–==/ olan (an) dizisinin
5. terimi kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E87
1615
3231
6463
128127
7. A a dakilerden hangisi sabit dizi de ildir?
A) (5!) B) ((–1)2n–1)
C) ((–1)n + (–1)n+1) D) (cos2n )
E) ((–1)n)
8. Genel terimi ann
2 72
–n = + olan dizinin alabilece i
en küçük de er kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E54
53
34 5 6– – – – –
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
352
1.E 2.D 3.E 4.A 5.C 6.C 7.E 8.D 9.A 10.B 11.A 12.D 13.E 14.C 15.C 16.B
9. an cn
23 1–
n =+^ ch m dizisi sabit dizi oldu una göre,
c kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E32
31
23
25
35– – – – –
10. an cn
3 42 1
n =++^ ch m dizisi monoton artan oldu una
göre, c reel say s hangi aral kta de er al r?
A) ,343c m B) ,
833c m C) ,
83
34c m
D) (0, 1) E) (1, )
11. (an) = (1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ..., 1 + 2 + 3 + ... + n, ...)
dizisinin ilk 10 teriminin toplam kaçt r?
A) 220 B) 210 C) 200 D) 190 E) 180
12. Bir (an) dizisinde a1 = 1 ve n > 1 için
an–1 = n.an ise a7 kaçt r?
) ) )!
)!
)!
A B C D E61
72
72
71
61
13. a knk
n
1=
=^ dh n/ dizisinin ilk üç teriminin toplam
kaçt r?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
14. Genel terimi ak k5 6
1n
k
n
21
=+ +=
/
olan (an) dizisinin onuncu terimi kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E278
367
3910
449
458
15. ann k
2 5n =++^ ch m dizisinin monoton artan olmas
için k n n alabilece i kaç farkl do al say de eri vard r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
16. (a2n+1) = nn
4 32 2
++c m olmak üzere,
(an+2) dizisinin 4. terimi kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E1910
137
139
95
53
ES
EN
YAY
INLA
RI
353
Aritmetik DiziTEST – 4
1. A a dakilerden hangisi bir aritmetik dizinin genel terimi olabilir?
A) n2 B) 2n C) n1
D) 2n – 3 E) (–1)n
2. lk terimi 2 ve ortak fark 25 olan bir aritmetik
dizinin kaç nc terimi 47 dir?
A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23
3. (an) aritmetik bir dizi olmak üzere, a5 = 13 ve a15 = 33 ise a2 kaçt r?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
4. 2 ile 15 aras na 12 tane say yerle tirilmi tir. Bu 14 tane say ilk terimi 2 olan bir aritmetik dizinin ard k terimleridir.
Olu an bu dizinin 8. terimi kaçt r?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
5. Genel terimi a n3
2 10n = + olan bir aritmetik dizi-
nin ilk alt teriminin toplam kaçt r?
A) 36 B) 34 C) 32 D) 30 E) 28
6. 2, a, b, 4 say lar sonlu bir aritmetik dizinin ard -k terimleri oldu una göre, a + b kaçt r?
A) 3 B) 4 C) 29 D) 5 E) 6
7. lk terimi 3 ve ortak fark 32 olan bir aritmetik
dizinin genel terimi a a dakilerden hangisidir?
A) n3
8+ B) n3
2 9+ C) n3
2 7+
D) 2n + 1 E) n2
5+
8. lk terimi 2 ve son terimi 15 olan bir sonlu arit-metik dizinin terimleri toplam 51 oldu una göre, bu dizinin terim say s kaçt r?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
354
1.D 2.A 3.A 4.C 5.B 6.E 7.C 8.B 9.C 10.D 11.B 12.B 13.C 14.E 15.C 16.C
9. (an) aritmetik dizisinde,
a10 + a11 + a12 + a13 + a14 = 30 ise
a6 + a18 toplam kaça e ittir?
A) 6 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18
10. Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplam
Sn = n2 – 3n ise dizinin 6. terimi kaçt r?
A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 6
11. Ortak fark ve ilk terimi birbirine e it olan bir arit-metik dizinin ilk 6 teriminin çarp m 36.6! ise, bu dizinin 7. terimi kaçt r?
A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 E) 30
12. (an) aritmetik dizisinde a2x + a2y = 6 oldu una
göre, ax+y kaça e ittir?
A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 12
13. Bir üçgenin aç lar n n ölçüleri, bir aritmetik dizinin ard k üç terimidir. Bu üçgenin en küçük aç s n n ölçüsü 20° ise en büyük aç s n n ölçüsü kaç derecedir?
A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120
14. lk n terim toplam Sn = n2 + 4n olan (an) aritmetik dizisinin genel terimi a a dakilerden hangisidir?
A) 2n – 1 B) 2n C) 2n + 1D) 2n + 2 E) 2n + 3
15. x3 – 3x2 – 6x + d = 0 denkleminin kökleri bir arit-metik dizi olu turuyorsa d kaçt r?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
16. (an) bir aritmetik dizi ve
2.ar+2 = a2 + a3r–1 ise r kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ES
EN
YAY
INLA
RI
355
Geometrik DiziTEST – 5
1. A a dakilerden kaç tanesi bir geometrik dizinin genel terimi olabilir?
I. 5n II. e2n III. n1
IV. 2n V. 2n–1 VI. n!
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. Bir (an) pozitif terimli geometrik dizisinde, a2 = 2 ve a6 = 32 ise a5 kaçt r?
A) 30 B) 24 C) 16 D) 12 E) 8
3. Bir (an) geometrik dizisinde,
a2 = 4 ve a4 = 916 ise ortak çarpan kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E41
31
21
32
43
4. (an) geometrik bir dizi olmak üzere,
a21
6 = ve a161
9 = ise a3 kaçt r?
A) 8 B) 4 C) 2 D) 41 E)
81
5. Dördüncü terimi 4 , alt nc terimi 8 olan geomet-rik dizinin be inci terimi kaçt r?
A) 32 B) 16 C) 4v2D) 2v2 E) v2
6. Ortak çarpan 2 olan bir geometrik dizinin n. te-riminin ikinci terimine oran 256 oldu una göre, n kaçt r?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7. v3 ve c12 say lar n n aras na a a daki sa-y lardan hangisi konulursa, geometrik bir dizi meydana gelir?
A) 2 B) v5 C) v6 D) v7 E) v8
8. 81 , x, y, z, 2 be terimden olu an sonlu bir geo-
metrik dizi ise x.y.z çarp m kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E81
41
83
21
85
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
356
1.C 2.C 3.D 4.B 5.C 6.E 7.C 8.A 9.E 10.E 11.B 12.E 13.A 14.B 15.C 16.B
9. Bir (an) geometrik dizisinde a1 = 1 ve a4 = 27
ise bu dizinin ilk be teriminin toplam kaçt r?
A) 117 B) 118 C) 119 D) 120 E) 121
10. lk üç terimi a + 2 , 5 , b – 1 olan sonlu dizi hem aritmetik hem de geometrik dizi oldu una göre,
b – a kaçt r?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
11. (an) pozitif terimli bir geometrik dizi olmak üzere,
a2r = .a ar r4 2– ise r kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12. 3x3 – 26x2 + cx – 24 = 0 denkleminin kökleri bir geometrik dizi olu turuyorsa c kaçt r?
A) 20 B) 36 C) 42 D) 48 E) 52
13. Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplam
S 42
3 2· –n n
n n= ise bu dizinin dördüncü terimi
kaçt r?
A) 427 B) 7 C)
429 D)
215 E) 8
14. Bir geometrik dizinin ilk 6 teriminin çarp m , ilk 3 teriminin çarp m n n 64 kat ise bu geometrik dizinin 5. terimi kaçt r?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32
15. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplam , ilk 2 teriminin toplam n n 17 kat ol-du una göre, bu geometrik dizinin ortak çarpan kaçt r?
A) 16 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1
16. Pozitif terimli bir geometrik dizide, a2 = 3 ve a5 = 81 ise, bu dizinin genel terimi a a dakiler-
den hangisidir?
A) 3n–2 B) 3n–1 C) 3n D) 3n+1 E) 3n+2
357
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. 1981 – ÖYS
Dördüncü terimi 1, yedinci terimi 81 olan bir geo-
metrik dizinin, yirminci terimi kaç olur?
A) 2115
B) 2116
C)2117
D) 2119
E) 2120
2. 1982 – ÖYS Bir geometrik dizinin ilk terimi a, ortak çarpan 2, n inci terimi b dir. Bu dizinin, ilk n terim toplam n n a ve b ye ba l
olarak ifadesi a a dakilerden hangisidir?
A) b – 2a B) b + a – 1 C) b – a + 1D) b – a E) 2b – a
3. 1984 – ÖYS N+ da tan ml , genel terimi an = 5n.(n!) olan bir dizide an , an–1 in kaç kat -
d r?
A) n + 5 B) n – 5 C) n5
2 1+
D) 5n E) 5(n – 1)
4. 1986 – ÖYS x3 + ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri bir
aritmetik dizi oldu una göre ortanca kökün de eri a a dakilerden hangisidir?
A) a b2– B) a
3– C) b
3–
D) a b2+ E) a b c
2+ +
5. 1987 – ÖYS a0 = 1 , an =
n1 .an–1 ve n N
n 1 oldu una göre a6 kaçt r?
A) !6
1 B) !5
1 C) 5!.6!
D) 5! E) 6!
6. 1988 – ÖYS D bükey bir dörtgende, aç lar bir aritmetik dizi-
nin ard k dört terimidir. En küçük aç 30° oldu-una göre, en büyü ü kaç derecedir?
A) 160 B) 155 C) 150 D) 145 E) 140
7. 1989 – ÖYS Bir dizinin genel terimi,
an
n8 –n = .an–1 dir. a1 = 1 oldu una göre,
a6 kaçt r?
)!
)!
) )!
) 1A B C D E51
56
61
65
8. 1990 – ÖYS Bir aritmetik dizinin 8. terimi a oldu una göre, 2. ve 14. terimleri toplam nedir?
A) 3a B) 2a C) a D) a2
E) a3
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
358
9. 1991 – ÖYS Bir geometrik dizinin ilk terimi
23 , ikinci terimi
3 oldu una göre, alt nc terimi kaçt r?
A) 28 B) 30 C) 32 D) 39 E) 48
10. 1992 – ÖYS Bir geometrik dizinin ard k üç terimi s ras yla x – 2 , x + 1 , x + 5 oldu una göre, x kaçt r?
A) –11 B) –10 C) 2 D) 10 E) 11
11. 1993 – ÖYS Bir geometrik dizinin ilk alt teriminin toplam n n, ilk üç teriminin toplam na oran 2 2 dir. Bu dizinin r ortak oran kaçt r?
A) .2 23 B) 2v2 C) 2v2 – 1
D) 2 23 E) 2 2 1–3
12. 1994 – ÖYS Genel terimi
.
an n1 3
2n =
+ +^ ^h h , n N+ olan dizinin
ilk 7 teriminin toplam kaçt r?
A) 4528 B)
1813 C)
41 D)
65 E) 0
13. 1994 – ÖYS Ya lar toplam 48 olan 6 karde in ya lar bir
aritmetik dizi olu turmaktad r. En küçük karde 3 ya nda oldu una göre, en
büyük karde in ya kaçt r?
A) 9 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17
14. 1996 – ÖYS n = 1, 2, 3, .... olmak üzere ilk n teriminin toplam
Sn = n2 + 1 olan bir dizinin 7. terimi kaçt r?
A) 30 B) 24 C) 22 D) 16 E) 13
15. 1998 – ÖYS Bir geometrik dizinin ilk üç terimi (a – 3) , (2a – 3) ve (4a + 3) tür. Buna göre, bu dizinin be inci terimi kaçt r?
A) 45 B) 54 C) 63 D) 81 E) 243
16. 2009 – ÖSS 2 ve 162 aras na uygun olan 3 tam say yerle ti-
rilerek 5 say dan olu an bir geometrik dizi olu tu-ruluyor. Bu üç say n n toplam kaçt r?
A) 78 B) 80 C) 82 D) 86 E) 90
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
359
17. 2010 – LYS {an} ve {bn} dizileri a a daki biçimde tan mla-
n yor.
an = , ( ), ( ), ( )
modmodmod
n isen ise
n n isen0 0 3
1 32 3–
/
/
/
Z
[
\
]]
]]
bn = akk
n
0=/
Buna göre, b4 kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 2 E) 3
18. 2011 – LYS (ak) dizisi
a1 = 40
ak+1 = ak – k (k = 1, 2, 3, ...)
biçiminde tan mlan yor.
Buna göre, a8 terimi nedir?
A) 4 B) 7 C) 12 D) 15 E) 19
19. 2012 – LYS
(an) dizisi
an = 2 1, 0 ( 2)
2 1, ( 2)
mod
mod
n
n 1–
n
n
/
/
+* biçiminde tan mlan yor.
Buna göre, .a a
a a
4–
–
8 6
9 7 ifadesinin de eri kaçt r?
A) –28 B) –27 C) –26
D) 1 – 25 E) 1 – 24
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
360
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. a4 = 1 , a7 = 81 ve ortak kat r olsun.
Geometrik dizinin genel terimi
an = a1.rn–1 oldu undan
a4 = a1.r3 ve a7 = a1.r
6 olur.
..
aa
a ra r
7
4
16
13
= r
811 1
3= r
21= dir.
a4 = a1.r3 1 = a1. 8
1 a1 = 8 dir.
a20 = a1.r19 = .8
21 19c m = 2
21·319
= 2116
bulunur.
Do ru Seçenek B
2. a1 = a , r = 2 ve an = b verilmi .
an = a1.rn–1 b = a.2n–1
.b a22n
=
a.2n = 2b dir.
Geometrik dizinin ilk n terim toplam ,
Sn = a1. rr
11
–– n
Sn = a1 21 2·
–– n
= a.(2n – 1)
= a.2n – a
= 2b – a olur.Do ru Seçenek E
3. an = 5n.(n!) ve an–1 = 5n–1.(n – 1)! ise
. !
. !. !
. !.a
ann
n
n n
n n
5 15
5 5 1
5 1
55
– –
–
n
nn
n
n
n
1 1 1
1
– – –
–
= =
= =
^ ^^
h hh
oldu undan an , an–1 in 5n kat d r.Do ru Seçenek D
4. x3 + ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri
x1 , x2 , x3 olsun.
x1 + x2 + x3 a a1
– –= = d r.
x1 , x2 , x3 aritmetik dizi ise
x x x22
1 3= + x1 + x3 = 2x2 dir.
x1 +x2 + x3 = a 3x2 = a
ax2 =
32x2
Do ru Seçenek B
5. a0 = 1 ve .an
a1n n 1–= olmak üzere,
n = 1 a1 = 1.a0 = 1
n = 2 a2 = 21 .a1 =
21
n = 3 a3 = 31 .a2 =
!31
21
31· =
n = 4 a4 = 41 .a3 =
! !41
31
41· =
n = 5 a5 = 51 .a4 =
! !51
41
51· =
n = 6 a6 = 61 .a5 =
! !61
51
61· =
Do ru Seçenek A
6. Dörtgenin iç aç lar n n toplam 360° dir.
a1 = 30°
a2 = a1 + r = 30° + r
a3 = a1 + 2r = 30° + 2r
a4 = a1 + 3r = 30° + 3r oldu undan,
a1 + a2 + a3 + a4 = 360°
30° + 30° + r + 30° + 2r + 30° + 3r = 360°
120° + 6r = 360° r = 40° bulunur.
En büyük aç a4 = 30° + 3r = 30° + 3.40°
= 150° olur.Do ru Seçenek C
ÇÖZÜMLER
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
361
7. a1 = 1 ve an = n
n8 – .an–1 olmak üzere,
n = 2 a2 = 2
8 2– .a1 = 3.1 = 3
n = 3 a3 = 3
8 3– .a2 = 35 .3 = 5
n = 4 a4 = 4
8 4– .a3 = 1.5 = 5
n = 5 a5 = 5
8 5– .a4 = 53 .5 = 3
n = 6 a6 = 6
8 6– .a5 = 62 .3 = 1
Do ru Seçenek E
8. Bir aritmetik dizide a8 = a ise
a2 + a14 toplam isteniyor.
2
2 14 8+ = oldu undan a a a2
2 148
+ = dir.
O halde, a2 + a14 = 2a8 = 2a bulunur.Do ru Seçenek B
9. a1 = 23 , a2 = 3 ve ortak kat r ise
a2 = a1.r 3 = 23 .r r = 2 dir.
a6 = a1.r5 a6 =
23 .25 =
23 .32 = 48 bulunur.
Do ru Seçenek E
10. Bir geometrik dizinin a, b, c ard k üç terimi için
b2 = a.c oldu undan,
(x + 1)2 = (x – 2).(x + 5)
x2 + 2x + 1 = x2 + 5x – 2x – 10
2x + 1 = 3x – 10 x = 11 bulunur.Do ru Seçenek E
11. Bir geometrik dizide ilk n terim toplam ,
oldu�undan·S arr
SS
arr
arr
rr r
11
1111
11 1
––
·––
·––
––
nn
1
3
6
1
16
3
63
3
=
= = = +
SS 2 2
3
6 = 1 + r3 = 2v2 r3 = 2v2 – 1
r 2 2 1–3= Do ru Seçenek E
12. .
an n1 3
2n =
+ +^ ^h h ifadesini basit kesirlerine
ay ral m.
.n n n
An
B1 3
21 3+ +
=+
++^ ^h h
2 = A(n + 3) + B(n + 1)
n = –3 için, B = –1
n = –1 için A = 1 bulunur. O halde,
.
an n n n1 3
21
13
1–n =+ +
=+ +^ ^h h olur.
Bu dizinin ilk 7 teriminin toplam ,
Sn n1
13
1–n
71
7=
+ +=c m/
= n n1
13
1–nn 1
7
1
7
+ +==//
= 21
31
41
81
41
51
81
91
101… – …+ + + + + + + + +c m
= 21
31
91
101– –+ =
4528 bulunur.
Do ru Seçenek A
Diziler
ES
EN
YAY
INLA
RI
362
13. 6 karde in ya lar toplam 48 ve en küçük karde 3 ya nda ise
S6 = 48 ve a1 = 3 tür.
Sn = n2
(a1 + an) S6 = 26 (a1 + a6)
48 = 3.(3 + a6)
48 = 9 + 3a6
a6 = 13Do ru Seçenek B
14. Sn = n2 + 1 a7 = S7 – S6
a7 = 72 + 1 – (62 + 1)
a7 = 50 – 37
a7 = 13 bulunur.
Do ru Seçenek E
15. a1 = a – 3 , a2 = 2a – 3 , a3 = 4a + 3
a22 = a1.a3 (2a – 3)2 = (a – 3)(4a + 3)
4a2 – 12a + 9 = 4a2 + 3a – 12a – 9
–12a + 9 = –9a – 9
a = 6 d r.
a1 = a – 3 = 6 – 3 = 3
a2 = 2a – 3 = 2.6 – 3 = 9
a2 = a1.r 9 = 3.r r = 3 tür.
O halde, a5 = a1.r4 a5 = 3.34
a5 = 243 bulunur.
Do ru Seçenek E
16. 2, a2, a3, a4, 162 a1 a5
a5 = a1.r4 162 = 2.r4 r = 3
a2 = a1.r = 2.3 = 6
a3 = a1.r2 = 2.32 = 18
a4 = a1.r3 = 2.33 = 54
O halde, a2 + a3 + a4 = 6 + 18 + 54 = 78 dir.Do ru Seçenek A
17. b4 = akk
n
0=/ = a0
+ a1 + a2 + a3 + a4
= 0 + 1 + (–2) + 0 + 4
= 3 bulunur.Do ru Seçenek E
18. a1 = 40 , ak+1 = ak – k
k = 1 a2 = a1 – 1 k = 2 a3 = a2 – 2 k = 3 a4 = a3 – 3 . . . k = 7 a8 = a7 – 7 + ––––––––––––––––– a8 = a1 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)
a8 = 40 – .2
7 8 = 12 bulunur.
Do ru Seçenek C
19. . . ( )
( )a a
a a
4 2 1 4 2 1
2 1 2 1–
–
–
– – –
8 6
9 78 6
9 7
=+ +
2 1 2
2 1 2 1
4–
– –
–8
9 7
8=
+
+
2 23––9 7
= = ( )2 2 12
3––
–7 2
7=
Do ru Seçenek B
MATR S, DETERM NANT ve DORUSALDENKLEM S STEMLER
ÜN TE 5. ÜN TE 5. ÜN TE 5. ÜN TE 5. ÜN T
Matrisler
1. Kazan m : Matrisi örneklerle aç klar, verilen bir matrisin türünü belirtir ve istenilen sat r , sütunu ve eleman gösterir.
2. Kazan m : Kare matrisi, s f r matrisini, birim matrisi, kö egen matrisi, alt üçgen matrisi ve üst üçgen matrisi aç klar, iki matrisin e itli ini ifade eder.
3. Kazan m : Matrislerde toplama i lemini yapar, bir matrisin toplama i lemine göre tersini belirtir, top-lama i leminin özelliklerini gösterir ve iki matrisin fark n bulur.
4. Kazan m : Bir matrisi bir gerçek say ile çarpma i lemini yapar ve özelliklerini gösterir.
5. Kazan m : Matrislerde çarpma i lemini yapar ve çarpma i leminin özelliklerini gösterir.
6. Kazan m : Bir matrisin çarpma i lemine göre tersini bulur ve matrislerin tersini bulma i leminin özel-liklerini gösterir.
7. Kazan m : Bir matrisin devri ini (transpozunu) bulur ve özelliklerini gösterir.
Do rusal Denklem Sistemleri
1. Kazan m : Do rusal (lineer) denklem sistemini aç klar ve do rusal denklem sisteminin çözümünü temel (elementer) sat r i lemleri yaparak bulur.
2. Kazan m : Do rusal denklem sistemlerini matrislerle gösterir ve matris gösterimi A.X = B olan do rusal denklem sisteminin çözümünü (A | B) geni letilmi matrisi üzerinde temel sat r i lemleri uygulayarak bulur.
Determinantlar
1. Kazan m : Minör ve kofaktör kavram n aç klar 1 x 1 , 2 x 2 ve 3 x 3 türündeki matrislerin deter-minant n hesaplar ve determinant n özelliklerini belirtir.
2. Kazan m : Sarrus yöntemini kullanarak 3 x 3 türündeki matrislerin determinant n hesaplar.
3. Kazan m : Ek (adjoint) matrisi aç klar, 2 x 2 ve 3 x 3 türündeki matrislerin tersini ek matris yard -m yla bulur.
Do rusal Denklem Sistemleri
1. Kazan m : Matris gösterimi A.X = B olan do rusal denklem sisteminin çözümünü X = A–1.B yön-temi ile bulur.
2. Kazan m : Do rusal denklem sisteminin çözümünü Cramer kural n kullanarak bulur.
364
m, n N+ için i = 1, 2, 3, ... m ve j = 1, 2, 3, ..., n olmak üzere, aij reel say lar ndan olu an
A
aa
a
aa
a
aa
a
aa
am m m
n
n
mn
11
21
1
12
22
2
13
23
3
1
2
h h h
g
g
g
=
R
T
SSSSSS
V
X
WWWWWW
tablosuna m x n biçiminde bir matris denir. m sat rl ve n sütunlu bir A matrisi Amxn veya A = [aij ]mxn biçiminde gösterilir. aij eleman , matrisin i. sat r ve j. sütunun kesim noktas ndaki eleman d r.
MATR S, DETERM NANT veDO RUSAL DENKLEM S STEMLER
Üç ayr ma azada bulunan A, B, C marka televizyonlar n markalar ve miktarlar a a daki tablo ile verilmi tir.
Marka
A(adet)
8
6
4
B(adet)
7
5
3
C(adet)
9
10
12
Ma¤
aza I
II
III
Ma azalarda bulunan televizyonlar n miktarlar n belir-lemek için tabloda bulunan say lar n yerlerini de i tir-meden a a daki gibi dikdörtgensel eklin içine yerle -tirelim.
T = 864
753
91012
R
T
SSSS
V
X
WWWW
Bu tablodan yararlanarak a a daki ifadeleri inceleyiniz.
I. ma azada 8 tane A marka televizyon vard r. Bu durumu k saca T11 = 8 biçiminde gösterebiliriz.
II. ma azada kaç tane C marka televizyon vard r? Bu sorunun cevab 10 olup T23 = 10 olarak gösterilir.
III. ma azada kaç tane B marka televizyon vard r? Bu sorunun cevab 3 olup T32 = 3 biçiminde gösterilir.
1. sütunda bulunan say lar n A marka televizyonlar n say lar oldu una dikkat ediniz.
2. sat rdaki say lar n, II. ma azadaki televizyonlar n say lar n gösterdi ini fark ettiniz mi?
2. sütundaki say lar n, B marka televizyonlar n say lar oldu una dikkat ediniz.
MATR S
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
365
ÖRNEK 1
A = 2
2
1
2
0
31–
> H matrisi için
a12 , a21 , a23 elemanlar n bulunuz.
Çözüm
a12 eleman , A matrisinin 1. sat r ve 2. sütu-
nundaki 1 eleman d r. O halde , a12 = 1 dir.
a21 eleman , A matrisinin 2. sat r ve 1. sütun-
daki v2 eleman d r. O halde , a21 = v2 dir.
a23 eleman , A matrisinin 2. sat r ve 3. sütun-
daki 31 eleman d r. O halde , a23 =
31 tür.
ÖRNEK 2
A = 103
234
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisi için
3a12 – 2a22 + a231
ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
a12 = 2 , a22 = –3 , a31
= v3 oldu undan
3a12 – 2a22 + a231
= 3.2 – 2.(–3) + (v3)2
= 15 bulunur.
Kare Matris
Sat r say s sütun say s na e it olan matrislere kare
matris denir. nxn türündeki [aij]nxn matrisi n. s ra-
dan (n. basamaktan) kare matristir.
�� ��� �� ������ ��� �� ���� � �
��� ��� �� ���� �0-�6��� �0-�6��
*�
matrisi bir kare matristir.
a11 , a22 , ..., ann elemanlar n n olu turdu u kö ege-
ne 1. kö egen veya asal kö egen denir.
an1 , a(n–1)2 , ..., a1n elemanlar n n olu turdu u kö e-
gene 2. kö egen veya yedek kö egen denir.
ÖRNEK 3
A = 13
25
= G matrisi 2x2 türünde bir kare matristir.
B = 025
111
342–
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisi 3x3 türünde bir kare matristir.
S f r Matris
Bütün elemanlar s f r olan matrislere s f r matris denir.
, ,00
00
00
00
00
000
000
R
T
SSSS
= =V
X
WWWW
G G
matrisleri birer s f r matristir.
Birim Matris
Asal kö egenindeki elemanlar 1, di er elemanlar 0 olan kare matrislere birim matris denir. Birim matrisle-ri I sembolü ile gösterece iz.
I2x2 = 10
01
= G , I3x3 = 100
010
001
R
T
SSSS
V
X
WWWW
matrisleri birer birim matristir.
Alt Üçgen Matris
Asal kö egenin üstünde kalan bütün elemanlar s f r olan kare matrislere alt üçgen matris denir.
,14
03
134
026
005
R
T
SSSS
=V
X
WWWW
Gmatrisleri, alt üçgen matrislerdir.
Üst Üçgen Matris
Asal kö egenin alt nda kalan bütün elemanlar s f r olan kare matrislere üst üçgen matris denir.
,20
57
200
430
156
R
T
SSSS
=V
X
WWWW
G
matrisleri, üst üçgen matrislerdir.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
366
ki Matrisin E itli i
m x n türündeki A ve B matrislerinde i, j için
aij = bij ise A = [aij]mxn , B = [bij]mxn matrisine e ittir
denir ve A = B biçiminde gösterilir.
ÖRNEK 4
A = b
a22
45–
= G ve B = cd
26
12
––
= Gmatrisleri e it ise a + b + c + d de erini bulunuz.
Çözüm
A ve B matrislerinin kar l kl elemanlar ince-
lendi inde
a = –1 , 4 = c , b = 6 ve 5 = d oldu u görülür.
Bu durumda
a + b + c + d = –1 + 6 + 4 + 5
= 14 bulunur.
ÖRNEK 5
log
A
x
y
2
1
5
1
3
–
z
2
= +
R
T
SSSS
V
X
WWWW ve B
2
1
5
3
0
91
–
=
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
olmak üzere A = B ise x + y + z ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
ki matrisin e itli inden,
log2x = 3 x = 23 x = 8
|y + 1| = 0 y + 1 = 0 y = –1
3z = 91 3z = 3–2 z = –2
olaca ndan,
x + y + z = 8 – 1 – 2 = 5 bulunur.
Matrislerde Toplama
Beyaz e ya satan üç ma azadaki buzdolab , f r n ve çama r makinesi miktarlar a a daki tablo ile veril-mi tir.
I
II
III
6
8
10
Buzdolab›(adet)
Ma¤
aza
5
4
3
F›r›n(adet)
7
9
2
Çama ›rmakinesi
(adet)
Beyaz E ya
Bu üç ma azan n yeni sipari etti i beyaz e ya mik-tarlar da a a daki tablo ile belirtilmi tir.
I
II
III
2
1
7
Buzdolab›(adet)
Ma¤
aza
3
0
6
F›r›n(adet)
4
5
8
Çama ›rmakinesi
(adet)
Beyaz E ya
Bu iki tabloyu matris biçiminde yazal m.
,A B68
10
543
792
217
306
458
= =
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW
Sipari ler al nd ktan sonra her ma azada bulunan beyaz e ya miktar n gösteren matris A ve B mat-rislerinin toplam olaca ndan
A B6 28 1
10 7
5 34 03 6
7 49 52 8
89
17
849
111410
+ =+++
+++
+++
=
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW d r.
O halde, türleri ayn olan iki matrisi toplarken kar l kl elemanlar birbirleriyle toplan r.
Aac
bd
= = G matrisinin toplama i lemine göre tersi
Aac
bd
–––
––
= = G matrisidir.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
367
ÖRNEK 6
,A B ve C14
23
51
64
21
03–
= = == = =G G G olmak üzere,
a. A + B ve B + A matrislerini bulup sonuçlar kar-la t ral m.
b. A + (B + C) ve (A + B) + C matrislerini bulup sonuçlar kar la t ral m.
c. A + 0 ve 0 + A matrislerini bulal m.
d. A + (– A) matrislerini bulal m.
Çözüm
a. A B14
23
51
64
1 54 1
2 63 4– –
+ = + =+ +
+= = =G G G
63
87
= = G
B A
51
64
14
23
5 11 4
6 24 3
63
87
– –+ = + =
++
++
=
= = ==
G G GG
olaca ndan, A + B = B + A d r. Yani matrislerde toplama i leminin de i me özelli i vard r.
b. B C51
64
21
03
5 21 1
6 04 3– –
+ = + =++
++
= = =G G G
70
67
= = G
A B C14
23
70
67
1 74 0
2 63 7
+ + = + =++
++
^ h = = =G G G
84
810
= = G a. kk nda A B
63
87
+ = = G oldu unu bulmu tuk.
A B C
63
87
21
03
6 23 1
8 07 3
84
810
+ + = + =++
++
=
^ h = = ==
G G GG
bulunur. O halde,
A + (B + C) = (A + B) + C dir.
Yani, matrislerde toplama i leminin birle me
özelli i vard r.
c.
A
A
014
23
00
00
14
23
000
00
14
23
14
23
+ = + =
+ = + =
= = =
= = =
G G G
G G G
oldu undan, A + 0 = 0 + A = A bulunur.
O halde, matrislerde toplama i leminin etkisiz
(birim) eleman 0 matrisidir.
d. A14
23
–––
––
= = G oldu undan,
.A A olur14
23
14
23
00
00
–––
––
+ = + =^ h = = =G G G
O halde, A + (– A) = (– A) + A = 0 d r.
A = [aij]mxn , B = [bij]mxn , C = [Cij]mxn ve
0 = [0ij]mxn matrisleri için
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
A + 0 = 0 + A = A
A + (– A) = (– A) + A = 0 d r.
ÖRNEK 7
xIn y1
22
35
2 53
42
53
35
19
– –z+ == > =G H G
oldu una göre x , y ve z de erlerini bulunuz.
Çözüm
E itli in sol taraf ndaki iki matrisin toplam n bulup, sa taraf ndaki matrise e itleyelim.
x
Iny2
12 52 3
3 45 2
53
35
19
– –z
++
++
++
=> =H G
x
Iny2
135
15 2
53
35
19z
++ +
=> =H G ki matrisin e itli inden
x + 2 = 5 x = 3
1 + lny = 3 lny = 2 y = e2
5 + 2z = 9 2z = 4 z = 2 bulunur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
368
ÖRNEK 8
A ve B24
11
32
40
23
51–
––
= == =G Gmatrisleri için A – B matrisini bulunuz.
Çözüm
.
A B
bulunur
24
11
32
40
23
51
24
11
32
40
23
51
2 44 0
1 21 3
3 52 1
24
34
23
––
––
–
––
––
–– –
–
––
–
=
= +
=+
++
=
= =
= =
=
=
G G
G G
G
G
Bir Matrisin Bir Gerçel Say ile Çarp m
A14
23
= = G matrisi için
.
...
.
A A A
olur
214
23
14
23
1 14 4
2 23 3
2 12 4
2 22 3
+ = + =++
++
=
= = = =
=
G G G
G
2A ile A matrislerini kar la t rd m zda A matrisi-nin her eleman n n 2 ile çarp ld n fark ettiniz mi? Bu durumda,
k R ve A = [aij]mxn ise k.A = [k.aij]mxn olur.
ÖRNEK 9
A ve B21
13
41
50–
= == =G G olmak üzere,
a. 3.(A + B) ve 3.A + 3.B matrislerini bulup sonuç-lar kar la t ral m.
b. 2A + 3A ve (2 + 3)A matrislerini bulup sonuçlar kar la t ral m.
c. (2.3).A ve 2.(3.A) matrislerini bulup sonuçlar kar la t ral m.
Çözüm
a.
3. 3.
.
...
.
A B
A B
olur
21
13
41
50
60
63
60
63
3 63 0
3 63 3
180
189
–+ = + =
+ = =
=
^ h
= = =
= =
=
G G G
G G
G
. . . .
..
.
...
.
.
.
A B
d r
3 3 321
13
341
50
3 23 1
3 13 3
3 43 1
3 53 0
63
39
123
150
180
189
–
–
–
+ = +
= +
= + =
^ h
= =
> =
= = =
G G
H G
G G G O halde, 3.(A + B) = 3.A + 3.B bulunur.
b.
. . . .
..
.
..
...
.
A A
olur
2 3 221
13
321
13
2 22 1
2 12 3
3 23 1
3 13 3
42
26
63
39
105
515
– –
– –
– – –
+ = +
= +
= + =
^ ^h h
= =
> >
= = =
G G
H H
G G G
. 5. 5..
...
.
A A
olur
2 321
13
5 25 1
5 15 3
105
515
– –
–
+ = = =
=
^ ^h h= >
=
G H
G O halde, 2.A + 3.A = (2 + 3).A bulunur.
c. (2.3).A = 6.A = 6.21
13–
= G = .
...
6 26 1
6 16 3–^ h> H
= 126
618–
= G olur.
2.(3.A) = . . ..
...
2 321
13
23 2
3 13 13 3– –
=d ^n h= >G H
= .263
39–
= G
.
...
2 62 3
2 32 9
126
618– –
= =^ h> =H G O halde, (2.3).A = 2.(3.A) bulunur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
369
k, p R olmak üzere,
A = [aij]mxn , B = [bij]mxn
matrisleri için
k.(A + B) = k.A + k.B
(k + p).A = k.A + p.A
(k.p).A = k.(p.A) d r.
ÖRNEK 10
A ve B264
202
339
630
––= =
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW olmak üzere,
a. 2A – B
b. 3A + 2B
c. A B2 3
– matrislerini bulunuz.
Çözüm
a. 2A – B = 2.264
202
339
630
–– –
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW
= 4
128
404
339
630
– –––
–+
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW
= 191
1034–
–R
T
SSSS
V
X
WWWW olur.
b. 3A + 2B = .3264
202
2339
630
––+
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW
= 6
1812
606
66
18
1260
––+
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW
= 122430
666
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW olur.
c. A B A B2 3 2
131– –=
= 21
264
202
31
339
630
–– –
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW
=
22
26
24
22
20
22
33
33
39
36
33
30
–
– –
R
T
SSSSSSSS
R
T
SSSSSSSS
V
X
WWWWWWWW
V
X
WWWWWWWW
= 132
101
113
210
021
311
– –––
–
–
–+ =
R
T
SSSS
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW
V
X
WWWW
ÖRNEK 11
A = a
b23
4= G , B = b
a21–= G ve C =
50
59
= Gmatrisleri veriliyor. 2A – 3B = C ise a + b kaçt r?
Çözüm
2A – 3B = C
2a
b23
4= G – 3b
a21–= G =
50
59
= Ga
b246
8= G – b
a3
363–= G =
50
59
= Ga b
b a4 36 6 2 3
8 3– –
–+= G = 50
59
= Ga b
b a4 3
05
2 3–+= G =
50
59
= G4 3 5a bb a2 3 9–
+ ==3 a = –1 , b = 3 olur.
O halde, a + b = 2 bulunur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
370
Milli futbol ve basketbol tak mlar m z, sponsorlar na iletmek üzere gerekli malzemelerin listesini a a daki gibi haz rlam lard r.
Futbol milli tak›m› 8
6
Top (adet)
20
12
E ofman (tak›m)
14
8
Ayakkab› (çift)
Basketbol milli tak›m›
Bir topun fiyat : 20 TL , bir e ofman tak m n n fiyat : 80 TL , bir çift ayakkab n n fiyat : 90 TL
oldu una göre, her tak m için toplam malzeme tutar n bulal m.
Malzeme miktarlar n gösteren matrisi M, malzeme fiyatlar n gösteren matrisi F ile gösterirsek
, .M F olur86
2012
148
208090
= =
R
T
SSSS
=V
X
WWWW
G
. .M F86
2012
148
208090
=
R
T
SSSS
=V
X
WWWW
G = . . .. . .
8 20 20 80 14 906 20 12 80 8 90
+ ++ +
= G = 30201800= G bulunur. O halde,
futbol milli tak m n n malzeme tutar 3020 TL dir. Basketbol milli tak m n n malzeme tutar 1800 TL dir.
A ve B gibi iki matrisin çarp m n n tan ml olabilmesi için A matrisinin sütun say s , B matrisinin sat r sa-
y s na e it olmal d r. . . . .a b cxyz
a x b y c z= + +6 > 6@ H @
K MATR S N ÇARPIMI
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
371
ÖRNEK 12
A ve B15
20
34
619
782
––
= =
R
T
SSSS
=V
X
WWWW
Golmak üzere, A.B matrisini bulunuz.
Çözüm
A.B =
1 2 35 0 4
6 7
1 89 2
= . . . . . .
. . . . . .
1 6 2 1 3 9 1 7 2 8 3 2
5 6 0 1 4 9 5 7 0 8 4 2
– –
– –
+ + + +
+ + + +
^ ^^ ^
h hh h> H
= 6 2 27 7 16 630 36 35 8
– ––
+ ++
= G = 3166
1727
= G olur.
ÖRNEK 13
A = [2 1 4 ] ve B = 351–
R
T
SSSS
V
X
WWWW oldu una göre,
A.B matrisini bulunuz.
Çözüm
A.B = [2 1 4 ] 351–
R
T
SSSS
V
X
WWWW = [2.3 + 1.5 + 4.(–1) ]
= [6 + 5 – 4 ]
= [7 ] bulunur.
ÖRNEK 14
A210
=
R
T
SSSS
V
X
WWWW ve B = [2 3 4 ] oldu una göre,
A.B matrisini bulunuz.
Çözüm
A.B = 210
R
T
SSSS
V
X
WWWW.[2 3 4 ] =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 21 20 2
2 31 30 3
2 41 40 4
R
T
SSSS
V
X
WWWW
= 420
630
840
R
T
SSSS
V
X
WWWW bulunur.
ÖRNEK 15
Aac
bd
= = G matrisinin her sat r n n elemanlar toplam
4 ise A2 matrisinin birinci sat r ndaki elemanlar n toplam kaçt r?
Çözüm
a + b = 4 ve c + d = 4 tür.
A2 = A.A = .ac
bd
ac
bd
= =G G = . .. .
. .
. .a a b cc a d c
a b b dc b d d
++
++
= G
= .. .
. .
.a b cc a d c
a b b dc b d
2
2
++
++
> H A2 matrisinin birinci sat r ndaki elemanlar n top-
lam
a2 +bc + ab +bd = a(a+b4
) +b(c + d4
)
= 4a+4b = 4(a+b) = 4.4 = 16
ÖRNEK 16
, ,A B C13
02
20
56
13
40–
–= = == = =G G G
olmak üzere,
a. A.(B.C) matrisini bulunuz.
b. (A.B).C matrisini bulunuz.
Çözüm
a. . .B C20
56
13
40
–= = =G G
= . .. .
. .
. .2 1 5 30 1 6 3
2 4 5 00 4 6 0
––
++
++
^^
hh> H
= 1318
80
= G olur.
A.(B.C) = .13
02
1318
80–
= =G G
= . .. .
. .
. .1 13 0 183 13 2 18
1 8 0 03 8 2 0– –
+ += G
= 133
824
= G bulunur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
372
b. A.B = .13
02
20
56–
= =G G = . .. .
. .
. .1 2 0 03 2 2 0
1 5 0 63 5 2 6– –
+ += G
= 26
53
= G olur.
(A.B).C = .26
53
13
40
–= =G G = . .. .
. .
. .2 1 5 36 1 3 3
2 4 5 06 4 3 0
––
+ +++
^^
hh> H
= 133
824
= G bulunur.
a ve b klar ndaki sonuçlar kar la t rd m zda, A.(B.C) = (A.B).C oldu unu görürüz.
ÖRNEK 17
, ,A B C20
13
23
41
13
20
– –= = == = =G G G ise
a. A.(B + C) matrisini bulunuz.
b. A.B + A.C matrisini bulunuz.
Çözüm
a. B + C = 23
41
13
20
–+= =G G =
2 13 3
4 21 0
– ++
++
= G
= 16
61
–= G olur.
A.(B + C) = .20
13
16
61
– –= =G G
= . .. .
. .
. .2 1 1 60 1 3 6
2 6 1 10 6 3 1
– ––
–+ +
^^
hh> H
= 8
18113
–= G bulunur.
b. A.B = .20
13
23
41
– –= =G G
= . .. .
. .
. .2 1 30 2 3 3
2 4 1 10 4 3 1
2– ––
–+ +
^^
hh> H =
79
73
–= G d r.
A.C = .20
13
13
20
–= =G G = . .. .
. .
. .2 1 1 30 1 3 3
2 2 1 00 2 3 0
– –+ +
= G
= 19
40
–= G olur.
A.B + A.C = 79
73
19
40
– –+= =G G =
818
113
–= G
a ve b klar ndaki sonuçlar kar la t rd m zda,
A.(B + C) = A.B + A.Coldu unu görürüz. Benzer ekilde,
(A + B).C = A.C + B.C dir.
ÖRNEK 18
A24
31
= = G olmak üzere, A. ve .A matrislerini
bulunuz.
Çözüm
A. = .24
31
10
01
= =G G = . .. .
. .
. .2 1 3 04 1 1 0
2 0 3 14 0 1 1
++
++
= G
= A24
31
== G
.A = .10
01
24
31
= =G G = . .. .
. .
. .1 2 0 40 2 1 4
1 3 0 10 3 1 1
++
++
= G
= A24
31
== G olur.
A. = .A = A d r.
Matrislerde çarpma i lemi ile ilgili özellikler a a da verilmi tir. nceleyiniz.
A, B ve C matrisleri, a a daki i lemlerin tan ml oldu u matrisler ve birim matris, 0 s f r matris olmak üzere,
A.(B.C) = (A.B).C
A.(B + C) = A.B + A.C
(A + B).C = A.C + B.C
A. = .A = A
A.0 = 0.A = 0 d r.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
373
ÖRNEK 19
f(x) = x2 – 2x + 3 ve A = 11
20–
= G ise
f(A) ifadesinin e itini bulunuz.
Çözüm
f(A) = A2 – 2A + 3 olaca ndan
A2 = A.A = .11
20
11
20– –
= =G G
= 1 21 0
2 02 0
11
22
–– –
–– –+
++
== =G G f(A) = A2 – 2A + 3
11
22
211
20
310
01
11
22
22
40
30
03
1 2 31 2 0
2 4 02 0 3
01
21
–– –
––
–– –
– –
– ––
––
–
= +
= + +
=+
+ ++
+ +=
= = =
= = =
= =
G G G
G G G
G G
bulunur.
KARE MATR S N KUVVETLER
m, n Z+ , A bir kare matris ve birim matris olmak üzere,
A0 = , A1 = A , A2 = A.A , ...., An = An–1.A
(Am)n = Am.n n = d r.
ÖRNEK 20
A10
31
–= = G ise A200 matrisini bulunuz.
Çözüm
A2 = A.A = .10
31
10
31
– –= =G G
= . .. .
. .
. .1 1 3 00 1 1 0
1 3 3 10 3 1 1
– – ––+ +^^
hh> H
= 10
61
–= G
A3 = A2.A = .10
61
10
31
– –= =G G
= . .. .
. .
. .1 1 6 00 1 1 0
1 3 6 10 3 1 1
– – ––+ +^^
hh> H =
10
91
–= G
An = .n1
03
1–^ h= G olaca ndan
A200 = .1
0200 3
1–^ h= G =
10
6001
–= G bulunur.
ÖRNEK 21
A11
31–
= = G ise A2008 matrisini bulunuz.
Çözüm
A2 = A.A = .11
31
11
31– –
= =G G
= . .. .
. .
. .1 1 3 11 1 1 1
1 3 3 11 3 1 1–
–– –
+ + ^^
hh> H
= 40
04
= G = 210
01
2 = G olur.
A 210
01
2 2= = G ise
A2008 = (A2)1004 = 210
01
21004d n= G
= 22.1004.10
01
1004= G = 22008.10
01
= G olur.
ÖRNEK 22
A23
23
– –= = G oldu una göre A2008 matrisini bu-
lunuz.
Çözüm
.A23
23
23
23
– – – –2 = = =G G = 4 66 9
4 66 9
––
––+ +
= G
= A23
23
– –== G
Bu durumda An = A d r.
O halde, A23
23
– –2008 = = G olur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
374
ÖRNEK 23
A20
03
= = G oldu una göre A24 matrisini bulunuz.
Çözüm
A2 = A.A = .20
03
20
03
= =G G = 4 00 0
0 00 9
++
++
= G
= 40
09
20
03
2
2== >G H
A3 = A2.A = .40
09
20
03
= =G G = 8 00 0
0 00 27
++
++
= G
= 80
027
20
03
3
3== >G H
An = 20
03
n
n= G olaca görülmektedir.
O halde, A24 = 20
03
24
24> H bulunur.
ÖRNEK 24
A = 63
96
––
= G olmak üzere, A41 matrisini bulunuz.
Çözüm
A2 = A.A = .63
96
63
96
––
––
= =G G
= 36 2718 18
54 5427 36
––
––
++
= G
= 90
09
310
01
2== =G G olur.
A2 = 32 10
01
= G
A40 = (A2)20 = 310
01
220d n= G = 340.
10
01
= G
A41 = A40.A = 340. .10
01
63
96
––
= =G G
= 340.63
96
––
= G bulunur.
2 x 2 türündeki baz özel matrislerin büyük kuvvet-leri ile ilgili a a daki sonuçlar elde edilebilir.
Ax1 0
1= = G ise
.A
n x1 0
1n = = G
Ax1
0 1= = G ise
.A
n x10 1
n = = G
Ax
y00
= > H ise A xy00n
n
n= > H
Axy x
0–
= > H ise A x10
01
2 2= = G
Ax y
x0 –= ; E ise A x
10
01
2 2= = G
A11
11
= = G ise 2A11
11
n n 1–= = G
ÖRNEK 25
Yukar daki kurallar yard m yla çözülen a a daki
sorular inceleyiniz.
A = 1 0
15= G ise A10 =
.1
10 501
150
01
== =G G
A = 1
102= G ise A50 =
.10
50 21
10
1001
== =G G
A = 02
0 3= G ise A4 = 2
003
160
081
4
4=> =H G
A = 02
3 2–= G ise A2 = 22. 1
001
= G = 4.
A = 30
53–
= G ise A2 = 32.10
01
= G = 9.
A = 1
111= G ise A19 = 218.
1111= G
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
375
B R MATR S N ÇARPMA LEM NE GÖRE TERS
A = ac
bd
= G kare matrisinin tersini bulal m.
A–1 = xz
yt
; E olsun.
A.A–1 = olaca ndan,
.ac
bd
xz
yt
10
01
== ; =G E Gax bzcx dz
ay btcy dt
10
01
++
++
=> =H G olur.
ki matrisin e itli inden
ax bzcx dz
10
+ =+ =
3 ,xad bc
d zad bc
c– –
–= =
ay btcy dt
01
+ =+ =
4 ,yad bc
b tad bc
a–
––
= =
bulunur. Bu de erler A–1 matrisinde yerine yaz l rsa,
A–1 = ad bcd
ad bcb
ad bcc
ad bca ad bc
dc
ba
1– ––
––
–– –
–=
R
T
SSSSS
;V
X
WWWWW
E dir.
A–1 matrisinin tan ml olabilmesi için ad – bc 0 ol-mas gerekti ine dikkat ediniz.
imdi A ile buldu umuz A–1 matrislerini kar la -t ral m.
A =a b
c dise A–1 =
ad bcdc
ba
1– –
–= G
A matrisinin 1. kö egenindeki elemanlar n çar-p m ile 2. kö egenindeki elemanlar n çarp m -n n fark n n ad – bc oldu una dikkat ediniz.
A matrisinin 1. kö egenindeki elemanlar n yer de i tirmi halinin A–1 matrisinin 1. kö egenin-de yer ald n fark ettiniz mi?
A matrisinin 2. kö egenindeki elemanlar n ters i aretlilerinin A–1 matrisinin 2. kö egeninde yer ald n gördünüz mü?
ÖRNEK 26
A41
32
= = G matrisinin tersini bulunuz.
Çözüm
A =
4 3
1 2
4.2 – 3.1 = 5 0 oldu undan A–1 tan ml d r.
Bu durumda
A51 2
134–
–1– = = G bulunur.
ÖRNEK 27
A11
20–
= = G matrisinin tersini bulunuz.
Çözüm: 1. Yol
A.A–1 = e itli ini sa layan A–1 matrisi
A–1 = xz
yt
; E olsun.
.xz
yt
x zx
y ty
11
20
10
01
2 2 10
01
–
– –
=
+ +=
= ; =
> =
G E G
H Gx z
x2 1
0–+ =
=3 x ve z0
21= =
y ty
2 01–
+ ==4 y ve t1
21–= = olur.
Ax
z
y
t
0
21
1
21
–1– = => >H H =
21 0
121
–= G bulunur.
2. Yol
A =1 2
0–1 1.0 – (–1.2) = 2 olup
1. kö egendeki elemanlar n yerini ve 2. kö e-gendeki elemanlar n i aretini de i tirirsek
A21 0
121
–1– = = G bulunur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
376
ÖRNEK 28
Ax2
3 6= ; E matrisinin çarpma i lemine göre tersinin
olmamas için x kaç olmal d r?
Çözüm
A =
2 x
63
2.6 – 3.x = 0 x = 4 olmal d r.
ÖRNEK 29
a
b31
–= G matrisinin tersi kendisine e it oldu una
göre a ve b de erlerini bulunuz.
Çözüm
A = A–1 = a
b31
–= G de erini
A.A–1 = e itli inde yerine yazarsak
.a
ba
b
aa b
a bb
31
31 1
001
33 3 3
10
01
– –
–– – –
2
2
=
++
=
= = =
> =
G G G
H G
a2 – 3 = 1 a2 = 4 a = ±2
–3 + b2 = 1 b2 = 4 b = ±2 olur.
A ve B kare matrislerinin çarpma i lemine göre tersleri varsa
(A–1)–1 = A
(A.B)–1 = B–1.A–1 dir.
ÖRNEK 30
A = 12
30
= G ve B–1 = 41
23
= G oldu una göre,
(A–1.B)–1 matrisini bulunuz.
Çözüm
(A–1.B)–1 = B–1.(A–1)–1
= B–1.A
= .41
23
12
30
= =G G
= . .. . . .
. .4 1 2 21 1 3 2 1 3 3 0
4 3 2 0++ +
+= G
= 3
87
12= G bulunur.
ÖRNEK 31
A = 31
52
= G ve B = 21
3 3–= G matrisleri veriliyor.
A.C = B e itli ini sa layan C matrisini bulunuz.
Çözüm
A = 3
1
5
2 , 3.2 – 5.1 = 1
A–1 = .11 2
153
21
53–
––
–== =G G olur.
A.C = B .A A1–\ .C = A–1.B
C = A–1.B
C = .21
53 3
13
2–
– –= =G G
C = . .
1.1 .3
2. 5.3
.( 2) .3
( )2 1 5 3
3
2
1 3
–
–
–
–
–
–+ +> H
C = 138
1911
– –= G bulunur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
377
ETK NL KB R MESAJIN FRELENMES
Bir mesaj matrislerden yararlanarak ifreleyebiliriz. Bunun için alfabemizdeki harflere ve baz noktalama i aret-lerine a a daki tablodaki gibi say lar kar l k getirelim.
A
0
B
1
C
2
Ç
3
D
4
E
5
F
6
G
7 8
H
9
I
10
‹
11
J
12
K
13
L
14
M
15
N
16
O
17
Ö
18
P
19
R
20
S
21 22
T
23
U
24
Ü
25
V
26
Y
27
Z
28
.
29
?
30
!
31
,
32
‘
33
Bo luk
34
imdi GEOMETR sözcü ünü ifreleyelim.
GEOMETR sözcü ündeki harfleri bu tabloya göre bir say dizisine dönü türelim.
G
7
E
5
O
17
M
15
E
5
T
23
R
20
‹
11
Bu dizideki say lar 2 sat rl bir bilgi matrisi biçiminde yazal m. B75
1715
523
2011
= = G Herhangi bir A anahtar matrisi A
52
21
= = G olsun.
C = A.B matrisini bulal m. C = A.B = 52
21
75
1715
523
2011
= =G G = 4519
11549
7133
12251
= G Buldu umuz C matrisinin bütün elemanlar n n mod 35 teki e itini yazarak K kodlanm matrisini elde ederiz.
K1019
1014
133
1716
= = G
K matrisinin elemanlar ile elde edilen say dizisi 10 19 10 14 1 33 17 16 olur.
Bu dizi, seçti imiz GEOMETR sözcü ünün ifrelenmi say dizisidir.
imdi de bu ifreyi çözerek kar l olan sözcü ü bulal m.
10 19 10 14 1 33 17 16 dizisini 2 sat rl matris biçiminde yazal m.
1019
1014
133
1716
= G buldu umuz matris daha önce elde etti imiz K matrisidir. K = 1019
1014
133
1716
= G
A anahtar matrisinin tersini bulal m. A–1 = 12
25–
–= G dir.
A–1.K çarp m matrisini bulal m. A–1.K = .12
25
1019
1014
133
1716–
–= =G G = 2875
1850
65163
1546
– – – –= G olur.
Elde etti imiz çarp m matrisinin bütün elemanlar n n mod 35 teki e itini yazal m.
75
1715
523
2011
= G buldu umuz matris daha önce elde etti imiz B matrisidir.
Bu matrisin elemanlar ile elde edilen say dizisi 7 5 17 15 5 23 20 11 olur.
Bu dizinin elemanlar na kar l k gelen harfleri yazarsak; G E O M E T R sözcü ünü elde ederiz.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
378
B R MATR S N DEVR (TRANSPOZU)
A = [aij]mxn matrisinin ayn indisli sat rlar yla sü-
tunlar n n yer de i tirilmesiyle olu turulan [aji]nxm
matrisine A matrisinin devri i denir ve Ad veya AT ile gösterilir.
A = ax
by
cz
> H AT = abc
xyz
> H dir.
ÖRNEK 32
A = 13
24
= G ve B = 1025
––
= G olmak üzere,
AT, BT, AT + BT ve (A + B)T matrislerini bulunuz.
Çözüm
AT = 12
34
= G , BT = 01
52– –
= G
AT + BT = 1 02 1
3 54 2
11
82– –
+ +== =G G
A + B = 1 03 5
2 14 2
18
12
––
++
== =G G
(A + B)T = 11
82
= G olur.
Buldu umuz sonuçlar kar la t rd m zda
(A + B)T = AT + BT oldu unu görürüz.
ÖRNEK 33
A = 13
21
04–
= G olmak üzere, 2.AT ve (2.A)T mat-
rislerini bulunuz.
Çözüm
AT = 120
314
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW 2.AT =
240
628
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW
2.A = 26
42
08–
= G (2.A)T = 240
628
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW olur.
Buldu umuz sonuçlar kar la t rd m zda,
(2.A)T = 2.AT oldu unu görürüz.
ÖRNEK 34
A = 10
21
34
= G olmak üzere, (AT)T matrisini bulunuz.
Çözüm
AT = 123
014
R
T
SSSS
V
X
WWWW (AT)T =
10
21
34
= G olur.
(AT)T = A elde edildi ine dikkat ediniz.
ÖRNEK 35
A = 13
20
= G ve B = 21
04
–= G olmak üzere,
(A.B)T ve BT.AT matrislerini bulunuz.Çözüm
A.B = .13
20
21
04
–= =G G = 2 26 0
0 80 0
––
++
++
= G
= 06
80–
= G
(A.B)T = 08
60
–= G olur.
AT = 12
30
= G ve BT = 20
14
–= G oldu undan
BT.AT = 20
14
12
30
–= =G G = 2 20 8
6 00 0
– –++
++
= G
= 08
60
–= G olur.
Buldu umuz sonuçlar kar la t rd m zda
(A.B)T = BT.AT oldu unu görürüz.
Bir matrisin transpozu (devri i) ile ilgili özellikler a a-da bir arada verilmi tir. nceleyiniz.
k R olmak üzere A ve B matrisleri için
(AT)T = A (A + B)T = AT + BT
(k.A)T = k.AT (A.B)T = BT.AT
(AT)–1 = (A–1)T
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
379
ÖRNEK 36
Aa
bve B
12 5
555
= == =G G olmak üzere,
A.AT = B oldu una göre a + b de erini bulunuz.
Çözüm
AT = a
b21= G oldu undan
A.AT = a
ba
b12
21= =G G = a
a ba b
b4
22
1
2
2
++
++
> H olur.
A.AT = B verildi inden
aa b
a bb
42
21
55
55
2
2
++
++
=> =H G
a2 + 4 = 5 a2 = 1 a = ±1
b2 + 1 = 5 b2 = 4 b = ±2 olur.
a = –1 ve b = –2 de erleri
a + 2b = 5 e itli ini sa lamad ndan
a = 1 ve b = 2 dir.
Bu durumda a + b = 1 + 2 = 3 bulunur.
BAZI ÖZEL MATR SLER
Simetrik Matris
Bir A = [aij] matrisinde A = AT ise yani
aij = aji ise A matrisine simetrik matris denir.
Anti-Simetrik Matris
Bir A reel matrisi için AT = – A ise A matrisine anti-simetrik matris denir.
nvolutif Matris
Bir A reel matrisi için A = A–1 ise A matrisine involutif matris denir.
Ortogonal Matris
Bir A reel matrisi için A–1 = AT ise A matrisine ortogonaldir denir.
ÖRNEK 37
A herhangi bir reel karesel matris ise a a daki mat-rislerin simetrik matris olduklar n gösteriniz.
a. AAT
b. ATA
c. A + AT
Çözüm
a. B = AAT dersek BT = (AAT)T = (AT)TAT
= AAT
= B olur.
Yani, AAT matrisi simetriktir.
b. C = ATA dersek CT = (ATA)T = AT(AT)T
= ATA
= C olur.
Yani, ATA matrisi simetriktir.
c. D = A + AT dersek DT = (A + AT)T = AT + (AT)T
= AT + A
= D olur.
Yani, D = A + AT matrisi simetriktir.
ÖRNEK 38
A herhangi bir reel karesel matris olmak üzere,
C = A – AT ise C nin anti-simetrik matris oldu unu
gösteriniz.
Çözüm
C = A – AT CT = (A – AT)T
= AT – (AT)T
= AT – A
= – C
oldu undan C matrisi anti-simetriktir.
380
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. A10
24
35
–= = G matrisi için
2a22 – a213 + a23 ifadesinin e itini bulunuz.
2. ,Aab
cB
d12
23 5
46
2 55
–=
+== =G G
matrisleri için A = B ise a, b, c, d de erlerini bulunuz.
3. ,log
Az
y
tB
t
2
141
8
2
2–
x
3
3
2=
+=> >H H
matrisleri için A = B ise x, y, z, t de erlerini bu-lunuz.
4. A24
35
––
= = G matrisinin toplama i lemine göre
tersini bulunuz.
5. ,A B ve C23
15
42
26
12
04
––
= = == = =G G G olmak üzere, a a dakilerin her birini bulunuz.
a. A + B
b. A – C
c. A – 2B
d. 3A + 2C – B
6. y
x z x t23
10 3
22 5
41
61
25
––
–+ => = =H G G
e itli ini sa layan x, y, z, t de erleri için
x + y + z + t ifadesinin e itini bulunuz.
7. A = [aij]mxn , B = [bij]mxn , C = [cij]mxn olmak üze-
re a a daki ifadelerden do ru olanlar için bo kutuya “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
A + B = B + A
A + (B + C) = (A + B) + C
A + (– A) = 0
k.A = [k.aij]mxn
k.(A + B) = k.A + k.B
(k + p)A = k.A + p.A
(k.p)A = k.(p.A)
8. A = [1 2 3] , B = 215
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisleri için A.B ve
B.A matrislerini bulunuz.
9. A ve B23
11
02
410
234
––= =
R
T
SSSS
=V
X
WWWW
G
olmak üzere, A.B matrisini bulunuz.
ALIŞTIRMALAR – 1
1. 4 2. a = 5 b = 4 c = 5 d = 3 3. x = –2 y = 9 z = –2 t = 1 4. 2 354–
–; E 5. a. 161 11; E b. 1
111
–; E
c. 67
57
– ––
; E d. 4 515 17
–; E 6. 1 7. Hepsi do ru 8. A.B = [ 15 ] , B.A = 215
42
10
63
15– – –> H 9. 7 7
13 11; E
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
381
ES
EN
YAY
INLA
RI
10. A23
14
–= = G ise A2 matrisini bulunuz.
11. ,A B121
210
341
114–
–= =
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW olmak üzere,
A.B matrisini bulunuz.
12. A ve B132
214
42
50
11
23
––
= =
R
T
SSSS
=V
X
WWWW
G
olmak üzere A.B matrisini bulunuz.
13. , ,A B C12
10
01
24
12
15
––
–= = == = =G G G
olmak üzere a a dakilerin her birini bulunuz.
a. A.(B.C)
b. A.(B + C)
c. A.B + A.C
d. (A + B).C
e. A.
14. A, B ve C birbirleriyle toplanabilen ve çarp labi-len matrisler olmak üzere, a a daki ifadelerden do ru olanlar için bo kutuya “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
A.B = B.A
A.(B.C) = (A.B).C
A(B + C) = (B + C).A
A(B + C) = A.B + A.C
(A + B).C = A.C + B.C
A. = A
15. f(x) = x2 – 3x + 2 ve A10
21
–= = G ise
f(A) ifadesinin e itini bulunuz.
16. A12
01
= = G ise A20 matrisinin e itini bulunuz.
17. A10
31
–= = G ise A41 matrisinin e itini bulunuz.
10. 118
613–; E 11.
11173
> H 12. 142
81016
51510
83
16
–
–> H 13. a. 3
81120
– –; E b. 82
02
–; E c. 82
02
–; E d. 39
419
; E e. A
14. Y, D, Y, D, D, D 15. 00
20
; E 16. 140
01
; E 17. 12310 1
–; E
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
382
ES
EN
YAY
INLA
RI
18. A20
03
= = G ise A15 matrisinin e itini bulunuz.
19. A24
02–
= = G ise A50 ve A51 matrislerini bulu-
nuz.
20. A30
23–
= = G ise A32 ve A33 matrislerini bulu-
nuz.
21. A11
11
= = G ise A2008 matrisinin e itini bulunuz.
22. A a daki matrislerin çarpma i lemine göre ters-lerini bulunuz.
a. 47
12
= G
b. 21
53
––= G
c. 45
23
= G
23. Ax4
2 3= = G olmak üzere
A–1 matrisinin bulunmamas için x kaç olmal -d r?
24. A a daki matrislerin transpozlar n bulunuz.
a. [1 2 3 ]
b. 21
14
32–
= G
c. 13–
= G
d. 241
120
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW
25. A ve B13
24
21
05–
= == =G G olmak üzere,
(A.B)T ve BT.AT matrislerini bulunuz.
18. 20
03
15
15= G 19. A50 = 250. , A51 = 250.A 20. A32 = 332. , A33 = 332.A 21. 22007.A 22. a. 27
14–
–; E b. 31
52
––; E
c. 5
221 3
4––; E 23. 6 24. a.
123> H b.
1213
42
–> H c. [ 1 –3 ] d. 21
42
10–
; E 25. (A.B)T = BT.AT = 010
220
; E
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
383
ÖRNEK 39
x y zx y zx y z
2 02 2 2
3 2 11
–– –
–
+ =+ =+ + =
_
`
a
bb
bb
denklem sisteminin çözümünü temel sat r i lemleri ile bulunuz.
Çözüm
1. sat r n –2 kat n 2. sat ra ekleyelim. 1. sat r n 1 kat n 3. sat ra ekleyelim.
x y zx y zx y z
2 02 2 2
3 2 11
–– –
–
+ =+ =+ + =
_
`
a
bb
bb
x y zy z
y z
2 05 4 2
3 11
–– –
+ ==
+ =
_
`
a
bb
bb 2. sat rla 3. sat r n yerini de i tirelim.
x y zy zy z
2 03 11
5 4 2
–
– –
+ =+ =
=
_
`
a
bb
bb 2. sat r n –5 kat n 3. sat ra ekleyelim.
x y zy z
z
2 03 11
19 57
–
– –
+ =+ =
=
_
`
a
bb
bb 3. sat r
191– ile çarpal m.
x y zy zz
2 03 113
– + =+ ==
_
`
a
bb
bb olur. Bu durumda,
z = 3
y + 3z = 11 y + 3.3 = 11 y = 2
x – 2y + z = 0 x – 2.2 + 3 = 0 x = 1 bulunur.
ÖRNEK 40
2 4 72 10 4
x y zx y zx y z5 1
– – ––
–
=+ =+ =
_
`
a
bb
bb
denklem sisteminin çözümünü temel sat r i lemleri
ile bulunuz.
Çözüm
x y zx y zx y z
2 4 72 10 4
5 1
– – ––
–
=+ =+ =
_
`
a
bb
bb
x y zxx z
z2 4 7
5 18 103 9 6
– – –– –– –
===
_
`
a
bb
bb
3 9
x y zx
x z
2 4 7
62
– – ––
– –
===
_
`
a
bb
bb olur. Bu durumda,
x = –2
3x – 9z = –6 3.(–2) – 9z = –6
z = 0
2x – y – 4z = –7 2.(–2) – y – 4.0 = –7
y = 3 bulunur.
ES
EN
YAY
INLA
RI
a11, a12, ....., a1n , b1 R olmak üzere a11x1 + a12x2 + ..... + a1nxn = b1 denklemine do rusal denklem denir.
Do rusal denklemlerden olu an
a11x1 + a12x2 + ..... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ..... + a2nxn = b2 ......................................................am1x1 + am2x2 + ..... + amnxn = bm
ifadesine do rusal denklem sistemi denir. Sistemin çözümü, sistemdeki her denklemi sa layan(x1, x2, ....., xn) s ral n lisidir.
Do rusal denklem sisteminin çözümünü temel sat r i lemleri yaparak buluruz. Bu i lemler,
Sistemde iki denklemin yerlerinin de i tirilmesi
Sistemde bir denklemin s f rdan farkl bir gerçek say ile çarp lmas
Sistemde bir denklemin s f rdan farkl bir kat n n bir ba ka denkleme eklenmesidir.
DO RUSAL (L NEER) DENKLEM S STEMLER
1. sat r n 2 kat n2. sat ra ekleyelim.1. sat r n 1 kat n3. sat ra ekleyelim.
3. sat r n –2 kat n2. sat ra ekleyelim.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
384
GAUSS YOK ETME YÖNTEM
Matris gösterimi, A.x = B olan bir do rusal denklem
sistemi çözülürken temel sat r i lemleri uygulanarak
A matrisi üst üçgen matrisine dönü türülür.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
x
y
z
b
b
b
11
21
31
12
22
32
13
23
33
1
2
3
=
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
R
T
SSSSSS
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
V
X
WWWWWW
............................................
a a
a
x
y
z
b
b
b
1
0
0
1
0 1
12 13
23
1
2
3
=
l l
l
l
l
l
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
R
T
SSSSSS
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
V
X
WWWWWW
ÖRNEK 41
a b c
a b c
a b c
2 3 7
2 5 23
2 4 6
–
–
– – –
+ =
+ =
+ =
_
`
a
bbb
bbb
denklem sisteminin çözümünü Gauss yok etme yön-
temi ile bulunuz.
Çözüm
.
a
b
c
1
2
1
2
5
2
3
1
4
7
23
6– –
–
–
–
=
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
1. sat r n –2 kat n 2. sat ra, 1. sat r n 1 ka-
t n 3. sat ra ekleyelim.
.
a
b
c
1
0
0
2
1
0
3
5
1
7
9
1
–
=
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
c = 1
b + 5c = 9 b + 5 = 9 b = 4
a + 2b – 3c = 7 a + 2.4 – 3.1 = 7
a = 2 bulunur.
ÖRNEK 42
a b c
a b c
a b c
2 3
2 5
3 2
–
–
–
+ =
+ =
+ =
_
`
a
bbb
bb
denklem sisteminin çözümünü Gauss yok etme yön-
temi ile bulunuz.
Çözüm
.
a
b
c
1
2
1
1
1
1
2
1
3
3
5
2
–
–
–
=
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
1. sat r n –2 kat n 2. sat ra, 1. sat r n –1 ka-
t n 3. sat ra ekleyelim.
.
a
b
c
1
0
0
1
3
0
2
5
1
3
1
1
–
–
–
–
–
=
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
2. sat r 31– ile çarpal m.
.
a
b
c
1
0
0
1
1
0
2
35
1
3
31
1
–
–
– –
=
R
T
SSSSSS
R
T
SSSSSS
R
T
SSSSSS
V
X
WWWWWW
V
X
WWWWWW
V
X
WWWWWW
3. sat r –1 ile çarpal m.
.
a
b
c
1
0
0
1
1
0
2
35
1
3
31
1
–
– =
R
T
SSSSSS
R
T
SSSSSS
R
T
SSSSSS
V
X
WWWWWW
V
X
WWWWWW
V
X
WWWWWW
c = 1
b c35
31– = b
35 1
31– · =
b = 2
a + b – 2c = 3 a + 2 – 2.1 = 3
a = 3 bulunur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
385
ETK NL KBir akaryak t irketi günlük 600 000 lt akaryak t da t m için 22 adet tanker sat n alacakt r. Bu i için ta ma
kapasiteleri 12000 lt, 18000 lt ve 30000 lt olan üç çe it tanker seçilmi tir. Bu tankerlerden kaçar tane al n-
mas gerekti ini bulal m.
x1, x2 ve x3 s ras yla 12000, 18000 ve 30000 lt kapasiteli tanker say lar n göstersin. Bu durumda,
x1 + x2 + x3 = 22
12000x1 + 18000x2 + 30000x3 = 600000 }xxx
112000
118000
130000
22600 000
1
2
3
=
R
T
SSSS
= =V
X
WWWW
G G olur.
Bu e itlikten 1
12000
1
18000
1
30000
22
600000 geni letilmi matrisi elde edilir.
Buldu umuz geni letilmi matris üzerinden temel sat r i lemleri uygulayal m.
112000
118000
130000
22600 000
2. sat›r›1
6000ile çarpal›m
12
13
15
22100
10
11
13
2256
2. sat›r›n–1 kat›n›1. sat›raekleyelim
10
01
–23
–3456
1. sat›r›n–2 kat›n›2. sat›raekleyelim
Bu durumda
x1 – 2x3 = – 34 x1 = 2x3 – 34
x2 + 3x3 = 56 x2 = 56 – 3x3 olur.
x3 = t al rsak
x1 = 2t – 34 , x2 = 56 – 3t , x3 = t elde edilir.
x1, x2 ve x3 de i kenleri tanker say lar n gösterdi inden bu de erler birer pozitif tam say olmal d r. O halde,
ttt
2 34 056 3 0
0
––
_
`
a
bb
bb t = 17 veya t = 18 olur. Bu de erlere göre a a daki tablo elde edilir.
t
17
18
x1
0
2
x2
5
2
x3
17
18
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
386
GAUSS - JORDAN YOK ETME YÖNTEM
Matris gösterimi, A.x = B olan bir do rusal denklem sistemi çözülürken temel sat r i lemleri uygulanarak A matrisi, 1. kö egenindeki elemanlar 1, di er ele-manlar 0 olacak biçime getirilir.
.aaa
aaa
aaa
xyz
bbb
11
21
31
12
22
32
13
23
33
1
2
3
=
R
T
SSSS
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
V
X
WWWW
H......................................
.xyz
bbb
100
010
001
1
2
3
=
l
l
l
R
T
SSSS
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
V
X
WWWW
H
ÖRNEK 43
x y z
x y zx y z
2 32 9
3 3 12
–+ =+ + =+ + =
_
`
a
bb
bb
Denklem sistemini Gauss - Jordan yok etme yönte-mi ile çözünüz.
Çözüm
.xyz
213
121
113
39
12
–=
R
T
SSSS
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
V
X
WWWW
H 1. sat r n 21 kat n alal m.
.
x
y
z
1
1
3
21
2
1
21
1
3
23
9
12
–
=
R
T
SSSSSS
R
T
SSSSS
R
T
SSSSSS
V
X
WWWWWW
V
X
WWWWW
V
X
WWWWWW
1. sat r n –1 kat n2. sat ra, –3 kat n 3. sat ra ilave edelim.
.
x
y
z
1
0
0
21
23
21
21
23
29
23
215
215–
–
=
R
T
SSSSSSSS
R
T
SSSSSS
R
T
SSSSSSSS
V
X
WWWWWWWW
V
X
WWWWWW
V
X
WWWWWWWW
2. sat r n 32 kat n alal m.
2. sat r n 21– kat n
.
x
y
z
1
0
0
21
1
21
21
1
29
23
5
215–
–
=
R
T
SSSSSSSS
R
T
SSSSSS
R
T
SSSSSSSS
V
X
WWWWWWWW
V
X
WWWWWW
V
X
WWWWWWWW
1. sat ra, 21 kat n
3. sat ra ekleyelim.
.xyz
100
010
115
15
10
– –=
R
T
SSSS
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
V
X
WWWW
H 3. sat r n 51 kat n alal m.
.
1xyz
100
010
111
52
– –=
R
T
SSSS
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
V
X
WWWW
H 3. sat r n 1 kat n1. sat ra, –1 kat n 2. sat ra ekleyelim.
.xyz
100
010
001
132
=
R
T
SSSS
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
V
X
WWWW
H olur. O halde,
x = 1 , y = 3 ve z = 2 bulunur.
Bir A Matrisinin Tersini [A ] ,A
Geni letilmi
Matrisi Üzerinden Temel Sat r veya Sütun lemleri Uygulayarak BulmaA = [ aij ]nxn kare matrisinin tersini bulmak için A mat-
risinin geni letilmi [ A ] veya A matrisi yaz l r.
Temel sat r veya sütun i lemleri uygulanarak
[ veyaA–1A–1 ] bulunur.
ÖRNEK 44
A21
53
= = G matrisinin tersini temel sat r i lemleri yar-
d m yla bulunuz.
Çözüm
21
[ A I ]=53
10
01
1
1 3 0
0
1
1. sat›r›n (–1) kat›n›2. sat›ra ekleyelim:
2. sat›r›n2 kat›n› alal›m
1
0 1 –1
0
2:
10
01
3–1
–52
:
1. sat›ra ekleyelim
[ I A–1]=
52
12
1
0
0
1:
52
12
12
12
1. sat›r›n
alal›m12 kat›n›
52
12
2. sat›r›n 52 kat›n›
bulunur. O halde, A31
52–
–1– = = G dir.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
387
ÖRNEK 45
A21
53
= = G matrisinin tersini temel sütun i lemleri
yard m yla bulunuz.
Çözüm
21A
I=
53
1. sütunun (–5) kat›n›2. sütuna ekleyelim:
2. sütunun2 kat›n› alal›m
1. sütunun kat›n› alal›m10
01
1 5
3
0
0
1
12
12
12
:
1 0
0 1
12
12
12
52
10
01
3–1
–52
:
1 0
1
0
–5
2
12
12
1. sütuna ekleyelim
2. sütunun 12 kat›n›
: =I
A–1
bulunur. O halde,
A31
52–
–1– = = G dir.
ÖRNEK 46
A = 124
011
228
–> H matrisinin tersini temel sat r i lem-
leri yard m yla bulunuz.
Çözüm
1
2
4
0
–1
1
2
2
8
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1. sat r n –2 kat n2. sat ra ekleyelim.1. sat r n – 4 kat n3. sat ra ekleyelim.
[ A ] =
1
0
0
0
–1
1
2
–2
0
1
–2
– 4
0
1
0
0
0
1
2. sat r n 1 kat n3. sat ra ekleyelim.
1
0
0
0
–1
0
2
–2
–2
1
–2
– 6
0
1
1
0
0
1
3. sat r n 1 kat n1. sat ra ekleyelim.
1
0
0
0
–1
0
0
–2
–2
–5
–2
– 6
1
1
1
1
0
1
3. sat r n –1 kat n2. sat ra ekleyelim.
1
0
0
0
–1
0
0
0
–2
–5
4
– 6
1
0
1
1
–1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
–5
– 4
3
1
0
1
1
2. sat r –1 ile ve
3. sat r 12
ile
çarpal m.
= [ A–1 ]
:
:
:
:
:12
12
bulunur. O halde,
A = 54
21
213
10
11
––
– –
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
dir.
388
ES
EN
YAY
INLA
RI
1. a – 2b + 2c = 0
a – 3b – 5c = 7
4a + 3b + 7c = 1
denklem sisteminin çözüm kümesini temel sat r i lemleri ile bulunuz.
2. x – y + 3z = 6
x – 2y + z = 1
3x – y + 2z = 4
denklem sisteminin çözüm kümesini temel sat r i lemleri ile bulunuz.
3. –2a + b – c = 0
a + b – 2c = 1
a + b – 3c = –2
denklem sisteminin çözüm kümesini Gauss yok etme yöntemiyle bulunuz.
4. x + y – z = 0
2x – y + z = 3
x – 2y + 3z = 8
denklem sisteminin çözüm kümesini Gauss yok etme yöntemi ile bulunuz.
5. a + b – 2c = –5
2a + b + c = 3
a + 2b + 3c = 12
denklem sisteminin çözüm kümesini Gauss-Jordan yok etme yöntemi ile bulunuz.
6. A35
12
= = G matrisinin tersini ( A I ) geni letilmi
matrisi üzerinde temel sat r i lemleri uygulayarak bulunuz.
7. A72
41
= = G matrisinin tersini AI
geni letilmi
matrisi üzerinde temel sütun i lemleri uygulaya- rak bulunuz.
ALIŞTIRMALAR – 2
1. (a, b, c) = (2, 0, –1) 2. (x, y, z) = , ,111
117
1124c m 3. (a, b, c) = , ,
34
317 3c m 4. (x, y, z) = (1, 4, 5)
5. (a, b, c) = (–1, 2, 3) 6. 5
123–
–; E 7. 1724–
–; E
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
389
DETERM NANT
A bir kare matris olmak üzere, A n n determinant detA veya |A| biçiminde gösterilir ve a a daki e-kilde tan mlan r.
A = [a11]1x1 |A| = a11
A = aa
aa
11
21
12
22= G |A| = a11.a22 – a21.a12
ÖRNEK 41
A41
32
= = G ise |A| de erini bulunuz.
Çözüm
. .A41
32
4 2 1 3 5–= = = olur.
ÖRNEK 42
Ax3
24
= = G olmak üzere |A| = 14 ise x kaçt r?
Çözüm
. .Ax
x3
24
4 2 3–= = oldu undan
|A| = 14 4x – 6 = 14 x = 5 bulunur.
ÖRNEK 43
sincos
cossin
Axx
xx–
= ; E ise |A| de erini bulunuz.
Çözüm
sincos
cossin
Axx
xx–
= = sinx.sinx – (–cosx).cosx
= sin2x + cos2x = 1 bulunur.
ÖRNEK 44
Aa
aaa
2 31
=+ +
+= G ise |A| kaçt r?
Çözüm
Aa
aaa
2 31
=+ +
+
= (a + 2)(a + 1) – a.(a + 3)
= a2 + 3a + 2 – a2 – 3a = 2 bulunur.
ÖRNEK 45
20072009
20052006
determinant n n e itini bulunuz.
Çözüm
2005 = x alal m. Bu durumda
2006 = x + 1 , 2007 = x + 2 ve
2009 = x + 4 olur. Bu de erleri determinantta
yerine yazarsak
xx
xx
24 1
++ +
= (x + 2)(x + 1) – x(x + 4)
= x2 + x + 2x + 2 – x2 – 4x
= 2 – x = 2 – 2005 = –2003 olur.
M NÖR VE E ÇARPAN (KOFAKTÖR)
A, nxn türünde bir matris olmak üzere, aij nin bulun-du u sat r ve sütunun silinmesiyle elde edilen (n – 1) x (n – 1) türündeki Mij matrisinin determinan-t na aij eleman n n minörü denir.
Aij = (–1)i+j |Mij| say s na da aij nin e çarpan (ko-
faktörü) denir.
A =121
275
346
a23 eleman n n minörü 11
25
5 2 3–= = tür.
a23 eleman n n e çarpan
A23 = (–1)2+3.3 = –1.3 = –3 tür.
ÖRNEK 46
A241
305
126–
=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinin tüm e çarpanlar n
bulunuz.
Çözüm
a11 = 2 a12 = 3 a13 = 1
a21 = 4 a22 = 0 a23 = 2
a31 = –1 a32 = 5 a33 = 6
oldu undan,
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
390
A11 = (–1)1+1 05
26
= 1.(0.6 – 5.2) = –10
A12 = (–1)1+2 41
26–
= –1.(4.6 – 2.(–1)) = –26
A13 = (–1)1+3 41
05–
= 1.(4.5 – 0.(–1)) = 20
A21 = (–1)2+1 35
16
= –1.(3.6 – 5.1) = –13
A22 = (–1)2+2 21
16–
= 1.(2.6 – 1.(–1)) = 13
A23 = (–1)2+3 21
35–
= –1.(2.5 – 3.(–1)) = –13
A31 = (–1)3+1 30
12
= 1.(3.2 – 0.1) = 6
A32 = (–1)3+2 24
12
= –1.(2.2 – 4.1) = 0
A33 = (–1)3+3 24
30
= 1.(2.0 – 4.3) = –12 olur.
Bir Determinant n Herhangi Bir Sat ra Veya Sütuna Göre Aç l m
|A| = |aij| determinant n n i. sat ra göre aç l m
.a Aik ikk
n
1=/ d r.
ÖRNEK 47
A211
140
323–
= determinant n 1. sat ra göre aça-
l m.
Çözüm
|A| = 2.(–1)1+1 40
23
+ 1.(–1)1+2 11
23–
+
3.(–1)1+3 11
40–
= 2.1.(12–0)+1.(–1)(3–(–1).2)+3.1.(1.0–(–1).4)
= 24 – 5 + 12 = 31 bulunur.
ÖRNEK 48
A203
114
230
–= determinant n 1. sütuna göre açal m.
Çözüm
|A| = 2.(–1)1+114
30
– + 0.(–1)2+1 1
420
+
3.(–1)3+1 11
23–
= 2.1.(0 – 12) + 0 + 3.1.(3 + 2) = –9 bulunur.
SARRUS KURALI3x3 türündeki bir determinant n ilk iki sat r determi-nant n alt na veya ilk iki sütunu determinant n sa ta-raf na yeniden yaz larak a a daki biçimde aç l r.
=adx
bey
cfz
adxad
beybe
cfzcf
––
–
+++
= a.e.z + d.y.c + x.b.f – (x.e.c + a.y.f + d.b.z)
=adx
bey
cfz
adx
bey
cfz
–
+
adx
bey
+ +
– –
= a.e.z + b.f.x + c.d.y – (x.e.c + y.f.a + z.d.b)
ÖRNEK 49
201
324
115
– determinant n Sarrus kural yla bulunuz.
Çözüm
201
324
1–15
–
+
201
324
+ +
– –
= 2.2.5 + 3.(–1).1 + 1.0.4 – (1.2.1 + 4.(–1).2 + 5.0.3)
= 23 bulunur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
391
DETERM NANTIN ÖZELL KLER
Bir determinant n bir sat r ndaki (veya bir sü-tunundaki) terimlerin tümü s f r ise determinant n de eri s f rd r.
201
306
508
0= 000
321
597
0– =
Bir determinant n iki sat r ndaki (veya iki sütu-nundaki) terimler orant l ise determinant n de eri s f rd r.
148
212
324
0=
Determinant n 3. sat r ndaki terimlerin 2. sat r-daki terimlerin 2 kat na e it oldu una dikkat edi-niz.
Bir determinant n iki sat r ndaki (veya iki sütunun-daki) terimler yer de i tirirse determinant i aret de i tirir.
a
x
b
y
c
z
x
a
y
b
z
c
abc
xyz
xyz
abc
2 3 4 2 3 4
123
123
–
–
=
=
Bir determinant n herhangi bir sat r veya sütunun-daki tüm elemanlar k R ile çarp l rsa determi-nant k ile çarp lm olur.
. . ..
k axd
k bye
k czf
kaxd
bye
czf
=
Bir determinant n bir sat r ndaki (veya sütunun-daki) elemanlar k R ile çarp l p ba ka bir sat r veya sütuna eklenirse determinant n de eri de i mez.
. . .adx
bey
cfz
ad k a
x
be k b
y
cf k c
z= + + +
|AT| = |A|
|A.B| = |A|.|B|
|An| = |A|n
nxn türünden A matrisi için k R olmak üzere
|k.A| = kn|A| d r.
x yad
x ybe
x ycf
xad
xbe
xcf
yad
ybe
ycf
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3+ + += +
ÖRNEK 50
A211
311
123
––
=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinin determinant n bulunuz.
Çözüm
211
311
123
––
R
T
SSSS
V
X
WWWW
3. sat r (–1) ile çarp p2. sat ra ilave edersek
201
301
113–
R
T
SSSS
V
X
WWWW elde edilir.
Bu determinant 2. sat r na göre açarsak
|A| = 1.(–1)2+3 21
31
= –1.(2 – 3) = 1 bulunur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
392
ÖRNEK 51
sincosA
xx
1=
R
T
SSSS
V
X
WWWW olmak üzere |A.AT| determinant n n
e itini bulunuz.
Çözüm
A.AT = sincos
xx
1
R
T
SSSS
V
X
WWWW [sinx cosx 1]
= ..sin
sin cossin
sin coscoscos
sincos
xx x
x
x xxx
xx
1
2
2
R
T
SSSS
V
X
WWWW olur.
1. ve 2. sat rlar orant l d r.
.
.sin cos
sincos
sin coscossin
cossin
cossin
cossin
x xx
xx x
xx
xx
xx
xx
2
2= =
= =
Bu durumda |A.AT| = 0 bulunur.
ÖRNEK 52
A = 62
52
= G ise |A5| determinant n bulunuz.
Çözüm
|A5| = |A|5 oldu undan,
|A| = 62
52
= 6.2 – 5.2 = 2 dir.
Bu durumda |A5| = 25 = 32 bulunur.
ÖRNEK 53
A31
42– –
= = G ve B21
32
= = G olmak üzere,
|A3.B4| determinant n bulunuz.
Çözüm
|A3.B4| = |A3|.|B4| = |A|3.|B|4 oldu undan
|A| = 31
42– –
= 3.(–2) – 4.(–1) = –2
|B| = 21
32
= 2.2 – 3.1 = 1
|A|3.|B|4 = (–2)3.14 = – 8 bulunur.
ÖRNEK 54
A123
214
022
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW olmak üzere |A–1| determinant n
bulunuz.Çözüm
|A–1| = |A|–1 oldu undan
123
214
0 22
–
+
123
214
+ +
– –
|A| =
= 1.1.2 + 2.(–2).3 + 0.2.4 – (3.1.0+4.(–2).1+2.2.2)
= 2 – 12 – (–8 + 8) = –10 olur.
|A–1| = |A|–1 = (–10)–1 = 101– bulunur.
ÖRNEK 55
|A.B| = 252
301
143
– ve |B| = 17 ise |A| determinan-
t n bulunuz.
Çözüm
252
301
–143
252
301
|A.B| =
= 2.0.3+3.4.2+(–1).5.1–(2.0.(–1)+1.4.2+3.5.3)
= 0 + 24 – 5 – (0 + 8 + 45) = –34 olur.
|A.B| = –34 |A|.|B| = –34
|A|.17 = –34 |A| = –2 bulunur.
ÖRNEK 56
A150
20
160
12
180
11–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinin determinant n bulu-
nuz.
Çözüm
Determinant n 2. sat r ndaki tüm elemanlar 0 oldu undan determinant n de eri s f r olur.
|A| = 0 d r.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
393
ÖRNEK 57
A54
76
= = G olmak üzere,
|10.A| determinant n bulunuz.
Çözüm
|A| = 54
76
= 5.6 – 4.7 = 2 dir.
nxn türünden A matrisi için
|k.A| = kn.|A| oldu undan
|10.A| = 102.|A| = 100.2 = 200 bulunur.
ÖRNEK 58
534
412
206
– determinant n iki determinant n toplam
biçiminde yaz n z.
Çözüm
534
412
206
3 234
1 312
4 206
334
112
406
234
312
206
– –
–
=+ + +
= +
ÖRNEK 59
x iseb b
aa
ab
253
102
321
25
3
10
2
32
–
–
– –
–
–= ise
determinant n n x cinsinden de erini bulunuz.
Çözüm
b b
aa
ab
25
3
10
2
32
–
–
– determinant n n 3. sat r nda
b çarpan , 3. sütununda a çarpan bulundu-undan,
.253
102
321
. .b b
aa
aba b a b x
25
3
10
2
32
–
–
– –
–
–x
= =
1 2 3444 444
bulunur.
ÖRNEK 60
x mm x2
12
0–
–+= denkleminin bir kökü 2 ise di er
kökü kaçt r?
Çözüm
x m
m x2
12
0–
–+=
(2x + m).x + 2.(m – 1) = 0
2x2 + xm + 2m – 2 = 0 olur.
Denklemin bir kökü x1 = 2 ise bu kök denklemi sa lar.
2.22 + 2.m + 2m – 2 = 0 m = 23– olur.
O halde,
2x2 23– x – 5 = 0 denklemi elde edilir.
Bu denklemde,
x1.x2 = 25– 2.x2 =
25– x2 =
45– bulunur.
ÖRNEK 61
A
B C
D E
y
c
zb
a
x
ABC üçgeninde [DE] // [BC] dir. Buna göre
a
x
b
z
c
y2 3 6 determinant n n de erini bulunuz.
Çözüm
ABC üçgeninde, [DE] // [BC] ise
ABC ADE+& &
ADAB
AEAC
DEBC
= =
yc
zb
xa= = olur.
Bu durumda determinant n 1. ve 3. sat rlar orant l olaca ndan determinant n de eri s f rd r.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
394
ÖRNEK 62
1211
2402
1232
3124
–
–
––
–
determinant n n e itini bulunuz.
Çözüm
Determinant n 1. sat r n n 2 kat n 2. sat ra eklersek
A
1011
2002
1032
3724–
–
–
= bulunur.
Bu determinant 2. sat r na göre açarsak,
|A| = 7.(–1)2+4111
202
132–
–
– olur.
1 32
11 1
202
11 1
202
= 0 – 6 – 2 – (0 + 6 – 4)
= –8 – 2 = –10 bulunur.
Bu durumda,
|A| = 7.(–1)2+4.(–10) = 7.1.(–10) = –70 olur.
ÖRNEK 63
x y2
0
1
1
435
3–
= do rusunun e imini bulunuz.
Çözüm
–
+ + +
– –
2x0
1y 1
435
2x0
1y 1
= 3
2.y.5 + 1.3.0 + 4.x.(–1) – (0.y.4 – 1.3.2 + 5.x.1) = 3
10y – 4x – (–6 + 5x) = 3
10y – 4x + 6 – 5x = 3
10y = 9x – 3 y = x109
103– bulunur.
Buldu umuz do runun e imi m = 109 dur.
ÖRNEK 64
Düzlemde (x1, y1) ve (x2, y2) noktalar ndan geçen
do ru denkleminin
xxx
yyy
111
01
2
1
2
= biçiminde yaz labilece ini gösteriniz.
Çözüm
= 0
–
+ + +
– –
xx1x2
yy1y2
111
xx1x2
yy1y2
xy1 + x2y + x1y2 – (x2y1 + xy2 + x1y) = 0
xy1 + x2y + x1y2 – x2y1 – xy2 – x1y = 0
xy1 – xy2 + x1y2 = x1y – x2y + x2y1
xy1 – xy2 + x1y2 – x1y1 = x1y – x2y + x2y1 – x1y1
x(y1 – y2) – x1(y1 – y2) = y(x1 – x2) – y1(x1 – x2)
(y1 – y2) (x – x1) = (x1 – x2) (y – y1)
x xy y
x xy y
––
––
1
1
1 2
1 2= olur.
Bu e itlik (x1, y1) ve (x2, y2) noktalar ndan
geçen do ru denklemidir.
EK (ADJO NT) MATR S
Bir A kare matrisinin her eleman n n yerine o elema-
n n kofaktörünün yaz lmas yla olu an matrisin devri-
ine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) biçimin-
de gösterilir.
A = aa
aa
11
21
12
22= G Ek(A) =
AA
AA
T11
21
12
22= G
A = aaa
aaa
aaa
11
21
31
12
22
32
13
23
33
R
T
SSSS
V
X
WWWW Ek(A) =
AAA
AAA
AAA
T11
21
31
12
22
32
13
23
33
R
T
SSSS
V
X
WWWW
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
395
ÖRNEK 65
A21
34
= = G matrisinin ek matrisini bulunuz.
Çözüm
a11 = 2 nin kofaktörü, A11 = (–1)1+1.4 = 4
a12 = 3 ün kofaktörü, A12 = (–1)1+2.1 = –1
a21 = 1 in kofaktörü, A21 = (–1)2+1.3 = –3
a22 = 4 ün kofaktörü, A22 = (–1)2+2.2 = 2
Ek(A) = AA
AA
43
12–
–T T11
21
12
22== =G G =
41
32–
–= G
2x2 türünde bir matrisin ek matrisi bulunurken, ve-
rilen matriste birinci kö egendeki elemanlar n yeri,
ikinci kö egendeki elemanlar n i areti de i tirilir.
A = ac
bd
= G Ek(A) = dc
ba–
–= G dir.
ÖRNEK 66
A245
326
101
––
=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinin ek matrisini bulunuz.
Çözüm
A11 = (–1)1+1.26
01
––
= 1.(2 – 0) = 2
A12 = (–1)1+2.45
01–
= –1.(– 4 – 0) = 4
A13 = (–1)1+3.45
26
– = 1.(24 + 10) = 34
A21 = (–1)2+1.36
11–
= –1.(–3 – 6) = 9
A22 = (–1)2+2.25
11–
= 1.(–2 – 5) = –7
A23 = (–1)2+3.25
36
= –1.(12 – 15) = 3
A31 = (–1)3+1.32
10–
= 1.(0 + 2) = 2
A32 = (–1)3+2.24
10
= –1.(0 – 4) = 4
A33 = (–1)3+3.24
32–
= 1.(– 4 – 12) = –16
Ek(A) = AAA
AAA
AAA
T11
21
31
12
22
32
13
23
33
R
T
SSSS
V
X
WWWW
= 292
474
343
16–
–
TR
T
SSSS
V
X
WWWW
= 24
34
973
24
16–
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW
Bir Matrisin Tersinin Ek Matris Yard m yla Bulunmas
A kare matrisinde |A| 0 olmak üzere,
A–1 = A1 Ek(A) d r.
A = ac
bd
= G Ek(A) = dc
ba–
–= G oldu undan,
A–1 = A
dc
ba
1–
–= G dir.
ÖRNEK 67
A42
53
= = G matrisinin tersini bulunuz.
Çözüm
|A| = 4.3 – 5.2 = 2 oldu undan
A–1 = 21 3
2
5
423
1
25
2–
–
–
–=> >H H olur.
ÖRNEK 68
Ax5
3 2= = G matrisinin tersinin bulunmamas için x
kaç olmal d r?
Çözüm
|A| = 0 ise A–1 tan ms zd r.
Bu durumda
|A| = 5.2 – x.3 = 10 – 3x
|A| = 0 10 – 3x = 0 x = 310 olmal d r.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
396
ÖRNEK 69
A123
212
111–
–
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinin tersini ek matris yard -
m yla bulunuz.
Çözüm
Ek = –A
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
1
2
3
1
1
1
3
1
1
1
2
1
1
2
3
1
2
1
3
2
2
1
2
2
1
– –
–
–
–
–
––
–
–
––
–
––
T
^ h
R
T
SSSSSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWWWWW
= 143
523
783–
–
–
TR
T
SSSS
V
X
WWWW
= 157
428
333–
––
R
T
SSSS
V
X
WWWW olur.
123
21
–2
–11
–1
123
21
–2|A| =
= –1 + 6 + 4 – (–3 – 2 – 4)
= 18 oldu undan
AA
Ek A1
181
157
428
333–
––
1– =
=
^ hR
T
SSSS
V
X
WWWW
=
181
185
187
92
91
94
61
61
61–
–
–
R
T
SSSSSSSS
V
X
WWWWWWWW
bulunur.
Do rusal Denklem Sisteminin Ters Matris Yard m yla Çözümü
Matris gösterimi A.X = B olan do rusal denklem sis-
temlerini X = A–1B biçiminde göstererek çözebiliriz.
ÖRNEK 70
x yy z
x z
12 3
3 4
– –
–
=+ =
=
_
`
a
bb
bb denklem sistemini ters matris yard m yla çözelim.
Çözüm
Verilen denklem sisteminin matrisle gösterimi
.t rü.
xyz
101
120
013
134
–
–
–
=
XA B
R
T
SSSS
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
V
X
WWWW
H1 2 3444 444 W [
A matrisinin tersini ek matris yard m yla bulal m.
Ek A
2
0
1
3
1
0
0
3
1
2
0
1
0
1
1
3
1
1
0
3
1
0
0
1
0
1
2
0
1
1
1
0
1
0
1
2
–
––
–
–
––
–
–
––
–
T
=^ h
R
T
SSSSSSSSSS
V
X
WWWWWWWWWW
Ek A631
131
212
–––
––
––
T
=^ hR
T
SSSS
V
X
WWWW
612
331
112
–
–
–––
––=
R
T
SSSS
V
X
WWWW
|A| = –7 oldu undan
A–1 = A1 Ek(A) =
71
612
331
112
––
–
–––
––
R
T
SSSS
V
X
WWWW
A
76
71
72
73
73
71
71
71
72
–
–
1– =
R
T
SSSSSSSS
V
X
WWWWWWWW
olur.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
397
Bu durumda
A.X = B X = A–1.B olaca ndan A–1 matrisini yerine yazarsak,
x
76
71
72
73
73
71
71
71
72
–
–
A 1–
=
R
T
SSSSSSSS
V
X
WWWWWWWW
1 2 34444 4444
.–1
3
4
B
76
79
74
71
79
74
72
73
78
–
– –
+ +
+ + +
+
=
R
T
SSSSSSSS
V
X
WWWWWWWW
121–
=
R
T
SSSS
V
X
WWWW olur.
O halde, x = 1 , y = 2 , z = –1 dir.
CRAMER KURALI
a x b y c z da x b y c z da x b y c z d
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
+ + =+ + =+ + =
_
`
a
bb
bb
denklem sisteminde
|A| = aaa
bbb
ccc
1
2
3
1
2
3
1
2
3
, |Ax| = ddd
bbb
ccc
1
2
3
1
2
3
1
2
3
|Ay| = aaa
ddd
ccc
1
2
3
1
2
3
1
2
3
, |Az| = aaa
bbb
ddd
1
2
3
1
2
3
1
2
3
olmak üzere,
x = AAx , y =
AAy , z =
AAz d r.
|A| 0 ise sistemin tek çözümü vard r.
|A| = |Ax| = |Ay| = |Az| = 0 ise sistemin çözüm kü-
mesi sonsuz elemanl d r.
|A| = 0 iken |Ax| , |Ay| , |Az| den en az biri s f r-
dan farkl ise sistemin çözüm kümesi Ø dir.
ÖRNEK 71
x y
x y2 5
4– =
+ =4 sistemini Cramer kural ile çözelim.
Çözüm
Denklem sistemi xy
21
11
54
–== = =G G G
ve kat say lar determinant
|A| = 21
11
– = 2 + 1 = 3 0
oldu undan sistemin tek çözümü vard r. Bu çözüm,
.
xA
yA
dir
54
11
35 4 3
21
54
38 5 1
–
–
= = + =
= = =
ÖRNEK 72
x y zx y z
x y z
22 1
3 2 1
–––
+ =+ =
+ =
_
`
a
bb
bb
sistemini Cramer kural yla çözelim.
Çözüm
Denklemin kat say lar determinant
A121
113
112
3–
––
= =
A211
113
112
3–
––
x = =
A121
211
112
6––
y = =
A121
113
211
9–
z = =
oldu undan sistemin çözüm kümesi
xAA
33 1
x= = = , y
AA
36 2
y= = =
zAA
39 3
z= = = bulunur.
398
1. A a daki determinantlar n e itini bulunuz.
a. 54
1210
b. 31
24
––
c. xx
xx
11–
+
d. 19871989
19881990
e. 1993
19921994
1991
f. 121
312
041
–
g. 210
141
322
–
h. 1004
2002
300
70–
. 231
012
041
–
–
i. ada
beb
cfc2 2 2
2. A435
211
102
–=
olmak üzere A matrisinin tüm e çarpanlar n bulunuz.
3. A211
102
345
–=
determinant n 2. sat ra göre aç n z.
4. 110
213
425
––
determinant n 3. sat ra göre aç n z.
5. A a daki ifadelerden do ru olanlar için bo ku-tuya “D” yanl olanlar için “Y” yaz n z.
|AT| = |A|
|A.B| = |A|.|B|
|An| = |A|n
|k.A| = k.|A|
|I | = 0
ES
EN
YAY
INLA
RI
ALIŞTIRMALAR – 3
1. a. 2 b. –10 c. –2x d. –2 e. –2 f. –3 g. 17 h. 0 . 18 i. 0 2. A11 = –2 , A12 = –6 , A13 = 8 , A21 = –3
A22 = 3 , A23 = 6 , A31 = 1 , A32 = 3 , A33 = –10 3. –13 4. –23 5. D, D, D, Y, Y
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
399
ES
EN
YAY
INLA
RI
6. A52
94
=
olmak üzere, |A4| determinant n n e itini bulu-nuz.
7. A ve B24
13
51
92
= == =G G olmak üzere, |A2.B4| determinant n n e itini bu-
lunuz.
8. A241
110
323
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW
olmak üzere, |A–1| determinant n n e itini bulu-
nuz.
9. .A B214
131
023
–= ve |B| = 2
olmak üzere, |A| determinant n n e itini bulunuz.
10. A(2, 1) ve B(–3, 2) noktalar ndan geçen do ru-nun denklemini determinant yard m yla bulunuz.
11. x y3
14
11
32
2– =
do rusunun e imini bulunuz.
12. A24
13
= = G matrisinin ek matrisini bulunuz.
13. A114
211
303
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW
matrisinin ek matrisini ve ek matristen yararlana-rak A–1 matrisini bulunuz.
6. 16 7. 4 8. 131– 9.
211 10. x + 5y = 7
11. –2 12. 34
12–
–; E 13. Ek(A) = 335
397
333
––
––
–> H A–1 =
33
39
361
5 7
33
––
––
–> H
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
400
ES
EN
YAY
INLA
RI
14. A a daki matrislerin çarpmaya göre terslerini ek matris yard m yla bulunuz.
a. 43
65
= G
b. 22
21–
= G
c. 03
14
= G
15. x + y = 3
2x – z = 0
3y – 2z = 2
denklem sisteminin çözüm kümesini ters matris yard m yla bulunuz.
16. x + y + z = 3
x – y + 2z = 4
y + z = 1
denklem sisteminin çözüm kümesini ters matris yard m yla bulunuz.
17. 3x + 2y = 1
2x + 5y = –14
denklem sistemini Cramer kural yla çözünüz.
18. A a daki denklem sistemlerini Cramer kural yla çözünüz.
a. 2x – y + z = 3
x + 2y – z = 2
x – y + 4z = 11
b. x + y + z = 3
x – y + 2z = 1
3x – 2y + z = 4
c. 2x – y + 2z = 11
x + 2y + 3z = 9
2x + y – z = 0
19.
1211
2402
1232
3124
–
–
––
– determinant n n e itini bulunuz.
14. a. 3
621 5
4––; E b.
261 1
22
–; E c. 4
31
310
–; E 15. (x, y, z) = (1, 2, 2) 16. (x, y, z) = (2, 0, 1)
17. (x, y) = (3, –4) 18. a. (x, y, z) = (1, 2, 3) b. (x, y, z) = (2, 1, 0) c. (x, y, z) = (2, –1, 3) 19. –70
ES
EN
YAY
INLA
RI
401
YAZILIYA HAZIRLIK – 1
1. .c
ba2
32
111
10
21
34
–
–
··
·
···
=
R
T
SSSS
= >V
X
WWWW
G H e itli ini sa layan a + b + c kaçt r?
2. A = [1 2 3 ] ve B = 123
R
T
SSSS
V
X
WWWW olmak üzere
B.A matrisini bulunuz.
3. ac
bd
43
21
10
01
––
· == = =G G G e itli ini sa layan a + d de eri kaçt r?
4. A ve B20
31
13
21
= == =G G olmak üzere A.X = BT e itli ini sa layan X mat-
risini bulunuz.
5. A matrisi 2 x 2 türünde bir matris olmak üzere,
. .A ve A21
10
01
31–
= == = = =G G G G ise .A32= G mat-
risini bulunuz.
6. 22
13
222
13
10
01
– –2+ += = =G G G
ifadesinin e itini bulunuz.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
402
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. Aa
b81
21
=
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
matrisinin tersi kendisine e it ise
a2 + b2 kaçt r?
8. A13
11
–= = G ise A21 matrisini bulunuz.
9. A10001002
10011003
= = G ise |A| ifadesinin e itini bu-
lunuz.
10. A131
210
012
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW ise A–1 matrisini bulunuz.
1. 11 2. 123
246
369
> H 3. 23– 4. 2
5
2
0
1
–> H 5. 0
21–
R
T
SSSS
V
X
WWWW
6. 336 18; E 7.
815 8. –221 1
001
; E 9. –2 10. 12
1251
422
217
–––
–––
> H
ES
EN
YAY
INLA
RI
403
YAZILIYA HAZIRLIK – 2
1. f(x) = x2 – 4x + 4 ve A31
11–
= = G ise
f(A) ifadesinin e itini bulunuz.
2. b 0 olmak üzere,
xz
ya
; E matrisinin elemanlar b kadar art r ld -
nda determinant de i medi ine göre a de e-rini bulunuz.
3. A24
13
= = G ise A–1 matrisini bulunuz.
4. A20
32–
= = G olmak üzere A2009 matrisini bulu-
nuz.
5. sincos
cossin
A55
55
°°
°°
= = G ise A2 matrisini bulunuz.
6. A ve Bac
bd
22
20
–= == =G G olmak üzere,
A.B = A – B ise B matrisini bulunuz.
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
404
ES
EN
YAY
INLA
RI
7. A222444
333555
= = G ise |A| de erini bulunuz.
8. x
x231
11 2
30– = denkleminin kökler toplam kaç-
t r?
9.
1200
2100
1011
3121
–
–
determinant n n e itini bulunuz.
10. A211
102
311
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinin ek matrisini bulunuz.
1. 2
2210––; E 2. z + y – x 3.
223
21
1–
–> H 4. 22008 32
20 –; E 5.
sinsin1
10101°
°; E
6. 56
52
52
54–
–R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
7. –2.1112 8. 1 9. –9 10. 222
513
151
–
–––
–> H
ES
EN
YAY
INLA
RI
405
TEST – 1
1. Ax y
x zve B
t4 63
11
––
–= == =G G olmak
üzere, A = B ise x + y + z + t kaçt r?
A) –8 B) – 6 C) –5 D) 5 E) 6
2. A ve12
13
04
20
42
64
–– –
= = =G G olmak üze-
re, A B32
– matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 26
510
38
– –= G B) 26
510
314–= G
C) 26
510
38
= G D) 26
510
314
– –= G
E) 26
510
314
– –= G
3. A12
23–
= = G olmak üzere,
A + AT matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 24
46–
= G B) 06
20
= G C) 20
06
= G
D) 04
40–
= G E) 24
46
––
= G
4. .A332
15
202
11
– ––
+ == =G G e itli ini sa layan
A matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 12
11–
–= G B) 12
11– –
= G C) 12
11–
= G
D) 12
11–
= G E) 12
11–
––
= G
5. A ve B12
10
13
21
– –= == =G G olmak üzere,
A.B matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 42
14
––= G B)
42
12
––= G C)
42
14
––
= G
D) 42
14
––
–= G E) 42
14
– ––
= G
6. A ve B2 1 3110
–= =
R
T
SSSS
6V
X
WWWW
@ ise
A.B matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) [ 2 –1 0 ] B) 210
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW C) [ 1 ]
D) [ 2 ] E) [ –2 1 0 ]
7. A = [ 1 2 –1 ] ve B = 012
R
T
SSSS
V
X
WWWW ise
B.A matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) [ 0 ] B) [ 2 ] C) [ 0 2 –2 ]
D) 000
121
242– –
R
T
SSSS
V
X
WWWW E)
012
024
012
––
R
T
SSSS
V
X
WWWW
8. A13
21–
= = G ise A2 matrisi a a dakilerden
hangisidir?
A) 70
07
–= G B) 07
70–
= G C) 70
07
––
= G
D) 70
07
= G E) 07
70
= G
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
406
1.B 2.E 3.C 4.B 5.A 6.C 7.E 8.D 9.A 10.D 11.A 12.C 13.E 14.A 15.C 16.C
9. A11
02–
= = G ve f(x) = x2 + 2x ise f(A) matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 35
08–
= G B) 35
08–
= G C) 35
08– –
= G
D) 30
08
= G E) 30
08–
= G
10. x2 – 4x + n = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olmak üzere,
.x
x21 0
1 10
61
21
–
–1
2== = =G G G ise n kaçt r?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
11. .log x Iny
Iny121
13 0
72
2– –
2 == = >G G H e itli ini sa layan x + y kaçt r?
A) e2 + 2 B) e + 2 C) e2 + 1D) e + 1 E) e + 3
12. A10
41
= = G ise A20 matrisi a a dakilerden
hangisidir?
A) 10
21
40> H B) 10
21
20> H C) 10
801
= G
D) 10
401
= G E) 10
201
= G
13. A20
12
= = G ise A10 matrisi a a dakilerden
hangisidir?
A) 210 10
41
= G B) 210 20
102
= G C) 29 20
92
= G
D) 210 20
92
= G E) 29 20
102
= G
14. A13
13
– –= = G ise A2008 matrisi a a dakiler-
den hangisidir?
A) 22007.A B) 22008.A C) 22007.D) 22008. E) 22006.A
15. A20
32–
= = G ise A1001 matrisi a a dakilerden
hangisidir?
A) 21000. B) 21001. C) 21000.AD) 21001.A E) 2500.A
16. A11
11
= = G ve A6464
6464
n = = G ise n kaçt r?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
ES
EN
YAY
INLA
RI
407
TEST – 2
1. A11
10
–= = G ve B
66
14
= = G olmak üzere,
A.C = B e itli ini sa layan C matrisinin bütün elemanlar n n toplam kaçt r?
A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29
2. A23
54
= = G ve B51
= = G olmak üzere,
AT.C = B + C ko ulunu sa layan C matrisi a a-dakilerden hangisidir?
A) 12–
= G B) 12
–= G C) 21–
= G
D) 12= G E)
21
–= G
3. A21
31–
= = G ve B = AT – A ise B matrisi a a-
dakilerden hangisidir?
A) 02
20–
–= G B) 02
20
= G C) 02
20–
= G
D) 02
30–
= G E) 02
20
–= G
4. A11
11
= = G ise A + A2 + A3 matrisi a a daki-
lerden hangisidir?
A) 55
55
= G B) 66
66
= G C) 77
77
= G
D) 88
88
= G E) 99
99
= G
5. A13
11–
= = G ise A1987 matrisi a a dakilerden
hangisidir?
A) –21986.A B) –21986. C) 21986.AD) 21986. E) 21987.A
6. A01
10–
–= = G ise A1993 matrisi a a dakiler-
den hangisidir?
A) B) A C) 21992.AD) 21992. E) 21993.A
7. A = 10
23
= G ve f(x) = x2 – x + 2 ise
f(A) matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 20
68
= G B) 20
86
= G C) 60
28
= G
D) 20
46
= G E) 20
64
= G
8. Aa
ave A
aa
14 8
288
2= == =G G ise
a n n pozitif de eri kaçt r?
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 21
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
408
1.C 2.B 3.E 4.C 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C 11.D 12.A 13.B 14.B 15.D 16.A
9. A = a b
261
––= G ve B =
a b44
122– +
= G olmak
üzere, A – B2
= 2x2 ise a + b kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
10. A = [aij]2x2 matrisi, aij = ,,
i ji j
i ji j–>+)
biçiminde tan mlanm t r. Buna göre A matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 03
10
= G B) 21
14
–= G C) 03
10
–= G
D) 21
14–
= G E) 03
10–
= G
11. 213
121
342
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinde a23 teriminin kofaktörü
(e çarpan ) kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
12. cossin
sincos
Axx
xx
–= = G olmak üzere, A2 matrisi
a a dakilerden hangisidir?
A) cossin
sincos
xx
xx
22
22
–= G B) 10
01
= G
C) cossin
sincos
xx
xx
22
22–
= G D) 10
01
–= G
E) sin
sinx
x12
21
––
= G
13. A32
32
– –= = G ise A15 matrisi a a dakilerden
hangisidir?
A) 32
32– –
= G B) 32
32
– –= G C) 10
01
= G
D) 10
01
––
= G E) 30
03
––
= G
14. x
241
31
124
–R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinde a13 teriminin kofaktörü
7 ise x kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15. a
bc
232
112
12
21
36
–
–··
·
·
··=
R
T
SSSS
= >V
X
WWWW
G H ise
a + b + c kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
16. 12
34
212
34
10
01–
––
2+= = =G G G
ifadesinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) 66
93
––= G B)
66
93
––
= G C) 6
63
9––
= G
D) 66
39
––= G E)
66
39–
–= G
ES
EN
YAY
INLA
RI
409
TEST – 3
1. A32
21
= = G olmak üzere,
A2 – 4A + 4 i leminin sonucu a a dakilerden hangisidir?
A) 10
01
= G B) 40
04
= G C) 50
05
= G
D) 05
50
= G E) 04
40
= G
2. A ve Bac
bd
10
11
–= == =G G olmak üzere,
A.B = A – B e itli ini sa layan B matrisi için 4B matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 20
12
–= G B) 20
12–
= G C) 20
12
–= G
D) 00
12
–= G E) 20
12
––
= G
3. a
a b24 1
1 42– –
== = =G G G ise a kaçt r?
A) 81 B)
41 C)
21 D) 2 E) 4
4. A ve B24
12
10
21
32– –
= == =G G ise
(A.B)T matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 254
46
12
R
T
SSSS
V
X
WWWW B)
254
448
R
T
SSSS
V
X
WWWW C)
254
46
16
R
T
SSSS
V
X
WWWW
D) 24
54
416
= G E) 24
54
412
= G
5. 30
13–
20= G matrisinin e iti a a dakilerden han-
gisidir?
A) 32001
10
= G B) 310 30
13–
= G C) 320 30
13–
= G
D) 310 10
01
= G E) 320 10
01
= G
6. A35
12
= = G matrisinin tersi a a dakilerden han-
gisidir?
A) 25
13–
–= G B) 25
13
––
= G C) 25
13–
= G
D) 25
13–
= G E) 31
52
––
= G
7. x
y81
21R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
matrisinin tersi kendisine e it oldu una
göre x in pozitif de eri kaçt r?
A) 815 B)
615 C)
515 D)
415 E)
215
8. Aab
33–
= = G olmak üzere,
A2 = A.A–1 e itli ini sa layan a.b kaçt r?
A) –6 B) –7 C) –8 D) –9 E) –10
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
410
1.C 2.A 3.B 4.C 5.E 6.A 7.D 8.C 9.A 10.C 11.D 12.A 13.E 14.D 15.D 16.B
9. A x113
220
3
4–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinin tersinin bulunmamas
için x kaç olmal d r?
A) 31 B)
21 C) 1 D) 2 E) 3
10. A204
111
23
3–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinde anm eleman n n
kofaktörü Anm ise A22 + A23 kaçt r?
A) –8 B) –6 C) –4 D) –2 E) –1
11. A30
63
= = G olmak üzere,
A20 = 320 x10 1= G ise x kaçt r?
A) 20 B) 25 C) 30 D) 40 E) 50
12. A–1 = 53
21
= G ve B = 20
31–
= G olmak üzere,
A.x = B e itli ini sa layan x matrisi a a daki-lerden hangisidir?
A) 106
138
= G B) 193
71– –
= G C) 1013
68
= G
D) 197
31
––
= G E) 6
108
13= G
13. A21
43
= = G matrisinin ek matrisi a a dakiler-
den hangisidir?
A) 34
12
= G B) 24
13
––
= G C) 31
42
= G
D) 24
13–
–= G E) 31
42–
–= G
14. Ax2 1
4= = G ve B
56
617
= = G olmak üzere,
A.AT = B ise x kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
15. A111
111
111
=
R
T
SSSS
V
X
WWWW ise A10 matrisi a a dakilerden
hangisidir?
A) A B) 3A C) 9A D) 39.A E) 310.A
16. cossin
sincos
A4040
4040
°°
– °°
= = G ve
cossin
sincos
B5050
5050
°°
– °°
= = G ise A.B matrisi a a -
dakilerden hangisidir?
A) 01
10
= G B) 01
10
–= G C) 10
01
= G
D) 10
01
–= G E) 01
10–
= G
ES
EN
YAY
INLA
RI
411
TEST – 4
1. A12
13
–= = G ve B
ac
bd
= = G olmak üzere,
AT + B = A2 ise a + b + c + d kaçt r?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
2. A23
24
–= = G ve B
ac
bd
= = G olmak üzere,
A.B = 4A e itli ini sa layan B matrisi a a -
dakilerden hangisidir?
A) 20
02
––
= G B) 40
04
––
= G C) 20
02
= G
D) 04
40
= G E) 40
04
= G
3. A = 2x
2 1–
= G ve B = y
56
6> H olmak üzere,
A.AT = B ise x + y kaçt r?
A) 26 B) 24 C) 22 D) 18 E) 16
4. A = 05
20
= G , B = 02
30
= G ve C = 0
1270
= G olmak üzere, x.A + y.B = C ise x + y kaçt r?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
5. A = [sinx cosx ] ve B = sincos
sincos
xx
xx–
= G olmak üzere A.B matrisi a a dakilerden hangi-
sidir?
A) [cos2x 1 ] B) 0 C) [cosx sinx ]D) [1 –cos2x ] E) [1 cosx ]
6. Aac
bd
= = G matrisinde her sat r n terimleri topla-
m 4 ise A2 matrisinin 1. sat r ndaki terimlerin toplam kaçt r?
A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24
7. ,A B23
11
55–
= == =G G ve Cxy
= = G olmak üzere, A.C = B e itli ini sa layan x + y
de eri kaçt r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
8. A13
27
= = G oldu una göre,
A–1 a a dakilerden hangisidir?
A) 73
21
––
= G B) 12
37
––
= G C) 12
37–
–= G
D) 72
31
= G E) 73
21–
–= G
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
412
1.C 2.E 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.E 9.A 10.C 11.E 12.B 13.D 14.D 15.E 16.A
9. A14
26
–= = G olmak üzere,
A.BT = 14
632–= G e itli ini sa layan B matrisi
a a dakilerden hangisidir?
A) 12
04
= G B) 10
24
= G C) 21
40
= G
D) 24
10
= G E) 04
12
= G
10. Aa b1 0
= = G ve Bc
b0 2 18–
= = G olmak üzere,
A–1 = B ise a + b + c kaçt r?
A) –8 B) –7 C) –6 D) –5 E) –4
11. A ve B20
03
46
412
–= == =G G olmak üzere,
A–1.B matrisi a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 24
22
–= G B) 22
42–
= G C) 22
24
–= G
D) 24
22
–= G E) 22
24
–= G
12. A12
03
= = G ve B = 31= G ise AT.B matrisi
a a dakilerden hangisidir?
A) 35= G B)
53= G C)
39= G D)
93= G E)
59= G
13. A = [aij]2x2 matrisi için
A.12
47
== =G G ve A.13
18
–== =G G ise A.
32
–= G matrisi a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 34–
= G B) 43–
= G C) 34
–= G
D) 43
–= G E) 13= G
14. A = x4
25
= G matrisinin her eleman 4 azalt ld n-
da |A| determinant n n de eri de i medi ine göre x kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
15. A = 111
333
444
––
–
–
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW ise A2 matrisi a a daki-
lerden hangisidir?
A) A B) 100
010
001
R
T
SSSS
V
X
WWWW C)
011
101
110
R
T
SSSS
V
X
WWWW
D) 2A E) 0
16. A211
232
443
––
–
–
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW ise A2 matrisi a a daki-
lerden hangisidir?
A) A B) 2A C) 0
D) 100
010
001
R
T
SSSS
V
X
WWWW E)
211
232
443–
––
––
R
T
SSSS
V
X
WWWW
ES
EN
YAY
INLA
RI
413
TEST – 5
1. A41
22
–= = G ise |A| kaçt r?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12
2. Ax
xx
x1
1–
=+
= G ise |A| determinant n n e iti
a a dakilerden hangisidir?
A) –2 B) –1 C) 1 D) x E) 2x
3. A10011003
10021004
= = G olmak üzere,
|A| determinant n n de eri kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
4. A434
203
125–
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinde a32 eleman n n
e çarpan kaçt r?
A) –5 B) –3 C) 5 D) 8 E) 11
5. A x121
2
3
322–
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinde a13 eleman n n
e çarpan 4 ise x kaçt r?
A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2
6. A114
201
325
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW olmak üzere,
|A| determinant n n de eri kaçt r?
A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23
7. A2
104
4408
1502
–
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW olmak üzere,
|A| determinant n n de eri kaçt r?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
8. x y12
31
211
0– = do rusunun e imi kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 2 D) 3 E) 4
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
414
1.C 2.B 3.A 4.E 5.B 6.C 7.A 8.E 9.B 10.D 11.B 12.E 13.D 14.D 15.A 16.C
9. |A| = 4 ve |A.B| = 214
101
432–
ise |B| kaçt r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
10. A51
62
= = G olmak üzere, |A4| kaçt r?
A) 8 B) 16 C) 128 D) 256 E) 400
11. A ve B23
10
32
43
= == =G G olmak üzere,
|A3B4| determinant n n de eri kaçt r?
A) –9 B) –27 C) –36 D) –54 E) –81
12. A56
34
= = G ise A–2 matrisi a a dakilerden
hangisidir?
A) 217
227
427
443
–
–
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
B) 217
227
427
443
–
–
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
C) 217
227
427
443
–R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
D) 217
227
427
443
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
E) 217
227
427
443–
–R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
13. A45
32
= = G matrisinin ek matrisi a a dakiler-
den hangisidir?
A) 25
34
= G B) 52
43
––
= G C) 43
52
––
= G
D) 25
34–
–= G E) 34
25–
–= G
14. A132
214
125
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW ise |A–1| kaçt r?
A) –35 B) –7 C) 71– D)
351– E)
701–
15. A x4
1
131
242–
=
R
T
SSSS
V
X
WWWW olmak üzere,
x in hangi de eri için A–1 yoktur?
A) 219 B) 10 C)
212 D) 11 E)
223
16. x214
436
328
= olmak üzere,
434
896
668
determinant n n x cinsinden de eri
a a dakilerden hangisidir?
A) 2x B) 3x C) 6x D) 12x E) 36x
ES
EN
YAY
INLA
RI
415
TEST – 6
1. A225
346
121
––=
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinde a32 teriminin mi-
nörü kaçt r?
A) – 4 B) –2 C) 1 D) 2 E) 4
2. xx
xx
13
24
++
++
determinant n n e iti a a dakiler-
den hangisidir?
A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2
3. A42
35
–= = G matrisinin ek matrisi a a dakiler-
den hangisidir?
A) 53
24
–= G B) 52
34
– ––
= G C) 52
34–
= G
D) 43
25
–– –= G E)
43
25
–= G
4. 130
211
142
– determinant n n de eri kaçt r?
A) –18 B) –17 C) –15 D) –13 E) –10
5. Ax2
11
24
301–
=
R
T
SSSS
V
X
WWWW olmak üzere,
A–1 matrisinin bulunmamas için x kaç olmal -d r?
A) 12 B) 16 C) 20 D) 22 E) 24
6. Ax
13
22–
= > H olmak üzere,
|A| = 1 ise x in alabilece i de erler toplam kaç-t r?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
7. Aa1
1 221–
= = G olmak üzere,
|A.AT| = 27 ise a kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
8. Ax
ve B23
5 54
76
= == =G G olmak üzere,
|A–1.B4| = 16 ise x kaçt r?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
416
1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.D 8.D 9.E 10.A 11.C 12.C 13.E 14.A 15.D 16.A
9. x
a x2 1
23
0–+
= denkleminin köklerinden biri 2
ise a kaçt r?
A) 311 B) 4 C)
314 D) 5 E)
316
10. A x y z5
4
2
4
3
6=
R
T
SSSS
V
X
WWWW olmak üzere,
|A| = 0 ise zy kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E32
43
54
65
76
11. [AB] // [DC]
A a B
D d C
E
e
c b
f [DB] [AC] = {E} olmak üzere
ada
bec
cfb
determinant n n de eri kaçt r?
A) a2 B) b C) 0 D) 1 E) a.c
12. A287
453
1029
––
=
R
T
SSSS
V
X
WWWW olmak üzere,
|A| = t ise a ab
bb
a287
453
1029
––
determinant n n e iti a a dakilerden hangisidir?
A) a3b3t B) a2b2t C) abtD) abt2 E) abt3
13. .A21
32
14
20
–== =G G e itli ini sa layan A mat-
risi a a dakilerden hangisidir?
A) 104
72
––= G B)
107
42
–= G C) 7
1024
––
= G
D) 7
1024– –
= G E) 107
42
– –= G
14. xxx
xxx
xxx
33 4 3 112– – = e itli ini sa layan x de-
eri kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3
15. aa
aa
11
64–
2
2
2
2
+ ++
determinant n n e iti a a daki-
lerden hangisidir?
A) a2 B) a4 C) a2 + 10D) 10 E) 12
16. xx1
011
312
13––
= denkleminin kökler toplam kaç-
t r?
A) 23– B) –2 C)
25– D) –3 E)
27–
ES
EN
YAY
INLA
RI
417
TEST – 7
1. Mertebeleri m.n ve u.v olan iki matrisin çarp -labilmesi için a a dakilerden hangisi sa lanma-l d r?
A) m = n B) m = v C) n = vD) m = u E) n = u
2. a b
aa b
a b32
24
––
– –+
++
== = =G G G e itli ini sa layan a ve b nin de erleri a a -
dakilerden hangisidir?
A) a = 2 , b = 3 B) a = 2 , b = 2
C) a = 3 , b = 2 D) a = 3 , b = 3
E) a = 1 , b = 2
3. A = [a b ] ve B = b
ab
a1
1–
–= G ise A.B nedir?
A) A B) B C) B.A
D) 10
01
= G E) ab; E
4. A30
12
= = G ise A3 matrisi a a dakilerden han-
gisidir?
A) 60
24
= G B) 90
54
= G C) 180
108
= GD)
270
198
= G E) 2719
08
= G
5. Elemanlar (Z/3, + , .) olan
A ve B22
10
10
12
= => >H H
matrisleri için de çarpma kural geçerli ise
A.B a a dakilerden hangisidir?
A) 10
01
> H B) 22
10
> H C) 22
12
> HD) 2
122
> H E) 21
12
> H
6. a, b, c, d birer tam say olmak üzere,
Aac
bd
= = G matrisinin tersi, A–1 = xz
yt
; E gibi bir
matristir. x, y, z, t nin birer tam say olmas için a a daki ba nt lardan hangisi sa lanmal d r?
A) ad + bc = 1 B) ad – bc = 1
C) ab + cd = 1 D) ab – cd = 1
E) ac – bd = 1
7. .13
24
21
13
çarp m a a daki say lardan han-
gisine e ittir?
A) –10 B) –15 C) –20 D) –25 E) –30
8. A a dakilerden hangisi A(–1, 3) ve B(2, 4) noktalar ndan geçen do runun denklemi de il-dir?
A) y = 31 (x + 10) B) y x
23
61–
= +
C) x y1
33
10
– += D)
x y12
34
111
0– =
E) 3y – x = 10
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
418
1.E 2.A 3.A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.C 10.E 11.C 12.B 13.E 14.A 15.A 16.D
9. f(x) = cos
log sin
sin
cos
x
x
x
x21
1
–
–
2
ise
f8rb l in de eri nedir?
A) 22 B)
22 1– C)
22 2+
D) 2
3 1– E) 2
3 1+
10. .a
b
1
3
2
6 41
61 1
0
0
1
–=
R
T
SSSSS
> >V
X
WWWWW
H H oldu una göre,
a.b çarp m kaçt r?
) ) ) ) )A B C D E41
61
81
121
241– – – – –
11. A14
23–
= = G ve g(x) = x2 + 2x – 11 ise
g(A) matrisi a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 14
23–
= G B) 28
46–
= G C) 0
D) 98
417––= G E)
011
110–
–= G
12.
aa
aa
a
a0000
0
000
00
00
000
0
0000
n
2
4
6
8
10
= ise n kaçt r?
A) 32 B) 30 C) 28 D) 26 E) 24
13. A29
12
= = G ve = 10
01
= G oldu una göre,
det(A – ) = 0 e itli ini sa layan de erlerinin toplam kaçt r?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
14. cossin
sincos
A–i
i
i
i= = G ise AT.A matrisi a a daki-
lerden hangisine e ittir?
A) 10
01
= G B) cossin
sincos– 2
i
i
i
i= G
C) sincos
cossin
–i
i
i
i= G D)
cossin
sincos2
2–2
2
i
i
i
i> H
E) cos
cos2
00
2i
i= G
15. a, b, c, d ard k dört çift say ise
ac
bd
determinant n n de eri a a dakilerden
hangisidir?
A) – 8 B) – 6 C) – 4 D) –2 E) 0
16.
cossin
sincos
cossin
sincos
A ve
B
2020
2020
4040
4040
°°
– °°
°°
– °°
=
=
=
=
G
G
A.B matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 41 1
3
3
1
–> H B) 21 3
1
1
3
–> H
C) 1
3
3
1
–> H D) 21 1
3
3
1
–> H E)
10
01
= G
419
1. 1981 – ÖYS
Yandaki ekilde A
B C
D E
p
c
nb
a
m
[DE] // [BC] dir.
ABC üçgeninin
kenarlar a, b, c
ve ADE üçgeni-
nin kenarlar
m, n, p oldu una göre,
ma
nb
pc
1 2 3 determinant n n de eri nedir?
A) 6 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
2. 1981 – ÖYS
Mac
bd
= = G matrisinde her sat r n terimleri top-
lam 3 oldu una göre, M2 matrisinin 1. sat r terimleri toplam nedir?
A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18
3. 1982 – ÖYS
A13
11
–= = G ise A15 matrisi a a dakilerden
hangisidir?
A) (–2)15 10
01
= G B) (–2)15 10
11
–= G C) 415 1
311
–= G D) 415 10
01
= G E) 215 1
110
–= G
4. 1982 – ÖYS
Tac
bd
= = G matrisi A(1, 2) noktas n (–2, 3)
noktas na dönü türüyorsa B(2, 4) noktas n hangi noktaya dönü türür?
A) (– 4, 6) B) ,123–c m C) (2, –3)
D) (4, –6) E) (–2, 3)
5. 1984 – ÖYS
Aac
bd
= = G biçiminde bir matrisin tersi
A–1 = detA
dc
ba
1–
–= G d r.
A = 10
11
= G , B = 11
12
= G oldu una göre,
AX = B e itli ini sa layan X matrisinin tüm ele-manlar n n toplam kaçt r?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
6. 1985 – ÖYS
a
b121
31R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
matrisinin tersi kendisine e it oldu una
göre, a a a dakilerden hangisidir?
A) 0 B) 21 C)
31 D)
617 E)
635
7. 1986 – ÖYS
30
23–
1986= G matrisinin e iti a a dakilerden hangisidir?
A) 0 B) 30
23
1986 1986
1986> H
C) 30
23–
993 993
993> H D) 31986 3
003
= G
E) 9993 10
01
= G
ES
EN
YAY
INLA
RI
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
420
8. 1987 – ÖYS
A = 12
35
= G ve A–1 = ac
bd
= G oldu una göre,
c kaçt r?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
9. 1987 – ÖYS
x
x
x
x2
135
4 16= denkleminin kökü kaçt r?
A) 0 B) –1 C) –2 D) –3 E) –4
10. 1988 – ÖYS
9987699874
9987799875
determinant n n de eri kaçt r?
A) (99870)2 B) 99872 C) 99882
D) 4 E) 2
11. 1988 – ÖYS Amxm matrisi ve B = AT + A verildi ine göre,
BT a a dakilerden hangisine e ittir?
(AT, A matrisinin transpozesidir (devri idir).)
A) B–1 B) B C) A–1 D) AT E) A
12. 1989 – ÖYS
ac
bx
= G matrisinin elemanlar k (k 0) kadar
art r ld nda, determinant de i medi ine göre, x in de eri a a dakilerden hangisidir?
A) a + b – c B) b + c – a C) c + a – bD) a + b + c E) –a – b – c
13. 1990 – ÖYS K, 2x2 türünde bir matris olmak üzere,
K.32
01
== =G G ve .K10
21
–== =G G ise
K.21–
= G a a dakilerden hangisidir?
) ) )A B C97
74
32
– ––
–= = =G G G ) )D E
07
20
= =G G
14. 1991 – ÖYS
[ 1 2 a 5].
a234
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
= [ 0 ] oldu una göre, a kaçt r?
A) –6 B) –4 C) 3 D) 4 E) 5
15. 1992 – ÖYS
.a
bc
121
112
12
21
45
–
–··
·
·
··=
R
T
SSSS
= >V
X
WWWW
G H ise a + b + c toplam kaçt r?
A) 11 B) 10 C) 2 D) –1 E) –2
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
421
16. 1992 – ÖYS
13761375
13751376
determinant n n de eri kaçt r?
A) 7253 B) 3502 C) 2751D) 2750 E) 1
17. 1993 – ÖYS
13
24
213
24
10
01–
––
2+= = =G G G
toplam a a dakilerden hangisine e ittir?
A) 69
63–
–= G B) 69
63
––
= G C) 69
63
––= G
D) 69
63
––
= G E) 69
63
= G
18. 1994 – ÖYS i2 = –1 oldu una göre,
i
i
ii
i
100
111–
+ determinant n n de eri a a daki-
lerden hangisine e ittir?
A) 2i – 1 B) 2i + 1 C) i D) 0 E) 1
19. 1994 – ÖYS
, 2x2 türünde bir matris ve A12
24
= = G oldu-
una göre, A2 – 4A + 4 i leminin sonucu a a-daki matrislerden hangisidir?
A) 38
68
= G B) 36
69
= G C) 53
38
= G
D) 52
28
= G E) 63
22
= G
20. 1995 – ÖYS
A = 11
10
–= G ve B = xz
yt
; E olmak üzere,
A.B = A – B oldu una göre, B matrisi a a da-kilerden hangisidir?
A) 36
23
–= G B) 51
07
–= G C) 21
11–
–= G
D) 17
08
= G E) 41
32–
= G
21. 1996 – ÖYS
A = xy
22–
> H matrisi için, A–1.A = A2 oldu una
göre, x.y çarp m kaçt r?
A) –5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1
22. 1996 – ÖYS
a
131
303
57
9–
R
T
SSSS
V
X
WWWW matrisinin, ters matrisinin olma-
mas için, a kaç olmal d r?
A) 15 B) 14 C) 11 D) 6 E) 5
23. 1997 – ÖYS
.a
a x32 1
1 12
–+
== = =G G G oldu una göre, a kaçt r?
A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
422
24. 1997 – ÖYS
0321
3024
2200
1400
–
–––
–
determinant n n de eri kaçt r?
A) 10 B) 28 C) 47 D) 93 E) 100
25. 1998 – ÖYS
A ve B15
42
20
32
41– –
= == =G G oldu una göre (A.B)t a a dakilerden hangisi-
dir? (At: A matrisinin devri i (transpozesi))
A) 208
11918
––
R
T
SSSS
V
X
WWWW B)
258
101918
––––
R
T
SSSS
V
X
WWWW
C) 357
101918
––––
R
T
SSSS
V
X
WWWW D)
210
517
03–
––
= G
E) 3
108
195
18–= G
26. 1998 – ÖYS
19982006
19901998
determinant n n de eri kaçt r?
A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 128
27. 2006 – ÖSS
log
log
log
log
8
4
5
31
2
5
4
27
determinant n n de eri kaçt r?
A) 10 B) 9 C) 8 D) 6 E) 5
28. 2007 – ÖSS
A ve B11
01
11
01–
= == =G G matrisleri için A.X = B denklemini sa layan X
matrisi a a dakilerden hangisidir?
A) 10
21
–= G B) 01
10
= G C) 12
01
= GD)
11
02
––
= G E) 02
11
–= G
29. 2009 – ÖSS
xyz
111
112
113
532
––
=
R
T
SSSS
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
V
X
WWWW
H Yukar da matris gösterimi verilen do rusal denk-
lem sisteminin çözümünde x kaçt r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
30. 2010 – LYS
212
323
200
–
determinant n n de eri kaçt r?
A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –6
31. 2010 – LYS
A = 21
43
= G matrisinin devri i At ve ters matrisi A–1 oldu una
göre, At.A–1 çarp m a a dakilerden hangisidir?
A) 25
29
3
5
–
–
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
B) 23
1
2
3
–R
T
SSSS
V
X
WWWW C)
2
3
29
25
– –R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
D) 29
25
3
1– –
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
E) 3
25
1
2
– –
–
R
T
SSSS
V
X
WWWW
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
423
32. 2010 – LYS 2x + 2y – z = 1 x + y + z = 2 y – z = 1 Yu ka r da ki denk lem sis te mi nin çö zü mün de x
kaç t r?
A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 3
33. 2011 – LYS
A = 10
11
= G
B = 11
01
= G matrisleri veriliyor.
Buna göre, det(A2 – B2) kaçt r?
A) –4 B) 0 C) 1 D) 2 E) 4
34. 2011 – LYS
.xy
11
23
19–
== = =G G G oldu una göre,
x + y toplam kaçt r?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
35. 2012 – LYS
a, b ve c birer pozitif gerçel say olmak üzere,
.a b
c
a b
c0 0 0
1 2
4== = =G G G
matris e itli i veriliyor.
Buna göre, a + b + c toplam kaçt r?
A) 311 B)
47 C) 4 D) 5 E) 6
36. 2012 – LYS
Bir A matrisinin çarpma i lemine göre tersi A–1
olmak üzere,
. . a2 11
3
0
1
1
4
1–
=6 = = 6@ G G @ matris e itli inde a kaçt r?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
37. 2012 – LYS
A = 2
1
3
2= G
B = 1
0
2
5= G
olmak üzere, matris gösterimi
(2A – B).x
y
1
0== =G G
olan do rusal denklem sistemi a a dakilerden
hangisidir?
A) x – 4y = 0 B) x + 2y = 0
2x – y = 1 2x – 3y = 1
C) 2x + y = 1 D) 3x – 2y = 1
x – y = 0 2x + y = 0
E) 3x + 4y = 1
2x – y = 0
424
1. ADE ABC+& &
cp
bn
am= = dir.
ma
nb
pc
1 2 3 determinant nda 2. ve 3. sat rlar oran-
t l oldu undan determinant n de eri 0 d r. Gerçekten;
cp
bn= p.b = n.c p.b – n.c = 0
cp
am= p.a = m.c p.a – m.c = 0
bn
am= n.a = m.b n.a – m.b = 0
. . .ma
nb
pc
nb
pc
ma
pc
ma
nb
1 2 31 2 3–= +
= (n.c – p.b) – 2(m.c – p.a) + 3(m.b – n.a) 0 0 0
= 0 bulunur.Do ru Seçenek E
2. Mac
bd
= = G matrisinde her sat r n terimleri topla-
m 3 ise a + b = 3 ve c + d = 3 tür.
M2 = M.M = .ac
bd
ac
bd
= =G G = a bcca dc
ab bdcb d
2
2
++
++
> H matrisinin 1. sat r terimleri toplam ,
a2 + bc + ab + bd = a2 + ab + bc + bd
= a(a + b) + b(c + d) 3 3 = 3(a + b) = 3.3 = 9 bulunur.
Do ru Seçenek B
3. A13
11
–= = G ise
.A13
11
13
11
26
22
– – – ––
2 = == = =G G G A3 = A.A2 = .
13
11
26
22
– – ––
= =G G = .
80
08
2–
–– 3= ^ h= G olur.
A15 = (A3)5 = [ (–2)3. ]5 = (–2)15. = (–2)15 10
01
= GDo ru Seçenek A
4. Tac
bd
= = G matrisi A(1, 2) noktas n (–2, 3)
noktas na dönü türüyorsa
.ac
bd
12
23
–== = =G G G
a bc d
22
23
–++
== =G G olur.
T matrisi B(2, 4) noktas n ,
.ac
b a bc d4
24
2 42 4
=++
= = =G G G = 2.
a bc d
22
++
= G = 2.23
–= G = 46
–= G ye
dönü türür.
O halde, T matrisi B(2, 4) noktas n (–4, 6) nok-tas na dönü türür.
Do ru Seçenek A
5. A.X = B A–1.A.X = A–1.B
X = A–1.B olur.
A = 10
11
= G ise
A–1 = . .1 1 1 0
1 10
11
10
11–
·– –
== =G G dir.
X = A–1.B = .10
11
11
12
01
12
– –== = =G G G
olup X matrisinin tüm elemanlar n n toplam
0 + (–1) + 1 + 2 = 2 bulunur.Do ru Seçenek C
6. Bir A matrisinin tersi kendisine e it ise A.A–1 = A.A = A2 = d r. O halde,
.a
b
a
b121
31
121
31 1
0
0
1=
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
>V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
H
a
361 1
0
0
1•
•
•
2 +=> >H H
a2 + 361 = 1 a2 =
3635 a = ±
635 olur.
Do ru Seçenek E
ES
EN
YAY
INLA
RI
ÇÖZÜMLER
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
425
7.
.
.
30
23
30
23
30
23
30
23
90
09
910
01
910
01
– –
– –
1986 2 993
993
993
993993
=
=
=
= =
f
d
d
p
n
n
= =
= =
=
= =
G G
G G
G
G GDo ru Seçenek E
8. A12
35
= = G A–1 = . .1 5 2 3
1 52
31– –
–= G =
52
31
––
= G olur.
A–1 = ac
bd
= G ac
bd
52
31
––
== =G G c = 2
Do ru Seçenek D
9.
x2x
135
x4x
–
+
x2x
135
+ +
– –
= 16
3x2 + 4x + 10x – (3x2 + 20x + 2x) = 16
3x2 + 14x – 3x2 – 22x = 16
–8x = 16 x = –2 bulunur.Do ru Seçenek C
10. 9987699874
9987799875
determinant nda
99874 = a al n rsa,
a
aaa
2 31
+ ++
= (a + 2).(a + 1) – a.(a + 3)
= a2 + 3a + 2 – a2 – 3a
= 2 bulunur.Do ru Seçenek E
11. B = AT + A BT = (AT + A)T
BT = (AT)T + AT
BT = A + AT BT = B bulunur.
Do ru Seçenek B
12. ac
bx
= G matrisinin elemanlar k kadar art r ld -
nda, determinant de i medi ine göre,
ac
bx
a kc k
b kx k
=++
++
a.x – b.c = (a + k).(x + k) – (b + k).(c + k)
ax – bc = ax + ak + xk + k2 – bc – bk – ck – k2
kx = bk + ck – ak
kx = k(b + c – a) x = b + c – a bulunur.
Do ru Seçenek B
13. Kac
bd
= = G olsun.
K32
01
= == =G G .ac
bd
32
01
== = =G G G
a bc d
3 23 2
01
++
== =G G
3a + 2b = 0 ..... I
3c + 2d = 1 ..... II
.K10
21
–== =G G .
ac
bd
10
21
–== = =G G G
ac
21
––
=; =E G a = –2 ve c = –1 dir.
Bu de erleri I ve II de yerine yazarsak,
b = 3 ve d = 2 bulunur. O halde,
K. .ac
bd
21
21– –
== = =G G G
= .21
32
21
–– –= =G G =
74
––= G bulunur.
Do ru Seçenek B
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
426
14. [ 1 2 a 5 ].
a234
0=
R
T
SSSSS
6V
X
WWWWW
@ 1.a + 2.2 + a.3 + 5.4 = 0
4a + 24 = 0
a = –6 bulunur.Do ru Seçenek A
15. .a
bc
121
112
12
21
45
–
–••
•
•
••=
R
T
SSSS
= >V
X
WWWW
G H ise
a
bc
1 24 1
4 10
–••
•
•
••
–••
•
•
••+
+=
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
H a = 1 – 2 = –1
b = 4 + 1 = 5
c = –4 + 10 = 6 olup,
a + b + c = –1 + 5 + 6 = 10 bulunur.
Do ru Seçenek B
16. 13761375
13751376
= (1376)2 – (1375)2
= (1376 – 1375).(1376 + 1375)
= 1.2751 = 2751 bulunur.Do ru Seçenek C
17. A2 – 2A + = (A – )2 özde li ine göre,
13
24
213
24
10
01–
––
2+= = =G G G
13
24
10
01–
–2
= d n= =G G
1 13 0
2 04 1
–– –
––
2= = G
. .olur03
23
03
23
03
23
69
63– – –
––
2= = == = = =G G G G
Do ru Seçenek C
18. 100
i1i
i+1i–1i
– +
100
i1–i
+ +– –
i + 0 + 0 – (0 + i(i – 1) + 0) = i – (i2 – i)
= i – i2 + i = 2i + 1 dir.
Do ru Seçenek B
19. A2 – 4A + 4 = (A – 2. )2
= .12
24
210
01
–2d n= =G G
= 12
24
20
02
–2d n= =G G =
12
22
– 2= G = .
12
22
12
22
– –= =G G = 1 42 4
2 44 4–
–++
++
= G =
52
28
= G bulunur.
Do ru Seçenek D
20. A.B = A – B
.xz
yt
xz
yt
x zx
y ty
xz
yt
11
10
11
10
11
1
– ––
– – – ––
––
=
+ +=
= ; = ;
> =
G E G E
H G
–x + z = –1 – x z = –1
–y + t = 1 – y t = 1
x = 1 – z x = 1 + 1 = 2
y = –t y = –1 oldu una göre
Bxz
yt
21
11–
–= =; =E G bulunur.
Do ru Seçenek C
21. A–1.A = A2 A2 = olur.
A2 = .xy
xy
22
22
10
01– –
=> > =H H G
x yxy y
xy
22
2 42 4
10
01–
–2 ++
=> =H G 2x – 4 = 0 x = 2
2y + 4 = 1 y = 23–
O halde, x.y = .223 3– –=c m bulunur.
Do ru Seçenek C
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
427
22. Bir matrisin ters matrisinin olmamas için determi-
nant s f r olmal d r.
131
303
57
a–9
– +
131
303
+ +– –
0 + 21 + 45 – [0 + 21 + 9(a – 9)] = 0
66 – 21 – 9a + 81 = 0 a = 14 bulunur.
Do ru Seçenek B
23.
.a
a x
axax x
32 1
1 12
32
12
–
–
+=
++ +
=
= = =
= =
G G G
G G 3 + ax = –1 ax = –4
2 + ax + x = 2 2 – 4 + x = 2 x = 4
ax = –4 a.4 = –4 a = –1 bulunur.
Do ru Seçenek C
24. Elementer sat r i lemi (3. sat r n –2 kat n 4. sat -ra ekleme) yap l rsa,
0321
3024
2200
1400
0325
3020
2200
1400
–
–––
––
––
–
=
= (–5).(–1)4+1.302
220
140–
–
= 5.302
220
140–
–
= 5.(–2).(–1)3+1.22
14
–
= –10.(–2.4 – 2.1)
= 100 bulunur.
Do ru Seçenek E
25. (A.B)t = Bt.At = .234
021
14
52
––
R
T
SSSS
=V
X
WWWW
G
= . .. .. .
. .
. .
. .
2 1 0 43 1 2 44 1 1 4
2 5 0 23 5 2 24 5 1 2
––– ––
+
+
+
+
^^^
hhh
R
T
SSSS
V
X
WWWW
= 258
101918
––––
R
T
SSSS
V
X
WWWW bulunur.
Do ru Seçenek B
26. 1990 = a al rsak
aa
aa
19982006
19901998
816 8
=++ +
= (a + 8)(a + 8) – a(a + 16)
= a2 + 16a + 64 – a2 – 16a
= 64 bulunur.
Do ru Seçenek D
27.
log
log
log
log
8
4
5
31
2
5
4
27
= log28.log 3
1
27 – log45.log54
= log223.log327 – log44
= 3.log22.log333. – 1
= 3.1.3.log33 – 1
= 3.1.3.1 – 1
= 8 bulunur.
Do ru Seçenek C
28. A.X = B X = A–1.B dir.
A = 11
01–
= G A–1 = 11
01
= G olaca ndan
X = A–1.B = 11
01
11
01
= =G G = 12
01
= G bulunur.
Do ru Seçenek C
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
428
29. xyz
111
112
113
532
––
=
R
T
SSSS
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
V
X
WWWW
H
x y zx y z
x y z2 3
532
––+
++ +
=
R
T
SSSS
R
T
SSSS
V
X
WWWW
V
X
WWWW
x y zx y z
53
––+ =
+ =4 2x = 8 x = 4 tür.
x + 2y + 3z = 2Do ru Seçenek A
30. Sarrus kural na göre,
0
6
0+6
8
0
0+8
= 6 – 8 = –2 bulunur.
–3
2
3
–3
2
2
0
0
2
0
2
1
2
2
1
Do ru Seçenek B
31. A = 21
43
= G At = 2
341= G
A–1 = . ( ). .
.A
Ek A12 3 4 1
1 3
1
4
2
23
21
2
1– –
–
–
–= =
R
T
SSSSS
=V
X
WWWWW
G
At.A–1 = .2
4
1
3
23
21
2
1–
–R
T
SSSSS
=V
X
WWWWW
G
= 3
21
62
4 1
8 3
25
29
3
53
–
–
–
–
–
–
+
+=
R
T
SSSSS
R
T
SSSSS
V
X
WWWWW
V
X
WWWWW
bulunur.
Do ru Seçenek A
32. .xyz
210
211
111
121
–
–=
R
T
SSSS
R
T
SSSS
>V
X
WWWW
V
X
WWWW
HA
210
211
111
–
–=
R
T
SSSS
V
X
WWWW |A| = –3
A121
211
111
–
–x =
R
T
SSSS
V
X
WWWW |Ax| = 3
O halde, x = A
A
33
–x
= = –1 bulunur.
Do ru Seçenek C
33. A2 = .10
11
10
11
10
21
== = =G G G
B2 = .1
11
11
110
10
20
== = =G G G
A2 – B2 = 0
2
2
0–= G olup
det(A2 – B2) = 0.0 – (–2).2
= 4 bulunur.Do ru Seçenek E
34. xy
11
23
19–
== = =G G G
x yx y
23
19–
++
=> =H G x + 2y = 1 –x + 3y = 9 + ––––––––––––– 5y = 10 y = 2 x + 2.2 = 1 x = –3 olup x + y = –1 bulunur.
Do ru Seçenek B
Matris, Determinant ve Do rusal Denklem Sistemleri
ES
EN
YAY
INLA
RI
429
35. .a b
c
a b
c0 0 0
1 2
4== = =G G G
a ab bc
c0
1
0
2
4
2
2
+=> =H G
a2 = 1 a = 1 , (a, b, c R+)
c2 = 4 c = 2
ab + bc = 2 1.b + b.2 = 2 b = 32
a + b + c = 1 + 32 + 2 =
311 bulunur.
Do ru Seçenek A
36. . .
.1
3
0
1 1 1 0 31 1
3
0
1
1
3
0
1– – –
1–
= == = =G G G
. . . ( ) . .2 11
3
0
12 1 1 3 2 0 1 1
––= + +6 = 6@ G @
= 11–6 @ . a1 1
1
4– =6 = 6@ G @ –1.1 + 1.4 = a
3 = a bulunur.
Do ru Seçenek C
37. 2A – B = 0
4
2
6
4
1 2
5
3
2
4
1–
–== = =G G G
(2A – B).x
y
1
0== =G G
.x
y
3 4
1
1
02 –== = =G G G
x y
x y
3 4
2
1
0–
+=> =H G 3x + 4y = 1
2x – y = 0
Do ru Seçenek E
top related