digital 20180936 029 07 model runtun
Post on 24-Feb-2018
223 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
1/142
MODEL RUNTUN WAKTU
AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY
(ARCH) DAN GENERALIZED AUTOREGRESSIVE
CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY(GARCH)
PENI SHANTI SURYANI
0301010454
UNIVERSITAS INDONESIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
DEPARTEMEN MATEMATIKA
DEPOK
2007
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
2/142
MODEL RUNTUN WAKTU
AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY
(ARCH) DAN GENERALIZED AUTOREGRESSIVE
CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY(GARCH)
Skripsi diajukan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Oleh :
PENI SHANTI SURYANI
0301010454
DEPOK
2007
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
3/142
SKRIPSI : MODEL RUNTUN WAKTUAUTOREGRESSIVE
CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY (ARCH) DAN
GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL
HETEROSCEDASTICITY(GARCH)
NAMA : PENI SHANTI SURYANI
NPM : 0301010454
SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI
DEPOK, 11 JULI 2007
Dra. Netty Sunandi, M.Si Yogo Purwono, SE, MM, Gdip,ActSc
Pembimbing I Pembimbing II
Tanggal lulus Ujian Lulus Sidang Sarjana : 11 Juli 2007
Penguji I : Dra. Netty Sunandi, M.Si
Penguji II : Rahmi Rusin, S.Si, M.Sc
Penguji III : Fevi Novkaniza, S.Si, M.Si
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
4/142
i
KATA PENGANTAR
Alhamdulillaahirabbilaalamiin, puji syukur kepada Allah swt atas
segala rahmat-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.
Penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada :
1. Ibu Netty dan Pak Yogo (selaku pembimbing I dan II), Ibu Titin dan Ibu
Saskya (selaku pengurus departemen Matematika) serta Ibu Siti
Aminah (selaku pembimbing akademis), untuk bimbingan, bantuan
dan doanya kepada penulis selama berada di Matematika.
2. Keluarga, terutama kedua kakak, Nunning dan Dewita (terima kasih
laptopnya yang amat sangat berguna), dan Om Marwanto Omen,
untuk doa, semangat dan kasih sayang terbesar kepada penulis.
3. Teman-teman di Matematika, terutama Luwice, Ihsan (pembimbing
ketiga, maaf sering merepotkan), Ary dan Widya (teman senasib
selama mengerjakan skripsi), Hidia dan Yanti (seksi konsumsi), Siska
dan Feni (seksi penginapan), Bas dan Onggo (seksi penyemangat),
Dany (untuk file TA Dany-nya), Wiwik dan ibunya (terima kasih
interlokalnya), Winny (semangat terus ya), cewek-cewek barengan
lulus : Dyut, Aurora, Icha, Kumala, Diah, Indah, Wina dan Vidya.
4. Teman-teman di luar Matematika (Oppie, Wahidin dan teman-teman
ex-2c), keluarga kucing (keluarga besar Uci, Alul, Mimi, Tutul, Impi,
Kitty, Bubul, Item, Cina, Milki, Manda, Monika, Jackson, dkk), dan
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
5/142
ii
Yuni (untuk nasi goreng dan mengurus keluarga kucing), serta kepada
semua pihak yang telah membantu dan mendoakan, maaf tidak dapat
disebutkan satu persatu.
Penulis
2007
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
6/142
iii
ABSTRAK
Tugas akhir ini bertujuan untuk memperkenalkan model runtun waktu
Autoregressive Conditional Heteroscedasticity(ARCH) dan Generalized
Autoregressive Conditional Heteroscedasticity(GARCH), kemudian
menggabungkannya dengan modelruntun waktu stasioner yaitu model
Autoregressive Moving Average(ARMA), menjadi model ARMA-ARCH atau
ARMA-GARCH. Model ini akan dapat menangkap adanya fenomena
pengelompokan volatilitas yang seringkali terjadi pada data runtun waktu
finansial. Selain itu akan dijelaskan karakteristiknya, diantaranya adalah sifat
kestasioneran dan fungsi autokorelasi, kemudian diperlihatkan berbagai
simulasinya.
Kata kunci : fungsi autokorelasi; heteroskedastik; homoskedastik;
proses ARMA; proses white noise; stasioner.
vii + 132 hlm. ; lamp.
Bibliografi : 12 (1982-2007)
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
7/142
iv
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR .................................................................................... i
ABSTRAK .................................................................................. iii
DAFTAR ISI .............................................................................. iv
DAFTAR LAMPIRAN ............. vii
BAB I PENDAHULUAN ..................................................... 1
1.1 LATAR BELAKANG MASALAH ........................... 1
1.2 MASALAH ....................................... 3
1.3 PEMBATASAN MASALAH ...................... 3
1.4 TUJUAN PENULISAN ................................ 3
1.5 SISTEMATIKA PENULISAN ..................................... .. 4
BAB II PROSES RUNTUN WAKTUAUTOREGRESSIVE MOVING
AVERAGE(ARMA) ........ 5
2.1 KONSEP DASAR RUNTUN WAKTU ............................. 5
2.1.1 Runtun Waktu dan Proses Stokastik ........................... 5
2.1.2 Fungsi Mean, Fungsi Autokovariansi dan
Fungsi Autokorelasi ................................................... 6
2.1.3 Kestasioneran ............................................................... 7
2.1.3.1 Stasioner Kuat ............................................... 7
2.1.3.2 Stasioner Lemah ........................................... 7
2.1.4 Proses White Noise ..................................................... 8
2.1.5 Fungsi Autokorelasi Parsial ........................................ 9
2.1.6 Operator Backward Shift ............................................ 12
2.2 PROSES MOVING AVERAGE.............................................. 12
2.2.1 Proses Moving AverageOrde Pertama ..................... 13
2.2.2 Proses Moving AverageOrde Kedua ........................ 15
2.2.3 Proses Moving AverageOrde ke-q ............................ 16
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
8/142
v
2.3 PROSESAUTOREGRESSIVE ......................................... 17
2.3.1 ProsesAutoregressive Orde Pertama ....................... 18
2.3.2 ProsesAutoregressive Orde Kedua........................... 22
2.3.3 ProsesAutoregressive Orde ke-p.............................. 25
2.4 INVERTIBILITAS .................................................................. 27
2.4.1 Proses Moving Average............................................ 27
2.4.2 ProsesAutoregressive............................................... 29
2.5 PROSESAUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE........... 30
2.5.1 Proses ARMA(1,1)...................................................... 32
2.5.2 Proses ARMA(p,q)...................................................... 34
2.6 SIMULASI PROSES ARMA .................................................. 35
2.7 RUNTUN WAKTU NONSTASIONER.................................... 37
2.7.1 Transformasi Diferensi................................................ 38
2.7.2 Transformasi Logaritma............................................... 41
BAB III PROSESAUTOREGRESSIVE CONDITIONAL
HETEROSCEDASTICITY(ARCH) .............................................. 47
3.1 MEAN DAN VARIANSI BERSYARAT PADA PROSES
ARMA........................................................................... 47
3.2 PENGELOMPOKAN VOLATILITAS PADA RUNTUN
WAKTU FINANSIAL ............................. ................................ 48
3.3 PEMODELAN FAKTOR PENGGANGGU UNTUK RUNTUN
WAKTU DENGAN PENGELOMPOKAN VOLATILITAS......... 50
3.3.1 Model dengan Variabel Eksogen ................................ 51
3.3.2 Model Bilinier ............................................................... 52
3.3.3 ModelAutoregressive Conditional Heteroscedasticity
(ARCH) ........................................................................ 53
3.4 PROSESAUTOREGRESSIVE CONDITIONAL
HETEROSCEDASTICITY(ARCH).......................................... 55
3.4.1 Proses ARCH Orde Pertama ..................................... 55
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
9/142
vi
3.4.2 Proses ARCH Orde ke-n............................................. 58
3.5 FUNGSI AUTOKORELASI {t2} PADA PROSES ARCH(n).....59
3.6 MODEL ARMA-ARCH STASIONER..................................... 62
3.7 SIMULASI PROSES ARCH .................................................. 65
3.7.1 Simulasi Proses AR(1)................................................. 65
3.7.2 Simulasi Proses AR(1)-ARCH(1)................................ 67
3.7.3 Simulasi Proses AR(1)-ARCH(4)................................ 68
3.7.4 Simulasi Proses AR-ARCH yang Tidak Stasioner....... 71
BAB IV PROSES GENERALIZED AUTOREGRESSIVE
CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY(GARCH) ................ 73
4.1 PROSES GARCH(1,1)......................................................... 73
4.2 PROSES GARCH ORDE KE-mDAN n................................ 77
4.3 FUNGSI AUTOKORELASI {t2}
PADA PROSES GARCH(m,n) ............................................. 78
4.4 REPRESENTASI GARCH(1,1) SEBAGAI ARCH() ............ 82
4.5 MODEL ARMA-GARCH STASIONER ................................. 83
4.6 SIMULASI PROSES GARCH .............................................. 84
4.6.1 Simulasi Proses AR(1)-GARCH(1,1).......................... 85
4.6.2 Simulasi Proses AR(1)-GARCH(2,2)........................... 86
4.6.3 Simulasi Proses AR-GARCH yang Tidak Stasioner.... 89
4.7 KELEMAHAN PROSES ARCH DAN GARCH ........................ 90
BAB V PENUTUP ........................................................ 91
5.1 KESIMPULAN ............................................................... 91
5.2 SARAN .................................................................................. 93
DAFTAR PUSTAKA ............................................................. 95
LAMPIRAN ........................................................................... 96
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
10/142
vii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Halaman
1. Program Simulasi .... 96
2. Pembuktian Teorema . 99
3. Skewness dan Kurtosis 129
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
11/142
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG MASALAH
Runtun waktu adalah himpunan barisan observasi yang terurut dalam
waktu. Satuan waktu ini dapat berupa tahunan, bulanan, harian, maupun
detik, tergantung pada permasalahannya. Dari suatu data runtun waktu,
dapat dilakukan analisis runtun waktu, yaitu memodelkan data runtun waktu,
kemudian menggunakan model tersebut untuk meramalkan nilai masa depan
dari runtun waktu tersebut.
Model runtun waktu yang biasa digunakan dalam memodelkan suatu
data runtun waktu adalah modelAutoregressive Moving Average(ARMA).
Model ini menggunakan asumsi faktor pengganggu (error) mempunyai
variansi konstan (bersifat homoskedastik). Suatu proses runtun waktu agar
dapat dimodelkan dengan model ARMA, harus memenuhi sifat stasioner,
yaitu fungsi mean dan variansinya konstan terhadap waktu, dan fungsi
autokovariansi antara dua observasi pada dua titik waktu yang berbeda
hanya bergantung pada selisih antara dua titik waktu tersebut.
Runtun waktu dalam bidang finansial contohnya adalah harga saham,
tingkat inflasi dan nilai tukar mata uang. Data runtun waktu finansial
seringkali memperlihatkan adanya volatilitas yang berfluktuasi tajam pada
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
12/142
2
periode waktu tertentu, sedangkan pada periode waktu yang lain nilainya
relatif stabil. Nilai runtun waktu yang besar (atau kecil), cenderung diikuti
oleh nilai yang besar (atau kecil) pula pada waktu berikutnya, baik bernilai
positif maupun negatif. Sifat ini akan menyebabkan terjadinya fenomena
yang disebut dengan pengelompokan volatilitas, yaitu keragaman nilai
pada data runtun waktu antar periode membentuk kelompok-kelompok.
Pada periode waktu tertentu keragaman nilai runtun waktu ini bernilai relatif
kecil-kecil, sedangkan pada periode waktu yang lain bernilai relatif besar-
besar. Fenomena seperti ini wajar terjadi karena dalam bidang finansial
banyak faktor yang saling mempengaruhi.
Gambar 1.1 Pengembalian (Return) Indeks Harga Penutupan
Saham pada Bursa Saham Nasdaq 1971-2006
Data runtun waktu finansial dengan adanya pengelompokan volatilitas,
tidak sesuai apabila dimodelkan dengan menggunakan model ARMA biasa,
karena model ARMA biasa tidak dapat menangkap adanya sifat tersebut.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
13/142
3
1.2 MASALAH
Membentuk suatu model runtun waktu, dengan memperluas model
ARMA, sehingga model ini akan dapat mencerminkan fenomena
pengelompokan volatilitas yang seringkali terjadi pada runtun waktu finansial.
1.3 PEMBATASAN MASALAH
Pembahasan dalam penulisan tugas akhir ini dibatasi pada proses
runtun waktu yang hanya melibatkan satu variabel (univariat) dan mempunyai
fungsi mean yang konstan. Selain itu pada penulisan ini hanya membahas
karateristik saja, tidak membahas estimasi parameter pada model.
1.4 TUJUAN PENULISAN
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah :
1. Menjelaskan variansi bersyarat proses ARMA.
2. Menjelaskan prosesAutoregressive Conditional Heteroscedasticity
(ARCH).
3. Menjelaskan proses Generalized Autoregressive Conditional
Heteroscedasticity(GARCH).
4. Menjelaskan proses ARMA-ARCH dan ARMA-GARCH.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
14/142
4
5. Memperlihatkan simulasi dari proses-proses yang telah dijelaskan
sebelumnya.
1.5 SISTEMATIKA PENULISAN
Bab I. Pendahuluan
Berisi latar belakang, masalah, pembatasan masalah, tujuan
penulisan, dan sistematika penulisan.
Bab II. Landasan Teori
Berisi pembahasan tentang konsep dasar runtun waktu dan
karakteristik prosesAutoregressive Moving Average(ARMA) beserta
simulasinya.
Bab III. ProsesAutoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH)
Berisi pembahasan tentang proses ARCH dan ARMA-ARCH, beserta
simulasinya.
Bab IV. Proses Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity
(GARCH)
Berisi pembahasan tentang proses GARCH dan ARMA-GARCH,
beserta simulasinya.
Bab V. Penutup
Berisi kesimpulan.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
15/142
5
0.00 100.00 200.00 300.00
waktu
0.00
50000.00
100000.00
150000.00
Keuntungan
BAB II
PROSES RUNTUN WAKTU
AUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE (ARMA)
2.1 KONSEP DASAR RUNTUN WAKTU
2.1.1 Runtun Waktu dan Proses Stokastik
Runtun waktu adalah himpunan observasi yang terurut dalam waktu.
Satuan waktu ini dapat berupa tahunan, bulanan, harian maupun detik,
tergantung pada permasalahannya. Dari suatu data runtun waktu, dapat
dilakukan analisis runtun waktu, yaitu memodelkan data runtun waktu,
kemudian menggunakan model tersebut untuk meramalkan nilai masa depan
dari runtun waktu tersebut. Pada bab ini akan dibahas karakteristik runtun
waktu yang dimodelkan dengan model runtun waktu stasionerAutoregressive
Moving Average (ARMA).
Gambar 2.1 Runtun Waktu Keuntungan Harian
Produsen Minuman X Tahun 2006
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
16/142
6
Notasikan tY sebagai observasi pada waktu t . Untuk memodelkan
ketidakpastian pada observasi, asumsikan bahwa untuk setiap titik waktu t,
tY adalah variabel random. Suatu fenomena statistik yang berkembang
dalam waktu sesuai dengan hukum probabilitas disebut dengan proses
stokastik. Runtun waktu yang akan dianalisis dapat dipandang sebagai
realisasi dari proses stokastik. Selanjutnya kata proses stokastik dapat
ditulis secara singkat dengan proses saja.
2.1.2 Fungsi Mean, Fungsi Autokovariansi dan Fungsi Autokorelasi
Untuk proses stokastik { }: 0, 1, 2,...tY t = , fungsi mean dinotasikan
dengan t , yaitu :
( ), 0, 1, 2,
t t
E Y t = =
Fungsi autokovariansi antara dant sY Y , dinotasikan dengan ,t s , yaitu :
( ) ( )( ) ( ), , , , 0, 1, 2,t s t s t t s s t s t sCov Y Y E Y Y E YY t s = = = = .
Jika t s= maka ,t s menjadi variansi tY , yaitu :
( ) ( ), , , 0, 1, 2,t t t t tCov Y Y Var Y t = = = .
Fungsi autokorelasi antara dant sY Y , dinotasikan dengan ,t s , yaitu :
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ),
, 1 2 1 2
, ,
,, , , 0, 1, 2,...
.
t S t s
t s t s
t t s st S
Cov Y YCorr Y Y t s
Var Y Var Y
= = = =
.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
17/142
7
2.1.3 Kestasioneran
2.1.3.1 Stasioner Kuat
Proses stokastik { }tY bersifat stasioner kuatjika distribusi bersama
dari1 2, ,...,
nt t tY Y Y sama dengan distribusi bersama dari
1 2, ,...,
nt k t k t kY Y Y , yaitu
dapat ditulis :
( ) ( )1 2 1 2Pr , ,..., Pr , ,...,n nt t t t k t k t kY Y Y Y Y Y = ,
untuk setiap titik waktu 1 2, ,..., nt t t dan lag k .
2.1.3.2 Stasioner Lemah
Proses stokastik { }tY bersifat stasioner lemahjika :
1. Fungsi mean konstan terhadap waktu, yaitu :
( ) ( ) ,t t kE Y E Y = = < ,
untuk setiap t dan k.
2. Fungsi autokovariansi antara tY dan t kY hanya bergantung pada
selang waktu k, tidak bergantung pada t, yaitu :
( ) ( ), , ,t t k t j t k j k kCov Y Y Cov Y Y = = < ,
untuk setiap t, kdanj.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
18/142
8
Jika 0k = maka k menjadi variansi tY , yaitu :
( ) ( ) 0,t t tVar Y Cov Y Y = = < .
Sehingga jika { }tY stasioner lemah maka fungsi autokorelasi antara tY dan
t kY menjadi :
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )1 2 1 2
00 0
,,
.
t t k k kk t t k
t t k
Cov Y YCorr Y Y
Var Y Var Y
= = = =
Untuk pembahasan selanjutnya, kata stasioner saja berarti stasioner lemah.
2.1.4 Proses White Noise
Proses white noisedidefinisikan sebagai barisan variabel random{ }ta
yang independen dan berdistribusi identik. Distribusi yang biasa digunakan
adalah distribusi normal. Proses white noisebersifat stasioner kuat.
Buktinya adalah sebagai berikut :
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 1 2
Pr , ,..., Pr Pr Pr n nt t t n t t t n
a x a x a x a x a x a x =
(karena independen)
( ) ( ) ( )1 21 2
Pr Pr Pr nt k t k t k n
a x a x a x =
(karena berdistribusi identik)
( )1 21 2Pr , ,..., nt k t k t k na x a x a x =
Karena berdistribusi identik, proses white noisemempunyai fungsi
mean konstan yaitu :
( )tE a=
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
19/142
9
Fungsi autokovariansinya yaitu :
( )
( )
2
a , jika 0
, 0 , jika 0
k t
t t k
Var a k
Cov a a k
= = =
= =
Sehingga fungsi autokorelasinya yaitu :
= =
=
1 , jika 0
0 , jika 0
k k
k
Dalam penulisan tugas akhir ini, diasumsikan bahwa proses white noise
mempunyai mean nol sehingga dapat ditulis NIID ( )20, a .
2.1.5 Fungsi Autokorelasi Parsial
Fungsi autokorelasi parsial antara tY dan t kY didefinisikan sebagai
korelasi antara tY dan t kY dengan diberikan variabel di tengahnya, yaitu
1 2 1, , ,t t t kY Y Y + . Untuk { }tY yang stasioner, fungsi autokorelasi parsial
antara tY dan t kY , dinotasikan dengan kk , didefinisikan :
( )1 2 1, , , ,kk t t k t t t kCorr Y Y Y Y Y +=
Untuk model 1 1 1t t tY Y a = + , dengan ( ) 0tE Y = , { }ta adalah white noise, dan
asumsikan , 1t ka k , independen dengan tY , didapatkan :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
2
1 1 1
1 1
1 11 1 1 11
0
,
, ,
t t t t t
t t t
t t
t t
t
E Y Y E Y E a Y
Cov Y Y Var Y
Cov Y YCorr Y Y
Var Y
= +
=
= = = = =
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
20/142
10
Sehingga model 1 1 1t t tY Y a = + dapat ditulis menjadi :
1 11 1t t tY Y a = + (2.1)
Sedangkan untuk model 2 1 1 2 2t t t tY Y Y a = + + , diperoleh :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2
2 1 1 1 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 1
2 22
1
, 0 0
,
t t t t t t t t t t t
t t t t t
t t t
t t
E YY Y E YY Y E Y Y E a Y Y
Cov Y Y Y Var Y Y
Cov Y Y Y
Var Y Y
= + +
= + +
= =
Sehingga model 2 1 1 2 2t t t tY Y Y a = + + dapat ditulis menjadi :
2 1 1 22 2t t t tY Y Y a = + + (2.2)
Dari (2.1) dan (2.2), secara umum regresi t kY terhadap ( )1 1, , ,t t t kY Y Y ,
dapat ditulis :
( ) ( )1 21 2t k k k kk t t kt k t kY Y Y Y a = + + + +
Dengan mengalikan kedua sisi persamaan di atas dengan( )
t k jY
, 1,2,j = ,
lalu diekspektasikan, diperoleh :
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1 21 2
t k j k kt k j t k t k j t k t k j
kk t t kt k j t k j
E Y Y E Y Y E Y Y
E YY E a Y
= = +
+ + +
Asumsikan t ka independen dengan ( )t k jY , 1,2,j = , maka :
( )( ) ( ) ( )( )t k t kt k j t k jE a Y E a E Y =
Sehingga didapatkan :
1 1 2 2j k j k j kk j k = + + +
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
21/142
11
Kemudian kedua ruasnya dibagi dengan 0 menjadi :
1 1 2 2j k j k j kk j k = + + +
Dengan substitusi 0 1 = dan k k = , untuk 1,2, ,j k= didapatkan :
1 1 2 1 1
2 1 1 2 2
1 1 2 2
k k kk k
k k kk k
k k k k k kk
= + + +
= + + +
= + + +
Sistem persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu :
11 2 11
1 1 22 2
1 2 3
11
1
kk
k k
k k kk kk
k k k
=
= P
Dengan aturan Cramer, solusi untuk , 1,2,...kk k = , dapat dicari dengan :
, 1,2,...k
kk
k
k
= =PP
kP : determinan matriks kP
k
P : determinan matriks kP dengan kolom terakhirnya diganti dengan k .
Sehingga didapatkan :
11 1 =
1
21 2 2 1
22 21 1
1
1
1 1
1
= =
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
22/142
12
1 1
1 2
2 1 3
33
1 2
1 1
2 1
1
1
11
1
=
dan seterusnya.
2.1.6 Operator Backward Shift
Operator Backward Shift (Backshift), dinotasikan dengan B,
mengoperasikan indeks waktu dari suatu runtun waktu, dengan
menggesernya 1 satuan waktu ke belakang, yaitu :
2
1 2, , , k
t t t t t t kBY Y B Y Y B Y Y = = =
2.2 PROSES MOVING AVERAGE
Misalkan { }tY menotasikan runtun waktu yang terobservasi, dengan
( )tE Y = , dan { }ta adalah proses white noiseyang berdistribusi NIID ( )20, a .
Untuk memudahkan dalam penurunan rumus nantinya, asumsikan bahwa
( ) 0tE Y = = . Jika 0 maka nilai runtun waktu { }tY masing-masing
dikurangi dengan , sehingga runtun waktu { }tY mempunyai mean nol.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
23/142
13
Runtun waktu { }tY mengikuti proses moving averageorde ke-q,
disingkat dengan MA(q), apabila memenuhi persamaan berikut ini :
1 1 2 2 ...t t t t q t qY a a a a =
Jadi runtun waktu saat ini direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari
proses white noisesaat ini dan masa lalu sampai q satuan waktu ke
belakang.
2.2.1 Proses Moving AverageOrde Pertama
Runtun waktu { }tY mengikuti proses moving averageorde pertama,
atau MA(1), apabila memenuhi persamaan berikut ini :
1 1t t tY a a =
Mean proses MA(1) yaitu :
( ) ( ) ( )1 1 0t t tE Y E a E a = =
Variansi proses MA(1) yaitu :
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20 1 1 1 11t t a a aVar a Var a = + = + = +
Fungsi autokovariansi proses MA(1) yaitu :
( ) ( ) ( ) 21 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1, , ,t t t t t t t t aCov Y Y Cov a a a a Cov a a = = = =
( ) ( )2 2 1 1 2 1 3, , 0t t t t t tCov Y Y Cov a a a a = = = (karena tidak ada
white noiseyang mempunyai pasangan yang sama)
0k = , 2k
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
24/142
14
Dengan menggunakan rumus 0k k = , didapatkan fungsi autokorelasi
proses MA(1) yaitu :
1
2
1
, 11
0 , 2
k k
k
= =+
=
Fungsi autokorelasi parsial proses MA(1) yaitu :
( )21 1111 1 2 4
1 1
1
1 1
= = =
+
( )1
2 22 21 11 1 1
22 2 2 4 6
1 1 1 1 1
1
110
1 1 1 1
1
= = = =
+ +
( )
( )( )
1 1
13 23 3
1 11 1 133 2 2 4 6 8
1 1 1 1 1 1
1 1
1
2
1 1
2 1
1
1
1 0
10 0
1 0 1 2 1 1
1
0 1
1, 1
1
k
kk kk
+
= = = =
+ + +
=
Karena 1 0 , nilai fungsi autokorelasi parsial tersebut tidak akan bernilai
nol.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
25/142
15
2.2.2 Proses Moving AverageOrde Kedua
Runtun waktu { }tY mengikuti proses moving averageorde kedua, atau
MA(2), apabila memenuhi persamaan berikut ini :
1 1 2 2t t t tY a a a =
Mean proses MA(2) yaitu :
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 0t t t tE Y E a E a E a = =
Variansi proses MA(2) yaitu :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20 1 1 2 2 1 21t t t t aVar Y Var a Var a Var a = = + + = + +
Fungsi autokovariansi proses MA(2) yaitu :
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1 2 2 1 1 2 2 3
1 1 1 2 2 1 2
2
1 1 2
2 2
1 1 2 2 2 1 3 2 4
2 2 2
2
2
,
,
, ,
,
,
,
t t
t t t t t t
t t t t
a
t t
t t t t t t
t t
a
k t
Cov Y Y
Cov a a a a a a
Cov a a Cov a a
Cov Y Y
Cov a a a a a a
Cov a a
Cov Y
=
=
= +
= +
=
=
=
=
= ( ), , 3t kY k
Dengan menggunakan rumus 0k k = , didapatkan fungsi autokorelasi
proses MA(2), yaitu :1 1 2
2 2
1 2
2
2 2
1 2
, 11
, 21
0 , 3
k k
k
k
+= =
+ +
= =
+ +
=
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
26/142
16
Seperti pada proses MA(1), fungsi autokorelasi parsial proses MA(2)
juga tidak akan bernilai nol.
2.2.3 Proses Moving AverageOrde ke-q
Runtun waktu { }tY mengikuti proses moving averageorde ke-q, atau
MA(q), apabila memenuhi persamaan berikut ini :
1 1 2 2 ...t t t t q t qY a a a a =
Mean proses MA(q) yaitu :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... 0t t t t q t qE Y E a E a E a E a = =
Variansi proses MA(q) yaitu :
( ) ( )2 2 2 20 1 21t q aVar Y = = + + + +
Fungsi autokovariansi proses MA(q) yaitu :
( )2 1 1 2 2 , 1,2,..., 0 , 1
k a k k k q k q k q
k q
+ + = + + + + =
= +
Dengan rumus 0k k = , fungsi autokorelasi proses MA(q) yaitu :
1 1 2 2
2 2 2
1 2
, 1,2,...,1
0 , 1
k k k q k q
k
q
k q
k q
+ + + + + += =+ + + +
= +
Jadi ciri khas dari proses MA(q) adalah tidak berkorelasi untuk lag diatas q.
Sedangkan fungsi autokorelasi parsial proses MA(q) tidak akan bernilai nol.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
27/142
17
Dari pembahasan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa proses
MA(q) selalu stasioner untuk nilai , 1, ,i i q = berapapun, karena mempunyai
fungsi mean dan autokovariansi yang konstan terhadap waktu.
Untuk tY dengan mean tidak nol ( ( ) 0tE Y = ), model MA(q) dapat
ditulis :
1 1 2 2
1 1 2 2
...
Y ...
t t t t q t q
t t t t q t q
Y a a a a
a a a a
=
= +
Penambahan pada ruas kanan persamaan di atas tidak mempengaruhi
variansi dan fungsi autokovariansi.
Perhatikan pada proses MA(1), 11 21
1
=
+. Nilai 1 tersebut akan
bernilai sama untuk suatu nilai 1 dan 11 . Ini menyebabkan model MA(1)
tidak tunggal karena terdapat dua model MA(1) untuk nilai 1 yang sama.
Masalah seperti ini akan muncul pula pada model MA(2) dan seterusnya.
Masalah ketidaktunggalan model MA(q) ini dapat diselesaikan dengan
memilih nilai parameter , 1, ,i i q = , yang tepat. Masalah ini akan dijelaskan
dengan sifat invertibilitas yang akan dibahas pada subbab 2.4.
2.3 PROSESAUTOREGRESSIVE
Misalkan { }tY menotasikan runtun waktu yang terobservasi, dengan
( )tE Y = , dan { }ta adalah proses white noiseyang berdistribusi NIID ( )20, a .
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
28/142
18
Asumsi independen pada { }ta dapat dilemahkan menjadi tidak berkorelasi.
Seperti pada pembahasan moving average, untuk memudahkan, asumsikan
bahwa ( ) 0tE Y = = , dan jika 0 maka nilai runtun waktu { }tY masing-
masing dikurangi dengan , sehingga runtun waktu { }tY mempunyai
mean nol. Asumsikan { }tY stasioner dan ta independen dengan 1 2, ,...t tY Y .
Proses autoregressive, seperti pada namanya, yaitu berarti regresi
terhadap dirinya sendiri. Runtun waktu { }tY mengikuti proses autoregressive
orde ke-papabila memenuhi persamaan berikut ini :
1 1 2 2 ...t t t p t p tY Y Y Y a = + + + +
Jadi pada proses ini, nilai runtun waktu saat ini direpresentasikan sebagai
kombinasi linier dari dirinya sendiri sampai p satuan waktu ke belakang,
kemudian ditambahkan satu suku white noise ta .
2.3.1 ProsesAutoregressiveOrde Pertama
Runtun waktu { }tY mengikuti proses autoregressive orde pertama,
atau AR(1), apabila memenuhi persamaan berikut ini :
1 1t t tY Y a = +
Dengan mengambil variansi pada kedua sisi 1 1t t tY Y a = + , didapatkan :
( ) ( ) ( ) ( )21 1 12 ,t t t t tVar Y Var Y Var a Cov Y a = + +
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
29/142
19
Karena ta independen dengan 1tY , maka ( )1, 0t tCov Y a = , sehingga
( ) ( ) ( )21 1t t tVar Y Var Y Var a = +
Karena diasumsikan prosesnya stasioner maka ( ) ( )1 0t tVar Y Var Y = = .
Sehingga variansi proses AR(1) yaitu :
2 2
0 1 0
2
0 2
11
a
a
= +
=
Agar variansi di atas bernilai positif maka disyaratkan bahwa 21
1 0 > atau
1| | 1 < . Jadi syarat stasioner untuk AR(1) yaitu 1| | 1 < .
Fungsi autokovariansi proses AR(1) didapatkan dengan mengalikan
kedua sisi persamaan 1 1t t tY Y a = + dengan t kY , lalu diekspektasikan, yaitu :
( ) ( ) ( )1 1t t k t t k t t kE YY E Y Y E a Y = + , 1k (2.3)
Karenat
a independen dengant k
Y
, 1k , maka( )
0t t k
E a Y
= . Lalu untuk
proses yang stasioner maka dapat ditulis ( )t t k kE YY = dan ( )1 1t t k kE Y Y = .
Sehingga (2.3) menjadi :
= 1 1k k (2.4)
=
2
1 2
1
, 11
k a k (2.5)
Dengan membagi kedua sisi persamaan (2.4) dengan 0 , didapatkan fungsi
autokorelasi proses AR(1), yaitu :
1 1k k = , 1k
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
30/142
20
Atau dari (2.5),
2
1 2
120
2
1
1
, 1
1
k a
kk
ka k
= = =
Karena 1| | 1 < sehingga nilai fungsi autokorelasi ini akan menurun secara
eksponensial menuju nol untuk nilai k yang semakin besar.
Fungsi autokorelasi parsial proses AR(1) yaitu :
11 1 1 = =
1 1
2 2 21 2 1 1 1 1
22 2
1 1 1
1 1
1 1
01 1 1
1 1
= = = =
1 1 1 1
2
1 2 1 1
2 3
2 1 3 1 1
33 21 2 1 1
1 1 1 1
22 1 1 1
1 1
1 1
01 1
1 1
1 1
= = =
Nilai 33 di atas adalah nol, karena kolom tiga pada pembilang merupakan
kelipatan sebesar 1 dari kolom satu. Untuk 44 55, ,... , juga bernilai nol.
Dengan menggunakan operator Backshiftdidapatkan :
( )
1 1
1 1
1
1
1
t t t
t t t
t t
t
Y Y a
a Y Y
Y BY
B Y
= +
=
=
=
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
31/142
21
kk
k kk
k
Definisikan polinomial karakteristik model AR(1) yaitu :
( ) 11x x =
Persamaan karakteristiknya yaitu :
( ) 11 0x x = = ,
dengan akar 11x = . Syarat stasioner 1| | 1 < ekivalen dengan pernyataan
bahwa nilai mutlak akar persamaan karakteristik, lebih besar dari satu
( 1x > ).
k k
(a) Fungsi autokorelasi ( )k (b) Fungsi autokorelasi
untuk 1 0 > . parsial ( )kk untuk 1 0 > .
k k
(c) Fungsi autokorelasi ( )k (d) Fungsi autokorelasi
untuk 1 0 < . parsial ( )kk untuk 1 0 < .
Gambar 2.2. Grafik fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial
proses AR(1).
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
32/142
22
2.3.2 ProsesAutoregressive Orde Kedua
Runtun waktu { }tY mengikuti proses autoregressiveorde kedua, atau
AR(2), apabila memenuhi persamaan berikut ini :
1 1 2 2t t t tY Y Y a = + + (2.6)
Dengan mengambil variansi pada kedua sisi persamaan (2.6) didapatkan :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2
2 2
0 1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2
2 ,
2 , 2 ,
t t t t
t t t t t
t t t t
Var Y Var Y Y a
Var Y Var Y Var a Cov Y Y
Cov a Y Cov a Y
= + +
= + + +
+ +
Karena diasumsikan stasioner maka ( ) ( ) ( )1 2 0t t tVar Y Var Y Var Y = = = , dan
karena ta independen dengan 1tY dan 2tY maka ( )1, 0t tCov a Y = dan
( )2, 0t tCov a Y = . Sehingga variansi proses AR(2) yaitu :
2 2 2
0 1 0 2 0 1 2 12 = + + + (2.7)
Jika kedua sisi persamaan (2.6) dikalikan dengant kY lalu diekspektasikan
maka didapatkan fungsi autokovariansi proses AR(1), yaitu :
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2t t k t t k t t k t t kE YY E Y Y E Y Y E a Y = + +
1 1 2 2k k k = + , 1,2,...k= (2.8)
Untuk 1k= ,
1 1 0 2 1
1 0 2 1
10 2
2
, 11
= +
= +
=
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
33/142
23
Lalu substitusikan ke dalam (2.7) didapatkan :
( )( ) ( )( )
2 2 2 10 1 0 2 0 1 2 0
2
22
0
2 2 1 2 1
21
1
1 1 1
= + + +
=+ +
Agar variansi tersebut bernilai positif maka disyaratkan :
( )( ) ( )( )2
2 2 1 2 1
1 10
1 1 1
>
+ +
Solusinya adalah syarat kestasioneran untuk AR(2), yaitu :
2 2 1 2 11 , 1 , 1 < < + < (2.9)
Dengan membagi kedua sisi persamaan (2.8) dengan 0 , didapatkan fungsi
autokorelasi proses AR(1), yaitu :
1 1 2 2k k k = + , 1,2,...k= (2.10)
Jadi k , 2,3,k= , dapat dicari secara rekursif dari (2.10) dengan nilai awal
0 1 = dan1
1
21
=
. Nilai ini akan menurun secara eksponensial untuk
nilai k yang semakin besar. Persamaan (2.8) dan (2.10) disebut persamaan
Yule-Walker.
Fungsi autokorelasi parsial proses AR(2) yaitu :
= =
111 1
21
( )
( )
2 2 2
1 2 2 1122
2 21 2 2 122 222
1 112
1 2
1
1 1
1 11
1 1
+
= = = =
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
34/142
24
1 1
1 1
2 1 3
33
1 2
1 1
2 1
1
1
11
1
=
Dari (2.10), untuk 1,2,3k = ,
1 1 2 1
2 1 1 2
3 1 2 2 1
1
1
= +
= +
= +
atau dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom sebagai berikut :
1 1
2 1 1 2
3 2 1
1
1
= +
Pembilang pada 33 adalah nol, karena kolom ketiganya merupakan
kombinasi linier dari kolom pertama dan kolom kedua. Untuk 44 , 55 ,
dapat dicari dengan cara yang sama, akan bernilai nol juga. Jadi untuk
proses AR(2), fungsi autokorelasi parsial pada lag 1 dan lag 2 bernilai tidak
nol, sedangkan untuk lag di atas 2 bernilai nol.
Dengan menggunakan operator Backshiftdidapatkan :
( )
1 1 2 2
1 1 2 2
2
1 2
2
1 2
1
t t t t
t t t t
t t t
t
Y Y Y a
a Y Y Y
Y BY B Y
B B Y
= + +
=
= =
Persamaan karakteristiknya adalah :
( ) 21 21 0x x x = =
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
35/142
25
Seperti pada AR(1), proses AR(2) stasioner jika dan hanya jika nilai mutlak
dari akar-akar persamaan karakteristiknya lebih besar dari satu. Ini akan
mengimplikasikan 2 2 1 2 11 , 1 , 1 < < + < , yaitu sama seperti (2.9).
2.3.3 ProsesAutoregressiveOrde ke-p
Runtun waktu { }tY mengikuti proses autoregressiveumum orde ke-p,
atau AR(p), apabila memenuhi persamaan berikut :
1 1 2 2 ...t t t p t p tY Y Y Y a = + + + + (2.11)
Dengan menggunakan operator Backshift, didapatkan :
( )
1 1 2 2
2
1 2
2
1 2
...
...
1 ...
t t t t p t p
p
t t t p t
p
p t
a Y Y Y Y
Y BY B Y B Y
B B B Y
=
=
=
Persamaan karakteristiknya adalah :
( ) 21 21 ... 0p
px x x x = =
Proses AR(p) stasioner jika dan hanya jika nilai mutlak semua akar-akar
persamaan karakteristik ( ) 0x = lebih besar dari satu.
Dengan mengalikan kedua sisi persamaan (2.11) dengan t kY lalu
diekspektasikan maka didapatkan fungsi autokovariansi proses AR(p), yaitu :
1 1 2 2 ...k k k p k p = + + + , 1,2,...k= (2.12)
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
36/142
26
1 1 1
2 1 2
1 2
1 1 1
1
1p
p
p
p p p
+
= + + +
Kalikan persamaan (2.11) dengan tY lalu diekspektasikan, didapatkan :
( )0 1 1 2 2 p p t tE a Y = + + + +
Karena ( ) ( )( ) ( )2 21 1 2 2 ...t t t t t p t p t t aE aY E a y y y a E a = + + + + = = , maka
variansi proses AR(p), yaitu :
2
0 1 1 2 2 p p a = + + + +
Dengan membagi persamaan (2.12) dengan 0 , didapatkan fungsi
autokorelasi proses AR(p), yaitu :
1 1 2 2 ...k k k p k p = + + + , 1,2,...k = (2.13)
Persamaan (2.13) disebut dengan persamaan Yuke-Walker. Nilai ini akan
menurun secara eksponensial untuk nilai k yang semakin besar. Kemudian
akan dicari fungsi autokorelasi parsialnya. Dengan subsitusi 1,2, , 1k p= + ,
0 1 = dan k k = , persamaan (2.13) dapat ditulis dalam bentuk matriks
sebagai berikut :
(2.14)
Pembilang pada ( )( )1 1p p + + adalah
1 1 1
1 2 2
1 1 1
11
0
p
p
p p p
+
=
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
37/142
27
karena dari (2.14), kolom terakhirnya merupakan kombinasi linier dari kolom-
kolom sebelumnya. Pada proses AR(p), fungsi autokorelasi parsial pada lag
1 sampai lag p akan bernilai tidak nol, sedangkan untuk lag 1p+
dan
seterusnya bernilai nol.
Untuk tY dengan mean tidak nol ( ( ) 0tE Y = ), model AR(p) dapat
ditulis :
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 1 1 2 2 2
0 1 1 2 2
t t t p t p t
t t t p t p p t
t t t p t p t
Y Y Y Y a
Y Y Y Y a
Y Y Y Y a
= + + + +
= + + + + +
= + + + + +
dengan ( )0 1 21 p = . Seperti pada MA(q), penambahan 0
pada ruas kanan tidak mempengaruhi variansi dan fungsi autokovariansi.
2.4 INVERTIBILITAS
2.4.1 Proses Moving Average
Telah dijelaskan sebelumnya pada pembahasan MA(q), bahwa
terdapat masalah ketidaktunggalan pada model MA(q). Masalah
ketidaktunggalan model MA(q) ini dapat diselesaikan dengan memilih nilai
parameter , 1, ,i
i q = , yang tepat. Sifat invertibel pada MA(q) maksudnya
adalah model MA(q) dapat diubah bentuknya menjadi bentuk AR.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
38/142
28
Untuk MA(1) 1 1t t tY a a = , dapat dijabarkan secara rekursif, yaitu :
( )
( )
( )
+ +
+ +
= +
= + +
= + +
= + + +
= + + +
= + + + + +
= +
1 1
1 1 1 2
21 1 1 2
2
1 1 1 2 1 3
2 3
1 1 1 2 1 3
2 1
1 1 1 2 1 1 1
2 1
1 1 1 2 1 1
t t t
t t t
t t t
t t t t
t t t t
k k
t t t t k t k
k k
t t t t k t t k
a Y a
Y Y a
Y Y a
Y Y Y a
Y Y Y a
Y Y Y Y a
Y Y Y Y a a( )1
Jika 1| | 1 < dan k menuju tak berhingga, maka didapatkan model AR()
2
1 1 1 2...
t t t tY Y Y a = +
Jadi dapat disimpulkan bahwa jika 1| | 1 < maka model MA(1) dapat diubah
(invertibel) menjadi bentuk AR( ). Jadi masalah ketidaktunggalan model
MA(1) dapat diselesaikan dengan cara memilih parameter 1 yang memenuhi
1| | 1 < . Telah dibahas sebelumnya bahwa fungsi autokorelasi parsial proses
MA(1) yaitu :
( )( )
2
1 1
2 1
1
1, 1
1
k
kk kk
+
=
,
Jika 1| | 1 < maka nilai fungsi autokorelasi tersebut akan menurun secara
eksponensial menuju nol untuk nilai kyang semakin besar.
Sedangkan untuk MA(q), dengan menggunakan operator Backshift:
( )
1 1 2 2
2
1 2
2
1 2
...
...
1 ...
t t t t q t q
q
t t t q t
q
q t
Y a a a a
a Ba B a B a
B B B a
=
=
=
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
39/142
29
Persamaan karakteristiknya yaitu :
( ) 21 21 ... 0q
qx x x x = = ,
Persamaan karakteristik tersebut mirip dengan persamaan karakteristik untuk
model AR(p). Pada model AR(p), solusi stasioner untuk tY ada, jika dan
hanya jika nilai mutlak dari akar-akar persamaan karakteristiknya lebih besar
dari 1. Jadi dapat disimpulkan bahwa model MA(q) bersifat invertibel, yaitu
dapat diubah bentuknya menjadi AR( ) :
1t j t j t
jY Y
== + , dengan
j adalah konstanta,
jika dan hanya jika nilai mutlak dari akar-akar persamaan karakteristiknya
( ( ) 0x = ) lebih besar dari 1. Jadi masalah ketidaktunggalan model MA(q)
dapat diselesaikan dengan memilih parameter , 1, ,i i q = yang memenuhi
syarat tersebut. Seperti pada proses MA(1), ini akan menyebabkan fungsi
autokorelasi parsial proses MA(q), nilainya akan menurun secara
eksponensial menuju nol untuk nilai kyang semakin besar.
2.4.2 ProsesAutoregressive
Berikut ini akan diperiksa sebaliknya, apakah proses AR(p) invertibel
ke bentuk MA( ). Untuk AR(1) dapat dijabarkan secara rekursif, yaitu :
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
40/142
30
( )
( )
( )
1 1
1 1 2 1
2
1 1 1 2
21 1 1 1 3 2
2 3
1 1 1 2 1 3
2 1
1 1 1 2 1 11
t t t
t t t
t t t
t t t t
t t t t
k k
t t t t kt k
Y Y a
Y a a
a a Y
a a Y a
a a a Y
a a a a Y
= +
= + +
= + +
= + + += + + +
= + + + + +
Untuk AR(1) yang stasioner maka 1| | 1 < . Sehingga untuk k , akan
menghasilkan proses MA ( ) :
2
1 1 1 2t t t tY a a a = + + +
Jadi proses AR(p) yang stasioner selalu invertibel ke bentuk MA( ).
2.5 PROSESAUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE
Misalkan { }tY menotasikan runtun waktu yang terobservasi, dengan
( )tE Y = , dan { }ta adalah proses white noiseyang berdistribusi NIID ( )20, a .
Asumsi independen pada { }ta dapat dilemahkan menjadi tidak berkorelasi.
Seperti pada sebelumnya,untuk memudahkan, asumsikan bahwa
( ) 0tE Y = = , dan jika 0 maka nilai runtun waktu { }tY masing-masing
dikurangi dengan , sehingga runtun waktu { }tY mempunyai mean nol.
Asumsikan ta independen dengan 1 2, ,...t tY Y .
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
41/142
31
ProsesAutoregressive Moving Averageorde ke-p dan q, disingkat
dengan ARMA(p,q), adalah proses campuran dari proses autoregressivedan
moving average. Runtun waktu { }tY mengikuti proses ARMA(p,q), apabila
memenuhi persamaan berikut ini :
1 1 2 2 1 1 2 2... ...t t t p t p t t t q t qY Y Y Y a a a a = + + + +
Karena ARMA(p,q) merupakan gabungan dari AR(p) dan MA(q), maka untuk
proses ini diperlukan kedua syarat stasioner dan invertibel. Dengan
menggunakan operator Backshiftdidapatkan :
( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
...
1 1
t t t p t p t t t q t q
p q
t t t p t t t t q t
p q
p t q t
Y Y Y Y a a a a
Y BY B Y B Y a Ba B a B a
B B B Y B B B a
=
=
=
Proses ARMA(p,q) stasioner jika dan hanya jika nilai mutlak akar-akar
persamaan karakteristik AR,
( ) 21 21 ... 0ppx x x x = = ,
lebih besar dari 1. Proses ARMA(p,q) invertibel jika dan hanya jika nilai
mutlak akar-akar persamaan karakteristik MA,
( ) 21 21 ... 0q
qx x x x = = ,
lebih besar dari 1.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
42/142
32
2.5.1 Proses ARMA(1,1)
Runtun waktu { }tY mengikuti proses ARMA(1,1) apabila memenuhi
persamaan berikut ini :
1 1 1 1t t t tY Y a a = +
Syarat stasioner proses ARMA(1,1) didapatkan dari syarat stasioner
proses AR(1), yaitu 1 0 < . Sedangkan syarat invertibel proses ARMA(1,1)
didapatkan dari syarat invertibel proses MA(1), yaitu 1 0 < .
Dengan mengalikan kedua sisi persamaan di atas dengan t kY lalu
diekspektasikan maka didapatkan
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1t t k t t k t t k t t kE YY E Y Y E a Y E a Y = + (2.15)
Karena
( ) ( )( ) ( )2 21 1 1 1t t t t t t t aE a Y E a Y a a E a = + = =
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1 1 1
2
1 1 1 1 1
2 2 2
1 1 1 1
t t t t t t
t t t
a a a
E a Y E a Y a a
E a Y E a
= +
=
= =
sehingga (2.15) menjadi
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1t t k t t k t t k t t kE YY E Y Y E a Y E a Y = +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1
2 2
0 1 1 1 1
0
t t t t t t t t
a a
k E YY E Y Y E a Y E a Y
= = +
= +
( )( ) 20 1 1 11 a = + (2.16)
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
43/142
33
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 11 t t t t t t t tk E YY E Y Y E a Y E a Y = = +
2
1 1 0 1 a = (2.17)
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12 t t k t t k t t k t t kk E YY E Y Y E a Y E a Y = +
1 1k k = (2.18)
Dari (2.16) dan (2.17) akan menghasilkan
( )21 1 1 20 2
1
1 2
1a
+=
(2.19)
( )( )1 1 1 1 21 2
1
1
1a
=
(2.20)
Kemudian dari (2.18) dan (2.20) akan menghasilkan rumus rekursif
( )( )1 1 1 1 1 212
1
1, 1
1
k
k a k
=
(2.21)
Dengan menggunakan rumus 0k k = , dari (2.19) dan (2.21) maka
didapatkan fungsi autokorelasi proses ARMA(1,1), yaitu :
( ) ( ) 12
1, 1
1 2
k
k k
= +
Atau dari (2.18),
1 1k k = , 2k
sehingga
11 1kk = , 2k
dengan nilai awal
( )( )1 2
1
1 2
=
+
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
44/142
34
Nilai ini akan menurun secara eksponensial menuju nol untuk nilai kyang
semakin besar. Fungsi autokorelasi parsial proses ARMA(1,1) juga akan
menurun secara eksponensial menuju nol untuk nilai kyang semakin besar.
2.5.2 Proses ARMA(p,q)
Runtun waktu { }tY mengikuti proses ARMA(p,q), apabila memenuhi
persamaan berikut ini :
1 1 2 2 1 1 2 2... ...t t t p t p t t t q t qY Y Y Y a a a a = + + + + (2.22)
Asumsikan proses ini stasioner dan invertibel. Berikut ini akan dicari fungsi
autokorelasi proses ARMA(p,q). Dengan mengalikan kedua sisi persamaan
(2.22) dengan t kY lalu diekspektasikan maka didapatkan :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 1 2 2
...
...
t t k t t k t t k p t p t k
t t k t t k t t k q t q t k
E YY E Y Y E Y Y E Y Y
E a Y E a Y E a Y E a Y
= + + +
+
1 1 2 2 ...k k k p k p = + + + , 1k q +
Sehingga fungsi autokorelasi proses ARMA(p,q), yaitu :
1 1 2 2 ...k k k p k p = + + + , 1k q + (2.23)
Bentuk fungsi autokorelasi tersebut mirip dengan fungsi autokorelasi untuk
proses AR(p), sehingga nilainya akan menurun secara eksponensial untuk
nilai k yang semakin besar. Nilai fungsi autokorelasi parsial proses
ARMA(p,q) juga menurun secara eksponensial menuju nol untuk nilai kyang
semakin besar.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
45/142
35
Untukt
Y dengan mean tidak nol ( ( ) 0tE Y = ), maka model
ARMA(p,q) dapat ditulis :
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
0 1 1 2 2
...
...
t t t p t p
t t t q t q
t t t p t p p
t t t q t q
t t t
Y Y Y Y
a a a a
Y Y Y Y
a a a a
Y Y Y
= + + +
+
= + + + +
+
= + + + +
1 1 2 2 ...p t p t t t q t qY a a a a +
dengan ( )0 1 21 p = . Penambahan 0 pada ruas kanan tidak
mempengaruhi variansi dan fungsi autokovariansi.
2.6 SIMULASI PROSES ARMA
Berikut ini akan diperlihatkan beberapa simulasi proses ARMA dan
proses yang tidak stasioner. Program untuk simulasi ini ada di Lampiran 2.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3
-2
-1
0
1
2
3
Simulasi White Noise
Gambar 2.3. Simulasi Proses white noiseNIID(0,1)
Dari simulasi di atas, terlihat datanya menyebar di sekitar satu titik
yang berarti mengindikasikan bahwa proses ini mempunyai mean konstan.
Selain itu keragamannya juga konstan yang berarti mengindikasikan bahwa
proses ini mempunyai variansi konstan terhadap waktu. Seperti yang telah
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
46/142
36
dijelaskan sebelumnya bahwa proses white noise bersifat stasioner kuat.
Seluruh simulasi pada Gambar 2.4 sampai Gambar 2.13 berikut ini dibangun
dari proses white noise { }ta pada Gambar 2.3.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4
-3
-2
-1
0
1
2
3Simulasi Y(t)
Gambar 2.4. Simulasi Proses AR(1) ( )1 00.1 1.01t t tY Y a = + =
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5Simulasi Y(t)
Gambar 2.5. Simulasi Proses AR(2) ( )1 2 00.3 0.5 2.08t t t tY Y Y a = + + =
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Simulasi Y(t)
Gambar 2.6. Simulasi Proses MA(1) ( )1 00.5 1.09t t tY a a = =
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5Simulasi Y(t)
Gambar 2.7. Simulasi Proses ARMA(1,1) ( )1 00.5 0.5 1t t i t tY Y a a = + =
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
47/142
37
Dari simulasi pada Gambar 2.4 sampai 2.7, runtun waktu yang
dihasilkan terlihat mempunyai mean dan variansi yang konstan terhadap
waktu (bersifat stasioner). Bandingkan dengan pola yang ada pada Gambar
2.8 dan Gambar 2.9 berikut ini.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-15
-10
-5
0
5
10
15
20Simulasi Y(t)
Gambar 2.8. Simulasi Proses AR(1) tidak stasioner1t t t
Y Y a= +
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-30
-20
-10
0
10
20
30
40Simulasi Y(t)
Gambar 2.9. Simulasi Proses ARMA(1,1) tidak stasioner 1 1t t t tY Y a a = +
Dari Gambar 2.12 dan Gambar 2.13 di atas, jelas terlihat bahwa runtun
waktu yang dihasilkan tidak stasioner karena mempunyai mean dan variansi
yang tidak konstan.
2.7 RUNTUN WAKTU NONSTASIONER
Pada pembatasan masalah di bab I telah ditulis bahwa dalam
penulisan tugas akhir ini, hanya dibatasi pada runtun waktu yang mempunyai
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
48/142
38
fungsi mean yang konstan terhadap waktu. Permasalahannya adalah runtun
waktu yang akan dimodelkan belum tentu mempunyai fungsi mean yang
konstan terhadap waktu. Berikut ini akan dibahas tentang trasformasi runtun
waktu yang tidak stasioner agar menjadi stasioner, sehingga runtun waktu
tersebut dapat dimodelkan dengan model ARMA.
2.7.1 Transformasi Diferensi
Transformasi diferensi digunakan untuk menghilangkan trend (menaik
atau menurun) pada runtun waktu. Operator diferensi, dinotasikan dengan
, mengoperasikan selisih dua data dengan waktu yang berurutan, yaitu :
Diferensi pertama :
= 1t t tZ Z Z ,
diferensi kedua :
( ) ( )
( ) ( )
2
1 1
1 1 2 1 2 2 ,
t t t t t t
t t t t t t t
Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
= = =
= = +
dan seterusnya.
Misalkan { }tZ adalah runtun waktu dengan fungsi mean tidak konstan
yang dapat ditulis sebagai berikut :
t t tZ M a= + dengan 1t t tM M b= + ,
{ }ta dan { }tb adalah white noise yang saling independen. Terlihat bahwa
runtun waktu { }tM adalah proses AR(1) yang tidak stasioner karena 1 1 = .
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
49/142
39
Transformasi diferensi pertama dari tZ , yaitu :
1t t t t t tZ M a b a a = + = + + ,
akan menghasilkan runtun waktu { }tZ yang stasioner, karena 1, dant t tb a a
adalah white noise yang saling independen.
Kemudian misalkan :
t t tZ M a= + dengan 1t t tM M b= + dan 1t t tb b = + ,
{ }ta dan { }t adalah white noise yang saling independen. Pada model ini
terlihat bahwa runtun waktu { }tM dan { }tb keduanya adalah proses AR(1)
yang tidak stasioner. Untuk { }tZ yang seperti ini, transformasi diferensi
pertamanya, yaitu :
t t t t tZ M a b a = + = + ,
belum menghasilkan runtun waktu { }tZ yang stasioner. Transformasi
diferensi keduanya, yaitu :
2 2
1 22t t t t t t tZ b a a a a = + = + +
akan menghasilkan runtun waktu { }2 tZ yang stasioner, karena , ,t ta
1 2dant ta a adalah white noise yang saling independen.
Berikut ini diperlihatkan contoh runtun waktu yang stasioner melalui
transformasi diferensi.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
50/142
40
0 10 20 30
Waktu
4
8
12
16
RuntunWaktu
A
AA
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A A
A
A
A
A
A
A
AA
AA
A A
A
A
Gambar 2.10. Runtun Waktu { }tZ
Dari Gambar 2.10 di atas, terlihat adanya trend menurun kemudian menaik,
sehingga runtun waktu tersebut tidak stasioner. Kemudian runtun waktu
tersebut dihitung diferensi pertamanya (Tabel 2.1), kemudian dibuat grafiknya
di Gambar 2.11.
t tZ Diferensi Pertama, tZ Diferensi Kedua,2
tZ
1 19 - -
2 16 19 - 16 = 3 -
3 15.5 16 - 15.5 = 0.5 3 - 0.5 = 2.5
4 12.5 15.5 - 12.5 = 3 0.5 - 3 = -2.5
5 11 12.5 - 11 = 1.5 3 - 1.5 = 1.5
dan seterusnya
Tabel 2.1. Data Runtun Waktu { }tZ , Diferensi Pertama { }tZ
dan Diferensi Kedua { }2 tZ
0 10 20 30
Waktu
-2
0
2
4
DiferensiPertama
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Gambar 2.11. Diferensi Pertama { }tZ
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
51/142
41
Dari Gambar 2.11, ternyata hasil diferensi pertama belum memperlihatkan
menghasilkan runtun waktu yang stasioner karena masih terlihat adanya
trend menurun. Kemudian dari hasil diferensi pertama dihitung diferensi
kedua (lihat Tabel 2.1) kemudian dibuat grafiknya di Gambar 2.12.
0 10 20 30
Waktu
-2
0
2
DiferensiKedua
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Gambar 2.12. Diferensi Kedua ( 2
tZ )
Dari Gambar 2.12 terlihat tidak ada trend dan variansinya terlihat konstan. Ini
mengindikasikan bahwa runtun waktu ini bersifat stasioner.
Karakteristik runtun waktu yang diperoleh dengan cara diferensi, dapat
dipelajari lebih lanjut dengan menggunakan model integrated autoregressive-
moving average(ARIMA). Akan tetapi dalam tugas akhir ini, karakteristik
model ARIMA tidak dibahas.
2.7.2 Transformasi Logaritma
Transformasi logaritma digunakan untuk runtun waktu yang semakin
menyebar seiring dengan penambahan level dari runtun waktu tersebut, atau
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
52/142
42
dengan kata lain, standar deviasinya proporsional dengan penambahan level
dari runtun waktu tersebut. Contohnya Gambar 2.13 berikut ini.
0 50 100 150 200
waktu
5.00
10.00
15.00
20.00
RuntunWaktu
Gambar 2.13. Runtun Waktu { }tZ
Dari Gambar 2.13, terlihat bahwa pada awalnya runtun waktu tersebut
mempunyai standar deviasi kecil, kemudian semakin besar.
Misal 0tZ > untuk semua t, dengan mean dan standar deviasi
( )t tE Z = , ( )t tVar Z =
Dengan menggunakan aproksimasi Taylor :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2' ''1! 2!
f a f af x f a x a x a= + + +
untuk tx Z= , ta = dan ( ) log tf x Z= , sehingga ( ) log tf a = , dihasilkan :
( )1
log logt t t t
t
Z Z
+
Mean dan variansi ( )log tZ adalah
( ) ( ) ( )1
log log
log
t t t t
t
t
E Z E E Z
+
=
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
53/142
43
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
1log log
1 1
konstan
t t t t
t
tt
t t
Var Z Var Var Z
ZVar Var Z
+
= =
=
0 50 100 150 200
waktu
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
log
Gambar 2.14. Transformasi Logaritma ( )log tZ
Dari Gambar 2.14, variansi runtun waktu terlihat konstan tetapi fungsi
meannya tidak konstan karena adanya trend menaik. Untuk data seperti ini
perlu dilakukan transformasi diferensi untuk menghilangkan trend tersebut.
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa transformasi logaritma yang diikuti
dengan diferensi, akan menghasilkan runtun waktu yang stasioner. Misalt
Z
cenderung mempunyai perubahan persentasi yang relatif stabil dari suatu
periode waktu ke periode selanjutnya, yaitu :
1
1
t t
t
t
Z ZX
Z
= (2.24)
100 tX adalah perubahan persentasi dari 1tZ ke tZ .
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
54/142
44
0 50 100 150 200
Waktu
-0.25
0.00
0.25
xt
Gambar 2.15 . Runtun waktu { }tX dengan1
1
t tt
t
Z ZX
Z
=
dan { }tZ dari Gambar 2.11
Pola pada Gambar 2.15 mengindikasikan bahwa runtun waktu tersebut
bersifat stabil (stasioner).
Dari (2.24) akan didapatkan :
( ) ( )
( ) ( )
1
1
log log log
log log 1
tt t
t
t t
ZZ Z
Z
Z X
=
= +
Lalu ( )log 1 tX+ akan diaproksimasi dengan menggunakan deret MacLaurin :
( ) ( ) ( ) ( ) 2' 0 '' 00
1! 2!
f ff x f x x= + + +
yaitu akan dihasilkan
( )log 1 t tX X+
Sehingga
( ) ( )log log 1t t tZ X X = +
adalah runtun waktu yang stabil (stasioner). Dari Gambar 2.14, dilakukan
diferensi menjadi runtun waktu pada Gambar 2.16 berikut ini.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
55/142
45
0 50 100 150 200
waktu
-0.25
0.00
0.25
DIFF(log,1
)
Gambar 2.16. Diferensi ( ) ( )1log logt tZ Z
Dari Gambar 2.16 terlihat bahwa runtun waktu tersebut mempunyai mean
dan variansi konstan, sehingga runtun waktu tersebut bersifat stasioner.
Salah satu runtun waktu yang menggunakan transformasi seperti ini
(logaritma kemudian diferensi) adalah tingkat pengembalian (rate of return),
yaitu :
1
1
t tt
t
S SR
S
=
tR : Tingkat pengembalian pada waktu t
tS : Harga aset pada saat t
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
56/142
Tabel 1. Ringkasan Karakterist ik Proses AR(p), MA(q), dan ARMA
Proses AR(p) Proses MA(q)
Model
1 1 2 2 ...t t t p t p tY Y Y Y a = + + + +
( )21 2( 1 ... )pt p ta B B B Y =
1 1 2 2 ...t t t t q t qY a a a a =
( )21 2( 1 ... )qt q tY B B B a =
tY =
( (
PolinomialKarakteristik
( ) 21 21 ... p
px x x x = ( ) 21 21 ...
q
qx x x x = ( x
( x
Syarat
Stasioner
Nilai mutlak akar-akar ( ) 0x =
lebih besar dari 1Selalu stasioner
Nila
leb
Syarat
InvertibelSelalu invertibel
Nilai mutlak akar-akar ( ) 0x =
lebih besar dari 1
Nila
leb
Fungsi
Autokorelasi
Menurun secara eksponensial
menuju nolBernilai nol untuk lag di atas q
Me
me
Fungsi
Autokorelasi
ParsialBernilai nol untuk lag di atas
p
Menurun secara eksponensial
menuju nol
Me
me
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
57/142
47
BAB III
PROSESAUTOREGRESSIVE CONDITIONAL
HETEROSCEDASTICITY(ARCH)
3.1 MEAN DAN VARIANSI BERSYARAT PADA PROSES ARMA
Pada bab II telah dijelaskan bahwa proses ARMA mempunyai mean
dan variansi konstan terhadap waktu. Berikut ini akan dijelaskan tentang
mean dan variansi bersyarat dari proses ARMA, yaitu mean dan variansi
dengan diberikan 1t , yaitu himpunan informasi dari semua informasi masa
lalu sampai waktu 1t . Model ARMA dapat dituliskan sebagai berikut :
1 1 2 2 1 1 2 2 ...t t t p t p t t t q t qY Y Y Y a a a a = + + + +
dengan { }t
a adalah white noiseyang berdistribusi
( )
2NIID 0,a
dan asumsikan
ta independen dengan 1t . Mean tY dengan diberikan 1t yaitu :
( ) ( )( )1 1 1 2 2 1 1 2 2 1| ... |t t t t p t p t t t q t q tE Y E Y Y Y a a a a = + + + +
1 1 2 2 1 1 2 2 ...t t p t p t t q t qy y y a a a = + + + (3.1)
Mean bersyarat tersebut tidak konstan karena bergantung pada waktu.
Variansi tY dengan diberikan 1t yaitu :
( ) ( )( )( )
1 1 1 2 2 1 1 2 2 1| ... |
t t t t p t p t t t q t q t
t
Var Y Var Y Y Y a a a a
Var a
= + + + +
=
2a= (3.2)
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
58/142
48
Variansi bersyarat tersebut bernilai konstan terhadap waktu. Jadi dapat
disimpulkan bahwa pada proses ARMA, variansi tak bersyarat dan variansi
bersyarat, keduanya bernilai konstan terhadap waktu, atau disebut bersifat
homoskedastik.
3.2 PENGELOMPOKAN VOLATILITAS PADA RUNTUN WAKTU
FINANSIAL
Runtun waktu dalam bidang finansial contohnya adalah indeks harga
saham dan nilai kurs mata uang. Data runtun waktu finansial seringkali
memperlihatkan adanya volatilitas yang berfluktuasi tajam pada periode
waktu tertentu, sedangkan pada periode waktu yang lain nilainya relatif stabil.
Contohnya pada Gambar 3.1 dan Gambar 3.2 berikut ini.
Gambar 3.1 (-) Indeks Harga Penutupan Saham
pada Bursa Saham S&P100 1982-2006
(-) Pengembalian (Return)
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
59/142
49
Gambar 3.2 (-) Indeks Harga Penutupan Saham
pada Bursa Saham Nasdaq 1971-2006
(-) Pengembalian (Return)
Dari Gambar 3.1 dan 3.2 di atas, runtun waktu yang akan dianalisis
yaitu runtun waktu pengembalian, karena pada penulisan tugas akhir ini
hanya dibahas runtun waktu yang mempunyai fungsi mean konstan.
Perhitungan dari indeks harga saham menjadi pengembalian dihitung dengan
menggunakan rumus diferensi :
1t t tR S S =
tR : Tingkat pengembalian pada waktu t
tS : Indeks harga penutupan saham pada saat t
Dari kedua gambar tersebut, terlihat adanya pengelompokan
volatilitas, yaitu keragaman nilai pada data runtun waktu antar periode
membentuk kelompok-kelompok. Pada periode tertentu keragaman nilai ini
bernilai relatif kecil-kecil, sedangkan pada periode lain bernilai relatif besar-
besar. Dengan kata lain, nilai runtun waktu yang besar (atau kecil),
cenderung diikuti oleh nilai yang besar (atau kecil) pula pada waktu
berikutnya, baik bernilai positif maupun negatif. Ini mengindikasikan bahwa
variansi bersyarat pada suatu waktu, bergantung pada nilai runtun waktu
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
60/142
50
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4
-3
-2
-1
0
1
2
3Simulasi Y(t)
sebelumnya. Bandingkan pola yang terjadi pada Gambar 3.1 dan 3.2 dengan
Gambar 3.3 di bawah ini yang merupakan simulasi proses ARMA(1,1).
Gambar 3.3. Simulasi Proses ARMA 1 10.1 0.3t t t tY Y a a = +
dengan ( )NIID 0,1ta
Dari Gambar 3.3, terlihat bahwa pada proses ARMA, nilai runtun waktu
menyebar dengan keragaman yang terlihat konstan sepanjang waktu dan
tidak ada yang mengelompok. Oleh karena itu data runtun waktu finansial
dengan adanya pengelompokan volatilitas, tidak sesuai apabila dimodelkan
dengan menggunakan model ARMA biasa, karena proses ARMA biasa tidak
dapat menangkap adanya pengelompokan volatilitas.
3.3 PEMODELAN FAKTOR PENGGANGGGU UNTUK RUNTUN
WAKTU DENGAN PENGELOMPOKAN VOLATILITAS
Telah dijelaskan sebelumnya bahwa pada runtun waktu finansial
dengan adanya pengelompokan volatilitas mengindikasikan bahwa variansi
bersyarat pada suatu waktu, bergantung pada nilai runtun waktu sebelumnya.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
61/142
51
Sehingga untuk membentuk model yang dapat menangkap adanya peristiwa
pengelompokan volatilitas pada runtun waktu { }tY , akan dimulai dengan
memodelkan untuk variansi bersyarat, yaitu ( )1|t tVar Y , yang dapat
mencerminkan peristiwa tersebut. Dari (3.2) terlihat bahwa kekonstanan
variansi bersyarat pada proses ARMA berasal dari homoskedastisitasnya
variansi faktor pengganggu { }ta , yaitu ( ) ( )2
1|t t t aVar Y Var a = = . Jadi
untuk mencari model yang dapat menangkap pengelompokan volatilitas pada
suatu proses runtun waktu { }tY , akan dimulai dengan memodelkan faktor
pengganggu dari model yang baru, yaitu dinotasikan dengan { }t .
3.3.1 Model dengan Variabel Eksogen
Model dengan variabel eksogen dituliskan sebagai berikut :
1t t ta X =
dengan { }ta adalah proses white noiseyang berdistribusi ( )2NIID 0, a dan
tX adalah variabel eksogen. Asumsikan
ta independen dengan 1tX . Pada
model ini, nilai faktor pengganggu saat ini merupakan perkalian white noise
saat ini dengan suatu variabel eksogen satu waktu sebelumnya. Variabel
eksogen tX adalah variabel lain yang dipilih karena diduga mempengaruhi
variansi dari runtun waktu yang dianalisis.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
62/142
52
Variansi bersyarat dari t dengan diberikan 1t yaitu :
( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1 1t t t t t t t t aVar Var a X X Var a X = = =
Variansi bersyarat tersebut bersifat heteroskedastik karena nilainya
bergantung pada waktu. Tetapi model ini terlihat tidak baik, karena
memerlukan adanya spesifikasi variabel lain, yaitu variabel eksogen tX
tersebut. Tidak mudah mencari variabel eksogen yang tepat, karena dalam
bidang finansial banyak faktor yang saling mempengaruhi. Karena kesulitan
inilah, model ini jarang diperhitungkan pada analisis runtun waktu.
3.3.2 Model Bil inier
Model bilinier dituliskan sebagai berikut :
1t t ta =
dengan { }ta adalahwhite noiseyang berdistribusi ( )2NIID 0, a . Asumsikan
ta independen dengan 1t . Jadi pada model bilinier, faktor pengganggu saat
ini bergantung pada dirinya sendiri satu waktu sebelumnya.
Variansi bersyarat darit
dengan diberikan 1t yaitu :
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1 1 1| | |t t t t t t t t t t t aVar Var a Var a Var a = = = =
Variansi bersyarat ini bersifat heteroskedastik karena bergantung pada
waktu.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
63/142
53
Sedangkan variansi tak bersyaratnya yaitu :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 1t t t t t t a tVar E E a E a E Var = = = =
Jika 2 1a < maka barisan ( ){ }, 1,2,...tVar t = akan semakin kecil sampai
akhirnya mendekati nol, sedangkan jika 2 1a
> maka barisan
( ){ }, 1,2,...tVar t = akan semakin besar sampai tak berhingga. Ini
menyebabkan model bilinier ini tidak baik.
3.3.3 ModelAutoregressive Conditional Heteroscedasticity(ARCH)
ModelAutoregressive Conditional Heteroscedasticity(ARCH) pertama
kali diperkenalkan oleh Engle (1982), yaitu :
1 2t t ta h = (3.3)
dengan 20 1 1 0 1, 0, 0t th = + >
dengan { }ta adalah proses white noiseyang berdistribusi NIID(0,1).
Asumsikan ta independen dengan 1t . Jadi ARCH didapatkan dari perkalian
white noise yang berdistribusi NIID(0,1) dengan suatu fungsi linier dari
kuadrat dirinya sendiri satu waktu sebelumnya. Sehingga model tersebut
sering disebut juga dengan model ARCH linier. Kemudian karena bergantung
pada kuadrat dirinya sendiri satu waktu sebelumnya, model (3.3) disebut
dengan model ARCH orde pertama, atau disingkat dengan ARCH(1).
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
64/142
54
Sehingga { }t yang memenuhi persamaan (3.3) disebut mengikuti proses
ARCH(1).
Dengan diberikan 1t , mean dan variansi dari t pada (3.3) yaitu :
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 21 1 1 | | | 0t t t t t t t t t tE E a h h E a h E a = = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 21 1 1 0 1 1| | |t t t t t t t t t t t tVar Var a h hVar a hVar a h = = = = = +
Sehingga dapat ditulis
( )1| N 0,t t th
Variansi bersyaratnya bersifat heteroskedastik, karena bergantung pada
kuadrat dirinya sendiri satu waktu sebelumnya. Nilai 2t yang besar (atau
kecil) akan mengakibatkan variansi periode selanjutnya menjadi besar (atau
kecil) pula. Inilah yang mencerminkan adanya pengelompokan volatilitas.
Dengan diberikan 1t , mean dan variansi bersyarat dari
1 1 2 2 1 1 2 2 ...t t t p t p t t t q t qY Y Y Y = + + + + , (3.4)
dengan 1 2t t ta h = ,
2
0 1 1t th = + , 0 10, 0 >
yaitu :
( )1 1 1 2 2 1 1 2 2| ...t t t t p t p t t q t qE Y y y y = + + +
( ) ( )1 1| |t t t t tVar Y Var h = =
Mean bersyaratnya sama seperti pada (3.1), sedangkan variansi
bersyaratnya bersifat heteroskedastik karena bergantung pada waktu. Jadi
dapat disimpulkan bahwa { }t yang mengikuti proses ARCH, akan
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
65/142
55
membawa kepada { }tY yang juga bersifat heteroskedastik (bersyarat).
Sedangkan untuk variansi tak bersyarat akan dibahas nanti. Model (3.4)
disebut dengan model ARMA-ARCH(1), yaitu model runtun waktu ARMA
dengan faktor pengganggu mengikuti proses ARCH(1).
3.4 PROSESAUTOREGRESSIVE CONDITIONAL
HETEROSCEDASTICITY(ARCH)
3.4.1 Proses ARCH Orde Pertama
Misalkan { }t adalah proses stokastik waktu diskrit yang bernilai real,
dan 1t adalah himpunan informasi dari semua informasi masa lalu sampai
waktu 1t . Proses { }t mengikuti proses ARCH orde pertama, atau
disingkat dengan ARCH(1), jika :
( ) 1| N 0,t t th
2
0 1 1t th = + , 0 10, 0 > (3.5)
Jika 1 0 = maka 0th = , sehingga ( )1 0| N 0,t t t = adalah proses
white noise dengan variansi 0 . Proses ARCH(1) dapat bersifat stasioner
dengan syarat yang diberikan oleh Teorema 1 berikut ini. Kemudian untuk
pembahasan selanjutnya, hanya dibahas proses ARCH(1) yang stasioner.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
66/142
56
Teorema 1
Proses { }t yang mengikuti proses ARCH(1), bersifat stasioner dengan
( ) 0tE = , ( )0
11t
Var
=
dan ( ), 0, 0t t kCov k =
jika dan hanya jika 1 1 < .
(Bukti di Lampiran 1)
Kemudian Teorema 2 berikut ini akan memberikan syarat eksistensi
momen genap dari distribusi tak bersyarat dari { }t yang mengikuti proses
ARCH(1), yang selanjutnya dapat digunakan untuk mencari kurtosis.
Sedangkan momen ganjilnya, dari kesimetrisan ( )1| N 0,t t th ,
( ) ( )( )1 0s st t tE E E = = (3.6)
dengan sbilangan ganjil (bukti di Lampiran 1).
Teorema 2
Momen ke-2rdari { }t yang mengikuti proses ARCH(1), ada, jika dan hanya
jika 1 1r
rc < . Momen tersebut dapat diekspresikan dengan rumus rekursif
( ) ( ) ( )
1 12 20 1 1
0 1
rr r j j j r
t r t r
j
r
E c E cj
=
=
dengan ( )01
1, 2 1 , 1,2,r
r
j
c c j r =
= = = .
(Bukti di Lampiran 1)
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
67/142
57
Skewness distribusi tak bersyarat dari { }t yang mengikuti proses
ARCH(1) yaitu :
( )
( )( )( ) ( )3
3
3 3 0t t
t t t
t
E E E
skew
= = = ,
(karena dari (3.6), ( )3 0tE = ). Ini mengimplikasikan bahwa distribusi tak
bersyarat dari { }t yang mengikuti proses ARCH(1) bersifat simetris.
Dari Teorema 1, variansi dari { }t yang mengikuti proses ARCH(1)
yaitu :
( ) ( )2 011
t tVar E
= =
, 1 1 <
Dari Teorema 2, momen keempatnya yaitu :
( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )
( )
1 14 2 2 2
2 0 1 10
112 20 0 1 0 1 1
12 21 10 1
1
12 2 210 1 1
1
21 3
3 2 1 1 3
1 2 3 1 3
1
1 3 1 3 , 3 1
1
j j j
t t
j
E c Ej
=
=
= +
+=
+=
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
68/142
58
Nilai kurtosisnya lebih besar dari 3 (karena 1 1 < dan213 1 < ) sehingga
distribusi tak bersyarat dari { }t yang mengikuti proses ARCH(1) mempunyai
ekor yang lebih tebal daripada distribusi Normal (bersifat leptokurtik). Jadi
{ }t tidak berdistribusi Normal. Ini jelas berbeda dengan white noise yang
berdistribusi Normal (kurtosis distribusi Normal adalah 3, bukti di Lampiran 3).
3.4.2 Proses ARCH Orde Ke-n
Misalkan { }t adalah proses stokastik waktu diskrit yang bernilai real,
dan 1t adalah himpunan informasi dari semua informasi masa lalu yang
terdapat sampai pada waktu 1t . Proses { }t mengikuti proses ARCH orde
ke-n, atau disingkat dengan ARCH(n), jika :
( )1| N 0,t t th
2 2 20 1 1 0
1
...n
t t n t n i t ii
h =
= + + + = + (3.7)
0 0, 0, 1, ,i i n > =
Jadi pada proses ini, variansi bersyaratnya merupakan fungsi linier dari
2 2 21 2, , ,t t t n . Seperti pada proses ARCH(1), Teorema 3 berikut ini akan
memberikan syarat stasioner untuk { }t yang mengikuti proses ARCH(n),
dan untuk pembahasan selanjutnya hanya dibahas proses ARCH(n) yang
stasioner.
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
69/142
59
Teorema 3
Proses { }t yang mengikuti proses ARCH(n) bersifat stasioner dengan
( ) 0tE = , ( )0
1
1t n
i
i
Var
=
=
dan ( ), 0, 0t t kCov k = (3.8)
jika dan hanya jika1
1n
ii
=
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
70/142
60
Nilai ( )2tVar tersebut konstan terhadap waktu karena, karena ( )4tE dan
( )2tE keduanya konstan terhadap waktu. Kemudian berikut ini akan dicari
fungsi autokorelasi dari { }2t . Notasikan fungsi autokovariansi antara 2t dan
2t k dengan :
( ) ( )2 2 2,t
t t kk Cov
=
Definisikan 2t t tv h= . Mean bersyarat dari tv yaitu :
( ) ( )( ) ( )2 2
1 1 1 0t t t t t t t tE v E h E h = = =
(karena ( ) ( )2 1 1t t t t tE Var h = = ). Sehingga mean dari tv yaitu :
( ) ( )( )1 0t t tE v E E v = =
Substitusikan 2t t th v= ke dalam (3.7) maka didapatkan :
2 20
1
n
t t i t i
i
v
=
= +
2 2
01
n
t i t i t
i
v =
= + + (3.9)
Dari (3.8), ( ) 2 0
1
1t n
i
i
Var
=
= =
, atau 20
1
1n
i
i
=
=
. Kemudian
subtitusikan ke dalam (3.9) maka didapatkan :
( )
( )
2 2 2
1 1
2 2 2
1
2 2 2 2
1
1
n n
t i i t i t
i i
n
i t i t
i
n
t i t i t
i
v
v
v
= =
=
=
= + +
= + +
= +
Model runtun..., Peni Shanti Suryani, FMIPA UI, 2007
-
7/24/2019 Digital 20180936 029 07 Model Runtun
71/142
61
Dengan mengalikan kedua sisinya dengan ( )2 2 , 1t k k , kemudian
diekspektasikan sehingga didapatkan :
( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 2 , 1
n
t t k i t i t k
i
t t k
E E
E v k
=
=
+
(3.10)
Karena
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
2 2 2 21
2 21
0, 1
t t k t t k t
t k t t
E v E E v
E E v
k
=
=
=
sehingga (3.10) menjadi :
( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )
( )2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
1
2 2
1
,
,
t
n
t t k i t i t k
i
n
t t k i t i t k
i
n
i t i t k
i
i
E E
Cov E
Cov
k
=
=
=
=
=
=
=
( )21
, 1t
n
i
k i k
=
Dengan membagi kedua sisinya dengan ( ) ( )22 0t
tVar
= , dari rumus
( ) ( ) ( )0k k = , maka didapatkan fungsi autokorelasi berikut ini :
( ) ( )2 21
,
top related