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Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsUn nuevo método: flujos Hamiltonianos
ResultadosResumen
Cromodinámica Cuántica en la norma de Coulomb
Axel Weber
Instituto de Física y Matemáticas (IFM)Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH)
Morelia, Michoacán
XXIV Reunión Anual de la División de Partículas y Campos de la SMF
ICN-UNAM, México, D.F., 19–21 de mayo de 2010
Axel Weber QCD en la norma de Coulomb
Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsUn nuevo método: flujos Hamiltonianos
ResultadosResumen
Este trabajo se llevó a cabo en colaboración con
Markus Leder y Hugo Reinhardt,Instituto de Física Teórica,Universidad de Tübingen, Alemania
Jan M. Pawlowski,Instituto de Física Teórica,Universidad de Heidelberg, Alemania
Axel Weber QCD en la norma de Coulomb
Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsUn nuevo método: flujos Hamiltonianos
ResultadosResumen
Contenido
1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsHamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
2 Un nuevo método: flujos HamiltonianosEl grupo de renormalización funcionalImplementación
3 ResultadosDimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
4 Resumen
Axel Weber QCD en la norma de Coulomb
Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsUn nuevo método: flujos Hamiltonianos
ResultadosResumen
Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Contenido
1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsHamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
2 Un nuevo método: flujos HamiltonianosEl grupo de renormalización funcionalImplementación
3 ResultadosDimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
4 Resumen
Axel Weber QCD en la norma de Coulomb
Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsUn nuevo método: flujos Hamiltonianos
ResultadosResumen
Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Norma de Weyl
Teoría de Yang-Mills = Cromodinámica Cuántica sin cuarks dinámicos
norma de Weyl: Aa0(x) ≡ 0 (a = 1, . . . , 8) ⇒
H = −1
2
Z
d3xδ
δAa(x)·
δ
δAa(x)+
1
2
Z
d3x Ba(x) · Ba(x) ,
Baj = −
1
2ǫjkℓF
akℓ =
h
∇× Aa −g
2f abcAb × Ac
i
j,
1
i
δ
δAaj (x)
= −Eaj = −F a
0j
estados: ψ[A] = ψ[AU ] ante transformaciones de norma espaciales
AU = U AU† −i
gU ∇U† , U = U(x) ∈ SU(3)
producto escalar:
〈φ|ψ〉 =
Z
D[A]φ∗[A]ψ[A]
Axel Weber QCD en la norma de Coulomb
Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsUn nuevo método: flujos Hamiltonianos
ResultadosResumen
Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Norma de Coulomb
Norma de Coulomb: fijar la invarianza ante transformaciones espaciales U(x) por
∇ · Aa(x) = 0
producto escalar:
〈φ|ψ〉 =
Z
D[A] J[A]φ∗[A]ψ[A] ,
a integrarse sobre las componentes transversales de A,
Aaj (p) =
„
δjk −pj pk
p2
«
Aak (p) ,
J[A] = Det (−∇ · D) el determinante de Faddeev-Popov ,
Dab = δab∇ + g f abcAc(x)
Axel Weber QCD en la norma de Coulomb
Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsUn nuevo método: flujos Hamiltonianos
ResultadosResumen
Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Hamiltoniano de Christ-Lee
Eliminar la componente longitudinal de Ea(x) = δ/δAa(x) a partir de la ley de Gaussno abeliana (invarianza ante tranformaciones de norma espaciales para los estados enla norma de Weyl) ⇒ el Hamiltoniano de Christ-Lee
HCL = −1
2
Z
d3x1
J[A]
δ
δAa(x)· J[A]
δ
δAa(x)+
1
2
Z
d3x Ba(x) · Ba(x)
+1
2
Z
d3x d3y1
J[A]ρa(x) J[A] 〈x, a|(−∇ · D)−1(−∇2)(−∇ · D)−1|y, b〉 ρb(y)
= −1
2
Z
d3xδ
δAa(x)·
δ
δAa(x)+
1
2
Z
d3x Aa(x) · (−∇2) Aa(x) + O(g) ,
con la densidad de carga de color de los gluones
ρa(x) = g f abcAb(x) ·1
i
δ
δAc(x)
Axel Weber QCD en la norma de Coulomb
Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsUn nuevo método: flujos Hamiltonianos
ResultadosResumen
Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Potencial de Coulomb a color
Agregar cargas de color estáticas (cuarks pesados) ρq(x),
ρa(x) → ρaq(x) + g f abcAb(x) ·
1
i
δ
δAc(x)
⇒ término de interacción entre las cargas estáticas
Hq =1
2
Z
d3x d3y ρaq(x)F ab(x, y)ρb
q(y)
con el potencial de Coulomb a color
F ab(x, y) = 〈x, a|(−∇ · D)−1(−∇2)(−∇ · D)−1|y, b〉
para g2 → 0,
F ab(x, y) → 〈x, a|(−∇2)−1(−∇2)(−∇2)−1|y, b〉
= δab〈x|(−∇2)−1|y〉 = δab 1
4π
1
|x − y|
en el infrarrojo, F ab(x, y) causa la interacción confinante entre los cuarks (y losgluones)
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Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Contenido
1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsHamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
2 Un nuevo método: flujos HamiltonianosEl grupo de renormalización funcionalImplementación
3 ResultadosDimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
4 Resumen
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ResultadosResumen
Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Funciones de correlación
Escribir J[A] de forma local
J[A] = Det (−∇ · D) =
Z
D[c̄, c] exp»
−
Z
d3x c̄a(x)(−∇ · Dab)cb(x)
–
⇒ valores esperados en el vacío
〈F〉 =
Z
D[c̄, c,A]F e−R
d3x c̄(−∇·D)c |ψ0[A]|2 ,
ψ0[A] = exp
"
−1
2
Z
d3p
(2π)3Aa(−p) |p|Aa(p) + O(g)
#
funciones de correlación a tiempos iguales
D
Aaj (p) Ab
k (−q)E
=1
2ω(|p|)δab„
δjk −pj pk
p2
«
(2π)3δ(p − q) ,
D
ca(p) c̄b(−q)E
=D
〈p, a|(−∇ · D)−1|q, b〉E
=d(|p|)
p2δab (2π)3δ(p − q)
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ResultadosResumen
Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Dimensiones anómalas
En el ultravioleta p ≫ ΛQCD ,
ω(p) = p + O(g2) , d(p) = 1 + O(g2) ,
dimensiones anómalas (logarítmicas) se calculan en teoría de perturbacionesD. Campagnari, AW, H. Reinhardt, F. Astorga, W. Schleifenbaum, arXiv:0910.4548 [hep-th]
en el infrarrojo p ≪ ΛQCD , el principio variacional para funcionales de vacíoGaussianas
ψ0[A] = exp
"
−1
2
Z
d3p
(2π)3Aa(−p) ω̃(|p|) Aa(p)
#
lleva a ecuaciones de tipo Dyson-SchwingerA.P. Szczepaniak, E.S. Swanson, PRD65 (2001) 025012; C. Feuchter, H. Reinhardt, PRD70 (2004) 105021
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ResultadosResumen
Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Resultados numéricos
soluciones numéricas (para todo el rango de momentos) y analíticas en el infrarrojo:
ω(p) ∝1
pα, d(p) ∝
1
pβ, regla de suma: α = 2β − 1 ,
solución 1: (α = 0.592, β = 0.796) , solución 2: (α = 1, β = 1)
D. Zwanziger, PRD70 (2004) 094034; C. Feuchter, H. Reinhardt, PRD70 (2004) 105021; W. Schleifenbaum, M.
Leder, H. Reinhardt, PRD73 (2006) 125019; D. Epple, H. Reinhardt, W. Schleifenbaum, PRD75 (2007) 045011
Ambas soluciones: escalamiento; para p → 0,
1
2ω(p)→ 0 , d(p) → ∞
se confirma el comportamiento de ω(p) en cálculos sobre redes (problemas: redes degran tamaño, fijación de norma “completa”), favorecen α = 1G. Burgio, M. Quandt, H. Reinhardt, PRL102 (2009) 032002
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Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Potencial de Coulomb a color
Ahora: incluir el potencial de Coulomb a color,D
F ab(x, y)E
=D
〈x, a|(−∇ · D)−1(−∇2)(−∇ · D)−1|y, b〉E
,
se deriva una ecuación de tipo Dyson-Schwinger para˙
F ab(x, y)¸
a partir de larelación
fi
ca(x)
„Z
d3z c̄d (z)(−∇2z)c
d (z)«
c̄b(y)
fl
=D
〈x, a|(−∇ · D)−1(−∇2)(−∇ · D)−1|y, b〉E
−
fi
〈x, a|(−∇ · D)−1|y, b〉„Z
d3z 〈z, d |(−∇2)(−∇ · D)−1|z, d〉«fl
(diagramáticamente, los dos términos se distinguen fácilmente)
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ResultadosResumen
Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
Factor de forma de Coulomb
factorización de las funciones de correlación externas:
D
F ab(p,q)E
=d(p)
p2p2f (|p|)
d(p)
p2δab (2π)3δ(p − q) ,
define el factor de forma de Coulomb f (p);
f (p) = 1 + O(g2) en teoría de perturbaciones
d(p)f (p)d(p) ∝1
p2en el infrarrojo para confinamiento lineal
incluir la ecuación para f (p) en el sistema de ecuaciones de tipo Dyson-Schwingerpara ω(p) y d(p)⇒ no hay soluciones consistentes en el infrarrojo, ni analíticas ni numéricas (conescalamiento, en la aproximación considerada)D. Epple, H. Reinhardt, W. Schleifenbaum, A.P. Szczepaniak, PRD77 (2008) 085007
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ResultadosResumen
El grupo de renormalización funcionalImplementación
Contenido
1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsHamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
2 Un nuevo método: flujos HamiltonianosEl grupo de renormalización funcionalImplementación
3 ResultadosDimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
4 Resumen
Axel Weber QCD en la norma de Coulomb
Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsUn nuevo método: flujos Hamiltonianos
ResultadosResumen
El grupo de renormalización funcionalImplementación
Funcional generatriz
Considerar la funcional generatriz de funciones de correlación a tiempos iguales,
Z [J, η, η̄] =
Z
D[c̄, c,A] e−R
d3x c̄(−∇·D)c |ψ0[A]|2
× exp„Z
d3xˆ
Ja(x) · Aa(x) + c̄a(x)ηa(x) + η̄a(x)ca(x)˜
«
introducir un corte infrarrojo k en la integral funcional, tal que la integración serestringe efectivamente a los modos p con p & k :
Zk [J, η, η̄] =
Z
D[c̄, c,A] exp
−
Z
d3p
(2π)3c̄a(−p)Rc
k (|p|) ca(p)
!
× exp
−1
2
Z
d3p
(2π)3Aa(−p) · RA
k (|p|) Aa(p)
!
× e−R
d3x c̄(−∇·D)c+ln|ψ0[A]|2 eR
d3x [J·A+c̄η+η̄c]
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ResultadosResumen
El grupo de renormalización funcionalImplementación
Propiedades de las funciones del corte
Propiedades de las funciones Rck (p), RA
k (p):
(i) para p ≪ k , Rc,Ak (p) → ∞
⇒ integración sobre modos p ≪ k exponencialmente suprimida
(ii) para p ≫ k , Rc,Ak (p) → 0 ,
en particular, para k → 0: Rc,Ak (p) → 0, entonces Zk [J, η, η̄] → Z [J, η, η̄]
nuestra elección:
Rck (p) = p2rk (p) , RA
k (p) = 2p rk (p) , rk (p) = exp
k2
p2−
p2
k2
!
Estrategia: empezar con un valor k = k0 grande:
libertad asintótica ⇒ ψ0[A] para A(p) con p & k0 se reduce a la funcionalperturbativa,
ψ0[A] = exp
"
−1
2
Z
d3p
(2π)3Aa(−p) |p|Aa(p) + O(g)
#
y Zk0[J, η, η̄] se puede determinar en teoría de perturbaciones
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ResultadosResumen
El grupo de renormalización funcionalImplementación
Aproximación del flujo
Ecuación diferencial funcional exacta para (∂/∂k)Zk [J, η, η̄]⇔ sistema infinito de ecuaciones diferenciales para las funciones de correlación atiempos iguales; integrar hasta k = 0
Aproximación más sencilla:
(i) mantener la dependencia del momento completamente en las funciones decorrelación de dos puntos,
D
Aai (p) Ab
j (−q)E
k=
1
2ωk (p)δab„
δij −pi pj
p2
«
(2π)3δ(p − q) ,
D
ca(p) c̄b(−q)E
k=
dk (p)
p2δab (2π)3δ(p − q)
(ii) utilizar el teorema de no renormalización de Taylor para el vértice fantasma-gluonD
ca(p) c̄b(q) Adj (r)
E
k
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El grupo de renormalización funcionalImplementación
Ecuaciones de flujo
(iii) despreciar el vértice de tres gluonesD
Aaj (p)Ab
l (q)Adm(r)
E
ky todos los vértices
propios de cuatro y más puntos;
justificado en el infrarrojo en el caso de dominio de fantasmas:
1
2ω(p)→ 0 , d(p) → ∞ para p → 0
resultado de estas aproximaciones: las ecuaciones de flujo
2 ∂kωk (p) = ∂k
»
“ ”−1
p− RA
k (p)
–
=p
+ p
p2∂k d−1k (p) = ∂k
»
“ ”−1
p− Rc
k (p)
–
=p
+ p
propagadores externos truncados, = ∂k Rc,Ak
las integrales sobre los momentos en los lazos están regularizadas en el infrarrojo y elultravioleta por las propiedades de las Rc,A
k
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El grupo de renormalización funcionalImplementación
Contenido
1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsHamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo
2 Un nuevo método: flujos HamiltonianosEl grupo de renormalización funcionalImplementación
3 ResultadosDimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
4 Resumen
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ResultadosResumen
El grupo de renormalización funcionalImplementación
Ecuaciones integrales
Convertir ecuaciones de flujo en ecuaciones integrales
2ˆ
ωk1(p) − ωk0
(p)˜
= −2Z k0
k1
dk ∂kωk (p) = −
Z k0
k1
dk»
p+ p
–
,
p2
"
1
dk1(p)
−1
dk0(p)
#
= −
Z k0
k1
dk»
p+ p
–
⇒ ωk1(p) y dk1
(p) dadas en términos de
ωk (q) y dk (q), k1 ≤ k ≤ k0 (y 0 ≤ q <∞)
y condiciones iniciales ωk0(p), dk0
(p)
solución numérica por iteración con relaxación, representación de ωk (p) y dk (p) porpolinomios de Chebyshev en p y k , en escala logarítmica, integración sobre q y k conel método de Gauss-Legendre (extrapolación en q utilizando propiedades conocidasde ωk (q) y dk (q))
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El grupo de renormalización funcionalImplementación
Condiciones iniciales
Condiciones iniciales ωk0(p) y dk0
(p) determinados por condiciones de normalización:
(i) para k1 ≪ k0 y p ∼ k0 (k1 < p < k0 y p ≫ ΛQCD)
ωk1(p) − ωk0
(p) = a + b p , (a, b = const.)
⇒ elegir ωk0(p) = −a, para que
ωk1(p) = b p (b ≈ 1)
(ii) implementar dominio de fantasmas: d−1k1
(p = 0) → 0 para k1 → 0;en la práctica se integra hasta k1 = kmin > 0 y hay que implementar la condición demanera diferente: se ajusta d−1
k0= d−1
k0(p) (constante en p) de tal manera que
d−1kmin
(p) = A pB (A,B = const.)
para kmin < p ≪ ΛQCD ⇔
d
dp
„
d
d ln pln d−1
kmin(p)
«
= 0 ,
da una ecuación para d−1k0
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El grupo de renormalización funcionalImplementación
Ejemplo
Generación gradual de la ley de potencia en el infrarrojo por el flujo, para dk (p):
1e-041e-021e+001e+021e+04
1e-051e-021e+011e+04
1e+00
1e+01
1e+02
1e+03
1e+04
kp
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Dimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
Contenido
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2 Un nuevo método: flujos HamiltonianosEl grupo de renormalización funcionalImplementación
3 ResultadosDimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
4 Resumen
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Dimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
Función de correlación de fantasmas
10-7
10-5
10-3
10-1
101
103
p [GeV]
100
101
102
103
104
kmin
~10-3
kmin
~10-4
kmin
~10-5
en el infrarrojo: d(p) ∝1
pβ, β = 0.64
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Dimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
Función de correlación de gluones
10-7
10-5
10-3
10-1
101
103
p [GeV]
10
100
kmin
~10-3
kmin
~10-4
kmin
~10-5
en el infrarrojo: ω(p) ∝1
pα, α = 0.28
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Dimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
Interpretación
Se cumple la regla de suma α = 2β − 1
los exponentes (α = 0.28, β = 0.64) son más pequeños que los de las dos solucionesconocidas con ecuaciones de tipo Dyson-Schwinger
se interpreta que corresponden a la solución conocida (α = 0.592, β = 0.796) y quela diferencia se debe a las aproximaciones:
de resultados similares en la norma de Landau, se espera que para funciones delcorte Rc,A
k generales, los exponentes sean más pequeños que los exactos
la otra solución conocida (α = 1, β = 1) no se reproduce (¿es inestable?)
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Dimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
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2 Un nuevo método: flujos HamiltonianosEl grupo de renormalización funcionalImplementación
3 ResultadosDimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
4 Resumen
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Dimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
Ecuación de flujo para el potencial de Coulomb
Ecuación de flujo para el factor de forma de Coulomb:
p2∂k fk (p) = ∂k
“
p
”
= −p
− p − p
p= p2fk (p) (propagadores externos truncados),
falta marcar algunos correladores como k -vestidos
conversión en ecuación integral;
condición de normalización: para k1 ≪ k0 y p ∼ k0,
fk1(p) = 1 (arbitrario, ecuación es lineal en fk )
solución por iteración, con las soluciones para ωk (p) y dk (p) dadas
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ResultadosResumen
Dimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
Resultado para el factor de forma de Coulomb
1e-04 1e-02 1e+00 1e+02 1e+04p
1e+00
1e+01
1e+02
1e+03 kmin
= 10-2
kmin
= 10-3
kmin
= 10-4
en el infrarrojo: f (p) ∝1
pγ, γ = 0.57
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ResultadosResumen
Dimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb
¿Confinamiento lineal?
Para el potencial de Coulomb a color,
F (p) =d(p)
p2p2f (p)
d(p)
p2=
1
p2+2β+γ=
1
p 3.85
en el infrarrojo, “casi” confinamiento lineal,
F (p) ∝1
p4
tomar en cuenta que el resultado para β (β = 0.64) probablemente es más pequeñoque el correcto
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ResultadosResumen
Resumen
Formulación Hamiltoniana de la teoría de Yang-Mills en la norma de Coulomb
Potencial entre cargas de color estáticas explícito en el Hamiltoniano, causa elconfinamiento de los cuarks y los gluones
Principio variacional para la funcional del vacío lleva a dos diferentes soluciones conescalamiento en el infrarrojo, incompatibles con la ecuación correspondiente para elpotencial de Coulomb a color
Nuevo método: flujos Hamiltonianos, una aplicación del grupo de renormalizaciónfuncional (en tres dimensiones) a la formulación Hamiltoniana
En la aproximación más sencilla se encuentra una solución con escalamiento en elinfrarrojo, correspondiente a una de las soluciones conocidas
La ecuación de flujo para el factor de forma de Coulomb es compatible con las otrasecuaciones de flujo, y para el potencial de Coulomb a color resulta en el infrarrojo
F (p) ∝1
p 3.85,
“cerca” del resultado para confinamiento lineal, F (p) ∝ p−4
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ResultadosResumen
Colaboración en IRQCD
Grupo actual en el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Tübingen enAlemania:
H. Reinhardt, M. Quandt, G. Burgio, P. Watson, M. Leder, D. Campagnari, M. Pak,W. Schleifenbaum
Grupo en formación en el Instituto de Física y Matemáticas de la UniversidadMichoacana de San Nicolás de Hidalgo:
F. Astorga, A. Bashir, V. Villanueva, P. Dell’Olio, AW
Axel Weber QCD en la norma de Coulomb
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