coordinate polari sia p ha coordinate cartesiane le coordinate polari di p sono: 1

COORDINATE POLARI• Sia P ha coordinate cartesiane

Le coordinate polari di P sono:

1

O

P

1P

2P

x Px

Py

y

OP POxasse ˆ

),( PP yx

COORDINATE POLARI• P ha coordinate cartesiane (1, 1)

Le coordinate polari di P sono:

2

O

P

1P

2P

x 1Px

1Py

4

2

y

)4

,2(,

COORDINATE POLARI

• Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:

• si osservi che:

3

cosx siny

22 yx

4

PRODOTTO SCALARE

• Si chiama prodotto internoprodotto interno ( o moltiplicazione scalaremoltiplicazione scalare) tra due vettori il numero numero definito da:

• Si chiama norma euclidea norma euclidea di un vettore idi un vettore il numero numero definito da:

• La norma (euclidea) di un vettore rappresenta la lunghezza del vettore.

n

iii yxyx

1

,

2/1

1

2 ,)(

xxxxn

ii

5

NORMA

• Possono essere definite altri tipi di norma.

• La norma di un vettore è una funzione che soddisfa:

1.

2.

3.

00,0 xxx

Rxx

212121 , xxxxxx

6

PRODOTTO SCALARE

• Si considerino i due vettori :

La lunghezza (la norma euclidea) dei due vettori è data da:

0

1

2

3

4

5

-4 -2 2 4x

2

4x

2

1y

xy

541

20416

y

x

7

PRODOTTO SCALARE

• Rappresentando le componenti dei 2 vettori in coordinate polari si ha :

• Il prodotto scalare dei due vettori diventa:

sin20

cos20

2

4x

sin5

cos5

2

1y

)cos(

)sinsincos(cos520

cos5sin20cos5cos20

,

yx

yx

8

PRODOTTO SCALARE

• Si noti che il prodotto scalare dei due vettori non nulli:

• è nullo in quanto i due vettori sono perpendicolari, per cui

2

4x

2

1y

0)cos(

9

VETTORI ORTONORMALI

• Dato un qualunque vettore di norma si può introdurre il vettore normalizzato espresso da:

• Due vettori e si dicono ortonormali se sono ortogonali e ciascuno ha norma unitaria.

• Se le colonne (o le righe) di una matrice sono a 2 a 2 ortonormali la matrice è ortogonale.

x

xx *

x x*x

*x *y

10

ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE

• Esempio

Si considerino i due vettori e costituiti dai prezzi di chiusura settimanale di 2 titoli nelle ultime settimane.Il coefficiente di correlazione lineare tra le due serie di prezzi può essere espresso da:

dove rappresenta la media aritmetica dei prezzi di chiusura del titolo i-esimo.

)()(

)(),(

21

21

yMyxMx

yMyxMxr

x yn

,2,1),( ixM i

11

ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE

• Siano dati 2 titoli i cui prezzi di chiusura nelle ultime 4 settimane sono stati:

• Il prezzo medio nelle ultime 4 settimane per ciascun titolo è dato dalla rispettiva media aritmetica

5

9

8

10

14

13

11

10

yx

84

59810)(

124

14131110)(

2

1

yM

xM

12

ESEMPIO: IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE

• Per calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra i 2 titoli è utile costruire i 2 vettori:

• Per cui si ha:

-0,760643,7416573,162278

9

)()(

)(),(

21

21

yMyxMx

yMyxMxr

3

1

0

2

85

89

88

810

)(

2

1

1

2

1214

1213

1211

1210

)( 21 yMyxMx

SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi

Si considerino 2 insiemi V e K.Si introducano 2 operazioni:• “composizione interna” tra elementi di V;• “composizione esterna” tra elementi di V ed elementi di K.Esempio 1.

Composizione interna = somma tra matrici quadrate;Composizione esterna = prodotto di una matrice per uno

scalare.

13

RKeMV n

Esempio 2Sia V l’insieme dei polinomi algebrici di grado al massimo n.

Composizione interna = somma tra polinomi;Composizione esterna = prodotto di un polinomio per uno

scalare.N.B.

Controllare cosa succede se V è l’insieme dei polinomi algebrici di grado n.

14

RKexpV n )(

SPAZI VETTORIALI Definizione ed esempi

SPAZI VETTORIALI

Un vettore in Fisica è definito come un ente costituito da un punto di applicazione (O), una direzione (retta per O e per P) e un verso (da O a P), una lunghezza (misura di OP).

15

O

P

1P

2P

xPx

Py

OP

y

x

SPAZI VETTORIALI

I vettori nella figura che segue sono equivalenti al vettore .

Da questo momento faremo riferimento ai vettori applicati nell’origine.

16

O

P

1P

2P

xPx

Py

OP

y

x

SPAZI VETTORIALI

Dati i due vettori e si definiscono il vettore somma e il vettore differenza come i vettori che hanno come componenti rispettivamente la somma e la differenza delle componenti di e di ; geometricamente sono le diagonali OQ e PR del parallelogramma OPQRO.

17

O

P

R

x

x

y

Q y

x y

x y

COMBINAZIONE LINEARE

Sia V uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K. Se W è sottoinsieme di V e W è a sua volta uno spazio vettoriale rispetto al campo degli scalari K, allora si dice che W è sottospazio vettoriale di V. Dati n elementi (vettori) di uno spazio vettoriale V ed n scalari si definisce combinazione lineare il vettore di V espresso da :

18

nxxx ,...,, 21

n ,...,, 21

nnxxxz ...2211

LINEARE INDIPENDENZA

Gli n vettori dello spazio vettoriale V si dicono linearmente indipendenti se risulta

se e solo se gli n scalari sono tutti contemporaneamente nulli. Se il vettore nullo si ottiene come combinazione lineare di n vettori con coefficienti non tutti nulli allora i vettori si dicono linearmente dipendenti.

19

nxxx ,...,, 21

n ,...,, 21

0...2211 nnxxx

LINEARE DIPENDENZA

Gli n vettori dello spazio vettoriale V sono linearmente dipendenti, e supponiamo che

allora , dividendo per , si ottiene:

ovvero è combinazione lineare degli altri vettori.

20

nxxx ,...,, 2101

0...2211 nnxxx 1

nn xxx1

21

21 ...

1x

ESEMPIO DI L.D.

Si analizzi la lineare dipendenza o indipendenza dei seguenti 3 vettori:.

21

0

1

2

1

1x

0

2

4

2

2x

1

2

1

0

3x

SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D.

Per stabilire la dipendenza o indipendenza lineare dei 3 vettori, occorre determinare le soluzioni del sistema:

22

0

022

042

02

3

321

321

21

SOLUZIONE DELL’ESEMPIO DI L.D.

La matrice dei coefficienti:

ha rango 2, quindi il sistema ammette soluzioni :

e risulta:

23

100

221

142

021

A

1 TT 02/11321

12 2xx

ESEMPIO 2 DI L.D.

Si vuole esprimere il polinomio

come combinazione lineare dei seguenti polinomi:

24

34)( 2 xxxp

52)( 2)1( xxxp

xxxp 32)( 2)2(

3)()3( xxp

GENERATORI E BASI

Dati gli n vettori dello spazio vettoriale V Sia l’insieme delle combinazioni lineari

è un sottospazio vettoriale di e i vettori sono chiamati generatori di .Se h vettori tra gli n generatori sono linearmente indipendenti lo spazio vettoriale da essi generato coincide con . I vettori costituiscono una base di

25

nxxx ,...,, 21

nnxxx ...2211

1x

*V

*V V

nxxx ,...,, 21*V

**V*V

hxxx ,...,, 21

hxxx ,...,, 21*V

GENERATORI E BASI

I vettori costituiscono una base di . Il numero h dei vettori della base viene chiamato dimensione di . Dato un qualunque vettore esso può essere scritto come e i coefficienti della combinazione lineare vengono denominati coordinate (sono uniche!) del vettore rispetto alla base .Dato lo spazio vettoriale di dimensione h, esistono più basi.

26

*Vhxxx ,...,, 21

*V*Vx

hhxxxx ...2211

h ,...,, 21x

hxxx ,...,, 21*V

GENERATORI E BASI

Si considerino 2 basi di

Un vettore può essere espresso nelle 2 basi da

Ovvero come:

Dove :

27

*V

hvvv ,...,, 21*Vx

hhvvvx ...2211

Th ...21

Bx

hvvvB 21

hwww ,...,, 21

hhwwwx ...2211

*Bx

hwwwB 21*

Th ...21

GENERATORI E BASI

Uguagliando si ha

da cui : ovvero

La matrice è denominata matrice di cambiamento di base.

28

*BB

*1 BBA

*1BB BB 1*)(

ESEMPIO DI GENERATORI E BASI

Si consideri lo spazio vettoriale V dei polinomi algebrici di grado minore o uguale a 3:

Si considerino i vettori di V :

Essi sono generatori di V.Non sono linearmente indipendenti.I vettori sono linearmente indipendenti.

29

31

22

13

0)( axaxaxaxp

31 xz 2

2 xz 13 xz 1

4 2xz 05 xz

5321 ,,, zzzz

BASE CANONICA

Si consideri lo spazio vettoriale V delle matrici quadrate di ordine 2. Una base è costituita da

Si considerino i vettori di V :

Sono una base per V, detta canonica.

30

00

011e

00

102e

01

003e

10

004e

ESEMPIO DI CAMBIAMENTO DI BASE

Si considerino i 2 vettori dello spazio vettoriale delle matrici 2x1:

Si determini la matrice di cambiamento di base rispetto alla base canonica.

31

2

3)1(v

3

2)2(v

TRASFORMAZIONI LINEARI

Dati due spazi vettoriali W e si definisce trasformazione lineare di W in ogni funzione tale che:• • Nucleo di T, ker(T), l’insieme dei vettori di W che hanno come immagine il vettore nullo di .Immagine di T, Im(T), l’insieme di vettori di che provengono da vettori di W.

32

)()()( yTxTyxT

)()( xkTkxT

*W*W

*W*W

ESEMPIO DI T.L.

Dati i due spazi vettoriali e si consideri la trasformazione lineare di in :• L’immagine della t.l. è l’insieme . Il nucleo di T, ker(T), è l’insieme dei vettori di che hanno come immagine il vettore nullo di , ovveroDa cui si ricava:

Quindi

33

2121 ),( xxxxT

2RR

2RR 0),( 2121 xxxxT

RxxxT 111 );,()ker(

12 xx

2R R

R

ESEMPIO DI T.L.

Dati i due spazi vettoriali e si dimostri che la legge seguente è una trasformazione lineare :• dove

Analogamente si dimostra che la trasformazione che associa al vettore la media aritmetica delle componenti è una trasformazione lineare:

34

xuxxxxTn

iin ,),...,,(

121

nR R

x

Tu 1...11 Tnxxxx ...21

n

iin x

nxxxT

121

1),...,,(

ESEMPIO DI T.L.

Si determini la trasformazione lineare tra e che fa corrispondere ad ogni vettore il vettore degli scarti dalla media aritmetica.•

35

nRx

nR

TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE

Si consideri la trasformazione lineare tra i due spazi vettoriali e , si può dimostrare il seguente teorema di rappresentazione:

Se

La trasformazione lineare viene denominata isomorfismo.

36

T

1W 2W

TTW kerdimImdimdim 1

2Im WT 0ker T

EQUAZIONE CARATTERISTICA L’equazione caratteristica è data da:

ovvero:

Le soluzioni vengono denominate autovalori. Le soluzioni del sistema:

vengono denominate autovettori corrispondenti all’autovalore .

37

0...)1()det( 011 n

nnnIA

0...11

nnn cc

n ,...,, 21

0)( xIA i

i

EQUAZIONE CARATTERISTICAPer l’equazione caratteristica valgono i seguenti teoremi:1.Il coefficiente della potenza può essere ottenuto dalla somma degli minori principali di ordine i della matrice A moltiplicata per .

2.Il coefficiente della potenza può essere ottenuto dalla somma degli prodotti degli

autovalori presi i alla volta moltiplicata per .

38

i)1(

in

i

nic

ic in

i

n

i)1(

• Si verifichino i teoremi nel caso della matrice:

EQUAZIONE CARATTERISTICA

67

363

217

6021

A

Teorema 3“Una matrice quadrata ammette l’autovalore

nullo se e solo il determinante è nullo”.

Teorema 4“Ogni matrice quadrata soddisfa la sua

equazione caratteristica”.

EQUAZIONE CARATTERISTICA

Teorema 5“Se il rango di una matrice quadrata è r allora

l’autovalore nullo ha molteplicità algebrica ”.

Teorema 6“Gli autovalori di una matrice triangolare

coincidono con gli elementi della diagonale principale”.

EQUAZIONE CARATTERISTICA

rnh

Teorema 7“Ad autovalori diversi corrispondono autovettori

linearmente indipendenti ”.Molteplicità algebricaMolteplicità geometricaTeorema 8“La molteplicità algebrica dell’autovalore è

maggiore o uguale alla moteplicità geometrica ”.

MOLTEPLICITA’

ih

igi

ig

ih

Si definisce matrice modale della matrice A la matrice le cui colonne sono costituite dagli autovettori della matrice A”

Teorema 9“Gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali”Teorema 10“La matrice modale di una matrice simmetrica è

ortogonale.”

MATRICE MODALE

Un sistema di equazioni differenziali lineari è:

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

)()(...)()(

...

)()(...)()(

)()(...)()(

2211

222221212

112121111

tgtxatxatxax

tgtxatxatxax

tgtxatxatxax

nnnnnnn

nn

nn

Un sistema di equazioni differenziali lineari omogeneo è:

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

)(...)()(

...

)(...)()(

)(...)()(

2211

22221212

12121111

txatxatxax

txatxatxax

txatxatxax

nnnnnn

nn

nn

Esempio 2.

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

)(3)(2)(4

)(2)(2

)(4)(2)(3

3213

312

3211

txtxtxx

txtxx

txtxtxx

Esempio 3.

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

)(2)(6)(3

)()(4

)(

3213

212

11

txtxtxx

txtxx

txx

Esempio 4.

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

)(2)(17)(7

)()(7)(3

)(4)(9)(9

3213

3212

3211

txtxtxx

txtxtxx

txtxtxx