control analogico y digital (eqm).pdf

ControlAnalgicoyDigitalcenidet DepartamentodeElectrnica

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CONTROLANALGICOYDIGITALOBJETIVOGENERALDELCURSO:Utilizar los conceptos bsicos de la teora del control analgico y digital para analizar laestabilidad, observabilidad y controlabilidad de los sistemas continuos y discretos, as comodisearesquemasdeobservacinycontrolparaestossistemas.Temasysubtemasdelcurso:

1. Introduccin1.1 Ecuacionesdevariabledeestado1.2 SolucionesdeecuacionesdeestadoMtododelatransformadadeLaplace1.3 Discretizacindeecuacionesdeestado1.4 Conversindefuncionesdetransferenciaavariabledeestadorealizabilidadfsica1.5 Diagramadebloques,frmuladeMason

2. Anlisisdesistemasentiempodiscreto

2.1 TransformadaZ2.2 Solucindeecuacionesdediferencias2.3 ControlabilidadyObservabilidad2.4 Estabilidad

3. Diseodesistemasentiempodiscreto

3.1 Implementacindigitaldecompensadoresanalgicos3.2 Plantasdigitalesequivalentes3.3 MtododelLugardelasRaces3.4 Estimadoresdeestado

4. Controladores

4.1 Funcionesdetransferenciatotales4.2 Mtodolinealalgebraico4.3 Diseoenespaciodeestado4.4 ControladoresPID

Bibliografa:Analog and Digital Control System Design: TransferFunction, StateSpace, and AlgebraicMethods.ChiTsongChenSaundersCollegePublishing,1993


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ComputerControlledSystems,TheoryandDesign,3rded.KarlJ.Astrom,BjornWittenmarkPrenticeHall,Inc.1997SistemasdeControlenTiempoDiscreto,2nded.KatsuhikoOgataPrenticeHall,1996DigitalControlofDynamicSystemsGeneF.Franklin,J.DavidPowell,MichaelL.WorkmanAddisonWesleyPublishingCompany,Inc.1990DigitalControlSystems:Design,IdentificationandImplementationIoanD.Landau,GianlucaZitoSpringerVerlag2006


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CONTROLANALGICOYDIGITAL

Dominiodelafrecuencia(1940s) Mtododellugardelasraces(1950s) Variabledeestado(1960s) Mtododepolinomios(1970s) Mtodosalgebraicos(1980s)

Sistemasdecontrol

Lineal nolinealInvarianteeneltiempo varianteeneltiempoAgrupado(lumped) distribuidoContinuo discretoDeterminstico estocsticoUnivariable multivariable

LinealsisatisfacelaspropiedadesdeaditividadyhomogeneidadInvarianteeneltiemposisuscaractersticasnocambianconeltiempoAgrupado (lumped) si el tiempo es la nica variable independiente, descrito por ecuacionesdiferencialesordinarias.Distribuidositiempoyespaciosonvariables independientes,descritoporecuacionesdiferencialesparcialesContinuosiestdefinidasurespuestatodoeltiempoDeterminsticosisudescripcinmatemticanoincluyeprobabilidadesUnivariablesielsistematieneunaentadayunasalida2.2SISTEMASLINEALESINVARIANTESENELTIEMPOAGRUPADOS


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Propiedaddeaditividad: la respuestade )()( 21 tutu es iguala lasumade la respuestade

)(1 tu ylarespuestade )(2 tu (principiodesuperposicin)Propiedaddehomogeneidad:Larepuestade )(tu esiguala veceslarespuestade )(tu 2.3RESPUESTAENTRADACEROYRESPUESTAESTADOCEROEjemplo:

RepuestaentradaceropolinomiocaractersticoEjemplo:

Selellamalaecuacinhomognea.


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Ecuacincaracterstica=denominadorfuncindetransferenciaRacesecuacincaracterstica=modosdelsistema(frecuenciasnaturales)Casogeneral:

Definiendo: dtdp /

Entradacero( 0u ):


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)(sI esunpolinomioquedependedelascondicionesinicialesRespuestaestadoceroFuncindetransferenciaEjemplo:

Condicionesinicialesigualesacero

)(sG =funcindetransferencia

Funcionesdetransferenciapropias

deg=gradodelpolinomio

)(deg)(deg sDsN impropia

)(deg)(deg sDsN propia

)(deg)(deg sDsN estrictamentepropia

)(deg)(deg sDsN bipropiaLasfuncionesdetransferenciaimpropiassondifcilesimposiblesdeconstruir,amplificanelruidodealtafrecuencia.PolosycerosDefinicin:unnmerorealcomplejo esunpolode )(sG si )(G , valorabsoluto.Esuncerosi 0)( G

Ejemplo:


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2s esunpolo

Indefinido,porloqueutilizamoslaregladelHpital

1s noesunpolo

Polos:2,1,1Ceros:3N(s)yD(s)soncoprimossinotienenfactorescomunesEjemplo2.4.3,respuestaestadocero,u(t)=1


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Como 1k y 02 k ,ambospolosde )(sG sonexcitadosporunaentradaescaln.Silaentradafuera: )3(

1)( ssssU ,elpolo 1s noseraexcitado:

Lasentradasescalnunitarioy tsen 0 excitarntodoslospolosdebidoaquenotienenceros

s1, 2

02

0

s

Loscerosde )(sG afectanlosvaloresde ik yporlotantolarespuestadeestadoceroLospolosde )(sG ,sedefinencomolasracesde )(sD despusdecancelarfactorescomunesSi lospolosdelsistemason igualesa losmodosdelsistema, lafuncindetransferenciapuedeusarse en anlisis y diseo (la respuesta de entrada cero aparecer como una parte de larespuestadeestadocero)


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2.6ECUACIONESDEVARIABLEDEESTADOFuncionesdetransferencia=descripcinexterna(salida)Variablesdeestado(ecns.diferencialesde1erorden)=descripcininterna(salida+estados)

Ejemplo:

ubxa

dtdxa

dtxda

dtxd

1012

2

23

3

definiendo:

2

2

321 ;; dtxdx

dtdxxxx

deunaecuacinde3er.ordenseobtienen3ecuacionesde1er.orden

21 x

dtdx

32 x

dtdx

ubxaxaxadtdx

13221103

BuAxx

ub

xaaa

x

1210

00

100010


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2.7SOLUCIONESDEECUACIONESDEESTADOMTODODELATRANSFORMADADELAPLACE

BuAxx [A]nxn [B]nxm

DuCxy [C]qxn [D]qxmx=variabledeestadou=variabledecontroly=salidasdelsistemaElestadodeunsistemaesungrupodecantidades,x1(t),x2(t),...,xn(t),lascualessiseconocenaltiempot=to,estndeterminadasparattoespecificandolasentradasalsistemaparattoTransformandoporLaplace:

)()()0()( sBUsAXxssXBuAxx

)()0()()( sBUxsXAsI

ceroinicialestadorespuestaceroentradarespuesta

s sBUAsIxAsIX )()()0()(11

)(

)()()0()()( 11 sUDBAsICxAsICsY

)()( 1 sAsI ,MatrizdeTransicindeEstados

Ejemplo2.7.1Encuentrelasalidadebidaaunaentradaescalnunitariocon ]'12[)0( x


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Como ssU

1)(


eqm 12

Polinomiocaracterstico

DBAsICsUsYsG 1)()()()(

DBAsIadj

AsICsG )]([)det(

1)( Polinomiocaracterstico= sAsI )det( [A]nxn nracesdelpolinomiocaracterstico=valorescaractersticosdeA=eigenvaloresParalassiguientesmatricesenformacannica(canonicalorcompanionforms):

Elpolinomiocaractersticoes:


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EcuacindevariabledeestadomnimaNumerodeeigenvalores=nmerodepolosEjemplo2.8.1

Eigenvalores:3,1Delejemplo2.7.1

322)(

)()(

21

ss

sBAsICsUsY

Polos:3,1 ecuacindevariabledeestadomnimaCada ecuacin de vasriable de estado mnima tiene las propiedades de observabilidad ycontrolabilidad.Ejemplo2.8.2

Eigenvalores:3,1


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Polos:3 ecuacindevariabledeestadonomnimaNosepuedeusarlafuncindetransferenciaparaanlisisydiseodelsistema


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CAP.5SIMULACINENCOMPUTADORAYREALIZACIN5.5ELPROBLEMADEREALIZACINLarespuestadeecuacionesdevariabledeestadonorequiereelcmputode loseigenvaloresporloqueesmenossensibleavariacionesenparmetros.EnLaplaceesnecesariolaexpansinenfraccionesparciales.Pasos:

(i) Se descompone )(sG en la suma de una constante y una funcin racionalestrictamentepropia

(ii) Senormalizaelcoeficientede )(sD a1

Ejemplo:

(i)

(ii)


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Formacannicacontrolable:

Delejemploanterior:


eqm 17

Formacannicaobservable:

Delejemploanterior:

Aunqueseus x tantoenlaformacannicacontrolablecomoenlaobservable,sonvariablesdiferentes.Matlab(generalaformacannicacontrolable):>>num=[1,2,1,4,12];den=[2,10,20,20,8];>>[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)RealizacionesenserieyenparaleloEjemplo5.5.4(serie)

21

21

)()()(

XY

XX

UX

sUsYsG


eqm 18

uxxsXs

sX 22)(2

2)( 1111

Ejemplo5.5.5(serie):

Paraevitarderivarlaentrada:


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Enformacontrolable:

13

22 ]62[ wx

xw

Sustituyendo 1w

Deltercerbloque:


eqm 20

Realizacinparalela(formacannicadeJordan)Ejemplo5.5.6

RealizacionesmnimasEjemplo:

)13()2(

)32)(13()32)(2()( 222

2

ss

sssss

ssssG


eqm 21

Sonrealizacionesmnimasporquetienenelmnimonmerodevariablesdeestado.


eqm 22

CAP.11DISEOENESPACIODEESTADO11.2CONTROLABILIDADYOBSERVABILIDAD

Unsistemaescontrolablesipodemostransferircualquierestadoenuntiempofinitoaplicandounaentrada.Lasolucinexistesilamatrizdenxn:

tienerangonequivalentementesudeterminanteesdiferentedecero.Un sistemaesobservable sipodemosdeterminarelestado inicialconociendo laentraday lasalidasobreunintervalodetiempofinito.Elsistemaesobservablesilamatrizdenxn:

tienerangonequivalentementesudeterminanteesdiferentedecero..>>U=ctrb(a,b)>>V=obsv(a,c)Ejemplo11.2.4

Formacontrolable:


eqm 23

1)det( U ,elsistemaescontrolable0)det( V ,elsistemanoesobservable

Formaobservabledelmismosistema:

0)det( U ,elsistemanoescontrolable1)det( V ,elsistemaesobservable

Unaecuacindevariabledeestadomnimaescontrolableyobservable.Matrizdecontrolabilidaddelaformacannicacontrolable:

1)det( U ,elsistemasiempreescontrolable.

Demanerasimilarlaformacannicaobservablesiempreesobservable.


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11.3ECUACIONESDEVARIABLEDEESTADOEQUIVALENTESDosecuacionesdevariabledeestadosonequivalentessisusestadospuedenrelacionarseporunamatriznosingular.

Definiendo Pxx ysustituyendo xPx 1 y xPx 1 enlasecuacionesanteriores:

Obtenemos:

Latransformacin 1 PAPA sedenominatransformacindesimilaridadynocambialosvalorescaractersticosdelamatriz.

Unatransformacinequivalentenocambialafuncindetransferencia.Laspropiedadesdecontrolabilidadyobservabilidadsepreservan.

Como P esnosingular,elrangodeU igualaelrangodeU


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11.4COLOCACINDEPOLOSAsignar los polos de la funcin de transferencia de lazo cerrado por retroalimentacin deestados

Si (A,b) es controlable, los eigenvalores de (AbK) pueden ser asignados arbitrariamenteeligiendolasgananciasderetroalimentacinkProcedimientodediseoporcolocacindepolosPaso1.CalculeelpolinomiocaractersticodeA


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Paso2.Calculeelpolinomiocaractersticodeseado:

Paso3.Calculelasgananciasderetroalimentacinparalaformacannicacontrolable:

Paso4.CalculelatransformacinequivalenteP

Paso5.Calculelagananciaderetroalimentacin:

Ejemplo11.4.2Paraelsiguientesistema:

Encuentre k en kxru demodoquelafuncindetransferenciadelazocerradotengalosvalorescaractersticos: i22 Paso1.


eqm 27

Paso2.

Paso3.

Paso4.

Paso5.

>>a=[0,1;0,1];b=[0;10];>>p=[2+2*i;22*i];>>k=place(a,b,p)Otromtodo:laformuladeAckermann>>acker(a,b,p)noconfiablenumricamente11.5REGULADORCUADRTICOPTIMO

Si 0r , kxu porloque xbkAx )( Sedeseaencontrar k demodoqueminimice:

Q=matrizsimtricapositivasemidefinida(eigenvalorespositivoscero)


eqm 28

R=constantepostivaSi ccQ T

Sielsistemaescontrolableyobservable,lagananciaretroalimentadaqueminimizalaecuacin,es:

K esunamatrizsimtrica,positivadefinida,obtenidadelaecuacindeRiccati:

Estaecuacinpuedetenerunaomssoluciones,perosolounaessimtricaypositivadefinida.Ejemplo11.5.1Paraelsiguientesistema:

Encuentrelagananciaderetroalimentacinqueminimice:

LaecuacindeRiccatiqueda:


eqm 29

Igualandoloselementoscorrespondientes,obtenemos:

ParaqueK seapositivadefinida: 3/121 k , 129.011 k , 05.122 k

Matlab:>>a=[2,0;1,0];b=[1;0];>>q=[0,0;0,1];r=1/9;>>k=lqr(a,b,q,r) K=[1.16233.000]11.6ESTIMADORESDEESTADO(OBSERVADORES)En la retroalimentacin de estado se asume que todas las variables de estado estado estndisponibles,sinofueraelcaso,esnecesariodisearunestimadordeestado.Sistema Estimador

CxyBuAxx

xCy

BuxAx

yuCBA ,,,, conocidas


eqm 30

Ladiferenciaenlaprediccindelasalida )( xCy seutilizaparamanejarelestimador:

)( xCyLBuxAx

LyBuxLCAx )(

Restandoestaecuacindeladelsistema:

eLCAe )(

Si(A,C)esobservableloseigenvaloresde(ALC)puedenasignarsearbitrariamenteeligiendoL

Si 00][ eLCA


eqm 31

11.7RETROALIMENTACINCONVARIABLESDEESTADOESTIMADAS

k esdiseadopara x yahoraestconectadoa x elsistematieneloseigenvaloresdeseados?Sustituyendo yu, enlasecuacionesanteriores:

Aplicandolatransformacinequivalente:


eqm 32

Latransformacinequivalentenocambiaelpolinomiocaracterstico,porloquestees:

Aplicamos: Latransformacinequivalentenocambialafuncindetransferencia,porloquestaes:


eqm 33

Aplicamos:

Principiodeseparacin.Loseigenvaloresdelsistematotalconsistende loseigenvaloresde laretroalimentacindeestados y loseigenvaloresdelestimadordeestado. La conexinde lasganancias retroalimentadas a la salida del estimador no cambia los diseos originales, sepuedendisearenformaseparada.Lafuncindetransferenciatotal:

BBKAsICsG 10 )()(

Solotienenpolos,pero2neigenvalores,porloquelasecuacionesnosonmnimas,lafuncindetransferenciadelestimadorsecancelaeneldiseo.


eqm 34

Cap.12ANLISISDESISTEMASENTIEMPODISCRETOEngeneral: Plantas:sistemasanalgicos(antena,motor,etc.) Controladores:SistemasDigitales(PCs)

(a) Sistemadecontrolanalgico.(b)Sistemadecontroldigital

TiempocontinuotransformadadeLaplace(ecuacionesdiferenciales)TiempodiscretoTransformadaZ(ecuacionesdediferencia)Sealesdiscretas=sealesanalgicas(texto)


eqm 35

ConversionesA/DyD/A

12.4LATRANSFORMADAZSeestudiansistemasdescritosporecuacionesdediferencialinealesconcoeficientesconstantesEjemplo:

Condicionesinicialesyentrada:


eqm 36

LasolucinporsustitucindirectanoesenformacerradaynoesposibleobtenerconclusionesdelaspropiedadesgeneralesdelaecuacinporloqueesnecesariointroducirlatransformadaZDefinicin:

z=variablecompleja

iz =instantedemuestreoi

Paraexpresarloenformacerrada:

Ejemplo:


eqm 37

Si 0a , 1akTe paratodokpositivo,selellamasecuenciaescalnunitarioyserepresentapor )(kq

Ejemplosecuenciaimpulso(secuenciaKronecker)

DeladefinicindetrasformadaZ:

TransformadadeLaplaceytransformadaZParaquelatransformadadeLaplace(sistemascontinuos)puedaaplicarsea )(kTf (sistemasdiscretos),sedefine:


eqm 38

)(t =funcinimpulsoofuncindelta

)(* tf esunarepresentacincontinuadelasecuenciadiscreta )(kTf yesceroexceptoenlos

instantesdemuestreo kT

Definiendo Tsez

Si js

FrmulasdeEuler: jsene j cos

TTT eseneez 222222 cosImRe

10 z Sistemaestable10 z Sistemainestable


eqm 39

Lafranjaentre TyT // mapeaelcrculounitario(franjaprimaria)LasfranjassuperioreinferiortambinmapeanenelcrculounitarioTransformadaZinversa:

PordivisindirectaEjemplo:


eqm 40

Porfraccionesparciales

Seexpande zzF /)( (latabladetransformadaZseencuentraenlaforma ]/[ bzz

4/5,4/21,3 321 kkk

Utilizandolatabladetransformadaz(pg.485)


eqm 41

PropiedadesdelatransformadaZPropiedadlineal:

Adelantodetiempo:

Atrasodetiempo:

12.5SOLUCINDEECUACIONESDEDIFERENCIASDelejemplovisto:

Condicionesinicialesyentrada:

AplicandotransformadaZ


eqm 42

Sustituyendocondiciones iniciales 2)1(,1)2( yy , y )(ku esunasecuenciaescalnunitario,

1)( z

zzU

TomandotransformadaZinversa:

PolinomiocaractersticoyfuncionesdetransferenciaAplicaloreferidoenvariablesdeestado

)(zD =polinomiocaracterstico races modos

)(zD races polos


eqm 43

SiN(z)yD(z)nosoncoprimoselsistemanoescompletamentecaracterizadoporlafuncindetransferenciaynodebedesecharselarespuestadeentradacero.degN(z)=m,degD(z)=nm>nfuncindetransferenciaimpropia(nocausal)ejemplo:

Lasalidadependedeunaentradafutura.

mn funcindetransferenciapropiar=degD(z)degD(z)=excesodepoloscerosrintroduceunretardodetiempodermuestreos:

12.6ECUACIONESDEESTADOENTIEMPODISCRETO


eqm 44

AplicandolatransformadaZ:

ElpolinomiocaractersticodeAsedefinecomo:

LaControlabilidadyObservabilidadsoncomoenelcasocontinuo:Siunaecuacinescontrolable,latransferenciadeunestadoacualquierotroestadoseconsigueennperiodosdemuestreoylasecuenciadeentradasecalculade:

Siunaecuacindevariabledeestadoescontrolableyobservable,laecuacinesmnima:

eigenvaloresdeA=polosfuncindetransferencia


eqm 45

12.7DIAGRAMASDEBLOQUEYREALIZABILIDAD

Elprocedimientoderealizacinesidnticoalcasocontinuo(formascannicascontrolableyobservable).12.8ESTABILIDAD(PruebadeJury)Porejemplo:

MANUELResaltado

MANUELTexto escrito a mquinapara determinar los los valores de


eqm 46

PruebadeJury.Elsistemaesestablesi: 0,,,, 00000 edcba Ejemplo12.8.1(pg.502)

TeoremadelValorFinal.Si ctekf )( cuando t

TeoremadelValorInicial.


eqm 47

12.9RESPUESTADEESTADOESTABLEDESISTEMASESTABLESEjemplo:

Usandofraccionesparciales:

Larespuestaeneltiempodelospolostiendeacerocuando k (sistemaestable)12.9.1RespuestaenfrecuenciadesistemasanalgicosydigitalesRespuestaenfrecuencia=Grficade )( TjeG conrespectoa Lagrficaesperidicaconperiodo T/2

Relacinentre )( jG y )( TjeG TeoremademuestreodeShannon

Ts /2 =frecuenciademuestreo


eqm 48

2/sN =frecuenciadeNyquist

)( TjeTG eslasumaderepeticionesde )( jG en sk paratodoslosenteros k

Silagrficade )( jG esceropara T/

En caso contrario el muestreo introduce el fenmeno de traslape (aliasing), que puedeeliminarseeligiendounperiododemuestreopequeoounafrecuenciademuestreogrande.


eqm 49

CAP.13DISEODESISTEMASENTIEMPODISCRETODosenfoques:

a) Diseocompensadoranalgicodigital(discretizacindespusdeldiseo)b) Plantaanalgicaplantadigitaldiseo(discretizacinantesdeldiseo)

Variablesconsobrebarra=analgicas, ),(),( tuty etc.13.2IMPLEMENTACINDIGITALDECOMPENSADORESANALGICOS(discretizacindespusdeldiseo)Objetivo:obtenerundispositivodigitalquesecomportecomoundispositivoanalgicoMtodos:

a) Aproximacinhaciaadelanteb) Aproximacinhaciaatrsc) Aproximacintrapezoidal(transformacinbilineal)d) Mapeopolozero

Paralosmtodosa),b),c)considereuncompensadoranalgico )(sC ,siendosurealizacin:

Laintegracinpuedeaproximarsedelasiguientemanera,asumiendo 0)( te :

(a)haciaadelante,(b)haciaatrs,(c)trapezoidal


eqm 50

Aproximacinhaciaadelante

Como Realizacincompensadordigital )(zC

Estatransformacinnopreservalaestabilidadde )(sC Aproximacinhaciaatrs

Estatransformacinpreservalaestabilidadde )(sC


eqm 51

Aproximacintrapezoidal

Relacinentrelafrecuenciaensistemasanalgicosylafrecuenciaensistemasdigitales(contransformacinbilineal)Sustituyendo js y Tjez enlaltimaecuacin:

Mapeopolocero


eqm 52

Elpolo ip semapeaen Tpie Elcero iq semapeaen Tqie Nota:sir=(polosceros)>1,modificarelpolinomiodelnumeradorparaquer=1,conobjetodeeliminarelretraso.Ejemplo:dados )(sG y )(0 sG obtener )(sC eimplementarlocomocompensadordigitalconlosmtodosvistosanteriormente.

a) Compensadordigitalcondiferenciashaciaadelante,sustituyendo Tzs /)1(

b) Compensadordigitalcondiferenciashaciaatrs,sustituyendo Tzzs /)1(


eqm 53

c) Compensadordigitalobtenidoporlatransformacinbilineal, )1(/)1(2 zTzs

d) Mapeodepolosceros

SeprobconT=0.1,0.2,0.4,0.6,0.8SiTesgrandea),b)nosonaceptables(T>0.3)LosmejoresresultadosconbilinealOgatasugiereseleccionarlafrecuenciademuestreo1/Taproximadamente10veceselanchodebandadelafuncindetransferenciadelazocerrado.Anchodebanda:frecuenciaalaquelarespuestaenfrecuenciahacado3dBdesdesuvalorenbajafrecuencia.


eqm 54

13.2PLANTASDIGITALESEQUIVALENTES(discretizacinantesdeldiseo)ConvertidoresD/A

(a) Compensadordigital,(b)retenedordeordencero,(c)retenedordeprimerorden

Plantaanalgica PlantadigitalDiseo:

Problemasalusarplantasdigitalesequivalentes

Dinmicasescondidas Elmuestreopodraintroducirceros

DinmicasescondidasEjemploelmapeodelospolosde 10122 ss


eqm 55

101s ,si 10/2T

Elmapeo sTez noesunmapeounoaunoSolucin:elegirelperiododemuestreodemodoquelafranjaprimariacubratodoslospolosde

)(sG IntroduccindecerosLarespuestaalescalnunitariode )(ty deunsistemaanalgicoesdelaforma:

Generalmente )(Ty esdiferentedecero.Si )(sG esestrictamentepropia,tambinloes )(zG Elexcesopolocerode )(zG siempreesuno,sinimportarculeselexcesopolocerode )(sG elmuestreointroduce 1r ceros,endonde r eselexcesopolocerode )(sG .Lospolosde )(zG seobtienendelospolosde )(sG con sTez .Conlospolossecalculanloscoeficientes ia yconstosylasmuestrasdelarespuesta )(ty secalculanloscoeficientes ib


eqm 56


eqm 57

MTODOSDEDISEO

Lugardelasraces Dominiodelafrecuencia Colocacindepolos Reguladorcuadrticoptimo Respuestadeoscilacionesmuertas(deadbeat) Igualacindemodelo(modelmatching)

MtododellugardelasracesRegindeseadadepolosconbaseentiempodeasentamiento( st ),sobrepasomximo(overshoot)ytiempodelevantamiento( rt )

rt =elmenortiempodemodoque

st =elmenortiempodemodoque


eqm 58

Tiempodeasentamiento:serequierealospolosdelazocerradoalaizquierdadelalneaquepasapor sta /5.4

Sobrepasomximoesgobernadopor larazndeamortiguamiento oelngulo (enelcasoanalgico).Eltiempodelevantamientoesinversamenteproporcionalaladistanciadelorigen( r )


eqm 59

Si el periodo de muestreo es pequeo, el resultado ser parecido al obtenido en el casoanalgico,perolaposibilidaddeintroducirerroresnumricossermayor.AlreducirTeldiseoserealizaenunaregincercanaa 1z ,endondelaslneasslidasdelafiguradeabajoestnmsagrupadas.


eqm 60

13.7DISEODEOSCILACIONESMUERTAS(DEADBEATDESIGN)

Secolocantodoslospolosde )(0 zG enelorigen

Respuestaescalnunitario:

Larespuestatransitoriadesaparecedespusdelinstantedemuestreon

Ejemplo13.7.1Paraelsiguientesistemahalle xkru demodoquesetengantodosloseigenvaloresen 0z

Utilizandoelprocedimientodelaseccin11.4:


eqm 61

Comprobando: 0)det( 2 zBKAzI

00

1det

1000

1010

00

det 2

zz

zz

z


eqm 62

CAP.9ELECCINDEFUNCIONESDETRANSFERENCIATOTALES

Si 1)(0 sG ,entonces )()( trty ,sinembargorestriccionesprcticas lohacenengeneralnoimplementable.Funcionesdetransferenciaimplementablesrequieren:

1. Compensadoresconfuncionesdetransferenciapropias2. Sistema resultante propio en lazo cerrado (cada par entrada/salida es propio, well

posed)3. Sistemaresultanteestable4. Todaslastrayectoriasderaypasanporlaplanta(noplantleakage)

Teorema. Considere una planta con funcin de transferencia propia )(/)()( sDsNsG ,entonces )(0 sG esimplementablesi )(0 sG y )(/)()( 0 sGsGsT sonpropiosImplicaciones:

(a) )(deg)(deg)(deg)(deg 00 sNsDsNsD desigualdadexcesopolocero(b) Racespositivasde )(sN debenestaren )(0 sN (c) )(0 sD esHurwitz(racesnegativas)

Ejemplo:


eqm 63

Siunnmero complejo seasigna comopolo cero, su complejo conjugadodebe serasignado,denoserasloscoeficientesde )(0 sG serancomplejosy )(0 sG nopodraserrealizadoenelmundoreal

Que )(0 sG seaimplantable,nosignificaqueconcualquierconfiguracin

SeguimientoasintticoConsidere:

Con 0n y mn ,paraque:

)(0 sG debeserestable(ningncoeficientefaltanteypositivos),ademspara:

Entradaescaln, atr )( :


eqm 64

00

Entradarampa, attr )( :00 y 11

Entradafuncinaceleracin, 2)( attr :

00 ; 11 ; 22 Reginpermisibledecancelacionespolocero

Cancelacionespolocerorealmentenocancelanlospolos,stosseocultanenalgunasfuncionesdetransferenciadelazocerrado,peroaparecenenotras(Chen,pg.206).Lascancelacionespoloceroinestablesnosepermiteneneldiseodesistemasdecontrol.CriteriosdediseoIAE=integraldelerrorabsoluto:


eqm 65

ISE=integraldelerroralcuadrado:

ITAE=integraldeltiempomultiplicadoporelerrorabsoluto

Adems:

9.4INDICESDEDESEMPEOCUADRTICOS

0q ; 1)( tr Adems(sindemostracin):

)(0 sD seobtienedelafactorizacinespectral:

Lasracesde )(sQ sonsimtricasconrespectoalejereal,alejeimaginarioyalorigen


eqm 66

Ejemplo9.4.1

Solucin:

is 70711.05811.1

31623.3)70711.05811.1)(70711.05811.1()( 20 ssisissD

ConMatlab:>>Q=[10409];>>r=roots(Q);>>poly([r(1)r(2)])

)(0 sG esimplementable.

SeleccindeqSienejemploanterior 3)( tu paratodo 0t ysabemosquelamagnitudmayorde )(tu ocurreen 0t Suponemos 100q


eqm 67

is 24495.2

38990.4)24495.2)(24495.2()( 20 ssisissD

Aplicandoelteoremadelvalorinicial:

Seproponeotraq ,porejemplo 8.0)0(64.0 uq Con 3)0(9 uq


eqm 68

9.6SISTEMASPTIMOSITAE

SistemaptimoITAEconerrordeposicincero

SistemaptimoITAEconerrordevelocidadcero

SistemaptimoITAEconerrordeaceleracincero


eqm 69

Losdenominadoresde los sistemasptimos ITAE fueronencontradospor simulaciny seencuentranentablasconunparmetroaelegir 0 parasatisfacerlarestriccinconlasealdecontrol.Ejemplo9.6.1

EncuentreunsistemaconerrordeposicinceroqueminimiceelITAE.Solucin:delatabla9.1

Implementable:S

Porsimulacinseencuentraquelamagnitudmayorde )(tu ocurreen 0t ,porloqueutilizamoselteoremadelvalorinicial:

Paraque 33)( 20 tu

Si en el ejemplo anterior se quisiera tambin error de velocidad cero, de la tabla 9.2(ejemplo9.6.2)


eqm 70

Implementable:No(desigualdadexcesopolocero)Seleccionandodelatabla9.2lafuncindetransferenciadegrado3

Procediendocomoenelejemploanterior: 320 paraque 3)( tu

Elrequerimientoadicionaldevelocidadcerohacequelarespuestaalescalnseamsoscilatoria.


eqm 71

CAP.10IMPLEMENTACINMTODOALGEBRAICOLINEALDados )(sG y )(0 sG (implementable), encontrar la configuracin de retroalimentacin demodoquetodaslastrayectoriasde r a y pasenporlaplanta(noplantleakage)Configuraciones:

Retroalimentacinunitaria Dedosparmetros Retroalimentacindelaentradaysalidadelaplanta

Requerimiento: )(sD y )(sN soncoprimos(notienenfactorescomunes)10.2CONFIGURACINDERETROALIMENTACINUNITARIA(IGUALACINDEMODELO)

Ejemplo10.2.1

Delejemplo9.6.1


eqm 72

Compensador:propioCancelacinpolocero: )2( s aceptableEn general si )(sG tiene polos positivos o dos ms polos en 0s , la configuracin deretroalimentacinunitarianopuedeserutilizadaenIgualacindemodelo.10.3CONFIGURACINDERETROALIMENTACINUNITARIA(COLOCACINDEPOLOS)Considere: )(

)()(;)()()(;

)()()(

0

00 sD

sNsGsAsBsC

sDsNsG


eqm 73

LacolocacindepolosequivalearesolverlaecuacinDiofantina:

mnsD )(deg 0

Igualando los coeficientesde lamismapotenciaen s de laecuacinDiofantina seobtienen

1mn ecuaciones:


eqm 74

))1(2(x)1(][ mmnmS

Setieneunasolucinsilamatriz mS tieneunrangodefilacompleto:

Elgradodelcompensadordebeser 1n mayor,si nm lasolucinnoesnicaEjemplo10.3.2

2n , 11 nm

Sedeseanlospolosen: is 2,3


eqm 75

Siseaplicaunescalnunitarioalaentrada: 7556.245/124)( tys Paraseguimientoasinttico 0)( tys

124/45k

Robustez. Si la funcin de transferencia cambiara debido a cambios de carga, desgaste,perturbacionesexternas,etc.,porejemplo:


eqm 76

Funcindetransferenciatotal:

Aplicandounescalnunitario:

No sigue al escaln, la solucin es redisear el sistema incrementando el grado delcompensadorenuno.

Sedeseanlospolosen: is 2,3,3

Siseeliminala1columnalamatrizresultantedeorden5tienerangocompleto.


eqm 77

Si 00 A elcompensadortieneunpoloen 0s yesdeltipo1(erroranteescalonesigualacero,pg.194)Resolviendo:

Silafuncindetransferenciacambiaracomoenelejemploanterior:

)(0 sG esestabley 0)( tys anteentradasescaln.Lapropiedaddeseguimientodeeste

diseoesrobusta.10.4COMPENSADORESDEDOSPARMETROSEnlaretroalimentacinunitaria

Seaplicaelmismocompensadoralareferenciayalasalida,seramejor:


eqm 78

)(1 sC =compensadorprealimentado)(2 sC =compensadorretroalimentado

Seasume: )()()( 21 sAsAsA Para evitar cancelacionespolocero inestables, en la implementacin seutilizar la siguienteconfiguracin:


eqm 79

Procedimientoparaigualacindemodelo

Paso1.Calcule:

)(),( sDsN pp =coprimos

Paso2. IntroduzcaunpolinomioHurtwitzarbitrario )(sDp paraqueelgradode )(sDD pp sea almenos 12 n (para hacer propio al compensador). )(sDp se elimina en el diseo(racesreginaceptable).Paso3.

Alresolverestaltimaecuacin(Diofantina)ylaanteriorseobtienenloscompensadores.Ejemplo10.4.2

Implemente )(0 sG usandolaconfiguracindedosparmetros.


eqm 80

Paso1.

Paso2.

1)(deg122)(deg sDnsD pp Arbitrariamente: 3)(deg ssDp Paso3.

Resolviendo:

7.13,1,30,3 1100 MAMA

103

)3(10)(1

sssC

3307.13)(2

sssC


eqm 81

10.6CONFIGURACINDERETROALIMENTACINENTRADA/SALIDADELAPLANTA

Solosediscutirelcasodonde:

Porloqueeldiagramasimplificadoes:

Elprocedimientoessimilaraldedosparmetros,lasecuacionesresultantesdelpaso3son:


eqm 82

RearreglandoparaobtenerlaecuacinDiofantina:

Ejemplo10.6.1

Implemente )(0 sG usandolaconfiguracinderetroalimentacinE/SdelaplantaPaso1.

Paso2.

1)(deg10)(deg sAnsN sp Arbitrariamente: 3)(deg ssA Paso3.


eqm 83

Resolviendo:

7.13,9,30,27 1100 MLML

109

)3(10279

)()()(1

ss

sAsLsC

)3(10307.13

)()()(2

ss

sAsMsC


eqm 84

CAP.14CONTROLADORESPID

iT =tiempointegraldT =tiempoderivativo

ReglasdeZieglerNichols(lazocerrado).Utilizalarespuestaalescalnconcontrolproporcionalenellmitedelaestabilidad, up KK .

uK =ganancialtimauT =periodoltimo


eqm 85

Mtododelazoabierto.Semidelarespuestaescalnunitariodelaplantasincerrarellazo,seasumequelarespuestaescomolamostradaenlafigura:

Larespuestaseaproximaaladelsistema:

LasreglasdeZieglerNicholslazoabiertoquedan:

Lafuncindetransferenciadelcontrolderivativoes skd ,staesunafuncindetransferenciaimpropiadifcildeimplementar,enlaprcticaseconstruyecomo:

Nvarade3a10ylimitaelruidodealtafrecuencia.


eqm 86

14.4CONTROLADORESPIDDIGITALES

Usandodiferenciashaciaadelanteparaelintegradoryeldiferenciador

Usando aproximacin trapezoidal para el integrador y diferencias hacia atrs para eldiferenciador

ParahacerpropialafuncindetransferenciadeuncontroladorPID:

Un controlador PID comnmente utilizado es el que usa diferencias hacia adelante para elintegradorydiferenciashaciaatrsparaeldiferenciador:

EneldiagramasiguientesepresentaelcontroladorPIDqueestenformadevelocidad,enelcuallaintegracinactasobreelerrorylasaccionesproporcionalyderivativaactansoloenlasalidadelaplanta


eqm 87

Si el periodo demuestreo es pequeo, losmtodos de sintonizacin analgicos se puedenutilizarparasintonizarcontroladoresPIDdigitales.

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