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1Alexander, Sadiku,Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) S.r.l.

Circuiti Elettrici

Capitolo 7Condensatori e induttori

Prof. Cesare Svelto(traduzione e adattamento)

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7.1 CondensatoriCircuito derivatore e integratore

7.2 Condensatori in serie e in parallelo7.3 Induttore7.4 Induttori in serie e in parallelo

Condensatori e induttori – Cap. 7

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7.1 Condensatore

• Corrente e tensione con versi coordinati (convenzione utilizzatori). Simbolo

( ) ( )ttvCti

dd

=

• C (>0) è la capacità misurata in farad (F)

1 F = 1 A⋅s/V = 1 C/V = s/Ω =1 S⋅s

• Il condensatore è un bipolo dinamico e lineare con equazione caratteristica:

val. tipiciµF, nF, pF

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7.1 Condensatore

• Carica q accumulata sulle armature è linearmente legata alla tensione v applicata:

[ ]tvC

tvC

tqi

dd

dd

dd

===

che è l’equazione caratteristica

• Il condensatore lineare è un elemento ideale ma esistono dispositive fisici con comportamento simile (e.g. condensatore a facce piane e parallele)

vCq =

dAC 0εε r=

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7.1 Costante dielettrica

• I materiali hanno costante dielettrica relativa εr

• La costante dielettrica del vuoto èε0 = 8.8…×10-12 F/m

• Valori realizzati per C da qualche pF a qualche mF

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7.1 Aumento della capacità C• Il condensatore consiste di due armature conduttive

separate da un isolante (o dielettrico). Le armature possono anche essere “avvolte” per aumentare la superficie affacciata e quindi C.

• Un condensatore è un elemento passivo che (vedremo) può immagazzinare energia nel suo campo elettrico.

7

7.1 Immagini di condensatori

pF

8

7.1 Tensione come integrale di corrente

tvC

tqi

dd

dd

==

ricaviamo la tensione in forma differenziale

• Partendo dalla relazione costitutiva (eq. caratteristica)

tiC

v d1d =

e integrando

( ) ( ) ( )∫+=t

0

d'10

t

t'tiC

tvtv

relazione cost. informa differenziale

relazione cost. informa integrale

La tensione al tempo t non dipende solo dalla corrente in t ma anche dalla storia precedente della corrente (tra t0 e t) e da un valore iniziale v(t0): C è un elemento con memoria.

9

7.1 Andamenti tensione – corrente in CTensione nel condensatore come integrale della corrente.

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7.1 Esempio sul condensatore

11

7.1 Esempio sul condensatore

12

7.1 Proprietà del condensatore

• Quando la tensione è costante, il condensatore equivale a un circuito aperto

dalla equaz. caratt. i=Cdv/dtse v=cost. ⇒ dv/dt=0 ⇒ i=0

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7.1 Proprietà del condensatore• La tensione del condensatore è continua (non fa salti).

E’ una variabile di stato (che consente di descrivere l’andamento del sistema in assenza di azioni esterne).

Il condensatore si oppone alle variazioni brusche di tensione.

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7.1 Proprietà del condensatore• La corrente i(t) è la pendenza della funzione v(t).

Per avere un salto di tensione occorrerebbe corrente infinita e dunque potenza inifinita in un circuito reale.

Quandi v varia linearmente i è costante (se inon varia v è 0).

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7.1 Proprietà del condensatore• Il condensatore non dissipa energia ma può

immagazzinarla.potenza istantanea assorbita dal condensatore

p(t) = v(t) i(t)Se tensione e corrente sono periodiche la potenza in un periodo T è sempre nulla e così pure è circa zero la potenza media dissipata nel lungo periodo (su un tempo Δt>>T).Invece all’interno di un periodo (o comunque su Δt<T) la potenza può essere non nulla e con p>0 o anche p<0.

Ci saranno parti del periodo in cui l’energia è assorbita (immagazzinata nel condensatore) e parti del periodo in cui l’energia (quella immagazzinata) è ceduta al circuito.

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7.1 Potenza con tensione periodica

Condensatore Resistore

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7.1 Proprietà del condensatore• Nel condensatore non si ha perdita di energia

(dissipazione): elemento senza perdite.Tuttavia non si può avere generazione netta di energia e dunque anche il condensatore (non dissipativo), come già il resistore (dissipativo), è un elemento passivo.

• Energia assorbita in un intervallo di tempo generico

( ) ∫∫∫ ===Δ)

)

2

1

2

1

2

1

(

(21 dd

ddd),(

tv

tv

t

t

t

t

vvCttvvCttpttE

( ) ( )[ ]12

22

12 21- tvtvCEE −=

L’energia nel condensatore dipende solo dalla tensione

2

21 vCEC =

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7.1 Condensatore reale• Il dielettrico dissipa energia nel tempo con una

potenza p∝v2.

• Un modello del condensatore reale aggiungeuna resistenza RP (grande) in parallelo a C.

S

)(d

)(d)(R

tvttvCti += Ω> M 10PR

La caratteristica del condensatore reale è dunque:

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Circuito derivatoret

vCid

d in1 =

Rvi o

2 =

0=+ 22 ii

20

Circuito integratore

ino

C1

dd v

Rtv

−=

Rvi in

1 =

0=+ 22 ii

( )0ov+

tvCi

dd o

2 =

21

7.2 Condensatori in serie• La capacità equiv. di N condensatori in serie

è il reciproco della somma dei reciproci delle singole capacità (analogo dei resistori in parallelo).

NCCCC1...111

21eq

+++=

22

7.2 Capacità serie CS

Dalla relazione costitutiva in forma integrale:

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7.2 Capacità serie CS

In generale la capacità ottenuta dalla serie di Ncondensatori di valori Ck è dunque:

In particolare per due sole capacità C1 e C2 in serie:

∑=

=N

k 1 kC C11

S

21

21S CC

CCC+

=prodotto diviso la somma delle due

capacità

e se poi C1=C2=C allora CS=C/2. ( come per due R in parallelo )

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7.2 Condensatori in parallelo

• La capacità equiv. di N condensatori in paralleloè la somma delle singole capacità.

NCCCC +++= ...21eq

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7.2 Capacità parallelo CP

Dalla relazione costitutiva in forma differenziale:

( ) ( ) ( ) ( )titititi 321 ++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttvCCC

ttvC

ttvC

ttvCti

dd

dd

dd

dd

321321 ++=++=

KCL al nodo superiore

( )321P CCCC ++=

La capacità parallelo da N condensatori Ck è:

∑=

=N

k 1kC CP

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7.2 Condensatori in serie e parallelo

Example 3Find the equivalent capacitance seen at the terminals of the circuit in the circuit shown below:

Answer:

Ceq = 40 µµµµF

27Alexander, Sadiku,Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) S.r.l.

Example 4Find the voltage across each of the capacitors in the circuit shown below:

Answer:

v1 = 15 V

v2 = 10 V

v3 = 5 V

7.2 Condensatori in serie e parallelo

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7.3 Induttore

• Corrente e tensione con versi coordinati (convenzione utilizzatori). Simbolo

( ) ( )ttiLtv

dd

=

• L (>0) è la induttanza misurata in henry (H)

1 H = 1 V⋅s/A = 1 (V/A)⋅s = Ω⋅s =1 s/S

• L’induttore è un bipolo dinamico e lineare con equazione caratteristica:

val. tipicimH, µH

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7.3 Induttore

• Flusso φ(t) di induzione magnetica concatenato con l’avvolgimento è linearmente legato alla corrente i:

• L’induttore lineare è un elemento ideale ma esistono dispositive fisici con comportamento simile (e.g. induttore toroidale a filo avvolto)

( ) ( )tiLt =ϕ

il flusso magnetico concatenato attraversa

la superficie A

induttore toroidale a filo avvolto N volte e

con lunghezza l

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7.3 Induttore

lANL

2

r 0µµ=

• Variazione nel tempo di φ(t) induce una tensione tra i morsetti (legge di Faraday)

( ) ( )tttv

ddϕ

=

( ) ( )[ ] ( )tti

ttLitv

dd

dd L==

che è l’equazione caratteristica

per induttore toroidale

permeabilità magnetica del vuoto µ0 = 1.2…×10-6 H/m

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7.3 Immagini di induttori

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7.3 Corrente come integrale di tensione

ricaviamo la corrente in forma differenziale

tvL

i d1d =

e integrando

( ) ( ) ( )∫+=t

0

d'10

t

t'tvL

titi

relazione cost. informa differenziale

relazione cost. informa integrale

( ) ( )ttitv

ddL=

•Partendo dalla relazione costitutiva (eq. caratteristica)

La corrente al tempo t non dipende solo dalla tensione in t ma anche dalla storia precedente della tensione (tra t0 e t) e da un valore iniziale i(t0): L è un elemento con memoria.

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7.3 Andamenti corrente – tensione in LCorrente nell’induttore come integrale della tensione.

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7.3 Esempi sull’induttore

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7.3 Proprietà dell’induttore

• Quando la corrente è costante, l’induttore equivale a un corto circuito

dalla equaz. caratt. v=Ldi/dtse i=cost. ⇒ di/dt=0 ⇒ v=0

L’induttore ha proprietà duali di quelle del consensatore.

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7.3 Proprietà dell’induttore• La corrente nell’induttore è continua (non fa salti).

E’ una variabile di stato (che consente di descrivere l’andamento del sistema in assenza di azioni esterne).

iL(t)

L’induttore si oppone alle variazioni brusche di corrente.

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7.3 Sovratensione e scarica da c.a.• Che cosa avviene all’apertura di un

interruttore che prima era percorso da corrente? e.g. quando spegniamo la luce.

( ) ( ) mm 0.1 su V300 d

d>=

ttitv L

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7.3 Proprietà dell’induttore• L’induttore non dissipa energia ma può

immagazzinarla.

Ci saranno intervalli temporali in cui l’energia è assorbita (immagazzinata nell’induttore) e intervalli in cui l’energia (quella immagazzinata) è ceduta al circuito.

• Energia assorbita in un intervallo di tempo generico

( ) ∫∫∫ ===Δ)

)

2

1

2

1

2

1

(

(21 dd

ddd),(

ti

ti

t

t

t

t

iiLttiiLttpttE

( ) ( )[ ]12

22

12 21- titiLEE −=

L’energia nell’induttore dipende solo dalla corrente

2

21 iLEL =

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7.3 Induttore reale• Il filo metallico dell’avvolgimento ha una resistenza

non nulla che dissipa potenza p∝ i2.

• Il modello dell’induttore reale aggiunge una resistenza RS (piccola) in serie a L.

)(d

)(d)( S tiRttiLtv += Ω< 1SR

La caratteristica dell’induttore reale è dunque:

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7.3 Esempio sull’induttore

Example 5The terminal voltage of a 2 H inductor is

v = 10(1-t) V

Find the current flowing through it at t = 4 s and the energy stored in it within 0 < t < 4 s.

Assume i(0) = 2 A. Answer:

i(4s) = -18V

w(4s) = 320J

41Alexander, Sadiku,Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) S.r.l.

Example 6

Determine vc, iL, and the energy stored in the capacitor and inductor in the circuit of circuit shown below under dc conditions.

Answer:

iL = 3A

vC = 3V

wL = 1.125J

wC = 9J

7.3 Esempio sull’induttore

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7.4 Induttori in serie

• L’induttanza equiv. di N induttori in serieè la somma delle singole induttanze.

NLLLL +++= ...21eq

∑=

=N

k 1kLLS

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7.2 Induttori in parallelo

• L’induttanza equiv. di N induttori in paralleloè il reciproco della somma dei reciproci delle singole induttanze (analogo dei resistori in parallelo).

NLLLL1...111

21eq

+++=

∑=

=N

k 1 kLL11

P

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7.4 Series and ParallelCapacitors

Example 7Calculate the equivalent inductance for the inductive ladder network in the circuit shown below:

Answer:

Leq = 25mH

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7.4 Caratteristiche dei bipoli passivi• Relazioni di corrente e tensione per R, L, C

+

+

+

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Sommario

! Il condensatore è un bipolo dinamico, lineare, passivo.

! La relazione costitutiva del condensatore è i=Cdv(t)/dt con C capacità [F].

! La tensione vC è variabile di stato, integrale della corrente, e non fa salti.

! L’energia nel condensatore è EC=(1/2)Cv2.

! La combinazione di più condensatori in serie si fa come per i resistori in parallelo (somma dei reciproci). La combinazione di più condensatori in parallelo si fa come per i resistori in serie (semplice somma).

! Il condensatore reale si ottiene aggiungendo al condensatore ideale unaresistenza parallelo RP (grande).

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Sommario

! L’induttore è un bipolo dinamico, lineare, passivo.

! La relazione costitutiva dell’induttore è v=Ldi(t)/dt con L induttanza [H].

! La corrente iL è variabile di stato, integrale della tensione, e non fa salti.

! L’energia nell’induttore è EL=(1/2)Li2.

! La combinazione di più induttori in serie si fa come per i resistori in serie(semplice somma). La combinazione di più induttori in parallelo si fa come per i resistori in parallelo (somma dei reciproci).

! L’induttore reale si ottiene aggiungendo all’induttore ideale una resistenzaserie RS (piccola).

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Equazioni ricolorate come figure