cme ch07 - condensatori e...
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1Alexander, Sadiku,Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) S.r.l.
Circuiti Elettrici
Capitolo 7Condensatori e induttori
Prof. Cesare Svelto(traduzione e adattamento)
Copyright © McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display.
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7.1 CondensatoriCircuito derivatore e integratore
7.2 Condensatori in serie e in parallelo7.3 Induttore7.4 Induttori in serie e in parallelo
Condensatori e induttori – Cap. 7
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7.1 Condensatore
• Corrente e tensione con versi coordinati (convenzione utilizzatori). Simbolo
( ) ( )ttvCti
dd
=
• C (>0) è la capacità misurata in farad (F)
1 F = 1 A⋅s/V = 1 C/V = s/Ω =1 S⋅s
• Il condensatore è un bipolo dinamico e lineare con equazione caratteristica:
val. tipiciµF, nF, pF
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7.1 Condensatore
• Carica q accumulata sulle armature è linearmente legata alla tensione v applicata:
[ ]tvC
tvC
tqi
dd
dd
dd
===
che è l’equazione caratteristica
• Il condensatore lineare è un elemento ideale ma esistono dispositive fisici con comportamento simile (e.g. condensatore a facce piane e parallele)
vCq =
dAC 0εε r=
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7.1 Costante dielettrica
• I materiali hanno costante dielettrica relativa εr
• La costante dielettrica del vuoto èε0 = 8.8…×10-12 F/m
• Valori realizzati per C da qualche pF a qualche mF
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7.1 Aumento della capacità C• Il condensatore consiste di due armature conduttive
separate da un isolante (o dielettrico). Le armature possono anche essere “avvolte” per aumentare la superficie affacciata e quindi C.
• Un condensatore è un elemento passivo che (vedremo) può immagazzinare energia nel suo campo elettrico.
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7.1 Immagini di condensatori
pF
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7.1 Tensione come integrale di corrente
tvC
tqi
dd
dd
==
ricaviamo la tensione in forma differenziale
• Partendo dalla relazione costitutiva (eq. caratteristica)
tiC
v d1d =
e integrando
( ) ( ) ( )∫+=t
0
d'10
t
t'tiC
tvtv
relazione cost. informa differenziale
relazione cost. informa integrale
La tensione al tempo t non dipende solo dalla corrente in t ma anche dalla storia precedente della corrente (tra t0 e t) e da un valore iniziale v(t0): C è un elemento con memoria.
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7.1 Andamenti tensione – corrente in CTensione nel condensatore come integrale della corrente.
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7.1 Esempio sul condensatore
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7.1 Esempio sul condensatore
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7.1 Proprietà del condensatore
• Quando la tensione è costante, il condensatore equivale a un circuito aperto
dalla equaz. caratt. i=Cdv/dtse v=cost. ⇒ dv/dt=0 ⇒ i=0
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7.1 Proprietà del condensatore• La tensione del condensatore è continua (non fa salti).
E’ una variabile di stato (che consente di descrivere l’andamento del sistema in assenza di azioni esterne).
Il condensatore si oppone alle variazioni brusche di tensione.
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7.1 Proprietà del condensatore• La corrente i(t) è la pendenza della funzione v(t).
Per avere un salto di tensione occorrerebbe corrente infinita e dunque potenza inifinita in un circuito reale.
Quandi v varia linearmente i è costante (se inon varia v è 0).
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7.1 Proprietà del condensatore• Il condensatore non dissipa energia ma può
immagazzinarla.potenza istantanea assorbita dal condensatore
p(t) = v(t) i(t)Se tensione e corrente sono periodiche la potenza in un periodo T è sempre nulla e così pure è circa zero la potenza media dissipata nel lungo periodo (su un tempo Δt>>T).Invece all’interno di un periodo (o comunque su Δt<T) la potenza può essere non nulla e con p>0 o anche p<0.
Ci saranno parti del periodo in cui l’energia è assorbita (immagazzinata nel condensatore) e parti del periodo in cui l’energia (quella immagazzinata) è ceduta al circuito.
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7.1 Potenza con tensione periodica
Condensatore Resistore
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7.1 Proprietà del condensatore• Nel condensatore non si ha perdita di energia
(dissipazione): elemento senza perdite.Tuttavia non si può avere generazione netta di energia e dunque anche il condensatore (non dissipativo), come già il resistore (dissipativo), è un elemento passivo.
• Energia assorbita in un intervallo di tempo generico
( ) ∫∫∫ ===Δ)
)
2
1
2
1
2
1
(
(21 dd
ddd),(
tv
tv
t
t
t
t
vvCttvvCttpttE
( ) ( )[ ]12
22
12 21- tvtvCEE −=
L’energia nel condensatore dipende solo dalla tensione
2
21 vCEC =
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7.1 Condensatore reale• Il dielettrico dissipa energia nel tempo con una
potenza p∝v2.
• Un modello del condensatore reale aggiungeuna resistenza RP (grande) in parallelo a C.
S
)(d
)(d)(R
tvttvCti += Ω> M 10PR
La caratteristica del condensatore reale è dunque:
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Circuito derivatoret
vCid
d in1 =
Rvi o
2 =
0=+ 22 ii
20
Circuito integratore
ino
C1
dd v
Rtv
−=
Rvi in
1 =
0=+ 22 ii
( )0ov+
tvCi
dd o
2 =
21
7.2 Condensatori in serie• La capacità equiv. di N condensatori in serie
è il reciproco della somma dei reciproci delle singole capacità (analogo dei resistori in parallelo).
NCCCC1...111
21eq
+++=
22
7.2 Capacità serie CS
Dalla relazione costitutiva in forma integrale:
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7.2 Capacità serie CS
In generale la capacità ottenuta dalla serie di Ncondensatori di valori Ck è dunque:
In particolare per due sole capacità C1 e C2 in serie:
∑=
=N
k 1 kC C11
S
21
21S CC
CCC+
=prodotto diviso la somma delle due
capacità
e se poi C1=C2=C allora CS=C/2. ( come per due R in parallelo )
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7.2 Condensatori in parallelo
• La capacità equiv. di N condensatori in paralleloè la somma delle singole capacità.
NCCCC +++= ...21eq
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7.2 Capacità parallelo CP
Dalla relazione costitutiva in forma differenziale:
( ) ( ) ( ) ( )titititi 321 ++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttvCCC
ttvC
ttvC
ttvCti
dd
dd
dd
dd
321321 ++=++=
KCL al nodo superiore
( )321P CCCC ++=
La capacità parallelo da N condensatori Ck è:
∑=
=N
k 1kC CP
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7.2 Condensatori in serie e parallelo
Example 3Find the equivalent capacitance seen at the terminals of the circuit in the circuit shown below:
Answer:
Ceq = 40 µµµµF
27Alexander, Sadiku,Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) S.r.l.
Example 4Find the voltage across each of the capacitors in the circuit shown below:
Answer:
v1 = 15 V
v2 = 10 V
v3 = 5 V
7.2 Condensatori in serie e parallelo
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7.3 Induttore
• Corrente e tensione con versi coordinati (convenzione utilizzatori). Simbolo
( ) ( )ttiLtv
dd
=
• L (>0) è la induttanza misurata in henry (H)
1 H = 1 V⋅s/A = 1 (V/A)⋅s = Ω⋅s =1 s/S
• L’induttore è un bipolo dinamico e lineare con equazione caratteristica:
val. tipicimH, µH
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7.3 Induttore
• Flusso φ(t) di induzione magnetica concatenato con l’avvolgimento è linearmente legato alla corrente i:
• L’induttore lineare è un elemento ideale ma esistono dispositive fisici con comportamento simile (e.g. induttore toroidale a filo avvolto)
( ) ( )tiLt =ϕ
il flusso magnetico concatenato attraversa
la superficie A
induttore toroidale a filo avvolto N volte e
con lunghezza l
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7.3 Induttore
lANL
2
r 0µµ=
• Variazione nel tempo di φ(t) induce una tensione tra i morsetti (legge di Faraday)
( ) ( )tttv
ddϕ
=
( ) ( )[ ] ( )tti
ttLitv
dd
dd L==
che è l’equazione caratteristica
per induttore toroidale
permeabilità magnetica del vuoto µ0 = 1.2…×10-6 H/m
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7.3 Immagini di induttori
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7.3 Corrente come integrale di tensione
ricaviamo la corrente in forma differenziale
tvL
i d1d =
e integrando
( ) ( ) ( )∫+=t
0
d'10
t
t'tvL
titi
relazione cost. informa differenziale
relazione cost. informa integrale
( ) ( )ttitv
ddL=
•Partendo dalla relazione costitutiva (eq. caratteristica)
La corrente al tempo t non dipende solo dalla tensione in t ma anche dalla storia precedente della tensione (tra t0 e t) e da un valore iniziale i(t0): L è un elemento con memoria.
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7.3 Andamenti corrente – tensione in LCorrente nell’induttore come integrale della tensione.
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7.3 Esempi sull’induttore
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7.3 Proprietà dell’induttore
• Quando la corrente è costante, l’induttore equivale a un corto circuito
dalla equaz. caratt. v=Ldi/dtse i=cost. ⇒ di/dt=0 ⇒ v=0
L’induttore ha proprietà duali di quelle del consensatore.
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7.3 Proprietà dell’induttore• La corrente nell’induttore è continua (non fa salti).
E’ una variabile di stato (che consente di descrivere l’andamento del sistema in assenza di azioni esterne).
iL(t)
L’induttore si oppone alle variazioni brusche di corrente.
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7.3 Sovratensione e scarica da c.a.• Che cosa avviene all’apertura di un
interruttore che prima era percorso da corrente? e.g. quando spegniamo la luce.
( ) ( ) mm 0.1 su V300 d
d>=
ttitv L
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7.3 Proprietà dell’induttore• L’induttore non dissipa energia ma può
immagazzinarla.
Ci saranno intervalli temporali in cui l’energia è assorbita (immagazzinata nell’induttore) e intervalli in cui l’energia (quella immagazzinata) è ceduta al circuito.
• Energia assorbita in un intervallo di tempo generico
( ) ∫∫∫ ===Δ)
)
2
1
2
1
2
1
(
(21 dd
ddd),(
ti
ti
t
t
t
t
iiLttiiLttpttE
( ) ( )[ ]12
22
12 21- titiLEE −=
L’energia nell’induttore dipende solo dalla corrente
2
21 iLEL =
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7.3 Induttore reale• Il filo metallico dell’avvolgimento ha una resistenza
non nulla che dissipa potenza p∝ i2.
• Il modello dell’induttore reale aggiunge una resistenza RS (piccola) in serie a L.
)(d
)(d)( S tiRttiLtv += Ω< 1SR
La caratteristica dell’induttore reale è dunque:
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7.3 Esempio sull’induttore
Example 5The terminal voltage of a 2 H inductor is
v = 10(1-t) V
Find the current flowing through it at t = 4 s and the energy stored in it within 0 < t < 4 s.
Assume i(0) = 2 A. Answer:
i(4s) = -18V
w(4s) = 320J
41Alexander, Sadiku,Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) S.r.l.
Example 6
Determine vc, iL, and the energy stored in the capacitor and inductor in the circuit of circuit shown below under dc conditions.
Answer:
iL = 3A
vC = 3V
wL = 1.125J
wC = 9J
7.3 Esempio sull’induttore
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7.4 Induttori in serie
• L’induttanza equiv. di N induttori in serieè la somma delle singole induttanze.
NLLLL +++= ...21eq
∑=
=N
k 1kLLS
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7.2 Induttori in parallelo
• L’induttanza equiv. di N induttori in paralleloè il reciproco della somma dei reciproci delle singole induttanze (analogo dei resistori in parallelo).
NLLLL1...111
21eq
+++=
∑=
=N
k 1 kLL11
P
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7.4 Series and ParallelCapacitors
Example 7Calculate the equivalent inductance for the inductive ladder network in the circuit shown below:
Answer:
Leq = 25mH
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7.4 Caratteristiche dei bipoli passivi• Relazioni di corrente e tensione per R, L, C
+
+
+
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Sommario
! Il condensatore è un bipolo dinamico, lineare, passivo.
! La relazione costitutiva del condensatore è i=Cdv(t)/dt con C capacità [F].
! La tensione vC è variabile di stato, integrale della corrente, e non fa salti.
! L’energia nel condensatore è EC=(1/2)Cv2.
! La combinazione di più condensatori in serie si fa come per i resistori in parallelo (somma dei reciproci). La combinazione di più condensatori in parallelo si fa come per i resistori in serie (semplice somma).
! Il condensatore reale si ottiene aggiungendo al condensatore ideale unaresistenza parallelo RP (grande).
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Sommario
! L’induttore è un bipolo dinamico, lineare, passivo.
! La relazione costitutiva dell’induttore è v=Ldi(t)/dt con L induttanza [H].
! La corrente iL è variabile di stato, integrale della tensione, e non fa salti.
! L’energia nell’induttore è EL=(1/2)Li2.
! La combinazione di più induttori in serie si fa come per i resistori in serie(semplice somma). La combinazione di più induttori in parallelo si fa come per i resistori in parallelo (somma dei reciproci).
! L’induttore reale si ottiene aggiungendo all’induttore ideale una resistenzaserie RS (piccola).
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Equazioni ricolorate come figure