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Clase 07 - Circuitos electricos. Leyes deKirchhoff. Medida de tensiones y corrientes.

Prof. Juan Mauricio Matera

29 de marzo de 2019

Repaso

I Densidad de Corriente eléctrica: ~j =∑

i qini〈~v〉i . Cantidadneta de carga que atraviesa una unidad de superficie porunidad de tiempo.

I Corriente a través de una superficie S: IS =∫~j · d ~S

I Corriente eléctrica en un haz de partículas cargadas:IS =

∫~j · d ~S con S cortando todo el haz.

I La corriente se mide en Amperes A.

I Ley de Ohm microscópica: ~j = σ~E .I σ es la conductividad del medioI Se deduce de los efectos disipativos en los portadores de carga.I válida para conductores y soluciones iónicas (no es una ley

fundamental de la naturaleza).I Ley de Ohm macroscópica: En un conductor rectilineo,

∆V = RI, con R = LσA = ρL

A = la Resistencia del conductor,A su sección, L su longitud y ρ = σ−1 su resistividad

I Ley de Joule: en un conductor resistivo, Pdis = RI2 con P laPotencia disipada en forma de calor.

I En general, Pabsorbida = −∆V × I, con P la potencia absorbidapor un elemento del circuito, I la corriente que lo atraviesa y∆V la diferencia de potencial medida en el sentido de lacorriente. P puede ser n egativa (el elemento entrega energíaelectrica).

I Un generador eléctrico es un dispositovo capaz de sostener unadiferencia de potencial entre dos terminales.

I F.E.M.: Trabajo externo (no eléctrico) de una fuerza quesepara cargas dentro de un generador. E = −

∫ +−~E · d ~̀

I En una pila (y en los generadores reales), la diferencia depotencial entre los bornes viene dada por E − iRint donde Rintes la Resistencia Interna del generador.

I La potencia suministrada por un generador puede expresarsecomo P = VI donde V es la diferencia de potencial entre susterminales, e I la corriente que lo atraviesa (en el sentido de laterminal negativa a la positiva).

Equipotenciales en un circuito de Corriente continua (estacionario)

Notar que en general, las equipotenciales pueden no estar definidasdentro del generador de FEM, pero sí lo están en una pila.

Circulación de la densidad de corriente y del campoeléctrico en un circuito con una pila

Circuitos

I Un circuito eléctrico es lainterconexión de fuentes deF.E.Ms, y resistencias y otroscomponentes electrónicos,formando caminos conductorescerrados.

I El circuito se considera unsistema aislado y neutro:I la suma de las potencias

entregadas por las F.E.M. esigual a la potencia consumida:∮

−~E · d ~̀= 0

sobre cualquier curva cerradadentro del conductor.

I El flujo neto de carga a travésde una superficie que envuelvacualquier componente(completo) del circuito esnulo: ∮

S~j · d ~S = 0

I En las aplicaciones, la descripción de los circuitos se hace enforma modularI La resistencia de los cables se desprecia, o se representan como

resistencias localizadas.I Los componentes se describen en términos de sus características

eléctricas (resistencia, F.E.M., capacidad) y su función en elcircuito, sin detallar sus aspectos geométricos o forma deconstrucción.

Terminología

Para describir un circuito, seintroducen los siguientes conceptos:I Malla : una trayectoria cerrada

simple a través de losconductores y componentes delcircuito.

I Nodo : punto de unión de treso más conductores.

I Rama : secuencia deconductores entre dos nodos. Lacorriente que atraviesa cadaconductor o componente dentrode una rama es la misma.

Reglas de Kirchhoff

Con estos conceptos, podemos reescribir las condiciones deconservación de la energía y la carga en un sistema en formadiscreta:I Conservación de la energía: Dada

cualquier MallaM,∮M−~E · d ~̀=

∑i

∆Vi = 0

donde ∆Vi es la diferencia depotencial entre los bornes del i-ésimoelemento sobre la malla, en el sentidode circulación de la malla

I Nótese que la ecuación no cambia si seinvierte el sentido de circulación de lamalla.

I Conservación de la carga:I La corriente a lo largo de una rama es

constante:∮S~j · d ~S = Isaliente − Ientrante = 0

donde S es una superficie cerradaque envuelve una parte de la rama, eIsaliente y Ientrante son lascontribuciones a la integral en lospuntos que S intersecta a la rama.

I Sobre un nodo, la suma de corrientesentrantes es igual a la suma decorrientes salientes:∮

S~j ·d ~S =

∑i∈salientes

Ii−∑

i∈entrantesIi = 0

donde S es una superficie queencierra al nodo.

I Estas condiciones se conocen como Reglas de Kirchoff.I Regla de mallas:

∑i ∆Vi = 0 alrededor de cualquier malla

I Regla de nodos:∑

k ∆ik = 0 en cualquier nodoI Resolver un circuito consiste en determinar todas sus

corrientes y caídas de potencial a partir de sus parámetros(F.E.M’s, resistencias, etc).

I En un circuito con N nodos, las ecuaciones de nodos proveenN − 1 ecuaciones linealmente independientes.

I En un circuito con M mallas simples (aquellas tales que todopar de puntos está conectado exactamente por dos caminos), laregla de mallas provee M ecuaciones independientes.

I En lo que sigue del módulo consideraremos circuitos en EstadoEstacionario (todas las tensiones y corrientes son constantes).

Circuito Resistivo elementalConsideremos el circuito más simpleimaginable: una resistencia conectada a unaF.E.M.I Podemos asumir que la corriente cruza

a la FEM en la dirección que elpotencial crece

I Una única malla:

E − iR = 0

I No hay nodos.

i = E/R

Notemos ahora que si proponíamos el sentido opuesto de circulaciónde la corriente,

E + iR = 0

y luego, i = −E/R. La corriente circulaba en la dirección opuesta(la que elegimos al principio).

Circuito Resistivo elementalConsideremos el circuito más simpleimaginable: una resistencia conectada a unaF.E.M.I Podemos asumir que la corriente cruza

a la FEM en la dirección que elpotencial crece

I Una única malla:

E − iR = 0

I No hay nodos.

i = E/RNotemos ahora que si proponíamos el sentido opuesto de circulaciónde la corriente,

E + iR = 0

y luego, i = −E/R. La corriente circulaba en la dirección opuesta(la que elegimos al principio).

Circuito RC estacionarioConsideremos ahora este otro circuito.Decimos que la resistencia tiene unCapacitor en Paralelo.I Por ser estacionario, asumimos que el

capacitor está cargado (Q=CV={cte}). Luego, no hay corriente através de él (ic = −dQ

dt = 0).I Los únicos nodos (c y d) son triviales:

i − iR − iC = 0→ i ′ = i .I La primera malla abcd es idéntica al

caso anterior: E − iR = 0. Obtenemosentonces i = i ′ = E/R

I Elegimos la segunda malla comoabef :

E − VC = E − Q/C = 0⇒ Q = CE

Circuito con resistencias en serieI Nuevamente, en este circuito no hay nodosI La ecuación de mallas resulta ser

E − iR1 − iR2 = 0

de manera que

i = ER1 + R2

I A los efectos del cálculo de la corriente, el circuito esequivalente a un circuito con una única resistencia de valorReq = R1 + R2.

I En general, si sobre una rama encontramos más de unaresistencia R1, R2, . . ., decimos que estas resistencias están enserie, y podemos “simplificar” el circuito remplazandolas poruna única Req = R1 + R2 + . . ..

I Una vez resuelto el circuito, podemos recuperar las caída detensión en la resistencia Rk como ∆Vk = iRk .

I La potencia total disipada en un conjunto de resistencias enserie es igual a la potencia disipada por su resistenciaequivalente:

P =∑

ki2Rk = i2 ∑

kRk = i2Req

Circuito con resistencias en paraleloI En el nodo c, i − i1 − i2 = 0. Luego, i = i1 + i2.I Las ecuaciones de las mallas abcd y abef

resultan ser

E − i1R1 = 0 y E − i2R2 = 0

de manera que

i1 = ER1

, i2 = ER2

, y i = E1/R1 + 1/R2

I A los efectos del cálculo de la corriente, elcircuito es equivalente a un circuito con unaúnica resistencia de valor Req = (R−1

1 + R−12 )−1.

I En general, si entre un par de nodos tienen conectadasresistencias R1, R2, . . ., decimos que estas resistencias están enparalelo, y podemos “simplificar” el circuito remplazandolaspor una única Req = (1/R1 + 1/R2 + . . .)−1.

I Una vez resuelto el circuito, podemos recuperar la corriente enla resistencia Rk como ik = ∆V /Rk .

I La potencia total disipada en un conjunto de resistencias enserie es igual a la potencia disipada por su resistenciaequivalente:

P =∑

k

∆V 2

Rk= ∆V 2 ∑

k

1Rk

= ∆VReq

Conductor como una combinación serie y paralelo deresistencias

Medidas de diferencias de potencial y corrientes

I Hasta aquí, asumimos que los componentes de un circuitotenían características conocidas y, mediante las leyes deKirchoff, dedujimos los valores de tensión y corrientes en cadauno de ellos.

I Sin embargo, en la práctica interesa medir las tensiones y lascorrientes para luego deducir las características de loscomponentes. Para eso se utilizan los voltímetros y losamperímetros.

I Estos instrumentos deben dar una lectura sin alterar de formaapreciable al circuito.

I Los parámetros que caracterizan a voltímetros y amperímetrosson:I Rango de trabajo: Valores máximos y mínimos que permite

medir.I Tolerancia: Porcentaje de incerteza en el resultado.I Resistencia Interna: Efecto que tiene al ser conectado sobre el

circuito.

I Un Voltímetro es un dispositivo que permite determinar ladiferencia de potencial entre dos puntos de un circuito.I Tiene dos terminales: una roja y una negra. La lectura del

dispositivo nos dará la diferencia de potencial∆V = Vrojo − Vnegro

I Para medir la diferencia de potencial sobre un componente, elVoltímetro se conecta en Paralelo con este.

I Para minimizar el efecto sobre el circuito, la resistencia delvoltímetro debe ser mucho más grandes que las resistencias queintervienen en el circuito.

Voltímetro Electrostático

I Es un dispositivo que permitedeterminar una diferencia de potencial

I Tiene la estructura de un capacitorvariable, con una armadura fija, y otramovil y con una aguja solidaria a unade las armaduras, y a un muelle.

I La armadura móvil está sujeta a dostorques:I el debido al muelle Tmuelle = kϕI el debido a la interacción

electrostática con la otra armadura.I Este dispositivo sólo sirve para medir

diferencias de potencial grandes (delorden de kV ).

I Un Amperímetro es un dispositivo que permite determinar lacorriente que circula en una rama del circuito.I Tiene dos terminales: una roja y una negra. Para medir, se

intercalan las terminales en serie con la rama. La lecturaindicará la corriente en el sentido que va de la terminal negrahacia la roja.

I Para minimizar el efecto sobre el circuito, la resistencia delamperímetro debe ser la mínima posible, para no introducirdiferencias de potencial.

Galvanómetros de aguja

I Permiten medir corrientes muy pequeñas con mucha precisión.I Discutiremos su principio de funcionamiento en el segundo

módulo.

I Mediante un amperímetro, también podemos medirdiferencias de potencial agregando en serie con elinstrumento una resistencia de valor conocido R. La lectura dela tensión se obtiene multiplicando la corriente medida por elvalor de la resistencia.

I Mediante un voltímetro podemos medir corrientesconectando una resistencia en paralelo al instrumento de valorconocido y muy pequeño R. La lectura de la corriente seobtiene como el cociente entre la lectura de V y R.

I Por este motivo, es común encontrar dispositivos que midentensiones, corrientes y otros parámetros eléctricos, a los quellamamos Multímetros o AVO −metros. El típo de magnitudy el rango se seleccionan mediante un dial y un sistema declavijas.

I Los múltímetros modernos son capaces de medir directamenteotras magnitudes como resistencias, capacidades, temperaturasy muchas otras magnitudes.