cinematica differenziale -...
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Corso di Robotica
Prof. Davide Brugali
Università degli Studi di Bergamo
Cinematica Differenziale
2
Definizione
La cinematica differenziale si occupa di relazionare
le velocità dei giunti con quella dell'end-effector.
La soluzione di questo problema viene di solito data
sotto forma di una matrice, detta Jacobiano del
manipolatore.
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Jacobiano
θ1
θ2
a1
a2
(x,y)
21212111
21212111
coscos
sinsin
aay
aax
Derivando rispetto al tempo si ottiene:
21211
21211
sinsin
coscos
aay
aax
Robot RR
2
1
21221211
21221211
coscoscos
sinsinsin
aaa
aaa
y
x
In forma matriciale:
3
4
Jacobiano
2
1
J
y
xV
a1
a2
X
Y
1
2
2
1
21221211
21221211
coscoscos
sinsinsin
aaa
aaa
y
x
N.B. Lo Jacobiano viene calcolato
in funzione della posizione dei
giunti del robot e va ricalcolato
quando tale posizione cambia.
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Jacobiano
HJ
6
5
4
3
2
1
Jz
y
x
654321
5
6
4
5
3
4
2
3
1
2
0
1
0
6 ,,,,, HHHHHHHHH
6
5
4
3
2
1
Jz
y
x
Moto differenziale
Una variazione angolare dei giunti del robot
causa una variazione di posizione e orientamento
dell’end-effector
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6
Moto differenziale
In conclusione:
Data la cinematica di un robot (es. 6R)
Data una particolare configurazione dei giunti (1, 2, 3, 4, 5, 6)
È possibile calcolare lo Jacobiano J per tale configurazione (matrice 6x6)
Data una variazione differenziale dei giunti (1, 2, 3, 4, 5, 6)
È possibile calcolare la variazione differenziale corrispondente dell’end-effector (x, y, z, , , )
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Moto differenziale
Sia dato lo Jacobiano J di un robot in una particolare configurazione dei
giunti.
Siano date inoltre le variazioni differenziali dei giunti D.
Si calcoli la matrice delle variazioni
100000
000100
002000
000010
000101
010002
J
2.0
0
0
1.0
1.0
0
D
z
y
x
DJD
2.0
1.0
0
1.0
1.0
0
2.0
0
0
1.0
1.0
0
100000
000100
002000
000010
000101
010002
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Rotazione attorno ad un asse arbitrario (Roll/Pitch/Yaw)
Movimento differenziale
x
y
za
o
n
a’
o’
n’ Relazione tra la variazione di
posizione di un frame in movimento e
la variazione di posizione dei giunti di
un robot
Per piccole variazioni dei parametri di rotazione e di traslazione è possibile approssimare
0.,,
1cos
sin
2
ecc
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Rotazione differenziale
100
01
01
,
zR
10
010
01
,
yR
10
10
001
,
xR
1
1
1
,,,,,,,
zyxxyzk RRRRRRR
E’ indifferente l’ordine di moltiplicazione delle matrici di rotazione
Se si cambia l’ordine di moltiplicazione delle matrici, cambia anche il
risultato.
Ma se si trascurano le componenti differenziali di ordine superiore, il
risultato rimane invariato.
Applicando le approssimazioni precedenti:
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Trasformazione differenziale di un frame
1000
1
1
1
,,,,,dz
dy
dx
TRH dzdydxTR
Rotazione e traslazione
differenziali
oldTR HIHdH ,
oldHdH Operatore differenziale
oldTRnew HHH , Movimento differenziale di un frame
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Trasformazione differenziale di un frame
dHHH oldnew
Nuova formulazione
oldoldnew HHH
0000
0
0
0
dz
dy
dx
Si noti la
diagonale di zeri
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Trasformazione differenziale di un frame
Sia dato il vettore D della trasformazione
differenziale del sistema di riferimento dell’end-
effector H rispetto al sistema di riferimento fisso
(base del robot).
Si calcoli l’operatore differenziale
0000
2.0001.0
0000
1.01.000
0
1.0
0
2.0
0
1.0
z
y
x
D
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Trasformazione differenziale di un frame
Sia applichi l’operatore differenziale , calcolato
precedentemente, al sistema di riferimento dell’end-
effector H e se ne calcoli l’effetto.
0000
8.01.000
0000
4.001.00
dH
1000
3010
5001
10100
H
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Trasformazione differenziale di un frame
Sia calcoli la matrice del sistema di riferimento
dell’end-effector H risultante dall’applicazione
dell’operatore differenziale
1000
2.21.010
5001
4.1011.00
dHHH oldnew
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Relazione tra Δ e J
Sono date le matrici di rototraslazione tra il polso del robot e la base del
robot: 654321
5
6
4
5
3
4
2
3
1
2
0
1
0
6 ,,,,, HHHHHHHHH
Si calcola lo Jacobiano associato a H: J
E’ dato il vettore delle variazioni dei giunti:
654321
Si calcola con J il vettore delle variazioni di posizione e orientamento del polso
del robot: dzdydx
Si calcola l’operatore differenziale: Δ
Si calcola la nuova matrice di rototraslazione tra il polso del robot e la base del
robot:oldoldnew HHH
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Relazione tra Δ e J
Si consideri un robot con 5 g.d.l. (2RP2R)
Siano dati:
la matrice H del sistema di riferimento dell’end
effector
il suo Jacobiano J
il vettore delle trasformazioni differenziali D
10001
01010
00040
00102
00003
J
1000
2010
3100
51.001
H
0
1.0
05.0
1.0
1.0
5
4
3
2
1
d
d
d
d
d
D
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Relazione tra Δ e J
Si assume che il robot possa solo ruotare attorno agli assi x e y, poiché ha solo 5 gradi di libertà. Si può quindi calcolare la matrice D.
1.0
0
4.0
15.0
3.0
d
d
dz
dy
dx
DJD
0000
4.0001.0
15.0000
3.01.000
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Relazione tra Δ e J
A partire dalla matrice D e dalla matrice H si può
calcolare la variazione differenziale dH.
0000
1.0001.0
15.0000
1.001.00
HdH
La nuova posizione dell’end-effector dopo il movimento
differenziale è dato dalla matrice Hnew.
1000
1.2001.0
85.2100
1.501.01
HdHH new
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Jacobiano inverso
Se il numero di g.d.l. dell’end-
effector è uguale al numero di
giunti del robot (matrice J
quadrata), lo Jacobiano può
essere invertibile
Se J è invertibile: xJ 1
Nel caso del robot RR
θ1
θ2
a1
a2
(x,y)
Robot RR
19
19/53
20
Jacobiano inverso
221 sindet aaJ
k2 0det J
θ1
Θ2=0a1
a2(x,y)
singolarità
Robot RR
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