chapter 4Β Β· luas daerah yang dibatasi kurva fungsi hitunglah luas daerah di bawah kurva = di...
Post on 27-Sep-2020
13 Views
Preview:
TRANSCRIPT
CHAPTER 4INTEGRAL TENTU
4.1 Pengenalan Luas
Luas Poligon
Luas Daerah dengan Batas Kurva
Berapakah luas dari lingkaran dengan jari-jari 1? (Archimedes 287 BC)
Pandang regular poligon di dalam lingkaran.
Dan pandang regular poligon di luar lingkaran.
Notasi Sigma
π=1
π
ππ = π1 + π2 +β―+ ππ
Contoh
1. Jika Οπ=110 ππ = 9 dan Οπ=1
10 ππ = 7, berapakah Οπ=110 (3ππ β 2ππ) dan
Οπ=110 (ππ + 4) ?
2. Tentukan Οπ=1π (ππ+1 β ππ).
3. Tentukan jumlahan geometris Οπ=0π πππ.
Jumlahan Khusus
Berapa Jeruk dalam Tumpukan
Luas Daerah yang Dibatasi Kurva Fungsi
Hitunglah luas daerah di bawah kurva π¦ =π₯ di antara 0 dan 4.
Pandang daerah π yang dibatasi oleh parabola π¦ = π π₯ = π₯2, sumbu-π₯, dan garistegak π₯ = 2.
Hitunglah luas daerah tersebut, π΄ π .
Luas Lingkaran Berjari-jari 1
Berapakah luas dari lingkaran dengan jari-jari 1? (Archimedes 287 BC)
Pandang regular poligon di dalam lingkaran.
Dan pandang regular poligon di luar lingkaran.
4.2 Integral Tentu
Jumlah Riemann
Misalkan π fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [π, π].
Pandang partisi π yang membagi selang [π, π] ke dalam π subselangdengan titik-titik π = π₯0 < π₯1 < π₯2 < β― < π₯πβ1 < π₯π = π dan βπ₯π =π₯π β π₯πβ1. Pada setiap subselang [π₯πβ1, π₯π], pilih titik sampel ΰ΄₯π₯π .
π π = Οπ=1π π ΰ΄₯π₯π βπ₯π disebut jumlah Riemann untuk π yang
berkorespondensi dengan partisi π.
Interpretasi Geometri dari Jumlah Riemann
Integral Tentu
Misalkan π fungsi yang terdefinisi pada selang tutup [π, π].
Jika
limπ β0
π=1
π
π ΰ΄₯π₯π βπ₯π
ada, maka π dikatakan dapat diintegralkan pada [π, π].
πππ π₯ ππ₯ disebut integral tentu (atau Riemann integral) untuk π dari π ke π,
dengan
ΰΆ±π
π
π π₯ ππ₯ = limπ β0
π=1
π
π ΰ΄₯π₯π βπ₯π
Arti Geometri dari Integral Tentu
Fungsi yang Dapat Diintegralkan
Teorema Terintegralkan
Jika π terbatas pada [π, π] dan kontinu kecualipada sejumlah berhingga titik, maka π dapatdiintegralkan pada [π, π].
Contoh
1. 02π₯ + 1 ππ₯ .
2. 2β1(2x + Ο)ππ₯ .
Sifat Penjumlahan
Sifat Perbandingan
Sifat Keterbatasan
Sifat Linear
4.3 Teorema Dasar Kalkulus I
Newton, Leibniz, dan Kalkulus
Β©www.calculusbook.net
Dua Limit Penting
Apakah kedua limit ini berhubungan?
Jarak dan Kecepata
Misalkan suatu objek bergerak sepanjang sumbu-π₯ sedemikian sehingga kecepatannyapada saat π‘ adalah π£ = π π‘ meter per detik. Seberapa jauh objek tersebut akanberpindah dalam selang waktu di antara π‘ = 0 dan π‘ = 3?
Jarak yang ditempuh adalah
limπββ
Οπ=1π π π‘π βπ‘ 0=
3π π‘ ππ‘.
Bagaimana dengan jarak π yang ditempuh di antara π‘ = 0 dan π‘ = π₯?
π π₯ = ΰΆ±0
π₯
π π‘ ππ‘
Apakah turunan dari π ?π β²(π₯) = π£ = π(π₯)
.
.
Teorema Dasar Kalkulus I
Misalkan π fungsi kontinu pada selang tutup [π, π] dan π₯ adalah titik di (π, π). Maka
π
ππ₯ΰΆ±π
π₯
π π‘ ππ‘ = π(π₯)
Contoh
Tentukan πΊβ² π₯ .
(a) πΊ π₯ = 1π₯sin π‘ ππ‘ (b) πΊ π₯ = 1
π₯2sin π‘ ππ‘
(c) πΊ π₯ = sin π₯
coπ π₯sin π‘ ππ‘ (d) πΊ π₯ = 1
π₯π₯ sin π‘ ππ‘
Menghitung Integral Tentu
Misalkan πΊ π₯ = 0π₯sin π‘ ππ‘.
1. Tentukan πΊ 0 .
2. Misalkan π¦ = πΊ π₯ , tentukan ππ¦
ππ₯.
3. Carilah solusi particular dariππ¦
ππ₯= sin π₯.
4. Gunakan hasil 3. untuk menentukan 0πsin π‘ ππ‘.
4.4 Teorema Dasar Kalkulus II
Teorema Dasar Kalkulus II
Misalkan π fungsi kontinu pada [π, π] dan πΉ adalah suatu anti turunandari π pada[π, π]. Maka
ΰΆ±π
π
π π₯ ππ₯ = πΉ π β πΉ(π)
Contoh
1. 4ββ2
π¦2 +1
π¦3ππ¦ .
2. π/6π/2
2 sin π‘ ππ‘ .
Metoda Substitusi
1. π₯ π₯2 + 3 β12/7ππ₯ .
2. π₯2 cos π₯3 + 5 ππ₯.
3. 14 π₯β1
3
π₯ππ₯ .
4. 0π/6
(sin π)3 cos π ππ.
5. 01π₯2 sin π₯3 2 cos π₯3 ππ₯ .
Contoh LainMisalkan π suatu fungsi yang memiliki turunan ketiga yang kontinu. Garis putus-putus pada gambar adalah garis singgung pada grafikπ¦ = π(π₯) di titik (1,1) dan (5,1).
Tentukan apakah integral berikut positif, negatif, atau nol.
1. 15π π₯ ππ₯.
2. 15πβ² π₯ ππ₯.
3. 15πβ²β² π₯ ππ₯.
4. 15πβ²β²β² π₯ ππ₯.
Air bocor dari tanki dengan kapasitas 55 meter kubik dengan laju πβ² π‘ = 11 β 1.1π‘di mana π‘ diunkur dalam jam dan π dalam meter kubik. Pada awalnya tanki terisipenuh dengan air.1. Berapa banyak air yang keluar dalam selang waktu di antara π‘ = 3 dan π‘ = 5
jam?2. Berapa lama waktu yang diperlukan agar bersisa 5 meter kubik air di dalam
tanki?
4.5 Teorema Nilai Rata-Rata untukIntegral dan Penggunaan Simetri
Nilai Rata-Rata Fungsi
Masih ingatkah dengan Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan?
Jika π dapat diintegralkan dalam selang [π, π], maka nilai rata-rata dariπ pada [π, π] adalah:
Pandang integral tentu di atas sebagai luas daerah di antara π(π₯) and the π₯-axis pada [π, π]. Maka πππ£π adalah tinggi persegi panjang pada [π, π] dengan luas yang tepat sama.
β=
b
a
ave dxxfab
f )(1
Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral
Jika π kontinu pada [π, π], maka terdapat bilangan π di antara π dan πsehingga
Contoh.
1. Misalkan suhu dalam derajat Celsius pada suatu batang logam denganpanjang 2 meter bergantung pada posisi π₯ dengan fungsi π(π₯) = 40 +20π₯(2 β π₯). Carilah rata-rata suhu dalam batang tersebut. Apakahterdapat titik di mana suhunya sama dengan suhu rata-rata?
2. Tentukan semua nilai π yang memenuhi Teorema Nilai Rata-Rata untukπ(π₯) = |π₯| pada [β2,2].
β=
b
a
dttfab
cf )(1
)(
Teorema Kesimetrian
Jika f adalah fungsi genap maka
Jika f adalah fungsi ganjil maka
Periodik
Jika π fungsi periodik dengan perioda π, maka
Contoh. Hitunglah
1. .
2. .
3. .
4.6 Integral Numerik
Aproksimasi Integral Tentu
Jika π fungsi kontinu pada selang tutup [π, π], maka integral tentunya ada. Namun demikian, integral tentu tersebut tidak selalu mudah dihitung.
Contoh.
ΰΆ±sin π₯2 ππ₯
ΰΆ±sin π₯
π₯ππ₯
Dalam kasus yang demikian, digunakan beberapa metoda numerik untukmenghitung integral tentu.
Metoda
1. Jumlah Riemann Kiri (atau Kanan atau Titik Tengah)
Mengestimasi luas dengan persegi panjang
2. Aturan Trapesium
Mengestimasi luas dengan trapesium
3. Aturan Simpson
Mengestimasi luas dengan daerah yang dibatasi parabola
Jumlah Riemann Kiri
ΰΆ±π
π
π π₯ ππ₯ β π π₯0 + π π₯1 +β―+ π(π₯πβ1) βπ₯, βπ₯ =π β π
π
πΈπ =π β π 2
2ππβ² π , for π β€ π β€ π
Jumlah Riemann Kanan
ΰΆ±π
π
π π₯ ππ₯ β π π₯1 + π π₯2 +β―+ π(π₯π) βπ₯, βπ₯ =π β π
π
πΈπ = βπ β π 2
2ππβ² π , for π β€ π β€ π
Jumlah Riemann Titik Tengah
ΰΆ±π
π
π π₯ ππ₯ β ππ₯0 + π₯1
2+ π
π₯1 + π₯22
+β―+ ππ₯πβ1 + π₯π
2βπ₯, βπ₯ =
π β π
π
πΈπ =π β π 3
24π2π" π , for π β€ π β€ π
Aturan Trapesium
ΰΆ±π
π
π π₯ ππ₯ ββπ₯
2π π₯0 + 2π π₯1 + 2π π₯2 +β―+ 2π(π₯πβ1) + π(π₯π) , βπ₯ =
π β π
π
πΈπ = βπ β π 3
12π2π" π , for π β€ π β€ π
Aturan Simpson (untuk π genap)
ΰΆ±π
π
π π₯ ππ₯ ββπ₯
3π π₯0 + 4π π₯1 + 2π π₯2 + 4π π₯3 +β―+ 2π(π₯πβ2) + 4π(π₯πβ1) + π(π₯π) , βπ₯ =
π β π
π
πΈπ = βπ β π 5
180π4π(4) π , for π β€ π β€ π
Contoh
1. Aproksimasi 13 1
1+π₯2ππ₯ dengan menggunakan jumlah Riemann kiri, aturan
trapesium, dan Simpson dengan π = 4. Kemudian tentukan galat mutlakmaksimum.
2. Tentukan π sehingga aturan trapesium akan mengaproksimasi 13 1
π₯ππ₯ dengan
galat πΈπ yang memenuhi |πΈπ| β€ 0.01.
3. Tentukan π sehingga aturan Simpson akan mengaproksimasi 13 1
π₯ππ₯ dengan
galat πΈπ yang memenuhi |πΈπ| β€ 0.01.
4. Dalam perjalanan ke kantor, Ani mencatat laju kendaraannya setiap 3 menit. Hasilnya ditunjukkan dalam tabel berikut. Seberapa jauh Ani berkendara?
top related