bsc szakdolgozat - eötvös loránd university...2 2. kardioid definíció: a kardioidot az r...
Post on 14-Feb-2020
5 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Érdekes síkgörbék
BSc szakdolgozat
Szerző: Témavezető:
Locher Petra Dr. Moussong Gábor
Matematika Alapszak, adjunktus
tanári szakirány Geometriai Tanszék
Budapest 2014
1
1. Bevezetés
Dolgozatom címének az Érdekes síkgörbék címet választottam. Érdeklődésemet a
geometria, azon belül a síkgörbék iránt komolyabban a geometria kurzusok keltették fel, de
már általános iskolában és gimnáziumban is csodáltam, hogy mennyi matematikai
érdekességet, összefüggést lehet felfedezni egy-egy geometriai alakzat kapcsán. A
síkgörbék tanulmányozása közben akadtam a kardioidra, ezt a klasszikus görbét szokás
szívgörbének is nevezni. Lenyűgözött, hogy mennyiféleképpen és milyen érdekes
módokon lehet ezt az egyetlen görbét előállítani, származtatni. Dolgozatom első részében
ezeket a származtatásokat gyűjtöttem össze és vezetem le.
A kardioid kapcsán ismerkedtem meg a Pascal-csigákkal, a „kardioid rokonaival”, az ő
származtatásaikat gyűjtöttem össze a dolgozat második részében. Ezen származtatások sok
esetben a kardioid egy-egy kibővített származtatása, vagy ahhoz nagyon hasonló.
A Pascal-csigákkal Étienne Pascal1 (Blaise Pascal2 édesapja) foglalkozott először
tudományosabban, nevüket is róla kapták.
Tanár szakos hallgatóként az is célom, hogy úgy írjam le, és vezessem le ezeknek a
származtatásoknak a matematikai hátterét, hogy azt egy érdeklődő középiskolás is
megértse.
A dolgozatban felhasznált matematikai eszköztár több helyen ugyan túlmutat az általános
matematikai érettségi követelményeken, de igyekeztem ezeket a részeket is úgy
megfogalmazni, hogy az egy érdekelődő diák számára is érthető legyen.
A dolgozatomban a tételek, állítások, bizonyítások, magyarázatok egyszerű megértéséhez
igyekeztem szemléletes ábrákat készíteni. Ezen ábrák a GeoGebra nevű ingyenes
matematikai program segítségével készültek.
Köszönettel tartozom Moussong Gábor tanár úrnak, aki a 3 év folyamán a geometria
kurzusokat tartotta, és felkeltette érdeklődésemet a matematika e területe iránt. Valamint
köszönettel tartozom témavezetőmként, hogy türelmesen ötletekkel, tanácsokkal és
magyarázatokkal segített abban, hogy szakdolgozatomat elkészíthessem.
1 Etienne Pascal (1588 - 1640) 2 Blaise Pascal (1623-1662) nevéhez fűződik a binomiális együtthatók kiszámítása, valamint a Pascal-háromszög is róla kapta a nevét.
2
2. Kardioid
Definíció: A kardioidot az R sugarú alapkör körül csúszásmentesen gördülő ugyanakkora
R sugarú kör egy kerületi pontja írja le.
2.1. Kardioid paraméteres, polárkoordinátás és egyenletes előállítása
2.1.1.Paraméteres előállítás
Először vizsgáljuk meg, hogy hogyan tudjuk a kardioid görbéjét paraméteresen
előállítani. Rögzítsük az x, y tengelyű, derékszögű koordináta-rendszerben az origó
középpontú egység sugarú kört. Ezt a kört tekintjük a kardioid alapkörének, nevezzük C-
nek a koordináta-rendszerben (1,0) pontját, (ez rajta van a körön), és az ide mutató
helyvektort c-nek. Ebből a C pontból indítjuk az alapkörön csúszásmentesen gördülő,
szintén egység sugarú kör P pontját, ami leírja a kardioidot.
Vegyük a kardioid egy P pontjának előállítását a G középpontú gördülőkör segítségével.
Legyen t a szögelfordulás mértéke, aminek függvényében paraméterezzük a görbét.
Nekünk a P pontba mutató helyvektorra van szükségünk a t szögelfordulás függvényében.
A P pontba mutató helyvektort jelöljük r(t)-vel, ezt a vektort két vektor, az OG és GP
vektor összegére bonthatjuk.
Nevezzük B-nek a két kör érintkezési pontját és legyen b(t) a B pontba mutató helyvektor.
A b(t) vektorról tudjuk, hogy egységhosszú és t szöggel fordul el a kiindulási helyzethez
képest, tehát b(t) = (cos(t), sin(t)). OBG egy egyenesbe esik, mivel a körök érintkezési
pontjában húzott érintő OB sugárra és GB sugárra is merőleges. Ebből következik, hogy
OG vektor 2·b(t).
3
A G középpontból P-be mutató vektort nevezzük v(t)-nek.
A v(t) vektor a c vektorhoz képest π + 2t forgásszöggel fordul el, ami könnyen belátható a
G ponton áthaladó x tengellyel párhuzamos e egyenes segítségével. Ugyanis COB
irányszög (e egyenes és GO egyenes által meghatározott) váltószöge is t, illetve BGP
irányszög is t, hiszen CB körívvel ugyanakkora körívhez tartozó szög.
A v(t) vektort ezekből következően felírhatjuk úgy, hogy v(t)= (cos(2t + π); sin(2t + π)).
A trigonometriai azonosságokat felhasználva:
v(t)=( - cos(2t), - sin(2t)).
Az r(t ) = 2b(t) + v(t), tehát
r(t) = (2cos(t) - cos(2t), 2sin(t) - sin(2t)), vagyis
x(t) = 2cos(t) - cos(2t);
y(t) = 2sin(t) - sin(2t).
4
2.1.2. Polárkoordinátás előállítás
A kardioid polárkoordinátás egyenletét egy olyan koordináta-rendszerben célszerű felírni,
ahol a kardioid csúcsa az origóban van, szimmetriatengelye pedig az x tengely:
r = a (1 + cos ).
Mi az előbbi paraméteres levezetéshez képest egy 180 fokkal elfordított, egy egységgel
eltolt kardioidot fogunk vizsgálni. Polárkoordinátás előállítását tehát ily módon
paraméterezett kardioid segítségével nézzük meg.
Vegyük a derékszögű koordinátarendszerben az O(1,0) középpontú, egységsugarú k
alapkört. A gördülőkörnek nézzük azt az állását, amikor az x tengelyen B0(2,0) pontban
érinti az alapkört, a gördülőkör G0 középpontja a (3,0) koordinátaponton van, P
rajzolópontja pedig az érintési ponttal átellenes (4,0) ponton. Tekintsük most ezt kiindulási
helyzetnek. Vegyük a gördülőkörnek egy későbbi tetszőleges állását, és vizsgáljuk meg
abban a rajzolópont helyzetét. Szintén a P pontba mutató r(t) helyvektorra van szükségünk,
amit az előbbi levezetéshez hasonlóan 2·b(t) + v(t) vektor ad. Ebben az esetben azonban
v(t) vektor 2t szögelfordulással megy a P pontba, ugyanis t = 0 helyzetben a két vektor
(OB0 és G0P vektor) állása azonos, és B0OB irányszög (e egyenes és OG egyenes által
meghatározott) egyállású szöge is t, valamint a körívek egyenlősége miatt v(t) t szöggel
fordul el a b(t) vektorhoz képest. Illetve abban is különbözik az előbbi paraméterezéstől,
hogy az x tengelyen egy egységgel eltoltuk az alapkör középpontját.
5
Ha t paramétert -vel helyettesítjük, akkor a két paraméteres koordináta:
xp = 1+ cos + cos +cos 2 = 1 + 2 cos + cos 2
yp= sin + sin + sin 2 = 2 sin + sin 2
Alakítsuk át a cos 2 - t és sin 2 -t.
cos 2 = cos² – sin² = cos² – (1- cos² ) = 2 cos² -1
sin 2 = 2 sin · cos .
Ezt behelyettesítve:
xp = 1 + 2 cos + 2 cos² -1 = 2 (1+ cos ) · cos
yp = 2 sin + 2 sin · cos = 2 (1+ cos ) · sin .
Legyen r = 2(1+ cos ), a 2-es konstans az alapkör átmérőjének hossza, vagyis a = 2R,
általánosabban r = a(1+ cos ).
Mivel xp = r cos , yp= r sin , ez az x és y tengelyre vonatkozó vetület, így
r = a(1+ cos ) valóban a polárkoordinátás egyenlete a kardioidnak.
6
2.1.3. Kardioid egyenlete
A kardioid egyenletét a polárkoordinátás egyenlethez hasonlóan olyan koordináta-
rendszerben célszerű felírni, amelyben a kardioid csúcsa az origóban van,
szimmetriatengelye az x-tengely. Ha a koordináta-rendszert így választjuk, akkor a
kardioid egyenlete:
(x²+ y²) ² – 4Rx(x²+ y²) – 4R² y² = 0, (ahol R az alapkör sugara).
Ezt ellenőrizni is fogjuk a megfelelő paraméteres egyenlet segítségével.
Leolvashatjuk az egyenletből, hogy a kardioid egy negyedrendű görbe.
A görbe egyenletét ekvivalens műveletekkel tovább alakítva egy másik alakra hozhatjuk:
((x² + y²) ² – 2(x² + y²)2Rx + 4 R²x²) – 4 R²x² – 4R² y² = 0.
Ami: (x² + y² – 2Rx) ² = 4R²(x²+ y²).
7
Ellenőrzés a paraméteres előállításból
A kardioid egyenlete (x²+ y²) ² – 4x(x²+ y²) = 4 y², R = 1 esetben.
Ez tehát egy olyan kardioid, amelynek csúcspontja az origóba esik, és alapkörének
középpontja az (1,0) koordinátán van, tehát a polárkoordinátás felíráshoz használt
paraméterezésből indulhatunk ki.
x(t) = 2 cos(t) + cos(2t) + 1;
y(t) = 2 sin(t) + sin(2t);
A trigonometriai azonosságok közül:
A cos(2t) = 2 cos²(t) – 1,
a sin(2t) = 2 cos(t) sin(t),
valamint a sin²(t) + cos²(t) =1-et fogjuk használni.
x = 2 cos(t) + cos(2t) + 1 = 2cos(t) + 2 cos²(t) – 1+ 1. Tehát
x² = (2 cos(t) + 2 cos²(t))² = 4 cos4 (t) + 8 cos3(t) + 4 cos²(t).
4x = 8 cos²(t) + 8 cos(t).
y = 2 sin(t) + sin(2t) = 2sin(t) + 2 cos(t) sin(t).
Az y² = (2sin(t) + 2cos(t) sin(t))² = 4sin²(t) + 4 sin(t) 2 cos(t) sin(t) + (2 cos(t) sin(t))² =
= 4(1 – cos²(t)) + 8 (1 – cos²(t)) cos(t) + 4 cos²(t)·(1 – cos²(t)) =
= 4 – 4 cos²(t) – 8 cos3(t) + 8 cos(t) + 4 cos²(t) – 4 cos4(t). Tehát
y² = – 4 cos4(t) – 8 cos3(t) + 8 cos(t) + 4.
4y² = – 16 cos4(t) – 32 cos3(t) + 32 cos(t) + 16.
x² + y² = – 4 cos²(t) + 8 cos(t) + 4 = 4(cos(t) + 1)²
(x² + y²)² = 16(cos(t) + 1)4 = 16(cos4(t) + 4 cos3(t) + 6 cos2(t) + 4 cos(t) + 1).
(x² + y²)·4x= (– 4 cos²(t) + 8 cos(t) + 4)·(8 cos²(t) + 8 cos(t)) =
= 32 cos4(t) + 96 cos3(t) + 96 cos2(t) + 32 cos(t).
(x²+ y²) ²– 4x(x²+ y²) =
16 cos4(t)+ 64 cos3(t) + 96 cos2(t) + 64 cos(t) + 16
– 32 cos4(t) + 96 cos3(t) + 96 cos2(t) + 32 cos(t)
= – 16 cos4(t) – 32 cos3(t) + 32 cos(t) + 16.
Ezzel beláttuk, hogy a paraméteresen adott kardioid minden pontja kielégíti
(x²+ y²) ² – 4x(x²+ y²) = 4 y² egyenletet, azaz az egyenlet megadja a kardioid összes
pontját. Azt, hogy a megadott egyenlet a kardioid pontjai mellett nem tartalmaz más
8
pontokat könnyen belátható úgy, hogy egy tetszőleges origón átmenő egyenes és a
megadott egyenlet metszéspontjainak számát vizsgáljuk.
Az origón átmenő egyenes egyenlete y = ax.
Ezt behelyettesítve a megadott egyenletbe kapjuk, hogy:
(x ²+ a²x ²)² – 4x(x²+ a²x ²) = 4 a²x²
x²·x² (1+ a²) – 4x·x²(1+ a²) – 4 a²x² = 0.
x²·((1+ a²) x² – 4 (1+ a²) x – 4 a²) = 0. Ennek az egyenletnek az x = 0 gyökön kívül
pontosan két gyöke van, ha a ≠ 0, illetve egy, ha a = 0. Hasonlóképpen ellenőrizhető (x = 0
behelyettesítésével), hogy az y-tengelyen is csak 3 pontja van a görbének. Ezekből már
következik, hogy az egyenlettel megadott pontok csak a kardioid pontjai, hiszen a
paraméteresen megadott kardioidnak és egy origón átmenő egyenesnek is maximum 3
metszéspontja lehet.
9
3. Kardioid származtatásai
3.1. Kardioid, mint ciklois - epiciklois
Ciklois(íve)t ír le egy tetszőleges görbén csúszásmenetesen gördülő körhöz rögzített,
vizsgált pont. A görbét alapgörbének, a gördített kört generálókörnek vagy gördülőkörnek
nevezzük.
A rögzített pont elhelyezkedése szerint beszélhetünk, nyújtott, hurkolt vagy közönséges
cikloisról.
Ha a rögzített pont a generálókörön belül helyezkedik el, akkor nyújtott cikloist kapunk.
Ha a rögzített pont a generálókörön kívül helyezkedik el, akkor hurkolt cikloist kapunk.
Ha a rögzített pont a generálókör egy kerületi pontja, akkor közönséges cikloisnak
nevezzük a kapott görbét.
Ha az alapgörbe kör, a rögzített pont a generálókör egy kerületi pontja, és a gördülő kör
belülről érinti az alapkört hipocikloist kapunk.
Ha az alapgörbe kör, a rögzített pont a generálókör egy kerületi pontja, és a gördülő kör
kívülről érinti az alapkört epicikloist kapunk. Tehát az epicikloist az R sugarú alapkör
körül csúszásmentesen gördülő r sugarú kör egy kerületi pontja írja le.
A ciklois csak akkor lesz zárt görbe, ha alapköre és generálóköre sugarának aránya
racionális. A kerületek aránya fogja meghatározni, hogy hány körbefordulás után záródik a
ciklois pályája, azaz hány csúcsa lesz a cikloisnak.
Abban az esetben r = R megegyezik, a kardioid görbéjét kapjuk. A kardioid esetében a
körkerületek egyenlősége miatt a gördülő kör egy körbeérése után záródik a görbe, a
kardioidnak tehát egy csúcsa van.
Ez a definíció szerinti származtatás - miszerint az R sugarú alapkör körül gördülő
ugyanakkora kör egy kerületi pontjára írja le a kardioidot – egy nagyobb görbecsaládból
kiindulva vezet el a kardioidhoz.
A következő ábrákon epicikloisokra és hipocikloisokra láthatunk példákat.
10
Epicikloisok: (r: R =2
1:1- nefroid;
3
1:1;
4
1:1)
További példák epicikloisokra:
Hipocikloisok: (r: R = -2
1:1; -
3
1:1-Steiner-ciklois; -
4
1:1-asztrois)
További példák hipocikloisokra:
11
3.2. Kardioid származtatása a csúcspont tükörképeként
Tükrözzük az alapkör minden érintőjére az alapkör egy rögzített C kerületi pontját. A
kapott C’ pontok kardioidot alkotnak, amelynek C lesz a csúcsa.
Legyen k alapkör középpontja O, egy kerületi pontja C, ahonnan a gördülőkör
rajzolópontja indul, és a g gördülőkör középpontja G. Vegyük a gördülőkör egy tetszőleges
helyzetét, és a két kör érintkezési pontját nevezzük B-nek. Vizsgáljuk meg B-ben a körök
érintőjét. Ha tükrözzük C pontot az érintőre, akkor C’ pont éppen a gördülőkör
rajzolópontja lesz, hiszen a két kör sugara ugyanakkora, CB és C’B körív egyelőek,
egymás tükörképei a B pontbeli érintőre nézve. Így a kör egy rögzített pontjának a kör
érintőire vonatkozó tükörképei is kardioidot rajzolnak ki.
12
3.3. Kardioid származtatása talpponti görbeként
A kardioid származtatható talpponti görbeként is. Induljunk ki egy R sugarú k1 körből. Ezt
valamelyik C kerületi pontjából kétszeresére nagyítva kapjuk a k2 kört. A k2 kör érintőire
C-ból bocsátott merőlegesek F talppontjainak mértani helye a kardioid.
Ez a származtatás visszavezethető az előbbi - a kardioid pontjainak, a csúcspont alapkör
érintőire vett tükörképeként való - származtatására. Ugyanis a megfelelő érintőket is
kétszeresére nagyítottuk, és mivel a nagyítás minden egyenest egy vele párhuzamos
egyenesbe visz, F pont pontosan a k1 kör megfelelő (k2 kör F ponton átmenő érintőjével
párhuzamos) érintőjére vett tükörképe a kardioid C csúcspontjának.
13
3.4. Kardioid érintője
A következő származtatáshoz vizsgáljuk meg a kardioid érintőit.
Legyen k alapkör középpontja O, és g gördülőkör középpontja G. B a két kör pillanatnyi
érintési pontja. Nevezzük A pontnak a gördülőkörön a B-vel átellenes pontot. Legyen e a
kardioid egy P pontbeli érintője.
Tétel: A kardioid P pontbeli érintője átmegy A ponton (vagyis a gördülőkörön a két kör
érintési pontjával átellenes ponton).
Biz: Mivel az alapkörön csúszásmentesen gördül a generálókör, P pont pillanatnyi
mozgása tekinthető körmozgásnak a két kör pillanatnyi érintési pontja, (B pont) körül. Ezt
szokás gördülési elvnek nevezni.
A síkbeli mozgatások közül a forgatások azok, melyeknek van fixpontja, ez a fixpont pedig
a forgatás középpontja. Az adott pillanatban a csúszásmentesség miatt B pont a gördülés
fixpontja, ezért a P pont pillanatnyi mozgása azonos a B középpont körül BP sugárral való
forgatással. A P pont elmozdulásának iránya merőleges a gördülési középpontból, B-ből, a
P pontra húzott vektorra, hiszen P mozgása felírható a B pont, mint középpont körüli
pillanatnyi elfordulásainak egymásutánjaként. Így BP szakaszra merőleges egyenes tényleg
érintője a kardioidnak.
Ebből már könnyen adódik, hogy a kardioid érintője átmegy az A ponton. Ugyanis
tekintsük BPA háromszöget, amelyik a Thalesz tétel miatt merőleges. Ennek a g körbe írt
14
háromszögnek AB (a g kör átmérője) az átfogója, tehát BP egyenese merőleges a PA
egyenessel. Tehát a P pontbeli érintő és PA egyenesek egybeesnek, azaz PA egyenes a
kardioid P pontbeli érintője.
Még egy dolgot kell definiálni a kardioid érintőjével kapcsolatban. A kardioidnak a
csúcspontjában a hagyományos értelembe vett, azaz sebességvektorral származtatható
érintője nincsen, hiszen itt a pillanatnyi sebessége zérus.
Ezért definiáljuk külön a csúcspontban is a kardioid érintőjét, ami legyen az OC egyenese.
OC egyenese adódik a C pontbeli érintőként, ha a kardioid szomszédos érintőinek
határhelyzetét vizsgáljuk. (Ebben az esetben B pont egybeesik a P ponttal, így BA és PA
egyenes egybeesik.)
3.5. Burkológörbék
A burkológörbe fogalmára több további származtatáshoz is szükségünk lesz.
Az egyenessereg vagy körsereg burkológörbéjén azt a görbét értjük, amely minden
pontjában érinti az egyenessereg vagy körsereg egy görbéjét, és a burkológörbe a
egyenessereg vagy körsereg minden tagját érinti.
Tehát egy síkgörbe érintőseregének a burkolója például maga a síkgörbe.
Megjegyzés: A burkológörbék létezését és egyértelműségét az analízis módszereivel
vizsgálhatjuk. Nincs minden görbeseregnek burkológörbéje (például ha vizsgálunk egy
sugársort, annak nyilvánvalóan nincsen burkológörbéje). De a görbeseregre vonatkozó
bizonyos simasági és nemelfajulási feltételek teljesülése esetén differenciálegyenletek
felhasználásával igazolható, hogy a burkológörbe létezik és egyértelmű. A dolgozatban
azonban ennek vizsgálatára nem térek ki.
Nézzünk pár érdekes példát a görbesereg burkológörbéjére:
Először vizsgáljuk egy olyan egyenessereg burkológörbéjét, amely következőképpen
keletkezik. Vegyünk egy C pontot és egy v egyenest. A C pontot kössük össze a v egyenes
minden pontjával. Vegyük az így keletkezett szakaszok felezőmerőlegesét.
Állítás: Ezen felezőmerőlegesek egyenesseregének burkolója parabola.
Vizsgáljuk meg tehát ezen egyenessereg burkológörbéjét.
15
A paraboláról tudjuk, hogy fókusza, az adott C pont és vezéregyenese, az adott v egyenes
egyenlő távolságra vannak a parabola pontjaitól.
Vegyünk egy f felezőmerőlegest, legyen Q az a pont, ahol a felezőmerőlegest származtató
egyenes metszi a vezéregyenest. Q pontból v-re állított merőleges metssze P-ben az f
felezőmerőlegest. Legyen T, ahol f felezőmerőleges metszi CQ egyenesét. PTC háromszög
egybevágó TPQ háromszöggel, hiszen két oldalának hossza és közéjük zárt szögük
megegyezik, ezért PC szakasz is egyenlő PQ szakasszal, tehát P a parabola pontja,
valamint QPT szög megegyezik TPC szöggel ezért f egyenes valóban a parabola érintője.
16
Másodszor vegyünk egy k kört és a körön belül egy adott C pontot.
Vizsgáljunk meg C pontból k körhöz húzott felezőmerőleges egyenessereg
burkológörbéjét.
Állítás: Ezen egyenessereg burkológörbéje ellipszis, amelynek az adott C pont az egyik
fókusza.
Nézzük meg C pontból a kör egy pontjával összekötött egyenes f felezőmerőlegesét.
Legyen T, ahol a felezőmerőleges és az azt származtató egyenes metszi egymást. Legyen
Q, ahol a felezőmerőlegest származtató egyenes metszi k kört, és a k kör O középpontjából
húzzunk egyenest Q-n át. Legyen P, ahol f-et ez az OQ egyenes metszi. TCP és TQP
háromszögek egybevágóak, mert két oldaluk (TC és TQ, valamint TP) ugyanakkora, és
közrezárt szögük is derékszög. Így TPC szög és TPQ szög ugyanakkorák, QP szakasz CP
szakasz tükörképe a felezőmerőleges egyenesére. Ez bármelyik felezőmerőlegessel
megcsinálható, CP + OP távolsága mindig r állandó lesz, tehát P az ellipszis pontja, a kör
O középpontja pedig a másik fókusz. Az is belátható, hogy f felezőmerőleges a P pontbeli
érintője, ugyanis, CPT szög megegyezik azzal a szöggel, aminek egyik szögszára f, a
másik PO egyenese.
17
Ha C pont a körön kívül helyezkedik, akkor a C pont és a kör pontjait összekötő szakaszok
felezőmerőlegesei hiperbolát burkolnak. Ennek bizonyítása az ellipszis burkolóként való
előállításával analóg.
18
3.6. Kardioid, mint egyenessereg burkolója
3.6.1. Tétel: A 3R sugarú körpályán keringő A pont körül 2
3-szeres szögsebességgel forgó
egyenes érinti a kardioidot, egy ilyen módon előállított egyenessereg burkolója tehát
kardioid.
Ezt a következőképpen láthatjuk be:
Ha P pont szöggel fordult el a kiindulási helyzethez képest, tehát OGP szög , akkor
OAP szög 2
, mivel OAP szög a BP körívhez, vagyis az OGP központi szöghöz tartozó
kerület szög.
Vizsgáljuk meg az érintő elfordulását a kiindulási helyzethez képest. Az érintő is elfordult
szöggel (OA egyenes szöggel való elfordulása) és ezen kívül még 2
-vel (PA és OA
egyenes szöge) is elfordult. Így az érintő + 2
szöget fordult el, -t kiemelve
2
3
szögel fordult el, míg a kadioid P pontja csak -vel. Ez az oka annak, hogy a 3R
(OB+BG+GA) sugarú körpályán A pont körül keringő 2
3-szeres sebességgel forgó
egyenes érinti a kardioidot.
19
3.6.2. Kardioid, mint a kétszeres sugarú gördülő kör rögzített átmérőjének burkolója
Ha az alapkörön gördülő, kétszer akkora sugarú kör rögzített átmérőjét követjük nyomon,
akkor ezen átmérők burkolója szintén kardioid.
Nevezzük k körnek az alapkört, és l-nek a kétszeres sugarú gördülő kört. Jelöljük A-val az
l kör középpontját, D-vel egy rögzített átmérő egyik végpontját, és vegyük kiindulási
helyzetnek, amikor D a két kör metszéspontja.
Vizsgáljuk meg az átmérő elfordulását egy tetszőleges helyzetben. CB ív megegyezik BD
körívvel, mivel a két kör egymáson csúszásmentesen gördül. Ha CB körív
forgásszöghöz tartozik a k alapkörben, akkor BD körív 2
központi szöghöz fog tartozni,
mert a gördülő kör sugara kétszerese az alapkörnek. Így a kétszer akkora sugarú kör
átmérője + 2
szöget fordult el, vagyis a kétszeres sugarú kör átmérővel is a kardioid
érintőit származtattuk.
20
3.7. Kardioid evolutája és evolvense
Evoluta: Adott egy reguláris (differenciálható és a deriváltja sehol sem 0) görbe. A
görbületi középpontok (simulóköröknek középpontjainak) mértani helyét a görbe
evolutájának nevezzük.
Evolvens: Adott egy reguláris görbe. Fejtsük le egy Q pontjától kezdve a görbét, azaz
minden P pontjában a P-beli érintőre mérjük fel a görbe Q-tól P-ig terjedő ívhosszát. A
kapott Q’ pontok alkotta görbét a Q ponthoz tartozó evolvensnek, vagy lefejtési görbének
nevezzük.
Megjegyzés: Egy görbének sokféle evolvense van, attól függően, hogy melyik ponttól
kezdjük a lefejtést. Ha egy f görbe a h görbének evolutája, akkor h görbe az f görbének
evolvense.
A továbbiakban szükségünk lesz néhány definícióhoz, amelyek segítségünkre lesznek a
kardioid evolutájának levezetésében.
Definíciók:
Sebességvektor
A sebességvektor egy olyan vektor, melynek iránya a pályagörbe mindenkori érintőjének
irányával megegyező, nagysága a pillanatnyi sebesség nagysága. A sebességvektor az
elmozdulás idő szerinti első deriváltja.
Egy paraméteres síkgörbe sebességvektora tehát a 0t pontban )t('r 0 .
Sebessége ebben a pontban: )t(v 0 = )t('r 0 .
Érintő
Egy görbe érintőjét többféle megközelítéssel is definiálhatjuk.
Először szemléletesen, ezt már korábban használtuk is. A görbe kiválasztott P pontja
környezetében válasszuk ki a görbe két különböző pontját, P1, P2. E két ponton át húzható
egy egyenes (szelő), és az érintő ennek az egyenesnek a határesete, amint P1 és P2 tartanak
a P ponthoz.
De az evoluta számításához egy másik megközelítésre van szükségünk. Tegyük fel, hogy
az r paraméteres síkgörbe reguláris a t0 pontban. A görbe t0-hoz tartozó érintőjén azt az
egyenest értjük, amely áthalad az )t(r 0 ponton, és irányvektora az )t('r 0 sebességvektor.
21
Az érintő irányú, egység hosszúságú vektort jelöljük e(t)-vel. Az e(t) = )t('r
)t('r.
Görbület
Egy pontbeli görbület alatt az érintő irányváltozásának a pálya menti sebességét értjük,
azaz az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja lesz.
Egy síkgörbe adott pontjához tartozó görbületét a (t)v
(t))'r' (t),(r'det )t(
3 összefüggés
segítségével számolhatjuk ki.
Normális egységvektor:
A t0-beli normális egységvektor az érintő irányú egységvektor +90º-os elforgatottja.
Jele: n(t0).
Simulókör
A simuló kör definiálásához válasszunk ki 3 nem egy egyenesbe eső pontot a P
környezetében: P1, P2, P3. Tegyük fel, hogy P-ben a görbület nem 0. Egyetlen kör van, ami
az előbbi három ponton átmegy. Ennek a körnek a határesete a simuló kör, amint P1, P2 és
P3 tartanak P-hez.
Ismeretes, hogy a görbe P pontbeli érintője megegyezik a simulókör érintőjével és P
pontbeli görbülete a simulókör görbületével. Ha a görbét paraméterezzük t paraméter
szerint és P = )t(r 0 valamint feltesszük, hogy 0)t( 0 akkor a síkgörbe t0-beli
simulókörén az )t(n)t(
1)t(r 0
00
középpontú,
)t(
1
0 sugarú kört értjük.
22
Állítás:
A kardioid evolutája egy fordított állású (180 fokkal elforgatott), 3
1-ára kicsinyített
kardioid. Ha a kardioid csúcspontjával átellenes pontját vesszük a lefejtés kezdőpontjának,
akkor evolvense egy szintén fordított állású, 3-szorosára nagyított kardioid.
A kardioid evolutájának egy paraméteres egyenletét fogjuk levezetni az alábbi számítással.
Egy r(t) paraméteres görbe evolutája, a görbe görbületi középpontjainak helye, az
)t(n)t(
1)t(r
összefüggés segítségével kiszámolható.
Vegyük a kardioid egy paraméterezését.
x(t) = 2cos(t) – cos(2t),
y(t) = 2sin(t) – sin(2t),
r(t) = (2cos(t) – cos(2t), 2sin(t) – sin(2t)).
Ennek deriváltja, azaz sebességvektora:
)t('r = (–2sin(t) + 2sin(2t), (2cos(t) – 2 cos(2t))
Sebessége:
v(t) = )t('r = 22 cos(2t)) 2 - (2cos(t)2sin(2t)) (-2sin(t) =
(2t))4cos cos(2t) cos(t) 8 (t)4cos (2t)4sin (2t)8sin(t)sin - (t)(4sin 2222 =
cos(2t) cos(t) 8 -2t)sin(t)sin( 8 - 8 = 2t)cos(t)cos( (2t)(sin(t)sin 8 - 8 =
= 2))-cos(2t - (1 8 = cos(t)) - (1 8 .
Számoljuk ki normálvektort.
23
n(t) =))tcos(1(8
2sin(t))sin(t)cos(2t),-2 2 (-2cos(t)
A görbület kiszámításához számoljuk ki )t(''r -t és ))t(''r),t('rdet( -t, majd számoljuk ki a
görbületet.
)t(''r = (-2cos(t) + 4cos(2t), - 2sin(t) + 4sin(2t))
))t(''r),t('rdet( =
= ((2sin(2t) -2sin(t))· (4sin(2t) - 2sin(t)) – (2cos(t) – 2 cos(2t))· (4cos(2t) -2cos(t))) =
= (8 sin2(2t) – 4 sin(t)sin(2t) – 8 sin(t)sin(2t) + 4sin2 (t) ) –
– (8 cos(t) cos(2t) - 4cos2 (t) - 8cos2 (2t) + 4 cos(t) cos(2t)) =
= 8 sin2(2t) + 8cos2 (2t) + 4sin2 (t) + 4cos2 (t) – 12 sin(t)sin(2t) – 12 cos(t) cos(2t) =
= 12 – 12 (sin(t)sin(2t) + cos(t) cos(2t)) = 12 (1 – cos(t)).
3))tcos(1(8
))tcos(1(12)t(
=
))tcos(1(82
3
.
Az evoluta paraméteres görbéje ebből:
evoluta (t) = )t(n)t(
1)t(r
azaz
= 2cos(t)cos(2t), 2sin(t)sin(2t)) +
+ 2sin(2t))) (-2sin(t) cos(2t)), 2 ((-2cos(t)))tcos(1(8
1
3
))tcos(1(82
= 3
1 ((6cos(t)- 3cos(2t), 6sin(t) - 3sin(2t)) + (-4cos(t) + 4 cos(2t)), (-4sin(t)+ 4sin(2t))) =
= 3
1 (2cos(t) + cos(2t), 2sin(t) + sin(2t)).
Ez a kiindulási kardioid egyharmadára kicsinyített, fordított állású kardioidja, amit
ellenőrizhetünk úgy, hogy t helyébe helyére (t + π) -t helyettesítünk, mivel t a forgásszöget
méri, ez 180 fokos elforgatást jelent.
3
1 (2cos(t + π) + cos(2t + 2 π), 2sin(t + π) + sin(2t + 2 π)) =
=3
1 (- 2cos(t) + cos(2t), - 2sin(t) + sin(2t)).
Ennek a kardioidnak pedig az egyik evolvense a kiindulási kardioid. Tehát a megfelelő
kiindulási ponttól, azaz a csúcsponttal átellenesen vett pontból induló lefejtés egy
háromszorosára nagyított fordított állású kardioidot eredményez.
24
3.8. kardioid származtatása körök burkolójaként
Tétel:
Tekintsük azon körök burkolóját, amelyek középpontja illeszkedik egy adott körre és
valamennyien átmennek a kör egy rögzített pontján. Így egy olyan kardioidot kapunk,
aminek a csúcsa a rögzített pont.
Legyen C a kardioid csúcspontja, vagyis a kiindulási helyzet, amikor a P rajzolópont az
alapkörön van. Vegyük az O középpontú alapkört és G középpontú generálókör egy
tetszőleges állását. Nevezzük B-nek a két kör metszéspontját. Tudjuk, hogy a kardioid P
pontbeli érintője merőleges a BP egyenesre, (mivel a gördülési elv szerint B pillanatnyi
középpont.) Rajzoljuk meg a B középpontú, BP sugarú kört l kört. Ez az l kör átmegy C
ponton, mivel P a C pont tükörképe a B pontbeli érintőre nézve, tehát BP = BC. Ennek a B
középpontú, BP sugarú körnek P pontbeli érintője a kardioid P pontbeli érintőjével
megegyezik, (hiszen a kardioid érintője és a kör érintője is merőleges P-ben BP-re). Tehát
azon körök burkolója, amelyeknek a középpontja az alapkörön van és átmennek a C
ponton valóban kardioid.
25
3.9. Inverzió
A következő előállításhoz inverziót és az inverzió tulajdonságait fogjuk használni.
Definíció:
Legyen adva egy O középpontú r sugarú kör. Ezt a kört nevezzük az inverzió alapkörének,
az O pontot meg az inverzió pólusának, r²-et meg az inverzió hatványának. Ha a P pont
nem azonos O-val, akkor a P ponthoz hozzárendeljük OP félegyenesnek azt a P’ pontját,
amelyre OP·OP’= r².
Egységsugarú körre vonatkozó inverzió esetében, ha a P pont x távolságra van az origótól,
akkor a P pont inverze P’ x
1 távolságra lesz a pólustól, mivel x ·
x
1 =1².
Az inverzió azon tulajdonságai, amit a későbbiekben felhasználunk:
Ha egy alakzat kör vagy egyenes, akkor inverze is kör vagy egyenes.
A póluson át nem haladó kör inverze póluson át nem haladó kör.
A póluson áthaladó kör inverze póluson át nem haladó egyenes.
A póluson át nem haladó egyenes inverze a póluson áthaladó kör.
A póluson áthaladó egyenes önmagának az inverze.
Ha egy kör és egy egyenes, vagy pedig 2 kör egymást a pólustól különböző
pontban érinti, vagy metszi, akkor inverzeik is érintik vagy (ugyanolyan szögben)
metszik egymást.
Az x² + y² = 1 körre vonatkozó inverzió az (x, y) pontok inverz képeként az
2222 yx
y,
yx
xpontot rendeli.
Ha egy F(x,y) = 0 egyenletű alakzat inverzét keressük, akkor annak egyenletét az
előbbi képletek x, illetve y helyébe történő behelyettesítésével kapjuk.
Tehát F(x,y) = 0 egyenletű alakzat inverze
2222 yx
y,
yx
xF = 0
egyenletű alakzat.
26
3.9.1.Kardioid származtatása parabola inverzeként
Tétel: A kardioidot megkaphatjuk, mint parabola inverzióból vett képét, ha alkalmasan
választjuk a parabola és az inverziót definiáló kör egymáshoz viszonyított helyzetét. Ha
egy parabola fókusza O, és az inverziót definiáló kör középpontja is O, akkor képként
kardioid adódik.
Ez az állítás kétféleképpen is könnyen belátható egyszerű számítással vagy geometriai
úton.
Számolással:
Vizsgáljunk meg egy olyan tetszőleges parabola inverz képét az egységkörre, aminek
fókusza szintén az origó. Vegyük az y² = –2x + 1 egyenletű parabolát. Ennek fókusza az
origó, amit a parabola kanonikus egyenletének segítségével könnyen beláthatunk. A
parabola kanonikus egyenlete: y² = 2px, ahol a parabola csúcsa az origóban van, fókusza
(2
p; 0) pontban, vezéregyenes pedig az x= –
2
pegyenes. Az y² = – 2x + 1 átalakítva
)2
1x()1(2y2 észrevehetjük, hogy az y² = – 2x + 1 egyenletű parabola a kanonikus
helyzetű parabolához képest egy fél egységgel eltolt, fordított állású parabola, valamint p
helyére – 1-t írhatunk, így a csúcspontja a (2
1, 0) pont, fókusza az origó.
27
Invertáljuk az y² = – 2x + 1 egyenletű parabolát a x² + y² = 1 egységkörre.
1yx
x2
yx
y22
2
22
ekvivalens átalakításokkal:
222222 )yx()yx(x2y
0 = (x²+ y²)² - 2x (x²+ y²) - y²
A kardioid egyenletéből (x²+ y²) ²- 4Rx(x²+ y²) - 4R² y² = 0 adódóan
4R = 2
4R² = 1.
Amiből következik, hogy a kardioid alapkörének sugara 2
1.
Ezzel beláttuk, hogy ha egy parabola fókusza O, és az inverziót definiáló kör középpontja
is O, akkor képként kardioid adódik, ugyanis ha a parabolát a pólusból nagyítjuk a képe az
inverzió tulajdonságainak megfelelően egy kisebb kardioid lesz.
Megjegyzés: Az (x² + y²)²- 4x(x² + y²) - 4 y² = 0 egyenletű kardioidot megkapjuk
inverzióval az y²= -2x + 1 egyenletű parabolából, ha az inverziót definiáló kör középpontja
O és sugara 2 .
28
Geometriai úton
Invertáljuk a parabola érintőit az O fókuszú egységkörre.
A parabola v vezéregyenesének inverze egy póluson áthaladó v’ kör. Most vizsgáljuk meg
a parabola egyik e érintőjének az inverzét. Az O pólusból húzzunk merőlegest az e
egyenesre, ez a merőleges P-ben metszi v vezéregyenest, P pontjának inverze P’, az OP
egyenes és a v’ kör metszéspontja.
Nevezzük M-nek az e érintő és OP egyenesének metszéspontját. OM szakasz fele az OP
szakasznak, ezért az inverzió miatt OM’ = 2·OP’. Tehát M’ rajta van az O-ból kétszeresére
nagyított v’-n. Mivel az O-beli érintőknek párhuzamosaknak kell maradniuk, az e érintő
inverze egy olyan e’ póluson átmenő OM’ átmérőjű kör, aminek a középpontja P’. Ebből
adódik, hogy az érintők inverzeinek a serege a v’- re illeszkedő középpontú, O-n áthaladó
körök serege.
Az ilyen körökről burkolójáról pedig már tudjuk, hogy kardioid.
Az inverzió érintkezéstartósága miatt tehát az O fókuszpontú parabola képe kardioid,
abban az esetben, ha az inverziót definiáló kör a parabola fókuszpontjában van.
29
3.10. Kardioid a kör húrjainak burkolójaként
Ha egy körben összekötjük a szöghöz tartozó kerületi pontot a kétszer akkora szögűvel,
akkor az ilyen húrok szintén kardioidot érintenek.
Vegyük fel az O középpontú alapkört és tekintsük kiinduló helyzetnek a generálókörnek
azt az állását, amikor P rajzolópontja éppen a két kör érintkezési pontjával átellenes pont.
(Így a kardioidot a csúcsával átellenes oldaláról kezdjük megrajzolni.) Nézzük a
gördülőkör egy pillanatnyi állását. A két kör metszéspontja legyen B, a generálókör B-vel
átellenes pontja A. A gördülőkör szöggel fordult el, tehát OG egyenes szöggel fordult
el a kiindulási helyzethez képest, és AGP szög is . Rajzoljuk meg O középpontból az A-
n átmenő (3r) nagyságú l kört. Rajzoljuk meg a kardioid P pontbeli érintőjét - amiről már
tudjuk, hogy átmegy A-n (3.4. pont) , - és azt a pontot, ahol az érintő a másik pontban
metszi l kört, nevezzük A’-nek. AOA’ és AGP hasonló háromszögek, hiszen tudjuk, hogy
két megfelelő oldaluk aránya (GA és GP r, OA és OA’ 3r nagyságú) valamint 2 szögük
nagysága megegyezik(OAA’ szög = OA’A szög = GPA szög). Ebből következik, hogy
AGP szög is megegyezik AOA’ szöggel vagyis AOA’ szög is nagyságú, tehát OA’
kétszer akkora szöggel fordult el a kiindulási helyzethez képest, mint OA. AA’ egyenese
pedig a kardioid érintője.
Az állítás visszavezethető arra, hogy a körpályán A pont körül 2
3-szeres sebességgel forgó
egyenes érinti a kardiodot, ilyen egyenessereg burkolója a kardioid (3.6.1. tétel).
30
Ugyanezt az állítást más, szemlétesebb megfogalmazásban a következőképpen is
mondhatjuk. Adott egy kör. Két pont kering a körvonalon, az egyik sebessége kétszerese a
másikénak. A két pontot összekötő húrok így is kardioidot rajzolnak ki.
Egy harmadik megfogalmazásban, komplex számok segítségével is megkaphatjuk
ugyanezen az elven a kardioidot. Ha a komplex számsíkon az egységkör pontjait négyzetre
emeljük, és az egységkör z pontját összekötjük z²-tel, akkor a húrok kardioidot érintenek.
Ez abból adódik, hogy ha egy komplex számot négyzetre emelünk a komplex egységkörön,
akkor a vektor hossza a négyzetére emelkedik, tehát marad egység hosszú, és a vektor
szöge a kétszeresére nő.
3.11. Kardioid kör kausztikájaként
Egy kör kerületére helyezett pontszerű fényforrásból kiindulva a sugarak a körön
visszaverődve kardioidot súrolnak. Ez kísérlettel jól szemléltethető kausztikagörbét
eredményez egy pohár sötétebb folyadék felszínén.
Ennek magyarázata, ha a fénysugár egy irányszögű pontban tükröződik, akkor
visszaverődés után épp a 2 irányszögű kerületi pont felé fog továbbhaladni. Az e két
pontot összekötő húrokról pedig már tudjuk, hogy kardioidot érintenek.
31
3.12. kardioid, mint konchoid
Konchoid
Legyen adott az f görbe és egy rá nem illeszkedő C pont, valamint egy k távolság.
Vegyünk egy C ponton átmenő, a görbét P-ben metsző m egyenest. Jelöljük ki m-en Q1 és
Q2 pontokat úgy, hogy d (Q1,P) = d (Q2,P) = k legyen. Ha P befutja az f görbét, akkor az
egyenes helyzetekhez tartozó Q1, Q2 pontok összessége éppen a konchoid görbéjét adja.
Ha az előállításhoz választott görbe kör, a rögzített pont pedig a kör kerületén van, és k az
alapkör átmérőjével megegyező nagyságú, akkor a létrejövő konchoid éppen a kardioid.
Tétel: A kardioidot tehát úgy származtathatjuk konchoidként, hogy veszünk egy 2
kr
sugarú körön egy fix C pontot. C ponton át egyenest húzunk úgy, hogy messe a kört P
pontban. Ezen az egyenesen kijelöljünk Q1 és Q2 pontokat úgy, hogy
d (Q1, P) = d (Q2, P) = k teljesüljön, ahol k állandó. Ha a P befutja a kört, akkor a Q pontok
kirajzolják a kardioidot.
32
Bizonyítás
Rögzítsünk a síkon egy k kört és a kerületén egy C pontot, a kör átmérője legyen d.
Fektessük C-n át egy szelőt, legyen a szelőszakasz másik pontja a körön P. P-ből mindkét
irányba mérjünk fel ugyanakkora d (2r) távolságot.
Rajzoljuk meg az k kör h húrra merőleges e, f érintőit. Legyen C és P a húr két végpontja.
Tükrözzük C pontot az e illetve f egyenesre, így megkapjuk a Q illetve Q’ pontot.
PQ = 2r, mivel C és P, valamint e és f szimmetrikus a h húrra merőleges sugár egyenesére
és a két felvett érintő között is épp 2r a távolság. (C és e távolsága megegyezik P és f
távolságával a szimmetria miatt, valamint C és e távolsága megegyezik Q és e távolságával
a tükrözés miatt, ebből adódik, hogy Q és e távolsága is megegyezik P és f távolságával. )
Hasonlóan kapjuk, hogy C-nek az f-re vonatkozó Q’ tükörképére is, hogy PQ’ = 2r.
Ha h befutja az összes C-n átmenő egyenest, akkor e és f befutja a k kör összes érintőjét,
miközben az összes érintőre tükröztük a kör egyik pontját. És azt már beláttuk, hogy így
valóban kardioidhoz jutunk.
33
3.13. kardioid a komplex síkon
Tétel: A komplex számsíkon az origón áthaladó tetszőleges kör négyzete origó csúcsú
kardioid lesz.
Egy geometria alakzat négyzetén az összes pontjának a négyzetre emelése után adódó
alakzatot értjük. A komplex számsíkon egy pont négyzetét úgy kapjuk, hogy a pontba
mutató vektor hosszát a négyzetére emeljük, szögének pedig a kétszeresét vesszük.
Algebrából ismerhetjük azt az összefüggést, hogy a komplex számok halmaza
megfeleltethető a R koordinátasíkkal. Egy (a + bi) komplex számnak (a,b) pont felel meg,
aminek koordinátáit, úgy emelhetjük négyzetre, hogy (a+bi) ² = a² + 2abi – b² lesz, tehát a
négyzetre emelt komplex szám koordinátái: (a² – b²; 2ab).
A komplex számsíkon a z vektor egységkörre vonatkozó inverze z
1 (a z , azaz z
konjugált, egy olyan komplex szám, ami képzetes része előjelének megváltoztatásával
keletkezik, tehát z = a + ib konjugáltja z = a – ib lesz). Ugyanis, ha egy tetszőleges P
pontot invertálunk az egységkörre, a pólustól való távolsága a reciprokára változik, de ha
egy komplex szám reciprokát vesszük, akkor a képzetes rész előjele megváltozik, ezért
szükséges a reciprok konjugáltját venni.
A bizonyítás során kihasználhatjuk, hogy az inverzió ( z z
1 ) és a négyzetre emelés
(z 2z ) olyan transzformációk, amelyeknek sorrendje felcserélhető, hiszen
2
2
z
1
z
1.
34
Bizonyítás:
Az tételt úgy fogjuk belátni a komplex síkon, hogy az origón átmenő kört invertáljuk az
origó középpontú egységkörre, amiből egyenes lesz, majd négyzetre emeljük az egyenest,
amiből parabolát kapunk, végül újra invertáljuk a parabolát az origó sugarú egységkörre,
így kapjuk meg a kardioidot.
Az origón átmenő összes kör előállítható egy rögzített körből, ha megfelelően választott c
komplex konstanssal beszorozzuk a pontjait. A négyzetre emelés után ezért minden kép a
rögzített kör képének forgatva nyújtottja lesz. Azt, hogy milyen mértékben azt c² határozza
meg. Megtehetjük tehát, hogy egy speciálisan választott kör négyzetéről látjuk be, hogy
kardioid. Célszerű első lépésben az 2
i középpontú,
2
1 sugarú kört választani.
A második lépésben az origón átmenő 2
i középpontú
2
1 sugarú kört invertáljuk az origó
középpontú egységkörre. Tudjuk, hogy a póluson áthaladó kör inverze póluson át nem
haladó egyenes, valamint az inverzió érintkezéstartósága miatt az egyenes a képzetes
tengely 1 pontján keresztül, a valós tengellyel párhuzamosan halad, azaz y = 1. A komplex
síkon egy egyenes egyenletét az z = x + iy írja le.
Harmadik lépesben emeljük négyzetre ezt az egyenest, hiszen megállapítottuk, hogy az
inverzió és a négyzetre emelés olyan transzformációk, amelyeknek a sorrendje
felcserélhető, ezért felírható:
(x + iy) ² = x ²+ 2ixy – y² és
mivel az y = 1, ezért (x + iy) ² tovább egyenlő x² –1 + 2ix.
Az (x² –1) + (2x)i = x’ + y’i, ezért négyzetre emelt pontok koordinátáira teljesül,
hogy 1'y4
11
2
'y'x 2
2
, ami egy origó fókuszú, x = –
4
1 csúcsú parabola egyenlete.
Az origó fókuszú paraboláról pedig már korábban megállapítottuk, hogy inverze tényleg
kardioid.
36
4. A háromszögbe írt kardioid és a Morley – háromszög kapcsolata
A kardioid egy nagyon érdekes tulajdonsága a háromszögek Morley-féle háromszögével
kapcsolatos. Elsőként Frank Morley (1860-1937) mondta ki és évekkel később bizonyította
is. Mivel mind a tétel bizonyítása, mind a kardioiddal való kapcsolatának bizonyítása
hosszadalmas, szakdolgozatomban csak a kardioiddal való kapcsolatának egy kicsi
részletének (a négyszeresen érintő kardioidoknak) a bizonyítását mutatom be
ízelítésképpen.
4.1. Morley-tétel:
Bármely tetszőleges háromszög szomszédos szögharmadoló egyeneseinek metszéspontjai
egy szabályos háromszöget alkotnak, amelyet a háromszög Morley-féle háromszögének
nevezünk.
37
4.2. Morley-háromszög és a kardioid kapcsolata
Tétel: Tetszőleges háromszögbe írt kardioidok középpontjának mértani helye a Morley-
háromszög határvonala.
A háromszögbeírt kardioidon azt értjük, hogy a kardioid a háromszögben fekszik, és a
háromszög minden oldalát legalább egyszer érinti. A kardioid középpontján alapkörének
középpontját értjük.
Ha a kardioid a háromszög valamelyik oldalát két pontban, a másik kettőt egy-egy pontban
érinti, akkor nevezzük négyszeresen érintő kardioidnak. Pontosan három ilyen kardioid
van, aszerint, hogy melyik oldalt érinti kétszer. Ha a kardioid minden oldalt pontosan
egyszer érint, akkor háromszorosan érintő kardioidnak fogjuk nevezni.
A négyszeresen érintő kardioidok középpontjai épp a Morley-háromszög egyik csúcsával
esnek egybe, a háromszorosan érintő kardioidok középpontjai pedig a Morley-háromszög
oldalszakaszain vannak.
Megjegyzés: Kilépve a háromszög belsejéből a háromszög mindhárom oldalegyenesét
érintő kardioidok középpontjának mértani helye 9 egyenes uniója. Ezt szintén nem
bizonyítjuk.
38
Tétel: Ha a háromszögbe beírt kardioidot a háromszög egy oldala kétszeresen is érinti, azaz
négyszeresen érintő kardioid, akkor a középpontja épp a Morley-háromszög egy csúcsával
esik egybe.
Így három ilyen négyszeresen érintő kardioid rajzolható egy háromszögbe.
Állítás:
Vegyük XYZ tetszőleges háromszöget, melynek megfelelő oldalai: x, y, z és megfelelő
szögei , , .
Tekintsük azt a kardioidot, amelyik kétszeresen érinti az XYZ háromszög x oldalát. Ekkor
a kardioid alapkörének O középpontját és az Y csúcsot összekötő egyenes harmadolja a
szöget.
Mivel a háromszög átbetűzhető, így megkaphatjuk, hogy OZ szakasz is harmadolja a
szöget. O tehát valóban két megfelelő szögharmadoló metszéspontja, azaz a Morley-
háromszög csúcsa.
39
Bizonyítás:
A kardioid k alapkörének középpontját jelöljük O-val, g generálókörének középpontja
legyen G. A vizsgált kardioidot a g gördülőkör P pontja írja le. Jelöljük továbbra is C-vel a
kardioid csúcsát.
Nevezzük M-nek OC egyenes és a háromszög x oldalának metszéspontját. A kardioid
kétszeres érintője legyen a háromszög x oldalegyenese, ezen az egyik érintési pont P’.
Vegyük a gördülőkörnek azt az állását, amikor P’ pontot állítja elő. Az alapkör és a
generálókör érintkezési pontja legyen B, a generálókör B-vel átellenes pontja legyen A. Ha
BOC szög , azaz a gördülőkör φ szöggel fordult el, akkor BG P’ szög is , és a BP’
ívhez tartozó kerületi szög BAP’ szög 2
.
Az AOM háromszög szögei , 2
és 90 fok, tehát ebből könnyen kiszámolható, hogy
60 . Az AOM háromszög átfogója OA= 3r, tehát OM befogója = 2
r3, ebből pedig
következik, hogy CM szakasz hossza 2
r.
40
Vegyük fel az alapkör C pontbeli érintőjét, ami párhuzamos a háromszög x oldalával. Ezt a
párhuzamost nevezzük h-nak. Kössük össze a háromszög Y csúcsát a kardioid O
középpontjával. A h és YO egyenesek metszéspontját nevezzük D-nek és a DOC szög
legyen .
Tükrözzük a h egyenest az OD egyenesre. A h tükörképe legyen f, és f és k érintési pontja
B’. A tükrözés miatt DOB’ szög = DOC szög = α. Tükrözzük az alapkört az f egyenesre,
ez a generálókörnek az a helyzete, amikor B’-ben érinti az alapkört és a kiindulási
helyzethez képest 2 szöggel fordult el.
Az DG’B’ szög megegyezik DOB’ szöggel, azaz DG’B’ szög is , az f tengelyre való
szimmetria miatt. Húzzunk z párhuzamost a gördülőkör B’-vel átellenes A’ pontján át G’D
egyenessel. A párhuzamosság miatt z is szöget zár be A’G’-vel. A párhuzamos szelők
tétele segítségével igazolhatjuk, hogy z egyenes át fog menni a Y ponton. Mivel az M
pontot O-ból C másfélszeresre nagyításával kaptuk, DC és YM párhuzamossága miatt Y
pont is másfélszer olyan távol van O-tól, mint D pont. A’ pontot szintén G’ pont
másfélszeresére nagyításával kaptuk. G’D és z párhuzamossága miatt z megegyezik AY
egyenessel.
G’A’Y szög = , tehát így eljutottunk ahhoz az érintőhöz, amelyik a gördülőkör 2 -val
való elfordulásához tartozik.
Az G’DC szög a szögszárak párhuzamossága miatt egyenlő az A’YM szöggel. A
tükrözések miatt OD harmadolja az G’DC szöget, tehát OY harmadolja az A’YM szöget
is. Ezt szerettük volna megmutatni.
(Az ábrán a gördülőkör az óramutató járásával megegyezően halad)
41
5. Pascal-csigák, a kardioid rokonai
A Pascal-féle csigák is a cikloisoknak egy csoportját alkotják.
A síkon egy adott r sugarú alapkör mentén egy ugyanolyan r sugarú gördülőkört gördítünk
csúszásmentesen, akkor a gördülőkör egy rögzített C pontja által leírt görbét Pascal-
csigának nevezzük. A rögzített C pont a síkon a gördülőkörhöz képest 3 féleképpen
helyezkedhet el.
Ha a C rögzített pont a gördülőkör egy külső pontja, akkor az általa leírt görbét, az
alakjából adódóan hurkolt Pascal-csigának nevezzük.
Ha a rögzített C pontot a gördülőkörön belül választjuk, akkor nyújtott Pascal-csigát
kapunk.
Ha a rögzített pont éppen a gördülőkör középpontja, akkor gördítése során kört ír le.
Ha a C rögzített pont a gördülőkör egy kerületi pontja, a keletkező görbe a kardioid. (Ez is
a definíció szerinti származtatás egy görbecsalád segítségével.)
A Pascal-csigák származtatását a kardioid származtatásából bővítem ki.
42
5.1. Pascal-csigák paraméteres előállítása
A Pascal-csiga paraméteres előállításához vegyük alapul a kardioid paraméterese
előállítását.
Vegyük az origó középpontú egység sugarú alapkör és a generálókör egy pillanatnyi
helyzetét a t szögelfordulás függvényében. A Pascal-csiga P rajzolópontja az alapkörön
belül vagy kívül helyezkedik el, aszerint, hogy nyújtott vagy hurkolt Pascal-csigát
szeretnénk előállítani.
Az P pontba mutató r(t) helyvektorra van szükségünk, amit felírhatunk az origóból a
gördülőkör középpontjába (G) mutató helyvektor (2cos(t), 2sin(t)) és a G-ből P-be mutató
vektor összegeként. A P pont helyzete annyiban más a kardioid esetéhez képest, hogy P
pont távolságra van G-től és nem egységsugár távolságra.
Így a GP vektor ( · cos(2t), · sin(2t)).
Tehát a Pascal-csiga egy lehetséges paraméteres előállítása:
x(t)= 2cos(t) – · cos(2t);
y(t)= 2sin(t) – · sin(2t);
ha < 1, akkor nyújtott Pascal-csigát, ha > 1, akkor hurkolt Pascal-csigát kapunk.
43
5.2. Pascal-csigák származtatása a csúcspont tükörképeként
Rögzítsünk a síkon egy k kört és egy C pontot. Tükrözzük a C pontot a k kör összes
érintőjére.
Ha a C pont a körön belül helyezkedik, akkor nyújtott Pascal-csiga lesz az összes érintőre
tükrözött C’ pontok mértani helye.
Ha a C pont a körön belül helyezkedik, akkor hurkolt Pascal-csiga lesz az összes érintőre
tükrözött C’ pontok mértani helye.
Ha a C pont a körön helyezkedik el, akkor kardioidot kapunk. Ezt beláttuk az egyenlő
körívek segítségével.
A kardioidnál belátott bizonyítás a másik két esetben is alkalmazható, hiszen az alapkör és
a generálókör sugara ugyanakkora. Tehát abban az esetben, ha pl. C pont a körön belül
helyezkedik el, húzzuk meg O ponttól C-n átmenő sugarat. Legyen B a két kör
metszéspontja és G a generálókör középpontja. BOC megegyezik BGC’ szöggel és a két
szöghöz tartozó körív is egyenlő.
Tehát C’-be C-t a két kör érintési pontján át húzott érintőre vonatkozott tükrözés viszi.
Ugyanígy abban az esetben, ha C a körön kívül helyezkedik el.
44
5.3. Pascal-csigák származtatása talpponti görbeként
A Pascal-csigák szintén származtathatóak talpponti görbeként is. Induljunk ki egy R sugarú
k1 körből. Ezt egy tetszőleges C pontból kétszeresére nagyítva kapjuk a k2 kört. A k2 kör
érintőire C-ből bocsátott merőlegesek F talppontjainak mértani helye a Pascal-csiga.
Ha a C pont a körön belül helyezkedik, akkor nyújtott Pascal-csiga lesz a talpponti görbe.
Ha a C pont a körön kívül helyezkedik, akkor hurkolt Pascal-csiga lesz a talpponti görbe.
Ez a származtatás visszavezethető az előbbi, - a csúcspont alapkör érintőire vett
tükörképeként való - származtatására. Ugyanis a megfelelő érintőket is kétszeresére
nagyítottuk, és mivel a nagyítás minden egyenest egy vele párhuzamos egyenesbe visz, F
pont pontosan a k1 kör megfelelő (k2 kör F ponton átmenő érintőjével párhuzamos)
érintőjére vett tükörképe a Pascal-csiga C csúcspontjának.
45
5.4. Pascal-csigák, mint körsereg burkolója
Induljunk ki a síkon egy rögzített pontból és egy rögzített körből. Tekintsük azon körök
burkolóját, amelyeknek középpontjai a rögzített körön vannak és átmennek a rögzített
ponton is.
Ha a rögzített pont a körön belül helyezkedik el, akkor a burkológörbe hurkolt Pascal-
csiga.
Ha a rögzített pont a körön kívül helyezkedik el, akkor a burkológörbe nyújtott Pascal-
csiga.
Korábban beláttuk, hogy ha a rögzített pont a körvonalon helyezkedik el, akkor a körsereg
burkológörbéje kardioid.
Legyen C a Pascal-csiga csúcsa, P a rajzolópontja és tekintsük kiindulási helyzetnek azt,
amikor OGPC egy egyenesbe esik. Vegyük az O középpontú alapkört és G középpontú
generálókör egy tetszőleges helyzetét. Nevezzük B-nek a két kör metszéspontját. A görbe
P pontbeli érintője merőleges a BP egyenesre, (mivel a gördülési elv szerint B pillanatnyi
középpont.) Rajzoljuk meg a B középpontú, BP sugarú kört l kört. Ez az l kör átmegy C
ponton, mivel P a C pont tükörképe a B pontbeli érintőre nézve, tehát BP = BC. Ennek a B
középpontú, BP sugarú körnek P pontbeli érintője a görbe P pontbeli érintőjével
megegyezik, (hiszen a görbe érintője és a kör érintője is merőleges P-ben BP-re.) Tehát
azon körök burkolója, amelyeknek a középpontja az alapkörön van és átmennek a C
ponton valóban nyújtott Pascal-csiga.
46
5.5. Pascal csigák származtatása kúpszeletek inverzeiként
Ha a kúpszeleteket úgy helyezzük el a koordináta-rendszerben, hogy az (egyik) fókusz
illeszkedjen az inverzió pólusára, akkor a Pascal-csigákat kapjuk a kúpszeretek inverz
képeként. Az ellipszis inverz képe nyújtott Pascal-csiga, hiperbola inverz képe hurkolt
Pascal-csiga, a paraboláé kardioid lesz. Ez utóbbit már bizonyítottuk.
Bizonyítás:
Invertáljuk az ellipszis érintőit O pólusú egységkörre. Az ellipszis egyik fókusza szintén
legyen O-ban. Az ellipszis vezérkörének inverze egy szintén póluson át nem haladó v’ kör.
Most vizsgáljuk meg az ellipszis egyik e érintőjének az inverzét. A pólusból húzzunk
merőlegest az e egyenesre, ez a merőleges P-ben metszi a v vezérkört. A vezérkör P
pontjának inverze P’, az OP egyenes és a v’ kör metszéspontja.
Nevezzük M-nek az e érintő és OP egyenesének metszéspontját. OM szakasz fele az OP
szakasznak, ezért az inverzió miatt OM’ = 2·OP’. Tehát M’ rajta van a kétszeresére
nagyított v’-n. Mivel az O-beli érintőknek párhuzamosaknak kell maradniuk, az e érintő
inverze egy olyan e’ póluson átmenő OM’ átmérőjű kör, aminek a középpontja P’. Ebből
adódik, hogy az érintők inverzeinek a serege a v’ körre illeszkedő középpontú, O-n
áthaladó körök serege. Az O pont nyilván v’ pont egy belső pontja, mivel v-nek is az.
Ezen körök burkológörbéje nyújtott Pascal-csiga. Mivel az inverzió érintkezéstartó az
ellipszis inverze nyújtott Pascal-csiga.
A hiperbola érintői esetében ugyanígy, csak abban az esetben a vezérkörön és inverz körén
kívül lesz az O pont. Ebben az esetben hurkolt Pascal-csigát kapunk.
47
5.6. Pascal-csigák származtatása szelőszakaszok segítségével
Rögzítsünk a síkon egy k kört és a kerületén egy C pontot, a kör átmérője legyen d.
Fektessük C-n át egy szelőt, legyen a szelőszakasz másik pontja a körön P. P-ből mindkét
irányba mérjünk fel ugyanakkora a távolságot. A szelő mozgatásával a felmért szakaszok
P-től különböző végpontjai:
(1) Abban az esetben, ha 0 < a < d, akkor hurkolt Pascal-csigát rajzolnak.
(2) Abban az esetben, ha a > d, nyújtott Pascal csigát rajzolnak.
(3) Illetve tudjuk, ha a = d, akkor kardioid keletkezik.
Nézzük meg a nyújtott és hurkolt Pascal-csiga ily módon való előállítását.
Vegyük az r sugarú k kört és egy tetszőleges C pontot. Ha C pont a k kör belső pontja,
akkor nyújtott Pascal-csigát kapunk, ha C pont a k kör külső pontja, akkor hurkolt Pascal-
csiga keletkezik.
Vegyünk fel egy C ponton átmenő h egyenest és az arra merőleges e, f érintőket. Nézzük a
C-n átmenő k körrel koncentrikus l kört. Legyen P az l kör és h egyenes másik
metszéspontja. Az l kör szelőit fogjuk vizsgálni. Tükrözzük C pontot az e egyenesre így
megkapjuk a Q pontot és tükrözzük újra C-t az f egyenesre, hogy megkapjuk Q’ pontot.
PQ és PQ’ = 2r a tükrözések, szimmetriák miatt. Ha l kör h húrja befutja az összes C-n
átmenő egyenest, akkor e és f befutja a k kör összes érintőjét, miközben az összes érintőre
tükröztük az C pontot. És azt már beláttuk, hogy így valóban nyújtott vagy hurkolt Pascal-
csigához jutunk aszerint, hogy a pont a körön belül vagy kívül van.
(nyújtott Pascal-csiga előállítása)
48
5.7. Komplex körök négyzetei
A komplex számsíkon a körök négyzete pontosan a Pascal-csigák.
Paraméterezzük egy tetszőleges O (0, 1) középpontú λ sugarú m kört. Abban az esetben, ha
λ > 1, akkor hurkolt Pascal-csigát, ha λ < 1, akkor nyújtott Pascal-csigát kapunk, és abban
az esetben ha λ = 1, akkor ahogyan már korábban bizonyítottuk kardioidot kapunk.
Az m kört most negatív körüljárás szerinti szögelfordulással paraméterezzük. A kör egy
tetszőleges P pontjának koordinátái:
(λ sin(t); 1- λ cos (t)). Végezzük el a négyzetreemelést.
P (a,b) pont négyzete a komplex számsíkon: (a+bi) ² = a² + 2abi – b² lesz, tehát a kapott
pontok koordinátái: (a² – b² ; 2ab).
(λ sin(t); 1-λ cos(t))2 =
= (λ² sin² (t) – (1 – 2 λ cos (t) + λ2cos2 (t)); 2 λ sin(t) – 2 λ2 sin (t)cos (t)) =
= (2 λ cos (t) + λ² sin² (t) - λ2cos2 (t) – 1; 2 λ sin(t) – 2 λ2 sin (t)cos (t)) =
= (2 λ cos (t) – λ2cos (2t); 2 λ sin(t) – λ2 sin (2t) ) – (1;0)=
= λ (2 cos (t) – λ cos (2t); 2 sin(t) – λ sin (2t) ) – (1;0).
A Pascal-csigák paraméteres előállítása:
x(t)= 2cos(t)- λ· cos(2t);
y(t)= 2sin(t) – λ·sin(2t);
A két felírást követően megállapítható, hogy a négyzetre emeléssel származtatott felírás
egy eltolással és egy nyújtással a paraméteres felírásba vihető át, tehát a komplex kör
négyzetre emelésével is Pascal-csigák származtattunk.
Ugyanakkor nézzük meg, hogy mi lett volna, ha nem egy (0,1) középpontú kört vesszünk
kiindulásnak. A tétel akkor is érvényes, mivel ekkor a (λ sin(t); 1- λ cos (t)) koordinátáit
egy nem 0, c komplex konstanssal szorozzuk, ami geometriailag forgatva nyújtást jelent.
A négyzetre emelt alakzat is egy komplex konstanssal szorzódik, (c2) - tel, ezért kapható
meg a forgatva nyújtott alakzat négyzete az eredeti alakzat négyzetéből ismét csak forgatva
nyújtással.
A forgatva nyújtás pedig egy hasonlósági transzformáció, ebből következik, hogy a
komplex síkon a kör négyzetreemelése mindig Pascal-csigát eredményez.
49
6. Irodalomjegyzék:
Pelikán József, Klasszikus algebrai görbék. Új matematikai mozaik, szerk.: Hraskó
András, Typotex, Budapest, 2002.
Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971.
Reiman István, A geometria és határterületei, Gondolat, Budapest, 1986.
Hraskó András, Egy szív titkai, Budapest, 2004.
http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid/kardioid_0
4november/index.html
50
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés 1
2. Kardioid 2
2.1. Kardioid paraméteres, polárkoordinátás és egyenletes előállítása 2
2.1.1.Paraméteres előállítás 2
2.1.2. Polárkoordinátás előállítás 4
2.1.3. Kardioid egyenlete 6
3. Kardioid származtatásai 9
3.1. Kardioid, mint ciklois – epiciklois 9
3.2. Kardioid származtatása a csúcspont tükörképeként 11
3.4. Kardioid származtatása talpponti görbeként 12
3.5. Kardioid érintője 13
3.6. Burkológörbék 14
3.6. Kardioid, mint egyenessereg burkolója 18
3.7. Kardioid evolutája és evolvense 20
3.8. kardioid származtatása körök burkolójaként 24
3.9. Inverzió 25
3.9.1.Kardioid származtatása parabola inverzeként 26
3.10. Kardioid a kör húrjainak burkolójaként 29
3.11. Kardioid kör kausztikájaként 30
3.12. kardioid, mint konchoid 31
3.13. kardioid a komplex síkon 33
4. A háromszögbe írt kardioid és a Morley – háromszög kapcsolata 36
4.1. Morley-tétel 36
4.2. Morley-háromszög és a kardioid kapcsolata 37
5. Pascal-csigák, a kardioid rokonai 41
5.1. Pascal-csigák paraméteres előállítása 42
5.2. Pascal-csigák származtatása a csúcspont tükörképeként 43
5.3. Pascal-csigák származtatása talpponti görbeként 44
5.4. Pascal-csigák, mint körsereg burkolója 45
5.5. Pascal csigák származtatása kúpszeletek inverzeiként 46
5.6. Pascal-csigák származtatása szelőszakaszok segítségével 47
5.7. Komplex körök négyzetei 48
6. Irodalomjegyzék 49
top related