bilgisayar destekli tasarım/İmalat sistemlerinde kullanılan modelleme...

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme

Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

Bilimsel Hesaplama IIDönem Projesi

Hamdi Nadir Tural

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

İçerik

1. Giriş2. Bilgisayarlı Destekli Tasarım (CAD)3. Modelleme Yöntemleri4. Bilgisayar Sayısal Kontrol Tezgahları (CNC)5. Parça İşleme Yöntemleri6. İnterpolasyon Yöntemleri7. Sonuçlar

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

Özet

Bu çalışmada Bilgisayar Destekli Tasarım (CAD-Computer Aided Design) ve Bilgisayar Destekli İmalat (CAM-Computer Aided Manufacturing) ortamlarında kullanılan tasarım yöntemleri incelenecektir.

CNC tezgahlarda Hızlı ve Hassas İşleme problemine bir Çözüm önerisi sunulacaktır.

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

1. Giriş

Bilgisayarların hızlı gelişimi birçok bilim ve mühendislik alanında kolaylıklar getirmeye başlamıştır.

Bu kolaylıkların ilki, hızlı işlem yapabilme yeteneğidir.

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

1. Giriş

Bu gelişmelerden en çok etkilenen alan tabiîki İmalat Sektörü’dür.

Özellikle analog bilgisayarlardan dijital bilgisayarlara geçişten sonra geometrik modelleme sistemleri ve sayısal kontrollütezgâhlarda büyük ilerlemeler kaydedilmiştir

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

1. Giriş

Yoğun görselleştirme işlemleri GKS, PHIGS ve OpenGL gibi standart kütüphaneler sayesinde donanım seviyesinde çözülerek çok daha verimli grafik tasarım ortamları/yazılımları geliştirilmiştir.

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

2. Bilgisayarlı Destekli Tasarım (CAD)

Bilgisayar grafikleri ve geometrik modelleme, mühendislik tasarımında temel bir rol oynar.

Mimarlık ve mühendislik alanlarında bilgisayar grafikleri, özellikle tasarım ve gerçekleştirme aşamasında zaman kazandıran bir faktör olarak ortaya çıkmıştır.

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

2. Bilgisayarlı Destekli Tasarım (CAD)Neler Tasarlanır?

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

3. Modelleme YöntemleriGenel olarak iki kısımda incelenir

Yüzey Modelleme

Katı Modelleme

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

3. Modelleme Yöntemleri3.1. Bézier Eğrileri

n. dereceden bir Bézier eğrisi, n+1 kontrol noktası olan aşağıdaki gibi bir parametrik fonksiyondur;

∑=

=n

inii tBVtQ

0, )()(

inini tt

in

tB −−

= )1()()(, 10 ≤≤ t

)!(!!ini

nin

−=

ni ,...,0=

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

3. Modelleme Yöntemleri3.1. Bézier Eğrileri

Bézier Eğrileri için şartlar

Bütün i değerleri için

Toplama İşlemi

0)(, ≥tB ni

10 ≤≤ t1)(0

, =∑=

n

ini tB

10 ≤≤ t

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

3. Modelleme Yöntemleri3.1. Bézier Eğrileri

Bézier Eğrileri

p00

p11

p01

p10

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

3. Modelleme Yöntemleri3.2. Kübik Tiriz Eğrileri

En genel halde Kübik Tiriz Çokterimlisi

Bu bize çokterimlinin hem tanım aralığıiçerisinde hem de tanım aralığının uçnoktalarında türevlenebilirlik kabiliyetini de sağlar.

32)( dxcxbxaxP +++=

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

3. Modelleme Yöntemleri3.2. Kübik Tiriz Eğrileri

Tiriz özellikleri

DoğalKenetlenmiş

2,...,1,0 −= nj

nj ,...,1,0=

2,...,1,0 −= nj )()( 111 +++ = jjjj xSxS

)()( 111 +++ ′=′ jjjj xSxS

)()( 111 +++ ′′=′′ jjjj xSxS

)()( jj xfxS =

2,...,1,0 −= nj

0)()( 0 =′′=′′ nxSxS

)()( 00 xfxS ′=′ )()( nn xfxS ′=′

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

3. Modelleme Yöntemleri3.2. Kübik Tiriz Eğrileri

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

4. Bilgisayar Sayısal Kontrol(CNC)Tezgah Türleri

Torna tezgahı (lathe machine) Freze tezgahı (miling machine) Matkap tezgahı (drilling machine) Delik büyütme tezgahı (boring machine) Taşlama tezgahı (grinding machine)

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

4. Bilgisayar Sayısal Kontrol(CNC)Video

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

4. Bilgisayar Sayısal Kontrol(CNC)Video

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

İmalat Akış Diyagramı

4. Bilgisayar Sayısal Kontrol(CNC)

CAD Geometrisi(Spline, Bézier,

NURBS Eğrileri)

Geometri Ayrıklaştırma(Doğru Parçaları,

Daireler)

CAM Kodları(G,M,S,T)

Parça İşleme

CAD Yazılımı CAM Yazılımı CNC Tezgâh

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

4. Bilgisayar Sayısal Kontrol(CNC)Program Kodları

N: Blok (sıra) numarasıG: G-(hazırlık) fonksiyonuX, Z: Pozisyon komutlarıM: M-(yardımcı) fonksiyonuS: S-(hız) fonksiyonuT: T-(takım) fonksiyonu; : Blok sonu kadu (işareti)

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

5. Parça İşleme YöntemleriG01 Doğrusal

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

5. Parça İşleme YöntemleriG02 (CW) ve G03 (CCW)

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

5. Parça İşleme YöntemleriÖrnek Parça İşleme

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriDoğrusal İnterpolasyon

Gerçek Eğri

Tolerans Aralığı

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriDoğrusal İnterpolasyon Algoritması

Bir kübik eğri en genel halde 3. mertebeden bir çokterimlidir.

Burada u [0,1] aralığında değişen parametrik skalar değerdir.

dcubuauuP +++= 23)(

],,[ zyxP = ],,[ zyx aaaa =],,[ zyx bbbb =],,[ zyx cccc =],,[ zyx dddd =

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriDoğrusal İnterpolasyon Algoritması

Bir eğri üzerindeki noktaların tayininde en hızlı/verimli yaklaşım, çokterimli ifadesini Horner Gösterimi ile İleri Fark Alma (ForwardDifferencing) yöntemi kullanılarak elde edilir.

Horner Gösterimi

nnn xaxaxaaxP ++++= ...)( 2

210

0121 )...))(...(()( axaxaxaxaxP nnnn +++++= −−

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriDoğrusal İnterpolasyon Algoritması

Şimdi İleri Fark Alma yöntemini uygulayalım.

Örnek olarak 1. dereceden çokterimli alalım

İleri Fark Alma

δδδ nxxxx +++ ,...,2,,

xaaxP 101 )( +=

δδδ

11

1010111

)(

)())(()()()(

ax

xaaxaaxPxPx

=∆

+−++=−+=∆

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriDoğrusal İnterpolasyon Algoritması

Fonksiyonun n adet noktada değer hesabıiçin algoritma

Döngü: i=1’den n’ye kadar

Döngü Sonu

δ11 a=∆

00 =x

001 )( axP =

1111 )()( ∆+= −ii xPxP

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriDoğrusal İnterpolasyon Algoritması

3. dereceden bir çokterimli için algoritmamız

Döngü: i=1’den n’ye kadar

Döngü Sonu

33

22103 )( xaxaxaaxP +++=

003 )( axP =00 =x3

32

211 δδδ aaa ++=∆3

32

22 62 δδ aa +=∆ 333 6 δa=∆

1133 )()( ∆+= −ii xPxP

211 ∆+∆=∆

322 ∆+∆=∆

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriDoğrusal İnterpolasyon Algoritması

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriAdım Seçimi

2)()(

22121 uPuPuu

P+

−

+≈δ

221

221

221

212 )2)(3()2)(3()2)(3()(

81

zzyyxx buuabuuabuuauu ++++++++−=δ

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriAdım Seçimi

Hatanın u’ya türevi

huu += 12 uu =12222 )2)2(3()2)2(3()2)2(3(

81

zzyyxx bhuabhuabhuah ++++++++=δ

10 ≤≤ u

4 222

2222

)2)2(3()2)2(3()2)2(3(

))2)((3)(2(3

zzyyxx

xxxzzyyxx

bhuabhuabhua

uhcbabababah

dud

++++++++

++++++=

δ

3222

2222

2

2

))2)2(3()2)2(3()2)2(3((

))()()((18

zzyyxx

zxxzyzzyxyyx

bhuabhuabhua

babababababah

du

d

++++++++

−+−+−=

δ

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriAdım Seçimi

İkinci türev ifadesinden de anlaşılacağı üzere yukarı doğru yönelmiş bir içbükey eğri oluşturmaktadır yani bir minimum değer almaktadır!!!

]1,0[ hu −∈

δ=

+++

+++

++

≤

+++

+++

++

2

2

2

2

2

2

2

2

)2)12(3(

)2)12(3(

)2)12(3(

81

)2)2(3(

)2)2(3(

)2)2(3(

81

zz

yy

xx

zz

yy

xx

bua

bua

bua

h

bhua

bhua

bhua

h

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriAdım Seçimi

Buradan hesap adımı çekilirse,

Eğrinin başlangıç noktasında

Eğrinin bitiş noktasında

222 )2)12(3()2)12(3()2)12(3(

22

zzyyxx buabuabuah

++++++++=

δ

0=u

2220

)23()23()23(

22

zzyyxx bababah

+++++=

δ

2221

)29()29()29(

22

zzyyxx

hbababa

h+++++

=−δ

hu −= 1},min{ 10 hhhh −=

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriÖrnek Problem

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriÖrnek Problem

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriÖrnek Problem

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

6. İnterpolasyon YöntemleriÖrnek Problem

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

7. Sonuçlar

Adaptif hesap adımı seçimi belirlenen tolerans değerleri için uygulandıBu yöntemin başarısı daha önce kullanılan tek bir hesap adımlı yöntemlere göre çok yüksektir.İnterpolasyon nokta sayılarının azalması, işlenecek şekle bağlı olarak aynı tolerans değerine sahip tek hesap adımlıyöntemlerden çok daha iyi işleme performansı sağlamaktadır.

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

7. Sonuçlar

Sonuçlar 3. dereceden eğrilerin pratik uygulamalarda tatmin edici bir düzeyde olduğunu göstermektedir.Aşağıdaki tabloda tek adımlı ve adaptif adımlıyöntemler için oluşturulan interpolasyonnokta sayıları verilmiştir.

İTÜ Bilişim EnstitüsüHesaplamalı Bilim ve Mühendislik

Sabrınız için siz dinleyenlere,Gerçekleştirdiğim her projede maddi ve manevi desteklerinden dolayı STANDART Pompa ve Makina San. Tic. A.Ş.’ye,Bu ders kapsamında bizden yardımını esirgemeyen Araştırma Görevlisi arkadaşlarıma,Bizi bir öğrenciden çok bir arkadaş/meslektaş olarak gören Sayın Lale Hanıma,

Teşekkürler