autômatos celulares
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Autômatos Celulares
Autômatos Celulares
Gabriela Salvador Thumégabithume@gmail.com
Universidade do Estado de Santa Catarina
25 de Maio de 2011
Autômatos Celulares
Estrutura da apresentação1 Áreas de estudo2 Histórico3 Modelo Teórico
CaracterísticasAtributos
4 Classi�cação5 Autômatos Celulares Elementares
UnidimensionalBidimensionalTridimensional
6 AplicaçõesPropagação de EpidemiasTeoria de Tudo
7 Conclusão8 Exercícios9 Exercícios10 Referências
Autômatos Celulares
Áreas de estudo
Áreas de estudo
Vida Arti�cial
Sistemas Complexos
Teoria do Caos
Fractais
Máquinas de Estados
Autômatos Celulares
Histórico
Histórico
XNecessidade de um modelo matemático para sistemascomplexos.XProjeto Manhattan: sistemas auto-generativos.XSistemas Complexos:
Propriedades que não são consequências dos elementosisolados
Emergência, seleção e evolução de padrões auto-organizados
Organização de padrões formados pelas interações locais deseus indivíduos
Autômatos Celulares
Histórico
Histórico
1940 Stanislaw Ulam: modelo de cristais arranjados em uma"lattice" (estrutura com dimensão e formato) de células.
Figura: Lattices de cristais [COLLAÇO, 2010]
Autômatos Celulares
Histórico
Modelo de formação de cristais
σt+1(xi ) = uma célula torna-se negra se possui somente uma célulavizinha negra
Figura: Cristais de Ulam [WOLFRAM, 2002]
Autômatos Celulares
Histórico
Histórico
1940 Jon Von Neumann: estudo de auto-replicação de sistemasbiológicos e robóticos.
XConstrutor universal 2D, com 29 estados possíveis para cadacélula e regras que simulam operações da eletrônica e mecânicacomputacionais com o objetivo de auto-replicar.
Figura: Construtor Universal [WOLFRAM, 1982]
Autômatos Celulares
Histórico
Histórico
1969 Konrad Zuse: propôs a idéia de que o universo seria umautômata celular gigante regido por regras.
1970 John Conway: Game of Life.
1983 Stephen Wolfram: descreveu um estudo massivo sobre ocomportamento de autômatos celulares e suas classi�cações.
2002 Em A New Kind of Science, Wolfram mostra um estudoempírico de sistemas gerais simulados em autômatos celulares.[WOLFRAM, 2002]
Autômatos Celulares
Modelo Teórico
Modelo Teórico
Autômatos Celulares são formados por uma matriz/lattice/redede células que possuem estados alterados de acordo com o seuestado anterior e o estado das células vizinhas em um tempodiscreto (iterações) [WOLFRAM, 1982]
Autômatos Celulares
Modelo Teórico
Modelo Teórico
Para xi ∈ E , com 1 ≤ i ≤ n − 1, sendo n a quantidade de colunas(células) de uma lattice de �la de 1 dimensão, e xi o estado de suascélulas na iteração 1 ≤ t ≤ m, sendo m o número máximo deiterações do AC.
A transição dos estados xi do instante t para t + 1 é dada pelafunção de transição σt+1(xi ) de�nida com base na regra quemodela o comportamento desejado.
Ex: σt+1(xi ) =
{xit , se xi−1t
= 0 ∧ xi+1t= 0
1, se xi−1t= 0 ∨ xi+1t
= 1
Autômatos Celulares
Modelo Teórico
Características
Características
Um autômato celular possui uma estrutura discreta de células quetem características de [ILabs, 2009]:
XHomogeneidade: regras iguais para todas as células;XEstados discretos: cada célula pode estar em um dos �nitosestados possíveis;XInterações locais: o estado de uma célula depende só do seuestado anterior e dos estados das células vizinhas;XDinâmicas deterministas: a cada instante de tempo a célulasofreu uma atualização no seu estado;XParalelismo: as células evoluem de forma autônoma eindependente.
Autômatos Celulares
Modelo Teórico
Atributos
Atributos
XGeometria da rede
Dimensão:
Figura: Dimensão da Rede [CERQUEIRA, 2011]
Autômatos Celulares
Modelo Teórico
Atributos
Atributos
Formato: retangular, triangular, quadrada ou hexagonal.
Figura: Formato da Rede [CERQUEIRA, 2011]
Autômatos Celulares
Modelo Teórico
Atributos
XEstados de uma célula: cada célula possui um estado alterado deacordo com regras.
Se todas as células estiverem em seu estado inicial, uma regra podede�nir um estado especial para uma célula desencadear a evolução;
É chamado de binário o autômato celular que suportar apenas 2estados para cada célula.
Figura: BinárioFigura: Seis estados possíveis
Autômatos Celulares
Modelo Teórico
Atributos
XRegras: determinam a atualização dos estados das células
Determinísticas: possível saber com exatidão o próximo estadosabendo o estado das células vizinhas;
Não-determinísticas: se baseiam em probabilidades.
XTipos de vizinhança: em unidimensional = direita e esquerda,em bidimensional:
células na vertical, horizontalmente a adjacentes à célula;
Figura: Neumann
Autômatos Celulares
Modelo Teórico
Atributos
células na vertical, horizontal e diagonalmente adjacentes àcélula;
Figura: Moore
vizinhança aleatória e arbitrária.
Figura: Aleatória
Autômatos Celulares
Classi�cação
Classi�cação
XClasse I: estado homogêneo. Todas as células chegarão a ummesmo estado após um número �nito de interações.XClasse II: estável simples ou limite periódico. As células nãopossuirão todas o mesmo valor e criarão imagens que se repetemcom a evolução temporal.XClasse III: padrão irregular. Não possui padrão reconhecível.XClasse IV: estrutura complexa. Geração de estruturas complexasque evoluem imprevisivelmente. [COLLAÇO, 2010]
Figura: Classi�cação [COLLAÇO, 2010]
Autômatos Celulares
Autômatos Celulares Elementares
Unidimensional
Autômato Celular Unidimensional
XUnidimensional: uma linha de células
XPartindo de uma linha inicial de células, evolui-se em passos detempo de acordo com regras criando novas linhas abaixo daanterior.
XBinário: Estados 0 (branco) ou 1 (preto).
XUma célula e as suas duas vizinhas (da direita e esquerda)formam uma vizinhança de 3 células, por isso existem 23 = 8padrões possíveis para uma vizinhança. Há então 28 = 256 regrasdiferentes possíveis.
XClasse II: padrões que se repetem.
Autômatos Celulares
Autômatos Celulares Elementares
Unidimensional
Regra:
σt+1(xi ) =
{xi , se xi−1 = 0 ∧ xi+1 = 01, se xi−1 = 0 ∨ xi+1 = 1
Con�guração 000 001 100 101 010 011 110 111Retorno 0 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 t = 10 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 t = 20 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 t = 30 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 t = 40 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 t = 50 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 t = 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 t = 71 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t = 8
Autômatos Celulares
Autômatos Celulares Elementares
Unidimensional
Algoritmo
Para t = 1 até t = T, sendo t o tempo corrente e T o número
máximo de passos, faça:
Para i = 0 até i = N, sendo i o número da célula
corrente e N o número total de células, faça:
(xi )←− σt−1(xi )
Autômatos Celulares
Autômatos Celulares Elementares
Unidimensional
Demonstração
Figura: Unidimensional
Código em http://tecendobits.cc/ac/
Autômatos Celulares
Autômatos Celulares Elementares
Bidimensional
Autômato Celular Bidimensional
Game of Life (Conway): Simular a vida e a morte utilizando regrasbásicas de sobrevivência:
A idéia básica é que um ser vivo necessita de outros seres vivos
para sobreviver e procriar, mas um excesso de densidade
populacional provoca a morte do ser vivo devido à escassez de
comida [Gremonini e Vicentini 2008].
Autômatos Celulares
Autômatos Celulares Elementares
Bidimensional
Autômato Celular Bidimensional
XO número de con�gurações possíveis para uma célula e seus 8vizinhos (grade bidimensional de Moore), com 2 estados possíveispara cada célula (0 ou 1) é de 29 = 512.
XAtualizam-se os estados de todas as células da grid a cadaiteração.
XUtilizando dois estados possíveis - binário.
XClasse IV: formam-se estruturas complexas.
Autômatos Celulares
Autômatos Celulares Elementares
Bidimensional
Autômato Celular Bidimensional
Leis genéricas de Conway:
1 Uma célula viva com 2 ou 3 vizinhos vivos, permanece viva;2 Uma célula viva com 1 ou 0 vizinhos vivos, morre de solidão;3 Uma célula viva com 4 ou mais vizinhos, morre sufocada;4 Uma célula morta com exatamente 3 vizinhos vivo, renasce;
Figura: Jogo da Vida
Autômatos Celulares
Autômatos Celulares Elementares
Bidimensional
Demonstração
Figura: Jogo da Vida
Código em http://tecendobits.cc/ac/
Autômatos Celulares
Autômatos Celulares Elementares
Tridimensional
Autômato Celular Tridimensional
Permitem simulações mais complexas. (Exemplos: na biologia,comportamento de cardumes face à ameaça de predador; na física,simulação de explosão de partículas, cristalização de gelo, etc).
Figura: Tridimensional
Autômatos Celulares
Aplicações
Aplicações
Autômatos celulares são usados na prática para simular e prevereventos e comportamentos de sistemas que evoluem com o tempo
Propagação de Epidemias
Simulação de Tráfego Urbano
Incêncios �orestais
Criptogra�a
Sistemas Sociais
Criatividade Musical
Fractais
Formação de cristais
Autômatos Celulares
Aplicações
Propagação de Epidemias
Propagação de Epidemias
XModelagem de um autômata celular bidimensional parapropagação de um vírus;
XBaseado em probabilidades de infecção e recuperação[CERQUEIRA, 2011];
XA vizinhança considerada foi a Vizinhança de Moore (oitovizinhos);
XPopulação de indivíduos Sucetíveis (S), Infectados (I),Recuperados (R) e Mortos (M) - Quatros estados possíveis;
XOs indivíduos S têm uma probabilidade, Pi , de serem infectadosde acordo com Pi (v) =
v
V. Onde v é a quantidade de vizinhos
infectados e V é o número total de vizinhos;
XDe acordo com a vizinhança, indivíduos infectados podem serecuperar e sucetíveis se infectar.
Autômatos Celulares
Aplicações
Propagação de Epidemias
Demonstração
Código em http://tecendobits.cc/ac/
Autômatos Celulares
Aplicações
Teoria de Tudo
Teoria de Tudo
Por que a própria realidade não poderia ser um grandeautômato celular?
Nesta perspectiva, a teoria uni�cadora do comportamento dequalquer objeto e evento seria "apenas"a especi�cação da estruturae da regra que rege um autômato celular. E se o nosso universo éum autômato celular, qualquer coisa pode ser decomposta emmuitas células elementares, cuja evolução no tempo é estritamentedeterminada por regras simples e determinísticas. Exatamentecomo acontece na vida, a complexidade do nosso mundo é aconseqüência de quatro elementos: espaço, tempo, estados eregras. [ILabs, 2009]
Autômatos Celulares
Conclusão
Conclusão
Autômatos Celulares permitem simular sistemas complexos comregras signi�cativamente simples.
Seu estudo proporcionou uma visão de um algoritmo evolutivoaplicável às mais diversas áreas de conhecimento.
O programa desenvolvido possibilitou a experimentação deautômatos unidimensionais e bidimensionais, inclusive a simulaçãode uma aplicação prática com a modelagem da propagação deepidemias virais.
Autômatos Celulares
Exercícios
Exercícios
1 Dadas as gerações demonstradas na �gura do ACunidimensional seguinte, deduza as 8 regras de sua função detransição.
Autômatos Celulares
Exercícios
Exercícios
1 Regras da função de transição
Figura: Resposta de Guilherme Parmezani
Autômatos Celulares
Exercícios
Exercícios
2 Dadas as 8 regras da função de transição seguinte, desenhe asprimeiras 5 gerações do AC 1D resultante.
Autômatos Celulares
Exercícios
Exercícios
2 Autômato Resultante
Autômatos Celulares
Exercícios
Exercícios
3 Crie 8 novas regras para a função de transição de um ACunidimensional e aplique-as em 5 gerações, desenhando o ACresultante em cada geração.
4 Sugira uma aplicação para um modelo de AC. Como seria afunção de transição? Que comportamento demonstrariam asgerações? Justi�que sua resposta.
Autômatos Celulares
Referências
Referências
WOLFRAM, S. (1982).Cellular Automata as Simple Self-Organizing Systems.Disponível em: http://www.stephenwolfram.com/publications/articles/ca/82-cellular/2/text.html.Acesso em: 22 de maio de 2011.
WOLFRAM, S. (2002).A New Kind of Science.Disponível em: <http://www.wolframscience.com/nksonline/toc.html>.Acesso em: 22 de maio de 2011.
COLLAÇO, Caroline (2010).Pós Graduação: Autômato Celular aplicado ao crescimento do
câncer.Universidade Federal de Ponta Grossa.
Autômatos Celulares
Referências
Referências
CERQUEIRA, M., G., C.Autômatos Celulares.Disponível em: <http://www.di.ufpe.br/~iobl/monografia/especificacoes.htm>. Acesso em: 24 de maiode 2011.
ILabs (2009).The Mathematics of Models of Reference.Disponível em: <http://www.mmdr.it/provaEN.asp>.Acesso em: 24 de maio de 2011.
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