aula 4 produto vetorial de dois vetores; interpretaÇÃo geomÉtrica do mÓdulo do produto vetorial;...
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A U L A 4
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES; INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL; PRODUTO MISTO.
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
Definição
É um produto definido apenas para vetores do ³ que resulta em um vetor do ℝpróprio ³.ℝ
O produto vetorial dos vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2) do ³, denotado por x ℝ(lê-se vetorial ), é definido como:
x =
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
Características do vetor x
Consideremos os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2).a) Direção de x
O vetor x é simultaneamente ortogonal a e
𝜋
x
x
𝑣
�⃗�
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
Características do vetor x
Consideremos os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2).b) Sentido de x
�⃗�
𝑣
x
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
Características do vetor x
Consideremos os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2).c) Comprimento de x
Se é o ângulo entre os vetores e não-nulos, então
| x | = ||||sen
ExemploO produto vetorial dos vetores = (1, 2, 1) e = (–2, 3, 1) é dado por:
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL
𝜃
|�⃗�|
|�⃗�|
sen
No paralelogramo ao lado, determinado pelos vetores não-nulos e , a medida da base é e da altura é sen, a área A deste paralelogramo é
A = (base)(altura) = sen ou seja,
A = | x |
∙
Exemplo
Determinar a área do paralelogramo formado pelos vetores = (2, 0, 0) e = (0, 3, 0)
PRODUTO MISTO
Definição
Chama-se produto misto dos vetores = x1 + y1 + z1, = x2 + y2 + z2 e = x3 + y3 + z3, tomados nesta ordem, ao número real ( x ).
O produto misto de , e também por (, , ).
( x ) =
PRODUTO MISTO
Propriedade do produto misto
(, , ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares.
𝜋
x
�⃗�
𝑣�⃗�
PRODUTO MISTO
Interpretação geométrica do módulo do produto misto
Geometricamente, o produtomisto ( x ) é igual, emmódulo, ao volume doparalelepípedo de arestasdeterminadas pelos vetoresnão-coplanares , e .
V = | (, , ) |
�⃗�
𝑣
�⃗�
x
PRODUTO MISTO
Exemplos
1. Calcular o produto misto dos vetores = 2 + 3 + 5, = – + 3 + 3 e = 4 – 3 + 2.2. Verificar se são coplanares os vetores = (2, –1, 1), = (1, 0, –1) e = (2, –1, 4).3. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores = (0, 1, 2), = (4, 2, 1) e = (3, m, 2) seja igual a 33.
REFERÊNCIAS
LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009.
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. SP: Bookman, 2009.
CORRÊA, P. S. Q, Álgebra linear e geometria analítica. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
CENGAGE LEARNING 2010.
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