antiderivada o primitiva de una funcion usm
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-
8/18/2019 Antiderivada o Primitiva de Una Funcion Usm
1/50
MATEMÁTICA AI
INTEGRALES DE
FUNCIONES REALESMg. Walter Clemente Reyes20! " I
-
8/18/2019 Antiderivada o Primitiva de Una Funcion Usm
2/50
ANTIDERIVADA O
PRIMITIVA DE UNAFUNCION
2
( ) ( ) , . x
D F x f x x I
= ∀ ∈
-
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TEOREMA: Consideramos Fy G dos funciones continuas
sobre el conjunto yderivable en
;sitonces existe un numero real k l que:
3
[ ], I a b=( ), I a b= ( )( ) ( ) , , x x D F x D G x x a b= ∀ ∈
( ) ( ) F x G x k = +
-
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PROPOSICION
Si las funciones F(! y G(!son an"i#e$i%a#as #e una&is&a funci'n so$e I ) si:
4
-
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CA*CU*O DE *APRIMITIVA DE UNA
FUNCION
,pero siNOTA
1 p p
x D ax apx
( ) p
F x a x = ⇒
1
( ) , 11
pa x
F x con p p
= ≠
-
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INTEGRA* INDEFINIDADEFINICION
Sea
una funci'n $eal ) con F(!
+$i&i"i%a #e la funci'n f*a e+$esi'nes la "o"ali#a# #e "o#as las +$i&i"i
a&a#a in"e-$al in#e.ni#a #e f
!
-
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a
+$i&i"i%a +o$ en#e in"e-$al in#e./0 El +$oceso ,ue +e$&i"e 1alla$la +$i&i"i%a #e una funci'n
se lla&a In"e-$aci'n20 *a #e$i%a#a #e una in"e-$alin#e.ni#a es i-ual a suin"e-$an#o EFECTO
"
-
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PROPIEDADES
y - son funciones in"e-$ales se "ie
#
-
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E3e&+lo 4
alcula$ la in"e-$al
E3e&+lo /
alcula$ la in"e-$al
E3e&+lo 2
Calcula$ la in"e-$al
$
3
2
2
x xdx
x
− ÷
÷ ∫
( )
2
32
x
dx x x Ln x+∫
2
2
9 1
9
x xdx
x
− + −
−∫
-
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INTEGRACION PORSUSTITUCION
A*GE5RAICASe &6"o#o ) "a&i6n se le conoce co&$aci'n +o$ ca&io #e %a$iale
fec"7a con la ayu#a #e la sus"i"uci'n8 -("! ) # 8 -9("!#"
#on#e " es la nue%a %a$iale y
- una funci'n con"inua #e$i%ale0
%&
( ) ( ) ( ) f x dx f g t g t dt ∫ ∫
-
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E3e&+lo 4
lcula$ la in"e-$al
E3e&+lo /
lcula$ la in"e-$al
E3e&+lo 2lcula$ la in"e-$al
%%
Cosx dx
Senx 2 Senx 2
-
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INTEGRACION PORPARTES
%2
&6"o#o se usa f$ecuen"e&en"e cue-$an#o +ue#e se$ e+$esa#o en f o#uc"o #e #os fac"o$es u y # %
-
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NOTA
%3
funci'n y 8 u% #on#e u 8 1(!)
cian#o la i-ual#a# se "iene ,ue:# (u%! 8 u#% %#ues : u#% 8 #y ; %#u
.
-
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%4
E3e&+lo /
lcula$ la in"e-$al
E3e&+lo 4
lcula$ la in"e-$al
No"a: *a in"e-$al +o$ +a$"es +ue#e efec"ua$secon$ela"i%a facili#a# a+lican#o la $elaci'n
e,ui%alen"e al an"e$io$
1
x dx
x +∫
1
ArcSen xdx
x−∫
-
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-
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asos
%!
I0 Pa$a
usa$ el =n-ulo &i"a#
Pa$a
usa
$
2 2, cos sen x dx x dx∫ ∫
2 21 cos 2 1 cos 2
, cos ....... ( )2 2
x x sen x x
= =
, cosn n sen xdx xdx∫ ∫ ) Si par , usamos ( )
) Si impar , integrandosacamos , cos
I n Z
II n Z del senx dx x dx
∈
⇒ ∈
2 2cos 1 ... ( )sen x x =
-
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%"
I0 Pa$a
usa$ la i#en"i#a#:
Pa$a
nsi#e$a$ los casos:
) , , ( )
) , , int ,
cos ( )
I Si m n Z par usamos
II Si m n Z impar del egrando sale senx dx
x dx y usamos
α
β
+
+
∈
∈
, cn ntg xdx tg xdx∫ ∫ 2 2 2 2
1 sec , 1 sc ....... ( )tg x x ctg x c x γ + = + =sec , scm n m ntg x x dx ctg x c x dx∫ ∫
2 2
) , , int
sec sc ( )
) , , int
sec , csc ( )
I Si n Z par y m cualquier del egrando sale
x dx ó c x dx y usamos
II Si m Z impar y n cualquier del egrando sale
x tgx dx x ctgx dx y usamos
γ
γ
∈
∈
-
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%#
lcula$ la in"e-$al
E3e&+lo 4
lcula$ la in"e-$al
E3e&+lo /
>
-
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INTEGRA*ES POR SUSTITUCI>NTRIGONOM
-
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2&
Consi#e$an#o casos +a$"icula$es 1ace$ lasus"i"uci'n "$i-ono&6"$ica:
2 2
t a dt +∫
t a tg θ = 2secdt a d θ θ =
-
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2%
2 2t a dt −
∫
sect a θ =secdt a tg d θ θ θ =
2 2a t dt −∫
st a enθ =cosdt a d θ θ =
-
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22
E3e&+lo /
alcula$ la in"e-$al
E3e&+lo 4
alcula$ la in"e-$al
E3e&+lo 2
Calcula$ la in"e-$al
2 3/ 2
[ 2 5]
dx
x x− +∫ 2
2
2
4
x
dx x x
+
+∫ 2
2 3 / 21 1[1 ]
x dx x
+ ++∫
FRACCIONES PARCIA*ES
-
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23
FRACCIONES PARCIA*ES
acciones $acionales
De.nici'nUna funci'n $acional +ue#e se$$e+$esen"a#o en fo$&a #e una f$acci'n$acional) co&o el cocien"e #e los+olino&ios
[ ]
[ ]
P xdx
Q x∫
1
1 1 0
1
1 1 0
.....[ ][ ] .....
m m
m m
n n
n n
b x b x b x b P xQ x a x a x a x a
−−
−−
+ + + +=+ + + +
. i i'
-
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24
De.nici'nSi el
la f$acci'n
se lla&a f$acci'n +$o+ia) en caso con"$a$io
la f$acci'n se lla&a i&+$o+ia0No"aSi la f$acci'n es i&+$o+ia) al #i%i#i$ el
nu&e$a#o$ +o$ el #eno&ina#o$ se +ue#e$e+$esen"a$ la f$acci'n co&o la su&a #eun +olino&io y una f$acci'n +$o+ia
( ) ( )[ ] [ ] grad P x grad Q x<
[ ][ ]
P xQ x
[ ] [ ]( )
[ ] [ ]
P x R xm x
Q x Q x
= +
-
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2
Ti+o #e f$acciones $acionales +$o+ias
Tala
Tala
m m dxm Ln x a k
x a x a
→ = − +− −∫
( 1)( )
( ) ( ) 1
p
p p
m m dx m x ak
x a x a p
− −− −→ = +
− − −∫
2
mx n
x ax b
+→
+ +
2( ) pmx n
x ax b
+→
+ +
-
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2!
Caso I
an#o los fac"o$es #e
o#os lineales y nin-7n fac"o$ se $e+i"e
?ace$:
n#e las cons"an"es #een #e"e$&ina$s
[ ]Q x
1 2 3[ ] ( ) ( ) ( ) .... ( )nQ x x r x r x r x r = − − − −
1 2 3
1 2 3
[ ]....
[ ]
n
n
A A A A P x
Q x x r x r x r x r= + + + +
− − − −
1 2 3, , , n A A A A
-
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2"
alcula$ la in"e-$al
E3e&+lo 4
alcula$ la in"e-$al
E3e&+lo /
3 2
1
2 8 4 x d x
x x x+− − +∫
3 2
2 1
3 10
x I d x
x x x
−=
+ −∫
-
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2#
Caso II
an#o los fac"o$es #e
os lineales y un fac"o$ se $e+i"e) su+onien#o
se $e+i"e + @ %eces) en"onces:
n#e las cons"an"es #een #e"e$&ina$s
[ ] ( ) ( ) ( ) .... ( )i i i i p eces
Q x x r x r x r x r
−
= − − − −% 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43
( )i x r −
1 2 3
1 2[ ] ....[ ] ( ) ( ) ( )
p
p p p
i i i i
A A A A P xQ x x r x r x r x r − −
= + + + +− − − −
1 2 3, , , n A A A A
-
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2$
alcula$ la in"e-$al
E3e&+lo
2
32
3 2 x I d x
x x+= − −∫
-
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3&
Caso III
an#o los fac"o$es #e
son lineales cua#$="icosax /
bx
c
i$$e#ucile y nin-uno #e los fac"o$escua#$="icos se $e+i"e0 En"onces
lcula$ la in"e-$al
3e&+lo
[ ]Q x
2
( )
( )
P x Ax !
Q x ax bx c
+=
+ +
-
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3%
Caso IV
an#o los fac"o$es #eson lineales cua#$="icos i$$e#ucile y unfac"o$ cua#$="ico:se $e+i"e k ; %eces
[ ]Q x
2 x bx c+ +
1 1 2 2
2 2 1 2
[ ]....
[ ] ( ) ( )
k k
k k
A x ! A x ! A x ! P x
Q x x ax b x ax b x ax b−++ +
= + + ++ + + + + +
-
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SUMATORIA
El s&olo su&a"o$ia B es &uy 7"il +a$a
e+$esa$ la su&a con &uc1os "6$&inosen fo$&a a$e%ia#aE3e&+lo 4
E3e&+lo /
-
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33
P$o+ie#a#es
1 1
n
" n= =∑
1 1
( ) ( )n n
" "
c f " c f "= =
=∑ ∑
( )1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )n n n
" " "
f " g " f " g "= = =
± = ±∑ ∑ ∑
1
1
( 1)2
n
" " n n= = +∑2
1
1( 1) (2 1)
6
n
"
" n n n=
= + +∑
2 23
1
( 1)
4
n
"
n n "
=
+=∑
REAS ACOTADAS POR CURVAS
-
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34
REAS ACOTADAS POR CURVAS(A+$oi&aci'n +o$ =$eas #e
$ec"=n-ulos!e.nici'n
en"$e las cu$%as y 8 f(!) el e3e y las $ec"es"= #a#o +o$:
#on#e es con"inua en
y el in"e$%alo es"= su#i%i#i#o en n;suin"e$%alos ca#a uno #e ellos #elon-i"u#
, , x a x b b a= = >
1( ) lim ( )
n
"n
" A R f c x→ ∞
== ∆∑( ) 0 f x ≥ [ , ]a b
b a x
n
−∆ =
-
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3
E3e&+lo 4'allar el (rea de la re)i*n acotada por
el eje + y la recta
(Usan#o $ec"=n-ulos ci$cunsc$i"os!
$l% 2& Da#a la $e-i'n R aco"a#a +o$ las cu$%as
$ el =$ea #e la $e-i'n R (Usan#o $ec"=n-ulos insc$i"
N%ta& Si se toma rectángulos inscritos se elige el f (c j)
a valores mínimo absoluto de f en [ x j-1, x j ]. Si se toma
rectángulos circunscritos se elige f (d j ) a los valores
máximos absolutos en [ x j-1, x j ] , .
2 y x=
2 x =
2 24 ( 4) , 4 ( 4) y x y x= ± − = ± +
1
( ) lim ( )n
j n
j
A R f d x → ∞
=
= ∆
-
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3!
INTEGRA* DEFINIDA
$e&a Fun#a&en"al #el C=lculo
I0 P$i&e$ Teo$e&a Fun#a&en"al #elC=lculo
(De$i%a#a #e in"e-$al!Sea f una funci'n con"inua en elcon3un"oa funci'n F #e.ni#a +o$
con #e$i%ale en
[ , ] I a b=
( ) ( ) x
a
F x f t dt =
∫ a x b≤ ≤ ,a b
( )'( ) ( ) ( ) '( ) ( ) , [ , ] x
xa
F x D f t dt f x ie F x f x x a b= = = ∀ ∈∫
-
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3"
II0 Se-un#o Teo$e&a Fun#a&en"al #elC=lculo
Sea f una funci'n con"inua en elin"e$%alo
e la funci'n F(! es la +$i&i"i%a #e f:
[ , ] I a b=
( ) ( ) ( )b
a f x dx F b F a= −∫
-
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3#
E3e&+lo 4
E3e&+lo /
Calcula$ F(!
Calcula$ F(!
2
2( )
x
F x sen t dt = ∫
3
0
( ) ( sec 2 ) x
F x t t dt = −∫
INTEGRA* IMPROPIA
-
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3$
INTEGRA* IMPROPIA
De.nici'n
Una in"e-$al es i&+$o+ia si
40 *a funci'n in"e-$an#o "iene +un"o #e
#iscon"inui#a# en el in"e$%alo:
/0 Cuan#o +o$ lo &enos uno #e los l&i"es#e in"e-$aci'n es in.ni"o0
( ) f x dxβ α ∫
[ , ]α β
-
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4&
E3e&+lo 4
E3e&+lo /
lcula$ si eis"e la in"e-$al:
lcula$ si eis"e la in"e-$al:
1
0 3 3
dx
x −∫
21 (1 ) xdx
x e
∞
+∫
C*CU*O DE *AS INTEGRA*ES IMPROPIAS
-
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4%
C*CU*O DE *AS INTEGRA*ES IMPROPIAS
De.nici'n 4
i f es continua y si existe
entonces
n(lo)amente, si f es continua
y si existe
entonces
[ , x α ∀ ∈ + ∞ lim ( )t
t
f x dxα → +∞ ∫
( ) lim ( )t
t
f x dx f x dxα α
+∞
→ + ∞=∫ ∫
], x b∀ ∈ − ∞
00
lim ( )t
t
f x dxβ
→ − ∞ ∫
00
( ) lim ( )t
t
f x dx f x dxβ β
−∞ → + ∞
=∫ ∫
D . i i' /
-
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42
De.nici'n /
i f es continua
e tiene:
$as in"e-$ales i&+$o+ias
De.nici'n 2i f es continua en
entonces
, x∀ ∈ − ∞ + ∞
0
0
0
0( ) lim ( ) lim ( )
t
t t t
f x dx f x dx f x dx+∞
− ∞ → +∞ → +∞= +∫ ∫ ∫
[ ,α β
0( ) lim ( ) f x dx f x dx
β β δ
α α δ
−
→=∫ ∫
-
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43
De.nici'n
i f es continua
y si existe
entonces
De.nici'n
i f es continua
excepto en
entonces
con
], x α β ∀ ∈
0lim ( ) f x dx
β
α ε ε +→ ∫
0( ) lim ( ) f x dx f x dx
β β
α α ε ε +→=∫ ∫
[ ], x α β ∀ ∈
x c= cα β < <
0 0( ) lim ( ) lim ( )
c
c f x dx f x dx f x dx
β δ β
α α ε δ ε
−
+→ →= +∫ ∫ ∫
C$i"e$io #e Co&+a$aci'n
-
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44
C$i"e$io #e Co&+a$aci'n
Teo$e&a 4
Si
si f y - son in"e-$ales en
#on#e
en"onces
40 con%e$-e si con%e$-e
/0 #i%e$-e si #i%e$-e
0 ( ) ( ) , f x g x x a≤ ≤ ∀ >
[ ], aα
a α ≥
( )a f x dx
∞
∫ ( )a g x dx∞
∫ ( )
a f x dx
∞
∫ ( )a
g x dx∞
∫
-
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4
E3e&+lo 4
E3e&+lo /
nalia$ la #i%e$-encia #e
nalia$ la #i%e$-encia #e
21 (1 ) xdx
x e
∞
+∫
31
1 xdx
x
∞ +∫
C*CU*O DE REAS P*ANAS
-
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46/50
4!
C*CU*O DE REAS P*ANASDe.nici'n 4
i f es con"inua enf J K y R la $e-i'n aco"a#a+o$ la cu$%a
l e3e y las $ec"as
Su =$ea es"=#a#o +o$:
[ , ] I a b= ( ) y f x=
, x a x b= =
( ) ( )
b
a A R f x dx= ∫
e.nici'n /
-
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47/50
4"
e.nici'n /
f y - funciones con"inuas encon f (! J -(!
Es"= #a#o +o$:
y las$ec"as
#e la $e-i'n R aco"a#a +o$ las cu$%as f(! y
[ , ] I a b=
, x a x b= =
( )( ) ( ) ( )b
a A R f x g x dx= −∫
*ONGITUD DE ARCO
-
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4#
*ONGITUD DE ARCO
e.nici'n
ea f(! una funci*n continua en elintervalola lon)itud de arco sde la )r(.ca y8f(! desde /a,f/a00
1asta /b,f/b00 es dadopor:
No"a
curva est( dada por 8-(y0 con c y d
[ ],a b
2
1b
a
dy s dxdx
= + ÷ ∫
2
1d
c
dx s dy
dy
= + ÷
∫
-
8/18/2019 Antiderivada o Primitiva de Una Funcion Usm
49/50
4$
E3e&+lo 4
alcular la lon)itud de la circunferencia:
lcular la lon)itud del se)mento de recta de -/&,%0
E3e&+lo /
1asta /,%30
2 2 2 x y a+ =
VO*UMEN DE* S>*IDO DE REVO*UCI>
-
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50/50
VO*UMEN DE* S>*IDO DE REVO*UCI>
e.nici'n
Es un s*lido obtenido al rotar una re)i*n planaalrededor de una recta en el plano, llamado ejede revoluci*nndo f una funci*n continua en
& y R es la re)i*n comprendida entre yf/x0, el ej las rectas xa , xb
[ ],a b
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