analise_aula03
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Introduo aos Sinais e Sistemas
Edmar Jos do Nascimento(Anlise de Sinais e Sistemas)
http://www.univasf.edu.br/edmar.nascimento
Universidade Federal do Vale do So FranciscoColegiado de Engenharia Eltrica
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Roteiro
1 Introduo aos SinaisOperaes com SinaisClassificao de SinaisModelos de Sinais
2 Introduo aos SistemasClassificao dos Sistemas
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Definies
Um sinal um conjunto de dados ou informaoSinal de telefone ou de televisoRegistros do ndice Bovespa ao longo de uma seo
Matematicamente, um sinal representado por umafuno de uma ou mais variveis
Um sinal de voz representado por uma amplitude detenso em funo do tempoUm trecho de vdeo representado pela variao deparmetros de cor em funo do tempo e da posio natela
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Energia e Potncia de um sinal
Quando se lida com sinais necessrio ter uma medidade sua "fora"Dependendo do tipo de sinal, pode-se utilizar a energia oua potncia para indicar se ele mais forte ou mais fracoDa eletricidade, sabe-se que:
p = vi ; E =
pdt
Para uma carga resistiva, tem-se que:
p = v2
R = Ri2; E =
v2
R dt =
Ri2dt
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Energia e Potncia de um sinal
Em sinais e sistemas considera-se uma carga normalizada(R = 1) e desse modo a energia de um sinal x(t) podeser definida como
Ex =
x2(t)dt
Dessa forma, a energia assim definida no representa aenergia real de um determinado sinal prticoSe x(t) for uma funo complexa, a sua energia pode serdefinida como
Ex =
|x(t)|2dt
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Energia e Potncia de um sinal
De modo anlogo ao obtido para a energia, a potncia deum sinal pode ser definida como a energia mdia em umdado intervalo de tempo, sendo assim, a potncia de umsinal x(t) pode ser definida como
Px = limT
1T
T/2T/2
x2(t)dt
Se x(t) for uma funo complexa, a sua potncia pode serdefinida como
Px = limT
1T
T/2T/2
|x(t)|2dt
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Energia e Potncia de um sinal
Pode-se mostrar que se x(t) um sinal peridico comperodo T0, o clculo da sua potncia bastantesimplificado, ou seja
Px =1T0
T0
x2(t)dt
A integral acima pode ser calculada em qualquer intervalode tempo de comprimento igual a T0
ExemploMostrar que a potncia de x(t) = C cos (0t + ) como 0 = 2piT0 dada por Px = C
2
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Energia e Potncia de um sinal
Pode-se mostrar que se x(t) um sinal peridico comperodo T0, o clculo da sua potncia bastantesimplificado, ou seja
Px =1T0
T0
x2(t)dt
A integral acima pode ser calculada em qualquer intervalode tempo de comprimento igual a T0
ExemploMostrar que a potncia de x(t) = C cos (0t + ) como 0 = 2piT0 dada por Px = C
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Operaes com Sinais
Roteiro
1 Introduo aos SinaisOperaes com SinaisClassificao de SinaisModelos de Sinais
2 Introduo aos SistemasClassificao dos Sistemas
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Operaes com Sinais
Operaes com Sinais
Algumas operaes com sinais merecem destaque, soelas:
Multiplicao por um escalarDeslocamento temporalEscalamento temporalReverso temporalOperaes combinadas
Multiplicao por um escalarDado um sinal x(t), modifica-se a sua amplitude,obtendo-se um novo sinal (t) = cx(t)Se c > 1, o sinal amplificadoSe 0 < c < 1, o sinal atenuado
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Operaes com Sinais
Deslocamento Temporal
O deslocamento temporal pode ser de dois tipos: atrasoou avanoConsiderando-se um sinal x(t), a verso atrasada de Tsegundos (t) obtida da seguinte forma
O que acontece com x(t), acontece tambm com (t) apsT segundos, ou seja, (t + T ) = x(t)Assim, o sinal atrasado representado por (t) = x(t T ),com T > 0
O atraso (t) = x(t T ) corresponde a um deslocamentode T segundos para a direita do sinal x(t)
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Operaes com Sinais
Deslocamento Temporal
O avano pode ser pensado como um atraso negativo, ouseja, o sinal avanado pode ser representado por
(t) = x(t + T ), T > 0O avano (t) = x(t + T ) corresponde a um deslocamentode T segundos para a esquerda do sinal x(t)
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Operaes com Sinais
Escalamento Temporal
A compresso ou a expanso de um sinal no tempo chamada de escalamento temporalUm sinal comprimido por um fator a, (a > 1), representado por
(t) = x(at)
Analogamente, um sinal expandido por um fator a, (a > 1), representado por
(t) = x( t
a
)
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Operaes com Sinais
Escalamento Temporal
Exemplo de uma compresso e de uma expanso por umfator de 2
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Operaes com Sinais
Reverso Temporal
A reverso temporal consiste em uma rotao de 180graus em torno do eixo das ordenadasA operao de reverso temporal representada por
(t) = x(t)
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Operaes com Sinais
Operaes Combinadas
Operaes mais complexas podem combinar mais de umadas operaes estudadasPode-se representar uma operao combinada na forma(t) = x(at b)
Dependendo dos valores de a e b essa operao poderepresentar uma combinao de avano, atraso,compresso, expanso ou reverso
Uma operao combinada na forma (t) = x(at b) podeser realizada de trs maneiras
x(t) deslocado de b resultando em x(t b) seguido doescalamento de x(t b) por a resultando em x(at b)Escalamento de x(t) por a resultando em x(at) seguido dodeslocamento temporal por b/a resultando em x(at b)Obteno dos pontos de interesse de (t) a partir dogrfico de x(t)
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao de Sinais
Roteiro
1 Introduo aos SinaisOperaes com SinaisClassificao de SinaisModelos de Sinais
2 Introduo aos SistemasClassificao dos Sistemas
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao de Sinais
Classificao de Sinais
Os sinais existentes podem ser classificados de diversasmaneiras
Contnuos e discretos no tempoAnalgicos e digitaisPeridicos e no peridicos (aperidicos)Energia e potnciaDeterminsticos e aleatriosCausais, no causais e anti-causais
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao de Sinais
Sinais Contnuos e Discretos no Tempo
Um sinal contnuo no tempo aquele que especificadopara valores de tempo contnuoUm sinal discreto no tempo aquele que especificadopara valores de tempo discretos
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao de Sinais
Sinais Analgicos e Digitais
Um sinal analgico aquele cuja amplitude pode assumirqualquer valor em uma faixa contnuaUm sinal digital aquele cuja amplitude pode assumirapenas um valor pertencente a um conjunto finito devalores
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao de Sinais
Sinais Peridicos e Aperidicos
Um sinal x(t) peridico se para alguma constantepositiva T0
x(t) = x(t + T0), t
Se o sinal x(t) no for peridico, ele aperidico
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao de Sinais
Sinais de Energia e de Potncia
Um sinal de energia aquele que possui energia finita eno nulaUm sinal de potncia aquele que possui potncia finita eno nulaUm sinal no pode ser de energia e potncia ao mesmotempoUm sinal pode no ser de energia nem de potnciaSinais peridicos so em geral sinais de potncia
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao de Sinais
Sinais Determinsticos e Aleatrios
Um sinal determinstico aquele cuja descrio fsica completamente conhecida, seja atravs de um grfico ouatravs de uma expresso matemticaPor outro lado, um sinal aleatrio admite apenas umadescrio probabilstica (momentos, fdp, fda, etc.)
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao de Sinais
Sinais Causais, no Causais e Anti-causais
Um sinal causal se ele comear a partir do instante t = 0Caso o sinal comece antes de t = 0 e se estenda parat > 0 o sinal chamado de no causalSe o sinal existir apenas para t < 0, o sinal chamado deanti-causal.Como a varivel de um sinal no est restrita ao tempo, ossinais no causais podem existir no mundo fsico
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Roteiro
1 Introduo aos SinaisOperaes com SinaisClassificao de SinaisModelos de Sinais
2 Introduo aos SistemasClassificao dos Sistemas
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Modelos teis de Sinais
Em sinais e sistema, faz-se freqentemente o uso demodelos de sinais seja para simplificar as notaes ouobter modelos mais simples de se lidarAlguns modelos so bastante utilizados
Degrau unitrioImpulso unitrioExponencial complexa
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Degrau Unitrio
O degrau unitrio definido como
u(t) ={
1, t 00, t < 0
}
O degrau unitrio permite se ter uma representaocompacta para sinais causais
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Impulso Unitrio
A "funo"impulso unitrio denotada por (t) foi definidapor Dirac como
(t) = 0, t 6= 0
(t)dt = 1
Geometricamente, o impulso unitrio pode ser definido apartir das seguintes figura fazendo-se 0
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Propriedades do Impulso Unitrio
O impulso unitrio possui as seguintes propriedades
(t)(t) = (0)(t)(t)(t T ) = (T )(t T )
(t)(t)dt = (0)
(t)dt = (0)
(t)(t T )dt = (T )
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Propriedades do Impulso Unitrio
Uma definio matemtica para o impulso pode ser dadaem termos de funes generalizadas
Funes definidas por seu efeito em outras funesUsando essa definio, o impulso definido atravs dapropriedade da amostragem
O impulso unitrio definido como uma funo na qual area do seu produto com uma funo (t) igual ao valorde (t) no instante em que o impulso est localizado
Com a abordagem de funes generalizadas pode-serelacionar o impulso unitrio com o degrau unitrio
A derivada do degrau um impulsoA integral de um impulso um degrau
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Propriedades do Impulso Unitrio
A derivada do degrau unitrio u(t) um impulso
dudt (t)dt = u(t)(t)
u(t)(t)dt
= () 0
0(t)dt
= () (t)0= (0)
Como a derivada de u(t) satisfaz a propriedade deamostragem de (t), pode-se concluir no sentidogeneralizado que
dudt = (t)
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Propriedades do Impulso Unitrio
Conseqentemente, tem-se que t
()d = u(t)
As derivadas de um impulso podem tambm ser definidasatravs de funes generalizadas (ver problema 1.4-9 dolivro texto)
ExemploMostrar que
(t 2) cos (pit4 )dt = 0
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Modelos de Sinais
Propriedades do Impulso Unitrio
Conseqentemente, tem-se que t
()d = u(t)
As derivadas de um impulso podem tambm ser definidasatravs de funes generalizadas (ver problema 1.4-9 dolivro texto)
ExemploMostrar que
(t 2) cos (pit4 )dt = 0
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Exponencial Complexa
A exponencial complexa definida por
est , sendo s = + jA varivel s chamada de freqncia complexaUsando a frmula de Euler, pode-se mostrar que
et cost =12(e
st + est)
Ou seja, uma exponencial amortecida pode serrepresentada por uma combinao de exponenciaiscomplexas
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Exponencial Complexa
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Funes Pares e mpares
Em algumas operaes em sinais e sistemas possvelsimplificar bastante os clculos quando h simetria nossinaisPara um sinal par xe(t), tem-se que a
axe(t)dt = 2
a0
xe(t)dt
Para um sinal mpar xo(t), tem-se que aa
xe(t)dt = 0
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Funes Pares e mpares
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Funes Pares e mpares
Mesmo quando o sinal no par nem mpar ele pode serdecomposto em uma componente par e uma componentemparPode-se verificar que um sinal qualquer x(t) pode serescrito como
x(t) =12 [x(t) + x(t)]
par
+12 [x(t) x(t)]
mpar
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Modelos de Sinais
Funes Pares e mpares
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Definies
Um sistema pode ser definido como sendo uma entidadeque manipula um ou mais sinais para realizar umadeterminada funo, produzindo, assim, novos sinaisUm sistema fsico pode ser caracterizado pela sua relaoentrada/sada
Dessa forma, um sistema pode ser visto como uma caixapreta com um conjunto de entradas x1(t), x2(t), , xj(t) esadas y1(t), y2(t), , yk (t)
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Definies
Um exemplo de relao entrada/sada dado para ocircuito RC mostrado abaixo, no qual tem-se que
y(t) = vc(t0) + Rx(t) +1C
tt0
x()d, t t0
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Classificao dos Sistemas
Roteiro
1 Introduo aos SinaisOperaes com SinaisClassificao de SinaisModelos de Sinais
2 Introduo aos SistemasClassificao dos Sistemas
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao dos Sistemas
Classificao dos Sistemas
Os sistemas podem ser classificados emLineares e no linearesVariantes e invariantes no tempoCom memria (dinmicos) e sem memria (instantneos)Causais e no causaisContnuos e discretos no tempoAnalgicos e digitaisInversveis e no inversveisEstveis e instveis
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Classificao dos Sistemas
Sistemas Lineares e no Lineares
Um sistema linear se ele verifica o princpio dasuperposio, ou seja, ele simultaneamente aditivo ehomogneoPara um sistema linear, tem-se que
se x1 y1 e x2 y2ento k1x1 + k2x2 k1y1 + k2y2
Caso o sistema no verifique a princpio da superposioele dito ser no linearUm sistema linear permite que cada entrada sejaconsiderada separadamenteA maioria dos sistemas no linear quando soconsideradas todas as possibilidades de entradas
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Classificao dos Sistemas
Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo
Um sistema invariante no tempo se um deslocamento naentrada provoca o mesmo deslocamento na sada, ou seja
se x(t) y(t)ento x(t T ) y(t T )
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Classificao dos Sistemas
Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo
Caso o sistema no verifique a propriedade de invarinciano tempo ele dito ser variante no tempoSistemas variantes no tempo possuem parmetros quevariam com o tempoO formalismo estudado nesse curso permite tratar apenassistemas lineares e invariantes no tempo (LIT)
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao dos Sistemas
Sistemas com e sem Memria
Um sistema sem memria (instantneo) aquele cujasada no instante t dependa apenas na entrada noinstante t
Circuito resistivoCaso a sada no instante t dependa de valores passadosou futuros da entrada, o sistema dito ser com memria(dinmico)
Circuitos RC, RL e RLC
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao dos Sistemas
Sistemas Causais e no Causais
Um sistema causal quando a sada em um instante t0depende apenas de valores da entrada para t t0
A sada de um sistema causal no depende de valoresfuturos da entrada e por essa razo, ele chamado de noantecipativo
Os sistemas fsicos reais so exemplos de sistemascausais quando a varivel o tempoCaso o sistema no seja causal ele no causal
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Classificao dos Sistemas
Sistemas em Tempo Contnuo e Discreto
Sistemas contnuos so aqueles cujas entradas e sadasso sinais contnuos no tempoSistemas discretos so aqueles cujas entradas e sadasso sinais discretos no tempoSinais contnuos podem ser processados por sistemasdiscretos
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Introduo aos Sinais Introduo aos Sistemas
Classificao dos Sistemas
Classificao dos Sistemas
Um sistema pode ainda ser classificado como analgicoou digital dependendo da natureza dos sinais de entrada esadaUm sistema em que a entrada x(t) pode ser obtido a partirda sada y(t) dito ser inversvel
A operao inversa "desfaz" a operao efetuada pelosistemaUm integrador o inverso de um diferenciador
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Classificao dos Sistemas
Sistemas Instveis e Instveis
Os sistemas podem ser classificados em estveis einstveis segundo o critrio de estabilidade externaUm sistema estvel (BIBO estvel) se uma entradalimitada resulta em uma sada limitadaCaso uma entrada limitada resulte em uma sada ilimitada,o sistema instvel
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