affidabilita’ dei sistemi stocastici (semplici)old · e’ anche nota come v.a. esponenziale...

AFFIDABILITA’ DEI SISTEMI STOCASTICI

(semplici)

Un sistema (o uno qualsiasi dei

suoi componenti) può essere sog-

getto a stress “casuali”.

Es: un fusibile in un circuito;

una trave di acciaio sotto carico;

l’ala di un aereo sotto l’influenza di forze

Collasso del Lo stato in cui il componenteCollasso del componente

Lo stato in cui il componente

(o il sistema) cessa di funzio-

nare

Definizione

Se un componente è messo in condizioni di “stress” in un istante temporale

t=0 e viene osservato fino a quando “collassa”, la durata della vita (o il tempo

necessario al collasso) è una variabile aleatoria che indicheremo con T

Definizione di guasto

Per guasto si intende

(a) la cessazione di un dispositivo ad adempiere

la funzione richiesta (guasti totali);(b) variazione prestazione del dispositivo che lo

renda inservibile (guasti parziali);Guasti intermittenti

Classificazione dei guasti in base al tempo di vita del sistema

Guasti infantili

Guasti casuali

Guasti di usura

Indipendenti dal tempo

errori montaggio

errori progettazione

E’ anche nota come v.a. esponenziale negativa. Perché?

Esercizio: calcolare i momenti della v.a. esponenzialeEsercizio: calcolare i momenti della v.a. esponenziale

Esercizio: Supponiamo di aver messo in funzione un pezzo alle ore

8 di un certo giorno. Supponiamo che resti costantemente in fun-

zione. Supponiamo che la durata della sua vita sia espressa da una

legge esponenziale (in ore). Calcolare la probabilità che il pezzo cessi

di funzionare durante un turno di lavoro 8-16.

Nelle applicazioni, la v.a. esponenziale viene usata per descrivere il tempo di vita

(aleatorio) di un sistema complesso fino al suo collasso.

( ) funzione di guasto (failure function)XF t ⇒

( ) 1 ( ) funzione di affidabilità (reliability function)X X

R t F t= − ⇒

( ) ( )Prop: Se ( ),allora |X Exp P X s t X s P X tλ > + > = >∼

ASSENZA DI MEMORIAASSENZA DI MEMORIA

( ) ( )

( ) ( ) { }

Si dimostra che

(a) Se | , 0 ( )

(b) Se | , 0,1, 2, 0 ( )

P X s t X s P X t s t X Exp

P X s t X s P X t s t X Geom p

λ> + > = > ∀ ≥ ⇒

> + > = > ∀ ∈ ⇒

∼

… ∼

Altra formulazione della proprietà di assenza di memoria

La durata di vita residua ha la stessa distribuzione della durata

di vita del componente considerato.

( ) ( )

Prop: Sia ( ) e sia >0. Posto allora

|

a

a

X Exp a X X a

P X t X a P X t

λ = −

≤ > = ≤

∼

a

Nel caso esponenziale, questa proprietà lascia qualche perplessità,

perché implica che il sistema non è soggetto ad usura.

Se T è un tempo di vita con legge qualsiasi, qual è la distribuzione della sua vitaresidua?

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )|

1a

T T

T a

T

F a t F aF t P T t P T a t T a

F a

+ −= < = − ≤ ≥ =

−

Sia il tempo di vita di un sistema, e sia

v.a. assolutamente contina. Si definisce tasso di

gausto (o funzione di rischio ) - failure rate or

hazard function la funzione

T TDef :

( ) ( )

( )

f tZ t

R t=

( )

dove ( ) rappresenta la funzione densità di

e ( ) la sua funzione di affidabilità.

R t

f t T

R t

EX: Nel caso esponenziale, il tasso di guasto è….

Tasso di guasto in funzione dell’età

( )

( )

( )( )

],[ successivo

tempodi intervallonell' collassi istanteall' fino durato è che componente il che àprobabilit

|)(

)(

ttt

t

tTttTtPtTP

dssf

tTP

ttfttZ

tt

t

∆+

≥∆+<≤=≥

=≥

∆=∆

∫∆+

:ticoprobabilis oSignificat

( ) ( )

Se è una variabile aleatoria continua, con funzione di

distribuzione tale che 0 0, allora

t

Teorema T

F F⋅ =

( )

0

'

exp ( ) , 0

( ) ( )DIM: ( ) ( )

( )

t

R t Z s ds t

f t R tZ t Z t

R t

= − ≥

= ⇒ = −

∫

( )

( ) ( )0

0

( )

log cos .

exp ( ) dove dipende dalle condizioni iniziali

t

t

R t

Z(s)ds R t t

R t K Z s ds K

⇒

= − + ⇒

= −

∫

∫

Proprietà del tasso di guasto

Esercizio: Stabilire se la funzione R(t)=exp[-(t/b)^k] è una funzione di affidabilità.Determinare il tasso di guasto.

( ) 0Z t ≥i

( ) ( )Z t f t≥i

( ) dZ t tℜ

=∞∫i

0 ( ) d

t

Z s s < ∞∫i

Dunque non è una probabilità!

Contiene informazioni istantanee!

0

( ) ln[ ( )] ( ) d tasso di guasto cumulativo

t

H t R t Z s s= − = ⇒∫

Proprietà del tasso di guasto cumulativo

( ) 0H t ≥i

( ) è funzione crescente nel tempo. H ti

Cosa accade nel caso esponenziale?

Perché si introduce ?

Un problema che spesso va affrontato nelle applicazioni è stabilire quale Un problema che spesso va affrontato nelle applicazioni è stabilire quale sistema è più affidabile.

( ) ( )

: Un sistema A si dice più affidabile di un sistema B

se per ogni .A B

Def

R t R t t≥

( )( )

( )( )( )( )

1 se ( )

exp ( ) 1 se ( )

1 se ( )

A B

A

A B A B

B

A B

H t H tR t

H t H t H t H tR t

H t H t

> >

= − = = < <

( ) ( ) ( ) ( ): Se Z Z <

(vale anche sul segno <)

A B A BTeorema t t t R t R t t> ∀ ⇒ ∀

Non vale il viceversa.

90

100Z(t)=10t

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90 Z(t)=(t-3)2

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1R(t) associata a 10t

R(t) associata a (t-3)2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

Esercizio: Si assuma che un dispositivo abbia un tasso di guasto lineare. Determinarela funzione di affidabilità e la funzione di guasto.

Esercizio: Si assuma che un dispositivo abbia una funzione di guasto descritta da una v.a. uniforme sull’intervallo [0,100]. Determinare il tasso di guasto.

Come si descrivono gli altri rami della curva a vasca da bagno?

1

1 costante

( ) 1 crescente

1 decrescente

Z t tβ

β

αβ β

β

−

=

= = > <

Esercizio: Il modello di vita di un apparato propulsivo di un sottomarino atomico haUn tasso di guasto pari a 2 t^3. Determinare l’affidabilità del sistema a due mesi.

DISTRIBUZIONE DI WEIBULL

Calcolare la funzione densità.

( ) ( )1

Una v.a. di Weibull ha funzione densità

exp 0( )

0

con e parametri reali nonnegativi.

t t tf t

altrove

β βαβ α

α β

− − >=

NB: quella sul MATLAB ha la stessa forma. DISTTOOL:

Esercizio: Calcolare la funzione di ripartizione

Esercizio: Calcolare i momenti centrali

2 2 2 2

La distribuzione di Rayleigh (Lord Rayleigh - fisico britannico premio nobel),

di parametro = >0, descrive la v.a. dove (0, ) e Z X Y X Nα σ σ= + ∼

Per 2, si ha ( ) 2 Distribuzione di RayleghZ t tβ α= = ⇒

Visualizzare funzione in Matlab

2 2 2 2

2

di parametro = >0, descrive la v.a. dove (0, ) e

(0, ) (indipendenti).

Z X Y X N

Y N

α σ σ

σ

= + ∼

∼

0.5Per 1/ 2, si ha ( ) 0.5 Curva mortalità infantileZ t tβ α −= = ⇒

NOTA: I parametri della legge di Weibull

Il parametro è detto parametro di . Questo perchè variando

questo parametro, varia la forma della pdf

formaβ•

3.5

4

4.5

5Weibull pdf

beta=0.5beta=1beta=1.5beta=5

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Il parametro è detto parametro di . Questo perchè variando

questo parametro, varia il range in cui la pdf è diversa da zero. Però

per vederlo in questa forma è necessario riscrivere la pdf.

scalaα•

( ) ( )1

Anzicchè

exp 0( )

0

t t tf t

altrove

β βαβ α− − >=

1

0

1rimpiazziamo con e scriviamo

exp 0( )

0

altrove

t tt

f t

altrove

β

β β

αα

β

α α α

−

− > =

Qual è il vantaggio?

Esercizio: Il tempo di guasto di un radar per la navigazione aerea è rappresentabile mediante una distribuzione di Weibull con parametro di scala pari a 2000 ore e parametro di forma pari a 2.1.

Questo significa che il

tempo di vita del siste- 4

4.5x 10

-4 Weibull, scala=2000, alfa=10(-7)

Attenzione all’uso del Matlab

2.1

tempo di vita del siste-

ma evolve su un inter-

vallo temporale piut-

tosto ampio. Si ha

=1/2000 10 ^ ( 7)α ≈ −

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

( ) ( )1

Anzicchè

exp 0( )

0

1rimpiazziamo con e scriviamo

t t tf t

altrove

β β

β

αβ α

αα

− − >=

MATLAB

CON PARAMETRO1

exp 0( )

0

t tt

f t

altrove

β β

α

β

α α α

−

− > =

CON PARAMETRO

DI SCALA

Esercizio: Sia T il tempo di vita di un componente elettronico in un aereo de-scritto da una v.a. di Weibull di parametro di scala 1100 ore di volo e di para-metro di forma 3. Determinare la probabilità di guasto dopo 100 ore.

Esercizio: Determinare la massima lunghezza di volo tale la probabilità di guasto sia inferiore a 0.05.

) Trovare il parametro

) Calcolare weibcf

a

b

α

1Prob. di guasto

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Altra legge impiegata per descrivere il tempo di vita di un sistema è la legge gaussiana per via del teorema del limite centrale.

Prestare attenzione alla legge dei 3 sigma

Talvolta vieneusato il valore assoluto della gaussiana!

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8Gauss. standard e val. assoluto della gaussiana a confronto

Gauss. Stand.|Gauss. stand.|

Confronti

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

Tasso di guasto di un modello gaussiano

(100,10)T N∼

0.3

0.35

0.4

0.45tasso di guasto di una gaussiana

60 70 80 90 100 110 120 130 1400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Esercizio: Due compagnie producono pneumatici per auto. Entrambe le compagnie dichiarano che il tempo di vita medio dei loro prodotti è 2000 miglia. Dopo una indagine statistica risulta che il tempo di vita dei pneumatici prodotti dalla compagnia A è espo-nenziale di parametro 0.0005 e invece il tempo di vita dei pneuma-tici prodotti dalla compagnia B è gaussiano, di media 2000 miglia e di deviazione standard 200 miglia. Se la politica di un negozio che affitta le macchine è di cambiare i pneumatici non appena essi raggiungono le 2000 miglia, quali pneumatici converrebbe essi raggiungono le 2000 miglia, quali pneumatici converrebbe comprare?

(2000) 0.3678, (2000) 0.5A BR R= =

Esercizio: Sia T il tempo di vita di un componente elettronico, una v.a. gaussiana di deviazione standard 10 ore. Assumendo che dopo un periodo pari a 100 ore, l’affidabilità stimata per il componente sia 99%, determinare la media di T.

Esercizio: il tempo di vita di un sistema ha un tasso di guasto costante pari a 0.01. Determinare per quante ore deve funzionare affinché abbia un’affidabilità pari almeno a 90%.

Altri tipi di curve bathtub

Componenti meccanici Curve reali

Affidabilità condizionata

Il dispositivo in esame ha funzionato fino al tempo s. Qual è la probabilità che funzioni per un altro intervallo di tempo t?

( )|P T s t T s> + > ( | )R s t s= +

Conoscendo la funzione di affidabilità, come è possibile calcolare la funzione diaffidabilità condizionata?

( )( | )

( )

R s tR s t s

R s

++ =

( )R s

►Cosa accade nel caso esponenziale?

► Quanto vale R(t+0|0)?

► Quali sono le proprietà di questa funzione per s fissato e t variabile?

► Quali sono le proprietà di questa funzione per t fissato e s variabile?

Affidabilità condizionata per d. Weibull

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Aff. condizionata t+1|1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000Tasso di guasto Weibull di par. 2 e 4

0.08

0.1

0.12

0.14Aff. condizionata t+1|t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Aff. Weibull di parametri 2 e 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

Qual è la probabilità condizionata di guasto di un componente di età t durante l’intervallo seguente di durata ∆ t ?

( )( ) ( )

1 |( )

R t R t tR t t t

R t

− + ∆− + ∆ =

( ) ( ) ( )( | )

( ) ( )

F t t F t P t T t tP t T t t T t

R t P T t

+ ∆ − < ≤ + ∆= = = < ≤ + ∆ >

>

Tempo medio di guasto (MEAN TIME TO FAILURE)

( | )F t t t+ ∆ =

[ ]0

Teorema: Se [ ] ( ) dE T E T R t t

∞

< ∞⇒ = ∫Teorema molto generale

[ ]0 0 0

( ) d d ( ) d

x

E X xf x x t f x x

∞ ∞ = =

∫ ∫ ∫

0

d ( ) dt

t f x x

∞ ∞ =

∫ ∫

Attenzione al significato

MTTF2 = MTTF1

Esercizio: Il tempo di guasto di un RWR (radar warning receiver) in un aereo da combattimento segue una legge di Weibull con parametro di scala 1200 ore di volo e parametro di forma 3. Lo stesso radar montato su di un elicottero ha un tempo di vita esponenziale con parametro 0.001. Confrontare le affidabilità dei due sistemi.

0.8

0.9

1elicotteroareo guerra

Confrontare il tempo medio di vita.

Se il fornitore dà una garanzia

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 di 750 ore di volo, calcolare il rischio per i due sistemi.

Tempo medio di vita residua (MEAN RESIDUAL LIFE)

( ) ( )0

0

0 0 0

Il tempo medio di guasto per un sistema di età prende il nome di

MTTF ( | )dt

t

tempo medio di vita residua

t t t f t t t

∞

= −∫

Una formula diversa ( ) dR t t

∞

∫Una formula diversa

per il calcolo del tempo

medio di vita residua:( )

( )0

0

0

( ) d

MTTFt

R t t

tR t

=

∫

Esercizio: Il tempo di guasto di un radar per la navigazione aerea è rappresentabilemediante una distribuzione di Weibull con parametro scala pari a 2000 ore e parametroforma pari a 2.1. Uno di questi radar viene montato su di un aereo. Viene dichiarato che l’età del radar è di 800 ore. Trovare il tempo medio di vita residua per questo radar.

MBTF= MEAN OPERATING TIME BETWEEN FAILURES e non MEAN TIME BETWEEN FAILURES

E’ il tempo medio tra due consecutivi guasti

Se il tasso di guasto è esponenziale, allora MBTF= / , ignorando il tempo impie-

gato per la riparazione.

T n•

Se dopo ogni riparazione, il sistema torna "come nuovo" allora MTBF=MTTF,

ignorando il tempo impiegato per la riparazione

•

Più in generale: MBTF=MTTF+MTTR• Tempo medio per la riparazione

Se si ha un campione casuale di tempi, come si stimano tutte queste funzioni?

Esempio: si misura il tempo di vita di 262 lampadine. Il numero di guasti è riportatoin tabella. Stimare la funzione guasto, la funzione di affidabilità, la densità di guasto,Il tempo medio tra guasti.

Costruzione dell’istogramma

a) Mettere in un vettore i centri delle classi.b) Riportare in un altro vettore le frequenze assolute delle classic) Costruire l’istogramma (file prova.m)

Per stimare la densità di guasto…

bar(c,fa/taglia)

oppure costruire il poligono di frequenza plot(c,fa/taglia,’--rc’)

Per stimare la funzione di ripartizione di guasto…

cdf=cumsum(fa/taglia)

inf=[0,100,200,300,400,500,600,700,800,900];stairs(inf,cdf) (file prova1.m)

Per stimare la funzione di affidabilità …

aff=1-cumsum(fa/taglia);stairs(inf,aff)

Per stimare il tasso di guasto…

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

P t T t t F t t F tZ t t

P T t R t

< ≤ + ∆ + ∆ −∆ ≈ =

>

>> for i=1:9tasso(i)=(cdf(i+1)-cdf(i))/aff(i);end

0.8

0.9

1tasso di guasto

50 150 250 350 450 550 650 750 8500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

E per stimare MTTF?

Procedure per dati raggruppati

datigrouped(c,fa)

E’ possibile stabilire il modellodi vita delle lampadine?

TEST

TEST PER LA BONTA’ DI ADATTAMENTO

TEST CHI QUADRATO TEST DI KOLMOGOROV

Siano le frequenze osservate e siano le frequenze attese (cioè quelle

che ci si attende se il modello probabilistico segue quello ipotizzato).

i iO E

0 : non esiste una differenza tra le frequenze osservate e quelle atteseH

1 : esiste una differenza tra le frequenze osservate e quelle atteseH1 : esiste una differenza tra le frequenze osservate e quelle atteseH

STASTICA TEST( )

2

2 2

1

i i

k p

i

O E

Eχ χ − −

−= ≈∑

Non esiste una procedura in MATLAB Chitest(o,e,alfa,grlibertà)

Bisogna calcolare e!!

Ad esempio se ipotizziamo una legge gaussiana, si ha ( )i iE NP X C= ∈

>>classi=c+50;>> e(1)=taglia*normcdf(classi(1),mean,dev);>> for i=1:7e(i+1)=taglia*(normcdf(classi(i+1),mean,dev)-normcdf(classi(i),mean,dev));end>> e(10)=taglia*(1-normcdf(classi(9),mean,dev));

Chitest(fa,e,7)70

osservate vs attese

Chitest(fa,e,7)

Si rigetta l’ipotesi di gaussianità

Altro tipo di test è il test di Kolmogorv-Smirnov.

In quel caso i dati servono singolarmente.

1 20

10

20

30

40

50

60

Si potrebbe pensare di usare una distribuzione di Weibull. Come si stimano i parametri di scala e di forma?

Esistono vari metodi. Quello MATEMATICAMENTE più “corretto” è il metododella massima verosimiglianza, che ora andremo a studiare.

( )

( )1 2Definizione: Sia , , , un campione casuale di v.a. i.i.d con legge nX X X…

Servono i dati singolarmente!

( )1 2

1

( ). Indichiamo con , , , il valore dell'osservazione. Chiamiamo

funzione di verosimiglianza la funzione

,

nf x x x x

L x x

ϑ

ϑ

…

( ) ( ) ( )2 1 2

1

, , , , ,n

n n i

i

x f x x x f xϑ ϑ=

= = ∏… …

( )1 2

ˆ: Chiamiamo stimatore di per il valore che

massimizza la funzione di verosimiglianza , , ,n

massima verosimiglianza

L x x xϑ

ϑ ϑDefinizione

…

( ) ( )1 2 1 2

Calcolare il massimo della funzione di verosimiglianza può essere difficile, ma

ricordando che il log è una funzione monotona, il valore che massimizzerà

, , , renderà massimo log , , ,n n

L x x x L x x xϑ ϑ… … ( )1

log .n

i

i

f xϑ=

= ∑

Gli stimatori di massima verosimiglianza non sono necessariamente

corretti, ma per ipotesi abbastanza blande sulla continuità delle leg-

gi pdf sono consistenti ed asintoticamente normali.gi pdf sono consistenti ed asintoticamente normali.

Molti stimatori che conosciamo sono stimatori di massima verosimiglianza.

In MATLAB weibfit(x)

>> weibfit(x)

[alfa,beta] = 0.0011 1.5651

Esempio: Supponiamo di avere i seguenti tempi di vita17,21,33,37,39,42,56,98,129,132,140

Per determinare quale distribuzione “fitta” meglio i dati, si posso-no utilizzare metodi grafici che consistono nel costruire i cosid-detti “probability plotting papers”. Si basano sulla funzione di ripartizione cumulativa che si vuole riconoscere nei dati e usano assi tali che, quando questi dati effettivamente provengono da una popolazionecon legge simile alla funzione di ripartizione, si distribuiscono lungo una linea retta.(quindi la tecnica usata è quella della regressione)

Probability plotting papers necessitano di due cose:a) I dati (ordinati in ordine crescente)a) I dati (ordinati in ordine crescente)b) La funzione di ripartizione cumulativa

Metodi di stima Costruzione F(x)

Mean Rank i/(n+1)

Median Rank (i-0.3)/(n+0.4) (Bernard)

Symmetric CDF (i-0.5)/n

Particolarmenteutile per leggiasimmetricheMolto usata!

• Studi recenti hanno dimostrato che questo metodo grafico è più accurato

• Non è ancora chiaro quali di queste stime sia la “migliore”

1log log1

Si ha la seguente retta log log log log . Poni 1 ( )1 ( )

log

Un grafico sugli assi ( , ) è un

yx F x

F xz x

z y Weibull probability paper

β β α

= = − − − =

Esempio: Supponiamo di avere i seguenti tempi di vita17,21,33,37,39,42,56,98,129,132,140

Ordinati Dati Mean Median

Weibull probability paper

Ordinati Dati Mean

Rank

Median

Rank

1 17 0.0833 0.0614

2 21 0.1667 0.1491

3 33 0.2500 0.2368

4 37 0.3333 0.3246

5 39 0.4167 0.4123

6 42 0.5000 0.5000

7 56 0.5833 0.5877

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5mean rank

1

1.5median rank

>> i=[1:1:11];>> cdfe=(i-0.3)./11.4;>> y=log(log(1./(1-cdfe)));

RETTA DI REGRESSIONE LINEARE!!

2.5 3 3.5 4 4.5 5-3.5

-3

2.5 3 3.5 4 4.5 5-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

exp( / )

b

scale a

β

β

=

= −

>> beta = 1.4354 -6.2267Vanno trasformati!

Confrontiamo questi dati con quelli ottenuti prima usando weibfit

( )

1.4354 (regressione)

1.5651 verosimiglianza

β

β

=

=

log -6.2267 (regressione)scale scale= ⇒

( )

( )

log -6.2267 (regressione)

exp - (2) / (1) 1/ ^

0.0020

0.0011 verosimiglianza

scale scale

beta beta scaleα β

α

= ⇒

= ⇒ =

=

=

Verificare se i residui hanno legge gaussiana: sia con metodi grafici che con metodiInferenziali!!

>> residuals

residuals =

-0.59890.0332-0.1005

0.50

0.75

0.90

0.95

Pro

babi

lity

Normal Probability Plot

-0.10050.10800.33590.49500.3276-0.2366-0.3843-0.13880.1595

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0.05

0.10

0.25

Data

Pro

babi

lity

>>normplot(residuals)TEST

Costruione norm-plot dei residui

>> plot(ressort,z,’*’)

0.8

0.9

1costruzione normplot

>> ressort=sort(residuals)

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Ci sono dei software che costruiscono i norm-plot con i quantili della gaussiana. La forma del diagramma di dispersione non cambia. Cambia ovviamente l’intervallo di rappresentazione sull’asse delle y.

0.2

0.4

0.6costruzione normplot con i quantili gaussiani

>> z=norminv(cdfe,media,dev);

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

weibplot(x)C’è un modo per capire prima se ha senso cercare una leggedi Weibull che fitta i dati?

0.50

0.75

0.90

0.96 P

roba

bilit

y

Weibull Probability Plot

102

0.05

0.10

0.25

Data

Pro

babi

lity

Effettuiamo un test per verificare se i dati hanno legge di Weibullcon i parametri trovati

TEST DI KOLMOGOROV-SMIRNOV

Se l’ipotesi da testare è che il campione casuale proviene da una popolazione gaussiana con media 0 e varianza 1, allora la sintassi è semplicemente

Se l’ipotesi da testare è che il campione casuale proviene da una popolazione gaussiana non standard, bisogna prima standardiz-zare i dati e poi usare il kstest:

E’ il caso del vettore residuals su cui abbiamo lavorato prima!!

Standardizziamo:

>> resstd=(residuals-media)/dev;>> [h,p,kstat,cv]=kstest(resstd)

h = 0

p = 0.9983

kstat = 0.1116

cv = 0.3912

CODACODA

Null Hypothesis: F(x) equal to CDF for all x.For TAIL = 0 (2-sided test), alternative: F(x) not equal to CDF.For TAIL = 1 (1-sided test), alternative: F(x) greater than CDF.For TAIL = -1 (1-sided test), alternative: F(x) less than CDF.

For TAIL = 0, 1, and -1, the K-S test statistics are T = max|S(x) - CDF|,T = max[S(x) - CDF], and T = max[CDF - S(x)], respectively.

TORNIAMO AL NOSTRO ESEMPIO.

17,21,33,37,39,42,56,98,129,132,140

Mettiamo i dati in un vettore x

Costruiamo il vettore della funzione di ripartizione teorica

>>alfa=1/(exp(-beta(2)/beta(1)))^beta(1)>>ccf(:,1)=x;>>ccf(:,2)=weibcdf(x,alfa,beta(1))

>> [h,p,ksstat,cv]=kstest(x',ccf,0.05,0)

h = 0; p = 0. 7163; ksstat = 0. 2009; cv = 0.3912;

>> weibstat(alfa,beta(1)) ans = 69.50

ATTENZIONE ALL’USO DEGLI INTERVALLIDI CONFIDENZA!!

Intervalli di confidenza per i parametri di una distribuzione di Weibull

Usate weibfit!!>> [par,ci]=weibfit(x)

par = 0.0011 1.5651

ci = -0.0067 -0.00550.0090 3.1357

A cosa serve???

Intervalli di confidenza per la affidabilità di una legge di Weibull

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Stimatoinfsup

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

Esercizio: anche con i parametri calcolati con il metodo della massima verosimiglianza il test non rigetta l’ipotesi?.

1log1

Si ha la seguente retta log . Poni 1 ( )1 ( )

Un grafico sugli assi ( , ) è un

yx F x

F xz x

z y Exponential probability paper

λ

= = − − =

Exponential probability paper

Esempio: Supponiamo di avere i seguenti tempi di vita14,27,32,34,54,57,61,66,67,102,134, 152, 209, 230

Stimiamo la prob. di guasto

>> cdfe=(i-0.3)/14.4;>> stairs(x,cdfe) 0 50 100 150 200 250

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Stimiamo la affidabilità

>> stairs(x,1-cdfe)

0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Anzicché lavorare puntualmente stimiamo la densità di guasto con unistogramma

>>c=[40,90,140,190]>>fa=hist(x,c)>>fa=[7,3,2,2]

40 90 140 1900

1

2

3

4

5

6

7

Stimiamo la densità di guasto

>> classi=[0,65,115,165,230];>> for i=1:4dens(i)=fa(i)/14*1/(classi(i+1)-classi(i));end

7

8x 10

-3

40 60 80 100 120 140 160 180 2002

3

4

5

6

7

Stimiamo il tasso di guasto

>> cdf=cumsum(fa/14)>> r(1)=1;>>for i=2:4 r(i)=1-cdf(i-1); end

>> tasso=dens./r;

>> tasso =

0.0077 0.0086 0.0100 0.0154

Regressione

>> i=[1:1:14];3

3.5

>> i=[1:1:14];>> cdfe=(i-0.3)/14.4;>> y=log(1./(1-cdfe));>> polytool(x,y)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

>> beta

beta =

0.0124 -0.1517

>> 1/expfit(x)

ans =

0.0113

>> ccf(:,1)=x';>> lambda=beta(1);>> ccf(:,2)=expcdf(x',1/lambda);>> ccf(:,2)=expcdf(x',1/lambda);>> [h,p,kstat,cv]=kstest(x',ccf,0.05,0)

h = 0, p = 0.5004, kstat = 0.2126, cv = 0.3489

Nel caso gaussiano, conviene stimare la media e la deviazione standard con i metodi usuali (media campionaria e varianza campionaria).

Normplot(x)

0.50

0.75

0.90

0.95 P

roba

bilit

y

Normal Probability Plot

20 40 60 80 100 120 140

0.05

0.10

0.25

0.50

Data

Pro

babi

lity

Se sui dati dell’esempio sulla distribuzione di Weibull facessimo un normplot…

Test di ipotesi sulla media

Test di ipotesi sulla media [h,pv,ci]=ttest(residuals,0)

h = 0

pv = 1

In entrambi i casi il campione casuale deve provenire da una popolazione gaussiana. Cosa accade se la popolazione non è gaussiana?

ci = -0.2223 0.2223

• Si conta il numero di segni positivi (r+)

Esempio: Supponiamo di avere i seguenti tempi di vita14,27,32,34,54,57,61,66,67,102,134, 152, 209, 230

Abbiamo dimostrato che la popolazione da cui provengono i dati segue una legge esponenziale. Verifichiamo se la mediana è 100.

Abbiamo 5 segni positivi, che sono in numero inferiore a 7=14/2. Pertanto ilP-value risulta essere

( )2p P R r+ += ≤( )2p P R r= ≤

>> p=2*binocdf(5,14,0.5)

p =

0.4240

>> p = signtest(x,100,0.05)

p =

0.4240

Si può sostituireanche un vettore

Questo stesso test può essere utilizzato per verificare se due campioni casuali hanno la stessa media.

Esempio: Supponiamo di avere i seguenti tempi di vita14,27,32,34,54,57,61,66,67,102,134, 152, 209, 230

Abbiamo dimostrato che la popolazione da cui provengono i dati segue una legge esponenziale di mediana 100. Consideriamo un secondo campione7,29,30,31,44,47,69,70,75,105,134, 152, 210, 240.

>> x-y

ans =

7 -2 2 3 10 10 -8 -4 -8 -3 0 0 -1 -10

>> [P,H,STATS] = SIGNTEST(x,y,0.05)

P = 0.7744

H = 0

STATS = sign: 5

>> 2*binocdf(5,12,0.5)

ans =

0.7744

E se i campioni hanno taglia diversa?

the Mann-Whitney U test

Test di Mann-Whitney (o della somma dei ranghi): due campioni indipendenti; è uno dei test non parametrici più potenti e serve a verificare se due gruppi indipendenti appartengono alla stessa popolazione. È un'alternativa molto valida al test parametrico T-Student, quando non possono considerarsi le ipotesi del T test, oppure la scala di misura è più debole di una scala ad intervalli.

Es. tempi di rottura di uno stesso componente in due ambienti diversi

Ambiente A Ambiente B Rottura Rango Rottura Rango1000 1 1400 61300 5 1600 71200 3 1180 2

1220 4

Nel caso di piccoli campioni, una volta calcolato la somma dei ranghi si confronta questa con il valore teorico di una tavola in corrispondenza delle dimensioni dei due campioni

= ∑∑

ji

RRU 21,min 2

)1( 211 ++=

nnnuµ

12

)1( 2121 ++=

nnnnuσ

u

uU

σ

µ 5.0±− (+0.5 coda a sx; 0.5 coda a dx)

Calcolo di Skewness (asimmetria) e kurtosis (curtosi)

>> skewness(x)

ans =

0.9702

>> kurtosis(x)-3

ans =

-0.2990

Skewness (asimmetria) e legge di Weibull

Per (0,2.6) sk<0β ∈ ⇒

Per (2.6,3.4) sk 0β ∈ ⇒ ≈

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

forma=0.5forma=1.5forma=2

0.6

0.8

1

1.2

forma=2.6forma=3forma=3.3

Per (2.6,3.4) sk 0β ∈ ⇒ ≈

Per 3.4 sk>0β > ⇒

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4forma=4forma=8forma=12

Si ottiene lo stesso risultato del test di Fisher?

INTERVALLI DI CONFIDENZA PER LA MEDIA DI UNA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE

1

E' possibile dimostrare che lo stimatore di massima verosimiglianza

per è costituito dalla media campionaria / .n

i

i

X nλ=

∑

( , )n

iX Gamma n λ∑ ∼2

22n

i nXλ χ∑ ∼

1

( , )i

i

X Gamma n λ=

∑ ∼ 2

1

2 i n

i

Xλ χ=

∑ ∼

2 2

,2 1 ,22 2

1 1

L'intervallo di confidenza è

1

2 2

n n

n n

i i

i i

P

X X

α αχ χ

α λ−

= =

− = < < ∑ ∑

>> den=sum(x);>> a1=chi2inv(0.025,28);>> a2=chi2inv(0.975,28);>> sup=a1/(2*den), inf=a2/(2*den)

sup = 0.062 inf = 0.0179>>1/mean(x) ans=0.0113

ESERCIZIO:

Considerando un albero rotante con tasso di guasto costante pari a 20 guastisu 10^5 ore di funzionamento, calcolare il numero (medio) di alberi che si rompe-ranno tra 10.000 e 20.000 ore, considerando un numero di alberi in prova pari a 50.

GUASTI MULTIPLI

Si assuma che il guasto del componente possa avvenire per effetto di due diversimeccanismi di guasto. La densità di guasto in tal caso si calcola come

1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t R t f t R t= +1 2 2 1

Esercizio: Il tempo di vita di un componente per effetto del meccanismo di guasto A è descritto da una v.a. esponenziale di parametro 0.002 (per ore). Il tempo di vita dello stesso componente per effetto del meccanismo di guasto B è descritto da una v.a. espo-nenziale di parametro 0.005 (per ore). Determinare densità di guasto complessiva efunzione di affidabilità. (effettuare i grafici)

Esercizio: Supponiamo il tasso di guasto di un componente durante il periodo dirodaggio sia di Weibull con parametro di forma 0.60 e parametro di scala 11000 ore,durante il periodo di fase adulta sia di Weibull con parametro di forma 1,00 e para-metro di scala 4000 ore e durante la fase di usura sia di Weibull con parametro di forma 2.50 e parametro di scala 4500 ore. Scrivere la funzione densità di guasto

Scrivere la funzione densità di guasto

1 2 3 2 1 3 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t R t R t f t R t R t f t R t R t= + +

Effettuare un grafico

Diversa è la situazione di un componente per il quale le informazioni circa il tasso di guasto è ripartito lungo l’arco temporale. La affidabilità totale è una somma di affida-bilità, ciascuna si riferisce a un periodo della vita, secondo dei pesi che restituiscono il peso di quel tasso di guasto lungo l’arco temporale il peso di quel tasso di guasto lungo l’arco temporale

1 1 2 2 3 3

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )

con 1

R t a R t a R t a R t

a a a

= + +

+ + =

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )f t a f t a f t a f t= + +

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( )F t a F t a F t a F t= + +MISTUREIperesponenziale

Rank Tempo guasto # guasti Guasti cum. Median rank %

1 600 23 23 25.1

2 1200 9 32 35.1

3 1800 2 34 37.3

4 2400 3 37 40.6

5 3000 11 48 52.8

6 3600 6 54 59.4

7 4200 3 57 62.7

8 4800 6 63 69.4

9 5400 4 67 73.89 5400 4 67 73.8

10 6600 3 70 77.1

11 6900 4 74 81.5

12 7200 8 82 90.4

13 7800 3 85 93.7

14 8400 0 85 93.7

15 9000 1 86 94.8

16 9600 2 88 97.0

17 10200 2 90 99.2

>> x=[23,9,2,3,11,6,3,6,4,3,4,8,3,0,1,2,2];>> y=cumsum(x);>> perc=(y-0.3)/(sum(x)+0.4);

>> tguasto=[600,1200,1800, 2400,3000,3600, 4200,4800,5400,6600,6900,7200,7800,8400,9000,9600,10200]

0.50

0.75

0.90

0.96

Weibull Probability Plot

10200]>> weibplot(tguasto)

103

104

0.02

0.05

0.10

0.25

Data

Pro

babi

lity

Attenzione!! Questo grafico non è corretto.Perché?

70

80

90

100

110

>> beta

beta =

0.0071 24.4036

E se dividessimoi 3 gruppi?

polytool(tguasto,y)

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1000010

20

30

40

50

60

Rank Tempo guasto # guasti Guasti cum. Median rank %

1 600 23 23 25.1

2 1200 9 32 35.1

3 1800 2 34 37.3

4 2400 3 37 40.6

5 3000 11 48 52.8

6 3600 6 54 59.4

7 4200 3 57 62.7

8 4800 6 63 69.4

9 5400 4 67 73.8

10 6600 3 70 77.1

11 6900 4 74 81.5

12 7200 8 82 90.4

13 7800 3 85 93.7

14 8400 0 85 93.7

15 9000 1 86 94.8

16 9600 2 88 97.0

17 10200 2 90 99.2

Num.prova Tempo guasto # guasti Guasti cum. Median rank %

1 600 23 23 60.7

2 1200 9 32 84.8

3 1800 2 34 90.1

4 2400 3 37 98.1

5 3000 11 48 28.6

6 3600 6 54 44.7

7 4200 3 57 52.7

8 4800 6 63 68.7

9 5400 4 67 79.4

10 6600 3 70 87.4

11 6900 4 74 98.1

12 7200 8 82 47.0

13 7800 3 85 65.3

14 8400 0 85 65.3

15 9000 1 86 71.3

16 9600 2 88 83.6

17 10200 2 90 95.8

Num.prova Tempo guasto # guasti Guasti cum. Median rank %

1 600 23 23 60.7

2 1200 9 32 84.8

3 1800 2 34 90.1

4 2400 3 37 98.1

5 3000 11 11 28.6

6 3600 6 17 44.7

7 4200 3 20 52.7

8 4800 6 26 68.7

9 5400 4 30 79.4

10 6600 3 33 87.4

11 6900 4 37 98.1

12 7200 8 8 47.0

13 7800 3 11 65.3

14 8400 0 11 65.3

15 9000 1 12 71.3

16 9600 2 14 83.6

17 10200 2 16 95.8

>> y1=cumsum(x(1:4))>>cdfe1=(y1-0.3)/ (sum(x(1:4))+0.4)

>> y2=cumsum(x(5:11))>>cdfe2=(y2-0.3)/ (sum(x(5:11))+0.4)

>> y3=cumsum(x(12:17))>>cdfe3=(y3-0.3)/ (sum(x(12:17))+0.4)

>> cdfe1 = 0.6070 0.8476 0.9011 0.9813>> cdfe2 = 0.2861 0.4465 0.5267 0.6872 0.7941 0.8743 0.9813>> cdfe2 = 0.2861 0.4465 0.5267 0.6872 0.7941 0.8743 0.9813>> cdfe3 = 0.4695 0.6524 0.6524 0.7134 0.8354 0.9573

Non possiamo usare weibplot. Facciamo il grafico a mano!!

>> ord1=log(log(1./(1-cdfe1)));>> ord2=log(log(1./(1-cdfe2)));>> ord3=log(log(1./(1-cdfe3)));

0

0.5

1

1.5Weibull probability papers

infanziaadultousura

plot(log(tguasto(1:4)),ord1,'*',log(tguasto(5:11)),ord2,'*',log(tguasto(12:17)),ord3,'*')

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5-1.5

-1

-0.5

0

Facciamo 3 regressioni diverse!!

>> polytool(log(tguasto(1:4)),ord1)

>> scale1=exp(-beta(2)/beta(1)), form=beta(1)

scale1 = 652.9613

form = 0.9800

>> scale1=exp(-beta(2)/beta(1)), form=beta(1)

>> polytool(log(tguasto(5:11)),ord2)

scale1 = 4.5330e+003

form = 2.6426

>> polytool(log(tguasto(12:17)),ord3)

>> scale1=exp(-beta(2)/beta(1)), form=beta(1)

scale1 = 1.3675e+004

form = 2.1832

31 2

1 2 3

37 37 16( ) exp exp exp

90 90 90

t t tR t

ββ β

α α α

= − + − + −

Effettuare un grafico

La fase di raccolta dei dati sperimentali richiede che il prodotto – spesso un prototipo – sia testato per tempi sufficientemente lunghi

Prove di affidabilità

Time-terminated Failure-terminated

Le prove vengono eseguite in successione, ovvero sostituendo le unità che si sono guastatecon altre nuove fino allo scadere del tempo di prova.

Campionamento nel caso esponenziale Failure-terminatedCampionamento nel caso esponenziale Failure-terminated

La prova viene fatta finire al primo guasto se questo risulta maggiore di un determinato tempo di prova. In genere, dopo l’80% delle unità inizialmente inserite sulle macchinedi prova.

macchine di prova

unità che si sono guastate durante il test

tempo complessivo di sperimentazione

tempo complessivo di prova di ogni macchina

a

d

m

r

t

t

=

=

=

=

a dt m t

MTTFr r

⋅= =

( 1)

l'ultima unità rotta non

è stata rimpiazzata

N m r= + −

1 2

3 4

5 6

7 8 9

10 11

12

6, 7, 6 6, 600, 6*600d am r N t t= = = + = =

(6*600) / 7 514

su 10^6 ore si hanno 1945 guasti

MTTF = =

⇒

Caso failure-terminated: senza rimpiazzo delle unità guastate

1

( )m

a i d

i

t t m r t=

= + − ∑

Tempi di guasto delle r unità guastate

Tempi di funzionamento delle m-r unità non guastate

8, 7,

700, 4180

MTTF=597ore

d a

m r

t t

= =

= =

Caso time-terminated: con rimpiazzo delle unità guastate

6, 8, 6 8, 700, 6*700d am r N t t= = = + = =

(6*700) / 8 625MTTF = =

Caso time-terminated: senza rimpiazzo delle unità guastate

1

( )m

a i d

i

t t m r t=

= + − ∑ Calcolare MTTF per esercizio

Caso gaussiano: failure-terminated senza rimpiazzo delle unità guastate

Non è possibile usare dati provenienti da campioni interrotti. Le unità testate vengono portate tutte al guasto. Vengono sostituite solo quelle che si guastano precocemente.

Campioni incompleti (Censoredsample)

Si definisce campione incompleto, un insieme di dati riguardanti sia componenti che non hanno funzionato bene durante la prova, che componenti la cui prova è stata interrotta senza che si sia raggiunto il guasto.

In questo caso non è possibile stimare la funzione di ripartizione perché i guasti sono inframmezzati da unità testate non arrivate al guasto.

Assegnazione dell’INCREMENTO fittizio del numero ordinale, dipendente dalle unità non arrivate al guasto.

numero d'ordine

incremento d'ordine

NO

IO

=

=

1

1

n AIO

B

+ −=

+

NO del guasto precedente

numero di pezzi ancora da considerare incluso quello rotto

= dimensione del campione di prova

A

B

n

=

=

( ) ( 1) ( )NO m NO m IO m= − +

(1) 1IO =

10 1 1(2) 1.111

1 8IO

+ −= =

+

(2) (1) (2) 1 1.111 2.111NO NO IO= + = + =

Non ci sono sospensionitra il secondo ed il terzoguasto

(2) (3)IO IO=

(3) (2) (3) 2.111 1.111 3.222NO NO IO= + = + =

10 1 3.222(4) 1.296

1 5IO

+ −= =

+E così via…

Num guasti Tempo guasto NO(i) MEDIAN

RANK

1 21 1.0 0.0670

2 40 2.111 0.1739

3 66 3.222 0.2808

4 84 4.518 0.4055

5 150 6.678 0.6133

6 200 8.839 0.8212

( ) 0.3

0.4

NO i

n

−

+