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8. Reti di Code
Nella maggior parte dei processi produttivi risulta troppo restrittivo considerare una sola risorsa.
Esempio: linea tandem
Carla Seatzu, 18 Marzo 2008
1
arriviµ1 µv
partenze
Vi sono diverse stazioni in cui una parte meccanica deve venire pulita, verniciata, lucidata, asciugata, ecc.
Esempio: linea con riciclo
arrivi dall’esterno
µ1 µ2partenze
riciclo
2
Vi sono due macchine in cascata. La prima esegue una certa operazione e la seconda verifica che tale operazione sia stata eseguita correttamente. Nel caso in cui vi sia qualche imperfezione nella lavorazione, questa deve essere eseguita nuovamente.
Le reti di code vengono distinte in
reti di code aperte reti di code chiuse
Vi sono arrivi dall’esterno e Il sistema è isolato: non
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Vi sono arrivi dall’esterno e vi sono parti che vengono instradate al di fuori del sistema.
Il sistema è isolato: non vi sono né arrivi dall’esterno né parti che vengono instradate al di fuori del sistema.
Esempio: rete di code aperta
µ1 µ2 µ3
Esempio: rete di code chiusa
4
Esempio: rete di code chiusa
µ1 µ2
Come visto in precedenza la teoria delle code consente di calcolare in modo sistematico le grandezze caratteristiche a regime delle risorse ergodiche nel caso in cui sia i tempi di inter-arrivo che i tempi di servizio sono esponenziali.
Tali risultati non sono in genere applicabili alle reti
5
Tali risultati non sono in genere applicabili alle reti di code in cui gli arrivi in alcune risorse sono strettamente legati alle uscite delle altre risorse e non godono quindi necessariamente della proprietà di markovianeità.
Esiste tuttavia un importante teorema relativo alle code M/M/m che consente di utilizzare nello studio delle reti di code M/M/m i risultati visti in precedenza.
Teorema di Burke: In una risorsa M/M/mergodica e a regime, il processo di uscita è un
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ergodica e a regime, il processo di uscita è un processo poissoniano caratterizzato dallo stesso parametro del processo di ingresso.
λ λµ
µ
Esempio: linea tandem a due stati con risorse M/M/1
λµ1 µ2
λ
La risorsa 2 vede in ingresso degli arrivi poissoniani che sono l’uscita dalla risorsa 1.
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che sono l’uscita dalla risorsa 1.
Ogni singola risorsa può venire studiata separatamente.
)ρ(1ρ
x)ρ(1
ρx
2
22
1
11
−=
−=
Numero medio di utenti nelle singole risorse a regime
)ρ(1ρ
)ρ(1ρ
xxx2
2
1
121
−+
−=+=
Numero medio di utenti nella rete a regime
Tempo medio di attraversamento della rete a regime
8
)ρ(11
)ρ(11
2211 −+
−=+=
µµ21 ϑϑϑ
Reti di Code Markoviane Aperte
Sono costituite da v risorse M/M/m.
La i-esima risorsa ha tasso di servizio µi e tasso di ingresso complessivo λi .
Il processo degli arrivi dall’esterno è poissoniano per ciascuna risorsa. Indichiamo con λiin quello relativo
9
ciascuna risorsa. Indichiamo con λi quello relativo alla i-esima risorsa.
All’uscita dalla i-esima risorsa il cliente viene instradato alla risorsa j-esima con probabilità rijoppure viene instradato all’esterno con probabilità ri0. Chiaramente per ogni i, risulta
∑ ==
v
0jijr 1
Esempio: rete aperta composta da tre risorse M/M/1
µ1 µ2 µ3λ1 λ2 λ3
λ1in λ2
in λ3in
0.5 0.5 0.5
0.50.5 0.5
10
v=3, λ1in = λ2in = 7, λ3
in = 14
+=
+=
+=
2in33
1in22
3in11
0.5
0.5
0.5
λλλ
λλλ
λλλValgono inoltre le seguenti relazioni:
In generale, data una rete aperta markoviana con v risorse, possiamo scrivere v equazioni del tipo
Equazioni di traffico della rete.j
v
1jji
inii r λλλ ∑ ⋅+=
=
11
Le probabilità rij vengono dette probabilità di instradamento o di routing.
Introducendo i vettori riga
[ ] [ ]inv
in1
inv1 λλλλλλ ⋯⋯ ==
e definendo
=
1v11
rr
rrR
⋯ Matrice di routing
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le equazioni di traffico possono essere riscritte in forma matriciale come
vvv1 rr
Rin ⋅+= λλλ
routing
da cui risulta che 1-in R)(I −⋅=λλ
Per quanto riguarda l’ergodicità di una rete apertavale il seguente
Teorema: Una rete aperta è ergodica se e solo se è ergodica ogni singola risorsa.
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ergodica ogni singola risorsa.
Si dimostra che se una rete è ergodica la matrice(I-R) è non singolare (condizione necessaria per l’ergodicità della rete).
Essendo tale condizione solo necessaria, può aversi che det(I-R) ≠ 0 senza che la rete sia ergodica.
λµ1 µ2
λ
Esempio
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0R)det(I101-1R-I00
10R ≠−
=
=
Tale sistema non è però ergodico per ogni valore di λ, µ1 e µ2. Ad esempio non lo è se λ > µ1 oppure λ > µ2 .
Definiamo stato di una rete di code con v risorse, un vettore riga x con v componenti, la cui i-esima componente x(i) rappresenta il numero di utenti nella i-esima risorsa.
[ ]x(v)x(1)x ⋯=
La probabilità di stato di una rete di code è definita
15
La probabilità di stato di una rete di code è definita come
)xx(v),,xPr(x(1))x,,Π(x v1v1 === ⋯⋯
Teorema di Jackson: In una rete aperta di code M/M/m, ergodica e a regime
1. la probabilità che vi siano xi utenti nella i-esima risorsa può ricavarsi come se la risorsa fosse isolata e avesse tasso di arrivo λi, dove λ i è soluzione di
1-in R)(I−⋅=λλ iΠ si calcola
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2. la probabilità che la rete sia nello stato
[ ]v1 xxx ⋯=
è)) vv11v1 (xΠ(xΠ)x,,Π(x ⋯⋯ =
con le formule viste per le code isolate.
Si dice anche che le reti di code M/M/m aperte ed ergodiche godono della forma prodotto.
Le risorse sono pertanto stocasticamente indipendenti.
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Se una rete è ergodica
vale ancora la Legge di Little
Sia λin il tasso medio degli arrivi a regime nella rete e λiin il tasso medio degli arrivi a regime nella i-esima
risorsa
Legge di Little in grande
∑==
v
1i
ini
in λλ
Sia x il numero medio di utenti a regime nella rete e xiil numero medio di utenti a regime nella i-esima risorsa
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∑==
v
1iixx
il numero medio di utenti a regime nella i-esima risorsa
ϑ⋅= inx λ
dove ϑ indica il tempo medio di attraversamento dell’intera rete di code.
Esempio: rete aperta composta da tre risorse M/M/1
µ1 µ2 µ3λ1 λ2 λ3
λ1in λ2
in λ3in
0.5 0.5 0.5
0.50.5 0.5
19
λ1in = λ2in = 7, λ3
in = 14
=
000.50.50000.50
R
=
8/72/74/74/78/72/72/74/78/7
R)-(I 1-
[ ]221618=λ
Siano
µ1 = 20, µ2 = 32, µ3 = 33
allora ρ1 = 9/10, ρ2 = 1/2, ρ3 = 2/3.
Inoltre
20
))) vv2211321 (xΠ(xΠ(xΠ)x,x,Π(x ⋅⋅=
e poiché vale la forma prodotto
321 x33
x22
x11321 ρρρρρρ)x,x,Π(x )1()1()1( −⋅−⋅−=
12)ρ(1
ρ
)ρ(1ρ
)ρ(1ρ
xxxx3
3
2
2
1
1321 =
−+
−+
−=++=
λ1in = λ1in + λ2in + λ3in = 7 + 7 + 14 = 28
2812x
in ==λ
ϑ Tempo medio di attraversamento dell’intera
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28inλ attraversamento dell’intera rete.
Reti di Code Markoviane Chiuse
Non vi sono arrivi dall’esterno, pertanto λiin = 0, per ogni i = 1, … , v.
Non vi sono partenze verso l’esterno, ossia ri0 = 0, per ogni i = 1, … , v.
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Il numero di clienti all’interno del sistema rimane costante.
Lo spazio di stato di una rete chiusa con v risorse e n utenti è finito e si denota con N v,n.
Esempio: v=2, n=3.
1)!(vn!
1)!n(vn
1nv)card(N nv,−
−+=
−+=
N v,n = { (3,0), (2,1), (1,2), (0,3) }
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41!3!
4!)card(N 2,3 ==
Studiando le reti di code aperte Markoviane abbiamo visto che, se queste sono ergodiche, possono essere studiate esaminando le singole risorse singolarmente poiché in virtù del teorema di Jackson le singole risorse sono stocasticamente indipendenti.
Nelle reti chiuse invece questo non è più vero e le
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Nelle reti chiuse invece questo non è più vero e le risorse non sono più indipendenti. Infatti:
∑ ==
v
1ii nx ossia il numero di utenti nella
rete è costante.
Una possibilità per studiare una rete di code Markoviane chiuse consiste nell’associare ad essa una particolare catena di Markov a tempo continuo.
Sia
il generico stato della rete.
Costruiamo un grafo con tanti vertici quanti sono gli stati della rete.
][ vjk1 xxxxx ⋯⋯⋯=
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stati della rete.]11[ vjk1 xxxx ⋯⋯⋯ +−
][ vjk1 xxxx ⋯⋯⋯
γk,xk rkj
La frequenza con cui un utente passa dalla k-esima alla j-esima risorsa è pari a
γk,xk rkj
dove
• rkj rappresenta la probabilità che un utente che esce dalla k-esima risorsa vada alla j-esima,
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esce dalla k-esima risorsa vada alla j-esima,
• γk,xk rappresenta il tasso delle partenze dalla k-esima risorsa quando in essa vi sono xk utenti.
Esempio
µ1 µ2
1-p
p
v=2, n=3 4)card(N 2,3 =
27
v=2, n=3 2,3
La rete può trovarsi in 4 diversi stati.
La prima risorsa ha un solo servente, la seconda ne ha 2 (m1=1, m2=2).
Catena di Markov associata alla rete di code chiusa
µ1 µ1
3,0 2,1
0,3 1,2
µ1
p µ2
2 p µ2
2 p µ2
x1 x2
x4 x3
28
Poiché il grafo associato a tale CMTC ammette un’unica componente ergodica possiamo concludere che la rete è ergodica.
Nello studio di questa rete possiamo quindi applicare i risultati visti per le CMTC.
2 p µ2
Sia µ1 = 10, µ2 = 6, p = 0.5
− − =
−
10 10 0 0
3 13 0 10Q
0 6 -16 10
0 0 6 6
=
= 2501509027Π
0QΠl
29
=
∑ =
=
517250
517150
51790
51727
Π1Π0QΠ
li il,
l
Distribuzione limite
Alternativamente possiamo basarci sulle equazioni di traffico della rete:
j
v
1jjii r λλ ∑ ⋅=
=
che in forma matriciale possono essere scritte come
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R⋅= λλ dove R è la matrice di routing che gode della seguente proprietà
La matrice R associata ad una rete di code chiusa ha sempre un autovalore = 1.
Teorema: Una rete di code markoviane chiusa è ergodica se e solo se:
• l’autovalore = 1 di R è semplice.
Questo teorema è molto importante perché ci permette di stabilire se una rete è ergodica semplicemente calcolando gli autovalori della
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semplicemente calcolando gli autovalori della matrice R che ha dimensioni pari al numero di risorse.
Se invece associamo alla rete una CMTC e applichiamo il criterio degli autovalori dobbiamo determinare gli autovalori di Q che ha dimensioni pari al numero di stati.
Esempio
µ1 µ2
1-p
p
-p-1p1-I-Rp-1p
10R == λλ
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p1
p)1)(-(I)-det(R
-p-1p1-I-Rp-1p
10R
1,2 −=
+=
=
=
λ
λλλ
λλ
λ
sempre ergodica
Vediamo ora come calcolare le probabilità di stato a regime utilizzando le equazioni di traffico della rete.
Diamo prima le seguenti definizioni preliminari.
• Sia soluzione di λ~ R⋅= λλ
v,1,iρ i…==
λ~
33
v,1,iρi
ii …==µ
λ
coefficiente di traffico della i-esima risorsa
• βi(xi) è una funzione che dipende dal numero di serventi della i-esima risorsa
⇒ Se la i-esima risorsa è a servente singolo
ixiii ρ)(x =β
⇒ Se la i-esima risorsa ha mi serventi
<xi mxseρ i
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≥
<
=
− iimxii
xi
iii
i
ii
mxsem!m
ρ
mxsexρ
)(x
ii
i
!β
Teorema di Gordon e Newell: In una rete di code markoviane chiusa ed ergodica, la distribuzione di probabilità di stato a regime è
)(xΠC1
)x,,x,Π(x ii
v
1iv21 β
=
⋅=…
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dove C è una costante di normalizzazioneche si determina imponendo che
1]
=∑∈
)x,,x,Π(x v21Nx,,x,[x nv,v21
…
…
Osservazioni
1) La probabilità di stato a regime è anche nel caso delle reti chiuse nella forma prodotto.
Tuttavia in questo caso le variabili di stato aleatorie xi non sono indipendenti e quindi non è possibile scrivere la probabilità come prodotto delle v probabilità marginali.
36
probabilità marginali.
2) La determinazione della costante di normalizzazione C richiede l’enumerazione di tutti i possibili stati della rete e risulta pertanto non agevole poiché la cardinalità dello spazio di stato risulta molto elevata anche per piccoli valori di n e v.
Esempio
µ1 µ2
1-p
p
Sia n=3, µ1 = 10, µ2 = 6, p = 0.5.
37
31
ρ101
ρ
21
0.50.510
p-1p10R
21 ==
=
=
= λ
~
≥
<=
=
−2xse
2
ρ
2xseρ)(x
ρ)(x
21x
x2
2x
2
22
x111
2
2
2
1
β
β
β β β β= = = =1 1 1 1(0) 1 (1) 1/10 (2) 1/100 (3) 1/1000
38
β β β β= = = =2 2 2 2(0) 1 (1) 1/3 (3) 1/18 (3) 1/108
108C1
C(3)β(0)β
Π(0,3)180C1
C(2)β(1)β
Π(1,2)
300C1
C(1)β(2)β
Π(2,1)1000C1
C(0)β(3)β
Π(3,0)
2121
2121
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