8 la recta
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La recta8
1. Introducción
2. Vectores
3. Operaciones con vectores
4. Ecuaciones de la recta
5. Posiciones relativas de dos rectas
6. Problemas métricos
Índice del libro
La recta1. Introducción
El plano es un conjunto infinito de puntos situados en dos dimensiones. Paradeterminar un punto en el plano, utilizamos un sistema de coordenadascartesianas que consiste en un eje horizontal denominado eje de abscisas oeje X y un eje vertical denominado eje de ordenadas o eje Y. Por tanto, cadapunto queda determinado por dos coordenadas (x, y).
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La recta2. Vectores
Un vector fijo AB es un segmento orientado que tiene su origen en el puntoA y su extremo en el punto B. En un vector se puede distinguir:
• Módulo: el módulo de un vector AB es la longitud del segmento AB.
• Dirección: la dirección de un vector es la de la recta sobre la que seencuentra. Dos vectores tienen la misma dirección si se encuentran en rectasparalelas.
• Sentido: el sentido de un vector AB es el que nos indica la flecha, de A haciaB o viceversa.
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La recta3. Operaciones con vectores3.1. Suma y resta de vectores
Para sumar o restar vectores, podemos utilizar el método gráfico o el métodoanalítico.
• Gráficamente: situamos los vectores uno a continuación de otro. El vectorsuma de dos o más vectores es el vector que tiene su origen en el primero delos sumandos y su extremo en el último.
• Analíticamente: el vector suma es aquel que tiene por componentes lasuma de las componentes de los vectores sumando.
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La recta3. Operaciones con vectores3.2. Producto de un número real por un vector
El producto de un número real n por un vector v es otro vector cuyascomponentes son el producto de cada una de las componentes de v por elnúmero real n.
Se cumplirá que:
• La dirección coincide con la de v .• El sentido coincide con el de v si n es un número positivo.• El sentido es opuesto si n es un número negativo.
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La recta3. Operaciones con vectores3.3. Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores u y v es un número que se obtienemultiplicando el módulo de cada uno de los vectores por el coseno del ánguloque forman.
La expresión analítica del producto escalar será:
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La recta3. Operaciones con vectores3.4. Ángulo de dos vectores
El ángulo que forman dos vectores u y v se obtiene despejando de la expresióndel producto escalar el coseno del ángulo que forman los vectores.
Analíticamente, por tanto, será:
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La recta4. Ecuaciones de la recta
Una recta es una sucesión infinita de puntos que queda definida en el planopor 1 o 2 puntos y el vector de dirección de la recta (vector director).
La ecuación de una recta es la expresión analítica que relaciona los valores delas coordenadas x e y con cualquier punto de dicha recta. Esta ecuación se puede expresar de diferentes formas.
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La recta4. Ecuaciones de la recta4.1. Ecuación vectorial
Cualquier punto X de la recta se puede alcanzar llevando n veces el vector vhasta llegar al punto x; por tanto, AX = n v.
La ecuación vectorial de la recta que se expresa en función de un punto A(ax,ay) y el vector director de la recta v (vx , vy) nos permite calcular cualquier punto X (x, y).
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La recta4. Ecuaciones de la recta4.2. Ecuaciones paramétricas
De la forma vectorial de la ecuación de la recta podemos deducir lasecuaciones paramétricas igualando las componentes:
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La recta4. Ecuaciones de la recta4.3. Ecuación continua
De la ecuación paramétrica podemos pasar a la ecuación en forma continuadespejando en ambas expresiones el parámetro n:
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La recta4. Ecuaciones de la recta4.4. Ecuación implícita o general
De la ecuación continua podemos pasar a la ecuación en forma generalmultiplicando en cruz.
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La recta5. Posiciones relativas de dos rectas
Las posiciones relativas de dos rectas en el plano pueden ser:
• Coincidentes: tienen la misma dirección y todos los puntos en común.
• Paralelas: tienen la misma dirección y ningún punto en común.
• Secantes: tienen distinta dirección y un solo punto en común.
• Perpendiculares: tienen direcciones perpendiculares y un solo punto encomún (caso particular de secantes).
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La recta5. Posiciones relativas de dos rectas5.2. Cálculo de la ecuación de una recta paralela o perpendicular a una recta dada
Para calcular la ecuación de una recta paralela o perpendicular a una rectadada, usamos la ecuación de la recta en forma explícita y = mx + n.
• Paralela: la recta paralela tiene la misma dirección y, por tanto, la mismapendiente: m = m´.
• Perpendicular: la recta perpendicular tiene el vector director ortogonal al dela recta dada. Si m es la pendiente de la recta dada, − 1 será la pendientede la recta perpendicular. m´
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La recta6. Problemas métricos
Punto medio de un segmento:
El punto medio M de un segmento AB es el punto que divide al segmento en2 partes iguales. Las coordenadas del punto medio son la semisuma de lascoordenadas de los puntos A y B.
Distancia entre dos puntos:
La distancia entre dos puntos A y B es el módulo del vector que une los puntosA y B: d (A, B) = |AB| = |BA|
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La recta6. Problemas métricos
Distancia de un punto a una recta:
La distancia de un punto P (px, py) a una recta r es la menor de las distanciasentre el punto y la recta. Coincide con la longitud del segmento que une elpunto P con la recta r y es ortogonal a ella.
Distancia entre dos rectas:
La distancia entre dos rectas r y s es la menor de las distancias entre dospuntos de r y s respectivamente. Si las rectas son coincidentes o secantes, ladistancia mínima es igual a 0. Si son paralelas, la distancia mínima es ladistancia entre cualquier punto de una de las rectas con respecto a la otra.
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