数学物理方法
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数学物理方法季保华
德州学院物理系
数学物理方法
复变函数 数学物理方程 两个变换 特殊函数
参考文献 吴崇试 . 数学物理方法 梁昆淼 . 数学物理方法 郭本宏 . 数学物理方法 H.Jeffeys and B.Jeffey. Methods of Mathematical
Physics (Third Edition). Cambridge University Press,1972
许波,刘征编著 . MatLab 工程数学应用 刘元高,刘耀儒 . Mathematica 4.0 使用教程 李世奇,杜慧琴 . Maple 计算机代数系统应用
及程序设计
第一章 复数与复变函数 第一节 复数及运算 第二节 区域 第三节 复变函数 第四节 复变函数的极限和连续性
第一节 复数及运算 复数的概念
复数相等
复数 形如 z=x+iy 的数被称为复数,其中 x , y∈R 。 x=Rez , y=Imz 分别为 z 的实部和虚部, i 为虚数单位,其意义为 i2=-1
z1=z2 当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz1
复平面
复数与平面向量一一对应
z 平面
复数 z=x+iy
虚轴
实轴
22|| yxrz 模zzk Argarg2 幅角
复数不能比较大小
主幅角
复数的表示
代数表示: z=x+iy
三角表示: z=r(cosθ+isinθ)
指数表示: z=rexp(iθ)
注意 在三角表示和指数表示下,两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2kπ
复数的运算
设 z1=x1+iy1 和 z2=x2+iy2 是两个复数
加减运算 z1 + z2 =(x1 + x2) +i(y1 + y2 )
复数加减法满足平行四边形法则,或三角形法则
z1 +(- z2)- z2
乘法运算
)](iexp[
)sin(i)cos(
)(i)(
2121
212121
1221212121
rr
rr
yxyxyyxxzz
两个复数相乘等于它们的模相乘,幅角相加
除法运算
)](iexp[
)sin(i)cos(
i
212
1
21212
1
22
22
122122
22
2121
2
1
r
r
r
r
yx
yxyx
yx
yyxx
z
z
两个复数相除等于它们的模相除,幅角相减
共轭运算
复数 z=x+iy 的共轭复数为 z*=x-iy
共轭复数 z* 是复数 z 关于实轴的对称点
复球面 无穷远点
举例*
2
1
2
121 ,4i3,5i5
z
z
z
zzz 和求设
)Re(2
iy,iy
212121
222111
zzzzzz
xzxz
证明:为两个任意复数,设
用复数形式来表述。的直线方程将过两点 222111 iy,iy xzxz
4100 i1)i1( 和求
第二节 区域 区域的概念
邻域 平面上以 z0 为中心, δ 为半径的圆的内部的点所组成的集合,称为 z0的 δ - 邻域
|z-z0|<δ 0<|z-z0|<δ
z0
δ
z0
δ
开集设 G 为一平面点集, z0 为 G 中任意一点,如果存在 z0 的一个邻域,使该邻域的所有点都属于 G ,那么称 z0 为 G 的内点。如果 G 内的每一个点都是它的内点,那么称 G 为开集。
G
z0
区域 平面点集 D 称为一个区域,如果它满足下列两个条件: 1. D 是开集; 2. D 是连通的。
边界 设 D 为复平面上的一个区域,如果点 p 不属于D ,但是在 p 的任何邻域内都包含有 D 中的点,这样的点 p 称为 D 的边界点。 D 的边界点之全体称为 D 的边界,一般用 L 来表示。
闭区域 区域 D 连同它的边界 L 一起构成闭区域,记为D
Dz1
z2
p
Rz ||
x
y
OR
x
y
OR
Rz ||
x
y
RO
r
Rzr ||
1
0Im,|| zRz
x
y
R-R OxO
y
0Im z21 arg z
xO
y
θ2
θ1
单连通域与多连通域
设 B 为复平面上的一个区域,如果在其中作一条简单的闭曲线(自身不相交的闭合曲线),而曲线内部总属于 B ,则称 B 为单连通区域,否则称为多连通区域。
B B
单连通域 多连通域
举例
2|| z |||| bzaz
1Re|| zz
用复数表示的平面点集
2/1Re z
22Re az
bzaz Re,arg
4arg0
iz
iz1
1
1
z
z
第三节 复变函数 复变函数之定义设 G 是一个复数 z=x+iy 的集合。如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合 G 中的每一个复数 z ,有一个或多个复数 ω=u+iv 与之对应,那么称复变数ω是复变数 z 的函数,或复变函数,记为 ω =f(z) 。说明
1如果 z 的一个值对应着 ω 的唯一一个值,那么我们称 f(z) 是单值的;如果 z 的一个值对应着多个 ω 的值,那么我们称 f(z) 是多值函数。
说明2
复变函数ω=f(z) 可以看作是 z 平面到 ω平面上的一个映射。
复变函数 ω =f(z) 可以写成 ω =u(x,y)+iv(x,y) ,其中 z=x+iy
ω =f(z)
z 平面 ω 平面
举例 求 0<θ<π, 0<r<1经 ω =iz 变换后在 ω 平面上的图形。
z 平面 ω 平面
ω=iz=zexp(iπ/2)
复变函数举例—基本初等函数
指数函数 yiyee xz sincos yxz i
性质 yeee zxz Arg ,
isinycosy,0 ;,0 iyxz exeey 时时
)exp()exp()exp( 2121 zzzz
)exp()2iexp( zz
举例 求 z 平面上带形区域 -∞<Rez<+∞, 0<Imz<π经 ω=ez 变换后在 ω 平面上的图形。
0,00, veuyRx x
ω =ez
注意, 0, 0xx R y u e v
根式函数
2
2sini
2
2cos
kkrz
是主幅角其中 ,1,0, krez i
记
2sini
2cos0
r
2sini
2cos1 r
注意 根式函数是多值函数
限制值域
单值化的主要途径 限制值域或扩大定义域
限制值域的幅角范围为 [π,2π)
限制值域的幅角范围为 [0,π)
0
1
扩大定义域
2sini
2cos
r
Riemann 面
举例1
设 ,规定 0≤arg(z-1)<2π ,求 ω(2), ω(i), ω(0), ω(-i) 。
1 z
,4
5)1arg(
,)1arg(
,4
3)1arg(
,0)1arg(
0
2
iz
z
iz
z
z
z
z
z
arg00 arg( 1) 2z
1)2(
8/3iexp2)( 4 i
i2/iexp)0(
8/5iexp2)( 4 i
0,i2
)1arg(iexp|1|)(
kk
zzz
举例2
设 ,规定 ω(2)=1, 讨论 z沿 C1 或C2 连续变化到原点时,函数 ω(0) 的值。
1 z
当 z沿 C1移动到 z=0时, arg(z-1)|z=0
=
i)2/iexp()0(
,2
)1arg(2
1arg
00
zz
z
当 z沿 C2移动到 z=0时, arg(z-1)|z=0 =-
i)2/iexp()0(
,2
)1arg(2
1arg
00
zz
z
对数函数 ,2,1,0,2argilnLn kkπzzz
的主幅角是其中 zzarg
的主值被称为 zzzz Lniarglnln
值值,有无穷多个给定一个 zz :Ln性质1
单值化的主要途径 限制值域或扩大定义域
限制值域
Riemann面
性质2
注意 符号 lnz 与 ln|z| ,以及 Lnz 的区别
恒等式 2121
2121
LnLn/Ln
LnLnLn
zzzz
zzzz
下列式子不成立
znz
zzzz
znz n
Ln/1Ln
lnlnln
LnLn
n
2121
举例 计算 Ln2 , Ln(-1) , Ln(-i) , Ln(1+i)
O x
y
1+i
2-i
-1
三角函数 iziz eei
z 2
1sin
iziz eez 2
1cos
z
zz
cos
sintan
z
zz
sin
coscot
性质 周期性
恒等式
非有界函数
举例 1. 求解 sinz=0 的全部根2. 求解 sinz=2 的全部根
,2,1,0,22
)32ln(i
,2,1,0,
nnz
nnz
反三角函数
1iLnArccos 2 zzz
21iLnArcsin zizz
iz-1
iz1Ln
2
iArctan
z
双曲函数 zz eez
2
1cosh
zz eez 2
1sinh
zz
zz
ee
eez
tanh
性质 1. 以 2πi 为周期
2. 与正弦函数、余弦函数的关系
3. 恒等式
反双曲函数
1LnsinhArc 2 zzz
1LnArccosh 2 zzz
z-1
z1Ln
2
1sinhArc
z
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