数学物理方法季保华

德州学院物理系

数学物理方法

复变函数 数学物理方程 两个变换 特殊函数

参考文献 吴崇试 . 数学物理方法 梁昆淼 . 数学物理方法 郭本宏 . 数学物理方法 H.Jeffeys and B.Jeffey. Methods of Mathematical

Physics (Third Edition). Cambridge University Press,1972

许波，刘征编著 . MatLab 工程数学应用 刘元高，刘耀儒 . Mathematica 4.0 使用教程 李世奇，杜慧琴 . Maple 计算机代数系统应用

及程序设计

第一章 复数与复变函数 第一节 复数及运算 第二节 区域 第三节 复变函数 第四节 复变函数的极限和连续性

第一节 复数及运算 复数的概念

复数相等

复数 形如 z=x+iy 的数被称为复数，其中 x , y∈R 。 x=Rez ， y=Imz 分别为 z 的实部和虚部， i 为虚数单位，其意义为 i2=-1

z1=z2 当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz1

复平面

复数与平面向量一一对应

z 平面

复数 z=x+iy

虚轴

实轴

22|| yxrz 模zzk Argarg2 幅角

复数不能比较大小

主幅角

复数的表示

代数表示： z=x+iy

三角表示： z=r(cosθ+isinθ)

指数表示： z=rexp(iθ)

注意 在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2kπ

复数的运算

设 z1=x1+iy1 和 z2=x2+iy2 是两个复数

加减运算 z1 + z2 =(x1 + x2) +i(y1 + y2 )

复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则

z1 +(- z2)- z2

乘法运算

)](iexp[

)sin(i)cos(

)(i)(

2121

212121

1221212121

rr

rr

yxyxyyxxzz

两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加

除法运算

)](iexp[

)sin(i)cos(

i

212

1

21212

1

22

22

122122

22

2121

2

1

r

r

r

r

yx

yxyx

yx

yyxx

z

z

两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减

共轭运算

复数 z=x+iy 的共轭复数为 z*=x-iy

共轭复数 z* 是复数 z 关于实轴的对称点

复球面 无穷远点

举例*

2

1

2

121 ,4i3,5i5

z

z

z

zzz 和求设

)Re(2

iy,iy

212121

222111

zzzzzz

xzxz

证明：为两个任意复数，设

用复数形式来表述。的直线方程将过两点 222111 iy,iy xzxz

4100 i1)i1( 和求

第二节 区域 区域的概念

邻域 平面上以 z0 为中心， δ 为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为 z0的 δ - 邻域

|z-z0|<δ 0<|z-z0|<δ

z0

δ

z0

δ

开集设 G 为一平面点集， z0 为 G 中任意一点，如果存在 z0 的一个邻域，使该邻域的所有点都属于 G ，那么称 z0 为 G 的内点。如果 G 内的每一个点都是它的内点，那么称 G 为开集。

G

z0

区域 平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件： 1. D 是开集； 2. D 是连通的。

边界 设 D 为复平面上的一个区域，如果点 p 不属于D ，但是在 p 的任何邻域内都包含有 D 中的点，这样的点 p 称为 D 的边界点。 D 的边界点之全体称为 D 的边界，一般用 L 来表示。

闭区域 区域 D 连同它的边界 L 一起构成闭区域，记为D

Dz1

z2

p

Rz ||

x

y

OR

x

y

OR

Rz ||

x

y

RO

r

Rzr ||

1

0Im,|| zRz

x

y

R-R OxO

y

0Im z21 arg z

xO

y

θ2

θ1

单连通域与多连通域

设 B 为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于 B ，则称 B 为单连通区域，否则称为多连通区域。

B B

单连通域 多连通域

举例

2|| z |||| bzaz

1Re|| zz

用复数表示的平面点集

2/1Re z

22Re az

bzaz Re,arg

4arg0

iz

iz1

1

1

z

z

第三节 复变函数 复变函数之定义设 G 是一个复数 z=x+iy 的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合 G 中的每一个复数 z ，有一个或多个复数 ω=u+iv 与之对应，那么称复变数ω是复变数 z 的函数，或复变函数，记为 ω =f(z) 。说明

1如果 z 的一个值对应着 ω 的唯一一个值，那么我们称 f(z) 是单值的；如果 z 的一个值对应着多个 ω 的值，那么我们称 f(z) 是多值函数。

说明2

复变函数ω=f(z) 可以看作是 z 平面到 ω平面上的一个映射。

复变函数 ω =f(z) 可以写成 ω =u(x,y)+iv(x,y) ，其中 z=x+iy

ω =f(z)

z 平面 ω 平面

举例 求 0<θ<π, 0<r<1经 ω =iz 变换后在 ω 平面上的图形。

z 平面 ω 平面

ω=iz=zexp(iπ/2)

复变函数举例—基本初等函数

指数函数 yiyee xz sincos yxz i

性质 yeee zxz Arg ,

isinycosy,0 ;,0 iyxz exeey 时时

)exp()exp()exp( 2121 zzzz

)exp()2iexp( zz

举例 求 z 平面上带形区域 -∞<Rez<+∞, 0<Imz<π经 ω=ez 变换后在 ω 平面上的图形。

0,00, veuyRx x

ω =ez

注意, 0, 0xx R y u e v

根式函数

2

2sini

2

2cos

kkrz

是主幅角其中 ,1,0, krez i

记

2sini

2cos0

r

2sini

2cos1 r

注意 根式函数是多值函数

限制值域

单值化的主要途径 限制值域或扩大定义域

限制值域的幅角范围为 [π,2π)

限制值域的幅角范围为 [0,π)

0

1

扩大定义域

2sini

2cos

r

Riemann 面

举例1

设 ，规定 0≤arg(z-1)<2π ，求 ω(2), ω(i), ω(0), ω(-i) 。

1 z

,4

5)1arg(

,)1arg(

,4

3)1arg(

,0)1arg(

0

2

iz

z

iz

z

z

z

z

z

arg00 arg( 1) 2z

1)2(

8/3iexp2)( 4 i

i2/iexp)0(

8/5iexp2)( 4 i

0,i2

)1arg(iexp|1|)(

kk

zzz

举例2

设 ，规定 ω(2)=1, 讨论 z沿 C1 或C2 连续变化到原点时，函数 ω(0) 的值。

1 z

当 z沿 C1移动到 z=0时， arg(z-1)|z=0

=

i)2/iexp()0(

,2

)1arg(2

1arg

00

zz

z

当 z沿 C2移动到 z=0时， arg(z-1)|z=0 =-

i)2/iexp()0(

,2

)1arg(2

1arg

00

zz

z

对数函数 ,2,1,0,2argilnLn kkπzzz

的主幅角是其中 zzarg

的主值被称为 zzzz Lniarglnln

值值，有无穷多个给定一个 zz :Ln性质1

单值化的主要途径 限制值域或扩大定义域

限制值域

Riemann面

性质2

注意 符号 lnz 与 ln|z| ，以及 Lnz 的区别

恒等式 2121

2121

LnLn/Ln

LnLnLn

zzzz

zzzz

下列式子不成立

znz

zzzz

znz n

Ln/1Ln

lnlnln

LnLn

n

2121

举例 计算 Ln2 ， Ln(-1) ， Ln(-i) ， Ln(1+i)

O x

y

1+i

2-i

-1

三角函数 iziz eei

z 2

1sin

iziz eez 2

1cos

z

zz

cos

sintan

z

zz

sin

coscot

性质 周期性

恒等式

非有界函数

举例 1. 求解 sinz=0 的全部根2. 求解 sinz=2 的全部根

,2,1,0,22

)32ln(i

,2,1,0,

nnz

nnz

反三角函数

1iLnArccos 2 zzz

21iLnArcsin zizz

iz-1

iz1Ln

2

iArctan

z

双曲函数 zz eez

2

1cosh

zz eez 2

1sinh

zz

zz

ee

eez

tanh

性质 1. 以 2πi 为周期

2. 与正弦函数、余弦函数的关系

3. 恒等式

反双曲函数

1LnsinhArc 2 zzz

1LnArccosh 2 zzz

z-1

z1Ln

2

1sinhArc

z