2017.01.04 sae-komplekse tall - ac-kretser v15

AC-KRETSER RLC SERIE- OG

PARALLELL

2017.01.04 Sven Åge Eriksen, Fagskolen Telemark

Resonans i RLC serie- og parallellkretserFasekompensering

Beregninger med imaginære tall.

En del av kildemateriale til imaginære tall er fra Espen M. Aamodt, Fagskolen Telemark

1. Resonans i RLC serie- og parallellkretser, side 160 2. Fasekompensering, side 155 3. Beregninger med imaginære tall, side 126

http://www.nb.no/nbsok/nb/66582a36d1f975c16fe58fa1c5d903bb?index=10#156

http://www.nb.no/nbsok/nb/66582a36d1f975c16fe58fa1c5d903bb?index=10#161

http://www.nb.no/nbsok/nb/66582a36d1f975c16fe58fa1c5d903bb?index=10#127

Resonans i RLC serie- og parallellkretser

Mål for undervisningen:Du skal kunne forklare hvorfor vi kan kalle en LC-krets for en elektrisk svingekrets. Du skal også kunne forklare hva vi mener med resonans i en slik svingekrets. Du skal kjenne til hvordan serie- og parallell-svingekretser lages, skal kunne bestemme resonansfrekvensen og frekvenskarakteristikken for de to typer svingekretser. (Serie og parallell)

En motorsykkel kan komme i egensvingninger, dvs i resonans ved bestemte forhold. (Fart, design, konstruksjon, påmontert utstyr, vibrasjon, underlag, vind) Hva gjør du da ? F.eks redusere farten.

https://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs.

Tacoma bridge, svinget i en time pga moderat sidevind før den datt ned:

Resonans i RLC serie- og parallellkretser

I svingekretser «svinger» energien mellom spolen og kondensatoren.

Resonans i RLC serie- og parallellkretser

I svingekretser «svinger» energien mellom spolen og kondensatoren.

Resonans i RLC serie- og parallellkretser.

I svingekretser «svinger» energien mellom spolen og kondensatoren.

VIKTIG:Del-spenningene over C og L kan bli mye større enn tilførselspenningen !

VIKTIG:Grein-strømmene gjennom C og L kan bli mye større enn tilførselstrømmen !

Når impedansen til kondensatoren er like stor som impedansen til spolen, vil strømmen være like stor, bare altså motsatt rettet.

Det vil si at det faktisk ikke går noe strøm i tilførselsledningene fra funksjonsgeneratoren til parallellkretsen, selv om spenningen over kretsen kan være betraktelig!

Figur 4: a) Parallellkobling av en kondensator og en spole. b) Seriekobling av de samme.

Dersom kondensatoren og spolen er koblet i serie som vist i figur 4b, vil strømmen gjennom de to komponentene være den samme.

Sammenlikner vi figurene 2 og 3 (forskyver nullpunktet i tid på en av figurene slik at strømmen til enhver tid blir den samme), finner vi faktisk at spenningen over kondensatoren alltid vil ha motsatt polaritet av spenningen over spolen.

Figur 4: a) Parallellkobling av en kondensator og en spole. b) Seriekobling av de samme.

Betrakter en effektforløpet også for dette tilfellet, finner en at kondensatoren til enhver tid tar opp like mye effekt som spolen gir fra seg. Igjen vil energi ”skvulpe” fram og tilbake mellom disse to komponentene.

Figur 4: a) Parallellkobling av en kondensator og en spole. b) Seriekobling av de samme.

Når impedansen til kondensatoren er lik impedansen til spolen, vil spenningene være like store, bare motsatt rettet.

Det betyr at den totale spenningen over seriekoblingen blir lik null, selv om strømmen kan være betraktelig!

Resonans i RLC serie- og parallellkretser

Svingekretser blir dannet av en spole og en kondensator.Energien «svinger» mellom spolen og kondensatoren.

Resonans i RLC serie- og parallellkretser

Svingekretser blir dannet av en spole og en kondensator.Energien «svinger» mellom spolen og kondensatoren.

Vi får resonans når Xc = XLResonans må vi vanligvis unngå ! Hvorfor ?

Resonans i RLC serie- og parallellkretser

fCXc 2

1fLXL 2

Reaktans i spole: Reaktans i kondensator:

Resonans i RLC serie- og parallellkretser

fCXc 2

1

fLX L 2

2πfL = f2 = fresonans =

fresonans =

2πfL =

XL=2πfL Xc=

fresonans =

Oppgave: Finn resonansfrekvensen til denne LC seriekretsen:

U= 5VAC, f= 100Hz, L= 100mH, C= 10μF

Løsning: Finn resonansfrekvensen til denne LC seriekretsen:

U= 5VAC, f= 100Hz, L= 100mH, C= 10μF

fresonans = = = 159,155 Hz

100 Hz

155 Hz

Verdiene oscillerer oppover !

159 Hz

Verdiene oscillerer oppover !

159,155 Hz

Resonans i RLC serie- og parallellkretser Side 160

Serieresonans: Ved serieresonans er impedansen lavest, lik resistansen i kretsen og strømmen er maksimal.I seriekretsen får vi forskjellige delspenninger.

Impedans

StrømFrekvens

Frekvens

Resonans i RLC serie- og parallellkretser Side 162

Parallellresonans: Ved parallellresonans er impedansen høyest og strømmen inn til kretsen er minimal. I parallellkretsen får vi forskjellige greinstrømmer som kan bli veldig mye større enn tilførselstrømmen.

StrømFrekvens

Frekvens

Impedans

INF 1411 26

Impedans• Forholdet mellom spenning og strøm (V/I) er impedans

19.02.2016

Impedans

Resistivitet (frekvensuavhengig)

Reaktans(frekvensavhengig)

Kapasitiv reaktansInduktiv reaktans Idelle komponenter har bare

én type impedans Fysiske komponenter har

parastitteffekter av de andre typene i tillegg

INF 1411 27

Admittans• Forholdet mellom strøm og spenning (I/V) heter admittans, og er det inverse av impedans.

19.02.2016

Admittans

Konduktans (frekvensuavhengig)

Suceptans(frekvensavhengig)

Kapasitiv suceptansInduktiv suceptans

INF 1411 28

Kapasitiv reaktans

19.02.2016

En kondensator har frekvensavhengig impedans mot strøm Impedansen heter kapasitiv reaktans Xc og er definert ved

Ut fra formelen ser man at Jo større frekvens, desto mindre reaktans Jo større kapasitans, desto mindre reaktans

NB: I en ohmsk motstand er R et mål for resitivitet. Kapasitansen C

angir derimot ikke kapasitiv reaktans

fCXc 2

1

INF 1411 29

Effekt i kondensatorer• En ideel kondensatoer vil ikke forbruke energi, men kun lagre og

deretter avgi energi• Effekten som lagres når strøm og spenning har samme polaritet vil

avgis når strøm og spenning har motsatt polaritet

19.02.2016

INF 1411 30

Total impedans i seriell RC-krets• Z er den samlede impedansen mot vekselstrøm i en krets• Impedansen har en frekvensuavhengig resistiv del R og en

frekvensavhengig reaktiv del XC

• Den resistive og reaktive delen har en fasedreining på -90o i forhold til hverandre

19.02.2016

INF 1411 31

Total impedans i seriell RC-krets (forts)

• Den totale impedansen er gitt av Z=R+XC , merk fete bokstaver: R og XC er vektorer («phasors»).

• Z finner man ved vektorsummasjon

• Siden Z er en vektor har den både en fasevinkel θ og en magnitude• Z har fortsatt Ohm (Ω) som enhet

19.02.2016

INF 1411 32

Total impedans i seriell RC-krets (forts)

• Magnituden er lengden til Z og finnes ved Pythagoras:

• Fasen θ finnes ved å beregne invers tangens til vinkelen

19.02.2016

22CXRZ

)(tan 1

RXC

INF 1411 33

Induktorer (forts)

26.02.2016

L (måles i Henry) kalles for induktans og uttrykker spolens evne til å indusere spenning strømmen gjennom spolen endrer seg

Merk likheten mellom L og C, og forskjellen til R

lANL 2

INF 1411 34

Induktorer (forts)

26.02.2016

Motstanden mot strøm kalles for induktiv reaktans og er gitt av

Spoler har i tillegg resistans som kalles viklingsresistans Rw og skyldes at lederen har ohmsk motstand

fLXL 2

INF 1411 35

Tidskonstant i RL-kretser

26.02.2016

RL

RL-tidskonstanten er forholdet mellom induktansen og resistansen:

Tidskonstanten angir hvor fort strømmen kan endre seg i en spole: Jo større induktans, desto lengre tid tar det å endre strømmen

INF 1411 36

Strøm i RL-kretser

26.02.2016

Hvis en spole kobles til en spenningskilde vil strømmen gjennom spolen øke eksponensielt:

INF 1411 37

Strøm i RL-kretser (forts)

26.02.2016

Hvis en spole kobles fra en spenningskilde vil strømmen gjennom spolen avta eksponensielt:

INF 1411 38

Respons på en firkantpuls

26.02.2016

Hvis spenningskilden til RL-kretsen er en firkantpuls vil, strømmen gjennom spolen vekselvis øke og minke eksponensielt:

INF 1411 39

Impedans og fasevinkel i seriell RL-krets (forts)

26.02.2016

Den totale impedansen består en en resistiv og en induktiv reaktiv del som er 90 grader i forhold til hverandre

Den totale impedansen er gitt av 22LXRZ

Hva kan dette vi lærer i dag brukes til i praksis ?

Hva kan dette vi lærer i dag brukes til i praksis ?

Hva kan dette vi lærer i dag brukes til i praksis ?F.eks fasekompensering, se side 155 i boka.

Side 164

Oppgave som dere skal kunne klare å løse:

Mal for løsning side 155, 156 og 157.

Side 156

Side 156

Eksempel:

PS: Konstant 50 HzIkke frekvens- regulering her.

PS: Konstant 50 HzIkke frekvens- regulering her.

Merkeskilt på motor: Merkeskilt på kondensatorbatteri:

Beregninger med imaginære tall

Når vi regner med komplekse tall, så gjør vi beregninger med tall som ligger utenfor det reelle tallsystemet:

Når vi regner med komplekse tall, så gjør vi beregninger med tall som ligger utenfor det reelle tallsystemet:

Når vi regner med imaginære tall i elektro brukes «j» som betegnelse for

Når vi regner med imaginære tall i matematikk, brukes «i» som betegnelse for

Husk at: j * j = -1

Tips: Mange kalkulatorer kan regne med komplekse tall !

Tips: Mange kalkulatorer kan regne med komplekse tall !

Tips: Mange kalkulatorer kan regne med komplekse tall !

Tips: Mange kalkulatorer kan regne med komplekse tall !

Tips: Mange kalkulatorer kan regne med komplekse tall !

Nødvendige grunnkunnskaper: j = i = * = -1 j * j = -1

Pytagoras

Brøkregning, f.eks kunne summere to brøker med forskjellig nevner

Kvadratrot og x i andre

Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks: (40 – j127,6) * (40 + j127,6)Dette kalles å gange med den «konjugerte»

Fortegnsregler for multiplikasjon-1 * -1 = +1 +1 * +1 = +1 -1 * +1 = -1 +1 * -1 = -1 * = -1 j * j = -1

Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks: (40 – j127,6) * (40 + j127,6)Dette kalles å gange med den «konjugerte»

(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =

Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks: (40 – j127,6) * (40 + j127,6)Dette kalles å gange med den «konjugerte»

(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =

40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =

Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks: (40 – j127,6) * (40 + j127,6)Dette kalles å gange med den «konjugerte»

(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =

40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =

Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks: (40 – j127,6) * (40 + j127,6)Dette kalles å gange med den «konjugerte»

(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =

40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =

40*40 – j127,6*j127,6 =

Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks: (40 – j127,6) * (40 + j127,6)Dette kalles å gange med den «konjugerte»

(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =

40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =

40*40 – j127,6*j127,6 =

40*40 – 127,6*127,6 *j*j =

Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks: (40 – j127,6) * (40 + j127,6)Dette kalles å gange med den «konjugerte»

(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =

40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =

40*40 – j127,6*j127,6 =

40*40 – 127,6*127,6 *j*j = j * j = -1

Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks: (40 – j127,6) * (40 + j127,6)Dette kalles å gange med den «konjugerte»

(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =

40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =

40*40 – j127,6*j127,6 =

40*40 – 127,6*127,6 *j*j =

40*40 – 127,6*127,6 * -1 =

Husk at: j * j = -1

Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks: (40 – j127,6) * (40 + j127,6)Dette kalles å gange med den «konjugerte»

(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =

40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =

40*40 – j127,6*j127,6 =

40*40 – 127,6*127,6 *j*j =

40*40 – 1* – 1 * 127,6*127,6 =

Husk at: j * j = -1

Regneregler for multiplikasjon av ledd, pluss og minus, f.eks: (40 – j127,6) * (40 + j127,6)Dette kalles å gange med den «konjugerte»

(40 – j127,6) * (40 + j127,6) =

40*40 + 40*j127,6 – j127,6*40 –j127,6*j127,6 =

40*40 – j127,6*j127,6 =

40*40 – 127,6*127,6 *j*j =

40*40 + 127,6*127,6 =

402 + 127,62 = 1600 + 16282 = 17882

Husk at: j * j = -1

Dette her brukes ved parallellkretser: j = i =

Vi ganger med den «konjugerte» i teller og nevner for å få bort den komplekse verdien i nevneren i brøken.

AC-kretser Beregninger med imaginære Tall

- Regneform hvor man benytter tall som ikke eksisterer. - Det imaginære/ «ikke eksisterende» tallet består av bokstaven i.

- Verdien av ‘j’ er bestandig . (PS: Kvadratrot av -1 er egentlig ikke lov.)

- Verdien av ‘j’ får reel betydning, dersom den blir opphøyd i andre ().

- Dvs.

- Det imaginære tallet består av bokstaven j innen elektro.

Med andre ord…. En metode for å gjøre ting ekstra vanskelig.

AC-kretser Beregninger med imaginære Tall

- En spole har ALLTID den imaginære verdien +jXL. - En kondensator har ALLTID den imaginære verdien –jXC.

- En resistans kalles et reelt/virkelig tall. ALDRI imaginært med reelt.

- En impedans består både av en resistans del og en imaginære del. (Komplekst)• Den kan derfor representeres som et komplekst tall, med både en reel verdi

(resistans) og en kompleks verdi (total reaktans).• F.eks kan dette skrives slik: eller .• Pluss eller minus fremfor j’en er helt avhengig av hvilken reaktans (XL eller XC)

som er dominant.• En serie kobling mellom R og XL, gir altså impedansen, .

- Reaktanser er med andre ord…. ALLTID rene imaginære tall.

AC-kretser Beregninger med imaginære Tall

Det komplekse og reele planet.

Langs X – aksen har vi reelle verdier. Dvs resistans.Langs Y – aksen har vi komplekse verdier. Dvs XL og XC.

På et imaginært tall som, f.eks impedans kan vi benytte ren pytagoras. Dvs:

𝑍=𝑅+ 𝑗𝑋=√𝑅2+𝑋 2

Ѳ=𝑡𝑎𝑛−1(𝑋𝑅 )

PS: X = XL - XC

AC-kretser Beregninger med imaginære Tall

• Den kompleks «konjugerte» verdien vil alltid ha motsatt fortegn på den IMAGINÆRE delen av det komplekse tallet.

• Enkelt forklart, så brukes dette tallet for å løse ut brøker.

• For eksempel, så er den konjugerte til Z = R - jXC

Xc

Serie OPPGAVE !

Finn impedans Z og faseforskyvningsvinkel Φ ved hjelp av beregning med imaginære tall:

Finn impedans Z og faseforskyvningsvinkel Φ ved hjelp av beregning med imaginære tall:

Reell

Imaginær

Reell

Imaginær

Finn impedans Z og faseforskyvningsvinkel Φ ved hjelp av beregning med imaginære tall:

Reell

Imaginær

Reell

Imaginær XL=2πfL

Xc=

5Ω

4Ω

XL = 2πfL =

Xc = =

XL = 2πfL = 2π 1Hz 477 mH = +3j

Xc = = = 2Ω = -j2

Z = R1 + Xc + R2 + XL

Z = 5 - 2j + 4 + j3

Z = 9 + j1

XL = 2πfL = 2π 1Hz 477 mH = +3j

Xc = = = 2Ω = -j2

Z = R1 + Xc + R2 + XL

Z = 5 - 2j + 4 + j3

Z = 9 + j1

XL = 2πfL = 2π 1Hz 477 mH = +3j

Xc = = = 2Ω = -j2

Z = 9 + j1

Z = R + jX =

Z = 9 + j1 = = 9,06 Ω

Z = 9 + j1

Z = R + jX =

Z = 9 + j1 = = 9,06 Ω

Finn faseforskyvningsvinkelen Φ !

Finn faseforskyvningsvinkelen Φ !

Finn faseforskyvningsvinkelen Φ !

Z = 9 + j1

Z = R + jX =

Z = 9 + j1 = = 9,06 Ω

Finn faseforskyvningsvinkelen Φ !

INF 1411 88

Oppgaven kan løses ved bruk av admittans eller imaginære tall. (Admittans gjennomgås 18/1)• Forholdet mellom strøm og spenning (I/V) heter admittans, og er det inverse av impedans.

19.02.2016

Admittans

Konduktans (frekvensuavhengig)

Suceptans(frekvensavhengig)

Kapasitiv suceptansInduktiv suceptans

Parallell OPPGAVE !

Finn impedans Z og faseforskyvningsvinkel Φ ved hjelp av beregning med imaginære tall:

AC-kretser Beregninger med imaginære Tall - Parallell

Krets

= 2

𝑍𝑇=( 1𝑍𝐶𝑅2

+ 1𝑍 𝐿𝑅1 )

−1

=𝒁 𝑪𝑹𝟐∗𝒁 𝑳𝑹𝟏

𝒁𝑪𝑹𝟐+𝒁 𝑳𝑹𝟏

𝑍𝑇=𝒁𝑪𝑹𝟐∗𝒁 𝑳𝑹𝟏

𝒁 𝑪𝑹𝟐+𝒁 𝑳𝑹𝟏=

(4− 𝑗2)∗(5+ 𝑗3)(4− 𝑗 2)+(5+ 𝑗 3)

=20+ 𝑗12− j 10− 𝑗264− 𝑗2+5+ 𝑗3

𝑂𝐵𝑆 : 𝑗2=−1

𝑍 𝑇=20+ 𝑗2−(−1)6

9+ 𝑗1 =20+ 𝑗2+69+ 𝑗 = 26+ 𝑗2

9+ 𝑗1Ganger oppe og nede med den konjugerte til NEVNEREN.

AC-kretser Beregninger med imaginære Tall - Parallell

Krets

𝑂𝐵𝑆 : 𝑗2=−1

𝑍 𝑇=(26+ 𝑗2)∗(9− 𝑗)(9+ 𝑗1)∗(9− 𝑗 )

Ganger oppe og nede med den konjugerte til NEVNEREN.

Serie OPPGAVE !

Finn impedansen og faseforskyvningen ved bruk av imaginære/komplekse verdier !

Regn først ut reaktansene !

AC-kretser Beregninger med imaginære Tall - OPPGAVE

En spole med indre resistans på 40Ω og en induktans på 100mH, blir seriekoblet med en kondensator på 20µF. Kretsen blir tilført en spenning på 60V / 50Hz.

Reaktansene i koblingen er ut fra dette:

Finn impedansen og faseforskyvningen ved bruk av imaginære/komplekse verdier !

𝐒𝐕𝐀𝐑𝐒𝐊𝐀𝐋𝐁𝐋𝐈 :𝑍=𝟏𝟑𝟑 ,𝟕Ω𝐨𝐠Ѳ=𝟕𝟐 ,𝟓𝟗°

𝑋𝐿=𝟑𝟏 ,𝟒Ω𝒐𝒈𝑋𝐶=𝟏𝟓𝟗Ω

40 + j31,4 – j159 = 40 - j127,6 𝑍=40− 𝑗127 ,6=√402+127 ,62=𝟏𝟑𝟑 ,𝟕

Ѳ=𝑡𝑎𝑛−1( 𝑋𝑅 )=𝑡𝑎𝑛−1( 127 ,640 )=𝟕𝟐 ,𝟓𝟗°

OPPGAVE !

ParallellOPPGAVE !

AC-kretser Beregninger med imaginære Tall - OPPGAVE

En spole med indre resistans på 40Ω og en induktans på 100mH, blir parallellkoblet med en kondensator på 20µF. Kretsen blir tilført en spenning på 60V / 50Hz. .

Finn impedansen og faseforskyvningen ved bruk av imaginære/komplekse verdier !

𝒁=𝒁 𝑳∗𝒁 𝑪

𝒁 𝑳+𝒁 𝑪=

(𝟒𝟎+ 𝒋𝟑𝟏 ,𝟒 )∗− 𝒋𝟏𝟓𝟗(𝟒𝟎+ 𝒋𝟑𝟏 ,𝟒 )+(− 𝒋𝟏𝟓𝟗 )

=− 𝒋𝟐𝟒𝟗𝟗𝟐 ,𝟔− 𝒋𝟔𝟑𝟔𝟎𝟒𝟎− 𝒋𝟏𝟐𝟕 ,𝟔

𝒁=(𝟒𝟗𝟗𝟐 ,𝟔− 𝒋𝟔𝟑𝟔𝟎)∗(𝟒𝟎+ 𝒋𝟏𝟐𝟕 ,𝟔)

𝟒𝟎𝟐+𝟏𝟐𝟕 ,𝟔𝟐 =𝟏𝟗𝟗𝟕𝟎𝟒+ 𝒋𝟔𝟑𝟕𝟎𝟓𝟔− 𝒋𝟐𝟓𝟒𝟒𝟎𝟎− 𝒋𝟐𝟖𝟏𝟏𝟓𝟑𝟔

𝟏𝟕𝟖𝟖𝟐

𝒁=𝟏𝟎𝟏𝟏𝟐𝟒𝟎+ 𝒋𝟑𝟖𝟐𝟔𝟓𝟔

𝟏𝟕𝟖𝟖𝟐 =𝟓𝟔 ,𝟓𝟓+ 𝒋𝟐𝟏 ,𝟒𝑍=56 ,55− 𝑗 21, 4=√56 ,552+21 ,42=𝟔𝟎 ,𝟒𝟔Ω

Ѳ=𝑡𝑎𝑛−1( 𝑋𝑅 )=𝑡𝑎𝑛−1( 21 ,456 ,55 )=𝟐𝟎 ,𝟕𝟐°

* *

OPPGAVE !

FERDIG !

fresonans =