2014, . 36, 4, . 445—459 · 445 ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ pacs...

445

ФИЗИКА ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ

PACS numbers:02.30.Jr, 61.72.jd,61.72.Nn,66.30.Lw,83.10.Bb,83.50.Ha, 83.60.Wc

Возможный механизм образования зародышей каналов гидродинамического пластического течения в кристаллах

В. И. Засимчук, Е. Э. Засимчук, Ю. Г. Гордиенко

Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины, бульв. Акад. Вернадского, 36, 03680, ГСП, Киев-142, Украина

В данной работе усовершенствована система уравнений, описывающих про-цессы зарождения и агломерации точечных дефектов в пластически дефор-мируемых металлах. Несколькими способами показана возможность обра-зования зародышей гидродинамических каналов из агломератов. Показано, что при сверхнизких температурах, даже при небольших нагрузках, воз-можно появление очень больших концентраций вакансий в металле, что

может привести к его разрушению.

У даній роботі вдосконалено систему рівнянь, які описують процеси заро-дження та аґломерації точкових дефектів у пластично деформованих мета-лах. Декількома способами показано можливість утворення зародків гідро-динамічних каналів з аґломератів. Показано, що при наднизьких темпера-турах, навіть при невеликих навантаженнях, можлива поява дуже великих

концентрацій вакансій в металі, що може призвести до його руйнування.

In a given work, the set of equations describing the processes of the origin and

agglomeration of point defects in plastically deformed metals is improved. Us-ing several methods, the possibility of nucleation of hydrodynamical channels

from agglomerates is shown. As shown, the appearance of very high concentra-tion of vacancies in metal is possible at ultralow temperatures and even under

light loads that can leads to the destruction of metal.

Ключевые слова: вакансии, агломераты вакансий, скорость генерации ва-кансий, диффузия, стационарное состояние, устойчивость, гидродинамиче-ские каналы, сверхнизкие температуры.

(Получено 6мая 2012 г.; окончат. вариант– 27марта 2014 г.)

1. ВВЕДЕНИЕ

В ряде наших предыдущих работ (см. [1, 2 и др.]) было показано,

Металлофиз. новейшие технол. / Metallofiz. Noveishie Tekhnol. 2014, т. 36, № 4, сс. 445—459 Оттиски доступны непосредственно от издателя Фотокопирование разрешено только в соответствии с лицензией

2014 ИМФ (Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины)

Напечатано в Украине.

446 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО

что при определенных условиях дислокационный механизм пла-стической деформации кристаллов сменяется гидродинамическим

течением материала по каналам с неупорядоченной (жидкостнопо-добной) структурой внутри. Процесс обусловлен неустойчивостью,

возникающей в процессе деформации дислокационной структуры и

самоорганизацией дефектов кристаллического строения, в виде,

так называемых, каналов гидродинамического течения, ориенти-рованных вдоль максимальных компонент тензора приложенных

напряжений. Впервые синергетическая модель образования заро-дышей таких каналов была рассмотрена в работе [3]. В основе моде-ли лежит рассмотрение взаимодействия точечных дефектов (вакан-сий) в процессе механического нагружения кристалла. Настоящая

работа является логическим продолжением работы [3] с учетом

процессов распада скоплений вакансий. Она посвящена рассмотре-нию возможности самоорганизации вакансий в виде образования

локальных участков с очень высокой плотностью вакансий и их

скоплений, которые могут рассматриваться как зародыши каналов

гидродинамического течения.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

2.1. Вывод уравнений и исследование стационарного состояния

Процессы агломерации точечных дефектов в пластически дефор-мируемых металлах будем рассматривать с помощью зацепляю-щихся уравнений Смолуховского, описывающих агрегационную

кинетику [4]. Однако, в отличие от модели работы [3], дополним эту

модель учётом вероятности распада скопления (или агломерата) ва-кансий и зависимости этой вероятности от размера и морфологии

(геометрической формы) скопления. Предположим также, что ге-нерация точечных дефектов происходит, в основном, благодаря

скольжению винтовых дислокаций со ступеньками, а внешние

напряжения достаточно высоки для атермического движения та-ких дислокаций с генерацией вакансий, но не достаточны для про-изводства междоузельных атомов [5]. Исследовалось влияние про-цессов агломерации, поэтому захват другими несовершенствами

(трещинами, включениями и границами) полагался пренебрежимо

малым. Тогда получим следующую систему уравнений:

1

2

1 1 1 1 2 2 1

2 3

/ 2 2 ,N N

k k k k

k k

v t B B v B v v C v C v D v

(1а)

1 1 1 1 1 1/ , для 1 ,

k k k k k k k k kv t B v v C v B v v C v k N (1б)

1 1 1

/ ,N N N N N

v t B v v C v (1в)

ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 447

где N – число вакансий в скоплении максимального размера, v1 –

концентрация вакансий (в относительных единицах), kv – концен-

трация скоплений, содержащих k вакансий, D –коэффициент диф-

фузии вакансий, 2/B u a d – скорость генерации вакансий (u –

скорость дислокации, – плотность дислокаций, a – межатомное

расстояние, d – расстояние между ступеньками на винтовой дисло-

кации) [5],

2 2

4 2

nk

R D k DB

a a

– интенсивность присоединения ва-

кансий к скоплению k вакансий с размерностью (например, 1/2

для планарных, дисковых и произвольных сплошных плоских

скоплений, 1/3 для сферических скоплений, 1/3 1/2 для не-плотных фрактальных скоплений) и эффективным радиусом

1~k

R k , а

2 2

4 2

kk

R C k CC

a a

– интенсивность отсоединения ва-

кансий от скопления k вакансий с размерностью с эффективным

радиусом Rk, C – вероятность отсоединения вакансий от скопления

вакансий, с аналогичной D, экспоненциальной зависимостью от от-

ношения энергии активации отсоединения к температуре, t – вре-

мя. Следует отметить, что k k

CC B

D , и это соотношение справедли-

во для k 1, а для малых значений k оно приблизительно, более же

точной является линейная связь 2 12B B , 3 1

3B B и т.д.

Действительно, уменьшение концентрации вакансий за единицу

времени за счёт объединения вакансий и присоединения вакансий к

скоплению из k вакансий с образованием нового скопления пропор-ционально произведению интенсивности присоединения вакансий

к скоплению Bk и концентраций вакансий и скоплений, т.е. опреде-ляется выражением k k

B v . Аналогично, увеличение концентрации вакансий за единицу

времени за счёт распада скоплений (отсоединения вакансии от

скопления) из k вакансий пропорционально произведению интен-сивности отсоединения вакансий от скопления Ck и концентраций

вакансий и скоплений, т.е. определяется выражением Ckvk. Нали-чие членов с этим выражением в представленной здесь модели поз-воляет учесть вклад процессов распада скоплений вакансий. Таким

образом, в этом выражается расширение синергетической модели

из работы [3], в которой учитывалась только необратимая агломе-рация вакансий в скоплениях. Отсюда получаем выражение (1а), в котором коэффициент перед

членом 2

1 1B v полагаем равным 2, поскольку при образовании одной

бивакансии исчезают сразу две вакансии. Аналогично и при распа-

448 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО

де одной бивакансии появляются сразу две новые вакансии, а пото-му появляется коэффициент 2 перед членом 2 2

C v . Аналогично по-лучаем уравнение (1б). При выводе уравнения (1в) предполагается,

что скопления более чем из N вакансий не образуются и соответ-ственно, не распадаются. При этом следует учесть, что по имею-щимся экспериментальным данным [6—10] в условиях интенсивной

пластической деформации могут образовываться стабильные скоп-ления вакансий очень большого размера, вплоть до

410N . Счита-ем также, что мобильными по диффузионному механизму являют-ся только вакансии, а остальные скопления малоподвижны [11]. Найдём теперь стационарные состояния системы (1), т.е. состоя-ния, когда

0k

v t для целых k, 1 k N . (2)

Из (1в) получим:

1 1 1

/ .N N N N

v B v v C (3)

Воспользуемся методом математической индукции [12] и докажем,

что для всех целых k таких, что

1 k N (4)

верна формула:

1 1 1/ .

k k k kv B v v C (5)

Предположим, она верна для k m. Подставляем (5) при k m в

(1б) для k m 1. Получаем

1 2 1 2 1

/ .m m m m

v B v v C (6)

Утверждение (5) с учётом (4) доказано. Подставляем все (5) в ста-ционарное уравнение, полученное от (1а):

1

0.B D v (7)

Далее используем замену:

1

.v v (8)

Найдем стационарное решение для уравнения (1а) для области в

виде длинного цилиндрического образца, ось которого расположена

вдоль оси OX, а концентрация вакансий v зависит только от одной

ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 449

координаты x. Тогда получим уравнение:

2

2,

vb

x

(9)

где

.B

bD

(10)

Граничные условия получаем из учёта того факта, что на грани-цах (x L ) образца длиной L все вакансии выходят на поверх-ность. Следовательно

( ) ( ) 0.v L v L (11)

Кроме того, концентрация вакансий v может быть только неот-рицательной величиной

( ) 0.v x (12)

Тогда получим:

2 21 1

.2 2

v bx bL (13)

Следовательно, в стационарных условиях концентрация вакан-сий v плавно меняется вдоль координаты x в пределах

21

02

v bL , (14)

достигая максимального значения 2 2bL в середине области.

Численные оценки показывают, что данное стационарное рас-пределение может быть достигнуто лишь для нереалистично боль-шого значения максимальной концентрации вакансий v 1. Та-ким образом, в реальных условиях оно невозможно и возникает во-прос о поведении нестационарного распределения вакансий и скоп-лений, например об его устойчивости по отношению к простран-ственным возмущениям.

2.2. Исследование устойчивости однородного распределения

точечных дефектов и их скоплений

Рассмотрим систему уравнений (1) для нестационарных состояний.

Для начала сведём её путем приближений к системе двух уравне-ний с двумя неизвестными. Для этого уравнения (1) для скоплений

450 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО

k 1 умножим на Bk, а затем сложим их. В результате система (1)

приблизительно сведётся к виду:

2

1

2 2

1

2 ,

2 .C

vB B v vS S D v

t

SB v vS S

t

(15)

В (15) усредненные величины S, SC, , , связаны следующими со-отношениями:

2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

, ,

,

,

.

C

N N

m m C m m

m m

Nm

m m

m m m

N

m Sm m

m

Nm

m m

m m

N

Sm m

m

N Nm m

m m m m

m mm m

N N

S Sm m m m

m m

CS B v S C v S S

D

CB v

B C C

B DB v

BB v

Bm

mB v

B BCC v B v

B Bm D m

Cm mC v B v

D

Точность этого приближения определяется условиями усреднения

производных (с пренебрежением производными более высокого по-

рядка, чем m

B

m

, что справедливо для очень медленно меняющейся

функции Bm для m 1) и члена 2 2

2

N

k k

k

C v C v

(точность последнего

становится большей с увеличением количества членов суммирова-

ния, т.е. наибольшего размера скопления N 1). В итоге получаем систему:

2

1

2 2

1

2 ( ) ,

2 ( ).

vB B v S v D v

t

SB v S v

t

(16)

ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 451

Переменная S имеет физический смысл интегральной относи-тельной интенсивности поглощения вакансий всеми скоплениями,

а знак ...S обозначает усреднение не по числу скоплений, а по

суммарной интенсивности поглощения S. Аналогично, переменная

SC имеет физический смысл интегральной относительной интен-сивности испускания вакансий всеми скоплениями, а знак ...

CS

обозначает усреднение не по числу скоплений, а по суммарной ин-тенсивности испускания SC. Однородное пространственное распределение описывается си-стемой:

20

1 0 0 0

2 20

1 0 0 0

2 ( ),

2 ( )

vB B v S v

t

SB v S v

t

(17)

с пространственно однородными решениями v0(t) и S0(t), которые

могут быть получены лишь численно для скоплений с разной мор-фологией () (рис. 1). Для расчета использовались следующие чис-ленные значения параметров: N 104

[6—10], 10 2 110 м сD ,

2 2 110 м сu , 1012 м

2, a 41010

м, d 1000a [11, 13]). Про-странственно однородные решения v0(t, ) и S0(t, ) системы (17)

для скоплений с разной морфологией () демонстрируют несколько

качественно разных режимов: а) режим необратимой агломерации

( 0) вакансий, рассмотренный в [3]; б) переходный режим

(

410 ); в) квазистационарный режим – постоянная плотность

вакансий, но стабильный рост скоплений (310 ).

Количественный анализ устойчивости однородного распределе-ния выполним с помощью стандартной процедуры исследования

локальной линейной стабильности. Для этого будем искать реше-ния системы (15) в виде:

0

0

( , ) ( ) ( , ),

( , ) ( ) ( , ).

v x t v t v x t

S x t S t S x t

(18)

Здесь v и S – это малые возмущения от однородного состояния,

которые имеют вид:

exp( ),

exp( ),

v

S

v iqx wt

S iqx wt

(19)

где v и S – некоторые постоянные, – частота временных воз-мущений, q – волновое число пространственных возмущений. Подстановкой (18) с учётом (19) в (15) получаем систему двух ли-нейных однородных алгебраических уравнений относительно двух

неизвестных v и S

452 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО

2

1 0 0 0

2

1 0 0 0

4 ( ) ,

2 ( )

v v S v S v

S v S v S

B v v S Dq

B v v S

или

2

1 0 0 0( 4 ) ( ) 0,

v SB v S Dq v (20)

v0(t, )

S0(t, )

Рис. 1. Пространственно однородные решения v0(t, ) и S0(t, ) системы

(17) для скоплений с разной морфологией (): режим необратимой агломе-рации ( 0) вакансий, рассмотренный в [3] (а); переходный режим (

104) (б); квазистационарный режим – постоянная плотность вакансий,

но стабильный рост скоплений ( 103) (в).

ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 453

2

1 0 0 0(4 ) ( ) 0.

v SB v S v

Как известно, чтобы такая система имела нетривиальные решения,

необходимо, чтобы её определитель был равен нулю [14]. Отсюда

получаем квадратное уравнение относительно частоты временных

возмущений

2 2

0 0 1 0( 4 )Dq S v B v

2 2

0 1 0 1 0( )( 4 4 ) 0.v Dq B v B v (21)

Однородное состояние по отношению к малым возмущениям v и S

будет стабильно для Re() 0 и нестабильно для Re() 0. Анализ решений уравнения (21) показывает, что условие неста-бильности Re() 0 выполняется в следующих случаях (22)—(24),

где n – это некоторое промежуточное значение (1 n N) размера

скопления, которое характеризует усредненное значение :

0 0

2 1

1

,

2 1, т.е. для 1 2 и , c

v C Dv

B n

(22)

00

2 1

1

2 1

1

,

2 1, т.е. для 1 2 и ,

1 2 , т.е. для 1 2 и ,c

C Dvv

B k

B k

(23)

0 0

2 1

1

,

2 1, т.е. для 1 2 и и .

v C Dv

B k k

(24)

Первый случай (22) реализуется на начальном этапе (для малых v0,

поскольку всегда C D) и для плотных скоплений вакансий 1/2

(например, 1/3 для сферических скоплений, 1/3 1/2 для

фрактальных скоплений), причем для пространственных возмуще-ний с длиной волны c, где

1 21 2

01 2

0

.

12

c

aav k

kv

(25)

На рисунке 2 графически показано соотношение 2k21, которое

играет роль одного из критериев стабильности пространственно од-нородного решения v0(t) и S0(t). Второй случай (23) реализуется на более позднем этапе (для

больших v0). Для неплотных скоплений вакансий 1/2 (напри-мер, 1/2 для фрактальных скоплений с большей эффективной

поверхностью) он реализуется для пространственных возмущений с

454 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО

произвольной длиной волны 2/q, а для плотных скоплений ва-кансий 1/2 – для пространственных возмущений с длиной вол-ны c. Следует отметить уникальный вариант (24) для 1/2 (для пла-нарных скоплений в форме диска или любой другой плоской гео-метрической фигуры), который реализуется на более позднем этапе

для пространственных возмущений с произвольной длиной волны

2/q. Дело в том, что для планарных скоплений B1, и квад-ратное уравнение (21) относительно частоты временных возмуще-ний принимает вид:

2 2 2

0 0 03 ( ) 0,Dq S v v Dq (26)

а критерий нестабильности зависит не от размера максимального

скопления, а определяется условием v0, т.е. C Dv0. Исходя из численных оценок, можно получить, что значение

1 2 ( 1 2)

0cav k может находиться в широких пределах в зависимо-

сти от морфологии скоплений вакансий (), их однородной концен-трации (v0) и размеров скоплений (k). Например, для сферических

скоплений вакансий с 1/3, однородной концентрацией 0v

8 1010 —10 и размерами скоплений 41—10k критическая длина

волны пространственного возмущения может находиться в диапа-зоне

1 2 1 6 5 6

010 —3 10

cav k м (рис. 3).

Таким образом, неустойчивость однородного состояния системы

вакансий и их скоплений может привести к возникновению про-странственных структур, например, гидродинамических каналов

Рис. 2. Соотношение 2k21, один из критериев стабильности простран-

ственно однородного решения v0(t) и S0(t). Темным цветом обозначена

плоскость для указания условия 2k21

1, которое реализуется для

1/2 для всех k.

ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 455

[1, 2] с характерным размером, который может определяться кри-тической длиной волны развитой неустойчивости c. В зависимости от значений приведенных выше параметров про-цесса агломерации устойчивое состояние может иметь тип фокуса

или узла, а неустойчивое состояние может иметь тип вершины или

седла [15]. Однако принятые здесь допущения и приближения не

позволяют с достаточной достоверностью и приемлемой точностью

сделать заключение об условиях их существования.

3. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Из выражений (9), (10) и (13) мы видим, что стационарное распре-деление концентрации вакансий в образце в стационарном состоя-нии зависит от а) отношения скорости генерации вакансий B к ко-эффициенту диффузии вакансий D, б) длины образца, в) положения

рассматриваемой точки в образце. Однако важно отметить, что ста-ционарное распределение концентрации не зависит от вероятностей

перехода вакансий в агломераты и обратно, поскольку стационар-ное уравнение (7) не содержит явно описания процессов агрегации.

Более того, для выбранных значений параметров решение (13) дает

нереалистично большое значение максимальной концентрации

v 1. Как показано выше, однородное решение исходной системы

в виде (1) не является устойчивым по отношению к пространствен-ным возмущениям, а потому достижимость нереалистичного ста-

Рис. 3. Критическая длина волны пространственного возмущения c 1 2 ( 1 2)

0av k для скоплений вакансий в зависимости от морфологии () и

размеров (k) скоплений вакансий для однородной концентрации вакансий

v0 108.

456 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО

ционарного решения (13) является крайне маловероятной. Пространственно однородное распределение вакансий v0(t, ) и

скоплений (через интегральную способность поглощения вакансий

S0(t, )) системы (см. рис. 1) может существовать в трех режимах: а)

режим необратимой агломерации ( 0) вакансий, рассмотренный

в [3], б) переходный режим ( 5105), в) квазистационарный ре-

жим – постоянная плотность вакансий, но стабильный рост скоп-лений ( 10

3). Это распределение становится неустойчивым по отношению к

малым пространственным возмущениям (19), которые могут разви-ваться по экспоненциальному закону для возмущений с произволь-ной или критической длиной волны (22)—(24). Следует отметить,

что на начальном этапе агломерации вакансий ( v0) условие не-устойчивости (22) связано с большей вероятностью испускания ва-кансий скоплениями по сравнению с их поглощением (C Dv0). Это

значит, что на начальном этапе развитие неустойчивости будет

определяться способностью скоплений отдавать вакансии с крити-ческой длиной волны пространственной нестабильности c. На

более позднем этапе ( v0), наоборот, условие неустойчивости (24)

определяется большей вероятностью поглощения вакансий по

сравнению с интенсивностью испускания их скоплениями (C Dv0). Это значит, что на более позднем этапе развитие неустойчивости бу-дет определяться способностью скоплений поглощать вакансии с

критической длиной волны пространственной нестабильности

c. При этом критическая длина волны пространственного воз-мущения для возникновения неустойчивости зависит от морфоло-гии скоплений. В случае 0 система (16) и условия неустойчиво-сти (22)—(24) соответствуют рассмотренной ранее синергетической

модели образования зародышей таких каналов на основе необрати-мой агрегации вакансий, которая была рассмотрена в работе [3]. Следует отметить, что в условиях большой концентрации вакан-сий и слабого испускания вакансий скоплениями (C Dv0) про-странственное распределение планарных скоплений ( 1/2) явля-ется абсолютно неустойчивым по отношению к возмущениям с лю-бой длиной волны. Этот результат может объяснить огромное коли-чество экспериментально наблюдаемых плоских вакансионных

комплексов с образованием дислокационных петель, зон локализа-ции дефектов и пластической деформации планарной формы, т.е. в

виде полос и плоскостей, которые не соответствуют кристаллогра-фически выгодным плоскостям скольжения дислокаций [5—10, 16—19]. Таким образом, указанная неустойчивость может приводить к

образованию пространственно-неоднородных распределений ва-кансий и их скоплений в виде пор, трещин и гидродинамических

каналов пластического течения [1, 2]. Вместе с тем, следует отметить, что предложенная исходная сис-

ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 457

тема зацепляющихся уравнений (1) является нелинейной и не под-дается аналитическому решению даже в упрощенном виде (16) и

(17). Аналитические решения удается найти только для некоторых

случаев агрегации точечных объектов в скопления, например, для

одношаговых процессов агрегации [19—22]. Кроме того, сложность

процессов взаимодействия дефектов в процессе пластической де-формации не позволяет на данном этапе включить в рассмотрение

многие другие факторы, например, условия роста и существования

неплотных скоплений вакансий (например, фрактальных скопле-ний с 1/2), аномально высокую подвижность скоплений крупно-го размера в некоторых условиях пластической деформации [23]

и т.д. Однако приведенный здесь качественный анализ позволяет опре-делить условия нестабильности системы вакансий, которые способ-ны образовывать скопления сложной морфологии. Как видно из

пространственно однородных решений v0(t, ) и S0(t, ) системы (17)

для скоплений с разной морфологией, даже при небольших скоро-стях генерации вакансий, концентрация вакансий v0(t, ) может

достигать огромных величин. В условиях критической неустойчи-вости по отношению к пространственным возмущениям это может

вызывать локализацию дефектов и их скоплений с появлением зон

локализации дефектов, пор, трещин и, как результат, разрушение

материала.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе предложена система зацепляющихся уравне-ний Смолуховского с целью получения системы дифференциаль-ных уравнений (1), описывающей процессы агломерации вакансий

в скопления в пластически деформируемых металлах. Она являет-ся версией системы аналогичных уравнений [3], расширенной за

счет учета процессов распада скоплений вакансий. Найдено стаци-онарное решение этой системы относительно концентрации вакан-сий. Получено рекуррентное соотношение между концентрацией

скоплений из k вакансий и концентрацией скоплений из k 1 ва-кансий. Исходная система N-уравнений (1) сведена к более простой

приближенной системе двух уравнений (16) относительно концен-трации вакансий и интегральной интенсивности поглощения ва-кансий скоплениями. Найдено однородное нестационарное реше-ние системы (16). Система уравнений (16) исследована на устойчивость однородно-го нестационарного решения по отношению к малым простран-ственным возмущениям. Отмечено, что в условиях большой кон-центрации вакансий пространственное распределение планарных

скоплений является абсолютно неустойчивым по отношению к воз-

458 В. И. ЗАСИМЧУК, Е. Э. ЗАСИМЧУК, Ю. Г. ГОРДИЕНКО

мущениям с любой длиной волны. Этот результат может объяснить

огромное количество экспериментально наблюдаемых плоских ва-кансионных комплексов с образованием дислокационных петель,

зон локализации дефектов и пластической деформации планарной

формы, т.е. в виде полос и плоскостей. Показано, что в образце всегда найдутся области, где стационар-ное состояние будет неустойчивым. Таким образом, показана воз-можность образования зародышей гидродинамических каналов в

кристалле в результате нелинейных процессов агломерации точеч-ных дефектов, которые генерируются в процессе пластической де-формации.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. E. E. Zasimchuk and L. I. Markashova, Mater. Sci. Eng. A, 127: 33 (1990).

2. М. Н. Белякова, Е. Э. Засимчук, Ю. Г. Гордиенко, Металлофиз. новейшие

технол., 21, № 4: 59 (1999).

3. Yu. Gordienko and E. Zasimchuk, Philos. Mag. A, 70, No. 1: 99 (1994).

4. M. von Smoluchowsky, Phys. Z., 17: 557 (1916).

5. J. Hirth and J. Lote, Theory of Dislocations (New York: McGraw-Hill: 1968).

6. M. Kiritani, Y. Satoh, Y. Kizuka, K. Arakawa, Y. Ogasawara, S. Arai, and

Y. Shimomura, Philos. Mag. Lett., 79, No. 10: 797 (1999).

7. X. L. Wu, B. Li, and E. Ma, Appl. Phys. Lett., 91, No. 14: 141908 (2007).

8. J. Piqueras, J. C. Grosskreutz, and W. Frank, physica status solidi (a), 11, No. 2: 567 (1972).

9. J. G. Antonopoulos, L. M. Brown, and A. T. Winter, Philos. Mag., 34, No. 4: 549 (1976).

10. W. Kleinert and W. Schmidt, physica status solidi (a), 60 (1): 69 (1980).

11. A. C. Damask and G. J. Dienes, Point Defects in Metals (New York: Gordon and

Breach: 1963).

12. А. Шень, Математическая индукция (Москва: МЦНМО: 2004).

13. Л. Н. Лариков, В. И. Исайчев, Структура и свойства металлов и сплавов. Диффузия в металлах и сплавах: Справочник (Киев: Наукова думка: 1987).

14. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и

инженеров (Москва: Наука: 1978).

15. Т. Хаяси, Нелинейные колебания в физических системах (Москва: Мир: 1968).

16. Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, J. S. Schreiber, E. E. Zasimchuk, and

I. K. Zasimchuk, Adv. Eng. Mater., 8, No. 10: 957 (2006).

17. E. E. Zasimchuk, Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, and I. K. Zasimchuk, J. Mater. Eng. Perf., 12, No. 10: 69 (2003).

18. Yu. G. Gordienko, E. E. Zasimchuk, and R. G. Gontareva, J. Mater. Sci. Lett., 22, No. 3: 241 (2003).

19. Y. Gordienko, Int. J. Mod. Phys. B, 26, No. 1: 1250010 (2012).

20. J. Ke and Z. Lin, Phys. Rev. E, 66: 050102(R) (2002).

21. Z. Lin and J. Ke, Phys. Rev. E, 67: 031103 (2003).

22. Z. Lin, J. Ke, and G. Ye, Commun. Theor. Phys., 43: 837 (2005).

ВОЗМОЖНЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ЗАРОДЫШЕЙ КАНАЛОВ 459

23. Y. Matsukawa and S. J. Zinkle, Science, 318, No. 5852: 959 (2007).

REFERENCES

1. E. E. Zasimchuk and L. I. Markashova, Mater. Sci. Eng. A, 127: 33 (1990).

2. M. N. Belyakova, E. Eh. Zasimchuk, and Yu. G. Gordienko, Metallofiz. Noveishie Tekhnol., 21, No. 4: 59 (1999) (in Russian).

3. Yu. Gordienko and E. Zasimchuk, Philos. Mag. A, 70, No. 1: 99 (1994).

4. M. von Smoluchowsky, Phys. Z., 17: 557 (1916).

5. J. Hirth and J. Lote, Theory of Dislocations (New York: McGraw-Hill: 1968).

6. M. Kiritani, Y. Satoh, Y. Kizuka, K. Arakawa, Y. Ogasawara, S. Arai, and

Y. Shimomura, Philos. Mag. Lett., 79, No. 10: 797 (1999).

7. X. L. Wu, B. Li, and E. Ma, Appl. Phys. Lett., 91, No. 14: 141908 (2007).

8. J. Piqueras, J. C. Grosskreutz, and W. Frank, physica status solidi (a), 11, No. 2: 567 (1972).

9. J. G. Antonopoulos, L. M. Brown, and A. T. Winter, Philos. Mag., 34, No. 4: 549 (1976).

10. W. Kleinert and W. Schmidt, physica status solidi (a), 60, No. 1: 69 (1980).

11. A. C. Damask and G. J. Dienes, Point Defects in Metals (New York: Gordon and

Breach: 1963).

12. A. Shen’, Matematicheskaya Induktsiya (Moscow: MCNMO: 2004) (in Rus-

sian).

13. L. N. Larikov and V. I. Isaychev, Struktura i Svoystva Metallov i Splavov. Dif-

fuziya v Metallakh i Splavakh: Spravochnik (Kiev: Naukova Dumka: 1987) (in

Russian).

14. G. Korn and T. Korn, Spravochnik po Matematike dlya Nauchnykh Rabotnikov

i Inzhenerov (Mocow: Nauka: 1978) (Russian translation).

15. Ch. Hayashi, Nelineynye Kolebaniya v Fizicheskikh Sistemakh (Nonlinear Os-

cillations in Physical Systems) (Moscow: Mir: 1968) (Russian translation).

16. Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, J. S. Schreiber, E. E. Zasimchuk, and

I. K. Zasimchuk, Adv. Eng. Mater., 8, No. 10: 957 (2006).

17. E. E. Zasimchuk, Yu. G. Gordienko, R. G. Gontareva, and I. K. Zasimchuk, J. Mater. Eng. Perf., 12, No. 10: 69 (2003).

18. Yu. G. Gordienko, E. E. Zasimchuk, and R. G. Gontareva, J. Mater. Sci. Lett., 22, No. 3: 241 (2003).

19. Y. Gordienko, Int. J. Mod. Phys. B, 26, No. 1: 1250010 (2012).

20. J. Ke and Z. Lin, Phys. Rev. E, 66: 050102(R) (2002).

21. Z. Lin and J. Ke, Phys. Rev. E, 67: 031103 (2003).

22. Z. Lin, J. Ke, and G. Ye, Commun. Theor. Phys., 43: 837 (2005).

23. Y. Matsukawa and S. J. Zinkle, Science, 318, No. 5852: 959 (2007).