10. krovni grafi
Post on 09-Jan-2016
75 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
10. KROVNI GRAFI
Pojem krovnega grafa
• Motivacija:
• Denimo, da nas dvakrat zaprejo v povezan grafni labirint. Ali lahko ugotovimo, da sta labirinta različna? Denimo, da je prvi grafni labirint X, drugi pa Y.
Vprašanje
• Ali lahko ločimo (s sprehajanjem) med zgornjim in spodnjim labirintom?
• Odgovor: Da, lahko ločimo med njima. V zgornjem sta dve trivalentni vozlišči sosednji, v spodnjem pa ne!
Drug zgled
• Po drugi strani pa ne morem razločiti (lokalno) med zgornjim in spodnjim grafom. Vsakemu sprehodu zgoraj lahko priredimo sprehod spodaj, tako da med njima ne moremo ločevati.
Še en zgled
• C4 nad C3 ni dovolj. Medtem ko je C6 nad C3 v redu.
Homomorfizem
• Naj bosta X in Y grafa. Preslikava : X Y je homomorfizem, če x y (x) (y)
• Kadar X in Y nimata zank: x y (x) (y)
Lokalni izomorfizem
• Naj bosta X in Y grafa. N(v)={u VX; u v} – sosedi vozlišča v
• Homomorfizem : X Y je lokalni izomorfizem, če je za vsak y VY in vsak x N((y)-
1) :
|N((y)-1): N((y)-1) N(y) bijektivna.
X Y yx
Krovna projekcija
Naj bosta X in Y povezana grafa in : X Y surjektivna preslikava
: VX VY : SX SY (polpovezave), ki je lokalni izomorfizem. Potem je X
krovni graf nad baznim grafom Y, pa je krovna preslikava.
Vlakna in listi krova
• Pravimo, da je C6 dvolistni krov nad C3. Rdeči vozlišči sta v istem vlaknu. Podobno sta v istem vlaknu črtkasti povezavi.
• Preslikava : C6 C3 je krovna projekcija.
• Prasliko vozlišča -1(v) (ali povezave) imenujemo vlakno.
• Moč vlakna k =| -1(v)| je število listov.
Še en zgled
• Graf kocke Q3 je dvolistni krov nad polnim grafom K4.
• Vlakna sestavljajo pari antipodnih vozlišč kocke.
Krovi nad predgrafi
• Graf K4. Lahko razumemo kot štirilistni krov nad grafom z enim vozliščem, eno zanko in eno polpovezavo.
Kletke kot krovni grafi
Napetostni grafi
• X = (V,S,i,r) – povezan (pred)graf.
• (,A) – permutacijska grupa, ki deluje na prostoru A.
• :S – porazdelitev napetosti.
• Pogoj: za vsak s iz S je [s] = -1[r(s)].
Napetostni graf določa krov• Vsak napetostni graf (X,,A,) določa krovni graf
Y in krovno projekcijo : Y X takole:• Krovni graf Y = (VY,SY,i,r)
• VY := VX x A• SY := SX x A• i: SY VY: i(s,a) := (i(s),a).• r: SY SY: r(s,a) := (r(s), [s](a)).
• Krovna projekcija : VY VX: (x,a) := x.: SY SX: (s,a) := s.
Opomba
• Napetostni graf (X,,A,) – VX={v1,v2},SX={a1,a2,b1,b2,c1,c2}, i:
(a1,a2,b1,b2,c1,c2) (v1,v1,v2,v2,v1,v2) r=(a1 a2)(b1 b2)(c1 c2)
– A=Z5, (a1)=(01234),(a2)=(43210),(b1)=(02413),(b2)=(32420), (c1)=(c2)=id
• enakovredno podamo s sliko usmerjenega grafa z napetostmi na povezavah, saj [s] = -1[r(s)].id
(02413)(01234)
(Retorična) vprašanja
• “Različni” napetostni grafi lahko določajo “isti” krov. Kaj pomeni “isti” in kako dobimo vse “različne” napetostne grafe?
• Napetostni graf je v bistvu določen že z abstraktno grupo. Kakšno vlogo igra permutacijska grupa?
• Kako naj zagotovimo, da bo ob povezanem X povezan tudi Y?
Kroneckerjev krov grafa
• Kanonski dvojni krov ali Kroneckerjev krov grafa X: KC(X) je dvolistni krov, ki ima na vsaki povezavi baznega grafa netrivialno napetost iz Z2.
• Opišemo ga lahko tudi kot tenzorski produkt KC(X) = X K2.
Naloge
• N1: Dokaži, da je Kroneckerjev krov vedno dvodelen graf.
• N2: Dokaži, da je posplošeni Petersenov graf P(10,2) dvolistni krov nad Petersenovim grafom P(5,2).
• N3: Poišči Kroneckerjev krov nad P(5,2).• N4: Poišči nek Zn krov nad lisicami P(1,1),
ki ni posplošeni Petersenov graf P(n,r).
Kvocientni graf
• Naj bo X graf in grupa, ki deluje na X
• Kvocientni graf X/ ima množico vozlišč VX/ in EX/ ter [x] [y] obstajata a[x] in b[y], da je a b v X.
Regularni krovi I.
• Naj bo X krov nad Y. Zanimajo nas avtomorfizimi Aut(X,Y) Aut X, ki ohranjajo vlakna.
• Krov X je regularen, če deluje Aut(X,Y) tranzitivno na vsakem vlaknu.
Regularni krovi II.
• Regularne krove opisujemo z napetostnimi grafi, pri čemer permutacijska grupa (, A) deluje regularno nase z levimi ali desnimi translacijami: (, ).
Y
X/
X
q i
- regularna krovna projekcija
- grupa, ki deluje brez fiksnih točk na X
i - izomorfizem
Naloge
• N1: Dokaži, da je vsak dvolistni krov regularen.
• N2: Poišči primer trilistnega krova, ki ni regularen.
• N3: Zapiši graf na levi kot krov nad predgrafom z enim vozliščem.
Ciklični krovi
• Pri cikličnih krovih vzamemo k in A = k
• Pri tem i deluje na A takole:– i: AA– i(s) = s + i (mod k)
top related