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2. Grafi
IndiceTipi di grafiRappresentazione di grafiMisure su grafi
distanza minimacentralità dei nodibetweenness, clustering closeness, Distribuzione dei gradi dei nodi
Esercizi: PajekOctave:
Un grafo è un insieme di nodi (o vertici) V, collegati tra loro da un insieme di archi [arcs,links] o spigoli (o collegamenti o archi non orientati) [edges] E. Si indica con G=(V,E).
numero spigoli=|E|=m; numero vertici=|V|=n
L’ordine di un grafo è il numero di vertici n
Un grafo si dice semplice se non ha multiarchi (multiple arcs) o loop
multiarcoloop
Nodi: persone, eventi, jobs, etc.Archi: realazioni personali, sequenze temporali, …
Un percorso (walk) è una sequenza di nodi adiacenti.
Un percorso chiuso è un percorso in cui il primo e l’ultimo vertice coincidono ovvero che congiunge un nodo a se stesso
Un grafo si dice connesso se dati due nodi qualsiasi esiste un cammino che li congiunge
Due archi si dicono connessi se hanno un nodo in comune
Un cammino (path) è una sequenza di archi connessiche congiunge due nodi (in modo tale che nessun nodo si ripeta)
Un ciclo è un cammino che congiunge un nodo a se stesso
n5
n1
n2
n3n4
Percorso diretto (Directed walk) n5-n1-n2-n3-n4-n2-n3Cammino diretto (Directed Path) n5 n4 n2 n3 Cammino non diretto (Semipath) n1 n2 n5 n4 n3Ciclo (Cycle) n2 n3 n4 n2Ciclo non diretto (Semicycle) n1 n2 n5 n1
Una componente di un grafo è un sottografo connesso.
Un sottografo (sub-graph) di un grafo è un grafo i cui nodi e archi sono un sottoinsieme di quelli di G.
Grafo pesato
Un grafo è orientato (directed graph o digraph) quando tutti i suoi archi lo sono.
Un albero è un grafo connesso senza cicli
Un albero è un grafo tale che |n-m|=1
La struttura ad albero di un grafo permette di raggiungere tutti i nodi con il minimo numero di archi Albero di Ricoprimento Minimo =minimum spanning tree (mst)
Un insieme di alberi disgiunti è una foresta
Prim’s algorithmKruskal’s algorithm Boruvka’s algorithm
Algoritmi per calcolare il mst
Un grafo si dice completo se da ogni nodo si raggiunge qualsiasi altro percorrendo un solo spigolo
Il numero di spigoli in un grafo completo è: m=n(n-1)/2Il grado di ogni vertice è n-1
Un grafo si dice regolare se tutti i nodi hanno lo stesso grado
Come si rappresenta matematicamente un grafo
Matrice di adiacenza
Matrice binaria. E’ simmetrica se il grafo non è orientato e viceversa
7 ;11
nAAkn
jji
n
jiji
1
2
3
4
111
100
010
001
Inc
0111
1000
1000
1000
A
v1 v2 v3 v4
v1 v2 v3 v4
v1 v2 v3 v4
E1 E2 E3
Matrice IncidenzaMatrice adiacenza
1 4 12 4 13 4 14 1 14 2 14 3 1
Lista adiacenza
Se il grafo è pesato allora è descritto da una matrice W del tipo:
Matrice laplaciana: L=Deg-A:
Esempio
Alcune proprietà:Siano g autovalori di L L è sempre semidefinita positiva
Il numero degli autovalori nulli è quello delle componenti connesse
La distanza d(i,j) tra due nodi (non necessariamente distinti) i e j è la lunghezza del cammino minimo che li congiunge.
La lunghezza di un cammino è il numero di spigoli (link) in esso contenuti (per i relativi pesi)
Il diametro di un grafo è la massima delle distanze minime tra le coppie dei suoi verticiIl diametro di un grafo completo è 1, indipendente da n
La lunghezza caratteristica [characteristic path length ], è la media delle distanze minime
Distanza e diametro
n(n-1)/2 =n° totale di link se la rete è non diretta
2m
2*8=16
Eigenvector centrality: Authorities and Hubs
Nelle reti orientate i gradi in entrata (xi) ed in uscita (yi) dei nodi hanno un significato diverso. Si deve risolvere un problema agli autovalori (anzi 2) Av=lv
WWWLe authority (grande xi) contengono grandi informazioni su un dato tema.
Gli hub (grande yi) dicono dove trovare quelle informazioni
Manuale Pajek
Eingenvector centrality
Un nodo è importante se ha «amici» importanti
La matrice di adiacenza A è non negativa (ha autovalori ≥0)
Il teorema di Perron-Froboenius afferma che se la rete è connessa allora il massimo autovalore è reale e le componenti dell’autovettore corrispondente sono positive
Le si può normalizzare e trovare un ranking dei nodi . La componente con il valore più grande è quella con gli «amici più importanti».
E’ il metodo usato da Google. Una pagina è importante se puntata da pagine importanti
Degree centrality e Degree centralization
Le persone sono centrali se l’informazione può facilmente raggiungerle La degree centrality è Il più semplice indicatore di centralità di un nodo ovvero è il numero dei sui vicini (il suo grado) La degree centralization di una rete è la misura di quanto la sua struttura sia lontana da quella di una rete a stella.
Esempio
v3v1
v4
v2
v5
A
v1
v4
v3
v2
v5
C
v1
v4
v3
v2
v5
B
112
12
12
)44(1)14(4)(
ACD
0)( CCD17.0
6
1
12
)22()12()22()22()12()(
BCD
1)-2)(n-(n
))deg(v-*deg(v)(
i
|V|
1iGCD
In una rete con linee multiple o loops (non semplice) il grado di un vertice è diverso dal numero di vicini (e la centralization può essere >1). In questo caso non è opportuno usare la misura di degree centralization
Closeness Centrality and Closeness Centralization
In una rete di comunicazione l’informazione raggiunge una persona più facilmente ed in modo più corretto se il percorso che deve fare è breve.
La Closeness Centrality di un vertice è l’inverso della somma delle distanze del vertice dagli altri divisa per il numero di vertici :
(Sum distanze dai vertici/ n°dei vertici) -1 = ( n°di vertici/sum distanze dai vertici)
La Closeness Centralization è la variazione della closeness centrality dei vertici divisa per la variazione della closeness centrality in una rete a stella delle stesse dimensioni
N.B. Per calcolare le distanze i nodi devono essere connessi. La closeness centralization è una misura definita solo su una componente connessa.
L’efficienza del grafo G è definita così:
Questa quantità è basata sull’assunzione che l’efficienza nella comunicazione tra due nodi i e j è uguale a
Centrality: efficiency (di un grafo)
Il grado può non riuscire a cogliere l’importanza di un nodo
La betweenness (‘’essere tra’’) di un nodo i è il numero di cammini minimi (geodesic paths) tra altri vertici che lo attraversano diviso per il numero totale di cammini minimi .
Betweenneess Centrality and Betweenness Centralization
Una misura di centralità è quella dell’ «essere intermediario» ad esempio in una rete di comunicazione cioè il flusso di informazioni che una persona può controllare perché la attraversa.
La Betweenness centrality di un vertice è il numero di cammini minimi (geodesiche) che attraversano un nodo diviso per il numero totale di cammini minimi
La Betweenness centralization è la variazione della Betweenness Centrality dei vertici divisa per la variazione della betweenness centrality in una rete a stella delle stesse dimensioni.
La betweennees può essere una misura della vulnerabilità del grafo ad attacchi selettivi ai suoi nodi
degree
Alaska
In Pajek)1))(deg(deg(
)((2)(1 1
vv
vGEvCC
21=7*6/2
Il coefficiente di clustering Ci del nodo i è il numero di spigoli esistenti tra i suoi nodi vicini diviso per tutti i nodi possibili tra i vicini stessi
Clustering coefficient
Clustering coefficient
Deg(v)=degree of v
|E(G1(v)|=n°di connessioni tra i vicini di v
)1))(deg(deg(
))((2)( 1
1
vv
vGEvCC
)(deg
)deg()( 11
' vCCMax
vvCC 1)(0 1
' vCC
Il Clustering Coefficient del grafo è la media dei clustering dei nodi:
Esistono altre definizioni di clustering Coefficient che danno valori simili (ma non identici)
Gli alberi hanno coefficiente di Clustering =0
Il Clustering misura la connessione dell’intorno di una rete e fornisce un’altra misura della robustezza del grafo. Se un grafo ha un valore di Clustering alto anche se eliminiamo un nodo il grafo rimane connesso
Piccardi ACN2010
Esercizi:
PajekApplicazione delle misure di centralità viste
Octave: degree distribution