1 polynome und mehrfache nullstellen polynome sind gefangene ihrer leicht durchschaubaren...

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Polynome und mehrfache Nullstellen

Polynome sind Gefangene ihrer leicht durchschaubaren

Eigenschaften.

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus

Stichwort: Polynome im Affenkasten

www.mathematik-verstehen.de

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Polynome und mehrfache Nullstellen

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gerade

schräg

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doppelte Nullstelle

x= -1

einfache Nullstelle

x= 2

Nullstellen Linearfaktoren

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Nullstellen Linearfaktoren

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doppelte Nullstelle

x= -1

einfache Nullstelle

x= 2

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Welche Gleichung kann dieses Polynom haben?

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Welche Gleichung kann dieses Polynom haben?

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Diese

Funktion

Vieta

Vieta, mehr

Folie 11

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Was ist eigentlich ein Polynom?

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11 1 0( ) ...n n

n nf x a x a x a x a

Ein Polynom ist eine Summe von Potenzfunktionen.Der höchste Exponent, der vorkommt, heißt Grad des Polynoms.

• Polynome 1. Grades sind die Geraden

• Polynome 2. Grades sind die Parabeln

• Polynome 3. Grades haben immer eine symmetrische s-Form.

• Polynome 4. Grades haben höchstens 3 Extrema.

• Je höher der Grad, desto vielfältigere Formen sind möglich.

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Polynome und ihre Linearfaktoren

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( ) ( ) ( ) ( ) 0kf x x a p x mit p a

Jede reelle Nullstelle erzeugt einen Linearfaktor.

a ( )x a( ) ( ) ( )f x x a q x

Wenn das Restpolynom auch noch die Nullstelle enthält, kann man den Linearfaktor mehrfach „herausziehen“.

a

Geht das maximal k-mal, dann heißt k-fache Nullstelle,oder „Nullstelle der Vielfachheit k“

a

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Polynome und ihre Linearfaktoren

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( ) ( ) ( ) ( ) 0kf x x a p x mit p a

3 2 3

2 2

( ) ( 5) ( 2) ( 1) ( 2)

( 1) . ( 1) . ( 1)

f x x x x x x

f nahe pos Zahl x neg Zahl t x

In der Nähe eine k-fachen Nullstelle verhält sich das Polynom wie sich die k-Potenzfunktion im Ursprung verhält.

Ein Polynom n-ten Grades hat höchsten n Nullstellen, mit ihrer Vielfachheit gezählt. Fundamentalsatz der Algebra (reell)

Grad 10 Gesamtverlauf

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Polynome und ihre Linearfaktoren

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3 2 3( ) ( 5) ( 2) ( 1) ( 2)f x x x x x x

Qualitativer Graph eines durch Linearfaktoren gegeben Polynoms

Vorzei-chen

Grad Ges. Verlauf

gerade

gerade

ungerade

ungerade

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Übung 2 mit PolynomenPolynome aus Linearfaktoren Zeichnen

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Übung 2 mit PolynomenPolynome aus Linearfaktoren Zeichnen

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Übung 3 mit PolynomenPolynome aus Linearfaktoren Zeichnen

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Übung 3 mit PolynomenPolynome aus Linearfaktoren Zeichnen

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Übung 4 mit PolynomenPolynome aus Linearfaktoren Zeichnen

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Übung 4 mit PolynomenPolynome aus Linearfaktoren zeichnen

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Funktionen als zentrales Werkzeug

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• Potenzfunktionen

• Polynome

• Trigonometrische Funktionen

• Exponentialfunktionen

• Davon so manche Umkehrfunktionen

• Wurzelfunktionen

• Arkusfunktionen

• LogarithmusfunktionenUnd das noch koppeln mit und Verkettung./ ^

Das war‘s dann aber auch

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Funktionen als zentrales Werkzeug

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Sinusfunktion

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Die Winkel-Funktionen

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x wird Argument einer Funktion

Einheitskreis

Der Punkt Q läuft im Einheitskreis vom Start (1/0). (mathematisch positiv = gegen die Uhr)

Den von Q zurückgelegten Weg x nennt man auch„das Bogenmaß des Winkels“, um den sich Q gedreht hat.Kurz: x ist der Winkel im Bogenmaß

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Die Sinus-Funktion

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Sinusfunktion

Einheitskreisx = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis

Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet.

Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion.

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Die Sinus-Funktion

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Sinusfunktion

Einheitskreisx = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis

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Eigenschaften der Sinus-Funktion

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2• Die Sinus-Funktion ist periodisch.

• Die Periode ist .

• Die Sinuswerte liegen zwischen -1 und + 1.

• Die Sinusbögen sind symmetrisch.

• Die Sinuskurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung

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Die Sinus-Funktion

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Sinusfunktion

Einheitskreisx = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis

Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet.

Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion.

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Die Kosinus-Funktion

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Sinusfunktion

Einheitskreisx = Winkel im Bogenmaß = Länge des Bogens im Einheitskreis

Dem Winkel x wird nun die Ordinate von Q zugeordnet.

Die Funktion, die das leistet, heißt Sinus-Funktion.

Tangens Kosinus

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Eigenschaften der Kosinus-Funktion

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2• Die Kosinus-Funktion ist periodisch.

• Die Periode ist .

• Die Kosinuswerte liegen zwischen -1 und + 1.

• Die Kosinusbögen sind symmetrisch.

• Die Kosinuskurve ist symmetrisch zur y-Achse

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Funktionen strecken und stauchen

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Ein Faktor direkt beim xsorgt für waagerechtesStrecken und Stauchen.

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Funktionen strecken und stauchen Posaune

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Sinus von hand Zeichnen

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Sinus von hand Zeichnen

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Übung mit FunktionsgraphenSin-Ueb

Hand

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Die Klangfarbe zeigt sich durch ein anderes „Obertonspektrum“

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sinus-obertoene

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Schwebungen, sie entstehen, wenn dicht benachbarte Töne gemeinsam

erklingen

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schwebungen_ggb

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Funktionen variierenFkt-Vari-Sin Sin-Ueb

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Funktionen variierenFkt-Vari-Sin Sin-Ueb

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Sinus strecken und stauchen

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Welle

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Übung mit Funktionsgraphen