1 a transformada-z transformada de fourier transformada-z transformada-z reduz-se á transformada...
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1
A Transformada-Z
n
njj enxeX ].[
Transformada de Fourier
n
nznxzX ].[
Transformada-Z jez
]}[{ nxZzX
][nxzX Z
Transformada-Z reduz-se á
transformada Fourier
Caso especial daTransformada-Z
2
A Transformada-Z
Transformada Z Determinação de zeros e pólos Analise de estabilidade de sistemas discretos
Transformada de Fourier Permite funções generalizadas (diracs) Estudos de sistemas com entradas sinusoidais, por
exemplo modelação e desmodelação Resposta em frequência de sistemas
3
Transformada-Z de uma exponencial
11
1101
0
1
1
1
1
][
zaza
zaza
zazkuazXk
k
k
kk
Para a série ser absolutamente somável devemos ter
azza 11
11
011
11
1
1
1
]1[
zaza
zaza
zazkuazXk
k
k
kk
Para a série ser absolutamente somável devemos ter
azza 11
4
Região de Convergência (ROC)
Region of Convergence (ROC)
Zona para a qual a série converge Corresponde sempre a um disco (sem as fronteiras) Quando contém o circulo unitário existe transformada de
Fourier
Sequência direita x[n]=0, n<n0
|z|>a
Sequência esquerdax[n]=0, n>n0
|z|<a
Sequência bilaterala<|z|<b
-10 -5 0 5 100
0.5
1
-10 -5 0 5 100
0.5
1
0 5 10 15 200
0.51
5
Região de convergência
Para a série convergir temos de ter
n
nznx ].[
n
nznx ][
Ou seja
Pelo que a região só depende do módulo de z, e portanto corresponde a discos centrados na origem
6
Transformada-Z Racional
Em muitos casos práticos podemos representar a transformada-Z por uma função racional.
)(
)(
zQ
zPzX
Zeros de Q pólospólos da transformada, X(z) Zeros de P zeroszeros da transformada A ROC não pode conter pólos, estando limitada estando limitada
por estespor estes.
Corresponde aos casos em que x[n] pode ser expresso como uma soma de
exponenciais complexas
7
Pólos e Zeros
Zeros
Pólos
O ROC está limitada pelos pólos!
Os pólos permitem analisar a
estabilidade do sistema
8
-1-0.5
00.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1-2
0
2
4
6
8
10
Pólos e Zeros
)5.05.0)(5.05.0(
5.0)(
iziz
zzH
zero
pólo pólo
Pólos:0.5-0.5i e 0.5+0.5i
Zero: -0.5
RealImaginário
Gráfico do valor absoluto da
transformada-z de uma função racional
9
Transformada-Z de Alguns Sinais
Consultar o Livro para uma tabela mais completa
Sequência Transformada ROC
][n 1
][nuan1.1
1 za
][. nuan n
21
1
.1
.
za
zaaz
az
]1[ nuan1.1
1 za
az
]1[. nuan n
21
1
.1
.
za
zaaz
Pólo em ‘a’
Pólo duplo em ‘a’
10
Inversão da Transformada-Z
Por Tabelas (casos simples) Expansão em fracções parciais (funções racionais)
Expansão em série (polinómios) Resolução numérica da equação às diferenças
correspondente. Formula….
Nota: (não esquecer a ROC)
1
011
1
.1)(
M
i
ik
N
k k
k zazd
AzH
11
Inversão da Transformada-Z
Expansão em fracções parciais (funções racionais)
1
0111
11
.1)(
)()(
M
i
ik
N
k k
k zazd
A
zQ
zPzH
Termo surge apenas quando ordem de P é
maior que de Q
Pólos, dk simples e distintos
Cada um dos termos pode-se inverter recorrendo a tabelas
12
Propriedades da Transformada-Z
Diferenciação de X(z)
Deslocação no tempo Inversão no tempo
Convolução no tempo
Multiplicação por exponencial
21
22112211
contém
)(.)(.][][
RxRxROC
zXazXanxanxa Z
X
nZ
RROC
zXznnx
)(][ 0
0
Linearidade
X
Zn
RzROC
zzXnxz
0
00 )/(][
X
Z
RROCdz
zdXznxn
)(
][
X
Z
RROC
zXnx
/1
)/1(][ ***
21
2121
contém
)()(][*][
RxRxROC
zXzXnxnx Z
Valor inicial
0,0][se
),()1(lim]0[ 1
nnx
zXzxz
Conjugação)(][ *** zXnx Z
13
Função de Sistema
A transformada Z da resposta impulsiva de um sistema designa-se por, função de sistema, H(z)função de sistema, H(z)
A função de sistema é equivalente à função de função de transferênciatransferência quando Z se encontra no circulo unitário.
][)( nhTZzH
jez
j zHeH
)()(
14
N
k
kk
M
m
mmM
m
mm
N
k
kk
za
zb
zx
zyzHzzxbzzya
0
0
00 .
.
)(
)()().()(.
Resolução de Equações às Diferenças
M
mm
N
kk mnxbknya
00
][.][.
TZFunção de
sistema
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Resolução de Equações às Diferenças
Para o caso de condições iniciais não nulas existe um regime transitório:
N
p
nppF zanyny
0
][][
Regime transitório(zp – pólos de H(z))
Resposta forçada
O regime transitório é formado por uma soma de exponências complexas de bases que correspondem aos pólos do sistema, zp.
Os coeficientes da resposta ap podem ser obtidos atravez da resolução de um sistema de equações obtido atravez da aplicação das condições iniciais do sistema.
Num ponto do futuro relativamente as condições inicias (sistema causal)
16
Regime transitório
Temos que:
Y(z)=H(z) X(z) Apenas pode existir sinal y para x(z)=0, se H(z)=
ou seja para os pólos de H(z)!!
Se o pólo estiver fora do circulo unitário a saída cresce sem limites sistema instável
N
p
npp za
0
Para ajudar a relembrar
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Estabilidade
Sistema causal e estável
Pólos dentro do circulo de raio Pólos dentro do circulo de raio unitáriounitário
Sistema de fase mínima (causal) Sistema estável e de inversa causal e estável Pólos e zeros dentro do circulo de raio unitário Notar que a inversa de um sistema que não é de fase mínima
pode ser considerado como sistema não causal ou um sistema instável dependendo da ROC escolhida.
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Estabilidade
A resposta impulsiva de um sistema estável tem transformada Z
A ROC de um sistema estável contem o circulo unitário (tal permite testar a estabilidade de sistemas causais e não causais)
Notar que: a resposta impulsiva de sistema causal é um sinal direitosinal direito e portanto a ROC é externaROC é externa o que implica que os pólos devem estar no interior do circulo unitário
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Estabilidade
Sistemas estáveis Sistemas instáveis
Sis
tem
a ca
usal
Circulo raio unitário
ROC
20
Inversão de Sistemas
Sistema de fase mínima:Sistema de fase mínima:Pólos e zeros dentro do
Circulo unitário
São estáveis e causais e têminversa estável e causal
Sistema de fase não mínima:Sistema de fase não mínima:Zeros fora do Circulo unitário.
Não tem inversa estável e causal.Mas têm inversa não causal e estável, ou instável e causal….
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.5
1
Inversa não
causal..
h[n]
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