ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ - ntuausers.ntua.gr/cvsapoun/2-plane trusses.pdf ·...

ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ

ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή

2. Παρουσίαση επίπεδου δικτυώματος

3. Διανύσματα ακραίων δράσεων στοιχείου επίπεδου

δικτυώματος

4. Διανύσματα ακραίων μετατοπίσεων στοιχείου επίπεδου

6. Τοπικό μητρώο στιβαρότητας στοιχείου επίπεδου

5. Μητρώο μετασχηματισμού στοιχείου επίπεδου δικτυώματος

7. Καθολικό μητρώο στιβαρότητας στοιχείου επίπεδου

Περιεχόμενα

8. Διανύσματα επικόμβιων δράσεων και μετατοπίσεων

επίπεδου δικτυώματος

9. Καθολικό μητρώο στιβαρότητας επίπεδου δικτυώματος

10. Τροποποίηση (αναδιάταξη) καθολικού μητρώου

στιβαρότητας επίπεδου δικτυώματος λόγω στήριξης –

Μητρώο αναδιάταξης

13. Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών επίπεδου δικτυώματος

11.Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας επίπεδου

δικτυώματος λόγω κεκλιμένης στήριξης – Ελαστική στήριξη

12. Επίπεδο δικτύωμα υποβαλλόμενο σε ενδιάμεσα φορτία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι ραβδωτοί φορείς που αποτελούνται από ευθύγραμμες ράβδους,

των οποίων τα άκρα συνδέονται αρθρωτά σε κόμβους και

μεταφέρουν μόνο αξονικές δυνάμεις (εφελκυστικές ή θλιπτικές)

ονομάζονται δικτυώματα.

Τα δικτυώματα είναι συνήθως κατασκευασμένα από χάλυβα

(μεταλλικές κατασκευές), από αλουμίνιο (ελαφριές μεταλλικές

κατασκευές) ή από ξύλο (ξύλινες κατασκευές).

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στην περίπτωση κατά την οποία όλες οι ράβδοι δικτυώματος

βρίσκονται σε ένα επίπεδο και η φόρτιση του ανήκει στο επίπεδο

αυτό, το δικτύωμα αυτό αναφέρεται ως επίπεδο, ενώ σε αντίθετη

περίπτωση, ο φορέας ονομάζεται χωρικό δικτύωμα ή

χωροδικτύωμα.

Οι ράβδοι δικτυώματος καταπονούνται από ομοιόμορφες θλιπτικές ή

εφελκυστικές τάσεις και έτσι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την

κάλυψη μεγάλων ανοιγμάτων (>50 m).

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Για την ανάλυση των δικτυωμάτων εισάγονται οι ακόλουθες βασικές

απλοποιητικές παραδοχές:

• Η σύνδεση των ράβδων στους κόμβους του δικτυώματος θεωρείται

ως ιδανικά αρθρωτή (μηδενικές τριβές).

• Οι άξονες όλων των ράβδων του δικτυώματος θεωρούνται

ευθύγραμμοι.

• Οι άξονες όλων των ράβδων που συντρέχουν σε ένα κόμβο τέμνονται

προεκτεινόμενοι σε ένα σημείο σύνδεσης ('κεντρική' σύνδεση).

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Για την ανάλυση των δικτυωμάτων εισάγονται οι ακόλουθες βασικές

απλοποιητικές παραδοχές:

• Τα εξωτερικά φορτία συνίστανται αποκλειστικά σε δυνάμεις που

ενεργούν επί των κόμβων ή είναι παράλληλες με τους άξονες των

ράβδων.

• Οι ράβδοι του δικτυώματος θεωρούνται εγκαρσίως αφόρτιστες.

Στις περιπτώσεις φόρτισης δικτυώματος με σημαντικά εξωτερικά

εγκάρσια φορτία η αποκλειστική φόρτιση των κόμβων

επιτυγχάνεται με τη βοήθεια συστήματος τεγίδων – διαδοκίδων.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι αποκλίσεις από τις παραδοχές του ιδανικού δικτυώματος μπορεί

οφείλονται στους εξής λόγους:

• Στους πραγματικούς κόμβους, ακόμη και αν αυτοί είναι εκ

κατασκευής αρθρωτοί, η τριβή στην άρθρωση δεν είναι

μηδενική. Πολύ περισσότερο, οι κόμβοι δεν μπορούν να

θεωρηθούν ως ιδανικές αρθρώσεις στις περιπτώσεις

συγκολλητών, κοχλιωτών ή ηλωτών συνδέσεων και ιδιαίτερα

όταν ένα δομικό στοιχείο δεν διακόπτεται στον κόμβο, αλλά είναι

συνεχές.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

• Πρόσθετη μικρή καμπτική ένταση αναπτύσσεται σε πολλές

περιπτώσεις λόγω της έκκεντρης σύνδεσης των ράβδων στους

κόμβους. Οι άξονες των συνδεόμενων στοιχείων δεν

συναντιούνται στο ίδιο σημείο, γεγονός που δεν λαμβάνεται

υπόψη στο απλοποιημένο προσομοίωμα του δικτυώματος.

Η απόκλιση αυτή αποφεύγεται στις περιπτώσεις βιομηχανοποιη-

μένων χωροδικτυωμάτων, των οποίων οι κόμβοι μπορούν να

θεωρηθούν ως κεντρικά τοποθετημένες ιδανικές αρθρώσεις.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

• Σε περιπτώσεις συνεχούς άνω ή κάτω πέλματος στο οποίο

παρουσιάζεται μεταβολή της διατομής (π.χ. λόγω ενίσχυσης

ενός τμήματος με συγκόλληση ή κοχλίωση πρόσθετων

ελασμάτων) εμφανίζεται μικρό άλμα στον κεντροβαρικό άξονα

των ράβδων που αποτελούν το πέλμα. Αυτό λαμβάνεται

απλοποιημένα υπόψη με τον καθορισμό ενός "μέσου"

ουδέτερου άξονα. Με τον τρόπο αυτόν η πρόσθετη καμπτική

ένταση λόγω της εκκεντρότητας διατηρείται σε χαμηλά (αμελητέα)

επίπεδα.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

• Τα μη κατακόρυφα δομικά στοιχεία (άνω και κάτω πέλμα,

διαγώνιες ράβδοι) σε αντίθεση με την παραδοχή περί

αποκλειστικά αξονικής φόρτισης φορτίζονται εγκάρσια

μεταξύ των κόμβων τους τουλάχιστον από το ίδιο βάρος τους,

αλλά ενδεχομένως (κυρίως τα πέλματα) και από εγκάρσια

εξωτερικά φορτία (συμβαίνει συχνά τεγίδες να στηρίζονται επάνω

σε ράβδο μεταξύ δύο κόμβων). Το ίδιο βάρος των ράβδων, αν

και είναι κατανεμημένο κατά το μήκος τους, είναι συνήθως τόσο

μικρό σε σχέση με τα φέροντα φορτία που επιτρέπει την

εφαρμογή του ισόποσα στα δύο άκρα ως συγκεντρωμένα φορτία,

όταν πρέπει να ληφθεί υπόψη.

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

Τα μέλη του δικτυώματος είναι κατασκευασμένα από ομογενές και

ισότροπο υλικό ( ) και είναι διατομής ή

8 22.1 10 /E kN m 210A cm

5.0 5.0

δ=2cm

Εξεταζόμενο δικτύωμα

Στοιχεία γεωμετρίας και

υλικού μελών

Σημείο εκκίνησης για την ανάλυση του επίπεδου δικτυώματος αποτελεί η

αρίθμηση των κόμβων και των μελών του. Επίσης, επιλέγεται το

δεξιόστροφο ορθογώνιο ως καθολικό σύστημα αξόνων, ως προς το

οποίο θα γίνει η ανάλυση του φορέα και ο υπολογισμός των κινηματικών

μεγεθών των κόμβων του και των αντιδράσεων των στηρίξεων του.

Ακολούθως, εισάγεται τοπικό σύστημα αναφοράς για κάθε ένα από τα

στοιχεία που συνθέτουν το δικτύωμα. Για τον καθορισμό του συστήματος

αυτού, σε κάθε μέλος ορίζεται ως άξονας x1 αυτός που έχει διεύθυνση

εκείνη του μέλους και φορά από τον κόμβο με μικρότερο προς τον κόμβο

με μεγαλύτερο αύξοντα αριθμό.

Τέλος, καθορίζονται οι βαθμοί ελευθερίας κίνησης των κόμβων του

(κινηματική αοριστία), όπου στο βήμα αυτό αμελείται ο τρόπος στήριξης

του δικτυώματος. Έτσι, γνωρίζοντας ότι κάθε κόμβος διαθέτει δύο

βαθμούς ελευθερίας κίνησης, οι βαθμοί ελευθερίας κίνησης του φορέα θα

είναι 2Ν, όπου Ν ο αριθμός των κόμβων (nodes) του δικτυώματος.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

Τοπικό και

καθολικό

διάνυσμα

ακραίων

δράσεων

ij ijij

ik ikik

ik ik ik

αξονική και τέμνουσα δύναμη

στα άκρα του μέλους

1 1 2cos sinij ijij ij ijF F F

2 1 20 sin cosij ijij ij ijF F F

άκρου j

άκρου k

όλου του

στοιχείου

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

Τοπικό και

καθολικό

διάνυσμα

ακραίων

μετατοπίσεων

άκρου j

άκρου k όλου του

στοιχείου

ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 23

1 1 2cos sinij ijij ij ijF F F

2 1 20 sin cosij ijij ij ijF F F

ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

cos sin

0 sin cos

ijij ij ijijijijij

PTij ijij ij

F FFA A

cos sin

sin cos

ij ijijPT ij ij

όπου

Στο άκρο j

μέλους

επίπεδου

1 21 cos sinik ikik ik ikF F F

1 22 0 sin cosik ikik ik ikF F F

cos sin

0 sin cos

ikik ik ikikikik ik

PTik ik ik ik

F FFA A

cos sin

sin cos

ik ikikPT ik ik

όπου

Παρομοίως

στο άκρο k

μέλους

επίπεδου

ή συνολικά και στα δύο

άκρα μέλους επίπεδου

Μητρώο

μετασχηματισμού

μέλους επίπεδου

cos sin 0 0

sin cos 0 00

0 0 cos sin

0 0 0 sin cos

ijij ijij

ij ijij iji

ik ik ik ikik

ik ik ik

ijijPT

ikikPT

AA F F

iiPT A

Ανάλυση δυνάμεων στα άκρα

του μέλους

cos sin

sin cos

ij ijijPT ij ij

όπου

Αντίστροφα,

στο άκρο j

(ή k) μέλους

επίπεδου

1 1 2cos sinij ij ijij ijF F F

2 1 2sin cosij ij ijij ijF F F

cos sin

sin cos

ij ijij ijTij ij ij

PTij ijij ij

F FA A

1 Tij ijPT PT

και συνολικά και στα δύο

άκρα μέλους επίπεδου

Αντίστροφος

μετασχηματισμός

για μέλος

επίπεδου

ij Tij ijPT Ti i i

PTTik ikikPT

όπου

1 Ti iPT PT

cos sin 0 0

0sin cos 0 0

0 0 0 cos sin

0 0 sin cos

ijij ijPT

iPT ik ik ik

‘Ομοια για τα διανύσματα

ακραίων μετατοπίσεων

θα ισχύει

Μητρώο

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

ijij ij ij

ij ijij ij iji

ik ik ik ik ik

ik ik ik ik

ijijPT

ikikPT

DD u u

iiPT D

ή αντίστροφα

Ανάστροφο

μητρώου

ij Tij ijPT Ti i i

PTTik ikikPT

1 Ti iPT PT

Εφαρμογή -ΜΗΤΡΩΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΜΕΛΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

Μόρφωση

μητρώων

μελών

ΤΟΠΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΤΟΠΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

το τυχόν στοιχείο του τοπικού

μητρώου στιβαρότητας του μέλους i

δηλώνει την αναπτυσσόμενη τοπική

ακραία δράση κατά τον τοπικό

βαθμό ελευθερίας m όταν επιβληθεί

μοναδιαία και μοναδική ακραία

μετακίνηση κατά τον τοπικό βαθμό

ελευθερίας n του μέλους i , δηλαδή

με ταυτόχρονο μηδενισμό των

υπόλοιπων τοπικών βαθμών

ελευθερίας του μέλους.

ij iji ijj jk

i iik ikkj kk

A Dk k

k kA D

i i iA k D

k EA L

11 12 13 1 14 21 1 2ij ij iji i i ik i ikF k u k u k u k u

11 12 13 141 11

21 22 23 242 2

31 32 33 341 11

41 42 43 442 2

ij iji i i iij

i i i iij ij

i i i iik ikik

i i i iik ik

k k k kF uF

k k k kF u

k k k kF uF

k k k kF u

Μόρφωση τοπικού μητρώου στιβαρότητας μέλους επίπεδου δικτυώματος

Μοναδιαία μετατόπιση στο άκρο j μέλους ε.δ.

ΤΟΠΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

το τυχόν στοιχείο του τοπικού

δηλώνει την αναπτυσσόμενη τοπική

ακραία δράση κατά τον τοπικό

βαθμό ελευθερίας m όταν επιβληθεί

μοναδιαία και μοναδική ακραία

μετακίνηση κατά τον τοπικό βαθμό

ελευθερίας n του μέλους i , δηλαδή

με ταυτόχρονο μηδενισμό των

υπόλοιπων τοπικών βαθμών

ελευθερίας του μέλους.

i i iA k D

Μόρφωση τοπικού μητρώου στιβαρότητας μέλους επίπεδου δικτυώματος

Μοναδιαία μετατόπιση στο άκρο k μέλους ε.δ.

0 0 0 0

i i i i

i ii ijj jk

i i i i i ikj kk

E A E A

L Lk k

kk k E A E A

Τοπικό μητρώο

στιβαρότητας μέλους

k EA L

Εφαρμογή - ΤΟΠΙΚΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

0 0 0 0

i i i i

i ii ijj jk

i i i i i ikj kk

E A E A

L Lk k

kk k E A E A

Τοπικά μητρώα στιβαρότητας μελών

Στοιχεία γεωμετρίας

και υλικού μελών

ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας μέλους επίπεδου δικτυώματος

1 11 12 13 14 1

2 21 22 23 24 2

1 31 32 33 34 1

2 41 42 43 44 2

ij i i i i ij

ik i i i i ik

F k k k k u

i iij ijjj jk

ik iki ikj kk

k kA D

A Dk k

i i iA k D

το τυχόν στοιχείο του καθολικού

δηλώνει την αναπτυσσόμενη καθολική

ακραία δράση κατά τον καθολικό βαθμό

ελευθερίας m όταν επιβληθεί μοναδιαία

και μοναδική ακραία μετακίνηση κατά

τον καθολικό βαθμό ελευθερίας n του

μέλους i, δηλαδή με ταυτόχρονο

μηδενισμό των υπόλοιπων τοπικών

βαθμών ελευθερίας του μέλους.

i ii i i i i iPT PTA k D A k D

Ti ii i i

PT PTA k D

Ti i i iPT PTk k

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

• Κάθε μητρώο στιβαρότητας είναι συμμετρικό, δηλαδή . Η ιδιότητα

αυτή επιβεβαιώνεται από την αρχή της αμοιβαιότητας των έργων Betti-

Maxwell.

• Τα διαγώνια στοιχεία μητρώου στιβαρότητας είναι πάντα θετικά .

Επίσης, τα διαγώνια στοιχεία μητρώου στιβαρότητας είναι μη μηδενικά.

Κατ’ εξαίρεση το τοπικό μητρώο στιβαρότητας μέλους δικτυώματος και

πιθανόν αυτό του αντίστοιχου καθολικού, εμφανίζει μηδενικά στοιχεία σε

διαγώνιες θέσεις (δεν ορίζεται τέμνουσα δύναμη σε μέλος δικτυώματος).

Maxwell.

• Τα διαγώνια στοιχεία μητρώου στιβαρότητας είναι πάντα θετικά .

Επίσης, τα διαγώνια στοιχεία μητρώου στιβαρότητας είναι μη μηδενικά.

Κατ’ εξαίρεση το τοπικό μητρώο στιβαρότητας μέλους δικτυώματος και

πιθανόν αυτό του αντίστοιχου καθολικού, εμφανίζει μηδενικά στοιχεία σε

διαγώνιες θέσεις (δεν ορίζεται τέμνουσα δύναμη σε μέλος δικτυώματος).

• Η ορίζουσα μητρώου στιβαρότητας είναι μηδενική. Το φυσικό νόημα

της ιδιότητας αυτής γίνεται αντιληπτό από το γεγονός ότι κατά τη μόρφωση

του μητρώου στιβαρότητας του στοιχείου ή φορέα δεν έχει ληφθεί υπόψη ο

τρόπος στήριξης του (στερεό σώμα).

Εφαρμογή - ΚΑΘΟΛΙΚΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

Καθολικά μητρώα στιβαρότητας μελών

0 0 0 0

0 46666.67 0 46666.67

0 0 0 0

0 46666.67 0 46666.67

1 2 3 4

0 0 0 0

0 46666.67 0 46666.67

0 0 0 0

0 46666.67 0 46666.67

5 6 7 8

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

1 2 5 6

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

3 4 7 8

Εφαρμογή - ΚΑΘΟΛΙΚΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

Καθολικά μητρώα

στιβαρότητας μελών

8623.90 7761.50 8623.90 7761.50

7761.50 6985.30 7761.50 6985.30

8623.90 7761.50 8623.90 7761.50

7761.50 6985.30 7761.50 6985.30

3 4 5 6

8623.90 7761.50 8623.90 7761.50

7761.50 6985.30 7761.50 6985.30

8623.90 7761.50 8623.90 7761.50

7761.50 6985.30 7761.50 6985.30

1 2 7 8

17248.00 15523.00 17248.00 15523.00

15523.00 13971.00 15523.00 13971.00

17248.00 15523.00 17248.00 15523.00

15523.00 13971.0

7 8 9 10

10 0 15523.00 13971.00

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

42000.00 0 42000.00 0

0 0 0 0

5 6 9 10

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

Από τις μετατοπίσεις των κόμβων κάποιες είναι γνωστές και οι υπόλοιπες

άγνωστες, ανάλογα με το εάν οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας κόμβου είναι

δεσμευμένοι ή ελεύθεροι. Αντίστοιχα, υπάρχουν γνωστές δράσεις, που είναι τα

εξωτερικά φορτία των κόμβων και άγνωστες, που είναι οι αντιδράσεις στις

στηρίξεις τους.

(1) (1)

(2)(2) 31

(N)(N) 2 11

(1) (1)

(2)(2) 31

(N)(N) 2 11

Συνιστώσες των επικόμβιων δράσεων και επικόμβιων μετατοπίσεων των

Ν κόμβων δικτυώματος

Εναλλακτικές μορφές

γραφής διανυσμάτων

Εφαρμογή - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ

ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

δ=2cm kel

22(2) 2

(3)6 62

(4) 71

R PP P P

(2)42 4

(3)551

(3) 662

7(4) 71

1 1010(5)

Γραφή με άνω (αριθ-

μός κόμβου) και κάτω

(αριθμός καθολικού

άξονα) δείκτη

Εφαρμογή - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ

ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

δ=2cm kel

22(2) 2

(3)6 62

(4) 71

R PP P P

(2)42 4

(3)551

(3) 662

7(4) 71

1 1010(5)

Γραφή με κάτω δείκτη

(βαθμός ελευθερίας

κίνησης δικτυώματος)

ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

(1) (1)

11 12 1,

(2) (2)21 22 2,

(N) (N),1 ,2 ,

: : :: :

N N N N

PK K K

P K K K

K K KP

nmnm nm

1 11 12 13 14 1,2 1 1,2

2 21 22 23 24 2,2 1 2,2

3 31 32 33 34 3,2 1 3,2

4 41 42 43 44 4,2 1 4,2

2 1 2 1,1 2 1,2 2 1,3 2 1,4 2 1,2 1

: : : : : : :

N N N N N N N

P K K K K K K

2 1,2 2 1

2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 1 2 ,2 2

N N N N N N N N NK K K K K K

Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα επίπεδου δικτυώματος

Καθολικό

μητρώο

στιβαρό-

τητας

φορέα

( ) (1) (2) ( ) (N)1 2 ,N... ...

n mn n nm nP K K K K

nnmP K

Στοιχεία καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα επίπεδου δικτυώματος

k=1,2,…,N , k m

( ) (1) (2) ( ) (N)1 2 ,N... ...

nnmP K

k=1,2,…,N , k m

( ) (1) (2) ( ) (N)1 2 ,N... ...

nnmP K

k=1,2,…,N , k m

(4) 6 (1) 4 (2) 2 (3)

2 4 6 7 (4) 7 (5)

kj kj kj

kk kk kk jj jk

P k k k

k k k k k

Διατύπωση μητρωικών εξισώσεων ισορροπίας που συνθέτουν το

καθολικό μητρώο στιβαρότητας φορέα επίπεδου δικτυώματος

(4) 2 (3) 2 (4) 4 (2) 4 (4)

6 (1) 6 (4) 7 (4) 7 (5)

kj kk kj kk

kj kk jj jk

P k k k k

k k k k

(4) 2 4 6 7

- - - - 0k k k j

P A A A A

2 2 2 2 2k j kkj kkA k D k D

7 7 7 7 7j j kjj jkA k D k D

(4) 71

(4) 2 4 6 7k k k jD D D D

(5) 7 jD (3) 2 j

D (2) 4 jD (1) 6 j

H σύνθεση του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του επίπεδου δικτυώματος

βασίζεται στις εξισώσεις ισορροπίας των κόμβων του (λαμβάνοντας υπόψη το

συμβιβαστό των μετατοπίσεων τους). Για τη σύνθεση αυτή ακολουθώνται τα πιο κάτω

βήματα

1) Για κάθε μέλος του δικτυώματος υπολογίζεται το καθολικό μητρώο στιβαρότητας με τη

βοήθεια της σχέσης ,

με τη μορφή

δηλαδή επιμερίζοντας το μητρώο αυτό σε 4 υπομητρώα (2X2).

2) Κάθε ένα από τα 4 προαναφερθέντα υπομητρώα του μέλους μεταφέρεται στο καθολικό

μητρώο στιβαρότητας της σχέσης

Ti i i iPT PTk k

i iij ijjj jk

ik iki ikj kk

k kA D

A Dk k

(1) (1)

11 12 1,

(2) (2)21 22 2,

(N) (N),1 ,2 ,

: : :: :

N N N N

PK K K

P K K K

K K KP

Βήματα σύνθεσης του καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα

2) Κάθε ένα από τα 4 προαναφερθέντα υπομητρώα του μέλους μεταφέρεται στο καθο-

λικό μητρώο στιβαρότητας της σχέσης

Βήματα σύνθεσης του καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα

τo στη γραμμή με αύξοντα αριθμό τον αριθμό του κόμβου αρχής και στη

στήλη με αύξοντα αριθμό τον αριθμό του κόμβου αρχής του μέλους

το στη γραμμή με αύξοντα αριθμό τον αριθμό του κόμβου αρχής και στη

στήλη με αύξοντα αριθμό τον αριθμό του κόμβου πέρατος του μέλους κ.ο.κ.

3) Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να ολοκληρωθεί για όλα τα μέλη του

δικτυώματος, με την παρατήρηση ότι σε περίπτωση που στην ίδια θέση

καταλήγουν περισσότερα του ενός μητρώα, αυτά αθροίζονται.

(1) (1)

11 12 1,

(2) (2)21 22 2,

(N) (N),1 ,2 ,

: : :: :

N N N N

PK K K

P K K K

K K KP

Εφαρμογή - ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

2 3 451

ό ό όόό

kj kkj

7 78 8

0 0 kj kkkj kkk kk k

Σύνθεση στο

καθολικό μητρώο

στιβαρότητας του

Εφαρμογή - ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

Καθολικό μητρώο

στιβαρότητας δικτυώματος

50623.90

7761.50 53651.97

0 0 50623.90

0 46666.67 7761.50 53651.97

42000.00 0 8623.90 7761.50 92623.90

0 0 7761.50 6985.30 7761.50 53651.97

8623.90 7761.50 42000.00 0 0 0 67871.90

7761.50 6985.30 0 0 0 46

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

666.67 7761.50 67622.97

0 0 0 0 42000.00 0 17248.00 15523.00 59248.00

0 0 0 0 0 0 15523.00 13971.00 15523.00 13971.00

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ)

ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ

ΣΤΗΡΙΞΗΣ – ΜΗΤΡΩΟ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

H μεθοδολογία διαχωρισμού των γνωστών από τα άγνωστα μεγέθη στα διανύσματα

ολικών επικόμβιων δράσεων και ολικών επικόμβιων μετατοπίσεων επιτυγχάνεται με τη

μετάθεση στοιχείων στα διανύσματα αυτά ή όπως αλλιώς καλείται αναδιάταξη των

διανυσμάτων αυτών. Πιο συγκεκριμένα επιδιώκεται η αναδιάταξη των στοιχείων των

διανυσμάτων επικόμβιων δράσεων και επικόμβιων μετατοπίσεων, έτσι ώστε και στα δύο

διανύσματα να προηγούνται οι ελεύθεροι βαθμοί ελευθερίας (γνωστές επικόμβιες

δράσεις και άγνωστες επικόμβιες μετατοπίσεις) και να έπονται οι δεσμευμένοι βαθμοί

ελευθερίας (άγνωστες επικόμβιες δράσεις και γνωστές επικόμβιες μετατοπίσεις). Είναι

προφανές ότι η προαναφερθείσα αναδιάταξη θα έχει ως άμεσο αποτέλεσμα και την

απαιτούμενη τροποποίηση του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του δικτυώματος.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 5 7 8 9 10 1 2 3 6

Αρχική αρίθμηση β.ε.

Τελική αρίθμηση β.ε.

ΜΟΡΦΩΣΗ ΜΗΤΡΩΟΥ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗΣ

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0 0 0

( free )

(sup ported )

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10

mP V P

Μητρώο

αναδιάταξης

Τροποποιημένα

(λόγω αναδιάταξης)

διανύσματα

επικόμβιων δράσεων

και μετατοπίσεων

ΑΝΑΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ

ΔΡΑΣΕΩΝ

mP V P

Τροποποιημένο (λόγω

αναδιάταξης) διάνυσμα

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( free )

(sup po

rted )

0 0 0 0 0

0 0 0 01

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

TmP V P

ΑΝΑΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

επικόμβιων μετατοπίσεων

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

( free )

(sup ported )

0 0 0 0 0

0 0 0 01

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ) ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ

ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

T Tm mV P K V

Tm mP V K V

m m mP K

mK V K V

Είναι προφανές ότι η προαναφερθείσα αναδιάταξη θα έχει ως άμεσο αποτέλεσμα και

την απαιτούμενη τροποποίηση του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του

δικτυώματος.

TmP V P

Τροποποιημένο

(αναδιατεταγμένο)

καθολικό μητρώο

στιβαρότητας

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ) ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ

ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

m m mP K

Τροποποιημένη

(αναδιατεταγμένη)

μητρωική εξίσωση

ισορροπίας

f fff fs

sf sss s

2f sN N N

f ff f fs sP K K

s sf f ss sP K K

f ff f fs sK P K

πλήθος ελεύθερων και δεσμευμένων

βαθμών ελευθερίας

s sf f ss sP K K

Επίλυση –

Επικόμβιες μετατοπίσεις κατά

τους ελεύθερους και επικόβιες

δράσεις (αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.

Εφαρμογή - ΑΝΑΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

mP V P

TmP V P

0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 02 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

4 330 0 0 0 0 0 0 0 0 1 02 5 0 0 0 0

P . PP. P

PR . P

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 3300 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 5

δ=2cm

5.0 5.0

ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

επικόμβιων μετατοπίσεων

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 00

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

δ=2cm

5.0 5.0

Εφαρμογή - ΑΝΑΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΟ ΚΑΘΟΛΙΚΟ

ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

Τροποποιημένο (λόγω αναδιάταξης)

καθολικό μητρώο στιβαρότητας

K V K VK K

53651.97

7761.50 92623.90

0 0 67871.90

0 0 7761.50 67622.97

0 42000.00 17248.00 15523.00 59248.00

0 0 15523.00 13971.00 15523.00 13971.00

0 42000.00 8623.90 7761.50 0 0 50623.90

46666.67 0 7761.50 6985.30 0 0 77

4 5 7 8 9 10 1 2 3 6

61.50 53651.97

7761.50 8623.90 42000.00 0 0 0 0 0 50623.90

6985.30 7761.50 0 46666.67 0 0 0 0 7761.50 53651.97

Εφαρμογή - ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

(4)7 1

10 (5)

0.0178

0.0026

0.0027

0.0023

0.0024

0.0032

222.8936

207.5021

227.2236

211.5021

Επίλυση –

Επικόμβιες μετατοπίσεις κατά τους

ελεύθερους και επικόβιες δράσεις

(αντιδράσεις) κατά τους

f ff f fs sK P K

s sf f ss sP K K

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ

ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ ΚΕΚΛΙΜΕΝΗΣ

ΣΤΗΡΙΞΗΣ – ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΤΗΡΙΞΗ

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΜΗΤΡΩΟΥ

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΛΟΓΩ

ΚΕΚΛΙΜΕΝΗΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ – ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΤΗΡΙΞΗ

Για τους καθολικούς

β.ε. 3’ και 4’ θα ισχύει Για τον κόμβο του δικτυώματος ο

οποίος φέρει κεκλιμένη στήριξη

απαιτείται τροποποίηση του

καθολικού συστήματος αξόνων

έτσι ώστε να μπορεί να ληφθεί

υπόψη η προαναφερθείσα στήριξη.

Η εν λόγω τροποποίηση θα πρέπει

να προηγηθεί της αναδιάταξης που

περιγράφηκε ήδη, μια και όπως

προαναφέρθηκε η μόρφωση του

μητρώου αναδιάταξης υιοθετώντας

το αρχικό καθολικό σύστημα

αξόνων είναι αδύνατη.

3 άγνωστη

γνωστή

άγνωστη

γνωστή

( ) 2 11

( )2 1( ) 1

( ) 2 11

( )2 1( ) 1

Αρχικό και τελικό καθολικό σύστημα αξόνων στον κόμβο (n) επίπεδου

δικτυώματος στηριζόμενου σε ακλόνητη ή ελαστική κεκλιμένη κύλιση

συνιστώσες

επικόμβιων

μετατοπίσεων κόμβου

(n) στο αρχικό και το

τροποποιημένο

σύστημα αξόνων

συνιστώσες επικόμβιων δράσεων κόμβου (n) στο

αρχικό και το τροποποιημένο σύστημα αξόνων

Σχέσεις μετασχηματισμού συνιστωσών επικόμβιων δράσεων ή επικόμβιων

συνιστώσες επικόμβιων μετατοπίσεων συνιστώσες επικόμβιων δράσεων ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos sin

sin cos

n n nn nn

n n nn n

P P Pr

( ) ( ) ( )

cos sin

sin cos

n n nn nn

n n nn nr

( ) ( )( )

cos sin

sin cos

n nn n nT

n nn n n

( ) ( )( )

cos sin

sin cos

n nn n nT

n nn n nr

cos sin

sin cos

1 Tn nr r

Ένταξη των σχέσεων μετασχηματισμού σε αντίστοιχες σχέσεις που περιλαμβά-

νουν το σύνολο των δράσεων ή των μετατοπίσεων των κόμβων του δικτυώματος

( ) ( )

(2) (2)

1 0 0 0 ... 0 0 ... 0 0

0 1 0 0 ... 0 0 ... 0 0

0 0 1 0 ... 0 0 ... 0 0

0 0 0 1 ... 0

0 ... 0 0

: : : : : : : : : :

0 0 0 0 ... ... 0 0

: : : : : : : : : :

0 0 0 0 .

cos si

.. 0 0 ... 1 0

0 0 0 0 ... 0 0 ... 0 1

sin cos

nmP R P

ή πιο συνοπτικά

Αντίστροφες σχέσεις

μητρώο

περιστροφής

(μετασχηματισμού)

όπου

Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας λόγω κεκλιμένης στήριξης

nmP R P

Σχέσεις μετασχηματισμού

Αντίστροφες σχέσεις P K

T Tn n

m mR P K R

n nm mP R K R

mK R K R

T Tn n

K V K V

V R K R V

Τροποποιημένο καθολικό μητρώο

στιβαρότητας

Ακολουθεί αναδιάταξη του

μητρώου στιβαρότητας

(2η τροποποίηση)

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΛΟΓΩ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας λόγω ελαστικής στήριξης

Τροποποιημένη εξίσωση ισορροπίας

111 12 13 14 1,2 1 1,2 1,2 1 1,2(1)

221 22 23 24 2,2 1 2,2 2,2 1 2,2

1 31 32 33 34 3,2 1 3,2

... ...

n n N N

PK K K K K K K K

P K K K K K K K

3,2 1 3,2

41 42 43 44 4,2 1 4,2 4,2 1 4,2

2 1,1 2 1,2 2 1,3 2 1,4 2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 1 2 1,2

2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 1 2 ,2 2 ,2 1 2 ,2

... ...

: : : : : : : : :

... ...

: : : : : : : : :

n n N N

n n n n n n n n n N n N

K K K K K K K K

,1 2 1,2 2 1,3 2 1,4 2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 1 2 1,2 ( )

12 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 1 2 ,2 2 ,2 1 2 ,2

... ...

N N N N n N n N N N N N

N N N N N n N n N N N NN

K K K K K K K

K K K K K K K K

0 0 0 0 0 1 0 0T

elP K k

ή πιο αναλυτικά

Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας λόγω ελαστικής στήριξης

Τροποποιημένη εξίσωση ισορροπίας

111 12 13 14 1,2 1 1,2 1,2 1 1,2(1)

221 22 23 24 2,2 1 2,2 2,2 1 2,2

1 31 32 33 34 3,2 1 3

... ...

n n N N

PK K K K K K K K

P K K K K K K

3,2 1 3,2

41 42 43 44 4,2 1 4,2 4,2 1 4,2

2 1,1 2 1,2 2 1,3 2 1,4 2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 1 2 1,2

2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 1 2 ,2 2 ,2 1 2 ,2

... ...

: : : : : : : : :

... ...

: : : : : : : : :

n n N N

n n n n n n n n n N n N

n n n n n n n n n N n Nel

K K K K K K K K

K K K K K K K Kk

2 1,1 2 1,2 2 1,3 2 1,4 2 1,2 1 2 1,2 2 1,2 1 2 1,2 ( )

12 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 1 2 ,2 2 ,2 1 2 ,2

... ...

N N N N N n N n N N N N N

N N N N N n N n N N N

K K K K K K K

K K K K K K K K

και επομένως

Εφαρμογή - ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΜΗΤΡΩΟΥ

Τροποποίηση υπομητρώου

(3,3) καθολικού μητρώου

στιβαρότητας δικτυώματος

λόγω ελαστικής στήριξης

2 211 12

8 811 1

3 333 34

k jk jkjj k

244 elkkkk

Τροποποιημένο καθολικό

μητρώο στιβαρότητας

δικτυώματος λόγω ελαστικής

στήριξης (1η τροποποίηση)

50623.90

7761.50 53651.97

0 0 50623.90

0 46666.67 7761.50 53651.97

42000.00 0 8623.90 7761.5

83651.97

0 92623.90

0 0 7761.50 6985.30 7761.50

8623.90 7761.50 42000.00 0 0 0 67871.90

7761.50 6985.30 0 0 0 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6666.67 7761.50 67622.97

0 0 0 0 42000.00 0 17248.00 15523.00 59248.00

0 0 0 0 0 0 15523.00 13971.00 15523.00 13971.00

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΛΟΓΩ ΛΟΞΗΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

Μητρώο περιστροφής (μετασχηματισμού)

των επικόμβιων δράσεων ή των επικόμβιων

μετατοπίσεων του κόμβου 2

2 cos30 sin 30

sin 30 cos30

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

cos30 s

sin 30 cos3

RΈνταξη μητρώου περιστροφής

(μετασχηματισμού) του κόμβου 2

σε μητρώο περιστροφής του

συνόλου του δικτυώματος

ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΛΟΓΩ ΛΟΞΗΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ

Τροποποιημένο καθολικό

μητρώο στιβαρότητας

δικτυώματος λόγω λοξής

στήριξης (2η τροποποίηση)

50623.90 7761.50 0 0 42000.00 0 8623.90 7761.50 0 0

7761.50 53651.97 0 023333.34 40413.34

23333.34 44657.23 2569.25 3587.55

1.50 6

8.81 36372

40413.34 2

569.25 59614.05 1

30 0 0

0 0 0 0

0 1033

1 2 3' 4' 5 6 7 8 9 10

42000.00 0 92623.90 7761.50 0 0 42000.00 0

0 0 7761.50 83651.97 0 46666.67 0 0

8623.90

.41 9930.02 21000

3587.55 11033.41

3228.81 9930.02

367761.50 0 0 67871.90 7761.50 17248.00 15523.00

7761.50 6985.30

372 2 000

46666.67 7761.50 67622.97 15523.00 13971.00

0 0 0 0 42000.00 0 17248.00 15523.00 59248.00 15523.00

0 0 0 0 0 0 15523.00 13971.00 15523.00 13971.00

Εφαρμογή - ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΟΛΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

Τροποποιημένο διάνυσμα ολικών επικόμβιων

δράσεων λόγω λοξής και ελαστικής στήριξης

δ=2cm kel

(4) 71

Εφαρμογή - ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Τροποποιημένο διάνυσμα ολικών επικόμβιων

μετατοπίσεων λόγω λοξής και ελαστικής στήριξης

δ=2cm kel

(3)551

7(4) 71

1 1010(5

Εφαρμογή - ΜΟΡΦΩΣΗ ΜΗΤΡΩΟΥ ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗΣ

δ=2cm kel

3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

( free )

(sup ported )

0 0 0 9

0 0 0 0 0 0 0 01 0 10

Μητρώο αναδιάταξης δικτυώματος

mm mP V P mm mV

Τροποποιημένα (λόγω αναδιάταξης)

διανύσματα επικόμβιων δράσεων και

μετατοπίσεων δικτυώματος

δ=2cm kel

mm mP V P mm mV

Τροποποιημένα (λόγω αναδιάταξης) διανύσματα

επικόμβιων δράσεων και μετατοπίσεων δικτυώματος

Εφαρμογή - ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

Τροποποιημένο (λόγω αναδιάταξης) καθολικό

μητρώο στιβαρότητας δικτυώματος

44657.23 -3587.55 3228.81 36372 0 0 0 0 23333.34 2569.25

-3587.55 92623.90 7761.50 0 0 42000.00 0 42000.00 0 11033.41

3228.81 7761.50 83651.97 0

ff fsT

K V K VK K

3' 5 6 7 8 9 10 1 2 4'

46666.67 0 0 0 0 9930.02

36372 0 0 67871.90 7761.50 17248.00 15523.00 8623.90 7761.50 21000

0 0 46666.67 7761.50 67622.97 15523.00 13971.00 7761.50 6985.30 0

0 42000.00 0 17248.00 15523.00 59248.00 15523.00 0 0 0

0 0 0 15523.

00 13971.00 15523.00 13971.00 0 0 0

0 42000.00 0 8623.90 7761.50 0 0 50623.90 7761.50 0

23333.34 0 0 7761.50 6985.30 0 0 7761.50 53651.97 40413.34

2569.25 11033.41 9930.02 21000 0 0 0 0 40413.34 59614.05

Εφαρμογή - ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

Επίλυση –

f ff f fs sK P K

s sf f ss sP K K

(4)7 1

110 (5)

0.0334

0.0020

0.0036

0.0277

0.0044

0.0021

0.0326

131.33

110.18

255.73

(3) (3)2 6 2elR R k

ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ

ΥΠΟΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΣΕ ΕΝΔΙΑΜΕΣΑ

ΦΟΡΤΙΑ

5.0 5.0

ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ ΥΠΟΒΑΛΛΟΜΕΝΟ ΣΕ

ΕΝΔΙΑΜΕΣΑ ΦΟΡΤΙΑ

Επαλληλία «παγιωμένου» και «ισοδύναμου» φορέα

Αρχικός φορέας

δ=2cm kel

5.0 5.0

δ=2cm

5.0 5.0

Παγιωμένος φορέας Ισοδύναμος φορέας

0 15oT

Δράσεις

παγίωσης

Παγιωμένοι

κόμβοι

δ=2cm

5.0 5.0

Παγιωμένος φορέας

Επαλληλία «παγιωμένου» και «ισοδύναμου» φορέα

5.0 5.0

Ισοδύναμος φορέας

• οι άγνωστες επικόμβιες μετατοπίσεις του πραγματικού φορέα ταυτίζονται με αυτές

του ισοδύναμου (μια και οι αντίστοιχες του παγιωμένου φορέα είναι μηδενικές)

• οι άγνωστες αντιδράσεις του πραγματικού φορέα ταυτίζονται με αυτές του

ισοδύναμου

• οι άγνωστες εσωτερικές δράσεις των μελών του πραγματικού φορέα προκύπτουν

ως επαλληλία των αντίστοιχων δράσεων τόσο του παγιωμένου όσο και του

ισοδύναμου φορέα.

Υπολογισμός δράσεων παγίωσης

δ=2cm

5.0 5.0

2 1 2 2

kTk k k

r PT rk

4 1 4 4

kTk k k

r PT rk

6 1 6 6

kTk k k

r PT rk

7 1 7 7

jTj j j

r rPTj

(4) 2 4 6 70

k k k jr r r rS A A A A

Κόμβος 4

Καθολικές ακραίες δράσεις

μελών κόμβου 4

Εξίσωση ισορροπίας κόμβου 4

kA A 4 4kk

r rA A

2 2kkr rA A

Υπολογισμός δράσεων παγίωσης

δ=2cm

5.0 5.0

(4) 2 4 6 7

0k k k j

r r r rS A A A A

Κόμβος 4

Εξίσωση ισορροπίας κόμβου 4

οι δράσεις παγίωσης σε κάθε

κόμβο του παγιωμένου φορέα

του δικτυώματος είναι ίσες με το

άθροισμα των καθολικών

ακραίων δράσεων των άκρων

των μελών που καταλήγουν

στον κόμβο αυτόν.

kA A 4 4kk

r rA A

2 2kkr rA A

δ=2cm

5.0 5.0

Εφαρμογή - ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΙΚΤΥΩΜΑ ΥΠΟΒΑΛΛΟΜΕΝΟ

ΣΕ ΕΝΔΙΑΜΕΣΑ ΦΟΡΤΙΑ

Ανάλυση παγιωμένου φορέα - Τοπικές ακραίες

δράσεις μελών

Μέλη του παγιωμένου φορέα,

υποβαλλόμενα σε κεντροβα-

ρική θερμοκρασιακή φόρτιση

5 5 515

5 5 551

r k kr c

T E AFA

AA T E AF

6 6 616

6 6 661

r k kr c

T E AFA

AA T E AF

0 15oT

υποβαλλόμενα σε αλλαγή

μήκους

1 1 1 1 111

/ 933.33

933.33/

r k kr

E A LFA

AA E A LF

6 6 6 6 616

2sin(41.987)6

6 6 6 6 661

/ 208.83

208.83/

r k kr

E A LFA

AA E A LF

Ανάλυση παγιωμένου φορέα - Τοπικές ακραίες

δ=2cm

5.0 5.0

δ=2cm

5.0 5.0

υποβαλλόμενα σε ενδιάμεση

φόρτιση

0 15oT

Ανάλυση παγιωμένου φορέα - Καθολικές ακραίες

933.33

15.75 208.83 193.08

933.33

r PT rA A

11.7069

10.5362

11.7069

10.5362

r PT rA A

143.51

129.16

143.51

129.16

r PT rA A

Τοπικές ακραίες δράσεις

Καθολικές ακραίες δράσεις

δ=2cm

5.0 5.0

φόρτιση

0 15oT Ανάλυση παγιωμένου φορέα - Υπολογισμός

δράσεων παγίωσης

1 1 3 6 143.51

1062.49

j j jr r rS A A A

2 1 4 5 11.7069

922.79

k j jr r rS A A A

3 2 3 5 8 11.7069

10.5362

j k k jr r r rS A A A A

4 2 4 6 7 143.51

129.16

k k k jr r r rS A A A A

5 7 8 0.0

k kr rS A A

δ=2cm

5.0 5.0

φόρτιση

0 15oT Ανάλυση παγιωμένου φορέα - Υπολογισμός

δράσεων παγίωσης -Τροποποίηση δράσεων

παγίωσης λόγω κεκλιμένης στήριξης στον

κόμβο 2

(2) (2)3 11

(2) (2)4 22

cos30 sin 30

sin 30 cos30

cos30 sin 30 11.7069 471.53

922.79 793.31sin 30 cos30

2 1 4 5 11.7069

922.79

k j jr r rS A A A

Αρχικές δ.π.

Τροποποιημένες δ.π.

Διάνυσμα επικόμβιων δράσεων

Τροποποιημένα και αναδιατεταγμένα

διανύσματα επικόμβιων μετατοπίσεων

και δράσεων δικτυώματος

50 471.53 421.53

11.7069 11.7069

10.5362 10.5362

143.51 143.51

100 129.16

167.24

185.82

143.51

1062.49

793.31

mm mm mms

P P SP

229.16

167.24

185.82

143.51

1062.49

793.31

5.0 5.0

Διάνυσμα επικόμβιων

Τροποποιημένα και αναδιατεταγμένα

διανύσματα επικόμβιων μετατοπίσεων

και δράσεων δικτυώματος

(2)(2)1'1'

(3)(3)11

(3)(3)22

(4)(4)11

(4)(4)22

(5)(5)11

(5)(5)22

έχει τεθεί μηδενικό

παρά την

κατακόρυφη

υποχώρηση της

στήριξης του κόμβου

1 του δικτυώματος,

μια και η φόρτιση

αυτή έχει ήδη ληφθεί

υπόψη στον

παγιωμένο φορέα

5.0 5.0

Επίλυση –

f ff f fs sK P K

s sf f ss sP K K

(3) (3)2 6 2elR R k

0.0169

0.0095

0.0077

0.0089

0.0131

0.0184

0.0371

434.91

508.52

621.94

Μόρφωση διανύσματος επικόμβιων μετατοπίσεων

κατά τους ελεύθερους β.ε.

(2)(2)

cos sin

sin cos

cos30 sin 30 0.0169 0.0146

0 0.00845sin 30 cos30

(4) 71

0.0146

0.00845

0.0095

0.0077

0.0089

0.0131

0.0184

0.0371

Τροποποίηση μετατοπίσεων στον κόμβο 2

λόγω κεκλιμένης στήριξης

Διάνυσμα

επικόμβιων

ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΕΛΩΝ

Υπολογισμός εσωτερικών εντατικών μεγεθών

μελών δικτυώματος

δ=2cm kel

ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΕΛΩΝ

i i i irA A k D

ii i i ir PTA A k D

Tο καθολικό μητρώο ακραίων

μετατοπίσεων μπορεί να

μορφωθεί γνωρίζοντας από την

επίλυση της σχέσης στιβαρότητας

το μητρώο των καθολικών

επικόμβιων μετατοπίσεων του

δικτυώματος και λαμβάνοντας

από αυτό τα κατάλληλα στοιχεία

ανάλογα με τους κόμβους άκρων

του μέλους i .

Υπολογισμός εσωτερικών εντατικών μεγεθών μελών δικτυώματος

Εφαρμογή - ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

538.9966

252.00

239.40

399.00

46.9695

415.3334

280.7707

-399.00 -415.33

239.40

δ=2cm kel

5.0 5.0

Αξονικές δυνάμεις μελών

επίπεδου δικτυώματος

ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ - ntuausers.ntua.gr/cvsapoun/2-plane trusses.pdf ·...

Documents

engineering mechanics - iit...

Γενικευμένα mονοβάθμια...

homework 7 - deukisi.deu.edu.tr/emine.cinar/b16...

24-01-2019 7-15.pdf · ΕΠΙΠΕΔΑ ΚΥΚΛΟΥ...

ΣΤΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΥΚΝΩΣΗ -...

trusses: cohesive subgraphs for social network...

field testing and analysis of aluminum highway sign...

ΣΤΕΡΕΟΙ ΚΟΜΒΟΙ -...

new glass railing system “thorakas”...

ΕΠΙΠΕΔΑ Α1 Α2 1. ¡hola! ¿cómo………………...

as 4440-2004 installation of nailplated timber roof...

plane trusses -...

nonlinear torsion-shear - fi -...

what is a truss - angelo filomeno mech 7 -trusses.pdf ·...

∆ιδάσκων ΕΙ...

prof. suvranu de - rensselaer polytechnic...

∆ιδάσκων ΕΙ...

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ...

ΧΩΡΙΚΑ...

laguna - renault greece · ΣΤΟ ΔΡΟΜΟ. ΤΑ...