小学 学 洛€¦ · 的历史相似性 ，因此本节课以周期函数概念的形成...

中小学数学 课堂教学研究

２０ １ ８年 １ １ 月 下旬 （高中 ）

上 洛ｆ 年 东 坪 苽 大 学 附属 东 昌 中 ｆ （ ２００ １ ２０ ） 向

上 滲大学 附属 中 ｆ （２０ １ ９００ ）

华 东 呷 艽大 学Ｉｆ 科 ｆ ｔ 芪 （２００２４ １

）

１ ． 引 言

‘ ‘

周 期 函数”

是上海教 育 出 版社 《数 学 》高一

（ 下 ）

第 ６章“

三角 函数”

中 的一

节 内容 ． 教材从三角诱导公

式ｓ

ｉｎ

（； ｃ ＋ ２Ａ ：ＴＴ

）

＝ｓ ｉｎ ａ：

（Ａ： ｅ Ｚ

）出 发 ， 让学生体会

ｓｉｎ

；ｔ值的

重复 出 现 ： 为 了 定量地描述周期性变化规律 ， 直接引

入周期 函数概念 ． 教 学实践表 明 ， 关于周 期函数概念 ，

学生有 以 下困惑 ： 周 期函数较为成熟的形式化定义是

如何形成的 ？ 周 期函数一

定存在最小正周 期吗 ？ 周

期函数 的定义域是无界 的吗 ？ 按照教材 ， 直接 引 入周

期函 数 的定义 ， 无法解决上述 困 惑 ． 另一

方面 课标”

在“

课程结构”

中 指 出 ，

“

把数 学文化融入课程 内 容

中”

， 在“

教学建议”

中要求 ：

“

在整个数学教学中 ， 教师

应当有 意识地结合相应 的教学内 容 ， 引 导学生 了解数

学的发展 ， 认识数 学在科学技术 、社会发展 中 的作用 ，

体会数学 的科学价值 、应用 价值和 文化价值 ，

提升学

生的 科学精神 、应用 意识和 文化素养 那 么 ， 在周 期

函数概念的教学中 如何渗透数学文化 ， 让学生体会数

学的文化价值 ？ 这个问题需要通过实践来解决 ．

周期函 数概念有着 曲折的发展历史 ， 反映 了历 史

上人们对该概念的认识经历 了 从不完善到完善 的过

程 ． 我们希望在课堂上再现这一

过程 ， 解决 学生心 中

的困惑 ， 促进他们对概念的深刻理解 ； 另一

方面 ， 通过

数学 史的融入 ， 掲示 周期 函数背后 的文化价值 ， 让学

生树立正确的数学观 ， 感悟数学背后的理性精神 ．

基于上述思考 ， 我们釆用 Ｈ ＰＭ 的视角来设计本节

课的教学 ． 具体的教学 目标如下 ：

（ １ ）了 解周 期 函数与周 期现象 的联系 ， 经历 周期

函数概念抽 象概括的过程 ， 培养数 学抽 象 的数 学素

养 ：

（ ２ ）理解并 牮握 周 期 函数 的 定义 ，加深对周 期 函

彔

沈 中 ｔ

数本质属性的理解 ， 理解最小正周 期的意义 ；

（ ３ ）经历正 、余弦 函数周期性的证明 过程 ，体会特

殊到一

般再到特殊的研宄方法 ；

（４ ） 能够总 结概括形如ｙ

＝／ ｌ ｓ ｉ

ｎ（ｗ ； ｉｃ

＋ ＜

＃＞

）、 ｙ

＝；４ ｃｏｓ

（〇？

＋ ＜

／＞）此类 函数的最 小正周 期的求法 ，体会数学推广

的意义 ．

（ ５ ）理解数学活动的本质 ， 体会数学 的文化价值 ，

树立动态的数学观，感悟数学 背后 的理性精神 ．

２ ． 历史材料及其运用

１７ ４８ 年 ， 欧拉 （ Ｌ ．Ｅ ｕ ｌｅ ｒ， １ ７０７

－

１ ７ ８３ ）在 《无穷分析

引 论 》 中 ， 将函数确立为分析学 的最基本的研究对象 ．

在“

来 自圆 的超越量”一

章中 ， 欧拉重新审视 了前人的

定理 、 公式 、 方程和计算 ， 研宄了 周 期性 ． 虽然欧拉没

有 明确提 出三角 函数 的周 期性 ，但他利用 曲 线的性态

表征 了正弦函数的周期性 ．

历史上 ， 人们对三角函数周期性 的认识过程可 以

分成萌芽时期 、 描述性定义时期 、形式化定义时期三

个阶段 ．

２ ．１ 周期 函数概念的萌芽

在 历史上，周 期函数 的 出现与 周期现象有关 ． 在

我们所考察的美英三角学教科书中 ， 最开始描述的周

期现象都与 时间有关 ， 例如 Ｋｅｉ ｔ ｈ （ １ ８ １ ０ ） 对一

天给出

了 明确 的描述 ： 由 任何一

天离开子午线 ， 直至第二天

返 回 同一

子午线的时间 间隔被称为太阳 日 ． 太阳 日 因

黄赤交角 以及地球 的变速运动而连续变化 ． Ｂｏ ｎ ｎｙ

－

Ｃａｓ ｔ ｌ ｅ （１ ８ １ ８ ）给出 了

一

月 的定义 ： 月 份是月 亮重新回

到 刚开始升起时 那一

点所需经 历的 周期 ， 由 ２７ 天组

成 ． 在此时期 ， 周 期与 时间 的变化有着密 不可分 的联

系 ， 物体重 复经过一

个位置的时间间隔称之为周期 ．

在萌 芽时期 ， 三角学 教科书大多 从天体 的运动 出

＊本 文 是华 东 师 范 大学 ＨＰＭ工作 室 系 列课例之 一 ．

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２０ １ ８年 １ １ 月 下旬 （髙 中 ）

发来研宄三角函数的周 期性 ， 但均未明确提出周期 函

数概念 ．

２． ２ 三角函数周期性的描述性定义

Ｌａｒｄｎｅｒ （ １ ８２ ８ ）给出 了 三角函 数的终边定义 ， 进

而给 出 了三角 函数周期的概念 ． 在直角坐标系 中 ， 角

的终边绕原点旋转 ３６０°

后回到原来的位置 ， 因而终边

相同的角的同一三角 函数值相等 ， 作者以此来刻画三

角函数的周期性 ．

这里 ， 周期的定义仅仅是描述性的 ， 并未采用符

号语言 ．

２． ３ 周期函数的形式化定义

Ｂｒｅｎｋｅ （ １ ９ １ ７ ）给出 了较为成熟的形式定义 ： 当角

度 ＊增加或减少 ３６０°

的整数倍时 终边的位置不变 ，

即对任意 的 ＊有 ： ／（＊

）

＝

／（

＊ ± ｎ －

３６０°

）， 其中 ／为任

一

三角 函数 ．

之后 ， 数学家逐步将以三角 函数为背景的形式化

定义一

般化 ， 最终发展成一般周期 函 数的形式化定

义 ． 分别有 ：

１ ８９９年 ， 加拿大数学家穆雷 （ Ｄ ． Ａ

． Ｍｕｒｒａｙ ，１ ８６２－

１９３ ４ ）在“

终边相同角 的三角函数值相等”

以及诱导公

式的基础上 ， 给出 如下周 期函数的形式化定义 ：

一

般

地 ， 对 于 函数 ／（＊

）， 如果存在常数 ｉｔ

，对任意 ＊ 都有

／（＊）

＝／（＊ ＋ ｆｔ）

， 那么 函数 ／（＊） 就叫做周期 函数 ， 而满足

该等式的最小 的数 称为该函数的周期 ．

１９０４年 ，美国数学家博汉南 （Ｒ ．Ｄ ． Ｂｏｈａｎｎａｎ，１ ８５ ５

－

１ ９２ ６）给出如下定义 ：若厂 ｆ（＊）

，且满足尸（＊

，）

＝＋／〇

，

则有 ：

Ｆ（ｘ ，）

＝ Ｆ｛Ｘ ｌ

＋ｈ）

＝ Ｆ（ｘ，

＋２ｈ）

＝ Ｆ｛ｘ ，

＋３ｈ ）

＝Ｆ（ｘ

ｔ

＋４ｈ）

＝Ｆ（ｘ

ｘ

－

ｈ）

＝Ｆ

（ｘ

，

－

２ｈ）

＝Ｆ

｛ｘ

ｔ

－

３ｈ）

即对于函数 ／帕 ， 如果存在非零整数ｎ ， 对任意一

个 ＊ ， 都有 ＋这样的 函数称为周期函数 ，

其中 Ａ为周期 ．

１ ９４０年 ，美国数学家德累斯顿（Ａ ． Ｄｒｅ ｓｄ ｅｎ，

１ ８８ ２－

１ ９５ ４ ）在定 义周 期函数时 ， 关注到 了 函数的定义域 ：对

于定义域为 Ｒ （并非特指实数集 ） 的函数 ／（＊

）， 如果对

任意一

个 均有尤和 戈 ＋Ｐ属于Ｒ ，且满足 ／（

＊ ＋／＞

）

曰／（＊）

，

则称 ／Ｍ 为周期为Ｐ的周 期函数 ．

实际上 ， 以上三个定义代表着形式化定义从不完

善到完善的过程 ， 穆雷的定义没有强调周期 是非零

的 ，博汉南对周 期 函数的定义域有 了一

定要求 ， 而德

累斯顿则明确提出 了周期 函数的定义域 ．

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中小学数学

教学实践表明 ， 学生对周期 函数的认知呈现一定

的历史相似性 ， 因此 ， 本节课以周期函数概念的形成

为脉络 ，利用重构 、复制 、附加 的方式将相关的历史素

材融入到教学之中 ．

３ ． 教学设计与实施

３ ． １ 引 出主题，

以学定教

师生共同 阅读教材中 的引 言 ：

“

三角函数也称为

圆函数 ， 它来 自 圆周运动 ， 而 圆周 运动是一

种周 而复

始的周期运动 ． 三角 函数是重要的周 期函数模型 ？

”

进

而提 出 问题 ： 三角 函数会具有什么样的周 期性呢 ？ 从

而引 出本节课的研宄主题 ： 正弦 、余弦函数的周期性 ．

在本节课之前让学生预 习 ， 根据预 习情况 ，汇总

学生的问题如 下 ：

（ １ ）周期函数与诱导公式是否有关系 ？

（ ２ ）是否三角型 函数都是周期函数 ？

（ ３ ）周期性存在于哪种类型的函数 ？

（ ４ ）为什么规定周期函数的周期 ？

（ ５ ）周期函数的定义域有什么特性 ？

（ ６ ）求三角 函数的周期有一

定规律吗 ？

（ ７ ）周期性如何结合其它性质 ？

（ ８ ）能否用 函数周期性去推导函数其它性质 ？

３． ２ 问题探究 ，概念初探

基于以上学生的疑惑 ， 教师启发学生进入对函数

周期性的探索 ．

师 ： 同学们通过阅读教材 内 容都有 了一

定的 思

考 ，非常好 ！ 那么接下来就让我们共同进入到新知识

的学习过程中 ， 看看我们是否都能够圆满地解决这些

问 题 ？

通过 ＰＰＴ 呈现两个问题 ， 学生分组讨论 ， 交流互

动 ．

问题 １ ： 你是否 能够举出 自然界 以及现实生活中

的周期性现象 ？ 请对其特征进行概述 ？＊

问题 ２ ： 你能 否举 出数学知 识 中 的周 期性现象 ？

请对其特征进行概述？

学生对问题 １ 的回答 ：

？ 生 １ ： 哈雷薏星周期 ７６年 ．

生 ２ ： 自动扶梯上去下去的时间 间隔 ．

生 ３ ：地球的公转和 自传 ．

教师进一步要求概括这些现象的特征 ．

师 ： 能概括一

下它们的特征？

生 ：所有的都是每隔一

定 的时间会重复出现 ．

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中小学数学

鹿堂教学研究

２０ １ ８年 １ １ 月 下旬 （高中 ）

学生对问题 ２ 的回答 ：

生 １ ： 无限循环小数 ，例 如Ｉ

生 ２ ： 还有终边相同的角 ， 角的周而复始的变化 ．

教师进一

步归纳 出周 期现象 的特征 ， 并将其与函

数 的周期性相联系 ．

师 ： 非常好 ， 存在一

个固定的 间隔 ， 大家发现 了周

而 复始的规律 ， 这就是周 期现象 ． 又如 能被 ３ 整除余 １

的正整数 ， 分别为 １ 、 ４ 、 ７ 等等 ． 那么 函数会有周 期性

吗 ？

生 ： 随着角 的 终边周 而 复始地变化 ， 三角 函 数值

也周而复始地变化 ， 因此 ， 三角 函数有周期性 ．

师 ： 在历史上 ，三角 学最早只是天文学的工具 ，

后

来脱离天文学 ， 而成为几何学 的一

部分 ； 再后 来发展

成 为一 门 独立 的学科 ， 用于解平面三角形以及实际测

量 问题 ： 最终 ， 三角学的 功能进一

步拓广 ，被用于研宄

自然界 的周 期 现象 ． 我们今天学 习 三角 学 ， 重 点研究

的就是周 期性 ． １ ７４８年 ， 欧拉在 《无穷 分析 引 论 》 中提

出 了 三角 函数 的周 期性 ． 此后 ， 数学家在探索 各种 周

期 现象 的过程中 ， 逐渐将其与三 角 函数联 系起来 ． 我

们今天从认识 自然界的 周期现象到 揭示数学 中 的周

期现象就是这样一

个认知过程 ．

３ ． ３ 深入探索 ，概念生成

接着教师提出第三个 问题 ，对函数的周期性进行

探索 ．

第三个问 题 ： 判断 该函数 图像是否具有周 期性现

象 ，你能否运用 数学语言进行描述？

师 ： 先看第一

张 图 （ 见 图 １ （ １ ））

， 你们能否用 语言

来刻画描述其中 的周期性现象呢 ？

生 ： 每隔 ２ｔｔ 个单位图像会重复一

次 ．

师 ： 很好 ！ 第一

张 图我们 己经很熟悉 ， 物理课上

老师 已经告诉我们正 弦函数图 像是具有周期性的 ． 那

么 除 了 正弦 函数外是 否还有其他的 函数也 具有周 期

性 ， 这是一

个非常值得研宄 的问题 ． 请看第二张图 （ 见

图 １⑵ ）？

师 ： 同学们 ， 你们认为它 是否存在周期现象？

生 ： 具有周期现象 ，也是存在规律周而复 始 、重复

出现 ． 每经过 ２个单位图像会周 而复始 ．

师 ： 回到我们的第三个 问 题 ， 能否进一

步 用数学

符号语言来刻 画这种规律性呢 ？ 相较前两个问题 ， 这

个问 题是有难度的 ． 我们可以找到 问题解决的办法 ，

我们 知道函数的基本构成元素是点 ， 那么 能否从点的

变化来刻画这种周 而复始 的规律 ？ 让我们来看看 点

的变化？

生： 设 图像上任意 点的坐标为ｈ ｙ）

， 则点（＊

＋ ２

， ｙ）

也在该函数图像上 ．

师 ： 那也就意味着若 点的横坐标的差值是 固定值

２ 时，其点 的纵坐标值不变 ， 则此时 ／（

＊＋

２）

＝／（

＊）成立 ，

那我们就称该 函数是周期 函数 ， ２是它 的周期 ． 这个过

程就是一

个数学抽象的过程 ． 是不是可 以推广给 出周

期函数的定义 了 ？

生： 给定 函 数 ｙ

＝／（＠，

；ｉ： ． ｅＤ， 如果成立 ／（ｘ

＋ ｒ

）

＝

／问（７ｖ ｏ

），那么称 ／〇

？：

）是周期函数 ， ｒ是它的周期 ．

通过 问题辨析 ， 讲解 明确周 期 函数定义 中 的关键

字词 ．

师 ： 请 同学们注意周 期 函数定义 中 的两性 ： 存在

性 （存在非零常数 ｒ ）； 任意性 （定义域 ｄ 中的任意 ＊都

满足定义式 ） ． 在 以上的讨论过程中我们 同学提 出 的

一

些 问题是否 已得到 了解决 ？ （ 如 ｒ非零的 问题 、与诱

导 公式 的关系 ） ， 还有哪些 问题我们需要再继续 ？ （ 如

对周期函数定义域 ｄ 的要求 ）

３ ． ４ 古今对话 ， 难点突破

基于学生探究得到 的周期函数 定义 ， 教师利用与

数学家对话的形式进一

步对定义 中 的难点进行突破 ．

师 ： 最早提及周 期概念的是欧拉 ， 欧拉在 １ ７４ ８年

在 《 无穷 分析 引 论 》 中涉及 了一

个周 期性行为 （ 见 图

２ ） ． 之后从 １ ７４８年至 １ ９４ ０年 ， 无数 的数学 家和 数学爱

好者们前后花 了 ２ ００年的时间逐步开展并完善对周期

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中小学数学课堂教学研究２０ １ ８年 １ １ 月 下旬 （髙中 ）

函数 的研宄 ， 而今天在课上我们只用 了２ ２分钟就研宄

了 周 期 函 数的定 义 ． 对 于历 史我们应该是敬 重的 ． 接

下来就让我们与三位数学家对话 （ 呈现三个数学家的

资料 ） ．

图 ２

史料 ｈ 加拿大数学家 穆雷于 １ ８９９ 年给出 如下 定

义 ：

一

般地 ，对于 函数 ／Ｍ ， 如果存在常数 ｆｔ ， 对任意一

个＊ 值 ， 都有 ／问＝／（

＊＋ 幻 ， 那么 函数 ／（４ 就叫 做周 期

函数 ， 而满足该等式成立的最小 的数 ｆｃ称为该函数的

周期 ．

师 ： 你觉得这个定义与我们刚才所学 的定义有什

么不同吗 ？ 或者有什么不完善之处 ？

生 １ ： 没有对定义域作 出要求 ．

生 ２： 没有强调 ／ｔ 是非零的常数 ．

生 ３ ： 这里谈到是最小 的数 Ａ ， 我认为没有最小 的

数 ， 只有最小的正整数 ．

师 ： 生 ３ 的关注非常细致 ， 实际上提 出 了一

个非常

好 的 问 题 ， 如果一

个函 数有 周 期 ， 就一

定有最小正周

期吗 ？ 我给大家举一

个例子 ： 常值 函数 ，常值函 数是

不是周期 函数 ？ 但是常值函数的周 期为任意常数 ．

师 ： 此外 ， 请同学们继续思考另一

个问题 ： 函数的

周期可 以是负数吗 ？ 最小 的数 那是不 是意味着这

个函数肯定能找到那个最小的 ｆｃ？

史料 ２ ： 美国 数学家博汉南于 １ ９０ ４年给 出 了 以下

定 义 ： 若 函 数 满 足 作 ，卜 ／＾ ＋句 ， 则 有

Ｆ（ｘ

ｔ）

＝Ｆ

（

ｘ，

＋ ｈ）

＝Ｆ

（ｘ

，

＋２ｈ）

＝Ｆ｛ｘ

，

＋

３／ｉ）

＝Ｆ

（

ｘ，

－ ｈ）

＝Ｆ

（

ｘ，

－

２ｈ）

＝ ，Ｓ 卩对于函数 ／问 ， 若存在非零整数ｎ

， 对任

意一

个 ＾：值 ， 都有 尸（

＊）

＝ ／＾

＋以） ， 则这样 的函数称为

周期函数 ， 其 中 ／ ｉ为周期 ．

生 ： 仍然未强调 ／＾ 是非零的 ， 但对定义域好像有 了

说明 ， 是不是可 以往两侧无限延伸 ？

师 ： 这个发现非常有价值 ， 老师举一

例 ：

ｙ

＝Ｓ ｉｎ ：ｃ ，

卜 ４Ｔ７，４Ｔｒ

ｊ

， 请问该函数是周期函数吗 ？

生 ： 疑惑 ， 当找到 ｒ＝ ２ｉｒ 不满足 ＊ 的任意性 ， 所以

该 函数不是周期函数 ．

师 ： 现在大家发现周 期 函数定义域的限定条件了

吧 ． 如果一

个函 数 的定义域有界 ， 它一

定 不 是周 期函

数 ．

师 ： 请同学们 回去研读第三份历史 资料一一美 国

数学家德累斯顿于 １ ９ ４０给出 的周期 函数 定义 ， 体会在

周期函数定义中的 四个关键要素 ： 定义域单边无界或

双边无界 、存在性 、 任意性 、定义式 ．

师 ： 为什么要研宄周 期性 ， 它 是一

种科学 的态度

和方法 ， 有 了 最 小正周 期就可 以把整段全局上的 问题

缩 小到一

个有限的 区间上进行研宄 ， 其它单位区 间上

的性质也可 以进行刻画 ．

通过这些互动交流 ， 在周 期 函数概念学习 过程中

的难 点问题也迎刃而解 ， 周 期函数的定 义域Ｄ 是有限

定的 ， 至少要一

端无界 ． 对于常数 Ｔ 的要求一

定要是非

零的 ．

３． ５ 练习巩固 ，概念强化

首先 ，要求学生会运用周期 函数的概念证明正弦

函数和余弦函数的周期性 ，并知晓其最小正周 期 ．

其次通过 以 下练 习 ， 解 决形如 ｙ

＝４ ｓ

ｉｎ

（ｏ＾

＋咖 、

ｙ

＝／

ｌｃ〇 Ｓ

（

６Ｍ ： ＋４

）

）

—

类的函数最 小正周期的方法 ．

【练 习 １ 】 求下列 函数的周期 ： ／（＊）

＝８ ｉ

ｎ

（

＊＋

｜）

．

【练 习 ２ 】 求下列函数的周期： ／Ｗ

＝３ ｓ ｉｎ

〔！

＋

｜ ）

．

通过以上练习让学生总结 出 此类三角 函数求最

小正周期的一

般方法 ．

３ ． ６ 总结提升 ， 知识升华

最后对本节课所学 习 的 内容进行总结提升 ， 对应

学生在课前 提 出 的问 题 ， 本节课基本解决 了学生的疑

惑 ．

在概念生成的过程中 ， 我们发现了 周 期 函数与诱

导 公式之间有着紧密 的联系 ， 诱导公式初步刻画 了三

角 函数的周 期性 （对应问题 １ ） ， 因 此我们所学的 三角

函数其实都 是周 期 函数 （对应 问题 ２ ）， 但是 周期 函数

的范围 比三角 函数的 范围更广 ， 还有更一

般的周 期 函

数 （对应问 题 ３ ） ， 同时通过概念的辨析 ，我们 知道 了周

第 ４８ 页

中小学数学

课堂教学研究

２０ １ ８年 １ １ 月下旬 （高中 ）

期 函数的定义 中规定周 期 的 必要性 （对应问题

４ ）， 定义域必须要

一

端无界 （对应 问题 ５ ） ， 此外 ， 通过

巩固练 习 ，知道 了 如何求三角 函数的 周期 （对应问题

６ ） ， 至于周期性与其他性质 的关系 （对应问题 ７ 、 ８ ）， 同

学们可以课后进一

步探宄 ．

在本节课的最后 ， 教师呈现 了三角 函数周 期性的

思维导 图 （如 图 ３所示 ）， 此思维导 图将 ２ ００ 年的周期

函数发展史浓缩于此 ， 同时 与本节课所学的 内 容相呼

应 ， 让学生精神一篾 ， 我们的学 习其实在不断的经历

历史 、感悟历史 ．

４ ． 学生反馈

课后 ， 我们收集了 班级 ３６ 名学生对本节课的课后

反馈 ， 以下为课后反馈的统计结果 ．

问题 １ ： 己知函 数 的定义域为 Ｒ ， 下列 图像 （如 图

４ ）是周期 函数 的是 （ ） ．

（ Ａ ）

（ Ｄ ）（ Ｅ ）（ Ｆ ）

图 ４ 课 后反馈 问题 （ １ ）

大部分学生 （ ８ ３ ． ３％ ）选择 了 正确 答案 Ａ，但也有个

别学生选择 了 Ｃ 、 Ｄ 、 Ｆ等错误选项 ． 说 明学生对一

般周

期 函数的概念有一

定的理解 ．

问题 ２ ： 周 期 函数 的周期有 多少个 ？ 周期函数一

定存在最小正 周期吗 ？ 所有学生都回答有无数个周

期 ， 同时 ７７ ． ８％的学生回答不一

定有最小正周期 ． 说明

学生基本理解了周 期 Ｔ 以及最小正周期 的含义 ．

问题３ ： 因为ｓｉ ｎ

（？＋

０）

＝ｓｉ

ｎａ ： ，所以 ０是

ｙ＝

ｓ ｉｎ； ！：

（：＞ ：

ｅ Ｒ）

的周期 ． 所有学生都认为这一

说法是错误的 ，说 明 了

数学史融入周 期函数 的教学解决 了周期 Ｔ的非零性这

一

认知障碍．

问题 ４ ：

ｙ＝＊＞Ｍ（

＊ ｅ ［

－

３，３

］）的 图像 Ｃ如 图 ５ ）如下 ，

请判别其是否为周期 函数 ， 并说 明理由 ．

图 ５ 课后反馈问 题 （ ２ ）

７２ ． ２％的 学 生回答这不是周期 函数 ， 说 明对周期

第 ４ ９ 页

２０１ ８年 １ １ 月 下旬 （高中 ）

函数的定义域是至少单边无界的这一

性质掌握得还

是不错的， 大部分学生指 出 了 该函数定义域是有界的

问题 ．

问题 ５ ： 你认为这节课中 ， 数学史给了你什么帮助

与启示 ？ 对课上所呈现的历史上不同的定义 、思维导

图 中周 期函数的历史 ， 你有何看法？

学生给出 的部分回答如下 ：

？ 感觉三角函数中 的周期性很奇妙 ， 发现 了生活

中原来存在这么多关于周期性的现象 ， 增加 了我对数

学的好奇心 ．

？ 数学上一

开始出现的周期函数概念 ， 帮助我清

晰地看 出 周 期 中 的一 些知识 性错误 ， 比 如浚 有写

７Ｖ Ｏ， 没有写 Ｚ ） ＳＲ ，

让我以后不会犯这些错误 了 ．

？ 本节课印象最深的地方是数学老师让我们“

与

数学家们”

对话 ． 从 １ ８世纪开始 ，数学家始终在探索周

期 函数 ， 从许多不足到逐步完善 ， 包括定义域的有无

界性 ， 它使得我们有 了验证一

个函数是否为周期函数

的可能 ． 数学史上 ， 周 期函数概念开创至 比较完善 ， 用

了２ ００年时间 ， 经历几代数学家的斗争 ． 而我们在课上

不仅会用几堂课时 间来完成学习 ．．

？ 在学 习数学的过程中 ， 我们总不能一

步成功 ，

数学史让我们 明 白数学应当坚持不懈 ． 数学史的定义

让我们从各个角度分析了 数学学 习 ． 思维导图更直观

准确地展现 了 本节课知识点 ，很喜欢老师．

５． 结语

本节课从学生对周期 函数的困惑出发 ， 利用学生

对周期函数概念认识的历史相似性 ， 以周期函数的历

史发展为脉络 ， 利用 重构的方式将相关的历史素材融

入到教学之 中 ． 在 问题探宄 ， 概念初探环节让学生经

历三角 函数周期性的萌芽阶段 ， 在深入探索 ， 概念生

成环节中让学生从描述性定义时期过渡到形式化定

义时期 ， 最后在古今对话 ， 难点突破环节中采用历史

上数学家给 出的定义 ， 利用概念辨析的形式加深学生

对形式化定义的理解 ．

从生活中 的周期现象 出 发 ， 经历对周期 函数图像

的观察 ， 让学生 自 然归纳 出周期 函数的形式化定义 ，

然后通过历史上三个数学家不完善的定义的呈现 ，让

学生主动发现周 期函数概念中应注意到 的关键点 ， 让

周期函数的概念在学生心 中顺其 自然的发生与深化 ，

中小学数学

揭示了“

知识之谐 学生经历 了周期 函数定义的探宄

过程 ， 同 时通过历史上错误定义的呈现 ， 让学生对定

义中的不完善之处自 主探宄 ， 发现数学家们的千虑一

失 ， 让他们成为课堂的主人和小小数学家 ， 从而营造

了“

探宄之乐 让学生体会生活中 的周期现象 ， 从而

了解到周期 函数与现实生活 以及其他知识领域之间

的联系 ， 感悟数学文化的多元性 ， 用演进的思想看待

数学 ， 展示 了“

文化之魅 通过思雄导图呈现整个周

期 函数概念的历史发展脉络 ， 让他们认识数学概念的

演进历程 ，树立学生动态的数学观 ；让学生穿越时空

与历史上数学家对话 ，探宄数学家给出 的定义中 的不

严谨之处 ， 培养他们的质疑精神 ；同时 ， 让举生感悟数

学背后的理性精神 ， 培养学生勇于战胜困难的积极态

度 ， 从而实现“

德育之效

参考文献 ：

［ １ ］ 中 华人民共和国 教育部 ． 普通 高 中数学课程

标准 ［Ｓ ］ ． 北京 ：人 民教育出版社 ，２０ １７

［２ ］ 欧拉 ．无 穷分析 引 论 ［Ｍ］

． 太原 ：山 西教育 出

版社 １ ９ ９７ ．

［３ ］Ｋｅ ｉ ｔｈ，Ｔ．ＡｎＩｎｔｒｏｄｕｃ ｔ ｉ ｏｎ

＇

ｔｏｔｈｅＴｈｅｏ？

ｒｙ＆Ｐｒａｃｔ ｉ ｃ ｅｏｆＰ ｌ ａｎｅ＆Ｓｐｈｅｒ ｉ ｃａ ｌＴｒ ｉｇｏｎｏｍｅ－

ｔｒｙ ［Ｍ］ ．Ｌｏｎｄｏｎ ：Ｔ ．Ｄａｖ ｉ ｓｏｎ， １８ １ ０ ．

２４４

［４ ］ Ｂｏｎｎｙｃ ａｓ ｔｌ ｅ，Ｊ ．ＡＴｒｅａｔｉ ｓ ｅｏｎＰｌ ａｎｅ＆

Ｓｐｈｅ ｒ ｉ ｃａｌＴｒ ｉ ｇｏｎｏｍｅｔｒ ｙ ［ Ｍ］ ．Ｌｏｎｄｏｎ ： Ｃａｄｅ ｌ １＆Ｄａ

？

ｖ ｉ ｅ ｓ，ｅｔａｌ ．

，１８ １ ８．２０５

．

［５ ］Ｌａｒｄｎｅｒ， Ｄ ．ＡｎＡｎａｌ ｙｔ ｉ ｃＴｒｅ ａｔ ｉ ｓ ｅｏｎ

Ｐｌａｎｅ＆Ｓｐｈｅｒ ｉｃａｌＴｒｉ ｇｏｎｏｍｅｔ ｒｙ ［Ｍ ］ ． Ｌｏｎｄｏｎ ：

ＪｏｈｎＴａｙ ｌｏｒ，１８ ２８

，２９２ ．

［ ６］Ｂｒｅｎｋｅ，ｆｆ．Ｃ．Ｅ ｌ ｅｍｅ ｎｔ ｓｏ ｆＴｒｉ ｇｏ ｎｏｍｅ

？

ｔｒｙ ［

Ｍ］ ｖ

ＮｅｗＹｏｒｋ ： ＴｈｅＣｅｎｔ ｕｒｙＣｏｍｐａｎｙ ，１ ９ １ ７

．

１ ３－

１４ ．

［ ７］Ｍｕｒｒａｙ ，Ｄ ．Ａ．Ｐ ｌ ａｎｅＴｒ ｉｇｏｎｏｍｅｔ ｒｙｆｏｒ

Ｃｏ ｌ ｌｅ ｇｅ ｓａｎｄＳｅｃ ｏｎｄａｒｙＳｃ ｈｏｏ ｌ ｓ［Ｍ］ ．ＮｅｗＹｏｒｋ ：

Ｌｏｎｇｍａｎ ｓ ， Ｇｒｅ ｅｎ＆Ｃｏｍｐａｎｙ，１８ ９９．１ ３ ４

－

１ ３５ ．

［ ８］Ｂｏｈａｎｎａｎ，Ｒ ．Ｄ．ＰｌａｎｅＴｒ ｉ ｇｏｎｏｍｅ ｔｒｙ

［Ｍ］ ．Ｂｏ ｓｔ ｏｎ ：Ａ ｌ ｌｙｎ＆Ｂａｃｏ ｎ，１ ９０４ ．１ １ ４

－

１ １ ５ ．

［９］Ｄｒ ｅｓｄｅｎ，Ａ

．Ｉｎ ｔｒｏｄｕｃ ｔｉ ｏｎｔ ｏｔｈ ｅＣａ ｌ

？

ｃｕｌｕｓ ［Ｍ］ ．ＮｅｗＹｏｒ ｋ ：Ｈ ．Ｈｏ ｌ ｔ＆Ｃｏｍｐａｎｙ ，１９４０ ．

４４ ．

课堂教学研究

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