เฉลยแบบฝึกหัด calculus 1 เจษฎา ห่อ...
Post on 13-May-2018
270 Views
Preview:
TRANSCRIPT
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
1
แบบฝึกหัด 1.2
1. จากกราฟของ f และจุด a ท่ีก าหนดให้
จงหาลิมิตทางซา้ย ลิมิตทางขวา และลิมิตของ f (x) เม่ือ x เม่ือเขา้ใกล ้a ถา้ลิมิตมีค่า
1.1. a = –2, 2
y
x4321–3 –2 –1123
–3–2
วธิีท ำ เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = –2 จะไดว้่า
2lim ( )x
f x
= 2 และ 2
lim ( )x
f x
= 2
เน่ืองจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 2
lim ( ) 2x
f x
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 2 จะไดว้่า 2
lim ( )x
f x
= –2 และ 2
lim ( )x
f x
= 1
เน่ืองจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
1.2. a = –1, 3, 4
6–4
3
–8
x
y
วธิีท ำ เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = –1 จะไดว้่า
1lim ( )x
f x
= –2 และ 1
lim ( )x
f x
= 1
เน่ืองจาก 1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 1
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 3 จะไดว้่า 3
lim ( )x
f x
= –7 และ 3
lim ( )x
f x
= –7
เน่ืองจาก 3 3
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 3
lim ( ) 7x
f x
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 4 จะไดว้่า 4
lim ( )x
f x
= –4 และ 4
lim ( )x
f x
= –4
เน่ืองจาก 4 4
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 4
lim ( ) 4x
f x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
2
1.3. a = –2, –1, 1, 2
–3
x
y
–4 3
4
วธิีท ำ เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = –2 จะไดว้่า
2lim ( )x
f x
= 2 และ 2
lim ( )x
f x
= 2
เน่ืองจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 2
lim ( ) 2x
f x
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = –1 จะไดว้่า 1
lim ( )x
f x
= 1 และ 1
lim ( )x
f x
= 3
เน่ืองจาก 1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 1
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 1 จะไดว้่า 1
lim ( )x
f x
= –1 และ 1
lim ( )x
f x
= –1
เน่ืองจาก 1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 1
lim ( ) 1x
f x
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 2 จะไดว้่า 2
lim ( )x
f x
= 0 และ 2
lim ( )x
f x
= 1
เน่ืองจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
2. จากฟังกช์นั f และจุด a ท่ีก าหนดให้
จงเขียนกราฟของ f และพิจารณาว่า lim ( )x a
f x
, lim ( )x a
f x
และ lim ( )x a
f x
มีค่าหรือไม่
2.1. f (x) = 22 ; 1
2 ; 1 31 ; 3
x xx
x x
และ a = 1, 3
วธิีท ำ เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 1 จะไดว้่า 1
lim ( )x
f x
= 21
lim (2 )x
x
= 1
1
lim ( )x
f x
= 1
lim (2)x
= 2
เน่ืองจาก 1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 1
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 3 จะไดว้่า 3
lim ( )x
f x
= 3
lim (2)x
= 2
3
lim ( )x
f x
= 3
lim ( 1)x
x
= 2
เน่ืองจาก 3 3
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 3
lim ( ) 2x
f x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
3
2.2. f (x) = 2 2 ; 2
1 ; 2 4 9 2 ; 4
x x xx
x x
และ a = 2, 4
วธิีท ำ เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 2 จะไดว้่า 2
lim ( )x
f x
= 22
lim ( 2)x
x x
= 0
2
lim ( )x
f x
= 2
lim (1)x
= 1
เน่ืองจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 4 จะไดว้่า 4
lim ( )x
f x
= 4
lim (1)x
= 1
4
lim ( )x
f x
= 4
lim (9 2 )x
x
= 1
เน่ืองจาก 4 4
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 4
lim ( ) 1x
f x
3. จากฟังกช์นั f และจุด a ท่ีก าหนดให้ จงพิขารณาว่า lim ( )x a
f x
, lim ( )x a
f x
และ lim ( )x a
f x
มีค่าหรือไม่
3.1. f (x) = 2 4
2xx
และ a = 2
วธิีท ำ f (x) = 2 ; 2( 2) ; 2x xx x
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 2 จะไดว้่า 2
lim ( )x
f x
= 2
lim ( 2)x
x = 4
2
lim ( )x
f x
= 2
lim ( 2)x
x
= 4
เน่ืองจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
3.2. f (x) = 3 1
1xx
และ a = 1
วธิีท ำ f (x) = 2
2 1 ; 1
( 1) ; 1x x xx x x
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 1 จะไดว้่า 1
lim ( )x
f x
= 21
lim ( 1)x
x x
= –3
1
lim ( )x
f x
= 21
lim ( 1)x
x x
= 3
เน่ืองจาก 1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 1
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
3.3. f (x) = ( 1)sgn( )x x และ a = 0
วธิีท ำ f (x) = ( 1) ; 0
0 ; 0 1 ; 0
x xx
x x
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 0 จะไดว้่า 0
lim ( )x
f x
= 0
lim ( 1)x
x
= –1
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
4
0
lim ( )x
f x
= 0
lim ( 1)x
x
= 1
เน่ืองจาก 0 0
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 1
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
3.4. f (x) = [ ]x x และ a = 4
วธิีท ำ f (x) = 3 ; 3 44 ; 4 5
x xx x
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 4 จะไดว้่า 4
lim ( )x
f x
= 4
lim ( 3)x
x
= 1
4
lim ( )x
f x
= 4
lim ( 4)x
x
= 0
เน่ืองจาก 4 4
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 4
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
3.5. f (x) = [ ]x และ a = 2
วธิีท ำ f (x) = 1 ; 1 22 ; 2 3
xx
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 2 จะไดว้่า 2
lim ( )x
f x
= 2
lim 1x
= 1
2
lim ( )x
f x
= 2
lim 2x
= 2
เน่ืองจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
3.6. f (x) = xx และ a = 0
วธิีท ำ f (x) = 1 ; 01 ; 0
xx
เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = 0 จะไดว้่า 0
lim ( )x
f x
= 0
lim 1x
= –1
0
lim ( )x
f x
= 0
lim 1x
= 1
เน่ืองจาก 0 0
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 0
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
3.7. f (x) = 2 1x x และ a = –1
วธิีท ำ เม่ือพิจารณาท่ีจุด a = –1 จะไดว้่า 1
lim ( )x
f x
= 21
lim ( 1)x
x x
= 3
เพราะฉะนั้น 1
lim ( )x
f x
= 3
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
5
แบบฝึกหัด 1.3
1. จงหาค่าของลิมิตต่อไปน้ี ถา้ลิมิตมีค่า
1.1. 31
3lim( 2)x
x x x x
วธิีท ำ 31
3lim( 2)x
x x x x
= 331 1 1 1 2
= 1 1 3 2 = 1
1.2. 3 22
lim ( 2 5)(3 )x
x x x
วธิีท ำ 3 22
lim ( 2 5)(3 )x
x x x
= 3 2( 2) ( 2 2 5){3 ( 2) }
= ( 8)(5)(3 4)
= 40
1.3. 54
1lim( )x
xx
วธิีท ำ 54
1lim( )x
xx
= 51( 4 )4
= 51(2 )2
= 24332
1.4. 9
2 3lim2x
xx x
วธิีท ำ 9
2 3lim2x
xx x
= 2 9 3
9 2(9)
= 2(3) 33 2(9)
= 17
1.5. 2
3
2 5 3lim 3x
x xx
วธิีท ำ 2
3
2 5 3lim 3x
x xx
= 3
(2 1)( 3)lim 3x
x xx
= 3lim(2 1)x
x
= 2(3) + 1
= 7
1.6. 3
41
1lim 1x
xx
วธิีท ำ 3
41
1lim 1x
xx
= 2
2 21
( 1)( 1)lim ( 1)( 1)x
x x xx x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
6
= 2
21
( 1)( 1)lim ( 1)( 1)( 1)x
x x xx x x
= 2
21
1lim ( 1)( 1)x
x xx x
= 2
2( 1) ( 1) 1
( 1 1){( 1) 1}
= 34
1.7. 2
22
5 14lim 3 4 4x
x xx x
วธิีท ำ 2
22
5 14lim 3 4 4x
x xx x
= 2
( 2)( 7)lim (3 2)( 2)x
x xx x
= 2
7lim 3 2x
xx
= 2 73 2 2
= 98
= 32 2
1.8. 3 2
1
2 3 2lim 1x
x x xx
วธิีท ำ 3 2
1
2 3 2lim 1x
x x xx
= 2
1
( 1)( 2)lim 1x
x x xx
= 21
lim( 2)x
x x
= 21 1 2
= 2
1.9. 2
12
4 1lim ( )2 1 1 2x
xx x
วธิีท ำ 2
12
4 1lim ( )2 1 1 2x
xx x
= 2
12
4 1lim ( )2 1 2 1x
xx x
= 2
12
4 1lim 2 1x
xx
= 12
(2 1)(2 1)lim 2 1x
x xx
= 12
lim (2 1)x
x
= 12 12
= 2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
7
1.10. 2
3 22
2 3 2lim 3 6 2 4x
x xx x x
.
วธิีท ำ 2
3 22
2 3 2lim 3 6 2 4x
x xx x x
= 2 22
(2 1)( 2)lim (3 2) 2(3 2)x
x xx x x
= 22
(2 1)( 2)lim ( 2)(3 2)x
x xx x
= 22
2 1lim 3 2x
xx
= 22( 2) 1
3( 2) 2
= 4 13 4 2
= 12
1.11. 3
0
( 3) 27limx
xx
วธิีท ำ 3
0
( 3) 27limx
xx
=
3 2
0
( 9 27 27) 27limx
x x xx
= 3 2
0
9 27limx
x x xx
= 20
lim ( 9 27)x
x x
= 20 9(0) 27
= 27
1.12. 7 4 13 3 3
4 12 3 3
2lim2x
x x xx x
วธิีท ำ 7 4 13 3 3
4 12 3 3
2lim2x
x x xx x
=
123
12 3
( 2)lim( 2)x
x x xx x
= 2
( 2)( 1)lim 2x
x xx
= 2lim ( 1)
xx
= –2 – 1
= – 3
1.13. 21
1lim1x
xx
วธิีท ำ 21
1lim1x
xx
=
1
1lim(1 )(1 )x
xx x
= 1
1lim 1x
xx
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
8
= 1 11 1
= 0
1.14. 3
3 2 3lim 3x
xx
วธิีท ำ 3
3 2 3lim 3x
xx
= 3
3 2 3 3 2 3lim 3 3 2 3x
x xx x
= 2
3
( 3 2 ) 9lim( 3)( 3 2 3)x
xx x
= 3
2( 3)lim( 3)( 3 2 3)x
xx x
= 3
12 lim3 2 3x x
= 2
3 2 3 3
= 13
1.15. 2
2 2lim1x
xx
วธิีท ำ 2
2 2lim1x
xx
= 2 2 2
2 1
= 2
1.16. 4 2
4
9 5lim 4x
x x xx
วธิีท ำ 4 2
4
9 5lim 4x
x x xx
= 2 2
24
9 5 9 5lim 4 9 5x
x x x xx x
= 2 2 2
24
{( 9 ) 5 }lim( 4) ( 9 5)x
x xx x
= 2
24
( 9 25)lim( 4) ( 9 5)x
x xx x
= 2
24
( 16)lim( 4) ( 9 5)x
x xx x
= 24
( 4)( 4)lim( 4) ( 9 5)x
x x xx x
= 24
( 4)lim9 5x
x xx
= 24( 4 4)
( 4) 9 5
= 165
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
9
1.17. 0
5 2lim 3x
x xx x
วธิีท ำ พิจารณาลิมิตทางซา้ย 0
5 2lim 3x
x xx x
= 0
7lim 4x
xx
= 0
7lim 4x
= 74
พิจารณาลิมิตทางขวา 0
5 2lim 3x
x xx x
= 0
3lim 2x
xx
= 0
3lim 2x
= 32
เน่ืองจากลิมิตทางซา้ยมีค่าไม่เท่ากบัลิมิตทางขวา ท่ีจุด x = 0 ดงันั้น 0
5 2lim 3x
x xx x
ไม่มีค่า
1.18. 2
12
2lim 2 1x
x xx
วธิีท ำ พิจารณาลิมิตทางซา้ย 2
12
2lim (2 1)x
x xx
= 12
(2 1)lim (2 1)x
x xx
= 12
limx
x
= 12
พิจารณาลิมิตทางขวา 2
12
2lim 2 1x
x xx
= 12
(2 1)lim 2 1x
x xx
= 12
limx
x
= 12
เน่ืองจากลิมิตทางซา้ยมีค่าไม่เท่ากบัลิมิตทางขวา ท่ีจุด x = 12 ดงันั้น
2
12
2lim 2 1x
x xx
ไม่มีค่า
1.19. 232
5 2 3lim 1x
xx x
วธิีท ำ 232
5 2 3lim 1x
xx x
= 23
2
( )5 2 3lim 1x
xx x
= 2
( )35 2 323 3( ) 12 2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
10
= 207
1.20. 40
sinlimx
xx
วธิีท ำ 40
sinlimx
xx
= 30 4
sinlimx
xx x
= 34
0 0
sinlim limx x
x xx
= 1 0 = 0
1.21. 0
tanlim 4x
xx
วธิีท ำ 0
tanlim 4x
xx
= 0
1 sinlim4 cosx
xx x
= 0 0
1 sin 1lim lim4 cosx x
xx x
= 1 114 cos0
= 14
1.22. 1
sinlim 1x
xx
วธิีท ำ พิจารณา (sinπx -– 1π) = sinπx cosπ – cosπx sinπ
= –sinπx
ดังนั้น 1
sinlim 1x
xx
= 1
sin( )lim 1x
xx
= 1
1sin ( )lim ( 1)x
xx
ให้ u = π(x -– 11)
= 0
sinlimu
uu
=
1.23. 0
sin5lim cosx
xx x
วธิีท ำ 0
sin5lim cosx
xx x
= 0 0
sin5 15 lim lim5 cosx x
xx x
= 15 1 cos0
= 5
1.24. 20
l im cotx
x x
วธิีท ำ 20
lim cotx
x x
= 2
0
coslim sinx
x xx
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
11
= 0 0
lim lim cossinx x
x x xx
= 0 0
1lim lim cossinx xx xx
x
= 1 0 cos01
= 0
1.25. 0
tan5lim sin3x
xx
วธิีท ำ 0
tan5lim sin3x
xx
= 0
sin5 1lim cos5 sin3x
xx x
= 0
1 sin5lim cos5 sin3x
x xx x x
= 0 0 0
1 1 3 sin5lim lim 5limcos5 3 sin3 5x x x
x xx x x ให้ u = 3x และ v = 5x
= 0 0 0
1 1lim lim 5limcos5 3 sinx u v
u sinvx u v
= 1 1 5cos0 3
= 53
1.26. 2
sin(12 6 )lim 5 10x
xx
วธิีท ำ 2
sin(12 6 )lim 5 10x
xx
= 2
sin6(2 )lim 5( 2)x
xx
= 2
6 sin6(2 )lim5 6(2 )x
xx
ให้ u = 6(2 – x)
= 0
6 lim5 u
sinuu
= 65
1.27. 23
sin( 3)lim 2 3x
xx x
วธิีท ำ 23
sin( 3)lim 2 3x
xx x
= 3
sin( 3)lim ( 1)( 3)x
xx x
= 3
sin( 3) 1lim 3 1x
xx x
ให้ u = x + 3
= 0 3
sin 1lim lim 1u x
uu x
= 11 4
= 14
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
12
1.28. 0
tanlim sinx
x xx
วธิีท ำ 0
tanlim sinx
x xx
= 0
tanlim ( )sin sinx
x xx x
= 0
1lim ( )sin cosx
xx x
= 0 0
1lim limsin cosx x
xx x
= 11 cos0
= 2
1.29. 2 20
1lim sinx
x x
วธิีท ำ 2 20
1lim sinx
x x =
2
0 2
1(sin )lim 1( )x
x
x
ให้ u = 1x
= 2
2( )lim
u
sinuu
= 0
1.30. 2
0lim 1 cosx
xx
วธิีท ำ 2
0lim 1 cosx
xx
= 2
0
1 coslim 1 cos 1 cosx
x xx x
= 2
20
(1 cos )lim 1 cosx
x xx
= 2
20
(1 cos )lim sinx
x xx
= 20
lim ( ) (1 cos )sinx
x xx
= 20 0
lim ( ) lim (1 cos )sinx x
x xx
= 1 (1 cos0)
= 2
2. ก าหนดให้ f (x) = 3 2 5 ; 2
7 ; 2 1
x x xx xx
จงพิจารณาว่า 2
lim ( )x
f x
และ 2
lim ( )x
f x
มีค่าหรือไม่ เพราะเหตุใด
วธิีท ำ f (x) = 3 2 5 ; 2 2
7 ; 2 or 2 1
x x xx x xx
พิจาณา 2
lim ( )x
f x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
13
พิจารณาลิมิตทางซา้ย 2
lim ( )x
f x
= 2
7lim ( )1x
xx
= 3 73 1
= 1 พิจารณาลิมิตทางขวา
2lim ( )
xf x
= 3
2lim ( 2 5)
xx x
= 8 4 5 = 1
เน่ืองจากลิมิตทางซา้ยมีค่าไม่เท่ากบัลิมิตทางขวา ท่ีจุด x = 2 ดงันั้น 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
พิจาณา 2
lim ( )x
f x
พิจารณาลิมิตทางซา้ย 2
lim ( )x
f x
= 32
lim ( 2 5)x
x x
= 8 4 5 = 9
พิจารณาลิมิตทางขวา 2
lim ( )x
f x
= 2
7lim ( )1x
xx
= 2 72 1
= 9 เน่ืองจากลิมิตทางซา้ยมีค่าเท่ากบัลิมิตทางขวา ท่ีจุด x = 2 ดงันั้น
2lim ( )
xf x
= 9
3. จงหาค่าของ a ท่ีท าให้ 3 2lim ( 4 10) 4x a
x x x
วธิีท ำ 3 2lim ( 4 10)x a
x x x
= 4
3 24 10a a a = 4
3 24 6a a a = 0
( 3)( 2)( 1)a a a = 0
เพราะฉะนั้น a = –1, 2 และ 3
4. ก าหนดให้ f (x) = 2 2 5 ; 3
2 ; 3x x
kx x
จงหาค่าของ k ท่ีท าให้ 3
lim ( )x
f x
มีค่า
วธิีท ำ พิจารณาลิมิตทางซา้ย 3
lim ( )x
f x
= 3lim (2 5)
xx
= 2( 3) 5
= 1 พิจารณาลิมิตทางขวา
3lim ( )
xf x
= 2
3lim ( 2)
xk x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
14
= 9 2k ลิมิตจะมีค่าก็ต่อเม่ือ
3lim ( )
xf x
=
3lim ( )
xf x
ดงันั้น 9k + 2 = –1
k = 13
5. ก าหนดให้ f (x) = 2
2
3 ; 2 ; 2 2
; 22
x xax b xx x
จงหาค่าของ a และ b ท่ีท าให้ 2
lim ( )x
f x
และ 2
lim ( )x
f x
มีค่า
วธิีท ำ พิจาณา 2
lim ( )x
f x
พิจารณาลิมิตทางซา้ย 2
lim ( )x
f x
= 22
lim (3 )x
x
= 23 ( 2)
= 1 พิจารณาลิมิตทางขวา
2lim ( )
xf x
= 2
lim ( )x
a x b
= 2a b ลิมิตจะมีค่าก็ต่อเม่ือ
2lim ( )
xf x
=
2lim ( )
xf x
ดงันั้น –2a + b = –1 … (1) พิจาณา
2lim ( )x
f x
พิจารณาลิมิตทางซา้ย 2
lim ( )x
f x
= 2lim ( )
xa x b
= 2a b
พิจารณาลิมิตทางขวา 2
lim ( )x
f x
= 2
2lim ( )2x
x
= 22
2
= 2
ลิมิตจะมีค่าก็ต่อเม่ือ 2
lim ( )x
f x
= 2
lim ( )x
f x
ดงันั้น 2a + b = 2 … (2)
แกส้มการ (1) และ (2) จะไดว้่า a = 34 , b = 1
2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
15
แบบฝึกหัด 1.4
จงพิจารณาค่าของลิมิตต่อไปน้ี
1. 3 31lim ( )x x x
วธิีท ำ 3 31lim ( )x x x
= 3 31lim limx xx x
= 0 3 = 3
2. 3 7
3 2 4(2 5) ( 8)lim ( 2) (3 1)x
x xx x
วธิีท ำ 3 7
3 2 4(2 5) ( 8)lim ( 2) (3 1)x
x xx x
= 3 3 7 7
6 2 4 43
5 8(2 ) (1 )lim 2 1(1 ) (3 )x
x xx xx x xx
= 10 3 7
10 2 43
5 8(2 ) (1 )lim 2 1(1 ) (3 )x
x x xx xx
= 3 7
2 43
5 8(2 ) (1 )lim 2 1(1 ) (3 )x
x x
xx
= 3 7
2 4(2 0) (1 0)(1 0) (3 0)
= 881
3. 5
39lim4x
xx
วธิีท ำ 5
39lim4x
xx
=
55
33
9( 1)lim 4( 1)x
x xx x
= 5
215 3
9 1lim 4( 1)x
xx x
= 0
4. 3
2 33 4lim 7 2x
x xx x x
วธิีท ำ 3
2 33 4lim 7 2x
x xx x x
= 3
2 3
32
3 4(1 )lim 7 1( 2)x
x x xx xx
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
16
= 2 3
2
3 41lim 7 1 2x
x x
xx
= 1 0 00 0 2
= 12
5. 2
3 3 8lim ( 2)x
xx x
วธิีท ำ 2
3 3 8lim ( 2)x
xx x
= 2
3 3 8lim ( 2)x
xx x
= 2
23
2
3( 8)lim 2(1 )x
x xx x
= 23
3 8lim 21x
x
x
= 3 0 81 0
= 2
6. 2
47 4lim2x
xx x
วธิีท ำ 2
47 4lim2x
xx x
=
22
23
4(7 )lim
12x
x xx x
= 2
3
47lim
12xx
x
= 7 02 0
= 72
7. 2 6lim 2 5x
xx
วธิีท ำ 2 6lim 2 5x
xx
= 261
lim 5(2 )x
x xx x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
17
= 261
lim 5(2 )x
x xx x
= 261
lim 5 2x
x
x
= 1 00 2
= 12
8. 2
21
lim 1x
xx
วธิีท ำ 2
21
lim 1x
xx
=
2
21lim 1x
xx
= 2
2
22
1(1 )lim 1(1 )x
x xx x
= 2
2
11lim 11x
x
x
= 1
9. 3
3 2lim2 2x
x xx x x
วธิีท ำ 3
3 2lim2 2x
x xx x x
=
3
2 (lim
( 2) 2)x
x xx x x
= 3
22(
1(1 )lim
1)( 2)x
x xx x
= 3
22(
1(1 )lim 1)( 2)x
x xx x
= 3
2
32(
1(1 )lim 1 21 )(1 )x
x xx xx
= ((1 0)
1 0)(1 0)
= 1
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
18
10. 2lim ( 3 )x
x x x
วธิีท ำ 2lim ( 3 )x
x x x
= 2
22
3lim ( 3 )3x
x x xx x xx x x
= 2 2
23lim
3x
x x xx x x
= 3lim
3( 1 1)x
x
x x
= 3lim31 1xx
= 31 0 1
= 32
11. 3 33 3lim ( 1)x
x x x
วธิีท ำ พิจารณา 3 33 3 1x x x
3 33 3 1x x x = 3 3 3 333 3 3 2 3 3 3 2
3 333 2 3 3 3 2(
(( 1) ( ) ( )( 1) 1)
( ) ( )( 1) 1)x x x x x x x x x
x x x x x x
= 3 33 3 3 3
3 333 2 3 3 3 2( )
(( 1)
( ) ( )( 1) 1)x x x
x x x x x x
= 3 333 2 3 3 3 2(1
( ) ( )( 1) 1)x
x x x x x x
3 33 3lim ( 1)x
x x x
= 3 333 2 3 3 3 2(1lim
( ) ( )( 1) 1)x
xx x x x x x
= 2 2 23 3 3
2 2 3 3(
1(1 )lim
1 1 1 1{( 1 ) (1 )(1 ) 1 )x
x xx x x x x
= 2 23 3 3
2 2 3 3(
11lim
1 1 1 1{( 1 ) (1 )(1 ) 1 )xx
x x x x x
= 0
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
19
12. 2 4 2lim 2 3x
xx
วธิีท ำ 2 4 2lim 2 3x
xx
= 241 2
lim 3(2 )x
x xx x
= 24 2( 1 )
lim 3(2 )x
x xxx x
= 24 21
lim 32x
xx
x
= 1 0 02 0
= 12
13. 1cos
limx
xx
วธิีท ำ
1coslimx
xx
= cos 0limx
x
= 1
limx
x
= 0
14. 1lim (cos 1)x
x x
วธิีท ำ ให้ 1u x
จะไดว้่า 1limx x
= 0l imu
u
1lim (cos 1)x
x x =
0
1lim (cos 1)u
uu
= 0
cos 1limu
uu
= 0
1 coslimu
uu
= 0
15. 2
2sinlim cos3 2x
x x xx x
วธิีท ำ 2
2sinlim cos3 2x
x x xx x
= 2
22
sin(1 )lim cos3( 2)x
xx xxx x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
20
= 2
sin1lim cos3 2x
xxx
x
= 1 00 2
= 12
16. 31
1lim1x x
วธิีท ำ ให้ 31( )
1f x
x
เพราะว่า 3
1( )1
f xx
> 0 เม่ือ (1, )x
และ 1
1lim ( )x f x = 3
1lim 1x
x
= 0
จะไดว้่า 31 1lim
1x x
17. 32
3lim 8x
xx
วธิีท ำ ให้ 33( ) 8
xf x x
เพราะว่า 33( ) 8
xf x x
> 0 เม่ือ ( , 2)x
และ 2
1lim ( )x f x =
3
2
8lim 3x
xx
= 0
จะไดว้่า 32 3lim 8x
xx
18. 4
5lim 4x
xx
วธิีท ำ ให้ 5( ) 4xf x x
เพราะว่า 5( ) 4xf x x
< 0 เม่ือ (4, 5)x
และ 4
1lim ( )x f x =
4
4lim 5x
xx
= 0
จะไดว้่า 4
5lim 4x
xx
19. 43 3
21
2lim 8 9x
x x xx x
วธิีท ำ ให้ 43 3
22( ) 8 9
x x xf x x x
เพราะว่า
43 32
2( ) 8 9x x xf x x x
< 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้–1 ทางขวา
และ 1
1lim ( )x f x =
2
41 3 3
8 9lim2x
x xx x x
= 0
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
21
จะไดว้่า 43 3
21 2lim 8 9x
x x xx x
20. 21
2 3lim 2 1x
xx x
วธิีท ำ ให้ 22 3( ) ( 1)xf x x
เพราะว่า 22 3( ) ( 1)xf x x
< 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้1
และ 1
1lim ( )x f x =
2
1
( 1)lim 2 3x
xx
= 0
จะไดว้่า 21 2 3lim 2 1x
xx x
21. 2
22
4lim 2x
x xx x
วธิีท ำ ให้ 2
24( ) 2
x xf x x x
เพราะว่า 2
24( ) 2
x xf x x x
> 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้–2 ทางซา้ย
และ 2
1lim ( )x f x =
2
22
2lim 4x
x xx x
= 0
จะไดว้่า 2
22 4lim 2x
x xx x
22. 25
6lim 10 25x
xx x
วธิีท ำ ให้ 26( ) 10 25
xf x x x
เพราะว่า 26( ) ( 5)
xf x x
> 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้–5
และ 5
1lim ( )x f x =
2
5
10 25lim 6x
x xx
= 0
จะไดว้่า 25 6lim 10 25x
xx x
23. 5
[ ]lim 5x
x xx
โดยท่ี [x] คือจ านวนเต็มท่ีมากท่ีสุดท่ีมีค่านอ้ยกว่าหรือเท่ากบั x
วธิีท ำ ให้ [ ]( ) 5x xf x x
เพราะว่า [ ]( ) 5x xf x x
< 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้5 ทางซา้ย
และ 5
1lim ( )x f x =
5
5lim [ ]x
xx x
= 0
จะไดว้่า 5
[ ]lim 5x
x xx
24. 3
22 1lim 3 10x
x xx x
วธิีท ำ ให้ 3
22 1( ) 3 10
x xf x x x
เพราะว่า 3
22 1( ) 3 10
x xf x x x
> 0 เม่ือ x มีค่ามาก
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
22
และ 1lim ( )x f x =
2
33 10lim 2 1x
x xx x
= 2
2
32 3
3 10(1 )lim 2 1(1 )x
x x xx x x
= 2
2 3
3 101lim 2 1(1 )x
x xx x x
= 0
จะไดว้่า 3
2 2 1lim 3 10x
x xx x
25. 3 3lim 2 1x
x x
วธิีท ำ ให้ 3 3( ) 2 1f x x x เพราะว่า 3 3( ) 2 1f x x x < 0 เม่ือ x มีค่านอ้ยๆ
และ 1lim ( )x f x = 3 3
1lim2 1x x x
= 0
จะไดว้่า 3 3 lim 2 1 x
x x
26. 5 2
3 26 7lim 4 1x
x x xx x
วธิีท ำ ให้ 5 2
3 26 7( ) 4 1
x x xf x x x
เพราะว่า 5 2
3 26 7( ) 4 1
x x xf x x x
> 0 เม่ือ x มีค่านอ้ย
และ 1lim ( )x f x =
3 2
5 24 1lim 6 7x
x xx x x
= 3
3
53 4
1 1(4 )lim 6 7(1 )x
x x xx x x
= 3
23 4
1 14lim 6 7(1 )x
x xx x x
= 0
จะไดว้่า 5 2
3 2 6 7lim 4 1x
x x xx x
27. 3
22 6lim 3x
x xx x
วธิีท ำ ให้ 3
22 6( ) 3x xf x x x
เพราะว่า 3
22 6( ) 3x xf x x x
< 0 เม่ือ x มีค่านอ้ย
และ 1lim ( )x f x =
2
33lim 2 6x
x xx x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
23
= 2
32 3
1(3 )lim 1 6(2 )x
x xx x x
= 2 3
13lim 1 6(2 )x
xx x x
= 0
จะไดว้่า 3
2 2 6lim 3x
x xx x
28. 3
22
2 6lim 2 15x
x xx x
วธิีท ำ ให้ 2
22 6( ) 2 15
x xf x x x
เพราะว่า 2
22 6( ) 2 15
x xf x x x
< 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้3 ทางซา้ย
2
22 6( ) 2 15
x xf x x x
> 0 เม่ือ x มีค่าเขา้ใกล ้3 ทางขวา
เพรำะฉะนั้น 3
22
2 6lim 2 15x
x xx x
ไม่มีค่า
29. 46
2lim 12x
x xx x
วธิีท ำ ให้ 46
2( ) 12x xf x x x
เพราะว่า 46
2( ) 12x xf x x x
> 0 เม่ือ x มีค่ามาก
และ 1lim ( )x f x =
2
4612lim
x
x xx x
= 2
2
32
1 12(1 )lim
11x
x x x
x x
= 2
2
1 121lim
11xx x
x x
= 0
จะไดว้่า 46
2 lim 12x
x xx x
30. 2
28lim
2 1x
xx x
วธิีท ำ ให้ 2
28( )
2 1xf x
x x
เพราะว่า 2
28( )
2 1xf x
x x
< 0 เม่ือ x มีค่ามาก
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
24
และ 1lim ( )x f x =
2
22 1lim 8x
x xx
= 2
22
1 12lim 8( 1)x
x x xx x
= 2
2
1 12lim 8( 1)x
x xx x
= 0
จะไดว้่า 2
2 8lim
2 1x
xx x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
25
แบบฝึกหัด 1.5
1. จากกราฟของฟังกช์นั f ท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ี
จงพิจารณาว่า f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = a ท่ีก าหนดให้หรือไม่ เพราะเหตุใด
1.1. a = 1
y
x4321–3–2 –1123
–25 6
–3 วธิีท ำ เพราะว่า f (1) ไม่มีค่า
ดงันั้น f ไม่ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 1
1.2. a = 2
y
x4321–2 –1123
–25
4
วธิีท ำ เพราะว่า
2lim ( ) 2
xf x
และ
2lim ( ) 3
xf x
,
2lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
ดงันั้น f ไม่ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 2
1.3. a = –2, 2
y
x4321–3–2 –1123
–2–3
วธิีท ำ พิจารณาท่ีจุด x = –2
เพราะว่า f (–2) = 2, 2
lim ( ) 2x
f x
และ 2
lim ( ) 2x
f x
และ 2
lim ( ) ( 2) 2x
f x f
ดงันั้น f ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = –2
พิจารณาท่ีจุด x = 2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
26
เพราะว่า 2
lim ( ) 2x
f x
และ 2
lim ( ) 1x
f x
, 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
ดงันั้น f ไม่ต่อเนือ่งทีจุ่ด x = 2
1.4. a = –2, –1, 1, 2
–3
x
y
–4 3
4
วธิีท ำ พิจารณาท่ีจุด x = –2
เพราะว่า f (–2) = 2, 2
lim ( ) 2x
f x
และ 2
lim ( ) 2x
f x
และ 2
lim ( ) ( 2) 2x
f x f
ดงันั้น f ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = –2
พิจารณาท่ีจุด x = –1
1
lim ( ) 1x
f x
และ 1
lim ( ) 3x
f x
, 1
l im ( )x
f x
ไม่มีค่า
ดงันั้น f ไม่ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = –1
พิจารณาท่ีจุด x = 1
เพราะว่า f (1) = –2,1
lim ( ) 1x
f x
และ 1
lim ( ) 1x
f x
และ 1
lim ( ) 1x
f x
และ 1
lim ( ) (1)x
f x f
ดงันั้น f ไม่ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 1
พิจารณาท่ีจุด x = 2
เพราะว่า2
lim ( ) 0x
f x
และ 2
lim ( ) 1x
f x
, 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า
ดงันั้น f ไม่ต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 2
2. จงพิจารณาว่า ฟังกช์นั f ท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ี มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = a ท่ีก าหนดให้หรือไม่
2.1. 2 2 5( ) 6
x xf x x
; a = 6
วธิีท ำ เพราะว่า (6)f ไม่มีค่า
ดงันั้น f ไม่มีควำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 6
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
27
2.2. 33 1 ; 1
( ) 2 ; 1x x
f x x x
; a = –1, 1
วธิีท ำ เพราะว่า 1 1
lim ( ) lim (3 1) 2x x
f x x
31 1
lim ( ) lim (2 ) 3x x
f x x
ดงันั้น 1
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า เน่ืองจาก 1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = –1
เพราะว่า 31 1 1
lim ( ) lim ( ) lim (2 ) 1x x x
f x f x x
และ 3(1) 2 1 1f
เพราะฉะนั้น f มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 1
2.3. 1 ; 22( )
1 ; 2xxf xx
; a = 2, 3
วธิีท ำ เพราะว่า 2 2
1lim ( ) lim 2x xf x x
2 2
1lim ( ) lim 2x xf x x
ดงันั้น 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า เน่ืองจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเนื่องทีจุ่ด x = 2
เพราะว่า 3 3 3
lim ( ) lim ( ) lim(1) 1x x x
f x f x
และ (3) 1f
เพราะฉะนั้น f มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 3
2.4. 2
2
2
; 4 1( ) 1 ; 1 1
1 ; 1 42 5 3
x x xf x x x
x xx x
; a = –1, 0, 1
วธิีท ำ เพราะว่า 21 1
lim ( ) lim 0x x
f x x x
1 1
lim ( ) lim ( 1) 2x x
f x x
ดงันั้น 1
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า เน่ืองจาก 1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = –1
เพราะว่า 0 0
lim ( ) lim ( 1) 1x x
f x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
28
0 0
lim ( ) lim ( 1) 1x x
f x x
ดงันั้น 0
lim ( ) 1x
f x
และ (0) 1f
เพราะฉะนั้น f มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 0
เพราะว่า 1 1
lim ( ) lim ( 1) 2x x
f x x
1 1 1
(1 )(1 ) 1lim ( ) lim lim 2(2 3)( 1) 2 3x x x
x x xf x x x x
ดงันั้น 1
lim ( ) 2x
f x
และ (1) 1 1 2f
เพราะฉะนั้น f มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 1
2.5. 3 1 ; 1( ) 1
3 ; 1
x xf x xx
; a = 1
วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า 2
2
1 ; 1( ) 3 ; 1
( 1) ; 1
x x xf x x
x x x
เพราะว่า 21 1
lim ( ) lim ( 1) 1x x
f x x x
21 1
lim ( ) lim ( 1) 3x x
f x x x
ดงันั้น 1
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า เน่ืองจาก 1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 1
2.6. 2 และ
และ
2 ; 2 24( ) 1 ; 2 24
x x xxf x
x x
; a = –2, 2
วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า
และ
และ
1 ; 2 221( ) ; 2 241 ; 2 22
x xxf x x x
xx
เพราะว่า 2 2
1 1lim ( ) lim 2 4x xf x x
2 2
1 1lim ( ) lim 2 4x xf x x
ดงันั้น 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า เน่ืองจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเนื่องทีจุ่ด x = –2
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
29
เพราะว่า 2 2
1lim ( ) lim 2x xf x x
2 2
1lim ( ) lim 2x xf x x
ดงันั้น 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า เน่ืองจาก 2
lim ( )x
f x
และ 2
lim ( )x
f x
ไมส่ามารถหาคา่ได้
เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเน่ืองทีจุ่ด x = 2
3. จงพิจารณาว่า ฟังกช์นั f ท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ี มีความต่อเน่ืองบนช่วงท่ีก าหนดให้หรือไม่
3.1. 3 ; 3( ) 3
1 ; 3
x xf x xx
; (–∞,–3), (–3, 3), (–3, 3], [3, ∞)
วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า 1 ; 3( ) 1 ; 3
xf x x
มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (–∞,–3)
มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (–3, 3)
ไม่ต่อเน่ืองในช่วง (–3, 3] เน่ืองจาก f (3) ≠ 3
lim ( )x
f x
มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [3, ∞)
3.2. 21( ) 4
xf x x
; (–∞, 2), [–1, 2)
วธิีท ำ ไม่มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (–∞, 2) เพราะ f (–2) ไม่มีค่า
มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [–1, 2)
3.3. 3
21( ) 4 5
xf x x x
; (–5, 1], (1, 5)
วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า 2( 1)( 1)( ) ( 5)( 1)
x x xf x x x
ไม่มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (–5, 1] เพราะ f (–1) ไม่มีค่า
มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (1, 5)
3.4. 2
2
2
; 1( ) 2 ; 1
1 ; 1
x xf x x x
x x
; [–1, 1], [–1, 1), [1, ∞)
วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า 2
2
2
; 1 1( ) 2 ; 1
1 ; 1
x xf x x x
x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
30
ไม่มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [–1, 1] เพราะว่า 1
lim ( ) (1)x
f x f
มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [–1, 1)
มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [1, ∞)
3.5. 2
3 2 ; 1 311( ) 3 ; 3 52
2 7 ; 51
x xxf x x x x
x xx
; (2, 3), [1, 3], (2, 5], [5, ∞)
วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า 2
1 ; 1 311( ) 3 ; 3 52
2 7 ; 51
x xxf x x x x
x xx
มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (2, 3)
มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [1, 3]
ไม่มี ความต่อเน่ืองบนช่วง (2, 5] เพราะว่า 5
lim ( ) (5)x
f x f
มี ความต่อเน่ืองบนช่วง [5, ∞)
4. จงพิจารณาว่า ฟังกช์นั f ท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ี มีความต่อเน่ืองบน Df หรือไม่
ถา้ไม่ จงบอกค่าของ x ท่ีซ่ึง f ไม่มีความต่อเน่ือง
4.1. 21( ) 1f x x
วธิีท ำ โดเมนของ f คือ ( , 1) ( 1, 1) (1, )
f มคีวำมต่อเนื่องบน Df
4.2. 23( ) 3 4
xf x x x
วธิีท ำ โดเมนของ f คือ ( , 1) ( 1, 4) (4, )
f มคีวำมต่อเนื่องบน Df
4.3. 22( )2
xf xx x
วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า และ1 ; 2 0
( ) 1 ; 2 0
x xxf xxx
โดเมนของ f คือ ( , 2) ( 2, 0) (0, )
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
31
f มคีวำมต่อเนื่องบน Df
4.4. ( ) 1f x x x
วธิีท ำ พิจารณา f ใหม่จะไดว้่า 2 1 ; 0
( ) 1 ; 0 12 1 ; 1
x xf x x
x x
โดเมนของ f คือ R
พิจารณาท่ีจุด x = 0
เพราะว่า 0 0
lim ( ) lim ( 2 1) 1x x
f x x
0 0
lim ( ) lim 1 1x x
f x
ดงันั้น 0
lim ( ) 1x
f x
และ f (0) = 1 เพราะฉะนั้น f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = 0
พิจารณาท่ีจุด x = 1
เพราะว่า 1 1
lim ( ) lim 1 1x x
f x
1 1
lim ( ) lim (2 1) 1x x
f x x
ดงันั้น 1
lim ( ) 1x
f x
และ f (1) = 1 เพราะฉะนั้น f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = 1
เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเนื่องบน Df
4.5. ( ) cos 2 3f x x
วธิีท ำ โดเมนของ f คือ R
f มคีวำมต่อเนื่องบน Df
4.6. ; 4( ) 1 ; 4x xf x x x
วธิีท ำ โดเมนของ f คือ R
พิจารณาท่ีจุด x = 4
เพราะว่า 4 4
lim ( ) lim 2x x
f x x
4 4
lim ( ) lim ( 1) 3x x
f x x
ดงันั้น 4
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า เน่ืองจาก 4 4
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเนื่องบน Df
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
32
4.7. 2
3 10 ; 5( ) 57 ; 5
x x xf x xx
วธิีท ำ โดเมนของ f คือ R
พิจารณาท่ีจุด x = –5
เพราะว่า 5 5
lim ( ) lim ( 2) 7x x
f x x
5 5
lim ( ) lim ( 2) 7x x
f x x
ดงันั้น 5
lim ( )x
f x
= –7
และ f (–5) = –7 ซ่ึงเท่ากบั 5
lim ( )x
f x
เพราะฉะนั้น f มคีวำมต่อเนื่องบน Df
4.8. 1 ; 2
( ) 2 ; 2 69 ; 61
x xf x x x
x xx
วธิีท ำ โดเมนของ f คือ R
พิจารณาท่ีจุด x = 2
เพราะว่า 2 2
lim ( ) lim (1 ) 3x x
f x x
2 2
lim ( ) lim 2 0x x
f x x
ดงันั้น 2
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า เน่ืองจาก 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
พิจารณาท่ีจุด x = 6
เพราะว่า 6 6
lim ( ) lim 2 4x x
f x x
6 6
9lim ( ) lim 31x x
xf x x
ดงันั้น 6
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า เน่ืองจาก 6 6
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น f ไม่มคีวำมต่อเนื่องบน Df
5. ส าหรับฟังกช์นั f ท่ีก าหนดให้ต่อไปน้ี จงก าหนดค่าของ f (a) ท่ีท าให้ f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = a ถา้ก าหนดไม่ได ้จงบอกเหตุผล
5.1. 3 2
22 4 3( ) 2 3
x x xf x x x
; a = 3
วธิีท ำ พิจารณา f จะไดว้่า 2( 3)( 1)( ) ( 1)( 3)
x x xf x x x
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
33
เพราะว่า 2
3 3
1 11lim ( ) lim 1 4x x
x xf x x
2
3 3
1 11lim ( ) lim 1 4x x
x xf x x
ดงันั้น 3
lim ( )x
f x
= 114
เพราะฉะนั้นก าหนดให้ f (3) = 114
5.2. 1 1( ) xf x x
; a = 0
วธิีท ำ เพราะว่า 0 0
1 1 1 1lim ( ) lim ( )( )1 1x x
x xf x x x
0
1 1lim 21 1x x
0 0
1 1lim ( ) lim 21 1x xf x
x
ดงันั้น 0
lim ( )x
f x
= 12
เพราะฉะนั้นก าหนดให้ f (0) = 12
5.3. 3 9 ; 2 3( ) 3
7 5 ; 3 7
x x xf x xx x
; a = 3
วธิีท ำ เพราะว่า 3 3
( 3)( 3)lim ( ) lim 3x x
x x xf x x
3
lim ( 3) 18x
x x
3 3
lim ( ) lim (7 5) 26x x
f x x
ดงันั้น 3
lim ( )x
f x
ไม่มีค่า เน่ืองจาก 3 3
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้นไม่สามารถก าหนดให้ f (3) เพ่ือให้ฟังกช์นัต่อเน่ืองได ้
6. ก าหนดให้ ( )( ) ; 2( ) 5 ; 2
x k x k xf x kx x
จงหาค่าของ k ท่ีท าให้ f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = 2
วธิีท ำ 22 2
lim ( ) lim ( )( ) 4x x
f x x k x k k
2 2
lim ( ) lim 5 2 5x x
f x kx k
ฟังกช์นัจะต่อเน่ืองได ้ก็ต่อเม่ือ 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 4 – k2 = 2k + 5
เฉลยแบบฝึกหดั Calculus 1 เจษฎา หอ่ไพศาล (พี่แบงค์) www.clipvidva.com
34
k2 + 2k + 1 = 0
(k + 1)2 = 0
จะไดว้่า k = –1
7. ก าหนดให้ 3
2
1 ; ( ) 4 ; 1
2 ; 1
a x b xf x x
a x bx x
จงหาค่าของ a และ b ท่ีท าให้ f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = 1
วธิีท ำ 31 1
lim ( ) lim ( )x x
f x a x b a b
21 1
lim ( ) lim ( 2) 2x x
f x ax bx a b
ฟังกช์นัจะต่อเน่ืองได ้ก็ต่อเม่ือ 1 1
lim ( ) lim ( ) (1)x x
f x f x f
เพราะฉะนั้น a – b = 4 … (1)
และ a + b + 2 = 4 … (2)
แกส้มการ จะไดว้่า a = 5, b = 1
8. ก าหนดให้ 2 2 ;
( ) 3 ; 2 13 2 ; 1
x c xf x cx k x
x k x
จงหาค่าของ c และ k ท่ีท าให้ f มีความต่อเน่ืองท่ีจุด x = –2 และ x = 1
วธิีท ำ พิจารณาท่ีจุด x = –2
2 2lim ( ) lim ( 2 ) 2 2
x xf x x c c
2 2
lim ( ) lim (3 ) 6x x
f x cx k c k
ฟังกช์นัจะต่อเน่ืองได ้ก็ต่อเม่ือ 2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น –2 + 2c = – 6c + k
8c – k = 2 … (1)
พิจารณาท่ีจุด x = 1
1 1lim ( ) lim (3 ) 3x x
f x c x k c k
1 1
lim ( ) lim (3 2 ) 3 2x x
f x x k k
ฟังกช์นัจะต่อเน่ืองได ้ก็ต่อเม่ือ 1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
เพราะฉะนั้น 3c + k = 3 – 2k
c + k = 1 … (2)
แกส้มการ (1) และ (2) จะไดว้่า c = 13 , k = 2
3
top related