Производная. Алгоритм нахождения производной

Открытый урок на тему:“Производная. Алгоритм нахождения

производной”

Преподаватель высшей категорииВоронкин Алексей СергеевичГруппы: Ф, С, Д, Н (1 курс)

29 января 2016 г.Северодонецк

Цели занятия: выработать умения решения заданий, связанных с применением правил нахождения производной функции.

Задачи: научиться применять алгоритм нахождения производной, использовать формулы нахождения производных элементарных функций.

Оборудование: компьютер, инструменты, тетрадь, раздаточные материалы.

ПланТеория (лекция) Вступление1. Предел функции2. Oпределение производной3. Геометрический смысл производной4. Таблица производных5. Правила дифференцирования суммы, разности,

произведения и частного.

Практика6. Применение знаний в стандартных или частично

измененных ситуациях. Решение задач.7. Подведение итогов. Домашнее задание

Задачи, приводящие к понятию производной

Задача 1. О скорости движения

Задача 2. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость постепенно возрастает.

Задача 3. Скорость химической реакции

1. Предел функции

• Значение функции в точкеПусть задана функция, напримерЕсли х=1, то соответствующее значение функции равно - ?

• Предел функции в точкеВозьмем ту же самую функциюЕсли значение ее аргумента х достаточно близко с обоих

сторон приближаются к 1, то соответствующие значения функции как угодно близко приближаются к числу - ?

2. Oпределение производной

=x0+∆x

Приращение функции и приращение аргумента

y=f(x)

x0

f(x)=f(x0+∆x)

f(x0)

∆x

∆f

приращение аргумента:

x

y

∆х = х - х0 (1)

Приращение функции :

∆f = f(x0 +∆x)-f(x0) (2)

∆f = f(x)-f(x0) (3)

x

В окрестности точки х0 возьмём точку х

Дана функция f(x)

Различные задачи приводят в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:

1) Присвоить ей новый термин.

2) Ввести для неё обозначение.

3) Исследовать свойства новой модели.

4) Определить возможности применения нового понятия - производная

Пример: найти производную /2/ xy 22)( xxxy

2222 22 xxxxxxxxy

xxxx

xxxx

xxxxyxfxy

xxxx22lim2lim2limlim)()(

00

2

00

Определение: Функцию, имеющую производную в точке называют дифференцируемой в этой точке.

3. Геометрический смысл производной

xxfxxf

xy

MNPNxtg

)()())((

Касательная?

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:

а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени;

б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х = х0;

в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени;

г) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

4. Таблица производных

R – множество действительных чиселc – const (постоянная величина)

5. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного

)()(])()([ xvxuxvxu

)()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu //)( ucuc

)()()()()(

)()(

2 xvxvxuxvxu

xvxu

ВОПРОСЫ по материалу?

Какова была цель нашего занятия?

6. Решение задач

Выучить таблицу производных и правила дифференцирования