Тема урока: «Вычисление площадей плоских фигур с...

Тема урока:«Вычисление площадей плоских «Вычисление площадей плоских фигур сфигур с помощью определенного помощью определенного

интеграла»интеграла»

Учитель математикиКутенкова Т.В.

ГБОУ СОШ № 527Санкт-Петербург

11 класс. Алгебра и начала математического анализа.

• - обучающие: повторить и обобщить типы задач на вычисление площадей фигур, в том числе фигур сложной геометрической конфигурации,классифицировать задачи, систематизировать способы решения, скорретировать знания, познакомиться с историей развития интегрального исчисления;

• - развивающая: научить мыслить и оперировать математическими знаниями, стимулировать мышление учащихся;

• - воспитательная: развивать у учащихся коммуникативные компетенции (умение работать в группе, культуру общения), способствовать развитию интеллектуальной деятельности учащихся.

"

I. Блиц – опрос. Повторение основных теоретических знанийII. Практическое применение знанийIII. Защита домашних задач

IY. Постановка проблемы (обобщение)Y. Коррекция знаний по темеYI. Историческая справкаYII. Подведение итоговYIII. Домашнее задание

1. В чем заключается геометрический смысл интеграла?

2. Какую фигуру называют криволинейной трапецией?

3. Как найти площадь фигуры в случае, если f(x)≤0 на [a;b]?

Интеграл от неотрицательной

непрерывной функции есть

площадь соответствующей

криволинейной трапеции

Фигура, ограниченная отрезком оси

абсцисс, прямыми x=a, x=b, графиком

непрерывной функции f(x)≥0 на

[a;b]

b

a

dxxfS )(

y = х², у = 0, х = -√2, х = √2

y = 2 - х², у =1 у = х², у = 2 у = х² , у = 2, у = 1y = arccos x, у = 0, x = -1

1 23

45 6

Какие из заданных фигур являются криволинейными

трапециями?

Почему фигура на рис. 4 не является

криволинейной трапецией?

Площадь каких фигур можно

найти как разность

площадей криволинейных

трапеций?

Площадь какой фигуры можно

найти без помощи интеграла?

Вычислите площади фигур

I гр. на рис. 2II гр. на рис 3III гр. на рис 5

Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Вычислите интегралы:

2

0

sin

xdx

5

2

xdx

4

0

3dxx

0

4

2cos1

dx

x

1).

2).

3).

4).

10,5

1

64

1

3

11)

3()2( 0

12

30

1

2 x

xdxххS АВО

3

11)

3()2( 2

0

2

0

322

xxdxххSОДЕ

9)3

4()4( 21

32

1

2

xxdxхS АВСД

.).(93

11

3

119 едквSф

График функции у=х² - парабола

График функции у=½ х² -парабола

У=2х – прямая

Sф = SОАЕ+SЕАВ =(SОАД - SОЕД) +(S ДАВС –

SДЕВС)

Х ±2 ±1 0

У 4 1 0

Х ±4 ±2 ±1 0

у 8 2 0,5 0

х 0 4

у 0 8 E

Выполним вычисления, применив свойство

аддитивности интеграла

.).(3

21012

66

12)(2

1

2

1

2)84(2

1

2

1

42

320

3

4

2

22

0

224

2

22

0

2

0

2

едквxx

dxxdxxdxx

dxxdxхSф

Sф = SВСD + SDСМ + SDMN + SMNF == SABCD – SABD + SDCM + SDMN + SMNFK - SMKF

22)sin(cos)cos(sin

sincoscos

sincossin

454

45

4

4545

2

2

2

4

2

4

xxdxxx

xdxxdxdxx

xdxxdxxdxSф

Выполним вычисления, применив свойство аддитивности интеграла

Проблема: Как с помощью интеграла вычислить площадь фигуры, не

являющейся криволинейной трапецией?

Задачи на вычисление площадей фигур с помощью интеграла можно классифицировать по виду геометрических фигур, площади которых необходимо вычислить

Фигура, полученная отсечением от криволинейной трапеции прямоугольника

Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x)≤0 на [a;b]

Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций y=f(x), y=g(x), f(x)≥g(x) ≥0 и прямыми x=a, x=b

Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций, заданных различными формулами на различных промежутках

Перемещение фигуры (сдвиг вдоль оси Оу)

Применение свойств

интеграла (свойство

аддитивности)

Свойство симметрии

фигуры

ПримерПример.. Вычислите площадь фигуры,Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями ограниченной линиями

yy = = xx, , yy = 5 – = 5 – xx, , xx = 1, = 1, xx = 2. = 2.

x

y

01 2

5

5

y = x

y = 5 - xA

BC

D

2

1

5 dxxxSABCD

dxx 2

1

25 2

1

25 xx

2115225 22

2:Ответ

Немного историиНемного истории

«Интеграл» придумал «Интеграл» придумал Якоб БернуллиЯкоб Бернулли (1690г.) (1690г.)«восстанавливать» от латинского «восстанавливать» от латинского integrointegro

«целый» от латинского «целый» от латинского integerinteger

от латинскогоот латинского primitivusprimitivus – – начальный,начальный,

ввел ввел Жозеф Луи Лагранж Жозеф Луи Лагранж

(1797г.)(1797г.)

«Примитивная функция»,«Примитивная функция»,

Интеграл в древностиИнтеграл в древности

Этот метод был подхвачен и развит Этот метод был подхвачен и развит АрхимедомАрхимедом, и использовался для , и использовался для

расчёта площадей парабол и расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади приближенного расчёта площади

круга. круга.

Евдокс Книдский

Архимед

Первым известным методом для расчёта Первым известным методом для расчёта интегралов является интегралов является метод исчерпания метод исчерпания

Евдокса Евдокса ((примернопримерно 370 до н. э.), который 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая пытался найти площади и объёмы, разрывая

их на бесконечное множество частей, для их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен.которых площадь или объём уже известен.

Исаак НьютонИсаак Ньютон(1643-1727)(1643-1727)

Наиболее полное изложение Наиболее полное изложение дифференциального и дифференциального и

интегрального исчислений интегрального исчислений содержится всодержится в

«Методе флюксий...»«Методе флюксий...» (1670–1671, опубликовано в (1670–1671, опубликовано в

1736).1736). Переменные величины -

флюенты(первообразная или неопределенный интеграл)

Скорость изменения флюент – флюксии (производная)

Лейбниц Готфрид ВильгельмЛейбниц Готфрид Вильгельм(1646-1716)(1646-1716)

ydx - впервые использован Лейбницем в конце

XVII века

Символ образовался из буквы S — сокращения слова

 summa (сумма)

Определенный интегралОпределенный интеграл

И. НьютонИ. Ньютон

xfxF

Г. ЛейбницГ. Лейбниц

a

b

bFaFdxxf )()()(

a

b baiii dxxfdxxf

],[

)()(где

Формула Ньютона - ЛейбницаФормула Ньютона - Лейбница

b

aaFbFdxxfS )()()(

Таким образом, уже Архимед успешно находил площади фигур, несмотря на то, что в математике его времени не было понятия интеграла

Но лишь интегральное исчисление дает общий метод решения всех подобных задач

Недаром даже поэты воспевали интеграл

Что сделалиЧто

планировали

Обобщить знания по

теме «Вычисление

площадей плоских фигур

с помощью определённого интеграла»

1.Классифицировали задачи

2.Систематизировали способы решения

3.Скорректировали знания

4.Совершили экскурс в историю

5. Подготовились к контрольной работе по данной теме.

Символ интегралаСимвол интеграла в жизнив жизни

Навыки и умения отметка

1. Построение графиков функций

2. Выделение площади искомой фигуры

3. Определение общих точек графиков функций и пределов интегрирования

4. Выражение площади искомой фигуры через площади криволинейных трапеций или других фигур

5. Применение свойств фигур для упрощения решения

СПАСИБО ЗА СПАСИБО ЗА УРОК!УРОК!

Домашнее задание:1.1. п.п.58;58;2.2. № № 1017, 10181017, 1018