บทเรียนออนไลน์เรื่อง ความน่าจะเป็น

ยนดตอนรบเขาสบทเรยนออนไลน

เรอง ความนาจะเปน

ระดบชนมธยมศกษาปท 4 - 6

หนาหลก

ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปน ในการคาดการณไดอยางสมเหตสมผล

ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปน ชวยในการตดสนใจและแกปญหา

มาตรฐานการเรยนร ตวชวด

สาระท 5 : การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน

มาตรฐาน ค 5.2

มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสารการสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร การเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

มาตรฐานการเรยนร / ตวชวด

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

ตวชวด

1. อธบายการทดลองสมเหตการณความนาจะเปนของเหตการณสถานการณ

ทก าหนดให (มาตรฐาน ค 5.2 ตวชวดขอท 2) 2. ใชความรเกยวกบความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหา

(มาตรฐาน ค 5.3 ตวชวดขอท 2) 3. ใชวธการทหลากหลายในการแกปญหา (มาตรฐาน ค 6.1 ตวชวดขอท 1) 4. ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม (มาตรฐาน ค 6.1 ตวชวดขอท 3)

มาตรฐานการเรยนร / ตวชวด

ดานความร (K)

ดานทกษะกระบวนการ (P)

ดานคณลกษณะทพงประสงค (A)

จดประสงคการเรยนร

ดานความร (K)

1. นกเรยนสามารถเขยนผลทสามารถเกดขนไดจากเหตการณทก าหนดให โดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไม

ไดอยางถกตอง 2. นกเรยนสามารถบอกความนาจะเปนของเหตการณทก าหนดให ไดถกตอง 3. สามารถใชความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณ ประกอบการตดสนใจ และสามารถน าไปแกปญหาได

ดานทกษะกระบวนการ (P)

1. นกเรยนมความสามารถในการสอสาร 2. นกเรยนมความสามารถในการคด 3. นกเรยนมความสามารถในการแกปญหา 4. นกเรยนมความสามารถในการใชทกษะชวต 5. นกเรยนมความสามารถในการใชเทคโนโลย

ดานคณลกษณะทพงประสงค (A)

สาระการเรยนร

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แฟกทอเรยล วธเรยงสบเปลยน วธจดหม ทฤษฏบททวนาม ความนาจะเปน

กอนทผเรยนจะเขาไปศกษาเนอหาจากสาระการเรยนรในบทเรยนออนไลนน ผเรยนจะตองท าแบบทดสอบกอนเรยน จากนนผเรยนจะไดศกษาเกยวกบเรองความนาจะเปนซงมเรองยอยดงตอไปน กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ วธเรยงสบเปลยน วธจดหม ทฤษฎบททวนาม และความนาจะเปน จากนนเพอเปนการตรวจสอบดวาผเรยนมความรความเขาใจในเรองทไดศกษาไปแลวนมากนอยเพยงใด ผเรยนจะตองท าแบบทดสอบหลงเรยนวาจากการทไดศกษาเนอหานน มความรมากขนเพยงใดทงนทงนนผเรยนจะตองซอสตยตอตนเองดวย

ขอตกลงเบองตนในการเรยน

แบบทดสอบกอนเรยน

ขอตกลงเบองตนในการท าแบบทดสอบ

1. แบบทดสอบนมทงหมด 10 ขอ ควรท าใหครบทกขอ 2. กอนท าแบบทดสอบผเรยนจะตองเตรยมกระดาษและดนสอ หรอปากกา

เพอใชส าหรบจดคะแนนทผเรยนไดในการท า แบบทดสอบแตละขอ 3. เมอผเรยนเลอกค าตอบ - ถาถกจะได 1 คะแนน - ถาผดจะได 0 คะแนน 4. ในการท าแบบทดสอบกอนเรยนจะไมมการแสดงเฉลยค าตอบ แตจะมเฉลยค าตอบแสดงในการท าแบบทดสอบหลงเรยน

1. วธสรางจ านวนสามหลก ทมากกวา 300 จากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 โดยเลขโดดในแตละหลกไมซ ากน มทงหมดกวธ

ก. 60 วธ ข. 70 วธ

ง. 90 วธ ค. 80 วธ

2. จ านวนวธทจะจดชาย 6 คน และหญง 3 คน ยนเรยงแถวหนากระดานโดยทไมมหญง 2 คนใดยนตดกน เทากบขอใดตอไปน

ก. ข.

ง. ค.

6,6 7,3P P

6,5 7,2P P 7,6 7,3P P

6,3 7,3P P

3. จะสรางจ านวนทมสหลก จากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 8 , 9 ไดทงหมดกจ านวน โดยทแตละจ านวนนน ตองไมมเลขโดดในหลกใดซ ากนเลย

ก. 60 วธ ข. 80 วธ

ง. 120 วธ ค. 100 วธ

4. มหลอดไฟสขาว 4 หลอด สแดง 5 หลอด และสน าเงน 6 หลอด ตองการน าหลอดไฟทงหมดไปประดบตามรวในแนวเสนตรง ขอใดคอการหาจ านวนวธทแตกตางกนในการประดบหลอดไฟ เมอหลอดไฟสเดยวกนไมแตกตางกน

ก. ข.

ง. ค.

4!5!6!

3!4!5!

4!5!6!

5. ถาตองการจดใหเดกชาย 4 คน และเดกหญง 3 คน นงเปนวงกลม โดยไมใหเดกหญงนงตดกน จะจดไดทงหมดกวธ

ก. 100 วธ ข. 110 วธ

ง. 144 วธ ค. 112 วธ

6. ตองการเลอกกรรมการชดหนงประกอบดวยนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 2 คน และคร 1 คน จากนกเรยนชาย 20 คน นกเรยนหญง 25 คน คร 7 คน ขอใดคอการหาจ านวนวธทงหมดในการเลอกกรรมการ

ก. ข.

ง. ค.

20,2 25,2 7,1C C C 20,2 25,2 7,2C C C

30,2 25,2 7,1C C C 20,3 25,2 7,1C C C

7. กลองใบหนงมบตร 5 ใบ ซงมหมายเลข 1,2,3,4 และ 5 ถาหยบบตรจากกลองน 3 ใบพรอมกน จงหาความนาจะเปน ทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10

ง. ค. 1

ก. 1

8. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปน ทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออกหมายเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวาหลกหนวยเปน 1 เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ o-net ป 2549)

ก. 0.04 ข. 0.05

ง. 0.25 ค. 0.20

9. ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว ของสลากกนแบงรฐบาล จะออกทงเลขทงสองหลกเปนเลขเดยวกนเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ o-net ป 2550)

ก. ข.

ง. ค. 1

10. ในการโยนลกเตา 2 ลกหนงครง ความนาจะเปน ทจะไดแตมรวมเปน 7 โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอยกวา 4 เทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ PAT 1 ครงท 3/2552)

ก. ข.

ง. ค.

0 – 3 คะแนน ตองปรบปรงนะ 4 – 6 คะแนน กพอใชไดนะ 7 – 8 คะแนน ดมากคะ 9 – 10 คะแนน สดยอดไปเลย

ถกตองคะ….

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย

ขอ ก

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย

ผดคะ !!!!! คณตองพยายามมากกวานนะคะ

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9 ท าขอตอไปไดเลย

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ แฟกทอเรยล วธเรยงสบเปลยน วธจดหม ทฤษฏบททวนาม ความนาจะเปน

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

หลกการนบ

หลกการบวก หลกการคณ

การเขยนแจกแจงวธทงหมด

ในการหาจ านวนวธการท างานตางๆนน วธซงเปนพนฐานทสดนน คอการเขยนแจกแจงจ านวนวธออกมาโดยตรงซงวธทสะดวกทสด ในการเขยนแจกแจงกรณเรามกจะใช แผนภาพตนไม (Tree Diagram)

จากกรงเทพฯ ไปเชยงใหม มวธการเดนทางได 3 วธ คอ ทางรถยนต ทางรถไฟและทางเครองบน และจากเชยงใหม ไปแมฮองสอนมวธการเดนทางได 2 วธ คอ ทางรถยนต และทางเครองบนอยากทราบวาในการเดนทางจากกรงเทพฯ ไปแมฮองสอนโดยหยดแวะทเชยงใหมมวธการเดนทาง ไดทงหมดกวธ

ตวอยางท 1

วธท า ในการหาจ านวนวธการเดนทางทงหมดสามารถแสดงได ดวยแผนภาพตนไม ดงน

จากกรงเทพฯ ไปเชยงใหม จากเชยงใหมไปแมฮองสอน

รถยนต วธท 1 รถยนต

เครองบน

รถไฟ

รถยนต

เครองบน วธท 2

วธท 3

วธท 4

วธท 5

วธท 6

จากแผนภาพตนไม จะไดวาวธการเดนทางจากกรงเทพฯ ไปแมฮองสอน โดยหยดแวะทเชยงใหม มทงหมด 6 วธ คอ….

วธท วธการเดนทาง

กรงเทพฯ ไปเชยงใหม เชยงใหมไปแมฮองสอน

1 รถยนต รถยนต 2 รถยนต เครองบน 3 รถไฟ รถยนต 4 รถไฟ เครองบน 5 เครองบน รถยนต 6 เครองบน เครองบน

จากตวอยาง จะเหนวาการใชแผนภาพตนไมชวยในการหาค าตอบ ท าไดโดยงายเมอจ านวนวธทน ามาเขยนแผนภาพตนไมมจ านวนไมมากนก แตส าหรบปญหาทมจ านวนวธทเกยวของเปนจ านวนมาก การเขยนแผนภาพตนไมอาจท าไดไมสะดวก

ดงนน เพอใหการหาค าตอบท าไดงายและสะดวกรวดเรว จะใชวธการค านวณโดยอาศยหลกการทเกยวกบการนบ

หลกการบวก

หลกการคณ

ถางานอยางหนงมวธการท างาน k แบบ คอ แบบท 1 ถงแบบท k โดยท แบบท 1 มวธการท างานทสนสด n1 วธ แบบท 2 มวธการท างานทสนสด n2 วธ แบบท k มวธการท างานทสนสด nk วธ และวธการท างานทแตกตางกนทงหมด เทากบ n1 + n2 + … + nk วธ

หลกการบวก

นกเรยน 3 คน ตองการเขาและออกหองหองหนงซงมประต 3 บาน โดยนกเรยนคนท 1 เขาและออกโดยใชประตบานเดยวกน นกเรยนคนท 2 เขาและออกโดยไมใชประตบานเดม และนกเรยนคนท 3 เขาและออกโดยใชประตบานใดกได โดยถอวาแตละคนเขาออกประต ไมเกยวของกนจงหาจ านวนวธทนกเรยนทงสามคนนเขาและออกหองน

คนท 1

ประตท 1 ประตท 1

เขา ออก

คนท 2

ประตท 3

ประตท 2

ประตท 3

ประตท 1

ประตท 3

ประตท 1

ประตท 2

3 วธ

6 วธ

คนท 3

ประตท 3

ประตท 2

ประตท 3

ประตท 1

9 วธ ประตท 2

ประตท 3

ประตท 1

ประตท 2

ประตท 3

ประตท 1

เขา ออก

นกเรยนคนท 1 มวธเขาและออกได 3 วธ นกเรยนคนท 2 มวธเขาและออกได 6 วธ นกเรยนคนท 3 มวธเขาและออกได 9 วธ ดงนน วธทนกเรยนทงสามคนเขาและออกหองนมทงหมด 3 + 6 + 9 = 18

วธท า

ในการท างานอยางหนงทจะท าใหงานส าเรจมขนตอนการท างาน k ขนตอน คอ ขนตอนท 1 ถงขนตอนท k ตามล าดบ โดยท การท างานขนตอนท 1 มวธท า n1 วธ การท างานขนตอนท 2 มวธท า n2 วธ การท างานขนตอนท k มวธท า nk วธ และวธการท างานแตละวธแตกตางกน จ านวนวธท างานนเทากบ n1 x n2 x . . . x nk วธ

หลกการคณ

บรษทผลตเสอผาส าเรจรปแหงหนงผลตเสอ 6 แบบ กางเกง 5 แบบ และเนคไท 4 แบบ ถาจะจดแตงตวใหกบหน เพอน าไปโชวหนาราน จะสามารถแตงเปนชดตางๆ ไดกชด

ในการแตงตวใหกบหน ม 3 ขนตอน คอ ขนตอนท 1 เลอกเสอได 6 วธ ขนตอนท 2 เลอกกางเกงได 5 วธ ขนตอนท 3 เลอกเนคไทได 4 วธ ดงนน วธแตงตวใหกบหนท าไดทงหมด 6 x 5 x 4 = 120 วธ นนคอ จะแตงตวใหกบหนเปนชดตางๆกนได 120 ชด

วธท า

สมาคมแหงหนงมสมาชก 50 คน ถาตองการเลอกคณะกรรมการชดหนง ซงประกอบดวยนายกสมาคม อปนายกสมาคม เลขานการ และเหรญญก ต าแหนงละ 1 คน โดยทกรรมการคนเดยวกนจะท าหนาท 2 ต าแหนงไมได จะมวธเลอกคณะกรรมการไดกวธ

ในการเลอกกรรมการ จะเลอกต าแหนงใดกอนกได ซงแบงไดเปน 4 ขนตอน ดงน ขนท 1 เลอกนายกสมาคมได 50 วธ ขนท 2 เลอกอปนายกสมาคมได 49 วธ (เลอกไปแลว 1 คน เหลอ 49 คน) ขนท 3 เลอกเลขานการได 48 วธ (เลอกไปแลว 2 คน เหลอ 48 คน) ขนท 4 เลอกเหรญญกได 47 วธ (เลอกไปแลว 3 คน เหลอ 47 คน) ดงนน เลอกคณะกรรมการไดทงหมด วธ

วธท า

50 49 48 47 5,527,200

ตองการสรางจ านวนทมสามหลกจากเลขโดด 2,4,6,7,8 โดยแตละหลกใชเลขโดดไมซ ากน จะสรางไดทงหมดกจ านวน

การสรางจ านวนทมสามหลก ท าไดโดยเลอกเลขโดดจากทก าหนดใหวางในหลกหนวย หลกสบ หลกรอย โดยจะวางหลกใดกอนกได หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

วธท า

5 วธ 4 วธ 3 วธ

การสรางจะแบงได 3 ขนตอน ขนตอนท 1 เลอกตวเลขโดด 1 ตว วางทหลกหนวย เลอกได 5 วธ ขนตอนท 2 เลอกตวเลขโดด 1 ตวจากทเหลอ วางทหลกสบ เลอกได 4 วธ ขนตอนท 3 เลอกตวเลขโดด 1 ตวจากทเหลอ วางทหลกรอย เลอกได 3 วธ ดงนน จ านวนสามหลกทตองการมทงหมด จ านวน

5 4 3 60

หลกการบวกและหลกการคณแตกตางกนอยางไร ?

ขอสงเกต งานทส าเรจแลว จะใชหลกการบวก งานทยงไมส าเรจ จะใชหลกการคณ

ถา n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล หมายถง ผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง และเขยนแทนดวย

นนคอ หรอ สญลกษณ “ ” อานวา “ แฟกทอเรยลเอน ” หรอ “ เอนแฟกทอเรยล ”

บทนยามท 1

แฟกทอเรยล (Factorial)

n! 1 2 3 ... n 1 n

n! n n 1 ... 3 2 1

ตวอยาง

2! 2 1 2

3! 3 2 1 6

4! 4 3 2 1 24

5! 5 4 3 2 1 120

สมมตให จะได

n! n n 1 ... 3 2 1

n n 1 !

1! 1 1 1 !

1! 1 0!

1 1 0!

นยาม 2 ก าหนด 0! 1

ตวอยางท 6 จงหาคาของ วธท า

4!6! 4 3 2 1 6!

8! 8 7 6!

วธเรยงสบเปลยน (Permutation) เปนการจดเรยงสงของ โดยค านงถงต าแหนงของสงของแตละสงเปนส าคญ

วธเรยงสบเปลยน

มเลขโดด 1,2 และ 3 ถาตองการน ามาจดเรยงเปนจ านวนสองหลก โดยทแตละหลกมเลขโดดไมซ ากน จะไดจ านวนทแตกตางกนทงหมด 6 จ านวน คอ 12 , 21 , 13 , 31 , 23 และ 32 ในกรณน เปนวธเรยงสบเปลยนของเลขโดด 1 , 2 และ 3 โดยจดทละ 2 ตว การหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนดงกลาว สามารถใชหลกการคณ มาค านวณไดดงน

เชน

หลกสบ หลกหนวย ขนท 1 หลกสบ เลอกได 3 วธ จากเลขโดด 1 , 2 , 3 ขนท 2 หลกหนวย เลอกได 2 วธจากเลขโดดทเหลอ 2 ตว ดงนน จ านวนวธเรยงสบเปลยนของเลขโดดดงกลาว คอ วธ

วธท า

1 2 3 3 2 3 3

ในหวขอ นตองการค านวณหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ โดยอาศยหลกการคณและแทนจ านวนทไดอยในรปแฟกทอเรยล โดยทวไป วธเรยงสบเปลยนจะแบงได 2 แบบ คอ วธเรยงสบเปลยนเชงเสน วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

วธเรยงสบเปลยน

การเรยงสบเปลยนเชงเสน การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

วธเรยงสบเปลยนเชงเสน เปนการจดเรยงสงของในแนวเสนตรงซงแบงออกเปน 2 แบบ คอ

วธเรยงสบเปลยนเชงเสน(Linear Permutation)

1.วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด

2. วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมด

1.วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด

ถามสงของ สง ซงแตกตางกนทงหมดและตองการ น ามาจดเรยงในแนวเสนตรงจ านวน สง ( ) ต าแหนงทจะจดเรยงม ต าแหนง ต าแหนงท 1 ต าแหนงท 2 ต าแหนงท r

ต าแหนงท 1 มวธน าสงของวางได n วธ ต าแหนงท 2 แตละวธทวางสงของในต าแหนงท 1 มวธ น าสงของวางในต าแหนงท 2 ได n - 1 วธ ต าแหนงท r แตละวธทวางสงของในต าแหนงท 1 ถงต าแหนงท r - 1 มวธน าสงของวางใน ต าแหนงท r ได n - ( r -1) = n – r + 1 วธ

จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สงทแตกตางกน ทงหมด โดยจดเรยงคราวละสง เทากบ วธ

ทฤษฏท 1

ทฤษฏท 2

จ านวนวธเรยงสบเปลยนของสงของ n สง ซงแตกตางกนทงหมด โดยจดเรยงคราวละ r สง เทากบ วธ เมอ

มหนงสอทแตกตางกน 6 เลม ตองการน าหนงสอมา 4 เลม เพอจดเรยงเปนแถวบนชนจะจดไดกวธ วธท า จากสตร ดงนน จดเรยงหนงสอ 4 เลม ได 360 วธ

6 5 4 3

ในทน

ถาตองการสลบตวอกษรในค าวา “hyperbola”จะสลบไดกวธ เมอตองการให h และ y อยตดกน วธท า ตองการให h และ y อยตดกน กพจารณาวา hy เปนอกษร 1 ตว และ yh กเปนอกษร 1 ตว ในกรณทพจารณาวา hy เปนอกษร 1 ตว จะไดวามอกษรทน ามาสลบ 8 ตว คอ hy,p,e,r,b,o,l,a ซงสลบได วธ ในกรณทพจารณาวา yh เปนอกษร 1 ตว จะไดวามอกษรทน ามาสลบ 8 ตว คอ yh,p,e,r,b,o,l,a ซงสลบได วธ ดงนน จ านวนวธทสลบตวอกษรโดยท h และ y อยตดกน วธ

8,8P 8!

8! 8! 80,640

8,8P 8!

มหนงสอคณตศาสตรตางกน 6 เลม และหนงสอเคม ตางกน 4 เลม จะมกวธทจะจดหนงสอเหลานบนชน โดยท 1) หนงสอวชาเดยวกนอยตดกน 2) หนงสอวชาเดยวกนอยรมทงสองดาน

วธท า 1) กรณหนงสอวชาเดยวกนอยตดกน จดหนงสอวชาเดยวกนมดตดกนโดยคดเปนสงของ 1 สง ดงนน จะมหนงสออย 2 มด จดเรยงได 2! วธ แตละวธใน 2! วธน มดทเปนหนงสอคณตศาสตร 6 เลมนน จดเรยงได 6! วธ มดทเปนหนงสอเคม 4 เลม จดเรยงได 4! วธ จะไดวา จ านวนวธจดเรยงใหหนงสอวชาเดยวกนอยตดกน 2!6!4! = 34560 วธ

คณตศาสตร เคม 2! 6! 4!

วธท า 2) กรณหนงสอวชาเดยวกนอยรมทงสองดาน แบงเปน 2 กรณ กรณท 1 รมทงสองดานเปนหนงสอคณตศาสตร จดหนงสอคณตศาสตรอยรมทงสองดานกอนได วธ จากนนจดหนงสอทเหลอทงหมดไวระหวางหนงสอคณตศาสตร 2 เลม ได 8! วธ ดงนน จ านวนวธจดหนงสอโดยใหรมทงสองดานเปนหนงสอคณตศาสตร เทากบ วธ

6!P 8! 8! 1,209,600

กรณท 2 รมทงสองดานเปนหนงสอเคม จดหนงสอเคมอยรมทงสองดานกอนได วธ จากนนจดหนงสอทเหลอทงหมดไวระหวางหนงสอเคม 2 เลม ได 8! วธ ดงนน จ านวนวธจดหนงสอโดยใหรมทงสองดานเปนหนงสอเคม เทากบ วธ จากทง 2 กรณ ดงนน จ านวนวธการจดหนงสอวชาเดยวกนอยรมทงสองดาน เทากบ 1,209,600 + 483,840 = 1,693,440 วธ

4!P 8! 8! 483,840

2.วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมด

ถามสงของอย n สง ในจ านวนนม n1 สงทเหมอนกนเปนกลมทหนง ม n2 สงทเหมอนกนเปนกลมทสอง ม nk สงทเหมอนกนเปนกลมท k โดยท n1 +n2 + … + nk = n จ านวนวธเรยงสบเปลยนกลมของสงของ n สง เทากบ วธ

n ! n ! n !

ทฤษฏท 3

จงหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนตวอกษรจากค าวา “MATHEMATICS ” ทแตกตางกนโดยไมค านงถงความหมาย จ านวนตวอกษรมทงหมด 11 ตว มตวอกษร M อย 2 ตว มตวอกษร A อย 2 ตว มตวอกษร T อย 2 ตว และมตวอกษร H,E,I,C และ S อยางละ 1 ตว จ านวนวธเรยงสบเปลยนตวอกษรดงกลาวเทากบ = 4,989,600 วธ

2!2!2!1!1!1!1!1!

ทฤษฏท 3

M A T H E M A T I C S

มหนงสออย 10 เลม เปนหนงสอคณตศาสตร (เหมอนกนทกเลม) จ านวน 6 เลม และเปนหนงสอภาษาองกฤษ (เหมอนกนทกเลม) จ านวน 4 เลม จงหาจ านวนวธจดหนงสอทง 10 เลม วางบนชนหนงสอ โดยใหหนงสอทอยหวแถวและทายแถวเหมอนกน วธท า กรณท 1 ใหหนงสอคณตศาสตร อยหวแถวและทายแถวจดได 1 วธ สวนตรงกลางเปนการจดเรยงหนงสอทเหลอจ านวน 8 เลม ซงประกอบดวยหนงสอคณตศาสตร 4 เลม และหนงสอภาษาองกฤษ 4 เลม จะจดได วธ ดงนน จ านวนวธจดเรยงทงหมดเทากบ วธ

4!4!8!

1 704!4!

กรณท 2 ใหหนงสอภาษาองกฤษ อยหวแถวและทายแถวจดได 1 วธ สวนตรงกลางเปนการจดเรยงหนงสอทเหลอจ านวน 8 เลม ซงประกอบดวยหนงสอคณตศาสตร 6 เลม และหนงสอภาษาองกฤษ 2 เลม จะจดได วธ ดงนน จ านวนวธจดเรยงทงหมดเทากบ วธ จากทงสองกรณสรปไดวา จ านวนวธจดเรยงหนงสอดงกลาว โดยใหหนงสอทเหมอนกนอยหวแถวและทายแถวเทากบ 70 + 28 = 98 วธ

6!2!8!

1 286!2!

วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

พจารณาการจดเรยงตวอกษร 3 ตว คอ A , B และ C เปนแถวตรงจะมวธจดเรยงได 3! = 6 วธ คอ ABC BCA CAB ACB BAC CBA วธการจดเรยงตวอกษร ABC , BCA ,CAB , ACB , BAC และ CBA เปนการจดเรยงแถวตรงทแตกตางกน แตถาน าแตละวธมาจดเปนวงกลมจะได

A→B→C B→C→A C→A→B A→C→B B→A→C C→B→A Home

A→B→C B→C→A C→A→B จะเหนวา วธการจดเรยงตวอกษร ABC BCA และ CAB ถอวาเปนการจดเรยงเปนวงกลมเพยง 1 วธ ดงตอไปน

A→C→B B→A→C C→B→A ในท านองเดยวกน จะเหนวาวธการจดเรยงตวอกษร ACB BAC และ CBA ถอวาเปนการจดเรยงเปนวงกลมเพยง 1 วธ ดงตอไปน

ดงนน การจดเรยงตวอกษร 3 ตว เปนวงกลม จะจดได 2 วธ คอ

แนวคดในการหาจ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม ( Circular Permutation ) ของสงของทแตกตางกน n สง อาจจะเรมโดยใหสงของสงหนงอยคงท ณ ต าแหนงใดต าแหนงหนง แลวจดเรยงสบเปลยนสงของทเหลออย n – 1 สง จะได จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมทงหมด เทากบ n 1 n 2 n 3 3 2 1 n 1 !

จ านวนวธเรยงสบเปลยนเชงวงกลมของสงของทแตกตางกน n สง เทากบ (n-1)! วธ

ทฤษฏท 4

จดนกเรยน 10 คน ใหนงรอบโตะกลมซงม 10 ทนงไดทงหมดกวธ วธท า จ านวนวธทจะจดนกเรยน 10 คน นงรอบโตะกลมซงม 10 ทนง (10 – 1)! = 9! = 362,880 วธ

ทฤษฏท 4

มนกเรยนชาย 6 คน และนกเรยนหญง 6 คน ตองการจดนกเรยนทงหมดใหนงรอบโตะกลม ซงม 12 ทนง โดยทนกเรยนชายกบนกเรยนหญงตองนงสลบกนจะมวธจดทงหมดกวธ วธท า จดใหนกเรยนชาย 6 คน นงรอบโตะกลมกอน โดยทนกเรยนชาย 2 คนใดๆ ตองไมนงเกาอตดกน จะได (6-1)! = 5! วธ

ช ช

ในแตละวธจดนกเรยนหญงใหนงเกาอทวางซงมทนง 6 ท จะจดได 6! วธ ดงนน จ านวนวธจดใหนกเรยนชายและหญงนงสลบกน เทากบ 5!6! = 86,400 วธ

หมายเหต ในตวอยางน อาจจดใหนกเรยนหญง 6 คน นงโตะกลมกอนกไดซงจะไดค าตอบเทากน

มชาย 5 คน และหญง 4 คนตองการจดคนทง 9 คนยนเปนวงกลม โดยไมมหญง 2 คนใดเลยยนตดกนจะมวธการจดทงหมดกวธ วธท า วธการจดคนทง 9 คน ยนเปนวงกลม โดยไมมหญงสองคนใดเลยยนตดกนกคอการจดใหชายยนเปนวงกลมกอน หลงจากนนใหหญงยนแทรกระหวางชาย ดงรป

ช ช

เนองจากการจดชายยนเปนวงกลมกอนจดได 4! วธ และต าแหนงทจะใหหญงไปยนแทรกมทงหมด 5 ต าแหนง แตมหญงเพยง 4 คน ฉะนน ตองมชายสองคนยนตดกนซงเปนไปได 5 วธ และแตละวธสามารถจดผหญงเขาไปยนได 4! วธ ท าใหจดหญงยนแทรกระหวางชายได 5 × 4! หรอ 5! วธ ดงนน วธจดคนทง 9 คน ยนเปนวงกลม โดยทไมมหญงสองคนใดเลยยนตดกน เทากบ 4!5! = 2,880 วธ

วธเรยงสบเปลยนสงของทแตกตางกนเปนวงกลมในลกษณะ 3 มต

ถามสงของ n สงตางกน น ามาเรยงสบเปลยนเปนวงกลมทงหมด ทมลกษณะ 3 มต (กลาวคอ มองไดทงสองดาน เชน การรอยลกปด พวงกญแจ การรอยพวงมาลยดอกไม) จะไดวาจ านวนวธการเรยงสบเปลยนเทากบ วธ n 1 !

มดอกไม 7 ดอก ดอกละส จะมวธน าดอกไมทง 7 ดอก มารอยเปนพวงมาลยวงกลมไดกวธ วธท า วธน าดอกไมทง 7 ดอกมารอยเปนพวงมาลยวงกลม ดงนน มวธน าดอกไมทง 7 ดอกมารอยเปนพวงมาลยวงกลม ไดเทากบ 360 วธ

(7 1)!360

วธ

วธจดหม (Combination) เปนการเลอกสงของออกเปนหมหรอชด โดยไมค านงล าดบของสงของเหลานวาจะไดสงของใดออกมากอนหรอหลง

จ านวนวธจดหมของสงของทแตกตางกน n สง โดยเลอกคราวละ r สง เทากบ วธ

ทฤษฏท 5

r n r !r!

จงหาวาจ านวนวธเลอกนกเรยน 3 คน จากนกเรยนกลมหนงซงม 10 คน มทงหมดกวธในการเลอก วธท า จ านวนวธเลอกนกเรยน 3 คน จากนกเรยน 10 คน ม วธ เนองจาก ดงนน จ านวนวธเลอกนกเรยน 3 คน จากนกเรยน 10 คน ม 120 วธ

10 10!

3 7!3!

10 9 8

กลองใบหนงมลากหมายเลข 1 ถง 10 สมหยบฉลากมา 4 ใบ พรอมกน ความนาจะเปนทจะหยบไดฉลากแตมนอยกวา 4 สองใบและมากกวา 6 หนงใบ มคาเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบแขงขน สมาคมคณตศาสตรแหงประเทศไทย ป 2542) ก. ข. ค. ง.

มฉลากหมายเลข 1 ถง 10 ในกลอง สมหยบมา 4 ใบ จ านวนวธทจะเกดขนได วธ เหตการณทตองการคอ ใน 4 ใบดงกลาวมแตมนอยกวา 4 สองใบ และมากกวา 6 หนงใบท าไดดงน ดงนน จ านวนวธทจะเกดเหตการณดงกลาวเทากบ วธ ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณดงกลาว คอ ตอบ ตวเลอก ข.

วธท า

10,4C 210

2 3 4 7 6 5 1 10 9 8

นอยกวา 4 มากกวา 6 หยบมา 2 ใบ ได วธ

3,2C 3

หยบมา 1 ใบ ได 3 วธ

หยบมา 1 ใบ ได 4 วธ

3 3 4 36

210 35

ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem) ถา x , y เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวกแลว จ านวน ทเปนสมประสทธของแตละพจน ในการกระจาย เรยกวา สมประสทธทวนาม (Binomial coefficient)

n n n 1 n r r n

n n n nx y x x y x y y

0 1 r n

n n n n n, , , , , ,

0 1 2 r n

ทฤษฏท 6

การหาพจนทวไป ให หมายถงพจนท r ของการกระจาย จะไดวาพจนท r ของการกระจาย คอ หรอเพอสะดวกในการจ า เราอาจใชสตรการหาพจนท r+1 แทน นนคอ หมายเหต ผลบวกการกระจายตองม n + 1 พจน

n r 1 r 1

nT x y

จงกระจาย โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า

22x 3y

4 24 3 24 4 42 2 22x 3y 2x 2x 3y 2x 3y0 1 2

3 44 42 22x 3y 3y3 4

24 3 22 22x 4 2x 3y 6 2x 3y

3 42 24 2x 3y 3y

4 3 2 2 4 6 816x 96x y 216x y 216xy 81y

จงกระจาย โดยใชทฤษฎบททวนาม วธท า

5 5 4 3 25 5 52x y 2x 2x y 2x y

5 5 52 3 4 52x y 2x y y

5 4 3 2 2 3 4 532x 80x y 80x y 40x y 10xy y

ตวอยางท 4.13 จงหาสมประสทธของพจนกลางจากการกระจาย วธท า พจนกลางของการกระจาย คอ พจนท 4 เนองจากมการกระจาย 7 พจน จาก สมประสทธของพจนกลาง คอ

3! 6 3 ! 27

6.5.4.3! 1y

3.2.1 3! 27

ความนาจะเปน และ

กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน

การทดลองสม ปรภมตวอยาง เหตการณ ความนาจะเปน กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน

ในการทอดลกเตาลกหนง ผลลพธทนาสนใจคอแตมบนหนาทหงายขน ดงนน ผลลพธทเปนไปได คอ ไดแตม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรอ 6 แตไมสามารถบอกไดวาเมอทอดลกเตาลกหนงแลวจะไดแตมใด ในการโยนเหรยญหนงอนบนพนราบ ผลลพธทเปนไปได คอ ดานทหงายขนเปนดานหวหรอกอย แตไมสามารถบอกลวงหนาไดวาในการโยนครงนจะไดผลลพธเปนอะไร การกระท าดงกลาว เรยกวา การทดลองสม (Random Experiment)

การทดลองสม (Random Experiment)

การทดลองสม หมายถง การทดลองหรอการกระท าใดๆ ซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกไดอยางถกตองแนนอน วาในแตละครงททดลองผลทเกดขนจะเปนอะไรในบรรดาผลลพธ ทอาจเปนไปไดเหลาน

การโยนเหรยญ 2 เหรยญ พรอมกน จะเปนการทดลองสม เพราะวาผลลพธทเปนไปไดเขยนแทนไดดวย คอนดบ (หว,หว) , (กอย,หว) , (หว,กอย) และ (กอย,กอย) หรอ ก าหนดให H แทน การออกหว T แทน การออกกอย จะไดคอนดบ (H,H),(H,T),(T,H) และ(T,T)

ปรภมตวอยาง หรอ แซมเปลสเปซ (Sample space) หมายถง เซตของผลลพธทงหมดทเปนไปไดจากการทดลองสม แตละสมาชกของปรภมตวอยางหรอผลการทดลอง เรยกวา จดตวอยาง (Sample point หรอ Outcome)

ปรภมตวอยาง (Sample space)

ในการโยนเหรยญ 1 อน ผลทเกดขนเปนหวหรอกอย ปรภมตวอยางของการโยนเหรยญ 1 เหรยญ คอ S = { หว , กอย } หรอให H แทน การออกหว T แทน การออกกอย จะไดวา S = { H , T } จดตวอยางคอ H และ T

ในการทดลองสมครงหนง อาจจะมปรภมตวอยางไดมากกวาหนงแบบกได ทงนขนอยกบผลลพธทสนใจ ดงตวอยางตอไปน

การโยนเหรยญ 2 เหรยญพรอมกน ถาผลลพธทสนใจ คอ การขนหนาของเหรยญทปรากฏ และให S1 แทนปรภมตวอยางของการทดลองน จะได แตถาสนใจผลลพธทเปนจ านวนเหรยญทขนหวและให S2 แทนปรภมตวอยางของการทดลองน จะได S2 = { 0 , 1 ,2 }

1S H,H , H,T , T,H , T,T

Home ภาพประกอบ

(H,T) (T,H)

กลบ

จงเขยนปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก พรอมกน 1 ครง โดยท 1) สนใจผลลพธทเปนแตมของลกเตาทงสองลก 2) สนใจผลลพธทเปนผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองลก

วธท า 1) ให S1 แทนปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก โดยสนใจผลลพธทเปนแตมของลกเตาทงสองลก จะได S1 = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

2) ให S2 แทนปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก โดยสนใจผลลพธทเปนผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองลก จะได S2 = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

S1 = { (1,1) , (1,2) ,(1,3 ), (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

2 3 4 5 7 6

เหตการณ (Event) คอ สบเซตของปรภมตวอยาง

เหตการณ (Event)

ถาปรภมตวอยางของการทอดลกเตา 2 ลก คอ S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6), (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

เชน

ให E1 แทนเซตของเหตการณทแตมของลกเตาทงสองเปนจ านวนค จะได E1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)} ให E2 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 5 จะได E2 = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} ให E3 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 20 จะได E3 =

ให E1 แทนเซตของเหตการณทแตมของลกเตาทงสองเปนจ านวนค จะได E1 = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}

S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6), (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

ให E2 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 5 จะได E2 = {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}

S1 = { (1,1) , (1,2) ,(1,3 ), (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

ให E3 แทนเซตของเหตการณทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 20 จะได E3 =

การโยนเหรยญหนงเหรยญกบการทอดลกเตาหนงลกพรอมกน จงหา 1) เหตการณทเหรยญออกกอยและลกเตาขนแตมเปนเลขค 2) เหตการณทลกเตาขนแตมเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว 3) เหตการณทเหรยญออกหว และลกเตาขนแตมเปนจ านวนค

1) ให E1 แทนเหตการณทเหรยญออกกอยและลกเตาขนแตมเปนจ านวนค E1 = {(T,1), (T,3), (T,5)} 2) ให E2 แทนเหตการณทลกเตาขนแตมเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว E2 = {(H,3), (H,6), (T,3), (T,6)} 3) ให E3 แทนเหตการณทเหรยญออกหว และลกเตาขนแตมเปนจ านวนค E3 = {(H,2), (H,4), (H,6)}

วธท า

อธบาย

(H,6) (T,1)

(T,2) (T,3)

(T,4) (T,5)

(T,6) กลบ

วธคดขอ 1

(T,6) กลบ

กลองใบหนงมลกบอลสขาว 3 ลก สแดง 2 ลก หยบลกบอลจากกลองพรอมกน 2 ลก จงหา 1)ปรภมตวอยางเมอสนใจสของลกบอลและเหตการณทจะไดลกบอลสขาว 2) ปรภมตวอยาง เมอสนใจลกบอลทจะหยบและเหตการณทจะได ลกบอลสขาว 1 ลก และสแดง 1 ลก

1) จงหาปรภมตวอยาง เมอสนใจสของลกบอล และเหตการณทจะไดลกบอลสขาว วธท า ให S1 แทนปรภมตวอยาง เมอสนใจสของลกบอล และ E1 แทนเหตการณทจะไดลกบอลสขาว จะได S1 = {ขาวกบขาว , ขาวกบแดง , แดงกบแดง} และ E1 = {ขาวกบขาว , ขาวกบแดง}

วธท า

2) จงหาปรภมตวอยาง เมอสนใจลกบอลทจะหยบและเหตการณทจะไดลกบอลสขาว 1 ลก และสแดง 1 ลก วธท า ให S2 แทนปรภมตวอยาง เมอสนใจลกบอลทหยบ E2 แทนเหตการณทจะไดลกบอลสขาว 1 ลก และสแดง 1 ลก เนองจากการทดลองสมนสนใจลกบอลแตละลกทหยบ ดงนน ให W1 , W2 , W3 เปนลกบอลสขาว 3 ลก และ R1 , R2 เปนลกบอลสแดง 2 ลก จะได S2 = {W1W2 , W1W3 , W1R1 , W1R2 , W2W3 , W2R1 , W2R2 , W3R1 ,W3R2 , R1R2} E2 ={W1R1 , W1R2 , W2R1 , W2R2 , W3R1 , W3R2}

R1 R2 R1R2 Home

ปรภมตวอยางและเหตการณตางกเปนเซตในทนเอกภพสมพทธ คอ ปรภมตวอยางและเหตการณเปนสบเซต การพจารณายเนยนของเหตการณ อนเตอรเซกชนของเหตการณ และคอมพลเมนตของเหตการณ สามารถท าเชนเดยวกบเรองเซต ให S เปนปรภมตวอยาง และให A และ B เปนเหตการณสองเหตการณ เปนเหตการณซงประกอบดวยสมาชกของเหตการณ A หรอ ของเหตการณ B หรอของทงสองเหตการณนนคอ

A B x|x A x B

เปนเหตการณซงประกอบดวยสมาชกทอยท งในเหตการณ A และเหตการณ B นนคอ ถา แลว จะเรยกเหตการณ A และ B วา เหตการณทไมเกดรวมกน ( Mutually exclusive events) เปนเหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยในปรภมตวอยาง S แตไมอยในเหตการณ A นนคอ

A B x|x A x B

A x | x S x A

ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน ถาผลลพธทสนใจคอผลรวมของแตมบนลกเตาทงสองและให A แทนเหตการณทผลรวมของแตมเปนจ านวนค B แทนเหตการณทผลรวมของแตมเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว C แทนเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 6 D แทนเหตการณทผลรวมของแตมเปนจ านวนทหารดวย 4 ลงตว

จงหา 1) 2) 3) 4) 5) ปรภมตวอยาง

A B B C C D

S 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

A 3,5,7,9,11

B 3,6,9,12

D 4,8,12

A แทนเหตการณทผลรวมของแตม เปนจ านวนค B แทนเหตการณทผลรวมของแตม เปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว C แทนเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 6 D แทนเหตการณทผลรวมของแตม เปนจ านวนทหารดวย 4 ลงตว

1) A B 3,5,6,7,9,11,12

2) B C 3,6,9,12

3) C D

4) B C 6

5) D 2,3,5,6,7,9,10,11

S 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

A 3,5,7,9,11

B 3,6,9,12

D 4,8,12

พจารณาการทดลองสมตอไปน หยบลกบอล 1 ลก จากกลองทมลกบอลสแดง 2 ลก และลกบอลสขาว 5 ลก ปรภมตวอยางประกอบดวยสมาชก 7 ตว และเหตการณทจะหยบลกบอลสแดงประกอบดวยสมาชก 2 ตว โอกาสทจะหยบลกบอลลกใดลกหนงมเทากน ในการค านวณหาโอกาส การเกดเหตการณดงกลาวจะเกดขนมากนอยเพยงใด หาไดจากอตราสวนระหวางจ านวนสมาชกของเหตการณตอจ านวนสมาชกของปรภมตวอยาง อตราสวนทไดจะเรยกวา ความนาจะเปน (Probability) ของเหตการณ

ความนาจะเปน (Probability)

ถา S แทนปรภมตวอยางของการทดลองสมอยางหนง ซงแตละจดตวอยางของการทดลองมโอกาสเกดขนเทาๆกน และ E แทนเหตการณความนาจะเปนของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E) ซง เมอ n(E) แทนจ านวนสมาชกในเหตการณ E n(S) แทนจ านวนสมาชกในปรภมตวอยาง S

บทนยามท 4

n EP E

1. ความนาจะเปนของเหตการณ E ใด ๆ จะมคาตงแต 0 ถง 1 เสมอ นนคอ P(E) = 0 หมายความวา เหตการณ E ไมมโอกาสเกดขนเลย P(E) = 1 หมายความวา เหตการณ E จะเกดขนอยางแนนอน 2. ความนาจะเปนของปรภมตวอยาง S มคาเทากบ 1 นนคอ P(S) = 1 3. ความนาจะเปนของเหตการณทเปนเซตวางมคาเทากบ 0 นนคอ

0 P E 1

สมบตของความนาจะเปน

ในการทอดลกเตาหนงลก 2 ครง จงหาความนาจะเปนทผลรวมของแตมจากการทอดลกเตา 2 ครง เทากบ 6 วธท า ให S แทนปรภมตวอยาง และ E แทนเหตการณทจะไดผลรวมของแตม จากการทอดลกเตา 2 ครง เทากบ 6

S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6), (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6), (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6), (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6), (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) } และ E = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} ดงนน

กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน

ให S เปนปรภมตวอยาง ซงเปนเซตจ ากด และ A, B เปนเหตการณใดๆ กฎขอท 1 กฎขอท 2 ถา แลว กฎขอท 3 กฎขอท 4

P A B P A P B P A B

A B P A B P A P B

P A 1 P A

P A B P A P A B

ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมกน จงหา 1) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน

หรอผลรวมของแตมมากกวา 10 2) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน

หรอผลรวมของแตมเทากบ 7 3) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนา ไมเหมอนกน 4) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน แตผลรวมของแตมไมมากกวา 10

ให S แทนปรภมตวอยาง A แทนเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน B แทนเหตการณทผลรวมของแตมเทากบ 7 C แทนเหตการณทผลรวมของแตมมากกวา 10 S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

วธท า

A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } B = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) } C = {(5,6), (6,5), (6,6) } ดงนน

6 1P A

P B36 6

P C36 12

1. ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกน หรอผลรวมของแตมมากกวา 10 คอ เนองจาก จงไดวา ดงนน

P A C P A P C P A C

A C { 6,6 } P A C36

1 1 1 2

P A C6 12 36 9

วธท า

2. ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลกจะขนหนาเหมอนกนหรอผลรวมของแตมเทากบ 7 คอ เนองจาก จงไดวา ดงนน

P A B P A P B6 6 3

วธท า

3) ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลก จะขนหนาไมเหมอนกน คอ และ ดงนน ความนาจะเปนของเหตการณทลกเตาทงสองลก จะขนหนาไมเหมอนกนเทากบ 5

P A 1 P A 16 6

วธท า

ขาวสารบรรจถงแลวกองหนงประกอบดวย ขาวหอมมะล 4 ถง ขาวเสาไห 3 ถง ขาวขาวตาแหง 2 ถง และขาวบสมาต 1 ถง ความนาจะเปนทจะไดขาวครบทกชนดเทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ PAT 1 ครงท 1/2552) ก. ข. ค. ง.

ขาวม 4 ชนด สมหยบ 4 ถง ใหไดครบทกชนด

4 3 2 1

1 1 1 1

4 3 2 1

วธท า

วธ

10 4 !4!

10 9 8 7 6!210

6! 4 3 2 1

จะตองหยบขาวชนดละ 1 ถงได

จ านวนวธสมหยบขาวชนดใดกได 4 ถง

วธ

ดงนน ความนาจะเปนทจะสมหยบขาว 4 ถงไดขาวครบทกชนด 24 4

210 35

แบบทดสอบหลงเรยน

ก. 60 วธ ข. 70 วธ

ง. 90 วธ ค. 80 วธ

1. วธสรางจ านวนสามหลก ทมากกวา 300 จากเลขโดด 0,1,2,3,4 และ 5 โดยเลขโดดในแตละหลกไมซ ากน มทงหมดกวธ

ก. ข.

ง. ค.

6,5 7,2P P 7,6 7,3P P

6,3 7,3P P6,6 7,3P P

2. จ านวนวธทจะจดชาย 6 คน และหญง 3 คน ยนเรยงแถวหนากระดาน โดยทไมมหญง 2 คนใดยนตดกนเทากบขอใดตอไปน

ก. 60 วธ ข. 80 วธ

ง. 120 วธ ค. 100 วธ

3. จะสรางจ านวนทมสหลก จากเลขโดด 2 , 4 , 6 , 8 และ 9 ไดทงหมดกจ านวน โดยทแตละจ านวนนนตองไมมเลขโดด ในหลกใดซ ากนเลย

ง. ค.

3!4!5!

4!5!6!

4. มหลอดไฟสขาว 4 หลอด สแดง 5 หลอด และสน าเงน 6 หลอด ตองการน าหลอดไฟทงหมดไปประดบตามรวในแนวเสนตรง ขอใดคอการหาจ านวนวธทแตกตางกนในการประดบหลอดไฟ เมอหลอดไฟสเดยวกนไมแตกตางกน

ก. 100 วธ ข. 110 วธ

ง. 144 วธ ค. 112 วธ

5. ถาตองการจดใหเดกชาย 4 คน และเดกหญง 3 คน นงเปนวงกลม โดยไมใหเดกหญงนงตดกน จะจดไดทงหมดกวธ

ก. ข.

ง. ค.

20,2 25,2 7,1C C C 20,2 25,2 7,2C C C

20,3 25,2 7,1C C C 30,2 25,2 7,1C C C

6. ตองการเลอกกรรมการชดหนงประกอบดวยนกเรยนชาย 2 คน นกเรยนหญง 2 คน และคร 1 คน จากนกเรยนชาย 20 คน นกเรยนหญง 25 คน คร 7 คน ขอใดคอการหาจ านวนวธทงหมด ในการเลอกกรรมการ

ก. ข.

ง. ค. 1

7. กลองใบหนงมบตร 5 ใบ ซงมหมายเลข 1,2,3,4 และ 5 ถาหยบบตรจากกลองน 3 ใบพรอมกน จงหาความนาจะเปน ทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10

ก. 0.04 ข. 0.05

ง. 0.25 ค. 0.20

8. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปน ทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออกหมายเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวาหลกหนวยเปน 1 เทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ o-net ป 2549 )

ก. ข.

ง. ค. 110

9. ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว ของสลากกนแบงรฐบาล จะออกทงเลขทงสองหลกเปนเลขเดยวกนเทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ o-net ป 2550 )

ก. ข.

ง. ค. 16

10. ในการโยนลกเตา 2 ลกหนงครง ความนาจะเปนทจะไดแตมรวมเปน 7 โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอยกวา 4 เทากบขอใดตอไปน ( ขอสอบ PAT 1 ครงท 3/2552 )

0 – 3 คะแนน ตองปรบปรงนะ 4 – 6 คะแนน กพอใชไดนะ 7 – 8 คะแนน ดมากคะ 9 – 10 คะแนน สดยอดไปเลย

เกณฑของคะแนน

เฉลย

ขอท 1

ขอท 3

ขอท 6

ขอท 10

ขอท 5

ขอท 7

ขอท 9

ขอท 8

ขอท 4

ขอท 2

1. วธท า หลกรอย หลกสบ หลกหนวย ขนท 1 สรางเลขหลกรอยได 3 วธ (เลอกจาก 3,4,5) ขนท 2 สรางเลขหลกสบได 5 วธ (เลอกจากตวทเหลอ) ขนท 3 สรางเลขหลกหนวยได 4 วธ (เลอกจากตวทเหลอ) ดงนน จะไดทงหมด 3 x 5 x 4 = 60 วธ ตอบ ก.

3 , 4 , 5

0,1,2,3,4,5

2. วธท า ขนท 1 จดชายได เทากบ วธ ขนท 2 จดหญงลงทวางได วธ ดงนน จะจดไดทงหมด วธ ตอบ ค.

ช2 ช3 ช1 ช6 ช5 ช4

6,6 7,3P P

3. วธท า

หลกพน หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

ขนท 1 สรางเลขหลกพนได 5 วธ ขนท 2 สรางเลขหลกรอยได 4 วธ ขนท 3 สรางเลขหลกสบได 3 วธ ขนท 4 สรางเลขหลกรอยได 2 วธ จะได วธ ดงนน จะมจ านวนดงกลาว 120 จ านวน ตอบ ง.

2,4,6,8,9

5 4 3 2 1 20

4. วธท า จ านวนหลอดไฟทงหมดม 15 หลอด หลอดไฟสขาว ม 4 หลอด หลอดไฟสแดง ม 5 หลอด หลอดไฟสน าเงนม 6 หลอด จ านวนวธประดบหลอดไฟตามรว เทากบ วธ ตอบ ข.

4!5!6!

5. วธท า ช แทน เดกชาย ขนท 1 จดเฉพาะเดกชายได (4 - 1)! = 6 วธ ขนท 2 จดเดกหญงลงทวาง วธ ดงนน จะจดไดทงหมด 6 x 24 = 144 วธ ตอบ ง.

6. วธท า ขนท 1 เลอกนกเรยนชายได ขนท 2 เลอกนกเรยนหญงได ขนท 3 เลอกครได ดงนน จะเลอกกรรมการไดทงหมด เทากบ วธ ตอบ ก.

20,2 25,2 7,1C C C

7. วธท า ให S แทนปรภมตวอยาง ให E แทนเหตการณทผลรวมของแตมบนบตรมากกวา 10 ตอบ ค.

5!n S C 10

5 3 !3!

E 2,4,5 , 3,4,5

n E 2P E

n S 10

8. วธท า ขนท 1 หา n(S) แซมเปลสเปซ S คอ เซตของผลทเปนไปไดจากการออกเลขทายสองตว คอ {00,01,02, …,99} ดงนน n(S) = 100 ขนท 2 หา n(E) เหตการณ E ทไดเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวา หลกหนวยอย 1 คอ {21,43,65,87} ดงนน n(E) = 4 ขนท 3 หา P(E) แทนคาในสตรได ตอบ ก

n E 4P E 0.04

n S 100

9.วธท า ขนท 1 หา n(S) แซมเปลสเปซของการออกรางวลเลขทายสองหลก คอ {00,01,02, … ,99} ซงมทงสน 100 กรณ ดงนน n(S) = 100 ขนท 2 หา n(E) เหตการณทเลขทงสองหลกนนจะเปนเลขเดยวกน คอ {00,11,22, … ,99} ซงมทงสน 10 กรณ ดงนน n(E) = 10 ขนท 3 หา P(E) แทนคาในสตรได ตอบ ค.

n E 10 1P E

n S 100 10

10. วธท า ให n(S) แทนจ านวนวธทงหมดทเปนไปไดจากการโยนลกเตา 2 ลก หนงครง วธ ให A แทนเหตการณทโยนลกเตา 2 ลกไดแตมรวมกนเปน 7 แตม โดยทมลกเตาลกหนงขนแตมไมนอยกวา 4 สมาชกในเหตการณ A ไดแก จะได n(A) = 6 ดงนน ตอบ ค.

1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1

n A 6 1

( )( )

S 36 6

n S 6 6 36

ถกตองคะเกงจงเลย

ท าขอตอไปไดเลย

ดเฉลย

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

ดเฉลย

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

ดเฉลย

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

ดเฉลย

10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

ท าขอตอไปไดเลย 10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

ดเฉลย

ผดคะ คณตองพยายามมากกวานนะคะ

ท าขอตอไปไดเลย 10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

ดเฉลย

ท าขอตอไปไดเลย 10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

ดเฉลย

ท าขอตอไปไดเลย 10 3 2 1 4 5 6 7 8 9

ดเฉลย

- สสวท,2551. หนงสอเรยนรายวชาเพมเตมคณตศาสตรเลม ๔ ชนมธยมศกษาตอนปลาย พทธศกราช 2551 . พมพครงท 1 . กรงเทพมหานคร : โรงพมพ สกสค ลาดพราว - ผศ.ศภกจ เฉลมวสตมกล.2553. ขอสอบ PAT .กรงเทพมหานคร :

บรษท วพรนท (1991) จ ากด - ณฐ อดมพาณชย.2553. o-net . พมพครงท1 .กรงเทพมหานคร :

บรษท จดทอง จ ากด

บรรณานกรม

ผจดท า นางสาวชลธชา นาร รหสนกศกษา 5315202009 เลขท 09 ป 4 หม 2 คณะครศาสตร เอกคณตศาสตร มหาวทยาลยราชภฏร าไพพรรณ

บทเรียนออนไลน์เรื่อง ความน่าจะเป็น

Education

ความน่าจะเป็น (probability) · pdf...

ความน่าจะเป็น...

คน...

ความน่าจะเป็น by...

ความน่าจะเป็น ·...

72...

ข้อสอบฉบับ...

ชื่อ นามสกุล เลขที่...

บทที่ 3...

ความน่าจะเป็น ม.6...

บทที่8ความน่าจะเป็น 3....

บทที่ 3...

ความน่าจะเป็น และ...

71...