تصميم الدرس تعريف القرض العادي

طريقة استهلاك القرض

جدول استهلاك القرض

العلاقات بين مختلف عناصر الجدول

بناء جدول استهلاك قرض

أنشطة الإعلام الآلي وحلولها

لتقويم الذاتيأسئلة ا

أجوبة التقويم الذاتي

العمليات المالية طويلة الأجل :المجال المفاهيمي الرابع

Amortissement des Emprunts استهلاك القروض ):16(الوحدة

:الكفاءات المستهدفة

.ـ ينجز جدول استهلاك القرض العادي

ساعات 10 :المدة اللازمة

.الكتب المدرسية المقررة :المراجع

:يمؤشرات التقويم الذات

.تُحدد استهلاك وفائدة كل دفعة ثابتة

.تُحدد العلاقات بين عناصر القرض العادي

يعرف القرض العادي بأنه ذلك القرض الـذي لا يتضـمن إلا

يـتم إثبـات القـرض ...). بنك، مؤسسة مالية (مقرضا واحدا

بواسطة وثيقة قانونية ملزمة للمقرض والمقترض والتي تتمثـل

:دة البيانات التاليةفي عقد القرض، الذي يتضمن عا

مبلغ القرض، تاريخ عقد القرض، معدل الفائدة ونوعها، طريقة

...استهلاك القرض، نوع وقيمة الضمان،

:تعريف القرض العادي

على " المصبرات الفلاحية " سة بهدف تمويل تجهيزات جديدة تحصلت مؤس

يسـدد . سنويا 10%دج بمعدل فائدة 1.000.000قرض من البنك الوطني قيمته

دفعات سنوية ثابتة تدفع الأولى في نهاية السنة الأولى مـن توقيـع عقـد 5على

.القرض

كيف يتم إعداد جدول استهلاك القرض ؟

طبيعيـين أو (القرض العادي هو القرض الذي يـتم بـين شخصـين

ويسـمى هـذا النـوع مـن القـروض بـالقروض غيـر ) اعتباريين

حيث يحتوي عقد القرض على مقرض ) Emprunts Indivis(المجزأة

.واحد

تعريف

:طريقة استهلاك القرضيقصد باستهلاك القرض سداده من قبل الشخص المقترض إلـى

.الشخص المقرض

ات تُستخدم في استهلاك القرض وفق المنهـاج طريقـة الـدفع

طبقًا لهذه الطريقة فإن المقترض يقوم بسداد في نهاية كل . الثابتة

وحدة زمنية دفعات ثابتة، تتضمن جزء من أصل القرض يسمى

) الرصـيد (بالاستهلاك بالإضافة إلى فائدة على القرض المتبقي

.في بداية الوحدة الزمنية

:فالمقترض يقوم دورياً بتسديد دفعة ثابتة تحتوي على

إذا حللّنا عناصر كل دفعة من الدفعات يمكننا وضـع جـدول

. استهلاك القرض العادي

:فإذا رمزنا بـV0 : في التاريخ صـفر ) أصل القرض(لرأس المال المقترض

).الزمن صفر(

3 2 1, ..., , ,na a a a : الدفعات المتتابعة لنهاية المدة، تدفع الأولـى

ة الوحدة الزمنية الأولى مـن إبـرام سنة في نهاي

.العقد

استهلاك القرض جدول

تهلاكالاس+ فائدة رأس المال المتبقي = الدفعة الثابتة

3 2 1, ..., , ,nA A A A : الاستهلاكات المتتابعـة المتضـمنة فـي

الدفعات الأولى، الثانية، الثالثة، وإلـى غايـة

.الدفعة الأخيرة

3 2 1, ..., , ,nV V V V : ، القرض المتبقي بعد تسديد الدفعة الأولى

.خيرةالأ.... الثانية، الثالثة، i :المعدل الاسمي للقرض. n : مدة تسديد القرض.

:باستخدام الرموز السابقة يمكن إعداد الجدول التالي

الوحدات الزمنية

القرض المتبقي في بداية الوحدة الزمنية

القرض المتبقي في الدفعةالاستهلاك الفائدةحدة الزمنيةنهاية الو

10V 0V i1A1 0 1a V i A= +1 0 1V V A= − 21V 1V i2A2 1 2a V i A= +2 1 2V V A= − 3 2V 2V i 3A 3 2 3a V i A= + 3 2 3V V A= −

p-12pV − 2pV i−1pA −1 2 1p p pa V i A− − −= +

1 2 1p p pV V A− − −= −

P 1pV − 1pV i− pA 1p p pa V i A−= + 1p p pV V A−= −

P+1 pV pV i 1pA + 1 1p p pa V i A+ += + 1 1p p pV V A+ += −

n-1 2nV − 2nV i−1nA −1 2 1n n na V i A− − −= +

1 2 1n n nV V A− − −= −

n1nV − 1nV i−nA1n n na V i A−= +1 0n n nV V A−= − =

:من الجدول نستنتج أن

1n nV A− =

0nV =

(1 )n na A i= +

.أي أن الدفعة الثابتة تساوي الاستهلاك الأخير مضافًا إليه فائدته

العلاقة بين الدفعات والاستهلاكات. 1

قة بين استهلاكين متتابعينأ ـ العلا

1paإذا كان لدينا الدفعتين المتتـاليتين لنحسـب الفـرق paو −

:بينهما

:العلاقات بين مختلف عناصر الجدول

الدفعات ثابتة أي . 1 3 2 1...na a a a= = = = :أصل القرض يساوي مجموع الاستهلاآات أي. 2

0 1 2 3

01

... n

n

pp

V A A A A

V A=

= + + + +

=∑

:مجموع الدفعات تساوي مجموع الفوائد زائدا مجموع الاستهلاآات. 3

1 1 1

n n n

p p pp p p

a A I= = =

= +∑ ∑ ∑

ملاحظة

1 1 2 1

1 1 2 1

( ) ( )p p p p p p

p p p p p p

a a V i A V i A

a a V i A V i A− − − −

− − − −

− = + − +

− = + − −

1: من جدول استهلاك القرض لدينا 2 1p p pV V A− − −= −

:و منه

1 2 1 2 1

1 2 1 2 1

1 1 1

( )p p p p p p p

p p p p p p p

p p p p p

a a V A i A V i A

a a V i A i A V i A

a a A i A A

− − − − −

− − − − −

− − −

− = − + − −

− = − + − −

− = − + −

1:و ما بما أن الدفعات متساوية فإن 0p pa a −− =

:و منه

1 1

1 1

1

0

(1 )

p p p

p p p

p p

A i A A

A A i A

A A i

− −

− −

−

− + − =

= +

= +

أي أن أي استهلاك يساوي الاستهلاك السابق له مضروبا فـي

)1+i(

1 (1 )p pA A i−= +

(1 )n pn pA A i −= +

ب ـ العلاقة بين الاستهلاكات والاستهلاك الأول

2 1

23 2 1

34 3 1

11 1

(1 )

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )..............................................

(1 ) (1 )nn n

A A i

A A i A i

A A i A i

A A i A i −−

= +

= + = +

= + = +

= + = +

ــتهلاك ــروبا أي أن أي اس ــتهلاك الأول مض ــاوي الاس يس

n(1+i)-1في

جـ ـ العلاقة بين استهلاكين متعاقبين

بصفة عامة ومهما كان الاستهلاك فإن العلاقة بين اسـتهلاكين

:متعاقبين هي1

11

1

( 1)1

(1 ) ........(1)

(1 )

(1 ) .....(2)

nn

pp

pp

A A i

A A i

A A i

−

−

− −

= +

= +

= +

نجد) 1(في ) 2(بتعويض ( 1) 1

1 1

1 1

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

(1 )

p nn p

p nn p

p nn p

A A i i

A A i i

A A i

− − −

− + −

− + + −

= + +

= + +

= +

11 (1 )n

nA A i −= +

هلاك الأخيرد ـ العلاقة بين الدفعة و الاست

أي بعد تسديد الدفعة الأخيرة nVالقرض المتبقي في نهاية المدة

1n: يساوي الصفر أي nV A− =

:لدينا من جدول استهلاك القرض

-1n na V i A= +

(1 )n n

n

a A i Aa A i= +

= +

كتسبة للاستهلاك الأخيـر لمـدة أي أن الدفعة تساوي القيمة الم

.سنة

هـ ـ العلاقة بين الدفعة والاستهلاك الأول

:لدينا

11

(1 ).............(1)

(1 ) ......(2)n

nn

a A i

A A i −

= +

= +

:نجد) 1(في ) 2(بتعويض 1

1(1 ) (1 )na A i i−= + +

) n(أي الدفعة تساوي القيمة المكتسبة للاسـتهلاك الأول لــ

.وحدة زمنية

ك ماو ـ العلاقة بين الدفعة واستهلا

1(1 )na A i= +

(1 )na A i= +

:لدينا(1 )..................(1)

(1 ) ..........(2)n

n pn p

a A i

A A i −

= +

= +

:نجد) 1(في ) 2(بتعويض (1 ) (1 )n p

pa A i i−= + +

)أي أن مبلغ الدفعة يساوي القيمة المكتسبة لاستهلاك السنة )p

)خلال المدة 1)n p− +

العلاقة بين أصل القرض والاستهلاكات. 2

القرض يساوي مجموع الاستهلاكاتأصل

0 1 2 3

01

...

........................(1)

n

n

jj

V A A A A

V A=

= + + + +

=∑

وأساسـها A1تشكل الاستهلاكات متتالية هندسية حـدها الأول

)1+i ( وعدد حدودهاn . وعليه فإن العلاقـة)تكـون علـى ) 1

الشكل

0 1 1(1 ) 1 (1 ) 1(1 ) 1

n ni iV A Ai i

+ − + −= =

+ −

1(1 )n ppa A i − += +

: A1ومنه يمكن تحديد

1 01

(1 ) 1nA Vi

=+ −

بين أصل القرض والدفعاتالعلاقة . 3

طبقًا لطريقة الدفعات الثابتة فإن المقترض يقوم بسـداد أصـل

على دفعـات ثابتـة ) القيمة المكتسبة للقرض(القرض وفوائده

ومتساوية، بحيث تكون القيمة المكتسبة للدفعات في نهاية المـدة

.مساوية للقيمة المكتسبة للقرض

لمكتسبة للقرضالقيمة ا= القيمة المكتسبة للدفعات

0تساوي nالقيمة المكتسبة للقرض في نهاية المدة (1 )nV i+.

:القيمة المكتسبة لدفعات نهاية المدة تساوي

(1 ) 1niai

+ −

:وعليه فإن

0(1 ) 1(1 )

nn iV i a

i+ −

+ =

1)بضرب طرفي المساواة في ) ni :نحصل على +−

0(1 ) 1(1 ) (1 ) (1 )

nn n n iV i i a i

i− − + −

+ + = +

:ومنه

01 (1 ) niV a

i

−− +=

:تحسب بالعلاقة aوبالتالي فإن الدفعة الثابتة

0 1 (1 ) n

ia Vi −=

− +

1يحسب الحد (1 ) n

ii −− أو ) 5(من الجدول المالي رقـم +

.باستعمال الآلة الحاسبة

العلاقة بين الفوائد والاستهلاكات. 4

لفوائد تشكل متتالية حسابية متناقصة أي فائدة السنة الأولى أكبر ا

من فائدة السنة الثانية لأن رأس المال المتبقي يتناقص من فتـرة

.لأخرى

إذا وضعنا الفرق بين فائدة سنتين متتاليتين يكون لـدينا حسـب

:جدول استهلاك القرض1 1 1

1 1 1 1

( ) ( )n n n n n n

n n n n n n

I I a A a AI I a A a A

− − −

− − − −

− = − − −

− = − − +

:فإنو بما أن الدفعات ثابتة 1 1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

(1 )

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n n

I I A AI I A AI I A i AI I A A i A

− −

− −

− − −

− − − −

− = − +

− = −

− = + −

− = + −

1 1n n nI I A i− −− =

:مثلاً1 2 1I I A i− = ،9 10 9I I A i− =

حياة القرض. 5

):P(أ ـ أصل القرض المسدد إلى غاية تسديد الدفعة

نرمز للمبلغ المسدد من أصل القرض إلى غاية تسـديد الدفعـة

)p ( بـ( )pRمجموع الاستهلاكات المدفوعة إلى و هو يساوي

.غاية تلك المدة

1 2 3 ...p pR A A A= + + + +

و بما أن الدفعات ثابتة فإن الاستهلاكات تشكل متتالية هندسـية

1)أساسها )i+ 2 1

1 1 1 1(1 ) (1 ) ... (1 )ppR A A i A i A i −= + + + + + + +

:مجموع حدود المتتالية الهندسية يعطينا

علاقـة أصـل القـرض مقة السابقة باستخدايمكننا تعديل العلا

1: والاستهلاك الأول كما يلي 0 (1 ) 1n

iA Vi

=+ −

1(1 ) 1p

piR Ai

+ −=

0(1 ) 1

(1 ) 1

p

p n

i iR Vi i

+ −= ×

+ −

):P(ب ـ أصل القرض المتبقي بعد تسديد الدفعة

)في جدول استهلاك القرض رمزنا للقرض المتبقي بالرمز )pV

)وباعتبار أن )pR سابه فإنتم ح:

)نعوض )pR بقيمته:

0 0

0

0

0

(1 ) 1(1 ) 1

(1 ) 11(1 ) 1

(1 ) 11(1 ) 1

(1 ) 1 (1 ) 1(1 ) 1

p

p n

p

p n

p

p n

n p

p n

i iV V Vi i

i iV Vi i

iV Vi

i iV Vi

+ −= − ×

+ −

⎡ ⎤+ −= − ×⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ −= −⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − − + −= ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

القيمة الحالية للدفعات مـ يمكن حساب القرض المتبقي باستخدا

)المتبقية خلال المدة )n p− كما يلي:

0p pV V R= −

0(1 ) (1 )

(1 ) 1

n p

p n

i iV Vi

+ − +=

+ −

( )1 (1 ) n p

piV a

i

− −− +=

:ما يلي) وحدة زمنية( يتضمن الجدول بالنسبة لكل سنة

.في بداية وحدة الزمن) الرصيد(القرض المتبقي •

.الفائدة المتضمنة في الدفعة الثابتة •

).الوحدة الزمنية(الاستهلاك الخاص بالسنة •

.قيمة الدفعة الثابتة •

.بعد تسديد الدفعة الثابتة) الرصيد(القرض المتبقي •

".لاحية المصبرات الف" جدول استهلاك القرض في مؤسسة

: A1حساب الاستهلاك الأول . 1

1 01

(1 ) 1nA Vi

=+ −

1 5

1

11.00.000(1,1) 1

163.797,48

A

A DA

=−

=

: A5حساب الاستهلاك الأخير . 2

1

1 (1 )nnA A i −= +

5 15 1 (1 )A A i −= +

45

5

163.797,48(1,1)239.815,89

AA DA

=

=

: aحساب الدفعة الثابتة . 3

:أ ـ انطلاقًا من العلاقة

0 1 (1 ) n

ia Vi −=

− +

بناء جدول استهلاك قرض

5

0,11.000.0001 (1,1)

263.797,48

a

a DA

−=−

=

فائدة (ب ـ انطلاقًا من تجزئة الدفعة الثابتة للسنة الأولى

0) استهلاك السنة الأولى+ السنة الأولى 1.a V i A= +

: I1ـ فائدة السنة الأولى 1 0

1

.1.000.000 0,1 100.000

I V iI DA=

= × =

: ـ استهلاك السنة الأولى

1 163.797,48A DA= :إذن الدفعة الثابتة

a =100.000+163.797,48 a = 263.797,48 DA

السنة (جـ ـ انطلاقًا من تجزئة الدفعة الثابتة للسنة الخامسة

):الأخيرة

1.n na V i A−= +

:ـ استهلاك السنة الأخيرة 5 239.815,89A DA= : I5سة ـ فائدة السنة الخام

1

1

.n n

n n

I V iV A

−

−

==

n. :ومنه nI A i=

أي الفائدة الأخيرة تساوي الاستهلاك الأخير مضروبا في

.المعدل

239.815,89 0,1 23.981,589nI DA= × =

:إذن الدفعة الثابتةa = 23.981,589 +239.815,89 = 263.797,48 DA

:بالنسبة لكل سطر من جدول استهلاك القرض •تحسب الفائدة بضرب القرض المتبقي في بداية السنة فـي •

. iالمعدل ).i+1(يحسب الاستهلاك بضرب الاستهلاك السابق له في •القرض المتبقي في نهاية الوحدة الزمنية يساوي القـرض •

الاستهلاك –المتبقي في بداية الوحدة الزمنية 1:أي 0 1( )V V A= 2و − 1 2( )V V A= ...وهكذا −

ملاحظة

على " المصبرات الفلاحية " دول استهلاك قرض مؤسسة يكون ج

:الشكل التالي

السنواتالقرض المتبقيفي بداية الوحدة

الزمنية الدفعة الاستهلاك الفائدة

القرض المتبقي في نهاية الوحدة الزمنية

1 1.000.000,00100.000,00163.797,48263.797,48836.202,52

2 836.202,5283.620,25180.177,23263.797,48656.025,29

3 656.025,2965.602,53198.194,95263.797,48457.830,34

4 457.830,3445.783,03218.014,45263.797,48239.815,89

5 239.815,8923.981,59239.815,89263.797,480,00

1.000.000

:أنشطة الإعلام الآلي

يمثل جـدول اسـتهلاك القـرض ) الصورة(وذج التالي النم. 1

. Excelالعادي باستخدام المجدول

:العمل المطلوب

أعد رسم النموذج على ورقة المصـنف مـع كتابـة البيانـات

.والصيغ الضرورية لإعداد الجدول

:تطبيق عددي. 2

.دج 500.000أصل القرض •

%8: معدل القرض •

سنوات 5: مدة تسديد القرض •

:الحلول المقترحة لأنشطة الإعلام الآلي

إعداد الجدول كما هو وارد في الشكل أعلاه علـى ورقـة . 1

.المصنف

كتابة الصيغ الحسابية للسطر الأول من جـدول الاسـتهلاك . 2

.كما هو وارد في الصورة التالية

كتابة الصيغ الحسابية للسطر الثاني من جدول الاستهلاك ثم . 3

.نسخها على بقية الأسطر

:D5صيغة حساب الاستهلاك الأول في الخلية

=B2*($B$3/((1+$B$3)^($D$2)-1))

بـدلاً مـن ) B$3$(في الخلية مثـل $استخدام الرمز :ملاحظة

)B3 ( يعني أنExcel يقرأ دائماً القيمة المكتوبة في تلك الخليـة

ات الحسابية، وعند نسخ الخلية إلى مكـان آخـر عند إجراء العملي

.فإن عنوان الخلية لا يتغير

:الحل النهائي المقترح يظهر كما يلي. 3

):1(التمرين من بنك التنمية المحلية مبلغ " ل .ع" اقترضت مؤسسة

دفعات ثابتة، تدفع الدفعة 5دج، يسدد بواسطة 900.000فإذا . ها في نهاية السنة الأولى من توقيع عقد القرضالأولى من

.سنويا 8,5%كان المعدل :العمل المطلوب

الأول، الثاني ،الثالث والأخير من : أنجز كل سطر من الأسطر .جدول استهلاك القرض

):2(التمرين

دفعات ثابتة، تدفع الأولى في نهاية 10قرض يستهلك بواسطة فإذا كانت قيمتي . عقد القرضالسنة الأولى من توقيع

دج 14.950,36: الاستهلاكين الأول والثالث على التوالي 24.030,02دج، وأن فائدة السنة الثالثة تساوي 18.420,34و .دج

:العمل المطلوب ).i(أحسب المعدل .1 ).V0(أحسب أصل القرض .2أنجز الأسطر الثلاثة الأولى من جدول استهلاك .3

.القرض .خيرين من جدول استهلاك القرضأنجز السطرين الأ .4

:أسئلة التقويم الذاتي

):3(التمرين من جدول استهلاك قرض عادي يسدد بواسطة دفعات ثابتة

:تحصلنا على المعلومات التالية .دج 3.984,92فائدة السنة ما قبل الأخيرة تساوي • .دج 2.087,34فائدة السنة الأخيرة تساوي • دج 1.296,07الفرق بين فائدتي السنة الأولى والثانية •

:العمل المطلوب

ماذا يمثل الفرق بين فائدتي سنتين متتاليتين ؟ .1

:أحسب على الترتيب كلا من .2

.معدل القرض •

.الاستهلاك الأخير •

.الدفعة الثابتة •

.الاستهلاك الأول •

مبلغ القرض •

):4(التمريندفعات سنوية ثابتة من دفعات نهاية 8قرض يسدد بواسطة

:المدة، فإذا كان . دج 182.511: في بداية السنة الثانية رصيد القرض • .دج 163.273: رصيد القرض في بداية السنة الثالثة • 142.111,20: رصيد القرض في نهاية السنة الثالثة •

.دج

:العمل المطلوب

أحسب كلا من

.معدل القرض .1

.مبلغ القرض .2

. أنجز السطر الأخير من جدول استهلاك القرض .3

):بتصرف Bac 2001 Tc) (5(التمرين

:من جدول استهلاك قرض عادي استخرجنا المعلومات التالية

دج، 1A =(69.029,49(الاستهلاك الأول

.دج 9A =(127.768,77(الاستهلاك التاسع

:العمل المطلوب

:احسب

5علماً بأن ) 5A(الاستهلاك الخامس . 1 1 9A A A= ×

).i(المعدل السنوي . 2

علماً بأن القرض يستهلك عن ) a(ثابتة الدفعة ال. 3

.دفعات ثابتة سنوية 10طريق

)0V(أصل القرض . 4

:أثبت صحة العلاقة. 5

5 1 9A A A= 1Aباستعمال العلاقـة بـين ×

. 9Aو

):بتصرف Bac 2002 Tc) (6(التمرين

ا في نهاية دفعات ثابتة، تدفع الأولى منه 6قرض يسدد بواسطة

.السنة الأولى من تاريخ استلام القرض

) 2A،3A،4A:(فإذا علمت أن مجموع الاستهلاكات

.دج 9.558,7:يساوي

:العمل المطلوب

:سنوياً على الترتيب %8أحسب بمعدل فائدة مركبة

).1A(الاستهلاك الأول .1

.المبلغ الباقي سداده بعد الدفعة الثالثة .2

.أصل القرض .3

.لأول والثاني من جدول الاستهلاكقدم السطرين ا .4

:أجوبة التقويم الذاتي

):1(حل التمرين

):a(تحديد الدفعة الثابتة . 1

0 1 (1 ) n

ia Vi −=

− +

5

0,085900.0001 (1,085)

228.389,18

a

a DA

−=−

=

:) I1(تحديد فائدة السنة الأولى . 2

1 0

1

1

.900.000 0,08576.500

I V iII DA

== ×=

) :A1( تحديد الاستهلاك الأول. 3

0 1

1 0

1 5

1

(1 ) 1

(1 ) 10,085900.000

(1,085) 1151.889,18

n

n

iV AiiA Vi

A

A DA

+ −=

=+ −

=−

=

1: أو 1

1 228.389,18 76.500 151.889,18A a IA DA

= −= − =

):V1(تحديد رصيد القرض في نهاية السنة الأولى . 41 0 1

1 900.000 151.889,18 748.110,82V V AV DA

= −

= − =

:جدول استهلاك القرض

المدة

القرض

المتبقي في

بداية المدة

الاستهلاك الفائدة الدفعة

الثابتة

القرض

المتبقي في

المدةنهاية 1 900.000,0076.500,00151.889,18228.389,18748.110,822 748.110,8263.589,42164.799,76228.389,18583.311,073 583.311,0749.581,44178.807,74228.389,18404.503,334 ……….. ………..……….. 228.389,18……….. 5 210.496,9417.892,24210.496,94228.389,180,00

):2(حل التمرين

):i(حساب المعدل .11

1(1 )nnA A i −= +

23 1(1 )A A i= +

2 3

1

2

2

(1 )

18.420,34(1 )14.950,36

(1 ) 1, 2321

Ai

A

i

i

+ =

+ =

+ =

(1 ) 1, 23211,11 1 0,1111%

iii

+ == − ==

):V0(حساب أصل القرض .3

):a(حساب الدفعة الثابتة •3 3

18.420,34 24.030,02 42.450,36a A Ia DA= +

= + =

):I1(حساب فائدة السنة الأولى •1 1 42.450,36 14.950,36 27.500I a A DA= − = − =

:حساب أصل القرض •

1

1 0 027.500. 250.000

0,11II V i V DAi

= ⇒ = = =

:إنجاز الأسطر الثلاثة الأولى من جدول استهلاك القرض. 3

:أ ـ السطر الأول0

1

1

1

250.00027.50014.950,36

42.450,36250.000 14.950,36 235.049,64

V DAI DAA DAa DAV DA

=

==== − =

:ب ـ السطر الثاني1

2 1

2 1

2 1 2

235.049,64. 235.049,64 0,11 25.855,46(1 ) 14.950,36(1,11) 16.594,90

42.450,36235.049,64 16.594,90 218.454,75

V DAI V i DAA A i DAa DAV V A DA

== = × == + = =

== − = − =

:جـ ـ السطر الثالث2

3 22 2

3 1

3 2 3

218.454,75. 218.454,75 0,11 24.030,02

(1 ) 14.950,36(1,11) 18.420,3442.450,36

218.454,75 18.420,34 200.034,41

V DAI V i DA

A A i DAa DAV V A DA

== = × =

= + = =

== − = − =

:إنجاز السطرين الأخيرين من جدول استهلاك القرض. 4

:أ ـ السطر التاسع

8 89 1

9 9

98

9 8 9

42.450,36(1 ) 14.950,36(1,11) 34.453,66

42.450,36 34.453,66 7.996,697.996,69 72.697,23

0,1172.697, 23 34.453,66 38.243,56

a DAA A i DAI a A DA

IV DAi

V V A DA

=

= + = == − = − =

= = =

= − = − =

يمكن حساب الاستهلاك التاسع بدلالة الدفعـة

:كما يلي- 1(1 )n p

pa A i += + ( 1)(1 ) n p

pA a i − − += + (10 9 1)

9

29

(1 )

42.450,36(1,11) 34453,66 DA

A a i

A

− − +

−

= +

= =

:العاشر والأخيرب ـ السطر 9

10 9

10 10

10

38.243,56 , 42.450,36(1 ) 38.243,56

42.450,36 38.243,56 4.206,790

V DA a DAA a i V DAI a A DAV

= =

= + = =

= − = − =

=

المدةالقرض المتبقي في بداية المدة

الدفعةالاستهلاك الفائدةالقرض

المتبقي في نهاية المدة

1 250.000,0027.500,0014.950,3642.450,36235.049,642 235.049,6425.855,4616.594,9042.450,36218.454,753 218.454,7524.030,0218.420,3342.450,36200.034,41

……..…….. …….. …….. …….. …….. 9 72.697,237.996,6934.453,6642.450,3638.243,5610 38.243,564.206,7938.243,5642.450,360,00

):3(حل التمرين

:ماذا يمثل الفرق بين فائدتي سنتين متتاليتين. 1( ) ( ) (1 ) .1 2 1 2 1 2 1 1 1( ) ( ) (1 ) .2 3 2 3 2 3 2 3 2

( ) ( ) (1 ) .1 1 1

I I a A a A a A a A A i A A i

I I a A a A a A a A A i A A i

I I a A a A a A a A A i A A im m m m m m m m m

− = − − − = − − + = + − =/ /

− = − − − = − − + = + − =/ /

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = − − − = − − + = + − =/ /+ + +

في حالـة m+1و mيمثل الفرق بين فائدتي سنتين متتاليتين

mA.أي mالدفعات الثابتة، فائدة استهلاك السنة i

)i ،An ،a ،A1 ،V0( الحساب على الترتيب .4

):i(حساب معدل القرض •

:لدينا.

(1 ). 2.087,34....................................(1)1

. 3.984,92 2.087,341 1

. 1897,58.............................................(2)1

nI A in

A i in

I I A in n n

A in

=

+ =−

− = = −− −

=−

):2(على ) 1(بقسمة

(1 ). 2.087,341. 1897,581

(1 ).1 1,10.1

1 1,10

0,1 10%

A i inA in

A i inA in

i

i

+− =−

+− =−

+ =

= =

):An(حساب الاستهلاك الأخير •.

2.087,34 20.873, 40,1

n

n

I A in

I nA DAi

=

= = =

):a(حساب مبلغ الدفعة •(1 )

20.873, 40(1,1) 22.960,74

na A i

a DA

= +

= =

):A1(حساب الاستهلاك الأول •

1 2 1

1

1

- .1.296,07 0,1

1.296,07 12.960,70,1

I I A iA

A DA

== ×

= =

):V0(حساب مبلغ القرض •1 1- 22960,7 12960,7 10.000I a A DA= = − =

10

010.000 100.000

0,1

IVi

V DA

=

= =

):4(حل التمرين

):i(حساب معدل القرض . 1

:لدينا

1: ـ رصيد القرض في بداية السنة الثانية 182.511V =

2 :ـ رصيد القرض في بداية السنة الثالثة 63.273V =

3: ـ رصيد القرض في نهاية السنة الثالثة 142.111,20V = :نعلم أن

1 0 1 2 1 2 3 2 3 , ,V V A V V A V V A= − = − = −

1نضع الفرق 2V V−

1 2 1 1 2

1 2 2

1 2 1

( )

(1 ).....................................(1)

V V V V AV V AV V A i

− = − −

− =

− = +

2نضع الفرق 3V V−

2 3 2 2 3

2 3 3

22 3 1

( )

(1 ) .....................................(2)

V V V V AV V A

V V A i

− = − −

− =

− = +

:نحصل على) 1(على ) 2(بقسمة 2

2 3 1

1 2 1

2 3

1 2

(1 )(1 )

(1 )

V V A iV V A iV V iV V

− +=

− +

−= +

−

:و منه بالتعويض

163.273 142.111,20 (1 )182.511 163.273

21.161,8 (1 )19.238

(1 ) 1,10,110%

i

i

iii

−== +

−

= +

+ ===

حساب مبلغ القرض. 2 :نستخرج الاستهلاك الأول) 1(من العلاقة

1 2 1

1 21

1

(1 )

(1 )19.238 17.489DA

1,1

V V A iV VA

i

A

− = +−

=+

= =

:نعلم أن

1 0 1

0

0

182.511 192.380182.511 17.489 200.000DA

V V AV

V

= −

= −

= + =

إنجاز السطر الأخير من جدول استهلاك القرض. 3 ):الأخير(ـ حساب الاستهلاك الثامن

7 78 1A = A (1+ i) =17.489(1,1) = 34.081,11DA

:ـ حساب قيمة الدفعة8 8

1a = A (1+ i) = 17.489(1,1) = 37.489,22DA

:ـ حساب الفائدة

8 8I = a - A = 37.489,22 - 34.081,11 = 3.804,11DA

المدةالقرض المتبقي في

بداية المدة الدفعة الاستهلاك الفائدة

القرض المتبقي في

نهاية المدة

……………….……………….……………….

……………….

……………….

……………….

8 34.081,11 3.408,11 34.081,11 37.489,22 0

):5(حل التمرين

):5A(حساب الاستهلاك الخامس . 1

:لدينا من المعطيات

5 1 9A A A= ×

5

512

5

69.029,49 127.768,77

8819813031,0273

(8819813031,0273) 93913,86 DA

A

A

A

= ×

=

= =

):i(حساب المعدل السنوي . 28

9 1

8 9

18

8

18

(1 )127.768,77(1 )69.029, 49

(1 ) 1,850930232

1 1,850930232

(1,850930232) 11,08-1

i=0,08=8%

A A iAiA

i

i

ii

= +

+ = =

+ =

+ =

= −=

):a(الدفعة الثابتة . 3

110

(1 )

69.029,49(1,08) 149.029,49DA

na A i

a

= +

= =

):0V(أصل القرض . 41 1- 149029,49 69.029, 49 80.000I a A DA= = − =

10

80.000 1.000.0000,08

IV DAi

= = =

5:إثبات صحة العلاقة. 5 1 9A A A= ×

:نعلم أن

45 1

4 49 5 5 9

(1 ) ......................................................(1)

(1 ) (1 ) .......................(2)

A A i

A A i A A i −

= +

= + ⇒ = +

):2(في ) 1(بضرب العلاقة 4 4

5 5 1 92

5 1 9

5 1 9

. (1 ) . (1 )

( ) .

ه وب إثبات و المطل وه

A A A i A i

A A A

A A A

−= + +

=

= ×

):6(حل التمرين

):A1(حساب الاستهلاك الأول . 1

:لدينا

[ ]

2 3 42 3

1 1 1

2 31

2 31

1

1

9.558,7

(1 ) (1 ) (1 ) 9.558,7

(1 ) (1 ) (1 ) 9.558,7

(1,08) (1,08) (1,08) 9.558,7

3,506112 9.558,79.558,7 2.726,29 DA

3,506112

A A A

A i A i A i

A i i i

A

A

A

+ + =

+ + + + + =

⎡ ⎤+ + + + + =⎣ ⎦⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦

=

= =

):V3(حساب المبلغ الباقي سداده بعد تسديد الدفعة الثالثة . 2

:A4 ،A5 ،A6أي بقي تسديد الاستهلاكات 3 4 5 6

3 4 53 1 1 1(1 ) (1 ) (1 )

V A A A

V A i A i A i

= + +

= + + + + +

3 4 5 6V A A A= + +

[ ]

3 4 5 63 4 5

3 1 1 1

3 4 53 1

3 4 53

3

3

(1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) (1 )

2.726,29 (1,08) (1,08) (1,08)

2.726,29 4,089529036811.149,24 DA

V A A A

V A i A i A i

V A i i i

V

VV

= + +

= + + + + +

⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

=

=

):V0(حساب أصل القرض . 3

0

6 3

3 0 6

6 3

0 6

0

0

(1 ) (1 )(1 ) 1

(1 ) (1 )(1 ) 1

(1,08) (1,08)11.149,24=(1,08) 1

11.149,24= (0,55746573)11.149,24 20.000

0,55746573

n p

p n

i iV Vi

i iV Vi

V

V

V DA

+ − +=

+ −

+ − +=

+ −

−−

= =

:الاستهلاك الأول ماأو باستخد(1 ) -1

0 1

6(1,08) -12.726 ,29 20.0000 0 ,08

niV A

i

V D A

+=

⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎣ ⎦

م السطرين الأول والثاني من جدول تقدي. 4

:الاستهلاك

:أ ـ السطر الأول0

1 0

16

1

1

20.00020.000 0,08 1.600

2.726,29

(1 ) 2.726,29(1,08) 4.326,2920.000 2726,29 17.273,71

n

V DAI V i DAA DA

a A i DAV DA

=

= = × ==

= + = == − =

:ب ـ السطر الثاني1

2 1

2 1

2 1 2

17.273,71. 17.273,71 0,08 1381,9(1 ) 2726.29(1,08) 2.944,39

4.326,2917.273,71 2.944,39 14.329,32

V DAI V i DAA A i DAa DAV V A DA

== = × == + = =

== − = − =

المدةالقرض المتبقي

في بداية المدة الدفعة الاستهلاك الفائدة

القرض

متبقي في ال

نهاية المدة1 20.000 1.600 2.726,29 4.326,29 17.273,71 2 17.273,71 1.381,9 2.944,39 4.326,29 14.329,32

…… …… …… …… …… ……