am_c1_2015aa
DESCRIPTION
aaaaaTRANSCRIPT
CURS 1, Analiza matematica, semestrul I, 2015–2016
1 Verificare
50% teza scrisa25% activitatea seminar25% media testelor
2 Bibliografie
Manuale AM clasele XI-XII (Nastasescu et. al.).
Cursuri ın limba romanaI. Craciun, Calcul integral, Editura PIM, Iasi, 2007.P. Georgescu, Elemente de calcul diferential pe dreapta reala, MATRIX ROM, 2012.R. Luca-Tudorache, Analiza matematica, Ed. Tehnopress, Iasi, 2005.A. Precupanu, Bazele analizei matematice, Editura Polirom, 1998.Gh. Procopiuc, Matematica, Editura UTI, Iasi, 1999.M. Rosculet, Analiza Matematica, Editura Didactica si pedagogica, Bucuresti, 1973.M. Nicolescu, Analiza matematica, Vol. I si II, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,
1971.R. Strugariu, Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Performantica, Iasi, 2013.
Cursuri ın limba englezaW. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill Inc., 1976.G. Strang, Calculus, Wellesley-Cambridge Press, 1991.
CulegeriL. Arama, T. Morozan, Culegere de probleme de calcul diferential si integral, Ed.Tehnica, Bu-
curesti, 1978Gh. Bucur, E. Campu, S. Gaina, Culegere de probleme de calcul diferential si integral, vol.II,
III, Ed.Tehnica, Bucuresti, 1978.S. Chirita, Probleme de matematici superioare, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti,
1989.I. Nistor, Probleme de analiza matematica, vol. I, II, Editura Cermi, 2003.
Pentru avansatiT.M. Apostol, Mathematical Analysis, Second Edition, Addison-Wesley Pub. Co., 1974.V. Pop et al., Teme si probleme pentru concursurile studentesti de matematica, Vol. II, Editura
StudIS, 2013.
1
3 Multimea numerelor reale
Toate notiunile care vor fi discutate ın acest curs vor fi dezvoltate pornind de la multimea numerelorreale, notata cu R. Exista mai multe modele ale multimii numerelor reale: al lui Dedekind, bazatpe notiunea de taietura, al lui Weierstrass, care foloseste notiunea de fractie zecimala, modelullui Cantor, care are la baza notiunea de sir fundamental de numere rationale. Astfel, R este uncorp total ordonat si complet, unic determinat pana la un izomorfism de corpuri total ordonate.Presupunem cunoscute proprietatile operatiilor de adunare si ınmultire a numerelor reale, careasigura structura de corp a lui R si de asemenea cele ale relatiei de ordine. Proprietatea decompletitudine a multimii numerelor reale o vom enunta la momentul potrivit.
In continuare vom nota prin:
• R+ – multimea numerelor pozitive;
• R∗+ – multimea numerelor strict pozitive;
• R− – multimea numerelor negative;
• R∗− – multimea numerelor strict negative.
Cu aceste notatii, putem scrie R = R+ ∪ R−, unde R+ ∩ R− = {0}.Fie a si b doua numere reale astfel ıncat a < b. Definim urmatoarele multimi:
• (a, b) := {x ∈ R | a < x < b}, numit interval deschis;
• [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, numit interval ınchis;
• (a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}, numit interval deschis ın a, ınchis ın b;
• [a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b}, numit interval ınchis ın a, deschis ın b.
Spunem despre intervalele definite mai sus ca sunt intervale marginite. De asemenea, definimsi urmatoarele tipuri de intervale nemarginite:
• (−∞, a) := {x ∈ R | x < a};
• (−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} ;
• (a,+∞) := {x ∈ R | a < x} ;
• [a,+∞) := {x ∈ R | a ≤ x} ;
• (−∞,+∞) := R.
Se remarca faptul ca o multime de numere reale este interval daca odata cu doua elementedistincte ale sale contine si orice numar real situat ıntre acestea.
Definitia 3.1 Fie A o multime de numere reale.1. Daca exista α ∈ R asa ıncat a ≤ α pentru orice a ∈ A, vom spune despre multimea A ca
este marginita superior, iar despre α ca este un majorant pentru A. In caz contrar, spunemdespre multimea A ca este nemarginita superior.
2
2. Daca exista β ∈ R asa ıncat β ≤ a pentru orice a ∈ A vom spune despre multimea A ca estemarginita inferior, iar despre β ca este un minorant pentru A. In caz contrar, spunem despremultimea A ca este nemarginita inferior.
3. Daca pentru A exista si majoranti si minoranti, spunem ca A este o multime marginita.
Exemplul 3.2 1. N este o multime marginita inferior de orice numar negativ, dar este nemarginitasuperior.
2. Z este nemarginita, atat inferior cat si superior.3. Pentru intervalul I = [a, b) observam ca orice numar real cel putin egal cu b este un majorant
ın vreme ce orice numar cel mult egal cu a este un minorant, deci I este o multime marginita.Observam de asemenea ca putem da exemple de multimi pentru care un majorant (minorant) esteun element al multimii. Remarcam totusi ca exista si multimi care nu contin nici majoranti, niciminoranti ca elemente ale multimii: intervalele deschise (a, b).
4. Pentru multimea A =
{1
n| n ∈ N∗
}, numarul 1 este un majorant, iar 0 este un minorant.
Definitia 3.3 Fie A ⊂ R. Spunem despre un numar real M ca este marginea superioara amultimii A, sau supremum al multimii A, si notam M = supA, daca sunt ındeplinite urmatoareleconditii:
(i) M este un majorant al multimii A :
a ≤M, ∀a ∈ A;
(ii) M este mai mic decat orice alt majorant al multimii A :
(a ≤M ′,∀a ∈ A)⇒M ≤M ′.
Spunem despre un numar real m ca este marginea inferioara a multimii A, sau infimum almultimii A, si notam m = inf A, daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:
(i) m este un minorant al multimii A :
m ≤ a, ∀a ∈ A;
(ii) m este mai mare decat orice alt minorant al multimii A :
(m′ ≤ a,∀a ∈ A)⇒ m′ ≤ m.
Urmatoarele rezultate caracterizeaza marginea superioara, respectiv marginea inferioara a uneimultimi de numere reale.
Teorema 3.4 Fie A ⊂ R, nevida si M ∈ R. Atunci M = supA daca si numai daca:(i) a ≤M, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat M − ε < xε.
Demonstratie. Fie M = supA. Conform definitiei, este un majorant, deci prima conditie este ındeplinita.
Fie acum ε > 0. Deoarece M − ε < M , M − ε nu este un majorant pentru A. Deci, relatia a ≤ M − εnu are loc pentru orice a ∈ A si, astfel, exista xε ∈ A astfel ıncat M − ε < xε.
Reciproc, daca M ∈ R ındeplineste conditiile din enunt, observam ın primul rand ca este un majorant
al multimii A (conditia (i)). Fie acum un alt majorant, M ′, al multimii A si sa presupunem ca M ′ < M.
Notam cu ε := M−M ′
2 . Din (ii), rezulta ca exista xε ∈ A asa ıncat M − ε < xε, adica M+M ′
2 < xε. Dar
M < M+M ′
2 si atunci M < xε, ceea ce contrazice conditia (i). Deci, presupunerea facuta este falsa si atunci
M ≤M ′, ceea ce ıncheie demonstratia. �
3
Observatia 3.5 Conform acestei teoreme, daca M = supA, pentru orice numar natural nenul nexista xn ∈ A astfel ıncat 0 < M − xn < 1
n .
In mod analog se poate demonstra urmatorul rezultat, care caracterizeaza marginea inferioaraa unei multimi:
Teorema 3.6 Fie A ⊂ R, nevida si α ∈ R. Atunci m = inf A daca si numai daca:(i) m ≤ a, ∀a ∈ A si(ii) pentru orice ε > 0, exista un element xε ∈ A astfel ıncat xε < m+ ε.
Observatia 3.7 Daca a, b ∈ R, a < b, atunci sup(a, b) = b, inf(a, b] = a etc.
Observatia 3.8 Daca A ={q ∈ Q | 0 ≤ q2 ≤ 2
}atunci supA =
√2 /∈ Q iar inf A = 0. Desi Q
este un corp total ordonat, el nu este complet ın sensul precizat de urmatoarea axioma.
Axioma de completitudine (Cantor - Dedekind). Orice submultime nevida a lui R care estemajorata admite cel putin o margine superioara ın R, adica exista supA ∈ R.
Propozitia 3.9 Orice submultime nevida, minorata a lui R admite margine inferioara ın R.
Teorema 3.10 (Proprietatea lui Arhimede) Daca x si y sunt numere reale strict pozitive,atunci exista n ∈ N astfel ıncat nx > y.
Demonstratie. Presupunem ca are loc contrariul: pentru orice n ∈ N, avem nx ≤ y. Atunci, multimea
A := {nx | n ∈ N} este majorata de y si deci, conform axiomei de completitudine, are margine superiora ın
R. Fie α = supA ∈ R. Pentru ε := x > 0, exista un element de forma kx ∈ A astfel ıncat α − ε < kx sau,
echivalent, α < kx+ x = (k+ 1)x. Dar (k+ 1)x ∈ A si astfel relatia α < (k+ 1)x contrazice faptul ca α este
marginea superioara a lui A. Presupunerea facuta este deci falsa si exista n ∈ N cu nx > y. �
Observatia 3.11 1. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := ε > 0 oarecare si y := 1,
obtinem ca exista n ∈ N∗ astfel ıncat1
n< ε. De aici rezulta ca inf
{1
n| n ∈ N∗
}= 0.
2. Aplicand Proprietatea lui Arhimede pentru x := 1 si y := a > 0, obtinem ca exista n ∈ Nastfel ıncat a < n.
Teorema 3.12 (Densitatea lui Q ın R) Intre orice doua numere reale distincte se afla cel putinun numar rational.
Demonstratie. Fie x si y numere reale cu x 6= y. Pentru a fixa lucrurile, sa presupunem ca x < y. Trebuiesa aratam ca exista r ∈ Q astfel ıncat x < r < y. Deoarece y − x > 0, conform Proprietatii lui Arhimedeexista n ∈ N∗ astfel ıncat
1
n< y − x. (1)
Fie m := [x], partea ıntreaga a lui x. Atunci m− 1 ≤ nx < m sau, ımpartind aceasta relatie prin n:
m
n− 1
n< x <
m
n. (2)
Combinand acum relatiile (2) si (1), obtinem:
x <m
n≤ x+
1
n< y.
4
Numarul rational cautat este r =m
n. �
Teorema 3.13 (Densitatea lui R \Q ın R) Intre orice doua numere reale distincte se afla celputin un numar irational.
Demonstratie. Fie x, y ∈ R, x < y. Folosind densitatea lui Q ın R, putem gasi p ∈ Q astfel ıncat
x < p < y. Folsind Proprietatea lui Arhimede, gasim ca, pentru n ∈ N∗ suficient de mare, x < p+√2
n < y.
Cum p+√2
n ∈ R \Q, rezulta concluzia. �
4 Dreapta reala ıncheiata
In sectiunea anterioara am observat ca exista submultimi ale lui R minorate dar nemajorate (N)sau invers, respectiv altele care nu sunt nici majorate, nici minorate (Z). Pentru a evita aceastasituatie (dar si din alte motive) se face conventia de a adauga multimii R doua elemente care nufac parte din R, notate cu +∞ si −∞. Multimea R ∪ {−∞,+∞} o vom nota cu R si o vom numidreapta reala ıncheiata sau compactificata. Vom prelungi ordinea uzuala a lui R la R prin:
−∞ < x, x < +∞, −∞ < +∞, ∀x ∈ R.
In acest fel, R devine o multime total ordonata.De asemenea, prelungim si operatiile algebrice din R la R, fara a fi ınsa definite peste tot:x+∞ =∞+ x =∞, ∀x ∈ R \ {−∞}x+ (−∞) = −∞+ x = −∞, ∀x ∈ R \ {+∞}∞ · x = x · ∞ =∞, pentru x > 0 si x ∈ R∞ · x = x · ∞ = −∞, pentru x < 0 si x ∈ R.Urmatoarele operatii sunt nedefinite (se mai numesc si nedeterminari, si vor fi reluate mai
tarziu):
∞+ (−∞), (−∞) +∞, 0 · ∞, ∞ · 0, 0
0,∞∞, ∞0, 00, 1∞.
Daca A ⊂ R este o multime nevida, majorata, atunci supA ∈ R, conform axiomei de completi-tudine. Daca A nu este majorata, atunci vom pune, prin definitie, supA := +∞, iar daca A nueste minorata, vom pune inf A := −∞. In acest fel, orice submultime nevida din R are marginesuperioara si margine inferioara ın R.
Putem sa extindem acum si notatiile pentru intervale de numere reale. Daca a si b sunt douaelemente din R, cu a < b definim:
• (a, b) ={x ∈ R | a < x < b
}, numit interval deschis;
• [a, b] ={x ∈ R | a ≤ x ≤ b
}, numit interval ınchis;
• (a, b] ={x ∈ R | a < x ≤ b
}, numit interval deschis ın a, ınchis ın b;
• [a, b) ={x ∈ R | a ≤ x < b
}, numit interval ınchis ın a, deschis ın b.
5
5 Spatiul Rk
Consideram k ∈ N∗ si fie
Rk := R× R× ...× R︸ ︷︷ ︸de k ori
= {x = (x1, x2, ..., xk) | xi ∈ R, i = 1, k}.
Aceasta multime se organizeaza ca spatiu liniar real ın raport cu operatiile
“ + ” : Rk × Rk → Rk, x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xk + yk),
“ · ” : R× Rk → Rk, a · x = (ax1, ax2, ..., axk),
pentru orice x, y ∈ Rk si orice a ∈ R, operatii numite adunarea si ınmultirea cu scalari. Dupacum se va vedea la cursul de algebra liniara, acest lucru ınseamna de fapt urmatoarele:
I. (Rk,+) este grup abelian, adica1. (x+ y) + z = x+ (y + z), ∀x, y, z ∈ Rk;2. ∃θ := (0, 0, ..., 0) ∈ Rk astfel ıncat x+ θ = θ + x = x, ∀x ∈ Rk;3. ∀x ∈ Rk, ∃ − x := (−x1,−x2, ...,−xk) ∈ Rk astfel ıncat x+ (−x) =
(−x) + x = θ;4. x+ y = y + x,∀x, y ∈ Rk.
II. Inmultirea cu scalari satisface proprietatile1. a · (x+ y) = a · x+ a · y, ∀a ∈ R, ∀x, y ∈ Rk;2. (a+ b) · x = a · x+ b · x, ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ Rk;3. a · (b · x) = (ab) · x, ∀a, b ∈ R, ∀x ∈ Rk;4. 1 · x = x, ∀x ∈ Rk.
De cele mai multe ori, pentru simplitatea scrierii, vom nota 0 ın locul elementului θ de mai sus,contextul permitandu-ne sa deducem ca avem de-a face cu originea spatiului Rk, si nu cu numarulreal 0.
In cele ce urmeaza, vom preciza notiuni si proprietati privitoare la Rk legate mai mult deaspecte de ordin topologic, ce ne vor permite mai apoi studierea unor concepte cum ar fi limita,continuitatea, derivabilitatea, diferentiabilitatea, acest lucru neputand fi realizat doar prin analizaproprietatilor algebrice ale acestui spatiu.
Definitia 5.1 O aplicatie ‖·‖ : Rk → R se numeste norma pe Rk daca ındeplineste relatiile:(N1) ‖x‖ = 0⇔ x = θ;(N2) ‖λ · x‖ = |λ| ‖x‖ , ∀λ ∈ R, ∀x ∈ Rk;(N3) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , ∀x, y ∈ Rk.
Proprietatile (N1) − (N3) se mai numesc axiomele normei. Avand definita o norma ‖·‖ peRk, vom spune ca (Rk, ‖·‖) este spatiu liniar normat. Pentru un element x ∈ Rk, vom numi ‖x‖norma sau lungimea vectorului x.
Propozitia 5.2 Presupunem ca ‖·‖ este o norma pe Rk. Atunci:(i) ‖−x‖ = ‖x‖ , ∀x ∈ Rk;(ii) ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ Rk;(iii) |‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖ , ∀x, y ∈ Rk.
6
Demonstratie. Deoarece (i) este evidenta, sa aratam (ii). Pentru aceasta, sa observam ca, pentru orice
x ∈ Rk,
0 = ‖θ‖ = ‖x+ (−x)‖ ≤ ‖x‖+ ‖−x‖ = 2 ‖x‖ .
Pentru (iii), observam ca
‖x‖ = ‖(x− y) + y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖ ⇒ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖ ,‖y‖ = ‖(y − x) + x‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x‖ = ‖x− y‖+ ‖x‖⇒ ‖y‖ − ‖x‖ ≤ ‖x− y‖ . �
Prezentam ın continuare cateva exemple remarcabile de norme.
Exemplul 5.3 Pentru k = 1, functia modul |·| : R→ R este o norma, deoarece satisface(N1) |x| = 0⇔ x = 0;(N2) |λx| = |λ| |x| , ∀λ, x ∈ R;(N3) |x+ y| ≤ |x|+ |y| , ∀x, y ∈ R.
Urmatoarele norme definite pe Rk vor fi importante ın cele ce urmeaza.
Exemplul 5.4 1. Aplicatia ‖·‖2 : Rk → R definita prin
‖x‖2 :=
√√√√ k∑i=1
x2i , ∀x = (x1, x2, ..., xk) ∈ Rk, (3)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma euclidiana.2. Aplicatia ‖·‖1 : Rk → R definita prin
‖x‖1 :=k∑
i=1
|xi| , ∀x = (x1, x2, ..., xk) ∈ Rk. (4)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma Manhattan.3. Aplicatia ‖·‖∞ : Rk → R definita prin
‖x‖∞ := maxi=1,k
|xi| , ∀x = (x1, x2, ..., xk) ∈ Rk. (5)
satisface (N1)− (N3) si se numeste norma maximum.
Sa mai observam ca toate cele trei norme definite anterior se reduc, ın cazul k = 1, la functiamodul.
Exercitiul 5.5 Sa se calculeze normele ‖·‖2 , ‖·‖1 , ‖·‖∞ pentru vectorii:a) x = (−1, 3) ∈ R2;b) y = (2,−1, 5) ∈ R3;c) z =
(12 ,−
13 ,
14 ,−
16
)∈ R4.
Solutie. a) ‖x‖2 =√
1 + 9 =√
10; ‖x‖1 = |−1|+ |3| = 4; ‖x‖∞ = max {|−1| , |3|} = 3.
b) ‖y‖2 =√
30, ‖y‖1 = 8; ‖y‖∞ = 5.
c) ‖z‖2 =√
14 + 1
9 + 116 + 1
36 =√6512 , ‖z‖1 = 5
4 ; ‖z‖∞ = 12 . �
7
6 Elemente de topologie pe Rk (k ≥ 1) si R
6.1 Vecinatatile unui punct
Fie a ∈ Rk, r > 0 si ‖·‖ o norma pe Rk.
Definitia 6.1 Se numeste bila deschisa de centru a si raza r multimea
B(a, r) := {x ∈ Rk | ‖x− a‖ < r}.
Se numeste bila ınchisa de centru a si raza r multimea
D(a, r) := {x ∈ Rk | ‖x− a‖ ≤ r}.
Se numeste sfera de centru a si raza r multimea
S(a, r) := {x ∈ Rk | ‖x− a‖ = r}.
Exemplul 6.2 In cazul lui R ınzestrat cu metrica uzuala, obtinem B(a, r) = (a−r, a+r), D(a, r) =[a− r, a+ r], S(a, r) = {a− r, a+ r}.
Exemplul 6.3 Sa consideram cazul lui R2. Pentru norma euclidiana ‖·‖2 , bila deschisa, bilaınchisa si sfera de centru a = (a1, a2) ∈ R2 si raza r > 0 vor fi, respectiv
B2(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 < r2},D2(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 ≤ r2},S2(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | (x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 = r2}.
In cazul normei ‖·‖1 , multimile corespunzatoare sunt:
B1(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | |x1 − a1|+ |x2 − a2| < r},D1(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | |x1 − a1|+ |x2 − a2| ≤ r},S1(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | |x1 − a1|+ |x2 − a2| = r}.
In sfarsit, ın cazul normei ‖·‖∞ , obtinem urmatoarele:
B∞(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | max{|x1 − a1| , |x2 − a2|} < r},D∞(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | max{|x1 − a1| , |x2 − a2|} ≤ r},S∞(a, r) = {x = (x1, x2) ∈ R2 | max{|x1 − a1| , |x2 − a2|} = r}.
Definitia 6.4 Multimea A din spatiul Rk se numeste marginita daca exista a ∈ Rk si r > 0 astfelıncat A ⊂ D(a, r). In caz contrar, A se numeste nemarginita.
Observatia 6.5 Marginirea unei multimi A ⊂ Rk este echivalenta cu existenta unui r > 0 astfelıncat
‖x‖ ≤ r, ∀x ∈ A.
8
Definitia 6.6 Se numeste vecinatate a punctului x ∈ Rk orice multime care contine o bila de-schisa centrata ın x. Vom nota cu V(x) multimea tuturor vecinatatilor punctului x si o vom numisistem de vecinatati pentru punctul x.
Exemplul 6.7 Pentru R, ınzestrat cu metrica uzuala, avem ca atunci pentru orice x ∈ R,
V ∈ V(x)⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x− r, x+ r) ⊂ V.
In cazul lui R, sa vedem cum arata vecinatatile punctelor acestui spatiu.
Definitia 6.8 Fie x ∈ R.Daca x ∈ R, atunci V ∈ V(x) ⇔ exista r > 0 astfel ıncat (x− r, x+ r) ⊂ V ;Daca x = +∞, atunci V ∈ V(+∞) ⇔ exista a ∈ R astfel ıncat (a,+∞] ⊂ V ;Daca x = −∞, atunci V ∈ V(−∞) ⇔ exista b ∈ R astfel ıncat [−∞, b) ⊂ V.
Urmatorul rezultat are drept consecinta importanta faptul ca permite demonstrarea unicitatiilimitei unei functii ıntr-un punct (deci si a limitei unui sir).
Teorema 6.9 (Proprietatea de separatie Haussdorff) Daca x si y sunt puncte distincte dinRk, atunci exista Vx ∈ V(x), Vy ∈ V(y) astfel ıncat Vx ∩ Vy = ∅.
Demonstratie. Daca x 6= y, atunci putem defini r := ‖x− y‖ > 0. Consideram Vx := B(x, r3
)∈ V(x),
Vy := B(y, r3
)∈ V(y). Sa presupunem ca Vx ∩ Vy 6= ∅, adica exista z ∈ B
(x, r3
)∩B
(y, r3
). Atunci
r = ‖x− y‖ ≤ ‖x− z‖+ ‖z − y‖ < r
3+r
3=
2r
3,
contradictie. In concluzie, presupunerea facuta este falsa, deci teorema este demonstrata. �
6.2 Multimi deschise. Multimi ınchise
Definitia 6.10 O submultime D ⊂ Rk se numeste deschisa daca D = ∅ sau D este vecinatatepentru orice punct al sau.
Exemplul 6.11 1. Orice bila deschisa B(x, r) din Rk este multime deschisa. In particular, ıncazul k = 1, avem ca orice interval de forma (x− ε, x+ ε) este o multime deschisa.
2. In cazul lui R, pentru orice a, b ∈ R, intervalele de forma (a, b), (−∞, a), (a,+∞) suntmultimi deschise.
3. Pentru a ∈ Rk si r > 0, multimea A := {x ∈ Rk | ‖x− a‖ > r} este o multime deschisa.4. Multimea (0, 2] = {x ∈ R | 0 < x ≤ 2} nu este deschisa deoarece nu este vecinatate pentru 2
(nicio bila deschisa centrata ın 2 nu este inclusa ın (0, 2]).
Teorema 6.12 (Proprietati ale multimilor deschise) Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este o multime deschisa;(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa;(iii) Rk este o multime deschisa.
Demonstratie. Exercitiu! �
9
Observatia 6.13 Sa remarcam faptul ca, daca am considera o intersectie oarecare de multimideschise, aceasta nu este ın mod necesar deschisa, dupa cum o arata exemplul urmator: fie, pentru
orice n ∈ N∗, multimea deschisa Dn :=
(− 1
n,
1
n
). Atunci
⋂n∈N∗
Dn = {0}, multime care, ın mod
evident, nu este deschisa ın R.
Definitia 6.14 O submultime D ⊂ Rk se numeste ınchisa daca multimea sa complementara,cD := Rk \D, este deschisa.
Exemplul 6.15 1. ∅,Rk sunt multimi ınchise, deoarece c∅ = Rk, cRk = ∅ sunt deschise.2. Orice bila ınchisa D(a, r) dintr-un spatiu metric este multime ınchisa deoarece complemen-
tara sa, Rk \D(x, r) = {x ∈ Rk | ‖x− a‖ > r}, este deschisa.
Teorema 6.16 (Proprietati ale multimilor ınchise) Au loc urmatoarele afirmatii:(i) Orice reuniune finita de multimi ınchise este o multime ınchisa;(ii) Orice intersectie (finita sau infinita) de multimi ınchise este o multime ınchisa.
Demonstratie. Se folosesc formulele lui de Morgan si Teorema 6.12. �
Exercitiul 6.17 Precizati daca multimile urmatoare sunt deschise sau ınchise ın R4:a) A = {(x1, x2, x3, x4) | |x1| > 0, x2 < 1, x3 6= −2} ;b) B = {(x1, x2, x3, x4) | x1 = 1, x3 6= −4} ;c) C = {(x1, x2, x3, x4) | x1 = 1, −3 ≤ x2 ≤ 1, x4 = −5} .
Solutie. a) Fie:
A1 = {(x1, x2, x3, x4) | |x1| > 0}A2 = {(x1, x2, x3, x4) | x2 < 1}A3 = {(x1, x2, x3, x4) | x3 6= −2} .
Atunci A = A1 ∩A2 ∩A3. Cum A1, A2 si A3 sunt evident multimi deschise si o intersectie finita de multimi
deschise este deschisa, rezulta ca A este deschisa.b) Observam ca B 6∈ V(1, 0, 0, 0), deci B nu este deschisa. De asemenea,
cB = R4 \B = {(x1, x2, x3, x4) | x1 6= 1, x3 = −4}
nu este deschisa, deci B nu este ınchisa. In concluzie, B nu este nici deschisa, nici ınchisa.c) Se observa ca multimea
cC = R4 \ C = {(x1, x2, x3, x4) | x1 6= 1, x2 ∈ (−∞,−3) ∪ (1,∞), x4 6= −5}
se poate scrie ca intersectie de multimi deschise, deci este deschisa. In concluzie, C este ınchisa ın R4. O
demonstratie simpla a acestui lucru se va putea face dupa ce vom da caracterizarea cu siruri a multimilor
ınchise ın Rk. �
10
6.3 Interior, aderenta, frontiera, multime derivata, puncte izolate
Definitia 6.18 Fie A ⊂ Rk o multime nevida. Un punct x ∈ Rk se numeste punct interior
multimii A daca A ∈ V(x). Totalitatea punctelor interioare multimii A se noteaza cu◦A sau cu
intA si se numeste interiorul multimii A.
Exemplul 6.19 1. In cazul lui R, fie intervalele: (a, b), (a, b], [a, b), [a, b]. Interiorul tuturormultimilor este egal cu (a, b).
2. Fie k = 1 si multimile A = Q, B = R \ Q. Avem◦A =
◦B = ∅, deoarece pentru orice punct
x ∈ R, niciuna din multimile A,B nu poate contine intervale de forma (x− r, x+ r) cu r > 0.
3. Fie X = R2 si A ={
(x, y) ∈ R2 | x2
4 + y2
9 ≤ 1}∪ {(3, 0)} . Vom avea
◦A =
{(x, y) ∈ R2 | x
2
4+y2
9< 1
}.
Teorema 6.20 Au loc urmatoarele:
(i)◦A ⊂ A, ∀A ⊂ Rk;
(ii) A =◦A⇔ A este deschisa;
(iii) A1 ⊂ A2 ⇒◦A1 ⊂
◦A2;
(iv)
◦︷ ︸︸ ︷A1 ∩A2 =
◦A1 ∩
◦A2;
(v)
◦︷ ︸︸ ︷A1 ∪A2 ⊃
◦A1 ∪
◦A2;
(vi)
◦◦A =
◦A, deci
◦A deschisa.
Demonstratie. Exercitiu! �
Definitia 6.21 Fie A ⊂ Rk. Un punct x ∈ Rk se numeste punct aderent multimii A daca pentruorice V ∈ V(x), avem V ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor aderente multimii A se noteaza cu A saucu clA si se numeste aderenta, sau ınchiderea multimii A.
Exemplul 6.22 1. In cazul k = 1, aderenta tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] estemultimea [a, b].
2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A = B = R, deoarece pentru orice punctx ∈ R si orice V ∈ V(x), avem V ∩A 6= ∅ si V ∩B 6= ∅.
3. Pentru X = R2 si A ={
(x, y) ∈ R2 | x2
4 + y2
9 ≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem A = A.
Urmatoarea teorema face legatura ıntre notiunile de aderenta si interior.
Teorema 6.23 Fie A ⊂ Rk. Atunci:
c◦A = cA si cA =
◦︷︸︸︷cA .
Demonstratie. Pentru prima relatie, sa consideram x ∈ c◦A, sau x 6∈
◦A. Dar aceasta relatie este echivalenta
cu faptul ca, pentru orice V ∈ V(x), V 6⊂ A, ceea ce, la randul sau, este echivalent cu faptul ca, pentru orice
V ∈ V(x), V ∩ cA 6= ∅, adica x ∈ cA. A doua relatie se arata analog. �
11
Teorema 6.24 Fie (X, d) un spatiu metric. Au loc urmatoarele:(i) A ⊂ A;(ii) A = A⇔ A este ınchisa;(iii) A1 ⊂ A2 ⇒ A1 ⊂ A2;(iv) A1 ∩A2 ⊂ A1 ∩A2;(v) A1 ∪A2 = A1 ∪A2;
(vi) A = A, deci A este ınchisa.
Demonstratie. Exercitiu! �
Definitia 6.25 Fie A ⊂ Rk. Numim frontiera a multimii A, notata FrA, multimea A ∩ cA.
Exemplul 6.26 1. Pentru R si A una din multimile (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], avem FrA = {a, b}.2. Pentru R si A = Q, B = R \Q, obtinem FrA = A ∩B = R. Analog,FrB = R.3. FrR = ∅.4. Pentru X = R2 si A =
{(x, y) ∈ R2 | x2
4 + y2
9 ≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
FrA =
{(x, y) ∈ R2 | x
2
4+y2
9= 1
}∪ {(3, 0)} .
Urmatorul rezultat face legatura ıntre o multime, frontiera, interiorul si aderenta sa si permiteidentificarea cu usurinta a multimilor deschise si ınchise: pentru o multime oarecare, daca seınlatura punctele frontierei sale obtinem interiorul, iar daca se adauga punctele forntierei se vaobtine ınchiderea multimii.
Teorema 6.27 Fie A ⊂ Rk. Atunci:
(i)◦A = A \ FrA;
(ii) A = A ∪ FrA.
Demonstratie. (i) Avem
A \ FrA = A \(A ∩ cA
)=(A \A
)∪(A \ cA
)= ∅ ∪
(A ∩ c
(c◦A
))= A ∩
◦A =
◦A.
(ii) Sa observam ca A ∪ c◦A ⊃ A ∪ cA = Rk, adica A ∪ c
◦A = Rk. Atunci
A ∪ FrA = A ∪(A ∩ c
◦A
)=(A ∪A
)∩(A ∪ c
◦A
)= A ∩X = A. �
Definitia 6.28 Fie A ⊂ Rk. Un punct x ∈ Rk se numeste punct de acumulare al multimiiA daca pentru orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩ A 6= ∅. Totalitatea punctelor de acumulare alemultimii A se noteaza cu A′ si se numeste multimea derivata asociata multimii A.
Un punct x ∈ A cu proprietatea ca x 6∈ A′ se numeste punct izolat al multimii A.
12
Exemplul 6.29 1. Pentru R, multimea derivata asociata tuturor intervalelor (a, b), (a, b], [a, b),[a, b] este multimea [a, b].
2. Pentru R si multimile A = Q, B = R \ Q, avem A′ = B′ = R, deoarece pentru orice punctx ∈ R si orice V ∈ V(x), avem (V \ {x}) ∩A 6= ∅ si (V \ {x}) ∩B 6= ∅.
3. Pentru X = R2 si A ={
(x, y) ∈ R2 | x2
4 + y2
9 ≤ 1}∪ {(3, 0)} , obtinem
A′ =
{(x, y) ∈ R2 | x
2
4+y2
9≤ 1
}.
Punctul (3, 0) este punct izolat pentru multimea A.
Ca ın cazul aderentei, se poate arata usor urmatorul rezultat.
Teorema 6.30 Fie A ⊂ Rk. Atunci
x ∈ A′ ⇔ ∀ε > 0, (B(x, ε) \ {x}) ∩A 6= ∅.
Observatia 6.31 Daca x ∈ A′, atunci ın orice vecinatate a lui x se afla o infinitate de puncte alemultimii A. Intr-adevar, daca ar exista o vecinatate care contine o multime finita de puncte diferitede x de tipul {x1, x2, ..., xp}, putem considera r0 := min{‖x− x1‖ , ‖x− x2‖ , ..., ‖x− xp‖} > 0 astfelıncat (B(x, r0) \ {x}) ∩A = ∅, contradictie.
Folosind aceasta observatie, deducem ca multimile finite nu au puncte de acumulare.
Are loc urmatorul rezultat.
Teorema 6.32 Au loc urmatoarele:(i) A′ ⊂ A;(ii) A1 ⊂ A2 ⇒ A′1 ⊂ A′2;(iii) (A1 ∩A2)
′ ⊂ A′1 ∩A′2;(iv) (A1 ∪A2)
′ = A′1 ∪A′2;(v) A = A ∪A′;(vi) A este ınchisa ⇔ A′ ⊂ A.
Demonstratie. (i), (ii) si (iii) rezulta imediat.
(iv) Cum A1, A2 ⊂ A1∪A2, rezulta din (iii) ca A′1, A′2 ⊂ (A1∪A2)′, deci A′1∪A′2 ⊂ (A1∪A2)′. Fie acum
x ∈ (A1 ∪A2)′. Atunci, pentru orice V ∈ V(x), (V \ {x}) ∩ (A1 ∪A2) 6= ∅, de unde (V \ {x}) ∩A1 6= ∅ sau
(V \ {x}) ∩A2 6= ∅, adica x ∈ A′1 sau x ∈ A′2, sau x ∈ A′1 ∪A′2.
(v) Cum A,A′ ⊂ A, avem A ∪ A′ ⊂ A. Fie acum x ∈ A \ A. Atunci, conform definitiei, V ∩ A 6= ∅.Deoarece x 6∈ A, rezulta (V ∩ A) \ {x} 6= ∅, adica (V \ {x}) ∩ A 6= ∅, sau x ∈ A′. De aici, A \ A ⊂ A′, ceea
ce implica A =(A \A
)∪A ⊂ A′ ∪A.
(vi) Avem ca A este ınchisa ⇔ A = A⇔ A = A ∪A′ ⇔ A′ ⊂ A. �
Exercitiul 6.33 Precizati frontiera, interiorul, ınchiderea urmatoarelor multimi:a) A = {(x, y, z) | |x| < 1, |y| < 1, z ∈ R}b) B =
{(x, y, 1) | x2 + y2 ≤ 1
}
13
Solutie. a) Obtinem
FrA = {(x, y, z) | |x| = 1, |y| < 1, z ∈ R}∪ {(x, y, z) |x| < 1, |y| = 1, z ∈ R}∪ {(x, y, z) |x| = 1, |y| = 1, z ∈ R} ,
A = {(x, y, z) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, z ∈ R} ,◦A = A.
b) In acest caz, vom avea FrB = B = B,◦B = ∅.
14