alvaro f. m. azevedo a. adão da fonseca */+ rui oliveira · • em cada iteração, o seguinte...
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Junho 2002 - Madrid FEUP / AFAssociados 1
Alvaro F. M. Azevedo *
A. Adão da Fonseca */+
Rui Oliveira +
* Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto+ AFAssociados - Projectos de Engenharia, SA
Portugal
OPTIMIZAÇÃO DA FORMA DEUMA PONTE METÁLICA
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PROBLEMA
• Minimizar o custo de uma ponte metálica
• Optimização da forma e dimensionamento das secções
5.14 m
36.0 m
4.0 m
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
• Elástico linear
• Encurvadura local das barras
• Nós fixos na direcção normal ao plano da treliça
• Regulamentação em vigor
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MODELO DE OPTIMIZAÇÃO
• Programação não linear
• Aproximação de segunda ordem
• Formulação integrada
• Todas as variáveis do problema estão presentes no
programa não linear
• Não é efectuada a clássica análise de sensibilidades
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SOFTWARE DE OPTIMIZAÇÃO
• NEWTOP
• Optimização genérica
• Método de Lagrange-Newton
• Manipulação simbólica de todas as funções
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PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR
• Variáveis / funções reais e contínuas
• Todas as funções são polinómios generalizados, tais como:
M inim ize
f x( )~
subject to
g x~ ~ ~
( )
≤ 0 → =g x si i( ) + ~
2 0
h x~ ~ ~
( )
= 0
f x x x x x x x( ) . . . .~
= − + −− −5 9 3 1 2 7 1 812
43
2 11
3 52
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• São simbolicamente manipulados
• São facilmente interpretados e avaliados
• É também simples calcular primeiras e segundas derivadas
• Todas estas operações são realizadas com elevada eficiência
POLINÓMIOS GENERALIZADOS
f x x x x x x x( ) . . . .~
= − + −− −5 9 3 1 2 7 1 812
43
2 11
3 52
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LAGRANGEANO
( ) ( ) ( ) ( )L X f x g x s h xkg
k kk
m
kh
kk
p
~ ~ ~ ~= + +
+= =∑ ∑λ λ2
1 1
VARIÁVEIS
( )X s xg h
~ ~ ~ ~ ~, , ,= λ λ
SOLUÇÃO• Ponto estacionário do Lagrangeano
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SISTEMA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
2 0si igλ = ( )i m= 1, ... ,
( )∇ = ⇒L X~ ~
0
g si i+ =2 0 ( )i m= 1, ... ,
∂∂
λ ∂∂
λ ∂∂
f
x
g
x
h
xikg
k
mk
ik
h
k
pk
i
+ + == =∑ ∑
1 1
0 ( )i n= 1, ... ,
hi = 0 ( )i p= 1,... ,
• Para que a sua solução seja um ponto KKT é necessário que:
λ g
~≥ 0
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MÉTODO DE LAGRANGE-NEWTON
∇ =L X( )~ ~
0
• O sistema de equações não lineares
é resolvido pelo método de Newton
( ) ( )H X X L Xq q q
~ ~ ~ ~ ~
− −+ ∇ =1 1 0∆
• Em cada iteração, o seguinte sistema de equações linearestem de ser resolvido
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SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
• Eliminação de Gauss
• Gradientes conjugados
LINE SEARCH
X X Xq q q
~ ~ ~= +−1 α ∆
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• Dimensionamento das áreas das secções transversais
• Optimização da forma: modificação das coordenadas dos nós
OPTIMIZAÇÃO DE TRELIÇAS
• Minimização do custo (foi substituída pela
minimização do volume de material)
Simultaneamente
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VARIÁVEIS
• Formulação integrada
• As variáveis de projecto e as variáveis de comportamento são incluídas no programa matemático
Dimensões da secção transversal (e.g., largura, espessura, área)
Algumas coordenades de nós
Deslocamentos dos nós
B
w
w
B
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PROGRAMA NÃO LINEAR
• Função objectivo: custo f x c A Lii
NB
i i( )~
==∑
1
• Restrições igualdade:
♦ Equações de compatibilidade (substituídas)
♦ Relações constitutivas (substituídas)
♦ Equações de equilíbrio (explícitas)
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• Restrições desigualdade:
♦ Espessura mínimaminww ≥
♦ Tensão admissível (em tracção e em compressão)
♦ Encurvadura local de cada barra
♦ Posição dos nós limitada x x xim in m ax≤ ≤
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PONTE METÁLICA
B
w
w
B
• Secção constante nas barras do banzo inferior
Peso próprio + carga vertical uniformemente distribuída
5.14 m
36.0 m
4.0 m
• B fixo• W variável
Solução inicial