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ALTERNATIVA DIDÁCTICA PARA EL PROCESO DE
ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE FUNCIONES LINEALES
A PARTIR DE LAS ACCIONES MENTALES DE LA TEORÍA
DE GALPERIN
Autor: Orlando Joaquim Martinho
Resumen
En esta tesis se emprende la implementación de las acciones mentales de la
teoría de Galperin como una alternativa didáctica para el proceso de enseñanza-
aprendizaje de funciones lineales en la asignatura de Matemática de la
enseñanza media en Angola, a partir del estado real y potencial de los estudiantes
del décimo grado de la escuela Joaquin Capango de Huambo, una de las
provincias angolanas. La esencia radica en la integración de las 4 fases de
diagnóstico, preparación, ejecución, con un recorrido por cinco etapas que
corresponden a cada una de las de la teoría de la asimilación de la acción por
etapas de Galperin, y evaluación para optimizar esta actividad en función de los
resultados del diagnóstico pedagógico integral, con el desarrollo de un nuevo
tramado de relaciones orientado al proceso de conversión gradual de acciones
externas a acciones intelectuales internas, desde los niveles de desarrollo de los
estudiantes según el enfoque histórico cultural y en función de las condiciones en
que se desarrolla dicho proceso.
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INTRODUCCIÓN
La Educación es un fenómeno condicionado socio-históricamente y un proceso
que debe responder a los fines sociales. Es una actividad multi-determinada y
multifuncional, pues muchos son los que se ocupan de la misma: el Estado, la
familia, los adultos en general, los maestros, profesores, los medios de
comunicación, entre otros agentes y agencias.
Angola, después de la conquista de la independencia nacional del 11 de
Noviembre de 1975 y de la paz efectiva el 4 de Abril de 2002, se ha propuesto la
construcción de una sociedad más justa para el bien de todos. En este proceso, la
Educación y la escuela como institución, han jugado un papel determinante, ya
que sobre ellas ha descansado la responsabilidad de la formación de las futuras
generaciones de angolanos.
La Ley de Base del Sistema de Educación de Angola, contempla en su artículo 4
que el sistema de Educación es integral, por la correspondencia entre los
objetivos de formación y el desarrollo del país. Esto se materializa mediante la
unidad de los objetivos, los contenidos y los métodos de formación, garantizando
la articulación horizontal y vertical permanente de los subsistemas, los niveles y
las modalidades de enseñanza.
En la actualidad se realiza una reforma educativa para sustituir el anterior sistema
educativo, buscando consolidar los principios de la integridad, democratización,
gratuidad y obligatoriedad. Esta reforma representa una estrategia educacional
para mejorar la calidad de la educación y la enseñanza y dar respuestas a los
desafíos del desarrollo del país. Como consecuencia, la sociedad y las escuelas
angolanas están enfrascadas en importantes cambios en correspondencia con las
exigencias de la formación de las nuevas generaciones.
La Matemática, por sus características y posibilidades educativas, puede
contribuir a satisfacer las demandas de preparación del hombre para su inserción
en el mundo contemporáneo. Los profesores de esta asignatura tienen la tarea de
preparar cada estudiante, no sólo con conocimientos matemáticos, sino con
una visión de la misma que le permita utilizarla en el enfrentamiento de los
problemas que dentro y fuera de la institución escolar este debe resolver.
Teniendo en cuenta lo anterior es que, a los maestros y profesores e
investigadores en Educación Matemática se les plantea como problemática
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universal la de encontrar vías que garanticen un adecuado aprendizaje de las
matemáticas, de manera que les permita a las generaciones venideras enfrentar
los retos y resolver los múltiples problemas a los que tendrán que buscar
soluciones.
Para la Matemática, que en sus investigaciones busca relaciones y dependencias,
las funciones ocupan un lugar de importancia suprema. Se parte del hecho de que
el hombre en su accionar en la naturaleza logra solucionar diversos problemas
con la ayuda de las mismas. Estas, sin duda alguna, posibilitan demostrar la
relación Matemática-realidad objetiva y contribuyen a entender a esta ciencia
como un medio eficaz para transformar dicha realidad.
Dentro del currículo de la Matemática, en los diferentes niveles de enseñanza, los
temas relacionados con funciones son de gran importancia, en ellos se tratan
conceptos fundamentales, que sustentan gran parte de la teoría Matemática,
subordinados todos al concepto de función, por lo cual este resulta de los más
importantes al que se enfrentan los estudiantes, desde los primeros años de su
vida escolar. Al respecto Spivak, M. plantea “El concepto más importante de
todas las Matemáticas es, sin dudarlo, el de función: en casi toda la Matemática
moderna, la investigación se centra en el estudio de las funciones” (Spivak, M.
1989:47).
El concepto de función no está ajeno al desarrollo social y científico de la
humanidad a lo largo de la historia, por lo que, evoluciona a la par de esta, de ahí
que su definición adoptará diferentes formas. En el trabajo se relacionan algunas
consideradas para la comprensión del concepto.
La relevancia del concepto función en distintos ámbitos científicos dirige la
atención hacia el análisis de sus procesos de enseñanza - aprendizaje. En la
literatura especializada existen acercamientos teóricos que estudian al concepto,
donde se reporta una gran variedad de dificultades en su aprendizaje.
Reuniones formales e informales con estudiantes y profesores de la enseñanza
media de la provincia de Huambo, el intercambio con directivos, la observación de
las relaciones que se establecieron durante la enseñanza de la asignatura en el
nivel medio básico, la preparación y desarrollo de clases, la experiencia en el
encuentro con otros colegas, y en particular el intercambio con profesores y
estudiantes en la práctica cotidiana, han permitido constatar algunas
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manifestaciones en los estudiantes que revelan insuficiente dominio de los
contenidos relacionados con las funciones lineales, así como insuficiencias en el
proceso didáctico que se implementa para enseñar y aprender sobre esta
temática. Entre ellas destacan las siguientes:
Poseen escasa preparación en temas previos que sirven de bases para la
formación y fijación del concepto función lineal.
Deben dedicar excesivo tiempo en la etapa preliminar de consideraciones y
ejercicios preparatorios, en detrimento de etapas subsiguientes del
proceso.
Bajos índices de calidad en pruebas de conocimiento y exámenes
relacionados con dicho concepto.
Tienden a asimilar la forma para expresar el concepto y no su contenido,
un número significativo de ellos consideraran a las funciones como dos
expresiones separadas por un signo igual y tienden a asociarla con una
fórmula.
Dependencia a las explicaciones del profesor para el aprendizaje debido a
la escasez de materiales didácticos y bibliografía complementaria.
Se presentan, entonces, múltiples y variadas contradicciones. Como parte de
ellas, en esta investigación se destaca la que existe entre las exigencias que
establecen los objetivos del programa de la asignatura Matemática y el estado
real de insuficiencias en el dominio de los contenidos relacionados con las
funciones lineales. Los estudiantes deben ser capaces de reconocer la presencia
de relaciones de dependencia funcional en el contexto de la clase o en la vida
cotidiana y expresar, a través de relaciones funcionales, diferentes situaciones de
la vida. Sin embargo, en contraposición, estos revelan carencias en la
identificación del concepto, su representación gráfica, el análisis de sus
propiedades y su aplicación en diferentes contextos.
Algunos resultados de investigaciones asociadas a las funciones lineales en
particular o las funciones reales de una variable real de manera más general se
presentan en la literatura científica. En el ámbito internacional se puede citar a
Caraça, (1984), y otros quienes trabajaron con los conceptos fundamentales de la
Matemática, dentro de ellos el de función, pero no asumen un enfoque
desarrollador.
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En Cuba, se tiene referencias de trabajos realizados por González (1974),
Ballester, S. (1992), Campistrous y Rizo (1993), referidos al trabajo con funciones
y sus aplicaciones, así como al desarrollo de habilidades en la enseñanza de la
Matemática. Además, Cala, H (2002), Coloma, O (2002), Leonardo, M (2003),
Rodríguez, J (2003), Gómez, M (2009), Jiménez, H (2010), (Ochoa, E. 2014), en
las mismas se han realizado propuestas para el análisis de propiedades y
operaciones con funciones, para el trazado de gráficos y la solución de problemas
entra-matemáticos y extra-matemáticos y el uso de las tecnologías de la
informática y las comunicaciones como medios de enseñanza. Estas
investigaciones aportan soluciones, pero no han abordado procedimientos
didácticos que incluyan la aplicación de estos contenidos a la vida, así como una
fijación variada.
En el ámbito nacional se tiene referencias de los trabajos de Sassapa, D. (2014)
sobre el desarrollo de habilidades en la resolución de funciones matemáticas de
los alumnos de undécimo grado en la misma escuela de esta investigación, quien
propone un sistema de ejercicios diseñado para grados precedentes que si bien
son útiles para atenuar las dificultades bibliográficas no resuelven todavía las
carencias didácticas del proceso. Lo mismo sucede con José, A. (2014), quien
presenta un cuaderno de actividades para el desarrollo de habilidades en la
aplicación de funciones racionales fraccionarias.
Desde las perspectivas con que estos autores se acercan al análisis de esta
problemática son insuficientes los aportes relacionados con el tratamiento al
concepto de función lineal, para asegurar el aprendizaje de este contenido
matemático y su aplicación por los estudiantes en el contexto de la Escuela
Joaquin Capango de la Provincia Huambo, República de Angola. Tal situación
indica carencias de las investigaciones precedentes y conducen a la
determinación del siguiente problema científico: ¿Cómo contribuir al dominio del
contenido funciones lineales por los estudiantes del décimo grado de la escuela
Joaquin Capango de Huambo, Angola?
Desde el problema presentado y sabiendo que la disciplina de Matemática es
fundamental para el desarrollo integral de los estudiantes, se determinó como
objeto de estudio: El proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura
Matemática en la enseñanza media.
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En correspondencia con el problema científico y teniendo en cuenta el objeto de
investigación se tiene como objetivo: Elaboración de una alternativa didáctica
para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de las funciones lineales
en la enseñanza media, que permita a los estudiantes del décimo grado de la
escuela Joaquin Capango de Huambo, Angola, el dominio de este contenido. Se
determina como campo de acción: El proceso de enseñanza-aprendizaje del
contenido funciones lineales en la enseñanza media y se tiene como idea a
defender: Una alternativa didáctica, que tenga como base las acciones mentales
de la teoría de Galperin para el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje
de las funciones lineales, contribuye a que los estudiantes de la Escuela Joaquin
Capango de la Provincia Huambo, República de Angola, dominen este contenido
del décimo grado de la asignatura Matemática.
En correspondencia con el objetivo y la idea a defender se elaboraron las
siguientes tareas científicas:
1. Caracterizar las regularidades y tendencias de las funciones lineales en el
comportamiento histórico del proceso de enseñanza-aprendizaje de la
asignatura Matemática de la enseñanza media en Angola.
2. Valorar los elementos teórico-prácticos y metodológicos que fundamentan la
implementación de las funciones lineales en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la asignatura Matemática de la enseñanza media.
3. Caracterizar el estado actual de la implementación de las funciones lineales
en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática de la
enseñanza media en la Escuela Joaquín Capango de la Provincia Huambo,
República de Angola.
4. Elaborar una alternativa didáctica que sustente a las acciones mentales de la
teoría de Galperin como dinamizador del aprendizaje del contenido de
funciones lineales en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura
Matemática de la enseñanza media.
5. Valorar la pertinencia y factibilidad de la alternativa didáctica propuesta para
el aprendizaje del contenido de funciones lineales en el décimo grado de la
Escuela Joaquín Capango de la Provincia Huambo, República de Angola.
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Para acceder a las fuentes se utilizó lo histórico, lógico, análisis, síntesis,
inducción, deducción, como procedimientos en varios métodos que se emplearon
con un enfoque dialéctico-materialista.
Métodos del nivel empírico:
- Encuesta y entrevista- para analizar la opinión de los profesores y estudiantes
con relación a los rasgos que caracterizan el aprendizaje de la Matemática y la
elaboración del concepto de función, en particular el de función lineal.
- Observación: a clases para constatar cómo conciben el proceso de
enseñanza-aprendizaje de las funciones lineales y los sistemas de clases en
las escuelas. Para la obtención de información y nuevos conocimientos a
través de todo el proceso investigativo.
- El criterio de expertos: para evaluar la calidad de los argumentos que sustentan
teóricamente la alternativa didáctica propuesta para el desarrollo del proceso de
enseñanza-aprendizaje de las funciones lineales en la enseñanza media y su
factibilidad de aplicación práctica en el décimo grado de la escuela Joaquin
Capango de Huambo, República de Angola.
Métodos teóricos
- El estudio y la crítica de fuentes: para resumir y valorar la información que
proporcionan las fuentes. Para determinar los conceptos fundamentales que se
emplean, el marco contextual del objeto, las razones de la investigación, y
fundamentarla. Igualmente para evaluar las funciones lineales en el
comportamiento histórico del proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura
Matemática de la enseñanza media en Angola, y el desarrollo que tuvo el
problema en su concatenación con los diferentes elementos del proceso de
enseñanza-aprendizaje.
- Sistémico-Estructural-Funcional- permitió establecer la relación entre los
componentes del proceso de Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática y la
propuesta de elaboración de la alternativa didáctica propuesta para potenciar el
aprendizaje del concepto de función lineal por los estudiantes de la Escuela
Joaquín Capango de la Provincia Huambo, República de Angola.
Estadísticos- medidas descriptivas para procesar las encuestas y entrevistas
y el criterio de expertos para validar la pertinencia y factibilidad de la alternativa
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didáctica propuesta para el aprendizaje del contenido funciones lineales de la
asignatura Matemática para el décimo grado.
El aporte práctico de la tesis consiste en una alternativa didáctica que tiene como
base las acciones mentales de la teoría de Galperin para el aprendizaje del
contenido funciones lineales de la asignatura Matemática por los estudiantes del
décimo grado de la Escuela Joaquín Capango de la Provincia Huambo, República
de Angola.
La novedad científica de esta investigación radica en el desarrollo de un nuevo
tramado de relaciones, orientado a la conversión gradual de acciones externas a
acciones intelectuales internas, para optimizar la integración de lo instructivo,
educativo y desarrollador en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las
funciones lineales en la enseñanza media, a partir de la organización coherente
del proceso didáctico de la Matemática en función de los resultados del
diagnóstico pedagógico integral. La alternativa didáctica propuesta promueve
clases en función de las diferentes zonas de desarrollo próximo de cada
estudiante, a partir de una planificación que contempla también la esfera inductora
de su personalidad.
Este informe de tesis está estructurado en dos capítulos. El primero está dedicado
a la revelación de hechos, fenómenos y procesos desde el comportamiento
histórico del proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática de la
enseñanza media con relación a las funciones lineales en Angola. En el primer
capítulo se puede encontrar además la interpretación de su marco teórico-
conceptual, la caracterización del problema en la Escuela Joaquín Capango de la
Provincia Huambo, así como la justificación y fundamentación de la necesidad de
su transformación. El segundo se dedica a la argumentación del aporte esencial y
su evaluación respectivamente. Además, se presentan las conclusiones generales
y las recomendaciones.
CAPITULO I: EL PROCESO DE ENSEÑANZA–APRENDIZAJE DE LAS
FUNCIONES LINEALES EN LA ASIGNATURA MATEMÁTICA DE LA
ENSEÑANZA MEDIA
Este primer capítulo se dedica al establecimiento, explicación y argumentación de
las posiciones que se asumen para darle solución al problema científico. Se
estudia el comportamiento histórico de las funciones lineales como parte del
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proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática de la enseñanza
media en Angola, y se exponen elementos para su implementación desde un
enfoque de aprendizaje desarrollador. Además, se aborda el estado actual de la
problemática en el décimo grado de la Escuela Joaquín Capango de Huambo, en
Angola.
1.1 Las funciones lineales en el comportamiento histórico del proceso de
enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática de la enseñanza
media en Angola
El estudio histórico contextual del proceso de enseñanza-aprendizaje de este
contenido matemático, en función del contexto escolar de la educación angolana,
en esta investigación contribuyó a identificar y comprender las causas de las
insuficiencias actuales, retomar los aciertos, evitar reincidir en los errores y
proyectar nuevas acciones para regular el futuro. Las regularidades y tendencias
que se describen conducen a profundizar en la comprensión del estado actual del
problema, sus causas y futura evolución. Esto permite justificar la necesidad de
cambios para su solución y la significación social del resultado que se aspira
alcanzar.
Este estudio se comienza en 1975 y se desarrolla hasta 2014. Esto es así porque
durante la mayor parte del mandato colonial la educación estuvo bastante
desatendida en Angola. A partir del logro de la independencia la educación pasa a
ser gratuita y obligatoria, con lo que ocurrieron cambios educacionales que se
llevaron a cabo en todo país, poniendo en práctica ideas, concepciones, puntos
de vista y tendencias modernas en todas las enseñanzas del país. El desarrollo
de la enseñanza media en la República de Angola se perfeccionó con decretos,
leyes, directrices, resoluciones y documentos, libros, programas, indicaciones,
orientaciones metodológicas y precisiones para la impartición de estos
programas. Algunas de estas fuentes se pudieron consultar para este estudio,
conjuntamente con trabajos investigativos que abordan aristas que fueron útiles
para este.
Los indicadores que se emplearon para este estudio fueron los siguientes:
Actividad del profesor y el estudiante.
Adecuación de los materiales básicos para la docencia.
Preparación del personal docente.
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En los inicios de este período la educación se encontraba sumergida en la
psicología conductista mientras que en el ámbito de la Matemática se hizo notable
la tendencia del operacionalismo, descuidando la mirada contextual, ignorando las
condiciones iniciales del alumnado y su realidad social, la situación de los
profesores o de la escuela. Luego se impuso un enfoque estructuralista debido a
la teoría de conjuntos y las estructuras algebraicas. Con esto se vio afectado el
significado de la Matemática y las habilidades para su aplicación.
El incremento de la matrícula evidenció la carencia de profesores idóneos,
quienes tuvieron notables insuficiencias didácticas para desarrollar el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Además, los materiales básicos para la
docencia estuvieron descontextualizados, ajenos a la realidad que vivían los
estudiantes en el país. El estudio de estos libros permitió precisar que fueron
conformados por ejercicios con preguntas esencialmente reproductivas, dirigidas
fundamentalmente a lo cognitivo.
Posteriormente, en el mundo ocurrió “un replanteamiento de la función docente”
(Rico, P. 2014). Ganaron espacios las tendencias de la enseñanza de la
Matemática referidas al procesamiento humano de la información, con Bruner
(procesos cognitivos), Norman y Rumehart (estructuras del conocimiento), Riley,
Greeno y Séller (teoría de los esquemas), Anderson (modelos proposicionalistas),
Kintsh (enfoque neoconexionista), Campbell y Graham (modelo de interferencia
en red), los mapas conceptuales. Al mismo tiempo, se comenzó a imponer la
tendencia de la enseñanza de la Matemática por problemas, con Polya,
Schoenfeld y Goldin.
En 1989 aparecieron los “Curriculum and Evaluation Standards for School
Mathematics”, en 1991 los “Professional Standards for Teaching Mathematics” y
en 1995 los “Assessment Standards for School Mathematics”. Estos estándares
promovieron un cambio en la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje de
la Matemática. Al mismo tiempo cobraron fuerza la Comunicación en el proceso
de enseñanza de la Matemática como un enfoque didáctico (Wittrock, Tall,
Galindo) y el Razonamiento Matemático como una de las tendencias didácticas
más importantes.
La preparación del personal docente que trabajó con la asignatura aumentó con
respecto a los inicios, y esto contribuyó a conocer mejor las características de los
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estudiantes, dominar el contenido, el tratamiento metodológico de los programas
que impartieron y los principales problemas nacionales e internacionales. Sin
embargo esta todavía se consideraba insuficiente para alcanzar la visión por
realizar en la educación matemática mundial: “Imagine una clase, una escuela o
un distrito escolar donde todos los estudiantes tienen acceso a una educación
matemática atractiva y de calidad. Hay expectativas ambiciosas para todos y
adaptaciones para los que las necesiten. Los profesores, bien preparados,
poseen los recursos adecuados para apoyar su trabajo y están perfeccionándose
continuamente como profesionales. El currículo es matemáticamente rico... La
tecnología es un componente esencial del entorno. Los alumnos trabajan, con
confianza, en tareas matemáticas complejas cuidadosamente elegidas por el
profesorado...”. (Principios y Estándares para la Educación Matemática, 2003:3).
El estudio de los programas, libros y orientaciones metodológicas que se
utilizaron permitió constatar la escasez de los mismos. Además, en ellos
aparecían ejemplos alejados del contexto angolano, con la visión primero de
pedagogos del campo socialista, y luego además de bibliografía cubana también
de pedagogos brasileños y portugueses. Esto estuvo en contradicción con la
exigencia de “enriquecer y adecuar el currículo en función de las necesidades de
sus alumnos y del contexto, ofreciendo distintas alternativas metodológicas para
que todos los estudiantes adquieran los aprendizajes básicos por diferentes
caminos" (Declaración de Cochabamba, 2001).
En este período se potenció el tratamiento de algunas propiedades de las
funciones reales y las funciones elementales, a la vez que se fomentó la habilidad
de aplicar los conceptos y propiedades de las funciones elementales a la solución
de ejercicios y problemas variados. Sin embargo, no se declaraban los valores a
formar en los estudiantes, cuestión que limitaba la labor educativa al no
concebirse desde el programa esta intencionalidad desde el contenido.
En los programas actuales de la asignatura Matemática, las funciones lineales se
estudian en la enseñanza media, de manera que su tratamiento se realiza en el
décimo grado. Sin embargo, el concepto de función aparece desde el sexto grado
con el estudio de las proporcionalidades. En octavo grado se tratan nociones
sobre funciones y el concepto visto como una correspondencia entre dos
conjuntos, en donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único
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elemento del segundo conjunto. También se trabaja de forma tabular y analítica.
En el noveno grado se estudian las proporcionalidades directas e inversas y luego
aparece el trabajo con funciones en el 10mo grado con el tema funciones y
gráficos, haciendo énfasis en las funciones lineales, cuadráticas y la función
modular.
No obstante, esto se hace centrando la atención en el dominio de los
conocimientos y en proporcionar una elevada información científica, en tanto que
los programas carecen de indicaciones o sugerencias para desarrollar el proceso
de enseñanza-aprendizaje en correspondencia con las particularidades del
estudiante y su contexto. Esto ha traído como consecuencia que se emplee
diversidad de métodos y procedimientos, según la experiencia de los profesores,
quienes todavía manifiestan significativas insuficiencias didácticas.
Al respecto, “observaciones llevadas a cabo, la revisión de documentos, el
intercambio con profesores de Matemática, el intercambio con directivos de
educación y la propia experiencia del autor como partícipe de esta problemática
desde su etapa de estudiante y, más tarde, como docente de Matemática durante
ocho años, pudo determinar que los profesores de Matemática (…) presentan una
serie de insuficiencias que limitan su desempeño decente (…) es insuficiente el
estudio de la Matemática al no contar con material didáctico que apoye el trabajo
del profesor (…) no se tienen en cuenta nuevas formas evaluativas que motiven el
proceso (…) no son capaces de emplear las Tecnologías de la Información y la
Comunicación (TICs) en la enseñanza de la Matemática” (Sacalei Freita, H. M.
2011:3).
Este mismo autor sostiene que los profesores todavía “presentan insuficiencias en
el ejercicio de su profesión, (…) tienen dificultades en enseñar a aprender, (…) el
estudiante es visto como receptor de las informaciones transmitidas, limitándose a
asistir pasivamente, memorizando los conceptos y las fórmulas. Los
conocimientos específicos de la Matemática no se combinan con su aplicación en
lo cotidiano, (…) los problemas de la educación matemática son varios (…) falta
de material didáctico adecuado, (…) la falta de motivación de los estudiantes por
la disciplina y tantos otros factores” (Sacalei Freita, H. M. 2011:7-8)
Como resultado de este estudio se puede arribar a las siguientes tendencias:
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La enseñanza del concepto de función lineal ha transitado desde niveles
reproductivos y memorísticos mediante posiciones pasivas del estudiante
en la resolución de ejercicios hasta posiciones más protagónicas y
productivas en el establecimiento de relaciones funcionales que persiguen
el aprender a aprender.
Se avanza de posiciones que descuidan la mirada contextual en el
tratamiento de este concepto hacia otras que revelan un mayor vínculo con
las condiciones iniciales del alumnado y su realidad social.
Asciende la preparación del personal docente para asumir el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática, sin embargo todavía es
insuficiente de acuerdo a las exigencias planteadas.
La proyección de los indicadores permite revelar la justificación de la
necesidad de atender la preparación del profesor con alternativas didácticas
que respondan a enfoques desarrolladores para perfeccionar el aprendizaje de
los estudiantes.
1.2 Implementación de las funciones lineales en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la asignatura Matemática de la enseñanza media
En este apartado se presentan algunas consideraciones sobre el concepto de
función lineal, a partir de su relación con el de función y función real de variable
real. De igual forma se alude a la fundamentación de su tratamiento didáctico
desde las ciencias de la Educación, conjuntamente con algunas de las principales
posiciones teórico-prácticas y metodológicas para hacerlo como parte del proceso
de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la enseñanza media. También se
introducen las acciones mentales de la teoría de Galperin como base psicológica
adecuada para la dirección científica de los procesos de enseñanza-aprendizaje
de este tipo de concepto.
1.2.1 Consideraciones sobre el concepto función lineal
El concepto función ha sido de los más tratados en la Matemática, y su uso no es
exclusivo de esta ciencia. Este trasciende a múltiples ramas del conocimiento humano,
sin embargo, en este trabajo interesa fundamentalmente el tratamiento que recibe en la
Matemática educativa, como herramienta poderosa para modelar procesos y fenómenos
que ocurren en la realidad objetiva.
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Es el matemático francés Descartes, R. (1596-1650), en el año 1637, el primero en
utilizar en su Geometría Analítica el término función como correspondencia, aquí
presenta la idea intuitiva de variable y de función, al designar una potencia xn de variable
x; mientras que el genio alemán Leibniz, G. (1646-1716) retoma el término función, desde
otro punto de vista, y lo utiliza por primera vez en el 1694 para expresar su idea general
de dependencia funcional al tratar varios aspectos alrededor de las curvas, pendientes,
normales, segmentos tangentes, entre otros.
En el año 1718 el matemático suizo Bernoulli, J. (1667-1748), destacó el componente
analítico de una función y siguiendo esa posición el también suizo Euler L. (1707-1783)
citado por (Ríbnikov, K. 1991: 218) definió que “Una función de una cantidad variable es
una expresión analítica, compuesta de alguna manera por esta cantidad variable y
números o cantidades constantes”.
Al matemático alemán Dirichlet P. (1805-1859), se le atribuye la definición formal
moderna del concepto función, al plantear en el 1837 “(…) g(x) es una función real de una
variable real x, si a cada número real x le corresponde un número real g(x)”. (Citado por
Ríbnikov, K. 1991:220).
El desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX por los matemáticos alemanes
Cantor, G y Dedekind, R (1831-1916) provocó cambios significativos en la interpretación
del concepto de función utilizada hasta entonces, y permitió redefinir el concepto de
función a partir de los nuevos resultados que en el mundo de las matemáticas presentaba
dicha teoría. La siguiente definición es de las más utilizadas en nuestros días, y es
consecuencia de esta teoría:
“Sean X e Y dos conjuntos con elementos cualesquiera; la variable x representa un
elemento del conjunto X, y la variable y representa un elemento del conjunto Y. Los
elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen
que ser necesariamente del mismo tipo que los de Y. Sea P el conjunto de todos los
posibles pares ordenados (x, y) y sea F un subconjunto de P con la propiedad de que si
(x1, y1) y (x2, y2) son dos elementos de F, entonces si y1 ≠ y2 implica que x1 ≠ x2 esto
es, F contiene no más de un par ordenado con una x dada como primer elemento. (Si x1
≠ x2, sin embargo, puede ocurrir que y1 = y2).
Una función queda ahora definida como el conjunto F de pares ordenados, con la
condición señalada, y se escribe F: X→Y. "Función (matemáticas)." Microsoft® Student
2008.
En este mismo documento se argumenta que, “(…) El conjunto X de las x que aparecen
como primer elemento de los pares ordenados de F se le denomina dominio de la función
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F; el conjunto Y de las y que aparecen como segundo elemento de los pares ordenados
se denomina imagen o rango de la función F”. Enciclopedia Microsoft® Student 2008.
Una manera bastante sintetizada de expresar la definición anterior se presenta en el libro
de texto del programa actual del décimo grado de la enseñanza pre-universitaria cubana,
en el que se expone basada en la teoría de conjuntos de la siguiente forma, “Una función
f: X→Y es un conjunto de pares ordenados (x; y) tal que cada x Є X aparece como la
primera coordenada de solo un par ordenado” (Campistrous, L y otros. 1989:124).
Por su parte con esta misma idea de la teoría conjuntista se tiene la definición que
aparece en el texto básico de la carrera Ingeniería Eléctrica en Cuba.
“Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A
exactamente un elemento llamado f(x), de un conjunto B”. Stewart, (2011:12). En
esta definición aparece el término regla, el cual ha sido utilizado en numerosos
textos, por ejemplo “Una función es una regla que asigna a cada uno de ciertos
números reales un número real”. Spivak, M. (1989:47). Esta definición se
circunscribe a las funciones reales de una variable real.
En la literatura también se refiere que “una función lineal es una función
polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano
cartesiano como una línea recta. Esta función se puede escribir como: f(x)=mx+b,
donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la
pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando
cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b
desplazamos la línea arriba o abajo”. (Enciclopedia Wikipedia, 2014) que es al
concepto que se hace referencia en el décimo grado de la enseñanza media en
Angola.
No obstante, para evitar confusiones, es importante que los profesores tengan
conocimiento de que en matemáticas más avanzadas una función lineal es una
función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios
vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.
En esta misma dirección es conveniente que estos sepan distinguir las diferencias
que aparecen en la literatura especializada en el tema, en la que algunos autores
llaman función lineal solo a aquella de la forma f(x)=mx mientras que llaman
función afín a la que tiene la forma f(x)=mx+b cuando b es distinto de cero.
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1.2.2 El proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática, con énfasis en
el contenido de funciones lineales, desde las ciencias de la Educación
Los fundamentos psicológicos para la elaboración del concepto de función lineal
parten de tener en cuenta que, a diferencia de los animales, el hombre está
dotado del pensamiento racional y del lenguaje. Estos juegan un papel
determinado en su desarrollo individual. Pero estas actitudes pueden permanecer
muy poco desarrolladas en condiciones sociales desfavorables cuando se carece
de una correcta educación. En correspondencia con estas consideraciones, el
enfoque histórico cultural de Vigotsky constituye un fundamento psicológico que
permite hacer más activo el proceso de enseñanza–aprendizaje Vigotsky (1982), Davidov
(1988), Schnewly (1992).
El proceso de enseñanza-aprendizaje está subordinado a leyes objetivas. Es un
proceso dialéctico y contradictorio en muchos aspectos y, además, es un proceso
cognoscible. La concepción del proceso de enseñanza-aprendizaje como un
proceso de conocimiento tiene su fundamento en la teoría del conocimiento del
materialismo dialéctico y abarca sus posiciones fundamentales, filosóficas y
metodológicas. Es decir, la vía del pensamiento matemático transcurre tal y como
se expresa en la vía dialéctica del conocimiento expresado por Lenin “De la
contemplación viva al pensamiento abstracto y de él a la práctica, tal es el camino
dialéctico del conocimiento de la verdad, del conocimiento de la realidad objetiva”
(Lenin, V. I. 1990:165).
La enseñanza no debe basarse en una transmisión puramente superficial y
mecánica, pues el proceso de asimilación tiene que desarrollarse por parte del
alumno mismo, si no, no puede aprender. El profesor no solamente debe impartir
la materia, también debe enseñar al alumno cómo aprender, a que pueda
concentrarse cuando lo desee, a conseguir la información que necesita y a que
actúe con sabiduría Turner (1988), Feria (1996), Garcés (1997).
Cuando el profesor presta la debida atención a lo que piensan sus alumnos, en
lugar de disertar expositivamente todo el conocimiento que tiene, los estudiantes
pueden entusiasmarse por aprender.
Con relación a la trasmisión de conceptos se plantea que es una forma del
pensamiento abstracto, y este a su vez, es forma del reflejo mediato y
generalizado de la realidad. A través de los órganos de los sentidos se conocen
16
los objetos concretos y sus propiedades; éstas se reflejan mediante las formas del
conocimiento sensitivo: sensaciones, percepciones y nociones Guétmanova
(1990), Talízina (1988), Galperin (1982), Vigotsky (1982), Bertoglia (1990).
Se concuerda con la idea de que los conceptos representan la forma de designar
las cosas del mundo material, a través de la palabra por lo que “… es la forma del
pensamiento que refleja los indicios sustanciales de un objeto o una clase de
objetos homogéneos”. (Guétmanova, A. 1990:13). Establece así las
características que lo distinguen totalmente de otros objetos, de otras relaciones u
operaciones.
Los objetos del mundo se hayan en intercomunicación e interdependencia. Por
tanto, también guardan ciertas relaciones los conceptos que las reflejan, tal es el
caso del concepto de función lineal al que el autor da tratamiento en el presente
trabajo.
Entre los fundamentos didácticos a tener en cuenta en el proceso de enseñanza–
aprendizaje del concepto función lineal está que cuando se aprende un concepto
en la escuela, este está mediatizada por algún otro concepto que ya tiene
formado el estudiante. Esto implica que a la formación de un concepto
determinado se le asigne un “lugar” dentro de un sistema de conceptos. Así, “...Un
concepto puede estar sujeto a un control consciente y deliberado sólo cuando es
parte de un sistema.” (Vigotsky, L. 1982:43). Sin embargo, los sistemas de
conceptos no llegan al alumno de una forma acabada, es necesario trabajar con
ellos en varios momentos.
Otros aspectos didácticos a tener en cuenta en el proceso de enseñanza–
aprendizaje del concepto función, son las exigencias didácticas que se ubican
dentro del Enfoque Histórico Cultural para dirigir un proceso de enseñanza–
aprendizaje desarrollador y educativo, a las cuales se hace referencia en
“Principios didácticos” de la enciclopedia Ecured. Estas exigencias son:
1. Diagnóstico integral de la preparación del alumno para las exigencias del
proceso de enseñanza–aprendizaje, nivel de logros y potencialidades en el
contenido de aprendizaje, desarrollo intelectual y afectivo valorativo.
2. Concebir un sistema de actividades para la búsqueda y exploración del
conocimiento por el alumno desde posiciones reflexivas y con independencia
en el escolar.
17
3. Diseñar las formas de participación activa del alumno, en los momentos de
orientación, ejecución y control de la actividad.
4. Concebir un sistema de actividades que desarrollen en las alumnas y alumnos
procesos de análisis, síntesis, comparación, abstracción y generalización, que
posibiliten la formación de conceptos y el desarrollo de los procesos lógicos
del pensamiento.
5. Desarrollar formas de actividad y de comunicación colectivas, que favorezcan
la interacción de lo individual con lo colectivo en el proceso de aprendizaje.
6. Vincular el contenido de aprendizaje con la práctica social y estimular la
valoración por el alumno en el plano educativo.
Sin dudas, la vinculación de la enseñanza con el entorno escolar, familiar y social
del estudiante posibilita una motivación eficiente. El profesor se desenvuelve en
interacciones que generan numerosas expectativas. En tal sentido “los docentes
pasan a convertirse en elemento motivador de procesos de enseñanza y
aprendizaje” (Torres, J. 1994:252). Su papel como estimulador de nuevos
intereses y necesidades es fundamental. Para que un aprendizaje pueda ser
perdurable y placentero hay que considerar la satisfacción que provoca saber o
aprender compartiendo con otros.
Aunque algunos principios didácticos, como los que hace referencia Klingberg
(1978), pueden orientar la elaboración del concepto de función lineal. El autor
considera el sistema de principios didácticos formulado por los profesores Emilio
Ortiz y María Mariño (1995:17), por considerarlo adecuado para elaborar el
sistema de tareas. Estos principios son los siguientes:
1. Principio de la personalidad.
2. Principio de la unidad de lo cognitivo y lo afectivo.
3. Principio de la unidad de la actividad y la comunicación.
4. Principio de la unidad de las influencias educativas.
5. Principio de la unidad de lo instructivo y lo educativo.
6. Principio del carácter científico e ideológico de la educación.
7. Principio del carácter colectivo e individual de la educación.
8. Principio de la vinculación de la educación con la vida y del estudio con el
trabajo.
18
Desde la perspectiva sociológica se parte de que la escuela debe revelar ante sus
alumnos el reconocido valor de los conocimientos científicos para resolver los
problemas que nuestra sociedad debe enfrentar en la transformación progresiva
de su situación socio - política. Además, el profesor debe educar, preparar al
estudiante por razón de un currículum tal que impregne su espacio vital de
intereses y motivaciones y satisfaga sus necesidades para vivir y crecer en el
orden integral. “La educación ha de ir adonde va la vida (...) es preparar al hombre
para la vida (...) la escuela ha de equipar la mente para la faena de la vida (...) con
las armas que ha de necesitar para la vida” (Martí, J. Citado por Valdés, R.
2000:145-148). La educación se concibe como interacción de la escuela con la
vida de los involucrados, de la enseñanza con la sociedad.
En el caso específico de la enseñanza de las matemáticas se agrega la necesidad
de mostrar las potencialidades que radican en su aprendizaje para contribuir al
desarrollo del pensamiento, el desarrollo de capacidades, habilidades y hábitos
necesarios desde el adiestramiento de un pensamiento científico integrado por
elementos de estructuras lógico–racionales, creativo–fantásticas, funcionales,
geométrico–espaciales, simbólico–lingüísticas y algorítmicas, así como para
elevar la conciencia y educación de las nuevas generaciones.
Las irregularidades detectadas en la enseñanza reflejan ciertos problemas que
ofrecen circunstancias psicológicas, pedagógicas, metodológicas y también
sociológicas que exigen atención. Los problemas de aprendizaje manifiestan un
paso hacia la conducta del individuo que se expone en la interacción con el medio
y expresan las formas de asimilación del contenido, no solo de las Matemáticas
expuestas desde los contenidos escolares, sino también de las normas y formas
de procederes sociales que se regulan dentro de las instituciones a las cuales se
vincula el estudiante.
A partir de este aspecto se puede valorar que la apatía evidenciada en los actos
de algunos adolescentes, jóvenes y adultos hacia el desarrollo de los
conocimientos y las formas de comportamiento tienen causas muy diversas, como
un reflejo de responsabilidad social, familiar y pedagógica.
Se comparte la visión de sociólogos que reconocen en los fines de la educación
problemas cruciales como el relacionado con el hecho de que ella "no debe
formar al hombre en abstracto, sino en y para la sociedad" (Mannheim, K.
19
1998:4). Luego la planificación de la enseñanza debe hacerse sobre una
condición de trabajo participativo desde el papel o rol que cumplen el educador y
el educando los cuales en su interacción establecen una determinada estructura
social educativa dada la relación social que impone normas y que además posee
los mecanismos de control correspondiente.
Se necesita una escuela en la que se prepare al estudiante en un proceso de
mezcla de lo personal y lo social. El ambiente del aprendizaje no está conformado
por un individuo incomunicado y debe concebirse como consecuencia de un
proceso de interacción interna y con el medio social. La educación, entonces,
debe centrarse en el aprendizaje que cada uno realiza interactuando con la
sociedad y la cultura.
Desde lo filosófico se comienza en plantear que siendo las matemáticas un factor
esencial en la explicación del mundo, permiten construir conceptos acerca de la
realidad, los cuales se comportan como modelos. A través de estos, que son
abstracción de la naturaleza y a la vez explicación de la misma, el hombre ha sido
capaz de guiar su acción en el mundo de manera útil. Esto es lo que hicieron las
civilizaciones asentadas en Mesopotamia, China y Egipto, entre otras.
Más allá de lo anterior, como actividad propia del ser humano, la abstracción es
también un terreno común en donde se desempeñan tanto las matemáticas como
la filosofía. Dicha abstracción constituye un fundamento que ambas comparten en
la medida en que buscan ordenar razonablemente los datos acerca de la
naturaleza, y de esa forma explican lo que nos rodea.
El hecho de considerar a las matemáticas como parte de la explicación del mundo
contrasta con el papel al que han sido reducidas en los planes y programas de
estudio con los que se forma a los estudiantes. En esos programas se les
considera, frecuentemente, como una simple técnica para el manejo cuantitativo
de datos o, en el mejor de los casos, se les ve como un lenguaje con el que es
posible dar forma a ciertos modelos que representan estructuras operativas de un
fenómeno. Esta concepción de las matemáticas subyace también en su
aprendizaje, puesto que su estudio ha sido reducido con frecuencia a la
enseñanza de fórmulas que se ofrecen como útiles solamente para el
procesamiento cuantitativo de información y casi siempre desvinculadas de la
realidad.
20
Es en este sentido que se conciben los conceptos matemáticos y específicamente
el de función lineal como una abstracción capas de modelar varios fenómenos de
la realidad de ahí la importancia de la elaboración y asimilación de dicho
concepto.
La pedagogía tiene una relación muy estrecha con la psicología como ciencia, ya
que a la medida que esta lo permite se obtiene una mejor educación. En la
Pedagogía y en la Didáctica de la Matemática el estudiante debe poseer un buen
nivel de comprensión. Para esto se requiere atención primordialmente al uso de
medios y procedimientos que puedan ayudar a la apropiación del conocimiento
del objeto.
El proceso de desarrollo en el niño no es individual, requiere de la interacción con
otros. Al respecto, "… la educación es el dominio ingenioso de los procesos
naturales del desarrollo, no sólo influye sobre unos u otros procesos del
desarrollo, sino que reestructura, de la manera más esencial, todas las funciones
de la conducta". (Vigotsky L. S.1987: 97).
Se comparte el criterio vigotskiano que sostiene que el aprendizaje precede al
desarrollo, recurrente en sus seguidores más cercanos como Leontiev (1981) y en
la literatura científica actual con autores como D. Castellanos (2001), R.
Bermúdez (2004), G. Aldama (2014), G. Becco (2014), E. Nicoll (2014) y otros. Al
respecto, “las experiencias de aprendizaje y quien las provoca deben atender al
desarrollo alcanzado por el estudiante, para planificar las influencias y exigencias
que le hará, pero también cómo será”. (Gamboa, M. 2012:32).
Los argumentos expuestos hasta este punto justifican la necesidad de que a la
Matemática hoy se le de otro sentido de enseñanza, con aplicación a los
problemas de la vida diaria, y usando la misma para su solución, procurando darle
a la misma su naturaleza cultural y social, la que le corresponde. Las
matemáticas, pues, “son creadas por los seres humanos para responder a
visiones sociales del mundo y no son un conjunto platónico de objetos
descubiertos en el transcurso del tiempo” (Dumoulin, J. 1991).
1.2.2 Posiciones teórico-prácticas y metodológicas
En la literatura científica se pueden encontrar múltiples investigaciones con
disímiles posiciones teórico-prácticas y metodológicas referidas al desarrollo del
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática en general y las funciones
21
lineales en particular, contemplando otras aristas como las funciones reales de
una variable real. Al respecto, se comparte el siguiente criterio: “Por el hecho de
ser el concepto función de los llamados esenciales dentro de la enseñanza-
aprendizaje de la Matemática, requiere de un proceso total de elaboración y
apropiación, el cual ocurre a largo plazo y atraviesa por dos momentos: en el
primero, lo que se quiere es introducir el concepto lo cual comprende de forma
esencial, que el estudiante conozca todas las características que definen el
concepto, pero no la definición exacta, mientras que en un segundo momento lo
importante es que se llegue a elaborar una definición exacta del concepto función
real de una variable real”. (Ochoa, E. 2014:46).
Desde sus inicios en la historia, el concepto función se asocia a otros conceptos
tales como, el de conjunto, relaciones, correspondencia, regla, dependencia,
ecuación, aplicación entre otros. Se tiene conocimiento que desde la antigüedad
el concepto de función era utilizado en forma intuitiva en prácticas tales como la
de confeccionar tablas en las que se registraba el comportamiento de una
magnitud sujeta a cambios de otra bajo una determinada relación.
El concepto función es un objeto matemático cuyo proceso didáctico de
elaboración total se complejiza debido a que posee múltiples formas de
representación (gráficas, fórmulas, tablas, relaciones verbales y representación
icónica). Quienes participan en su proceso de enseñanza-aprendizaje deben
transformar una representación en otra, según la situación y el contexto donde
cobra vida. También existen diversos subconceptos asociados al concepto
función, a saber: dominio, rango, cantidad variable, razón, función inversa, función
composición, entre otros.
En Angola, el concepto de función según los programas de estudio debe
comenzar a formarse desde la enseñanza primaria. En estos grados el niño debe
familiarizarse con rudimentos de la teoría de conjuntos. Comenzando por agrupar
el color, la forma, entre otros objetos que tienen una característica en común. Este
establece relaciones sencillas entre elementos de un conjunto, relaciones de
pertenencia de elementos a conjuntos y debe aprender a reconocer leyes
sencillas para la formación de conjuntos.
A medida que avanza en los primeros grados, el mismo se familiarizará con la
teoría de conjuntos y las relaciones entre ellos. Cuando conocen los números
22
naturales comienzan a asignarle números a objetos, se familiarizan con el valor
cardinal y ordinal, y aprenden a asociarlos con conjuntos. Más tarde aprenden las
operaciones básicas de cálculo, trabajan con ecuaciones y profundizan en el
trabajo con las correspondencias. Esta fase debe continuar en la Secundaria
Básica hasta que se comienza a tratar el concepto función de forma explícita
dentro de la clase, en el noveno grado.
Como consecuencia, la primera fase del proceso de elaboración del concepto
función debe comenzar mucho antes de su tratamiento en el décimo grado. Esto
debe ser caracterizado por consideraciones y ejercicios preparatorios, pues se
debe haber trabajado de forma implícita durante la enseñanza primaria, llegando
hasta la enseñanza media. Por ello, se considera que la primera fase de la
elaboración de este concepto debe cumplir con las exigencias necesarias que ella
requiere en el proceso.
Es precisamente en la enseñanza media donde debe comenzar la segunda fase,
la formación del concepto. Esta fase del proceso va dirigida a la motivación y la
orientación hacia el objetivo, que pasa por la separación de las características
comunes y no comunes hasta llegar a la definición. Se debe continuar luego con
la tercera fase que es la fijación del concepto. A esta etapa corresponden las
ejercitaciones, profundizaciones, sistematizaciones y aplicaciones.
Sin embargo, los profesores no disponen de orientaciones metodológicas que
tengan en cuenta explicaciones explicitas que lo orienten para esta elaboración
del concepto. Varios autores coinciden en la necesidad de asegurar el nivel de
partida mediante el repaso de conocimientos de la teoría de conjuntos, formando
conjuntos de diferentes naturalezas y así analizar los requisitos que deben tener
sus elementos para garantizar la pertenencia al conjunto. Al mismo tiempo
presentan la motivación y orientación hacia el objetivo a través de la presentación
de variadas situaciones prácticas, en las que jueguen un papel esencial las
correspondencias de dos conjuntos.
Al respecto Álvarez A. (2014) enfatiza características que se requieren para la
elaboración del concepto de función y sostiene que estas son: “En primer lugar,
tratarse las correspondencias de dos conjuntos que determinan un conjunto de
pares numéricos ordenados. En segundo lugar deben tratarse las
correspondencias unívocas, de las que se comenta y explica cómo desempeñan
23
un papel esencial, por lo que reciben una denominación especial (funciones). Por
último se define función como un conjunto de pares ordenados utilizando las
características significativas analizadas anteriormente”. (Álvarez A. 2014)
En los demás grados del preuniversitario se retoman estas funciones, es por ello
que el autor teniendo en cuenta la importancia de la formación de este concepto
propone su elaboración a partir de una nueva concepción en el décimo grado.
El objetivo esencial del tratamiento didáctico de este concepto es el desarrollo del
pensamiento funcional matemático de los estudiantes, el que según Ochoa E.
(2014:47) se caracteriza por:
Hacer posible el conocimiento de propiedades, nexos y relaciones esenciales
de una parte determinada de la realidad objetiva.
Se expresa como identificación, formulación y solución de problemas
(modelación de un proceso de la realidad objetiva).
Es un proceso dirigido (puede ser regulado por el sujeto cognoscente,
consciente o inconscientemente)
El pensamiento funcional matemático requiere múltiples esfuerzos y por ello
depende de la autorregulación del estudiante. La tarea del profesor es lograr que
el estudiante imponga significado y estructura en las situaciones problémicas a
que se enfrenta, en el desorden aparente. En este sentido “debemos partir de
considerar relaciones o dependencias entre conjuntos, magnitudes, variables,
etc., tratando de delimitar como unas determinan las otras. En general el
pensamiento funcional se desarrolla descubriendo o determinando cantidades
variables, y las relaciones que determinan unas cantidades en dependencia de las
otras” (Ochoa, E. 2014:47). Es una necesidad entonces situarlos en posición de
descubrir relaciones entre objetos matemáticos u objetos de la vida cotidiana,
donde uno depende del otro.
Para Rodríguez, J. (2003), un estudiante alcanza un pensamiento funcional
matemático cuando es capaz de:
Identificar las variables que están presentes en un proceso o fenómeno, en
el contexto de la clase o en la vida cotidiana.
Formular conjeturas acerca de la presencia de relaciones de dependencia
funcional en el contexto de la clase o en la vida cotidiana.
24
Reconocer relaciones de dependencia entre las variables, determinando la
presencia de variables dependientes, intermedias e independientes. Estas
relaciones las puede representar por medio de un árbol de dependencia funcional,
tabla o diagramas.
Modelar el proceso o fenómeno a través de ecuaciones de funciones
conocidas o, en su defecto, utilizando ecuaciones en las que se pueda identificar
la dependencia existente (ecuaciones funcionales en forma general).
Graficar funciones Matemáticas, partiendo del dominio de un amplio
repertorio de formas visuales y procedimientos para el análisis de curvas.
Explorar patrones que modelen procesos o fenómenos de la vida real que
tengan un comportamiento similar.
La enseñanza que se caracteriza por el uso de técnicas participativas a partir de
impulsos dados a los alumnos y que facilita la búsqueda independiente de
problemas y de la solución adecuada de estos recibe el calificativo de heurística.
En ella no aparecen los conocimientos como un conjunto acabado de juicios y
conclusiones, sino que el propio estudiante debe descubrir todas las
suposiciones, reglas y conceptos de la asignatura de modo independiente. Esta
forma de instrucción tiene un propósito que puede resumirse con el hecho dado
en que "toda producción es una objetivación del individuo" Artur M. (1985:25), que
es lo que persigue el autor para la elaboración del concepto de función lineal.
Además, en las bases teóricas del estudio realizado, se prestó especial interés en
profundizar y detallar conceptos de la teoría de Galperin. Esto es así por ser una
base psicológica adecuada para la dirección científica de los procesos de
enseñanza-aprendizaje. Aquí, entonces, se caracteriza cada una de las etapas
del proceso de asimilación conceptual.
1.2.3 Las acciones mentales de la teoría de Galperin como alternativa para
el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática
En esta sección será tratada la teoría de Galperin para el proceso de organización
de la enseñanza escolar que consta de cinco etapas: Base Orientadora de la
Acción, Material o Materializada, Verbal y Mental. También será destacada la
etapa motivacional, aludida por Talizina (2001) como etapa cero por anteceder a
las demás.
25
Sin embargo, cabe señalar que tal sistematización didáctica está ligada a la
determinación de los tipos de actividades cognitivas que aseguren un desarrollo
efectivo de los estudiantes. El principio es que las habilidades humanas no son
solo determinadas por herencia biológica, sino que también son determinaciones
sociales. Es decir, la capacidad del hombre, en lugar de concebirse solo como
innata, se entiende además como adquirida en el proceso de la vida.
A través de las etapas, las acciones y conocimientos asimilados exhiben un
proceso de conversión gradual de acciones externas a acciones intelectuales
internas. En este caso, la acción es “la unidad que debemos usar para el análisis
de cualquier proceso de aprendizaje. Sin ella, es imposible construir los objetivos
de la enseñanza de manera correcta y de principios, ni controlar la calidad de la
asimilación de los conocimientos". Talizina (2001: 12).
Las etapas del proceso de asimilación en la teoría de Galperin utilizadas aquí son
entonces: de motivación, de formación de base orientadora de la acción, de
formación de la acción en el plano material o materializado, formación de la
acción como lenguaje externo y por último la etapa mental de la acción.
Etapa Motivacional
La referencia es hecha por Talízina que la considera como etapa cero, una vez
que el estudiante aún no ha participado en el desarrollo de un conjunto de
conceptos relacionados con uno específico para ser asimilado. La motivación para
el estudio no se puede generar de forma espontánea por los estudiantes. Esto
puede llevar al rechazo de la propuesta o su ejecución se convertiría en algo
mecánico.
Por tanto, es urgente que se cree una motivación entre ellos. Según Núñez (1998,
2009), hay dos tipos de motivaciones: 1) externas, es decir, que no se relacionan
directamente con los conocimientos necesarios para ser asimilados, en la
actividad de estudio, 2) que son propias de los procesos cognitivos internos, de
búsqueda por el conocimiento.
Compete al profesor observar la ley psicológica de la disposición enunciada
conociendo las condiciones reales de los estudiantes en el nivel psicológico y
fisiológico. Por tanto, es una etapa de atención a las condiciones reales “desde el
punto de vista del organismo como la motivación”. (Núñez, 2009:99).
26
Etapa de formación de la base orientadora de la acción (BOA)
La BOA es “un fenómeno complejo que consiste en una representación preliminar
del producto del proceso, del proceso mismo, conjuntamente con un sistema de
referencia que permite la ejecución de una tarea”. (Galperin y Talyzina, 1967:274).
Esta también es vista como el “conjunto de circunstancias en las que, de hecho, el
niño es guiado durante la ejecución de la acción”. Galperin, Zaporózhets y Elkonin
(1987:303).
Es una instancia directiva y establece exigencias para la acción en el proceso de
formación. Para estos autores la BOA depende de la asimilación exitosa. Talízina
(1988) añade que esta es un sistema de las condiciones en que el hombre se
apoya para cumplir una acción.
Las acciones por las funciones que cumplen se dividen en tres partes. Núñez y
Pacheco consideran que la Base Orientadora de la Acción como “un modelo de la
actividad" (Núñez y Pacheco, 1998:101) que contemplan todas sus partes
estructurales y funcionales, a saber: orientación, ejecución y control.
La etapa de formación de la BOA se refiere entonces a un proceso de
organización detallada por el profesor, para establecer un sistema de acciones y
sus respectivas operaciones, dirigidas a la formación del pensamiento conceptual.
En este sentido, Talízina (1988) explica que el desarrollo de una acción requiere
un cierto conjunto de operaciones que deben completarse en un orden
determinado por el cumplimiento de condiciones y conexiones de concepto. La
ejecución de estas operaciones es un requisito previo para la realización de la
acción.
Como consecuencia, esta etapa prima por la construcción correcta, racional y
segura de las formas de orientación en la ejecución de las tareas propuestas.
Núñez y Pacheco (1997) hacen mención al contenido futuro de esta etapa, dicen
que la eficiencia en la enseñanza de los conceptos de un determinado contenido,
los estudiantes utilizan las mismas características de la base orientadora de la
acción para realizar actividades de gran complejidad.
En esta etapa el profesor organiza las acciones y sus respectivas operaciones por
desarrollar, pero aún no hay ejecución. Sin embargo, expresa el conocimiento
pertinente para la acción y crea las condiciones para su cumplimiento
satisfactorio.
27
Galperin (1987) indica varios tipos de base orientadora de la acción, entre los que
destaca cuatro de ellos que logró probar en sus estudios, junto con sus
seguidores. Talízina (1988), al referirse a Galperin, presenta ocho tipos de estas
bases. Para diferenciarlas, adopta tres características : 1) según su carácter
general, que puede ser específica o generalizada, 2) según la plenitud, para ser
completa o incompleta ; 3) según el modo de obtención, que puede ser elaborada
de forma independiente o se presenta preparada.
La siguiente tabla, refleja dicha caracterización de diferentes tipos de Base
Orientadora de la Acción, según Talizina (1988:89)
CARACTERÍSTICA
BOA La base orientadora según su
carácter generalizado
La base orientadora según la
plenitud
La base orientadora según el
modo de obtención
I Concreta Incompleta Elaborada independiente
II Concreta Completa Se da preparada
III Generalizada Completa Elaborada independiente
IV Generalizada Completa Se da preparada
V Generalizada Incompleta Se da preparada
VI Generalizada Incompleta Elaborada independiente
VII Concreta Completa Elaborada independiente
VIII Concreta Incompleta Se da preparada
Así, por ejemplo, la BOA III se caracteriza como:
1) Completa, cuando se trata de la dimensión relacionada con el grado de
completamiento. Esto requiere el establecimiento de una guía para el análisis de
la situación que permite la diferenciación de los puntos de apoyo de la tarea.
2) Generalizada (esencial), o sea, la dimensión indicadora del grado de
generalización. En este caso, la orientación inicial por combinaciones de
relaciones y propiedades esenciales (índices) del concepto, posteriormente se
convierte en el punto de apoyo en los índices de una tarea particular.
3) Independiente, es en relación con el grado de la escala de la libertad de
realización de la tarea. Como consecuencia de la organización de la enseñanza y
la orientación del estudiante, durante el proceso, que adquiere su independencia
en el desarrollo de las operaciones y la apropiación de las acciones.
La BOA I se considera incompleta porque las orientaciones de la acción se dirigen
a los casos particulares. Por otra parte, su modo de obtención, por los
28
estudiantes, es por un proceso de ensayo y error. Estas características hacen su
eficacia irrelevante, ya que el aprendizaje del estudiante es lento y marcado por
los errores. La “BOA tipo I se caracteriza por una composición incompleta de la
base orientadora, los orientadores están representados de una manera particular
[...]. El proceso de formación de la acción sobre una base orientadora avanza muy
lentamente, con un gran número de errores” (Talízina, 1988:90). Su papel en la
transmisión de conocimientos se torna restringida y limitada, dado su limitado
alcance.
El segundo tipo de base orientadora de la acción es aquella que fundamenta la
organización de la enseñanza tradicional. El estudiante tiene la información básica
para la realización de las acciones. Como dice Talízina (1988:90), la BOA tipo II:
Se caracteriza por la existencia de todo lo necesario para el cumplimiento correcto
de la acción. Pues estas condiciones se dan al sujeto, primero de forma
preparada y segundo, en particular, que sirve para la orientación solamente en un
caso dado.
Tiene ventajas en relación a la BOA I, una vez que las acciones son rápidas y sin
errores, pues se limitan a la asimilación de tareas específicas. Sin embargo, tiene
efectos inconsistentes en términos de alcance de la enseñanza y el aprendizaje.
Galperin (1986) hace advertencia a ese tipo de BOA: Pero en la educación
escolar, las tareas se refieren en general a una tarea concreta y plantea una serie
más o menos amplia. Con respecto a esta serie, se manifiesta con claridad las
deficiencias fundamentales del aprendizaje conforme al segundo tipo: para cada
nueva tarea, se debe destacar nuevamente la base orientadora, y se comprueba
empíricamente. Galperin, (1986:116).
En su estudio, Talízina (1988) llega a la conclusión de que esa orientación
proporciona la adquisición de habilidades que le dan las condiciones para que los
estudiantes tengan una mayor independencia en la resolución de los problemas
planteados. Sin embargo, debido a las limitaciones del número de puntos de
referencia, se producen dificultades en la acción con nuevas peculiaridades.
De la base orientadora de tercer tipo, BOA III, se presenta una composición
completa, ya que “los orientadores están representados en su forma generalizada,
característico de toda una clase de fenómenos”. (Talízina, 1988:90). Las acciones
inherentes a la misma se caracterizan por la rapidez en el proceso, carencias y
29
faltas, gran estabilidad y la amplitud de la transferencia de los nexos
conceptuales.
El tercer tipo presenta tres consecuencias en relación con el aprendizaje:
1) formación del análisis general, 2) aplicación en tareas particulares, y 3)
formación de acción especial mediante la realización de la tarea particular
Galperin, (1959).
Los estudiantes reciben sólo unas pocas indicaciones para la acción de una clase
de fenómenos. Las orientaciones tienen en cuenta los métodos generales y el uso
de las invariantes. Se trata de un tipo de BOA generalizada completa e
independiente. Se considera eficiente, haciendo que el estudiante avance rápido,
cometa menos errores y amplíe la transferencia a otras situaciones. Para Talízina
(1988) el tercer tipo es más productivo. Además, cumple con las exigencias
actuales de la actividad humana.
En este sentido, Davydov (1982) plantea que este enfoque está vinculado con la
formación de abstracciones y generalizaciones esenciales para la asimilación de
los conceptos teóricos. La estructuración de las disciplinas conformes a estos dos
factores debe ser tal que la asimilación del aspecto general de cada una de ellas
sea la base del proceso de asimilación de las diversas particularidades.
El empleo por los estudiantes de las normas socialmente establecidas y la
condición para la formación de un pensamiento teórico mediatizado por su propia
forma. Por lo tanto, la reproducción se produce, desde el primer momento del
proceso educativo, de las propiedades generales de los objetos de estudio. Este
es un momento sustancial de actividad mental, mediado por su carácter. Sin
embargo, “el ámbito de aplicación de esta última condición aún no está
debidamente considerado en el trabajo de Galperin". (Davydov, 1982: 394).
Núñez (2009) también considera que, a pesar de su importancia, la BOA III se
convierte en inviable cuando se destina a la solución de tareas de alto grado de
novedad y complejidad en que la solución de la acción se refiere a una orientación
particular. De ahí que sea necesario tener mucho cuidado al respecto. El fracaso
está en la orientación completa para todas las tareas limitándolos únicamente a
un determinado conjunto de ellas, con un grado de generalización válida dentro
de ciertos límites.
30
El cuarto tipo, BOA IV, tiene como particularidad en relación a la anterior, la
recepción por parte del estudiante, las orientaciones completas de la acción,
planificada en detalle. Según Talízina (1988: 96), los puntos de referencia ocurren
de forma generalizada, es decir, a toda la clase, en lugar de casos particulares.
Por último, la base orientadora de la acción se da en forma preparada y no
separada independientemente por el sujeto.
Su adopción es pertinente para el proceso de formación de acciones lógicas, es
decir, como contenido concreto (teórico) del objeto. Para su orientación teórica, el
estudiante hace apropiaciones de forma independiente a partir de los de métodos
generales. La actividad se forma desde el inicio, con un alto nivel de
generalización, lo que permite una mayor apropiación para la transferencia. Para
el éxito en el cumplimiento total de un conjunto de tareas es fundamental incluir
tanto el sistema de características necesarias y suficientes del concepto en
estudio, en cuanto a la regla lógica de la inclusión.
Por lo tanto, el estudiante se apropia de la esencia del conocimiento generalizado
y del procedimiento operacional para la correcta ejecución de la actividad. Las
ventajas de este tipo de base orientadora son: 1) oportunidad de que el estudiante
realice tareas de manera independiente y creadora; 2) proporciona una visión
generalizada y productivo, 3) la asimilación de un método común por medio de
casos particulares, 4) la orientación teórica contribuye al desarrollo del
pensamiento teórico de los estudiantes; 5) promueve adecuadamente la
generalización de contenidos; 6) errores sin exageración, transferir el contenido a
las nuevas situaciones y 7) rapidez y por lo tanto el ahorro de tiempo.
Los otros tipos de BOAs, según Talízina (1988), tienen sólo un interés teórico. La
referencia a ellos es tangencial, debido a que son incompletos. El tipo V se
diferencia de la anterior, la particularidad de colocar al estudiante un sistema
insuficiente de puntos de referencia para el correcto desempeño de la acción, una
esfera definida “por el grado de generalización de puntos de referencia
separados” Talizina, (1988, p:99). Por ejemplo, cuando se solicita al estudiante
que haga algún tipo de reconocimiento, pero la orientación es dada con la omisión
de los puntos de referencia.
El tipo BOA VI tiene su peculiaridad, por ser generalizada, incompleta, no se
presenta de forma preparada, independientemente por el estudiante. Por
31
extensión, conducirá a la ejecución correcta de una determinada situación e
incorrecta para otras.
La BOA tipo VII, según Talízina, tiene “[ ...] como características - el tipo particular
de puntos de referencia y plenitud - coincide con el segundo, pero se diferencia de
este último por medio de la obtención de la base orientadora" (Talízina, 1988:99-
100). Es una base adoptada, por ejemplo, por los artesanos.
Esta misma autora señala la posibilidad de un octavo tipo de BOA en que la
orientación coloca al estudiante en un sistema particular incompleto en la forma
preparada. Es considerado el más extendido en el sistema enseñanza tradicional.
Etapa de formación de acciones en el plano material o materializado
La propuesta de Galperin (1987) se traduce en una fuerte contribución a la
enseñanza y tiene su fundamento en la teoría de que la actividad humana que
Leontiev (1978) considera el factor determinante en la formación de las funciones
psíquicas humanas, sobre todo, de la conciencia. También se insertan los
métodos activos de enseñanza, en relación con el enfoque histórico-cultural.
Presupone que la base del aprendizaje humano no es la simple observación o
escuchar la información sobre el tema u objeto de estudio. La fuente del
conocimiento es la acción, no se obvia, se busca en el plano material. Las
relaciones, enlaces y procedimientos entre los elementos que los componen se
convierten en una condición necesaria para la acción mental.
Por lo tanto, el punto de partida de la acción es material (relaciones con los
objetos reales) o materializado (modelos), que se distinguen no por el modo
operacional, sino por la forma de representación de los objetos. En su forma
material, el objeto es el referente a estudiar que en forma materializada, es
reemplazado por un modelo que expresa los elementos esenciales y los principios
del concepto de ser asimilados.
Sin embargo sólo debe usarse la forma materializada cuando “el objeto y una
forma única de percibirlo directamente ya están al alcance” Galperin y Talyzina
(1967: 273) de los individuos.
Al mismo tiempo, el modelo debe ofrecer cerca de lo que el estudiante es capaz
de observar de una manera comprensible. Asimismo, no contenga elementos que
puedan distraer la atención o permitir la distracción, es decir, el principio de la
prueba de la evidencia. En otras palabras, deben presentar abstracto y simple,
32
propia de su objeto de estudio y de acuerdo con las características de la edad
escolar de los estudiantes. Puede tomar diferentes formas, con la condición de
que cumpla con el objeto específico de estudio, tales como: gráficos,
ilustraciones, figuras, entre otros.
En esta etapa, tanto en la forma material o materializada, el estudiante - que
puede ser de dos en dos - entre en el proceso de ejecución de las operaciones
que componen la acción, incluso en el plano exterior. Por lo tanto, se orienta y
seguido de cerca por el profesor para que cumpla rigurosamente con el desarrollo
de todas las operaciones concernientes. De acuerdo con Núñez y Pacheco
(1997), los objetivos apuntan a la transformación del objeto, la actividad de
destino, a través de la reflexión y el debate sobre el nivel conceptual, que conduce
a la apropiación de los conocimientos en el plano mental.
El estudiante, al realizar operaciones - manipuladora o visual -descubre, que
distingue y define la relación general que caracteriza el contenido y la estructura
del concepto de objeto. Su soporte de referencia, más allá del profesor, son los
esquemas de la Base Orientadora de la Acción, cubierto de hojas o mapas de
estudios que también traen: el conocimiento, el procedimiento o la composición,
mecanismos de control, entre otras orientaciones.
Para Galperin (1986:304). El conocimiento de las cosas se forma como resultado
de las acciones con estas cosas. Las acciones mismas que se forman, se
convierten en capacidad, y a medida que se automatizan, en hábitos. Por lo tanto,
el tipo de organización y la formación por etapas de las acciones objetales
constituyen el núcleo del proceso de asimilación de nuevos conocimientos,
habilidades y hábitos.
Galperin (1986) pone de relieve el papel fundamental que desempeñan los mapas
de actividad para cambiar ampliamente la actitud del estudiante en la tarea. Dice
que, en ausencia de este instrumento, el sujeto se presenta indiferente y pasivo,
que requiere estímulos externos, es decir, depende de la orientación exterior. Sin
embargo, cuando los recibe se activa y se convierte en dueño de la situación.
Del mismo modo, Núñez y Pacheco (1998) consideran los mapas de actividad un
recurso externo importante, por propiciar la adquisición de una gran cantidad de
conocimiento y facilitar su comprensión y apropiación para su uso. Entre sus
características se destacan: eficiencia al iniciar la materialización; garantía
33
compartida de estudio, pero sin perder la individualidad en la siguiente fase, la
posibilidad de reducir la acción de incluir otros materiales, obteniendo un mayor
nivel de independencia de los estudiantes por reducción y eliminación.
Es importante señalar que este paso requiere una planificación de tal manera que
instiga a los estudiantes para extraer la esencia del concepto sin imágenes
ilustradas, que es el comienzo de la transformación de la actividad externa a la
interna. Este es el momento en que “la mayor parte de la acción se convierte en
mental en el sentido de que no se realiza, mas apenas se concientiza para llevar
a cabo las tareas que serán sugeridas”. (Galperin, 1957:8). Aunque la acción sea
desarrollada a nivel material o materializada, esta prepara y conduce al estudiante
a la etapa siguiente, la verbal.
Etapa verbal (o de formación en el lenguaje externo)
El lenguaje según la teoría histórico-cultural juega un papel esencial en el
desarrollo de las funciones superiores. Según Vygotsky (2001:44) el desarrollo del
pensamiento está determinado por el lenguaje, es decir, las herramientas
lingüísticas del pensamiento y la experiencia sociocultural del niño. El crecimiento
intelectual de este depende de su dominio de los medios sociales del
pensamiento, es decir, el lenguaje.
La palabra es una condición necesaria en la mediación de la relación entre el
hombre y el mundo. Es el signo más complejo y completo con raíces biológicas y
sociales que difieren de otros animales, permite al individuo el desarrollo
psicológico. Ella se considera un elemento esencial en el proceso de apropiación
de cualquier forma de conocimiento que inicialmente es externa - está en las
relaciones sociales - para tornarse individual. El concepto se forma por la
actividad mental, pero la palabra es el medio principal para determinar sus rasgos,
sintetizarlos, expresarlos y abstraerlos.
En la Teoría de Galperin, la etapa de formación de la acción en términos de
lengua externo se tradujo inicialmente como la forma verbal de la acción, es decir,
expresada en voz alta por el estudiante. Más tarde, con el desarrollo de algunos
estudios, tiene también Galperin que admitir la forma de la lengua escrita.
Según Núñez (1997:68) en la etapa de la lengua externo, el lenguaje se convierte
en el portador de todo el proceso: tanto la tarea como la acción, por lo cual el
34
estudiante debe dirigirse no sólo al contenido del objeto, sino a la expresión
verbal, evitando el formalismo de acciones verbales.
La razón es que el lenguaje verbal externo transformado en lenguaje escrito
requiere una explicación de forma conceptual de la acción material o
materializada de las acciones mentales hasta ahora requeridos. Sin embargo, el
lenguaje escrito debe cumplir con las características de crecimiento de los
estudiantes y sus posibilidades potenciales. En esta etapa, el estudiante ya no
tendrá a su disposición los objetos físicos. Sin embargo, el contenido conceptual
es el mismo, es la base para la comunicación verbal, así como el acceso a los
símbolos que lo representan. Según Talízina (1988), la etapa verbal refleja la
acción material o materializada sin la condición de que el estudiante explique lo
que ha aprendido. Sin embargo, debe demostrar una forma de organizar su
pensamiento con respecto a la acción en cuestión. Esto sólo es posible por el
papel fundamental de la palabra y sus significados que son también herramientas
para la generalización de los primeros detalles visualizados y analizados durante
la acción material. Se afirma que “[...] los objetos de contenido real se separan
con trazos y propiedades importantes para la acción que son objetos”. (Galperin,
1959:56). Además, el estudiante, a través de palabras, pone de manifiesto sus
limitaciones sensoriales, y lleva a cabo y procede al análisis de forma consciente
e independiente el objeto de estudio.
Por último, la etapa oral se caracteriza por ser una etapa de aprendizaje y
desarrollo del proceso de pensamiento de un concepto en particular. Es esta el
estudiante describe y explica en voz alta o escribe, el curso de operaciones
adoptadas y ejecutadas para una acción eficaz en proceso de internalización.
Etapa de Acción Mental
Inicialmente, vale aclarar que la acción mental implica la relación entre dos
conceptos relacionados con esas palabras. El termino acción se vincula a la
acción práctica externa hacia el movimiento físico observable, que depende de las
condiciones materiales y objetivas, o sea presenta características externas. El
término mental se refiere al movimiento del pensamiento en una dimensión
psicológica (interna), en cuya acción entran elementos de naturaleza abstracta e
inmaterial.
35
Esta etapa se refiere a la etapa en que la acción exterior se convierte en el
lenguaje interior y también se internaliza. Cómo dicen Galperin y Talyzina (1967)
que, el acto intelectual caracteriza exclusivamente el proceso mental. Los autores
definen la etapa mental, como el momento en que en el pensamiento, “el acto
físico debe reflejarse plenamente en el lenguaje verbal (sin depender de los
objetos materiales). Por último, debe ser posible transferir esta forma personal de
lenguaje para una solución mental interna de la expresión individual por sí mismo,
y el acto se convierte en un pensamiento verbal”. (Galperin y Talyzina, 1967:275).
Según Núñez (2009), el lenguaje interno cuando se transforma en función mental
interna proporciona nuevos medios para el pensamiento. Con esta condición, el
estudiante se desconecta de la acción verbal y la convierte en mental. Asimismo,
se desvinculan los signos externos y se basa en los recursos internos. Al mismo
tiempo se destaca que “Sustituyendo las cosas reales, ahora el objeto de la
acción, así como su composición operativa tiene la imagen de carácter ideal. La
actividad mental es en realidad una actividad nerviosa superior, producto de la
internalización de los significados sociales, la actividad social es un proceso
mediado por signos”. (Núñez y Pacheco, 1997:70)
Cuando las actividades propuestas a los estudiantes pasan por las etapas de la
Base Orientadora de la Acción, y el profesor pueden trabajar en cada una de sus
especificidades en el desarrollo del concepto, los estudiantes serán capaces de
transformar la actividad externa en interna. Así internalizarán el conocimiento y
este abandona la condición de conocimiento empírico, a la vez que accede a un
nivel mayor de abstracción convirtiéndose en científico.
Vale destacar que la actividad de formación de acuerdo con estas etapas tiene su
validez cuando se refiere a conceptos por ser asimilados. Entonces, no se justifica
para la revisión de un conocimiento ya adquirido.
Existe la necesidad de entender la base teórica que fundamenta el desarrollo de
acciones de enseñanza-aprendizaje a través de estas etapas para no correr el
riesgo de concebirlas como una moda didáctica. Después de todo, lo que está en
el escenario es el proceso de internalización de la actividad externa en interna en
un ciclo cognitivo, en que son observadas etapas interrelacionadas, lo que antes
de ser puesto en ejecución, se planifica con detalle por el profesor.
36
El método de Galperin constituye un soporte teórico para los profesores en el
proceso de búsqueda para la transformación de la organización del proceso de
enseñanza-aprendizaje. Galperin y Talyzina (1967) demuestran la eficacia de este
proceso en la investigación sobre la apropiación de conceptos de geometría, por
un grupo de estudiantes del séptimo año de la escuela. La conclusión fue que los
sujetos dominaron todos los conceptos y sus interrelaciones como resultado de la
atención integral de todas las etapas. La manifestación de aprendizaje está en las
respuestas correctas a los problemas propuestos, así como las definiciones
precisas.
Esos investigadores advierten que la omisión de una etapa puede tener efectos
marcados. Por ejemplo, la eliminación o el incumplimiento de las primeras etapas,
al no exigir la verbalización, impiden el desarrollo del concepto. Estos sostienen
que “La transmisión gradual de la materia completa y detallada (forma
“materializada” del proceso del pensamiento) “puramente verbal”, es después la
etapa de “pensar en silencio” tiene el efecto de que el contenido y la lógica del
proceso de pensamiento, en todas sus formas, se hacen comprensibles y
accesibles para los niños”. (Galperin y Talyzina, 1967:300).
Estos autores añaden que con el uso de este método, los estudiantes no
interesados en la clase participan activamente en la ejecución de las operaciones
correspondientes a las acciones en el proceso de internalización.
El siguiente esquema sintetiza la teoría de Galperin:
La formación de conceptos - es decir, el acto mental - muestra la interconexión de
dos componentes fundamentales: las ideas que caracterizan la esencia del
37
concepto, sus trazos y las propiedades operantes. El acto mental de un individuo
se identifica en cuatro parámetros.
El primer nivel del proceso se presenta en tres niveles: materializado, oral e
intelectual. En otras palabras, es el movimiento que transforma una acción
externa en interna. El segundo, el grado de generalización, es indicativo del grado
de diferenciación de las propiedades esenciales y no esencial de un concepto. El
tercero, el acto completo, expresa el rendimiento del individuo en la realización de
tareas en su forma más simple o completa. El cuarto, grado de internalización, en
el que el individuo tiene su propia manera de síntesis conceptual, mostrando
mayor o menor facilidad la interrelación entre los conceptos de un sistema dado.
Se reitera que en el contexto de este estudio, el acto mental que se pretende
formar se refiere al concepto de función lineal. Por lo tanto, en el siguiente
epígrafe se presenta la situación actual de la formación de este concepto en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática en la escuela de
referencia.
1.3 Estado actual de la implementación de las funciones lineales en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática del
décimo grado en la Escuela Joaquín Capango de la Provincia Huambo,
República de Angola
En este epígrafe se comienza con una caracterización de la escuela. La misma se
encuentra ubicada en la Ciudad de Huambo y su función social es la formación de
estudiantes de enseñanza media entre 10mo y 12mo grados. Estos están
distribuidos por grado como se muestra en la tabla 1.
10mo grado 11no grado 12mo grado Matrícula total
Cantidad de estudiantes 200 312 308 820
Tabla 1: Distribución de la cantidad de estudiantes de la escuela por grados
Para el presente estudio fue seleccionada la población de estudiantes solo de
10mo grado. Esta estuvo conformada por 6 grupos con la cantidad de estudiantes
que indica la tabla 2. Al utilizar las herramientas de la Estadística Matemática para
la determinación del tamaño de la muestra objeto de estudio con un muestreo
irrestricto aleatorio (MIA), se determinó un tamaño de muestra máximo para un
nivel de significación del 95% y un error de muestreo de 0,05. Así, la cantidad de
estudiantes seleccionados del 10mo grado fue de 132.
38
Escuela 10o-1 10
o-2 10
o-3 10
o-4 10
o-5 10
o-6 Total 10
o 11
o 12
o
Población 820 35 30 33 34 33 35 200 312 308
Muestra 132 23 20 22 22 22 23 132 0 0
frecuencia 0,66 0,67 0,67 0,65 0,67 0,66 0,66
Tabla 2: Distribución de la muestra seleccionada por cada uno de los grados.
Para la determinación de la cantidad de estudiantes por cada grupo para el
estudio se utilizó el muestreo estratificado con distribución proporcional y para la
selección el muestreo aleatorio simple. Así se garantizó que la muestra tuviera
calidad y tamaño apropiados para hacer mínimos los errores de muestreo y fuera
representativa para el estudio que se hizo. El colectivo pedagógico estuvo
constituido por 50 docentes y 17 administrativos. Además el departamento de
Matemática está conformado por 7 profesores que trabajan con los tres grados.
Para el desarrollo del estudio se tuvieron en cuenta los siguientes aspectos.
1.- Consideraciones de los estudiantes en cuanto al aprendizaje de la Matemática
con énfasis en los contenidos relacionados con las funciones lineales.
2.- Dominio que poseen los estudiantes del concepto de función y en particular el
de función lineal.
3.- Conocimientos de los profesores de Matemática de la escuela en cuanto a
dificultades en el aprendizaje de las funciones lineales y las posibles causas.
4.- Opinión de los profesores en cuanto a la utilización en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática, de formas de pensamiento lógico y
técnicas heurísticas en el desarrollo de los contenidos, con énfasis en el
tratamiento del concepto de función lineal en el 10mo grado.
5.- Las referencias al tratamiento de los contenidos relacionados con las
funciones lineales en el programa y en las orientaciones metodológicas de
Matemática de 10mo grado.
A continuación se realiza un análisis crítico de los resultados que el autor
considera más significativos con relación a los instrumentos aplicados a
profesores y estudiantes, así como de los documentos consultados y visitas a
clases realizadas.
Para el análisis de los resultados de la encuesta y el cuestionario aplicado a la
muestra objeto de estudio (anexos 1 y 2) se utilizaron escalas ordinales. Las
categorías que se emplearon, en una gradación desde la excelencia hasta niveles
39
inferiores, fueron: ideal (I-4), muy adecuada (MA-3), bastante adecuada (BA-2),
poco adecuada (PA-1) y no adecuada (NA-0). Las repuestas emitidas por los
estudiantes revelaron que, como se muestra en la tabla 3 de manera general, se
encontraban en una situación poco adecuada para garantizar la calidad del
proceso de enseñanza-aprendizaje de las funciones matemáticas en este grado.
Además, la línea de tendencia de los resultados revela un decrecimiento potencial
de respuestas que muestran una situación no adecuada.
Anexo 1 Anexo 2 Global
Categoría # % # % # %
Nunca 359 45,3 697 44,0 1056 44,4
Casi nunca 135 17,0 344 21,7 479 20,2
A veces 125 15,8 275 17,4 400 16,8
Casi siempre 100 12,6 147 9,3 247 10,4
Siempre 73 9,2 121 7,6 194 8,2
Total 792 100 1584 100 2376 100
Global 0,85 1,15 1,05
Evaluación 1 1 1
Categoría PA PA PA
Tabla 3: Comportamiento global de las respuestas (anexos 1 y 2).
Al constatar los resultados emitidos, se pudo comprobar que los aspectos con
mayores dificultades y que arrojaron una situación no adecuada estuvieron
relacionados con resolver la mayoría de los ejercicios de funciones lineales
(preguntas 2 y 6 de anexos 1 y 2 respectivamente) y ser capaces de explicar a
otros, ya sea al profesor o demás compañeros, los pasos realizados en la
solución (preguntas 3 y 10 de anexos 1 y 2 respectivamente).
Las aristas que mostraron mejor situación, y que fueron evaluadas como bastante
adecuadas, estuvieron relacionadas con el reconocimiento de la necesidad de la
utilización de la computación en el desarrollo de las clases de Matemática y en
particular en el tratamiento de las funciones lineales (pregunta 6 del anexo 1),
conjuntamente con la comprensión de los datos que se ofrecen, la realización de
ejercicios, la utilización de procedimientos para la solución de estos, además de
40
resúmenes con los conceptos, propiedades, procedimientos y gráficos, lo que se
verificó en las respuestas a las preguntas 8, 11, 7 y 12 del anexo 2 por ese orden.
De manera general, se pudo comprobar que los restantes aspectos (9 de los 18),
es decir el 50% de los evaluados, fueron categorizados como poco adecuados
para desarrollar un exitoso proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática y
en particular el referido al contenido de funciones lineales en el décimo grado.
Entre los más afectados en esta categoría estuvieron relacionados con la
identificación de los conceptos y sus relaciones para solucionar los ejercicios en
las clases (pregunta 1 de anexo 1). En este sentido el 80,3% de los elementos de
la muestra reveló que nunca o casi nunca ha podido hacerlo. Además, el 57,6%
manifestó que nunca le ha gustado el estudio de la Matemática.
También se aplicó una prueba de conocimientos a los estudiantes (Anexo 3). La
misma se calificó sobre la base de 100 puntos y estuvo formada por diez
preguntas con un valor de 10 puntos para cada una. Se reconocieron aprobados
los estudiantes que alcanzaran 50 puntos o más y desaprobados los restantes.
En este instrumento, de un total de 132 estudiantes que realizaron la prueba, solo
aprobaron 25 (18,9 %), con lo que se constató el bajo dominio que tenían en
aspectos correspondientes a función y específicamente función lineal.
En la tabla 4 se refleja que las mayores insuficiencias se detectaron en las
respuestas de las preguntas 5, 6, 7, 8, 9 y 10 relacionadas con: el reconocimiento
de las funciones lineales a partir de su expresión algebraica, así como la
determinación de la ecuación de una función lineal dados algunos de sus
propiedades. De estas la pregunta de mayor dificultad para responder fue la 7,
que se refiere a la determinación de algunas de las propiedades (Dominio e imagen
de la función, monotonía, cero, inyectividad, signo, paridad, entre otras), y de su
interpretación tanto gráfica como analítica.
No obstante, en las respuestas a las preguntas 1, 2, 3 y 4 se evidenció un mayor
dominio en aspectos referidos al conocimiento del concepto función y la
identificación de representantes en sus diferentes formas de presentación.
Aunque la media aritmética revela un promedio de aprobado para cada una de
ellas, la moda de las respuestas a las preguntas 1 y 2 estuvo en una nota que dio
la categoría de desaprobado. Al mismo tiempo se descubrieron muchas
41
dificultades para la identificación de funciones cuando se tiene una representación
gráfica.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Categoría
Media 6,1 5,9 6,8 6,2 3,0 3,0 2,9 3,3 3,0 2,9 43,1 Desaprobado
Mediana 6,0 6,0 7,0 6,0 3,0 3,0 3,0 4,0 3,0 3,0 43,0 Desaprobado
Moda 3,0 4,0 9,0 5,0 3,0 5,0 1,0 6,0 6,0 5,0 43,0 Desaprobado
Tabla 4: Medidas de tendencia central para evaluar resultados de las preguntas de la prueba.
De manera general, se puede apreciar que cualquiera sea la medida de tendencia
central seleccionada para valorar el resultado global de la prueba, esta revela que
el grupo estaría en una categoría de desaprobado en el contenido de funciones
lineales del décimo grado.
A modo de resumen relacionado con los resultados obtenidos en los instrumentos
aplicados a los estudiantes, se puede plantear entre otras aseveraciones: el
desinterés por parte de los estudiantes por la Matemática de forma general, así
como el bajo dominio de los conceptos y los contenidos relacionados con
funciones lineales en la realización de ejercicios de esta asignatura.
Los instrumentos de los anexos 4 y 5 fueron aplicados para la constatación de los
conocimientos de los profesores de Matemática de la escuela relacionados con
dificultades en el aprendizaje de las funciones lineales y las posibles causas. Se
aplicaron a los 5 profesores. La tabla 5 muestra que todos eran Licenciados en
Matemática, esto lo hicieron en el Instituto Superior de Ciencias de Educación de
la localidad. Además, solo uno de ellos tenía más de cuatro años de experiencia
de trabajo en el grado, en tanto que otro se encontraba trabajando por primera
vez en el mismo. Esto dio muestras de la poca experiencia de los mismos en
tratamiento didáctico del contenido de este grado. No obstante, ellos tenían más
años de experiencia como profesores y esto les ayudó en la preparación que
necesitaban para tener éxito. En cuanto al nivel científico y académico se constató
que solo uno de ellos es master, aunque otro también está cursando estudios de
maestría en Didáctica.
Sexo Licenciatura Categoría
Años de experiencia
en el grado
Años de experiencia de
profesor
# %
# %
# %
# %
# %
M 3 60 Matemática 5 100 Dr.C. 0 0 [0-2) 1 20 [0-2) 0 0
42
F 2 40 Otra 0 0 M.Sc. 1 20 [2-5) 3 60 [2-5) 1 20
Total 5 100 Total 5 100 Lic. 4 80 [5-10) 1 20 [5-10) 3 60
Total 5 100 [10-más] 0 0 [10-más] 1 20
Total 5 100 Total 5 100
Tabla 5: Algunas informaciones sobre profesores que imparten Matemática en la escuela
Como regularidad estos plantean que los principales aspectos en los que los
estudiantes presentan deficiencias son: identificar el concepto de función, función
lineal y sus propiedades, además de aplicar el procedimiento para obtener la
ecuación dado su gráfico, fundamentar los pasos del proceso de resolución de un
ejercicio y graficar la función.
Las principales vías que utilizan para resolver estas deficiencias son el estudio del
contenido por el libro de texto, la orientación de ejercicios a partir de una guía, el
repaso de los contenidos con dificultades y actividades de estudio con el uso de la
computación. Al respecto se descuida la búsqueda de particularidades
relacionadas con los elementos del conocimiento, la utilización de elementos
históricos y del pensamiento lógico en los estudiantes para introducir este
contenido, la motivación necesaria para su estudio, así como la comunicación
entre ellos para alcanzar niveles superiores de desarrollo, entre otras aristas.
Ellos consideran que las causas que influyen en las dificultades en la resolución
de los ejercicios relacionados con funciones lineales están en la no utilización de
procedimientos del pensamiento lógico y su propio insuficiente conocimiento de
este contenido y de técnicas heurísticas para su tratamiento.
Además, estos resaltan la falta de motivación hacia el estudio por este contenido,
tanto de profesores como de estudiantes. Al respecto 3 (60 %) plantean que
están ejerciendo de profesor porque, aunque les alcanza para satisfacer varias de
sus necesidades, no tienen otra alternativa mejor para trabajar. Ellos también
destacan las insuficiencias que presentan los estudiantes en cálculo numérico,
trabajo con variables, entre otros contenidos referentes a grados precedentes.
Al mismo tiempo, plantean que son insuficientes las orientaciones metodológicas
que se ofrecen en el programa para cumplir con los objetivos que se proponen
con los temas de la asignatura en el grado. Esto fue corroborado con la revisión
del programa de Matemática de 10mo grado a partir de la guía del anexo 6.
Al analizar si los objetivos refieren exigencias en cuanto a:
43
el aprendizaje de relaciones, funciones lineales, así como las diferentes
formas que pueden ser tratadas,
En este aspecto el autor considera que aunque están implícitos debían platearse
de forma más específica por la importancia que tiene el tratamiento y elaboración
de estos conceptos: las orientaciones carecen de precisión para orientar al
profesor en el proceder para lograr tales objetivos.
a la reflexión de los estudiantes en cuanto a la elaboración del concepto de
función lineal.
Este aspecto no está específicamente abordado en los objetivos del programa.
asimilación y potencialidad educativa.
a la búsqueda activa del tratamiento de estos contenidos.
En estos dos aspectos anteriormente relacionados se puede plantear que aunque
en el programa aparecen los objetivos educativos no lo tratan como forma para
contribuir en la asimilación y búsqueda activa del tratamiento de estos conceptos,
lo que podía corroborar en el proceso de aprendizaje por parte de los estudiantes.
Con relación a las orientaciones metodológicas para el desarrollo del programa en
los aspectos tenidos en cuenta en el anexo 6, de forma general se puede platear
que: se expresa el tratamiento a las funciones lineales para el aprendizaje, se
hace referencia a la elaboración del concepto de función lineal y se hace alusión a
potenciar el aprendizaje de las funciones lineales., pero no se les facilitan vías ni
procedimientos al profesor para su tratamiento didáctico en la elaboración de
estos contenidos.
Por otro lado no se hace referencia a potenciar el aprendizaje de las funciones
lineales teniendo en cuenta las tecnologías, ni al vínculo con la vida y el contexto
de los estudiantes de estos contenidos. En cuanto a la evaluación de estos
contenidos no aparecen en las indicaciones metodológicas de forma explícita
aunque se presentan como conocimientos que el estudiante debe dominar una
vez culminado el 10mo grado.
De lo anteriormente expuesto se puede plantear que desde los objetivos y las
indicaciones metodológicas existe un inadecuado tratamiento metodológico a los
contenidos de forma general, en particular a los relacionados con funciones
lineales.
44
Por último, otro de los aspectos tenidos en cuenta por el autor para la búsqueda
de las causas en la práctica del problema planteado fue la visita a clases
relacionadas con los contenidos sobre funciones lineales. 5 de los profesores
(71%) fueron visitados teniendo en cuenta la guía de observación planteada en el
anexo 7, en las que se pudieron constatar las siguientes regularidades.
En cuanto al primer aspecto asegura el nivel de partida en los 5 profesores fue
evaluado de poco adecuado; en el aspecto de la coherencia lógica en el
tratamiento del contenido se evaluó en 2 (40 %) profesores de adecuado, en los
restantes fue evaluado de poco adecuado, en cuanto a si promueve la búsqueda
de los nuevos conocimientos en los 5 profesores fue evaluado de no adecuado y
en que si los profesores estimula la participación activa de los estudiantes en 2
(40 %) profesores fue evaluado de adecuado en los otros 3 (60 %) se evaluó de
poco adecuado.
Teniendo en cuenta los resultados de los instrumentos aplicados en el presente
trabajo a continuación se aborda la realización de la técnica de triangulación,
llevada a cabo para realizar una valoración cuantitativa y cualitativa de los
resultados alcanzados. Esta técnica le permite al autor contrastar y comparar los
resultados de los instrumentos aplicados a alumnos y profesores, así como la
revisión documental para la justificación del problema plateado en la presente
investigación.
Aunque la finalidad que se le atribuye a la Matemática es la de favorecer,
fomentar y desarrollar en los estudiantes la capacidad para explorar, formular
hipótesis y razonar lógicamente, así como la de usar de forma efectiva diversas
estrategias y procedimientos matemáticos para plantearse y resolver problemas
relacionados con la vida cultural, social y laboral, se evidencia una carencia a
nivel metodológico y didáctico para el tratamiento a las funciones en especial los
relacionados con la elaboración del concepto de función lineal.
De igual forma para el tratamiento del contenido por parte de los estudiantes es
importante que ellos aprendan a determinar los conocimientos y habilidades
particulares y los modos y estrategias generales de pensamiento que les han sido
útiles en la resolución de un ejercicio y/o problema dado. No obstante, esa idea es
insuficiente para que el profesor disponga del tratamiento didáctico para que los
estudiantes se apropien de los conocimientos a partir de revelar las relaciones
45
entre los conceptos y elaborar los mismos. Esto se evidencia en la no
concatenación de los conocimientos relacionados con funciones y
específicamente con las funciones lineales.
En los docentes encuestados y entrevistados es insuficiente el conocimiento en
cuanto a los conceptos de relaciones y funciones, lo que conlleva a que su
tratamiento didáctico sea limitado y no sea reconocido como una de las
dificultades que influyen en el proceso de aprendizaje de la asignatura
Matemática en el 10mo grado. En la encuesta también se corroboran las
carencias cognitivas de los profesores en cuanto a los contenidos relacionados
con funciones lineales, así como, en el dominio de métodos o procedimientos
para la elaboración de conceptos matemáticos en especial los relacionados con
los de funciones lineales.
En la revisión de los programas vigentes se expresan objetivos relativos a la
aplicación o utilización de conceptos, relaciones y procedimientos que
corresponden a los conocimientos que se estudian en el 10mo grado. Estos se
dirigen a procesar datos y representar situaciones de la práctica, la ciencia o la
técnica mediante modelos analíticos y gráficos y viceversa, así como a derivar
conclusiones a partir de esos modelos acerca de las propiedades y relaciones que
se cumplen en los contenidos relacionados con las funciones lineales. Sin
embargo, las orientaciones carecen de precisión para orientar al profesor en el
proceder para lograr la elaboración y tratamientos de estos conceptos
matemáticos.
El autor considera que, desde los documentos normativos y en la bibliografía
existente existen limitaciones en cuanto a la orientación que se le ofrece al
profesor para un adecuado desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje.
Este debe ejecutar acciones que conlleven al desarrollo exitoso del concepto
función y sus aplicaciones en especial con las funciones lineales, sin embargo
estos no poseen alternativas didácticas que lo orienten al respecto.
Se pudo constatar la insuficiente preparación de los profesores en la utilización de
métodos y estrategias de aprendizaje para la elaboración de conceptos
matemáticos y específicamente los relacionados con funciones lineales. Es
pertinente señalar que los mismos trabajan con tres programas diferentes, lo que
inevitablemente atenta contra su adecuada preparación para impartir sus clases.
46
Conclusiones del capítulo
La caracterización de la evolución del objeto y el campo de acción revela la
necesidad de buscar nuevas alternativas didácticas para elaborar el concepto de
función lineal con vista a contribuir al proceso de apropiación de este concepto en
los estudiantes de este nivel de enseñanza.
La valoración de los fundamentos teóricos asumidos sobre el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Matemática en el décimo grado en Angola apunta a
la elaboración de una alternativa didáctica para el desarrollo del proceso de
enseñanza-aprendizaje de las funciones lineales en el décimo grado teniendo en
cuenta las acciones mentales de Galperin como fundamento para el proceso de
enseñanza-aprendizaje de este contenido matemático.
La caracterización del estado inicial del proceso de enseñanza-aprendizaje del
tema funciones lineales en el décimo grado en la escuela Joaquín Capango de
Huambo, deja ver que las causas de las insuficiencias en estos contenidos están
dadas en la falta de alternativas didácticas en los profesores que los orienten para
desarrollar un proceso que responda a enfoques desarrolladores.
CAPITULO II. ALTERNATIVA DIDÁCTICA PARA EL DESARROLLO DEL
PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS FUNCIONES LINEALES
EN LA MATEMÁTICA DE LA ENSEÑANZA MEDIA
En este capítulo se expone la esencia de la alternativa didáctica que se ofrece
como solución de esta investigación al problema científico declarado, la misma
está basada en el empleo de las acciones mentales de la teoría de Galperin para
el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de las funciones lineales en la
enseñanza media. Aquí se realizan adecuaciones a la concepción pedagógica
angolana de una manera dialéctica, de forma tal que respondan al contexto
angolano actual. Además, se presentan los resultados que se obtuvieron a partir
de criterios de expertos.
2.1 Principales presupuestos teóricos de la alternativa didáctica
En el capítulo anterior fue desarrollado con mayor profundidad los elementos que
se toman como referencia para la elaboración de la alternativa didáctica para
perfeccionar el proceso de aprendizaje de conceptos matemáticos con énfasis en
los contenidos relacionados con las funciones lineales teniendo en cuenta la
Formación por Etapas de las Acciones Mentales de Galperin. Entre ellos destacan
47
que los aprendizajes constituyen la base indispensable para que se produzcan
procesos de desarrollo. Es trascendente también que el contexto repercute en el
estudiante, quien es activo y responsable de su propio aprendizaje, a través de la
mediación social. Las relaciones en el grupo escolar deben caracterizarse por la
motivación hacia la actividad que se realice. En correspondencia con esto, se
sintetizan los principales presupuestos teóricos que son tomados como premisas
en que se fundamenta la misma, estas son:
Carácter contextualizado: El estudiante está expuesto a varias situaciones y sus
procesos de aprendizaje forman parte de su vida concreta, que transcurre en sus
distintos contextos de actuación. Esta alternativa puede responder a las
condiciones, exigencias y necesidades de los estudiantes de la Enseñanza Media
Superior de la Escuela Joaquín Capango de la Provincia Huambo, Republica de
Angola en el aprendizaje de conceptos matemáticos, específicamente los
contenidos relacionados con las funciones lineales.
Carácter de sistema: las etapas, acciones lógicas y procedimientos didácticos
que constituyen la estructura de la alternativa tienen relaciones y conexiones
entre sí que permiten dirigir el aprendizaje de los contenidos relacionados con las
funciones lineales, según las exigencias de este nivel de enseñanza. Además,
propician la combinación ordenada y coherente de los componentes personales y
no personales del proceso de enseñanza-aprendizaje de estos contenidos.
Carácter integrador: permite la integralidad y armonía de las acciones que se
realizan para dirigir el aprendizaje de los contenidos relacionados con las
funciones lineales lo que propicia la integración entre:
• Los conocimientos relacionados con las funciones lineales y los de las
diferentes asignaturas del grado, fundamentalmente, la Física y la Química.
• El contenido, los métodos, los medios, la forma organizativa y la evaluación
para el cumplimiento del objetivo propuesto.
• Las habilidades generales y las específicas, de trabajo con las diferentes formas
de tratamiento de una función lineal.
• El proceder de los estudiantes de este nivel de enseñanza con la utilización de
los conceptos y procedimientos en la resolución de ejercicios
48
• Lo cognitivo y lo afectivo, significa dirigir del aprendizaje de los conceptos
matemáticos sobre la base de una atmósfera de respeto, confianza, seguridad y
empatía que posibilite al estudiante la satisfacción por esta actividad.
• La enseñanza y el aprendizaje, pues ambas constituyen una unidad, a través de
la enseñanza de la elaboración de conceptos matemáticos se potencia el
aprendizaje y el desarrollo de los estudiantes.
• Las acciones de dirección: planificación, ejecución y control.
Carácter procesal: se estructura en etapas y dentro de ellas las acciones y
procedimientos metodológicos que, ordenados lógicamente, propician la dirección
creadora del proceso de aprendizaje de los contenidos relacionados con
funciones lineales, de manera que enseña a los estudiantes a aprender a
aprender y propicia que se apropien de herramientas que los preparen para
enfrentar su vida futura.
2.2 Alternativa didáctica para el proceso de enseñanza-aprendizaje de
funciones lineales a partir de las acciones mentales de la teoría de
Galperin
En este apartado se presenta en detalles la alternativa didáctica propuesta. La
misma tiene como objetivo general: contribuir a perfeccionar el proceso de
enseñanza-aprendizaje de las funciones lineales teniendo en cuenta la formación
por etapas de las acciones mentales de Galperin.
Esta se organiza en cuatro fases con su objetivo parcial correspondiente. Las
mismas son:
Fase I. De diagnóstico: Se parte de la determinación de un diagnóstico
para el que se puede implementar el instrumento del anexo 8.
Objetivo: Determinar las necesidades de preparación de los profesores de
10mo grado de la escuela Joaquín Capango de Huambo para la puesta en
práctica de la alternativa propuesta con relación a la construcción del
concepto función lineal a partir de la formación por etapas de las acciones
mentales de Galperin.
Fase II. De preparación: Se penetra en la preparación a partir de los
resultados del diagnóstico a los profesores con el estudio de las bases
teóricas y metodológicas necesarias, teniendo en cuenta el desarrollo de
un curso de orientación. En esta fase se debe brindar la preparación
49
científico-metodológica adecuada a los profesores de 10mo grado de la
escuela Joaquín Capango de Huambo para el desarrollo de la alternativa
propuesta. La misma puede ser desarrollada teniendo en cuenta el
programa que aparece en el anexo 9.
Objetivo: Brindar la preparación científico metodológica adecuada a los
profesores de 10mo grado de la escuela Joaquín Capango de Huambo
para la el desarrollo de la alternativa didáctica propuesta.
Fase III. De ejecución: En esta fase se deben recorrer las etapas y
acciones hasta el control y evaluación por parte del profesor y del grupo,
dando cumplimiento a la teoría de la formación planificada y por etapas de
las acciones mentales de Galperin. Las mismas se explicarán de manera
independiente en este epígrafe posterior a la presentación de las fases
para un mejor entendimiento.
Objetivo: Desarrollar por parte del investigador o profesor designado la
ejecución de la alternativa didáctica propuesta, partiendo de una serie de
consideraciones conceptuales sobre el tema a tratar y el concepto a
elaborar.
Fase IV. De evaluación: Se reflexiona críticamente con posterioridad a la
solución del problema, lo cual presupone un proceso de evaluación. Esta
fase el profesor la debe ir desarrollando como se indica en la fase III y en
sus operaciones a partir de sugerir a los estudiantes la realización de los
ejercicios que están indicados y otros elaborados por el profesor. De esa
forma, mediante evaluaciones sistemáticas, realizará el monitoreo y control
de la asimilación de la elaboración del concepto función lineal en cada uno
de los estudiantes.
Objetivo: Evaluar consecuentemente a los estudiantes en el desarrollo de
la alternativa didáctica.
A continuación se presenta en detalles la organización propuesta en cinco etapas
que corresponden a cada una de las de la teoría de la asimilación de la acción por
etapas de Galperin. Se recuerda que el trabajo con estas etapas corresponde a la
fase III de la alternativa didáctica para el desarrollo del proceso de enseñanza-
aprendizaje del concepto de función lineal.
50
Etapa 1: Motivacional.
En consonancia con la propia postura de Galperin (1957) y todo el grupo de
psicólogos soviéticos es necesario hacer un estudio preliminar para conocer las
condiciones conceptuales en que se encuentran los estudiantes. Los resultados
son los que indican cómo se encuentran los estudiantes al desarrollar las tareas.
Sin embargo, el autor dice que, en general, hay estudiantes con diferentes niveles
de formación de conceptos. Algunos de ellos ya han realizado mentalmente
algunas acciones del concepto, otros sólo por pensar en voz alta y también hay
quienes se aferran a los materiales disponibles. Tales diferenciaciones son
expresiones de que avanzó la asimilación del proceso de enseñanza tradicional.
A medida que la preocupación desde el principio es poner al estudiante ante
situaciones que llevan a apropiarse del concepto general de la función lineal. Este
paso será algo relacionado con la idea propuesta de una relación entre
cantidades. Estos, de acuerdo con Davidov (1987), con todos los conceptos de
las matemáticas escolares. Para ello, se han propuesto las transacciones que
implican: a) medidas en la línea, base para la adquisición del concepto general; b)
Comparación entre las magnitudes de figuras, como situación previa de una
expresión particular de la situación general. En este sentido, las situaciones
relacionadas serán presentadas a dos situaciones iniciales materializadas, a partir
de las acciones.
Situación motivadora referente a la etapa materializada inicial de
referencia.
La propuesta es que los estudiantes hacen de las representaciones de las
medidas genéricas en línea de números, como las siguientes sugerencias. Para
ello, van a ser dirigidas a establecer una unidad de medida x para representar
situaciones o las situaciones de análisis, como se define a continuación.
Desde inicio, siempre es necesario, y de extrema importancia la participación del
profesor en el sentido de orientar al estudiante para que alcance la representación
esperada. Así,
1) 1x sería representado geométricamente en la recta de la siguiente forma:
51
2) 3x
En este caso, la representación esperada por parte de los estudiantes:
3) –x
La representación esperada:
4) -2x
La representación correcta es:
Para las representaciones de las situaciones de la 5 a la 9 siguientes, se hace
necesario que se establezca otra unidad de medida b (un valor constante).
5) x + b, como b es un valor constante.
En este caso, se espera una representación similar a la que sigue:
6) 4x + b
Representación esperada
7) -2x + b
Representación a ser hecha:
8) -4x + b
Con la orientación inicial del profesor los estudiantes pueden representar en la
recta numérica de la siguiente forma:
52
9) b + 2x
De la misma forma que en los casos anteriores la representación esperada es:
Situación motivadora referente a la etapa materializada en secuencias
de figuras.
Los estudiantes recibirán indicaciones para que comparen las figuras z e v por el
largo, altura y el ancho, que pueden ser hechos con el uso de la regla o por
superposición.
Comparar las figuras m e p por el largo, altura y el ancho.
Así, también, se propone la comparación de las figuras n y s por el largo, altura y
el ancho.
Aun se solicita la comparación entre las figuras s e x por el largo, la altura y el
ancho.
53
A continuación se propondrán situaciones similares pero con la diferencia de
adoptar una unidad de medida u como parámetro para indicar cuantas veces ella
cabe en la figura c. Además, requiere de una pregunta: ¿Cuantas veces u cabe
en c?
Respuesta esperada: cinco unidades.
Otra situación similar es: ¿Cuántas unidades u, caben en la figura c?
Respuesta esperada: Caben tres unidades
Etapa 2. La Base Orientadora de la Acción (BOA)
Como se ha planteado anteriormente, la Base Orientadora expresa un sistema de
condiciones para la asimilación de conceptos. Por tanto, tomamos con cuidado
establecer con detalles un conjunto de principios de orden conceptual y su
expresión en las situaciones sugeridas y posibles de ser desarrolladas por los
estudiantes.
Dentro de aquellas estudiadas por Galperin, aquí, la opción fue por el tipo BOA III
por tener mayor aproximación con las peculiaridades del objetivo y del objeto de
la acción referente a la apropiación del concepto de función lineal y con las
características del orden de las situaciones.
Se reafirma que esa BOA se caracteriza por ser generalizadora, completa e
independiente. Por tanto, el estudiante tendrá a su disposición las orientaciones
para la realización de las situaciones y tareas particulares referentes a la clase de
fenómenos relacionados con el concepto en estudio. Todas las orientaciones dan
54
énfasis al modo general del concepto y sus invariantes.
La condición inicial fue determinar el sistema conceptual en el cual se inserta el
concepto de función lineal: amplitud, medida, conteo, relación variables recta,
entre otros.
Al colocarse en actividades de estudio los estudiantes desarrollaran tareas
particulares y peculiares al concepto de función lineal y tendrán las bases dadas
por la propuesta.
1) Para la situación indicada de modo general en segmentos de rectas
A – De inicio, la situación traduce el modo general relacionada a la idea de
amplitud y medida por medio de una secuencia de segmentos de rectas, que
traduce la idea genérica ax + b, con el siguiente criterio:
- la primera secuencia conduce para el valor de “a” positivo;
- expansión de la secuencia para alcanzar valores relativos (para “a” negativo);
B – Seguidamente, conduce al establecimiento de la relación entre la posición de
la secuencia y la medida del segmento;
C – Posteriormente, se presenta el modelo algebraico de la función y = ax + b;
D– Después, se traslada el análisis para situaciones particulares con valores de a
y b (positivos, negativos, enteros e fraccionarios);
E – Finalmente, se propicia la representación en un sistema de coordenadas
rectangular.
2) Para las situaciones indicadas de modo general en secuencias de superficies
geométricas.
A – Inicialmente, se propone la relación entre la posición de la secuencia y la
medida de la superficie;
B – Posteriormente, conduce al modelo algebraico de la función y = ax + b;
C – Después, orienta a la transferencia y análisis para soluciones particulares con
valores de b negativos;
D – Por último, se propone la representación en un sistema de coordenadas
rectangular.
3) Para la situación con punto de partida del gráfico de una función lineal.
A – Primeramente, se orienta buscar datos en el gráfico;
B – Después, se propone de la formulación o modelo algebraico.
4) Para la situación que tiene como punto de partida una tabla
55
A – Se inicia, la orientación a observar los datos de la tabla;
B –Seguidamente, se orienta la formulación del modelo algebraico;
C – Al final, se conduce a la representación gráfica.
De forma general, el diseño de las situaciones de la forma materializada sigue las
siguientes orientaciones:
a – Secuenciar con dibujo la situación del problema
b - tabla
c - gráfico
Sin embargo, se parte de una de ellas, mas una misma situación se transforma en
las demás, o sea:
a→b→c
b → a → c ó b → c → a
c → a → b ó c → b → a
Etapa 3. Materializada
En esta etapa las situaciones presentadas se extienden a aquellas propuestas en
la etapa motivacional. Además de eso se contemplan un conjunto de
orientaciones que fueron previstas en la etapa anterior. El cuidado fue para partir
de la idea general de todo el concepto de la Matemática: amplitud. Tal idea se
debe manifestar en la esencia general del concepto de función, esto, es la
relación de dependencia e independencia entre dos amplitudes variables.
También, se debe explicitar el caso específico de función lineal en que la variable
independiente se iguala n veces a la variable dependiente en suma algebraica
con un valor constante.
Se presenta a continuación las situaciones que constituyen el sistema de
enseñanza propuesta para las especificidades del concepto de función lineal.
Para anunciar y orientar la ejecución de cada una de ellas, se toman como base
el estudio sobre conceptos geométricos de Galperin y Talyzina, (1967: 278). En la
etapa materializada, es conveniente que se explique a los estudiantes cómo debe
usar los componentes del concepto para solucionar cualquier problema que se le
presente. Además de eso se le orienta para que se aplique cada componente a
cada parte de la materia. En otras palabras, transferir todas las condiciones de
una situación para las demás.
Se puede observar que la etapa materializada es muy importante, y que requiere
56
la presencia constante del profesor en la orientación de los estudiantes en
actividades de estudio encaminadas para el concepto de función lineal. En ese
momento según Galperin y Talyzina, (1967), es cuando se viabilizan los
componentes del concepto que se extiende en todas las situaciones, para las
demás etapas.
Situación materializada inicial de referencia
La primera situación a seguir es de gran importancia, pues en su ejecución se
explicitarán los componentes del concepto en su modo general, esto es, amplitud.
También, caracterizará una regularidad de la base general del propio concepto de
función lineal, concerniente a la variable independiente, cual sea: ax + b. Eso
significa decir que aún no expresa la relación entre las variables dependiente e
independiente.
El estudiante recibirá la siguiente orientación:
- Establecer dos medidas diferentes de segmentos, denominadas por letras
distintas (por ejemplo, x e b).
- Construir una secuencia de segmentos que exprese la suma de las medidas x y
b de forma tal que, en cada término de la secuencia, la medida b permanezca
constante y x se multiplique a cada término, a partir de cero.
- El término o figura/segmento inicial será denominado por F0, en que aún no
aparece la medida x, más solamente la medida b.
- A partir de F0, los nuevos términos/segmentos serán denominados de F1, F2,
F3,...., Fn, en que el segmento correspondiente indica a reproducción de unidades
x incrementado del segmento de medida b.
En síntesis, el objetivo es que los estudiantes construyan la secuencia
representada a continuación:
F0: 0 x + b
F1: x+b
F2: 2x+b
x b
b
b x
b x x
b x x x
57
0 x+b
0 x+b
F3: 3x+b
Fn: nx+b
Situación materializada de expansión relativa a lo anterior
La preocupación de llevar a los estudiantes a la adquisición de modo general de
la función lineal, requiere que ellos establezcan un movimiento en la recta no sólo
en su sentido positivo, como en la secuencia anterior, sino también en el sentido
negativo. Por lo que es necesario que el profesor los oriente para que obtengan
términos segmentos que antecedan al origen.
La orientación ocurrirá a partir de cuestionamientos dirigidos a los estudiantes, por
el profesor, del tipo: - ¿Cuál es la representación del segmento/término que
antecede al origen?
Después de la representación de –x + b, el cuestionamiento es: ¿Cuál antecede a
ese nuevo término? Así sucesivamente, hasta que ellos comprendan la tendencia
para la generalización –ax + b. De ese modo se tiene la siguiente representación:
F-n: -nx+b
F-3: -3x+b
F-2: -2x+b
F-1: -x+b
F0: 0x+b
F1: x+b
F2: 2x+b
F3: 3x+b
b x x x
x
…
x
b -x -x -x
x
…
x
b -x -x -x
x
b -x -x
b -x
b x x
b x x x
b x x x
x
…
x
b x
58
Fn: nx+b
Situación de establecimiento de la relación entre la posición de la
figura y el segmento correspondiente
La finalidad de esa situación es la representación general del modelo algebraico
de la función. Por tanto, se les propone a los estudiantes:
- observar que cada término/segmento tiene una medida, conforme al orden que
aparece; o sea, a una relación entre la posición del término y el largo total del
segmento, - establecer la relación de igualdad entre cada F (que puede ser
sustituida por y).
La orientación es para que el estudiante sustituya la secuencia anterior por la
igualdad entre “y” y con la expresión de forma literal correspondiente, en vez de
segmentos. Se espera, entonces, la siguiente representación:
y = -nx + b
.
.
.
y = -3x + b
y = -2x + b
y = -x + b
y = 0x + b
y = x + b
y = 2x + b
y = 3x + b
.
.
.
y = nx + b
Situación materializada de la secuencia inicial para b negativo (-b)
Aquí se hace admitiendo b negativo, esto es, situando en sentido contrario la
unidad x.
Esa secuencia tiene como objetivo llevar a los estudiantes al entendimiento de
que b también puede tener la función de sustracción. La representación esperada
- b -x -x -x
x
…
x
59
-b
0 x- b
es:
-nx - b
-3x - b
-2x - b
-x +b
x - b
2x - b
3 x - b
Situación del establecimiento de la relación entre la posición de la
figura y el segmento correspondiente para b negativo
Esa situación tiene la misma finalidad que la del establecimiento de la relación
entre la posición de la figura y el segmento correspondiente, cual sea la
representación general del modelo algebraico de la función. Por eso, tendrá las
mismas orientaciones para que los estudiantes lleguen a la representación:
y = -3x - b
y = -2x - b
y = -x - b
y = 0x - b
y=x-b
- b -x -x -x
x
- b -x -x
- b -x
- b x
- b x x
- b x x x
60
y = 2x - b
y = 3x - b
.
.
.
y = nx – b
Representación de las funciones en el plano
Para la representación de la función lineal en el plano de dos ejes perpendiculares
x e y o plano cartesiano también se parte de su modo general, o sea, del modelo
y = ax + b.
El desarrollo de esa situación requiere el conocimiento de los estudiantes de que
dos puntos definen un segmento y por consiguiente una recta, como
representación de dos puntos en el plano. Así, para la construcción grafica de
modo general de una función la orientación es la determinación:
1) del punto de intercepción con el eje y, esto es, para x = 0;
y = ax + b
y = a.0 + b
y=b
Luego, el punto será (0,b).
2) el punto de intercepción con el eje x, esto es, para y = 0;
y = ax + b
0 = ax + b
-ax = b
x=-b/a
Luego, el punto en su forma general será (- b/a,0).
3) la reta que pasa por esos puntos.
En ese caso, es necesario que se consideren los siguientes casos:
a) Para a y b positivos
x
y
(0 , b)
(-b/a, 0)
61
b) Para a positivo y b negativo
c) Para a negativo y b positivo
d) Para a e b negativo
e) b cero y a diferente de cero y positivo
f) b cero y a diferente de cero y negativo
x
y
(0 , 0)
y = x
x
y
(0 , 0)
y = - x
x
y
(0 , -b)
(-b/a, 0)
x
y
(0 , b)
(b/a, 0)
x
y
(0 ,- b)
(b/a, 0)
62
Situación de construcción de gráficos de situaciones particulares con
valores de a números enteros y b números enteros y fraccionarios
Serán presentadas situaciones de los tipos:
a) y = 4x + 2 d) y = -2x - 3
b) y = 3x - 5 e) y = -x + ¼
c) y = -5x + 4 f) y = 3x – 2/5
Situación de construcción de gráficos de situaciones particulares con
valores de a números fraccionarios y b números enteros y
fraccionarios
En este caso se tienen:
a) y = 1/4x + 2 d) y = -1/2x - 3
b) y = 2/5x – 5 e) y = -4/3x + ¼
c) y = -5/4x + 4 f) y = 3/2x – 2/5
Situación materializada en secuencia de figuras o situación cotidiana
En la ejecución de ese tipo de situación la orientación sigue lo establecido en la
BOA ya sea:
- Elaborar una tabla,
- La formulación del modelo funcional o definición analítica;
- La construcción del gráfico de puntos que, en ese caso, se debe tener mucha
atención. Tal preocupación se justifica, pues las situaciones pueden no abarcar el
dominio de los números reales. Siendo así, solo es posible marcar los puntos en
el plano y nos damos cuenta que están alineados, una vez que nos sea posible
trazar la reta. A partir de esta y las situaciones siguientes, los estudiantes
desarrollarán tareas particulares sugeridas por la BOA.
1) Secuencia de figuras
Un ejemplo de tal situación es proponer que los estudiantes desarrollen la lectura
de la secuencia propuesta a continuación:
- Considerar como unidad (u):
- Comparar el término de origen (u) con el primer término.
- ¿La figura del primer término, y el término de origen fue aumentado cuantas
63
veces, una unidad?
- Construir la figura del tercer término.
- ¿En la figura del tercer, cuántas veces fue aumentado el término de origen?
¿Tres unidades?
- Observar la secuencia y completar la tabla siguiente, que al ser propuesta
a los estudiantes, la misma tendrá la primera línea resuelta, para así
constituir en una forma de orientación.
Término: variable
independiente
Nro. de unidades variable
dependiente
Expresión algebraica
0 1 0.21
1 3 1.21
2 5 2.21
3 7 3.21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x y x.21
Modelo matemático 12 xy
Construcción del gráfico de puntos.
2) Situación de la vida real.
En ese caso, las situaciones también será modelada con referencia al modelo
general, y = ax + b. Por ejemplo, la situación: Un grupo de estudiantes del año
promueve una campaña, por dos meses sobre el rescate de libros para la
biblioteca de la escuela. Al recibir 8 libros, establecieron como meta rescatar 3
64
libros por día. Posteriormente, los estudiantes realizaron:
- el montaje de una tabla que relacionará la cantidad de día con la cantidad de
libros rescatados,
- la formulación del modelo funcional o definición analítica;
- la construcción del gráfico de puntos.
Situación materializada en la tabla
a) Análisis de la tabla
Variable
independiente
Variable
dependiente
0 -1
1 1
2 3
3 5
.
.
.
.
.
.
x ?y
b) Destacar las variables dependiente e independiente;
c) Comparar operacionalmente las variables dependiente e independiente para
identificar una regularidad entre ambas;
d) Formular la ley de la función, o sea, la definición analítica que define la relación
entre los valores destacados en la tabla.
Esa situación abre posibilidades para que los estudiantes adopten estrategias
diferentes.
Una variante sería adoptar el modelo general y = ax + b, y en él sustituir dos
valores de x (de los que aparecen en la tabla), y los correspondientes valores de
y, con esto se forma un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables que permite
determinar los respectivos valores de a y b para formar el modelo particular.
Por ejemplo:
Haciendo x = 0, y = -1 se tiene el valor de b=-1.
Para x = 2, y = 3 se tiene el valor de a=2.
Con esto la función en la tabla es definida por y = 2x – 1
65
El estudiante, al pasar luego a la etapa verbal, deberá brindar argumentos de por
qué, en este caso como x=0, fue posible determinar el valor de b inmediatamente
y qué ventajas o desventajas le trajo seleccionar este par de valores. En el caso
que no se tome x = 0, que propició el cálculo del valor de a en la primera
sustitución, entonces, la obtención de los valores de a y b se obtendrán por la
resolución de un sistema de ecuaciones.
Otra variante es que se aumenta una tercera columna en la que sustituyen los
respectivos valores de x e y en la tabla. Entonces, a partir de un tanteo inteligente
y la formulación de conjeturas los estudiantes pueden reconocer las relaciones de
dependencia funcional y llegar a descubrir el patrón de comportamiento y=2x-1.
Posteriormente, ellos deberán ser capaces de brindar sus argumentos de sus
procesos de pensamiento y dotar de sentido a las estrategias diversas que
adoptaron en la interacción con los demás.
Una tercera variante es que ellos pueden utilizar algún software que les sirva de
asistente matemático para enfrentar la situación, en la que ellos deben reconocer
y mostrar la dependencia funcional, no de solo un par de puntos sino de todos en
una recta que representa la función lineal correspondiente.
Variable independiente
Variable dependiente
y = ax + b
0 -1 -1 = 2*(0) - 1
1 1 1 = 2*(1) - 1
2 3 3 = 2*(2) - 1
3 5 5 = 2*(3) - 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x y y = 2x - 1
66
Los estudiantes que utilicen esta vía, además de explicar que el gráfico describe
una recta y por qué, deberán brindar argumentos de cuántos puntos será
necesario representar para obtener la recta correspondiente. La intención es que
todos sean capaces de llegar a estos niveles en que, además de su pensamiento,
utilizan herramientas acordes al desarrollo tecnológico existente para la solución
de los problemas.
Situación materializada en gráficos
En el desarrollo de este tipo de situación es necesario, inicialmente, solicitarle que
observen la representación gráfica e intenten con los dos pares que define los
puntos en vez de expresarlos como en la tabla, deben identificarlos en el plano
cartesiano. Algunos cuestionamientos pueden orientar a los estudiantes a
colocarlos en acción.
a) El gráfico representa una función del tipo y = ax + b?
b) ¿Es posible establecer algunos puntos de la función?
c) ¿Los puntos están alineados, esto es, pertenecen a la misma recta?
d) ¿Es posible explicitar la definición analítica que la definió?
67
Los cuestionamientos contribuyen para que los estudiantes, como mínimo,
identifiquen los puntos (0,1), (2,-3), (-1,3) y (-2,5) y en la secuencia, al seleccionar
esos pares ordenados, ellos obtengan las ecuaciones y lleguen al modelo
particular cuya definición analítica es y = -2x + 1.
Antes de comentar sobre las etapas siguientes, verbal y mental, vale esclarecer
que cada situación presentada anteriormente, tiene su especificidad, por lo que se
sugiere que seguidamente a cada una de ellas es necesario que se proponga,
como mínimo, una o más con las mismas características. Tal situación, aparte de
ser un elemento del proceso de apropiación conceptual, también se traduce en
una forma simultánea de control y evaluación.
Etapa 4. Verbal (o de formación en el lenguaje externo)
Esta etapa se caracteriza por la exposición, por parte de los estudiantes, sin
apoyo material o materializado. Inicialmente, cada estudiante repite verbalmente
aquello que realizó en la etapa anterior y muchas veces, puede llegar y apoyarse
en alguna forma de representación escrita o se remite a una situación bien
específica. Posteriormente, traduce solamente las relaciones y trazos operantes
que premiarán todas las situaciones desarrolladas. Durante la exposición
individual es posible que los demás estudiantes detecten errores e
interpretaciones de compañeros no apropiadas. De ese modo ocurre un ambiente
de interacción salvaguardado por el profesor, que también orienta y esclarece la
acción verbal.
Galperin (1957) esclarece que esa etapa tiene como característica la ocurrencia
de tres cambios esenciales. La primera por el hecho de la acción no se estructura
como un reflejo de aquello que sea realizado materialmente, como acción
comunicativa propia y como tal, tiene subordinación las exigencias de
comprensión y sentido específico a otras personas y, por extensión, como
68
fenómeno social.
La segunda es respecto a la constitución del concepto con base en la acción, lo
que excluye la limitación de la acción con objetos o simplemente visual. Como
dice Galperin (1957), es más difícil para un niño contar 100 que 3 objetos, sin
embargo la misma relación de dificultad no puede ser establecida entre ambos
conceptos. La acción expresada en el lenguaje adquiere otra naturaleza, por lo
que adopta nuevas posibilidades.
El tercer cambio se da por el hecho de que la asimilación verbal se somete a
consecutivas reducciones y se trasforma en síntesis, esto es “acción por formula”.
Esta acción solo es atribuida si fuera bien enseñada, haciendo que el contenido
de la acción materializada logre concienciarse si no ejecutarla. Para llegar a tal
nivel no es necesario que los estudiantes repitan en voz alta todas las situaciones
materializadas. Por ejemplo, en los experimentos de Galperin y Talyzina (1967),
de los 182 problemas propuestos a los sujetos, solamente 16 fueron resueltos
verbalmente; la solución de los demás ocurrió en silencio.
Por tanto, la etapa verbal es caracterizada por un movimiento de comunicación
que se extiende de un relato con base en la acción materializada a síntesis con
contenido eminentemente conceptual. Tal elaboración, como el propio nombre
dice, es en el plano verbal.
Etapa 5. Mental
Proponer una orientación pormenorizada para esta etapa no es tan simple, pues
depende de cómo los estudiantes desarrollaron las situaciones en las demás
etapas que la antecedieron. Por eso, atenuar en la propia literatura de Galperin y,
en la medida de lo posible, indicar procedimientos que puedan contribuir para que
los estudiantes desarrollen y expresen la acción mental referente al concepto de
función lineal.
El inicio de la etapa mental, de acuerdo con Galperin (1957), ocurre cuando la
acción verbal es abreviada y ejecutada “para sí”. De ese modo, la tarea de
comunicación cambia su trayectoria: de transmisión del pensamiento elaborado
entre los individuos pasa a ser constituida como proceso de reflexión en un
dialogar para sí. Siendo así, el pensamiento vuelve mucho más al contenido
mental del concepto que a los aspectos sonoros de la forma verbal.
Si miramos para cada una de las etapas, es posible observar que en cada una de
69
ellas ocurre un proceso de reducción. En la etapa material o materializada y su
propio contenido se reduce considerablemente en cuanto la acción verbal
conduce para una formula. Por lo que, en el plano mental disminuye el aspecto
verbal de la formula, una vez que la acción intelectual se traduce en “pensamiento
puro”, acompañado de la conciencia de su sentido.
En el transcurso de las demás etapas que la anteceden, los estudiantes crean
formas propias de desarrollo en la memoria sobre el concepto, consecuencia de la
necesidad de transferencia para los demás sistema en desarrollo. Eso ocurre
porque la idea central o general permanece en cada situación desarrollada por el
estudiante. No hay, pues, una memorización mecánica ni la misma forma
materializada. El “aprendizaje de la memoria ocurre por cuenta propia, durante el
proceso de estudio” Galperin y Talyzina, (1967: 299).
En la etapa mental, por tanto, los estudiantes traducen las relaciones entre las
magnitudes variables en objeto de investigación para establecer: 1) la ley de la
función cuando la situación presentada es respecto a un problema cotidiano, tabla
o gráfico; 2) la traducción, en gráfico o tabla, si es dada la ley en la forma
algebraica. Además, al mirar para otros componentes conceptuales, tales como:
la identificación de los diferentes dominios de la función que puede ser: restringida
a un campo numérico o tratarse de análisis de situaciones cotidianas; o
generalizable a los números reales, cuando una situación tiene como base la
definición general o su representación gráfica en el plano cartesiano. Además, el
pensamiento del estudiante se elabora de una forma tal que establece la relación
del significado de cada término del modelo general, o sea, en cuanto al valor
relativo de los coeficientes a y b de y = ax + b.
La preocupación en esa proposición de organización de la enseñanza de función
lineal prima por la traducción del movimiento de su modo general al particular,
desde la etapa de la motivación, garantizada en la estructurada en la base
orientadora de la acción y se configura en cada situación de la etapa
materializada que, por su vez, se traduce tanto en la etapa verbal como en la
mental. Al seguir tal orientación, las posibilidades de desarrollo del pensamiento
conceptual son promisorias. Por tanto, se alerta por necesidades que se
presentarán en el desarrollo de cada situación, lo que puede exigir la elaboración
de nuevos procedimientos y nuevas orientaciones por parte del profesor.
70
2.3 Pertinencia y factibilidad de la alternativa didáctica propuesta en el
décimo grado de la Escuela Joaquín Capango de la Provincia Huambo,
República de Angola
Para valorar científico y metodológicamente la alternativa didáctica que se
propone se implementó el criterio de expertos. Para ello se tomó como referencia
consideraciones de O. L. Pardo que presenta C. Córdova (2004), además de L. A.
Ramírez y A. M. Toledo (2014). Además, este método se complementó con el
procedimiento estadístico propuesto por M. Gamboa (2012) para la valoración
global de los indicadores que se propuso evaluar.
Para la aplicación de este método se siguieron las siguientes etapas:
Elaboración del objetivo
Objetivo: Evaluar la calidad de los argumentos que sustentan teóricamente la
alternativa didáctica propuesta para el desarrollo del proceso de enseñanza-
aprendizaje de las funciones lineales en la enseñanza media y su factibilidad de
aplicación práctica en el décimo grado de la escuela Joaquin Capango de
Huambo, República de Angola.
Selección de los expertos
Previamente se seleccionaron 20 posibles expertos con prestigio reconocido en la
Didáctica de la Matemática, avalados por su trayectoria científica, con
posibilidades reales de integrar el grupo con los siguientes criterios: competencia,
capacidad de análisis y efectividad de su actividad profesional. A cada uno de
ellos se invitó formalmente a integrarse al grupo de expertos a través de una carta
(Anexo 10), para considerar además su conformidad y disposición de valorar la
investigación.
Aceptaron la invitación 18 potenciales expertos con amplia disposición de
colaborar. Para determinar su coeficiente de competencia sirvió de apoyatura su
propia autovaloración (Anexo 10) sobre la base de su actividad fructífera, la
profundidad de sus conocimientos sobre los logros de la ciencia y la técnica en el
mundo, la comprensión del problema científico que planteamos y las perspectivas
de su desarrollo.
Finalmente se escogieron 13 expertos, quienes obtuvieron una categoría de alto o
medio coeficiente de competencia (Anexo 10). Entre ellos, el 15% posee el grado
científico de Doctor (profesores cubanos), el 54 % tienen categoría de Master (de
71
ellos 4 son profesores cubanos y 3 angolanos) y el 31% no presentan categoría
científica, el 15% posee categoría de Profesor titular y el 31% son profesores
Auxiliares y el 54% son asistentes; 6 expertos son profesores cubanos con vasta
experiencia en la impartición de las matemáticas, el resto son profesores
angolanos que trabajan en la enseñanza media y media superior, de ellos 1
imparte docencia en la escuela Joaquin Capango de Huambo, y 2 en la Escuela
Formadora de Maestros de la Provincia Huambo, Republica de Angola. Se verificó
que estuvieran representados, en la selección, profesores y directivos tanto de la
enseñanza media como de la formación de profesores para ese nivel.
Elección de la metodología
Fue elegida la metodología de la comparación por pares por su utilidad para
establecer la importancia de una serie de criterios como los que se presentan, en
los que es impracticable proporcionar estimaciones por ranking directo.
Ejecución de la metodología
Se entregó por escrito a los expertos una tabla con los aspectos que debían
evaluar a partir de indicadores que permitieron cumplir el objetivo de la consulta
(Anexo 10). Se les dio la orientación de clasificar dichos indicadores en
correspondencia con una escala de cinco categorías, además de argumentar
sintéticamente cada una de las que asignarían. Se les proporcionó, asimismo, una
copia de la alternativa didáctica resultado de la investigación de forma que
permitiera aumentar la calidad y confiabilidad de la evaluación, familiarizándolos
con la información más amplia posible sobre los resultados que evaluarían.
Procesamiento de la información
En el anexo 10 se muestra cómo se procedió hasta obtener los resultados que
revelan la categoría para cada uno de los indicadores que se propuso y la
valoración global de los mismos. El resumen se presenta en la siguiente tabla:
Indicadores 1 2 3 4 5 total Categoría Global
1 5 3 3 1 1 13 Muy adecuado
Muy
adecuado
2 3 4 2 3 1 13 Muy adecuado
3 4 4 2 1 2 13 Muy adecuado
4 4 4 2 2 1 13 Muy adecuado
5 5 4 2 1 1 13 Muy adecuado
72
Como se observa en la tabla, los resultados por categorías según la prueba de
concordancia, los expertos coinciden en considerar muy adecuada la pertinencia y
factibilidad de aplicación de la alternativa didáctica. También se realizó un estudio
de las respuestas de los expertos, lo que respaldó las decisiones para
perfeccionar o remodelar la propuesta antes de introducirla en la práctica escolar.
Entre las principales valoraciones emitidas se encuentran las siguientes:
En cuanto a la valoración general que merece la alternativa, a partir de las
acciones mentales de la teoría de Galperin, para el aprendizaje del concepto
funciones lineales que se propone, consideran que es muy adecuada y
necesaria, para potenciar la elaboración de este concepto contribuyendo de
esta manera al aprendizaje de los estudiantes en este nivel de enseñanza.
Se considera que es muy adecuada y pertinente la necesidad de ofrecer
solución a la situación confrontada por los estudiantes de 10mo grado de la
Escuela Joaquín Capango de la Provincia Huambo, República de Angola en el
objeto de la investigación y que esta requiere ser solucionada y aportaría
elementos de valoración en el desarrollo del proceso de enseñanza-
aprendizaje de estos estudiantes como un reforzamiento en la formación
didáctica y educativa de los estudiantes en este centro de estudios.
Coinciden en muy adecuada las opiniones acerca del enfoque sistémico que se
establece a partir de la teoría de acciones mentales de Galperin tratada para
conformar la alternativa didáctica y la presentación de las situaciones en cada
una de las etapas que se presentan en la alternativa ya que puede contribuir a
concebir una proyección más acertada de la elaboración de este concepto
considerado de suma importancia en el estudio de las matemáticas.
Plantean considerar de muy adecuada las relaciones entre las fases por las
cuales está constituida la alternativa por la relación que guardan con la
temática abordada y de esta forma contribuirán al desarrollo de habilidades en
los estudiantes basados en los presupuestos teóricos que se describen.
Coinciden en que las etapas desarrolladas en la fase de ejecución son
consecuentes con la teoría de Galperin teniendo en cuenta los ejemplos
desarrollados para obtener el concepto de función lineal y reconocen la
factibilidad de las orientaciones propuestas en cada una de las situaciones.
6 6 4 1 1 1 13 Muy adecuado
73
Además, consideran que ello contribuirá a potenciar el estudio individual por
parte de los estudiantes en la temática.
Coinciden en las opiniones que es posible contribuir a una mejor comprensión
por parte de los estudiantes a partir de la utilización de la alternativa didáctica
propuesta del concepto de función lineal debido al lenguaje claro y preciso de
la teoría y los ejercicios resueltos y propuestos que en ella están concebidos.
En síntesis, los expertos que fueron consultados valoraron de muy adecuados los
argumentos que sustentan teóricamente la alternativa didáctica propuesta para el
desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje de las funciones lineales en la
enseñanza media y su factibilidad de aplicación práctica en el décimo grado de la
escuela Joaquin Capango de Huambo, República de Angola.
Conclusiones del capítulo
La implementación de las acciones mentales de la teoría de Galperin es una
alternativa didáctica pertinente y factible para el desarrollo del proceso de
enseñanza-aprendizaje de las funciones lineales en la enseñanza media. Con ello
se incrementa el dominio de este contenido por parte de los estudiantes del
décimo grado de la escuela Joaquin Capango de Huambo, Angola. Al mismo
tiempo, esto permite elevar la seguridad en la actuación, la participación activa y
consciente en el proceso didáctico, la motivación de los protagonistas y su
preparación para vivir exitosamente.
CONCLUSIONES GENERALES
Los estudiantes de la enseñanza media en Angola, junto a los demás
involucrados en el proceso didáctico de la Matemática de este nivel, necesitan un
salto cualitativo en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las funciones lineales
como parte de esta asignatura. Para ello es preciso acudir a elementos teóricos
generales respecto a las acciones mentales de la teoría de Galperin. Esto permite
optimizar esta actividad con el desarrollo de un nuevo tramado de relaciones,
orientado al proceso de conversión gradual de acciones externas a acciones
intelectuales internas, en función de las condiciones en que se desarrolla dicho
proceso.
Las acciones mentales de la teoría de Galperin posibilitan la integración de lo
instructivo, educativo y desarrollador en el proceso de enseñanza-aprendizaje de
las funciones lineales en la enseñanza media, a partir de la organización
74
coherente del proceso didáctico de la Matemática en función de los resultados del
diagnóstico pedagógico integral.
La alternativa didáctica propuesta, que tiene como base estas acciones,
promueve clases en las que los estudiantes ofrecen y reciben ayudas entre ellos,
en función de sus diferentes zonas de desarrollo próximo. Esto se logra a partir de
una planificación que contempla también la esfera inductora de la personalidad de
los estudiantes que participan, en un proceso de colaboración que involucra sus
particularidades.
Esta realidad contribuye a que los estudiantes de la Escuela Joaquin Capango de
la Provincia Huambo, República de Angola, dominen el contenido de funciones
lineales del décimo grado de la asignatura Matemática. Esto corrobora la principal
idea que se defiende en esta investigación.
RECOMENDACIONES
Perfeccionar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las funciones lineales
en la asignatura de Matemática de la enseñanza media en Angola, a partir de
considerar la incorporación de las nuevas tecnologías de información y la
comunicación en la implementación de situaciones dirigidas a la actualización
didáctica que se necesita para desarrollar clases contemporáneas, en un
proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática acorde con el desarrollo
tecnológico actual. Esto para buscar la completitud y ampliación de las ideas
que se presentaron en esta investigación.
Introducir los resultados obtenidos en la formación inicial de profesores de
Matemática. Con esto se crearían condiciones necesarias, luego de
profundizar en fundamentos desde las ciencias de la Educación, para
introducir los mismos en la práctica de este y otros niveles de enseñanza.
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