alte klausuren zur vorlesung diskrete modellierung · 2020. 9. 22. · name, vorname:...

1 BeispielklausurenDie Modulabschlussprüfung Diskrete Modellierung findet in Form einer 120 minütigen Klausurstatt. Die Erstklausur findet am 23.02.2017 um 9:00 s.t. und die Zweitklausur am 06.04.2017ebenfalls um 9:00 s.t. statt.

Details zum Ablauf der Klausur:• Grundsätzlich gelten die in der Ordnung Ihres Studiengangs festgelegten Regelungen. Dieses

hier sind nur ergänzende Hinweise.

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• Schreibpapier wird von uns bereitgestellt.

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• Jedes(!) Blatt der abgegebenen Lösung muss mit Namen, Vornamen und Matrikelnummergekennzeichnet sein.

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Durch die in den Übungen gesammelten Punkte kann ein Bonus für die Klausur erworbenwerden. Zur Benotung wird die Summe aus dem Klausurergebnis und der Bonuspunkte verwendet.Die Klausur ist bestanden, wenn mit dem Bonus mindestens 50% der in der Klausur erzielbarenPunkte erreicht werden.Nachfolgend finden Sie die Aufgaben der Klausuren aus den Wintersemestern 2014/15 und

2015/16 sowie den Sommersemestern 2015 und 2016.

1

Inhaltsverzeichnis

1 Beispielklausuren 11.1 Erstklausur WS 15/16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Zweitklausur SS 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Erstklausur WS 14/15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4 Zweitklausur SS 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2

1.1 Erstklausur WS 15/16

Name, Vorname: Matrikelnummer:

Aufgabe 1: Aussagenlogik

(a) [8 Pkte]Es werden drei Wetten abgeschlossen, wobei wie üblich eine Wette entweder gewinnt oderverliert. Die folgenden Eigenschaften sind bekannt:

Eigenschaft 1: Wenn die erste Wette gewinnt, dann verliert die zweite Wette.Eigenschaft 2: Die zweite Wette gewinnt genau dann, wenn die dritte Wette verliert.Eigenschaft 3: Die erste Wette oder die dritte Wette verliert.

Formalisieren Sie die drei Aussagen durch je eine aussagenlogische Formel, indem Sie dieatomaren Aussagen E (die erste Wette gewinnt), Z (die zweite Wette gewinnt) und D (diedritte Wette gewinnt) benutzen.

ϕEigenschaft 1 :=

ϕEigenschaft 2 :=

ϕEigenschaft 3 :=

Nehmen Sie an, dass alle drei Eigenschaften zutreffen. Ist es möglich, dass die erste Wettegewinnt? Beweisen Sie Ihre Antwort, z.B. mithilfe einer Wahrheitstafel.

Sie können die folgende Vorlage für Ihre Wahrheitstafel verwenden:E Z D ϕEigenschaft 1 ϕEigenschaft 2 ϕEigenschaft 30 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

– Seite 3 von 16 –

(b) [10 Pkte](i) (4 Pkte)Geben Sie an, ob die aussagenlogische Formel

ϕ :=((X1 ⊕X2)→ (X1 ↔ X2)

)

erfüllbar und/oder falsifizierbar ist.

Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.

ϕ ist erfüllbar: ja nein

ϕ ist falsifizierbar: ja nein

Falls ϕ erfüllbar ist, geben Sie eine Belegung an, die ϕ erfüllt:

Falls ϕ falsifizierbar ist, geben Sie eine Belegung an, die ϕ falsifiziert:

(ii) (6 Pkte)Gelten die folgenden semantischen Äquivalenzen (≡) für beliebige aussagenlogische For-meln ϕ, ψ und χ?Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie zwei Punk-te, für jedes falsche Kreuz werden zwei Punkte abgezogen; wird keine Option an-gekreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl für Teilaufgabe (ii) ist abermindestens 0.

(ϕ ∨ (ψ ∧ χ)

)≡

((ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ χ)

)wahr falsch

((ϕ→ ψ)→ χ

)≡

(ϕ→ (ψ → χ)

)wahr falsch

(ϕ ∨ (ϕ→ ψ)

)≡ 1 wahr falsch



(c) [6 Pkte]Geben Sie eine zur Formel

ψ :=(

(X1 → X2) ∧ (X2 → X3) ∧ (X3 → X1))

äquivalente Formel ψ′ in disjunktiver Normalform (DNF) an.(Wenn Sie Ihren Lösungsweg angeben, können Sie Teilpunkte auch bei falscher Lösung erhalten.)


Aufgabe 2: Graphen und Bäume

(a) [7 Pkte]Sei G = (V,E) der ungerichtete Graph mit Knotenmenge V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und Kanten-menge E =

{{1, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 5}, {4, 6}, {5, 6}

}.

(i) (1 Pkt)Geben Sie G in graphischer Darstellung an.

1

2 3

4

56

(ii) (1 Pkt)Geben Sie alle Knoten vom Grad 3 an.

(iii) (2 Pkte)Geben Sie ein möglichst großes Matching M in G an.

M ={

(iv) (3 Pkte)Betrachten Sie die folgenden Graphen G1 = (V1, E1) und G2 = (V2, E2):

a

b

c

d

e

G1

a

b

c

d

e

G2

Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?

Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz bekommen Sie einenPunkt, für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Option ange-kreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

• G1 ist stark zusammenhängend. wahr falsch

• G1 und G2 sind isomorph. wahr falsch

• Es gibt eine surjektive Funktion m : V2 → {1, 2, 3, 4}. wahr falsch



(b) [7 Pkte]Auf der Suche nach Luke Skywalker fliegen Rey und Finn quer durch die Galaxis. Da sie sichvor den Truppen des Imperiums verstecken müssen, benutzen Sie nur die folgenden sicherenRouten, wobei jede sichere Route eine Direktverbindung zwischen zwei Planeten darstellt:• Die Planeten Tatooine, Utapau und Dagobah sind jeweils durch eine sichere Routemiteinander verbunden.• Zwischen Coruscant und Tatooine gibt es eine sichere Route.• Ahch-To ist ausschließlich mit Jakku durch eine sichere Route verbunden.• Jakku ist mit allen anderen Planeten außerDagobah durch eine sichere Route verbunden.

(i) (2 Pkte)Modellieren Sie die sicheren Routen durch einen ungerichteten Graphen G = (V,E).

Jakku

Coruscant Ahch-To

Utapau Dagobah

Tatooine

(ii) (2 Pkte)Welches graphentheoretische Problem in G müssen Rey und Finn lösen, wenn sie jedenPlaneten genau einmal besuchen möchten und der Startplanet frei wählbar ist?

(iii) (3 Pkte)Können Rey und Finn dieses Problem lösen, wenn sie auf Jakku beginnen? Begründen SieIhre Antwort.

ja neinBegründung:


(c) [10 Pkte](i) Sei Cn = (V,E) der Kreis-Graph mit n ≥ 3 Knoten, d. h.V = {1, 2, . . . , n} und E = {{1, 2}, {2, 3}, . . . , {n−1, n}, {n, 1}}.Ist die folgende Aussage wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 Pkte)Wenn n gerade ist, dann ist Cn ist bipartit.

wahr falschBegründung:

(ii) (7 Pkte)Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach der Anzahl n der Knoten:Sei k ∈ N>0. Jeder ungerichtete Graph G = (V,E) mit n := |V | ≥ 1 und Grad(G) ≤ kkann mit k + 1 Farben konfliktfrei gefärbt werden, d. h. χ(G) ≤ k + 1.Zur Erinnerung: Grad(G) := max{GradG(v) : v ∈ V }



Aufgabe 3: Markov-Ketten

(a) [8 Pkte]Im Computerspiel World of Markov (WoM) müssen Sie drei Welten W1,W2 und W3 nachein-ander retten, d. h. Sie retten erstW1, dannW2 und schließlichW3. Gelingt Ihnen die Rettungaller drei Welten, so ruhen Sie sich danach für immer in Ihrem Helden-Status H aus. GelingtIhnen die Rettung der Welt Wi nicht (i ∈ {1, 2, 3}), müssen Sie das Spiel von vorne beginnen(und W1 retten, danach W2, usw.).Nach Aussage der Entwickler von WoM kann W1 mit der Wahrscheinlichkeit 34 gerettetwerden. Die Rettung von W2 ist nur in 13 der Fälle erfolgreich. Die Welt W3 wird lediglichmit Wahrscheinlichkeit 110 gerettet.(i) (6 Pkte)Modellieren Sie WoM durch eine Markov-Kette (G,P ). Geben Sie den Graphen G in

graphischer Darstellung an und beschriften Sie die Kanten mit den Übergangswahrschein-lichkeiten. (Sie müssen die Übergangsmatrix P nicht angeben.)

W1 W2 W3 H

(ii) (2 Pkte)Besitzt (G,P ) eine stationäre Verteilung σ = (σ1, σ2, σ3, σh)? Falls ja, geben Sie σ an.

ja nein

σ =(


(b) [4 Pkte]Betrachten Sie folgende Graphen G1 und G2:

1

2

3

4

5

6

G1

1 2

3

4

5

6

G2

Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie einen Punkt,für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Option angekreuzt, erhal-ten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

G1 ist aperiodisch. ja nein

G1 ist irreduzibel. ja nein



(c) [4 Pkte]Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie einen Punkt,für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Option angekreuzt, erhal-ten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

SeiM = (G,P ) eine ergodische Markov-Kette. Dann gilt immer . . .

G ist irreduzibel. ja nein

G besitzt mindestens eine Eigenschleife. ja nein

M besitzt genau eine Grenzverteilung. ja nein

Die Gleichverteilung ist eine stationäre Verteilung vonM. ja nein



Aufgabe 4: Endliche Automaten und reguläre Sprachen

(a) [9 Pkte]Sei Σ := {a, b}. Die Sprache L ⊆ Σ∗ sei wie folgt definiert:

L := {w ∈ Σ∗ : |w| ≥ 3 und w endet auf aab}

(i) Geben Sie einen regulären Ausdruck R an, sodass L(R) = L. (3 Pkte)

(ii) Konstruieren Sie einen DFA D mit genau vier Zuständen für L. (6 Pkte)

(b) [4 Pkte]Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie einen Punkt,für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Option angekreuzt, erhal-ten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

Eine Sprache L ist genau dann regulär, wenn sie nur endlich viele Wörter enthält. ja nein

Für jeden DFA D gibt es einen NFA N mit L(N) = L(D). ja nein

Für jeden NFA N gibt es einen DFA D mit L(D) = L(N). ja nein

Für zwei reguläre Ausdrücke R1, R2 gilt immer L((R∗1|R∗2)

)= L

((R1|R2)∗

). ja nein


(c) [10 Pkte](i) Der folgende DFA A1 über dem Alphabet Σ={a, b, c} sei gegeben:

q1 q2

q4 q3

ba, c

a b

c

b

a, c

a, b, c

(3 Pkte)Geben Sie jeweils einen Zeugen für folgende Inäquivalenzen bezüglich der Verschmelzungs-relation an.

Zeuge für q1 6≡A1 q2:Zeuge für q1 6≡A1 q3:Zeuge für q1 6≡A1 q4:

(ii) Der folgende DFA Automat A2 über dem Alphabet Σ = {d, e} sei gegeben:

1 2 3 4 5

d

ee

d

e

d e

d

e

d

Bestimmen (7 Pkte)Sie den Äquivalenzklassenautomaten A′2 für A2. Geben Sie A′2 in graphischerDarstellung an.(Wenn sie Zwischenschritte angeben, können Sie auch bei falscher Lösung Teilpunkte erhalten.)

(Sie können folgende Vorlage verwenden.)2345

1 2 3 4

Äquivalenzklassenautomat A′2:



(d) [7 Pkte]Bestimmen Sie, ob die folgende Sprache regulär ist, und beweisen Sie Ihre Antwort.

L := {anbam : n,m ∈ N, n ≤ m}

regulär: ja nein

Beweis:


Aufgabe 5: Kontextfreie Grammatiken

[6 Pkte]Sei Σ = {a, c, g, t}. Die Sprache HN ⊆ Σ∗ (eine vereinfachte Form der Sprache aller DNA-Stränge,die eine Haarnadelschleife bilden) sei wie folgt definiert:

Basisregel: Es gilt: a, c, g, t ∈ HN.Rekursive Regel: Ist w ∈ HN, so sind auch awt, twa, cwg, gwc ∈ HN.

Beispielsweise gehört das Wort ggc zur Sprache HN, ebenso wie tcactga.

(i) (4 Pkte)Geben Sie eine kontextfreie Grammatik G = (Σ, V, S, P ) an, sodass L(G) = HN ist.

G = (Σ, V, S, P )

V ={

P ={

(ii) (2 Pkte)Geben Sie einen Ableitungsbaum des Wortes tcactga an.


1.2 Zweitklausur SS 16


Aufgabe 1: Aussagenlogik

(a) [8 Pkte]Dirk möchte sich einen ModDog mit Bockwurst, Ketchup und/oder Mayonnaise nach denfolgenden Vorgaben zusammenstellen.Vorgabe 1: Ketchup und Mayonnaise zusammen auf einem Brötchen geht gar nicht, aber

eines von beiden ist unbedingt erforderlich.Vorgabe 2: Nur wenn kein Ketchup dazukommt, legt er die Bockwurst auf das Brötchen.Vorgabe 3: Keinesfalls darf Bockwurst zusammen mit Mayonnaise auf den ModDog.Formalisieren Sie die drei Vorgaben durch je eine aussagenlogische Formel, indem Sie die ato-maren Aussagen K (Ketchup kommt aufs Brötchen), M (Mayonnaise kommt aufs Brötchen)und B (Bockwurst kommt aufs Brötchen) benutzen.

ϕVorgabe 1 :=

ϕVorgabe 2 :=

ϕVorgabe 3 :=

Geben Sie alle Kombinationen aus Bockwurst, Ketchup und Mayonnaise an, die alle dreiVorgaben erfüllen. Beweisen Sie Ihre Antwort, z.B. mithilfe einer Wahrheitstafel.

Sie können die folgende Vorlage für Ihre Wahrheitstafel verwenden:B K M ϕVorgabe 1 ϕVorgabe 2 ϕVorgabe 30 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1


(b) [10 Pkte](i) (4 Pkte)Geben Sie an, ob die aussagenlogische Formel

ϕ :=((X1 ∨X2)↔ (X1 ⊕X2)

)

erfüllbar und/oder falsifizierbar ist.

Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.

ϕ ist erfüllbar: ja nein

ϕ ist falsifizierbar: ja nein

Falls ϕ erfüllbar ist, geben Sie eine Belegung an, die ϕ erfüllt:

Falls ϕ falsifzierbar ist, geben Sie eine Belegung an, die ϕ falsifiziert:

(ii) (6 Pkte)Gelten die folgenden semantischen Folgerungen (|=) für beliebige aussagenlogische Formelnϕ, ψ und χ?Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie zwei Punk-te, für jedes falsche Kreuz werden zwei Punkte abgezogen; wird keine Option ange-kreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl für diese Teilaufgabe ist abermindestens 0.

(¬ϕ→ ¬ψ

)|=

(ψ → ϕ

)wahr falsch

(ϕ ∧ (ϕ→ ψ)

)|= ψ wahr falsch

(ϕ ∧ ¬ϕ

)|=

(ϕ ∨ ¬ϕ

)wahr falsch



(c) [5 Pkte]Geben Sie eine zur Formel

ϕ :=((X1 ⊕X2) ∧ (X2 ⊕X3)

)

äquivalente Formel ϕ′ in disjunktiver Normalform (DNF) an.(Wenn Sie Ihren Lösungsweg angeben, können Sie Teilpunkte auch bei falscher Lösung erhalten.)


Aufgabe 2: Graphen(a) [9 Pkte]Sei G = (V,E) der gerichtete Graph mit Knotenmenge V = {a, b, c, d, e, f} und Kantenmenge

E ={(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e, b), (f, d), (f, f)

}.

(i) (1 Pkt)Geben Sie G in graphischer Darstellung an.

a

b c

d

ef

(ii) (1 Pkt)Geben Sie den Aus-Grad von Knoten f in G an.

Aus-GradG(f) =

(iii) (1 Pkt)Geben Sie einen möglichst langen einfachen Weg in G an.

(iv) (2 Pkte)Ist G stark zusammenhängend? Begründen Sie Ihre Antwort.

ja neinBegründung:

(v) Betrachten Sie die folgenden Graphen G1, G2 und G3:

0

2

4

1

3

5

G1

a

b c d e

G2

1

23

45

G3

Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. (4 Pkte)Für jedes korrekte Kreuz bekommen Sie einenPunkt, für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Option ange-kreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

• Alle Knoten in G1 haben denselben Ein-Grad. wahr falsch• G2 ist bipartit. wahr falsch• G3 ist planar. wahr falsch• G2 und G3 sind isomorph. wahr falsch



(b) [6 Pkte]Die Wikingerinnen Elenor, Fryda, Gunhilda, Helga, Ingvild und Jördis wollen mit ihremDrachenboot nach Grönland rudern. Um das Boot schnell und sicher fortzubewegen, muss injeder Sitzreihe des Bootes ein kompatibles Wikingerinnen-Paar rudern, d. h. eine Wikingerinsitzt am linken und eine am rechten Ruder der jeweiligen Sitzreihe. Leider ist nicht jedeWikingerin mit jeder anderen kompatibel:• Elenor kann nur zusammen mit Helga oder Gunhilda rudern.• Helga kann mit allen außer Ingvild und Fryda rudern.• Fryda und Ingvild sind ein kompatibles Paar, ebenso wie Fryda und Jördis.

(i) (2 Pkte)Modellieren Sie alle Kompatibilitäten durch einen ungerichteten Graphen G.

G : Jördis Elenor

FrydaIngvild

Helga Gunhilda

(ii) (2 Pkte)Welches graphentheoretische Problem in G muss gelöst werden, damit jede Frau einekompatible Ruder-Partnerin hat?

(iii) (2 Pkte)Geben Sie an, welche Wikingerinnen-Paare gemeinsam rudern sollten, damit die Fahrtnach Grönland schnell und sicher gelingt.


(c) [8 Pkte](i) (4 Pkte)Bestimmen Sie für den folgenden Graphen G = (V,E) eine Färbung f mit möglichst

wenigen Farben. Tragen Sie die Farben direkt in die Knoten ein.

Begründen Sie, warum G nicht mit weniger Farben färbbär ist:

Bestimmen Sie die chromatische Zahl von G.

χ(G) =

(ii) (4 Pkte)Ist die folgende Aussage wahr oder falsch? Beweisen Sie Ihre Antwort.Seien u und v zwei verschiedene Knoten in einem ungerichteten Baum.Dann haben u und v höchstens einen gemeinsamen Nachbarn.

wahr falsch

Beweis:



Aufgabe 3: Markov-Ketten(a) [6 Pkte]Der Versandhändler Amarkov wertet das Kaufverhalten seiner Kunden aus. Hierfür werden

exemplarisch drei Produkte x1, x2 und x3 untersucht. Aus den Statistiken lässt sich diefolgende Beobachtung ableiten:Kauft ein Kunde das Produkt xi (i ∈ {1, 2, 3}), so wird es mit der Wahrscheinlichkeit 1i beimnächsten Mal wieder gekauft. Andernfalls wählt der Kunde beim nächsten Einkauf zufälligeines der anderen beiden Produkte mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit.(i) (4 Pkte)Modellieren Sie das Kaufverhalten der Kunden durch eine Markov-Kette (G,P ). Geben

Sie den Graphen G in graphischer Darstellung an und beschriften Sie die Kanten mit denÜbergangswahrscheinlichkeiten. (Sie müssen die Übergangsmatrix P nicht angeben.)

x1

x2 x3

(ii) (2 Pkte)Besitzt (G,P ) eine stationäre Verteilung σ? Falls ja, geben Sie σ an.

ja nein

σ =(

(b) [4 Pkte]Betrachten Sie folgende Graphen G1 und G2:

1

2 3

4

56

G1

1

2

3

45

6

G2

Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie einen Punkt,für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Option angekreuzt, erhal-ten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.






(c) [10 Pkte]Betrachten Sie die folgende Markov-Kette.

1 21/4

1/23/41/2

(i) (2 Pkte)Stellen Sie die Übergangsmatrix P auf.

P =

(ii) (6 Pkte)Ein Zufallssurfer beginne eine Irrfahrt in Zustand 2. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion,dass für alle k ∈ N gilt:Der Surfer besitzt nach k Schritten die Verteilung X(k) =

(13(1− 4−k), 13

(2 + 4−k

)).

(iii) (2 Pkte)Bestimmen Sie die Grenzverteilung der Kette.(Sie dürfen Teil (ii) auch dann verwenden, wenn Sie ihn nicht gelöst haben.)



Aufgabe 4: Endliche Automaten und reguläre Sprachen

(a) [7 Pkte]Sei Σ := {a, b}. Die Sprache L ⊆ Σ∗ sei wie folgt definiert:

L := {w ∈ Σ∗ : |w| ≥ 2 und der vorletzte Buchstabe von w ist ein b. }

(i) Geben Sie einen regulären Ausdruck R an, so dass L(R) = L. (2 Pkte)

(ii) Konstruieren Sie einen DFA D mit genau vier Zuständen für L. (5 Pkte)

(b) [4 Pkte]Sei N der folgende NFA über dem Alphabet Σ := {a, b}:

1 2 3

4 5 6

a, b

a

b

a

b

a a

Welche der folgenden Worte liegen in der von N akzeptierten Sprache L(N), welche nicht?Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie einen Punkt,für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Option angekreuzt, erhal-ten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

Wort . . . liegt in L(N)?aab ja nein

baba ja nein

abaaa ja nein

abaaab ja nein


(c) [10 Pkte](i) Der folgende DFA A über dem Alphabet Σ = {a, b} sei gegeben:

1 2

345

b

a

b ab

a

a

b

b

a

Bestimmen Sie den Äquivalenzklassenautomaten (7 Pkte)A′ für A. Geben Sie A′ in graphischerDarstellung an.(Wenn Sie Zwischenschritte angeben, können Sie auch bei falscher Lösung Teilpunkte erhalten.)

(Sie können folgende Vorlage verwenden.)

2345

1 2 3 4

Äquivalenzklassenautomat A′:

(ii) (3 Pkte)Genau eine der folgenden Antworten ist richtig. Kreuzen Sie die richtige Antwort an.Sei D ein DFA mit Zustandsmenge Q und es gelte L = L(D). Dann gilt immer . . .

|Q| < Index(L)

|Q| ≥ Index(L)

|Q| = Index(L)

keine der obigen Antworten



(d) [7 Pkte]Bestimmen Sie, ob die folgende Sprache regulär ist, und beweisen Sie Ihre Antwort.

L := {an b2n : n ∈ N}

regulär: ja nein

Beweis:


Aufgabe 5: Kontextfreie Grammatiken[6 Pkte]Sei Σ = { if b then , else , a }, es stehen also die drei Buchstaben

• if b then• else• a

zur Verfügung. Interpretiere dabei b als Abkürzung für „Bedingung“ und a als Abkürzung für„Anweisung“.Die Sprache IF ⊆ Σ∗ aller wohlgeformten if-then-else-Anweisungen ist wie folgt definiert:

Basisregel: Es gilt: a ∈ IF.Rekursive Regel: Sind u, v ∈ IF, so ist auch if b then u ∈ IF und if b then u else v ∈ IF.

So gehört z.B. das Wort if b then a else a zur Sprache IF.

(i) (4 Pkte)Geben Sie eine kontextfreie Grammatik G = (Σ, V, S, P ) an, so dass L(G) = IF ist.

G = (Σ, V, S, P )

V ={

P ={

(ii) (2 Pkte)Geben Sie einen Ableitungsbaum fürw := if b then a else if b then a else if b then a

an.


1.3 Erstklausur WS 14/15


Aufgabe 1: (24 Punkte)

(a) (8 Pkte)Mary Modder besucht die Zauberschule Modwarts. Im Unterrichtsfach Zaubertränke muss sieeinen Konzentrationstrank zubereiten. Dazu muss sie entscheiden, welche der drei möglichenZutaten Fliegenpilze, Krötenaugen und Spinnenbeine sie verwendet (oder nicht verwendet).Laut Rezeptbuch muss sie die drei folgenden Anweisungen beachten:Anweisung 1: Mindestens eine der drei Zutaten Fliegenpilze, Krötenaugen und Spinnen-

beine muss verwendet werden.Anweisung 2: Wenn Fliegenpilze verwendet werden, darf keine der anderen beiden Zutaten

verwendet werden.Anweisung 3: Werden keine Fliegenpilze und keine Spinnenbeine verwendet, so dürfen auch

keine Krötenaugen verwendet werden.Formalisieren Sie die drei Aussagen durch je eine aussagenlogische Formel, indem Sie dieatomaren Aussagen F (Fliegenpilze werden verwendet), K (Krötenaugen werden verwendet)und S (Spinnenbeine werden verwendet) benutzen.

ϕAnweisung 1 :=

ϕAnweisung 2 :=

ϕAnweisung 3 :=

Nach etwas Überlegen hat Mary den Verdacht, dass diese Anweisungen kein eindeutigesRezept ergeben. Gibt es mehr als eine Möglichkeit, unter den drei Zutaten eine Auswahl zutreffen, so dass alle drei Anweisungen erfüllt sind? Beweisen Sie Ihre Antwort.

Sie können die folgende Vorlage für Ihre Wahrheitstafel verwenden:F S K ϕAnweisung 1 ϕAnweisung 2 ϕAnweisung 3

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1


(b) (6 Pkte)Geben Sie zu jeder der folgenden aussagenlogischen Formeln an, ob sie erfüllbar und/oderallgemeingültig ist. Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.Wenn Sie „erfüllbar“ ankreuzen, dann müssen Sie eine Belegung angeben, die die Formelerfüllt. Falls Sie „allgemeingültig“ ankreuzen, müssen Sie Ihre Antwort beweisen und an-sonsten eine Belegung angeben, die die Formel nicht erfüllt.

• ϕ =((¬X1 ∨X2)↔ (X1 → X2)

)

erfüllbar: ja nein

allgemeingültig: ja nein

Falls ϕ erfüllbar ist, geben Sie hier eine zu ϕ passende Belegung an, die ϕ erfüllt:

Falls ϕ allgemeingültig ist, beweisen Sie Ihre Antwort; andernfalls geben Sie eine zu ϕpassende Belegung an, die ϕ nicht erfüllt:

• ψ =((X1 ∨ (X1 ∧X2))↔ X1

)

erfüllbar: ja nein

allgemeingültig: ja nein

Falls ψ erfüllbar ist, geben Sie hier eine zu ψ passende Belegung an, die ψ erfüllt:

Falls ψ allgemeingültig ist, beweisen Sie Ihre Antwort; andernfalls geben Sie eine zu ψpassende Belegung an, die ψ nicht erfüllt:



(c) (6 Pkte)Seien ϕ, ψ und χ beliebige aussagenlogische Formeln. Gelten folgende (semantische) Äquiva-lenzen (≡)?Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie zwei Punkte,für jedes falsche Kreuz werden zwei Punkte abgezogen; wird keine Option angekreuzt,erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl für diese Aufgabe ist aber mindestens 0.

(ϕ→ ψ) ≡ (¬ψ → ¬ϕ) wahr falsch

((ϕ ∧ ψ)→ χ) ≡ (¬χ→ (¬ϕ ∨ ¬ψ)) wahr falsch

(ϕ→ ψ) ≡ (ϕ ∧ ¬ψ) wahr falsch

(d) (4 Pkte)Geben Sie eine zur Formel

ϕ :=(X3 ∧

((¬X1 ∨X2) ∧ (X1 ∨ ¬X2)

))

äquivalente Formel in disjunktiver Normalform an. Geben Sie auch Ihren Lösungsweg an.(Ihr Lösungsweg ist nur dann relevant, wenn Ihre Formel falsch ist; Sie können dann Teilpunkteerhalten. Für die richtige Formel erhalten Sie stets die volle Punktzahl.)



(a) Sei G = (V,E) der gerichtete Graph mit Knotenmenge V = {a, b, c, d, e} und KantenmengeE =

{(a, a), (a, b), (b, b), (b, c), (b, e), (c, d), (d, e), (e, b)

}.

(i) (1 Pkt)Geben Sie die graphische Darstellung von G an.

Graphische Darstellung:

a

b c

de

(ii) (1 Pkt)Geben Sie Ein-GradG(b) an.

(iii) (1 Pkt)Geben Sie einen Kreis der Länge 4 in G an.

(iv) (2 Pkte)Ist G stark zusammenhängend? Begründen Sie Ihre Antwort.



(b) Betrachten Sie die folgenden ungerichteten Graphen G1, G2 und G3:

a

b c

de

f g

h

G1

a

b

c d

e

fg

h

G2

0

1

2

345 6

78

9

G3

(i) (1 Pkt)Geben Sie ein größtmögliches Matching in G1 an:

(ii) (4 Pkte)Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz bekommen Sie einenPunkt, für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Optionangekreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

• G1 ist bipartit. wahr falsch

• G1 ist ein Teilgraph von G2. wahr falsch

• Die chromatische Zahl χ(G2) von G2 ist 3. wahr falsch


(iii) (2 Pkte)Geben Sie eine konfliktfreie Knotenfärbung f : V3 → {1, 2, 3} für die Knotenmenge V3von G3 an. Tragen Sie dazu in jeden Knoten v den Wert f(v) ein.

G3 :

(iv) (2 Pkte)Ist die folgende Aussage wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort.

Für alle n ∈ N>2 besitzt der vollständige ungerichtete Graph Kn mit Knotenmenge{1, 2, . . . , n} einen Hamiltonkreis.

wahr falsch

Begründung:


(c) Der DisMod-Supermarkt hat sein Warenangebot auf zehn Abteilungen verteilt (davon dienteine als Eingangsbereich). Der unten stehende Gebäudeplan zeigt deren Anordnung:

Eingang

Obst

Wein

Bier

Gemüse

Putzmittel

Milch

Fleisch

Chips

Käse

Dabei sind zwei angrenzende Abteilungen genau dann direkt mit einem Durchgang verbun-den, wenn auf dem Plan eine Tür eingezeichnet ist. (Beispielsweise sind die Abteilungen fürFleisch und Käse direkt verbunden, nicht aber die Abteilungen für Gemüse und Chips.)

(i) (1 Pkt)Modellieren Sie den Raumplan des Supermarktes als ungerichteten Graphen. Dabeisollen die Knoten die Abteilungen repräsentieren und genau dann durch eine Kanteverbunden sein, wenn es einen Durchgang zwischen ihnen gibt.

Eingang

Obst

Wein

Bier

Gemüse

Putzmittel

Milch

Fleisch

Chips

Käse



(ii) (1 Pkt)Für seinen Großeinkauf muss Klaus Uhr alle zehn Abteilungen aufsuchen.Dies möchte er so effizient wie möglich machen: Er plant seinen Einkauf so, dass er –beginnend im Eingangsbereich – alle Abteilungen genau einmal betritt und am Endewieder im Eingangsbereich ankommt.

Formulieren Sie Klaus’ Plan als graphentheoretische Fragestellung.

(iii) (2 Pkte)Geben Sie eine Lösung für Klaus’ Einkaufsproblem an.Sie können die Abteilungen durch ihre jeweiligen Anfangsbuchstaben abkürzen. (z.B.E für Eingang, O für Obst, etc.)

(iv) (4 Pkte)Auch Leo plant einen Einkauf und möchte nach demselben Verfahren wie Klaus vor-gehen. Allerdings benötigt Leo keinerlei Putzutensilien und möchte deshalb die Putz-mittel-Abteilung komplett auslassen.

Kann Leo den Einkauf wie gewünscht durchführen? Beweisen Sie, dass Ihre Antwortkorrekt ist.



(a) (4 Pkte)Betrachten Sie den folgenden Webgraphen

G :

1

2

3

Geben Sie die Übergangsmatrix Pd(G) für den Dämpfungsfaktor d = 1 an. (Der Zufalls-Surferdarf somit nur die Kanten des Webgraphen benutzen.)

Pd(G) :=

(b) (4 Pkte)Diesmal kennen wir weder Webgraphen noch Dämpfungsfaktor, aber wir kennen die Über-gangsmatrix P mit

P :=

12

13

16

16

12

13

13

16

12

Gegeben sei die Anfangsverteilung X(0) :=(

12 ,

12 , 0). Der Zufalls-Surfer befindet sich anfangs

also mit Wahrscheinlichkeit 12 im Knoten 1 und mit Wahrscheinlichkeit12 im Knoten 2.

Bestimmen Sie die Verteilung X(1) = (π1, π2, π3), die die Wahrscheinlichkeit πj angibt, mitder sich der Zufalls-Surfer nach einem Schritt im Knoten j befindet.

π1 =

π2 =

π3 =




(a) (3 Pkte)Sei Σ := {a, b}. Die Sprache L ⊆ Σ∗ sei wie folgt definiert:L := {w ∈ Σ∗ : w beginnt mit ab oder enthält bb als Teilwort}

Geben Sie einen regulären Ausdruck R an, so dass L(R) = L.

(b) Sei A der folgende nichtdeterministische Automat über dem Alphabet Σ := {a, b}:

q0

q1

q2

q3

a

b

a

b

a, b

a, b

a, b

(i) (4 Pkte)Welche der folgenden Worte liegen in der von A akzeptierten Sprache L(A), welchenicht? Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sieeinen Punkt, für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Optionangekreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

Wort . . . liegt in L(A)?

abba ja nein

aaab ja nein

aaq2 ja nein

aabb ja nein

(ii) (2 Pkte)Geben Sie eine (mathematische oder umgangssprachliche) Beschreibung der SpracheL(A) an, zum Beispiel in Form eines regulären Ausdrucks.


(c) (6 Pkte)Sei A der folgende nichtdeterministische Automat über dem Alphabet Σ := {a, b}:

1

2

3

a

a, b

ba, b

b

Wandeln Sie den NFA A mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion in einen vollständigenDFA A′ um. Berücksichtigen Sie nur solche Zustände von A′, die vom Startzustand von A′aus erreicht werden können, und geben Sie die graphische Darstellung von A′ an.



(d) (7 Pkte)Geben Sie für jede der folgenden beiden Sprachen an, ob sie regulär ist. Kreuzen Sie allerichtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie einen Punkt, für jedes falscheKreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Option angekreuzt, erhalten Sie keinenPunkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.Beweisen Sie, dass Ihre jeweilige Antwort korrekt ist.

L1 := {anban : n ∈ N}

regulär: ja nein

Beweis:

L2 := {w ∈ {a, b}∗ : |w| ≥ 3}

regulär: ja nein

Beweis:


(e) (i) (3 Pkte)Sei A1 der folgende deterministische Automat über dem Alphabet Σ={a, b, c}:

q2 q1

q4 q3

a, b

c a

b

c

a

bc a, b, c

Geben Sie für die Zustandspaare {q1, q4}, {q2, q4}, {q3, q4} jeweils einen Zeugen für ihreNicht-Äquivalenz bezüglich der Verschmelzungsrelation an.

Erinnerung: Ein Zeuge für die Nicht-Äquivalenz eines Zustandspaares {qi, qj} ist einWort z ∈ Σ∗, sodass δ̂(qi, z) ∈ F und δ̂(qj , z) 6∈ F (oder umgekehrt: δ̂(qi, z) 6∈ F undδ̂(qj , z) ∈ F ) gilt.

Zeuge für q1 6≡A1 q4:



(ii) (5 Pkte)Sei A2 der folgende deterministische Automat über dem Alphabet Σ={a, b, c}:

2

3

4

1

a

b

c a

bc

a

b

c

a

b

c

Minimieren Sie A2, d.h. finden Sie einen vollständigen DFA A′2 mit L(A′2) = L(A2) undminimaler Zustandszahl. Sie müssen keine Zwischenschritte angeben. Geben Sie A′2 ingraphischer Darstellung an.

Minimaler DFA A′2:

Weiterer Platz zur Lösung dieser Aufgabe befindet sich auf der nächsten Seite.



Minimaler DFA A′2 (Fortsetzung):



(a) Die kontextfreie Grammatik G=(Σ, V, S, P ) sei definiert durch die beiden Nicht-TerminaleV := {S,A}, die fünf Terminale

Σ := { _ , sehr , toll , ist , dismod }

und

P := { S → dismod_S_toll | ist | ist_A,A→ sehr | sehr_A }.

(i) (4 Pkte)Welche der folgenden Worte liegen in der von G erzeugten Sprache L(G), welche nicht?Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie einenPunkt, für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Optionangekreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

Wort . . . liegt in L(G)?

sehr | sehr_A ja nein

dismod_ist_toll_toll ja nein

dismod_ist_sehr_toll ja nein

dismod_dismod_ist_toll_toll ja nein

(ii) (2 Pkte)Geben Sie einen Ableitungsbaum für das Wort dismod_ist_sehr_sehr_toll ∈ L(G)an.



(b) (4 Pkte)Die Sprache L über dem Alphabet Σ := {a, b, 〈, 〉, ?} sei wie folgt rekursiv definiert:Basisregel: (B) Es gilt: a ∈ L und b ∈ L.Rekursive Regeln: (R1) Ist w ∈ L, so ist auch 〈w〉 ∈ L.

(R2) Sind u, v, w ∈ L, so ist auch 〈u ? v ? w〉 ∈ L.Geben Sie eine kontextfreie Grammatik G an, so dass L(G) = L.

G = (Σ, V, S, P )

V =

P =


(c) (6 Pkte)Die Funktion f : N→ N sei für alle n ∈ N wie folgt definiert:

f(n) :={

2 falls n = 0,2 · f(n− 1) + 1 falls n ≥ 1.

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass f(n) = 3 · 2n − 1 für alle n ∈ N gilt.


1.4 Zweitklausur SS 15


Aufgabe 1:(a) [8 Pkte]Das alte Philosophicum auf dem Campus Bockenheim steht schon so lange leer, dass dort

inzwischen Geister spuken. Da das Gebäude umgebaut werden soll, werden die BockenheimerGeisterjäger beauftragt. Um die richtigen Geisterfallen auszulegen, müssen die Geisterjägerwissen, welche Arten von Geistern dort spuken. Dabei kommen drei Sorten von Geistern inFrage: Poltergeister, Zeitgeister und Himbeergeister.Bei ihren Vorbereitungen machen die Geisterjäger folgende Beobachtungen über das Philo-sophicum:Beobachtung 1: Dort spuken Poltergeister oder Zeitgeister.Beobachtung 2: Falls dort Zeitgeister spuken, dann spuken dort keine Himbeergeister und

keine Poltergeister.Beobachtung 3: Wenn dort Himbeergeister spuken, dann spuken dort auch Zeitgeister.Formalisieren Sie die drei Aussagen durch je eine aussagenlogische Formel, indem Sie dieatomaren Aussagen H (Himbeergeister spuken), P (Poltergeister spuken) und Z (Zeitgeisterspuken) benutzen.

ϕBeobachtung 1 :=

ϕBeobachtung 2 :=

ϕBeobachtung 3 :=

Nehmen Sie an, dass alle drei Beobachtungen zutreffen. Ist es möglich, dass im PhilosophicumHimbeergeister spuken? Beweisen Sie Ihre Antwort.

Sie können die folgende Vorlage für Ihre Wahrheitstafel verwenden:H P Z ϕBeobachtung 1 ϕBeobachtung 2 ϕBeobachtung 3

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1


(b) [6 Pkte]Geben Sie zu jeder der folgenden aussagenlogischen Formeln an, ob sie erfüllbar und/oderallgemeingültig ist. Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.Wenn Sie „erfüllbar“ ankreuzen, dann müssen Sie eine Belegung angeben, die die Formelerfüllt. Falls Sie „allgemeingültig“ ankreuzen, müssen Sie Ihre Antwort beweisen und an-sonsten eine Belegung angeben, die die Formel nicht erfüllt.

• ϕ =((X1 → (X1 → X2))↔ X1

)

erfüllbar: ja nein (0.5 Pkte)

allgemeingültig: ja nein (0.5 Pkte)

(1 Pkt)Falls ϕ erfüllbar ist, geben Sie hier eine zu ϕ passende Belegung an, die ϕ erfüllt:

(1 Pkt)Falls ϕ allgemeingültig ist, beweisen Sie Ihre Antwort; andernfalls geben Sie eine zu ϕpassende Belegung an, die ϕ nicht erfüllt:

• ψ =((X1 → (X1 → X2))↔ (X1 → X2)

)

erfüllbar: ja nein (0.5 Pkte)

allgemeingültig: ja nein (0.5 Pkte)

(1 Pkt)Falls ψ erfüllbar ist, geben Sie hier eine zu ψ passende Belegung an, die ψ erfüllt:

(1 Pkt)Falls ψ allgemeingültig ist, beweisen Sie Ihre Antwort; andernfalls geben Sie eine zu ψpassende Belegung an, die ψ nicht erfüllt:



(c) [10 Pkte](i) (6 Pkte)Seien ϕ, ψ und χ beliebige aussagenlogische Formeln. Gelten die folgenden semantischen

Äquivalenzen (≡)?Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie zweiPunkte, für jedes falsche Kreuz werden zwei Punkte abgezogen; wird keine Optionangekreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl für diese Teilaufgabe istaber mindestens 0.

¬(ϕ ∨ (¬ψ ∧ ¬χ)) ≡ (¬ϕ ∧ (ψ ∨ χ)) wahr falsch

((ϕ ∧ ψ)→ ϕ) ≡ (ϕ ∨ ¬ϕ) wahr falsch

(ϕ→ ψ) ≡ (¬ψ → ¬ϕ) wahr falsch

(ii) (4 Pkte)Geben Sie eine zur Formel

ϕ :=((X1 ↔ (X2 ↔ X3)

)∧X1

)

äquivalente Formel ϕ′ in disjunktiver Normalform an. Geben Sie auch Ihren Lösungs-weg an.(Ihr Lösungsweg ist nur dann relevant, wenn Ihre Formel ϕ′ falsch ist; Sie können dann Teil-punkte erhalten. Für die richtige Formel erhalten Sie stets die volle Punktzahl.)


Aufgabe 2:

(a) [4 Pkte]Sei G = (V,E) der ungerichtete Graph mit Knotenmenge V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und Kanten-menge E =

{{1, 2}, {1, 4}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 5}, {5, 6}}.

(i) (1 Pkt)Geben Sie die graphische Darstellung von G an.

Graphische Darstellung:

2

1 6

5

43

(ii) (1 Pkt)Geben Sie alle Nachbarn von Knoten 4 an.

(iii) (1 Pkt)Geben Sie einen einfachen Kreis der Länge 5 in G an.

(iv) (1 Pkt)Ist G bipartit? Begründen Sie Ihre Antwort!



(b) [8 Pkte]Betrachten Sie die folgenden Graphen G1, G2 und G3:

a b

cd

e

f

g

h

G1

a b c d

e f g h

G2

0

1

2

34

5 6

78

9

G3

(i) (1 Pkt)Geben Sie einen Hamiltonweg in G1 an:

(ii) (4 Pkte)Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?

Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz bekommen Sie einenPunkt, für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Optionangekreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

• G1 ist stark zusammenhängend. wahr falsch

• G2 ist azyklisch. wahr falsch


• Alle Knoten in G3 haben denselben Grad. wahr falsch

(iii) (1 Pkt)Geben Sie ein größtmögliches Matching für G3 an:

(iv) (2 Pkte)Ist die folgende Aussage wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort.

Jeder stark zusammenhängende gerichtete Graph besitzt einen Hamiltonweg.

wahr falsch

Begründung:


(c) [10 Pkte]Alice, Bob, Charlie und Eve haben sich sieben Filme auf DVD gekauft: Carnage, The Nego-tiator, Django Unchained, Contact, Sydney, Gangs of New York und Titanic.Als sie die DVDs in die Hand nehmen, fällt ihnen jedoch auf, dass folgende Schauspieler inmehreren der Filme mitspielen:• Samuel L. Jackson spielt in Django Unchained, in The Negotiator und in Sydney mit.• Leonardo DiCaprio spielt in Gangs of New York, in Django Unchained sowie in Ti-

tanic mit.• John C. Reilly spielt in Carnage mit, außerdem in Sydney und in Gangs of New York.• Jodie Foster spielt in Carnage und in Contact mit.• Christoph Waltz spielt in Django Unchained und in Carnage mit.• Kate Winslett spielt sowohl in Carnage als auch in Titanic mit.• David Morse spielt in den beiden Filmen Contact und The Negotiator mit.

(i) (2 Pkte)Stellen Sie den Konfliktgraphen auf. Ein Konflikt zwischen zwei Filmen besteht genaudann, wenn einer der oben genannten Schauspieler in beiden Filmen mitspielt.(Beispielsweise besteht ein Konflikt zwischen Django Unchained und Sydney, da in beidenFilmen Samuel L. Jackson mitspielt.)

Django Carnage

Titanic

Gangs of NY

Sydney

Negotiator Contact

(ii) (2 Pkte)Da Alice und Bob nicht mehrmals am Tag denselben Schauspieler sehen wollen, verteilen siedie Filme auf mehrere Tage. Dabei dürfen am selben Tag nicht zwei Filme geschaut werden,in denen derselbe Schauspieler mitspielt.Aufgrund ihres vollen Terminplans stehen den beiden nur 4 Tage zum Filmschauen zur Verfü-gung.

Formulieren Sie Alice’ und Bobs Vorhaben als graphentheoretische Fragestellung.



(iii) (2 Pkte)Können Alice und Bob ihr Vorhaben in die Tat umsetzen? Beweisen Sie, dass Ihre Antwortkorrekt ist.

(iv) (4 Pkte)Charlie und Eve haben einen anderen Plan: Sie wollen alle Filme hintereinander an einemeinzigen Tag schauen. Dabei dürfen aber nicht zwei Filme direkt aufeinander folgen, in denenderselbe Schauspieler mitspielt. (Beispielsweise kann Django Unchained direkt vor oder nachContact geschaut werden, nicht aber direkt vor oder nach Sydney.)Außerdem wollen sie unbedingt mit dem Film Titanic beginnen.

Können Charlie und Eve ihren Plan umsetzen? Beweisen Sie, dass Ihre Antwort korrekt ist.

Django

Carnage

Titanic

Gangs of NY

Sydney

Negotiator

Contact

(Sie können den hier abgebildeten Graphen für Ihre Lösung verwenden.)


Aufgabe 3:[8 Pkte]Betrachten Sie den folgenden Webgraphen G und den Dämpfungsfaktor d = 12 :

1

2

3

(i) (4 Pkte)Geben Sie die Matrix Pd(G) an.

Pd(G) :=

(ii) (1 Pkt)Vervollständigen Sie die folgende Definition:

Eine Verteilung π ist genau dann eine stationäre Verteilung für die Markov-Kette(G,Pd(G)), wenn

(iii) (3 Pkte)Bestimmen Sie den Page-Rank Vektor PR = (PR1,PR2,PR3), also die stationäre Verteilungder Markov-Kette (G,Pd(G)).

PR1 =

PR2 =

PR3 =



Aufgabe 4:(a) [9 Pkte]

(i) Sei Σ := {a, b}. Die Sprache L ⊆ Σ∗ sei wie folgt definiert:L := {w ∈ Σ∗ : der erste und der letzte Buchstabe von w sind unterschiedlich}

Geben Sie einen regulären Ausdruck R an, so dass L(R) = L. (3 Pkte)

(ii) (4 Pkte)Sei A der folgende nichtdeterministische Automat über dem Alphabet Σ := {a, b}:

q0 q1 q2

q3 q4

a

b

b

a

a, b

a, b

Welche der folgenden Worte liegen in der von A akzeptierten Sprache L(A), welchenicht? Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sieeinen Punkt, für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Optionangekreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

Wort . . . liegt in L(A)?

aaab ja nein

baq4 ja nein

bbbb ja nein

abaa ja nein

(iii) (2 Pkte)Geben Sie eine (mathematische oder umgangssprachliche) Beschreibung der SpracheL(A) des obigen NFAs an, zum Beispiel in Form eines regulären Ausdrucks.


(b) [6 Pkte]Sei A der folgende nichtdeterministische Automat über dem Alphabet Σ := {a, b, c}:

1 2 3c

a, bb

a, c

b

Wandeln Sie den NFA A mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion in einen vollständigenDFA A′ um. Berücksichtigen Sie nur solche Zustände von A′, die vom Startzustand von A′aus erreicht werden können, und geben Sie die graphische Darstellung von A′ an.



(c) [7 Pkte]Geben Sie für jede der folgenden beiden Sprachen an, ob sie regulär ist. Kreuzen Sie allerichtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie einen Punkt, für jedes falscheKreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Option angekreuzt, erhalten Sie keinenPunkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.Beweisen Sie, dass Ihre jeweilige Antwort korrekt ist.

L1 := {anbm : n,m ∈ N}

regulär: ja nein

Beweis:

L2 := {wbw : w ∈ {a, b}∗}

regulär: ja nein

Beweis:


(d) [8 Pkte](i) Der folgende deterministische Automat A1 über dem Alphabet Σ={a, b, c} sei gegeben:

q4 q3

q1 q2

ab, c

a

b

c

a

b c

a

b

c

(3 Pkte)Geben Sie für die Zustandspaare {q1, q2}, {q2, q3}, {q3, q4} jeweils einen Zeugen für ihreNicht-Äquivalenz bezüglich der Verschmelzungsrelation an.

Erinnerung: Ein Zeuge für die Nicht-Äquivalenz eines Zustandspaares {qi, qj} ist einWort z ∈ Σ∗, sodass δ̂(qi, z) ∈ F und δ̂(qj , z) 6∈ F (oder umgekehrt: δ̂(qi, z) 6∈ F undδ̂(qj , z) ∈ F ) gilt.




(ii) (5 Pkte)Der folgende deterministische Automat A2 über dem Alphabet Σ = {d, e} sei gegeben:

12

3 4 5

e

d

e

d

e

d

e d

e

d

Minimieren Sie A2, d.h. finden Sie einen vollständigen DFA A′2 mit L(A′2) = L(A2) undminimaler Zustandszahl. Sie müssen keine Zwischenschritte angeben. Geben Sie A′2 ingraphischer Darstellung an.

Minimaler DFA A′2:

Weiterer Platz zur Lösung dieser Aufgabe befindet sich auf der nächsten Seite.



Minimaler DFA A′2 (Fortsetzung):


Aufgabe 5:

(a) [6 Pkte]Die kontextfreie Grammatik G=(Σ, V, S, P ) sei definiert durch V :={S,A,B}, die acht Ter-minale

Σ :={

_ , nix , fleiss , kommt , ohne , von , preis , kein}

und

P := { S → ohne_A | von_B,A→ fleiss_A_preis | kein,B → nix_B_nix | kommt }.

(i) (4 Pkte)Welche der folgenden Worte liegen in der von G erzeugten Sprache L(G), welche nicht?Kreuzen Sie alle richtigen Antworten an. Für jedes korrekte Kreuz erhalten Sie einenPunkt, für jedes falsche Kreuz wird ein Punkt abgezogen; wird keine Optionangekreuzt, erhalten Sie keinen Punkt. Ihre Gesamtpunktzahl ist aber mindestens 0.

Wort . . . liegt in L(G)?

von_nix_kein_preis ja nein

von_nix_kommt_nix ja nein

ohne_fleiss_kein_preis_preis ja nein

von_nix_nix_kommt_nix_nix ja nein

(ii) (2 Pkte)Geben Sie einen Ableitungsbaum für das Wortohne_fleiss_fleiss_kein_preis_preis ∈ L(G) an.



(b) [4 Pkte]Die Sprache L über dem Alphabet Σ = { ( , ) , [ , ] } von runden und eckigen Klammernsei wie folgt rekursiv definiert:Basisregel: (B) Es gilt () ∈ L und [ ] ∈ L.Rekursive Regeln: (R1) Ist w ∈ L, so sind auch (w) ∈ L und [w] ∈ L.

(R2) Sind u, v ∈ L, so ist auch uv ∈ L.Beispielsweise ist [(()[ ])] ∈ L ein Wort dieser Sprache.Geben Sie eine kontextfreie Grammatik G an, so dass L(G) = L.

G = (Σ, V, S, P )

V =

P =


(c) [6 Pkte]Die Funktion f : N→ N sei für alle n ∈ N wie folgt definiert:

f(n) :={

0 falls n = 0,f(n− 1) + 2n falls n ≥ 1.

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass f(n) = n2 + n für alle n ∈ N gilt.



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