aljabar vektor 2
DESCRIPTION
,TRANSCRIPT
![Page 1: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/1.jpg)
Perkalian VektorNova Noor Kamala Sari, S.T, M.Kom
![Page 2: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/2.jpg)
PembahasanPerkalian vektor dengan skalarRuang vektor
Perkalian Vektor dengan Vektor: Dot Product
- Model dot product- Sifat dot product
![Page 3: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/3.jpg)
PendahuluanPenambahan dan pengurangan vektor,
merupakan analisa sederhana dari aljabar vektor
Pada pembahasan ini akan dibahas bagaimana konsep perkalian vektor dalam ruang berdimensi 2 atau dimensi 3, serta penerapannya pada bidang geometri, khususnya dengan perkalian vektor dengan skalar dan perkalian dot product
![Page 4: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/4.jpg)
Perkalian Vektor dengan Skalar
![Page 5: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/5.jpg)
DefinisiJika a adalah suatu vektor dan α adalah suatu
skalar, maka:- panjang αa = | α |.|a|- jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a- jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a- jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0
Untuk vektor a dalam koordinat kartesianjika a = [a1,a2,a3] maka
αa = [αa1, αa2, αa3]
![Page 6: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/6.jpg)
Sifat Perkalian skalar dan vektor
![Page 7: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/7.jpg)
Ruang VektorMerupakan himpunan elemen vektor yang
terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk group
Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan- distributif operasi 1 terhadap operasi 2- distributif operasi 2 terhadap operasi 1- assosiatif
![Page 8: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/9.jpg)
Perkalian Titik
(Dot Product)
![Page 10: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/10.jpg)
VisualisasiVektor-vektor diposisikan sehingga titik
pangkalnya berimpitanMemiliki sudut antara dua vektor yaitu Ø
(dibaca teta) yang memenuhi 0 ≤ Ø ≤ π
![Page 11: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/11.jpg)
Rumus
Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan Ø adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u.v adalah:
u.v = |u||v| u.v = |u||v| cos Ø jika cos Ø jika u ≠ u ≠ 0 dan 0 dan v ≠ v ≠ 00
u.v = 0u.v = 0 jika jika u = u = 0 dan 0 dan v = v = 00
![Page 12: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/12.jpg)
Rumus komponen untuk hasil kali titik Ruang Dimensi 3 :
Ruang Dimensi 2 :
332211 vuvuvuv.u
2211 vuvuv.u
![Page 13: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/13.jpg)
Orthogonalitas dua vektorDua vektor tidak nol dikatakan orthogonal
(saling tegak lurus) jika dan hanya jika hasil kali dalamnya adalah nol.
Beberapa formulasi dari perkalian titik ini dapat kita turunkan sebagai berikut:
bbaa
ba
ba
ba
aaaaaaaa
..
.
||||
.Øcos
.||||0cos||||. 2
![Page 14: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/14.jpg)
Sudut antara vektor u = (0,0,1) dan v = (0,2,2) adalah 45, sehingga :
Rumus komponen untuk hasil kali titik
u.v = (0)(0)+(0)(2)+(1)(2)=2
332211 vuvuvuv.u
22
1)220)(100(cosvuv.u 222222
Contoh 1:
![Page 15: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh 2:Tinjau vektor u = (2,-1,1) dan
v =(1,1,2). Cari sudut antara u dan vu.v=(2)(1)+(-1)(1)+(1)(2)=3
Jadi =60
6)2()1()1(
6)1()1()2(
222
222
v
u
2
1
66
3
vu
v.ucos
![Page 16: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/16.jpg)
Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka :
lancip jika dan hanya jika u.v > 0
tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
=/2 jika dan hanya jika u.v =0
![Page 17: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/17.jpg)
Jika u =(1,-2,3), v=(-3,4,2) dan w=(3,6,3) maka :
u.v=(1)(-3)+(-2)(4)+(3)(2)=-5v.w=(-3)(3)+(4)(6)+(2)(3)=21u.w=(1)(3)+(-2)(6)+(3)(3)=0Oleh karena itu, u dan v membentuk
sudut tumpul, v dan w membentuk sudut lancip serta u dan w tegak lurus.
Contoh 3:
![Page 18: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/18.jpg)
Vektor-vektor yang tegak lurus disebut juga vektor-vektor ortogonal. Dua vektor tak nol ortogonal jika dan hanya jika hasil kali titiknya nol (u.v=0).
Untuk menunjukkan bahwa u dan v adalah vektor-vektor yang ortogonal kita tulis uv.
![Page 19: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/19.jpg)
Sifat Dot ProductUntuk setiap vektor sembarang a, b, c dan
skalar α1, α2 berlaku:
![Page 20: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/20.jpg)
Formulasi Khusus
GenjangJajaranPersbababa
segitigamaanPertidaksababa
SchwarzmaanPertidaksababa
.)|||(|2||||
||||||
|||||.|
2222
![Page 21: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh SoalJika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1].Tentukanlah:- panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara
vektor a dan b
Jawaban:
![Page 22: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/22.jpg)
SummaryPerkalian vektor dengan skalar
merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya.
Rumus untuk dot product
Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar
u.v = |u||v| u.v = |u||v| cos Ø cos Ø jika jika u ≠ u ≠ 0 dan 0 dan v ≠ v ≠ 00 u.v = 0u.v = 0 jika jika u = u = 0 dan 0 dan v = v = 00
![Page 23: Aljabar Vektor 2](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022012306/55cf8fb2550346703b9eecf4/html5/thumbnails/23.jpg)
Daftar PustakaAnton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear
Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara.
Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar LinearAnton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear
Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta