aljabar max-plus dan aplikasinya pada suatu rute … · dengan operasi maksimum dan penjumlahan...
TRANSCRIPT
i
ALJABAR MAX-PLUS DAN
APLIKASINYA PADA SUATU RUTE BUS TRANSJOGJA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Disusun Oleh:
Johny Decky Sasambe
113114005
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
MAX-PLUS ALGEBRA AND
ITS APPLICATION ON A TRANSJOGJA BUS ROUTE
PAPER
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Matematika
in Mathematics Study Program
By:
Johny Decky Sasambe
113114005
MATEMATICS STUDY PROGRAM
DEPARTEMEN OF MATEMATICS
FACULTY OF SAINS AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
SKRIPSI
ALJABAR MAX-PLUS DAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Non Scholae Sed Vitae Discimus
Tugas Akhir ini kupersembahkan untuk:
Tarekat MSC Provinsi Indonesia,
Ibu dan kakak-kakakku yang tercinta,
Para seminaris di SMA Seminari Xaverius Kakaskasen Tomohon,
Rekan-rekan mahasiswa Matematika Universitas Sanata Dharma,
Para pecinta Matematika.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Aljabar max-plus adalah semilapangan idempoten. Aljabar max-plus,
dengan operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya
mempelajari tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor eigen. Beberapa
topik yang dapat disebutkan adalah konsep matriks iredusibel, graf preseden,
nilai eigen dan vektor eigen dari matriks persegi yang iredusibel. Suatu matriks
persegi disebut iredusibel jika graf presedennya terhubung kuat. Oleh karena itu
jika diberikan suatu graf maka dapat dibentuk suatu matriks persegi, dan dapat
ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut.
Dalam aplikasinya pada suatu rute bus Transjogja, teori nilai eigen dan
vektor eigen matriks persegi yang iredusibel di aljabar max-plus digunakan
sebagai alat untuk menganalisa apakah dapat disusun jadwal keberangkatan bus
yang periodik pada rute pilihan. Artinya, jika dipilih suatu rute, dibuat graf
preseden dari rute pilihan dan disusun sinkronisasi berdasarkan data di lapangan,
dapat dibangun suatu model matematika yang menghasilkan suatu matriks serta
nilai eigen dan vektor eigennya. Dengan mengintepretasikan nilai eigen sebagai
periodisasi keberangkatan setiap bus dan vektor eigen sebagai waktu awal
keberangkatan bus pada setiap halte, dapat disusun suatu jadwal bus yang
periodik pada rute pilihan tersebut.
Hasil pemodelan menunjukkan bahwa belum dapat disusun suatu jadwal
periodik untuk rute pilihan. Hal ini sebabkan karena matriks yang dihasilkan
adalah matriks tak iredusibel. Akibatnya dari matriks tersebut, diperoleh vektor
eigen yang memuat elemen tak real. Konsekuensinya adalah waktu awal
keberangkatan bus tidak bisa ditentukan dan hal ini berpengaruh juga pada
penentuan waktu keberangkatan sesudahnya. Akibatnya jadwal periodik untuk
rute pilihan belum bisa dibuat.
Kata Kunci: nilai eigen, vektor eigen, graf preseden, matriks irudisibel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
Max-plus algebra is an idempotent semilfield. Max-plus algebra, with
maximum and addition operation on real numbers as its basic operations,
explores matrices, graphs, eigenvalues and eigenvectors. Some of the topics that
may be mentioned are the concept of irreducible matrices, precedence graph,
eigenvalues and eigenvectors of a irreducible square matrix. A square matrix is
called irreducible if its precedence graph is strongly connected. Therefore, if
given a graph, a square matrix can be formed and eigenvalues and eigenvectors of
the matrix can be determined.
In its application on one bus route Transjogja, the theory of eigenvalues
and eigenvectors of a irreducible square matrix in max-plus algebra is used as a
tool to analyze whether periodic bus departure timetable on a selected route can
be made. That is, if a route is selected, precedence graphs of the selected route,
and synchronization according to the data obtained are made, it can be
constructed a mathematical model that results in a matrix and its eigenvalues and
eigenvectors. By interpreting eigenvalues as departure periodization of each bus
and eigenvectors as first time of departure of buses at every bus stop, it can be
constructed a periodic bus schedule on the selected route.
Modelling results show that a periodic schedule for the selected route still
can not be made. This is because the resulting matrix is not a irreducible matrix.
As a result, the eigenvector of the matrix contains elements which are not real
numbers. Thus first time of departure of buses can not be determined and this
influences the determination of the else following departure time. Consequently,
periodic schedule for the selected route still can not be made.
Keywords: eigenvalues, eigenvectors, precedence graph, irreducible matrix.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan yang telah memberikan rahmat dan
berkatNya kepada penulis, sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan dengan
baik. Banyak pergumulan dan tantangan yang dialami selama proses
penyelesaian tugas akhir ini, namun berkat bantuan dan dukungan dari berbagai
pihak, akhirnya tugas akhir ini dapat diselesaikan dengan baik. Oleh karena itu,
pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih banyak atas
dukungan dan bimbingannya kepada:
1. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. selaku dosen pembimbing Tugas
Akhir.
2. Bapak Y.G. Hartono, Ph.D. selaku Ketua Program Studi Matematika
Universitas Sanata Dharma.
3. Ibu Paulina Heruningsih Prima Rosa, S.Si., M.Sc. selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.
4. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.
5. Tarekat MSC Propinsi Indonesia dan para konfraterku yang tercinta.
6. Teman-teman sekomunitas GRIYA CHEVALIER Palagan – Yogyakarta.
7. Keluargaku: ibu yang tercinta dan kakak-kakakku yang selalu mendoakan dan
mendukung saya.
8. Teman-teman matematika 2011 Universitas Sanata Dharma, Bayu, Herry,
Ensi dan Indra.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
9. Kakak-kakak angkatan 2008, 2009, 2010 dan adik-adik angkatan 2012, 2013
dan 2014 yang pernah menjadi teman selama masa-masa perkuliahan.
10. Semua pihak yang tak dapat disebutkan satu persatu, atas segala bantuan dan
dukungannya.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam tugas akhir
ini. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang dapat
membangun dan menyempurnakan tugas akhir ini. Akhirnya, penulis berharap
agar tugas akhir ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan baru bagi para
pembaca.
Yogyakarta 26 Juni 2015
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INDONESIA ....................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………………iii
HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………………iv
HALAMAN PERSEMBAHAN…………………………………………………..v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………………………vi
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH………………….vii
ABSTRAK .......................................................................................................... viii
ABSTRACT .......................................................................................................... ix
KATA PENGANTAR ............................................................................................ x
DAFTAR ISI ........................................................................................................ xii
BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1
A. Latar Belakang ............................................................................................ 1
B. Perumusan Masalah .................................................................................... 5
C. Pembatasan Masalah .................................................................................. 5
D. Tujuan Penulisan ........................................................................................ 6
E. Manfaat Penulisan ...................................................................................... 6
F. Metode Penulisan ....................................................................................... 7
G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 7
BAB II. LANDASAN TEORI ............................................................................... 9
A. Himpunan dan Operasi Biner ..................................................................... 9
1. Himpunan ............................................................................................... 9
2. Operasi Biner ........................................................................................ 11
B. Grupoid, Semigrup dan Monoid ............................................................... 16
C. Semigelanggang ....................................................................................... 19
D. Semilapangan ........................................................................................... 25
E. Vektor dan Matriks Pada Himpunan Bilangan Real ................................ 26
BAB III ALJABAR MAX-PLUS ........................................................................ 30
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
A. Definisi Aljabar Max-Plus ........................................................................ 30
B. Notasi di ℝ𝑚𝑎𝑥 ........................................................................................ 35
C. Sifat Operasi di ℝ𝑚𝑎𝑥 ............................................................................. 38
D. Vektor dan Matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 ................................................................... 40
1. Vektor di ℝ𝑚𝑎𝑥 ................................................................................... 40
2. Matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 .................................................................................. 41
E. Matriks dan Graf di ℝ𝑚𝑎𝑥 ....................................................................... 52
1. Konsep Dasar Graf ............................................................................... 52
2. Matriks dan Graf di ℝ𝑚𝑎𝑥 ................................................................... 62
F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 ..................................... 70
BAB IV APLIKASI ALJABAR MAX-PLUS
PADA SUATU RUTE BUS TRANSJOGJA ........................................................ 78
A. Gambaran Singkat Rute Bus Transjogja .................................................. 78
B. Rute Pilihan .............................................................................................. 83
C. Graf Rute Pilihan ...................................................................................... 84
D. Sinkronisasi .............................................................................................. 90
E. Model Matematika dari Rute Pilihan ....................................................... 93
F. Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen .............................................. 96
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................... 99
A. Kesimpulan ............................................................................................... 99
B. Saran ....................................................................................................... 100
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 101
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan tentang latar belakang penulisan, perumusan
masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode
penulisan dan sistimatika penulisan.
A. Latar Belakang
Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi
dengan satu atau lebih operasi biner. Struktur aljabar ini secara berurutan
dinotasikan dengan ,*S atau ,,S . Contoh struktur aljabar adalah grup,
gelanggang dan lapangan. Akan tetapi selain grup, gelanggang dan lapangan
yang telah dijelaskan pada saat perkuliahan, terdapat struktur aljabar yang lebih
sederhana yaitu, grupoid, semigrup, monoid, semigelanggang dan semilapangan.
Grupoid merupakan struktur aljabar yang paling sederhana. Grupoid
adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner.
Semigrup adalah grupoid yang memenuhi sifat asosiatif terhadap operasi biner
yang terdefinisi pada himpunan yang dimaksud. Dalam semigrup jika operasi
binernya bersifat komutatif, semigrup dikatakan semigrup komutatif. Sedangkan
Monoid adalah semigrup yang memiliki elemen identitas.
Semigelanggang dan semilapangan mempunyai struktur yang berbeda
dengan grupoid, semigrup dan monoid. Semigelanggang adalah struktur aljabar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
yang dilengkapi dengan dua operasi biner yaitu + dan dan memenuhi syarat-
syarat berikut: terhadap operasi pertama, semigrupnya adalah semigrup komutatif
dan memiliki elemen identitas; terhadap operasi kedua, semigrupnya adalah
monoid dan mempunyai elemen penyerap; dan operasi kedua bersifat distributif
kiri dan distributif kanan terhadap operasi pertama. Dalam semigelanggang sifat
operasi biner menentukan sifat semigelanggangnya. Oleh karena itu jika suatu
semigelanggang (𝑆, +, ) terhadap operasi biner berlaku ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, 𝑎𝑏 =
𝑏𝑎 maka semigelanggangnya disebut semigelanggang komutatif. Sedangkan,
jika suatu semigelanggang (𝑆, +, ) terhadap operasi pertamanya berlaku ∀𝑎 ∈ 𝑆
maka 𝑎 + 𝑎 = 𝑎, semigelanggangnya disebut semigelanggang idempoten.
Konsep tentang semigelanggang di atas menjadi dasar penjelasan bagi
struktur aljabar lain, yaitu semilapangan. Suatu semigelanggang disebut
semilapangan jika semigelanggang tersebut adalah semigelanggang komutatif
dengan setiap elemen yang bukan elemen identitas terhadap operasi pertama
mempunyai invers terhadap operasi kedua; atau dengan kata lain suatu
semigelanggang komutatif (𝑆, +, ) adalah semilapangan jika ∀𝑥 ∈ 𝑆\{0}
mempunyai invers terhadap operasi yaitu (∀𝑥 ∈ 𝑆\{0} )(∃𝑥−1 ∈ 𝑆), 𝑥 𝑥−1 =
𝑥−1 𝑥. Dengan demikian semilapangan adalah semigelanggang komutatif yang
mendapat syarat tambahan, yaitu invers terhadap operasi kedua untuk setiap
elemen yang bukan elemen identitas terhadap operasi pertama. Suatu
semilapangan adalah semilapangan idempoten jika operasi biner pertama bersifat
idempoten.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Salah satu contoh semilapangan adalah aljabar max-plus. Aljabar max-
plus adalah salah satu contoh semilapangan idempoten. Aljabar max-plus, dengan
operasi maksimum dan penjumlahan sebagai operasi dasarnya mempelajari
tentang matriks, graf, serta nilai eigen dan vektor eigen dan lain sebagainya.
Istilah aljabar max-plus diambil dari nama operasinya, yaitu operasi penjumlahan
yang dinotasikan dengan ⊕ dan operasi perkalian yang dinotasikan dengan ⊗.
Dalam aljabar max-plus operasi ⊕ didefinisikan sebagai maksimum, dan operasi
⊗ didefinisikan sebagai operasi penjumlahan biasa untuk bilangan real.
Munculnya teori aljabar max-plus dilatarbelakangi oleh berkembangnya
bidang riset operasi pada tahun 1950 yang menekankan pencarian solusi optimal.
Oleh karena itu, aljabar max-plus dengan operasi maximum, membawa harapan
baru dalam dunia riset operasi untuk mencapai solusi optimal (Andersen, 2002).
Dalam perkembangannya aljabar max-plus sebagai sarana riset operasi untuk
mencapai solusi yang optimal telah digunakan dengan baik untuk memodelkan
dan menganalisis secara aljabar masalah-masalah jaringan, misalnya jaringan
transportasi, sistem manufaktur, dan lain sebagainya. Contoh penggunaan model
max-plus dalam masalah jaringan dapat dilihat pada Modeling Bus Bounching
with Petri Nets and Max-Plus Algebra (Newcomb, 2014), Penentuan Waktu
Produksi Tercepat pada Mesin Produksi Jamu (Kharisma, 2013), Optimisasi
Jadwal Pemesanan Bakpia Patok Jaya “25” (Arifin, 2012) dan lain sebagainya.
Dalam karya tulis ini, aljabar max-plus digunakan untuk memodelkan
suatu rute transportasi bus Transjogja. Salah satu masalah yang ditemukan adalah
keluhan para pengguna mengenai ketidakpastian kedatangan bus di setiap halte,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
terkadang cepat, terkadang cukup lama bahkan saat tiba di halte, bus telah penuh
dengan penumpang. Dengan sistem yang ada saat ini, para pengguna jasa bus
Transjogja seringkali harus menunggu bus dengan ketidakpastian.
Berdasarkan informasi tersebut, pada bagian akhir karya tulis ini akan
dikaji model aljabar max-plus untuk mendesain jadwal bus Transjogja yang
periodik sebagai solusi atas masalah yang dihadapi masyarakat. Proses
pemodelan ini dimulai dengan mengambil sampel sederhana yaitu memodelkan
salah satu rute bus Transjogja. Pemilihan rute ini dilakukan secara acak, yaitu
dengan menentukan empat halte utama yang menjadi halte awal dan halte akhir
dari suatu rute. Selanjutnya berdasarkan data lapangan akan dibangun lintasan-
lintasan yang menghubungkan keempat halte utama dan membentuk sebuah graf
dari rute pilihan. Berdasarkan graf dari rute pilihan, selanjutnya dibuat
sinkronisasi yang menjadi landasan untuk menyusun model matematika. Dari
model matematika tersebut dapat dibentuk suatu matriks yang merupakan
representasi dari graf rute pilihan. Matriks yang diperoleh akan dianalisa dengan
menggunakan nilai eigen dan vektor eigen. Nilai eigen dan vektor eigen yang
diperoleh adalah output yang diharapkan.
Berdasarkan uraian di atas, yang diharapkan dari karya tulis ini adalah
penguasaan konsep aljabar max-plus dan aplikasinya untuk membuat model
matematika bagi masalah yang ditemukan dalam rute pilihan. Pemodelan
matematika tersebut diarahkan untuk menghasilkan suatu analisa pada suatu rute
bus Transjogja dan mengambil kesimpulan berdasarkan hasil analisa yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
apakah dimungkinkan dibuat suatu jadwal bus Transjogja yang periodik untuk
rute pilihan.
B. Perumusan Masalah
Dalam karya tulis ini, penulis akan memfokuskan perhatian pada konsep
dasar aljabar max-plus, sifat-sifatnya dan aplikasinya. Inti tulisan tersebut dapat
dituangkan dalam empat pertanyaan berikut:
1. Apa itu aljabar max-plus?
2. Apa yang dimaksud dengan nilai eigen dan vektor eigen dari suatu
matriks iredusibel dalam aljabar max-plus?
3. Bagaimana membuat model matematika untuk suatu rute pilihan bus
Transjogja berdasarkan teori aljabar max-plus?
C. Pembatasan Masalah
Berdasarkan rumusan masalah di atas, fokus utama karya tulis ini adalah
penjelasan tentang konsep dasar aljabar max-plus dan aplikasinya pada suatu rute
bus Transjogja. Oleh karena itu, pertama-tama akan diuraikan secara teoretis
landasan-landasan teori yang menjadi dasar pembahasan tentang aljabar max-
plus. Teori-teori tersebut mencakup konsep tentang himpunan, operasi biner dan
sifat-sifatnya, semigrup, semigelanggang, semilapangan serta konsep dasar
tentang vektor dan matriks pada himpunan semua bilangan real. Selanjutnya akan
dijelaskan konsep aljabar max-plus dan sifat-sifatnya yang mencakup definisi
aljabar max-plus, operasi dan sifat operasi aljabar max-plus, matriks dalam
aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus, nilai eigen dan vektor eigen dalam
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
aljabar max-plus. Pada bagian akhir akan diperkenalkan aplikasi aljabar max-plus
pada suatu rute bus Transjogja.
D. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari karya tulis ini adalah
pertama, mempelajari, mendalami dan menuliskan kembali konsep tentang
aljabar max-plus; kedua menyusun model matematika untuk suatu rute bus
Transjogja berdasarkan teori aljabar max-plus.
E. Manfaat Penulisan
Hasil karya tulis diharapkan dapat bermanfaat bagi:
1. Penulis
Menambah dan memperdalam konsep pengetahuan dan keilmuan tentang
aljabar max-plus dan aplikasinya.
2. Lembaga
Sebagai tambahan pustaka untuk rujukan penelitian dan bahan perkuliahan
tentang aljabar max-plus.
3. Pembaca/Masyarakat
a. Sebagai bahan pembelajaran dan pengetahuan mengenai aljabar max-plus,
dan diharapkan dapat menjadi rujukan untuk penelitian yang akan datang.
b. Diperoleh analisis suatu rute bus Transjogja dengan tujuan peningkatan
kualitas pelayanan pada masyarakat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
F. Metode Penulisan
Dalam proses penyelesaian karya tulis ini, penulis menggunakan dua
metode penulisan, yaitu studi literatur dan penelitian lapangan. Studi literatur
digunakan untuk menjelaskan landasan teori pada Bab II, konsep tentang aljabar
max-plus pada Bab III dan penyusunan model matematika pada Bab IV.
Sedangkan penelitian lapangan digunakan untuk mengumpulkan data yang
digunakan ketika menyusun model matematika pada Bab IV.
G. Sistematika Penulisan
Secara garis besar, karya tulis ini terdiri atas lima bagian, yaitu:
1. Bab I Pendahuluan
Pada bagian ini diuraikan tentang latar belakang, perumusan masalah,
pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan dan
sistimatika penulisan.
2. Bab II Landasan Teori
Pada bagian ini dijelaskan teori-teori yang digunakan sebagai dasar
penjelasan aljabar max-plus. Teori-teori tersebut mencakup himpunan, operasi
biner dan sifat-sifatnya, semigrup, semigelanggang, semilapangan serta konsep
tentang vektor dan matriks pada himpunan semua bilangan real.
3. Bab III Pembahasan
Pada bagian ini dijelaskan konsep dasar aljabar max-plus yang mencakup
definisi aljabar max-plus, operasi dan sifat operasi aljabar maxplus, vektor dan
matriks dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus serta konsep nilai
eigen dan vektor eigen suatu matriks dalam aljabar max-plus.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
4. Bab IV Aplikasi
Pada bagian ini dijelaskan tentang aplikasi aljabar max-plus pada suatu
rute bus Transjogja. Oleh karena itu, pada bagian ini dibuat model matematika
untuk suatu rute bus Transjogja berdasarkan teori aljabar max-plus. Pemodelan
matematika tersebut mencakup penentuan rute pilihan, pembuatan graf rute
pilihan, penyusunan sikronisasi berdasarkan graf rute pilihan, penyusunan model
matematika berdasarkan sinkronisasi yang buat, penentuan matriks yang
direpresentasikan oleh graf rute pilihan berdasarkan model matematika yang
diperoleh; penghitungan nilai eigen dan vektor eigen serta penarikan kesimpulan
berdasarkan nilai eigen dan vektor eigen yang diperoleh.
5. Bab V Penutup
Bagian ini berisi kesimpulan karya tulis ini serta saran untuk penulisan
lebih lanjut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan teori-teori yang digunakan sebagai dasar untuk
menjelaskan teori aljabar max-plus pada Bab III. Penjelasan pada bab ini
mencakup gambaran singkat tentang himpunan, definisi dan sifat-sifat operasi
biner, definisi elemen identitas dan elemen invers himpunan, grupoid, semigrup,
monoid, semigelanggang dan semilapangan. Pada bagian akhir akan dijelaskan
secara singkat juga vektor dan matriks serta nilai eigen dan vektor eigen pada
himpunan semua bilangan real.
A. Himpunan dan Operasi Biner
Pada bagian ini dijelaskan tentang himpunan dan operasi biner.
Penjelasan tentang himpunan mencakup definisi himpunan, keanggotaan
himpunan serta definisi dan contoh operasi gabungan dua himpunan. Sedangkan
penjelasan tentang operasi biner mencakup definisi operasi biner dan sifat-
sifatnya. Penjelasan tentang himpunan dan operasi biner dirangkum dari Fraleigh
(2003); Durbin (2009), Whitelaw (1995), dan Hungerford (2002).
1. Himpunan
Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan
jelas. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat
penting agar himpunan tersebut terdefinisi dengan baik (well-defined set).
Berikut ini diberikan beberapa contoh himpunan.
Contoh 2.1
1. Himpunan semua mahasiswa program studi matematika angkatan 2011.
2. Himpunan lima huruf pertama dalam abjad
3. Himpunan empat bilangan asli yang pertama.
Nama suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar 𝐴, 𝐵, 𝐶
dan sebagainya. Sedangkan untuk melambangkan anggota himpunan digunakan
huruf kecil 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 dan sebagainya. Untuk menyatakan himpunan digunakan
simbol "{… }". Dengan demikian himpunan pada Contoh 2.1 di atas dapat ditulis
sebagai berikut:
Contoh 2.2
1. 𝐴 = {𝐼𝑛𝑑𝑟𝑎, 𝐽𝑜ℎ𝑛𝑦, 𝐵𝑎𝑦𝑢, 𝐸𝑛𝑠𝑖}
2. 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
3. 𝐶 = {1, 2, 3, 4}
Selanjutnya, notasi untuk keanggotaan suatu himpunan dapat dinyatakan
sebagai berikut:
Misalkan 𝐴, adalah suatu himpunan.
a. Jika 𝑎 adalah objek pada himpunan 𝐴 maka 𝑎 dikatakan sebagai anggota 𝐴
dan ditulis 𝑎 ∈ 𝐴.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
b. Jika 𝐴 tidak mempunyai anggota maka 𝐴 disebut himpunan kosong, dan
dinotasikan dengan 𝐴 = { }
c. Jika 𝐴 mempunyai sekurang-kurangnya satu anggota maka 𝐴 disebut
himpunan tak kosong.
Selanjutnya, akan dijelaskan operasi gabungan dua himpunan. Gabungan
himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang memuat himpunan 𝐴 atau 𝐵 yang
dinotasikan 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑎|𝑎 ∈ 𝐴 ⋁ 𝑎 ∈ 𝐵}. Berikut ini diberikan contoh operasi
gabungan dua himpunan.
Contoh 2.3 Misalkan terdapat 𝐴 = {2, 4, 6, 8, 10} dan 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5} maka
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 10}.
2. Operasi Biner
Pada bagian ini dijelaskan operasi biner dan sifat-sifatnya. Penjelasan
pada bagian ini mencakup definisi operasi biner dan sifat-sifatnya, yakni sifat
tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, idempoten – definisi elemen identitas
dan elemen invers.
Penjelasan pada bagian ini dimulai dengan memberikan definisi hasil kali
silang.
Definisi 2.1 Misalkan 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 adalah himpunan tak kosong. Himpunan
semua 𝑛 tupel terurut pada himpunan 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 disebut hasil kali silang dan
dinotasikan dengan 𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 = {(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖, 𝑖 = 1,… , 𝑛}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Setelah didefinisikan hasil kali silang, selanjutnya akan didefinisikan
operasi biner.
Definisi 2.2 Misalkan 𝑆 adalah himpunan tidak kosong. Operasi biner ∗ pada
himpunan 𝑆 adalah pemetaan 𝑆 × 𝑆 pada 𝑆.
Menurut Definisi 2.2 terdapat dua sifat dasar operasi biner; pertama
terdefinisi dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan terurut
(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑆 × 𝑆 dipasangkan tepat satu dengan elemen di 𝑆. Kedua, sifat tertutup
yaitu untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, (𝑎 ∗ 𝑏) ∈ 𝑆. Berikut ini diberikan contoh sifat operasi
biner pada suatu himpunan.
Contoh 2.4 Misalkan ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat yang dilengkapi
dengan operasi penjumlahan dan perkalian.
Akan ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian adalah operasi biner
di ℤ. Berdasarkan Definisi 2.2 maka ∀(𝑎, 𝑏) ∈ ℤ, (𝑎 + 𝑏) dapat dipasangkan
tepat satu anggota ℤ . Selanjutnya ∀(𝑎, 𝑏) ∈ ℤ, 𝑎 + 𝑏 ∈ ℤ. Jadi ℤ tertutup
terhadap operasi penjumlahan. Selanjutnya ba, ℤ, ba juga well-difined
dan ba, ℤ , ba ℤ. Jadi ℤ tertutup terhadap operasi perkalian. Jadi,
operasi penjumlahan dan perkalian adalah operasi biner di ℤ.
Contoh 2.5 Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan bulat positif. Pada ℕ
didefinisikan operasi ∗ dengan ketentuan 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 − 𝑏. Karena 3 dan 5 ada di
ℕ dan 3 − 5 = −2 ∈ ℕ maka ℕ tidak tertutup terhadap operasi biner ∗ . Jadi
operasi ∗ bukan operasi biner pada ℕ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Selanjutnya akan dijelaskan dan diberikan contoh sifat-sifat operasi biner
pada suatu himpunan.
Definisi 2.3 (Sifat Komutatif Operasi Biner)
Operasi biner ∗ pada suatu himpunan tak kosong S bersifat komutatif, jika dan
hanya jika (∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆), 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎.
Contoh 2.6 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan
ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian pada ℝ adalah komutatif.
Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan real jika diambil sebarang
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , berlaku 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.
Selanjutnya berdasarkan sifat operasi perkalian bilangan real jika diambil
sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , maka 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎.
Jadi berdasarkan Definisi 2.3 operasi penjumlahan dan perkalian di ℝ komutatif.
Definisi 2.4 (Sifat Asosiatif Operasi Biner)
Suatu operasi biner ∗ pada suatu himpunan tak kosong S bersifat asosiatif jika
dan hanya jika (∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆), (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑏 ∗ (𝑎 ∗ 𝑐).
Contoh 2.7 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan
ditunjukkan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian di ℝ asosiatif.
Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan real jika diambil sebarang
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, berlaku (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑏 + (𝑎 + 𝑐).
Selanjutnya berdasarkan sifat operasi perkalian bilangan real jika diambil
sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, berlaku (𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑏 × (𝑎 × 𝑐).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Jadi berdasarkan Definisi 2.4 operasi penjumlahan dan perkalian pada ℝ bersifat
asosiatif.
Definisi 2.5 (Sifat Distributif Operasi Biner)
Misalkan operasi biner dan ∗ terdefinisi pada himpunan S .
1. Jika (∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆), 𝑎 ∘ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∘ 𝑏) ∗ (𝑎 ∘ 𝑐), maka di 𝑆 berlaku sifat
distributif kiri operasi ∘ terhadap operasi ∗
2. Jika (∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆), (𝑎 ∗ 𝑏) ∘ 𝑐 = (𝑎 ∘ 𝑐) ∗ (𝑏 ∘ 𝑐), maka di 𝑆 berlaku sifat
distributif kanan operasi ∘ terhadap operasi ∗.
Contoh 2.8 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real.
Berdasarkan sifat operasi pada bilangan real jika diambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ,
berlaku 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐) dan (𝑎 + 𝑏) × 𝑐 = (𝑎 × 𝑐) + (𝑏 × 𝑐).
Jadi berdasarkan Definisi 2.5 operasi perkalian terhadap penjumlahan di ℝ
bersifat distributif kiri dan distributif kanan.
Definisi 2.6 (Sifat Idempoten Operasi Biner)
Suatu operasi biner ∗ pada himpunan 𝑆 bersifat idempotent jika dan hanya jika
(∀𝑎 ∈ 𝑆), 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎.
Contoh 2.9 Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli. Untuk setiap
𝑎 ∈ ℕ didefinisikan operasi biner ∗ sehingga 𝑎 ∗ 𝑏 = elemen yang lebih kecil
atau sama dengan 𝑎 atau 𝑏, berlaku 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 dan 𝑏 ∗ 𝑏 = 𝑏. Jadi berdasarkan
Definisi 2.6 ℕ idempoten.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Setelah didefinisikan operasi biner dan sifat-sifatnya, selanjutnya akan
didefinisikan elemen identitas dan elemen invers pada suatu himpunan tak
kosong .S
Definisi 2.7 Suatu himpunan tak kosong 𝑆 dikatakan mempunyai elemen
identitas terhadap operasi biner ∗ jika ada elemen 𝑒 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga
(∀𝑎 ∈ 𝑆), 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎.
Contoh 2.10 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan
ditunjukkan bahwa ℝ mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan
dan perkalian.
Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 + 𝑒 = 𝑎 ⟺ 𝑎 + 𝑒 − 𝑎 = 𝑎 − 𝑎 ⟺ 𝑒 = 0 ∈ ℝ
Ambil sebarang (𝑎 ∈ ℝ), (𝑎 ≠ 0) maka berlaku
𝑎 × 𝑒 = 𝑎 ⇔ 𝑎 × 𝑒 ×1
𝑎= 𝑎 ×
1
𝑎⇔ 𝑒 = 1 ∈ ℝ.
Untuk 𝑎 = 0, ∃1 ∈ ℝ maka berlaku 𝑎 × 1 = 0 × 1 = 1 × 0 = 0.
Jadi berdasarkan Definisi 2.7 dapat disimpulkan bahwa 0 adalah elemen identitas
terhadap operasi penjumlahan di ℝ; dan 1 adalah elemen identitas terhadap
operasi perkalian di ℝ.
Definisi 2.8 Misalkan himpunan tak kosong 𝑆 terhadap operasi biner ∗
mempunyai elemen identitas, yaitu 𝑒. Suatu elemen 𝑏 ∈ 𝑆 dikatakan invers dari
𝑎 ∈ 𝑆 terhadap operasi biner ∗ jika dan hanya jika 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑒
Contoh 2.11 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real. Akan
ditunjukkan bahwa ℝ mempunyai elemen invers terhadap operasi penjumlahan
dan ℝ\{0} mempunyai elemen invers terhadap operasi perkalian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 + (−𝑎) = 0. Jadi −𝑎 adalah elemen invers terhadap
operasi penjumlahan di ℝ.
Ambil sebarang 𝑏 ∈ ℝ\{0}, 𝑏 ≠ 0 sehingga berlaku bahwa 𝑏 × 1
𝑏= 1 ∈ ℝ\{0}.
Jadi 1
𝑏 adalah elemen invers terhadap operasi perkalian di ℝ\{0}.
Setelah dijelaskan konsep himpunan dan operasi biner, selanjutnya
dijelaskan tentang struktur aljabar sebagai suatu himpunan yang tak kosong yang
dilengkapi satu atau dua operasi biner.
B. Grupoid, Semigrup dan Monoid
Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi
dengan satu atau lebih operasi biner. Struktur aljabar di atas berturut-turut
dinotasikan dengan (𝑆,∗) dan (𝑆, +, ). Struktur aljabar yang paling sederhana
adalah grupoid, semigrup, dan monoid. Grupoid adalah himpunan tak kosong
yang dilengkapi dengan satu operasi biner. Semigrup adalah himpunan tak
kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner dan operasi binernya bersifat
asosiatif. Monoid adalah semigrup yang mempunyai elemen identitas. Berikut ini
diberikan contoh struktur aljabar grupoid, semigrup dan monoid.
Contoh 2.12 Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli terhadap operasi
penjumlahan. Berdasarkan sifat operasi penjumlahan bilangan asli diketahui
bahwa ℕ tertutup dan well-defined terhadap operasi penjumlahan. Jadi ℕ adalah
grupoid terhadap operasi penjumlahan.
Contoh 2.13 Akan ditunjukkan bahwa (ℕ,+) adalah semigrup. Pada Contoh
2.12 telah ditunjukkan bahwa (ℕ,+) well-defined dan tertutup. Hal ini berarti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
cukup diselidiki apakah operasi penjumlahan di ℕ asosiatif; dan diketahui bahwa
operasi penjumlahan bilangan asli bersifat asosiatif.
Jadi (ℕ,+) adalah semigrup.
Contoh 2.14 Misalkan ℤ adalah himpunan semua bilangan bulat. Akan
ditunjukkan bahwa (ℤ,+) adalah monoid.
Untuk menunjukkan (ℤ,+) adalah monoid harus ditunjukkan bahwa (ℤ,+)
adalah semigrup dan (ℤ,+) mempunyai elemen identitas terhadap operasi
penjumlahan. Diketahui bahwa di ℤ operasi penjumlahan bersifat tertutup dan
asosiatif. Jadi ℤ adalah semigrup. Sekarang akan ditunjukkan bahwa ℤ punya
elemen identitas terhadap operasi penjumlahan.
Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℤ, berdasarkan Definisi 2.7 bahwa 𝑎 + 𝑒 = 𝑎 ⟺ 𝑎 + 𝑒 −
𝑎 = 𝑎 − 𝑎 ⟺ 𝑒 = 0. Jadi terbukti bahwa ℤ mempunyai elemen identitas
terhadap operasi penjumlahan, yaitu 0. Jadi (ℤ,+) adalah monoid.
Selanjutnya penjelasan dilanjutkan dengan memberi fokus pada semigrup.
Penjelasan dimulai dengan mendefinisikan suatu grupoid sebagai semigrup.
Definisi 2.9 Suatu grupoid S adalah semigrup jika operasi binernya bersifat
asosiatif .
Definisi 2.9 menjelaskan bahwa tidak semua grupoid adalah semigrup.
Pada Contoh 2.13 di atas telah ditunjukkan bahwa suatu grupoid (ℕ,+) adalah
semigrup. Berikut ini akan diberikan contoh yang menjelaskan bahwa tidak
semua grupoid adalah semigrup.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Contoh 2.15 Misalkan (𝐺,∗) adalah grupoid. Operasi biner dari himpunan 𝐺
terdefinisi seperti dalam tabel berikut:
Tebel 2.1 Tabel Operasi Biner Himpunan 𝐺
(𝐺,∗) a B C d
A b C D a
B d A B c
C a B C d
D c D A b
Akan ditunjukkan bahwa (𝐺,∗) bukan semigrup. Hal itu berarti bahwa terdapat
elemen di 𝐺 jika dioperasikan dengan operasi yang terdefinisi pada 𝐺 tidak
asosiatif. Ambil sebarang 𝑎, 𝑎, 𝑎 ∈ 𝐺 maka
(𝑎 ∗ 𝑎) ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ (𝑎 ∗ 𝑎).
𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑏
𝑑 ≠ 𝑐
Berdasarkan hasil operasi di atas, G bukan semigrup.
Selanjutnya akan dijelaskan dan diberikan contoh semigrup komutatif.
Definisi 2.10 Semigrup (𝑆,∗) adalah semigrup komutatif jika operasi biner ∗
bersifat komutatif.
Contoh 2.16 Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli. Pada Contoh
2.13 telah dibuktikan bahwa (ℕ,+) adalah semigrup terhadap operasi
penjumlahan. Sekarang akan ditunjukkan bahwa (ℕ,+) adalah semigrup
komutatif. Diketahui bahwa operasi penjumlahan pada bilangan asli komutatif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Maka berdasarkan Definisi 2.10 dapat disimpulkan bahwa (ℕ,+) adalah
semigrup komutatif.
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa semigrup adalah
himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner yang bersifat
tertutup, terdefinisi dengan baik dan bersifat asosiatif. Suatu semigrup adalah
komutatif jika operasinya komutatif.
Penjelasan tentang semigrup dirangkum dari Howie (1995), Harju (1996)
dan Kandasamy (2002).
C. Semigelanggang
Pada Bagian B telah dijelaskan struktur aljabar dengan satu operasi biner.
Pada bagian ini akan dijelaskan struktur aljabar dengan dua operasi biner yang
dinotasikan dengan (𝑆, +, ) . Salah satu contoh struktur aljabar dengan dua
operasi biner adalah semigelanggang. Penjelasan selanjutnya tentang
semigelanggang dirangkum dari Howie (1995), Harju (1996), dan Heidergott,
dkk (2005).
Penjelasan pada bagian ini dimulai dengan menjelaskan elemen penyerap
pada grupoid dan definisi semigelanggang.
Definisi 2.11. Suatu elemen 𝑎 dalam suatu grupoid (𝑆,∗) disebut elemen
penyerap terhadap operasi biner ∗ jika ∀𝑥 ∈ 𝑆 berlaku 𝑎 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑎 = 𝑎.
Definisi 2.12 Suatu semigelanggang adalah suatu himpunan tak kosong 𝑆
yang dilengkapi dengan dua operasi biner, yaitu + dan yang memenuhi
aksioma-aksioma berikut:
,,S
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
1. (𝑆, +) adalah monoid komutatif dengan elemen identitasnya θ
2. (𝑆, ) adalah monoid dengan elemen identitasnya 𝑒
3. Elemen identitas 𝜃 adalah elemen penyerap terhadap operasi biner .
4. Operasi biner bersifat distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi
biner +.
Selanjutnya akan dijelaskan contoh himpunan tak kosong dengan dua
operasi dan merupakan semigelanggang.
Contoh 2.17 Misalkan ℝ adalah himpunan semua bilangan real yang dilengkapi
dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Akan ditunjukkan bahwa (ℝ,+,×)
adalah semigelanggang.
Berdasarkan Definisi 2.12 akan ditunjukkan bahwa:
1. (ℝ,+) adalah monoid komutatif
Diketahui ℝ adalah himpunan bilangan real. Ada empat sifat yang harus
diselidiki untuk menunjukkan bahwa (ℝ,+) adalah monoid komutatif yaitu
sifat tertutup, sifat asosiatif, sifat komutatif dan keberadaan elemen identitas.
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, maka berlaku bahwa 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ . Jadi ℝ tertutup
terhadap operasi biner +. Selanjutnya pada Contoh 2.7 telah ditunjukkan
bahwa operasi penjumlahan di ℝ asosiatif. Selanjutnya pada Contoh 2.6 telah
ditunjukkan juga bahwa operasi penjumlahan di ℝ komutatif. Akhirnya pada
Contoh 2.10 telah ditunjukkan bahwa ℝ terhadap operasi penjumlahan
mempunyai elemen identitas, yaitu 0. Jadi (ℝ,+) adalah semigrup komutatif
dengan elemen identitasnya 0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
2. (ℝ,×) adalah monoid
Diketahui ℝ adalah himpunan bilangan real. Ada tiga sifat yang harus
ditunjukkan untuk membuktikan bahwa (ℝ,×) adalah monoid yaitu sifat
tertutup, sifat asosiatif, dan keberadaan elemen identitas. Ambil sebarang
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, berlaku bahwa 𝑎 × 𝑏 ∈ ℝ . Jadi ℝ tertutup terhadap operasi
perkalian. Selanjutnya pada Contoh 2.7 telah ditunjukkan bahwa operasi
perkalian di ℝ asosiatif. Akhirnya pada Contoh 2.10 telah ditunjukkan bahwa
ℝ terhadap operasi perkalian mempunyai elemen identitas, yaitu 1. Jadi
terbukti (ℝ,×) adalah monoid.
3. Akan ditunjukkan bahwa elemen 0 adalah elemen penyerap terhadap operasi
perkalian. Diketahui bahwa 0 ∈ ℝ dan 0 adalah elemen identitas terhadap
operasi + di ℝ. Ambil sebarang a ℝ maka 0 × 𝑎 = 𝑎 × 0 = 0 . Jadi 0
adalah elemen penyerap terhadap operasi × di ℝ.
4. Akan ditunjukkan operasi perkalian di (ℝ,+,×) bersifat distributif kiri dan
distirbutif kanan terhadap operasi penjumlahan. Pada Contoh 2.8 telah
ditunjukkan bahwa operasi perkalian di (ℝ,+,×) bersifat distributif kiri dan
distirbutif kanan terhadap operasi penjumlahan.
Jadi berdasarkan 1, 2, 3 dan 4 (ℝ, , ) adalah semigelanggang.
Selanjutnya dijelaskan dua semigelanggang yang memiliki sifat khusus,
yaitu semigelanggang komutatif dan semigelanggang idempoten.
Definisi 2.13 Suatu semigelanggang (𝑆, +, ) adalah semigelanggang komutatif
jika operasi biner bersifat komutatif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
Contoh 2.18 Akan ditunjukkan bahwa (ℝ, , ) adalah semigelanggang
komutatif. Pada Contoh 2.17 telah ditunjukkan bahwa (ℝ, , ) adalah
semigelanggang. Jadi cukup ditunjukkan bahwa di ℝ berlaku sifat komutatif
terhadap operasi perkalian. Pada Contoh 2.6 telah ditunjukkan bahwa operasi
perkalian di ℝ komutatif. Karena (ℝ, , ) adalah semigelanggang dan terhadap
operasi perkalian ℝ komutatif maka (ℝ, , ) adalah semigelanggang komutatif.
Definisi 2.14 Suatu semigelanggang (𝑆, +, ) disebut semigelanggang idempoten
jika operasi biner + bersifat idempoten.
Contoh 2.19 Misalkan ℝ+ adalah himpunan semua bilangan real tak negatif.
Pada ℝ+didefinisikan operasi minimum yang dinotasikan dengan ⊖ dan operasi
perkalian bilangan real yang dinotasikan dengan ⊙, sehingga ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+
berlaku 𝑎 ⊖ 𝑏 = min(𝑎, 𝑏) dan 𝑎 ⊙ 𝑏 = 𝑎 × 𝑏. Akan ditunjukkan bahwa
(ℝ+,⊖,⨀) adalah semigelanggang idempoten. Pertama harus ditunjukkan bahwa
(ℝ+,⊖,⨀) adalah semigelanggang. Untuk menunjukkan bahwa (ℝ+,⊖,⨀)
adalah semigelanggang, harus ditunjukkan bahwa:
1. (ℝ+,⊖) adalah monoid komutatif.
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+ maka berlaku
a. 𝑎 ⊝ 𝑏 = min(𝑎, 𝑏) ∈ℝ+. Jadi ℝ+ tertutup.
b. (𝑎 ⊖ 𝑏)⊝ 𝑐 = min(min(𝑎, 𝑏), 𝑐) = min(𝑎, 𝑏, 𝑐)
= min(𝑎,min(𝑏, 𝑐)) = 𝑎 ⊝ (𝑏 ⊝ 𝑐)
Jadi ℝ+ asosiatif terhadap operasi ⊝.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
c. 𝑎 ⊖ 𝑏 = min(𝑎, 𝑏) = min(𝑏, 𝑎) = 𝑏 ⊝ 𝑎 . Jadi ℝ+ bersifat komutatif
terhadap operasi ⊝.
d. Misalkan (ℝ+,⊖) mempunyai elemen identitas, yaitu 𝑒. Berdasarkan
Definisi 2.7 maka
(𝑎 ⊖ 𝑏) + 𝑒 = 𝑎 ⊖ 𝑏
min(𝑎, 𝑏) + 𝑒 = min(𝑎, 𝑏)
min(𝑎, 𝑏) + 𝑒 −min(𝑎, 𝑏) = min(𝑎, 𝑏) − min(𝑎, 𝑏)
00 e
.0e Jadi 0 adalah elemen identitas di (ℝ+,⊖)
Jadi berdasarkan a, b, c dan d terbukti bahwa (ℝ+,⊖) adalah monoid
komutatif dengan elemen identitas 0.
2. (ℝ+, ⨀) adalah monoid.
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+ maka berlaku
a. 𝑎 ⊙ 𝑏 = 𝑎 × 𝑏 ∈ ℝ+. Jadi ℝ+ tertutup terhadap operasi ⊙.
b. (𝑎 ⊙ 𝑏)⨀𝑐 = (𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 × 𝑐
= 𝑎 × (𝑏 × 𝑐) = 𝑎 ⊙ (𝑏 ⊙ 𝑐)
Jadi ℝ+ asosiatif terhadap operasi ⊙.
c. Ambil sebarang a adalah elemen identitas di (ℝ+, ⨀).
Berdasarkan Definisi 2.7 maka untuk 𝑎 ≠ 0 berlaku
𝑎 ⊙ 𝑒 = 𝑎 ⟺ 𝑎 × 𝑒 = 𝑎 ⟺ 𝑎 × 𝑒 × 1
𝑎= 𝑎 × 1
𝑎⟺ 𝑒 = 1
Untuk 𝑎 = 0. Diketahui 1 ∈ ℝ+, maka 0 × 1 = 1 × 0 = 0.
Jadi 1 adalah identitas di (ℝ+, ⨀).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Berdasarkan a, b dan c, dapat disimpulkan bahwa (ℝ+, ⨀) adalah
monoid dengan elemen identitas adalah 1.
3. Diketahui bahwa 0 ∈ ℝ+ dan 0 adalah elemen identitas terhadap operasi ⊖ di
ℝ+. Ambil sebarang a ℝ+, maka berlaku 0⊙ 𝑎 = 𝑎⊙ 0 = 0 . Jadi 0
adalah elemen penyerap terhadap operasi ⊙ di ℝ+.
4. Operasi biner ⨀ di (ℝ+,⊖,⨀) bersifat distributif kiri dan distributif kanan
terhadap operasi biner ⊖. Ambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+ maka berlaku:
1) (𝑎 ⊖ 𝑏)⊙ 𝑐 = min(𝑎, 𝑏) × 𝑐 = min(𝑎 × 𝑐, 𝑏 × 𝑐)
= (𝑎 ⊙ 𝑐)⊖ (𝑏 ⊙ 𝑐)
2) 𝑎 ⊙ (𝑏 ⊝ 𝑐) = 𝑎 × min(𝑏, 𝑐) = min(𝑎 × 𝑏, 𝑎 × 𝑐)
= (𝑎 ⊙ 𝑏)⊝ (𝑎 ⊙ 𝑐)
Berdasarkan a, b maka disimpulkan bahwa operasi ⨀ bersifat distributif
kiri dan distributif kanan terhadap ⊖ di (ℝ+,⊖,⨀).
Berdasarkan 1, 2, 3 dan 4 terbukti bahwa (ℝ+,⊖,⨀) adalah semigelanggang.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi ⊖ idempoten. Ambil sebarang
𝑎 ∈ ℝ+ maka berlaku 𝑎 ⊖ 𝑎 = 𝑚𝑖𝑛(𝑎, 𝑎) = 𝑎.
Jadi operasi ⊖ idempoten. Karena (ℝ+,⊖,⨀) adalah semigelanggang dan
operasi ⊖ idempoten, (ℝ+,⊖,⨀) adalah semigelanggang idempoten.
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa semigelanggang adalah
struktur aljabar yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi
aksioma: terhadap operasi pertama membentuk monoid komutatif; terhadap
operasi kedua membentuk monoid; elemen identitas terhadap operasi pertama
merupakan elemen penyerap terhadap operasi kedua dan operasi kedua bersifat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
distributif kiri dan distributif kanan terhadap operasi pertama. Suatu
semigelanggang adalah komutatif, jika operasi keduanya komutatif; dan
semigelanggang adalah idempoten jika operasi pertama idempoten.
D. Semilapangan
Struktur aljabar terakhir yang akan dijelaskan adalah semilapangan.
Semilapangan adalah semigelanggang komutatif yang mendapat tambahan sifat
khusus, yaitu untuk setiap elemen yang bukan elemen identitas terhadap operasi
pertama mempunyai elemen invers terhadap operasi kedua. Definisi formal
semilapangan dijelaskan oleh dua definisi berikut:
Definisi 2.15 Suatu semigelanggang komutatif (𝑆, +, ) disebut semilapangan
jika setiap elemen di 𝑆 yang bukan elemen identitas 𝜃 mempunyai invers
terhadap operasi biner yaitu ∀𝑎 ∈ 𝑆\{𝜃}, ∃𝑎−1 sehingga 𝑎 𝑎−1 = 𝑒, dengan 𝑒
adalah elemen identitas terhadap operasi .
Definisi 2.16 Suatu semilapangan (𝑆, +, ) adalah semilapangan idempoten jika
operasi bersifat idempoten.
Selanjutnya diberikan contoh semigelanggang komutatif yang merupakan
semilapangan idempoten.
Contoh 2.20 Misalkan Himpunan ℝ ∪ 𝜀 dengan ℝ adalah himpunan semua
bilangan real; Misalkan juga di ℝ ∪ 𝜀 didefinisikan 𝑒 = 0 dan 𝜀 = −∞ serta dua
operasi biner yang belaku di himpunan ℝ ∪ 𝜀, operasi dan dan operasi yang
didefinisikan sebagai berikut:
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ∪ 𝜀, 𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) dan 𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Himpunan ℝ ∪ 𝜀 yang dilengkapi dengan operasi biner dan adalah
semilapangan idempotent. Himpunan ini kemudian dikenal dengan sebutan
aljabar max-plus. Bukti lengkap Contoh 2.20 ini akan dijelaskan pada Bab III.
E. Vektor dan Matriks Pada Himpunan Bilangan Real
Pada bagian ini dijelaskan definisi tentang vektor dan matriks pada
himpunan bilangan real serta nilai eigen dan vektor eigen dari matriks real.
Pembahasan dimulai dengan memberikan definisi tentang lapangan dan ruang
vektor.
Definisi 2.17 Lapangan adalah semilapangan yang mempunyai elemen invers
terhadap operasi pertama.
Definisi 2.18 Misalkan 𝐹 adalah lapangan. Himpunan 𝐹 adalah ruang vektor jika
untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐹 dan sebarang skalar 𝑘 ∈ ℝ berlaku 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐹 dan hasil kali
𝑘𝑎 ∈ 𝐹.
Salah satu contoh lapangan adalah himpunan bilangan real ℝ dengan
operasi penjumlahan dan operasi perkalian dan disebut lapangan real ℝ .
Menurut Definisi 2.17 dan Definisi 2.18 jika
ℝ𝑛 = ℝ × ℝ× …×ℝ = {𝒂 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 1,… , 𝑛}
dan pada ℝ𝑛 didefinisikan operasi:
Penjumlahan: 𝒂 + 𝒃 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) + (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛)
= (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2, … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)
Perkalian dengan skalar 𝛼 di ℝ
𝛼 × 𝒂 = 𝛼 × (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
= (𝛼 × 𝑎1, 𝛼 × 𝑎2, … , 𝛼 × 𝑎3)
maka ℝ𝑛 merupakan ruang vektor atas lapangan real ℝ , 𝒂 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)
disebut vektor real (Anton, 2005).
Setelah dijelaskan vektor real di ℝ𝑛, selanjutnya akan dijelaskan konsep
matriks pada himpunan bilangan real, nilai eigen dan vektor eigen pada matriks
real. Penjelasan dimulai dengan memberikan definisi tentang matriks.
Definisi 2.19 Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-
bilangan dalam susunan itu disebut elemen-elemen dari matriks tersebut (Anton,
2005).
Definisi 2.20 Ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris 𝑖 banyaknya
kolom 𝑗 dalam matriks itu (Kolman, 2001).
Selanjutnya jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚× 𝑛 maka elemen yang
terletak pada baris ke- 𝑖 dalam kolom ke- 𝑗 matriks 𝐴 dinotasikan dengan 𝑎𝑖𝑗 atau
[𝐴]𝑖𝑗 dengan 𝑖 = 1,… ,𝑚 dan 𝑗 = 1,… , 𝑛. Bentuk umum matriks 𝐴 berukuran
𝑚 × 𝑛 dituliskan sebagai berikut:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
11211
Untuk penjelasan selanjutnya matriks yang dijelaskan adalah matriks
yang elemen-elemennya adalah himpunan semua bilangan real. Himpunan
matriks real berukuran 𝑚 × 𝑛 dinotasikan dengan ℝ𝑚𝑥𝑛. Berikut ini beberapa
tipe matriks, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
1. Jika semua elemen matriks 𝐴 bernilai nol maka matriks 𝐴 disebut matriks nol.
2. Matriks dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom sama disebut matriks
persegi. Matriks persegi dengan baris dan kolom sebanyak 𝑛 disebut matriks
persegi berukuran 𝑛 × 𝑛. Jika matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] adalah matriks persegi
berukuran 𝑛 × 𝑛 maka elemen-elemen 𝑎11, 𝑎22,… , 𝑎𝑛𝑛 disebut elemen
diagonal utama matriks 𝐴.
3. Suatu matriks persegi berukuran 𝑛 × 𝑛 disebut matriks identitas jika elemen
diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0. Matriks identitas berukuran
𝑛 × 𝑛 dinotasikan dengan 𝐼𝑛.
Setelah dijelaskan konsep tentang matriks, selanjutnya akan dijelaskan
definisi operasi-operasi pada matriks.
Definisi 2.21
1. Untuk 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 maka 𝐴 + 𝐵 = [𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗], dengan 𝐴 + 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛.
2. Untuk 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑝 dan 𝐵 ∈ ℝ𝑝𝑥𝑛 maka 𝐴 × 𝐵 = 𝐶 dengan 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 dan
p
k kjikij bac1
untuk 𝑖 = 1,… ,𝑚 dan 𝑗 = 1,… , 𝑛.
3. Untuk sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛 dan sebarang skalar 𝑠 ∈ ℝ maka
𝑠 × 𝐴 = [𝑠 × 𝑎𝑖𝑗] dengan 𝑠 × 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑥𝑛.
Setelah didefinisikan tiga operasi pada matriks di atas, berikut ini akan
didefinisikan operasi pangkat pada matriks.
Definisi 2.22 Misalkan A adalah matriks persegi berordo 𝑛 dan 𝑝 adalah bilangan
bulat positif maka operasi pangkat pada matriks didefinisikan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
𝐴𝑝 = 𝐴 × 𝐴 ×…× 𝐴⏟ 𝑝
Berdasarkan Definisi 2.21, 𝐴𝑝dapat ditulis juga sebagai berikut
𝐴𝑝 = 𝐴 × 𝐴 × 𝐴 × …× 𝐴⏟ 𝑝−1
= 𝐴 × 𝐴𝑝−1
Untuk 0p maka .0
nIA
Selanjutnya akan dijelaskan definisi nilai eigen dam vektor eigen matriks.
Definisi 2.23 Misalkan 𝐴 adalah suatu matriks berordo 𝑛 × 𝑛, suatu vektor 𝒙 ≠ 𝟎
di ℝ𝑛 disebut vektor eigen dari matriks 𝐴 jika 𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 untuk suatu skalar 𝜆.
Skalar 𝜆 disebut nilai eigen (Anton, 2005).
Setelah menjelaskan konsep himpunan, operasi biner, semigrup,
semigelanggang, semilapangan, vektor dan matriks pada himpunan bilangan real,
selanjutnya konsep-konsep tersebut akan digunakan sebagai landasan untuk
menjelaskan teori aljabar max-plus yang akan dijelaskan pada bab selanjutnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
BAB III
ALJABAR MAX-PLUS
Pada bab ini dijelaskan tentang konsep dasar aljabar max-plus yang
mencakup definisi aljabar max-plus, operasi dalam aljabar max-plus dan sifat-
sifatnya, vektor dan matriks dalam aljabar max-plus, graf dalam aljabar max-plus,
nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus. Penjelasan tentang topik-
topik di atas dijelaskan dalam definisi-definisi dan teorema serta dilengkapi
dengan contoh-contoh penjelas tentang topik-topik yang bersangkutan.
A. Definisi Aljabar Max-Plus
Secara singkat aljabar max-plus dapat didefinisikan sebagai himpunan
ℝ ∪ {𝜀} dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan
operasi maksimum dan operasi penjumlahan dan membentuk semilapangan.
Secara matematika, definisi tentang aljabar max-plus dijelaskan lebih lanjut
dalam definisi dan teorema-teorema berikut ini.
Definisi 3.1 Notasi ℝℰ menunjuk pada himpunan ℝ ∪ {𝜀} dengan ℝ adalah
himpunan semua bilangan real (Bacelli, 2001).
Definisi 3.2 Didefinisikan 𝜀 = −∞ dan 𝑒 = 0 maka ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝℰ , operasi ⊕ dan
operasi ⊗ didefinisikan sebagai berikut:
𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) dan 𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Didefinisikan juga bahwa max(𝑎, 𝜀) = max(𝜀, 𝑎) = 𝑎 dan 𝑎 + 𝜀 = 𝜀 + 𝑎 = 𝜀
sehingga untuk setiap 𝑎 ∈ ℝℰ , dapat dituliskan
𝑎 ⊕ 𝜀 = 𝜀 ⊕ 𝑎 = 𝑎 dan 𝑎 ⊗ 𝜀 = 𝜀 ⊗ 𝑎 = 𝜀.
Dalam Heidergott, cs, 2006 himpunan ℝℰ yang dilengkapi operasi ⊕ dan
⊗ disebut aljabar max-plus dan dinotasikan dengan ℝ𝑚𝑎𝑥 = (ℝ𝜀 ,⊕,⊗). Pada
penjelasan selanjutnya sebutan dan notasi ini digunakan dalam karya tulis ini
untuk menyederhanakan penyebutan aljabar max-plus.
Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh penggunaan operasi ⊕ dan
⊗ dalam perhitungan .
Contoh 3.1 Perhatikan contoh operasi ⊕ dan ⊗ yang digunakan pada masalah
berikut:
5⊕ 2 = max(5,2) = 5
5⊕ 𝜀 = max(5, 𝜀) = 5
5⊗ 𝜀 = 5 + (−∞) = −∞
𝑒 ⊕ 2 = max(0,2) = 2
3⊗ 𝑒 = 3 + 0 = 3
4⊗ 8 = 4 + 8 = 12
Setelah dijelaskan definisi tentang ℝ𝑚𝑎𝑥, berikut ini akan dijelaskan dua
teorema yang menjelaskan sifat dasar ℝ𝑚𝑎𝑥 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Teorema 3.3 ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang komutatif dan idempoten (Bacelli,
2001).
Bukti
Akan dibuktikan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang komutatif dan idempoten.
Untuk membuktikan ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang komutatif dan idempoten
maka dibuktikan bahwa
1. ℝmax adalah semigelanggang.
Untuk membuktikan bahwa (ℝ𝑚𝑎𝑥,⊕,⊗) adalah semigelanggang ditempuh
langkah-langkah berikut:
a. Akan dibuktikan (ℝ𝑚𝑎𝑥,⊕) adalah monoid komutatif. Oleh karena itu
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 berlaku:
i. Operasi ⊕ di ℝ𝑚𝑎𝑥 asosiatif, yaitu:
(𝑎 ⊕ 𝑏)⊕ 𝑐 = max(max(𝑎, 𝑏), 𝑐) = max(𝑎, 𝑏, 𝑐)
= max(𝑎,max(𝑏, 𝑐)) = 𝑎 ⊕ (𝑏⊕ 𝑐)
ii. Operasi ⊕ di ℝ𝑚𝑎𝑥 komutatif, yaitu:
𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) = max(𝑏, 𝑎) = 𝑏 ⊕ 𝑎
iii. Terdapat elemen 𝜀 = −∞ ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , sedemikian hingga
𝑎 ⊕ 𝜀 = max(𝑎,−∞) = max(−∞, 𝑎) = 𝑎.
Jadi berdasarkan Definisi 2.7 terbukti bahwa 𝜀 = −∞ adalah elemen
identitas dari (ℝ𝑚𝑎𝑥 ,⊕).
Berdasarkan i, ii, dan iii terbukti bahwa (ℝ𝑚𝑎𝑥 ,⊕) adalah monoid komutatif
dengan elemen identitas, yaitu 𝜀 = −∞
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
b. Akan dibuktikan bahwa (ℝ𝑚𝑎𝑥 ,⊗) adalah monoid.
Oleh karena itu ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , berlaku:
i. Operasi ⊗ di ℝ𝑚𝑎𝑥 asosiatif, yaitu:
(𝑎 ⊗ 𝑏)⊗ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ⊗ (𝑏 ⊗ 𝑐)
ii. Terdapat elemen 0e di ℝ𝑚𝑎𝑥 sehingga
𝑎 ⊗ 𝑒 = 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎. Jadi berdasarkan Definisi 2.7 terbukti
bahwa 0e adalah elemen identitas dari (ℝ𝑚𝑎𝑥,⊗).
Jadi, berdasarkan i dan ii terbukti bahwa (ℝ𝑚𝑎𝑥,⊗) adalah monoid
dengan elemen identitas .0e
c. Akan dibuktikan di ℝ𝑚𝑎𝑥 terdapat elemen penyerap terhadap operasi ⊗
Diketahui bahwa −∞ ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 dan −∞ adalah elemen identitas terhadap
operasi ⊕ di ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥. Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , berdasarkan Definisi 2.11
berlaku 𝑎 ⊗ −∞ = −∞⊗ 𝑎 = −∞ . Jadi adalah elemen penyerap
terhadap operasi ⊗ di ℝ𝑚𝑎𝑥 .
d. Operasi ⊗ bersifat distributif terhadap ⊕, cba ,, ℝ𝑚𝑎𝑥 berlaku:
i. Sifat distributif kanan, yaitu:
(𝑎 ⊕ 𝑏) ⊗ 𝑐 = max(𝑎, 𝑏) + 𝑐 = max(𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑐)
= (𝑎 ⊗ 𝑐) ⊕ (𝑏 ⊗ 𝑐)
ii. Sifat distributif kiri, yaitu:
𝑎 ⊗ (𝑏 ⊕ 𝑐) = 𝑎 +𝑚𝑎𝑥 (𝑏, 𝑐) = 𝑚𝑎𝑥 (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑐)
= (𝑎 ⊗ 𝑏) ⊕ (𝑎 ⊗ 𝑐)
Kesimpulan: berdasarkan a, b, c dan d terbukti bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah
semigelanggang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
2. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang
komutatif.
Berdasarkan Definisi 2.13 untuk membuktikan ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang
komutatif harus ditunjukkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang dan operasi
kedua pada ℝ𝑚𝑎𝑥 komutatif. Pada bagian (1) telah ditunjukkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥
adalah semigelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi kedua di
ℝ𝑚𝑎𝑥 komutatif.
Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , 𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 = 𝑏 ⊗ 𝑎. Jadi, untuk
sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 operasi ⊗ komutatif.
Berdasarkan bagian (1) dan (2) terbukti bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang
komutatif.
3. Yang terakhir akan dibuktikan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang
idempoten.
Berdasarkan Definisi 2.14 untuk membuktikan ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang
idempoten, harus ditunjukkan ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah semigelanggang dan operasi pertama
pada ℝ𝑚𝑎𝑥 idempoten. Pada bagian (1) telah ditunjukkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah
semigelanggang. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi ⊕ pada ℝ𝑚𝑎𝑥
idempoten. Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , 𝑎 ⊕ 𝑎 = max(𝑎, 𝑎) = 𝑎.
Jadi untuk sebarang 𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , operasi ⊕ idempoten. Terbukti bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥
adalah semigelanggang idempoten.
Kesimpulan: Berdasarkan 1, 2, dan 3 terbukti bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah
semigelanggang komutatif dan idempoten. ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Selanjutnya akan dijelaskan juga teorema yang menjelaskan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥
adalah suatu semilapangan.
Teorema 3.4 ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah suatu semilapangan (Bacelli, 2001).
Bukti
Akan ditunjukkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah suatu semilapangan.
Berdasarkan Teorema 3.3 telah dibuktikan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah suatu
semigelanggang komutatif. Oleh karena itu, untuk membuktikan ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah
semilapangan, cukup dibuktikan bahwa di ℝ𝑚𝑎𝑥 untuk setiap elemen yang bukan
elemen identitas −∞ mempunyai invers terhadap operasi ⊗.
Ambil sebarang 𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥\{−∞}, ∃𝑎−1 = −𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥
maka berlaku 𝑎 ⊗ 𝑎−1 = 𝑒 atau 𝑎 + (−𝑎) = 0. Jadi terbukti bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah
semilapangan. ∎
Berdasarkan Teorema 3.3 dan Teorema 3.4 dapat disimpulkan bahwa ℝ𝑚𝑎𝑥
adalah himpunan ℝ𝜀 yang dilengkapi dengan operasi ⊕ dan ⊗ serta membentuk
semilapangan idempoten.
B. Notasi di ℝ𝒎𝒂𝒙
Dalam rangka memahami operasi biner dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 maka perlu
diperkenalkan notasi yang berlaku dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 . Pada Definisi 3.2 di atas, telah
diperkenalkan dua operasi yang dinotasikan dengan ⊕ dan ⊗. Dalam Definisi
3.2 juga telah dijelaskan bahwa operasi ⊕ dan ⊗ dalam aljabar biasa
didefinisikan sebagai operasi maksimum untuk operasi ⊕; dan penjumlahan
untuk operasi ⊗. Dengan demikian cara sederhana untuk memahami sifat-sifat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
operasi dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 adalah menganalogikannya dengan operasi yang berlaku
dalam aljabar biasa. Misalkan, dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 terdapat operasi biner “ ” (baca: O
bagi) sebagai invers dari operasi ⊗. Dengan menganalogikannya pada aljabar
biasa, operasi biner sebagai invers dari operasi ⊗ dapat dianalogikan dengan
invers dari operasi penjumlahan dalam aljabar biasa, yaitu pengurangan. Oleh
karena itu operasi 𝑎 𝑏 dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dapat diselesaikan dengan menggunakan
aljabar biasa, yaitu 𝑎 − 𝑏. Notasi untuk operasi lainnya di ℝ𝑚𝑎𝑥 diberikan dalam
tabel analogi notasi operasi berikut:
Tabel. 3.1 Analogi Notasi ℝ𝑚𝑎𝑥
Notasi ℝ𝒎𝒂𝒙 Notasi Aljabar Biasa
⊕ max( )
⊗ +
−
√ /
𝑒 0
𝜀 −∞
Selanjutnya pada tabel berikut diberikan beberapa contoh penggunaan
notasi dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dan cara pengoperasiaannya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Tabel 3.2 Contoh Penggunaan Notasi Operasi dalam ℝ𝑚𝑎𝑥
ℝ𝒎𝒂𝒙 Aljabar Biasa =
4⊕ 7 max(4,7) 7
1⊕ 2⊕ 3⊕ 4⊕ 5 max(1, 2, 3, 4, 5) 5
4⊗ 5 4 + 5 9
4⊕ 𝜀 max(4, 𝜀) 4
𝜀 ⊗ 4 𝜀 + 4
−5⊗ 2 −5 + 2 −3
𝑒 ⊗ 5 50 5
3⊗2 = 3⊗ 3 3+3 6
𝑒⊗2 = 2⊗0 2 × 0 = 0 × 2 0
(4 ⊗ 7) (4⊕ 7) 4 + 7 −max(4,7) 4
(2⊕ 3)⊗3 = 2⊗3⊕3⊗3
3 ×max(2,3) atau
max(3 × 2, 3 × 3) 9
8 𝑒 8 − 0 8
𝑒 5 0 − 5 −5
√142
14
2⁄ 7
√255
25
5⁄ 5
Pembahasan pada Bagian B di atas dirangkum dari Bacelli (2001) dan
Heidergott, dkk (2006).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
C. Sifat Operasi di ℝ𝒎𝒂𝒙
Definisi 3.2, Teorema 3.3 dan Teorema 3.4 telah menjelaskan sifat-sifat
operasi biner dalam ℝ𝑚𝑎𝑥. Kemudian pada Bagian B juga telah dijelaskan notasi
operasi dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dan cara pengoperasiannya. Oleh karena itu, pada bagian ini
akan dijelaskan sifat-sifat operasi yang belum dijelaskan pada Bagian A dan
Bagian B.
Contoh 3.2 Perhatikan masalah dalam contoh berikut 4⊗−7⊕ 5⊗ 2.
Sebelum menyelesaikannya, masalah pada Contoh 3.2 di atas harus dipahami
sebagai (4⊗ −7)⊕ (5⊗ 2).Oleh karena itu, solusi yang tepat untuk masalah
ini adalah (4⊗−7)⊕ (5⊗ 2) = max(4 + (−7), 5 + 2) = 7.
Dalam Contoh 3.2 diperlihatkan bahwa terdapat analogi antara sifat
operasi ⊕ dan operasi ⊗ dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dengan sifat operasi + dan operasi −
dalam aljabar biasa, yaitu dalam hal urutan pengoperasiaan, jika tidak ada tanda
kurung operasi ⊗ mempunyai prioritas (atau lebih kuat) daripada operasi ⊕
(Heidergott dkk, 2006).
Pangkat 𝑛 ∈ ℕ ∪ {0} dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli,
dari elemen 𝑎 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 dinotasikan dengan 𝑎⊗𝑛. Notasi 𝑎⊗𝑛 didefinisikan
sebagai berikut: 𝑎⊗0; = 0 dan 𝑎⊗𝑛 ≔ 𝑎⊗ 𝑎𝑛−1, untuk 𝑛 = 1, 2, …
Didefinisikan juga 𝜀⊗0 ≔ 0 dan 𝜀⊗𝑛: = 𝜀, untuk 𝑛 = 1, 2, …
Diperhatikan bahwa ,...... naaaaaaaaaann
n
dengan 𝑛𝑎 adalah operasi perkalian pada bilangan real. Sifat pangkat dalam
ℝ𝑚𝑎𝑥 mempunyai prioritas tertinggi dibandingkan dengan operasi ⊕ dan ⊗.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Berdasarkan operasi pangkat ℝ𝑚𝑎𝑥 dan sifat operasi akar pada aljabar
biasa, maka dapat dijelaskan cara menghitung operasi √𝑎𝑏 di ℝ𝑚𝑎𝑥 . Dalam
ℝ𝑚𝑎𝑥 operasi √𝑎𝑏 didefinisikan dengan menggunakan definisi akar pada aljabar
biasa dan kemudian menganalogikan operasi pangkat biasa dengan operasi
pangkat dalam ℝ𝑚𝑎𝑥. Maka dapat dijelaskan
√𝑎𝑏
= 𝑥 ⟺ 𝑎 = 𝑥𝑏
Dengan menganalogikan 𝑥𝑏 ke bentuk pangkat di ℝ𝑚𝑎𝑥, maka
𝑎 = 𝑥⊗𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑏𝑥 ⟺ 𝑥 =𝑎
𝑏
Penjelasan lebih lanjut mengenai pangkat dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dapat dilihat dalam
teorema berikut.
Teorema 3.5 (Farlow, 2009)
Untuk setiap 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ; dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli dan
untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥, berlaku
1. 𝑎⊗𝑚⊗𝑎⊗𝑛 = 𝑎⊗(𝑚⊗𝑛)
2. (𝑎⊗𝑚)⊗𝑛
= 𝑎⊗(𝑚⊗𝑛)
3. 𝑎⊗1 = 𝑎
4. 𝑎⊗𝑚⊗𝑏⊗𝑚 = (𝑎 ⊗ 𝑏)⊗𝑚
Bukti
Ambil sebarang 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ dan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 , sedemikian sehingga
1. 𝑎⊗𝑚⊗𝑎⊗𝑛 = 𝑚𝑎 + 𝑛𝑎 = (𝑚 + 𝑛)𝑎 = 𝑎⊗(𝑚⊗𝑛)
2. (𝑎⊗𝑚)⊗𝑛
= (𝑚𝑎)⊗𝑛 = 𝑛(𝑚𝑎) = (𝑛𝑚)𝑎 = 𝑎⊗(𝑚⊗𝑛)
3. 𝑎⊗1 = 1𝑎 = 𝑎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
4. 𝑎⊗𝑚⊗𝑏⊗𝑚 = 𝑚𝑎 +𝑚𝑏 = 𝑚(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 ⊗ 𝑏)⊗𝑚 ∎
Contoh 3.3 Hitunglah operasi ℝ𝑚𝑎𝑥 berikut ini
1. 5⊗3 = 3 × 5 = 15
2. 8⊗12 =
1
2× 8 = 4
3. 2⊗3⊗2⊗2 = (3 × 2) + (2 × 2) = 6 + 4 = 10
4. (3⊗2)⊗3= 3 × 2 × 3 = 18
D. Vektor dan Matriks di ℝ𝒎𝒂𝒙
Pada bagian ini akan dijelaskan vektor dan matriks pada ℝ𝑚𝑎𝑥 yang
mencakup definisi vektor di ℝ𝑚𝑎𝑥, definisi matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 dan operasi matriks
di ℝ𝑚𝑎𝑥 serta sifat-sifatnya. Penjelasan pada bagian ini dirangkum dari Farlow
(2009), Bacelli (2001), Heidergott, dkk (2006), Rudhito (2003), Andersen
(2002).
1. Vektor di ℝ𝒎𝒂𝒙
Berikut ini akan didefinisikan ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 berdasarkan ℝ𝑚𝑎𝑥 sebagai
ℝ𝜀𝑛 = ℝ𝜀 × …× ℝ𝜀 = {𝒂 = (𝑎1, … , 𝑎𝑛)|𝑎𝑖 ∈ ℝ𝜀 , 𝑖 = 1,… , 𝑛} dan pada ℝ𝜀
𝑛
didefinisikan:
a. Operasi ⊕:𝒂⊕ 𝒃 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) ⊕ (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛)
= (𝑎1⊕𝑏1, 𝑎2⊕𝑏2, … , 𝑎𝑛⊕𝑏𝑛)
b. Operasi ⊗ dengan skalar 𝛼 di ℝ𝜀
𝛼 ⊗ 𝒂 = 𝛼 ⊗ (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛)
= (𝛼 ⊗ 𝑎1, 𝛼 ⊗ 𝑎2, … , 𝛼 ⊗ 𝑎𝑛)
𝒂 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 disebut vektor pada ℝ𝑚𝑎𝑥.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Definisi 3.6 Dua vektor 𝒂 dan 𝒃 di ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 dikatakan sama jika elemen-elemen
yang bersesuaian sama.
Selanjutnya vektor 𝒂 di ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 ditulis sebagai vektor kolom, yaitu suatu
vektor yang dihasilkan dengan mentranspose vektor 𝒂.
2. Matriks di ℝ𝒎𝒂𝒙
Dalam aljabar linear, untuk ℝ adalah himpunan semua bilangan real,
dapat dibentuk suatu matriks 𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛 yang entri-entrinya adalah
elemen-elemen di ℝ. Demikian juga dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 dapat dibentuk suatu matriks 𝐴
berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan entri-entrinya adalah elemen di ℝ𝑚𝑎𝑥 . Selanjutnya
matriks yang dijelaskan adalah matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 .
Himpunan matriks 𝑚 × 𝑛 untuk 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ dengan ℕ adalah himpunan
semua bilangan asli dinotasikan dengan ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛. Sedangkan untuk 𝑚 = 𝑛 matriks
A di atas didefinisikan sebagai matriks persegi. Himpunan matriks 𝑛 × 𝑛 untuk
n ℕ dengan ℕ adalah himpunan semua bilangan asli dinotasikan dengan ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 .
Selanjutnya akan dijelaskan tentang operasi matriks. Pada Bagian A dan
Bagian B telah dijelaskan tentang operasi ⊕ dan ⊗ pada ℝ𝑚𝑎𝑥 . Kedua operasi
tersebut dapat diperluas untuk operasi matriks. Seperti pada matriks real, operasi
matriks atas ℝ𝑚𝑎𝑥 juga memiliki tiga operasi dasar. Dalam definisi berikut
dijelaskan tiga operasi matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥.
Definisi 3.7 Diberikan ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛 ≔ {𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]|𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥}, untuk 𝑖 = 1,… ,𝑚 dan
untuk 𝑗 = 1,… , 𝑛. Diketahui 𝛼 ∈ ℝ dan 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Secara berturut-turut didefinisikan 𝛼 ⊗ 𝐴 dan 𝐴⊕ 𝐵 adalah matriks yang unsur
ke-𝑖𝑗-nya adalah
(𝛼 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝛼⊗ 𝑎𝑖𝑗 dan (𝐴⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗
untuk 𝑖 = 1,… ,𝑚 dan untuk 𝑗 = 1,… , 𝑛.
Diketahui matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑝
dan 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑝×𝑛
.
Didefinisikan 𝐴⊗ 𝐵 adalah matriks yang unsur ke-𝑖𝑗-nya adalah
(𝐴⊗ 𝐵 )𝑖𝑗 = ⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗
untuk 𝑖 = 1,… ,𝑚 dan untuk 𝑗 = 1,… , 𝑛.
Setelah definisi operasi matriks di atas, selanjutnya diberikan contoh cara
mengoperasikan matriks.
Contoh 3.4. Perhatikan operasi matriks berikut
4⊗ [1 𝜀2 −20.5 3
] = [4⊗ 1 4⊗ 𝜀4⊗ 2 4⊗−24⊗ 0.5 4⊗ 3
] = [4 + 1 4 + 𝜀4 + 2 4 + −24 + 0.5 4 + 3
] = [5 𝜀6 24.5 7
]
[2 0 54 1 36 𝜀 8
] ⊕ [6 3 𝜀2 0 74 7 5
] = [2⊕ 6 0⊕ 3 5⊕ 𝜀4⊕ 2 1⊕ 0 3⊕ 76⊕ 4 𝜀 ⊕ 7 8⊕ 5
]
=[max(2,6) max(0,3) max(5, 𝜀)
max(4,2) max(1,0) max(3,7)
max(6,4) max(𝜀, 7) max(8,5)]
= [6 3 54 1 76 7 8
]
[2 3 21 0 4
]⊗ [2 31 11 2
] = [2⊗ 2⊕ 3⊗ 1⊕ 2⊗ 1 2⊗ 3⊕ 3⊗ 1⊕ 2⊗ 21⊗ 2⊕ 0⊗ 1⊕ 4⊗ 1 1⊗ 3⊕ 0⊗ 1⊕ 4⊗ 2
]
= [4⊕ 4⊕ 3 5⊕ 4⊕ 43⊕ 1⊕ 5 4⊕ 1⊕ 6
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
= [max(4,4,3) max(5,4,4)
max(3,1,5) max(4,1,6)]
= [4 55 6
]
Berdasarkan definisi operasi matriks di atas, selanjutnya akan dijelaskan
sifat-sifat operasi matriks.
Teorema 3.8 Pernyataan-pernyataan berikut berlaku untuk sebarang skalar
𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, dengan ℝ adalah himpunan semua bilangan real dan sebarang matriks
𝐴, 𝐵, 𝐶 asalkan operasi yang dimaksud terdefinisi.
1. (𝐴⊕ 𝐵)⊕ 𝐶 = 𝐴⊕ (𝐵⊕ 𝐶)
2. 𝐴⊕𝐵 = 𝐵⊕ 𝐴
3. (𝐴⊗ 𝐵)⊗ 𝐶 = 𝐴⊗ (𝐵⊗ 𝐶)
4. 𝐴⊗ (𝐵⊕ 𝐶) = (𝐴⊗ 𝐵)⊕ (𝐴⊗ 𝐶)
5. (𝐴⊕ 𝐵)⊗ 𝐶 = (𝐴⊗ 𝐶)⊕ (𝐵 ⊗ 𝐶)
6. 𝛼 ⊗ 𝐴 = 𝐴⊗ 𝛼
7. 𝛼 ⊗ (𝛽 ⊗ 𝐴) = (𝛼 ⊗ 𝛽)⊗ 𝐴
8. 𝛼 ⊗ (𝐴⊗ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊗ 𝐵 = 𝐴⊗ (𝛼 ⊗𝐵)
9. (𝛼 ⊕ 𝛽)⊗ 𝐴 = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊕ (𝛽 ⊗ 𝐴)
10. 𝛼 ⊗ (𝐴⊕ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊕ (𝛼 ⊗𝐵)
11. 𝐴⊕ 𝐴 = 𝐴
Bukti
Akan dibuktikan bahwa:
1. (𝐴⊕ 𝐵)⊕ 𝐶 = 𝐴⊕ (𝐵⊕ 𝐶)
Ambil sebarang matriks 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke- 𝑗 matriks (𝐴⊕ 𝐵)⊕ 𝐶 berlaku
((𝐴⊕ 𝐵)⊕ 𝐶)𝑖𝑗= (𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗) ⊕ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗⊕ 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕ (𝑏𝑖𝑗⊕ 𝑐𝑖𝑗)
= (𝐴⊕ (𝐵⊕ 𝐶))𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛
Jadi terbukti bahwa (𝐴⊕ 𝐵)⊕ 𝐶 = 𝐴⊕ (𝐵⊕ 𝐶)
2. 𝐴⊕𝐵 = 𝐵⊕ 𝐴
Ambil sebarang matriks 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.
Untuk setiap elemen baris ke- 𝑖 dan kolom ke- 𝑗 matriks 𝐴⊕𝐵 berlaku
( 𝐴 ⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗⊕𝑎𝑖𝑗 = (𝐵 ⊕ 𝐴)𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛
Jadi terbukti bahwa 𝐴⊕𝐵 = 𝐵⊕ 𝐴
3. (𝐴⊗ 𝐵)⊗ 𝐶 = 𝐴⊗ (𝐵⊗ 𝐶)
Ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑝
, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑝×𝑟
dan 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑟×𝑛 .
Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks (𝐴⊗ 𝐵)⊗ 𝐶 berlaku
((𝐴⊗ 𝐵)⊗ 𝐶)𝑖𝑗= ⊕𝑘=1
𝑞 (⊕𝑙=1𝑝 𝑎𝑖𝑙⊗𝑏𝑙𝑘) ⊗ 𝑐𝑘𝑗
= ⊕𝑘=1𝑞 ⊕𝑙=1
𝑝 𝑎𝑖𝑙⊗𝑏𝑙𝑘⊗ 𝑐𝑘𝑗
= ⊕𝑙=1𝑞 𝑎𝑖𝑙⊗ (⊕𝑘=1
𝑝 ⊗𝑏𝑙𝑘⊗ 𝑐𝑘𝑗)
= (𝐴⊗ (𝐵 ⊗ 𝐶))𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛
Jadi terbukti bahwa (𝐴⊗ 𝐵)⊗ 𝐶 = 𝐴⊗ (𝐵⊗ 𝐶).
4. 𝐴⊗ (𝐵⊕ 𝐶) = (𝐴⊗ 𝐵)⊕ (𝐴⊗ 𝐶)
Ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑝
dan 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑝×𝑛
.
Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks 𝐴⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶) berlaku
(𝐴⊗ (𝐵 ⊕ 𝐶))𝑖𝑗= ⊕𝑘=1
𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗(𝑏𝑘𝑗⊕ 𝑐𝑘𝑗)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
= ⊕𝑘=1𝑝 (𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗⊕𝑎𝑖𝑘⊗𝑐𝑘𝑗)
= ( ⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗) ⊕ ( ⊕𝑘=1
𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑐𝑘𝑗)
= (𝐴⊗𝐵)𝑖𝑗⊕ (𝐴⊗ 𝐶)𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛
Jadi terbukti bahwa 𝐴⊗ (𝐵⊕ 𝐶) = (𝐴⊗ 𝐵)⊕ (𝐴⊗ 𝐶)
5. (𝐴⊕ 𝐵)⊗ 𝐶 = (𝐴⊗ 𝐶)⊕ (𝐵 ⊗ 𝐶)
Ambil sebarang matriks 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑝
, 𝐶 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑝×𝑛
.
Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks (𝐴⊕ 𝐵)⊗ 𝐶 berlaku
((𝐴⊕ 𝐵)⊗ 𝐶)𝑖𝑗=⊕𝑘=1
𝑝 (𝑎𝑖𝑘⊕𝑏𝑖𝑘) ⊗ 𝑐𝑘𝑗 =⊕𝑘=1𝑝 (𝑎𝑖𝑘⊗ 𝑐𝑘𝑗⊕𝑏𝑖𝑘⊗𝑐𝑘𝑗)
= ( ⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑐𝑘𝑗) ⊕ ( ⊕𝑘=1
𝑝 𝑏𝑖𝑘⊗ 𝑐𝑘𝑗)
= (𝐴⊗ 𝐶)𝑖𝑗⊕ (𝐵⊗ 𝐶)𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛
Jadi terbukti bahwa (𝐴⊕ 𝐵)⊗ 𝐶 = (𝐴⊗ 𝐶)⊕ (𝐵 ⊗ 𝐶)
6. 𝛼 ⊗ 𝐴 = 𝐴⊗ 𝛼
Ambil sebarang skalar 𝛼 ∈ ℝ dan ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.
Untuk setiap elemen baris ke- 𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks 𝛼 ⊗ 𝐴 berlaku
(𝛼 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝛼⊗ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊗𝛼 = (𝐴⊗ 𝛼)𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛.
Jadi terbukti bahwa 𝛼 ⊗ 𝐴 = 𝐴⊗ 𝛼
7. 𝛼 ⊗ (𝛽 ⊗ 𝐴) = (𝛼 ⊗ 𝛽)⊗ 𝐴
Ambil sebarang skalar 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ dan ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.
Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks 𝛽 ⊗ 𝐴
berlaku (𝛽 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝛽⊗ 𝑎𝑖𝑗 maka
𝛼 ⊗ (𝛽 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝛼⊗ 𝛽⊗ 𝑎𝑖𝑗 = (𝛼 ⊗ 𝛽)⊗ 𝑎𝑖𝑗 = (𝛼 ⊗ 𝛽)⊗ 𝐴; untuk 𝑖 ∈ 𝑚
dan 𝑗 ∈ 𝑛. Jadi terbukti bahwa .AA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
8. 𝛼 ⊗ (𝐴⊗ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊗ 𝐵 = 𝐴⊗ (𝛼 ⊗𝐵)
Ambil sebarang skalar 𝛼 ∈ ℝ dan ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑝
dan matriks
𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑝×𝑛
. Untuk setiap elemen baris ke- 𝑖 dan kolom ke- 𝑗 matriks 𝐴⊗𝐵
berlaku (𝐴⊗ 𝐵 )𝑖𝑗 = ⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗 maka
𝛼 ⊗ (𝐴⊗ 𝐵 )𝑖𝑗 = 𝛼 ⊗ (⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗) = ⊕𝑘=1
𝑝 (𝛼 ⊗ 𝑎𝑖𝑘⊗𝑏𝑘𝑗)
= ⊕𝑘=1𝑝 (𝛼 ⊗ 𝑎𝑖𝑘) ⊗ 𝑏𝑘𝑗 = ⊕𝑘=1
𝑝 (𝑎𝑖𝑘⊗𝛼)⊗ 𝑏𝑘𝑗
= ⊕𝑘=1𝑝 𝑎𝑖𝑘⊗(𝛼 ⊕ 𝑏𝑘𝑗); untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛.
Jadi terbukti bahwa 𝛼 ⊗ (𝐴⊗ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊗ 𝐵 = 𝐴⊗ (𝛼 ⊗𝐵)
9. (𝛼 ⊕ 𝛽)⊗ 𝐴 = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊕ (𝛽 ⊗ 𝐴)
Ambil sebarang skalar , ℝ dan ambil sebarang matriks A ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.
Misalkan 𝛼 ⊕ 𝛽 = 𝜃, untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks
𝜃 ⊗ 𝐴 berlaku
(𝜃 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝜃 ⊗ 𝑎𝑖𝑗 = (𝛼 ⊕ 𝛽)⊗ 𝑎𝑖𝑗
= (𝛼 ⊗ 𝑎𝑖𝑗) ⊕ (𝛽 ⊗ 𝑎𝑖𝑗) = (𝛼 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗⊕ (𝛽⊗ 𝐴)𝑖𝑗;
untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛. Jadi terbukti bahwa AAA
10. 𝛼 ⊗ (𝐴⊕ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊕ (𝛼 ⊗𝐵)
Ambil sebarang skalar 𝛼 ∈ ℝ dan matriks 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛. Untuk setiap elemen
baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks BA berlaku (𝐴⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗 maka
𝛼 ⊗ (𝐴⊕ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝛼 ⊗ (𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗) = (𝛼 ⊗ 𝑎𝑖𝑗) ⊕ 𝛼 ⊗ 𝑏𝑖𝑗
= (𝛼 ⊗ 𝐴)𝑖𝑗⊕ (𝛼 ⊗𝐵)𝑖𝑗; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛.
Jadi terbukti bahwa 𝛼 ⊗ (𝐴⊕ 𝐵) = (𝛼 ⊗ 𝐴)⊕ (𝛼 ⊗ 𝐵)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
11. 𝐴⊕𝐴 = 𝐴
Ambil sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛.
Untuk setiap elemen baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 matriks 𝐴⊕𝐴 berlaku
(𝐴⊕ 𝐴)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗⊕𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 = 𝐴; untuk 𝑖 ∈ 𝑚 dan 𝑗 ∈ 𝑛.
Jadi terbukti bahwa 𝐴⊕𝐴 = 𝐴 ∎
Berdasarkan Teorema 3.8 dapat disimpulkan bahwa sifat komutatif
operasi matriks hanya berlaku untuk operasi ⊕ tetapi tidak berlaku untuk operasi
⊗. Berikut ini diberikan contoh yang menyatakan sifat komutatif dalam operasi
matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 .
Contoh 3.5 Diketahui matriks 𝐴 = [2 3𝑒 4
] dan matriks 𝐵 = [3 5−1 4
]
𝐴⊕𝐵 = [2 3𝑒 4
] ⊕ [3 5−1 4
] = [max(2, 3) max(3, 5)
max(𝑒, −1) max(4,4)] = [
3 5𝑒 4
]
𝐵 ⊕𝐴 = [3 5−1 4
] ⊕ [2 3𝑒 4
] = [max(3,2 ) max(5,3) max(−1, 𝑒) max(4,4)
] = [3 5𝑒 4
]
Jadi 𝐴⊕𝐵 = 𝐵⊕ 𝐴.
𝐴⊗𝐵 = [2 3𝑒 4
] ⊗ [3 5−1 4
] = [2⊗ 3⊕ 3⊗ (−1) 2⊗ 5⊕ 3⊗ 4𝑒 ⊗ 3⊕ 4⊗ (−1) 𝑒 ⊗ 5⊕ 4⊗ 4
]
= [max(5,2) max(7,7)
max(3,3) max(5,8)] = [
5 73 8
]
𝐵 ⊗𝐴 = [3 5−1 4
] ⊗ [2 3𝑒 4
] = [3⊗ 2⊕ 5⊗ 𝑒 3⊗ 3⊕ 5⊗ 4−1⊗ 2⊕ 4⊗ 𝑒 −1⊗ 3⊕ 4⊗ 4
]
= [max(5,5) max(6,9)
max(1,4) max(2,8)] = [
5 94 8
]
Jadi terbukti bahwa 𝐴⊗𝐵 ≠ 𝐵⊗ 𝐴.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Selanjutnya akan dijelaskan tentang transpose matriks dan beberapa tipe
matriks.
Definisi 3.9
1. Transpose dari matriks dinotasikan dengan 𝐴𝑇 . Dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 𝐴𝑇 didefinisikan
sama dengan matriks transpose dalam aljabar biasa, yaitu [𝐴𝑇]𝑖𝑗 = [𝐴]𝑗𝑖
2. Matriks identitas 𝑛 × 𝑛, 𝐸𝑛 didefinisikan [𝐸𝑛]𝑖𝑗 = {0 jika 𝑖 = 𝑗𝜀 jika 𝑖 ≠ 𝑗
3. Matriks 𝜀 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛 didefinisikan [𝜀]𝑖𝑗 = 𝜀 untuk setiap baris ke-𝑖 dan kolom
ke-𝑗.
Setelah dijelaskan tiga operasi dalam matriks dan sifat-sifat operasinya,
selanjutnya akan dijelaskan operasi pangkat matriks.
Definisi 3.10 Untuk matriks persegi berukuran nn dan untuk k sebarang
bilangan bulat positif, pangkat ke-𝑘 dari matriks 𝐴 didefinisikan
𝐴⊗𝑘 = 𝐴⊗𝐴⊗𝑘−1 dan untuk 𝑘 = 0, 𝐴⊗0 = 𝐸𝑛 .
Berdasarkan Definisi 3.10 di atas maka unsur ke-𝑠𝑡 matriks berpangkat
dapat dijelaskan sebagai berikut:
Unsur ke-𝑠𝑡 matriks 𝐴⊗2 adalah
(𝐴⊗2)𝑠𝑡= (𝐴⊗𝐴)𝑠𝑡 = (𝑎𝑠1⊗𝑎1𝑡) ⊕ (𝑎𝑠2⊗𝑎2𝑡) ⊕ …⊕ (𝑎𝑠𝑛⊗𝑎𝑛𝑡)
=⊕𝑖1=1𝑛
(𝑎𝑠,𝑖1⊗𝑎𝑖1,𝑡) = max1≤i1≤n(𝑎𝑠,𝑖1 + 𝑎𝑖1,𝑡)
Unsur ke-𝑠𝑡 matriks 𝐴⊗3 adalah
(𝐴⊗3)𝑠𝑡= (𝐴⊗ 𝐴⊗2)
𝑠𝑡= ⊕𝑖2=1
𝑛 (𝑎𝑠,𝑖2 (⊕𝑖1=1𝑛 (𝑎𝑖2,𝑖1⊗𝑎𝑖1,𝑡)))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
= ⊕𝑖2=1𝑛
(⊕𝑖1=1𝑛
(𝑎𝑠,𝑖2⊗𝑎𝑖2,𝑖1⊗𝑎𝑖1,𝑡))
= max1≤𝑖1,𝑖2≤𝑛(𝑎𝑠,𝑖2 + 𝑎𝑖2𝑖1 + 𝑎𝑖1,𝑡)
Secara umum, unsur ke-𝑠𝑡 matriks 𝐴⊗𝑘 adalah
(𝐴⊗𝑘)𝑠𝑡= ⊕𝑖𝑘−1=1
𝑛 (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 …(⊕𝑖1=1𝑛 (𝑎𝑖2,𝑖1⊗𝑎𝑖1,𝑡)))
= ⊕𝑖2=1𝑛 …(⊕𝑖1=1
𝑛 (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 ⊗…⊗𝑎𝑖2,𝑖1⊗𝑎𝑖1,𝑡))
= max1≤i1,i2,…,ik−1≤n (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 +⋯+ 𝑎𝑖2,𝑖1 + 𝑎𝑖1,𝑡)
Berdasarkan persamaan terakhir, untuk sebarang skalar 𝛼 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 dan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛
unsur ke-𝑠𝑡 matriks (𝛼 ⊕ 𝐴)⊗𝑘 adalah
((𝛼 ⊕ 𝐴)⊗𝑘)𝑠𝑡= max1≤i1,i2,…,ik−1≤n (𝛼 + 𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 +⋯+ (𝛼 + 𝑎𝑖2𝑖1) + (𝛼 + 𝑎𝑖1,𝑡))
k
... + max1≤i1,i2,…,ik−1≤n (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 +⋯+ 𝑎𝑖2𝑖1 + 𝑎𝑖1,𝑡)
= 𝛼⊗𝑘⊗ (𝐴⊗𝑘)𝑠𝑡
; untuk 𝑘 = 1, 2, …. .
Oleh karena itu untuk sebarang 𝛼 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 dan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 berlaku bahwa
(𝛼 ⊕ 𝐴)⊗𝑘 = 𝛼⊗𝑘⊗ 𝐴⊗𝑘; untuk 𝑘 = 1, 2, ….
Untuk sebarang 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 didefinisikan trace 𝐴 ≔⊕𝑖=1
𝑛 𝑎𝑖𝑖.
Contoh 3.6 Misalkan 𝐴 = [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀
]
𝐴⊗2 = 𝐴⊗𝐴 = [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀
] ⊗ [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀
] = [2 5 7𝜀 4 6𝜀 2 4
]
𝐴⊗3 = 𝐴⊗2⊗𝐴 = [2 5 7𝜀 4 6𝜀 2 4
] ⊗ [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀
] = [3 7 9𝜀 6 8𝜀 4 6
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
trace 𝐴 = max(1,2, 𝜀) = 2; trace 𝐴⊗2 = max(2,4,4) = 4 dan
trace 𝐴⊗3 = max(3,6,6) = 6
Selanjutnya akan dijelaskan konsep urutan parsial dan urutan total dalam
ℝ𝑚𝑎𝑥
Definisi 3.11 Relasi ≼ pada suatu himpunan 𝑃 disebut urutan parsial pada 𝑃 jika
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑃 memenuhi
1. 𝑎 ≼ 𝑎 (sifat refleksif).
2. Jika 𝑎 ≼ 𝑏 dan 𝑏 ≼ 𝑎 maka 𝑎 = 𝑏 (sifat antisimetri).
3. Jika 𝑎 ≼ 𝑏 dan 𝑏 ≼ 𝑐 maka 𝑎 ≼ 𝑐 (sifat transitif).
Selanjutnya bila berlaku 𝑎 ≼ 𝑏 atau 𝑏 ≼ 𝑎 maka 𝑎 dan 𝑏 dikatakan
comparable. Bila setiap dua elemen dari 𝑃 dapat dibandingkan maka urutan
parsial ≼ disebut urutan total. Berikut ini diberikan teorema yang berkaitan
dengan pengertian urutan parsial pada suatu semigrup komutatif idempoten.
Teorema 3.12 Diberikan suatu semigrup komutatif idempoten (𝑆, +). Bila pada
𝑆 didefinisikan suatu relasi ≼ oleh 𝑎 ≼ 𝑏 ⟺ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 maka relasi ≼ adalah
urutan parsial pada .S
Bukti
Diambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆 maka
1. Karena S idempoten maka 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 ⟺ 𝑎 ≤ 𝑎
2. Jika 𝑎 ≼ 𝑏 dan 𝑏 ≼ 𝑎 maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 dan 𝑏 + 𝑎 = 𝑎. Karena S komutatif
maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 = 𝑎. Jadi 𝑎 = 𝑏
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
3. Jika 𝑎 ≼ 𝑏 dan 𝑏 ≼ 𝑐 maka 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 dan 𝑏 + 𝑐 = 𝑐. Karena 𝑆 mempunyai
sifat assosiatif maka 𝑎 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 = 𝑐. Jadi
𝑎 ≤ 𝑐 ∎
Contoh 3.7 Dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 relasi ≼𝑚𝑎𝑥 yang didefinisikan sebagai
𝑎 ≼𝑚𝑎𝑥 𝑏 ⟺ 𝑎⊕ 𝑏 = 𝑏
adalah urutan parsial sebab (ℝ𝒎𝒂𝒙,⊕) adalah semigrup komutatif idempoten
disertai dengan relasi 𝑎 ≼𝑚𝑎𝑥 𝑏 ⟺ 𝑎⊕ 𝑏 = 𝑏. Selanjutnya ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝒎𝒂𝒙
berlaku
𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) = 𝑏 ⟺ 𝑎 ≼𝑚𝑎𝑥 𝑏 atau
𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) = 𝑎 ⟺ 𝑏 ≼𝑚𝑎𝑥 𝑎
Jadi relasi ≼𝑚𝑎𝑥 terurut total.
Contoh 3.8 Dalam ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛 relasi ≼𝑚𝑎𝑥 yang didefinisikan sebagai
𝐴 ≼𝑚𝑎𝑥 𝐵 ⟺ 𝐴⊕𝐵 ⟺ 𝑎𝑖𝑗⊕𝑏𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ⟺ 𝑎𝑖𝑗 ≼𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑖𝑗, ∀𝑖 ∈ 𝑚, ∀𝑗 ∈ 𝑛.
adalah urutan parsial sebab (ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛,⊕) adalah semigrup komutatif idempoten
disertai dengan relasi ≼𝑚𝑎𝑥 di atas; dan berdasarkan Teorema 3.12 maka relasi
≼𝑚𝑎𝑥 pada ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛 adalah urutan parsial. Urutan parsial ini bukan urutan total,
karena untuk dua matriks 𝐴 dan matriks 𝐵 masing-masing berukuran 22 seperti
dibawah ini 𝐴 = [1 23 4
] , 𝐵 = [0 34 1
]
𝐴 ⊕ 𝐵 = [1 23 4
] ⊕ [0 34 1
] = [1 34 4
] terlihat bahwa 𝐴⊕ 𝐵 ≠ 𝐵 dan
𝐵 ⊕𝐴 ≠ 𝐴.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Teorema 3.13 Misalkan matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛 . Bila vektor 𝒙, 𝒚ℝ𝑚𝑎𝑥
𝑛 dengan
𝒙 ≼𝑚𝑎𝑥 𝒚 maka 𝐴⊗ 𝒙 ≼𝑚𝑎𝑥 𝐴⊗ 𝒚.
Bukti
Untuk sebarang elemen 𝒙, 𝒚ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 dengan 𝒙 ≼𝑚𝑎𝑥 𝒚 berlaku, maka
𝒙⊕ 𝒚𝒚 ⟺ 𝐴⊗ (𝒙⊕ 𝒚) = 𝐴⊗ 𝒚
⟺ (𝐴⊗ 𝒙)⊕ (𝑨⊗ 𝒚) = 𝐴⊗ 𝒚
⟺ 𝐴⊗𝒙 ≼𝑚𝑎𝑥 𝐴⊗ 𝒚. ∎
Contoh 3.9 Diberikan matriks 𝐴 = [1 23 4
]dan vektor 𝒙 = [56] , 𝒚 = [
78]. Jelas
bahwa 𝒙 ≼𝑚𝑎𝑥 𝒚 dan 𝐴⊗ 𝒙 = [1 23 4
]⊗ [56] = [
810]
𝐴⊗ 𝒚 = [1 23 4
] ⊗ [78] = [
1012].
Terlihat bahwa 𝑨⊗ 𝒙 ≼𝒎𝒂𝒙 𝑨⊗ 𝒚.
E. Matriks dan Graf di ℝ𝒎𝒂𝒙
Pada bagian ini dijelaskan tentang hubungan matriks dan graf dalam
ℝ𝑚𝑎𝑥. Namun sebelumnya akan dijelaskan secara singkat konsep dasar mengenai
teori graf. Penjelasan pada bagian ini dirangkum dari Bacelli (2001), Heidergott,
dkk (2006), West (2001), Farlow (2009), Andersen (2002).
1. Konsep Dasar Graf
Pada bagian ini akan dijelaskan konsep graf secara umum yang mencakup
definisi graf, graf berarah dan graf berbobot serta graf berarah berbobot, lintasan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
dan sirkuit dalam graf dan graf yang terhubung kuat. Penjelasan dimulai dengan
mendefinisikan graf secara umum.
Definisi 3.14 Suatu graf 𝒢 didefinisikan sebagai pasangan himpunan (𝒩,𝒟)
dengan 𝒩 adalah himpunan berhingga tak kosong yang anggota-anggotanya
disebut simpul (atau titik) dan 𝒟 adalah himpunan pasangan (tak terurut) titik-
titik yang anggota-anggotanya disebut busur (atau rusuk).
Contoh 3.10 Perhatikan graf 𝒢1 di bawah ini
Gambar 3.1 Graf secara umum
Graf pada Gambar 3.1 adalah graf 𝒢1=(𝒩1, 𝐷1) dengan himpunan simpul adalah
𝒩1 = {1, 2, 3} dan himpunan busurnya adalah 𝒟1 yaitu (1,2), (1,3), (2,3).
Setelah didefinisikan graf secara umum, selanjutnya akan didefinisikan
graf berarah dan graf berbobot.
Definisi 3.15 Suatu graf berarah 𝒢 adalah pasangan (𝒩,𝒟), dengan 𝒩 adalah
himpunan simpul (atau titik) dan 𝒟 adalah himpunan pasangan terurut dari
simpul-simpul. Anggota himpunan 𝒟 disebut busur; dan untuk busur (𝑖, 𝑗) ∈ 𝒟, 𝑖
disebut titik awal busur dan 𝑗 disebut titik akhir busur. Suatu loop adalah busur
(𝑖, 𝑖) ∈ 𝒟.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Definisi 3.15 menjelaskan bahwa graf berarah 𝒢 adalah graf yang setiap
busurnya mempunyai arah. Dengan demikian kata terurut dalam Definisi 3.15
mengandung arti bahwa busur 𝑖, 𝑗 dan busur 𝑗, 𝑖
merupakan dua busur yang
berbeda. Jika (𝑖, 𝑗) ∈ 𝒟 maka dikatakan bahwa 𝒢 memuat satu busur dari 𝑖 ke 𝑗,
sehingga busur (𝑖, 𝑗) dikatakan mempunyai satu busur masuk ke 𝑗 dan satu busur
keluar dari 𝑖. Oleh karena itu, busur (𝑖, 𝑗) ∈ 𝒟 secara geometri dinyatakan dengan
suatu anak panah yang arahnya dari 𝑖 ke 𝑗 . Berikut ini diberikan contoh graf
berarah.
Contoh 3.11 Perhatikan graf 𝒢2 berikut
Gambar 3.2 Graf berarah
Graf pada Gambar 3.2 di atas adalah graf berarah 𝒢2=(𝒩2, 𝐷2) dengan
𝒩2 = {1, 2, 3} dan𝒟2 = {(1,2), (1,3), (2,3)}. Perbedaan antara Contoh 3.10 dan
Contoh 3.11 terletak pada anggota-anggota himpunan 𝒟2 yang dinyatakan
sebagai pasangan terurut. Elemen pertama pada setiap pasangan terurut pada
anggota himpunan 𝒟2 dalam Contoh 3.11 menyatakan titik awal busur sedangkan
elemen keduanya menyatakan titik akhir busur.
Berdasarkan Definisi 3.14 dan Definisi 3.15 serta Contoh 3.10 dan
Contoh 3.11 dapat dijelaskan cara menggambar suatu graf sebagai berikut: jika
suatu graf dinyatakan dalam gambar, simpul dinyatakan sebuah noktah (lingkaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
kecil) dengan label yang berfungsi sebagai nama simpul; rusuk dinyatakan
sebagai ruas garis yang menghubungkan noktah-noktah; sedangkan busur
dinyatakan sebagai ruas garis berarah yang menghubungkan noktah-noktah yang
bersesuaian, dengan titik awal busur dan titik akhir busur ditentukan oleh arah
anak panah.
Sesudah mendefinisikan graf berarah, selanjutnya akan didefinisikan graf
berbobot.
Definisi 3.16 Graf berbobot 𝒢 adalah graf yang memiliki bobot pada setiap rusuk
atau busurnya. Bobot setiap rusuk atau busur dinotasikan dengan 𝑤(𝑗, 𝑖) ∈ ℝ.
Selanjutnya, akan diberikan contoh graf dengan bobot pada masing-
masing rusuknya.
Contoh 3.12 Perhatikan graf 𝒢3 berikut ini
Gambar 3.3 Graf Berbobot 𝒢3
Graf pada Gambar 3.3 merupakan graf berbobot 𝒢3=(𝒩3, 𝐷3) dengan
𝒩3 = {1, 2, 3} dan 𝒟3 = (1,2), (1,3), (2,3) sedangkan bobot-bobot dari setiap
rusuknya dinyatakan dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ untuk setiap rusuk yang bersesuaian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Berdasarkan Definisi 3.15 dan Definisi 3.16 berikut ini akan didefinisikan
graf berarah berbobot.
Definisi 3.17 Suatu graf berarah 𝒢 disebut berbobot jika bobot 𝑤(𝑗, 𝑖) ∈ ℝ dapat
dihubungkan dengan setiap busur (𝑗, 𝑖) ∈ 𝒟.
Menurut Definisi 3.17 suatu graf berarah 𝒢 disebut berbobot jika setiap
busur (𝑗, 𝑖) ∈ 𝒟 dapat dipasangkan dengan suatu bilangan real yang merupakan
bobot busur (𝑗, 𝑖). Bobot busur (𝑗, 𝑖) adalah nilai dari 𝑎𝑖𝑗 yang dinotasikan
𝑤(𝑗, 𝑖) = 𝑎𝑖𝑗. Dengan demikian, suatu busur dari titik j ke titik i ada bila
𝑎𝑖𝑗 ≠ 𝜀. Oleh karena itu, busur (𝑗, 𝑖) ∈ 𝒟 dalam graf berarah berbobot secara
geometri dinyatakan dengan suatu anak panah yang arahnya dari 𝑖 ke 𝑗 dan
mempunyai bobot 𝑤(𝑗, 𝑖) = 𝑎𝑖𝑗 ≠ 𝜀. Untuk lebih jelas, perhatikan contoh berikut
ini.
Contoh 3.13 Perhatikan graf 𝒢4 berikut ini
Gambar 3.4 Graf berarah berbobot 𝒢4
Graf pada Gambar 3.4 merupakan graf berarah berbobot 𝒢4=(𝒩4, 𝐷4) dengan
𝒩4 = {1, 2, 3} dan 𝒟4 = {(1,2), (1,3), (2,3)} bobot untuk setiap busurnya adalah
𝑤(2,1) = 𝑎; 𝑤(3,2) = 𝑏;𝑤(1,3) = 𝑐.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Setelah didefinisikan graf berarah, graf berbobot dan graf berarah
berbobot selanjutnya akan didefinisikan graf terhubung kuat. Namun sebelumnya
akan dijelaskan definisi lintasan dalam graf dan beberapa konsep yang
berhubungan dengan lintasan yang berguna untuk mendefinisikan graf terhubung
kuat.
Defenisi 3.18 Diberikan suatu graf berarah 𝒢 (𝒩,𝒟), dengan 𝒩 = {1,… , 𝑛}.
Lintasan 𝜌 dari 𝑖 ke 𝑗 adalah barisan berhingga busur (𝑖1, 𝑖2), (𝑖2, 𝑖3), … , (𝑖𝑙−1, 𝑖𝑙)
dengan (𝑖𝑘, 𝑖𝑘+1) ∈ 𝒟 dan 𝑘 = 1, 2, … , 𝑙 − 1.
Himpunan busur yang dijelaskan pada Definisi 3.18 dapat
direpresentasikan dengan 𝑖1 → 𝑖2 →. . .→ 𝑖𝑙. Simpul 𝑖1 disebut sebagai simpul
awal sedangkan simpul 𝑖𝑙 disebut sebagai simpul akhir. Suatu lintasan disebut
lintasan elementer jika tidak ada simpul yang muncul dua kali (Baceli dkk, 2001).
Selanjutnya didefinisikan panjang lintasan, bobot lintasan, dan bobot rata-
rata lintasan.
Definisi 3.19 Untuk suatu lintasan 𝜌 pada suatu graf berarah berbobot 𝒢, panjang
lintasan 𝜌 adalah banyaknya busur pada lintasan tersebut. Panjang lintasan 𝜌
dinotasikan dengan |𝜌|𝑙.
Definisi 3.20 Misalkan 𝜌 = (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑝) adalah lintasan dari simpul 𝑖1 ke simpul
𝑖𝑝 pada graf berarah berbobot 𝒢 dengan panjang 𝑙. Bobot lintasan 𝜌 adalah hasil
penjumlahan bobot setiap busur pada lintasan tersebut. Bobot lintasan 𝜌
dinotasikan dengan |𝜌|𝑤 (Bacelli dkk, 2001).
Menurut Definisi 3.20 dapat ditulis rumus menentukan bobot lintasan adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
|𝜌|𝑤 = 𝑤(𝑖1𝑖2) + 𝑤(𝑖2𝑖3) + ⋯+ 𝑤(𝑖𝑙−1𝑖𝑙) = 𝑎𝑖2,𝑖1 + 𝑎𝑖3,𝑖2 +⋯+ 𝑎𝑖𝑙,𝑖𝑙−1
Definisi 3.21 Bobot rata-rata suatu lintasan didefinisikan sebagai bobot
lintasan |𝜌|𝑤 dibagi dengan panjang lintasan |𝜌|𝑙 . Bobot rata-rata suatu lintasan
dinotasikan dengan |�̅�|𝑙.
Dari Definisi 3.21 dapat ditulis rumus menentukan bobot rata-rata lintasan
adalah
|�̅�|𝑙 =|𝜌|𝑤|𝜌|𝑙
Setelah dijelaskan konsep tentang lintasan, selanjutnya akan diberikan
contoh cara menentukan suatu lintasan dan cara menghitung panjang lintasan dan
bobot lintasan serta bobot rata-rata lintasan.
Contoh 3.14 Perhatikan graf 𝒢5 berikut ini
Gambar 3.5 Graf berarah berbobot 𝒢5
Perhatikan barisan busur berikut:
𝜌1: 1 → 2 → 5;
𝜌2: 1 → 2 → 3 → 4 → 5;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
𝜌3: 2 → 3 → 1 → 4 → 5 → 1
Himpunan busur 𝜌1, 𝜌2, 𝜌3, adalah lintasan. Dari ketiga lintasan tersebut 𝜌1,
𝜌2, disebut lintasan elementer karena setiap simpulnya muncul sekali;
sedangkan 𝜌3 bukan lintasan elementer karena terdapat simpul yang muncul
lebih dari sekali, yaitu simpul 1. Selanjutnya Lintasan 𝜌1 mempunyai jumlah
busur sebanyak 2; jumlah busur pada lintasan 𝜌2 adalah 4 dan lintasan 𝜌3
mempunyai busur sebanyak 5. Oleh karena itu berdasarkan Definisi 3.19,
panjang lintasan |𝜌1|𝑙 = 2; panjang lintasan |𝜌2|𝑙 = 4 dan panjang lintasan
|𝜌3|𝑙 = 5. Berdasarkan Definisi 3.20, bobot 𝜌1, 𝜌2, 𝜌3, diberikan oleh:
|𝜌1|𝑤 = 𝑎21 + 𝑎52 = 8 + 15 = 23
|𝜌2|𝑤 = 𝑎21 + 𝑎32 + 𝑎43 + 𝑎54 = 8 + 11 + 7 + 9 = 33
|𝜌3|𝑤 = 𝑎32 + 𝑎13 + 𝑎41 + 𝑎54 + 𝑎15 = 11 + 12 + 6 + 9 + 8 = 46
Berdasarkan Definisi 3.21, bobot rata-rata lintasan diberikan oleh
|𝜌1̅̅ ̅|𝑙 =|𝜌1|𝑤|𝜌1|𝑙
=23
2; |𝜌2̅̅ ̅|𝑙 =
|𝜌2|𝑤|𝜌2|𝑙
=33
4; |𝜌3̅̅ ̅|𝑙 =
|𝜌3|𝑤|𝜌3|𝑙
=46
5.
Selanjutnya akan dijelaskan tentang sirkuit. Sirkuit adalah lintasan
tertutup, yaitu barisan busur (𝑖1, 𝑖2), (𝑖2, 𝑖3), … , (𝑖𝑙−1, 𝑖1). Dengan demikian sirkuit
adalah suatu lintasan yang memiliki simpul awal dan simpul akhir yang sama.
Sirkuit elementer adalah lintasan elementer yang memiliki simpul awal dan
simpul akhir yang sama; atau dengan cara yang lain dapat dikatakan bahwa
sirkuit elementer adalah sirkuit yang simpul-simpulnya muncul tidak lebih dari
sekali, kecuali simpul awal yang muncul tepat dua kali. Cara menghitung
panjang, bobot dan bobot rata-rata suatu sirkuit sama dengan cara menghitung
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
panjang, bobot dan bobot rata-rata pada suatu lintasan yang dijelaskan pada
Definisi 3.19, Definisi 3.20 dan Definisi 3.21. Berikut ini akan diberikan contoh
graf yang mempunyai sirkuit.
Contoh 3.15 Perhatikan graf 𝒢6 berikut ini
Gambar 3.6 Graf berarah dengan lintasanya
Barisan busur yang direpresentasikan oleh 2 → 1 → 1 → 2 → 3 adalah
lintasan pada 𝒢6, tetapi bukan sirkuit; lintasan 3 → 1 → 1 → 2 → 3 adalah sirkuit
karena simpul awal dan simpul akhir busur berada pada simpul yang sama, yaitu
simpul 3. Sedangkan lintasan 1 → 2 → 3 → 1 disebut sirkuit elementer karena
masing-masing simpul hanya muncul satu kali, kecuali simpul satu yang menjadi
titik awalnya yang muncul dua kali.
Pada Definisi 3.18 telah dijelaskan tentang definisi lintasan, selanjutnya
akan diberikan definisi suatu graf berdasarkan lintasan pada simpul-simpulnya.
Definisi 3.22 suatu graf berarah 𝒢 (𝒩,𝒟), dengan 𝒩 = {1,… , 𝑛} adalah
terhubung kuat jika untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ 𝒩, 𝑖 ≠ 𝑗 terdapat suatu lintasan dari 𝑖
ke 𝑗.
Selanjutnya diberikan contoh graf terhubung kuat dan graf tak terhubung
kuat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Contoh 3.16 Perhatikan dua graf berikut
Gambar 3.7a Graf berarah berbobot 𝓖𝟕 yang mempunyai sirkuit
Gambar 3.7b Graf berarah berbobot 𝓖𝟖 tanpa sirkuit.
Pada Gambar 3.7a diberikan graf berarah berbobot 𝒢7. Pada graf 𝒢7 terdapat
lima sirkuit yang direpresentasikan oleh 1 → 1; 1 → 3 → 1; 2 → 3 → 2; 2 → 2;
dan 3 → 3. Akibatnya, pada graf 𝒢7 untuk setiap simpul yang berbeda dapat
dibentuk sebuah lintasan, graf 𝒢7 adalah grap berarah berbobot yang terhubung
kuat. Sedangkan pada Gambar 3.7b diberikan juga graf berarah berbobot 𝒢8;
namun pada graf 𝒢8 tidak memuat satupun sirkuit. Akibatnya untuk setiap simpul
yang berbeda tidak dapat dibentuk suatu lintasan, graf 𝒢8 adalah graf berarah
berbobot tak terhubung kuat.
Setelah membahas konsep tentang graf secara umum, selanjutnya akan
dijelaskan hubungan antara matriks dan graf diℝ𝑚𝑎𝑥 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
2. Matriks dan Graf di ℝ𝒎𝒂𝒙
Pada Bagian D telah dijelaskan tentang matriks atas ℝ𝑚𝑎𝑥; dan Bagian E
sub bagian pertama telah dijelaskan konsep graf secara umum. Pada bagian ini
akan dijelaskan hubungan antara matriks dengan graf berarah berbobot yang
terhubung kuat di ℝ𝑚𝑎𝑥 . Penjelasan tentang topik ini diawali dengan definisi
suatu graf yang merupakan representasi dari suatu matriks dalam ℝ𝑚𝑎𝑥 , yaitu
graf perseden
Definisi 3.23 Diberikan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 . Graf preseden dari A adalah graf berarah
berbobot 𝒢(𝐴) = (𝒩,𝐷), 𝒩 = {1,… , 𝑛} dan 𝐷 = {(𝑗, 𝑖)|𝑤(𝑖, 𝑗) = 𝑎𝑖𝑗 ≠ 𝜀}.
Berdasarkan Definisi 3.23 berikut ini akan diberikan contoh graf preseden
yang direpresentasikan oleh sutau matriks 𝐴
Contoh 3.17 Diberikan matriks
22
12
211
122
A
Diberikan matriks 𝐴 ukuran 4 × 4 Graf preseden matriks A merupakan graf
berarah berbobot 𝒢(𝐴) = (𝒩, 𝐷) dengan himpunan simpul 𝒩 = {1,2,3,4} dan
busur 𝐷 = {(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2), (2,3), (3,3), (3,4), (4,4)}.
Gambar 3.8 Graf Preseden dari matriks 𝐴 pada Contoh 3.17
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Perhatikan sebaliknya bahwa untuk setiap graf berarah berbobot 𝒢 = (𝒩,𝐷)
selalu dapat didefinisikan suatu matriks A ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dengan
),,( ijwaij
jika
jika
D
D
,
,
ij
ij
Selanjutnya, konsep lintasan dan sirkuit pada graf preseden yang
dijelaskan pada Definisi 2.23 sama dengan konsep lintasan yang sudah dijelaskan
pada Definisi 3.18 sampai Definisi 3.21. Oleh karena itu, dengan menggunakan
definisi operasi yang berlaku dalam ℝ𝑚𝑎𝑥, maka dapat ditentukan panjang, bobot
dan bobot rata-rata suatu lintasan atau sirkuit sebagai berikut:
bobot lintasan 𝜌 adalah
|𝜌|𝑤 = 𝑤(𝑖1𝑖2) ⊗𝑤(𝑖2𝑖3) ⊗ …⊗𝑤(𝑖𝑙−1𝑖𝑙)
sedangkan bobot rata-rata lintasan
|�̅�|𝑙 =|𝜌|𝑤|𝜌|𝑙
Setelah dijelaskan tentang definisi graf preseden 𝒢(𝐴). Selanjutnya akan
diberikan contoh menentukan suatu lintasan dan menghitung panjang lintasan,
bobot dan bobot rata-rata lintasan dari graf preseden 𝒢(𝐴). .
Contoh 3.18 Diambil graf pada Contoh 3.17. Perhatikan himpunan busur berikut:
𝜌1: 3 → 4 → 2 → 1
𝜌2: 1 → 2 → 3 → 4 → 1;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Himpunan busur pada 𝜌1 membentuk lintasan. Sedangkan himpunan busur pada
𝜌2 membentuk sirkuit. Panjang lintasan |𝜌1|𝑙 = 3; dan |𝜌2|𝑙 = 4. Bobot lintasan
|𝜌1|𝑤 = 𝑤(4,3) ⊗ 𝑤(2,4) ⊗ 𝑤(1,2) = 6
|𝜌2|𝑤 = 𝑤(2, 1) ⊗ 𝑤(3,2) ⊗ 𝑤(4,3) ⊗ 𝑤(1,4) = 6.
Bobot rata-rata lintasan |𝜌1̅̅ ̅|𝑙 =|𝜌1|𝑤
|𝜌1|𝑙= 2; |𝜌2̅̅ ̅|𝑙 =
|𝜌2|𝑤
|𝜌2|𝑙=3
2.
Selanjutnya dijelaskan hubungan antara elemen ke-𝑠𝑡 matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛
berpangkat 𝑘 dengan bobot lintasan dari simpul 𝑡 ke 𝑠 pada graf preseden 𝒢(𝐴).
Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dan 𝒢(𝐴) adalah graf preseden dari matriks .A Berdasarkan
persamaan umum operasi pangkat matriks maka
(𝐴⊗𝑘)𝑠𝑡= max1≤i1,i2,…,ik−1≤n (𝑎𝑠,𝑖𝑘−1 +⋯+ 𝑎𝑖2𝑖1 + 𝑎𝑖1,𝑡)
= max1≤i1,i2,…,ik−1≤n (𝑎𝑖1,𝑡 +⋯+ 𝑎𝑖2𝑖1 + 𝑎𝑠𝑖𝑘−1); untuk setiap ji, .
Diketahui bahwa (𝑎𝑖1,𝑡 +⋯+ 𝑎𝑖2𝑖1 + 𝑎𝑠𝑖𝑘−1) merupakan bobot lintasan dengan
panjang 𝑘 dan 𝑡 adalah titik awal serta 𝑠 adalah titik akhirnya di 𝒢(𝐴). Dengan
demikian (𝐴⊗𝑘)𝑠𝑡
adalah bobot maksimum setiap lintasan dalam graf 𝒢(𝐴)
dengan panjang 𝑘; dan 𝑡 sebagai titik awal serta 𝑠 sebagai titik akhirnya. Tetapi
jika dalam graf 𝒢(𝐴) tidak terdapat lintasan dengan panjang 𝑘 dari simpul 𝑡 ke 𝑠
maka bobot maksimum didefinisikan sama dengan . Untuk lebih jelasnya dapat
diperhatikan dalam contoh berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Contoh 3.19 Misalkan matriks 𝐴 = [2 𝑒 12 4 𝜀𝜀 2 𝑒
] graf preseden 𝒢(𝐴) dari matriks
𝐴 adalah
Gambar 3.9 Graf preseden matriks A pada Contoh 3.19
Bobot maksimum semua lintasan di 𝒢(𝐴) dengan panjang 𝑘 = 3 ditentukan oleh
elemen-elemen 𝐴⊗3 yaitu 𝐴⊗3 = [6 8 510 12 78 10 5
]
Dari matriks di atas diperoleh (𝐴⊗3)31= 8. Oleh karena itu bobot maksimum
semua lintasan di 𝒢(𝐴) dengan panjang 3 yang berawal dari simpul 1 dan
berakhir di simpul 3 adalah 8. Dari graf preseden terlihat bahwa lintasan yang
dimaksud adalah 1 → 2 → 2 → 3. Bobot lintasannya adalah
|𝜌|𝑤 = 𝑤(2, 1) ⊗ 𝑤(2,2)⊗ 𝑤(3,2) = 8
Selanjutnya akan dijelaskan bobot rata-rata maksimum untuk sirkuit
elementer, dengan maksimum diambil atas semua sirkuit elementer dalam graf.
Misalkan terdapat matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dan 𝒢(𝐴) = (𝒩,𝒟) adalah graf preseden
dari matriks 𝐴. Bobot maksimum dari semua sirkuit yang mempunyai panjang 𝑘
dengan simpul 𝑖 adalah simpul awal dan simpul akhir di 𝒢(𝐴) dapat dinyatakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
dengan (𝐴⊗𝑘)𝑖𝑖. Oleh karena itu, maksimum dari bobot maksimum semua sirkuit
dengan panjang 𝑘 dan simpul 𝑖 sebagai simpul awal dan simpul akhir dalam 𝒢(𝐴)
atas seluruh simpul 𝑖 adalah ⊕𝑖=1𝑛 (𝐴⊗𝑘)
𝑖𝑖= trace (𝐴⊗𝑘) dan rata-ratanya adalah
1
𝑘 trace (𝐴⊗𝑘).
Selanjutnya diambil maksimum atas sirkuit dengan panjang nk , yaitu
semua sirkuit elementer, diperoleh suatu rumus untuk bobot rata-rata maksimum
sirkuit elementer dalam 𝒢(𝐴) (yang dinotasikan dengan 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)) adalah
𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) =⊕𝑘=1𝑛 (
1
𝑘 trace(𝐴⊗𝑘)). Suatu sirkuit dalam graf 𝒢 yang mempunyai
bobot rata-rata sama dengan bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer disebut
sirkuit kritis. Suatu graf 𝒢 yang terdiri dari semua sirkuit kritis disebut graf kritis
dari 𝒢 dan dinotasikan dengan 𝒢𝑐 .
Contoh 3.20 Misal matriks 𝐴 = [−2 3 11 1 𝜀𝜀 2 1
]
Graf preseden 𝒢(𝐴) adalah
Gambar 3.10 Graf preseden untuk matriks A pada Contoh 3.20
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Dari matriks A dan graf presedennya akan ditentukan bobot rata-rata maksimum
sirkuit elementer Amax . Berdasarkan Definisi 3.10 diperoleh bahwa
𝐴⊗2 = [4 4 22 4 23 3 2
] dan 𝐴⊗3 = [5 7 55 5 34 6 4
];
maka diperoleh bahwa trace (𝐴) = 1; trace( 𝐴⊗2) = 4; dan trace (𝐴⊗3) = 5.
Dengan demikian bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer adalah
𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) =⊕𝑘=1𝑛 (
1
𝑘 trace(𝐴⊗𝑘)) = max(
1
1(1),
1
2(4),
1
3(5)) = 2
Berdasarkan hasil𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) = 2, sirkuit kritis pada graf preseden 𝒢(𝐴) adalah
1 → 2 → 1 dan 2 → 1 → 2 . Maka Graf kritis 𝒢𝑐(𝐴) dari sirkuit kritis adalah
Gambar 3.11 Graf Kritis
Teorema 3.24 Misalkan matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 . Jika semua sirkuit dalam 𝒢(𝐴)
mempunyai bobot tidak positif, maka
(∀𝑝 ≥ 𝑛), 𝐴⊗𝑝 ≼𝑚 𝐸 ⊕𝐴⊕…⊕𝐴⨂𝑛−1.
Bukti
Karena banyak titik dalam 𝒢(𝐴) adalah 𝑛 maka semua lintasan dengan panjang
𝑝 ≥ 𝑛 tersusun dari 𝑘 sirkuit dengan jumlah panjang seluruh sirkuit kurang dari 𝑝
dan satu lintasan dengan panjang kurang dari 𝑛. Hal ini berarti ∀𝑝 ≥ 𝑛 dan
∀𝑠, 𝑡 ∈ {1,… , 𝑛}, ∃𝑟 ∈ {1,… , 𝑛}maka (𝐴⊗𝑝)𝑠𝑡= (𝐴⊗𝑙)
𝑠𝑡+ ∑ (𝐴⊗𝑚𝑖)
𝑟𝑖𝑟𝑖;𝑘
𝑖 dengan
0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑚𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑟𝑖 ≤ 𝑛 dan 𝑘 = 1, 2, 3, …
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Karena semua sirkuit mempunyai bobot tidak positif maka ∀𝑝 ≥ 𝑛 dan untuk
setiap ∀𝑠, 𝑡 ∈ {1, … , 𝑛} berlaku (𝐴⊗𝑝)𝑠𝑡≤ (𝐴⊗𝑙)
𝑠𝑡dengan 0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 − 1.
Akibatnya (∀𝑝 ≥ 𝑛), 𝐴⊗𝑝 ≼𝑚 𝐴⊕…⊕𝐴⊗𝑛−1.
Karena 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 berlaku 𝐸 ⊕ 𝐴 ≼𝑚 A
maka ∀𝑝 ≥ 𝑛,𝐴⊗𝑝 ≼𝑚 𝐸 ⊕ 𝐴⊕…⊕𝐴⊗𝑛−1 ∎
Berdasarkan Teorema 3.24 di atas, dapat didefinisikan operasi ∗ untuk
matriks berikut:
Definisi 3.25 Jika 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dengan semua sirkuit dalam 𝒢(𝐴) mempunyai bobot
tidak positif, maka didefinisikan
𝐴∗ = 𝐸 ⊕𝐴⊕…⊕𝐴⊗𝑛⊕𝐴⊗𝑛+1⊕… dan 𝐴+ = 𝐴⊗ 𝐴∗.
Selanjutnya akan dijelaskan matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 yang mempunyai graf
preseden terhubung kuat.
Definisi 3.26 Suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 adalah iredusibel jika graf presedennya
terhubung kuat.
Teorema 3.27 Suatu matriks A ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dikatakan iredusibel jika dan hanya jika
(𝐴⊕ 𝐴⊗2⊕…⊕𝐴⊗𝑛−1)𝑖𝑗≠ 𝜀; untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗.
Bukti
Definisi 3.26 menjelaskan bahwa jika A iredusibel maka 𝒢(𝐴) = (𝒩,𝒟)
dengan 𝒩 = {1,… , 𝑛} terhubung kuat, yaitu untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ 𝒩 terdapat suatu
lintasan dari 𝑖 ke 𝑗. Dengan demikian untuk 𝑖, 𝑗 ∈ 𝒩, 𝑖 ≠ 𝑗 terdapat 𝑘 dengan
1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 sehingga (𝐴⊗𝑘)𝑖𝑗≠ 𝜀.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
Akibatnya (𝐴⊕ 𝐴⊗2⊕…⊕𝐴𝑛−1)𝑖𝑗≠ 𝜀; untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗.
Jika (𝐴 ⊕ 𝐴⊗2⊕…⊕𝐴⊗𝑛−1)𝑖𝑗≠ 𝜀, untuk setiap 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗, terdapat
𝑘 dengan 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1 sehingga (𝐴⊗𝑘)𝑖𝑗≠ 𝜀. Hal ini berarti bahwa graf
preseden 𝒢(𝐴) = (𝒩,𝒟) dengan 𝒩 = {1, … , 𝑛}, untuk setiap 𝑖, 𝑗 ∈ 𝒩, 𝑖 ≠ 𝑗
terdapat suatu lintasan dari 𝑖 ke 𝑗. Akibatnya graf 𝒢(𝐴) terhubung kuat yang
berarti juga bahwa matriks A iredusibel. ∎
Selanjutnya akan diberikan contoh cara menentukan matriks iredusibel
Contoh 3.21 Misalkan terdapat matriks 𝐴 pada Contoh 3.20 matriks 𝐴 tersebut
adalah iredusibel karena
𝐴⊕ 𝐴⊗2 = [−2 3 11 1 𝜀𝜀 2 1
] ⊕ [4 4 22 4 23 3 2
] = [4 4 22 4 23 3 2
]
yang berarti (𝐴 ⊕ 𝐴⊗2)𝑖𝑗≠ 𝜀. Oleh karena itu pada Gambar 3.10 ditunjukkan
bahwa untuk sebarang dua titik 𝑖, 𝑗 dengan 𝑖 ≠ 𝑗 dalam 𝒢(𝐴) terdapat lintasan
dari 𝑖 ke 𝑗.
Contoh 3.22 Misalkan terdapat matriks 𝐴 = [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀
]
Dari matriks 𝐴 di atas diperoleh 𝐴⊗2 = [1 5 7𝜀 4 6𝜀 2 4
]; dengan demikian
𝐴⊕𝐴⊗2 = [1 3 −2𝜀 2 4𝜀 0 𝜀
] ⊕ [1 5 7𝜀 4 6𝜀 2 4
] = [1 5 7𝜀 4 6𝜀 2 4
] ; (𝐴 ⊕ 𝐴⊗2)21= 𝜀 dan
(𝐴⊕ 𝐴⊗2)31= 𝜀.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Jadi matriks 𝐴 tidak iredusibel. Graf perseden 𝒢(𝐴) menunjukkan juga bahwa
tidak ada lintasan yang menghubungkan simpul 1 ke 2 dan simpul 1 ke simpul
.3
Gambar 3.12 Graf dari Matriks A yang tidak iredusibel
F. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks di ℝ𝒎𝒂𝒙
Seperti pada matriks real, pada matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 dapat juga dipelajari
konsep tentang nilai eigen dan vektor eigen. Oleh karena itu, pada bagian ini akan
dijelaskan konsep nilai eigen dan vektor eigen di ℝ𝑚𝑎𝑥 serta cara
menentukannya.
Definisi 3.28 Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 . Skalar 𝜆 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥 disebut nilai eigen ℝ𝑚𝑎𝑥
matriks 𝐴 jika terdapat suatu 𝒙 𝜺; 𝒙 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛 sedemikian sehingga 𝐴⊗ 𝒙 =
𝜆⊗ 𝒙. Vektor 𝒙 tersebut adalah vektor eigen matriks 𝐴 di ℝ𝑚𝑎𝑥 yang
bersesuaian dengan 𝜆 (Scutter, 1996).
Sesudah didefinisikan nilai eigen dan vektor eigen dalam Definisi 3.28,
berikut ini akan dijelaskan dua teorema yang memberikan eksistensi nilai eigen
dan vektor eigen serta syarat perlu nilai eigen pada suatu matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Teorema 3.29 Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 . Jika 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) adalah bobot rata-rata
maksimum sirkuit elementer di 𝒢(𝐴) , maka 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) adalah suatu nilai eigen
matriks 𝐴 di ℝ𝑚𝑎𝑥.
Bukti
Didefinisikan matriks 𝐵 = −𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)⊗ 𝐴
𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐵) =⊕𝑘=1𝑛 (
1
𝑘 trace(𝐵⊗𝑘))
=⊕𝑘=1𝑛 (
1
𝑘 trace((−𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)⊗ 𝐴)⊗𝑘))
=⊕𝑘=1𝑛 (
1
𝑘 trace ((−𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴))
⊗𝑘⊗ 𝐴⊗𝑘))
=⊕𝑘=1𝑛 (
1
𝑘((−𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴))
⊗𝑘)⊗ trace(𝐴⊗𝑘))
= ⊕𝑘=1𝑛 ((−𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴))⊗ (𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)))
=⊕𝑘=1𝑛 (0) = 0
akibatnya 𝒢(𝐵) tidak mempunyai sirkuit dengan bobot positif. Menurut Teorema
3.24, 𝐵∗ = 𝐸 ⊕𝐵⊕…⊕𝐵⊗𝑛−1 dan 𝐵+ = 𝐵⊕𝐵⊗2⊕…⊕𝐵⊗𝑛 Karena
𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐵) = 0 maka terdapat 𝑘 ∈ ℕ , 𝑘 ≤ 𝑛 dan suatu 𝑠 ∈ {1,… , 𝑛 } sehingga
(𝐵⊗𝑘)𝑠𝑠= 0. Akibatnya komponen ke- 𝑠 dari 𝐵.𝑠
+ (kolom ke- 𝑠 matriks 𝐵+ )
adalah (𝐵⊗𝑘)𝑠𝑠= 0. Hal ini berarti bahwa 𝐵.𝑠
+ ≠ 𝜀𝑛×1. Di sisi lain menurut
Definisi 3.25, 𝐵+ = 𝐵⊗𝐵∗ dan 𝐵∗ = 𝐸 ⊕𝐵+.
Karena (𝐸)𝑠𝑠 = 0 maka 𝐵.𝑠+ = 𝐵.𝑠
∗ . Akibatnya 𝐵.𝑠+ = 𝐵⊗ 𝐵.𝑠
∗ = 𝐵.𝑠∗ atau
(−𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)⊗ 𝐴)⊗ 𝐵.𝑠∗ = 𝐵.𝑠
∗ atau 𝐴⊗ 𝐵.𝑠∗ = 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)⊗ 𝐵.𝑠
∗ . Jadi 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
adalah nilai eigen matriks 𝐴 di ℝ𝑚𝑎𝑥 dan 𝐵.𝑠∗ adalah vektor eigen yang
bersesuaian dengan 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴). ∎
Contoh 3.23 Misalkan terdapat matriks pada Contoh 3.20 dengan 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) = 2
Maka dapat ditentukan matriks 𝐵, yaitu:
𝐵 = −𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴)⊗ 𝐴 = −2⊗ [−2 3 11 1 𝜀𝜀 2 1
] = [−4 1 −1−1 −1 𝜀𝜀 0 −1
].
Selanjutnya dihitung
𝐵⊗2 = [0 0 −2−2 0 −2−1 −1 −2
], sehingga diperoleh
𝐵∗ = 𝐸 ⊕𝐵⊕𝐵⊗2 = [0 𝜀 𝜀𝜀 0 3𝜀 𝜀 0
] ⊕ [−4 1 −1−1 −1 𝜀𝜀 0 −1
]⊕ [0 0 −2−2 0 −2−1 −1 −2
]
= [0 1 −1−1 0 −2−1 0 0
]
Karena sirkuit 121 adalah sirkuit kritis pada 𝒢(𝐴) maka kolom pertama dan
kolom kedua dari matriks 𝐵∗ adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai
eigen 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴) = 2 seperti ditunjukkan pada penjelasan di bawah ini
[−2 3 11 1 𝜀𝜀 2 1
] ⊗ [0−1−1] = [
211] = 2⊗ [
0−1−1] dan
[−2 3 11 1 𝜀𝜀 2 1
] ⊗ [100] = [
322] = 2⊗ [
100].
Teorema 3.30 Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 . Jika 𝜆 ∈ ℝ adalah nilai eigen matriks 𝐴 di
ℝ𝑚𝑎𝑥 , maka 𝜆 merupakan bobot rata-rata suatu sirkuit dalam 𝒢(𝐴).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
Bukti
Misalkan 𝜆 adalah nilai eigen ℝ𝑚𝑎𝑥 matriks 𝐴 maka untuk setiap 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}
berlaku ( A 𝒙 )𝑖= ( 𝒙 )
𝑖 dengan 𝒙 ≠ 𝜺𝒏×𝟏. Akibatnya terdapat suatu
indeks 𝑖1, 𝑖2 sehingga 𝑎𝑖1,𝑖2⊗𝑥𝑖2 = 𝜆⊗ 𝑥𝑖1 dengan 𝑥𝑖1 ≠ 𝜀. Karena 𝜆 ≠ 𝜀 dan
𝑥𝑖1 ≠ 𝜀 maka 𝑥𝑖2 ≠ 𝜀 dan 𝑎𝑖1,𝑖2 ≠ 𝜀. Karena 𝑥𝑖2 ≠ 𝜀 maka terdapat suatu indeks
𝑖3 sedemikian sehingga 𝑎𝑖2,𝑖3⊗𝑥𝑖3 = 𝜆⊗ 𝑥𝑖2 . Karena 𝜆 ≠ 𝜀 dan 𝑥𝑖2 ≠ 𝜀 maka
𝑥𝑖3 ≠ 𝜀 dan 𝑎𝑖2,𝑖3 ≠ 𝜀. Demikian seterusnya dengan cara yang sama di atas, akan
diperoleh suatu barisan {𝑖𝑗} sehingga 𝑎𝑖𝑗−1,𝑖𝑗⊗𝑥𝑖𝑗 = 𝜆⊗ 𝑥𝑖𝑗−1 dengan 𝑥𝑖𝑗 ≠ 𝜀
dan 𝑎𝑖𝑗−1,𝑖𝑗 ≠ 𝜀 untuk 𝑗 = 1, 2, … . Karena banyak titik dalam 𝒢(𝐴) berhingga,
terdapat suatu 𝑗 dan 𝑙, sehingga 𝑖𝑗 = 𝑖𝑙. Akibatnya diperoleh sirkuit 𝜌. Misalkan
adalah (𝑖𝑙, 𝑖𝑚), … , (𝑖𝑙+2, 𝑖𝑙+1), (𝑖𝑙+1, 𝑖𝑙) maka diperoleh
(𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1 ⊗𝑥𝑖𝑙+1) ⊗ …⊗ (𝐴𝑖𝑚,𝑖𝑙 ⊗𝑥𝑖𝑙) = (𝜆 ⊗ 𝑥𝑖𝑙) ⊗ …⊗ (𝜆⊗ 𝑥𝑖𝑚)
Karena operasi ⊗ di ℝ𝑚𝑎𝑥 bersifat komutatif maka diperoleh
mlllmllmll iii
lm
iiiiiii xxxxxxAA
.........111
1
,,
atau (𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1 ⊗…⊗𝐴𝑖𝑚,𝑖𝑙) = 𝜆𝑚−1+1 atau 𝜆 =
(𝐴𝑖𝑙,𝑖𝑙+1⊗…⊗𝐴𝑖𝑚,𝑖𝑙)
𝑚−1+1.
Hal ini berarti bahwa 𝜆 adalah bobot rata-rata sirkuit 𝜌. ∎
Dari penjelasan Teorema 3.29 dan Teorema 3.30 dapat disimpulkan bahwa untuk
A ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 , Amax adalah nilai eigen ℝ𝑚𝑎𝑥.
Selanjutnya dijelaskan teorema yang berkaitan dengan karakteristik
matriks 𝐴 yang memiliki nilai eigen bernilai 𝜀.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Teorema 3.31 Matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 mempunyai suatu nilai eigen sama dengan 𝜀
jika dan hanya jika terdapat kolom pada matriks 𝐴 yang semua elemennya sama
dengan 𝜀.
Bukti:
Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dengan nilai eigen sama dengan 𝜀; 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗; untuk 𝑖 =
1, … , 𝑛 dan 𝑗 = 1, … , 𝑛; 𝒙 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 dan 𝒙 adalah vektor eigen yang bersesuaian
dengan 𝜀 ; 𝑥𝑖 adalah komponen baris ke-𝑖 dari 𝒙 dengan 𝑖 = 1,… , 𝑛 ; (𝐴⊗ 𝑥)𝑖
adalah komponen baris ke-𝑖 dari 𝐴⊗ 𝒙 dengan 𝑖 = 1,… , 𝑛; dan (𝜀 ⊗ 𝑥)𝑖 adalah
komponen baris ke-𝑖 dari 𝜀 ⊗ 𝒙 dengan 𝑖 = 1,… , 𝑛.
⟹ Akan ditunjukkan bahwa matriks 𝐴 mempunyai kolom dengan semua
elemennya adalah 𝜀
Diketahui bahwa 𝜀 adalah nilai eigen dari matriks 𝐴.
Jadi berlaku 𝐴⊗ 𝒙 =𝜀 ⊗ 𝒙 sedemikian sehingga
(𝐴⊗ 𝒙 )𝑖 = (𝜀 ⊗ 𝒙 )𝑖
= 𝜀 ⊗ 𝑥𝑖
= 𝜀
Karena 𝒙 𝜺 maka vektor eigen memuat paling sedikit satu komponen di 𝒙 yang
tidak sama dengan 𝜀. Andaikan 𝑥𝑐 ≠ 𝜀 dengan 1 ≤ 𝑐 ≤ 𝑛.
Didefinisikan bahwa
(𝐴⊗ 𝑥)𝑖 =⊕𝑗=1𝑛 (𝑎𝑖𝑗⊗𝑥𝑗) = 𝑚𝑎𝑥1≤𝑗≤𝑛(𝑎𝑗 + 𝑥𝑗)
=𝑚𝑎𝑥1≤𝑗≤𝑛(𝑎𝑖1 + 𝑥1, 𝑎𝑖2 + 𝑥2, … , 𝑎𝑖𝑐 + 𝑥𝑐, … , 𝑎𝑖𝑛 + 𝑥𝑛)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Karena 𝑥𝑐 ≠ 𝜀 dan 𝑥𝑖 = 𝜀 untuk 𝑖 ≠ 𝑐 sehingga harus 𝑎𝑖𝑐 = 𝜀. Karena 𝑎𝑖𝑐
adalah elemen baris ke-𝑖 kolom ke-𝑐 matriks 𝐴 untuk 𝑖 = 1,… , 𝑛 maka 𝑎𝑖𝑐 adalah
elemen kolom ke-𝑐 matriks 𝐴 yang seluruh elemennya 𝜀.
Misalkan matriks 𝐴 mempunyai satu kolom yang semua elemennya 𝜀, yaitu
kolom 𝑐 sedemikian sehingga 𝑎𝑖𝑐 = 𝜀 untuk 𝑖 = 1,… , 𝑛.
Akan ditunjukkan nilai eigen 𝜆 dari matriks 𝐴 sama dengan 𝜀.
Berdasarkan Definisi 3.28 bahwa 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝜆 ⊗ 𝒙 sedemikian sehingga elemen-
elemen yang bersesuaian sama
( 𝐴 ⊗ 𝒙)𝑖 = ( 𝜆 ⊗ 𝒙)𝑖
⊕𝑗=1𝑛 (𝑎𝑖𝑗⊗𝑥𝑗) = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑖
Karena 𝒙 ≠ 𝜺 maka vektor eigen memuat paling sedikit satu elemen yang tidak
sama dengan 𝜀 . Ambil sebarang 𝑥𝑐 ∈ 𝒙 𝑥𝑐 ≠ 𝜀 untuk 𝑖 = 𝑐. Oleh karena itu
persamaan terakhir di atas dapat ditulis
⊕𝑗=1𝑛 (𝑎𝑖𝑗⊗𝑥𝑗) = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑐
𝑚𝑎𝑥1≤𝑗≤𝑛(𝑎𝑐𝑗⊗𝑥𝑗) = 𝜆⊗ 𝑥𝑐
𝑚𝑎𝑥1≤𝑗≤𝑛(𝑎𝑐1 + 𝑥1, 𝑎𝑐2 + 𝑥2, … , 𝑎𝑐𝑐 + 𝑥𝑐, … , 𝑎𝑐𝑛 + 𝑥𝑛) = 𝜆 ⊗ 𝑥𝑐
Karena 𝑎𝑐𝑐 = 𝜀 maka 𝜆 ⊗ 𝑥𝑐 = 𝜀.
Karena 𝑥𝑐 ≠ 𝜀 maka haruslah 𝜆 = 𝜀. ∎
Karakteristik matriks yang memiliki nilai eigen 𝜀 pada Teorema 3.31
memberikan akibat pada matriks iredusibel seperti dijelaskan dalam corrolary
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Corrolary Jika matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 adalah matriks iredusibel, maka nilai eigen
dari matriks 𝐴 tidak sama dengan 𝜀.
Bukti:
Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 adalah matriks iredusibel, dan ijaA untuk 𝑖 = 1,… , 𝑛 dan
𝑗 = 1,… , 𝑛. Corrolary ini akan dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi.
Misalkan 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 mempunyai nilai eigen sama dengan 𝜀. Berdasarkan
Teorema 3.31 berarti bahwa matriks 𝐴 mempunyai kolom yang semua elemennya
adalah 𝜀. Misalkan kolom yang dimaksud adalah 𝑐, 𝑎𝑖𝑗 = 𝜀 untuk 𝑖 = 1,… , 𝑛.
Maka berdasarkan Definisi 3.17 𝑤(𝑐, 𝑖) = 𝜀 dan hal itu berarti tidak terdapat
busur dari simpul 𝑐 ke simpul 𝑖 untuk .,...,1 ni Akibatnya berdasarkan Definisi
3.22 dan Definisi 3.26, dapat dikatakan bahwa matriks 𝐴 tidak iredusibel. Jadi
pengandaian salah, sehingga nilai eigen matriks 𝐴 tidak sama dengan
𝜀. ∎
Selanjutnya akan dijelaskan teorema tentang sifat nilai eigen matriks
iredusibel 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛
Teorema 3.32 Jika Matriks 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 irredusibel, maka A mempunyai nilai
eigen tunggal.
Bukti
Eksistensi nilai eigen matriks 𝐴 di ℝ𝑚𝑎𝑥 sudah dijelaskan oleh Teorema 3.29.
Misalkan 𝜆 adalah sebarang nilai eigen matriks 𝐴 dengan 𝒙 adalah vektor eigen
yang bersesuaian dengan 𝜆. Karena matriks 𝐴 iredusibel, maka menurut corrolary
𝑥𝑖 ≠ 𝜀 untuk setiap 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Ambil sebarang sirkuit 𝜌, misalkan (𝑖1, 𝑖2), (𝑖2, 𝑖3),… , (𝑖𝜌, 𝑖1) di 𝒢(𝐴). Karena 𝜆
adalah nilai eigen ℝ𝑚𝑎𝑥 matriks A maka
𝑎𝑖2𝑖1⊗𝑥𝑖1 ≤ 𝜆⊗ 𝑥𝑖2
.
.
.
𝑎𝑖𝑝𝑖𝑝−1 ⊗𝑥𝑖𝑝−1 ≤ 𝜆⊗ 𝑥𝑖𝑝
𝑎𝑖1𝑖𝑝⊗𝑥𝑖𝑝 ≤ 𝜆⊗ 𝑥𝑖1
Berdasarkan bukti Teorema 3.30 diperoleh 𝜆 lebih besar atau sama
dengan bobot rata-rata 𝜌, untuk setiap sirkuit 𝜌 di 𝒢(𝐴). Jadi 𝜆 = 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝐴), yang
berarti bahwa nilai eigen ℝ𝑚𝑎𝑥 matriks adalah tunggal. ∎
Selanjutnya akan dijelaskan satu teorema tentang sifat vektor eigen dari
matriks 𝐴 yang iredusibel.
Teorema 3.33 Jika matriks iredusibel 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑛×𝑛 mempunyai nilai eigen 𝜆
dengan 𝒙 adalah vektor eigen ℝ𝑚𝑎𝑥 yang bersesuaian dengan 𝜆, maka 𝑥𝑖 ≠ 𝜀
untuk setiap 𝑖 ∈ {1,… , 𝑛}.
Bukti
Andaikan terdapat elemen 𝑠 ∈ {1,… , 𝑛} sehingga 𝑥𝑠 = 𝜀
Akibatnya (𝐴 ⊗ 𝒙)𝑠 = 𝜆⊗ 𝑥𝑠 = 𝜀 atau 𝐴𝑠,𝑖⊗𝑥𝑖 = 𝜀, ∀𝑖 ∈ {1,… , 𝑛}.
Hal ini berarti bahwa tidak ada busur dari setiap simpul 𝑖 ≠ 𝑠 ke simpul 𝑠.
Akibatnya 𝒢(𝐴) tidak terhubung kuat atau matriks 𝐴 tidak iredusibel. Jika
terdapat lebih dari satu komponen yang sama dengan 𝜀, bukti seperti diatas akan
menghasilkan kesimpulan bahwa matriks A tidak iredusibel. ∎
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
BAB IV
APLIKASI ALJABAR MAX PLUS
PADA SUATU RUTE BUS TRANSJOGJA
Pada bab ini akan dijelaskan aplikasi sederhana aljabar max-plus pada
suatu rute bus Transjogja. Penjelasan pada bab ini dimulai dengan memberikan
gambaran tentang sistem transportasi bus Transjogja secara umum, selanjutnya
akan dijelaskan tentang rute pilihan, graf rute pilihan dan pada bagian akhir
dijelaskan tentang model matematika serta analisa dengan menggunakan nilai
eigen dan vektor atas model yang dihasilkan. Hasil analisa adalah output yang
menentukan apakah dimungkinkan dibuat suatu jadwal bus Transjogja yang
periodik pada rute pilihan.
A. Gambaran Singkat Rute Bus Transjogja
Bus Transjogja adalah sistem transportasi bus cepat, murah dan ber-AC
di Yogyakarta. Bus Transjogja adalah salah satu bagian dari program
penerapan Bus Rapid Transit (BRT) yang dicanangkan oleh Departemen
Perhubungan Pemerintah Provinsi D. I. Yogyakarta yang bekerja sama dengan
PT Jogja Tugu Trans sebagai pihak pengelola. Bus Transjogja mulai beroperasi
awal bulan Maret 2008. Dalam pelayanannya terhadap penumpang, bus
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Transjogja menerapkan sistem antar-jemput, yaitu bus Transjogja akan
menaikkan atau menurunkan penumpang pada setiap halte yang dilalui.
Bus Transjogja sebagai sarana transportasi menghubungkan enam titik
penting di sekitar kota Yogyakarta, yaitu Stasiun Kereta Api Yogyakarta,
Terminal Bus Giwangan, Terminal Condong Catur, Terminal Jombor, Bandara
Adisucipto Yogyakarta, dan Terminal Prambanan. Pada awal peluncuran,
terdapat enam jalur bus, yaitu jalur 1A, 1B, 2A, 2B, 3A, dan 3B. Pada saat ini
terdapat delapan jalur bus yang dilayani secara melingkar – berangkat dari dan
akan kembali ke terminal awal – mulai dari jam 05.30 hingga 21.00 WIB. Berikut
ini akan dijelaskan delapan jalur bus Transjogja.
1. Jalur 1A
Terminal Prambanan – Kalasan – Bandara Adisucipto Yogyakarta –
Maguwoharjo – Janti (bawah) – UIN Kalijaga – Demangan – Gramedia – Tugu –
Stasiun Tugu – Malioboro – Kantor Pos Besar – Gondomanan – Pasar Sentul –
SGM – Gembira Loka – Babadan – Gedongkuning – JEC – Blok O – Janti (atas)
– Maguwoharjo – Bandara Adisucipto Yogyakarta – Kalasan – Terminal
Prambanan.
2. Jalur 1B
Bandara Adisucipto Yogyakarta – Maguwoharjo – Babarsari – Janti (bawah) –
Blok O – JEC – Babadan – Gedongkuning – Gembira Loka – SGM – Pasar
Sentul – Gondomanan – Kantor Pos Besar – RS. PKU Muhammadiyah – Pasar
Kembang – Badran – Bundaran SAMSAT – Pingit – Tugu – Gramedia –
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Bundaran UGM – Colombo – Demangan – Terminal Condong Catur – UIN
Sunan Kalijaga – Janti – Maguwoharjo – Bandra Adisucipto Yogyakarta.
3. Jalur 2A
Terminal Jombor – Monjali – Tugu – Stasiun Tugu – Malioboro – Kantor Pos
Besar – Gondomanan – Pojok Beteng Wetan – Tungkak – Gambiran – Basen –
Rejowinangun – Babadan – Gedongkuning – Gembira Loka – SGM – Cendana –
Mandala Krida – Gayam – Flyover Lempuyangan – Kridosono – Duta Wacana –
Galeria – Gramedia – Bundaran UGM – Colombo – Terminal Condong Catur –
Kentungan – Monjali – Terminal Jombor .
4. Jalur 2B
Terminal Jombor – Monjali – Kentungan – Terminal Condong Catur – Colombo
– Bundaran UGM – Gramedia – Kridosono – Duta Wacana – Flyover
Lempuyangan – Gayam – Mandala Krida – Cendana – SGM – Gembira Loka –
Babadan – Gedongkuning – Rejowinangun – Basen – Tungkak – Pojok Beteng
Wetan – Gondomanan – Kantor Pos Besar – RS PKU Muhammadiyah –
Ngabean – Wirobrajan – BPK – Badran – Bundaran SAMSAT – Pingit – Tugu –
Monjali – Terminal Jombor.
5. Jalur 3A
Terminal Giwangan – Tegal Gendu – HS-Silver – Jl. Nyi Pembayun – Pegadaian
Kotagede – Basen – Rejowinangun – Babadan – Gedongkuning – JEC – Blok
O – Janti (atas) – Maguwoharjo – Bandara Adisucipto Yogyakarta –
Maguwoharjo – Gelanggangroad Utara – Terminal Condong Catur – Kentungan
– MM UGM – Mirota Kampus – Gondolayu – Tugu – Pingit – Bundaran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
SAMSAT – Badran – Pasar Kembang – Stasiun TUGU – Malioboro – Kantor
Pos Besar – RS PKU Muhammadiyah – Ngabean – Pojok Beteng Kulon –
Plengkung Gading – Pojok Beteng Wetan – Tungkak – Wirosaban – Tegal
Gendu – Terminal Giwangan.
6. Jalur 3B
Terminal Giwangan – Tegal Gendu – Wirosaban – Tungkak – Pojok Beteng
Wetan – Plengkung Gading – Pojok Beteng Kulon – Ngabean – RS PKU
Muhammadiyah – Pasar Kembang – Badran – Bundaran SAMSAT – Pingit –
Tugu – Gondolayu – Mirota Kampus – MM UGM – Kentungan – Terminal
Condong Catur – Gelanggangroad Utara – Maguwoharjo – Bandara Adisucipto
Yogyakarta – Maguwoharjo – Janti (bawah) – Blok O – JEC – Babadan –
Gedongkuning – Rejowinangun – Basen – Pegadaian Kotagede – Jl. Nyi
Pembayun – HS-Silver – Tegal Gendu – Terminal Giwangan.
7. Jalur 4A
Terminal Giwangan – Jl. Imogiri – Jl. Pramuka – Jl. Perintis Kemerdekaan – Jl.
Menteri Supeno – Jl. Taman Siswa – Jl. Sultan Agung – Jl. Gadjah Mada – Jl.
Hayam Wuruk – Jl. Yos Sudarso – Jl. Hayam Wuruk – Jl. Gadjah Mada – Jl.
Sultan Agung – Jl. Taman Siswa – Jl. Menteri Supeno – Jl. Perintis Kemerdekaan
– Jl. Pramuka – Jl. Imogiri Timur – Terminal Giwangan
8. Jalur 4B
Terminal Giwangan – Jl. Imogiri Timur – Jl. Pramuka – Jl. Perintis Kemerdekaan
– Jl. Veteran – Jl. Pandean – Jl. Glagahsari – Jl. Kusumanegara – Jl. Sidobali – Jl.
Ipda Tut Harsono – Jl. Urip Sumoharjo – Jl. Sudirman – Jl. Suroto – Jl. Wardani
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
– Jl. Kusbini – Jl. Langensari – Jl. Urip Sumoharjo – Jl. Ipda Tut Harsono – Jl.
Sidobali – Jl. Kusumanegara – Jl. Glagahsari – Jl. Pandean – Jl. Veteran – Jl.
Perintis Kemerdekaan – Jl. Pramuka – Jl. Imogiri Timur – Terminal Giwangan.
Untuk lebih jelas tentang rute dari delapan jalur di atas, dapat dilihat pada
Peta Jagelanggangan Trayek dan Halte Angkutan Bus Perkotaan Transjogja
berikut ini.
Gambar 4.1. Jagelanggangan Trayek dan Halte Trans Jogja
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
B. Rute Pilihan
Rute adalah jalan atau arah yang harus ditempuh atau dilalui. Rute juga
dapat didefinisikan sebagai lintasan angkutan yang menghubungkan dua tempat.
Dalam makalah ini, dua definisi di atas digunakan untuk mendefinisikan rute
pilihan, yaitu lintasan bus Transjogja dengan satu halte awal dan satu halte tujuan
yang tetap dan dihubungkan oleh beberapa halte yang membentuk arah yang
harus ditempuh. Pada Bagian A telah dijelaskan bahwa bus Transjogja
mempunyai 8 jalur keberangkatan yang dapat dijadikan sebagai rute pilihan.
Tetapi, dalam penelitian ini delapan jalur tersebut tidak akan digunakan sebagai
rute pilihan. Pemilihan rute dilakukan dengan cara menentukan empat titik halte
yang menjadi halte utama, yaitu tempat keberangkatan dan tujuan dari bus
Transjogja. Keempat titik tersebut adalah Terminal Jombor, Bandara
Adisucipto Yogyakarta, Stasiun Tugu (Malioboro), dan Terminal Giwangan.
Dengan demikian yang dimaksud dengan rute pilihan di sini adalah lintasan yang
menghubungkan keempat halte utama. Oleh karena itu dapat dijelaskan bahwa
dengan menghubungkan keempat halte utama di atas, dapat dibentuk enam rute
bus Transjogja, yaitu rute bus Transjogja dari Terminal Jombor menuju Bandara
Adisucipto Yogyakarta dan arah sebaliknya yaitu dari Bandara Adisucipto
Yogyakarta menuju Terminal Jombor; rute bus Transjogja dari Terminal Jombor
menuju Stasiun Tugu dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Tugu ke Terminal
Jombor; rute bus Transjogja dari Bandara Adisucipto Yogyakarta menuju Stasiun
Tugu dan arah sebaliknya yaitu dari Stasiun Tugu menuju Bandara AdiSucipto;
rute Transjogja dari Bandara Adisucipto Yogyakarta menuju Terminal Giwangan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
dan arah sebaliknya yaitu dari Terminal Giwangan menuju Bandara Adisucipto
Yogyakarta; rute bus Transjogja dari Stasiun Tugu menuju Terminal Giwangan
dan arah sebaliknya yaitu dari Terminal Giwangan menuju Stasiun Tugu; dan
rute bus Transjogja dari Terminal Jombor menuju Terminal Giwangan dan arah
sebaliknya yaitu dari Terminal Giwangan menuju Terminal Jombor.
C. Graf Rute Pilihan
Pada bagian ini akan disusun suatu graf berarah berbobot yang dibentuk
dari rute bus Transjogja yang dijelaskan pada Bagian B. Namun sebelumnya
akan diberikan beberapa penjelasan tentang lintasan yang menghubungkan
keempat halte utama di atas.
Pada Bagian B telah ditentukan empat halte utama yang menjadi titik
awal dan titik akhir suatu rute bus Transjogja. Dari empat halte tersebut
terbentuk enam rute bus Transjogja, dengan halte awal dan halte akhir dari
sebuah lintasan adalah keempat halte utama.
Dalam karya tulis ini, penentuan lintasan yang menghubungkan halte
awal dengan halte akhir berdasar pada waktu tempuh tercepat dari halte awal ke
halte tujuan. Oleh karena itu, lintasan lain yang mempunyai waktu tempuh yang
lebih lama diabaikan. Berdasarkan hasil penelitian pada tanggal 15 Februari – 7
Maret 2015 diperoleh data tentang lintasan yang menghubungkan empat halte
utama tersebut sebagai berikut:
Dengan mengandaikan bahwa kotak adalah halte-halte bus Transjogja
dan anak panah sebagai arah perjalanan bus transjogja dari halte keberangkatan
menuju halte tujuan, dapat didefinisikan lintasan tersebut sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
1. Rute 1: Terminal Jombor – Bandara Adisucipto Yogyakarta – Terminal
Jombor.
Gambar 4.2 Rute 1
Perjalanan dari Terminal Jombor menuju Terminal Condong Catur
menggunakan bus Transjogja jalur 2B. Dari Terminal Condong Catur
perjalanan dilanjutkan dengan menggunakan bus Transjogja jalur 3B menuju
Bandara Adisucipto Yogyakarta. Sebaliknya perjalanan dari Bandara Adisucipto
Yogyakarta menuju Terminal Condong Catur menggunakan bus Transjogja
jalur 3A dan dari Terminal Condong Catur menuju Terminal Jombor digunakan
bus Transjogja jalur 2A.
2. Rute 2 : Terminal Jombor – Stasiun Tugu (Maliboro 1) – Terminal Jombor
Gambar 4.3 Rute 2
Perjalanan dari Terminal Jombor menuju Stasiun Tugu (Maliboro 1)
menggunakan bus Transjogja jalur 2A (Halte Maliboro 1 dipilih sebagai halte
tujuan untuk Stasiun Tugu, karena di Stasiun Tugu sendiri tidak terdapat halte
bus Transjogja, dan Halte Maliboro 1 adalah halte terdekat dengan Stasiun
Tugu). Sebaliknya perjalanan dari Stasiun Tugu (Halte Malioboro 1) menuju
Halte Ahmad Dahlan menggunakan bus Transjogja jalur 3A. Selanjutnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
perjalanan dari Halte Ahmad Dahlan dilanjutkan dengan menggunakan bus
Transjogja jalur 2B menuju Terminal Jombor.
3. Rute 3 : Bandara Adisucipto Yogyakarta – Stasiun Tugu (Malioboro 1) –
Bandara Adisucipto Yogyakarta
Gambar 4.4 Rute 3
Perjalanan dari Bandara Adisucipto Yogyakarta menuju Stasiun Tugu
(Malioboro 1) menggunakan bus Transjogja jalur 1A. Sebaliknya perjalanan dari
Stasiun Tugu (Halte Malioboro 1) menuju Bandara Adisucipto Yogyakarta
menggunakan bus Transjogja jalur 1A juga.
4. Rute 4 : Bandara Adisucipto Yogyakarta – Terminal Giwangan – Bandara
Adisucipto Yogyakarta
Gambar 4.5 Rute 4
Perjalanan dari Bandara Adisucipto Yogyakarta menuju Terminal
Giwangan menggunakan bus Transjogja jalur 3B. Sebaliknya perjalanan dari
Terminal Giwangan menuju Bandara Adisucipto Yogyakarta menggunakan bus
Transjogja jalur 3A.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
5. Rute 5 : Stasiun Tugu (Maliboro 1) – Terminal Giwangan – Stasiun Tugu
(Malioboro 1)
Gambar 4.6 Rute 5
Perjalanan dari Stasiun Tugu (Halte Malioboro 1) menuju Terminal
Giwangan menggunakan bus Transjogja jalur 3A. Sebaliknya perjalanan dari
Terminal Giwangan menuju Halte SMP 5 menggunakan bus Transjogja jalur 4A.
Selanjutnya perjalanan dilanjutkan dengan menggunakan bus Transjogja jalur 3A
menuju Stasiun Tugu (Halte Malioboro 1).
6. Rute 6 : Terminal Giwangan – Terminal Jombor – Terminal Jombor
Gambar 4.7 Rute 6
Perjalanan dari Terminal Giwangan menuju Halte Sugiono 2
menggunakan bus Transjogja jalur 3B. Dari Halte Sugiono 2 perjalanan
dilanjutkan dengan menggunakan bus Transjogja jalur 2B menuju Terminal
Jombor. Sebaliknya perjalanan dari Terminal Jombor menuju Halte Sugiono 1
menggunakan bus Transjogja jalur 2A. Dari Halte Sugiono 1 perjalanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
dilanjutkan dengan menggunakan bus Transjogja jalur 3A menuju Terminal
Giwangan.
Berdasarkan lintasan dari keenam rute di atas, jalur bus Transjogja yang
digunakan pada rute pilihan adalah bus Transjoga jalur 1A, 2A, 2B, 3A, 3B dan
4A. Oleh karena itu dapat digambarkan suatu graf dari keenam jalur bus
Transjogja tersebut sebagai rute yang menghubungkan keempat halte utama.
Gambar 4.8 Graf rute bus Transjogja Jalur 1A, 2A, 2B, 3A, 3B dan 4A
Selanjutnya akan diberikan data waktu tempuh bus Transjogja yang
beroperasi pada keenam rute di atas. Waktu tempuh adalah rata-rata total waktu
yang dibutuhkan oleh bus Transjogja untuk melakukan sekali perjalanan dari satu
halte ke halte sesudahnya. Data rata-ratawaktu tempuh diperoleh dari hasil
penelitian yang dilakukan pada tanggal 15 Februari – 7 Maret 2015 dan 1 – 10
Mei 2015. Data selengkapnya dapat dilihat dalam Tabel 4.1 di bawah ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Tabel 4.1 Waktu Tempuh Bus Transjogja
Jalur Dari Ke Waktu
Tempuh
1A Halte 5 Halte B 15 menit
1A Halte B Halte C 34 menit
1A Halte C Halte B 36 menit
1A Halte B Halte 5 13 menit
2A Halte A Halte C 20 menit
2A Halte C Halte 4 11 menit
2A Halte 4 Halte 1 50 menit
2A Halte 1 Halte A 10 menit
2B Halte A Halte 1 12 menit
2B Halte 1 Halte 6 50 menit
2B Halte 6 Halte 3 13 menit
2B Halte 3 Halte A 35 menit
3A Halte D Halte B 28 menit
3A Halte B Halte 1 16 menit
3A Halte 1 Halte 2 23 menit
3A Halte 2 Halte C 17 menit
3A Halte C Halte 3 5 menit
3A Halte 3 Halte 4 12 menit
3A Halte 4 Halte D 11 menit
3B Halte D Halte 6 17 menit
3B Halte 6 Halte 1 50 menit
3B Halte 1 Halte B 15 menit
3B Halte B Halte D 27 menit
4A Halte D Halte 2 20 menit
4A Halte 2 Halte D 20 menit
Catatan: Rata-rata waktu tempuh merupakan hasil perhitungan dari total waktu
yang diambil dari 4 buah bus Transjogja yang beroperasi pada waktu pagi mulai
pukul 05.30 – 10.00 WIB; 4 buah bus Transjogja yang beroperasi pada siang hari
mulai pukul 12.00 – 16.00 WIB; dan 4 buah bus Transjogja yang beroperasi pada
sore sampai malam hari mulai pukul 18.00 – 21.00 WIB.
Berdasarkan Gambar 4.8 dan Tabel 4.1 di atas, maka dapat dibentuk suatu
graf berarah berbobot dari rute pilihan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Gambar 4.9 Graf Berarah Berbobot dari Rute Pilihan
D. Sinkronisasi
Pada bagian ini dijelaskan tentang sinkronisasi waktu keberangkatan saat
penumpang berganti jalur bus pada tempat pemberhentian. Pada Bagian C telah
diperoleh graf berarah berbobot dari rute pilihan dan tabel waktu tempuh bus
Transjogja yang beroperasi untuk setiap lintasan. Misalkan untuk setiap
DCBA ,,, adalah platform pada masing-masing halte bus Transjogja yang dilalui
maka dapat disusun sinkronisasi bus Transjogja untuk keenam rute di atas:
1. Rute 1: Halte A – Halte 1– Halte B– Halte 1– Halte A.
Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte A ke halte 1 harus
menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 3 ke
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
arah halte A . Bus Transjogja ke- )1( k yang berangkat pada halte 1 ke halte
B harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari
halte 6 ke arah halte 1. Bus Transjogja ke - 1k yang berangkat pada halte
B ke halte 1 harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang
berangkat dari halte D ke arah halte .B Bus Transjogja ke- 1k yang
berangkat dari halte 1 ke halte A harus menunggu kedatangan bus
Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 4 ke arah halte 1.
2. Rute 2: Halte A – Halte C – Halte 3 – Halte A
Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte A ke halte C harus
menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 1 ke
arah halte A . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte C ke
halte 3 harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari
halte 2 ke arah halte .C Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte
3 ke halte A harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang
berangkat dari halte 6 ke arah halte 3.
3. Rute 3: Halte B – Halte C – Halte B
Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte B ke halte C harus
menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 5 ke
arah halte B . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte C ke
halte B harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat
dari halte B ke arah halte C .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
4. Rute 4: Halte B – Halte D – Halte B
Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte B ke halte D harus
menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 1 ke
arah halte B . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte D ke
halte B harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat
dari halte 4 ke arah halte D .
5. Rute 5: Halte C – Halte D – Halte 2 – Halte C.
Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte C ke halte 3 harus
menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte 2 ke
arah halte C . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte D ke
halte 2 harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari
halte 2 ke arah halte D . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte
2 ke halte C harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang
berangkat dari halte 1 ke arah halte 2.
6. Rute 6: Halte D – Halte 6 – Halte A – Halte 4 – Halte D.
Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte D ke halte 6 harus
menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte B ke
arah halte D . Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte 6 ke halte
3 harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat dari halte
1 ke arah halte 6. Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada halte A ke
halte C harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang berangkat
dari halte 1 ke arah halte .A Bus Transjogja ke- 1k yang berangkat pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
halte 4 ke halte D harus menunggu kedatangan bus Transjogja ke- k yang
berangkat dari halte 3 ke arah halte 4.
E. Model Matematika dari Rute Pilihan
Pada Bagian D telah dijelaskan sinkronisasi dari rute pilihan. Selanjutnya
pada bagian ini akan dijelaskan model matematika pada rute pilihan dengan
menggunakan ℝ𝑚𝑎𝑥 . Namun sebelumnya perlu didefinisikan sistem matriks di
ℝ𝑚𝑎𝑥 . Dalam Heidergott, dkk (2006) sistem matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 didefinisikan
sebagai berikut: Misalkan ℕ adalah himpunan semua bilangan bulat positif, suatu
barisan (𝑥(𝑘): 𝑘 ∈ ℕ) dapat dibangun oleh 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴⊗ 𝑥(𝑘) untuk
𝑘 ≥ 0, 𝐴 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥𝑚×𝑛, 𝑥 ∈ ℝ𝑚𝑎𝑥
𝑛 dan 𝑥(0) = 𝑥0 adalah kondisi awal serta 𝑥(𝑘)
adalah waktu keberangkatan bus yang ke- k di suatu halte.
Berdasarkan sistem matriks di ℝ𝑚𝑎𝑥 , maka langkah pertama dalam
penyusunan model matematika ini adalah mendefinisikan variabel untuk setiap
busur yang menghubungkan halte satu dengan halte yang lain pada keenam rute
pilihan. Selanjutnya berdasarkan Tabel 4.1, Gambar 4.2 dan mengasumsikan
bahwa bus Transjogja yang beroperasi untuk setiap lintasan yang
menghubungkan satu halte dengan halte yang lain, masing-masing satu, diperoleh
data seperti yang ditunjukkan dalam Tabel 4.2 berikut ini. Selanjutnya data ini
diasumsikan tetap.
Tabel 4.2 Definisi Varibel dan Alokasi Bus Transjogja Rute Pilihan
Variabel Dari Ke Waktu
Tempuh
Jumlah
Bus
x1 Halte A Halte 1 12 1
x2 Halte 1 Halte B 15 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
x3 Halte B Halte 1 16 1
x4 Halte 1 Halte A 10 1
x5 Halte A Halte C 20 1
x6 Halte C Halte 3 5 1
x7 Halte 3 Halte A 35 1
x8 Halte B Halte C 34 1
x9 Halte C Halte B 36 1
x10 Halte B Halte D 27 1
x11 Halte D Halte B 28 1
x12 Halte 3 Halte 4 12 1
x13 Halte 4 Halte D 11 1
x14 Halte D Halte 2 20 1
x15 Halte 2 Halte C 17 1
x16 Halte D Halte 6 17 1
x17 Halte 6 Halte 3 13 1
x18 Halte C Halte 4 11 1
x19 Halte 4 Halte 1 50 1
x20 Halte 6 Halte 1 50 1
x21 Halte B Halte 5 13 1
x22 Halte 5 Halte B 15 1
x23 Halte 2 Halte D 20 1
x24 Halte 1 Halte 2 23 1
x25 Halte 1 Halte 6 50 1
Selanjutnya berdasarkan aturan sinkronisasi pada Bagian D dan data pada
Tabel 4.2 di atas maka dapat disusun model matematika untuk keenam rute di
atas.
𝑥1(𝑘 + 1) = 10⊗ 𝑥4(𝑘)⊕ 35⊗ 𝑥7(𝑘)
𝑥2(𝑘 + 1) = 12⊗ 𝑥1(𝑘)⊕ 50⊗ 𝑥20(𝑘)
𝑥3(𝑘 + 1) = 15⊗ 𝑥2(𝑘)⊕ 28⊗ 𝑥11(𝑘)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
𝑥4(𝑘 + 1) = 16⊗ 𝑥3(𝑘)⊕ 50⊗ 𝑥19(𝑘)
𝑥5(𝑘 + 1) = 35⊗ 𝑥7(𝑘)⊕ 10⊗ 𝑥4(𝑘)
𝑥6(𝑘 + 1) = 20⊗ 𝑥5(𝑘)⊕ 17⊗ 𝑥15(𝑘)
𝑥7(𝑘 + 1) = 5⊗ 𝑥6(𝑘)⊕ 13⊗ 𝑥17(𝑘)
𝑥8(𝑘 + 1) = 36⊗ 𝑥9(𝑘)⊕ 15⊗ 𝑥22(𝑘)
𝑥9(𝑘 + 1) = 34⊗ 𝑥8(𝑘)
𝑥10(𝑘 + 1) = 28⊗ 𝑥11(𝑘)⊕ 15⊗ 𝑥2(𝑘)
𝑥11(𝑘 + 1) = 27⊗ 𝑥10(𝑘)⊕ 11⊗ 𝑥13(𝑘)
𝑥12(𝑘 + 1) = 5⊗ 𝑥6(𝑘)
𝑥13(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥18(𝑘)⊕ 12⊗ 𝑥12(𝑘)
𝑥14(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥13(𝑘)⊕ 20⊗ 𝑥23(𝑘)
𝑥15(𝑘 + 1) = 20⊗ 𝑥14(𝑘)⊕ 23⊗ 𝑥24(𝑘)
𝑥16(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥13(𝑘)⊕ 27⊗ 𝑥10(𝑘)
𝑥17(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥16(𝑘)⊕ 50⊗ 𝑥25(𝑘)
𝑥18(𝑘 + 1) = 20⊗ 𝑥5(𝑘)
𝑥19(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥18(𝑘)
𝑥20(𝑘 + 1) = 11⊗ 𝑥16(𝑘)
𝑥21(𝑘 + 1) = 36⊗ 𝑥9(𝑘)
𝑥22(𝑘 + 1) = 13⊗ 𝑥21(𝑘)
𝑥23(𝑘 + 1) = 20⊗ 𝑥14(𝑘)
𝑥24(𝑘 + 1) = 16⊗ 𝑥3(𝑘)
𝑥25(𝑘 + 1) = 12⊗ 𝑥1(𝑘)
Jika ,kxi 𝑖 = 1, 2, 3, … , 25 adalah keberangkatan bus Transjogja ke- k dari
setiap keberangkatan yang dijelaskan pada Tabel 4.2 di atas, persamaan-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
persamaan di atas dapat dinyatakan dalam model umum ℝ𝑚𝑎𝑥 yaitu 𝑥(𝑘 + 1) =
𝐴⊗ 𝑥(𝑘) untuk 𝑥(𝑘) = (𝑥1(𝑘), 𝑥2(𝑘), 𝑥3(𝑘), … , 𝑥25(𝑘)) dan
...
........................12
......................16..
...........20.............
....13....................
................36........
.........11...............
.......11.................
....................20....
50........11...............
............11..27.........
.23.........20.............
..20.........11............
.......11.....12...........
...................5.....
............11..27.........
..............28........15.
.................34.......
...15............36........
........13..........5.....
..........17.........20....
..................35..10...
......50...............16..
..............28........15.
.....50..................12
..................35..10...
.A
Untuk alasan kemudahan penulisan 𝜀 dinotasikan dengan . = 𝜀.
Catatan: karena jumlah bus Transjogja diasumsikan masing-masing satu untuk
setiap busur, jumlah total bus Transjogja adalah 25.
Menurut Subiono (2013) jumlah total bus ini menunjuk pada dimensi x pada
persamaaan 𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴⊗ 𝑥(𝑘). Dengan demikian matriks 𝐴 adalah matriks
persegi yang berukuran 25 x 25.
F. Menghitung Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Pada Bagian E telah ditunjukkan model matematika dari rute pilihan yang
menghubungkan keempat halte utama. Dari model matematika tersebut diperoleh
matriks 𝐴. Langkah selanjutnya adalah membuat analisa atas model tersebut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
dengan cara menghitung nilai eigen dan vektor eigen matriks 𝐴 dan selanjutnya
berdasarkan nilai eigen dan vektor eigen tersebut dibuat kesimpulan apakah
dimungkinkan disusun suatu jadwal yang periodik untuk rute pilihan.
Dalam karya tulis ini untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
matrisk 𝐴 digunakan bantuan aplikasi dari program MATLAB. Dengan
menggunakan MATLAB diperoleh bahwa matriks A tidak iredusibel dengan
nilai eigen maksimum 35)( A dan vektor eigen matriks A yaitu:
Tx ...211...........10.......
dengan . = 𝜀.
Dari hasil yang diperoleh MATLAB dapat ditarik beberapa kesimpuan,
yaitu pertama matriks A tidak iredusibel. Kemungkinan terbesar yang
menyebabkan matriks A tidak iredusibel adalah perbedaan antara lintasan yang
dilalui oleh bus Transjogja pada rute pergi dengan rute baliknya. Misalnya
diambil rute 2. Rute perginya adalah perjalanan dari halte A ke halte C; dan rute
baliknya adalah perjalanan dari halte C ke halte A. Pada rute perginya
perjalanannya ditempuh dari halte A ke halte C dengan menggunakan bus
Transjogja jalur 2A. Sedangkan pada rute baliknya, perjalanan harus ditempuh
dari halte C ke halte 3 dengan bus Transjogja jalur 3A yang ditunggu
kedatangannya dari halte 2; dan kemudian dilanjutkan perjalanan dari halte 3 ke
halte A dengan bus Transjogja jalur 2B yang ditunggu kedatangannya dari halte
6.
Kedua, hasil nilai eigen 𝜆 = 35 menyatakan keperiodikan keberangkatan
bus Transjogja. Nilai eigen 𝜆 merepresentasikan periode keberangkatan bus
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
Transjogja di setiap halte. Sedangkan vektor eigen x merepresentasikan waktu
awal keberangkatan bus Transjogja di halte awal. Dengan demikian untuk
keberangkatan bus di setiap halte seharusnya dapat disusun jadwal keberangkatan
bus Transjogja yang periodik. Akan tetapi pada perhitungan MATLAB di atas
ditunjukkan bahwa matriks A tidak iredusibel dan menghasilkan vektor eigen
𝒙 yang memuat elemen 𝜀 atau terdapat 𝑥𝑖 = 𝜀 , dengan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 25 dan
𝑥 ∈ 𝒙 atau dapat dikatakan bahwa tidak semua elemen dari vektor eigen 𝒙
bernilai real. Akibatnya untuk nilai vektor eigen 𝑥𝑖 = 𝜀 waktu awal
keberangkatan bus Transjogja sulit didefinisikan, yang menyebabkan tidak bisa
dientukan waktu keberangkatan sesudahnya. Oleh karena itu dapat disimpulkan
bahwa dengan analisa ini belum bisa dibentuk suatu jadwal keberangkatan bus
Transjogja yang periodik untuk rute pilihan. Akan tetapi, karena matriks 𝐴 tidak
iredusibel, berdasarkan Teorema 3.32 terdapat kemungkinan nilai eigen lain yang
memungkinkan diperolehnya vektor eigen dengan setiap elemennya bernilai real;
sehingga dengan nilai eigen dan vektor eigen yang semuanya bernilai real dapat
disusun suatu jadwal keberangkatan bus Transjogja untuk rute pilihan tersebut.
Penentuan nilai eigen ‘yang lain’ ini dapat dilakukan dengan mempelajari cara
menentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks tidak iredusibel.
Penjelasan tentang cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen dalam suatu
matriks 𝐴 yang tidak iredusibel tidak dijelaskan dalam karya tulis ini tetapi dapat
dilihat di Tam (2010) dan dapat menjadi bahan penelitian lebih lanjut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan penjelasan pada Bab III dan Bab IV diperoleh kesimpulan
sebagai berikut:
1. Aljabar max-plus adalah struktur aljabar yang membentuk semigelanggang
komutatif, dan selanjutnya merupakan semilapangan idempoten.
2. Suatu matriks persegi pada aljabar max-plus adalah iredusibel jika graf
presedennya terhubung kuat, yaitu untuk setiap simpul ke simpul lain terdapat
lintasan.
3. Nilai eigen suatu matriks persegi yang iredusibel pada aljabar max-plus
adalah bobot rata-rata maksimum sirkuit elementer pada graf preseden. Suatu
matriks persegi yang iredusibel mempunyai nilai eigen dan vektor eigennya
berhingga dan nilai eigen tunggal.
4. Langkah-langkah menyusun pemodelan pada suatu rute bus Transjogja
sebagai berikut: pertama, menentukan rute pilihan; kedua membuat graf rute
pilihan; ketiga menyusun sinkronisasi; keempat menyusun model matematika
berdasarkan sinkronisasi dan data lapangan; kelima menyusun matriks
berdasarkan model matematika yang telah dibuat; keenam menentukan nilai
eigen dan vektor eigen; ketujuh mengambil kesimpulan berdasarkan hasil
perhitungan nilai eigen dan vektor eigen.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
5. Hasil pemodelan menunjukkan bahwa terdapat nilai eigen real tetapi vektor
eigennya memuat elemen tak real. Hal ini disebabkan karena matriks yang
diperoleh adalah matriks iredusibel. Akibatnya sulit untuk menentukan waktu
awal keberangkatan bus Transjogja untuk beberapa titik halte keberangkatan
dan penentuan waktu keberangkatan selanjutnya. Oleh karena itu belum dapat
dibuat jadwal keberangkatan bus Transjogja yang periodik untuk rute pilihan.
B. Saran
Dari pembahasan pada bab IV diketahui bahwa terdapat kasus-kasus
dalam jagelanggangan transportasi yang menghasilkan graf berarah berbobot dan
suatu matriks yang tidak iredusibel. Dalam kasus matriks yang tidak iredusibel,
prinsip pencarian nilai eigen dan vektor eigen yang dijelaskan pada Bab III belum
bisa menjamin diperolehnya suatu solusi yang tuntas. Oleh karena itu, dalam
karya tulis ini penulis merekomendasikan:
1. Mempelajari cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks tidak
iredusibel pada alajabar max-plus.
2. Melanjutkan penelitian yang dilakukan oleh penulis dengan menerapkan
analisa nilai eigen dan vektor eigen matriks tidak iredusibel. Apakah
dimungkinkan dengan analisa tersebut disusun jadwal bus Transjogja yang
periodik untuk rute pilihan di atas?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
DAFTAR PUSTAKA
Andersen, M. H. (2002). Max-Plus Algebra: Properties and Applications.
Master’s Thesis. Laramie: Laramie University.
Anton, H. (2005). Elementary Linear Algebra. New York: Wiley & Sons.
Arifin M. (2012). Aplikasi Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Dalam
Mengoptimalisasi Waktu Produksi Bakpia Patok Jaya “25”. Yogyakarta:
Universitas Negeri Yogyakarta.
Bacelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., dan Quadrat, J. P., (2001). Synchronization
and Linearity: An Algebra for Discrete Even System. New York: Wiley-
Interscience.
Durbin, J. R. (2009). Modern Algebra An Introduction. New York: Wiley &
Sons.
Farlow, K. G. (2009). Max-Plus Algebra. Master’s Thesis. Virginia: Virginia
Polytechnic Institute and State University
Fraleigh, J. B. (2003). A First Course In Abstract Algebra. New York: Pearson
Education, Inc.
Harju, Tero. (1996). Semigroups. Turku: Departement of Mathematics University
of Turku.
Heidergott, B., Olsder, G. J., Woude, J. van der. (2005). Max-Plus at Work:
Modelling and Analysis of Synchronized Systems: A Course on Max-Plus
Algebra and Its Applications. Princeton: Princeton University Press.
Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford: Clarendon
Press.
Hungerford, T.W. (2000). Algebra. Washington: Springer.
Kandasamy, V. (2002). Smarandache near-rings. Madras: Indian Institute of
Technology.
Kharisma, C. A. (2013). Penentuan Waktu Produksi Tercepat pada Mesin
Produksi Jamu. Surakarta: Universitas Sebelas Maret.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
Kolman, N., Hill, D. R. (2001). Introductory Linear Algebra with Applications.
New Jersey: Prentice Hall.
Newcomb, H. (2014). Modelling Bus Bounching with Petri Nets and Max-Plus
Algebra. Portland: Portland State University.
Novrida, R. (2012). Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dalam Aljabar Max-Plus.
Tesis Magister pada Program Studi Magister Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia. Depok:
Universitas Indonesia.
Rudhito, M. A. (2003). Sistem Linear Max-Plus Waktu-Invariant. Tesis Magister
pada Program Studi Matematika Jurusan Ilmu-ilmu Matematika dan
Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta: Universitas
Gadjah Mada.
Schutter, B.D. (1996). Max-algebraic System Theory for Discrete Event Systems.
Ph.D Thesis. Leuven: Katholieke Universiteit Leuven.
Subiono. (2013). Aljabar Max-Plus dan Terapannya. Surabaya: Institut
Teknologi Sepuluh Nopember.
Tam, K. P. (2010). Optimizing and Approximating Eigen Vekctor in Max-
Algebra. Ph.D Thesis The University of Birmingham. Birmingham: The
University of Birmingham.
West, D. B. (2001). Introduction to Graph Theory. New Jersey: Prentice Hall.
Whitelaw, T. A. (1988). Introduction to Abstract Algebra. London: Blackie and
Son Ltd.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
LAMPIRAN PROGRAM MATLAB
MENGHITUNG NILAI EIGEN MAX-PLUS MAKSIMUM DAN
VEKTOR EIGEN UNTUK SUATU MATRIKS MAX-PLUS A
% Program Matlab Menghitung NILAI EIGEN MAX-PLUS Maksimum dan
VEKTOR EIGEN % yang bersesuaian untuk suatu Matriks max-plus A % input: matriks max-plus Anxn % output: irredusibel/ tak irredusibel matriks A % nilai eigen max-plus maximum % vektor eigen yang bersesuaian
disp(' ') disp(' NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MAX-PLUS MATRIKS') disp(' ----------------------------------------------') disp(' ') A = input(' Matriks yang dihitung A = '); disp(' ') disp(' HASIL PERHITUNGAN :') disp(' ===================') disp(' Matriks A = '), disp(A)
% Menghitung A pangkat , trace/pangkat dan nilai eigen maksimum [m, n]= size(A); if m==n if n==2 for i = 1: n for j=1: n if i==j A(i,j) = 0; end; end; end; A0 = min(A); A00 = min(A0); if A00 == -Inf disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end; end; trace = max(diag(A)); D=A; for r=1:n-1 r+1; for i = 1: m for j = 1: n C(i, j) = -Inf;
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
for p = 1: n C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p)
+ D(p, j) ); end; end; end; A_plus = max(D, C); D=C; trace_perpk(r) = max(diag(D)./(r+1)); lambmax = max(trace_perpk); end; lambmaxmat = max(trace, lambmax); for r=1:n-2 r+1; for i = 1: m for j = 1: n C(i, j) = -Inf; for p = 1: n C(i, j) = max( C(i, j) , A(i, p) + D(p,
j) ); end; end; end; A_plus1 = max(D, C); D=C; end; if n>2 for i = 1 : n for j = 1 : n if i==j A_plus1(i,j) = 0; end; end; end; A0_plus1 = min(A_plus1); A00_plus1 = min(A0_plus1); if A00_plus1 == -Inf disp(' Matriks A TIDAK IRREDUSIBEL') else disp(' Matriks A IRREDUSIBEL') end; end; disp('NILAI EIGEN max-plus maksimum matriks A =
'),disp(lambmaxmat)
% Menghitung matriks normal B, B pangkat dan B+ B = A-lambmaxmat; disp(' ') G=B; for s=1:n-1 s+1; for i = 1: m for j = 1: n F(i, j) = -Inf; for p = 1: n
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
F(i, j) = max( F(i, j) , B(i, p) + G(p,
j) ); end; end; end; B_plus = max(G, F); G = F; end; B_plus % Menghitung matriks E dan B* for i = 1 : n for j = 1 : n if i ~= j E(i,j) = -Inf; end; end; end; B_star= max(E, B_plus) % Menentukan vektor eigen yang bersesuaian disp(' VEKTOR EIGEN max-plus yang bersesuaian =') x= diag(B_plus); for t = 1 : n if abs(x(t))<=1e-10 VE = B_star(:,t); disp(VE) end; end;
% Perhatian jika yang diinputkan bukan matriks nxn else disp(' ') disp(' P E R H A T I A N ! ! !') disp('BUKAN matriks bujursangkar, nilai eigen tidak
didefinisikan') end
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI