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Algebra tensorial y diferencial

Giuseppe i Piero

20-2-2005

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Indice general

1. Algebra Lineal Tensorial 51.1. Definiciones. Construcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Algebra exterior n-esima de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. Metricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6. Producto exterior y contraccion interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7. Algebra tensorial simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8. Modulo de diferenciales. Derivaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9. Diferencial, contraccion por un campo, derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10. Calculo valorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.11. Modules de jets y operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2. Calculo Tensorial en Geometra Diferencial 392.1. Desarrollo de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2. Espacio tangente en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3. Derivaciones. Modulo de diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4. Variedades diferenciables. Haces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5. Anillo de funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6. Localizacion en el algebra tensorial diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7. Integracion. Formula de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.8. Gradiente, divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.9. Apendice 1. Normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.10. Apendice 2. Teorema de existencia y unicidad en sistemas de ecuaciones diferenciales . 582.11. Apendice 3. Inmersion de variedades compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3. Aplicaciones de la teora 653.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. Maximos y mnimos bajo condiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3. Longitudes, areas y volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4. Ejemplos en Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

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4 INDICE GENERAL

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Captulo 1

Algebra Lineal Tensorial

Estas notas son provisionales. El captulo 2 todava no es logicamente consistente (ypuede contener erratas).

El calculo diferencial tensorial es una de las teoras mas hermosas que aparecen en toda la Ma-tematica. En ella conviven en perfecta armona el Algebra, el Analisis, la Geometra Diferencial y laFsica.

El ochenta por ciento de lo que aqu se dice debiera constituir los conocimientos basicos (juntocon otros!) de todo matematico. Alguna vez he cado en la tentacion de detenerme en ciertas cues-tiones algebraicas que me preocupaban y que al lector quiz as no le interesen tanto. El que escribees de formacion algebraica y aunque pueda parecer lo contrario ha renunciado muchas veces a unaprofundizacion mayor (y compresion mas clara) de los conceptos desarrollados. Por ejemplo, no heescrito las propiedades universales del algebra exterior y simetrica de un espacio vectorial y no se siperdonarmelo. En los nuevos planes de estudios que se estan perfilando no aparecen las palabras: pro-

ducto tensorial, tensores, formas diferenciales, etc. Este hecho por s solo califica a toda la comunidadmatematica espanola.

1.1. Definiciones. Construcciones

1. Comentario: El punto de partida de las Matematicas son los numeros naturales, a partir deellos vamos definiendo y construyendo toda la Matematica, Dios nos dio los numeros naturales, elresto de las Matematicas la hicimos los hombres (creo que dijo Kronecker). La piedra clave de lasdefiniciones y construcciones es la palabra sea, y a los matematicos nos parece bien (como en elGenesis!). Demos algunos ejemplos.

1. Los matematicos sabemos sustituir con todo rigor la palabra equivalente por la palabra igual, sa-bemos identificar una cosa con sus equivalentes. En efecto, consideremos una relacion de equivalencia

en un conjunto X. Un punto deX y todos sus equivalentes, los podemos identificar, hacerlos todosuna misma cosa, diciendo simplemente: Sea el subconjunto deX formado por un punto x y todossus equivalentes. Denotemos este subconjunto porx. Del mismo modo dado un punto yX y todossus equivalentes, sea el subconjunto de X formado por y y todos sus equivalentes y denotemos estesubconjunto y. Ahora tendremos quex es equivalente ay si y solo six es igual ay. LlamemosX elconjunto que se obtiene al identificar enXcada elemento con sus equivalentes, es decir,

X := {x, x X, dondex= x si y solo six es equivalente ax}

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6 Captulo 1. Algebra Lineal Tensorial

Mision cumplida.

1.1 Si establecemos enZ la relacion de equivalencian

m si y solo si n

m es multiplo de5,tendremos quen = m si y solo n m es multiplo de 5. Si identificamos enZ cada entero con susequivalentes, tenemos solo cinco elementos distintos, es decir,Z = {0, 1 . . . , 4}.

1.2 Sea A un anillo. Dado un ideal I A, establezcamos la siguiente relacion de equivalencia:a A es equivalente aa A si y solo sia a I, es decir, si y solo si existe algun i Ide modoquea= a +i. En este caso, A:={a, aA, de modo que a= a si y solo sia a I} se denotaA/I. Resulta queA/Itiene una estructura natural de anillo, definiendo la suma y el producto comosigue

a + b:= a + b a b:= a bel elemento neutro para la suma es 0 y para el producto 1.

2. Dado el semianillo de numeros naturalesN, definamos o construyamos el anillo de los numeroenterosZ. Para ello, en Matematicas, no podremos hablar de grados bajo cero ni de deudas como se

hace con los ninos pequenos. Antes de empezar a construirZ, cualquiera que sea su construccion odefinicion, sabramos decir si n m es igual a n m (para n,m,n, m N), sabramos sumar,multiplicar etc. Basta con saber esto, es decir, en saber como se comportaZ, para que un matematicosepa ya definirlos, gracias a la palabra sea: SeaZ el conjunto de parejas de numeros naturales(n, m),que preferimos denotarnm, donde diremos quenmes igual anm sin+m =m+n (observemosque con esta definicionn m= n m, que sin m= n m entoncesn m =n m, y que sinm= nm ynm =nm entoncesn m= nm). Definido quedaZ, como definimosla suma?(n m) + (n m) := (n + n) (m + m). Defina el lector el producto. Mas ejemplos.

3. Hemos definido ya el anillo de los numeros enteros Z, definamos el cuerpo de los numerosracionalesQ. En Matematicas no podemos hablar de pasteles y porciones de pasteles, como a los ninos.Pero antes de empezar a construirQ, sabramos decir cuando nm es igual a

n

m (n,m,n, m Z) y

sabemos sumar numero racionales y multiplicarlos. No necesitamos nada mas, salvo la palabra sea:SeaQ el conjunto de parejas de numeros enteros (n, m), que preferimos denotar nm , donde diremos

que nm es igual a n

m si existenr, r = 0 tales que rnrm y r

n

rm tienen el mismo numerador y denominador(observemos que nm =

nm , que si

nm =

n

m entonces n

m = nm , y que si

nm =

n

m y n

m = n

m entoncesnm =

n

m). Definido quedaQ como definimos la suma? nm +

n

m := mn+mn

mm . Defina el lector el

producto. Mas ejemplos.

3.1 SeaA un anillo yS A, un subconjunto que cumpla1 S y sis, s S entoncess s S.Queremos definir el anillo (que denotaremos porAS) formado por las fraccionesa/s, aA, sS.Obviamente, queremos que se cumpla que a

s = tats

, para todo t S. No hay mayor problema, digamosque son equivalentes y a los equivalentes hagamoslos iguales:

AS := {as

, cona A ys S| as

=a

s si existen t, t S tales que las fracciones

ta

ts y

ta

tstienen el mismo numerador y denominador

}Como definimos la suma? as +

bt :=

at+bsst Y el producto?

as bt := abst .

4. Hemos definido Q, definamos ahora R. Aqu a los ninos se les habla de los numeros realesde un modo muy aproximado a lo que hacemos en Matematicas (la construccion de numero real enMatematicas es la objetivacion formal de la experiencia fsica de aproximacion (interminable)). Seles dice algo as como: Vamos a ver cuanto mide media circunferencia. Mido y veo que es casi 3,pero si preciso mas es 3, 1, si preciso mas es 3, 14 y as sucesivamente nos va saliendo que mide

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1.2. Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual 7

3, 141592... con infinitas cifras infinitesimales. As, nos decan que los numeros reales son los nume-ros con infinitas cifras decimales (despues nos decan que0, 999999999.... era el mismo numero que

1 Identificabamos dos numeros equivalentes!). La construccion que damos en Matematicas de losnumeros reales es esencialmente la misma que la que damos para completar cualquier espacio metrico(como la construccion deQ a partir deZ, es la misma esencialmente que la que damos para construirAS a partir deA y S). Tenemos claro cuando una sucesion de numeros racionales se aproximan aalgo 1, es decir, definimos primero que es una sucesion de Cauchy. Tenemos claro tambien, cuandodos aproximaciones son iguales o equivalentes (cuando la diferencia de las dos sucesiones de Cauchyse aproximen a0). As pues, dar un numero real equivale a dar las aproximaciones a el, siempre queidentifiquemos estas aproximaciones. Nos basta con esto para definirR, salvo la palabra sea: SeaR elconjunto de todas las sucesiones de Cauchy, donde diremos que dos sucesiones de Cauchy son igualessi son equivalentes. Definido quedaR.

1.2. Espacios vectoriales. Espacio vectorial dual

Un espacio vectorial es un conjunto en el que podemos sumar sus elementos y multiplicar cadaelemento por un escalar, y estas operaciones cumplen propiedades muy naturales.

Seak un cuerpo (ejemplos: k = Q,R o C).

1. Definicion : Un k-espacio vectoriales un conjunto, E, dotado de dos operaciones, una llamadasuma E E Ey se escribe (e, e) e + e, y otra llamada producto por escalares k E Ey seescribe (, e) e, verificando:

1. (E, +) es un grupo abeliano, es decir,

a) e + (e + e) = (e + e) + e, para todo e, e, e E.b) Existe un elemento que denotamos por 0 tal que 0 + e= e + 0 =e, para todoe E.

c) Para cada e Eexiste otro elemento que denotamose tal que e + (e) = 0.d) e + e =e + e, para todo e, e E.

2. (e + v) = e + v, k, e, v E3. ( + ) e= e + e, k, e E4. ( ) e= ( e),, k, e E5. 1 e= e,e E.Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores y los de k escalares. Si k es un anillo

y no un cuerpo (ejemplo: k = Z) se dice queEes un k-modulo.kn, con la suma (i)+(i) := (i+i) y el producto por escalares (i) := ( i) es unk-espacio

vectorial.R3

que es el espacio en el que pensamos que vivimos es un ejemplo deR

-espacio vectorial.SeaXun conjunto y C(X) = Aplic(X, k).C(X) con la suma estandar de funciones (f+ g)(x) :=f(x) + g(x) y producto estandar por escalares ( f)(x) := f(x) es un k-espacio vectorial.

Observemos que 0 e= (0 + 0) e= 0 e + 0 ey por tanto 0 e= 0. Observemos que si e + e = 0sumandoe, obtenemos que e = e. Como 0 = (1 1) e= e + (1) e, tenemos que (1) e= e.

1Aunque ese algo no sea un numero racional. En realidad, lo real, real de verdad son las aproximaciones, que estasse aproximen a algo realmente existente es otra cuestion. Ese algo es una abstraccion, sin embargo suele pensarse queeste algo es muy real y la aproximacion una abstraccion matematica, pero esto es otro tema...

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Las aplicaciones que conservan la estructura de espacio vectorial (los morfismos de la categorade k-espacios vectoriales) son las aplicaciones lineales. Con precision: Sean E, E dos k-espacios

vectoriales,

2. Definicion : Una aplicacion T : E E es un morfismo dek-espacios vectoriales (o aplicacionk-lineal) si

T(e + v) = T(e) + T(v) y T( e) = T(e)para cualesquiera e, v E, k.

Es claro que la composicionT1 T2 : E G de dos aplicaciones lineales T2 : E F, T1 : F G,es una aplicacion lineal.

3. Definicion : Una aplicacion lineal T : E E es un isomorfismo si existe otra aplicacion linealS: E Etal que T S= I dE , S T =I dE.

Tes un isomorfismo de espacios vectoriales si y solo si es una aplicacion biyectiva (lineal).

4. Definicion : Decimos que F Ees un subespacio vectorial de E si f+ f F y f F, paratodo f , f F y k.

F con la suma y producto por escalares es un espacio vectorial y la inclusion F E es unaaplicacionk-lineal. SiFi son subespacios vectoriales de E entonces iFi es un subespacio vectorial deE.

Sea Eun espacio vectorial y F Eun subespacio vectorial. Consideremos la relacion de equi-valencia que dice que dos vectores e1, e2 E son equivalentes si y solo si difieren en un vector deF (los vectores de Fson equivalentes a 0). Si identificamos cada vector de E con sus equivalentes,obtenemos el conjunto que denotamos E /F, que es el siguiente

E/F := {e | e E, de modo que e1 = e2 e1 e2 F}

Observemos que e = 0 si y solo si eF y que e = v si y solo si existe un vector e F tal quev= e + e.

E/Fes de modo natural un espacio vectorial: e+ v:=e + v y e:= e. El morfismo natural : E E/F, (e) := e es una aplicacion lineal epiyectiva.

Dada una aplicacion linealT: E E, se denomina nucleo de la aplicacion linealT, que denotamospor Ker T, a

Ker T :=T1(0) := {e E| T(e) = 0}Es facil comprobar que Ker T es un subespacio vectorial de E. T(e) = T(v) si y solo si T(e) T(v) =T(e v) = 0, es decir, e vKer T. Es decir, T(e) = T(v) si y solo si existe un e Ker T tal quev= e + e. Por tanto, Tes inyectiva si y solo si Ker T = 0.

La aplicacion T: E/ Ker T E, T(e) := T(e), esta bien definida, pues si e = v existe une

Ker T tal que v = e+ e

y T(v) = T(e) + T(e

) = T(e) (luego T(v) =

T(e), como ha ser sihablamos con sentido). Ademas, la aplicacion T: E / Ker T E es inyectiva: 0 = T(e) = T(e) si y

solo si e Ker T, es decir, si y solo si e= 0.Definimos la imagen de T, que denotamos por Im T como

Im T :=T(E) := {T(e) E, e E}

Es facil comprobar que Im Tes un subespacio de E.

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Se tiene el siguiente diagrama conmutativo

E T

E

E/ Ker T T

Im T

i

e

T(e)

e T(e) = T(e)

Donde la flecha horizontal inferior es isomorfismo porque es epiyectiva e inyectiva.Si C ={ci}iI, con ci E. Llamamos subespacio vectorial de E generado por C al mnimo

subespacio vectorial de Eque contiene a C, y lo denotamosC. Es facil probar que

C = {e E| e= 1 c1+ + ncn, ci C, i k, n N}

Si C={e1, . . . , er} entonces denotamose1, . . . , er =C y se cumple quee1, . . . , er ={1 e1+ + rer, i k}.

Se dice que los vectores de Cson un sistema generador deE siC =E. Decimos que un espaciovectorialEes finito generado si existen e1, . . . , er Ede modo quee1, . . . , er =E. Se dice que losvectores deCson linealmente independientes si 1 c1+ + n cn= 0 si alguni= 0, para todo ny{c1, . . . , cn} C. Se dice que los vectores de Cforman una base de Esi son un sistema generadordeEy son linealmente independientes.

Los vectores (1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0. . . . , 1) forman una base de kn, denominada baseestandar de kn.

5. Teorema de la base: Todo espacio vectorialE= 0 contiene alguna base. Todas las bases deEtienen el mismo numero de vectores, tal numero se dice que es la dimension deEy se denotadimkE.

Demostracion. Voy a suponer que Ees finito generado, para no embarullar al lector con la teora decardinales, lema de Zorn, etc.

Supongamos, pues, que E =e1, . . . , en. Sea I {1, . . . , n} un subconjunto maximo con lacondicion de que los vectores {ei}iIsean linealmente independientes. ObviamenteI= , pues siI= entonces ei = 0 para todoi y E= 0. Veamos que los vectores {ei}iIforman una base deE. Tenemosque probar que eiiI=E. Dadoej , 1 j n, siej / eiiI entonces {ej , ei}iIseran linealmenteindependientes, pues si j ej +

i iei = 0 entonces: 1. Si j= 0 tendremos que ej =

iij

eiy ej eiiI, contradiccion. 2. Si j = 0, entonces

i iei = 0 y entonces i = 0, para todo

i I, pues los vectores{ei}iIson linealmente independientes. En conclusion, j = i = 0 paratodoi, luego {ej , ei}iIson linealmente independientes. Ahora bien, por la maximalidad de I, esto escontradictorio. En conclusion,ej eiiI, para todo 1 j n. Por tanto,E= e1, . . . , en eiiIyE= eiiI.

Veamos que todas las bases tienen el mismo numero de vectores. Sea n el numero de vectores deuna base (hay muchas) con el mnimo numero de vectores. Voy a proceder por induccion sobre n. Si

n= 1, entonces E= e para cierto vector no nulo e. Dados dos vectores no nulos cualesquiera e

1, e

2tendremos quee1 = 1 ey e2 = 2 e, con1, 2= 0, entonces 1

1 e1+ 12 e2 = e e= 0, luegoe1

y e2 no son linealmente independientes. En conclusion, las bases de Ehan de estar formadas todaspor un unico vector.

Supongamos que el teorema es cierto hasta n 1 1, veamos que es cierto para n. Sea aho-ra{e1, . . . , en} y{e1, . . . , em} dos bases de E. Tenemos que e1 =

i ie

i, reordenando la base

{e1, . . . , em}, podemos suponer que 1= 0. Pruebe el lector que {e2, . . . , en} y{e2, . . . , em} sonbases deE/e1 (le costara un poco mas ver que la segunda lo es). Obviamente, el numero de vectores

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de una base de E/e1 con el numero mnimo de vectores es menor que n. Por induccion sobre n,tendremos quen

1 =m

1, luego n = m.

Si k es un anillo (y no un cuerpo) no es cierto en general que los k-modulos tengan bases. Porejemplo el Z-modulo Z/5Z no tiene bases, pues para todo n Z/5Z, 5 n = 0. Los k-modulos quetienen bases se denominan k-modulos libres. kn es un k-modulo libre y una base de el es la baseestandar.

Si {ei}iIson linealmente independientes y {ej}jJes una base de E/eiiI entonces {ei, ej}iI,jJes una base de E: Son linealmente independientes, pues si

i iei +

jjej = 0 entonces 0 =

i iei+

jjej =

jj ej, luego j = 0, para todo j, luego

i iei = 0 y i = 0 para todo i.Generan, pues dado eE, tendremos que e= jj ej , luego e = jjej + e, con e eiiI, esdecir,e =

i iei ye =

jjej+

i iei.

Como consecuencias tenemos que si F es un subespacio vectorial de Eentonces dim E= dim F+dim E/F, y todo sistema de vectores linealmente independiente se puede ampliar a un sistema devectores que formen base.

Dado un conjunto de espacios vectoriales{Ei}iI, el conjunto

iIEi es de modo natural unespacio vectorial:

(ei)iI+ (ei)iI := (ei+ e

i)iI (ei)iI := ( ei)iI

Diremos quei Ei es el producto directo de los espacios vectoriales Ei.

Definimos la suma directa de los espacios vectorialesEi, que denotamosiIEi, comoiIEi= {(ei)iI

iI

Ei : todos los ei salvo un numero finito son nulos}

{ei}iIes un sistema generador deEsi y solo si el morfismo

iIk

E, (i)iI

ii

ei

es epiyectivo; son linealmente independientes si y solo si es inyectivo, y son una base si y solo si es unisomorfismo. Por tanto, todo espacio vectorial es isomorfo a uniIk, pues siempre existen bases.

Observemos que si #I < entoncesiIEi =iIEi.

SiF, F son dos subespacios vectoriales deEse denotaF+F como el mnimo subespacio vectorialque contiene aF yF. Es facil probar que

F+ F = {f+ f E, f F, f F}El morfismo natural F F F +F, (f, f) f+f es epiyectivo y es inyectivo si y s olo siF F = 0. Se dice que Ees la suma directa de dos subespacios F, F si y solo si F F = 0 yF+F = E, es decir, el morfismo F F E, (f, f) f+f es un isomorfismo, es decir, todovector e Ese escribe de modo unico como suma de un vector f Fy otro vector f F.

Sea Homk(E, E) el conjunto de aplicaciones lineales de E en E, que es un espacio vectorial demodo natural, con la suma y producto por escalares siguientes:

(T+ T)(e) :=T(e) + T(e) y ( T)(e) := T(e)Se cumple que el morfismo

iI

Homk(E, Ei) Homk(E,

i

Ei), (Ti)iI T, T(e) := (Ti(e))iI

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es un isomorfismo de morfismo inverso T (i T)iI, coni :j

Ej Ei, i((ej)jI) := ei.Se cumple que el morfismo

i

Homk(Ei, E) Homk(iIEi, E), (Ti)iI T, T((ei)iI) :=

i

Ti(ei)

es isomorfismo de morfismo inverso T (Ti)iI, Ti(ei) := T((0, . . . , iei, . . . , 0)).Sea{ei}iIuna base de E. Toda aplicacion lineal T: E E, esta determinada por los valores

T(ei), i I, pues dado e E entonces e =

i iei y T(e) =

i iT(ei). Recprocamente, dadosvi E, i I, la aplicacion lineal S: E E definida porS(e) :=

i ivi, parae =

i iei, cumple

queS(ei) = vi. Formalmente,

Homk(E, E) = Homk(iIk, E) =

iI

Homk(k, E) =

iI

E, T (T(ei))iI

Si

{ej

} es una base de E, entonces T(ei) =jjiej , para ciertos ij

k (fijado i, todos los

ji son nulos salvo un numero finito) y existe una correspondencia biunvoca entreTy las uplas deescalares (ji)(i,j)IJ, caja de numeros que es denominada matriz asociada a Ten las bases{ei}y{ej}de EyE respectivamente.

As pues, T, que es una transformacion de un espacio en otro que supera facilmente nuestracapacidad de ideacion geometrica, esta determinada por unos cuantos escalares ij k, que puedenser mecanicamente tratados.

Fijada una base{e1, . . . , en} (por sencillez digamos que n

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6. Proposicion : Una aplicacion linealT: E E es inyectiva si y solo si aplica una (o toda) baseen un sistema de vectores linealmente independientes.Tes epiyectiva si y solo si aplica una base (o

toda) en un sistema generador. Tes un isomorfismo si y solo si aplica una base (o toda) en una base.

7. Definicion : El espacio vectorial formado por el conjunto de aplicaciones lineales de unk-espaciovectorialEen k se denomina espacio vectorial dual de Ey se denota E, es decir,

E := Homk(E, k)

Los vectores w E se denominan formas lineales.8. Proposicion : SiE es un espacio vectorial de dimension finita, de base{e1, . . . , en} entonces las

formas lineales{w1, . . . , wn}, determinadas por wi(ej) = ij forman una base de E. Se dice que{w1, . . . , wn} es la base dual de{e1, . . . , en}.

Demostracion. Dadaw

E se tiene quew= w(e1)

w1+. . .+w(en)

wn, porque ambas formas lineales

coinciden sobre los vectores ei de la base de E. Si

i iwi= 0 entonces 0 = (

i iwi)(ej) = j , paratodoj . En conclusion, {w1, . . . , wn} son un sistema generador deE y son linealmente independientes,es decir, son una base.

9. Teorema de reflexividad: SeaE un espacio vectorial de dimension finita. La aplicacion linealcanonica

E (E), e e, e(w) := w(e)es un isomorfismo.

Demostracion. Sea {e1, . . . , en} una base de Ey {w1, . . . , wn} la base dual. Es inmediato que {e1, . . . , en}es la base dual de {w1, . . . , wn}. La aplicacion canonica aplica la base {e1, . . . , en} en la base {e1, . . . , en}y es un isomorfismo.

Sera usual escribir E= (E) ye = e.Dada una aplicacion linealT: E E seaT : E E la aplicacion lineal definida porT(w) :=

w T. Se dice que T es el morfismo transpuesto de T.Si {e1, . . . , en} y {e1, . . . , em} son bases deEy E y (ji) es la matriz asociada aTen estas bases,

calculemos la matriz (ij) de T, en las bases duales {w1, . . . , wn}, {w1, . . . , wm}:T(wj) =

i

ijwi.

Entonces,

ij =T(wj)(ei) = w

j(T(ei)) = w

j(k

kiek) = ji

que se expresa diciendo que la matriz de T es la transpuesta de la matriz de T.

1.3. Producto tensorialQueremos definir o construir el producto tensorial de dos espacios vectoriales E, E. Veamos

que cosas queremos y como queremos que operen.Quiero un producto que denotare, entre los vectores deE(que escribire en primer lugar) y

los deE (en segundo lugar). Dadose E ye E, quiero construire e. Quiero sumar cosas deestas, quiero cosas de la formae1 e1+ + en en, con ei Eyei E. Por ultimo quiero que el

producto verifique las siguientes propiedades (lineales):

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1.3. Producto tensorial 13

(e1+ e2)

e =e1

e + e2

e

e e =e ee (e1+ e2) = e e1+ e e2

y no quiero imponer ninguna condicion mas (salvo las que se deriven de estas condiciones). Esto esmuy facil, con la palabra sea.

Hablemos con todo rigor.Sean E y E dos k-espacios vectoriales. Sea M el Z-modulo libre de base{e e}eE,eE . Es

decir,M :=

eE,eEZ e e

lo escrito en negrita es mera notacion, que conviene.Mes unk-espacio vectorial: i ni ei ei:=i ni(ei ei).

Queremos identificar (e1+ e2) e cone1 e + e2 e;e e cone e; ye (e1+ e2) cone e

1+ e e

2.SeaNel subespacio vectorial de M, generado por los elementos, (e1+ e2) e e1 e e2 e,e e e e, y e (e1+ e2) e e1 e e2, es decir,

N :=

(e1+ e2) e e1 e e2 ee (e1+ e2) e e1 e e2e e e e

e,e1,e2E,e,e1e

2E

,k

()

1. Definicion : Llamaremos producto tensorial de Epor E, que denotaremos por EkE, aEkE :=M/N

2. Notacion: Dado e e M, denotaremose e M/N=E E pore e.Pues bien, E E es un espacio vectorial y esta generado por los vectores e e, variando e E

ye

E

(porque los vectores e e

generanM y E E

=M/N). Tomando clases en () se tienenlas igualdades(e1+ e2) e =e1 e + e2 ee (e1+ e2) = e e1+ e e2e e =e e

()

Calculemos las aplicaciones lineales deE E en otro espacio vectorial V. ComoE E =M/N,dar una aplicacion lineal : EE Vequivale a dar una aplicacion lineal : M Vque se anule enN(de modo que(ee) = (e e)). Ahora bien,Mes un Z-modulo libre de base {e e}eE,eE ,as pues, esta determinado por(e e) (variando e E, e E) y se anula en Nsi y solo si

((e1+ e2) e) = (e1 e) + (e2 e)(e e) = (e e))(e (e

1+ e

2)) = (e e

1) + (e e

2)

Ademas, es k-lineal si y solo si (e e) = (e e).En conclusion, dar una aplicacionk-lineal : Ek E V, equivale a definir(e e) (para todo

e E, e E) de modo que se cumpla((e1+ e2) e) = (e1 e) + (e2 e)(e e) = (e e) = (e e)(e (e1+ e2)) = (e e1) + (e e2)

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(De un modo mas elegante, esta conclusion se expresa en los textos diciendo que se tiene la igualdadHomk(E

kE

, V) = Bilk(E, E; V)).

Dadas dos aplicaciones linealesT: E V , T : E V podemos definir el morfismo E E V V, e e T(e) T(e), morfismo que lo denotaremos porT T.3. Proposicion : 1. EkE =E kE.

2. (E E) kV = (EkV) (E kV).3. (

iIEi) kV =

i(Ei V).

4. k kE= E.

Demostracion. 1. Tenemos el morfismo EE EE,ee eey su inversoEE EE,e e e e.

2. Tenemos el morfismo (E E

) V (E V) (E

V), (e, e

) v (e v, e

v) y elinverso (E V) (E V) (E E) V, (e v, e v) (e, 0) v+ (0, e) v.3. Idem que 2.4. Tenemos el morfismok E E, e e y el inverso E k E, e 1 e.

4. Teorema : SiEes un espacio vectorial de base{e1, . . . , en} yE es un espacio vectorial de base{e1, . . . , em} entoncesEkE es un espacio vectorial de base{ei ej}1in,1jm.

Demostracion. EkE = e eeE,eE . Dadose Eye E entonces e =i

iei y e =j

jej

y

e

e = (

i

iei)

(j

jej) =

i,j

ij

ei

ej

Por tanto, E E = ei ej1in,1jm.Ademas, E E = kn km = (k km) m (k km) =km m km =knm, luego E E

es un espacio vectorial de dimension nm, de base{ei ej}1in,1jm (de hecho puede comprobarel lector que esta base se aplica va las igualdades en la base estandar de knm).

Del mismo modo que hemos definido el producto tensorial de dos espacios vectoriales podramoshaber definido el producto tensorial de tres espacios vectoriales, e igualmente dar una aplicaci on lineal : E1 kE2 kE3 Vequivale a definir los (e1 e2 e3), para todo e1 E1, e2 E2, e3 E3,de modo que sea k-lineal en cada uno de los tres factores, es decir, Homk(E1k E2k E3, V) =Multilin(E1

E2

E3, V). Igualmente podemos definir el producto tensorial de n-espacios vectoriales.

5. Proposicion : Homk(EkE, E) = Homk(E, Homk(E, E)).

Demostracion. Asignamos a Homk(Ek E, E), Homk(E, Homk(E, E)), definido por(e) := (e ), donde (e )(e) := (e e). Recprocamente, asignamos al morfismo Homk(E, Homk(E, E)), Homk(EkE, E), definido por (e e) := ((e))(e).

6. Proposicion : (E1 k kEn) k(E1 k kEm) = E1 k kEn kE1 k kEm.

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1.4. Algebra exteriorn-esima de un espacio vectorial 15

Demostracion. Sea

Homk(E1 k kEn, Homk(E1 k kEm, E1 k kEn kE1 k kEm))definido por(e1 en)(e1 em) := e1 en e1 em. Por la proposicion anteriortenemos el morfismo (E1 k kEn) k(E1 k kEm) E1 k kEn kE1 k kEm,definido por (e1 en) (e1 em) e1 en e1 em.

El morfismo E1k k Enk E1k k Em (E1k k En) k (E1k k Em),e1 en e1 em (e1 en) (e1 em) es el morfismo inverso.

Hemos demostrado, ademas, la propiedad asociativa del producto tensorial, pues facilmente tene-mos que

E1 k(E2 kE3) = E1 kE2 kE3 = (E1 kE2) kE37. Teorema : SeanEi k-espacios vectoriales de dimension finita. La aplicacion lineal

E1k. . . kEn (E1 k kEn) =Multilink(E1 En, k)w1 wn w1 wn

con w1 wn(e1 en) := w1(e1) wn(en), es un isomorfismo lineal.Demostracion. Sea {eij}iuna base deEj y {wij}ila base dual. Por tanto, una base deE1 k kEnes{wi11 winn}i1,...,in , que resulta ser va la base dual de la base{ei11 einn}i1,...,in deE1 k kEn.

8. Notacion: Por abuso de notacion suele denotarse w1 wnporw1wn. Recprocamente,w1 wn suele pensarse como la aplicacion multilineal w1 wn.

Otra formula importante es:9. Proposicion : SeaE unk-espacio vectorial de dimension finita. Entonces

E kE= Homk(E, E)Demostracion. Si E =k es obvio. En general, E =kn. Como Homk(, E) y kEconmutan consumas directas finitas, hemos concluido.

Explcitamente, el morfismo EkE Homk(E, E),w e w e, donde w e(e) :=w(e) e,es un isomorfismo canonico.

1.4. Algebra exterior n-esima de un espacio vectorial

Queremos definir ahora un producto, con las propiedades multilineales de y de modo quev1 vr sea cero si y solov1, . . . , vn Eno son linealmente dependientes. Basta imponer solo quev1 . . . vr es nulo si dos de los vi son iguales.

SeaV el k-subespacio vectorial de E k n kE, generado por los vectorese1 ej1 e ek1 e en

variando ei, e , j , k.

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1. Definicion : Llamaremos algebra exteriorn de E, que denotaremos por nE, a

nE:= (Ek n kE)/V

2. Notacion: Denotaremose1 e2 en (Ek n kE)/V = nE pore1 e2 en.Observemos que ademas de las propiedades de multilinealidad heredadas de , cumple que

e1 e e en= 0. Si ei es combinacion lineal de los{ej}j=i, entonces e1 e2 ei en= 0: ei=

j=i

jej , luego

e1 e2 en= e1 ei1 (j=i

jej) ei+1 en=j=i

je1 ei1 ej ei+1 en= 0

Como 0 =e1 (e + e) (e + e) en= e1 e (e + e) en + e1 e (e + e) en= e1 e e en+ e1 e e en+ e1 e e en+ e1 e e en= e1 e e en+ e1 e e enobtenemos que

e1 ej e

k

en= e1 ej

ek en

Recordemos que toda permutacion es producto de transposiciones y que el signo de la permutacion esigual a 1 elevado al numero de las transposiciones. Por tanto, dada una permutacion, de {1, . . . , n},tenemos que

e(1) e(2) e(n)= signo() e1 e2 en3. Como nE= (E n E)/V, dar un morfismo lineal : nE F equivale a dar un morfismoE n E F, que se anule enV, es decir, equivale a definir(e1 en) (para todoe1, . . . , en E)que seak-lineal en cada factor y de modo que (e1 e e en) = 0.

Dada una aplicacion lineal T: E E induce el morfismo nT: nE nE, definido pornT(e1 en) :=T(e1) T(en).4. Notacion: Diremos que0E= k y que1E= E.

5. Teorema: SeaEun espacio vectorial de base{e1, . . . , en}. Entonces{ei1 eir}1i1

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Sea{wi} la base dual de{ei}. Consideremos la aplicacion lineal

w : rE k, v1 vr

signo() w1(v(1)) wr(v(r))

Se cumple que 0 = w(

1i1

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Demostracion. Sea{ei}una base. Entonces

det(aij)e1 en= (j

a1jej) (j

anjej) =k

a1kek (j

a2jej) (j

anjej)

=a11e1 (j=1

a2jej) (j=1

anjej) + + a1nen (j=n

a2jej) (j=n

anjej)

=a11A11 e1 en+ + a1nAn1 en e1 en1

= (j

(1)ja1jAj1) e1 en

y hemos concluido.

Sea T: E E un isomorfismo lineal y sea A = (aij) la matriz de T en una base{ej} de E.Calculemos la matrizB = (bij) deT

1: T1(ei) =j

bijej , luego

T1

(ei) e1 ej en= bijej e1 ej en= (1)j

bije1 enAplicando nT, obtenemos

ei T(e1) ej T(en) = bij(1)j det(T)e1 enComoei T(e1) ej T(en) = Aij (1)ie1 en, entonces

bij = (1)i+j Aij

det(aij)

Hablemos, primero sin rigor, de orientacion de un R-espacio vectorial, para ligar la intuicion vagaque tenemos de orientacion con la definicion matematica de orientacion que daremos mas adelante.

Decimos que un espacio vectorial Ede dimension 1 (una recta) lo tenemos orientado, si sabemosdecir que esta a la derecha del cero y que esta a la izquierda del cero. Para esto es necesario y suficientecon que tengamos un vector no nulo e E, de modo que diremos que un punto e Edistinto de 0,esta a la derecha de 0 si e = e, con >0, diremos que esta a la izquierda si 0. En conclusion, dar una orientacionenE, equivale a dar un e E (o cualquier otro e, con >0).

Sea ahora Eun plano. Decimos que en el plano Eestamos orientados, si siempre que tengamosuna recta (pongamos que pasa por el origen) orientada sabemos decir que esta a la derecha de la rectao que esta a la izquierda de la recta. As si tenemos una recta orientadar = e E(dondee orientala recta), dadoe (que no yazca en la recta) sabemos decir si esta a la derecha o a la izquierda de larecta. Ademas, si e esta a la derecha de la recta, entonces los puntos de la derecha son de la formae+e, con > 0. As si fijamos la recta orientada r =e y decimos que e esta a la derecha der, definamos e e que es una base de 2E, entonces v = e + e esta a la derecha de r , si y solo sie v= e e

con >0. En conclusion, dada una dos coforma c2 2

E, tenemos una orientacionen E: Dada una recta orientada r =e (donde e, o e con > 0, orienta la recta) diremos que eesta a la derecha de la recta r, si e e = c2, con >0. As pues, dar una orientacion enE, es darunac2 2E(o cualquier otra c2, con >0).

Sea ahoraEun R-espacio vectorial de dimension 3. Decimos que estamos orientados en E, si dadoun plano orientado sabemos decir que esta a su derecha y que esta a su izquierda. Dar un planoV Eorientado, es dar una dos coforma c2 2V(o cualquier otra c2, con >0). As si tengo, una trescoformac33E(o cualquier otra c3, con > 0), dado e E, dire que esta a la derecha de V

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si c2 e = c3, con > 0. Observemos, que si e = e +v, con > 0 y con v V, entoncesc2

e =

c2

e =c3. En conclusion, dar una orientacion enE, es dar unac3

3E(o cualquier

otra c3, con >0).12. Definicion : Dar una orientacion en un R-espacio vectorial E de dimension n, es dar una n-coforma no nula cn nE. Decimos que dos orientaciones cn y cn son iguales si cn = cn, con > 0.

Como nE R, enE solo podemos dar dos orientaciones, una y su opuesta.Dada una orientacioncn nEexiste una unicawn nE, salvo un factor multiplicativo positi-

vo, de modo quewn(cn) 0. Equivalentemente, dada una n-formawn, salvo un factor multiplicativopositivo, tenemos definida una orientacion.

SeaEun R-espacio vectorial de dimensionn orientado, ye1 . . . en nEunan-coforma queorienta E(o equivalentemente unan-formawn que orienta E).

13. Definicion : Diremos que una base ordenada{e1, . . . , en} esta positivamente ordenada si e1

en=

e1

en, con >0 (o equivalentemente si wn(e

1, . . . , e

n)> 0).

14. Proposicion : Seaei =j

ijej. Entonces{e1, . . . , en} esta positivamente ordenada si y solo sidet(ij)> 0.

Demostracion. e1 en= det(ij) e1 en.15. Definicion : Una aplicacion multilineal H: E . . . E Ves una aplicacion hemisimetrica siH(e1, , en) = 0 si ei = ej , para un i =j .

Observemos que si ei es combinacion lineal de los demasej , por la multilinealidad y hemisimetradeH, se cumple que H(e1, . . . , en) = 0. Por otra parte,

0 = H(e1, , e + v, , e + v, , en) = H(e1, , e, , v, , en) + H(e1, , v, , e, , en)

LuegoH(e1, , e, , v, , en) = H(e1, , v, , e, , en) y en generalH(e1, , , en) = signo() H(e(1), , e(n))

DenotemosH emk(E E, V), el conjunto de aplicaciones hemisimetricas de E EenV.

16. Proposicion : Hemk(E m E, k) = (mE).

Demostracion. Estamos repitiendo1.4.3. Toda aplicacion hemisimetrica H: E m E k, definela aplicacion H: E m. . . E k , H(e1 em) = H(e1, . . . , em), que factoriza va mE k ,e1 em H(e1, . . . , em). Recprocamente, dada una aplicacion lineal, mE k, la composicionE m E mE k es hemisimetrica.

17. Proposicion : SeaEun espacio vectorial de dimension finita. Entonces,

mE = (mE)

Demostracion. La aplicacion, mE (mE), 1 m 1 m, donde

1 m(v1 vm) :=Sm

signo() 1(v(1)) m(v(m))

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es un isomorfismo. Porque si e1, . . . , en es una base de Eyw1, . . . , wn la base dual, entonces aplicala base

{wi1

wim

}i1

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1.5. Metricas 21

SeaEunk-espacio vectorial de dimension finita. Seae1, . . . , en una base de Eyw1, . . . , wn Ela base dual. Sabemos que

Bilk(E E, k) = E kEUna base de E k E es{wi wj}. As pues, dada una aplicacion bilineal T2 Bilk(E E, k),tendremos queT2=

i,j

ijwi wj y

T2(e, e) =

i,j

ijwi(e) wj(e)

En particular, T2(ei, ej) = ij .

Por otra parte, E E = Homk(E, E). Explcitamente, dada T2 =i,j

ijwi wj tenemos unmorfismo, denominado la polaridad asociada a T2 y que denotamos tambien T2,T2 : E E definidopor

T2(e) :=ij

ij wi(e) wj

En particular,T2(ei) =j

ijwj , luego la matriz de T2 es (ij). Observemos queT2(e)(e) = T2(e, e).

Recprocamente, dado una aplicacion lineal T2 : E E, podemos definir una aplicacion bilinealque seguimos denotandoT2, T2(e, e) := T2(e)(e).

1. Definicion : Se dice queT2 es no singular si det(ij) = 0, es decir, T2 : E E es un isomorfismo.Si T2 : E E es un isomorfismo, entonces T2 := (T2)1 : E Ees un isomorfismo. Por tanto,

T2 define una aplicacion bilineal enE (puesE= (E)). Si la matriz de T2 es (ij) la matriz de T2

es (ij) := (ij)1. Si T2 =

ijijwi wj , entonces T2 =ijei ej . Por ultimo observemos que si

w= T2(e) yw =T2(e) entonces

T2(w, w) = T2(w)(w) = T2(T2(e))(T2(e)) = e(T2(e

)) = T2(e)(e) = T2(e

, e)

2. Definicion : Se dice que T2 es una metrica simetrica si T2(e, e) = T2(e, e), para todo e, e E.Si T2 es simetrica entonces ij =T2(ei, ej) =T2(ej , ei) =ji. Recprocamente, si ij =ji, para

todo i, j, entonces T2(e, e) = T2(e

, e) para todo e, e E. Es decir, T2 es simetrica si y solo si lapolaridad T2 coincide con su morfismo transpuesto T2.

Supongamos a partir de ahora que T2 es simetrica. Se dice quee es ortogonal a e (respecto deT2)si T2(e, e

) = 0. Se dice que dos subespacios E, E de Eson ortogonales si T2(e, e) = 0 para todo

e E ye E. Se dice que Ees la suma ortogonal de dos subespacios E y E si son ortogonalesy E es la suma directa de los dos subespacios. En este caso escribiremos E = EE. Observemosque

T2(e

1

+ e

1

, e

2

+ e

2

) = T2(e

1

, e

2

) + T2(e

1

, e

2

)

para todo e1, e2 E y e1 , e2 E.

Si E yE son dos espacios vectoriales con sendas metricasT2 yT2 entonces podemos definir en

E= E E la metrica

T2(e + e, v + v) := T2(e

, v) + T2(e, v)

Obviamente, Ees la suma ortogonal de E y E.

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3. Definicion : Se denomina radical deT2, que denotaremos Rad T2, al nucleo de la polaridad T2, esdecir,

Rad T2 := {e E| T2(e, e) = 0 para todo e E}Si E es cualquier subespacio suplementario de Rad T2 entonces E= Rad T2E. La restriccion

de T2 a Rad T2 es la metrica nula. La restriccion de la metrica T2 a E es no singular, porque dadoe E si T2(e, v) = 0 para todo v E, entonces T2(e, e) = 0 para todo e Ey tendramos quee Rad T2 y por tanto e = 0. En general, si E= EE entonces Rad T2 = Rad T2|E Rad T2|E .

Dado un subespacio V Ediremos que V :={e E| T2(v, e) = 0 para todo v V} es elespacio ortogonal de V.

Dado un subespacio vectorial V Ediremos que V0 := {w E | w(v) = 0 para todo v V} esel subespacio (de E) incidente de V . Si tomamos una base{e1, . . . , er} de Vy la ampliamos a unabase{e1, . . . , en} de Ey consideramos la base de E dual{w1, . . . , wn} entonces{wr+1, . . . , wn} esuna base de V0. Por tanto, dim V0 = dim E dim V.

Va el teorema de reflexividad, dado W

E se tiene que W0 =

{e

E

|w(e) = 0 para todo

w W}. Dado V Ese tiene queV = {e E| 0 = T2(v, e) = T2(v)(e) para todo v V} =T2(V)0

Si dado un subespacio W E pensamos de modo inmediato en W0, entonces podremos decirque la polaridad T2 aplica cada subespacio vectorial deE en su ortogonal

4. Proposicion : Si T2 es una metrica simetrica no singular de un espacio vectorial de dimensionfinitaEyV Ees un subespacio vectorial entoncesdim V = dim Edim V. Ademas,(V) =V.Demostracion. dim V = dim T2(V)

0 = dim E dim T2(V) = dim E dim V.(V) = V. Si v V entonces T2(v, v) = 0 para todo v V. Por tanto, V (V). Por

otra parte, dim(V) = dim E dim V = dim E (dim E dim V) = dim V. Por dimensiones,(V) =V.

5. Definicion : Se dice que una base{e1, . . . , en} de E es ortonormal si T2(ei, ej) = 0 si i= j yT2(ei, ei) = 1.6. Teorema: SeaEunR-espacio vectorial de dimension finita yT2 una metrica simetrica no singularenE. Entonces existe una base ortonormal{e1, . . . , en}deE, luego matriz asociada aT2 en esta basees

1 0 00

. . . 00 0 1

Demostracion. Veamos en primer lugar que si T2(e, e) = 0 para todo e E entonces T2 = 0: Seane, e E, 0 = T2(e + e, e + e) = T2(e, e) + T2(e, e) + T2(e, e) + T2(e, e) = 2T2(e, e), luegoT2 = 0.

Sea, pues,e Etal queT2(e, e) = 0. SeaE

= e

. Se tiene que eE

= 0, por tanto, por dimen-siones,E= eE. La restriccion deT2a E es no singular, pues 0 = Rad T2 = Rad T2|eRad T2|E .Por induccion sobre la dimension, existe una base ortonormal{e2, . . . , en} en E. Si consideramose1 =

1|T2(e,e)|

e tenemos que{e1, . . . , en} es una base ortonormal de E.

7. Definicion : Se dice que Econ la metrica simetricaT2 es un espacio eucldeo si T2(e, e)> 0 paratodo vector no nulo de E.

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1.5. Metricas 23

En particular, en los espacios eucldeos, T2 es no singular.Reordenando la base, podemos suponer en el teorema anterior que

T2

1r

. . .

11

. . .

1

Veamos que el numero r no depende de la base escogida: para todo e E =e1, . . . , er, no nulo,se tiene que T2(e, e) > 0; del mismo modo para todo eE =er+1, . . . en no nulo se cumple queT2(e, e) < 0. Supongamos que existe un subespacio vectorial V tal que para todo v V no nuloT2(v, v)> 0. Obviamente V E

= 0, luego dim V dim E dim E

= dim E

=r. En conclusion,r es la dimension maxima de los subespacios eucldeos deE.

8. Definicion : Se define el modulo de un vectore como|T2(e, e)|. Supongamos que Ees eucldeo,

se define el angulo entre dos vectores no nulose,e como el numero 0 < tal quecos= T2(e, e).Por ejemplo, dos vectores (no nulos) son perpendiculares si y s olo si el angulo entre ellos es /2.Toda metrica en Eextiende de modo natural a mE: Dar una metrica T2 enE, equivale a definir

la polaridadT2 : E E,T2(e)(e) := T2(e, e). La polaridadT2 define el morfismo, mT2 : mEmE, e1 em T2(e1) T2(em). Ahora bien, mE = (mE), luego tengo un morfismomE (mE), luego una metrica mT2 en mEdefinida por

mT2(e1 em, e1 em) = (T2(e1) T2(em))(e1 em)=

Sm

signo()

T2(e1)(e

(1))

T2(em)(e

(m))

=Sm

signo() T2(e1, e(1)) T2(em, e(m))

Si T2 es una metrica simetrica en E, entonces mT2 tambien lo es, porque (

mT2) = mT2 =

mT2.Si e1, . . . , en es una base ortonormal de E entonces{ei1 eim}i1

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Observemos que si e1, . . . , en es una base ortonormal de E entonces wE = w1 wn ywE(e1, . . . , en) =

1.

SeaEun R-espacio vectorial eucldeo de dimension 3 orientado. Sea w3 3E la unica 3-formaque sobre una base ortonormal e1, e2, e3 positivamente orientada, vale w3(e1, e2, e3) = 1. Es decir, siw1, w2, w3 es la base dual de e1, e2, e3 entonces w3 = w1 w2 w3 (que con la metrica inducida porla metrica de E, w3 es de modulo 1 y w3 define la orientacion dada en E).

Dados dos vectores v1, v2 E, llamamos producto vectorial de v1 por v2, que denotamos porv1 v2, al vector determinado por

T2(v1 v2, e) = w3(v1, v2, e)Observemos que v1 v2 es ortogonal a v1 y v2. El producto vectorial,, es multilineal hemi-

simetrico. Si v1 y v2 son linealmente independientes entonces v1, v2, v1 v2 es una base positivamenteorientada, pues 0< = T2(v1 v2, v1 v2) = w3(v1, v2, v1 v2). Si v1 yv2 son ortogonales, entoncesv1v2es el vector ortonormal av1y v2, de modulo el producto de los modulos dev1y v2, de modo quev1, v2, v1 v2 estan positivamente orientados: por la multilinealidad del producto vectorial podemossuponer quev1 yv2 son de modulo 1. Seav3, tal quev1, v2, v3 sea una base ortonormal positivamenteorientada. Entonces, e1 e2 e3 = v1 v2 v3 yT2(v1 v2, v3) = w3(v1, v2, v3) = w3(e1, e2, e3) = 1.Por tanto, v1 v2 = v3 y hemos terminado.

Observemos que sivi =j

ijej , entonces T2(v1 v2, v3) = det(ij), pues v1 v2 v3 = det(ij) e1 e2 e3 yT2(v1 v2, v3) = w3(v1, v2, v3) = det(ij).

1.6. Producto exterior y contraccion interior

Si un morfismo : E E E se anula sobre los elementos e e para todoe V Ey e Eentonces factoriza va el morfismo : (E/V) E E, (e e) :=(e e).

El morfismo composicion

(E n E) (E m E) = E n+m E n+mE(e1 en) (en+1 en+m) e1 en+m

factoriza va el morfismo, que llamaremos producto exterior de formas, nE mE n+mE,(e1 en) (en+1 en+m) e1 en+m.1. Proposicion : El producto exterior de formas es asociativo: (n m) r = n (m r),coni iE.

El producto exterior de formas es anticonmutativo:n m= (1)nmm n, para todannEym mE.Demostracion. La asociatividad es clara, en cuanto a la anticonmutatividad digamos solo que

(e1 en) (en+1 en+m) = (1)nm

(en+1 en+m) (e1 en)

Dado w E y E E consideremos el morfismo de contraccion interior por w en el primerfactori1w : E E E, i1w(e e) := w(e) e. Por otra parte, sea en E

n E

iw : E n E E n1 E, iw(e1 en) :=i

(1)i1 w(ei) e1 ei en

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1.6. Producto exterior y contraccion interior 25

que llamaremos contraccion interior hemisimetrica, que es la suma de la contraccion interior por wen cada factor afectada de un signo.

T E := k E (E E) (E n E) . . ., con la suma, +, y con el producto,, sedice que es el algebra tensorial asociada a E. E:= k E (2E) (nE) . . ., con la suma,+, y con el producto,, se dice que es el algebra exterior asociada a E. El epimorfismo T E E,e1 en e1 en es un morfismo de algebras (= de anillos).2. Proposicion : La contraccion interior hemisimetrica es una antiderivacion del algebra tensorial,

es decir, dadasTn (E n E) yTm (E m E), entonces

iw(Tn Tm) = (iwTn) Tm+ (1)nTn (iwTm)

Demostracion. Basta demostrar la proposicion paraTn= e1 en y Tm= e1 em. Ahorabien, la suma de las contracciones interiores por w en cada factor (afectado por un signo) es contraerprimero en los n-primeros factores mas contraer despues en los ultimos m factores. La cuestion del

signo se la dejamos al lector.La contraccion interior hemisimetrica en el algebra tensorial define por paso al cociente un apli-

cacion lineal que denominaremos la contraccion interior en el algebra exterior. En efecto, si vi = vj(i < j ) entonces

iw(v1 vr) == (1)i1w(vi) v1 vi vj vr+ (1)j1w(vj) v1 vi vj vr= ((1)i1 + (1)j1 (1)ji1)w(vi)v1 vi vj vr = 0

Tenemos pues el morfismo

iw : rE

r1E, iw(v1

vr) := iw(v1

vr) =

i

(

1)i1w(vi)

v1

vi

vr

3. Corolario : La contraccion interior es una antiderivacion del algebra exterior, es decir, dadasn nE ym mE, entonces

iw(n m) = (iwn) m+ (1)nn (iwm)

Las n-formas se identifican con las aplicaciones hemisimetricas de orden n. Veamos que es lacontraccion interior por un vector de una aplicacion hemisimetrica: Sea e Ey n= w1 wnnE =H emk(E n. . . E, k) entonces

(ie1n)(e2, . . . , en) = (ie(w1 wn))(e2, . . . , en)= (

i

(

1)i1wi(e

1)w

1 wi

wn

))(e2

, . . . , en

)

1=i

Sn1

(1)i1signo()w1(e(2)) wi(e1) wn(e(n))

2=w1 wn(e1, e2, . . . , en) = n(e1, e2, . . . , en)

1= ConsideramosSn1 como el subgrupo de Sn formado por las permutaciones que dejan el 1 fijo.

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2= Si definimos i Sn, la permutacion que transforma{1, . . . , n} en{2, . . . , i 1, 1, i , . . . , n},

entonces signo() = (

1)i1 ySn= Sn11 Sn1 n(porqueSn1 ison las permutacionesque transforman el 1 en el i).

Para los ejercicios que siguen observemos que dado un subespacio vectorial V E, tomandoduales tenemos el morfismo de restriccion E V, w w|V (w|V(v) := w(v), para toda v V),tenemos pues morfismos iE iV, w1 wi (w1 wi)|V :=w1|V wi|V.4. Ejercicio : Sea Eun espacio eucldeo orientado de dimension n y E Eun hiperplano. Sea Nun vector normal a E de modulo 1. Sea wEla forma de volumen de E.

1. Probar que iNwE restringida a E es igual a la forma de volumen wE deE que lo orienta, demodo que si e2, . . . , en es una base positivamente orientada de E entonces N , e2, . . . , en es unabase positivamente orientada de E.

2. Dadoe E, (iewE)|E =T2(e, N) wE .

5. Ejercicio : Sea (E, T2) un espacio vectorial eucldeo yR Eun subespacio vectorial de dimension1. Sea r un vector de R de modulo 1 que oriente a R y sea wR la forma de longitud de R. Dadoe Eprobar que (ieT2)|R= T2(e, r) wR.

1.7. Algebra tensorial simetrica

Queremos definir ahora un producto conmutativo, con las propiedades multilineales de.SeaV el k-subespacio vectorial de E n E, generado por los vectores

e1 j ej ek en e1 j ek ej envariando ei, j , k.

1. Definicion : Llamaremos algebra exteriorn de E, que denotaremos porS

n

E, aSnE:= (Ek n E)/V

2. Notacion: Denotaremose1 en (Ek n E)/V =SnEpore1 en.Observemos queademas de las propiedades multilineales heredadas de, cumple que

e1 en= e(1) e(n)para todo Sn.3. ComoSnE= (E n E)/V, dar un morfismo lineal : SnE Fequivale a dar un morfismoE n E Fque se anule en V, es decir, equivale a definir (e1 en) (para todoe1, . . . , en E)que sea k-lineal en cada factor y de modo que (e1 en) = (e(1) e(n)) para todo Sn. Esdecir,

Homk(SnE, F) = {T Multk(E n E, F) | T(e1, , en) = T(e(1), , e(n)), Sn}

= Aplic. n-mult. simetricas de E enF=:Simk(E n E, F)4. Teorema : SeaE un espacio de base{e1, . . . , en}. Entonces{ei1 eir}1i1irn es una basedeSrE.

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1.7. Algebra tensorial simetrica 27

Demostracion. Sabemos que {ei1eir}1ijnes una base de E r E. Por tanto, tomando clases

tenemos que{

ei1

eir}

1ijnes un sistema generador de SrE. Comoei1

eir =ei(1)

ei(r) para

todo Sr, tendremos que{ei1 eir}1i1irn es un sistema generador de SrE.Nos falta probar que son linealmente independientes. Sea t =

1i1irn

i1,...,irei1 eir = 0.Sea{w1, . . . , wn} la base dual de{e1, . . . , en}. Dado i1 ir sea J el conjunto de todas lascombinaciones con repeticion de este conjunto y w =

{j1,...,jr}J

wj1 wjr Homk(SrE, k).Entonces,

i1,...,ir =w(t) = 0

Sn opera de modo natural en E n E permutando los factores: dada Sn y e1 en,(e1

en) := e(1)

e(n). Sea

(E n E)Sn := {T E n E| (T) = Tpara todo Sn}

El morfismo composicion

(E n E) (E m E) = E n+m E Sn+mE(e1 en) (en+1 en+m) e1 en+m

factoriza va el morfismo, que llamaremos producto simetrico de tensores simetricos, SnE SmESn+mE, (e1 en) (en+1 en+m) e1 en+m=: (e1 en) (en+1 en+m).5. Proposicion : El producto simetrico de tensores simetricos es asociativo:(Tn Tm) Tr = Tn (Tm Tr

), conTi

SiE.

El producto simetrico de tensores simetricos es conmutativo:Tn Tm= Tm Tn, para todaTn SnEyTm SmE.

SE:= k E (S2E) (SnE) . . ., con la suma, +, y con el producto,, se dice que es elalgebra simetrica asociada a E. El epimorfismo T E SE, e1 en e1 en es un morfismode algebras (= de anillos). Denotaremos S0E= k y S1E= E.

Seaw E, llamaremos al morfismo

iw : E n E E n1 E, iw(e1 en) :=i

w(ei) e1 ei en

contraccion interior simetrica, que es la suma de la contraccion interior por w en cada factor.

6. Proposicion : La contraccion interior simetrica es una derivacion del algebra tensorial, es decir,dadasTn (E n E) yTm (E m E), entonces

iw(Tn Tm) = (iwTn) Tm+ Tn (iwTm)

Demostracion. Basta demostrar la proposicion paraTn= e1 en y Tm= e1 em. Ahorabien, la suma de las contracciones interiores por wen cada factor es contraer primero en losn-primerosfactores mas contraer despues en los ultimosm factores.

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La contraccion interior simetrica en el algebra tensorial define por paso al cociente un aplicacionlineal que denominaremos la contraccion interior en el algebra simetrica. En efecto, el morfismo

iw : SrE Sr1E, iw(v1 vr) :=

i

w(vi) v1 vi vr

esta bien definido.

7. Corolario : La contraccion interior es una derivacion del algebra simetrica, es decir, dadasTnSnEyTm SmE, entonces

iw(Tn Tm) = (iwTn) Tm+ Tn (iwTm)

SeaEun espacio vectorial de dimension finita. Va el isomorfismo linealE n E Multk(En E, k), tenemos que (E n E)Sn =Simk(E n E, k).

8. Proposicion : Supongamos que la caracterstica dek es primo con n!. El morfismo S: Sn

EE n E,S(e1 en) =

Sn

e(1) e(n) establece un isomorfismo entreSnEy(E n E)Sn(cuyo morfismo inverso es precisamente 1n! , donde : E

n E SnEes el morfismo naturalde paso a cociente).

Demostracion. Es una comprobacion inmediata.

En caracterstica cero, los tensores simetricos de orden n se identifican con las aplicaciones simetri-cas de orden n. Veamos que es la contraccion interior por un vector de una aplicacion simetrica: Seae Ey Tn= w1 wn SnE =Simk(E n. . . E, k) entonces

(ie1Tn)(e2, . . . , en) = (ie(w1 wn))(e2, . . . , en)

= (i wi(e1) w1 wi wn)(e2, . . . , en)

1=i

Sn1

w1(e(2)) wi(e1) wn(e(n))

2=w1 wn(e1, e2, . . . , en) = Tn(e1, e2, . . . , en)

1= ConsideramosSn1 como el subgrupo de Sn formado por las permutaciones que dejan el 1 fijo.2= Si definimos i Sn, la permutacion que transforma{1, . . . , n} en{2, . . . , i 1, 1, i , . . . , n},

entonces Sn= Sn1 1 Sn1 n (porqueSn1 i son las permutaciones que transforman el

1 en el i).

1.8. Modulo de diferenciales. DerivacionesSea k un cuerpo, A un anillo y k A un morfismo de anillos (en este caso se dice que A es

una k-algebra y escribiremos ). Sea E el A-modulo libre de base{db, para todo b A},es decir, E es el A-modulo formado por las sumas formales finitas

bA

abdb (ab A y casi todosnulos). SeaE elA-submodulo deEgenerado por los elementos d(b + b) db db, d(b) dbyd(bb) bdb bdb (para todo b, b A y k).

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1.8. Modulo de diferenciales. Derivaciones 29

1. Definicion : LlamaremosA-modulo de diferenciales de Kahler deA sobrek, que denotaremos porA/k, a

A/k := E/E

2. Notacion:: Denotaremosadb poradb.

Observemos que d(b + b) = db + db, db = db y d(bb) = bdb + bdb.Dar un morfismo deA-modulos : A/k M, equivale a dar un morfismo de A-modulosE M,

que se anule sobre E, es decir, equivale a dar (db), para todo b A, de modo que (d(b+b)) =(db) + (db), (db)) = (db) y(dbb) = b(db) + b(db).

3. Definicion : Sea A una k -algebra y M un A-modulo. Diremos que una aplicacion D : A M esunak-derivacion si verifica las siguientes condiciones:

1. D es un morfismo de k-modulos.

2. D(ab) = bD(a) + aD(b) para todo a, b

B.

Observemos queD(1) =D(1 1) = 1D(1)+1D(1) = 2D(1), luegoD(1) = 0. Ademas, dado k,D() = D(1) = 0.

El conjunto de todas las k -derivaciones de A en Mse denota por Derk(A, M). Si definimos

(D+ D)(a) := D(a) + D(a) (aD)(b) := aDb

tenemos que el conjunto de todas las k -derivaciones de A en M tiene estructura de A-modulo.

4. Proposicion : SeaA unak -algebra yM unA-modulo. Se cumple que

HomA(A/k, M) = Derk(A, M)

Demostracion. Dado un morfismo deA-modulosT: A/k

Mconsideremos la derivacionDT: A

M, DT(a) := T(da). Recprocamente, dada una derivacion D : A M, consideremos el morfismode A-modulos TD : A/k M, TD(db) =Db. Las asignaciones D TD, TDT son inversas entres.

El morfismo natural d : A A/k, a da, es una derivacion, es decir, verifica que d(a+a) =da + da, d(ab) = adb + bda. Ademasd se anula sobrek .

SeaA = k[x1, . . . , xn] el anillo de polinomios y M unA-modulo. Si una k-derivacion

D : k [x1, . . . , xn] M

se anula sobre los xi entonces D = 0: Por linealidad basta probar que es nula sobre los monomios x

y para ello procedamos por induccion sobre|| =1+. . .+n. Supongamos1= 0, sea , tal que1 = 1

1 y i= i, parai >1 (luego

|

| 0 si y solo si [F, a] :=F a a Fes un operador diferencial de ordenn 1 para todo a A.3. Proposicion : La composicion de un operador diferencial de orden r con uno de ordens es un

operador diferencial de ordenr + s.

Demostracion. Sea F: N M un operador diferencial de orden r y G : M M un operadordiferencial de orden s. Procedamos por induccion sobrer + s. Por hipotesis de induccion

[a, GF] =a GFGFa = (aGFGa F) + (Ga FGa F) = [a, G]F+ G [a, F]es un operador diferencial de orden r + s 1, luego G Fes un operador diferencial de ordenr + s.

4. Notacion : Diffnk(N, M) denota el conjunto de opradores diferenciales de N en Mde orden N.

5. Proposicion : Sea m A un ideal tal que A/m = k. Supongamos que M es un A/m-modulo.Entonces,

Diffnk(N, M) = Homk(N/mn+1 N, M)

Demostracion. Todo aplicacion k-lineal F: N/mn+1 N Mes un operador diferencial de orden n:Sia mentonces [F, a] se anula en mn N N/mn+1, es decir, tenemos [F, a] : N/mn N M, quees un operador diferencial de ordenn 1, por hipotesis de induccion. Si a k entonces [F, a] = 0. Enconclusion, [F, a] es un operador diferencial de orden n 1 yFes un operador diferencial de orden n.Por tanto, si : N N/mn+1 Nes el morfismo de paso al cociente F : N Mes un operadordiferencial de orden n.

Todo operador diferencialF: N Mde ordennse anula en mn+1 N(recordemos que mM= 0),por la definicion de operador diferencial de orden n. Por tanto, F factoriza va N/mn+1 N.

6. Definicion : Sea M un A-modulo. Diremos que Jnk M := (A kA/n+1) AM es el modulo der-jets deN.

7. Proposicion : HomA(J

n

k N, M) = Diff

n

k(N, M). En particular, HomA(J

n

A/k, A) = Diff

n

k(A, A).Demostracion. Consideremos A kN como A A-modulo, A k A como A-algebra, A A k A,a a 1 y Mes un A kA/-modulo. Diffnk(N, M) = DiffnA(A kN, M), D Id D, luego

Diffnk(N, M) = DiffnA(A kN, M) = HomA((A kN)/(n+1 (A kN)), M)

= HomA((A kA/n+1) AN, M) = HomA(Jnk N, M)

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8. Proposicion : Seam A un ideal tal queA/m =k y seaM unA-modulo. Entonces

(Jnk M) AA/m =M/mn M9. Observacion :

Diffnk(N, M) = HomA(JnN/k, M) = HomA(N, HomA(J

nA/k, M)) = HomA(N, Diff

nk(A, M))

Explcitamente, a D Diffnk(N, M) le asignamos D HomA(N, Diffnk(A, M)), definido por D(n)(a) :=D(an) (Diffnk(A, M) lo consideramosA-modulo por la derecha D a= D a).

Dado el morfismo Id: JnN/k JnN/k, tendremos que j : N JnN/k, n 1 n es un operadordiferencial de orden n y todo operador diferencial de orden n, F: N N, es igual a la composiciondej y un morfismo de A-modulosf : JnN/k N.

La composicion,

N jN

JrN/k

jJrN/k

JsJrN/k =J

sA/k AJ

rA/k AN

es un operador diferencial de ordenr+s, luego tenemos un morfismo naturalJr+sN/k JsA/kAJrN/k, quedualmente es el morfismo natural Diffsk(N, Diff

rk(A, M)) Diffr+sk (N, M),D D, D(n) := D(n)(1).

Tenemos la cadena de inclusiones (en Homk(A, A))

Diff1k(A, A) Diff2k(A, A) Diffnk(A, A)

El dual de la sucesion exacta 0 Sn (A A)/n+1 (A A)/n 0 es

0 Diffn1k (A, A) Diffnk(A, A) simbn Sn Derk(A, A) 0Se dice que simbn(F) es el smbolo del operador F.

10. Definicion : Diffk(A, A) = i=0

Diffik(A, A).

Supongamos que A es una k-algebra lisa, es decir, el morfismo natural Sn n/n+1 es unisomorfismo, para todo n.

11. Teorema: Seadsla diferencial simetrica asociada a una conexion lineal simetrica. Los morfismos

(A A)/n+1 n A Sn, a b a (b,db,d2sb/2, . . . , dns b/n!)

son isomorfismos deA-algebras y los diagramas

0 n/n+1 (A A)/n+1

n

(A A)/n n1

0

0 Sn A Sn A Sn1 0son conmutativos.

Demostracion. Es facil comprobar que nes un morfismo de A-algebras. Obviamente n(a 1 1 a) =(0,da, ,..., ), luego, n es la identidad sobre n/n+1. Ahora es facil ver que el diagrama es con-mutativo y demostrar por induccion sobren que los n son isomorfismos.

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1.11. Modules de jets y operadores diferenciales 37

12. Corolario : El morfismoA/mn+1x k mx/m2x mnx/mn+1x , fn

i=0disfi! (x), es un isomor-

fismo dek -algebras.

Se dice que d2sf

2 (x) es el Hessiano de f en x.

13. Teorema : Seads la diferencial simetrica asociada a una conexion lineal simetrica. Entonces,

S Derk(A, A) = Diffk(A, A), (D1 Dn)(a) := dnsa

n! (D1, . . . , Dn)

y se tiene el diagrama conmutativo

0 n1i=0

Si Derk(A, A)

ni=0

Si Derk(A, A)

Sn Derk(A, A)

Id

0

0 Diffn1k (A, A) Diffnk(A, A) S

n Derk(A, A) 0

Ademas se cumple la formula de Leibnitz

(D1 Dn)(a b) =

{i1,...,ir}{j1,...,jnr}={1,...,n}

(Di1 Dir)(a) (Dj1 Djnr)(b)

Ahora, Diffk(A, A) va , tiene estructura de algebra conmutativa graduada:

(D1 Dn) (D1 Dm) := (D1 Dn D1 Dm)

Sea Diff

r

+(A, A) := {D Diffr

k(A, A) : D(1) = 0}.14. Proposicion :

{Conexiones lineales simetricas} = {s HomA(S2 Der(A, A), Diff2+(A, A)): simb2 s= Id}

Demostracion. Dada una conexion lineal simetrica,, definimoss : S2 Der(A, A) Diff2+(A, A) pors(D1 D2) :=D1 D2 D1 D2. Recprocamente, dado s definimos D1 D2 := D1 D2 s(D1 D2),que como pertenece al nucleo de simb2, pertenece a Derk(A, A).

En Diffk(A, A) existe una conexion canonica: DF := DF, para todo F Diffk(A, A) yD Derk(A, A). Por tanto, existe una diferencial canonica d : Diffk(A, A) A,k, que extiende auna diferencial en el complejo Diffk(A, A) A,k. Observemos que R = d2 = 0, porqueR(D1, D2) =D1 D2 D2 D1 [D1, D2] = 0. Por tanto, Diffk(A, A) A,k es un complejo diferencial.

SeaEunA-modulos finito generado libre. SeaK=SE E el complejo cuya diferencial d estensorializar por Id, es decir, si {e1, . . . , en} es una base deEy {w1, . . . , wn} es la base dual, entonces

d(si j) =r

si er wr j =: Id (si j)

Obviamente, d2 = 0. GraduemosK= rKr, dondeKr :=SE rE. Obviamente d(Kr) Kr+1.

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15. Lema :

H

i

(K) = 0 si i

=n

nE si i= n

16. Teorema de Takens: Se cumple que

Hi(Diffk(A, A) AA,k) =

0 si i =nnA,k si i= n

SeaT2 una metrica simetrica no singular y denotemos la polaridad tambien por

T2 : Derk(A, A) .

Sea ds : S2, ds(w) := T2(w)LT2. Tenemos pues definida una conexion lineal simetrica enDerk(A, A), denominada conexion de Levi-Civita asociada a T2.

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Captulo 2

Calculo Tensorial en Geometra

Diferencial

2.1. Desarrollo de Taylor

El teorema de Bolzano afirma que si fes una funcion continua en [a, b] tal quef(a)> 0 yf(b)< 0(o al reves) entonces existe un (a, b) tal quef() = 0 (la se obtiene por el metodo de biseccion).

Si f(c) > 0 para un c (a, b), entonces existe un c > 0 de modo que f(c+ t) > f(c) yf(c) > f(c t), para todo 0 t < c. Si f > 0 en (a, b) entonces f es creciente en (a, b). Comoconsecuencia se obtiene el teorema de Rolle que dice que si fes una funcion continua en [a, b], derivableen (a, b) yf(a) = f(b), entonces existe c (a, b) tal que f(c) = 0: Si f >0 en (a, b) entonces fseracreciente yf(a)< f(b), sif f(b). Por tanto, f esnegativa en algun punto y positiva en algun otro, por Bolzanof se anula en algun punto intermedio.

Recordemos el Teorema del valor medio: si f(x), g(x) son funciones derivables en (a, b) y continuasen [a, b], dados a < b existe (a, b) tal que (f(b) f(a))g() (g(b) g(a))f() = 0 (si g () = 0y g(b) g(a)= 0, habramos escrito (f(b) f(a))/(g(b) g(a)) = f()/g()): Sea H(x) = (f(b) f(a))g(x) (g(b) g(a))f(x), como H(a) = H(b), entonces existe un (a, b) tal queH() = 0.

En particular, sif(x) existe para todox =ay existe lmxa f(x), entoncesf(a) existe y coincidecon este lmite : f(a) = lmxa

f(x)f(a)xa = lmxa f

() = lmxa f(x).

Lema de LHopital: Si F, G son funciones diferenciables tales que F(0) = G(0) = 0, G no se

anule en un entorno de 0 (salvo quizas en 0), y lmx0F(x)G(x) existe, entonces por el Teorema del valor

medio lmx0F(x)G(x) = lmx0

F(x)G(x) .

Sea Cn(U) el anillo de las funciones n veces derivables de derivadas continuas en un abierto0

U

R.

1. Lema fundamental: Dadaf(x) Cn(U), sif(0) = 0, entonces existeh(x) Cn1(U), tal quef(x) = x h(x).1

Demostracion. Demos una demostracion con el mnimo de conocimientos de Analisis de Funciones.La funcion, h(x) = f(x)x (donde h(0) :=f

(0)) es una funcion continua, que tenemos que probar que

1Hay una demostracion maravillosa de este teorema, pero que hace uso de ciertos resultados de An alisis: Derivemose integremos y saquemos algo! f(x) =f(x)f(0) =

10

tf(tx)dt=

10 f

(tx)xdt= x10 f

(tx)dt

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40 Captulo 2. Calculo Tensorial en Geometra Diferencial

pertenece a Cn1(U).

Considerando en vez de f, fni=1aix

i

, con ai = 1

i! fi)

(0), podemos suponer que f(0) = f

(0) =. . .= fn)(0) = 0.

Tenemos que probar que h =f/x f /x2 Cn2(U). Por induccion sobre n, podemos suponerque f/x Cn2(U). Tenemos que probar que f /x2 Cn2(U). Probemos que si f(0) = f(0) =. . . = fn)(0) = 0 entonces f /x2 Cn2(U). Observemos que f /x2 es continua pues por LHopitallmx0 f /x

2 =f(0)/2. Tenemos que probar que (f /x2) =f/x2 f /2x3 Cn3(U). Por induccionsobre n, podemos suponer que f/x2 Cn3(U). Tenemos que probar que f /x3 Cn3(U). Argu-mentando as sucesivamente llegaremos a que tenemos que probar que f /xn C0(U), lo cual es ciertoporque aplicando LHopital sucesivamente tenemos que lmx0 f /x

n =fn)(0)/n!.

2. Corolario : Si f(x) C(U) cumple que f(0) = 0, entonces existe h(x) C(U) tal quef(x) = h(x)

x. Entonces, por cambio de variablex = x

, tendremos que si

U yf() = 0

entonces existeh(x) C(U) de modo quef(x) = h(x) (x ).As dada f(x) Cn(U), entonces f(x)f() = g(x)(x) con g(x) Cn1(U). Luego

f(x) = f() + (x ) g(x). Repitiendo el argumento con g(x), tendremos quef(x) = f() + (x ) (g() + (x ) h(x)) = f() + g()(x) + h(x)(x)2, (conh(x) Cn2(U)). As sucesivamente,tendremos que

f(x) = a0+ a1(x ) + + an1(x )n1 + z(x) (x )n

ai R, z (x) C0(U). Ademas, ai = lmxf(x)

i1

j=0aj(x)

j

(x)i = f(i()

i! .

Ahora en varias variables.

3. Definicion : Se dice que una funcion real f definida en un entorno de un punto Rn esdiferenciable en si existe una matriz A = (a1, . . . , an) de modo que

lmx

f(x) f() A (x )t||x || = 0

Observemos que en tal caso, tomandox = (x1+ h, 2, . . . , n) tenemos que

0 = lmh0

f(1+ h, 2, . . . , n) f() A (h, 0, . . . , 0)t|h| = lmh0

f(1+ h, 2, . . . , n) f() a1 h|h|

Luego, lmh0f(1+h,2,...,n)f()a1h

h = 0 y a1 = fx1

(). Igualmente, ai = fxi

(). Si las de-rivadas parciales existen en un entorno de y son continuas entonces f es derivable, con A =( fx1 (), . . . ,

fxn

()):

lmxf(x)f()

iai(xii)

||x|| = lmxf(x)f(a1,x2,...,xn)+f(a1,x2,...,xn)f()

iai(xii)

||x||

= lmx(fx1 (,x2,...,xn)a1)(x11)+f(1,x2,...,xn)f()

i>1ai(xii)

||x||

= lmx(fx1 (,x2,...,xn)a1)(x11)

||x|| + lmxf(1,x2,...,xn)f()

i>1ai(xii)

||x||

que es igual a cero, por induccion sobre n (observando que||(x )|| es mayor que|x1 1| y que||(x2, . . . , xn) (2, . . . , n)||).

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2.2. Espacio tangente en un punto 41

Es obvio que si f es derivable en entonces es continua en . Se dice que f es de clase r en unabierto si

rfm1 x

1mnx

n

son continuas en el abierto para todo m1+

+ mn= r.

Sea Uun entorno abierto de y f C2(U). Se verifica que 2fyx() = 2f

xy (): Por cambio de

variable podemos suponer que = (0, 0). Sustituyendof(x, y), porf(x, y)f(0, y), podemos suponerquef(0, y) = 0.

fxy(0, 0) =

y( lmx0

f(x, y)

x )(y= 0) = lm

y0

lmx0f(x,y)x lmx0 f(x,0)x

y

= lmy0

lmx0f(x,y)f(x,0)

x

y = lm

y0lmx0

fy(x, ) yxy

=fyx(0, 0)

Por simplificar notaciones supongamos que = 0. De nuevo, dada f(x, y) Cn(U) si f(0, y) = 0entonces fx Cn1(U). As, dada f Cn(U), tendremos que f(x, y) = f(0, y) +x g(x, y), cong(x, y) Cn1(U). Por tanto, si f(0, 0) = 0, entonces f(0, y) = y h(y), con h(y) Cn1(U), enconclusionf(x, y) = x h1+ yh2, con h1, h2 C

n1

(U).4. Proposicion : Sea U Rm un abierto y f(x1, . . . , xm) Cn(U). Si f() = 0, entonces f =

i hi (xi i) conhi Cn1(U).5. Corolario : Dadaf(x1, . . . , xm) Cn(U) yb U entonces

f= (||

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SeanU Rm, V Rn sendos abiertos.

3. Definicion : Una aplicacionF: U Vse dice que es diferenciable en Usi existe una matrizF() = (aij) dem-columnas y n-filas tal que

lmx

||F(x) F() F() (x )t||||x || = 0

Es facil ver que F = (f1, . . . , f n) es diferenciable si y solo si f1, . . . , f n son diferenciables y queA= ( fixj ()).

Desarrollando por Taylor, tenemos queF(x) = F()+F()(x)t+ijGij(x)(xii)(xjj).Consideremos la recta{+tv, t R} que pasa por y de vector director v, entonces F(+tv) =F() + F()(tv) + t2 H(t, v). Parat pequenoF( + tv) es aproximadamente F() + F()(tv). Esdecir, Faplica el vector infinitesimal tv, de origen , en el vector infinitesimal F()(tv) de origenF().

Por otra parte, el morfismo Finduce en los anillos el morfismo de anillos F :C(V) C(U),F(g) := g Fy por tanto el morfismo mF() m,g (g F). En conclusion, tenemos el morfismo(intrnseco) F : mF()/m

2F() m/m2, dF()g d(g F)

F(dF()xi) = d(xi F) =

jfixj

() dxj . Por tanto, la matriz del morfismo F : mF()/m2F()m/m2 es (

fixj

()). Tomando duales tenemos la aplicacion lineal tangente en asociada a F

(intrnseca)

F : (m/m) = DerR(C(U),R) DerR(C(V),R) = (mF()/m2F())

que aplica (como puede comprobarse) cada derivacion Den F(D) definida por F(D)(g) = D(F(g)) =

D(g F). Directamente, o por dualidad, tenemos que la matriz deF es F() = ( fixj ()). Geometri-camente,Faplica en el vector tangente v = (1, . . . , n) en en el vector tangente enF(),F() v.

2.3. Derivaciones. Modulo de diferencialesSeaU Rm un abierto y = C(U)/R. Dadaw deseara que cumpliera la propiedad de que

si w() = w/m es nulo para todo entonces w = 0 y que esta propiedad se mantuviera altomar la diferencial.

Sea M unC(U)-modulo. Denotemos Nul(M) = U,n>0

mn M y M =M / Nul(M). Se cumple

que M= M. Tambien es claro que C(U) = C(U).

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2.3. Derivaciones. Modulo de diferenciales 43

1. Teorema : SeaM tal queNul(M) = 0 (por ejemplo siMes un modulo libre). Entonces,

DerR(C(U), M) = M x1

m. . . M xm

Demostracion. Asignemos a cada derivacionD DerR(C(U), M),

i(Dxi) xi .Veamos que esta asignacion es inyectiva: Tenemos que ver que si Dxi = 0, para todo i, entonces

D = 0. Sobre los polinomios p(x1, . . . , xm) es facil ver que D(p(x1, . . . , xn)) =

ip(x1,...,xm)

xiD(xi)

(argumentando por induccion sobre el grado del polinomio). Es claro que D(mn) mn1 M. Todaf C(U) es igual a un polinomio p de grado n modulo mn, f = p+ g , g mn. Por tanto,D(f) = D(p) + D(g) = 0 + D(g) mn1 M, para todo n y , luegoD(f) = 0 y D = 0.

La asignacion es obviamente epiyectiva, porque

i mixi

es la imagen de la derivacionD definida

por D(p) :=

ipxi

mi.

Por tanto, si Nul M= 0 entonces toda D DerR(C(U), M) es D =

i Dxi xi .2. Teorema : C(U)/R = C

(U) dx1 C(U) dxn

Demostracion. Para todo Mtal que Nul(M) = 0 se cumple que

HomC(U)(C(U)/R, M) = HomC(U)(C(U)/R, M) = DerR(C(U), M)

=M x1 M xn = HomC(U)(C(U)dx1 C(U)dxn, M)

Por tanto,

nC(U)/R = 1i1

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Demostracion. Consideremos el grupo uniparametrico : RRn Rn, ((t, x)) = et x, cuyaderivacion asociada esD = i xi

x

i

. Seat(x) = (t, x) y denotemostwr =: wr(t). Se cumple que

wr(t) = (DLwr)(t). Entonces

wr = wr(0) wr() = 0

wr(t) dt=

0

(DLwr)(t) dt= 0

(iD d + d iD)wr(t) dt

=

0

d iDwr(t) dt= d 0

iDwr(t) dt= dwr1

2.4. Variedades diferenciables. Haces

1. Definicion : Sean f1, . . . , f n Cn(U), U Rn abierto. Se dice que f1, . . . , f n es un sistema decoordenadas en U, si la aplicacion

F: U Rn, F(x) := (f1(x), . . . , f n(x))

cumple que F(U) = V es un abierto, F establece un homeomorfismo entre U y V, y la aplicacioninversa deFes diferenciable de clase n, es decir, Fes un difeomorfismo de clase n.

En tal caso, el morfismo de anillos F :Cn(V) Cn(U), F(g) = g F es un isomorfismo,luego para cada funcion diferenciable g enUexiste una (unica) funcion diferenciableh(y1, . . . , yn) Cn(V) de modo que g(x) = h(f1(x), . . . , f n(x)) (las funciones diferenciables en Uson las funcionesdiferenciables en las coordenadas f1, . . . , f n).

2. Definicion : Se dice que f1, . . . , f n son un sistema de coordenadas en un punto x, si existe un

entorno dex en el que f1, . . . , f n son un sistema de coordenadas.DadoF= (f1, . . . , f n) denotemos por F = (

fixj

).

3. Teorema de la funcion inversa: SeanU, V sendos abiertos deRn yF: U Vun morfismo declasen. Dado U, sidet(F())= 0, entoncesFes un difeomorfismo de clasen en un entornode.

Con otras palabras, sif1, . . . , f n son funciones diferenciables de clasen en un entorno de Rn.Entonces,f1, . . . , f n es un sistema de coordenadas en si y solo sidf1, . . . , dfn son linealmenteindependientes, es decir, det( fixj ())) = 0.Demostracion. Sin perdida de generalidad podemos suponer que = 0.

1. Probemos que la aplicacionF= (f1, . . . , f n) : U Rn en un entorno abierto pequenoUde (0) esinyectiva: Tenemos que fi(x)fi(y) =

jHij(x, y)(xjyj), pues en general si g(x1, . . . , xr, 0, . . . , 0) =

0 para todo x1, . . . , xr entonces g =j

gr+j

xr+j . Escribamos de forma reducida F(x)

F(y) =H(x, y)(xy), dondeH(x, y) es la matriz (Hij(x, y)) y (xy) el vector (x1y1, . . . , xnyn). Observe-mos queH(0, 0) = ( fixj (0)). Consideremos un entorno Vde 0, de modo que para todo (x, y) VV,det(H(x, y)) = 0. Si 0 = F(x)F(y) = H(x, y) (xy), para algun (x, y) VV, entoncesx y= 0yx = y.

2. F(U) es un entorno de F(0): Reduciendo U, podemos suponer que F es inyectiva en U yque det(F(x))= 0 para todo x U. Sea B una bola centrada en el origen, tal que su cierreeste incluido en U, y sea Sn el borde. Por ser F inyectivaF(Sn) no contiene a F(0). Sea m = nfimo

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2.4. Variedades diferenciables. Haces 45

{d(0, F(s))|sSn} que es mayor estricto que cero porque d(0, F(Sn)) es un compacto (imagen decompacto) de R+ que no contiene a 0. Sea B una bola centrada en F(0) de radio m/2. Basta que

probemos que B F(B).Seay B yg(x) := d(F(x), y) que la definimos sobre B. La funcion continuag alcanza un mnimo

sobre B, que no yace en Sn, puesto que d(F(s), y)+m/2 d(F(s), y)+d(F(0), y) d(F(0), F(s)) m,luego d(F(s), y) m/2 d(F(0), y). As pues, la funcion, g2 = (F(x) y) (F(x) y) alcanza unmnimo en B. Si cB es tal que g2(c) es mnimo, entonces 0 = (g2)(c) = 2(F(c) y) F(c). Portanto, F(c) = y y B F(B).

3. La aplicacionF: F1(B) B es un homeomorfismo: Es biyectiva y continua. Dado un cerradoC F1(B) B, tenemos queF(C) = F(C) B es un cerrado porque F(C) es un cerrado, ya queC es compacto. En conclusion, F es homeomorfismo.

4. Aconsejamos al lector que rescriba este apartado suponiendo n = 1, luego F = f(x) es unafuncion real en una sola variable.

Supongamos ya que tenemos un homeomorfismo F: U V. Reduciendo U, podemos suponerque

U y

V son compactos, que F:

U

V es homeomorfismo. Recordemos que F(x

) F(x) =H(x, x) (xx). Podemos suponer tambien, que det(H(x, x)) = 0 y2 ||H(x, x)1|| m(para ciertom > 0) para todo x, x U. En particular,||(H(x, x)1 = (F(x))1|| m.

Veamos queG = F1 es diferenciable de clasen.

Dado y =F(x), probemos que la matriz (F(x))1 cumple que lmyy

||G(y)G(y)(F(x))1h||||yy|| = 0.

Seax tal queF(x) = y , entonces

lmyy

||G(y)G(y)(F(x))1(yy)||||yy|| = lmxx

||G(F(x))G(F(x))(F(x))1(F(x)F(x))||||F(x)F(x)||

= lmxx

||(xx)(F(x))1(F(x)F(x))||||F(x)F(x)|| = lmxx

||(F(x))1[(F(x))(xx)(F(x)F(x))]||||F(x)F(x)||

m lmxx

||(F(x))(xx)(F(x)F(x))||||F(x)F(x)|| =m lmxx

||(F(x))(xx)(F(x)F(x))||||xx|| ||x

x||||F(x)F(x)||

m2

lmxx

||(F(x))(xx)(F(x)F(x))||

||x

x||

= 0

Por tanto, G(y) = (F(x))1 y G es derivable. Como G(y) := (F(x))1 = (F(G(y)))1 escontinuaG es C1 G(y) esC1 G(y) esC2, etc.

Veamos que la esfera unidad S2 x2 + y2 + z2 = 1 localmente es difeomorfa a abiertos de R2:Sea = (1, 2, 3)S2, supongamos 1= 0. Las funciones f1 = x2 +y2 +z2 1, f2 = y , f3 = zforman un sistema de coordenadas en, por el teorema de la funcion inversa. Existe un entorno abiertoU R3 de, y un abiertoV R3 de modo que la aplicacionF: U V,F(x) = (f1(x), f2(x), f3(x)))es un homeomorfismo. Va F,U S2 es homeomorfo aV (0R2) = 0V, (para el correspondienteabiertoV R2). Tenemos pues el homeomorfismo

U S2

V

, x (f2(x), f3(x))Se dice que la restriccion def2 y f3 aU S2 es un sistema de coordenadas en U S2.4. Definicion : Un cerrado Y Rn se dice que es una subvariedad diferenciable de dimensionm deRn, si para cada punto y Yexiste un sistema de coordenadas f1, . . . , f n de en un entornoU Rneny , de modo que U Y = {x U tales que f1(x) = . . .= fnm(x) = 0}.

2Dada una aplicacion lineal T: Rn Rn, se define ||T||:= sup{||T(e)||, para todo e Rn tal que ||e||= 1}

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5. Definicion : Sea Y Rn un cerrado. Se dice que una funcion f: Y R es diferenciable sipara cada y

Y existe un entorno abierto U

Rn de y y una funcion F

C(U) de modo que

F|YU=f|YU.

6. Proposicion : Toda funcion diferenciable sobre un subespacio cerrado Y Rn es la restriccion adicho cerrado de una funcion diferenciable deRn. Es decir,

C(Y) = C(Rn)/IdondeC(Y)es el anillo de funciones diferenciables deY eIes el ideal de las funciones diferenciablesdeRn que se anulan enY.

Demostracion. Sea f: Y R una funcion diferenciable. Existen abiertos{Ui} y funciones fi C(Ui) de modo que{Ui Y} recubren Y yf|UiY) = f|UiY.

Sea{i, } una particion de la unidad subordinada al recubrimiento{Ui,Rn Y}. Prolongandopor 0 el producto ifi en el complementario de Ui, se obtiene una funcion diferenciable y la familia

de soportes de tales funciones es localmente finita. Luego, la suma F =

i ifi es una funciondiferenciable en Rn. La restriccion de F a Y esf, pues dadoy Y

F(y) =i

i(y)fi(y) =i

i(y)f(y) = f(y)

7. Definicion : Se define variedad diferenciable como las subvariedades diferenciables de los Rn.

Puede darse una definicion en principio mas general de variedad diferenciable (el teorema de Whit-ney afirma que es equivalente a la anterior): Un espacio topol ogico X se dice que es una variedaddiferenciable de dimension m si existe un recubrimiento por abiertos{Ui} de X y homeomorfismosi : Ui Vi (Vi abierto de Rm) de modo que los homeomorfismos (de cambio de sistema de coorde-nadas) j 1j : i(Ui Uj) j(Ui Uj)son aplicaciones diferenciables (entre abiertos de Rm).

El lector, al pensar en la variedad X, debe identificar Ui con Vi. Debe pensar que un espaciotopologicoXes una variedad diferenciable si y solo si localmente es difeomorfo a abiertos de Rn.

Una aplicacion continua f: X R se dice que es diferenciable si localmente lo es, es decir, conrigor,fse dice que es diferenciable si las composiciones

Vi1i Ui

f|Ui R

son diferenciables. Una aplicacion continua entre variedades diferenciables f : X X se dice que esdiferenciable si localmente lo es, es decir, las composiciones

i(Ui f1(Uj))1i Ui f1(Uj) f Uj

j Vjson diferenciables. Resulta quefes diferenciable si y solo si para toda funcion diferenciableg : X R,entonces g f: X R es diferenciable.

Veamos la estructura de haz de DerX :Dada una derivacion D DerX y f C(X) si fes nula en un entorno abierto Ude un punto

X entonces Dftambien es nula en dicho entorno: Basta ver que (Df)() = 0. Sea h C(X)

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2.4. Variedades diferenciables. Haces 47

nula en X U e igual a 1 en un entorno de . Entonces 0 = h f y 0 = f Dh + h Df, luego0 = f()

(Dh)() + h()

(Df)() = (Df)(). Por tanto, si f = g en un entorno de entonces

D(f) = D(g) en ese entorno. Tenemos un morfismo natural

DerX DerU, D D|Udonde (D|Uf)() := D(F)(), siendo F C(X) cualquier funcion que es igual a fen un entornoabierto de .

1. Si Ui es un recubrimiento por abiertos de X y D|Ui = 0 para todo i entonces D = 0, pues(Df)|Ui = D|Uif|Ui = 0, para todo i, luego Df = 0 y D = 0. Por tanto, D = D

si y solo siD|Ui =D

|Ui

para todoi.

2. Por otra parte, si tenemos para cada i, una derivacion Di DerUi de modo que (Di)|UiUj =(Dj)|UiUj , para todo i, j, entonces podemos definir una D DerX , tal que D|Ui =Di, para todo i:D(f) se define como la funcion que cumple que (Df)|Ui =Dif|Ui .

Las propiedades 1. y 2. se expresan diciendo que DerX es un haz. Por ejemplo,

C(X) tambien

es un haz. Igualmente DerX es un haz (elC(X)-modulo de las aplicaciones n-multilineales es unhaz):

Dado w DerX y D DerX , si D|U= 0 entonces w(D)

algtensdi

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