algorytmy i struktury danych - amroz/dydak/aisd/wyklad1.pdf · wykªad podstawy zªo»ono±¢...

Wykªad Podstawy Zªo»ono±¢ Sortowanie Wska¹niki El. struktury danych

Algorytmy i struktury danych

Cz¦±¢ pierwsza

Prowadz¡cy: dr Andrzej Mróz,

Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika

1 / 65A. Mróz, WMiI, UMK

Opis przedmiotu

Zagadnienia, którymi si¦ zajmiemy:

metody projektowania algorytmów,

przykªady algorytmów,

struktury danych,

zªo»ono±¢ obliczeniowa.

Na ¢wiczeniach (laboratoriach):

implementowanie algorytmów z wykªadu,

projektowanie i implementowanie wªasnych algorytmów,

szacowanie zªo»ono±ci obliczeniowej algorytmów.

Opis przedmiotu

struktury danych,

Opis przedmiotu

struktury danych,

Opis przedmiotu

struktury danych,

Opis przedmiotu

struktury danych,

Opis przedmiotu

struktury danych,

Opis przedmiotu

struktury danych,

Opis przedmiotu

Plan wykªadu (mo»e ulega¢ drobnym modykacjom):

poj¦cie zªo»ono±ci obliczeniowej algorytmów,

przegl¡d wybranych algorytmów sortowania,

wska¹niki w j¦zyku programowania,

podstawowe struktury danych (stosy, kolejki, listy), metody ichimplementacji,

elementy teorii grafów, struktury danych do reprezentowaniagrafów,

zªo»one struktury danych,

algorytmy rekurencyjne,

metody projektowania algorytmów (metoda przyrostowa,zachªanna, dziel i zwyci¦»aj, programowanie dynamiczne),

wybrane algorytmy grafowe, tekstowe, geometryczne (analiza ichpoprawno±ci, zªo»ono±ci, metody implementacji),

wybrane algorytmy aproksymacyjne.

Opis przedmiotu

wybrane algorytmy aproksymacyjne.3 / 65

A. Mróz, WMiI, UMK

Opis przedmiotu

Nie wszystko jest na slajdach!

Literatura

1 T. H. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest, Wprowadzenie do

algorytmów, WNT, Warszawa 2001.

2 D. Harel, Rzecz o istocie informatyki. Algorytmika, WNT,Warszawa 1992.

3 A. V. Aho, J. E. Hopcroft, J. D. Ullman, Projektowanie i analiza

algorytmów komputerowych, Helion, Gliwice 2003.

4 L. Banachowski, K. Diks, W. Rytter, Algorytmy i struktury

danych, WNT, Warszawa 2006.

5 D. E. Knuth, Sztuka programowania, WNT, Warszawa 2002.

6 P. Sta«czyk, Algorytmika praktyczna. Nie tylko dla mistrzów,PWN, Warszawa 2009.

7 V. V. Vazirani, Algorytmy aproksymacyjne, WNT, Warszawa2005.

Przydatny: podr¦cznik do j¦zyka Pascal.

Egzamin

Forma: egzamin praktyczny przy komputerze.

Samodzielna implementacja kilku wybranych algorytmów w tym algorytmów, które pojawi¡ sie na wykªadzie.

Forma poprawy: ustalana indywidualnie na podstawie wynikówegzaminu.

Podstawy

Algorytm = precyzyjnie okre±lony, jednoznaczny, sko«czony opisprzetworzenia pewnych danych wej±ciowych do pewnychdanych wyj±ciowych.

Specykacja problemu obliczeniowego: trójka (D,X , f ), gdzie

D zbiór (zwany zbiorem danych wej±ciowych),

X zbiór (zwany zbiorem danych wyj±ciowych lub wyników),

f : D → X funkcja.

Przykªad 1. Problem: liczenie silni liczby naturalnej.

D = N, X = N, f (d) = d !

Przykªad 2. Problem: test pierwszo±ci.

D = N\1, X = True,False, f (d) =

True, d jest l. pierwsz¡,False, d jest l. zªo»on¡.

Podstawy

D = N, X = N, f (d) = d !

Podstawy

D = N, X = N, f (d) = d !

Podstawy

D = N, X = N, f (d) = d !

Podstawy

Def.: Algorytm A realizuj¡cy problem (D,X , f ) nazywamycz¦±ciowo poprawnym, gdy

∀d∈D je»eli A na d zatrzymuje si¦, to wynik x ∈ X speªnia

f (d) = x .

Def.: Mówimy, »e algorytm A realizuj¡cy problem (D,X , f ) mawªasno±¢ stopu, gdy

∀d∈D A na d zatrzymuje si¦.

Def.: Algorytm A realizuj¡cy problem (D,X , f ) nazywamypoprawnym, gdy

jest cz¦±ciowo poprawny,

ma wªasno±¢ stopu.

Podstawy

f (d) = x .

Podstawy

f (d) = x .

Podstawy

Sposoby zapisywania algorytmu:

1 opisowy w j¦zyku naturalnym,

2 przy pomocy schematu blokowego,

3 przy pomocy konkretnego j¦zyka programowania (Pascal),

4 przy pomocy pseudokodu:

uproszczonego kodu ª¡cz¡cego elementy skªadni j¦zykówprogramowania wysokiego poziomu z j¦zykiem naturalnym.

Podstawy

Przykªad. Test pierwszo±ci. Specykacja: (D,X , f ).

Wykorzystamy

Lemat. Liczba naturalna n ≥ 2 jest zªo»ona ⇔ posiada dzielnik

p ∈ N taki, »e

2 ≤ p ≤√n.

Podstawy

Przykªad. Test pierwszo±ci. Specykacja: (D,X , f ).

Wykorzystamy

Lemat. Liczba naturalna n ≥ 2 jest zªo»ona ⇔ posiada dzielnik

p ∈ N taki, »e

2 ≤ p ≤√n.

Podstawy

Ad 3: j¦zyk programowania Pascal.

function pierwsza(n : Integer ) : Boolean;

var p : Integer;

B : Boolean;

p := 2;B := True;

while (p ∗ p <= n) and B do

if n mod p = 0 then B := False

else p := p + 1;pierwsza := B

Uwaga. Wªasno±¢ stopu i cz¦±ciowa poprawno±¢ wynikabezpo±rednio z lematu i konstrukcji p¦tli.

Podstawy

Ad 3: j¦zyk programowania Pascal.

function pierwsza(n : Integer ) : Boolean;

var p : Integer;

B : Boolean;

p := 2;B := True;

else p := p + 1;pierwsza := B

Uwaga. Wªasno±¢ stopu i cz¦±ciowa poprawno±¢ wynikabezpo±rednio z lematu i konstrukcji p¦tli.

Podstawy

Ad 4: pseudokod.

Konwencje:

bez technik programowania jak kontrola bª¦dów, typów danych,obsªuga pami¦ci itp.,

brak deklaracji zmiennych,

skªadnia zbli»ona do Pascala (sªowa kluczowe),

nazwy procedur/funkcji na ogóª angloj¦zyczne (zgodno±¢z literatur¡),

dopuszczamy wstawki w j¦zyku naturalnym (pl),

do zwracania warto±ci stosujemy klauzul¦ return (o semantycejak w C).

Podstawy

Ad 4: pseudokod.

Konwencje:

Podstawy

Ad 4: pseudokod.

Konwencje:

Podstawy

Ad 4: pseudokod.

Konwencje:

Podstawy

Ad 4: pseudokod.

Konwencje:

Podstawy

Ad 4: pseudokod.

Konwencje:

Podstawy

p := 2;B := True;

else p := p + 1;return B

p := 2;while p ∗ p <= n do

if n mod p = 0 then return False

else p := p + 1;return True

Analiza algorytmów

czas oblicze«,

pami¦¢ RAM,

pami¦¢ dyskowa,

inne zasoby (szeroko±¢ ª¡cza komunikacji)...

Uwaga. Cz¦sto zmniejszenie zu»ycia jednych zasobów wymuszazwi¦kszenie zu»ycia innych!

Analiza algorytmów

czas oblicze«,

pami¦¢ RAM,

pami¦¢ dyskowa,

inne zasoby (szeroko±¢ ª¡cza komunikacji)...

Uwaga. Cz¦sto zmniejszenie zu»ycia jednych zasobów wymuszazwi¦kszenie zu»ycia innych!

Zªo»ono±¢ obliczeniowa (czasowa)

J = zbiór operacji jednostkowych okre±lonych dla konkretnegoj¦zyka (Pascal)

Przyjmujemy

J = operacje arytm., log., relac., instr. przypisania, przekazanieparametrów,...

P program,

D zbiór danych wej±ciowych dla P

EXP(d) wykonanie P na d ∈ D (ci¡g instrukcji).

Zaªo»enie: ∀d∈D |EXP(d)| <∞.

Def. Peªn¡ funkcj¡ kosztu programu P ze wzgl¦du na J

nazywamy funkcj¦t = tP,J : D → N,

okre±lon¡: t(d) = liczba operacji ze zbioru J wyst¦puj¡cychw EXP(d), dla d ∈ D.

Przyjmujemy

P program,

Przyjmujemy

P program,

Przykªad. Test pierwszo±ci. J = :=, ∗, <=,+,=, and, mod ,D = N \ 1.

p := 2;

B := True;

3·(b√nc+ 1)

2·b√nc+1

else p := p + 1;

2·b√nc

pierwsza := B

t(n) ≤ 1+ 1+ 3(b√nc+ 1) + 2b

√nc+ 1+ 2b

√nc+ 1 = 7b

√nc+ 7

Uwaga. Zakªadamy, »e wszystkie operacje jednostkowewykonywane s¡ w czasie staªym!

maks.begin

p := 2; 1B := True; 1while (p ∗ p <= n) and B do 3

·(b√nc+ 1)

if n mod p = 0 then B := False 2

·b√nc

+1else p := p + 1; 2

·b√nc

pierwsza := B 1end;

t(n) ≤ 1+ 1+ 3(b√nc+ 1) + 2b

√nc+ 1+ 2b

√nc+ 1 = 7b

√nc+ 7

maks.begin

p := 2; 1B := True; 1while (p ∗ p <= n) and B do 3·(b

√nc+ 1)

if n mod p = 0 then B := False 2·b√nc+1

else p := p + 1; 2·b√nc

pierwsza := B 1end;

t(n) ≤ 1+ 1+ 3(b√nc+ 1) + 2b

√nc+ 1+ 2b

√nc+ 1 = 7b

√nc+ 7

maks.begin

√nc+ 1)

else p := p + 1; 2·b√nc

pierwsza := B 1end;

t(n) ≤ 1+ 1+ 3(b√nc+ 1) + 2b

√nc+ 1+ 2b

√nc+ 1 = 7b

√nc+ 7

maks.begin

√nc+ 1)

else p := p + 1; 2·b√nc

pierwsza := B 1end;

t(n) ≤ 1+ 1+ 3(b√nc+ 1) + 2b

√nc+ 1+ 2b

√nc+ 1 = 7b

√nc+ 7

Przypadek pesymistyczny. n jest liczb¡ pierwsz¡. Wówczas

t(n) = 7b√nc+ 7.

Przypadek optymistyczny. n jest liczb¡ parzyst¡. Wówczas

p := 2;

B := True;

else p := p + 1;

pierwsza := B

t(n) = 1 + 1 + 6 + 3 + 1 = 12.

Wniosek. 12 ≤ t(n) ≤ 7b√nc+ 7.

t(n) = 7b√nc+ 7.

p := 2; 1B := True; 1while (p ∗ p <= n) and B do 3

if n mod p = 0 then B := False 2+1else p := p + 1; 2

pierwsza := B 1end;

t(n) = 1 + 1 + 6 + 3 + 1 = 12.

t(n) = 7b√nc+ 7.

p := 2; 1B := True; 1while (p ∗ p <= n) and B do 3·2

if n mod p = 0 then B := False 2+1else p := p + 1; 2·0

pierwsza := B 1end;

t(n) = 1 + 1 + 6 + 3 + 1 = 12.

t(n) = 7b√nc+ 7.

pierwsza := B 1end;

t(n) = 1 + 1 + 6 + 3 + 1 = 12.

t(n) = 7b√nc+ 7.

pierwsza := B 1end;

t(n) = 1 + 1 + 6 + 3 + 1 = 12.

Zªo»ono±¢ uproszczenia

Ustalmy specykacj¦ problemu (D,X , f ), realizuj¡cy go program(algorytm) P oraz zbiór operacji J.

Def. Niech W b¦dzie niepustym zbiorem (zwanym zbioremrozmiarów). Dowoln¡ funkcj¦ r : D →W nazywamy funkcj¡rozmiaru danych.

Def. Funkcj¡ kosztu algorytmu (programu) P przy ustalonychJ,D,W , r nazywamy funkcj¦ (cz¦±ciow¡) T : W 99K N okre±lon¡wzorem

T (w) := supt(d) : d ∈ D, r(d) = w .Inne uproszczenia.

ograniczenie si¦ do zliczania operacji dominuj¡cych w danejlinii,

ignorowanie linii wykonywanych w czasie staªym poza p¦tlami(ostro»nie!).

T (w) := supt(d) : d ∈ D, r(d) = w .

Inne uproszczenia.ograniczenie si¦ do zliczania operacji dominuj¡cych w danejlinii,

Zªo»ono±¢ przykªady

Problem: obliczanie warto±ci wielomianu. Tj. dla wielomianup(x) = anx

n + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 ∈ R[x ] oraz x0 ∈ R,

obliczy¢ warto±¢ p(x0) ∈ R.

Specykacja: (D,X , f ), gdzie

D = (n, a, x0) : n ∈ N, a = (a0, . . . , an) ∈ Rn+1, x0 ∈ R,

X = R, f ((n, a, x0)) = anxn0 + an−1x

n−10 + . . . + a1x0 + a0.

Funkcja rozmiaru danych: przyjmujemy W := N, r : D →W ,

r((n, a, x0)) = n.

D = (n, a, x0) : n ∈ N, a = (a0, . . . , an) ∈ Rn+1, x0 ∈ R,

X = R, f ((n, a, x0)) = anxn0 + an−1x

n−10 + . . . + a1x0 + a0.

r((n, a, x0)) = n.

D = (n, a, x0) : n ∈ N, a = (a0, . . . , an) ∈ Rn+1, x0 ∈ R,

X = R, f ((n, a, x0)) = anxn0 + an−1x

n−10 + . . . + a1x0 + a0.

r((n, a, x0)) = n.

Algorytm naiwny:

function wielomian(n : Integer; a : array of Real; x0 : Real) : Real;var i , j : Integer;

w ,m : Real;

w := 0;

for i := 0 to n do

3·(n + 2)

m := a[i ];

2·(n + 1)

for j := 1 to i do

∑ni=0 3·(i + 1)

m := m ∗ x0;

∑ni=0 2·i

w := w +m;

2·(n + 1)

wielomian := w

t((n, a, x0)) = 12 + 7n + 3∑n

i=0(i + 1) + 2∑n

i=0 i =

= 12 + 7n + 3n2+3n+2

2 + 2n2+n2 = 5

2 n2 + 25

2 n + 15.

Algorytm naiwny:

w ,m : Real;

w := 0; 1for i := 0 to n do 3

·(n + 2)

m := a[i ]; 2

·(n + 1)

for j := 1 to i do

∑ni=0

·(i + 1)

m := m ∗ x0;

∑ni=0

w := w +m; 2

·(n + 1)

wielomian := w 1end;

t((n, a, x0)) = 12 + 7n + 3∑n

i=0(i + 1) + 2∑n

i=0 i =

= 12 + 7n + 3n2+3n+2

2 + 2n2+n2 = 5

2 n2 + 25

2 n + 15.

Algorytm naiwny:

w ,m : Real;

w := 0; 1for i := 0 to n do 3

·(n + 2)

m := a[i ]; 2

·(n + 1)

for j := 1 to i do

∑ni=0

3·(i + 1)m := m ∗ x0;

∑ni=0

2·iw := w +m; 2

·(n + 1)

t((n, a, x0)) = 12 + 7n + 3∑n

i=0(i + 1) + 2∑n

i=0 i =

= 12 + 7n + 3n2+3n+2

2 + 2n2+n2 = 5

2 n2 + 25

2 n + 15.

Algorytm naiwny:

w ,m : Real;

w := 0; 1for i := 0 to n do 3·(n + 2)

m := a[i ]; 2·(n + 1)for j := 1 to i do

∑ni=0

3·(i + 1)m := m ∗ x0;

∑ni=0

2·iw := w +m; 2·(n + 1)

t((n, a, x0)) = 12 + 7n + 3∑n

i=0(i + 1) + 2∑n

i=0 i =

= 12 + 7n + 3n2+3n+2

2 + 2n2+n2 = 5

2 n2 + 25

2 n + 15.

Algorytm naiwny:

w ,m : Real;

w := 0; 1for i := 0 to n do 3·(n + 2)

m := a[i ]; 2·(n + 1)for j := 1 to i do

∑ni=0 3·(i + 1)

m := m ∗ x0;∑n

i=0 2·iw := w +m; 2·(n + 1)

t((n, a, x0)) = 12 + 7n + 3∑n

i=0(i + 1) + 2∑n

i=0 i =

= 12 + 7n + 3n2+3n+2

2 + 2n2+n2 = 5

2 n2 + 25

2 n + 15.

Algorytm naiwny:

w ,m : Real;

w := 0; 1for i := 0 to n do 3·(n + 2)

m := a[i ]; 2·(n + 1)for j := 1 to i do

∑ni=0 3·(i + 1)

m := m ∗ x0;∑n

i=0 2·iw := w +m; 2·(n + 1)

t((n, a, x0)) = 12 + 7n + 3∑n

i=0(i + 1) + 2∑n

i=0 i =

= 12 + 7n + 3n2+3n+2

2 + 2n2+n2 = 5

2 n2 + 25

2 n + 15.

Uwaga. Warto±¢ t((n, a, x0)) zale»y tylko od n

⇒ w tym wypadku

T (n) = t((n, a, x0)) =5

2n + 15

(przypomnijmy, »e funkcj¦ rozmiaru danych okre±lili±my wzorem

r((n, a, x0)) = n,

zatem funkcja kosztu jest zadana:

T (w) := supt((n, a, x0)) : (n, a, x0) ∈ D, r((n, a, x0)) = w ,

dla w ∈W = N).

Uwaga. Warto±¢ t((n, a, x0)) zale»y tylko od n

⇒ w tym wypadku

T (n) = t((n, a, x0)) =5

2n + 15

(przypomnijmy, »e funkcj¦ rozmiaru danych okre±lili±my wzorem

r((n, a, x0)) = n,

zatem funkcja kosztu jest zadana:

T (w) := supt((n, a, x0)) : (n, a, x0) ∈ D, r((n, a, x0)) = w ,

dla w ∈W = N).

Wielomiany usprawnienie

Metoda Hornera:n∑

aixi = (...(anx + an−1)x + . . . + a1)x + a0.

function Horner(n : Integer; a : array of Real; x0 : Real) : Real;var i : Integer;

w : Real;

w := a[n];

for i := n − 1 downto 0 do

3·(n + 1)

w := w ∗ x0+ a[i ];

Horner := w

T (n) = t((n, a, x0)) = 6n + 5.

Metoda Hornera:n∑

aixi = (...(anx + an−1)x + . . . + a1)x + a0.

w : Real;

w := a[n];

for i := n − 1 downto 0 do

3·(n + 1)

w := w ∗ x0+ a[i ];

Horner := w

T (n) = t((n, a, x0)) = 6n + 5.

Metoda Hornera:n∑

aixi = (...(anx + an−1)x + . . . + a1)x + a0.

w : Real;

w := a[n]; 1for i := n − 1 downto 0 do 3

·(n + 1)

w := w ∗ x0+ a[i ]; 3

Horner := w 1end;

T (n) = t((n, a, x0)) = 6n + 5.

Metoda Hornera:n∑

aixi = (...(anx + an−1)x + . . . + a1)x + a0.

w : Real;

w := a[n]; 1for i := n − 1 downto 0 do 3·(n + 1)

w := w ∗ x0+ a[i ]; 3·nHorner := w 1

T (n) = t((n, a, x0)) = 6n + 5.

Metoda Hornera:n∑

aixi = (...(anx + an−1)x + . . . + a1)x + a0.

w : Real;

w := a[n]; 1for i := n − 1 downto 0 do 3·(n + 1)

w := w ∗ x0+ a[i ]; 3·nHorner := w 1

T (n) = t((n, a, x0)) = 6n + 5.

Asymptotyczna zªo»ono±¢

Ustalmy funkcj¦ g : N→ N (cz¦sto funkcj¦ g uto»samiamy z jejwzorem g(n); dopuszczamy te» funkcje o warto±ciach w R+).Def.

Ω(g(n)) := f (n) : ∃c∈R+, n0∈N ∀n≥n0 0 ≤ cg(n) ≤ f (n) ,

O(g(n)) := f (n) : ∃c∈R+, n0∈N ∀n≥n0 0 ≤ f (n) ≤ cg(n) ,

Θ(g(n)) := f (n) : ∃c1,c2∈R+, n0∈N ∀n≥n0 0 ≤ c1g(n) ≤ f (n) ≤ c2g(n) .

Umowa. Zapis f (n) = Ω(g(n)) oznacza, »e f (n) ∈ Ω(g(n))(analogicznie dla O,Θ).

Gdy f (n) = Ω(g(n)), mówimy, »e g(n) jest asymptotyczn¡granic¡ doln¡ dla f (n) (lub, »e f (n) jest rz¦du co najmniej g(n)).

Gdy f (n) = O(g(n)), mówimy, »e g(n) jest asymptotyczn¡granic¡ górn¡ dla f (n) (lub, »e f (n) jest rz¦du co najwy»ej g(n)).

Gdy f (n) = Θ(g(n)), mówimy, »e g(n) jest asymptotyczniedokªadnym oszacowaniem dla f (n) (lub, »e f (n) jest rz¦dudokªadnie g(n)).

Twierdzenie. Dla ka»dych dwóch funkcji f (n), g(n) zachodzi:

f (n) ∈ Θ(g(n)) ⇔ f (n) ∈ Ω(g(n)) ∧ f (n) ∈ O(g(n)).

Najprostsze przykªady. (1) Niech f (n) = 5n2. Wówczasoczywi±cie

0 ≤ 5n2 ≤ f (n) ≤ 5n2,

zatemf (n) = Θ(n2)

(za staªe c1, c2, n0 mo»emy przyj¡¢ odpowiednio 5, 5, 1 patrz def.zbioru Θ).

(2) Niech f (n) = n2. Wówczas

0 ≤ n ≤ f (n) ⇒ f (n) = Ω(n),

0 ≤ f (n) ≤ n3 ⇒ f (n) = O(n3),

alef (n) /∈ Θ(n3), f (n) /∈ Θ(n).

0 ≤ 5n2 ≤ f (n) ≤ 5n2,

zatemf (n) = Θ(n2)

0 ≤ n ≤ f (n) ⇒ f (n) = Ω(n),

0 ≤ f (n) ≤ n3 ⇒ f (n) = O(n3),

alef (n) /∈ Θ(n3), f (n) /∈ Θ(n).

0 ≤ 5n2 ≤ f (n) ≤ 5n2,

zatemf (n) = Θ(n2)

0 ≤ n ≤ f (n) ⇒ f (n) = Ω(n),

0 ≤ f (n) ≤ n3 ⇒ f (n) = O(n3),

alef (n) /∈ Θ(n3), f (n) /∈ Θ(n).

0 ≤ 5n2 ≤ f (n) ≤ 5n2,

zatemf (n) = Θ(n2)

0 ≤ n ≤ f (n) ⇒ f (n) = Ω(n),

0 ≤ f (n) ≤ n3 ⇒ f (n) = O(n3),

alef (n) /∈ Θ(n3), f (n) /∈ Θ(n).

(3) Niech f (n) = k , dla ustalonego k ∈ N (tj. f jest funkcj¡ staª¡).Wówczas oczywi±cie

0 ≤ k · 1 ≤ f (n) ≤ k · 1

zatemf (n) = Θ(1).

(4) 2n /∈ Θ(n2), n2 /∈ Θ(2n).

(5) Dla b > 1 i d ≥ 0, nd = O(bn).

(6) Dla b > 1 i d > 0, logbn = O(nd ).

0 ≤ k · 1 ≤ f (n) ≤ k · 1

zatemf (n) = Θ(1).

(4) 2n /∈ Θ(n2), n2 /∈ Θ(2n).

(5) Dla b > 1 i d ≥ 0, nd = O(bn).

(6) Dla b > 1 i d > 0, logbn = O(nd ).

0 ≤ k · 1 ≤ f (n) ≤ k · 1

zatemf (n) = Θ(1).

(4) 2n /∈ Θ(n2), n2 /∈ Θ(2n).

(5) Dla b > 1 i d ≥ 0, nd = O(bn).

(6) Dla b > 1 i d > 0, logbn = O(nd ).

0 ≤ k · 1 ≤ f (n) ≤ k · 1

zatemf (n) = Θ(1).

(4) 2n /∈ Θ(n2), n2 /∈ Θ(2n).

(5) Dla b > 1 i d ≥ 0, nd = O(bn).

(6) Dla b > 1 i d > 0, logbn = O(nd ).

Inne wªasno±ci.1 f (n) = Ω(f (n)),

2 f (n) = O(f (n)),

3 f (n) = Θ(f (n)),

4 f (n) = Θ(g(n)) ⇔ g(n) = Θ(f (n)),

5 f (n) = O(g(n)) ⇔ g(n) = Ω(f (n)),

6 f (n) = O(g(n)) ∧ g(n) = O(h(n)) ⇒ f (n) = O(h(n))(analogicznie dla Ω,Θ).

7 Dla staªej d ∈ R+, df (n) = O(f (n)) (analogicznie dla Ω,Θ).

2 f (n) = O(f (n)),

3 f (n) = Θ(f (n)),

4 f (n) = Θ(g(n)) ⇔ g(n) = Θ(f (n)),

5 f (n) = O(g(n)) ⇔ g(n) = Ω(f (n)),

2 f (n) = O(f (n)),

3 f (n) = Θ(f (n)),

4 f (n) = Θ(g(n)) ⇔ g(n) = Θ(f (n)),

5 f (n) = O(g(n)) ⇔ g(n) = Ω(f (n)),

2 f (n) = O(f (n)),

3 f (n) = Θ(f (n)),

4 f (n) = Θ(g(n)) ⇔ g(n) = Θ(f (n)),

5 f (n) = O(g(n)) ⇔ g(n) = Ω(f (n)),

2 f (n) = O(f (n)),

3 f (n) = Θ(f (n)),

4 f (n) = Θ(g(n)) ⇔ g(n) = Θ(f (n)),

5 f (n) = O(g(n)) ⇔ g(n) = Ω(f (n)),

2 f (n) = O(f (n)),

3 f (n) = Θ(f (n)),

4 f (n) = Θ(g(n)) ⇔ g(n) = Θ(f (n)),

5 f (n) = O(g(n)) ⇔ g(n) = Ω(f (n)),

2 f (n) = O(f (n)),

3 f (n) = Θ(f (n)),

4 f (n) = Θ(g(n)) ⇔ g(n) = Θ(f (n)),

5 f (n) = O(g(n)) ⇔ g(n) = Ω(f (n)),

Uwaga. Niech

f (n) = adnd + ad−1n

d−1 + . . . a1n + a0,

ad 6= 0 (tj. f (n) jest wielomianem stopnia d). Wówczas

k ≥ d ⇒ f (n) = O(nk),

k ≤ d ⇒ f (n) = Ω(nk),

k = d ⇒ f (n) = Θ(nk).

Uwaga. Niech

d−1 + . . . a1n + a0,

k ≥ d ⇒ f (n) = O(nk),

k ≤ d ⇒ f (n) = Ω(nk),

k = d ⇒ f (n) = Θ(nk).

Uwaga. Niech

d−1 + . . . a1n + a0,

k ≥ d ⇒ f (n) = O(nk),

k ≤ d ⇒ f (n) = Ω(nk),

k = d ⇒ f (n) = Θ(nk).

Uwaga. Niech

d−1 + . . . a1n + a0,

k ≥ d ⇒ f (n) = O(nk),

k ≤ d ⇒ f (n) = Ω(nk),

k = d ⇒ f (n) = Θ(nk).

Ustalmy algorytm (program) P o zbiorze danych wej±ciowych D,funkcj¦ rozmiaru danych r : D →W oraz zbiór operacji J.

Niech T : W 99K N b¦dzie funkcj¡ kosztu.

Def. Gdy T (n) = Ω(g(n)), mówimy, »e algorytm P ma zªo»ono±¢rz¦du co najmniej g(n).

Def. Gdy T (n) = O(g(n)), mówimy, »e algorytm P mazªo»ono±¢ rz¦du co najwy»ej g(n).

Def. Gdy T (n) = Θ(g(n)), mówimy, »e algorytm P ma zªo»ono±¢rz¦du g(n) (dokªadnie g(n)).

Zªo»ono±¢ = asymptotyczna pesymistyczna zªo»ono±¢ obliczeniowa(czasowa).

Wró¢my do rozwa»anych algorytmów.

(1) Test pierwszo±ci.

12 ≤ t(n) ≤ 7b√nc+ 7.

Przy trywialnej funkcji rozmiaru danych r(n) = n, mamyT (n) = t(n). St¡d

T (n) = O(√n),

ale T (n) /∈ Ω(√n), wi¦c

T (n) /∈ Θ(√n).

Nasz algorytm ma zªo»ono±¢ rz¦du co najwy»ej√n.

12 ≤ t(n) ≤ 7b√nc+ 7.

T (n) = O(√n),

T (n) /∈ Θ(√n).

12 ≤ t(n) ≤ 7b√nc+ 7.

Przy trywialnej funkcji rozmiaru danych r(n) = n, mamyT (n) = t(n).

St¡dT (n) = O(

√n),

T (n) /∈ Θ(√n).

12 ≤ t(n) ≤ 7b√nc+ 7.

T (n) = O(√n),

T (n) /∈ Θ(√n).

12 ≤ t(n) ≤ 7b√nc+ 7.

T (n) = O(√n),

T (n) /∈ Θ(√n).

12 ≤ t(n) ≤ 7b√nc+ 7.

T (n) = O(√n),

T (n) /∈ Θ(√n).

(2) Naiwny algorytm liczenia warto±ci wielomianu.

T (n) =5

2n + 15.

St¡dT (n) = Θ(n2),

wi¦c algorytm ma zªo»ono±¢ dokªadnie rz¦du n2 (wielomianow¡stopnia 2 lub kwadratow¡).

(3) Algorytm liczenia warto±ci wielomianu metod¡ Hornera.

T (n) = 6n + 5.

St¡dT (n) = Θ(n),

wi¦c algorytm ma zªo»ono±¢ dokªadnie rz¦du n (liniow¡).

T (n) =5

2n + 15.

St¡dT (n) = Θ(n2),

T (n) = 6n + 5.

St¡dT (n) = Θ(n),

T (n) =5

2n + 15.

St¡dT (n) = Θ(n2),

T (n) = 6n + 5.

St¡dT (n) = Θ(n),

T (n) =5

2n + 15.

St¡dT (n) = Θ(n2),

T (n) = 6n + 5.

St¡dT (n) = Θ(n),

T (n) =5

2n + 15.

St¡dT (n) = Θ(n2),

T (n) = 6n + 5.

St¡dT (n) = Θ(n),

Asymptotyczna zªo»ono±¢Zaªó»my, »e

komputer I wykonuje 106 operacji na sekund¦,

komputer II wykonuje 109 operacji na sekund¦,

rozmiar danych: 105.

T (n) ≈ czas I ≈ czas II

0, 1 s. 0, 0001 s.

n · log n

1, 6 s. 0, 0016 s.

2 h. 45 min. 10 s.

8 h. 15 min. 30 s.

32 lata 11,5 dnia

3,2 · 1030089 lat 3,2 · 1030086 lat

Wiek Wszech±wiata: ≈ 10 · 109 lat!

n 0, 1 s. 0, 0001 s.n · log n

1, 6 s. 0, 0016 s.

2 h. 45 min. 10 s.

8 h. 15 min. 30 s.

32 lata 11,5 dnia

3,2 · 1030089 lat 3,2 · 1030086 lat

n 0, 1 s. 0, 0001 s.n · log n 1, 6 s. 0, 0016 s.

2 h. 45 min. 10 s.

8 h. 15 min. 30 s.

32 lata 11,5 dnia

3,2 · 1030089 lat 3,2 · 1030086 lat

n 0, 1 s. 0, 0001 s.n · log n 1, 6 s. 0, 0016 s.

n2 2 h. 45 min. 10 s.3n2

8 h. 15 min. 30 s.

32 lata 11,5 dnia

3,2 · 1030089 lat 3,2 · 1030086 lat

n 0, 1 s. 0, 0001 s.n · log n 1, 6 s. 0, 0016 s.

n2 2 h. 45 min. 10 s.3n2 8 h. 15 min. 30 s.n3

32 lata 11,5 dnia

3,2 · 1030089 lat 3,2 · 1030086 lat

n 0, 1 s. 0, 0001 s.n · log n 1, 6 s. 0, 0016 s.

n2 2 h. 45 min. 10 s.3n2 8 h. 15 min. 30 s.n3 32 lata 11,5 dnia2n

3,2 · 1030089 lat 3,2 · 1030086 lat

n 0, 1 s. 0, 0001 s.n · log n 1, 6 s. 0, 0016 s.

n2 2 h. 45 min. 10 s.3n2 8 h. 15 min. 30 s.n3 32 lata 11,5 dnia2n 3,2 · 1030089 lat 3,2 · 1030086 lat

n 0, 1 s. 0, 0001 s.n · log n 1, 6 s. 0, 0016 s.

n2 2 h. 45 min. 10 s.3n2 8 h. 15 min. 30 s.n3 32 lata 11,5 dnia2n 3,2 · 1030089 lat 3,2 · 1030086 lat

Sortowanie

Sortowanie = ustawienie obiektów ustalonego typu (np. liczb,ci¡gów znaków...) wedªug ustalonego porz¡dku (np. ≤, ≥,porz¡dek leksykograczny...).

Lub ogólniej: porz¡dkowanie rekordów wzgl¦dem pewnego pola klucza.

Sortowanie

Sortowanie = ustawienie obiektów ustalonego typu (np. liczb,ci¡gów znaków...) wedªug ustalonego porz¡dku (np. ≤, ≥,porz¡dek leksykograczny...).

Lub ogólniej: porz¡dkowanie rekordów wzgl¦dem pewnego pola klucza.

Sortowanie przez wstawianie

5 2 4 6 1 3

2 5 4 6 1 3

2 4 5 6 1 3

1 2 4 5 6 3

1 2 3 4 5 6

5 2 4 6 1 3

2 5 4 6 1 3

2 4 5 6 1 3

1 2 4 5 6 3

1 2 3 4 5 6

5 2 4 6 1 3

2 5 4 6 1 3

2 4 5 6 1 3

1 2 4 5 6 3

1 2 3 4 5 6

5 2 4 6 1 3

2 5 4 6 1 3

2 4 5 6 1 3

1 2 4 5 6 3

1 2 3 4 5 6

5 2 4 6 1 3

2 5 4 6 1 3

2 4 5 6 1 3

1 2 4 5 6 3

1 2 3 4 5 6

5 2 4 6 1 3

2 5 4 6 1 3

2 4 5 6 1 3

1 2 4 5 6 3

1 2 3 4 5 6

5 2 4 6 1 3

2 5 4 6 1 3

2 4 5 6 1 3

1 2 4 5 6 3

1 2 3 4 5 6

Wej±cie: tablica (ci¡g) n liczb A[1..n],

Wyj±cie: tablica A[1..n] skªadaj¡ca si¦ z elementów tablicy wej±ciowej, ale uporz¡d-kowana tak, »e A[1] ≤ A[2] ≤ . . . ≤ A[n].

Analiza zªo»ono±ci

zbiór danych wej±ciowych:

D = (n,A) : n ∈ N,A ∈ Rn,

zbiór rozmiarów W = N,funkcja rozmiaru r : D →W ,

r((n,A)) = n.

D = (n,A) : n ∈ N,A ∈ Rn,

r((n,A)) = n.

D = (n,A) : n ∈ N,A ∈ Rn,

zbiór rozmiarów W = N,

funkcja rozmiaru r : D →W ,

r((n,A)) = n.

D = (n,A) : n ∈ N,A ∈ Rn,

r((n,A)) = n.

1 begin

2 for j := 2 to n do

3 begin

4 klucz := A[j];

n − 1

5 i := j − 1;

n − 1

6 while (i > 0) and (A[i ] > klucz) do

∑nj=2(tj + 1)

7 begin

8 A[i + 1] := A[i ];

∑nj=2 tj

9 i := i − 1

∑nj=2 tj

10 end;

11 A[i + 1] := klucz

n − 1

12 end

13 end

tj = liczba wykona« ciaªa wewn¦trznej p¦tli dla j ∈ 2, . . . , n.

1 begin

2 for j := 2 to n do

3 begin

4 klucz := A[j];

n − 1

5 i := j − 1;

n − 1

6 while (i > 0) and (A[i ] > klucz) do

∑nj=2(tj + 1)

7 begin

8 A[i + 1] := A[i ];

∑nj=2 tj

9 i := i − 1

∑nj=2 tj

10 end;

11 A[i + 1] := klucz

n − 1

12 end

13 end

1 begin

2 for j := 2 to n do n

3 begin

4 klucz := A[j]; n − 15 i := j − 1; n − 16 while (i > 0) and (A[i ] > klucz) do

∑nj=2(tj + 1)

7 begin

8 A[i + 1] := A[i ];

∑nj=2 tj

9 i := i − 1

∑nj=2 tj

10 end;

11 A[i + 1] := klucz n − 112 end

13 end

1 begin

2 for j := 2 to n do n

3 begin

4 klucz := A[j]; n − 15 i := j − 1; n − 16 while (i > 0) and (A[i ] > klucz) do

∑nj=2(tj + 1)

7 begin

8 A[i + 1] := A[i ];∑n

j=2 tj9 i := i − 1

∑nj=2 tj

10 end;

11 A[i + 1] := klucz n − 112 end

13 end

Peªna funkcja kosztu:

t((n,A)) = (4n − 3) + 2n∑

j=2tj +

n∑j=2

(tj + 1) = (5n − 4) + 3n∑

(zale»y od A !).

Przypadek optymistyczny: A posortowana⇒ tj = 0

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 = Θ(n).

Przypadek pesymistyczny: A posortowana odwrotnie⇒ tj = j − 1

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 + 3n(n−1)2 = 32 n

2 + 72 n − 4 = Θ(n2).

Funkcja kosztu: T (n) = 32 n

2 + 72 n − 4 = Θ(n2).

t((n,A)) = (4n − 3) + 2n∑

j=2tj +

n∑j=2

(tj + 1) = (5n − 4) + 3n∑

(zale»y od A !).

Przypadek optymistyczny: A posortowana

⇒ tj = 0

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 = Θ(n).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 + 3n(n−1)2 = 32 n

2 + 72 n − 4 = Θ(n2).

t((n,A)) = (4n − 3) + 2n∑

j=2tj +

n∑j=2

(tj + 1) = (5n − 4) + 3n∑

(zale»y od A !).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 = Θ(n).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 + 3n(n−1)2 = 32 n

2 + 72 n − 4 = Θ(n2).

t((n,A)) = (4n − 3) + 2n∑

j=2tj +

n∑j=2

(tj + 1) = (5n − 4) + 3n∑

(zale»y od A !).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 = Θ(n).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 + 3n(n−1)2 = 32 n

2 + 72 n − 4 = Θ(n2).

t((n,A)) = (4n − 3) + 2n∑

j=2tj +

n∑j=2

(tj + 1) = (5n − 4) + 3n∑

(zale»y od A !).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 = Θ(n).

Przypadek pesymistyczny: A posortowana odwrotnie

⇒ tj = j − 1

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 + 3n(n−1)2 = 32 n

2 + 72 n − 4 = Θ(n2).

t((n,A)) = (4n − 3) + 2n∑

j=2tj +

n∑j=2

(tj + 1) = (5n − 4) + 3n∑

(zale»y od A !).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 = Θ(n).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 + 3n(n−1)2 = 32 n

2 + 72 n − 4 = Θ(n2).

t((n,A)) = (4n − 3) + 2n∑

j=2tj +

n∑j=2

(tj + 1) = (5n − 4) + 3n∑

(zale»y od A !).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 = Θ(n).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 + 3n(n−1)2 = 32 n

2 + 72 n − 4 = Θ(n2).

t((n,A)) = (4n − 3) + 2n∑

j=2tj +

n∑j=2

(tj + 1) = (5n − 4) + 3n∑

(zale»y od A !).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 = Θ(n).

⇒ t((n,A)) = 5n − 4 + 3n(n−1)2 = 32 n

2 + 72 n − 4 = Θ(n2).

Problem: czy przypadek pesymistyczny jest bardzo oddalony odprzypadku ±redniego?

Przypadek ±redni : A jest tablic¡ wygenerowan¡ losowo

⇒ w podtablicy A[1..j − 1] ±rednio poªowa elementów jest wi¦kszani» A[j ],

⇒ tj ≈ j2 ,

⇒ t((n,A)) ≈ 5n − 4 + 3n2+n−2

4 = 34 n

2 + 234 n − 11

2 = Θ(n2).

Odpowied¹: nie bardzo!

⇒ tj ≈ j2 ,

⇒ t((n,A)) ≈ 5n − 4 + 3n2+n−2

4 = 34 n

2 + 234 n − 11

2 = Θ(n2).

⇒ tj ≈ j2 ,

⇒ t((n,A)) ≈ 5n − 4 + 3n2+n−2

4 = 34 n

2 + 234 n − 11

2 = Θ(n2).

⇒ tj ≈ j2 ,

⇒ t((n,A)) ≈ 5n − 4 + 3n2+n−2

4 = 34 n

2 + 234 n − 11

2 = Θ(n2).

⇒ tj ≈ j2 ,

⇒ t((n,A)) ≈ 5n − 4 + 3n2+n−2

4 = 34 n

2 + 234 n − 11

2 = Θ(n2).

⇒ tj ≈ j2 ,

⇒ t((n,A)) ≈ 5n − 4 + 3n2+n−2

4 = 34 n

2 + 234 n − 11

2 = Θ(n2).

Sortowanie

Inne algorytmy sortowania:

sortowanie przez wybieranie Θ(n2),

sortowanie b¡belkowe Θ(n2),

sortowanie szybkie (quicksort) Θ(n2), Θ(n · log n),

sortowanie przez kopcowanie (kopcowe, stogowe, heapsort)Θ(n · log n),

sortowanie przez scalanie (mergesort) Θ(n · log n),

sortowanie przez zliczanie (countingsort) Θ(n) (przy pewnychzaªo»eniach).

Sortowanie

Wska¹niki

Przypomnienie.

Wa»niejsze typy danych w Pascalu

proste (jak ShortInt, Byte, Word, Integer, LongInt,Boolean, Char, Real, Double...),

ªa«cuchowe (string),

strukturalne (array, record, set, file,...).

Zmienne tych typów nazywamy zmiennymi statycznymi, gdy»istniej¡ przez caªy czas wykonywania cz¦±ci programu, w której s¡zadeklarowane.

Wska¹niki

Przypomnienie.

Wska¹niki

Przypomnienie.

Wska¹niki

Przypomnienie.

Wska¹niki

Przypomnienie.

Wska¹niki

Przypomnienie.Rekord = statyczna struktura danych której skªadowe (pola) mog¡nale»e¢ do ró»nych typów; liczba pól jest ustalona.

Denicja typu rekordowego:

type identykator-typu = record

lista-deklaracji-pólend;

Ka»da z deklaracji pól ma posta¢

lista-nazw-pól : opis-typu;

Wska¹niki

Przypomnienie.Rekord = statyczna struktura danych której skªadowe (pola) mog¡nale»e¢ do ró»nych typów; liczba pól jest ustalona.

Denicja typu rekordowego:

type identykator-typu = record

lista-deklaracji-pólend;

Ka»da z deklaracji pól ma posta¢

lista-nazw-pól : opis-typu;

Wska¹niki

Przykªad.

type dane = record

wiek : Integer;

nazwisko : string[30]end;

Mo»emy zadeklarowa¢ zmienn¡ zdeniowanego typu dane:

var mojedane : dane;

Do pól zmiennej rekordowej odwoªujemy si¦ za pomoc¡ kropki:

mojedane.wiek := 100;

Wska¹niki

Przykªad.

type dane = record

wiek : Integer;

Wska¹niki

Przykªad.

type dane = record

wiek : Integer;

Wska¹niki

W Pascalu mamy te» zmienne dynamiczne = reprezentuj¡ceobiekty, dla których pami¦¢ jest przydzielana i zwalniana naokre±lone »¡danie (w trakcie wykonania programu).

Zmienne dynamiczne nie posiadaj¡ identykatorów,

odwoªanie do nich za pomoc¡ wska¹nika,

wska¹nik = adres pami¦ci zmiennej dynamicznej = element typuwska¹nikowego,

zastosowanie zmiennych dynamicznych wymaga zdeniowaniaodpowiednich typów wska¹nikowych.

Wska¹niki

Denicja typu wska¹nikowego:

type identykator-typu = ^ identykator-typu-bazowego;

identykator-typu-bazowego = typ, którego dane b¦d¡ wskazywaneprzez zmienne typu identykator-typu.

identykator-typu-bazowego mo»e, ale nie musi by¢ wcze±niejokre±lony,

je»eli nie jest wcze±niej okre±lony, powinien zosta¢ okre±lonyw tej samej klauzuli type.

Uwaga. Sªowo kluczowe nil = staªa typu wska¹nikowego nieokre±laj¡ca »adnego adresu (inaczej: okre±laj¡ca adres pusty).

Wska¹niki

Wska¹nikiPrzykªad.

type typ_wskaz = ^moj_typ;moj_typ = record

liczba : Integer;

napis : string[30]end;

Mo»emy zadeklarowa¢ zmienn¡ zdeniowanego typu:

var wskaz : typ_wskaz;

Zmiennej wska¹nikowej wskaz b¦d¡ mogªy by¢ w programieprzypisywane adresy pami¦ci danych typu moj_typ.

U»ycie: wskaz^ = zmienna wskazywana przez zmienn¡wska¹nikow¡ wskaz = rekord typu moj_typ (o adresieokre±lonym przez wskaz).

liczba : Integer;

Wska¹nikiDwa sposoby deklaracji zmiennej wska¹nikowej.

Sposób 1.

liczba : Integer;

Sposób 2.

type moj_typ = record

liczba : Integer;

var wskaz : ^moj_typ;

Uwaga. Zmienna wska¹nikowa ma na pocz¡tku warto±¢ nil.

Sposób 1.

liczba : Integer;

Sposób 2.

liczba : Integer;

Sposób 1.

liczba : Integer;

Sposób 2.

liczba : Integer;

Dynamiczny przydziaª pami¦ci

Tworzenie zmiennej dynamicznej (zmiennej wskazywanej)i ustalenie zmiennej wska¹nikowej wskazuj¡cej na ni¡:

New(zmienna-wskaznikowa);

utworzonej zmiennej dynamicznej zostanie przydzielony blokpami¦ci, którego rozmiar = rozmiar typu, z którym zwi¡zana jestzmienna-wska¹nikowa,

je»eli brakuje pami¦ci, wyst¡pi bª¡d,

przydzielenie bloku o konkretnym rozmiarze:

GetMem(zmienna-wskaznikowa,rozmiar);

dla zmiennej dynamicznej typu obiektowego, wywoªanie:

New(zmienna-wskaznikowa, konstruktor);

Przykªad.

1. type moj_typ = record

2. liczba : Integer;

3. napis : string[30]4. end;

5. var wskaz, wskaz2 : ^moj_typ;

6. begin

7. New(wskaz);8. wskaz^.liczba := 10;9. wskaz^.napis := 'Ala ma kota';10. wskaz2 := wskaz;11. wskaz2^.liczba := 20;12. New(wskaz);13. New(wskaz2);14. end

Usuni¦cie zmiennej dynamicznej wskazywanej przez zmienn¡wska¹nikow¡:

Dispose(zmienna-wskaznikowa);

zostaje uwolniona zajmowana przez ni¡ pami¦¢,

zmienna-wskaznikowa powinna by¢ uprzednio utworzona przypomocy New,

usuni¦cie bloku o konkretnym rozmiarze:

FreeMem(zmienna-wskaznikowa,rozmiar);

usuwanie dla zmiennej dynamicznej typu obiektowego,wywoªanie:

Dispose(zmienna-wskaznikowa, destruktor);

Elementarne struktury danych

Najprostsza struktura danych (statyczna) tablica. Staªa dªugo±¢!

Dynamiczne struktury danych zbiory sªu»¡ce doprzechowywania danych w programie, które mog¡ si¦ powi¦ksza¢,zmniejsza¢, zmienia¢ w inny sposób w trakcie wykonania programu.

programista nie musi deklarowa¢ rozmiaru takiego zbioru,

realizowane przy pomocy wska¹ników,

elementy zbioru reprezentowane przez obiekt (rekord), któregopola mo»na odczyta¢ maj¡c wska¹nik do tego obiektu,

jedno z pól obiektów wyró»nione jako jego klucz,

obiekt mo»e zawiera¢ dodatkowe dane oprócz klucza,

obiekt mo»e zawiera¢ wska¹niki do innych obiektów,

klucze mog¡ by¢ elementami zbioru liniowo uporz¡dkowanego,wtedy jest sens pyta¢ o element najmniejszy/najwi¦kszy.

Operacje na zbiorach dynamicznych:

zapytania,

operacje modykuj¡ce.

Uwagi.czas wykonania operacji mo»e si¦ ró»ni¢ dla poszczególnychstruktur danych,

czas wykonania mierzy si¦ zwykle jako funkcj¦ rozmiaru zbioru,

wybór odpowiedniej struktury danych uzale»niony odkonkretnych zastosowa«,

wybór odpowiedniej struktury danych mo»e istotnie wpªyn¡¢ nazªo»ono±¢ algorytmu!

zapytania,

Najwa»niejsze operacje:1 Search(S , k) zapytanie; dla zbioru S i klucza k zwraca

wska¹nik do elementu w S o kluczu k,

2 Insert(S , x) modykuj¡ca; do zbioru S dodaje elementwskazywany przez x ,

3 Delete(S , x) modykuj¡ca; ze zbioru S usuwa elementwskazywany przez x ,

4 Min(S) zapytanie dla zbioru z liniowo uporz¡dkowanymikluczami; zwraca wska¹nik do elementu o najmniejszym kluczu,

5 Max(S) zapytanie dla zbioru z liniowo uporz¡dkowanymikluczami; zwraca wska¹nik do elementu o najwi¦kszym kluczu.

Wiele innych operacji specycznych dla konkretnej strukturydanych.

Stos (stack) dynamiczna struktura danych S , w której w danejchwili dost¦p mamy tylko do jednego elementu (dodanegoostatnio) zwanego wierzchoªkiem stosu (head).

Operacje:1 Push(S , x) dodanie elementu x na stos S ; dodany element

staje si¦ nowym wierzchoªkiem stosu,

2 Pop(S) usuni¦cie (i zwrócenie) ze stosu S wierzchoªka stosu;nowym wierzchoªkiem stosu staje si¦ element dodany krokwcze±niej.

Strategia LIFO = last-in, rst-out.

type wskstos = ^elstos;elstos = record

dane : typ-danych;

nast :wskstosend;

1. procedure Push(nowedane : typ-danych; var wierzch :wskstos);2. var punkt :wskstos;3. begin

4. punkt := wierzch;5. New(wierzch);6. wierzch^.dane := nowedane;7. wierzch^.nast := punkt;8. end;

dane : typ-danych;

nast :wskstosend;

1. procedure Push(nowedane : typ-danych; var wierzch :wskstos);2. var punkt :wskstos;3. begin

4. punkt := wierzch;5. New(wierzch);6. wierzch^.dane := nowedane;7. wierzch^.nast := punkt;8. end;

dane : typ-danych;

nast :wskstosend;

1. function Pop(var wierzch :wskstos) : typ-danych;

2. var punkt :wskstos;3. begin

4. if wierzch <> nil then

5. begin

6. Pop := wierzch^.dane;7. punkt := wierzch^.nast;8. Dispose(wierzch);9. wierzch := punkt10. end

11. else stos pusty! ....12. end;

Kolejka

Kolejka (queue) dynamiczna struktura danych Q w formie ci¡gu,do której mo»na doª¡czy¢ skªadnik tylko w jednym ko«cu (nako«cu kolejki tail), a usun¡¢ tylko w drugim ko«cu (napocz¡tku kolejki head).

Operacje:1 Enqueue(Q, x) dodanie elementu x na ko«cu kolejki Q;

dodany element staje si¦ nowym ko«cem kolejki,

2 Dequeue(Q) usuni¦cie (i zwrócenie) z kolejki Q pocz¡tkukolejki.

Strategia FIFO = rst-in, rst-out.

Kolejka

type wskkol = ^elkol;elkol = record

dane : typ-danych;

nast :wskkolend;

1. procedure Enqueue(nowedane : typ-danych; var koniec :wskkol);2. var punkt :wskkol;3. begin

4. punkt := koniec;5. New(koniec);6. koniec^.dane := nowedane;7. koniec^.nast := nil;

8. if punkt <> nil then

9. punkt^.nast := koniec10. end;

Uwaga. Aby dobrze zrealizowa¢ tworzenie kolejki trzeba mie¢dost¦p do wska¹nika na pocz¡tek...

Kolejka

dane : typ-danych;

nast :wskkolend;

Kolejka

dane : typ-danych;

nast :wskkolend;

Kolejka

dane : typ-danych;

nast :wskkolend;

1. function Dequeue(var poczatek :wskkol) : typ-danych;

2. var punkt :wskkol;3. begin

4. if poczatek <> nil then

5. begin

6. Dequeue := poczatek^.dane;7. punkt := poczatek^.nast;8. Dispose(poczatek);9. poczatek := punkt10. end

11. else kolejka pusta! ....12. end;

Lista (list) dynamiczna struktura danych L w formie ci¡gu, doktórej mo»na doª¡czy¢ lub usun¡¢ skªadnik w dowolnym miejscu(miejscu bie»¡cym).

Nale»y przechowywa¢ wska¹nik do miejsca bie»¡cego.

Operacje:1 Insert(L, x , b) dodanie elementu x do listy L w miejsce

wskazywane przez b.

2 Delete(L, b) usuni¦cie z listy L elementu wskazywanego przezb.

3 Search(L, n) wyszukiwanie wska¹nika do n-tego skªadnika listyL.

4 Search(L, k) wyszukiwanie wska¹nika do skªadnika listy L

zawieraj¡cego klucz k.

wskazywane przez b.

W zale»no±ci od powi¡za« pomi¦dzy skªadnikami wyró»niamy:

1 listy jednokierunkowe,

2 listy dwukierunkowe,

3 listy cykliczne:

jednokierunkowe,

dwukierunkowe.

3 listy cykliczne:

jednokierunkowe,

dwukierunkowe.

3 listy cykliczne:

jednokierunkowe,

dwukierunkowe.

3 listy cykliczne:

jednokierunkowe,

dwukierunkowe.

Lista jednokierunkowa

type wsklist = ^ellist;ellist = record

dane : typ-danych;

nast :wsklistend;

1. procedure Insert(nowedane : typ-danych; var biez :wsklist);2. var poprz, nast :wsklist;3. begin

4. if biez <> nil then

5. begin

6. poprz := biez;7. nast := biez^.nast8. end

9. else begin

10. poprz := nil;

11. nast := nil

12. end;

13. New(biez);14. biez^.dane := nowedane;15. biez^.nast := nast;16. if poprz <> nil then17. poprz^.nast := biez;18. end;

Nale»y zadba¢, by w czasie tworzenia listy globalna zmiennapoczatek wskazaªa na skªadnik bie»¡cy!

1. procedure Insert(nowedane : typ-danych; var biez :wsklist);2. var poprz, nast :wsklist;3. begin

4. if biez <> nil then

5. begin

6. poprz := biez;7. nast := biez^.nast8. end

9. else begin

10. poprz := nil;

11. nast := nil

12. end;

13. New(biez);14. biez^.dane := nowedane;15. biez^.nast := nast;16. if poprz <> nil then17. poprz^.nast := biez;18. end;

Nale»y zadba¢, by w czasie tworzenia listy globalna zmiennapoczatek wskazaªa na skªadnik bie»¡cy!

1. function Delete(var pocz, biez :wsklist) : typ-danych;2. var poprz, nast :wsklist;3. begin

4. if (pocz <> nil) and (biez <> nil) then

5. if pocz <> biez then begin

6. poprz := pocz;7. nast := poprz^.nast;8. if nast <> biez then repeat

9. poprz := nast;10. nast := poprz^.nast;11. until nast = biez;12. Delete := biez^.dane;13. poprz^.nast := biez^.nast;14. Dispose(biez);15. biez := poprz16. end

17. else begin

18. Delete := pocz^.dane;19. pocz := pocz^.nast;20. Dispose(biez);21. biez := pocz;22. end else Lista pusta!23. end;

1. procedure Search(var n : Integer; var pocz, biez :wsklist);2. var nast :wsklist;3. i : Integer;4. begin

5. if pocz <> nil then

6. if n=1 then biez := pocz7. else if (n=2) and (pocz^.nast=nil) then n := 08. else begin

9. nast := pocz;10. i := 1;11. repeat

12. i := i+1;13. if nast^.nast <> nil then

14. nast := nast^.nast15. until (nast^.nast=nil) or (i=n);16. if (nast^.nast=nil) and (i<n)then n := 017. else biez := nast;18. end

19. else n := 0;20. end;

wiczenie: Druga wersja Search.

1. procedure Search(var n : Integer; var pocz, biez :wsklist);2. var nast :wsklist;3. i : Integer;4. begin

5. if pocz <> nil then

6. if n=1 then biez := pocz7. else if (n=2) and (pocz^.nast=nil) then n := 08. else begin

9. nast := pocz;10. i := 1;11. repeat

12. i := i+1;13. if nast^.nast <> nil then

14. nast := nast^.nast15. until (nast^.nast=nil) or (i=n);16. if (nast^.nast=nil) and (i<n)then n := 017. else biez := nast;18. end

19. else n := 0;20. end;

wiczenie: Druga wersja Search.64 / 65

A. Mróz, WMiI, UMK

Lista dwukierunkowa

type wsklist2 = ^ellist2;ellist2 = record

poprz :wsklist2dane : typ-danych;

nast :wsklist2end;

Implementacja: podobnie do listy jednokierunkowej, trzeba dba¢o wska¹nik na poprzedni element.

Zaleta: usuwanie w czasie O(1)!

Wada: wi¦ksza zaj¦to±¢ pami¦ci.

Bardziej zªo»one struktury danych pó¹niej.

Lista dwukierunkowa

nast :wsklist2end;

Lista dwukierunkowa

nast :wsklist2end;

Lista dwukierunkowa

nast :wsklist2end;

Lista dwukierunkowa

nast :wsklist2end;

algorytmy i struktury danych - amroz/dydak/aisd/wyklad1.pdf · wykªad podstawy zªo»ono±¢...

Documents