algoritmos y aplicaciones

5/28/2018 Algoritmos y Aplicaciones

1/16

JORGE MARIO PEA CONSUEGRAINGENIERO MECNICO Pgina 1

MTODOS DE SOLUCIN DE ECUACIONES NO LINEALES.

ALGORTMOS GENERICOS


2/16



3/16



4/16



5/16



6/16


BIBLIOGRAFIA

R. Burden, J.D. Faires.Analisis Numrico.7 Edicin. Thomson Learning. Mexico. 2002.

S. C. Chapra, R. P. Canale. Mtodos Numricos para Ingenieros.5 Edicin. McGraw-Hill. Mexico.

2006.


7/16

PROBLEMAS

eficiencia de la conversin algunas veces se mejora recirculando

una porcin de la corriente del producto, de tal forma que regre-

se a la entrada para un paso adicional a travs del reactor (figura

P8.2). La razn de recirculando se define como

R=

volumen de fluido que regresa a la entrada

volumen que sale del sistema

Suponga que se est procesando una sustancia qumica Apara

generar un productoB. Para el caso en queAforma aBde acuerdo

con una reaccin autocataltica (es decir, en la cual uno de los

productos acta como catalizador o estimulante en la reaccin),

es posible demostrar que una razn ptima de recirculacin

debe satisfacer

ln( )

( ) [ ( )]

1 1

1

1

1 1

+=

+

+

R X

R X

R

R R X

A

A A

dondeXAes la fraccin del reactante Aque se convierte en el

producto B. La razn ptima de recirculacin corresponde a

un reactor de tamao mnimo necesario para alcanzar el nivel

deseado de conversin. Utilice un mtodo numrico para deter-

minar la razn de recirculacin necesaria, de manera que se

minimice el tamao del reactor para una conversin fraccional

deXA=0.95.

8.3 En un proceso de ingeniera qumica el vapor de agua (H2O)

se calienta a temperaturas lo suficientemente altas para que una

porcin significativa del agua se disocie, o se rompa, para formar

oxgeno (O2) e hidrgeno (H2):

H2OH2+12 O2

Si se asume que sta es la nica reaccin que se lleva a cabo, la

fraccin molarxde H2O que se disocia se representa por

Kx

x

p

x

t=+1

2

2 (P8.3)

donde K= la constante de equilibrio de la reacci

presin total de la mezcla. Sipt= 3.5 atm y k= 0.04

el valor dexque satisfaga la ecuacin (P8.3).

8.4 La siguiente ecuacin permite calcular la conce

un qumico en un reactor donde se tiene una mezcla

c= cent(1 e0.04t) + c0e0.04t

Si la concentracin inicial es c0= 5 y la concentraci

da es cent= 12, calcule el tiempo requerido para que c

de cent.

8.5 Una reaccin qumica reversible

2A+BC

se caracteriza por la relacin de equilibrio

Kc

c c

c

a b

=2

donde la nomenclatura cnrepresenta la concentraci

ponenteN. Suponga que se define una variablexque

el nmero de moles de Cproducido. La conservacin

se utiliza para reformular la relacin de equilibrio co

Kc x

c x c x

c

a b

=+( )

( ) ( )

,

, ,

0

0

2

02

donde el subndice 0 indica la concentracin inicial de

ponente. Si K =0.016,ca,0= 42, cb,0= 28 y cc, 0= 4,

8.6Las siguientes reacciones qumicas se llevan a

sistema cerrado

2A+B C

A+D C

En equilibrio, stas pueden caracterizarse por

Kc

c c

Kc

c c

c

a b

c

a d

1 2

2

=

=

donde la nomenclatura cnrepresenta la concentraci

ponenteN. Six1yx2son el nmero de moles de Cqucen debido a la primera y segunda reacciones, respec

emplee un mtodo similar al del problema 8.5 para ref

relaciones de equilibrio en trminos de las concentra

ciales de los componentes. Despus, use el mtodo d

Raphson para resolver el par de ecuaciones simu

lineales parax1yx2si K1=4 104, K2= 3.7 10

Figura P8.2Representacin esquemtica de un reactor de fl ujo tipotapn con recirculacin.

Reactor de flujo

tipo tapn

Reciclaje

Alimentacin Producto


8/16

218 ESTUDIO DE CASOS: RACES DE ECUACIONES

cb,0= 20, cc,0=5 y cd,0= 10. Utilice un mtodo grfico para pro-

poner los valores iniciales.

8.7 La ecuacin de estado de Redlich-Kwong est dada por

pRT

b

a

b T=

+v v v

( )

dondeR= la constante universal de los gases [= 0.518 kJ/(kg

K)], T = temperatura absoluta (K),p= presin absoluta (kPa) y

v= volumen de un kg de gas (m3/kg). Los parmetros a y bse

calculan mediante

aR T

pb R

T

p

c

c

c

c

= =0 427 0 08662 2 5

. ..

dondepc=4 580 kPa y Tc=191 K. Como ingeniero qumico, se

le pide determinar la cantidad de combustible metano que se

puede almacenar en un tanque de 3 m3a una temperatura de

50C con una presin de 65 000 kPa. Emplee el mtodo de lo-

calizacin de races de su eleccin para calcular vy luego deter-

mine la masa de metano contenida en el tanque.

8.8 El volumen Vde un lquido contenido en un tanque horizon-

tal cilndrico de radio r y longitud L est relacionado con la

profundidad del lquido hpor

V rr h

rr h rh h L=

2 22cos1

(

Determine hpara r= 2 m,L= 5 m y V= 8.5 m3. Observe que si

usted utiliza un lenguaje de programacin o herramienta de

software, el arco coseno se puede calcular como

cos tan1 1xx

x=

2 1 2

8.9 El volumen Vdel lquido contenido en un tanque esfrico

de radio rest relacionado con la profundidad hdel lquido por

Vk r h

=

2 3

3

( )

Determine hpara r= 1 m y V= 0.75 m3.

8.10 Para el tanque esfrico del problema 8.9, es posible desa-

rrollar las siguientes frmulas para el mtodo de punto fijo:

hh V

r=

+3 33

( / )

y

h rhV

=

3 23

Si r = 1 m y V= 0.75 m3, determine si cualquiera de las dos al-

turas es estable, y el rango de valores iniciales para los que s son

estables.

8.11 La ecuacin de Ergun, que se da abajo, sirve para describir

el flujo de un lquido a travs de un lecho empacado. Pes la

cada de presin, res la densidad del fluido,GOes la vel

msica (el cociente del flujo de masa dividido entre el re

seccin transversal),Dpes el dimetro de las partculas

del lecho,es la viscocidad del fluido,Les la longitud de

y ees la fraccin vaca del lecho.

pG

D

L D Go

p

p o

2

3

1150 1 1 75

( )

( ) .=

+

Dados los siguientes valores para los parmetros encue

fraccin vaca edel lecho.

D G

P D

G L

p o

p

o

=

=

1000

102

8.12 En una seccin de tubo, la cada de presin se calc

=p fL V

D

2

2

donde p= cada de presin (Pa), f= factor de friccilongitud del tubo [m], r= densidad (kg/m3), V= velocidad

y D= dimetro (m). Para el flujo turbulento, la ecuac

Colebrookproporciona un medio para calcular el factor

cin,

12 0

3 7

2 51

f D f= +

. log

.

.

Re

donde e= rugosidad (m), y Re = nmero de Reynolds,

Re=

VD

donde m= viscosidad dinmica (N s/m2).

a) Determine p para un tramo horizontal de tubo 0.2 m de longitud, dadas r= 1.23 kg/m3, m= 1.79

N s/m2,D= 0.005 m, V= 40 m/s, y e= 0.0015 mm.

un mtodo numrico para determinar el factor de fr

Obsrvese que los tubos lisos tienen Re < 105, u

inicial apropiado se obtiene con el uso de la frm

Blasius,f= 0.316/Re0.25.

b) Repita el clculo pero para un tubo de acero comerc

rugoso (e= 0.045 mm).

8.13 El pH del agua tiene gran importancia para los ing

ambientales y qumicos. Se relaciona con procesos que

la corrosin de tubos de lluvia cida. El pH se relaciona

concentracin del ion de hidrgeno por medio de la ec

siguiente:

pH = log10[H+]


9/16

PROBLEMAS

Las cinco ecuaciones que siguen gobiernan las concentraciones

de una mezcla de dixido de carbono y agua para un sistema

cerrado.

K

K

K

13

2

232

=

=

=

+

+

[ ][ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

H HCO

CO

H CO

HCO3

w[[ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

[

H OH

CO HCO CO

Alk HCO

3

3

+

= + +

=

cT 2 3

2

CO OH H] [ ] [ ] [ ]+ + +2 32

donde Alk = alcalinidad, cT= total de carbn inorgnico, y las K

son coeficientes de equilibrio. Las cinco incgnitas son [CO2] =

dixido de carbono, [HCO3] = bicarbonato, [CO3

2] = carbonato,

[H+] = ion hidrgeno, y [OH] = ion hidroxilo. Resuelva para las

cinco incgnitas dado que Alk = 2 103, cT= 3 103, K1=

106.3, y K2= 1010.3, y Kw= 1014. Asimismo, calcule el pH delas soluciones.

8.14 La ecuacin que se presenta a continuacin, describe la

operacin de un reactor de flujo por inyeccin de densidad cons-

tante para la produccin de una sustancia por medio de una re-

accin enzimtica, dondeVes el volumen del reactor, Fes la tasa

de flujo del reactivo C, Centy Csalson las concentraciones del

reactivo que entra y sale del reactor, respectivamente, y Ky kmx

son constantes. Para un reactor de 500 L, con una concentracin

en la toma de Cent= 0.5 M, tasa de entrada de flujo de 40 L/s,

kmx= 5 103s1, y K= 0.1 M, encuentre la concentracin de C

a la salida del reactor.

V

F

K

k C kdC

C

C

= +ent

sal

mx mx

1

Ingeniera civil y ambiental

8.15 El desplazamiento de una estructura est defi

ecuacin siguiente para una oscilacin amortiguada:

y= 9ektcos wt

donde k= 0.7 y w= 4.

a) Utilice el mtodo grfico para realizar una estim

cial del tiempo que se requiere para que el desp

disminuya a 3.5.

b) Emplee el mtodo de Newton-Raphson para de

raz con es= 0.01%.

c) Use el mtodo de la secante para determinar la

= 0.01%.

8.16 En ingeniera estructural, la frmula de la secan

fuerza por unidad de rea, P/A,que ocasiona la tensi

smen una columna que tiene una razn de esbelte

es:

P

A ec k P EA L k

m=+

1 0 52( / ) [ . /( )sec ( / )]

donde ec/k2= razn de excentricidad, yE= mdulo

dad. Si para una viga de acero,E= 200 000 MPa, ec

sm = 250 MPa, calcule P/AparaL/k = 50. Recuerde

1/cosx.

8.17 Un cable en forma catenaria es aquel que cuelg

puntos que no se encuentran sobre la misma lnea vert

se ilustra en la figura P8.17a, no est sujeta a ms ca

propio peso. As, su peso (N/m) acta como una cargpor unidad de longitud a lo largo del cable. En la figu

se ilustra un diagrama de cuerpo libre de una seccin

y

B

A

TA

W= wsw

y0

x

a) b)

TB

Figura P8.17a) Fuerzas que actan sobreuna seccin ABde un cablefl exible que cuelga. Lacarga es uniforme a lo largodel cable (pero no uniformepor la distancia horizontalx).b) Diagrama de cuerpolibre de la seccin AB.


10/16


TAy TBson las fuerzas de tensin en el extremo. Con base en los

balances de fuerzas horizontal y vertical, se obtiene para el cable

el siguiente modelo de ecuacin diferencial:

d y

dx T

dy

dxA

2

2

2

1= +

w

Puede emplearse el clculo para resolver esta ecuacin para la

alturaydel cable como funcin de la distanciax.

yT

Tx y

TA

A

A=

+

w

w

w

cosh0

donde el coseno hiperblico se calcula por medio de la ecua-

cin:

cosh ( )x e ex x= +1

2

Utilice un mtodo para calcular un valor para el parmetro TAdados los valores de los parmetros w= 12 y y0= 6, de modo

que el cable tenga una altura dey= 15 enx = 50.

8.18 En la figura P8.18ase muestra una viga uniforme sujeta a

una carga distribuida uniformemente que crece en forma lineal.

La ecuacin para la curva elstica resultante es la siguiente

(vase la figura P8.18b)

yEIL

x L x L x= + w

0 5 2 3 4

1202( ) (P8.18)

Utilice el mtodo de la biseccin para determinar el pu

mxima deflexin (es decir, el valor dexdonde dy/dx= 0

pus, sustituya este valor en la ecuacin (P8.18) a fin de

minar el valor de la deflexin mxima. En sus clculos,

los valores siguientes para los parmetros:L=600 cm,E=

kN/cm2,I= 30 000 cm4y w0= 2.5 kN/cm.

8.19 En la ingeniera ambiental (una especialidad de la in

ra civil), la ecuacin siguiente se emplea para calcular e

de oxgeno c(mg/L) en un ro aguas abajo de la descarg

drenaje:

c= 10 20(e0.15x e0.5x)

dondexes la distancia aguas abajo en kilmetros.

a) Determine la distancia aguas abajo de la corriente, a

el nivel de oxgeno cae hasta una lectura de 5 mg/L.

mendacin: est dentro de 2 km de la descarga.) En

la respuesta con un error de 1%. Obsrvese que los de oxgeno por debajo de 5 mg/L por lo general son d

para ciertas especies de pesca deportiva, como la tr

el salmn.

b) Calcule la distancia aguas abajo a la cual el oxg

encuentra al mnimo. Cul es la concentracin en

ubicacin?

8.20 La concentracin de bacterias contaminantes cen u

disminuye de acuerdo con la ecuacin

c= 75e1.5t+ 20e0.075t

Determine el tiempo que se requiere para que la concende bacterias se reduzca a 15 con el uso de a) el mtodo gr

b) el mtodo de Newton-Raphson, con un valor inicial d

y criterio de detencin de 0.5%. Compruebe los resultad

obtenga.

8.21 En ingeniera oceanogrfica, la ecuacin de una ol

cionaria reflejada en un puerto est dada por l= 16,

v= 48:

h hx t

e x=

+

0sen

2cos

2

v

Resuelva para el valor positivo ms bajo dex, si h =0.58.22 Suponga el lector que compra una pieza de equ

$25 000 como pago inicial y $5 500 por ao durante 6 ao

tasa de inters estara pagando? La frmula que relac

valor presente P, los pagos anualesA, el nmero de ao

tasa de inters i, es la que sigue:

A Pi i

i

n

n=

++ ( )

( )

1

1 1

w0

L

a)

(x= 0, y = 0)

(x= L , y = 0)

x

b)

Figura P8.18


11/16

PROBLEMAS

8.23 Muchos campos de la ingeniera requieren estimaciones

exactas de la poblacin. Por ejemplo, los ingenieros de transpor-

te quizs encuentren necesario determinar por separado la ten-

dencia del crecimiento de una ciudad y la de los suburbios. La

poblacin del rea urbana declina con el tiempo de acuerdo conla ecuacin:

Pu(t) = Pu,mxekut+ Pu,mn

en tanto que la poblacin suburbana crece segn:

p tP

P P es

s

s

k ts( )

[ / ]

,

,

=+

mx

mx1 10

donde Pu,mx, ku,Ps,mx, P0 y ksson parmetros que se obtienen en

forma emprica. Determine el tiempo y los valores corres pondien-

tes de Pu(t)yPs(t) cuando los suburbios son 20% ms grandes

que la ciudad. Los valores de los parmetros son: Pu,mx= 75 000,Ku= 0.045/ao, Pu,mn= 100 000 personas, Ps,mx= 300 000 per-

sonas, P0= 10 000 personas, ks = 0.08/ao. Para obtener las so-

luciones utilice los mtodos a) grfico, b) de la falsa posicin, y

c) de la secante modificada.

8.24 En la figura P8.24 se muestra una viga apoyada en forma

sencilla que est cargada como se ilustra. Con el empleo de

funciones de singularidad, el esfuerzo cortante a lo largo de la

viga se expresa con la ecuacin:

V(x) = 20[x 01 x 51] 15x 80 57

Por definicin, la funcin de singularidad se expresa del modo

que sigue:

=

>

x ax a x a

x a

n

n

( )

0

cuando

cuando

Utilice un mtodo numrico para encontrar el(los) punto(s) en

los que el esfuerzo cortante sea igual a cero.

8.25 Con el uso de la viga apoyada en forma simple del proble-

ma 8.24, el momento a lo largo de ella,M(x) est dada por:

M(x) = 10[x 02 x 52] + 15x 81

+ 150x 70+ 57x

Emplee un mtodo numrico para encontrar el (los)

los que el momento es igual a cero.

8.26 Con el uso de la viga con apoyo simple del prob

la pendiente a lo largo de ella est dada por:

du

dxx x x x

x x

y( ) [ ]

.

=

+

+ +

10

30 5

15

28

150 7 57

2238 25

3 3

1 2

Utilice un mtodo numrico para encontrar el(los

donde la pendiente es igual a cero.

8.27 Para la viga con apoyo simple del problema 8

plazamiento a lo largo de ella est dado por la ecuac

u x x x x

x

y ( ) [ ]=

+

+

5

60 5

15

68

75 7

4 4 3

2 ++ 57

6238 253x x.

a) Calcule el (los) punto(s) donde el desplazamien

a cero.

b) Cmo se usara una tcnica de localizacin de

determinar la ubicacin del desplazamiento mn

Ingeniera elctrica

8.28 Ejecute el mismo clculo que en la seccin 8.3,mine el valor de C que se requiere para que el circuito

de su valor original en t= 0.05 s, dadoR = 280 ,yEmplee a) un enfoque grfico, b) la biseccin, y c) so

encontrar races, tales como Solver de Excel o la fun

de MATLAB.

8.29 La ecuacin i= 9etcos (2pt), describe una cor

latoria en un circuito elctrico, donde tse expresa en

Determine todos los valores de tde modo que i= 3.

20 kips/ft

150 kips-ft15 kips

5 2 1 2

Figura P8.24


12/16


8.30 La resistividad rde un lubricante de slice se basa en la

carga qen un electrn, la densidad del electrn n, y la movilidad

del electrn m. La densidad del electrn est dada en trminos de

la densidad del lubricanteN, y la densidad intrnseca de acarreo

ni. La movilidad del electrn est descrita por la temperatura T,

la temperatura de referencia T0, y la movilidad de referencia0.

Las ecuaciones que se requieren para calcular la resistividad son

las siguientes:

=1

qn

donde

n N N nT

Ti= + +( ) =

1

242 2 0

0

2 42

y

.

DetermineN, dado que T0= 300 K, T = 1 000 K,0= 1 350 cm2

(V s)1, q= 1.7 1019C, ni= 6.21 109cm3, y un valor desea-ble de r= 6.5 106V s cm/C. Use los mtodos a) biseccin, yb) la secante modificada.

8.31 Una carga total Qse encuentra distribuida en forma uni-

forme alrededor de un conductor en forma de anillo con radio a.

Una carga qse localiza a una distancia xdel centro del anillo

(vase la figura P8.31). La fuerza que el anillo ejerce sobre la

carga est dada por la ecuacin

Fe

qQx

x a=

+1

40

2 2 3 2 ( ) /

donde e0 = 8.85 1012 C2/(N m2). Encuentre la distanciaxdonde la fuerza es de 1.25 N, si qy Qson 2 105C para unanillo con un radio de 0.9 m.

8.32 En la figura P8.32 se muestra un circuito con una re

cia, un inductor y un capacitor en paralelo. Para expr

impedancia del sistema se emplean las leyes de Kirchho

1 1 12

2

Z RC

L= +

dondeZ= impedancia () y w= frecuencia angular. Enla wque da como resultado una impedancia de 75 , contanto del mtodo de la biseccin como el de la falsa po

con valores iniciales de 1 y 1000 y los parmetros siguie

= 225 , C= 0.6 106F, yL= 0.5 H. Determine cuntaciones son necesarias con cada tcnica a fin de encon

respuesta con es= 0.1%. Utilice el enfoque grfico para e

cualesquiera dificultades que surjan.

Ingeniera mecnica y aeroespacial

8.33 Para la circulacin de fluidos en tubos, se descri

friccin por medio de un nmero adimensional, que es ede friccin de Fanning f. El factor de friccin de Fanning

de de cierto nmero de parmetros relacionados con el t

del tubo y el fluido, que pueden representarse con otra c

adimensional, el nmero de ReynoldsRe. Una frmula q

nostica el valor defdado Re es la ecuacin de von Karm

14 0 4

= ( )log10 Re .

Valores comunes del nmero de Reynolds para flujo turb

son 10 000 a 500 000, y del factor de friccin de Fanni

0.001 a 0.01. Desarrolle una funcin que utilice el mt

biseccin con objeto de resolver cul sera el factor de fde Fanningf, dado un valor de Re proporcionado por el u

que est entre 2 500 y 1 000 000. Disee la funcin de mo

se garantice que el error absoluto en el resultado sea de

0.000005.

8.34 Los sistemas mecnicos reales involucran la deflex

resortes no lineales. En la figura P8.34 se ilustra una masa

se libera por una distancia hsobre un resorte no lineal. La

de resistencia Fdel resorte est dada por la ecuacin

x

a

Q

q

Figura P8.31

Figura P8.32

R L C

Figura P8.34

h

a) b)

dh + d


13/16

PROBLEMAS

F= (k1d+ k2d3/2)

Es posible usar la conservacin de la energa para demostrar

que

0

2

5

1

22

5 2

1

2= +

k d

k d mgd mgh

/

Resuelva cul sera el valor de d, dados los valores siguientes de

los parmetros: k1= 50 000 g/s2, k2= 40 g/(s

2m0.5), m= 90 g,

g= 9.81 m/s2, y h= 0.45 m.

8.35 Los ingenieros mecnicos, as como los de otras especiali-

dades, utilizan mucho la termodinmica para realizar su trabajo.

El siguiente polinomio se emplea para relacionar el calor espe-

cfico a presin cero del aire seco, cpkJ/(kg K), a temperatura

(K):

cp= 0.99403 + 1.671 104T+ 9.7215 108T2

9.5838

10

11

T

3

+ 1.9520

10

14

T

4

Determine la temperatura que corresponda a un calor especfico

de 1.1 kJ/(kg K).

8.36 En ciertas ocasiones, los ingenieros aerospaciales deben

calcular las trayectorias de proyectiles, como cohetes. Un pro-

blema parecido tiene que ver con la trayectoria de una pelota que

se lanza. Dicha trayectoria est definida por las coordenadas (x,

y), como se ilustra en la figura P8.36. La trayectoria se modela

con la ecuacin

y x g

x= +( ) .tancos2

0

0

2

0

2

21 8

v

Calcule el ngulo inicial q0, apropiado si la velocidad inicial

v0= 20 m/s y la distanciaxal catcheres de 35 m. Obsrvese que

la pelota sale de la mano del lanzador con una elevaciny0= 2 m,

y el catcherla recibe a 1 m. Exprese el resultado final en grados.

Para g, utilice un valor de 9.81 m/s2, y emplee el mt

para elegir valores iniciales.

8.37 La velocidad vertical de un cohete se calcula co

la que sigue:

v =

u m

m qt

gtln 0

0

donde v= velocidad vertical, u= velocidad con la qu

el combustible, en relacin con el cohete, m0= masa

cohete en el momento t= 0, q= tasa de consumo de co

y g= aceleracin de la gravedad hacia abajo (se supo

te e igual a 9.81 m/s2). Si u= 2000 m/s, m0= 150 00

2 700 kg/s, calcule el momento en que v= a 750 m/s

cia: El valor de tse encuentra entre 10 y 50 s.) Calcu

tado de modo que est dentro de 1% del valor

Compruebe su respuesta.

8.38 En la seccin 8.4, el ngulo de fase fentre l

forzada que ocasiona el camino rugoso y el movimient

est dada por la ecuacin:

tan( / )( / )

( / )

=

2

1 2c c p

p

c

Como ingeniero mecnico, le gustara saber si existe

que f= w/3 1. Utilice los otros parmetros de la s

objeto de plantear la ecuacin como un problema de

races, y resulvala para w.

8.39 Se mezclan dos fluidos con temperatura diferen

que alcanzan la misma temperatura. La capacidad ca

fluido A est dada por:

cp= 3.381 + 1.804 102T 4.300 106T2

y la capacidad calorfica del fluido B se obtiene con

cp= 8.592 + 1.290 101T 4.078 105T2

donde cpse expresa en unidades de cal/mol K, y Te

dades de K. Obsrvese que

H c dTT

T

p=

1

2

El fluido A entra al mezclador a 400C, y el B a 700C

al mezclador hay lo doble de fluido A que B. A qu

ra salen los dos fluidos del mezclador?8.40 Un compresor opera a una razn de compresi

(esto significa que la presin del gas en la salida es

mayor que en la entrada). Los requerimientos de e

compresorHpse determinan por medio de la ecuaci

a continuacin. Suponga que los requerimientos de

compresor son exactamente iguales a zRT1/MW, y e

eficiencia politrpica ndel compresor. El parmetroz

presibilidad del gas en las condiciones de operacin d

Figura P8.36

0

v0

y

x


14/16


sor, Res la constante de los gases, T1es la temperatura del gas

en la entrada del compresor, y MW es el peso molecular del

gas.

HPMW

=

( )zRT n

nRc

n n1 1

11( )/

8.41 En los envases trmicos que se ilustran en la figura P8.41,

el compartimiento interior est separado del medio por medio de

vaco. Hay una cubierta exterior alrededor de los envases. Esta

cubierta est separada de la capa media por una capa delgada de

aire. La superficie de afuera de la cubierta exterior est en con-

tacto con el aire del ambiente. La transferencia de calor del

compartimiento interior a la capa siguiente q1slo ocurre por

radiacin (ya que el espacio se encuentra vaco). La transferencia

de calor entre la capa media y la cubierta exterior q2es por con-

veccin en un espacio pequeo. La transferencia de calor de la

cubierta exterior hacia el aire q3sucede por conveccin natural.

El flujo de calor desde cada regin de los envases debe ser

igual, es decir, q1= q2= q3. Encuentre las temperaturas T1y T2

en estado estable. T0es de 450C y T3= 25C.

q T T

q T T

q T T

1

9

0

4

1

4

2 1 2

3 2 3

4 3

10 273 273

4

1 3

= + +

=

=

[( ) ( ) ]

( )

. ( ) /

8.42 La forma general para un campo tensorial de tres dimen-

siones es la siguiente:

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

en la que los trminos en la diagonal principal represen

fuerzos a la tensin o a la compresin, y los trminos fuediagonal representan los esfuerzos cortantes. Un campo te

(en MPa) est dado por la matriz que sigue:

10 14 25

14 7 15

25 15 16

Para resolver cules son los esfuerzos principales, es ne

construir la matriz siguiente (de nuevo en MPa):

10 14 25

14 7 1525 15 16

s1, s2y s3se obtienen con la ecuacin

3 2 0 + =I II III

donde

I

II

III

xx yy zz

xx yy xx zz yy zz xy xz yz

xx yy zz xx yz yy xz zz xy xy xz

= + +

= + +

= +

2 2 2

2 2 2 2

I,IIyIIIse conocen como las invariantes de esfuerzos. En

s1, s2y s3por medio de una tcnica de localizacin de ra

8.43 La figura P8.43 ilustra tres almacenamientos cone

por medio de tubos circulares. Los tubos estn hechos de

T0

T2

T3

T1

Figura P8.43

Figura P8.41

Q1

h2

h1

Q3

Q2

1

2

3

A

B


15/16

PROBLEMAS

fundido recubierto con asfalto (e= 0.0012 m), y tienen las ca-

ractersticas siguientes:

Tubo 1 2 3Longitud, m 1800 500 1400Dimetro, m 0.4 0.25 0.2

Flujo, m3/s ? 0.1 ?

Si las elevaciones de la superficie del agua en los almacenamien-

tos A y C son de 200 m y 172.5 m, respectivamente, determine

la elevacin que alcanza en el almacenamiento B y los flujos en

los tubos 1 y 3. Obsrvese que la viscosidad cinemtica del agua

es de 1 106m2/s, y utilice la ecuacin de Colebrook para ob-

tener el factor de friccin (consulte el problema 8.12).

8.44 Un fluido se bombea en la red de tubos que se muestra en

la figura P8.44. En estado estacionario, se cumplen los balances

de flujo siguientes:

1 2 3

3 4 5

5 6 7

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q

= +

= +

= +

donde Qi= flujo en el tubo i[m3/s]. Adems, la cada de presin

alrededor de los tres lazos en los que el flujo es hacia la derecha

debe ser igual a cero. La cada de presin en cada tramo de tubo

circular se calcula por medio de la ecuacin:

=P fL

DQ

16

22 52

donde

P= cada de presin [Pa],f= factor de friccin [adimen-sional],L= longitud del tubo [m],r= densidad del fluido [kg/m3],

yD= dimetro del tubo [m]. Escriba un programa (o desarrolle

un algoritmo en algn paquete de software de matemticas) que

permita calcular el flujo en cada tramo de tubo, dado que

Figura P8.44

Q1

Q10

Q9

Q8

Q3

Q5

Q7

Q6

Q4

Q2

Q1= 1 m3/s y r= 1.23 kg/m3. Todos los tubos tiene

mm yf= 0.005. Las longitudes de los tubos son:L3

L9= 2 m;L2=L4=L6= 4 m; yL7= 8 m.

8.45 Repita el problema 8.44, pero incorpore el hech

factor de friccin se calcula con la ecuacin de von K

es:

14 0 410

ff= log (Re ) .

donde Re = nmero de Reynolds

Re =

VD

donde V= velocidad del fluido en el tubo [m/s], y=

dinmica (N s/m2). Obsrvese que para un tubo circul

pD2. Asimismo, suponga que el fluido tiene una vis

1.79

10

5

N

s/m

2

.8.46 Sobre el trasbordador espacial, al despegar de la

actan cuatro fuerzas, las que se muestran en el di

cuerpo libre (vase la figura P8.46). El peso combin

dos cohetes de combustible slido y del tanque exter

es de WB= 1.663 106lb. El peso del orbitador con

pleta es de WS= 0.23 106lb. El empuje combinado

cohetes de combustible slido es TB= 5.30 106lb.

combinado de los tres motores de combustible lquid

tador es de TS= 1.125 106lb.

Al despegar, el empuje del motor del orbitador s

un ngulo qpara hacer que el momento resultante que

el conjunto de la nave (tanque exterior, cohetes de c

slido y orbitador) sea igual a cero. Con el momento

igual a cero, la nave no girara sobre su centro de gra

despegar. Con estas fuerzas, la nave experimentar

resultante con componentes en direccin vertical y

La componente vertical de la fuerza resultante, es la q

que la nave despegue de la plataforma y vuele vertica

componente horizontal de la fuerza resultante hace q

vuele en forma horizontal. El momento resultante que

la nave ser igual a cero cuando qse ajusta al valor

Si este ngulo no se ajusta en forma adecuada y hub

momento que actuara sobre la nave, sta tendera a gira

de su centro de gravedad.

a) Resuelva el empuje del orbitador TSen las co

horizontal y vertical, y despus sume los moment

del punto G, centro de gravedad de la nave. Ig

la ecuacin del momento resultante. Ahora,

resolverse para el valor de q que se requiere

despegue.

b) Obtenga una ecuacin para el momento resu

acta sobre la nave en trminos del ngulo q.


16/16


momento resultante como funcin del ngulo qen e

de 5 radianes a +5 radianes.

c) Escriba un programa de computadora para resolver

nguloqpor medio del mtodo de Newton para enco

raz de la ecuacin del momento resultante. Con el e

de la grfica, elija un valor inicial para la raz de i

Interrumpa las iteraciones cuando el valor de qya no

con cinco cifras significativas.

d) Repita el programa para el peso de la carga mni

orbitador, que es WS= 195 000 lb.

Tanque externo

Cohete de

combustible

slido

Orbitador

38

4

28

WB W

S

TS

TB

G

Figura P8.46

algoritmos y aplicaciones

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