algoritmos adaptativos de conformação de feixe em antenas inteligentes para sistemas mc-cdma

7/24/2019 Algoritmos Adaptativos de Conformao de Feixe Em Antenas Inteligentes Para Sistemas MC-CDMA

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PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

ALGORITMOS ADAPTATIVOS DE CONFORMAO DE FEIXE EM

ANTENAS INTELIGENTES PARA SISTEMAS MC-CDMA

Guilherme Martignago Zilli

Prof.: Jos. C. M. Bermudez, PhD

Disciplina: EEL6705Teoria de

Filtragem Adaptvel

Florianpolis, Novembro de 2014


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SUMRIO

1.

INTRODUO .................................................................................. 3

2. ARRANJO DE ANTENAS E CONFORMAO DE FEIXE ............... 5

2.1 Arranjo de antenas ...................................................................... 5

2.2 Arranjo adaptativo de antenas ..................................................... 5

2.3 Princpios bsicos da Conformao de Feixes ............................ 7

3. PRINCPIOS DO MC-CDMA ........................................................... 13

3.1

O CDMA .................................................................................... 13

3.1.1 O Cdigo CDMA .................................................................. 13

3.2 O CDMA Multi Portadoras (MC-CDMA) .................................... 14

3.3 Modelo Up-link MC-CDMA com Arranjo de Antenas ................. 15

4. ALGORITMOS CEGOS PARA CONFORMAO DE FEIXES

EM SISTEMAS MC-CDMA ............................................................................... 18

4.1

Critrio da Mxima SINR ........................................................... 18

4.2 O Algoritmo GLM ....................................................................... 21

4.3 O Algoritmo RGLM .................................................................... 24

5. EXPERIMENTOS E RESULTADOS ............................................... 27

5.1 Experimento 1Diferentes nmeros de antenas e usurios .... 27

5.2 Experimento 2 Diferentes passos de atualizao e fatores de

esquecimento .................................................................................. 33

5.3 Experimento 3Diferentes SINR ............................................. 37

5.4 Experimento 4Ambiente no estacionrio ............................. 39

5.5 Experimento 5Desvanecimento ............................................. 43

5.6 Experimento 6Avaliao do desempenho computacional ..... 46

6. CONSIDERAES FINAIS ............................................................ 48

7. APNDICE ...................................................................................... 49


3/55

7.1 Estimao das matrizes de autocovarincia ............................. 49

7.2 Aproximao para SINR ............................................................ 50

7.3 Clculo do Multiplicador de Lagrange ....................................... 51

8.

BIBLIOGRAFIA................................................................................ 53


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3

1. INTRODUO

Este trabalho se prope a estudar o algoritmo adaptativo de

conformao de feixes para sistemas de Mltiplo Acesso por Diviso de Cdigo

Multi-Portadoras (MC-CDMA) em arranjo de antenas proposto em [1].

O desenvolvimento de antenas inteligentes surgiu de desafios

caractersticos dos sistemas de comunicao sem fio [2]: (i) limitao da

alocao espectral; (ii) o ambiente de propagao e a mobilidade dos usurios

acarretam em desvanecimento e espalhamento no tempo, espao e em

frequncia; e (iii) restrio de potncia dos dispositivos mveis.

O termo antenas inteligentes usado para descrever o sistema formado

pelo arranjo de antenas e por dispositivos de processamento digital de sinais.

Estes dispositivos podem ser usados na implementao de algoritmos de

estimao de direo de chegada (DOA), de conformao de feixe, de controle

de potncia, entre outros.

Os arranjos adaptativos de antenas [3] tem a capacidade de adaptar o

padro de radiao em tempo real, projetando o feixe principal na direo do

sinal de interesse (SOI) e suprimindo a radiao nas direes dasinterferncias (SNOI). De acordo com [4] existem duas estratgias para

conformao de feixe: a primeira, baseada no conhecimento da DOA dos sinais

e, na segunda, assume-se que parte do sinal desejado seja conhecida

(utilizando uma sequncia de treinamento, por exemplo). Uma terceira

estratgia, considerada neste trabalho, dos algoritmos cegos, que no

possuem conhecimento do DOA nem usam sequncia de treinamento.

Neste trabalho abordado o problema de algoritmos adaptativos cegosaplicados conformao de feixe em sistemas de comunicao celular com

tecnologia MC-CDMA, considerando apenas a situao de uplink, isto , o fluxo

de dados partindo das estaes mveis para a estao base.

O artigo [1] tomado como base para este trabalho prope um algoritmo

chamado de Multiplicadores de Lagrange Generalizado Recursivo (RGLM),

uma adaptao do algoritmo Multiplicadores de Lagrange Generalizado (GLM).

Tais algoritmos so baseados no critrio de mxima SINR Signal toInterference and Noise Ratio, apresentado em [5].


5/55

4

Neste trabalho explorado o problema de conformao de feixe,

apresentando uma viso geral do tema e princpios fsicos bsicos que

permitem o desenvolvimento de tal tcnica; so apresentados superficialmente

as tcnicas de CDMA e MC-CDMA e tcnica de adaptao no supervisionada

(onde no se tem informao do sinal de sada desejado necessrio em

muitos problemas de filtragem adaptvel); introduzido o modelo do sinal

discreto em banda base de sistemas MC-CDMA; apresentado o problema de

conformao de feixe baseado no critrio de mxima SINR, discutindo-se e

apresentando-se o equacionamento do algoritmo GLM e RGLM; tais algoritmos

so implementados e analisados.

Este trabalho analisa e compara o desempenho dos algoritmos GLM e

RGLM em termos da SINR, uma vez que em [1] feita apenas a analise em

termos da taxa de erro de bits. O trabalho trata ainda do desempenho dos

algoritmos em termos da convergncia dos coeficientes e de seus

desempenhos computacionais.


6/55

5

2. ARRANJO DE ANTENAS E CONFORMAO DE FEIXE

2.1 Arranjo de antenas

Em um sistema de telecomunicao, a antena o dispositivo projetado

para radiar ou receber ondas eletromagnticas. Em outras palavras, um

transdutor, que no modo de transmisso usado para converter ondas guiadas

atravs de uma linha de transmisso para ondas radiadas no espao livre e, no

modo de recepo, para converter ondas no espao livre para ondas guiadas

[4], [6].

De acordo com [4], em muitas aplicaes deseja-se antenas com

caracterstica muito diretiva (com alto ganho em determinadas direes do

espao). Tal diretividade pode ser alcanada com antenas de diferentes

geometrias, ou ento, com a utilizao de mltiplos elementos de radiao. Os

dispositivos com mltiplos elementos radiadores so chamados de arranjo de

antenas [7].

O campo eletromagntico total de um arranjo de antenas determinado

pela soma vetorial dos campos radiados por cada elemento individual da

antena [6], [7]. Ainda de acordo com [7], existem cinco graus de liberdade quepodem ser usados para conformar o padro de radiao do arranjo de antenas:

i. geometria do arranjo (uma, duas ou trs dimenses - linear,

circular, retangular, esfrico, etc.);

ii. posio relativa entre elementos;

iii. amplitude de excitao de cada elemento;

iv. fase de excitao de cada elemento;

v. padro de radiao de cada elemento.

2.2 Arranjo adaptativo de antenas

Os arranjos de antenas adaptativos tem a habilidade de se adaptar, i.e.,

adaptar seu padro de radiao, de acordo com as necessidades impostas

pelo ambiente de radiao. O desenvolvimento de arranjos adaptativos (ou

antenas inteligentes) tem concentrado esforos para prover proteo contra


7/55

6

interferncias, melhorar a confiabilidade na aquisio de sinais e permitir a

rastreabilidade dos sinais desejados [4].

Na grande maioria dos arranjos adaptativos, o padro de radiao do

conjunto de antenas direcionado para a direo desejada atravs da

ponderao em amplitude e fase dos sinais de sada de cada elemento do

arranjo [8]. Alm disso, os arranjos tem a capacidade de identificar fontes de

interferncia e tentar suprimi-las automaticamente. A principal vantagem dos

arranjos adaptativos prover uma configurao rpida e flexvel dos padres

de conformao de feixe [9].

Sistemas de arranjo adaptativo conseguem localizar e rastrear sinais (de

interesse e interferentes) e dinamicamente ajustar o padro de radiao da

antena, a fim de melhorar a recepo e minimizar o efeito das interferncias, a

partir de algoritmos de processamento de sinais.

AFigura 1 apresenta um diagrama de blocos de um sistema de arranjo

adaptativo de antenas.

Figura 1 - Diagrama de blocos de um arranjo de antenas adaptativo. Adaptado de [4]

O diagrama de blocos apresentado na Figura 1 ilustra um arranjo

adaptativo de antenas operando em modo de recepo. As etapas de recepo


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7

e demodulao so responsveis por fornecer o sinal analgico decodificado e

em banda base ao conversor analgico/digital, que digitaliza o sinal recebido. O

digital recebido filtrado pelo filtro espacial de conformao de feixes, gerando

os sinais de sada para cada unidade de conformao de feixes. Tanto os

sinais de sada quanto os sinais de entrada do filtro espacial so utilizados pelo

algoritmo adaptativo embarcado em um dispositivo de processamento de

sinais digitaispara o ajuste dos coeficientes do filtro adaptativo.

2.3 Princpios bsicos da Conformao de Feixes

O princpio de funcionamento das antenas inteligentes pode ser

estudado usando o exemplo de um arranjo linear uniforme (ULA Uniform

Linear Array), com N elementos uniformemente espaados e distncia d entre

elementos consecutivos. Assume-se que o sinal gerado por uma fonte no

campo distante e que, portanto, o sinal incidente no arranjo de sensores

aproximadamente uma onda plana. Tal configurao apresentada naFigura

2.

Figura 2 - Arranjo linear uniforme com N sensores

Com respeito ao sensor 1, o sensor 2 recebe sinal com um atraso de

tempo , tal que:

0

sin sdv

(1)


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8

onde 0v a velocidade de propagao da onda e s o ngulo da direo de

chegada da onda. A partir da equao (1) pode-se estabelecer uma expresso

para s :

1 0sinsv

d

(2)

Se o sinal ( )s t um sinal de banda estreita, com frequncia de

portadora cf (e comprimento de onda 0c cv f ), ento o atraso de tempo

corresponde a um atraso de fase de:

sin

2

s

c

d

(3)

Para cada arranjo de antenas pode-se definir um vetor de direo, que

contem a resposta de cada elemento do arranjo para uma fonte com uma nica

componente em frequncia de potncia unitria.

Para um arranjo com elementos idnticos, cada componente do vetor de

direo tem magnitude unitria. A fase do n-simo componente igual

diferena de fase entre o sinal incidente no n-simo componente do arranjo e o

sinal incidente no elemento de referncia.

Para um arranjo ULA com N elementos e espaamento d entre

elementos adjacentes o vetor de direo dado por:

2 2sin 1 sin

1 s s

Td d

j j N

e e

a (4)

O diagrama de radiao de um arranjo formado aplicando a cada

elemento do vetor de direo a excitao, em amplitude e fase, docorrespondente elemento da antena.

O diagrama de radiao de um arranjo ULA com N elementos

omnidirecionais com espaamento d entre elementos dado, em dB, por:

2

1010log

T

HG

w a

w w


10/55

9

21

0

10

2 sinexp

10log

N

n

n c

H

ndw j

G

w w (5)

onde w o vetor de coeficientes complexos do filtro espacial de conformao

de feixe. AFigura 3 apresenta um exemplo de diagrama de radiaes de um

arranjo de antenas

Figura 3 - Exemplo de diagrama de radiao de um arranjo de antenas

De acordo com [4], um arranjo ULA com N elementos pode recuperar o

sinal desejado ( )s t e cancelar N1 sinais interferentes. Para demonstrar tal

capacidade, assume-se que o sinal desejado e N1 sinais interferentes estejam

sendo recebidos pelo arranjo ULA de N elementos. O sinal desejado chega ao

arranjo com um ngulo s . A diferena de fase entre o m-simo sensor e o

primeiro sensor para o sinal ( )s t dada por:

,

1 sin2 , 1,2,....,

s

s m

c

m dm N

(6)

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80-50

-40

-30

-20

-10

0

10

(graus)

Ganho(dB)

Diagrama de Radiao


11/55

10

Os sinais de interferncia chegam ao arranjo com ngulos 1 2 1, , ..., N .

A diferena de fase entre o m-simo sensor e o primeiro sensor devido ao n-

simo sinal interferente dado por:

,

1,2,....,1 sin2 ,

1,2,...., 1

n

n m

c

m Nm d

n N

(7)

Os coeficientes complexos do filtro espacial, que ponderam as sadas

dos sensores so1 1,1 1,2w w jw , 2 2,1 2,2w w jw ,..., ,1 ,2N N Nw w jw . A sada

do arranjo para o sinal desejado , portanto, dada por:

,2 ,1,1 1,2 2,1 2,2 ,1 ,2...s s Nj j

N NS t s t w jw w jw e w jw e (8)

A sada devido ao n-simo sinal interferente dada por:

,2 ,1,1 1,2 2,1 2,2 ,1 ,2...

1,2, ..., 1

n n Nj j

n n N N N t n t w jw w jw e w jw e

n N

(9)

A sada total do arranjo ento expressa por:

1

1

N

n

n

y t S t N t S t N t

(10)

Existem, portanto, 2N coeficientes a serem determinados,

correspondendo as N partes reais e N partes imaginrias dos coeficientes

complexos do arranjo de N elementos, tal que o sinal desejado possa ser

recuperado e as N1 interferncias sejam canceladas. Equivalentemente, a

sada total do arranjo deve ser igual ao sinal desejado, i.e.:

y t s t (11)

Por convenincia, define-se o vetor w como:

1 2

TT T w w w (12)

com dimenso 2N, onde 1w e 2w tem dimenso N e consistem,

respectivamente, nas partes reais e imaginrias dos coeficientes complexos do

arranjo. Os vetores 1w e 2w so definidos por:


12/55

11

1 1,1 2,1 ,1

2 1,2 2,2 ,2

...

...

T

N

T

N

w w w

w w w

w

w

(13)

Alm disso, definem-se as matrizes 1R , 2R , 3R e 4R , todasN N ,

como:

,2 ,

1,2 1,

1

1,2 1,

1 cos cos

1 cos cos

1 cos cos

s s N

N

N N N

R (14)

,2 ,

1,2 1,

2

1,2 1,

1 sin sin

1 sin sin

1 sin sin

s s N

N

N N N

R (15)

3 2 R R (16)

4 1R R (17)

A sada total do arranjo pode ser obtida por:

1 2 1 1 2 3 4Ny t s t n t n t n t j R R R R w (18)

A partir da equao (18), a soluo para (11) dada por:

1w R M (19)

onde 2 2N NR dada por:

1 2

3 4

R RR

R R (20)

O vetor M , com dimenso 2N dado por:

1 2

TT T M M M (21)

onde 1M e 2M so vetores de dimenso N, escritos como:


13/55

12

1

2

1 0 0 0

0 0 0 0

T

T

M

M

(22)

O vetor1

M pode ser interpretado como mantendo a parte real do sinal

desejado e cancelando as partes reais dos sinais interferentes e o vetor 2M ,

como cancelando as partes imaginrias do sinal desejado e dos interferentes.


14/55

13

3. PRINCPIOS DO MC-CDMA

3.1 O CDMA

O CDMA (Mltiplo Acesso por Diviso de Cdigo) uma tcnica de

multiplexao onde um conjunto de usurios pode acessar simultaneamente e

assincronamente um canal atravs da modulao e do espalhamento do sinal

com informao usando uma sequncia de assinatura pr-determinada [10].

O CDMA tradicional, chamado DS-CDMA (Direct Sequence CDMA)

espalha o fluxo de dados usando um cdigo de espalhamento no domnio do

tempo [10]. O sinal DS-CDMA gerado atravs da multiplicao do smbolo de

cada usurio por uma sequncia binria (mais rpida que a taxa de gerao de

smbolos) [11].

AFigura 4 apresenta o diagrama da gerao de sinais CDMA.

Figura 4Diagrama da gerao do sinal CDMA. Adaptado de [10]

3.1.1 O Cdigo CDMA

A capacidade de supresso de interferncia dos mltiplos usurios

determinada pela correlao cruzada dos cdigos (ou sequncias) de

espalhamento. Assim como a capacidade de distinguir componentes de um

usurio de outras componentes est relacionada com a autocorrelao do

cdigo de espalhamento do mesmo [10].

Os cdigos CDMA consistem numa sequncia de chips, onde cada chip

pode assumir valores do conjunto {-1, 1}. Para que os cdigos possam ser


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14

utilizados espera-se que os cdigos de diferentes usurios sejam ortogonais

entre si, isto :

1

0

para

0 para

N

a bi

N a bc i c i

a b

(23)

onde N o nmero de chips na sequncia e ac e bc correspondem,

respectivamente, aos cdigos dos usurios a e b .

Os cdigos de espalhamento podem ser gerados atravs de sequncias

pseudo aleatrias de -1s e 1s, entretanto, dificilmente obtm-se cdigos

perfeitamente ortogonais [11].

Um conjunto de cdigos perfeitamente ortogonais so os cdigos de

Walsh-Hadamard. Estes cdigos podem ser gerados atravs de uma operao

matricial recursiva. O conjunto de cdigos de comprimento 2n gerado atravs

de:

1 1

1 1

n n

n

n n

H HH

H H

(24)

com:

0

1 1

1 1H

(25)

Cada linha da matriz nH representa o cdigo de um usurio.

3.2 O CDMA Multi Portadoras (MC-CDMA)

O CDMA Multi Portadoras (Multi-CarrierCDMA ou MC-CDMA) [10][12]

uma tcnica de modulao digital onde cada smbolo de dado transmitidopor mltiplas portadoras de banda estreita, com cada subportadora codificada

por um deslocamento de fase de 0 ou , de acordo com o cdigo de

espalhamento.

As subportadoras so geradas usando sinais modulados por modulao

por deslocamento de fase binria (ou BPSK Binary Phase Shift Keying) e

cada subportadora possuem frequncias mltiplas de uma frequncia

harmnica determinada.


16/55

15

AFigura 5 apresenta o diagrama da gerao de sinais em um sistema

MC-CDMA.

Figura 5Diagrama da gerao do sinal MC-CDMA. Adaptado de [10]

O sinal MC-CDMA discreto no tempo pode ser visto como a

Transformada Discreta de Fourier do sinal DS-CDMA [11]

3.3 Modelo Up-link MC-CDMA com Arranjo de Antenas

O desenvolvimento do modelo do sinal MC-CDMA utilizado neste

trabalho leva em considerao um arranjo de antenas com L elementos,

operando apenas em situao de up-link, i. e, apenas a estao mvel est

transmitindo sinais, enquanto a estao base opera apenas como receptor. Tal

modelo apresentado em [1].

No transmissor, a l -sima amostra durante o n -simo smbolo ( )kb n

transmitido pelo k-simo usurio, com durao bT , expressa por:

1

,

0

2( ) ( ) exp ; 0,..., 1

N

k l k k k

m

j mlu b n c m l N

N

(26)

onde k a energia do smbolo do k-simo usurio, ( )kc m o m -simo chip do

cdigo de espalhamento do k-simo usurio e N nmero de chips no cdigo

de espalhamento, chamado tambm de ganho de processamento.


17/55

16

Assume-se que o sinal transmitido sofre um desvanecimento Rayleigh,

independente para cada usurio e diferente para cada frequncia. O

desvanecimento Rayleigh pode ser representado por [13]:

, , ,expk m k m k mh j (27)

onde,k m independente e igualmente distribudo (IID) com distribuio de

Rayleigh e,k m IID com distribuio uniforme entre [ , ] .

O sinal recebido na sada do arranjo de antenas pode ser escrito como:

1 1

,

0 0

1 2( ) ( ) ( ) exp

K N

l k k k k m k l

k m

j mln b n h c m n

N N

x a v (28)

onde 0,..., 1l N , ( )l nx um vetor Lx1contendo, em cada elemento, o sinal

recebido por cada uma das antenas pertencentes ao arranjo, K o nmero de

usurios, ka o vetor de direo do k -simo usurio, que incide nos L

elementos do arranjo com ngulo k e l nv representa vetor de rudo aditivo

branco gaussiano (AWGN) com potncia 2 .

Depois da Transformada Rpida de Fourier (FFT), o vetor dos sinais

recebidos dado por:

1

,

0

( ) ( ) ( )K

m k k k k m k m

k

n b n h c m n

x a n (29)

onde m nn a FFT do AWGN.

A partir da, o sinal recebido passa por correlatores, associados ao

cdigo de cada um dos usurios. Assumindo que a resposta em amplitude e

fase do canal de comunicao invariante no tempo durante a durao decada smbolo, que os canais foram equalizados, e que o receptor esteja

sincronizado com o usurio desejado 0k , a sada do receptor MC-CDMA

pode ser expressa como:

1

0 0,

0

( ) ( ) ( ) expN

m m

m

n n c m j

z x (30)

onde0,

m a fase estimada do sinal desejado para a m -sima subportadora.

Assumindo que a correo perfeita realizada0, 0,( )m m , a sada se reduz a:


18/55

17

1

0 0 0 0,

0

1 1

0 0, 0, ,

1 0

1

0 0,

0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) exp

( ) exp

N

m

m

K N

k k k k m m k m

k m

N

m m

m

n b n

b n c m c m j j

c m n j

z a

a

n

(31)

A equao (31) apresenta o modelo do sinal MC-CDMA para um arranjo

de antenas com Lelementos, operando apenas em situao de up-linke sob

as consideraes apresentadas anteriormente sem a unidade de conformao

de feixes.

Com a unidade de conformao de feixe, as sadas do receptor MC-

CDMA so multiplicadas por um conjunto de coeficientes complexosw

. Asada do filtro espacial de conformao de feixes dada por:

Hy n n n w z (32)

onde w o vetor de coeficientes complexos do filtro de conformao de feixes:

1 2T

Ln w w ww (33)

A Figura 6 apresenta o diagrama da estrutura do receptor MC-CDMA

com unidade de conformao de feixes proposta para o modelo de sinal

apresentado em [1].

Figura 6 - Diagrama da estrutura do receptor MC-CDMA com arranjo de antenas proposto em [1]. Adaptado de [1].


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18

4. ALGORITMOS CEGOS PARA CONFORMAO DE FEIXES EM

SISTEMAS MC-CDMA

4.1 Critrio da Mxima SINR

O critrio de Mxima SINR (MSINR) advm diretamente da maximizao

da SINR [5]. Assumindo que a sada do receptor MC-CDMA pode ser expressa

por:

( ) ( ) ( )n n n z d u (34)

onde ( )nd corresponde ao sinal desejado (usurio de interesse) e ( )nu ao sinal

indesejado (usurios intereferentes + rudo), e que as matrizes deautocovarincia HE ddR d d e HE uuR u u so conhecidas, deseja-se

maximizar a razo entre a potncia do sinal desejado 2d e a potncia total do

sinal de interferncia 2u . Tais potncias so expressas como:

2

2 H H

d E ddw d w R w (35)

e

2

2 H H

u E uuw u w R w (36)

Portanto, a SINR dada por:

2

2

H

d

H

u

SINR

dd

uu

w R w

w R w (37)

O vetor de pesos timos sob o critrio de Mxima SINR (MSINR) pode

ser encontrado atravs de um problema de otimizao, definido como:

argmaxH

MSINR H

dd

wuu

w R ww

w R w (38)

A soluo deste problema encontrada derivando-se (37) e igualando a

zero. Feito isso, obtm-se:

H

H dd

dd uu

uu

w R wR w R ww R w

(39)


20/55

19

A equao (39) equivale a um problema de autovalores e pode ser

rescrito como:

1 uu dd

R R w w (40)

onde H H dd uu

w R w w R w um escalar e representa a SINR.

O valor da SINR , portanto, limitado pelos valores mnimo e mximo

dos autovalores da matriz simtrica 1uu dd

R R . O maior autovalor max que

satisfaz a equao (40) corresponde mxima SINR. Correspondente a este

autovalor, existe um autovetor nico,opt MSINRw w , que representam os

coeficientes timos do filtro.

Infelizmente, as componentes desejadas e indesejadas do sinal nopodem ser separadas no receptor, inviabilizando a soluo da equao (40).

Entretanto, pode-se mostrar quedd

R euu

R podem ser obtidas atravs dos

vetores 1

0( )

N

m mn

x e ( )nz .

Sejam os sinais recebidos descorrelacionados e estacionrios no sentido

amplo, e assumindo que ( )kb n e ( )kc m so independentes e assumem apenas

valores binrios {-1,1}, que os cdigos ( )kc m so ortogonais, logo

( ) ( ) 1i jE c m c m para i j e ( ) ( ) 0i jE c m c m para i j , e ainda que

2 ( ) 1kb n . Pode-se expressar a matriz de autocovarincia dos dados recebidos

como:

12

0 0 0 0,

01 1

2 2

,

1 0

( ) ( )H

NH

m

mK N

H

k k k k m n

k m

E n n

E

E N

xx

dd uu

R X X

a a

a a I

R R

(41)

onde 0 1( ) ( ),..., ( )Nn n nX x x .

A matriz de autocovarincia de ( )nz pode ser escrita como:


21/55

20

21

0 0 0 0,

0

1 1

2 2,

1 0

( ) ( )H

NH

m

m

K N

Hk k k k m n

k m

E n n

E

E N

zzR z z

a a

a a I

(42)

Como 1

0, 0

N

m m

IID com distribuio Rayleigh, a distribuio do termo

1

0,

0

N

m

m

pode ser aproximada, usando o Teorema do Limite Central (TLC),

quando N for grande [12]. Usando os resultados do TLC, a mdia e o momento

de segunda ordem de1

0,

0

N

m

m

so dados, respectivamente, por:

0 0

1 12 2

0, 0,

0 0

e 22 2

N N

m m

m m

N E E

(43)

A equao (42) pode ento ser simplificada como:

12

0 0 0 0,

0

1 1

2 2,

1 0

2

2

NH

m

m

K N

Hk k k k m n

k m

N E

E N

N

zz

dd uu

R a a

a a I

R R

(44)

Assim, das equaes (41) e (44), tem-se (vide Apndice7.1):

2e

1 12 2

N

N N

xx zzzz xx

dd uu

R RR R

R R (45)

Dessa forma,dd

R euu

R podem ser estimadas a partir dexx

R ezz

R .

Em ambientes prticos, no entanto, o vetor de coeficientes do filtro,

calculados atravs de 1 uu dd

R R w w e de (45) no conseguem atingir MSINRw

devido aos erros de estimao dedd

R euu

R [14]

Para superar este problema, uma funo alternativa para encontrar o

vetor de coeficientes timos mostrada em [1]. A partir das equaes (41) e

(44), pode-se obter (vide Apndice7.2):


22/55

21

12

2 1

H

H

NN

SINR

zz

xx

w R w

w R w (46)

Que vlido para qualquer w , exceto para 0H xx

w R w . Portanto,

qualquer vetor de coeficientes que maximize H Hzz xx

w R w w R w , maximiza

tambm a SINR.

O vetor de coeficientes timos pode ser obtido atravs de um novo

problema de otimizao, expresso por:

argmaxH

MSINR H zz

wxx

w R ww

w R w (47)

e MSINRw corresponde ao autovetor associado ao maior autovalor max de:

1

maxMSINR MSINR

xx zzR R w w (48)

4.2 O Algoritmo GLM

O mtodo dos Multiplicadores de Lagrange Generalizados (GLM)

apresentado em [15]. Para encontrar o vetor de coeficientes timos,

correspondente soluo da equao (48), formula-se o problema de

otimizao com restrio, dado por:

max

sujeito a: 1

H

H

zz

xx

w R w

w R w

(49)

A soluo do problema obtida pela maximizao da funo custo,

( )f w , tal que:

1H Hf zz xxw w R w w R w (50)

onde o multiplicador de Lagrange para a restrio 1H xx

w R w .

O mtodo do gradiente ascendente aplicado para encontrar o

autovetor desejado iterativamente. A equao de atualizao dada por:

12

n n f n

w w w (51)


23/55

22

onde f w corresponde ao gradiente da funo custo f w , dado por [16],

[17]:

2f

f

w

ww (52)

A partir das equaes (50) e (52), obtm-se:

2 1

2

H Hf

zz xx

zz xx

w w R w w R ww

R w R w

(53)

E, portanto, a equao de atualizao apresentada em (51) pode ser

rescrita como:

1n n n n n n n zz xxw w R w R w (54)

O multiplicador de Lagrange, n , dado por (vide Apndice7.37.1):

2b b ac

na

(55)

com:

2 2

2

2 2

Re ( )

( ) 2Re ( )

a

b y n

c y n y n

(56)

e:

H

H

H

H

n n

n n

n n

y n n

x x

x z

w x

w z

(57)

De modo equivalente, expande-se para o caso de um vetor de entradas

bidimensional, dado por 0 1( ) ( ),..., ( )Nn n nX x x , definem-se ento:


24/55

23

H

H

H

n n n

n n n

n n n

n n n

n n n

z w

X w

X X

X z

(58)

e:

2

Re

2Re

H

H H

H H

a n n n

b n n n n n n

c n n n n n n n

(59)

O multiplicador de Lagrange n continua sendo calculado pelaexpresso (55). AFigura 7 apresenta o fluxograma do algoritmo GLM.

Figura 7 - Fluxograma do algoritmo GLM. Adaptado de [1]


25/55

24

A ordem de complexidade computacional do algoritmo, em termos do

nmero de multiplicao, apresentada direita de cada equao no

fluxograma da Figura 7. O algoritmo GLM requer aproximadamente

O[(N2+3N+4)L+4N+N2] multiplicaes.

4.3 O Algoritmo RGLM

De acordo com [1], o desempenho do algoritmo GLM, apresentado em

[15], degradado em funo da utilizao de estimativas instantneas das

matrizes de autocovarincia. Em [1] proposto, portanto, um novo algoritmo

adaptativo, chamado de Multiplicadores de Lagrange Generalizados Recursivo

(RGLM), a fim de alcanar um desempenho melhor que o algoritmo GLM.

No algoritmo RGLM a equao de atualizao dos pesos continua sendo

a mesma apresentada em (54):

1n n n n n n n zz xxw w R w R w

Entretanto, as matrizes de autocovarinciasxx

R ezz

R so estimadas

atravs da equao recursiva (60):

1

1

H

H

n f n n n

n f n n n

xx xx

zz zz

R R z z

R R X X

(60)

onde f o fator de esquecimento, entre 0 e 1.

Como a funo ( )f w mxima quando o multiplicador de Lagrange

o maior autovalor (do problema apresentado nas equaes (47) e (48)) e

consequentemente w o autovetor associado a , n pode ser calculado

atravs de:

n n nn

n n n zz

xx

w R w

w R w (61)

A fim de reduzir a complexidade computacional do algoritmo, definem-se

z n n n n zzw R w e x n n n n xxw R w , tal que:

z

x

nn

n

(62)


26/55

25

Usando as equaes recursivas apresentadas em (60), pode-se fazer as

seguintes aproximaes:

2

1 1 1

1

H

z

z

n f n n n n n n n

f n n

zzw R w w z z w

(63)

e

2

1 1 1

1

H

x

x

n f n n n n n n n

f n n

xxw R w w X X w

(64)

onde Hn n n z w e Hn n n X w .

A equao de atualizao dos pesos pode ento ser simplificada emalguns passo, tal como:

1

1

1

n n n n n

n f n n n

n f n n n

w w

z

X

(65)

Com condies iniciais:

0 0 0

0 0 0

z

X (66)

A Figura 8 apresenta o fluxograma do algoritmo RGLM. O nmero de

multiplicaes apresentado direita das equaes.

A ordem de complexidade computacional do algoritmo RGLM em termos

do nmero de multiplicaes aproximadamente O[(2N+5)L+0.5N].


27/55

26

Figura 8 - Fluxograma do algoritmo RGLM. Adaptado de [1]


28/55

27

5. EXPERIMENTOS E RESULTADOS

Os algoritmos GLM e RGLM foram implementados e avaliados em

diferentes cenrios. Em todas as situaes foram desconsideradas asimperfeies nas etapas de modulao e demodulao dos sinais e, portanto,

os bits transmitidos chegam intactos ao receptor, acrescido apenas de rudo.

Em todas as simulaes foram considerados arranjos compostos por L

antenas operando em modo up-link e K transmissores com potncia de

transmisso kP e ganho de processamento M .

Para cada experimento foram feitas 200 realizaes. Os resultados

apresentados foram obtidos da mdia das realizaes. A seguir so detalhadosos experimentos realizados e os resultados obtidos.

5.1 Experimento 1Diferentes nmeros de antenas e usurios

No primeiro experimento foi avaliado o desempenho dos algoritmos sob

diferentes condies de nmero de elementos de antenas e nmero de

estaes mveis.

Foram considerados os seguintes parmetros: passo de adaptao doAlgoritmo RGLM, 0.001RGLM ; passo de adaptao do Algoritmo GLM,

0.004GLM ; fator de esquecimento, 0.75f ; potncia dos usurios 1,kP k ;

potncia do rudo 2 0.1 ; e ganho de processamento 64M . O experimento

foi realizado com sinal sem desvanecimento e os algoritmos foram avaliados

nas situaes com o nmero de antenas 4, 6 e 8L e o nmero de usurios

4, 8 e 12K . Os valores de RGLM , GLM e fforam escolhidos empiricamente,

do modo que o desempenho dos dois algoritmos fosse semelhante.

No primeiro caso, os ngulos de chegada dos sinais, para cada situao

de nmero de usurios dada por:

4

8

12

45 30 60

60 45 30 30 45 60 90

90 75 60 45 30 15 15 30 45 60 75

K

K

K

doa

doa

doa

0

0

0


29/55

28

onde os ngulos so dados em graus e o valor destacado corresponde ao

ngulo de chegado do sinal de interesse.

A Figura 9, Figura 10 e Figura 11 apresentam as relaes sinal

interferncia+rudo para os casos com 4, 6 e 8 elementos de antenas,

respectivamente.

Figura 9SNIR para o caso com 4 elementos de antenas e diferentes quantidades de usurios (caso 1).

Figura 10 - SNIR para o caso com 6 elementos de antenas e diferentes quantidades de usurios (caso 1).

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200035

40

45

50

55

60

65

70

Iteraes

SINR(d

B)

SINRL = 4

Algoritmo GLM - K = 4Algoritmo RGLM - K = 4



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200040

45

50

55

60

65

70

75

80

Iteraes

SINR

(dB)

SINRL = 6

Algoritmo GLM - K = 4Algoritmo RGLM - K = 4Algoritmo GLM - K = 8Algoritmo RGLM - K = 8Algoritmo GLM - K = 12Algoritmo RGLM - K = 12


30/55

29


A Figura 12 apresenta o diagrama de radiao do arranjo de antenas

aps a conformao de feixe. Os diagramas apresentados correspondem aos

coeficientes do filtro obtidos por cada algoritmo na ultima iterao.

NaFigura 12,(a) e (b) mostram os diagramas de radiao para o casocom 4 usurios, com 4 e 8 elementos de antenas, respectivamente. Em (c) e

(d) so mostrados para o caso com 8 usurios e em (e) e (f), para o caso com

12 usurios. A posio dos usurios mostrada em cada diagrama: (o)

representa o SOI e (x) representa os SNOI.

No segundo caso, os ngulos de chegada dos sinais, para cada situao

de nmero de usurios dada por:

4

8

12

90 0 45

90 60 30 0 30 45 60

90 75 60 30 15 0 15 30 45 60 75

K

K

K

doa

doa

doa

-45

-45

-45

A Figura 13, Figura 14 e Figura 15 apresentam as relaes sinal

interferncia+rudo para os casos com 4, 6 e 8 elementos de antenas,

respectivamente, para o segundo caso.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200045

50

55

60

65

70

75

80

85

Iteraes

SINR

(dB)

SINRL = 8



31/55

30

Figura 12 - Diagramas de radiao para diferentes condies de nmero de elementos de antenas e de quantidade de usurios

(caso 1).

NaFigura so apresentados os diagramas de radiao para o caso com

4 usurios e com 4 e 8 elementos de antenas, (a) e (b), respectivamente. Em

(c) e (d) so mostrados para o caso com 8 usurios e em (e) e (f), para o caso

com 12 usurios.

-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(a)

Ganho

L = 4 e K = 4

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM

-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(b)

Ganho

L = 8 e K = 4

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM

-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(c)

Ganho

L = 4 e K = 8

Algoritmo GLMAlgoritmo RGLM

-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(d)

Ganho

L = 8 e K = 8


-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(e)

Ganho

L = 4 e K = 12

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM

-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(f)

Ganho

L = 8 e K = 12

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM


32/55

31



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Iteraes

SINR

(dB)

SINRL = 4

Algoritmo GLM - K = 4Algoritmo RGLM - K = 4Algoritmo GLM - K = 8Algoritmo RGLM - K = 8Algoritmo GLM - K = 12

Algoritmo RGLM - K = 12

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

10

20

30

40

50

60

70

80

Iteraes

SINR

(dB)

SINRL = 6



33/55

32


Figura 16 - Diagramas de radiao para diferentes condies de nmero de elementos de antenas e de quantidade de usurios

(caso 2)continua...

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Iteraes

SINR

(dB)

SINRL = 8

Algoritmo GLM - K = 4Algoritmo RGLM - K = 4Algoritmo GLM - K = 8Algoritmo RGLM - K = 8Algoritmo GLM - K = 12

Algoritmo RGLM - K = 12

-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(a)

Ganh

o

L = 4 e K = 4


-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(b)

Ganh

o

L = 8 e K = 4


-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(c)

Ganho

L = 4 e K = 8

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM

-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(d)

Ganho

L = 8 e K = 8

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM


34/55

33

Figura 16- Diagramas de radiao para diferentes condies de nmero de elementos de antenas e de quantidade de usurios

(caso 2).

Atravs dos resultados mostrados nos grficos das SINR possvel

perceber uma melhoria no desempenho dos algoritmos em termos da relao

sinal interferncia+rudo e da velocidade de convergncia em funo do

aumento no nmero de elementos de antena. O desempenho, no entanto,

deteriorado conforme o nmero de usurios interferentes aumenta.

Atravs daFigura 12 e daFigura 16,que apresentam os diagramas de

radiao aps a convergncia dos algoritmos, pode-se ainda verificar a

capacidade do arranjo de antenas de anular 1L usurios interferentes, como

discutido na Seo2.3.

5.2 Experimento 2 Diferentes passos de atualizao e fatores

de esquecimento

No segundo experimento foi avaliado o desempenho do algoritmo para

diferentes passos de atualizao RGLM e GLM , e diferentes fatores de

esquecimento .f

Foram considerados os seguintes parmetros: nmero de elementos de

antena 4L ; nmero de usurios 6K ; ngulo de chegada dos usurios

6 60 0 30 60 90Kdoa -30 ; potncia dos usurios 1,kP k ; e

potncia do rudo 2 0.1 . O experimento foi realizado com sinal sem

desvanecimento e os algoritmos foram avaliados nas situaes com RGLM e

GLM com valores 0.001 0.002 0.004 0.008 e com fatores de esquecimento

0.99 0.90 0.75 0.50 0.01 .

-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(e)

Ga

nho

L = 4 e K = 12

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM

-50 0 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)(f)

Ga

nho

L = 8 e K = 12

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM


35/55

34

AFigura 17 e aFigura 18 apresentam, respectivamente, a evoluo da

SINR para os algoritmos GLM e RGLM com passos de atualizao RGLM =

GLM = 0.001 e diferentes fatores de esquecimento.

AFigura 19 e aFigura 20 apresentam, igualmente a evoluo da SINRpara os algoritmos GLM e RGLM com passos de atualizao RGLM = GLM =

0.002. A Figura 21 e a Figura 22 apresentam os desempenhos para RGLM =

GLM = 0.004 e aFigura 23 eFigura 24,para RGLM = GLM = 0.008.

Figura 17SINRAlgoritmo GLM com GLM= 0.001 e diferentes fatores de esquecimento.

Figura 18 - SINRAlgoritmo RGLM com RGLM= 0.001 e diferentes fatores de esquecimento.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

20

30

40

50

60

Iteraes

SINR

(dB)

Algoritmo GLMGLM= 0.001

f = 0.99

f = 0.90

f = 0.75f = 0.50

f = 0.10

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

20

30

40

50

60

Iteraes

SINR

(dB)

Algoritmo RGLMRGLM= 0.001

f = 0.99f = 0.90

f = 0.75f = 0.50

f = 0.10


36/55

35

Figura 19 - SINRAlgoritmo GLM com GLM= 0.002 e diferentes fatores de esquecimento.



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

20

30

40

50

60

Iteraes

SINR

(dB)


f = 0.99

f = 0.90

f = 0.75f = 0.50

f = 0.10

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

20

30

40

50

60

Iteraes

SINR

(dB)


f = 0.99

f = 0.90

f = 0.75f = 0.50

f = 0.10

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

20

30

40

50

60

Iteraes

SINR

(dB)


f = 0.99

f = 0.90

f = 0.75f = 0.50

f = 0.10


37/55

36




0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

20

30

40

50

60

Iteraes

SINR

(dB)


f = 0.99

f = 0.90

f = 0.75f = 0.50

f = 0.10

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

20

30

40

50

60

Iteraes

SINR

(dB)


f = 0.99

f = 0.90

f = 0.75f = 0.50

f = 0.10

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 200010

20

30

40

50

60

Iteraes

SINR

(dB)


f = 0.99

f = 0.90

f = 0.75f = 0.50

f = 0.10


38/55

37

Os resultados obtidos neste experimento permitem verificar o aumento

na velocidade mdia de convergncia em funo do aumento no valor do

passo de adaptao.

Alm disso, pde-se verificar uma quase invarincia na convergncia do

algoritmo GLM em funo dos diferentes valores do fator de esquecimento.

Enquanto, para o algoritmo RGLM, a velocidade mdia de convergncia do

algoritmo apresenta aumento com o aumento do fator de esquecimento.

Em todos os casos possvel perceber que a curva da SINR do

algoritmo GLM quase coincidente com a curva da SINR do algoritmo RGLM

no pior caso 0.1f .

5.3 Experimento 3Diferentes SINR

No terceiro experimento foi avaliado o desempenho do algoritmo para

diferentes potncias do SOI e diferentes potncias do rudo.


antena 4L ; nmero de usurios 6K ; ngulo de chegada dos usurios

6 60 0 30 60 90Kdoa -30 ; passo de adaptao do Algoritmo RGLM,0.001RGLM ; passo de adaptao do Algoritmo GLM, 0.004GLM ; e fator de

esquecimento, 0.75f . O sinal foi considerado sem desvanecimento.

No primeiro caso, as potncias das estaes mveis, kP , foi mantida

constante, 1,kP k . A potncia do rudo assumiu valores

2 10 5 1 0.5 0.1 0.01 .

AFigura 25 apresenta a evoluo das SINR para o algoritmo GLM sobdiferentes potncias de rudo. Os resultados para o algoritmo RGLM so

apresentados naFigura 26.

Atravs dos resultados mostrados naFigura 25 e naFigura 26 pode-se

perceber, como esperado, que a potncia do rudo tem influncia direta na

SINR do sinal recebido. Contudo, a potncia do rudo no aparenta ter

influncia na velocidade mdia da convergncia dos algoritmos.


39/55

38

Figura 25 - SINRAlgoritmo GLM para diferentes potencias de rudo.

Figura 26 - SINRAlgoritmo RGLM para diferentes potencias de rudo.

No segundo caso, a potncia do rudo foi mantida constante em 2 0.1

e as potncias dos usurios interferentes, SNOIP , foram mantidas constantes em

1kP , k SNOI . A potncia do SOI assumiu valores

5 1 0.5 0.1 0.05k SOIP .

Para este caso, verifica-se, atravs daFigura 27 e daFigura 28,que os

algoritmos GLM e RGLM tm comportamento semelhante e que a variao na

potncia do sinal de interesse varia no apenas a SINR, mas tambm a

velocidade mdia de convergncia.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

10

20

30

40

50

60

70

Iteraes

SINR

(dB)

Algoritmo GLM

2= 10

2= 5

2= 1

2= 0.5

2= 0.1

2= 0.01

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

10

20

30

40

50

60

70

Iteraes

SINR

(dB)

Algoritmo RGLM

2= 10

2= 5

2= 1

2

= 0.52= 0.1

2= 0.01


40/55

39

Figura 27SINR - Algoritmo GLM para diferentes potencias do SOI.

Figura 28SINR - Algoritmo RGLM para diferentes potencias do SOI.

5.4 Experimento 4Ambiente no estacionrio

No quarto experimento foi avaliado o desempenho do algoritmo em um

ambiente no estacionrio.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Iteraes

SINR

(dB)

Algoritmo GLM

PSOI= 5

PSOI= 1

PSOI= 0.5

PSOI= 0.1

PSOI= 0.05

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000-20

-10

0

10

20

30

4050

60

70

80

Iteraes

SINR

(dB)

Algoritmo RGLM

PSOI= 5

PSOI= 1

PSOI= 0.5

PSOI= 0.1

PSOI= 0.05


41/55

40


antena 4L ; nmero de usurios 6K ; fator de esquecimento, 0.75f ;

potncia dos usurios 1,kP k ; e potncia do rudo2 0.1 . O ngulo de

chegada dos usurios interferentes foi mantido constante, 60 30 0 30 60SNOIdoa e o ambiente foi considerado sem

desvanecimento.

O ngulo de chegada do SOI foi mantido constante em -45 durante as

primeira 1000 iteraes, entre as iteraes 1000 e 3000 o ngulo variou

linearmente, em passos de 0.045 por iterao, chegando a 45. A partir de

3000 iteraes o ngulo foi mantido constante em 45.

Foram consideradas ainda 3 cenrios com diferentes passos deatualizao: no primeiro, o passo de adaptao do Algoritmo RGLM foi

0.001RGLM e o passo de adaptao do Algoritmo GLM, 0.001GLM ; no

segundo o passo de adaptao do Algoritmo RGLM foi mantido em

0.001RGLM e o passo de adaptao do Algoritmo GLM foi 0.004GLM ; e no

terceiro caso o passo de adaptao do Algoritmo RGLM e do Algoritmo GLM

foram 0.004RGLM GLM .

O resultado obtido no primeiro caso, com 0.001GLM e 0.001RGLM

mostrado naFigura 29.Neste caso pode-se verificar a dificuldade do algoritmo

GLM, com determinado passo de atualizao, em rastrear as variaes na

posio do sinal de interesse.

O resultado para o caso com 0.004GLM e 0.001RGLM mostrado na

Figura 30 e o resultado para o caso com 0.004GLM e 0.004RGLM , na

Figura 31.


42/55

41

Figura 29SINR dos algoritmos GLM e RGLM em ambiente no estacionrio (caso 1).

Figura 30SINR dos algoritmos GLM e RGLM em ambiente no estacionrio (caso 2).

Na Figura 30 pode-se verificar que os dois algoritmos conseguem

rastrear as variaes de posio do SOI com praticamente a mesma

velocidade, enquanto na Figura 31, consegue rastrear tais variaes mais

rapidamente.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400015

20

25

30

35

40

45

Iteraes

SINR

(dB)

Caso no estacionrioGLM= 0.001 e RGLM= 0.001

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400015

20

25

30

35

40

45

Iteraes

SINR

(dB)




43/55

42

Figura 31 - SINR dos algoritmos GLM e RGLM em ambiente no estacionrio (caso 3).

A Figura 32 apresenta os diagramas de radiao resultantes da

conformao de feixes nas iteraes 1000, 2000 e 3000, que correspondem,

respectivamente, aos ngulos de chegada do SOI de -45, 0 e 45.

Figura 32Diagrama de radiao para diferentes posies do SOI num ambiente no estacionrio.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400015

20

25

30

35

40

45

Iteraes

SINR

(dB)


Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ngulo (graus)

G

anho


@1000@2000

@3000


44/55

43

5.5 Experimento 5Desvanecimento

No quinto experimento foi avaliado o desempenho do algoritmo

considerando o desvanecimento multipercurso. O desvanecimento, como

discutido na Seo4.1 e apresentado na Equao (27), um desvanecimento

de Rayleigh. A distribuio de Rayleigh dada pela expresso (67) e

demonstrada, para diferentes valores de R , naFigura 33.

2

2 2exp 0

2

0 0

X R R

x xx

p x

x

(67)

Figura 33 - Distribuio Rayleigh

Nas simulaes foram considerados os seguintes parmetros: nmero

de elementos de antena 4L

; nmero de usurios 6K

; ngulo de chegadados usurios 6 60 0 30 60 90Kdoa -30 ; passo de adaptao do

Algoritmo RGLM, 0.001RGLM ; passo de adaptao do Algoritmo GLM,

0.004GLM ; fator de esquecimento, 0.75f ; potncia dos usurios 1,kP k ;

e potncia do rudo 2 0.1 .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

pX(x)

Distribuio Rayleigh

R= 0.5

R= 1

R= 2


45/55

44

Trs simulaes com diferentes valores de R foram feitas. AFigura 34

apresenta o resultado da simulao para o caso com desvanecimento 0.5R

e aFigura 35 eFigura 36,respectivamente para 1R e 2R .

Figura 34 - SINR para sinal com desvanecimento Rayleigh (R=0.5).

Figura 35 - SINR para sinal com desvanecimento Rayleigh (R=1).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

18

20

22

24

26

28

30

Iteraes

S

INR

(dB)

DesvanecimentoR= 0.5

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1000018

20

22

24

26

28

30

Iteraes

SIN

R

(dB)

DesvanecimentoR= 1

Algoritmo GLM

Algoritmo RGLM


46/55

45

Figura 36 - SINR para sinal com desvanecimento Rayleigh (R=2).

Atravs das simulaes pode-se verificar a influncia do

desvanecimento no desempenho dos algoritmos. Nota-se que a varincia da

distribuio do mdulo do efeito do desvanecimento, R , tem pouca influncia

no valor mdio da convergncia da SINR, no entanto, influncia fortemente na

sua velocidade e no desvio em torno da mdia.

Um cenrio de simulao equivalente, sem desvanecimento, foi

apresentado na Figura 18, com 0.75f e obteve-se uma SINR de

aproximadamente 60 dB aps cerca de 400 iteraes.

Nos casos com desvanecimento, as SINR convergiram para valores

entre 27 dB e 30 dB. Para 0.5R , a convergncia se deu aps cerca de

80.000 iteraes, para 1R , aps cerca de 4.000 iteraes e para 2R ,

aps aproximadamente 150 iteraes.

Verifica-se, portanto, que o desvanecimento do sinal degrada a

convergncia dos algoritmos tanto em termos do valor da SINR quanto em

termos da velocidade de convergncia.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 100018

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

Iteraes

SINR

(dB)

DesvanecimentoR= 2



47/55

46

5.6 Experimento 6Avaliao do desempenho computacional

Conforme pode ser verificado nos experimentos anteriores, para

determinadas combinaes dos parmetros GLM , RGLM e f o desempenho

dos algoritmos GLM e RGLM possuem desempenho equivalente em termos da

relao sinal interferncia+rudo. Entretanto, computacionalmente falando, os

dois algoritmos possuem ordens de complexidade bastante distintas, conforme

apresentado na Seo4.

Na Figura 37 so apresentados os nmeros de multiplicaes

(aproximado) do algoritmo GLM para diferentes nmeros de antenas e

diferentes ganhos de processamento M .

Figura 37Nmero de multiplicaes do algoritmo GLM para diferentes nmeros de antenas e ganhos de processamento.

AFigura 38 apresenta os nmeros de multiplicaes do algoritmo RGLM

para diferentes nmeros de antenas e ganhos de processamento.Comparando os dois grficos pode-se perceber a reduo drstica na

complexidade computacional proporcionada pelo algoritmo RGLM. No caso de

um sistema com 6 elementos de antena e ganho de processamento igual a 32,

por exemplo, o algoritmo GLM requer cerca de 8.000 multiplicaes por

iterao, enquanto o algoritmo RGLM requer pouco mais de 400.

4 5 6 7 8 9 100

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000Complexidade Computacional - Algoritmo GLM

NmerodeMultiplicaes

Nmero de Antenas

M= 8M = 16M = 32


48/55

47

Figura 38Nmero de multiplicaes do algoritmo RGLM para diferentes nmeros de antenas e ganhos de processamento.

4 5 6 7 8 9 100

100

200

300

400

500

600

700

800Complexidade Computacional - Algoritmo RGLM

NmerodeMultiplic

aes

Nmero de Antenas

M = 8M = 16M = 32


49/55

48

6. CONSIDERAES FINAIS

Neste trabalho foi estudado o algoritmo adaptativo de conformao de

feixes para sistemas de Mltiplo Acesso por Diviso de Cdigo Multi-Portadoras (MC-CDMA) em arranjo de antenas proposto em [1] e sua verso

original, apresentada em [15].

Para situar o problema de conformao de feixes para arranjo de

antenas em MC-CDMA foram apresentados mais detalhadamente os conceitos

de conformao de feixe em arranjo de antenas e os sistemas de multiplexao

CDMA e MC-CDMA. A partir dos conceitos anteriores, foi apresentado o critrio

da mxima SINR, usado na derivao de diversos algoritmos de conformao

de feixe, incluindo os dois algoritmos aqui apresentados. E, na sequencia,

foram apresentados os algoritmos GLM e RGLM.

Para verificar o desempenho dos algoritmos, os mesmos foram

implementados em MATLAB e os resultados das simulaes foram

apresentados.

De acordo com os resultados obtidos nas simulaes, possvel

verificar que os dois algoritmos podem ser sintonizados (ajustado parmetros

como o passo de atualizao e o fator de esquecimento) para que tenham

desempenho equivalente.

Entretanto, pode-se verificar que as modificaes do algoritmo GLM

apresentado em [15]que levaram ao algoritmo RGLMapresentado em [1]

permitem uma drstica reduo na complexidade computacional


50/55

49

7. APNDICE

7.1 Estimao das matrizes de autocovarincia

Das equaes (41) e (44) tem-se:

xx dd uu

R R R (68)

2N

zz dd uuR R R (69)

Rearranjando (68), pode-se escrever:

uu xx dd

R R R (70)

Substituindo (70) em(69), obtm-se:

2N

zz dd xx ddR R R R (71)

Rearranjando (71):

12

N

zz xx

dd

R RR (72)

E ainda, de (68), tem-se:

dd xx uu

R R R (73)

Substituindo (73) em (69), obtm-se:

2

12 2

N

N N

zz xx uu uu

zz xx uu

R R R R

R R R

(74)

E por fim:

2

12

N

N

xx zz

uu

R R

R (75)


51/55

50

7.2 Aproximao para SINR

Da equao (45) tem-se:

2e

1 12 2

N

N N

xx zzzz xx

dd uu

R RR R

R R (76)

A SINR, por sua vez, dada por:

H

HSINR dd

uu

w R w

w R w (77)

Substituindo (76) em (77) obtm-se:

2

H H

H H

SINR

N

zz xx

xx zz

w R w w R w

w R w w R w

(78)

Dividindo-se o numerador e denominador de (78) por Hxx

w R w , encontra-

se:

1

2

H

H

H

H

SINR

N

zz

xx

zz

xx

w R w

w R w

w R w

w R w

(79)

Rearranjando (79) obtm-se:

12

1 1 2

12

1

H H

H H

H

H

H

H

SINR N

SINR N SINR

N SINR

SINR

zz zz

xx xx

zz

xx

zz

xx

w R w w R w

w R w w R w

w R w

w R w

w R w

w R w

(80)

Simplificando (80) tem-se:

12

2 1

H

H

NN

SINR

zz

xx

w R w

w R w (81)


52/55

51

7.3 Clculo do Multiplicador de Lagrange

O termo n determinado considerando que a restrio ( 1H xx

w R w )

deve ser atendida para o vetor de coeficientes a ser utilizado na prxima

iterao, isto :

1 1 1H n n n xx

w R w (82)

Seja a equao de atualizao dos coeficientes, expressa por:

1n n n n n n n zz xxw w R w R w (83)

Pode-se substituir (83) na restrio (82). Obtm-se ento:

1

H

n n n n n n n

n n n n n n

zz xx xx

zz xx

w R w R w R

w R w R w

(84)

Expandindo a expresso (84) encontra-se:

2

2

2

2 2 1

H H

H

H H

H H

H H

H

H H

H H

n n n n n n n

n n n n n

n n n n

n n n n n

n n n n n

n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n

xx xx zz

xx xx

zz xx

xx xx

zz xx zz

zz xx xx

xx xx zz

xx xx xx

w R w w R R w

w R R w

w R R w

w R R w

w R R R w

w R R R w

w R R R w

w R R R w

(85)

Conhecendo a restrio e utilizando as estimativas instantneas das

matrizes de autocovarincia, tal que:

( ) ( )

( ) ( )

H

H

n n

n n

xx

zz

R x x

R z z

(86)

A expresso (85) pode ser rescrita como:


53/55

52

2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

H H H H

H H H

H H H

H H H H

H H H H

H H

n n n n n n n n n

n n n n n n

n n n n n nn

n n n n n n n nn n n n n n n n

n n n n

w x x x x x x w

w x x x x w

w x x x x w

w z z x x x x w

w x x x x z z w

w x x z z

( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

H

H H H

H H H H

n n

n n n n n n

n n n n n n n n

w

w z z x x w

w z z x x z z w

(87)

Fazendo:

H

H

H

H

n nn n

n n

y n n

x x

x z

w x

w z

(88)

A equao (87) pode ser rescrita como:

2 22 2

2 2

2 2Re ( )

( ) 2Re ( ) 0

n n y n

y n y n

(89)

O multiplicador de Lagrange pode, portanto, ser encontrado utilizando a

frmula de Bhaskara:

2

b b acn

a

(90)

com:

2 2

2

2 2

Re ( )

( ) 2Re ( )

a

b y n

c y n y n

(91)


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53

8. BIBLIOGRAFIA

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