algoritmi in podatkovne strukture - ucilnica.fri.uni-lj.si
TRANSCRIPT
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Algoritmi inpodatkovne strukture
Algoritmi inpodatkovne strukture
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Predstavitev polinomovPredstavitev polinomov
● Koeficientna predstavitev.
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Predstavitev polinomovPredstavitev polinomov
● Koeficientna predstavitev.
● Vrednostna predstavitev.● Nabor točk: ● Vrednosti v točkah:
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Prehod med predstavitvamiPrehod med predstavitvami
● Iz koeficientne v vrednostno.● Izračun vrednosti polinoma v točki – O(n).
– Uporaba Hornerjevega algoritma.● Izračun v n točkah – O(n2).
● Iz vrednostne v koeficientno.● Interpolacija s polinomom skozi n točk.
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Množenje polinomovMnoženje polinomov
● Množenje polinomov oz. konvolucija vektorjev.● Koeficientna predstavitev – O(n2).● Vrednostna predstavitev – O(n).
● Kako to izkoristiti?● Polinome v koeficientni predstavitvi
želimo hitreje množiti preko množenjav vrednostni predstavitvi.
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Množenje polinomovMnoženje polinomov
Koeficientna predstavitev
Vrednostnapredstavitev
Produkt polinomov
Produkt po komponentah
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Množenje polinomovMnoženje polinomov
Koeficientna predstavitev
Vrednostnapredstavitev
Produkt polinomov
Produkt po komponentah
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Množenje polinomovMnoženje polinomov
Koeficientna predstavitev
Vrednostnapredstavitev
Produkt polinomov
Produkt po komponentah
FFT
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Primitivni koren enotePrimitivni koren enote
● Komutativni kolobar (npr. kompleksna števila).● n-ti primitivni koren enote:
koren enote
primitivni koren
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Primer: kompleksna številaPrimer: kompleksna števila
● n-ti primitivni koren:
● Eulerjeva formula:
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Primer: kompleksna številaPrimer: kompleksna števila
● Dokaz.
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Primer: kompleksna številaPrimer: kompleksna števila
n=4 n=8
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Primer: obseg ZPrimer: obseg Zpp
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Diskretna Fourierjeva transformacijaDiskretna Fourierjeva transformacija
● DFT je transformacija polinoma (oz. vektorja):● iz koeficientne predstavitve
v vrednostno predstavitev v točkah
Vrednostna predstavitev Koeficientna predstavitev
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
DFT DFT
● Matrika F.
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Inverzni DFTInverzni DFT
● Inverzni DFT je skoraj enak DFT.
je tudi n-ti PKE.Množenje z 1/n.
Vaje APS, Vaje APS, ©© UČ, JM UČ, JM
Časovna zahtevnostČasovna zahtevnost
● Računanje DFT z matriko.● Časovna zahtevnost O(n^2).● Množenja polinomov na ta način ne pohitrimo (celo
poslabšamo ga).
● Zaradi lepih lastnosti PKE,je mogoče izvajanje DFT bistveno pohitriti.● Algoritem FFT – ● O tem več naslednjič …