Algoritmer og Datastrukturer 1

Quicksort [CLRS, kapitel 7]

Gerth Stølting Brodal

Quicksort:Sorter A[p..r]

Hoare, 1961Worst-case tid O(n2)

Ap r

x

Ap rq

x > x≤ x

Ar

jx>x≤x

i

?p

Quicksort på 23 elementer1 2 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 2319103 4 5 6 7 8 9

5 4 11 15 3 17 14 16 8 6 7 13 9 12

5 4 3 8 6 7 9

2310 5 4 20 11 22 15 3 17 14 16 19 8 6 21 7 13 9 12 2

2318 10 5 4 20 11 22 15 3 17 14 16 19 8 6 21 7 13 9 12 2 1

181

10 18 20 222321 192

22 2320 21 19

19

2 105 4 11 15 3 17 14 16 8 6 7 13 9 12

2321 20

20 21

21

10 15 11 17 13 14 12 16

5 4 3 8 6 7 9

5 4 3 6 87

86345

3 4 5

4

4

5

16 171214131115

1711 12

11

15

1513

1413

14

1413

13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Quicksort : Rekursionen for 151 2 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 2319103 4 5 6 7 8 9

5 4 11 15 3 17 14 16 8 6 7 13 9 12

5 4 3 8 6 7 9

2310 5 4 20 11 22 15 3 17 14 16 19 8 6 21 7 13 9 12 2

2318 10 5 4 20 11 22 15 3 17 14 16 19 8 6 21 7 13 9 12 2 1

181

10 18 20 222321 192

22 2320 21 19

19

2 105 4 11 15 3 17 14 16 8 6 7 13 9 12

2321 20

20 21

21

10 15 11 17 13 14 12 16

5 4 3 8 6 7 9

5 4 3 6 87

86345

3 4 5

4

4

5

16 171214131115

1711 12

11

15

1513

1413

14

1413

13

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Quicksort : Dybde ved n ≈ 220

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 10 20 30 40 50

# el

emen

ter

Dybde

Randomized Quicksort

Forventet tid O(n·log n)

Randomized Quicksort : Analyse

• Et array er i lag j hvis længde n(3/4)j+1.. n(3/4)j • En opdeling er god hvis hver del ≤ ¾ elementer

(mindst +1 lag) – sker med sandsynlighed ≥ 0.5• xi forventes ≤ 2 gange i hvert lag• Forventede dybde af xi ≤ 2·log4/3 n

x i

x i

x i

x i

x i

x i

x i

x i

lag 0

lag 1

lag 2

lag 3

lag 4

Randomized Quicksort : Analyse

Forventede tid for randomized quicksort

= O(Σi=1..n forventede dybde af input xi )

= O(Σi=1..n log n)

= O(n·log n)

Sorterings-algoritmer

Algoritme Worst-Case Tid

Heap-SortO(n·log n)

Merge-Sort

Insertion-Sort O(n2)

QuickSort(Deterministic og randomiseret)

O(n2)

Algoritme Forventet tid

Randomiseret QuickSort O(n·log n)

Sortering:

Eksperimentelle resultater

Mergesort med skift til Insertion-sort

Skift til insertion-sort ved små problemstørrelser n = 300.000 elementer

Quicksort med skift til Insertion-sort

Skift til insertion-sort ved små problemstørrelser n = 300.000 elementer

Tiden for Sorterings Algoritmer

Tiden for Sorterings Algoritmer

Algoritmer og Datastrukturer 1

Randomized-select [CLRS, kapitel 9.1-9.2]

Gerth Stølting Brodal

Beregning af Minimum of Maximum

• At finde minimum af n elementer kræver

n-1 sammenligninger

• At finde minimum og maximum af

n elementer kræver 3/2·n-2 sammenligninger

<

<

<

<

<

<

minimum maximum

Randomized Select:Find det i’te mindste element i A[p..r]

Forventet tid O(n)

rxqp

k

> x≤ x

Randomized Select : Analyse

x i

x i

x i

x i

x i

x i

x i

x i

lag 0

lag 1

lag 2

lag 3

lag 4

Forventede tid for randomized select

= O(Σj forventede tid i lag j)

≤ O(Σj n·(3/4)j · # forventede arrays i lag j)

≤ O(Σj n·(3/4)j · 2)

= O(n)