8/8/2019 Algor Ford Fulkerson

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Application de lalgorithme de FORD-FULKERSON

Soit le graphe orient et valu suivant :

Valuation

=

=

=

)(

0

compteenprisnoncotd

capacitc

b

Chercher le flot complet du rseau.

a

7

Capacit

b

c

dS P

e

10

8

3

3

8

4

2

3 4

7

64

a()

7

Capacit

b()

c()

d()

S()

P()

e()

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[0]

[0]

[0]

[0][0]

[0]

[0][0]

[0][0]

[0]

[0]

Flot nul

a(+S)

7

Capacit

b(+S)

c(+a)

d(+a)

S(+)

P(+c)

e(+b)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[0]

[0]

[0]

[0][0]

[0]

[0][0]

[0][0]

[0]

[0]

Premier marquage :

Lordre dans lequel on traite les sommets marqus est une file :

S, a, b, c, d, e, P

a(+S)

7

Capacit

b(+S)

c(+a)

d(+a)

S(+)

P(+c)

e

(+b)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[0]

[0]

[0]

[0][0]

[0]

[0][0]

[0][0]

[0]

[0]

Augmentation possible du flot dans la chane amliorante :

a7

cS P8 4

La capacit minimale de la chane : 4

On va donc augmenter le flot sur cette chane, au maximum, cad

jusqu la capacit minimale de la chane.

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2/6

a(+S)

7

Capacit

b(+S)

c(+a)

d(+a)S(+) P(+c)

e(+b)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[4]

[4]

[0]

[0][0]

[0]

[0][0]

[0][4]

[0]

[0]

Le flot sur cette chane est maintenant :

4/ 11 =vf

On remarque que le flot est complet dans Pc , cet arc est satur.

a()

7

Capacit

b()

c()

d()

S()

P()

e()

10

8

3

3

8

4

2

34

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[4]

[4]

[0]

[0]

[0]

[0]

[0][0]

[0][4]

[0]

[0]

Nouveau marquage :

Lordre dans lequel on traite les sommets marqus est une file :

S, a, b, c, d, e, P

a(+S)

7

Capacit

b(+S)

c(+a)

d(+a)

S(+)

P(+d)

e(+b)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[4]

[4]

[0]

[0][0]

[0]

[0][0]

[0]

[4]

[0]

[0]

Augmentation possible du flot dans la chane amliorante :

a3

dS P4 7

La capacit minimale de la chane : 3

On va donc augmenter le flot sur cette chane, au maximum, cad

jusqu la capacit minimale de la chane.

a(+S)

7

Capacit

b(+S)

c(+a)

d(+a)

S(+)

P(+d)

e(+b)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[4+3]

[4]

[3][0]

[0]

[0]

[0][0]

[0][4]

[3]

[0]

Le flot sur cette chane est maintenant :

3/ 22 =vf

On remarque que le flot est complet dans aS , cet arc est satur.

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3/6

a()

7

Capacit

b(+S)

c()

d()S(+) P()

e()

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[7]

[4]

[3]

[0][0]

[0]

[0][0]

[0][4]

[3]

[0]

Nouveau marquage :

Le sommet a nest pas marquable depuis S car il est satur.

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+b)

S(+)

P()

e(+b)

10

8

3

3

8

4

2

34

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[7]

[4]

[3]

[0]

[0]

[0]

[0][0]

[0][4]

[3]

[0]

On continue le marquage :

Le sommet b trait, on traite c.

Or on a 0),( >caf , on note donc le sommetapar )( c .

Ensuite on a Pc satur, on ne peut donc pas encore marquer P.

Les autres sommets encadrants c sont dj marqus (b et d), on

passe donc au suivant.

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+b)

S(+)

P(+d)

e(+b)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[7]

[4]

[3]

[0][0]

[0]

[0][0]

[0]

[4]

[3]

[0]

On continue le marquage :

On traite d.

on a ),(),( PdcPdf < , on note donc le sommet Ppar )( d+ .

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+b)

S(+)

P(+d)

e(+b)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[0]

[7]

[4]

[3][0]

[0]

[0]

[0][0]

[0][4]

[3]

[0]

Augmentation possible du flot dans la chane amliorante :

b10

dS P3 4

La capacit minimale de la chane : 3

On va donc augmenter le flot sur cette chane, au maximum, cad

jusqu la capacit minimale de la chane.

8/8/2019 Algor Ford Fulkerson

4/6

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+b)S(+) P(+d)

e(+b)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[3]

[7]

[4]

[3]

[0][0]

[3]

[0][0]

[0][4]

[3+3]

[0]

Le flot sur cette chane est maintenant :

3/ 33 =vf

On remarque que le flot est complet dans db , cet arc est satur.

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+b)

S(+)

P(+e)

e(+b)

10

8

3

3

8

4

2

34

7

64

[] Flot

() Marquage

[3]

[7]

[4]

[3]

[0]

[0]

[3]

[0][0]

[0][4]

[6]

[0]

Nouveau marquage

Lordre dans lequel on traite les sommets marqus est une file :

S, b, c, e, a, d, P

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+b)

S(+)

P(+e)

e(+b)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[3]

[7]

[4]

[3]

[0][0]

[3]

[0][0]

[0]

[4]

[6]

[0]

Augmentation possible du flot dans la chane amliorante :

b7

eS P3 6

La capacit minimale de la chane : 3

On va donc augmenter le flot sur cette chane, au maximum, cad

jusqu la capacit minimale de la chane.

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+b)

S(+)

P(+e)

e(+b)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[3+3]

[7]

[4]

[3][0]

[0]

[3]

[3][0]

[0][4]

[6]

[3]

Le flot sur cette chane est maintenant :

3/ 44 =vf

On remarque que le flot est complet dans eb , cet arc est satur.

8/8/2019 Algor Ford Fulkerson

5/6

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+c)S(+) P(+d)

e(+d)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[6]

[7]

[4]

[3]

[0][0]

[3]

[3][0]

[0][4]

[6]

[3]

Nouveau marquage :

Lordre dans lequel on traite les sommets marqus est une file :

S, b, c, d, a, P, e

Augmentation possible du flot dans la chane amliorante :

d1

b4

cS P2 3

La capacit minimale de la chane : 1

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+c)

S(+)

P(+d)

e(+d)

10

8

3

3

8

4

2

34

7

64

[] Flot

() Marquage

[6+1]

[7]

[4]

[3]

[0]

[1]

[3]

[3][0]

[1][4]

[6+1]

[3]

Le flot sur cette chane est maintenant :

1/ 55 =vf

On remarque que le flot est complet dans Pd , cet arc est satur.

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+c)

S(+)

P(+e)

e(+d)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[7]

[7]

[4]

[3]

[0][1]

[3]

[3][0]

[1]

[4]

[7]

[3]

Nouveau marquage :

Lordre dans lequel on traite les sommets marqus est une file :

S, b, c, d, a, e, P

Augmentation possible du flot dans la chane amliorante :

d4

b3

cS e1 2 3

P

La capacit minimale de la chane : 1

a(-c)

7

Capacit

b(+S)

c(+b)

d(+c)

S(+)

P(+e)

e(+d)

10

8

3

3

8

4

23

4

7

64

[] Flot

() Marquage

[7+1]

[7]

[4]

[3][0]

[1+1]

[3]

[3][1]

[1+1][4]

[7]

[3+1]

Le flot sur cette chane est maintenant :

1/ 66 =vf

On remarque que le flot est complet dans cb , cet arc est satur.

8/8/2019 Algor Ford Fulkerson

6/6

a()

7

Capacit

b(+S)

c()

d()

S(+)

P()

e()

10

8

3

3

8

4

2

34

7

64

[] Flot

() Marquage

[8]

[7]

[4]

[3]

[0][2]

[3]

[3][1]

[2][4]

[7]

[4]

A

Nouveau marquage :

On traite S, on marque b.

On traite b : aucun sommet nest marquable.

On na plus aucun sommet traiter.

On constate que P nest pas marqu, donc on a atteint le flot comple

du graphe.

15/)( = vPSf

On note : { }bSA ,= et AXA =