algintercap 1 numeros-reales

1Captulo 1

Nmeros reales

La cobertura que brindan las plizas de seguros mdicos difieren segn el tipo de plizaque tenga un individuo. Adems de los pagos anuales, ciertos planes para el cuidado dela salud requieren el pago de un deducible por cada visita al consultorio mdico. Otros tiposde pliza requieren que el individuo pague anualmente, cierta cantidad de dinero en gas-tos mdicos, y la compaa aseguradora cubre un gran porcentaje de los costos restantes. Enlas pginas 11 y 12 emplearemos las tcnicas desarrolladas por el famoso matemtico GeorgePolya para determinar la proporcin de una cuenta de gastos mdicos que una persona tienela responsabilidad de pagar, y la parte que cubrir la compaa aseguradora.

1.1 Habilidades de estudiopara tener xito enmatemticas

1.2 Solucin de problemas

1.3 Fracciones

1.4 El sistema de nmerosreales

1.5 Desigualdades

1.6 Suma de nmeros reales

1.7 Resta de nmeros reales

1.8 Multiplicacin y divisin denmeros reales

1.9 Exponentes, parntesis yorden de las operaciones

1.10 Propiedades del sistemade nmeros reales

Resumen del captuloEjercicios de repaso

del captuloExamen de prctica

del captulo

2 Captulo 1 Nmeros reales

Avance de la leccin n este captulo proporcionaremos las bases tanto de este curso como de cursosposteriores. Para muchos estudiantes, la seccin 1.1, Habilidades de estudio pa-

ra tener xito en las matemticas, podra ser la ms importante del libro. Lala concuidado y siga sus consejos. Si adopta estas habilidades de estudio, aumentarnsus posibilidades de xito en este curso de matemticas.

En la seccin 1.2, presentaremos un procedimiento de solucin de 5 pasos quese emplear a lo largo del libro. Otros temas importantes que cubriremos en estecaptulo son las fracciones y la estructura del sistema de nmeros reales.Antes depasar al captulo siguiente, es esencial comprender la suma, resta, multiplicacin ydivisin de nmeros reales que estudiaremos en las secciones 1.6 a 1.8.

E

1.1 HABILIDADES DE ESTUDIO PARA TENER XITO EN MATEMTICAS

1 Reconocer los objetivos de este libro de texto.

2 Adquirir hbitos de estudio adecuados.

3 Estudiar y presentar exmenes.

4 Administrar el tiempo.

5 Aprender a utilizar una calculadora.

Esta seccin es muy importante; lala con calma y siga sus consejos; para muchospodra ser la seccin principal del libro.

La mayora de quienes siguen este curso pertenecen a una de las siguientestres categoras: (1) aquellos que no estudiaron lgebra en el bachillerato, (2) quie-nes asistieron a un curso de lgebra en el bachillerato pero no comprendieron elmaterial, o (3) los que asistieron a un curso de lgebra en el bachillerato y tuvie-ron xito pero han estado fuera de la escuela por un tiempo y necesitan tomar elcurso nuevamente. Cualquiera que sea el caso, usted necesita adquirir hbitos deestudio para los cursos de matemticas.

Antes de analizar los hbitos de estudio, presentaremos los objetivos del li-bro, que le ayudarn a darse cuenta de la razn de incluir ciertos temas y de laforma de exponerlos.

1 Reconocer los objetivos de este libro de texto

Los objetivos de este libro de texto son:

1. Presentarle los temas tradicionales del lgebra.

2. Prepararlo para cursos ms avanzados.

3. Darle confianza y fomentar el gusto por las matemticas.

4. Mejorar su razonamiento y capacidad de pensamiento crtico.

5. Incrementar su comprensin acerca de la importancia de las matemticas enla solucin de problemas de la vida cotidiana.

6. Animarlo a pensar en forma matemtica, de modo que se sienta cmodo al tra-ducir problemas de la vida cotidiana a ecuaciones matemticas, para despusresolver los problemas.

Es importante darse cuenta de que este curso de matemticas es la base paraotros cursos ms avanzados. Si tiene una buena comprensin del lgebra le ser mssencillo tener xito en cursos posteriores.

Seccin 1.1 Habilidades de estudio para tener xito en matemticas 3

2 Adquirir hbitos de estudio adecuados

Mantener una actitud positiva

Podra estar pensando: Odio las matemticas u Ojal no tuviera que tomar es-ta clase. Quiz haya escuchado el concepto fobia a las matemticas y conside-re que usted cae en esa categora. Lo primero que necesita hacer para tener xitoen este curso es cambiar esa actitud por una ms positiva. Debe estar dispuesto adarse y darle a este curso una oportunidad.

Con base en sus experiencias con las matemticas, tal vez piense que esto esdifcil. Sin embargo, las matemticas son una disciplina en la que es preciso traba-jar. Muchos de quienes lean este libro de texto son ms maduros ahora que cuan-do asistieron a otros cursos de matemticas. Su madurez y deseo por aprender sonmuy importantes y pueden establecer una enorme diferencia para tener xito.Creo que puede tener xito en este curso, pero usted tambin debe creerlo.

Prepararse para la clase y poner atencin en ella

Como preparacin para la clase debe realizar la tarea. Si tiene dificultades con ella,o con algn concepto, escriba las preguntas para plantearlas a su profesor. Si se leasign una lectura como tarea, lea el material apropiado antes de la clase. En caso deque no se le asigne ninguna lectura, dedique unos cuantos minutos antes de la clasepara revisar el nuevo material.En este punto no tiene que comprender todo lo que lea;sino familiarizarse un poco con las definiciones y conceptos que se analizarn.Esta r-pida revisin le ayudar a comprender lo que explique su maestro durante la clase.

Despus de que se haya explicado el material en clase, lea lenta y cuidado-samente, palabra por palabra, las secciones correspondientes del libro.

Debe planear la asistencia a todas las clases. Muchos profesores estn deacuerdo en que existe una relacin inversa entre inasistencias y buenas calificaciones;es decir, entre ms se ausente de la clase, menor ser su calificacin. Cada vez quefalte, perder informacin importante. Si debe faltar a alguna clase, comunquesepreviamente con su profesor y consiga la lectura y tarea correspondientes a esaclase. De ser posible, antes de la siguiente clase pida a un amigo que le preste susnotas y cpielas, para comprender el material faltante.

Para tener un buen desempeo en este curso, debe comprender todo el ma-terial de este captulo, en especial las fracciones, pero tambin la suma y resta denmeros reales. Si tiene dificultades con esos temas, pida ayuda a su maestro.

En lgebra y otros cursos de matemticas, el material aprendido es acumula-tivo; es decir, el nuevo material se basa en el que se present anteriormente. Debe en-tender cada seccin antes de pasar a la siguiente, y cada captulo antes de continuarcon el siguiente; por lo tanto, no se atrase. Busque ayuda tan pronto como la nece-site, no espere! Asegrese de realizar toda la tarea y estudiar el libro de texto cui-dadosamente.Aumentar sus probabilidades de xito en este curso si lleva a cabotodas las recomendaciones que se dan en esta seccin.

Cuando est en clase, ponga atencin a lo que dice su profesor. Si no com-prende algo, pdale que repita la leccin o que la explique nuevamente. Si ley elmaterial por anticipado y tiene dudas, pregunte a su profesor; si no lo hace, ste nosabr que usted tiene problemas para comprender la leccin.

En la clase, tome notas cuidadosamente. Escriba los nmeros y letras conclaridad, de modo que pueda leerlos ms tarde. Asegrese de que las x no parez-can y o viceversa. No es necesario que escriba todo lo que dice el profesor; tomenota de los puntos principales y de los ejemplos que no estn en el libro de texto.Escribir de manera frentica podra ocasionar que pierda la secuencia de lo queest diciendo su profesor. Creer que puede escribir todo lo que se discute en cla-se sin entenderlo y suponer que podr comprenderlo despus es un error.


Lea el libro de textoLos libros de texto de matemticas no son novelas, as que deben leerse lenta y cui-dadosamente, palabra por palabra. Si no comprende lo que est leyendo, vuelva aleer el material. Al llegar a un concepto o definicin nuevos, tal vez convenga su-brayarlos para resaltarlos, y dar con ellos fcilmente ms tarde.Al llegar a un ejem-plo, lalo y sgalo lnea por lnea. No haga una lectura superficial. Despus resulvalousted mismo en una hoja.Adems, trabaje la seccin Ahora resuelva los ejerciciosque aparece en el libro de texto despus de varios ejemplos; esta seccin est dise-ada para que usted tenga la oportunidad de aplicar inmediatamente los nuevos co-nocimientos. Tome notas de todo lo que no comprenda y pregunte a su profesor.

Este libro de texto tiene caractersticas especiales para ayudarlo. Le sugieroque preste particular atencin a los apartados de Cmo evitar errores comunes ySugerencias, as como a los procedimientos y definiciones importantes que aparecendestacados. Los recuadros de Cmo evitar errores comunes se centran en los erro-res ms frecuentes que cometen los estudiantes. Lea y estudie cuidadosamente di-cho material y asegrese de comprender lo que se explica. Si evita cometer dichoserrores comunes, sus probabilidades para triunfar en ste y otros cursos de mate-mticas aumentarn en gran medida. Las Sugerencias ofrecen muchas tcnicas va-liosas para resolver ciertos problemas; tambin presentan informacin muy til odemuestran una alternativa para solucionar dichos problemas.

Haga la tareaLos dos compromisos ms importantes que usted debe contraer para tener xito eneste curso son: asistir a clase y hacer la tarea con regularidad. Sus ejercicios debehacerlos a conciencia y por completo. Haga la tarea tan pronto como sea posible,de modo que el material que se present en clase est fresco en su mente. Las in-vestigaciones demuestran que para los cursos de matemticas, estudiar y hacer latarea poco despus de la clase mejora la retencin y el desempeo. Las matem-ticas no se aprenden por observacin. Es necesario practicar lo que escuch enclase. Gracias a las tareas usted realmente aprender el material; al hacerlas, sedar cuenta de los problemas en los que necesita ayuda. Si no realiza los ejerciciosasignados, no sabr qu preguntar en clase.

Cuando haga la tarea asegrese de escribir bien y con cuidado, indique elnmero de ejercicio junto a cada problema y realcelo paso a paso. De ese modopodr hacer referencia a l ms tarde y comprender lo que est escrito. Preste par-ticular atencin a la escritura correcta de los signos y exponentes.

No olvide comprobar las respuestas de sus tareas. Las respuestas a los ejer-cicios de nmero impar estn al final de este libro, en donde tambin encontrarla solucin a todos los Ejercicios de repaso acumulativo, Ejercicios de repaso delcaptulo y Exmenes de prctica del captulo. Las respuestas a los Ejercicios de re-paso acumulativo aparecen justo despus de las preguntas especficas. Adems,despus de cada respuesta encontrar entre corchetes los nmeros de la secciny del objetivo en donde se present por primera vez el concepto relacionado. Lasrespuestas a los ejercicios de Actividad en equipo no se proporcionan porque que-remos que las obtenga precisamente mediante el trabajo en equipo.

Si tiene alguna dificultad con algunos de los ejercicios, mrquelos y no dudeen preguntar acerca de ellos en clase. No se detenga hasta que entienda todos losconceptos necesarios para resolver todos los problemas asignados.

EstudieEstudie en el ambiente apropiado, es decir, en un rea donde no se le interrumpaconstantemente, de tal manera que toda su atencin est dedicada a lo que estleyendo. Esta rea debe estar bien ventilada e iluminada; su escritorio debe tener


suficiente espacio para distribuir en l todo el material, y su silla debe ser cmo-da. Es recomendable que minimice las distracciones mientras estudia. Por otrolado, no debe estudiar sin parar; lo mejor es tomar breves periodos de descanso ca-da cierto tiempo.

Antes de comenzar a estudiar, asegrese de contar con todos los materialesnecesarios (lpices, marcadores, calculadora, etctera). No estara de ms resaltarlos puntos importantes analizados en clase o en el libro de texto.

Se recomienda a los estudiantes que dediquen al menos dos horas para es-tudiar y hacer la tarea por cada hora de clase.Algunos estudiantes requieren mstiempo que otros. Es importante distribuir el tiempo de estudio a lo largo de lasemana en lugar de estudiar durante un lapso nico.

Al estudiar no slo debe entender cmo resolver un problema, sino tambinpor qu sigue unos pasos especficos para hacerlo. Si no comprende por qu estsiguiendo un proceso especfico, no podr resolver problemas similares.

Al final de cada seccin, a partir de la 1.2, encontrar una serie de Ejerciciosde repaso acumulativo.Aun si estos ejercicios no se dejaran como tarea, le sugieroque los resuelva como parte de su proceso de estudio, ya que refuerzan lo visto enlas secciones anteriores, y ser menos probable que lo olvide si lo revisa varias ve-ces durante el curso.Tambin le sern muy provechosos al prepararse para el exa-men final. Si ha olvidado la forma de resolver alguno de los ejercicios de repasoacumulativo, deber volver a la seccin que se indica entre corchetes junto al pro-blema y revisarla. Despus, intente resolver nuevamente el problema.

3 Estudiar y presentar exmenes

Si estudia un poco todos los das, no tendr que desvelarse la noche anterior al exa-men. Comience a estudiar pronto. Si espera hasta el ltimo minuto tal vez no ten-ga tiempo de buscar la ayuda necesaria en caso de no poder resolver un problema.

Para preparar un examen realice lo siguiente:1. Lea las notas que tom en clase.2. Revise los ejercicios de tarea.3. Estudie las frmulas,definiciones y procedimientos que necesitar en el examen.4. Lea cuidadosamente los recuadros de Cmo evitar errores comunes y Suge-

rencias.5. Lea el resumen al final de cada captulo.6. Realice los ejercicios de repaso al final de cada captulo. Si tiene dificultades,

vuelva a estudiar las secciones correspondientes. Si los problemas continan,pida ayuda.

7. Resuelva el examen de prctica del captulo.8. Responda los cuestionarios que se den en forma previa en caso de que el ma-

terial cubierto por ellos se incluya en el examen.9. En caso de que el examen abarque material de los captulos anteriores, re-

suelva el Examen de repaso acumulativo.

Exmenes de mitad de curso y exmenes finalesAl estudiar para un examen largo de mitad o final de curso, siga los procedimien-tos analizados para prepararse, y adems:1. Estudie cuidadosamente todos los exmenes y cuestionarios previos. Aseg-

rese de haber aprendido a resolver los problemas que hubiese omitido.2. Resuelva los Exmenes de repaso acumulativo que aparecen al final de cada

captulo. stos cubren el material desde el comienzo del libro hasta el puntoen que se encuentren.


3. Si su profesor le ha proporcionado una hoja de trabajo o un examen de prc-tica, asegrese de realizarlo. Formule preguntas acerca de los problemas queno comprenda.

4. Comience su proceso de estudio con anticipacin, de modo que pueda pedirtoda la ayuda necesaria en el momento oportuno.

Para presentar el examen

Asegrese de dormir lo suficiente la noche anterior al examen. Si ha estudiadoapropiadamente, no tendr que desvelarse hacindolo en el ltimo momento. Lle-gue temprano al lugar del examen, de modo que disponga de unos cuantos minu-tos para relajarse. Si llega tarde comenzar con nerviosismo y ansiedad.Al recibirel examen, haga lo siguiente:1. Escriba todas las frmulas o ideas que necesita recordar.2. Revise rpidamente todo el examen para tener una idea de su extensin.Tam-

bin asegrese de que no faltan pginas.3. Lea con cuidado las instrucciones.4. Lea minuciosamente cada pregunta. Responda por completo cada una y ase-

grese de que contest la pregunta indicada.5. Primero responda las preguntas que entienda mejor; despus regrese para re-

solver aquellas de las que no est seguro. No invierta demasiado tiempo en unproblema pues podra no concluir el examen. Preprese para dedicar mstiempo a los problemas que valen ms puntos.

6. Trate de resolver todos los problemas. Si no obtiene la respuesta correcta, almenos habr conseguido algn crdito parcial. Si no trata de responder la pre-gunta perder todo su valor.

7. Trabaje cuidadosamente y paso a paso.Al hacerlo, copie todos los signos y ex-ponentes en forma correcta, y asegrese de copiar la pregunta original delexamen correctamente.

8. Escriba con claridad, de modo que el profesor pueda leer su trabajo; si no es-cribe claramente podr perder puntos.Adems, si su escritura no es clara, po-dra cometer un error al ir de un paso a otro. En los casos adecuados, asegresede que la respuesta final quede destacada encerrndola en un cuadro.

9. Si tiene tiempo, revise su trabajo y sus respuestas.10. No se preocupe si otros terminan antes o si usted es el ltimo. Utilice cualquier

tiempo adicional para revisar su trabajo.Mientras resuelve el examen permanezca calmado. No se preocupe si llega

a un problema que no puede solucionar. Pase a otra cosa y despus regrese a l.

4 Administrar el tiempo

Como mencionamos, es recomendable que los estudiantes dediquen, en promedio,dos horas para estudiar y hacer tareas por cada hora de clase. No siempre es fcilencontrar el tiempo necesario para el estudio. A continuacin se hacen algunassugerencias que podran serle tiles.1. Planee. Determine cundo estudiar y har la tarea. En esos periodos no

programe otras actividades, y trate de distribuirlos de manera uniforme du-rante la semana.

2. Sea organizado, de modo que no desperdicie tiempo en la bsqueda de suslibros, pluma, calculadora o notas.

3. Si se le permite emplear una calculadora, utilcela para hacer los clculos te-diosos.


4. Al terminar de estudiar, marque con claridad el punto del texto en que sedetuvo.

5. Trate de no aceptar otras responsabilidades. Debe establecer sus priorida-des. Si su educacin tiene la mxima prioridad, como debe ser, tiene quereducir el tiempo que dedica a otras actividades.

6. Si el tiempo es un problema, no se agobie con demasiados cursos. Si el siste-ma de su escuela lo permite, considere la posibilidad de cursar menos ma-terias. Si no cuenta con suficiente tiempo para estudiar, tanto su aprendizajecomo las calificaciones de todos sus cursos se vern afectados.

Utilice los suplementos

Este libro de texto incluye una gran variedad de suplementos.Averige cules deellos estn disponibles; le sern muy tiles. Los suplementos no sustituyen la lec-tura del libro de texto, pero pueden ayudarle a comprender mejor ste.Visite el si-tio Web de este libro en www.pearsoneducacion.net/angel, donde encontrarmuchsimo material, en ingls, que le ayudar en sus lecciones: ejercicios adicio-nales, cuestionarios de prctica que pueden calificarse, instrucciones para el uso dela calculadora graficadora de todas las marcas, y proyectos de los captulos.

Busque ayuda

Un consejo que subrayo mucho a mis estudiantes es: obtenga ayuda tan prontocomo sea posible! No espere! En matemticas, por lo general el material que serevisa un da se basa en el que se analiz el da anterior. As que si no entiende elmaterial de hoy, no podr entender el de maana.

En dnde buscar ayuda? Con frecuencia en los mismos colegios o univer-sidades existen varios lugares en donde obtener ayuda. Sera bueno que tratara dehacer un amigo en clase, alguien con quien pueda estudiar; a menudo esto redundaen una ayuda mutua. Otra idea sera formar un grupo de estudio con algunos com-paeros de su clase.Analizar los conceptos y hacer las tareas junto con sus compa-eros reforzar su propia comprensin del material.

No dude en acudir a su profesor cuando tenga problemas con el material. Sinembargo, asegrese de leer el material asignado e intente hacer la tarea antes deacudir con el profesor. Llegue preparado y haga preguntas especficas.

Con frecuencia hay otras fuentes de ayuda a su disposicin. Muchos cole-gios tienen un laboratorio o un centro de aprendizaje de matemticas con aseso-res para ayudar a los estudiantes. Pregunte a su profesor al principio del curso sila institucin cuenta con este servicio y en dnde se localiza. Utilice la asesoracuando sea necesario.

5 Aprender a utilizar una calculadora

Consiga una calculadora cientfica o graficadora en cuanto le sea posible. Pregun-te al maestro si recomienda alguna en particular para esta clase de matemticas uotras; o si puede utilizarla en la clase, tareas o exmenes. Si as fuera, utilcela siem-pre que sea posible para ahorrar tiempo.

Si la calculadora contiene una tecla o , se trata de una calcu-

ladora cientfica. No es posible utilizar la tecla de raz cuadrada para distinguirentre las calculadoras cientficas y las no cientficas, ya que ambas la tienen. Debeprestar particular atencin a los apartados Uso de la calculadora, que explican laforma de utilizarla para resolver problemas. Si utiliza una calculadora graficado-ra, ponga especial atencin a los recuadros de Uso de la calculadora graficadora.

1 SIN LOG


Tambin es posible que en ocasiones se vea obligado a recurrir al manual de re-ferencia adjunto con su calculadora.

Comentario final

Puede tener un buen desempeo en las matemticas si asiste a clases en forma re-gular, pone atencin, estudia su libro de texto cuidadosamente, hace la tarea a dia-rio, repasa con regularidad y pide ayuda apenas la necesite. Buena suerte en su curso.

Conjunto de ejercicios 1.1Conoce usted toda la informacin siguiente? Si no, pregntesela a su profesor lo ms pronto posible.

1. El nombre y las horas de oficina de su profesor.2. La ubicacin de su oficina y su nmero telefnico.3. Dnde y cundo obtener ayuda si su instructor no es-

t disponible?4. El nombre y nmero telefnico de un amigo de su clase.

5. Cules suplementos estn disponibles para auxiliar suaprendizaje?

6. Recomienda su instructor el empleo de una calculado-ra en particular?

7. Cundo utilizar la calculadora en este curso?

Si no sabe las respuestas de los puntos 1 a 7, debe investigarlas tan pronto como sea posible.

8. Cules son sus razones para tomar este curso?

9. Qu objetivos tiene para este curso?

10. Comienza este curso con actitud positiva? Es impor-tante que lo haga.

11. Enumere todo lo necesario para prepararse en formaadecuada para la clase.

12. Explique cmo debe leerse un libro de texto de mate-mticas.

13. Por cada hora de clase, cuntas horas fuera de ella serecomiendan para estudiar y hacer la tarea?

14. Al estudiar, no slo se debe entender cmo resolver unproblema, sino tambin la razn de seguir cada paso.Por qu?

15. Dos objetivos muy importantes que debe plantearsepara tener xito en este curso son a) hacer la tarea enforma regular y completa, y b) asistir a clase con regu-laridad. Explique por qu son necesarios.

16. Escriba un resumen de los pasos a seguir a la hora depresentar un examen.

17. Ha pensado estudiar con un amigo o grupo de compa-eros? Se da cuenta de las ventajas de hacerlo? De-tecta alguna desventaja?

George Polya

1.2 SOLUCIN DE PROBLEMAS

1 Aprender los cinco pasos del procedimiento de solucin deproblemas.

2 Solucionar problemas que involucran grficas de barras, lneaso crculos.

3 Solucionar problemas que implican estadsticas.

1 Aprender los cinco pasos del procedimientode solucin de problemas

Una de las principales razones para estudiar matemticas es que son tiles en la solu-cin de problemas de la vida cotidiana.A lo largo de este libro de texto, se resolvernproblemas.Para solucionar en forma matemtica la mayora de los problemas de la vi-da cotidiana es necesario tener la capacidad de expresarlos con smbolos matemti-cos.sta es una parte importante del procedimiento para la solucin de los problemasque se presentarn a continuacin. En el captulo 3 se dedicar mucho tiempo a ex-plicar cmo expresar los problemas de la vida cotidiana por medio de matemticas.

A continuacin presentaremos el procedimiento general, de cinco pasos, para lasolucin de problemas, desarrollado por George Polya y presentado en su libro Howto Solve It. Con este procedimiento general es posible enfocar cualquier problema.

Seccin 1.2 Solucin de problemas 9

Lineamientos para resolver problemas

1. Entender el problema.

Lea el problema cuidadosamente al menos dos veces. En la primera lectura,obtenga un panorama general. En la segunda, determine (a) qu es exactamentelo que tiene que hallar, y (b) qu informacin proporciona el problema.

Haga una lista de los hechos conocidos. Determine cules de ellos sonpertinentes para la solucin del problema.

Determine si es posible sustituir los nmeros por otros ms pequeos osencillos, a fin de hacer ms comprensible el problema.

Si organizar la informacin lo ayuda, enlstela en una tabla. De ser posible, elabore un diagrama para ilustrar el problema. Rotule la

informacin que se da.

2. Traducir el problema a lenguaje matemtico.

Por lo general, esto incluye expresar el problema en trminos de una expresino ecuacin algebraica. (En el captulo 3 se explicar la forma de expresarproblemas de aplicacin como ecuaciones).

Determine si existe una frmula que pueda utilizarse para resolver el problema.3. Realizar los clculos matemticos necesarios para resolver el problema.

4. Comprobar la respuesta obtenida en el paso 3.

Pregntese, tiene sentido la respuesta?, es razonable? Si la respuesta no esrazonable, revise su mtodo para solucionar el problema, as como sus clculos.

Si es posible, compruebe la solucin en el problema original.5. Asegurarse de haber respondido la pregunta.

Enuncie la respuesta con claridad.

En el paso 2 se emplean las palabras expresin algebraica. Una expresin al-gebraica, que en ocasiones slo recibe el nombre de expresin, es un trmino ge-neral para cualquier conjunto de nmeros, letras (llamadas variables), smbolosde agrupacin como parntesis o corchetes y operaciones (como suma, res-ta, multiplicacin y divisin). En esta seccin no se emplearn variables; su uso seestudiar ms adelante.

Ejemplos de expresiones

Los siguientes ejemplos muestran la manera de aplicar los lineamientos pa-ra la solucin de problemas. En ocasiones, se proporcionarn, en los ejemplos, loscinco pasos para ilustrar el procedimiento general. Sin embargo, en ciertos proble-mas no es posible o necesario enlistar cada uno de los pasos. En ciertos ejemplosse emplean nmeros decimales y porcentajes. Si necesita repasar los procedimien-tos para sumar, restar, multiplicar o dividir cifras decimales, o para revisar los por-centajes, lea el Apndice A antes de continuar.

EJEMPLO 1 Transporte El aeropuerto OHara, de Chicago, es el ms saturado del mundo,con alrededor de 65 millones de pasajeros que llegan y salen anualmente. El au-tobs express recorre, entre el aeropuerto y el centro de la ciudad, una distanciade 19 millas. Un autobs en particular hace 8 viajes redondos por da entre dichos

3 + 4, 6112 , 32, 122172

3 4,1 2


puntos, y lleva en promedio 12 pasajeros por viaje (en cada sentido). La tarifa encada sentido es de $17.50.

a) Cules son los ingresos del autobs por un da de operacin?

b) Si la tarifa en un solo sentido se incrementara un 10%, determine cul sera lanueva tarifa.

Solucin a) Entender el problema La lectura cuidadosa del problema indica que la tareaconsiste en encontrar los ingresos totales por un da de operacin. Es necesario ha-cer una lista de toda la informacin que se da y determinar cul es necesaria pa-ra encontrar el total de los ingresos.

Pertinente para resolverInformacin disponible el problema

65 millones de pasajeros que llegan o salen anualmente no19 millas del aeropuerto al centro no8 viajes redondos al da s12 pasajeros por viaje (en cada sentido) sTarifa de $17.50 (en cada sentido) s

Para calcular los ingresos totales no es necesario conocer el nmero de pa-sajeros que utilizan el aeropuerto, ni la distancia entre ste y el centro. Para solu-cionar este problema es necesario que se d cuenta de que los ingresos totalesdependen del nmero de viajes en cada sentido, del nmero promedio de pasaje-ros por viaje, y del costo por pasajero; todo esto en un da. El producto de estos tresnmeros arrojar los ingresos totales diarios. Tenemos 8 viajes redondos por da,por lo tanto, 2 8, o 16 viajes en un sentido cada da.

Traducir el problema a lenguaje matemtico

Efectuar los clculos

Tambin podran haberse utilizado 8 viajes redondos y una tarifa de $35.00por persona para obtener la respuesta. Podra explicar por qu?

Revisar la respuesta La respuesta de $3,360.00 es razonable, con base en la infor-macin que se da.

Responder la pregunta que se hace Los ingresos por un da de operacin son de$3,360.00.

b) Entender Si la tarifa se incrementa un 10%, la nueva ser 10% ms alta que$17.50. Por lo tanto, es necesario agregar el 10% de $17.50 a esta cifra para obte-ner la respuesta.Al realizar los clculos, los nmeros que expresan porcentajes engeneral cambian a cifras con decimales.

Traducir Tarifa nueva tarifa original 10% de la tarifa original

Calcular Tarifa nueva $17.50 0.10($17.50)

Revisar La respuesta de $19.25, es un poco mayor que $17.50, parece razonable.

Responder Al incrementarse un 10%, la tarifa nueva es de $19.25.

= $17.50 + $1.75 = $19.25

= 16 * 12 * $17.50 = $3360.00

ingresosen unda

= nmero deviajes en unsentido por da

* nmero depasajerospor viaje

* costo porpasajeros encada sentido


EJEMPLO 2 Velocidad de un procesador En febrero de 2001, el procesador ms veloz de In-tel, el Pentium 4, poda realizar alrededor de 1.5 mil millones de operaciones porsegundo (1.5 gigahertzios, que se representa como 1.5 GHz). Cuntas operacio-nes podran efectuarse en 0.3 segundos?

Solucin Entender Se da el nombre del procesador, la velocidad de alrededor de 1.5 mil mi-llones (1,500,000,000) de operaciones por segundo, y 0.3 segundos. Para determinarla respuesta de este problema no es necesario el nombre del procesador, Pentium 4.

A fin de obtener la respuesta, se requiere multiplicar o dividir? Es frecuenteque un problema muy sencillo parezca ms difcil debido a los nmeros que invo-lucra. Cuando nmeros muy grandes o muy pequeos hagan parecer confuso unproblema, hay que tratar de sustituirlos por otros de uso ms comn para de-terminar la manera de resolverlo. Supongamos que el procesador puede ejecutar6 operaciones por segundo. Cuntas operaciones realizara en dos segundos? Larespuesta a esta pregunta debera ser obvia. Es 6 2 o 12. Para obtener este re-sultado tuvimos que multiplicar; por lo tanto, tambin debemos multiplicar paraobtener la respuesta al problema que se plantea.

Traducir

Nmero de operaciones en 0.3 segundos 0.3 (nmero de operaciones por segundo)

Calcular

Con una calculadora

Revisar La respuesta, 450,000,000 de operaciones, es menor que las 1,500,000,000de operaciones por segundo, lo que tiene sentido debido a que el procesador ope-ra durante menos de un segundo.

Responder En 0.3 segundos, el procesador realiza 450,000,000 de operaciones.

EJEMPLO 3 Seguros mdicos La pliza de seguro mdico de Beth Rechsteiner es similar a lade muchos trabajadores. La pliza de Beth requiere que pague los primeros $100 degastos mdicos de cada ao calendario (que se llama deducible). Despus de pa-gar el deducible, ella cubre el 20% de los gastos mdicos (que se denomina copago)y la compaa aseguradora paga el 80%. (Hay un copago mximo de $600 que de-be pagar al ao. Despus de eso, la empresa aseguradora cubre el 100% del costode atencin.) El 1 de enero, Beth se torci su tobillo mientras jugaba tenis. Fue alconsultorio del doctor para que la revisara y obtuviera una placa de rayos X. Lacuenta total que se envi a la compaa aseguradora fue de $325.a) Qu monto de la cuenta ser responsabilidad de Beth?b) De cunto es responsable la compaa de seguros?

Solucin a) Entender En primer lugar enlistamos la informacin relevante.Informacin disponible

Deducible de $10020% de copago despus del deducible80% que paga la compaa de seguros despus del deducible$325 de la cuenta del mdico

El resto de la informacin no es necesaria para la solucin del problema.Beth ser res-ponsable de los primeros $100 y del 20% del saldo restante. La compaa asegurado-ra tiene la responsabilidad del 80% del saldo despus del deducible.Antes de calcularlo que adeuda Beth es necesario determinar el saldo de la cuenta despus de pagar eldeducible. El saldo de la cuenta despus del deducible es de $325 $100 $225.

= 450,000,000 = 0.311,500,000,0002


Traducir Responsabilidad de Beth deducible 20% de la cuenta despusdel deducible.

Calcular Responsabilidad de Beth 100 20%(225)

Revisar la respuesta La respuesta parece razonable. Beth le deber al doctor $145.

b) La compaa aseguradora ser responsable del 80% del saldo despus del de-ducible.

Responsabilidad de la compaa de seguros 80% del saldo despus del deducible

Por lo tanto, la compaa aseguradora es responsable de $180. Esto tiene sentidoya que la suma de esta cantidad y la que debe pagar Beth es igual a la cuenta quepas el doctor.

Tambin podramos haber respondido el inciso b) si restbamos lo que debe Bethdel total de la factura; pero para que usted pudiese practicar ms con los porcen-tajes decidimos obtener la solucin de esta forma.

2 Solucionar problemas que involucran grficas de barras, lneas o crculos

Con frecuencia, la solucin de problemas implica comprender y leer grficas yconjuntos de datos (o nmeros). En todo el libro se emplearn grficas de barras,de lneas (poligonales) y circulares (o de tipo pastel), as como conjuntos de datos.En esta seccin emplearemos algunas de estas grficas y explicaremos cmo in-terpretarlas. Para resolver el ejemplo 4, usted debe interpretar grficas de barras ycirculares, y trabajar con datos.

EJEMPLO 4 Comercio electrnico global Forrester Research Inc. (forrester.com) proporcio-n la siguiente informacin. Las grficas nos dan informacin sobre las ventas enel comercio electrnico (ventas que se realizan por Internet) e incluyen dos tiposde ventas: de negocio a negocio y de negocio a consumidor. Se estima que en 2007,esta clase de ventas podran llegar a ser por un total de $6.8 billones (estos datosslo son representativos).

La grfica de barras de la figura 1.1 muestra las ventas mundiales en el co-mercio electrnico. La grfica circular de la figura 1.2 ilustra el desglose de ven-tas electrnicas por regiones seleccionadas.a) Por medio de la grfica de la figura 1.1, estime las ventas en el comercio elec-trnico para 2007.b) Si las ventas mundiales en el comercio electrnico en 2007 son de $6.8 billones,utilice la figura 1.2 para estimar las ventas en el comercio electrnico para Norte-amrica, Asia/Pacfico, Europa Occidental, y el resto del mundo.

Solucin a) Con el empleo de la figura 1.1, se estima que en 2007 las ventas en el comercioelectrnico sern de alrededor de $6.8 billones. Observe que se utiliza la partefrontal de la barra para obtener la estimacin. Siempre que se trabaje con una gr-fica de barras tridimensional, como en este caso, se usar la cara del frente para de-terminar la lectura.

c) Entender La grfica circular de la figura 1.2 indica que alrededor del 50.9%de las ventas mundiales en el comercio electrnico en 2007 corresponde a Norte-amrica, el 24.3% a Asia/Pacfico, 22.6% a Europa Occidental, y 2.2% al resto del

$145 + $180 = $325

= 180 = 0.8012252

= 145 = 100 + 45 = 100 + 0.2012252

AHORA RESUELVAEL EJERCICIO 33


Comercio electrnico globalD

lar

es (

billo

nes)

0

8

6

4

2

2003 2004 2005 2006 2007

Ao

FIGURA 1.1

Desglose estimado de comercio electrnico global (Ventas por regin en 2007)

Norteamrica 50.9%

22.6%

Asia/Pacfico24.3%

Resto del mundo 2.2%

Europa Occidental

FIGURA 1.2

mundo. La suma de estos porcentajes es de 100%. (Observe que el 50.9% del readel crculo la ocupa Norteamrica, 24.3% es para Asia/Pacfico, 22.6% para EuropaOccidental, y 2.2% para el resto del mundo.) Para determinar la cantidad aproxi-mada de ventas en el comercio electrnico en Norteamrica, es necesario calcu-lar el 50.9% del total de ventas electrnicas. Para hacer esto, multiplicamos delsiguiente modo.

Traducir

Calcular

Cantidad de ventas en el comercio electrnico en Norteamrica 0.509($6.8 billones)

Por lo tanto, se espera que, en 2007, alrededor de $3.4612 billones de ventas en elcomercio electrnico ocurran en Norteamrica.

Para obtener las ventas electrnicas en las dems reas del mundo, efectua-mos clculos similares.

ventas electrnicas en Asia/Pacfico 0.243($6.8 billones) $1.6524 billones

ventas electrnicas en Europa Occidental 0.226($6.8 billones) $1.5368 billones

ventas electrnicas en el resto del mundo 0.022($6.8 billones) $0.1496 billones

Revisar Si sumamos las cuatro cifras, obtendremos un total de $6.8 billones. Portanto, nuestra respuesta es correcta.

$3.4612 billones $1.6524 billones $1.5368 billones $0.1496 billones $6.8 billones

Responder Las ventas electrnica estimadas en 2007 fueron: Norteamrica:$3.4612 billones;Asia/Pacfico: $1.6524 billones; Europa Occidental: $1.5368 billo-nes; el resto del mundo: $0.1496 billones.

En el ejemplo 5 se usar el smbolo L, que se lee es aproximadamenteigual a. Por ejemplo, si la respuesta de un problema fuera 34.12432, se escribiracomo L34.1.

= $3.4612 billones

acantidad de ventas en el comercioelectrnico en Norteamrica

b = aporcentaje del total de ventaselectrnicas en Norteamrica

b aventas electrnicastotales

b



FIGURA 1.3

EJEMPLO 5 El Supertazn La grfica de lneas (poligonal) de la figura 1.3 muestra el costode un comercial de 30 segundos durante los Supertazones de 1967 a 2002. Los pre-cios de la publicidad los establece la red de televisin.

a) Estime el costo de los comerciales de 30 segundos en 1975 y 2001.b) Qu diferencia hubo en el costo por un comercial de 30 segundos en 2001 yuno en 1975?c) Cuntas veces fue mayor el costo de un comercial de 30 segundos en 2001 so-bre el de 1975?

Solucin a) Al leer una grfica de lnea (poligonal) en la que sta tiene cierto espesor, co-mo la de la figura 1.3, usaremos el centro de la lnea para marcar la estimacin.Alobservar la lnea punteada en la grfica, se estima que el costo de un comercial de30 segundos fue de alrededor de $375,000 en 1975, y de cerca de $2.3 millones (o$2,300,000) en 2001.b) Se usa el procedimiento de solucin de problemas para responder la pregunta.

Entender Para determinar la diferencia en el costo de un comercial de 30 se-gundos, entre los aos 2001 y 1975, es necesario realizar una resta.

Traducir diferencia en el costo costo en 2001 costo en 1975

Calcular

Responder y revisar La respuesta parece razonable. El costo fue de $1,925,000 msen 2001.

c) Entender Si examinamos los incisos b) y c), podramos pensar que son iguales,pero no es as. En la seccin 1.1 se indica que es importante leer un libro de ma-temticas con cuidado, palabra por palabra. Los dos incisos difieren en que el b)pregunta cul es la diferencia en el costo, mientras que el c) pregunta cuntasveces ms. Para determinar el nmero de veces que el costo en 2001 ha sido ma-yor que el de 1975, es necesario dividir el costo en 2001 entre el de 1975, como seobserva a continuacin.

Traducir

Calcular

Revisar y responder Al observar la grfica, vemos que la respuesta es razonable.El costo de un comercial de 30 segundos durante el Supertazn de 2001 fue alre-dedor de 6.13 veces el costo del de 1975.

3 Solucionar problemas que implican estadsticas

Debido a que la comprensin de la estadstica es tan importante en nuestra socie-dad, a continuacin se estudiarn ciertos temas estadsticos que emplearemos pararesolver problemas.

La media y la mediana son dos medidas de tendencia central, conocidas tam-bin como promedios. Un promedio es un valor que representa un conjunto de da-tos (o nmeros). Si usted toma un curso de estadstica, estudiar estos promedioscon ms detalle, y conocer otros promedios.

Para obtener la media de un conjunto de datos primero sumamos todos losvalores y luego dividimos el resultado entre el nmero de valores. Por ejemplo,para calcular la media de 6, 9, 3, 12, 12, hacemos lo siguiente.

media =6 + 9 + 3 + 12 + 12

5=

425

= 8.4

calcular nmero de veces ms =2,300,000375,000

L 6.13

nmero de veces ms =costo en 2001costo en 1975

= $2,300,000 - $375,000 = $1,925,000

Fuente: Investigacin de la NFLNota: Los precios estn en dlares de 2001.

Costo de los comerciales en los Supertazones

Dl

ares

(m

illon

es) 2.5

1.5

0.5

2.0

1.0

0

Ao70 75 80 85 90 95 00


Se dividi la suma entre 5 porque hay cinco valores. La media es el promedio quese usa con mayor frecuencia, y por lo general es el valor en el que pensamos al uti-lizar la palabra promedio.

La mediana es el valor de en medio (valor central) de un conjunto de datosordenados. Ordenamos los datos de menor a mayor o viceversa. Para encontrar lamediana de 6, 9, 3, 12, 12, ordenamos los datos del ms pequeo al ms grande, co-mo sigue.

Valor central

El valor central del conjunto de datos ordenados es 9. Por lo tanto, la mediana es9. Observe que la cantidad de datos examinados es un nmero impar (non) y quela mitad de los valores est por encima de la mediana y la otra mitad est por de-bajo de ella.

Si tenemos un nmero par de datos por examinar, la mediana est entre losdos valores centrales. Por ejemplo, para calcular la mediana de 3, 12, 5, 12, 17, 9, or-denamos los datos de mayor a menor o viceversa.

Valores centrales

Como hay seis datos (nmero par), buscamos el valor que est a la mitad entre losdos valores centrales, que son 9 y 12. Para encontrar la mediana, sumamos dichosvalores y dividimos el resultado entre 2.

As, la mediana es 10.5. Observe que la mitad de los valores se encuentran arribade ella, y la mitad por debajo.

EJEMPLO 6 La calificacin media. Las seis primeras calificaciones de Alfonso Ramrez son 90,87, 76, 84, 78 y 62.

a) Encuentre la media de las seis calificaciones de Alfonso.b) Si hubiera un examen ms, cul sera la calificacin mnima que Alfonso ne-cesita para obtener cuando menos una B como promedio (es decir, un promediode 80 o ms)?c) Es posible que Alfonso obtenga un promedio de A (90 o ms)? Explique surespuesta.

Solucin a) Para obtener la media, sumamos las seis calificaciones y el resultado lo dividi-mos entre 6.

b) Mostraremos los pasos para resolver el problema para esta parte del ejemplo.

Entender La respuesta a esta parte se encuentra de diversas maneras. Para quela media de siete exmenes sea 80, los puntos totales de ellos debe ser de 7(80) o560. Podra explicar por qu? La calificacin mnima necesaria se encuentra si seresta de 560 la suma de las seis calificaciones.

Traducir

calificacin mnima que se necesita obtener

en el sptimo examen 560 suma de las primeras seis calificaciones

media =90 + 87 + 76 + 84 + 78 + 62

6=

4776

= 79.5

media =9 + 12

2=

212

= 10.5

q3, 5, 9, 12, 12, 17

q3, 6, 9, 12, 12


Fuente: Gloria Forthun, Southeast Regional Climate CenterRegistros de 1895 a 2001. El sureste comprende a Va, N.C. S.C., Ga, Fla y Ala.

Veranos ms secos en el suresteLa precipitacin pluvial promedio en el sureste es de 15.61 pulgadas.

Llu

via

(pul

gada

s)

Aos

0

16

4

8

12

1980 1954 1993 1925 1902 1983 1930 1990 1998 1921

10.63 10.67 10.68 10.83 11.60 11.7611.87 12.18 12.80 12.91

Calcular

Revisar Se verifica que una sptima calificacin, 83, nos d una media de 80, dela siguiente manera.

Respuesta Una sptima calificacin de 83 o ms, al menos, dar como resultadoun promedio de B.

c) Se utiliza el mismo razonamiento que en el inciso b). Para un promedio de 90,el total de puntos que Alfonso necesita obtener es de 90(7) 630. Como su totalde puntos es de 477, necesitar 630 477 o 153 puntos para obtener un prome-dio de A. Como el nmero mximo de puntos de que se dispone la mayora de losexmenes es de 100, Alfonso no podra obtener una A en el curso.

media =90 + 87 + 76 + 84 + 78 + 62 + 83

7=

5607

= 80

= 83 = 560 - 477 = 560 - 190 + 87 + 76 + 84 + 78 + 622

Conjunto de ejercicios 1.2

Ejercicios conceptuales

1. Mencione los cinco pasos del procedimiento para resol-ver problemas.

2. Qu es una expresin?3. Si un problema es difcil de resolver porque los nmeros en

l son muy grandes o muy pequeos, qu puede hacersepara que el problema sea ms fcil de solucionar?

4. Explique cmo se encuentra la media de un conjunto dedatos.

5. Explique cmo se halla la mediana de un conjunto de datos.6. En qu medida de tendencia central se piensa por lo ge-

neral como el promedio?7. Considere el conjunto de datos 2, 3, 5, 6, 30. Sin realizar

ningn clculo, podra determinar cul es ms grande, lamedia o la mediana? Explique su respuesta.

8. Considere el conjunto de datos 4, 101, 102, 103. Sin hacerningn clculo, determine cul es mayor, la media o la me-diana. Explique su respuesta.

9. Para sacar una calificacin de B, un estudiante debe te-ner una media de 80. Pat Mast tiene una media de 79de 10 exmenes. Se acerca a su maestro y le pide una B,con el razonamiento de que slo le falta un punto paraalcanzarla. Qu es lo que est equivocado en su plan-teamiento?

10. Considere el conjunto de datos 3, 3, 3, 4, 4, 4. Si uno de loscuatros cambiara a 5, qu es lo que cambiara, la mediay/o la mediana? Explique su respuesta.

Practique sus habilidades

En este conjunto de ejercicios, utilice una calculadora para ahorrar tiempo.

11. Calificaciones de examen Las calificaciones de JennaWebber son 78, 97, 59, 74 y 74. Para stas, determine: a) lamedia y b) la mediana.

12. Puntuacin de boliche La puntuacin de Eric Flemmingen cinco juegos fue de 161, 131, 187, 163 y 145. Para los jue-gos de Eric, calcule: a) la media y b) la mediana.

13. Facturas de tiendas Las facturas mensuales de Liz Kasterpara los cinco primeros meses de 2003, fueron de $204.83,$153.85, $210.03, $119.76 y $128.38. Para las facturas deLiz, obtenga a) la media y b) la mediana.

14. Cuentas de electricidad Las cuentas elctricas de Los Fo-xes de enero a junio de 2002, fueron de $96.56, $108.78,$87.23, $85.90, $79,55 y $65.88. Para estas cuentas, encuen-tre a) la media y b) la mediana.

15. Veranos secos La siguiente figura muestra los 10 vera-nos ms secos en el sureste, de 1895 a 2001. Halle a) lamedia y b) la mediana de las pulgadas de lluvia para los10 aos que se muestran.


Consulte el ejercicio 24. b)


16. Casas en venta En cierta comunidad hay ocho casas enventa. Sus precios son de $124,100, $175,900, $142,300,$164,800, $146,000, $210,000, $112,200, y $153,600. Deter-

Solucin de problemas

ConsumoValor energtico, de energa, (kJalimento (kJ) actividad min)

Malteada de chocolate 2,200 Caminata 25

Huevo frito 460 Ciclismo 35

Hamburguesa 1,550 Natacin 50

Pastel de fresa 1,440 Carrera 80

Vaso de leche descremada 350

/

24. Valores de la energa La siguiente tabla proporciona losvalores aproximados de la energa de ciertos alimentos, yel consumo de energa aproximado de algunas activida-des, en kilojoules (kJ). Determine cunto tiempo le toma-ra utilizar la energa de los siguientes alimentos.a) una hamburguesa, si corrierab) una malteada de chocolate, si caminarac) un vaso de leche descremada, con ciclismo

17. Comisiones Barbara Riedell gana el 5% de comisin porlos aparatos que vende. La ltima semana, sus ventas fue-ron por un total de $9400. Encuentre sus ingresos de esasemana.

18. Edificio Empire State El 1 de mayo de 1931 fue la inau-guracin del Empire State. Mide 1,454 pies, o 443 metros,de altura. Utilice esta informacin para determinar el n-mero aproximado de pies que hay en un metro.

19. Impuestos sobre ventas a) El impuesto sobre las ventas enJefferson County es de 7%. Cul es el impuesto que pa-g Jack Mayleben por un carro usado que cost $16,700antes de impuestos?b) Cul es el costo total del carro, incluyendo impuestos?

20. Cuenta de cheques El saldo de la cuenta de cheques deLois Heater es de $312.60. Ella adquiri cinco discos com-pactos a $17.11 cada uno, ya con IVA. Si paga con un che-que, cul es el nuevo saldo en su cuenta?

21. Compra de una computadora Scott Borden quiere com-prar una computadora que se vende en $950. Puede pagaral contado o dar a la tienda un enganche de $200 y 24 men-sualidades de $33.a) Si da el enganche y los pagos mensuales, cunto paga-

r por la computadora?b) Cunto dinero ahorrara si pagara el total del costo

al contado?22. Estacionamiento El Midtown Parking Lot cobra $1.50 por

cada hora, o fraccin, de estacionamiento.Alfredo Irizarriestaciona su auto de las 9:00 a.m. a las 5:00 p.m., cinco dasa la semana.a) Cul es su costo semanal por el estacionamiento?b) Cunto dinero ahorrara si pagara una tarifa semanal

de $35.00?23. Militares La siguiente grfica muestra el rea de la defensa

en que las mujeres se enlistaron al mes de enero de 2001. Siel nmero total de mujeres que se dio de alta es aproxima-damente de 91,600, determine cuntas mujeres ms se en-listaron en el ejrcito que en la marina.

mine a) la media y b) la mediana del precio de venta de lasocho casas.

Fuente: Departamento de Defensa de los E.U.

rea en que se enlistaron las mujeres

Ejrcito 45%

Fuerza Area 26%Marina

24%

Cuerpo de infantera

de marina 5%

25. Gasolina por distancia Cuando el odmetro del auto deTribet LaPierre da una lectura de 16,741.3, l llena el tan-que de gasolina. La siguiente vez que lo llena, caben 10.5galones y su odmetro indica 16,935.4. Determine el nme-ro de millas por galn que rinde su carro.

26. Jet Ski El costo de la renta de un jet ski en Dons Ski Ren-tal, es de $10.00 por 15 minutos, y en Carols Ski Rental esde $25 por media hora. Suponga que planea rentar un jetski por 3 horas.a) Cul es el mejor trato?b) Cunto ahorrara?


Ingreso brutoajustado Impuestos

$0 $45,200 15% del ingreso

$45,200 $109,250 $6,780.00 27.5% de lo quesobrepase de $45,200

$109,250 $166,500 de loque sobrepase de $109,250

$166,500 $297,350 de loque sobrepase de $166,500

$297,350 y ms de loque sobrepase de $297,350

$88,306.75 + 39.1%

$41,855.00 + 35.5%

$24,393.75 + 30.5%

Costo de la electricidad en California

0

Cen

tavo

s po

r ki

low

att-

hora

MesE DNOSAJJMAMF

5

10

15

20

25

30

35

40

Fuente: Pacific Gas & Electric Co.

3.2

3.91999

2000

40.0

4.4

27. Compra de llantas Eric Weiss compr cuatro llantas porcorreo. Pag $62.30 ms $6.20 de gastos de envo y manejopor cada llanta. No hubo impuesto sobre esta compra. Alrecibir las llantas, Eric tuvo que pagar $8.00 por montar ybalancear cada llanta. En una tienda local de llantas, elcosto total de las cuatro, con el montaje y balanceo, habrasido de $425 ms 8% de impuesto sobre las ventas. Cun-to ahorr Eric al comprarlas por correo?

28. Costo de la electricidad Por medio de la grfica que semuestra, determine la diferencia aproximada en el costo dela electricidad para una familia que us 1500 kilowatt-ho-ra de electricidad en diciembre de 1999, contra el que tu-vo en diciembre de 2000, si adquirieron su electricidad dePacific Gas & Electric Company.

29. Impuestos al ingreso En la siguiente tabla se ilustra el ta-bulador de la tasa de impuesto federal sobre el ingreso pa-ra 2001.

30. Conversiones a) A cunto equivale 1 milla por hora enpies por hora? En una milla hay 5280 pies.

b) A cunto equivale 1 milla por hora en pies por se-gundo?

c) A cunto es igual 60 millas por hora, en pies por se-gundo?88 feet per second

31. Goteo de un grifo Un grifo que gotea a razn de 1 onzade agua por minuto desperdicia 11.25 galones por da.

a) Cuntos galones de agua se desperdician en un ao(no bisiesto)?

b) Si el agua cuesta $5.20 por 1000 galones, cunto dine-ro adicional se paga al ao en la cuenta respectiva?

32. Presin de las llantas Cuando la presin de las llantas delauto de Sandra Hakanson es de 28 libras por pulgada cua-drada (psi), su carro rinde en promedio 17.3 millas por ga-ln (mpg) de gasolina. Si la presin se incrementa a 32 psi,promedia 18.0 mpg.

a) Qu tanto ms lejos viajara por cada galn de gaso-lina, si inflara sus llantas a la presin ms elevada?

b) Si manejara un promedio de 12,000 millas por ao,cuntos galones de gasolina ahorrara en un ao si in-crementara la presin de sus llantas de 28 a 32 psi?

c) Si la gasolina cuesta $1.40 por galn, cunto dineroahorrara en un ao?

33. Viaje en taxi Un taxi cobra $2 de banderazo a un clienteque haga uso de l, y despus 30 centavos por cada de mi-lla que viaje y 20 centavos por cada 30 segundos que pasedetenido en el trfico. David Lpez toma un taxi para via-jar una distancia de 3 millas y el vehculo pasa 90 segun-dos detenido en el trfico. Determine el costo del viaje deDavid.

34. Seguros Los conductores menores de 25 aos que aprue-ban un curso de manejo, por lo general tienen un premioen el seguro de su auto que consiste en una rebaja del 10%.La mayora de las aseguradoras ofrecen esta deduccinhasta que el chofer llega a los 25 aos de edad. Un cursoparticular de manejo cuesta $70.Andre DePue, que acabade cumplir 18, tiene un seguro para autos que cuesta $630por ao.

a) Si se excluye el costo del curso de manejo, cunto aho-rrara Andre en premios por el seguro de su carro, delos 18 a los 25 aos, si tomara el curso?

b) Cul sera su ahorro neto despus de pagar el costodel curso?

35. Cuidado de los nios La siguiente tabla muestra las tari-fas promedio por el cuidado de un nio en distintas ciuda-des. Determine lo siguiente:

a) La diferencia por el cuidado de los nios si se usa un dade atencin en centros en Austin y en Santa Mnica,durante 20 semanas.

b) El nmero promedio de horas de cuidadoras vesperti-nas (con edades de 14 a 18) que se obtendra en Min-neapolis, si la cantidad mxima que se desea gastar esde $132.

14

a) Si el ingreso bruto ajustado de los Donovin en 2001 fuede $34,612, determine sus impuestos.

b) Si el ingreso bruto ajustado de los Ortega en 2001 fuede $53,710, determine sus impuestos.


Tarifas promedio por Austin Minneapolis Ciudad de Nueva York Santa Monica, Calif.

Da de cuidado en un centro1 $109/semana $135/semana $350/semana $480/semana

Niera (tiempo completo) $550/semana $575/semana $650/semana $700/semana

Niera (tiempo parcial) $12/hora $12/hora $14/hora $13/hora

Niera vespertina (18 aos o ms) $12/hora $10/hora $13/hora $12/hora

Niera vespertina (edad de 14 a 18) $7/hora $6/hora $8/hora $7/hora1 para un preescolar.Fuente: Money magazine, sept. de 2001.

5 64321456 3 2 1

36. Salarios en el bisbol Alex Rodrguez, de los Texas Ran-gers, fue el jugador profesional de bisbol mejor pagado en2001, con ingresos de $25.2 millones. Roger Clemens, de losYanquis de Nueva York, fue el lanzador mejor pagado, con$15.5 millones. En 2001, Rodrguez bate 632 veces y Cle-mens (en la temporada regular) lanz 220.1 entradas. De-termine aproximadamente cunto ms recibi Clemenspor entrada lanzada que Rodrguez por cada batazo.

37. Equilibrio Considere la figura que se muestra. Supongaque las barras grises y rojas tienen el mismo peso, en dn-de debe colocarse un bloque gris, , para que la escala es-t equilibrada? Explique cmo determin su respuesta.

b) Es necesario un promedio de 70 para alcanzar una C enel curso. Es posible esto para Lamond? Si as fuera,cul es la calificacin mnima que debera obtener enel sexto examen?

42. Ingresos Considere los siguientes datos proporcionadosen un reporte periodstico del 18 de julio de 2002 por laU.S. Census Bureau. Los datos muestran el promedio deingresos durante la vida de individuos con diferente gra-do de educacin.

Suponga que la persona promedio trabaja 40 aos, 40horas a la semana y 48 semanas por ao (ignore los dasfestivos y vacaciones).

38. Exmenes El promedio de Andy Gilfillan en seis exme-nes es de 78. Encuentre la suma de estas calificaciones.

39. Costo de un hotel Lisa Davis, consultora, pas una nocheen cada uno de 8 hoteles diferentes cuando haca nego-cios. La cantidad total de las cuentas de los 8 hoteles fuede $1470.72. Determine el costo medio de su estancia enlos hoteles.

40. Datos de construccin Elabore un conjunto de cinco da-tos individuales cuya media sea de 70 sin que haya dos va-lores iguales.

41. Calificaciones de exmenes Se necesita obtener una me-dia de 60 en todos los exmenes para aprobar un curso.En sus primeros cinco exmenes, las calificaciones de La-mond Paine fueron de 50, 59, 67, 80 y 56.a) Cul es la calificacin mnima que Lamond debe ob-

tener en el sexto examen para poder aprobar el curso?

Ingresos promedio durante la vida

Educacin Ingresos

Grado profesional $4.4 millones

Doctorado $3.4 millones

Maestra $2.5 millones

Licenciatura $2.1 millones

Pasante o carrera tcnica $1.6 millones

Certificado de preparatoria $1.2 millones

a) Determine el nmero de horas que se trabaja en una vida.b) Calcule el salario promedio por hora de una persona

con certificado de preparatoriac) Obtenga el salario promedio por hora para una perso-

na con grado profesional.43. Esperanza de vida En octubre de 2001, la U.S. Census Bu-

reau anunci que la esperanza de vida de los estadouniden-ses se haba incrementado un poco, a 76.9 aos. Cree ustedque la institucin utiliza la media o la mediana? Explique.

Problema de desafo

44. Medidores La figura en la parte superior izquierda dela siguiente pgina muestra cmo leer un medidor de elec-tricidad (o gasolina).

1. Comience con el medidor de la derecha. Use el nme-ro ms pequeo (excepto cuando est entre 9 y 0; en talcaso utilice el 9). Observe que las flechas sobre el medi-dor indican la direccin en que se mueve la aguja (en elsentido del movimiento de las manecillas del reloj, y des-pus en sentido contrario).

2. Si la aguja est directamente sobre un nmero, vea elmedidor de la derecha para asegurarse de que rebasel 0 y est apuntando hacia el 1. Si el medidor de la de-recha no ha pasado el 0, utilice el nmero ms bajo si-guiente. El nmero en los medidores de la parte superiorizquierda de la pgina es 16064.


1.3 FRACCIONES

1 Conocer los smbolos de la multiplicacin e identificarlos factores.

2 Reducir fracciones.

3 Multiplicar fracciones.

4 Dividir fracciones.

5 Sumar y restar fracciones.

6 Convertir nmeros mixtos a fracciones, y viceversa.

Con frecuencia, los estudiantes que cursan lgebra por primera vez preguntancul es la diferencia entre la aritmtica y el lgebra?.Al hacer aritmtica, se co-nocen todas las cantidades que se usan en los clculos. Sin embargo, en lgebra hayuna o ms cantidades que se desconocen y deben calcularse.

EJEMPLO 1 Harina necesaria para una receta Una receta requiere 3 tazas, la seora Clark tie-ne dos. Cuntas tazas ms necesita?

Solucin La respuesta es 1 taza. Aunque es muy elemental, ste es un ejemplo de problema algebraico. La

cantidad desconocida es el nmero de tazas adicionales de harina necesarias.Para tener xito en lgebra es esencial entender los nmeros decimales (vea

el apndice A) y las fracciones. Usted debe saber cmo simplificar una fraccin ysumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. En esta seccin revisaremos estostemas. Tambin explicaremos el significado de los factores.

1 Conocer los smbolos de la multiplicacin e identificar los factores

Con frecuencia, en lgebra utilizamos letras llamadas variables para representara los nmeros. Las letras que ms se utilizan como variables son x,y y z, pero tambinpueden emplearse otras letras. Por lo general, las variables se escriben con cursi-vas. Por ello no hay confusin entre la variable x y el signo de multiplicacin, aun-que por lo general se emplea notacin diferente para indicar una multiplicacin.

0 123456

78

9 0 987654

321 0 12

345678

9 0 987654

321 0 12

345

1 6 0 6 4

678

9

Fuente: Southern California Edison, Understanding Your Electricity Bill

0 123456

78

9 0 987654

321 0 12

345678

9 0 987654

321 0 12

345678

9

Suponga que la lectura del mes anterior es la que se mues-tra a la izquierda, y que la de este mes es la siguiente.

a) Determine la lectura para este mes.b) Determine el costo de la electricidad para este mes,

primero con la resta de la lectura del mes anterior dela del actual (se mide en kilowatt-hora), y despusmultiplique la diferencia por el costo por kilowatt-ho-ra de electricidad. Suponga que la electricidad cuesta24.3 centavos por kilowatt-hora.

Seccin 1.3 Fracciones 21

Smbolos de multiplicacin

Si a y b representan dos cantidades matemticas cualesquiera, entonces podemos uti-lizar cada una de las siguientes expresiones para indicar el producto de a y b (a por b).

Ejemplos

3 por 4 3 por x x por yse escribe: se escribe: se escribe:

3x xy

Ahora introduciremos el trmino factores, que emplearemos en todo el libro. Acontinuacin se define factores.

DEFINICIN Los nmeros o variables multiplicados en un problema de multiplicacin se lla-man factores.

Si a b c, entonces a y b son factores de c.

Por ejemplo, en 3 5 15, los nmeros 3 y 5 son factores del producto 15. En2 15 30, los nmeros 2 y 15 son factores del producto 30. Observe que 30 tie-ne otros muchos factores. Como 5 6 30, los nmeros 5 y 6 tambin son fac-tores de 30. Debido a que 3x significa 3 por x, tanto 3 como x son factores de 3x.

2 Reducir fracciones

Ahora tenemos la informacin necesaria para analizar las fracciones. El nmeroque est en la parte superior de una fraccin se llama numerador, y el que est enla parte inferior recibe el nombre de denominador. En la fraccin 3 es el nume-rador y 5 el denominador.

SUGERENCIA Considere la fraccin Hay mtodos equivalentes para expresarla, como se ilustra acontinuacin.

En general,

Ahora se estudiar cmo simplificar una fraccin.Una fraccin se simplifica (o reduce a su mnima expresin) cuando el nu-

merador y el denominador no tienen factores comunes distintos de 1. Para simpli-ficar una fraccin, siga estos pasos.

Para simplificar una fraccin

1. Determine el nmero mayor que dividida (sin residuo) tanto al numerador comoal denominador. Este nmero se llama mximo comn divisor (MCD).

2. Despus, divida tanto el numerador como el denominador entre el mximo comndivisor.

ab = a , b = ba

35

= 3 , 5 = 53

35 .

35 ,

##

#

#

1x21y21321x21321421x2y132x1324x1y231x23142

ab a # b a1b2 1a2b 1a21b2



Si no recuerda cmo encontrar el mximo comn divisor de dos o ms nmeros, leael apndice B.

EJEMPLO 2 Simplifique a) b)

Solucin a) El nmero ms grande que divide tanto a 10 como a 25 es 5. Por tanto, 5 es elmximo comn divisor. Dividamos tanto el numerador como el denominador en-tre 5 para simplificar la fraccin en su mnima expresin.

b) Tanto 6 como 18 se dividen entre 1, 2, 3 y 6. El mayor de estos nmeros es 6, portanto es el mximo comn divisor. Divida tanto el numerador como el denomina-dor entre 6.

Observe en el ejemplo 2b) que tanto el numerador como el denominador

podran haberse escrito como un producto con un factor comn (6). Entonces, elfactor comn 6 podra eliminarse.

Al trabajar con fracciones debe reducir las respuestas a su mnima expresin.

3 Multiplicar fracciones

Para multiplicar dos o ms fracciones, multiplique sus numeradores y despus susdenominadores.

Multiplicacin de fracciones

EJEMPLO 3 Multiplique por

Solucin Para evitar tener que simplificar respuestas, es necesario que antes de mul-

tiplicar fracciones divida tanto el numerador como el denominador entre el m-ximo comn divisor.

EJEMPLO 4 Multiplique a) b)

Solucin a) Debido a que el numerador 8 y el denominador 16 son divisibles entre el m-ximo comn divisor 8, primero se divide entre 8 y despus se multiplica.

817

# 516

= 8 1

17# 5

16 2

=1 # 5

17 # 2 =5

34

2740

# 169

.8

17# 516

313

# 511

=3 # 5

13 # 11 =15

143

511

.313

a

b# cd

=ac

bd

618

=1 # 6 3 # 6 =

13

618

=6 , 6

18 , 6=

13

1025

=10 , 525 , 5

=25

618

.1025



b) Se divide tanto 27 como 9 entre 9.

Se divide tanto 40 como 16 entre 8.

Los nmeros 0, 1, 2, 3, 4, p son llamados enteros no negativos. Los tres pun-

tos despus del 4, que se denominan elipsis, indican que los enteros no negativoscontinan en forma indefinida de la misma manera. Por tanto, los nmeros 468 y5043 tambin son enteros no negativos. En la seccin 1.4 analizaremos los enterosno negativos. Para multiplicar un entero no negativo por una fraccin, se escribeel entero no negativo con el denominador de 1 y realice la multiplicacin.

EJEMPLO 5 Motor de una podadora Ciertos motores operan con una mezcla de gasolina yaceite. El motor de una podadora en particular requiere de una mezcla de de ga-ln de aceite por cada galn de gasolina que utiliza. Una compaa de jardineraquiere elaborar una mezcla para este motor empleando 12 galones de gasolina.Cunto aceite debe utilizar?

Solucin Para determinar la cantidad de aceite por usar debe multiplicarse 12 por . Enprimer lugar, se escribe 12 como y despus se divide tanto 12 como 64 entre sumximo comn divisor, 4, como sigue.

As, para elaborar la mezcla apropiada hay que agregar de galn de aceite a los12 galones de gasolina.

4 Dividir fracciones

Para dividir una fraccin entre otra, invierta el divisor (la segunda fraccin, si esque est escrita con el signo ) y proceda como en la multiplicacin.

Para dividir fracciones

En ocasiones, en lugar de pedir la respuesta de un problema sumando, res-tando, multiplicando o dividiendo, se puede solicitar la evaluacin de una expre-sin. Evaluar una expresin significa obtener la respuesta al problema por mediode las operaciones dadas.

EJEMPLO 6 Evaluar a) b)

Solucin a) 35

,56

=35

# 65

=3 # 65 # 5 =

1825

38

, 12.35

,56

a

b,

c

d=

a

b# d

c=

ad

bc

,

1516

12 # 564

=121

# 564

= 12

3

1# 5

64 16

=3 # 5

1 # 16 =1516

121 ,

564

564

=3 # 25 # 1 =

65

= 27

3

40 5

# 16 2

9 1

2740

# 169

= 27

3

40# 16

9 1

TEACHING TIPStress that responders should besimplified. Then point out that theresponders given in the back ofthe book are simplified.


b) Escribir 12 como Despus, invertir el divisor y multiplicar.

5 Sumar y restar fracciones

Slo se pueden sumar o restar las fracciones que tienen el mismo denominador (undenominador comn). Para sumar (o restar) fracciones con el mismo denomina-dor, sume (o reste) los numeradores y conserve dicho denominador.

Suma y resta de fracciones

EJEMPLO 7 Evaluemos a) b)

Solucin a) b) Para sumar (o restar) fracciones con denominadores diferentes, primero de-

bemos reescribir dichas fracciones con el mismo, o comn, denominador. El n-mero ms pequeo que es divisible entre dos o ms denominadores se llamamnimo comn denominador o mcd [que es el mnimo comn mltiplo (mcm) delos denominadores diferentes]. Si ha olvidado cmo encontrar el mnimo comndenominador, revise el apndice B.

EJEMPLO 8 Sumar

Solucin No podemos sumar estas fracciones hasta escribirlas con un denominador comn.Como el menor nmero divisible entre 2 como entre 5 (sin que haya residuo) es10, primero reescribamos ambas fracciones con el mnimo comn denominador,que es 10.

Ahora se suma.

Observe que al multiplicar tanto el numerador como el denominador por el

mismo nmero es lo mismo que multiplicar por 1. Por ello, el valor de la fraccinno cambia.

EJEMPLO 9 Qu tanto es ms grande de pulgada que de pulgada?

Solucin Para saber qu tanto ms grande, se necesita restar de pulgada de de pulgada.34

-23

34

23

23

34

12

+15

=5

10+

210

=7

10

12

=12

# 55

=5

10 y

15

=15

# 22

=2

10

12

+15

.

813

-5

13=

8 - 513

=3

13615

+2

15=

6 + 215

=8

15

813

-5

13615

+2

15

ac

+bc

=a + b

c o bien

ac

-bc

=a - b

c

38

, 12 =38

,121

= 3 1

8# 1

12 4

=1

32

121

.



El mnimo comn denominador es 12. Por tanto, reescribamos ambas fraccionescon un denominador igual a 12.

Ahora, se resta.

Por tanto, de pulgada es de pulgada mayor que de pulgada.

Es importante darse cuenta de que la cancelacin de un factor comn en el numeradorde una fraccin y en el denominador de otra fraccin diferente, slo puede llevarse a ca-bo cuando se multiplican fracciones. No es posible realizar dicho proceso cuando se su-man o restan fracciones.

PROBLEMAS CORRECTOS PROBLEMAS INCORRECTOSDE MULTIPLICACIN DE SUMA

6 Convertir nmeros mixtos a fracciones, y viceversa

Considere el nmero ste es un ejemplo de nmero mixto. Un nmero mix-to consta de un entero no negativo seguido de una fraccin. El nmero mixto significa El nmero mixto puede cambiarse a una fraccin de la siguien-te manera:

Note que expresamos el entero no negativo, 5, como una fraccin con denomina-dor 3, y entonces sumamos las fracciones.

EJEMPLO 10 Cambiar a fraccin.

Solucin Ahora, considere la fraccin Esta fraccin se convierte a un nmero mixto, co-mo sigue:

Observe que se escribi como la suma de dos fracciones, cada una con el deno-minador de 3. La primera fraccin que se suma es el equivalente del entero msgrande que es menor de

EJEMPLO 11 Cambiar a un nmero mixto.

Solucin 436

= 42

6+

16

= 7 +16

= 7 16

436

173 .

173

173

= 153

+23

= 5 +23

= 5 23

173 .

7 38

= 7 +38

= 56

8+

38

=56 + 3

8=

598

7 38

5 23

= 5 +23

= 153

+23

=15 + 2

3=

173

5 235 +23 .

5 23

5 23 .

8 2

+ 3 4 1

8 2 # 3

4 1

3 1

5+

1 3 1

3 1

5# 1

3 1

CMO EVITARERRORES COMUNES

23

112

34

34

-23

=9

12-

812

=1

12

34

=34

# 33

=9

12 y

23

=23

# 44

=8

12



SUGERENCIA Observe que en el ejemplo 11, la fraccin es una fraccin simplificada debido a queel mximo comn divisor del numerador y del denominador es 1. No hay que confundirla simplificacin de una fraccin con el cambio de una fraccin con valor mayor que 1a un nmero mixto. La fraccin puede convertirse al nmero mixto Sin embar-go, es una fraccin simplificada.

Ahora, se resolvern ejemplos que contienen nmeros mixtos.

EJEMPLO 12 Plomera Para reparar una fuga en un tubo, se pega un acoplamiento de pul-gada de largo a un tubo de plstico que mide pulgadas de largo. Cul es el lar-go de la combinacin? Vea la figura 1.4.

Solucin Entender y traducir Es necesario sumar pulgadas ms pulgada para obtenerlas longitudes combinadas. Se colocarn los dos nmeros uno sobre el otro. Des-pus de que se escriban las dos fracciones con un denominador comn, se sumar.

Calcular

Como la suma es

Revisar y responder La respuesta parece razonable. As, la longitud total es de pulgadas.

EJEMPLO 13 Crecer ms La grfica de la figura 1.5 muestra la altura de Kelly el 1 de enero de2002 y el 1 de enero de 2003. Cunto creci Kelly durante ese lapso?

3 116

3 116 .2 1716 = 2 +

1716 = 2 + 1

116 = 3

116 ,

2 916

+816

2 1716

:2

916

+12

122

916

2 916

12

436

7 16 .436

436

1 de enero de 2002

1 de enero de 2003

38

41 q

Altura (pulgadas)100 20 30 40

Crecimiento de Kelly

FIGURA 1.5

Solucin Entender y traducir Para encontrar el crecimiento, es necesario restar la altura del1 de enero de 2002 de la del 1 de enero de 2003; la resta se har en forma vertical.

Calcular

41 48

-38 78

:41

12

-38 78

2 916q

FIGURA 1.4


Como deseamos restar de , y es mayor que escribimos como Paraobtener tomamos 1 unidad del nmero 41 y la escribimos como Esto da

Ahora se resta como sigue.

Revisar y responder Al examinar la grfica, observamos que la respuesta es ra-zonable. Por lo tanto, Kelly creci pulgadas en ese tiempo. Aunque no es necesario cambiar nmeros mixtos a fracciones cuando se suman orestan stos, es necesario cambiarlos a fracciones si se multiplican o dividen. Esteprocedimiento se ilustra con el ejemplo 14.

EJEMPLO 14 Cortar tiras Una pieza rectangular de material de 3 pies de ancho por piesde largo, se corta en cinco tiras iguales, como se ilustra en la figura 1.6. Encuentrelas dimensiones de cada tira.

Solucin Entender y traducir Por el diagrama sabemos que un lado tendr un ancho de 3pies. Para encontrar el largo de las tiras, necesitamos dividir entre 5.

Calcular

Revisar y responder Si multiplicamos por 5, obtenemos la longitud originalde Por lo tanto, el clculo fue correcto. Las dimensiones de cada tira sern de3 pies por pies. 2 12

12 12 .2 12

12 12

, 5 =252

,51

= 25

5

2# 1

5 1

=52

= 2 12

12 12

12 12

2 58

40 128

-38 78

2 58

:41

48

-38 78

:41

12

-38 78

40 + 128 = 40 128 .=40 +

88 +

48=40 + 1 +

48

88 .40

128 ,

40 128 .41 48

48 ,

78

48

78

Ejercicios conceptuales

1. a) Qu son las variables?b) Qu letras es frecuente utilizar para representar variables?

2. Qu son los factores?3. Muestre cinco formas diferentes en que puede escribirse

5 por x.

4. En una fraccin, cul es el nombre de a) el nmero dearriba, y b) el nmero de abajo?

5. Explique cmo se simplifica una fraccin.

6. a) Cmo se llama a los tres puntos en la secuencia 4, 5,6, 7, p ?

b) Qu significan los tres puntos que siguen al 7?

7. a) Cul es el mnimo comn denominador de dos o msfracciones?

b) Escriba dos fracciones y despus d el mcd de ellas.

8. Cul es el mcd de las fracciones y Explique.710 ?38

En los ejercicios 9 y 10, cul inciso, a) o b), presenta una fraccin que se simplifica? Explique su respuesta.

9. a) b) b) 2 1

4 2

2 1

5# 1

4 2

10. a) b)7

12 3

# 4 1

5 4 1

12 3


FIGURA 1.6

Conjunto de ejercicios 1.3

3 pies

12q pies


En los ejercicios 11 y 12, uno de los procedimientos a) o b) esincorrecto. Determine cul es y explique por qu.

11. a) b) ) is incorrect

12. a) b)4

15 3

+ 5 1

74

15 3

# 5 1

7

4 1

5# 3

8 2

4 1

5+

3 8 2

13. a) b) c) d) c)45

,14

45

# 14

45

-14

45

+14

Prctica de habilidades

Simplifique cada fraccin. Si una de ellas ya est simplificada, dgalo.

21. 22. 4 23. 24. simplified

25. 1 26. 27. 28.

29. 30. 31. simplified 32.2031

80124

1225

47

60105

533

40264

29

1672

919

3676

37

921

1717

1925

23

1015

4010

14

312

Convierta cada nmero mixto en una fraccin.

33. 34. 35. 36.

37. 38. 39. 40.9932

3 332

8919

4 1319

569

6 29

194

4 34

7712

6 512

4315

2 1315

163

5 13

135

2 35

Escriba cada fraccin como un nmero mixto.

41. 42. 43. 44.

45. 46. 47. 48. 5 17

7214

4 47

327

5 213

6713

5 12

11020

4 12

92

3 34

154

3 25

175

1 34

74

Encuentre cada producto o cociente. Simplifique la respuesta.

49. 50. 51. 52.

53. 54. 55. 56.

57. 58. 59. 6 60.

61. 62. 63. 64. 94 45

,8

154310

or 4 310

5 38

, 1 14

813

2813

# 27

7740

or 1 3740

a2 15b a 7

8b

285

or 5 35

125

,37

103

,59

52

or 2 12

154

# 23

516

512

,43

1544

38

# 1011

12

38

,34

54

or 1 14

1516

# 43

32

or 1 12

34

,12

25

12

# 1215

19

512

# 415

37

35

# 57

815

23

# 45

15. divide out common factors, multiply numerators, multiply denominators 16. invert the divisor, then multiply17. Write fractions with common denominator, add or subtract numerators, keep common denominator

En los ejercicios 13 y 14 indique cualesquiera partes en lasque pueda dividirse un factor comn como primer paso pa-ra evaluar la expresin. Explique su respuesta.

14. a) b) c) d) b)

15. Explique cmo se multiplican las fracciones.

16. Diga cmo se dividen las fracciones.

17. Explique cmo se suman o restan fracciones.

18. D un ejemplo de nmero mixto.

19. La fraccin est simplificada? Explique su respuesta.

20. La fraccin est simplificada? Explique su respuesta.203

245

6 ,5

126 -

512

6 # 512

6 +5

12


Sume o reste. Simplifique cada respuesta.

65. 1 66. 67. 68.

69. 70. 71. 72.

73. 74. 75. 76.

77. 78. 79. 80.

81. 82. 83. 84.8324

or 3 1124

2 13

+ 1 18

6512

or 5 512

5 34

-13

218

or 2 58

2 38

+14

4715

or 3 215

6 13

- 3 15

4396

132

+5

121345

59

-4

157184

37

+5

121336

712

-29

356

58

-47

724

512

-18

1528

1128

+17

19

16

-1

18

112

56

-34

65

or 1 15

45

+6

153235

37

+1735

917

817

+2

34

1736

1836

-1

3613

512

-1

1258

38

+28

14

+34

Pul

gada

s

50

60

70

40

30

20

10

46~

Octavo cumpleaos

Duodcimo cumpleaos

55 316

Ventas en E.U. en 2001 para camionetas, minivanes y SUV.

Nacionales

Importados

3950

Fuente: J.D. Power and Associates

Solucin de problemas85. Aumento de estatura La siguiente grfica muestra la esta-

tura de Kim Brugger, en pulgadas, en su octavo y decimo-segundo cumpleaos. Cunto creci Kim en los 4 aos?

En muchos problemas se necesitar restar una fraccin de 1, en donde 1 representa el todo o la cantidad total. Los ejerci-cios 87 a 90 se responden al restar la fraccin dada de 1.

3

2

1

2~

Junio

2

Julio

1!

AgostoM

illas

Autopista pavimentada en meses seleccionados

86. Pavimentacin de un camino La siguiente grfica mues-tra el avance de la Davenport Paving Company en la pa-vimentacin de la Memorial Highway. Qu tanto de laautopista se paviment de junio a agosto?

90. Miembros de sindicatos La siguiente grfica ilustra lafraccin aproximada de trabajadores de E.U. que perte-necan a sindicatos en 2001. Determine la fraccin de tra-bajadores de E.U. que no pertenecan a ningn sindicatoen ese ao.

Miembros de sindicatos en E.U., 2001

Fuente: Bureau of Labor Statistics

Trabajadores que no

pertenecen a ningn sindicato

Trabajadores que pertenecen a un sindicato

325

91. Peso de camiones Un camin de plataforma que pesa toneladas carga dos automviles. Uno de stos pesa tony el otro ton. Cul es el peso total del camin con losdos autos?

1 34

1 16

4 12

87. Empleados en lnea En 2001, aproximadamente de to-dos los empleados de los E.U. estaban en lnea. Qu frac-cin de todos ellos no estaban en lnea en 2001?

88. Calentamiento global La probabilidad de que un eventono ocurra se encuentra al restar a 1 la probabilidad de ques ocurra. Si la probabilidad de que est ocurriendo un ca-lentamiento global es de encuentre la probabilidad deque no est sucediendo.

89. Venta de camiones Utilice la siguiente grfica para deter-minar la fraccin aproximada del mercado, de las ventas decamionetas, minivanes y SUV, que se importaron en 2001.

79 ,

2536


16s yardas

22s yardas14 yardas

q22 "

q2 "

~1 "

q26 "

File Edit View

?

Cabeza del tornillo

4 q pulg. 2 a pulg.

Tubo metlico

Tuerca, pulg.

Madera

92. Corte de madera De una pieza de madera de pulga-das de longitud, se corta un trozo de pulgadas. Cul esla longitud del trozo sobrante?

93. Crecimiento de la albina Una serpiente pitn albina deCypress Gardens, Florida, al nacer meda 3 pies pulga-das. Su longitud actual es de 15 pies pulgadas. Cuntoha crecido desde que naci?

94. Largo de los pantalones El largo de un par de pantalonesnuevos es 30 pulgadas. Si la talla de Sean Leland es de pulgadas, cunto necesita cortarse a la prenda?

95. Corte de madera Dawn Foster cort una pieza de made-ra que meda pulgadas en dos piezas iguales. Cuntomide cada pieza?

96. Hornear el pavo Las instrucciones en un pavo indicanque uno que pese entre 12 a 16 libras debe hornearse a325F durante 22 minutos por libra. Donna Draus planeahornear un pavo de . Aproximadamente cun-to tiempo debe hornear el pavo?

97. Cebollas cortadas Una receta para carne asada requieretasa de cebollas cortadas por cada libra de carne. Para

libras de filete, cuntas tasas de cebolla cortada se nece-sitan?

98. Cerca Rick OShea quiere cercar su patio, segn se ilus-tra. Los tres lados por cercar miden yardas, yardasy yardas.14 18

22 2316 23

5 1214

13 12 libras

3 18

28 38

2 123 14

16 34

3 116

a) Qu longitud de cerca necesitar Rick?

b) Si Rick comprara 60 yardas de cerca, cunta sobrara?

99. Champ Una botella de champ contiene 15 onzas defluido. Si Tierra Bentley utiliza de onza cada vez quelava su cabello, cuntas veces lo lavar Tierra con unabotella?

100. Dosis de medicamento Una enfermera debe dar de mi-ligramo de cierta medicina por cada kilogramo que pese elpaciente. Si el Sr. Duncan pesa 80 kilogramos, calcule lacantidad de medicina que debe drsele.

101. Ventanas Una ventana aislada para una casa est cons-truida con dos piezas de vidrio, cada una de de pulgadade espesor, con un espacio de 1 pulg entre ellas. Cul esel espesor total de esta ventana?

102. Pie de crema Un pie de crema de Boston pesa libras.Si el pie se divide en partes iguales para 6 personas, cun-to corresponder a cada una?

1 516

14

116

38

103. Madera cortada Un tramo de 28 pulgadas de madera vaa cortarse en tiras de de pulgada. Cuntas tiras com-pletas se obtendrn? Ignore la prdida de madera debidoa los cortes.

104. Tornillos sujetadores Un mecnico quiere utilizar un tor-nillo para unir una pieza de madera de pulgadas de es-

pesor a un tubo de pulgadas de espesor. Si el espesor dela tuerca es de de pulgada, calcule la longitud del eje deltornillo de modo que la tuerca se ajuste a la perfeccincon el extremo del tornillo (consulte la siguiente figura).

18

2 13

4 12

4 23

a) Habr suficiente altura para hacer esto?

b) Si as fuera, cunto espacio sobrante habra?

c) Encuentre la altura total del mueble para la computadora.

106. Refresco Si cinco botellas de 2 litros van a distribuirse porigual entre 30 personas, cunto corresponder a cadauna?

105. Gabinete para computadora Marcinda James planea com-prar una computadora por correo. El catlogo describeuna que mide pulgadas de alto con un monitor de pulgadas de altura. Marcinda espera colocar el monitorsobre la computadora y los dos elementos juntos dentro decierto espacio, segn se muestra en seguida.

14 387 12

Seccin 1.4 El sistema de nmeros reales 31

Problemas de reto

107. Sume o reste las siguientes fracciones por medio de la re-gla que se estudi en esta seccin. Su respuesta debe con-sistir en una sola fraccin, y contener los smbolos que sedan en el ejercicio.

a) b)

c) d)

e)

108. Multiplique las siguientes fracciones por medio de la reglaque se estudi en esta seccin. La respuesta debe consis-tir en una sola fraccin y contener los smbolos que se danen el ejercicio.

12x

-4x

x

3-

23

^ + 4n

^n

+4n

}?

-n?

+ ?a

a

+?a

a) b)

c) d)

e)

109. Dosis de medicina Una pldora de alopurina viene en do-sis de 300 miligramos. La Dra. Highland quiere que unapaciente corte las pldoras a la mitad y tome pldora tresveces al da para que consuma 450 miligramos cada da.Si quiere prescribir pldoras suficientes para un periodode 6 meses (suponga 30 das por mes), cuntas pldoras de-be prescribir?

12

3x

# xy

38

# 4y

xy

ab

x

a# yb

63

# ^n

^ nab

^a

# nb

Actividad en grupo

Porciones 2 4 8

Agua de taza taza tazas

Leche 2 tazas de taza de taza

Mantequilla* 1 taza 2 tazas 4 tazas

Sal de taza taza 1 taza

Hojuelas de papa de taza taza tazas

* O margarina. Si lo desea, utilice menos sal.

2 231 13

23

12

14

23

13

2 231 13

23

Estudie y responda en grupo el ejercicio 110.

110. Papas La siguiente tabla da la cantidad de cada ingredien-te que se recomienda para obtener 2, 4 y 8 porciones de pu-r de papas instantneo.

Determine la cantidad de hojuelas de papa y la leche quese necesita para hacer 6 porciones con los diferentes m-todos que se describen.Al trabajar

algintercap 1 numeros-reales

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