algebrelineaire

7/27/2019 AlgebreLineaire

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Cours Algbre Linaire :

Espaces Vectoriels rels

Matrices

Applications Linaires

Systmes Linaires

Universit Cheikh Anta Diop de Dakar (UCAD)

Facult des Sciences Economiques et de Gestion (FASEG)

Dpartement de Mathmatiques de la Dcision (DMD)

Licence 1

Babacar M. NDIAYE. Anne 2012-2013.

LMDAN, [email protected]

http ://lmdan.ucad.sn

Notes

Ces notes de cours correspondent un enseignement de premire anne de la FASEG.

Ceci constitue une troisime version et les chapitres manquants seront complts aufur et mesure quon avancera au cours de lanne.

Ce cours est le rsultat dune rexion technique pdagogique dont jespre quil apportera

aux tudiants une stimulation intellectuelle et un encouragement persvrer, chaque fois

que la comprhension dun phnomne conomique leur posera des difficults.

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2/58

Bien quayant relu attentivement toutes les notes, il reste plusieurs imperfections. Je

demande aux tudiants de men excuser, et de me les signaler an den amliorer la

qualit. Leurs camarades de lanne prochaine leur en seront reconnaissants.

Table des matires

1 ESPACES VECTORIELS SUR R 3

1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Dnition dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Sous-Espaces Vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Somme et Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Sous-espace vectoriel engendr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Base et Dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Combinaisons linaires et familles lies . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Combinaisons linaires et familles libres, systmes gnrateurs . . . 15

1.3.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.5 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 MATRICES 20

2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2 Matrices nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3 Matrices colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.4 Matrices lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.5 Matrice carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.6 Matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.7 Matrice diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.8 Matrice Identit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.9 Matrice transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2


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2.1.10 Matrice symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.11 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.12 Concatnation de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Oprations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Somme de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Multiplication externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.4 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Dterminant et inverse dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.1 Les dterminants dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.2 Les dterminants dordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.3 Les dterminants dordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.4 Linverse dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.5 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.6 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A Devoir anne 2011-2012 52

B Examen anne 2011-2012 53

C Devoir anne 2010-2011 54

D Examen anne 2010-2011 55

1 ESPACES VECTORIELS SUR R

Lutilisation despaces vectoriels reste un cadre thorique pour de nombreux modles

conomiques et de gestion.

Dans les applications conomiques, les espaces ont souvent une dimension suprieure 2.

La rpartition des parts de march entre diffrentes marques pour un produit donn, les

rsultats possibles dun tirage au hasard dans une population, les valeurs possibles dun

prix du baril dans un an peuvent tre reprsents par des vecteurs caractriss par un

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nombre de coordonnes suprieur deux. Il en est de mme pour lensemble des notes

obtenues par un tudiant la n dun semestre ou par les notes de mille tudiants de

premire anne dans une matire donne.

Dans la section 1.1 nous prsentons la dnition formelle dun espace vectoriel ainsi que

les proprits lmentaires de ces structures. Dans la section 1.2 nous verrons ce qui se

passe si on considre un sous-ensemble dun espace vectoriel. Et enn dans la section 1.3

nous traiterons de base et dimension dun espace vectoriel, cest dire les conditions dans

lesquelles un sous vecteur permet dobtenir tous les vecteurs de lespace par combinaison.

Nous restreignons le cours aux espaces dont les vecteurs ont un nombre ni de coordonnes.

1.1 Gnralits

Dans tout ce qui suit : K = R , muni des lois + et . naturelles.

1.1.1 Dnition dun espace vectoriel

Dnition 1.1. On appelle K -espace vectoriel ou espace vectoriel sur K , tout en-semble E , dont les lments sont appels vecteurs , muni dune loi de composition interne (appele addition et note + ) et dune loi de composition externe (appele multipli-

cateur par un scalaire et note . ) vriant :1. Laddition est une loi de composition interne sur E : (u, v) E 2, u + v existe et :

u + v E .

2. Laddition est associative, cest dire :

(u,v,w) E 3, (u + v) + w = u + ( v + w) = u + v + w

3. Il existe dans E un vecteur appel lment neutre de laddition, et not 0 , tel

que pour tout vecteur u E , on a :

u + 0 = 0 + u = u

4. Tout vecteur u de E possde un symtrique appel oppos de u, cest dire :

u E ,v E tel que u + v = v + u = 0

Le vecteur v est alors not -u.

Ce qui fait alors de ( E ,+) un groupe .

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5. Laddition est commutative, ce qui scrit :

(u, v) E 2, u + v = v + u

Ce qui rend le groupe (E

,+) commutatif ou ablien .La loi . ayant de plus les proprits suivantes :

6. Cest une loi de composition externe sur E : u E , K , .u existe et : .u E

7. La multiplication par un scalaire est associative :

(, ) K 2,u E , (.u ) = ( ).u

8. La multiplication par un scalaire est distributive par rapport laddition dans K :

(, ) K 2,u E , ( + ).u = u + u

9. La multiplication par un scalaire est distributive par rapport laddition dans E :

K ,(u, v) E 2, .(u + v) = u + v

10. Le nombre 1 est llment neutre de la multiplication par un scalaire :

u E , 1.u = u

Llment neutre de laddition, not 0 ou encore 0 , est appel vecteur nul .

Remarque 1.1. Les lments de E sont appels vecteurs et ceux de R scalaires .

Remarque 1.2. Ne pas confondre ce vecteur nul avec le 0 nombre rel.

Remarque 1.3. Pour dsigner la multiplication par un scalaire, nous noterons aussi le

produit .u par u .

Remarque 1.4. Les proprits suivantes sont importantes :

(i) u E , 0 .u = 0

(ii) R , .0 = 0

(iii) u E et R on a : .u = 0 ( = 0 ou u= 0)

(iv) R ,u E , ( ).u = . ( u) = (.u )

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(v) (u, v) E 2, R , . (u v) = .u .v

(vi) (, ) R 2,u E , ( )u = .u .u

(vii) (u,v,w) E 3 : u + w = v + w u = v

(viii) (u, v) E 2, il existe un unique vecteur tel que w tel que v = u + w

1.1.2 Quelques exemples

Exemple 1.1.

Lensemble des nombres rels R est un espace vectoriel, muni de laddition et de la multi-

plication usuelles. On vrie sans difficult les points de la dnition 1.1. Le nombre nul

de R est le nombre 0.

Exemple 1.2.

Le plan vectoriel, not R 2, est lensemble des couples xT = ( x1, x2) o xi R pour i = 1 , 2.

R 2 est un espace vectoriel si laddition est dni par :

x + y =x1

x2+

y1

y2=

x1 + y1

x2 + y2

et la multiplication par un scalaire par :

.x = .x1

x2=

x 1

x 2

o R .

Llment neutre de laddition (vecteur nul) est la matrice-colonne dont les deux lments

sont gaux 0.

Exemple 1.3.

Cet exemple a pour seul objet dattirer lattention sur le fait que les espaces vectoriels sont

des structures trs gnrales et peuvent caractriser des ensembles dobjets mathmatiques

nayant quun rapport lointain avec lintuition gomtrique de la notion de vecteur.

Soit A(R n ) lensemble des applications dnies sur R n valeurs dans R ; A(R n ) est un

espace vectoriel si on dnit laddition des applications et la multiplication par un scalaire

par :

(f + g)(u) = f (u) + g(u)

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(.f )(u) = f (u)

pour tout couple (f, g ) A(R n ) et tout vecteur u R n .

Bien que ces dnitions de la somme de deux applications et de la multiplication par un

nombre rel restent intuitives, lespace A(R n ) est beaucoup plus complexe que lespace R n

lui mme. En particulier, un vecteur f A(R n ) ne peut pas, en gnral, tre caractris

par un nombre ni de coordonnes.

Thorme 1.1. : Exemples : Les ensembles suivants sont des R -espaces vectoriels (sui-vant les cas), dits espaces vectoriels de rfrence.

1. les ensembles de n-uplets de rels R n ,

2. les ensembles de fonctions dnies sur I (ventuellement R ), valeurs dans R ,3. les ensembles de polynmes coefficients rels : R [X ] et R n [X ],

4. les ensembles de suites relles R n ,

5. les ensembles de matrices carres ou rectangles coefficients rels : M n , M (n,p ) .

Que se passe t-il quand on considre un sous-ensemble dun espace vectoriel ?Dans quelles conditions ce sous ensemble garde-t-il les proprits de la dnition 1.1 ?La notion de sous-espace vectoriel permet de rpondre cette question.

1.2 Sous-Espaces Vectoriels

1.2.1 Dnition

Dnition 1.2. Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble non vide de E . F est un sous-espace vectoriel (s.e.v.) de E si pour tout R et tout v F , .v F , et si

les points 7. 10. de la dnition 1.1 sont vris quand on remplace E par F dans leur

formulation.

La Dnition 1.2 a une expression relativement complexe mais sa signication est

simple.

F est un sous-espace vectoriel de E si F est lui mme un espace vectoriel muni de laddi-

tion des vecteurs (dans F ) et de la multiplication par un scalaire (le rsultat .v devant

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rester dans F si v F ).

On pourra alors vrier la stabilit par la multiplication, i.e. v F , R alors v F ;

ainsi que la stabilit par laddition, i.e. (u, v) F 2, u + v F .

On donne ci-aprs un critre plus simple pour vrier si un sous-ensemble dun espace

E est un sous-espace vectoriel. Il est parfois retenu comme dnition dun sous-espace

vectoriel ; cest pourquoi nous le prsentons comme tel.

Dnition 1.3. Soit E un espace vectoriel et F un sous-ensemble non vide de E . F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si

(, ) R 2, (u, v) F 2, .u + .v F

Exemple 1.4.

Soit E = R 3 et F 1 un sous-ensemble de E dni par :

F 1 = x E / x 1 + x2 + x3 = 0

o 1 xT = ( x1, x2, x3).

Si deux vecteurs de F 1, nots x et y, ont la somme de leurs composantes nulle, il en est

de mme pour z = x + y pour tout couple (, ).En effet, on peut crire :

z = x + y =

x 1 + y1

x 2 + y2

x 3 + y3

On a donc :

z 1 + z 2 + z 3 = x 1 + y1 + x 2 + y2 + x 3 + y3= (x1 + x2 + x3) + (y1 + y2 + y3)

= 0 + 0 = 0

Par consquent, F 1 est un sous-espace vectoriel de E .

Exemple 1.5.1. x T dsigne la transpose de x . Un vecteur x de R 3 tant une matrice-colonne, donc x T est une

matrice ligne.

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Le sous-ensemble {0 E } = {0 } rduit au vecteur nul est un sous-espace vectoriel de E .

Cest le plus petit sous-espace vectoriel de E et cest le seul qui contient un seul vecteur.

Consquence : Une intersection de deux sous-espaces vectoriels de E va toujours

contenir au moins le vecteur nul. En fait, on a le thorme plus gnral suivant.

Proposition 1.1. Lintersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E .

Dmonstration. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E .

F s.e.v. de E = 0 F

G s.e.v. de E = 0 G= 0 F G

Soient u, v F G et , R .On a :

F s.e.v. de E

u, v F= u + v F car F est stable par combinaison linaire

G s.e.v. de E

u, v G= u + v G car G est stable par combinaison linaire

Do u + v F G .

Pour illustrer cette proposition, considrons le sous-espace F 2 dni par :

F 2 = x E / x 1 2x2 + 3 x3 = 0 (1)

et montrons que F 1 F 2 est un sous-espace vectoriel de R 3.

On utilise pour cela la dnition 1.3. Si x et y appartiennent F 1 F 2 et si , sont

deux rels, on a :

z = x + y =

x 1 + y1

x 2 + y2

x 3 + y3

On a vu prcdemment que la somme des composantes de z est nulle.

Considrons maintenant la relation caractristique de F 2, savoir :

z 1 2z 2 + 3 z 3 = 0

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et cherchons vrier si elle est satisfaite.

On peut crire, aprs une mise en facteurs lmentaire :

z 1 2z 2 + 3 z 3 = (x1 2x2 + 3 x3) + (y1 2y2 + 3 y3)

Comme x et y sont dans F 2, on en dduit :

z 1 2z 2 + 3 z 3 = 0 + 0 = 0

On a bien z F 1 F 2.

Montrons que, en revanche, F 1 F 2 nest pas un sous-espace vectoriel en choisissant

x F 1 et y F 2 tels que z = x + y /F 1 F 2.

Il suffit de considrer xT

= (2 , 1, 3) F 1 et yT

= ( 1, 1, 1) F 2. On a alors :

z = x + y =

1

2

2

On vrie immdiatement que z nappartient ni F 1 ni F 2.

Remarque 1.5. Ce second exemple montre quen gnral la runion de deux s.e.v. nest pas un s.e.v.

1.2.2 Somme et Somme directe

Si on souhaite garder une structure despace vectoriel en ajoutant des vecteurs de deux

sous-espaces diffrents, il faut dnir de manire moins restrictive la somme de sous-

espaces. Pour cela, considrons lensemble dni par :

F 12 = z R 3 / z = x + y avec x F 1 et y F 2

F 12 est un s.e.v. de E = R 3. Cette remarque se gnralise la proposition suivante.

Proposition 1.2. Soient F 1,..., F k des s.e.v. dun e.v. E , et soit F un ensemble dni par :

F = x E / (1,..., k ) R k et u1 F 1,...,u k F k tels que x =k

i=1

i ui

F est un s.e.v. de E . On dit alors que F est la somme de F 1, F 2,..., F k , et on note F = F 1 + ... + F k .

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Dans cette proposition, il nest pas mentionn que les coefficients 1,..., k et les vecteurs

u1 F 1,...,u k F k sont dnis de manire unique pour x x, et cest dailleurs faux en

gnral. On peut construire un contre-exemple simple en supposant F 1 = F 2.

Lorsque la dcomposition est unique, on utilise une notion lgrement diffrente, indi-

que ci-aprs.

Dnition 1.4.

a) On appelle somme directe de F = F 1 + ... + F k le s.e.v. de E , lorsquil existe, tel que tout x de F se dcompose de manire unique en x =

k

i=1 i ui o (1,..., k ) R k

et u1 F 1,..., uk F k . On note alors :

F =k

i=1

F i

b) Si E est la somme directe de deux s.e.v. F 1 et F 2, on dit quils sont supplmen-taires .

La somme directe de s.e.v. nexiste pas toujours car la composition voque dans la d-

nition nest pas forcment unique.

Lintuition est que, dans ce dernier cas, les F i ont des vecteurs en commun autres que lesvecteurs 0. Cette intuition est formalise par la proposition suivante.

Proposition 1.3. Une condition ncessaire pour que la somme directe de F i soit dnie est que pour tout couple (i, j ), F i F j = {0 }.

Rappelons que comme tout espace vectoriel contient 0 , et lintersection de deux s.e.v.

contient au moins ce vecteur.

1.2.3 Sous-espace vectoriel engendr

Dnition 1.5. Soit F E . Le sous-espace vectoriel engendr par F , not V ect(F ), est le plus petit des sous-espaces vectoriels de E contenant F .

Justication :

Lensemble E des sous-espaces vectoriels de E contenant F nest pas vide, puisquil contientE .

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Lintersection X E X est un sous-espace vectoriel de E contenant A, et est contenu dans

chaque X de E , cest donc bien le plus petit des lments de E .

Proposition 1.4.

1. V ect() = {0 }

2. Si u E \{ 0 }, V ect({u}) = {u, R }, not aussi V ect(u).

3. F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si V ect(F ) = F .

4. Si F est un sous-espace vectoriel de E , et si G F , alors V ect(G ) F .

5. Soient F et G deux s.e.v. Si G F , alors V ect(G ) V ect(F ).

En effet : si G F = V ect(F ), donc G V ect(F ). Do V ect(G ) V ect(F )

(daprs le point prcdent).

1.3 Base et Dimension dun espace vectoriel

Dans lExemple 1.4, nous avons montr qu partir dun certain nombre de vecteurs de

rfrence (y0 et les yk , k=1,2), il tait possible, par combinaison, de construire nimporte

quel vecteur de R 3.

Il faut maintenant prciser ce quon entend par combinaison et spcier les condi-

tions dans lesquelles un sous vecteur permet dobtenir tous les vecteurs de lespace par

combinaison.

1.3.1 Combinaisons linaires et familles lies

Dnition 1.6. Soient u1, u2,...,u k des vecteurs de E et 1, 2,..., k des nombres rels.On appelle combinaison linaire des u j avec les coefficients j le vecteur x dni par :

x = 1u1 + 2u2 + ... + k uk =k

j =1 j u j

Cette notion de combinaison linaire est fondamentale car, comme nous lavons vu

dans lExemple 1.4 si les vecteurs u j dsignent des valeurs futures dactifs nanciers dans

diffrents tats de la nature, le vecteurs x reprsente les valeurs du portefeuille contenant

j , pour j = 1 ,...,k .

Nous reproduisons au Tableau 1 les donnes correspondantes au model compensatoire

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linaire dans lequel un consommateur donne des notes des ordinateurs portables sur

diffrents attributs (quatre attributs dans cet exemple) et affecte ensuite une note globale

en pondrant les attributs.

Table 1 Notes sur les attributs des quatre ordinateursordinateur puissance de calcul performances graphiques logiciels prix

A 10 8 6 4

B 8 6 8 3

C 6 8 10 5

D 4 3 7 8

Le vecteur des poids accords par le consommateur ces attributs est dni par :

=

40%

30%

20%

10%

Chaque attribut peut tre vu comme un vecteur de R 4 dont les composantes sont les notes

des quatre ordinateurs.

On notera u1, u2, u3, u4 ces attributs pour calcul , graphique , logiciel , prix . Dans ce cadre,

le vecteur des notes nales scrit comme la combinaison linaire.

1u1 + 2u2 + 3u3 + 4u4

On remarque que le vecteur nal peut tre obtenu en faisant le produit de la matrice (4,4)

des notes par la matrice des poids de dimensions (4,1), sous la forme :

10 8 6 4

8 6 8 3

6 8 10 5

4 3 7 8

0.4

0.3

0.2

0.1

=

8

6.9

7.3

4.7

Il reste au consommateur choisir lordinateur correspondant la composante la plus

leve du vecteur des rsultats, cest dire lordinateur A.

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On comprend mieux pourquoi ce modle est appel compensatoire linaire. Il y a, en effet,

combinaison linaire des attributs pour obtenir un vecteur de notes permettant de faire

un choix.

Plus gnralement, la proposition suivante illustre limportance de la notion de combi-

naison linaire de vecteurs dans la construction dun espace vectoriel.

Proposition 1.5. Soient u1, u2,...,u k des vecteurs de E et notons F lensemble des com-binaisons linaires de vecteurs u j , j = 1 ,...,k , cest dire :

F = x E / R k , x =k

j =1

j u j

Alors, F est un s.e.v. de E .

Cette proposition nest rien dautre quun cas particulier de la Proposition 1.2 dans la-

quelle F j serait lespace vectoriel engendr par u j .

Dnition 1.7. Soient u1, u2,...,u k des vecteurs de E . Ils sont dits linairement d-pendants sil existe des coefficients = ( 1, 2,..., k ) avec = 0 tels que :

k

j =1

j u j = 0 (2)

On dit aussi que u1, u2,...,u k est une famille lie.

Cette dnition traduit le fait quun quelconque u j des k vecteurs peut scrire comme

une combinaison linaire des autres vecteurs. En effet, sil existe un indice j tel que j = 0 ,

on peut crire :

u j = k

i=1i= j

i j

ui

Remarque 1.6. Si k vecteurs forment une famille lie (ils sont linairement dpendants),on peut ajouter un nombre quelconque de vecteurs cette famille, elle restera lie.

En effet, il suffira daffecter des coefficients nuls aux nouveaux vecteurs pour retrouver

une relation comme celle de la dnition prcdente.

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Exemple 1.6.

Considrons les trois vecteurs de R 3 suivants :

u1 =

1

32

u2 =

4

13

u3 =

3

41

Ces vecteurs sont lis par la relation u3 = u1 + u2.

Le vecteur u3 scrit ainsi comme combinaison linaire de u1 et u2 et on a :

u1 + u2 u3 = 0

Cette famille est donc lie.

1.3.2 Combinaisons linaires et familles libres, systmes gnrateurs

Dnition 1.8. Soient u1, u2,...,u k des vecteurs de E . Ils sont dits linairement ind-pendants sils ne constituent pas une famille lie. On dit alors quil sagit dune famillelibre .

En dautres termes, si u1, u2,...,u k est une famille libre, on a limplication

k

j =1

j u j = 0 = = ( 1, 2,..., k ) = 0 (3)

Remarque 1.7. En particulier, deux vecteurs u1 et u2 sont linairement indpen-dants sil nexiste pas de rel tel que u2 = u 1, cest--dire si les deux vecteurs nesont pas proportionnels .

Exemple 1.7.

Soient u1 et u2 les vecteurs de R 3

dnis par :

u1 =

1

4

2

u2 =

2

1

3

Ces vecteurs sont linairement indpendants. En effet, supposons quil existe deux rels

non nuls et tels que :

u 1 + u 2 = 0

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On peut alors crire :

+ 2 = 0

4 + = 0

2 + 3 = 0

On dduit de la seconde quation que = 4. En remplaant par sa valeur dans

la premire, on obtient + 2( 4) = 0 , cest dire = 0 et cela implique, par lune

quelconque des trois quations, que = 0 . Ce rsultat contredit lhypothse selon laquelle

et sont non nuls.

On a, pour les familles libres, une proprit symtrique celle mentionne pour les familles

lies.

Proposition 1.6. Si k vecteurs forment une famille libre, un sous-ensemble quelconque de ces vecteurs est encore une famille libre.

Pour illustrer cette proprit, considrons k vecteurs u1, u2,...,u k formant un famille

libre B et supposons quil existe un sous-ensemble B de p vecteurs formant une famille

lie. Pour simplier, supposons que B = {u1, u2,...,u p}. Il existe alors R p, = 0 tel

que p

i=1 i ui = 0 . En posant p+1 = p+2 = ... = k = 0 , on peut aussi crire :

k

i=1

i ui = 0

et les i ne sont pas tous nuls. Cette galit contredit lhypothse selon laquelle B est une

famille libre.

Dnition 1.9. Une famille ( u1, u2,...,u k ) de vecteurs de E est appele systme gn-rateur (ou famille gnratrice ) si tout x E scrit comme une combinaison linaire de ( u1, u2,...,u k ).

x E , R k tel que x = 1u1 + 2u2 + ... + k uk =k

j =1

j u j

Lorsquune famille B de vecteurs est un systme gnrateur dun espace vectoriel E (on

dit aussi que B engendre E ), toute famille B qui contient B engendre aussi E . Cependant,

si B B et B = B alors B est forcment lie.

Il est alors naturel de sinterroger sur la plus petite famille engendrant E , cest--

dire celle qui contient le moins dlments.

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1.3.3 Bases

Dnition 1.10. Une famille B de vecteurs de E est une base de E si B est une famille libre et si elle engendre E .

Lorsque B est lie et engendre E , on peut toujours, pour un vecteur x quelconque, trouver

plusieurs combinaisons linaires des vecteurs de B qui sont gales x. En effet, supposons

que :

x = 1u1 + 2u2 + ... + n un =n

i=1

iu i

avec B = {u1, u2,...,u n }.

Si B est lie, on peut par exemple crire u1 =n

i=2 iu i . En remplaant ui par sa valeur,on obtient :

x =n

i=2

( i + 1 i )ui

ce qui donne une seconde combinaison linaire des vecteurs de B gale x.

Dans le cas o B est libre, cette dcomposition est unique, ce qui se traduit par la

proposition suivante.

Proposition 1.7. Une famille B = {u1,...,u n } est une base dun espace vectoriel E si et seulement si tout vecteur x E scrit dune manire unique comme combinaison linaire des vecteurs de B . On a alors :

x = 1u1 + 2u2 + ... + n un =n

i=1

iu i

et les i , sont appels coordonnes (ou composantes ) de x dans la base B .

Chaque fois quon se donne une base B et un vecteur x, ce dernier est caractris par

les coefficients T = ( 1,..., n ) tels que x = 1u1 + 2u2 + ... + n un =n

i=1 i ui .

Les coefficients (1, 2,..., n ) dpendent de la base choisie.

Exemple 1.8. E = R 2,X = ( x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe1 + ye2 avec e1 = (0 , 1) e2 = (0 , 1).

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Tout lment de R 2 est une combinaison linaire de e1 et e2, i.e. {e1, e2} est un systme

gnrateur.

Soit 1, 2 des rels. On a : 1(1, 0) + 2(0, 1) = (0 , 0) cest dire (1, 2) = (0 , 0) donc

1=

2= 0

.Donc la famille {e1, e2} est libre d o {e1, e2} est une base.

Exemple 1.9. E = R n ,La base la plus simple de E est appele base canonique et note e1,...,en o ces vecteurs sont dnis par :

e1 = (1 , 0, ..., 0); e2 = (0 , 1,..., 0); ... ; en = (0 , 0,..., 1)

Le vecteur ei a toutes ses composantes nulles sauf la i-ime qui est gale 1.Par consquent, pour tout vecteur xT = ( x1,...,x n ), on a la dcomposition suivante :

x = x1e1 + x2e2 + ... + xn en =n

i=1

xi ei

Remarque 1.8. Soit A = {x1, x2,...,x n } avec xi R n . La partie A est libre si

det(x1, x2,...,x n ) = 0 .

Voir plus tard, le chapitre sur le dterminant dune matrice.

1.3.4 Dimension

Dnition 1.11. Un espace E est de dimension nie sil possde un systme gnrateur comptant un nombre ni de vecteurs. Dans ce cas, on appelle dimension de E , et on note dim(E), le nombre de vecteurs 2 dune base de E .

Pour que cette dnition caractrise sans ambigut la dimension, il faut que toutesles bases dun espace de dimension nie comptent le mme nombre de vecteurs, ce que

prcise la proposition suivante.

Proposition 1.8. Soient B 1 et B 2 deux bases dun espace E de dimension nie. On a alors,

Card (B 1) = Card (B 2)

2. Par convention, lespace rduit au vecteur nul est de dimension gale 0.

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Exemple 1.10. dim R n = n

Thorme 1.2. Soit E un espace vectoriel sur R de dimension nie et F un sous-espace vectoriel de E avec F = E , alors :

1. F est de dimension nie.

2. dim F dim E .

3. dim F = dim E alors E = F .

Remarque 1.9. Le seul espace vectoriel de dimension nulle est le singleton { 0}.

Thorme 1.3. Soient E et F des espaces vectoriels de dimensions nies alors

dim(E + F ) = dim E + dim F dim(E F ).

Remarque 1.10. Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Soit A une partie de E

(notons que dim E = n).

Si card A = n et A est libre alors A est une base de E .

Remarque 1.11. La dnition 1.11 montre quon ne peut identier la dimension dun e.v. avec le nombre de vecteurs dun systme gnrateur mais seulement avec le nombre de

vecteurs dune base (i.e. des vecteurs linairement indpendants). Par consquent, dans toute famille de vecteurs dun espace E de dimension nie, il existe un nombre maximal

de vecteurs linairement indpendants qui est, gal la dimension de lespace.

Proposition 1.9. Soit B = ( u1,...,u n ) une base de E et x un vecteur quelconque de E .Alors, la famille B x = ( u1,...,u n , x) est lie.

En effet, x se dcompose de manire unique sous la formen

i=1xi ui puisque B est une

base. Par consquent, on peut trouver ( 1,..., n , n +1 ) non tous nuls tels que :n

i=1

i ui + n +1 x = 0

Il suffit de choisir i = xi et n +1 = 1, et la dnition 1.7 implique que B x est lie.

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1.3.5 Rang

Dnition 1.12. Soit B une famille de vecteurs de E . On appelle rang de B et on note rg (B ) le nombre maximal de vecteurs linairement indpendants de B .

Dans la proposition 1.5, nous avons montr que lensemble des combinaisons linaires

dun ensemble de vecteurs de E formait un s.e.v. de E .

De plus, on ne modie pas rg (B ) en ajoutant B un vecteur combinaison linaire des

vecteurs de B .

Par consquent, on a la proposition suivante.

Thorme 1.4.

1) Soit B une famille de vecteurs de E . Lensemble des combinaisons linaires de vecteurs

de B est un s.e.v. (not F ) de dimension p = rg (B ).

2) Soit v un vecteur qui ne scrit pas comme combinaison linaire des vecteurs de B . On

a alors :

rg (B {v}) = rg (B ) + 1

Dmonstration. Le point 1) de cette proposition rsulte directement de la dnition du

rang de B .

Notons G lensemble des combinaisons linaires de vecteurs de B {v}. Par le point 1),

on sait que dim (G) = rg (B {v}). Or, il existe une famille u1, u2,...,u n de vecteurs

linairement indpendants dans B . La famille {u1, u2,...,u p, v} est libre et donc dim (G) =

p + 1 .

2 MATRICES

Dans ce chapitre, on dnit formellement les matrices et les diffrentes formes quelles

peuvent prendre. Nous prcisons les rgles lmentaires de calcul, savoir laddition de

deux matrices et la multiplication dune matrice par un nombre rel. Nous abordons aussi

le dterminant et linverse dune matrice carre.

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2.1 Gnralits

2.1.1 Dnitions

On appelle matrice coefficients rels, tout tableau ayant m lignes et n colonnes de la

forme

M =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . ....

am 1 am 2 . . . amn

, a ij R

Une telle matrice est dite matrice de m 1 lignes et de n 1 colonnes et lensemble des

matrices de m lignes et n colonnes de scalaires deR

se note M m,n (R

).

Exemple 2.1.

A = a M1,1(R ); B =

2

0

1

M3,1(R )

C = 0 1 2 6 M1,4(R ); D =

8 2 1 0

5 0 1 3

7 4 1 0

M3,4(R )

Pour cette dernire matrice, nous pouvons la noter D = ( dij )1 i 3, 1 j 4.

Nous avons alors lidentication :

d11 = 8 , d12 = 2 , d13 = 1 , d14 = 0

d21 = 5 , d22 = 0 , d23 = 1, d24 = 3

d31 = 7 , d32 = 4 , d33 = 1, d34 = 0

Lexemple ci-dessus donne une illustration sur limportance du calcul matriciel en

conomie et en gestion, qui fait lobjet du prsent chapitre.

Exemple 2.2. Un hypermarch commercialise quatre marque de yaourts (quon numro-tera 1,2,3 et 4) et a ralis une enqute auprs de ses clients pour analyser la dlit la

marque. Les interviews taient interrogs juste aprs avoir pris de yaourts dans le rayon

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et rpondaient la question suivante : Quelle marque aviez vous choisie la dernire fois

que vous avez achet des yaourts ? Lenquteur notait la marque achete le jour de

lenqute et celle annonce par le client et correspondant lachat prcdent.

Les rsultats de lenqute peuvent tre rsums dans une matrice M

de dimensions (4,4)

dans laquelle le ligne i donne la rpartition des acheteurs de la marque i qui avaient choisi

les marques j {1, 2, 3, 4} lors de leur prcdent achat.

Si on note m ij le terme de la matrice M gurant la i-ime ligne et la j -ime colonne,

m ij indique donc la proportion dacheteurs qui, achetant la marque i aujourdhui avaient

achet la marque j la fois prcdente. Les rsultats sont synthtiss dans la matrice (4,4)

suivante :

M =

0.8 0.1 0.05 0.050.03 0.85 0.04 0.08

0.12 0.04 0.78 0.06

0.09 0.03 0.05 0.83

Par exemple m12 = 0 .1 signie que parmi les acheteurs de la marque A, 10% dentre eux

avaient achet la marque B la fois prcdente. La somme des termes de chaque ligne i est

gale 1, cest--dire 100% des acheteurs de la marque i.

Il sagit dun exemple simpli car on ajoute en gnral une possibilit de rponse Autre

pour tenir compte du cas o lacheteur avait choisi une autre marque que les quatre pro-

poses lors de son dernier achat, ou ventuellement pour faire face au cas de lacheteur

qui achte des yaourts pour la premire fois !

Cet exemple montre que le concept de matrice, ou simplement de tableau de donnes,

intervient naturellement dans les tudes conomiques et/ou statistiques. Dans le cas de

lhypermarch, ou pourra chercher dterminer les parts de march dquilibre des quatre

marques en supposant une certaine stabilit des comportements dans le temps (ou plus

prcisment une stabilit des comportements de changement de marque dans le temps) ;

la problmatique est comparable celle de notation des entreprises.

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2.1.2 Matrices nulles

La matrice de M m,n (R ) dont tous les lments sont nuls est appele matrice nulle de m

lignes et de n colonnes.

M =

0 0 . . . 0

0 0 . . . 0...

... . . ....

0 0 . . . 0

2.1.3 Matrices colonnes

Dans toute la suite, nous appelons une matrice dune seule colonne de la forme

M =

a1

a2...

am

Mm, 1(R )

sous le nom de matrice colonne et lensemble de ces matrices est note

M m, 1(R ) = R m

2.1.4 Matrices lignes

Une matrice dune seule ligne est dite matrice ligne et est de la forme

A = a1 a2 . . . an M1,n

2.1.5 Matrice carre

Une matrice M est carre si m = n, cest dire quelle a le mme nombre de lignes et de

colonnes.Lensemble des matrices carres de n lignes et de n colonnes est dite matrice carre

dordre n.

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... . . ....

an 1 an 2 . . . ann

Mn,n (R ) = M n (R )

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Remarque 2.1. Les matrices carres dodre n possdent plusieurs subdivisions.

2.1.6 Matrices triangulaires

Dabord, il faut dnir la diagonale dune matrice carre, constitue des termes de laforme a ii , 1 i n .

A =

a11

a22. . .

ann

Mn,n (R ) = M n (R )

Tous les lments au dessus de la diagonale dnissent la sur-diagonale, cest dire les

lments se situant la ligne i et la colonne j avec j i.

Tous les lments en dessous de la diagonale dnissent la sous-diagonale, cest dire les

lments se situant la ligne i et la colonne j avec j i.

Dnition 2.1. Une matrice est dite triangulaire si tous les termes de la surdiagonale sont nuls, ou tous les termes de la sous-diagonale sont nuls. Elle est dite triangulaire

suprieure si tous les termes de la sous-diagonale sont nuls, triangulaire infrieure si tous

les termes de la sur-diagonale sont nuls.

Donnons les deux exemples de matrices triangulaires, la premire infrieure et la

deuxime suprieure.

Exemple 2.3.

1 0 0

3 3 0

0 1 2

et

1 1 9 0

0 1 3 0

0 0 2 7

0 0 0 3

2.1.7 Matrice diagonale

Il sagit dune matrice carre dont tous les termes non diagonaux sont nuls. Ou encore, il

sagit dune matrice carre la fois triangulaire suprieure et infrieure. Dans ce cas, on

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peut se contenter de citer seulement la diagonale :

=

1

2

. . .n

= diag (1, 2, . . . , n )

La notation diag (1, 2, . . . , n ) veut dire quil sagit dune matrice diagonale et que la

diagonale contient les scalaires 1, 2, . . . , n .

On utilise le symbole de Kronecker

ij =1, si i= j ;

0, si i= j.

pour reprsenter une matrice diagonale ainsi

= diag ( i ij )1 i,j n

Ainsi, si i = j , le terme diagonal est i , sinon, il est nul, car le symbole de Kronecker est

nul.

2.1.8 Matrice Identit

Parmi les matrices diagonales, on peut remarquer celle dont les termes diagonaux sont

tous gaux lunit de R . On lappelle matrice identit dordre n. Nous expliquerons plus

tard, pour quoi cette appellation. Nous la notons :

I n =

1

2

. . .

n

= ( ij )1 i,j n

Exemple 2.4.

I 2 =1 0

0 1et I 3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

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2.1.9 Matrice transpose

Notations : Nous noterons une matrice avec une lettre capitale A, B, C etc. Pour unematrice A par exemple, le terme dordre i et j sera note avec la lettre minuscule a ij .

Ainsi nous crirons

A = ( a ij )1 i m, 1 j n

Nous pouvons aussi noter le terme ij par (A)ij pour avoir

A = (( A)ij )1 i m, 1 j n Mm,n

Nous pouvons aussi considrer A comme un ensemble de n colonnes ainsi

A = [A1, A2,...,A j ,...,A n ]

avec la j-ime colonne tant

A j =

a1 j

a2 j...

amj

Nous pouvons aussi considrer A comme un ensemble de m lignes ainsi

A =

A1

A2...

Am

avec la i-ime ligne tant

Ai = a i1 a i2 . . . a in

Soit A = ( a ij )1 i m, 1 j n =

A1

A2...

Am

= [A1, A2,...,A j ,...,A n ], une matrice de m lignes

et de n colonnes.

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Dnition 2.2. On appelle matrice transpose de A, note At la matrice de n lignes et de m colonnes dont les lignes sont les colonnes de A, ou dont les colonnes sont les lignes

de A.

Chacune des formules ci-dessous dnit la transpose de A.

At Mn,m ; (At ) ji = ( a ji ), 1 i m, 1 j n

ou

At = [(At )1, (At )2,..., (At ) j ,..., (At )n ]

ou

At =

(A1)t

(A2)t...

(Am )t

Exemple 2.5.

1 2

0 1

4 5

1 9

t

=1 0 4 1

2 1 5 9

2.1.10 Matrice symtrique

Dnition 2.3. Une matrice carre A est dite symtrique si elle est gale sa propre transpose, cest dire At = A

Exemple 2.6.

A =

5 3 2

3 3 0

2 0 1

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2.1.11 Trace dune matrice

Dnition 2.4. On appelle trace dune matrice carre A de dimension n la somme de ses termes diagonaux quon note T r(A).

T r(A) =n

i=1

a ii

Les proprits essentielles de la trace dune matrice sont rsumes dans la proposition

suivante.

Proposition 2.1. Soient A et B deux matrices carres de dimension n et cR . On a :

T r(cA + B) = cT r(A) + T r(B)

Tr(AB ) = Tr(BA )

2.1.12 Concatnation de deux matrices

Dnition 2.5. 1. Soient A et B deux matrices de n lignes, comptant respectivement p et m colonnes. On appelle matrice concatne de A et B , la matrice C (note aussi A|B )

de dimensions (n,m+p) dnie par :

C =

a11 . . . a1 p b11 . . . b1m

a21 . . . a2 p b21 . . . b2m... . . ....

... . . ....

an 1 . . . anp bn 1 . . . bnm

2. Soient A et B deux matrices p colonnes, comptant respectivement n et k lignes. On

appelle matrice concatne de A et B , la matrice D (note aussi AB ) de dimensions

(n+k,p) dnie par :

D =

a11 . . . a1 p

a21 . . . a2 p... . . ....

an 1 . . . anp

b11 . . . b1 p

b21 . . . b2 p... . . .

...

bk1 . . . bkp

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Comme nous allons le voir dans le chapitre sur les Systmes Linaires, la concatnation

de matrices est utilise, entre autres, pour simplier la formulation de transformations

matricielles dans le cadre de la rsolution de systmes linaires dquations.

2.2 Oprations sur les matrices

On peut dnir sur les matrices trois oprations :

la somme de deux matrices de mme type,

le produit extrieur dune matrice par un scalaire,

le produit de deux matrices conformes.

2.2.1 Somme de matricesDeux matrices sont de mme type lorsquelles ont le mme ensemble de scalaires, le mme

nombre de lignes et le mme nombre de colonnes.

Soit alors A et B deux matrices coefficients dans R , de mme lignes (m) et de mme

colonnes (n), i.e. A, B Mm,n .

On dnit la matrice A + B, somme de A et B , comme la matrice de m lignes et de n

colonnes dont le terme (i, j ) est la somme des deux termes (i, j ) de A et de B. On note

ainsi :

A + B Mm,n (R ), (A + B)ij = ( A)ij + ( B)ij = a ij + bij , 1 i m, 1 j n

Exemple 2.7.

1 1 2

20 5 2+

4 6 6

1 0 7=

5 7 4

21 5 5

Proposition 2.2.

1. Associativit : lopration + est associative dans M m,n (R ), cest dire (A,B,C ) Mm,n (R )3, (A + B) + C = A + ( B + C ) = A + B + C

2. Commutativit : (A, B ) Mm,n (R )2, A + B = B + A

3. lment nul : soit la matrice O Mm,n (R ) dont tous les termes sont nuls, cest dire : Oij = 0 , 1 i m, 1 j n. Il est vident quon a :

A Mm,n (R ), A + O = O + A = A

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car

A Mm,n (R ), (A + O)ij = ( A)ij + Oij = ( A)ij , (O + A)ij = Oij + ( A)ij = ( A)ij

si bien que O est un lment neutre de laddition.4. Oppos : tout lment de M m,n (R ) admet un oppos. En effet soit A Mm,n (R ).

Dnissons la matrice A Mm,n (R ) par

( A)ij = a ij

Nous avons clairement

(A + ( A)) ij = a ij + ( a ij ) = 0

2.2.2 Multiplication externe

Soit un scalaire, cest dire, un lment de R et une matrice A Mm,n (R ). Dnissons

la matrice .A note aussi A dont les termes sont ceux de A multiplis par , cest

dire (A)ij = a ij .

Exemple 2.8.

21 1 2

20 5 2=

2 2 4

40 10 4

Proposition 2.3.

1. Llment unit de R , not 1R , laisse invariantes les matrices, cest dire : A

M m,n (R ), 1R .A = A car A Mm,n (R ), (1R .A)ij = 1 R .(A)ij = ( A)ij

2. Llment nul de R est un lment absorbant, cest dire

A Mm,n (R ), 0R .A = O ( O tant la matrice nulle)

car

A Mm,n (R ), (0R .A)ij = 0 R .(A)ij = 0

3. On a aussi

30


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A Mm,n (R ), 1R .A = A

cest dire que : la multiplication dune matrice par loppos de llment unit de

R donne loppose de la matrice dans M m,n (R ), car

A Mm,n (R ), ( 1R .A)ij = 1R .a ij

Mais aussi, on a :

0.a ij = (1 R + ( 1R ))a ij = 1 R a ij + ( 1R a ij ) = a ij + ( 1R a ij )

do

( 1R a ij ) = a ij

et

A Mm,n (R ), ( 1R .A)ij = a ij = ( A)ij

4. La multiplication externe est distributive par rapport laddition sur R et sur M m,n (R ),

cest dire

(, ) R 2,(A, B ) Mm,n (R )2, ( + )A = A + A, (A + B) = A + B .

On a aussi : (A) = ( )A.

Lensemble M m,n (R ) muni de laddition interne (+) et de la multiplication externe (.)

est un espace vectoriel sur R .

2.2.3 Produit de matrices

On ne peut dnir le produit de matrices que lorsquelles sont conformes. Deux matrices

A et B sont conformes si le nombre de colonnes de A gale au nombre de lignes de B. Les

lments de M m,n (R ) et ceux de M n,k (R ) sont conformes.

Dnition 2.6. On Dnit le produit dune matrice ligne X de n colonnes et dune matrice colonne Y de n lignes

X = [x1, x2, . . . , x n ], Y =

y1

y2...

yn

par XY = x1y1 + x2y2 + . . . + xn yn

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Exemple 2.9.

[1 2 4]

0

4

3

= (1 0) + ( 2 4) + (4 3) = 4

Exemple 2.10. Valorisation dun portefeuille .Le tableau suivant montre les cours hebdomadaires de clture de quatre titres (Tigo,

Orange, TFM TV, Snlec) cots la Bourse de Paris pendant cinq semaines succes-

sives (du 2 au 30 Janvier 2010).

Un investisseur possde un portefeuille Q quon crira sous la forme dune matrice

quatre lignes et une colonne :

Q =

1000

500

100

800

Chacun des nombres correspondant la quantit de titres dtenue pour chacun des quatre

titres.

Table 2 Cours de clture de quatre titresDate Tigo Orange TFM TV Snlec02/01 11.45 21.87 20.31 33.3

09/01 11.05 19.51 20.75 34.55

16/01 10.58 18.68 20.52 36.65

23/01 10.99 19.29 19.69 36.43

30/01 11.56 18.14 19.83 36.55

Cet investisseur souhaite suivre lvolution de la valeur de son portefeuille pendant ce

mois de Janvier 2010. La rponse est assez naturelle ; il suffit de multiplier, pour chaque

titre, la quantit dtenue par le prix et dajouter les quatre valeurs dtenues.

Le 2 janvier, la valeur du portefeuille scrit comme le produit de deux matrices A1 et

Q, avec A1 = [11.45 21.87 20.31 33.3] (matrice ligne).

On obtient : A1Q = 11 .45 1000+21.87 500+20 .31 100+33 .3 800 = 51056 euros.

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Le 9 janvier, la valeur du portefeuille scrit comme le produit de deux matrices A2 et

Q, avec A2 = [11.05 19.51 20.75 34.55].

On obtient : A2Q = 11 .05 1000+19.51 500+20 .75 100+34 .55 800 = 51106 euros.

On procde de la mme faon pour les 16, 23 et 30 Janvier.

On voit alors que la valeur du portefeuille chaque date rsulte du mme calcul, ralis

en multipliant les quantits par les prix de la date correspondante. Dans cet exemple, on

multiplie une matrice quatre lignes par une matrice quatre colonnes.

Il apparait que ce mode de calcul peut rpondre de nombreuses problmatiques

concrtes et justie limportance du calcul matriciel en conomie et en gestion, qui fait

lobjet du prsent chapitre.

Nous pouvons maintenant dnir le produit quelconque de matrices conformes.

Dnition 2.7. Soit A Mm,n (R ) une matrice de m lignes et de n colonnes et B M n,k (R ) une matrice de n lignes et de k colonnes, alors le produit AB est une matrice de

m lignes et de k colonnes selon le shma suivant

A(m,n ) B (n,k ) = C (m,k )

dont le terme (i,j) est le produit de la i-ime ligne de A par la j-ime colonne de B,

cest--dire

C = AB Mm,k (R ), C ij = ( AB )ij = AiB j

avec

Ai B j = a i1b1 j + a i2b2 j + ... + a in bnj

Exemple 2.11.

1 2 0

1 2 1

0 4 5

2 0

3 2

1 3

=

8 4

9 7

7 7

Remarque 2.2.

33


34/58

1. Le produit de matrices est associatif, en ce sens que

(A(m,n ) B (n,k )) C (k,p ) = A(m,n ) (B(n,k ) C (k,p ))

2. Une matrice nulle est absorbante, cest dire, que si O est la matrice nulle de

M m,k (R ), alors pour toute matrice A qui lui est conforme, cest dire, ayant k

colonnes, on a O A = O.

Exemple 2.12. Lorsquun jury de semestre se runit, il accorde ou non le semestre en fonction de la moyenne obtenue par chaque tudiant sur lensemble des UE (Unit dEn-

seignement). Supposons quil y ait (pour simplier) quatre UE et six tudiants. Les notes

sont reportes dans le tableau. Les UE ont des coefficients respectifs gaux 3,5,2 et 3. Ce

qui fait un total des coefficients gale 13. Comment calcule t-on la liste des moyennes

des tudiants ?

Ce calcul sopre en deux temps. On fait dabords la somme des notes coefficientes, ce

qui revient faire le produit de la matrice des notes, note M , par la matrice-colonne des

coefficients, note C . On a : C = [3, 5, 2, 3]. Le produit de la matrice des notes M par

Table 3 Rcapulatif des notesUE 1 UE 2 UE 3 UE 4

tudiant 1 6 5 7 8tudiant 2 13 10 14 11

tudiant 3 12 9 11 10

tudiant 4 8 11 9 11

tudiant 5 16 14 15 13

tudiant 6 9 13 8 12

la matrice-colonne des coefficients C donne :

MC =

81

150

133

130

187

144

34


35/58

Dans un second temps, il reste diviser cette matrice par la somme des coefficients, ce

qui revient multiplier MC par linverse de la somme des coefficients.

La matrice-colonne des moyennes scrit donc :

113

=

81150

133

130

187

144

=

6.2311.54

10.23

10

14.39

11.08

Il est clair quavec trois cents, ou cinq cent ou plus de mille tudiants, ces calculs matriciels

sont raliss sur un tableur, comme Excel par exemple.

Cet exemple, fait intervenir deux oprations matricielles : le produit de deux matrices

(notes et coefficients) et le produit dune matrice par un nombre rel (linverse de la

somme des coefficients).

35


36/58

2.2.4 Quelques exercices

Exercice 2.1. Soient les matrices A =1 2 3

1 0 2et B =

1 5 2

2 2 1

1. Calculer A+B, 3B, 2A+B, B-A.2. Donner At et B t .

Exercice 2.2. Soit les vecteurs x =

3

5

412

, y =

8

12

1

1

, z =

3

832

1et les matrices :

A =

2 4 1 5

3 1 1 1

6 10 2 1

, B =2 10 1

3 20 30et C =

1 3 9 24 5 10 10

1 1 1 1

10 5 2 1

1. Calculer :

(a) u = 3x + ( 12 )y z .

(b) 5(x y) + ( 13 )z .

2. Parmi les oprations suivantes, mettre en vidence et effectuer celles qui sont pos-

sibles : Ax,By,Cy,Cz + BAx,BC,CA t etCA.

Exercice 2.3. 1. Soit la matrice carre M dordre 2 avec M =1 1

2 2(a) Calculer M 2. Vrier que M 2 = M . Dterminer .

(b) Calculer M 3 et M 4 en fonction de M et .

(c) Soit n un entier quelconque. Dduire de (b) lexpression de M n en fonction de

M , et n.

(d) Dmontrer par rcurrence la relation tablie sous (c).

2. Soit la matrice M =1 2

3 5Dterminer la famille de matrice X telle que le produit MX soit une matrice diago-

nale.

36


37/58

2.3 Dterminant et inverse dune matrice

Le concept de dterminant est un outil mathmatique qui sert essentiellement tudier

lindpendance linaire dun ensemble de vecteurs et calculer pratiquement linverse

dune matrice.

2.3.1 Les dterminants dordre 2

Dnition 2.8. Soit A, une matrice carre dordre 2 de la forme A =a11 a12

a21 a22Le dterminant de A, not det(A) est gal au nombre :

a11a22 a21a12

Exemple 2.13. Le dterminant de la matrice 3 1

4 5est gal 3 5 4 1 = 11.

Remarque 2.3. Le dterminant dune matrice A est une fonction des lments de cette matrice. Il peut aussi etre considr comme une fonction de ses vecteurs colonnes, et dans

ce cas on lcrira det(A1, A2).

Remarque 2.4. On note parfois det(A) sous la forme :

A =a11 a12

a21 a22

2.3.2 Les dterminants dordre 3

Le dterminant dordre 3 dune matrice se dni partir des dterminants dordre 2 de

la matrice.

Dnition 2.9. Soit la matrice

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Le dterminant de A est dni par la formule

det(A) = a11deta22 a23

a32 a33 a12det

a21 a23

a31 a33+ a13det

a21 a22

a31 a32

37


38/58

En anticipant sur les dterminants dordre n, appelons Aij la matrice obtenue en

supprimant la ligne i et la colonne j de A. On voit immdiatement que cette formule peut

scrire :

det(A) = a11det(A11 ) a12det(A12) + a13det(A13)

Exemple 2.14. Soit

A =

1 5 3

0 4 1

2 8 6

Alors

A11 = 4 18 6

, A12 = 0 12 6

, A13 = 0 42 8

et

det(A) = 1 4 1

8 6 5

0 1

2 6+ 3

0 4

2 8= 1(24 8) 5(0 2) + 3(0 8) = 16 + 10 24 = 2

La formule que nous avons donne dans lexemple sappelle le dveloppement du d-

terminant de A par rapport la premire ligne. Cette formule nest cependant pasunique .On vrie aisment que la formule

det(A) = a13det(A13) a23det(A23) + a33det(A33)

donne exactement le mme rsultat. Cette formule correspond au dveloppement du d-

terminant de A par rapport la troisime colonne.

En fait le dterminant dune matrice peut se calculer en dveloppant par rapport

nimporte quelle ligne ou nimporte quelle colonne de la matrice. La seule prcaution

prendre est daffecter le signe correct chaque terme du dveloppement : de manire g-

nrale, le signe du terme correspondant llment i, j est celui de ( 1)i+ j .

Ainsi le dveloppement de A par rapport sa deuxime colonne :

38


39/58

a12

a22

a23

est de la forme :

det(A) = ( 1)1+2 a12det(A12) + ( 1)2+2 a22det(A22) + ( 1)3+2 a32det(A32)

= a12det(A12) + a22det(A22) a32det(A32)

Mthode de Sarius

Exemple 2.15. Calculer le dterminant de la matrice A =1 1 1

2 3 0

1 1 2

par la mthode

de Sarius.

det(A) =

1 1 1

2 3 0

1 1 2

1 1

2 3

1 1det(A) = [(1 3 2)+( 1 0 1)+(1 2 1)] [(1 3 1)+(1 0 1)+(2 2 1)]

det(A) = ( 6 + 0 + 2) ( 3 + 0 + 4) = ( 4) ( 7) = 3

2.3.3 Les dterminants dordre n

Dnition 2.10. Le mineur |Aij | de llment a ij de la matrice A est le dterminant de la matrice Aij , obtenue en supprimant la ie ligne et la j e colonne de A.

Le cofacteur Aij de llment a ij de la matrice A est gal ( 1)i+ j fois le mineur de a ij :

Aij = ( 1)i+ j |Aij |

Exemple 2.16. |A23 | = deta11 a12

a31 a32

On obtient : A23 = ( 1)2+3 |A23 | = deta11 a12

a31 a32

Remarque 2.5. 1. On appelle parfois le cofacteur Aij le mineur sign de a ij .A laide de ces dnitions, on retrouve immdiatement le dterminant dordre 3 qui, d-

velopp selon la premire ligne, scrit :

39


40/58

a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11 ( 1)1+1 |A11 | + a12( 1)1+2 |A12 | + a13( 1)1+3 |A13 |

= a11 |A11 | a12 |A12 | + a13 |A13 |

2. De la mme faon, le dveloppement dordre 3 est dnit partir des dterminants

dordre 2, le dterminant dordre n est dni partir des dterminants dordre n 1.

Dnition 2.11. 1. Le dveloppement par rapport la ie ligne du dterminant de la matrice A est donn par la formule :

det(A) =n

j =1a ij Aij =

n

j =1( 1)i+ j a ij |Aij | , i tant x

2. Le dveloppement par rapport la j e ligne du dterminant de la matrice A est donn

par la formule :

det(A) =n

i=1 aij Aij =

n

j =1 ( 1)i+ j a ij |Aij |, j tant x

Exemple 2.17. Calculons le dterminant de la matrice

1 3 2 1

4 0 5 0

2 7 1 6

0 1 4 10

Comme la 2ieme ligne comporte deux lments nuls, nous dveloppons det(A) par rapport

cette ligne. On obtient :

det(A) = 4 A21 + 5 A23

= 4( 1)2+1 |A21 | + 5( 1)2+3 |A23 |

Or

|A21 | = det

3 2 1

7 1 6

1 4 10= 3(1 10 4 6) 2(7 10 1 6) + 1(7 4 1 1)

= 143

|A23 | = det

1 3 1

2 7 6

0 1 10= 1(7 10 1 6) 2(3 10 1 1)

= 6

40


41/58

On a donc

det(A) = 4( 1)( 143) + 5( 1)6

= 572 30 = 542

Quelques proprits du dterminant dordre n

1. Une matrice comportant une ligne (ou une colonne) de 0 a un dterminant nul.

2. Si une ligne (ou une colonne) dune matrice est multiplie par une constante c, le

dterminant est galement multipli par c.

3. La permutation de deux lignes ou de deux colonnes change uniquement le signe du

dterminant.1 3 7

2 4 8

5 0 6

= 32 et

1 3 7

5 0 6

2 4 8

= 32.

4. Une matrice qui a deux lignes ou deux colonnes identiques a un dterminant nul.

A =

4 2 1

1 2 1

1 2 1

, det(A) = 4 2 1

2 1

2 1

2 1+

2 1

2 1= 4 0 0 + 0 = 0

B =

2 3 2

1 2 1

3 1 3

, det(B) = 2 2 1

1 3 3

1 1

3 3+ 2

1 2

3 1

= 2 5 3 0 + 2 ( 5) = 10 0 + 10 = 0

5. Le dterminant dune matrice est nul si et seulement si les vecteurs colonnes (res-

pectivement les vecteurs lignes) sont lis.

A = 4 68 12

, det(A)= 48 - 48 = 0, la deuxime ligne est le double de la premire

colonne.

B =3 6

4 8, det(B)= 24 - 24 = 0, la deuxime collonne est le double de la

premire ligne.

6. Si lon a joute une colonne (respectivement une ligne) un multiple scalaire dune

autre colonne (respectivement dune autre ligne) on ne change pas le dterminant.

41


42/58

7. Le dveloppement dun dterminant selon une ligne en utilisant les cofacteurs dune

autre ligne donne zro. En dautres termes, une expression de la forme

n

j =1 a ij Akj

est nulle si k = j

8. Soit A une matrice carre. Alors

det(A) = det(At )

9. Soient A et B deux matrices dordre n. Alors

det(AB) = det(A)det(B)

10. Le dterminant dune matrice diagonale dordre n est gale au produit des lmentsde sa diagonale. i.e

D = diag (1, 2, . . . , n )

det(D) =n

j =1 j

11. Le dterminant dune matrice triangulaire dordre n est gale au produit des l-

ments de sa diagonale.

2.3.4 Linverse dune matrice

Linverse dune matrice A dordre n est gal une matrice B dordre n telle que AB =

BA = I , note A 1.

Mthode des cofacteurs

Dnition 2.12. La matrice adjointe dune matrice carre A, note A, est la matrice

transpose des cofacteurs de la matrice A :

A=

A11 A21 A31 . . . An 1

A12 A22 A32 . . . An 2...

...... . . .

...

A1n A2n A3n . . . Ann

en dautres termes, llment gnrique i, j de A est le cofacteur A ji (notez linverse des

indices).

42


43/58

Thorme 2.1. Soit A la matrice adjointe de A. Alors la relation suivante est vrie :

AA= det(A).I

Thorme 2.2. Soit A une matrice carre, A sa matrice adjointe. Si det(A) = 0 , alors

A 1 = 1det (A ) A

Corollaire 2.1. Une matrice carre A est inversible si et seulement si det(A) = 0 .

Dmarche suivre pour le calcul de linverse

Le calcul pratique de linverse dune matrice A seffectue de la faon suivante

1. Calculer det(A). Si det(A)=0, la matrice nest pas inversible.

2. Remplacer chaque lment a ij de A par le cofacteur qui lui est associ :

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

...... . . .

...

an 1 an 2 an 3 . . . ann

A11 A12 A13 . . . A1n

A21 A22 A23 . . . A2n...

...... . . .

...

An 1 An 2 An 3 . . . Ann

3. Transposer la matrice ainsi obtenue pour obtenir la matrice adjointe :

A=

A11 A21 A31 . . . An 1

A12 A22 A32 . . . An 2...

...... . . .

...

A1n A2n A3n . . . Ann

4. Calculer A 1 laide de la formule

A 1 = 1det (A ) A

5. Vrier lgalit AA 1 = I .

Exemple 2.18. Dterminer linverse de la matrice A par la mthode des cofacteurs, avec

A =

1 1 1

2 3 0

1 1 2

.

43


44/58

1. On a : det(A)=3 (dja calcul dans lexemple 2.15). Le dterminant de A est dif-

frent de 0, donc A est inversible.

2. Calcul des cofacteurs, not A :

A =

+ 3 0

1 2 2 0

1 2 +2 3

1 1

1 1

1 2+

1 1

1 2

1 1

1 1

+ 1 1

3 0

1 1

2 0+

1 1

2 3

=

6 4 5

3 1 2

3 2 1

.

3. A= ( A )t =

6 3 3

4 1 2

5 2 1

4. Calcul de A 1 laide de la formule A 1 = 1det (A ) A. On a : A 1 = 13

6 3 3

4 1 2

5 2 15. Vrication :

AA 1

=

1 1 1

2 3 01 1 2

1

3

6 3 3

4 1 25 2 1

=

1

3

3 0 0

0 3 00 0 3

=

1 0 0

0 1 00 0 1

= I

Calcul de linverse dune matrice par la mthode du pivot

En utilisant la mthode du pivot, dterminons linverse de la matrice A dnie par A =1 1 1

2 3 0

1 1 2

.

44


45/58

1 -1 1 1 0 0 L12 -3 0 0 1 0 L21 1 2 0 0 1 L3

1 -1 1 1 0 0 L1=L10 -1 -2 -2 1 0 L2=L2- 2L10 2 1 -1 0 1 L3=L3- L11 0 3 3 -1 0 L1=L1- L20 1 2 2 -1 0 L2=- L20 0 -3 -5 2 1 L3=L3+2L21 0 0 -2 1 1 L1 =L1+L3

0 1 0 -43

13

23 L2 =L2+

23 L3

0 0 1 53

- 23

- 13 L3 =-

13 L3

On obtient : A 1 =

2 1 1

4313

23

53

23

13

= 13

6 3 3

4 1 2

5 2 1

Retour sur dterminant : Le calcul du dterminant dune matrice par lamthode du pivot

Remarque 2.6. On peut calculer le dterminant dune matrice par la mthode du pivot.Pour le faire on procde de la mme faon que pour le dterminant de linverse dune

matrice obtenu par la mthode du pivot.

Le dterminant est donn par : det(A) = ( 1)k p1 p2... pn

avec k le nombre dinterchangement de ligne, pi dsigne les pivots de la transformation

des lignes laide de la combinaison linaire.

Illustration avec lexemple prcdent, A =

1 1 1

2 3 0

1 1 2On obtient : det(A) = ( 1)0 1 ( 1) ( 3) = 3

45


46/58

Lexemple suivant donne une illustration sur limportance des matrices en gestion et en

conomie.

Exemple 2.19. Proposer de nouveaux produits nanciers la clientle.

Les obligations sont des titres de crance par lesquels lentreprise mettrice emprunte de

largent sur les marchs nanciers. Les plus simples dentre elles sont dnies par un mon-

tant nominale (disons 100 euros), une dure de vie appele maturit (3,5,7, 10 ans...ou

plus), un taux dintrt (2%, 4%, etc.) aussi appele taux de coupon . Le coupon (lin-

trt) est pay annuellement et, lchance, le dtenteur reoit le dernier coupon et le

prix de remboursement quon supposera ici gal au montant nominal.

Une obligation de maturit 3 ans, de taux dintrt 5% et de nominal 100 euros va en-

gendrer pour le dtenteur trois ux successifs gaux 5 euros, 5 euros et 105 euros, reus aprs un an, deux ans et trois ans.

Supposons que, sur un march, trois obligations sont changes. Les ux quelles en-

gendrent sont rsums dans le tableau et la dernire ligne donne les prix auxquelles sont

cotes ces obligations sur le march. Cette prsentation signie que lobligation OB1 a une

Table 4 Flux de trois obligationsDate/Obligation OB1 OB2 OB31 104 6 4

2 0 106 4

3 0 0 104

PRIX 99.5 100.4 99.6

dure de vie dun an et un taux de coupon de 4%. Elle ne paye donc plus rien aprs la

date 1. OB2 dure deux ans et paie un taux de coupon de 6% et enn OB3 dure trois ans et paie 4%.

Une banque souhaite proposer ses clients une gamme de produits nanciers trs simples

qui permettent de sassurer un revenu donn une date future choisie, par exemple obte-

nir 100 euros la date 2. Elle veut donc construire trois contrats C 1, C 2, C 3 tels que C t

donne 100 euros la date t.

Le client achtera ces contrats sans se poser de questions sur leur construction technique

46


47/58

en supposant que la banque est capable de faire face ses engagements. Cette dernire

doit cependant rpondre deux questions :

1. Comment faire pour satisfaire aux engagements futurs (payer les clients quand les

contrats arriveront chance) ? 2. A quel prix faut il commercialiser ces contrats ?

La rponse ces deux questions est plus simple quil ny parat premire vue.

La banque va construire des portefeuilles partir des obligations existantes de faon quils

dgagent des ux suffisants pour payer les clients. Le cot de ces portefeuilles donnera

la rponse la seconde question (hors bnce de la banque qui viendra sajouter la

facture du client ).

1. Notons M la matrice dnie par : M =104 6 40 106 4

0 0 104M correspond aux trois premires lignes du tableau o sont dnis les ux pays par les

diffrentes obligations. Si la banque achte trois obligations en nombre xT = ( x1, x2, x3)

(matrice ligne), elle va recevoir la srie de ux (produit de deux matrices) :

Mx =

104x1 + 6 x2 + 4 x3

106x2 + 4 x3

104x3

On voit alors quon peut choisir x tel que : Mx =

0

0

100

ou y et z tels que : My =

0

1000

et Mz =

100

00

.

En dautres termes, il existe des portefeuilles et des obligations cotes sur le march qui

engendrent les mmes ux que les contrats que la banque souhaite crer. Ce qui vient

47


48/58

dtre fait peut tre rcrit de manire concise sous la forme :

104 6 4

0 106 4

0 0 104

x1 y1 z 1

x2 y2 z 2

x3 y3 z 3

=

104 0 0

0 100 0

0 0 100

= 100

1 0 0

0 1 0

0 0 1Ce qui scrit encore :

104 6 4

0 106 4

0 0 104

1

100

x1 y1 z 1

x2 y2 z 2

x3 y3 z 3

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

= I 3

On remarque alors que trouver x, y et z revient alors calculer la matrice inverse de M

puisque :

1100

x1 y1 z 1

x2 y2 z 2

x3 y3 z 3

= M 1 100M 1 =

x1 y1 z 1

x2 y2 z 2

x3 y3 z 3

=

0.962 0.054 0.035

0 0.943 0.036

0 0 0.962

NB : Le calcul de linverse de la matrice de M est laiss sous forme dexercice.

On sait maintenant ce que faire la banque pour satisfaire ses engagements. Par exemple,

chaque fois quelle vend une unit de contrat C 2, elle doit acheter 0.943 unit de OB2 et

vendre 0.054 de OB1.2. Comme on sait que la banque doit acheter ou vendre pour une unit de chaque contrat,on peut facilement dterminer ce quelle dpense dans ces diffrentes situations. Il suffit

de faire le produit matriciel :

99.5 100.4 99.6

0.962 0.054 0.035

0 0.943 0.036

0 0 0.962

= 95.67 89.30 88.65

cest dire de multiplier les prix des obligations par les quantits acheter pour chacun des contrats. En consquence, la banque ne peut pas vendre le contrat C 1 moins de 95.67,

le contrat C 2 moins de 89.30 et le contrat C 3 moins de 88.65.

2.3.5 Rang dune matrice

Le rang dune matrice not rg (A) est gale la dimension de lespace engendr par les

vecteurs colonnes.

48


49/58

Exemple 2.20. Dterminer le rang de la matrice A dni par A =2 0 2

2 3 1

0 3 1

2 0 2 L1-2 3 -1 L20 3 1 L31 0 1 L1= 12 L10 3 1 L2=L2+L10 3 1 L3=L31 0 1 L1=L10 1 1

3 L2=13 L2

0 0 0 L3=L3- L2

Il nexiste plus de transformation pouvant conduire des lignes dont tous les lments sont

nuls. Donc le rang de la matrice A est gale 2, i.e. rg (A) = 2 .

Par consquent la matrice A nest pas inversible.

49


50/58

2.3.6 Quelques exercices

Exercice 2.4. Calculer les dterminants suivants :

1.

2 1 2

0 3 1

4 1 1

2.

3 1 5

1 2 1

2 4 3

3.

2 4 3

1 3 0

0 2 1

4.

4 9 2

4 9 2

3 1 0

5.

1 1 2 0

0 3 1 50 1 2 1

3 5 2 3

Exercice 2.5. 1. Soit D une matrice diagonale dordre n. Que vaut det(D) ?

2. Soit T une matrice triangulaire (suprieure ou infrieure) dordre n. Que vaut

det(T ) ?

Exercice 2.6. Trouver les inverses des matrices suivantes :

A =

2 1 2

0 3 1

4 1 1

B =

3 1 5

1 2 1

2 4 3

C =1 7

1 2

Exercice 2.7. 1. Vrier que la matrice

1 6 6

2 7 6

1 4 4satisfait lquation suivante A3 2A2 A + 2 I = 0

2. En dduire quelle est inversible et obtenir son inverse gr ace lquation prc-

dente.(Ne pas calculer le dterminant !)

Exercice 2.8. Montrer que la matrice A =

1 a 0 0

0 1 a 0

0 0 1 a

0 0 0 1

est inversible quelque

soit le nombre a R . Calculer A 1.

Exercice 2.9. Calculer linverse de la matrice A par la mthode du pivot, A =1 0 2

1 1 1

1 2 2

.

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Exercice 2.10. Calculer le dterminant de la matrice A par la mthode du pivot,

A =

2 3 1

6 9 1

2 2 1

.

Exercice 2.11. On considre les matrices suivantes :

A =

3 2 1

2 2 1

1 1 1

, B =

5 8 2

3 5 1

1 3 1

, C =

48 89 23

43 78 20

27 48 12

Calculer la matrice X tel que AXB = C .

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A Devoir anne 2011-2012

Exercice A.1. 1. Dans R 3 muni des lois habituelles, les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels :

F = (x1, x2, x3) R 3 | 2x1 + x2 + x3 = 0 et x1 x2 + x3 = 0 2 points

G = ( a,a, 3a) | a R 1 point

2. Soit E = F (R , R ) lensemble des applications de R dans R . Les sous-ensembles

suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de E .

H = f E | f impaire ; I = f E | f (0) = 0 1 point + 1 point

Exercice A.2. Soient F et G les sous-espaces vectoriels de R 3 engendrs par les fa-

milles respectives {u1, u2, u3, u4} et {v1, v2, v3}, avec : u1 = (0 , 1, 1), u2 = (1 , 1, 1),u3 = ( 1, 0, 3), u4 = (1 , 1, 2), v1 = (3 , 1, 8), v2 = ( 1, 2, 1) et v3 = (0 , 1, 0).

1. Montrer que la famille S 1 = {u1, u3, u4} est lie. Donner la relation de dpendance.

1 point

2. En dduire que la famille {u1, u2, u3, u4} est lie. Justier votre rponse. 1 point

3. Montrer que les familles S 2 = {u1, u2, u3} et S 3 = {v1, v2, v3} sont libres. 2

points

4. En dduire la dimension et une base des sous-espaces vectoriels F et G. 1 point

5. Montrer que w = ( 2, 1, 5) appartient la fois aux sous-espaces vectoriels linaires

F et G engendrs respectivement par les systmes S 2 et S 3. 2 points

Exercice A.3. On considre les matrices suivantes :

A =

-1 1 -2

1 -4 1

-2 1 -1

, B =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

et I 3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

1. Calculer et Comparer AB et BA . 1.5 points

2. Calculer B 2 et en dduire B 1. 2 points

3. On pose C = A + 3 B et D = C + 2 I 3.

(a) Calculer C , D puis D 2. En dduire une relation entre D et D 2. 2 points

(b) Dduire de la relation prcdente une relation simple liant C 2, C et I 3. 1

point

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(c) En dduire que la matrice C est inversible et dterminer C 1. 1.5 points

B Examen anne 2011-2012

Exercice B.1. (Questions de cours : (4 points))

1. Soit E un espace vectoriel et F E .

(a) Dnir un sous-espace vectoriel F de E . 1.5 points

(b) Dmontrer que lintersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un sous-

espace vectoriel de E. 1.5 points

2. Soit A une matrice dordre n, avec A = ( a ij ), 1 i, j n. Donner le dveloppement par rapport la ie ligne du dterminant de la matrice A. 1 point

Exercice B.2. (Espaces vectoriels - Base - Dimension (9 points))

1. Dans R 3 et R N munis des lois habituelles, les sous-ensembles suivants sont-ils des

sous-espaces vectoriels.

F 1 = ( b,b, 3b) R 3 | bR ; F 2 = (un ) R N | un +2 = nu n +1 + un }. 2

points

2. Dans lespace R 4, on considre les vecteurs suivants : u1 = (1 , 3, 2, 0), u2 = (0 , 5, 3, 3),

u3 = ( 1, 2, 1, 3), v1 = (1 , 1, 1, 0) et v2 = (2 , 11, 7, 3). Soient F et G les sous-

espaces vectoriels de R 4 engendrs par les familles respectives {u1, u2, u3} et {v1, v2}.

(a) Dterminer si la famille de vecteur {u1} est libre ou lie ? 0.5 point

(b) Montrer que S 1 = {u1, u2} est libre et que S 2 = {u1, u2, u3} est lie. 2

points

(c) Montrer que le systme S 3 = {v1, v2} est libre. 1 point (d) En dduire la dimension et une base des sous espaces vectoriels F et G. 1

point

(e) Dterminer la dimension et une base de F G. En dduire la dimension de

F + G. 1.5 points

(f) Les sous-espaces F et G sont-ils supplmentaires dans R 4, justier votre r-

ponse. 1 point

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Exercice B.3. (Matrices (7 points))

On considre les matrices suivantes : A =

1 2 3

1 1 -1

1 0 1

et I 3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

1. Calculer le dterminant de A par deux mthodes diffrentes que vous prciserez. En

dduire que A est inversible. 2.5 points

2. Calculer A2 et A3. 1 point

3. Montrer que A3 3A2 2A + 6 I 3 = 0 . 1 point

4. En dduire lexpression de A 1. 0.5 point

5. Soit F lensemble des matrices de la forme : F = {M M3(R ) | M = aA + bI 3 :

a, b R } avec M 3(R ) est lensemble des matrices carres dordre 3 de scalaires de R .

(a) Montrer que F est un sous espace vectoriel de M 3(R ). 1 point

(b) Dterminer une base de F et sa dimension. 1 point

C Devoir anne 2010-2011

Exercice C.1. (Matrices (7 points))

1. Dans R 4 muni des lois habituelles, les parties suivantes sont-elles des sous-espaces

vectoriels :

F = (x1, x2, x3, x4) R 4 | x1 = x2 + x3 ; G = (x1, x2, x3, x4) R 4 | x1 x2 ;

2. Soit E = F (R , R ) lensemble des applications de R dans R et C lensemble des

fonctions

croissantes de E . Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de

E :

H = f C 0([0, 1], R ) | f (t) = f (1 t) , I = g f | f, g C .

Exercice C.2. 1. Dterminer si la famille des trois vecteurs ci-aprs est libre ou lie :

u = ( 1, 2, 1, 4); v = (0 , 3, 1, 2) et w = ( 2, 1, 3, 6).

2. Soient S 1 = {x1, x2, x3} un systme de R 3, avec x1 = (1 , 0, 1), x2 = (0 , 1, 1) ;

x3 = (1 , 1, 1) ;

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S 2 = {y1, y2} un systme de R 2, avec y1 = (1 , 1), y2 = ( 1, 1).

(a) Montrer que S 1 est une base de lespace R 3 ; et S 2 est une base de lespace R 2.

(b) Montrer que le vecteur t = ( 32 , 73 , 3) appartient au sous-espace linaire E de

R 3 engendr par le systme S 1.

3. Soit S 3 = {z 1, z 2, z 3} un systme de R 3, avec z 1 = (1 , 2, 3), z 2 = (1 , 2, 5) et z 3 =

(1, 2, 1) ;

Montrer que le systme est li et trouver la relation de dpendance.

Exercice C.3. Soient A = 1 -1 2

0 -1 -2

0 0 3

et I 3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

.

1. Calculer le dterminant de A par deux mthodes diffrentes que vous prciserez.

2. En dduire que A est inversible.

3. Calculer A3 3A2 A + 3 I 3.

4. Dduire de la question 3. lexpression de A 1 en fonction de A et I 3. On donnera

lexpression explicite de A.

D Examen anne 2010-2011

Exercice D.1. (Questions de cours : (3 points))

1. Soit E un espace vectoriel et F E . Dnir un sous-espace vectoriel F de E . 1

point

2. Dnir un systme gnrateur (ou famille gnratrice) dune famille ( u1, u2,...,u k )

de vecteurs dun espace vectoriel E . 1 point

3. Dnir le rang dune matrice A, not rg(A). 1 point

Exercice D.2. (Sous-espaces vectoriels (3.5 points))Montrer en utilisant la dnition que les ensembles suivants sont des sous-espaces vecto-

riels. F 1 = (x1, x2, x3, x4) R 4 | x1 x2 + x3 = 0 et 2x1 + x2 + x3 = 0 . 1 point

F 2 = (x1, x2, x3) R 3 | x1 = x2 . 1 point

F 3 = (un ) R N | M R : n N , |un | M . 1.5 points

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Exercice D.3. (Base et dimension (6.5 points))

1. On pose : u1 = (2 , 1, 0), u2 = (0 , 2, 1) et u3 = (2 , 0, 1). Soit S = {u1, u2, u3}.

Montrer que S est une base de R 3. Exprimer le vecteur u = (2 , 2, 3) dans cette base.

2 points 2. Soient t1 = (1 , 2, 5, 3) et t2 = (2 , 1, 4, 7). Dterminer et de faon que le

vecteur

t = ( ,, 37, 3) appartienne au sous-espace de R 4 engendr par t1 et t2. 2 points

3. Soient v1 = (1 , 0, 1), v2 = (2 , 3, 1), v3 = ( 1, 1, 0) et v4 = (2 , 1, 1).

Dterminer le rang du systme form par ces quatre vecteurs. 2.5 points

Exercice D.4. (Exercice 3 : Matrices (7 points))

Soient M =

1 2 1 3

2 -1 0 -2

-1 1 -1 1

0 1 0 2

et I 4 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

.

1. Calculer le dterminant de M . En dduire que la matrice M est inversible. 2 points

2. Calculer M le cofacteur de la matrice M . En dduire M 1 linverse de M . 3 points

3. Calculer M 1

par la mthode du pivot. 2 points

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Rfrences

[1] Roger P., Mathmatiques pour lconomie et la gestion. Application avec Excel , Edi-

teur : Pearson Education, France. Octobre 2006.

[2] Thiam M., Cours dAlgbre, premire anne FASEG .

[3] Aubonnet F., Guinin D., et Joppin B., Prcis de mathmatiques : Algbre 2. 2me

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Editions Cujas.

[5] Calvo B., Doyen J., Calvo A., et Boschet F., Exercices dalgbre, 1er cycle, 2me

anne , Editions Armand Colin, Collection U 1984.[6] Deschamps C., Ramis E., et Odoux J., Cours de mathmatiques spciales Tome 2 :

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[7] Ferrier O., Maths pour conomistes, l Analyse en Economie, vol1, vol2, Editions De

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[9] Liret F., et Martinais D., Mathmatiques pour le DEUG, Algbre et gomtrie, 2me

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[10] Michel P., Cours de Mathmatiques pour conomistes, Editions Economica,Paris,

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[12] Rivaud J., Algbre linaire. Tome 1 : Exercices avec solutions, Editions Vuibert,

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[13] Seymour L., Algbre linaire, cours et problmes, Serie Schaum.

[14] Sureau H., et Sureau Y., Algbre linaire, DEUG scientiques : 1re et 2me annes,

Volumes 1 et 2, Editions Armand Colin, Collection Flash U Sries mathmatiques

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[16] Wade A., Les mathmatiques de lanalyse conomique moderne, Editions Economica,

2007.

algebrelineaire

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