algebra.pdf
TRANSCRIPT
Reciba asesoría virtual en: www.utpl.edu.ec
AUTORES:
Ricardo BlacioGermania Rodríguez
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Católica de Loja
MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
1. Datos informativos
Fundamentos Matemáticos
Guía didáctica
18208
5 CRÉDITOS
2CICLO UTPL-ECTS
Informática
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOSGuía didácticaRicardo BlacioGermania Rodríguez
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
CC Ecuador 3.0 By NC ND
Diagramación, diseño e impresión:EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJACall Center: 593 - 7 - 2588730, Fax: 593 - 7 - 2611418C. P.: 11- 01- 608www.utpl.edu.ecSan Cayetano Alto s/nLoja-Ecuador
Primera ediciónTercera reimpresión
ISBN-978-9942-00-708-7
Esta versión impresa, ha sido licenciada bajo las licencias Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento-No comercial-Sin obras derivadas; la cual permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra, mientras se reconozca la autoría original, no se utilice con fines comerciales ni se realicen obras derivadas. http://www.creativecommons.org/licences/by-nc-nd/3.0/ec/
Abril, 2012
Derecho de Autor.: 000468
3. Introducción ................................................................................................................................. 7
4. Lineamientos generales del modelo educativo basado en competencias y créditos académicos UTPL-ECTS............................................ 8
4.1 Competencias genéricas ......................................................................................................... 9
4.2 Competencias específicas ....................................................................................................... 9
5. bibliografía .................................................................................................................................. 10
5.1 básica ......................................................................................................................................... 10
5.2 Complementaria ...................................................................................................................... 10
6. Orientaciones generales para el estudio ............................................................ 12
7. Proceso de enseñanza-aprendizaje para el logro de competencias .............................................................................................................................. 11
PRIMER bIMESTRE
7.1 Planificación para el trabajo del alumno ........................................................................... 13
7.2 Sistema de evaluación ............................................................................................................ 16
7.3 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias .................................. 17
UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEbRA .............................................................................. 17
1.1 Sistema de números reales ................................................................................................................. 17
1.2 Exponentes y radicales ....................................................................................................................... 19
1.3 Expresiones algebraicas...................................................................................................................... 22
1.4 Expresiones fraccionarias ................................................................................................................... 24
Autoevaluación 1 ......................................................................................................................................... 25
UNIDAD 2: ECUACIONES Y DESIGUALDADES .............................................................................................. 27
2.1 Ecuaciones ......................................................................................................................................... 27
2.2 Problemas aplicados ........................................................................................................................... 28
2.3 Ecuaciones cuadráticas ....................................................................................................................... 30
2.4 Números complejos ............................................................................................................................ 32
2.5 Otros tipos de ecuaciones.................................................................................................................... 33
2.6 Desigualdades.................................................................................................................................... 34
Autoevaluación 2 ......................................................................................................................................... 36
2. Índice
UNIDAD 3: FUNCIONES Y GRÁFICAS ......................................................................................................... 37
3.1 Sistema de coordenadas rectangulares ................................................................................................ 37
3.2 Gráficas de ecuaciones ....................................................................................................................... 38
3.3 Rectas................................................................................................................................................ 42
3.4 Definición de función.......................................................................................................................... 42
3.5 Gráficas de funciones ......................................................................................................................... 44
3.6 Tipos de funciones .............................................................................................................................. 46
3.7 Funciones cuadráticas ......................................................................................................................... 47
3.8 Operaciones sobre funciones ............................................................................................................... 47
3.9 Funciones inversas ............................................................................................................................. 49
Autoevaluación 3 ......................................................................................................................................... 51
UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES .............................................................................. 53
4.1 Funciones polinomiales de grado mayor que 2 .................................................................................... 53
4.2 Funciones racionales .......................................................................................................................... 55
Autoevaluación 4 ......................................................................................................................................... 57
SEGUNDO bIMESTRE
7.1 Planificación para el trabajo del alumno .......................................................................... 59
7.2 Sistema de evaluación ............................................................................................................ 62
7.3 Orientaciones específicas para el aprendizaje por competencias .................................. 63
UNIDAD 5: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS . ...................................................................... 63
5.1 Funciones exponenciales .................................................................................................................... 63
5.2 Función exponencial natural ............................................................................................................... 65
5.3 Funciones logarítmicas ....................................................................................................................... 65
5.4 Propiedades de los logaritmos ............................................................................................................ 68
5.5 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas ............................................................................................. 70
Autoevaluación 6 ........................................................................................................................................ 72
UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES . .................................................................................................... 73
6.1 Nociones básicas de los sistemas de ecuaciones .................................................................................... 73
6.2 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables ................................................................................ 74
6.3 Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones ................................................................................ 75
6.4 Sistemas de ecuaciones lineales con más de 2 variables ...................................................................... 78
Autoevaluación 6 ......................................................................................................................................... 79
UNIDAD 7: MATRICES Y DETERMINANTES . ................................................................................................. 80
7.1 Álgebra de matrices ........................................................................................................................... 81
7.2 Inversa de una matriz ........................................................................................................................ 83
7.3 Determinantes ................................................................................................................................... 85
7.4 Propiedades de los determinantes ....................................................................................................... 86
Autoevaluación 7 ......................................................................................................................................... 88
UNIDAD 8: SUCESIONES Y SERIES . ........................................................................................................... 89
8.1 Sucesiones infinitas y notación de sumatoria ....................................................................................... 89
8.2 Sucesiones aritméticas ........................................................................................................................ 91
8.3 Sucesiones geométricas ...................................................................................................................... 92
8.4 Teorema del binomio .......................................................................................................................... 93
Autoevaluación 8 ......................................................................................................................................... 95
8. Solucionario ................................................................................................................................. 96
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 7
PRELIMINARESGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja6
PRELIMINARES Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 7
PRELIMINARESGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja6
3. Introducción
Fundamentos Matemáticos es una materia que se imparte en el segundo ciclo de la carrera de Ingeniería en Informática, de la Universidad Técnica Particular de Loja, forma parte del bloque de asignaturas genéricas y tiene una valoración de 5 créditos.
La matemática como ciencia formal, que utiliza un lenguaje simbólico para representar y relacionar la realidad, entrega un valioso aporte, porque permite a los estudiantes desarrollar su agilidad mental, capacidad de comprensión, análisis, razonamiento y resolución de problemas; competencias fundamentales en la formación y desarrollo del profesional de la informática.
En la era de la información y la comunicación, la matemática es una herramienta fundamental que ha influido notablemente en todas las áreas del conocimiento por su contribución para optimizar procesos, brindar soluciones y mejorar la calidad de vida de las personas a través de la innovación.
Entonces el estudio de esta asignatura proporcionará los conocimientos y los fundamentos necesarios para la asimilación, desarrollo de destrezas y posterior aplicación en materias relacionadas como: Cálculo, Fundamentos de Programación, Base de Datos entre otras.
Los contenidos a desarrollar en Fundamentos Matemáticos han sido cuidadosamente seleccionados para cumplir el objetivo de la asignatura y están distribuidos equitativamente en los dos bimestres. El primer bimestre abarca 4 unidades en las que se estudiará: los Conceptos Fundamentales del Álgebra, Ecuaciones y Desigualdades, continuando con Funciones y Gráficas para finalizar con Funciones Polinomiales y Racionales.
El segundo bimestre contiene también 4 Unidades con temas como: Funciones Exponenciales y Logarítmicas, Sistemas de Ecuaciones, Matrices y Determinantes para concluir con Sucesiones y Series.
Para empezar un gran proyecto, hace falta valentía. Pero para terminarlo se requiere perseverancia, con esta frase queremos invitarlos a iniciar el estudio de esta interesante y necesaria asignatura. Recuerden estimados estudiantes que nosotros los profesores estaremos junto a ustedes para acompañarles y orientarles en el proceso de aprendizaje.
ASÍ QUE ÁNIMO Y EMPECEMOS . . .
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 9
PRELIMINARESGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja8
Sr. Estudiante recuerde que usted ha iniciado su formación de tercer nivel con un sistema educativo basado en el desarrollo de competencias a través de créditos académicos. Este modelo le convierte en protagonista de su propia formación y al profesor en mediador de las experiencias de aprendizaje.
Surge entonces la necesidad de que tenga claro dos conceptos fundamentales: competencia y crédito académico.
• ¿Qué es una competencia? Entendemos por competencia el conjunto de actitudes, habilidades y conocimientos que el alumno adquiere e incorpora según sus características personales y experiencias laborales y, que se ponen de manifiesto en el desempeño de la actividad profesional. Las competencias se adquieren a lo largo del proceso formativo de la carrera y se desagregan en objetivos de aprendizaje propuestos en cada asignatura.
Elementos de una competencia. Tres son los elementos que podemos distinguir en toda competencia:
Actitudes: son predisposiciones y comportamientos ante situaciones concretas.
Habilidades: son destrezas para ejecutar con éxito tareas, utilizar procedimientos y realizar trabajos. Se desarrollan a través de la práctica y la experiencia.
Conocimientos: constituyen los contenidos científicos, conceptuales, teóricos, conocidos también como el aprendizaje académico.
• ¿Qué es un crédito académico UTPL / ECTS en la Modalidad a Distancia?
Un crédito es la unidad de medida de la actividad académica del estudiante, implica 32 horas de trabajo del alumno (29 horas de estudio autónomo y 3 horas de interacción) 1.
Los créditos académicos que el estudiante irá acumulando en el transcurso de la carrera involucran: aprendizaje autónomo (estudio personal), tareas de investigación, interacción en el Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), participación en tutorías, videoconferencias y otros eventos académicos (Jornadas, seminarios, cursos, congresos avalados por la UTPL), prácticas académicas, pasantías preprofesionales y de vinculación con la colectividad; actividades de evaluación; así como la realización del trabajo de titulación.
El modelo adoptado por la UTPL contempla dos tipos de competencias: genéricas y específicas.
Competencias Genéricas: Son aquellas capacidades (actitudes, habilidades y conocimientos) comunes a todas las profesiones que se ofrecen en la UTPL. Constituyen una parte fundamental del perfil que el estudiante debe desarrollar durante su formación.
Competencias Específicas: son propias de la titulación, aportan a la cualificación específica para la profesión, dándole consistencia social y profesional al perfil formativo.
4. Lineamientos generales del Modelo Educativo basado en competencias y créditos académicos UTPL- ECTS
1 Cfr. CONESUP (2008): Reglamento del Régimen Académico del Sistema Nacional de Educación Superior, art. 18.
PRELIMINARES Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 9
PRELIMINARESGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja8
• Estructura general del programa formativo
Las Unidades Académicas o Escuelas de la UTPL han estructurado el programa formativo contemplando cinco ámbitos o bloques de asignaturas: Formación Básica (10%); Genéricas de carrera (15%); Troncales (35%) Complementarias (10%); Libre configuración (10%) y además, el Practicum que comprende las Pasantías preprofesionales y de vinculación con la colectividad y Practicum Académico (20%).
Habilidad para trabajar en forma autónoma.
Capacidad para organizar y planificar el tiempo.
Capacidad de investigación.
Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedentes de fuentes diversas.
Capacidad de abstracción, análisis y síntesis.
Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas.
Habilidades en el uso de las tecnologías TICs.
Disponer de fundamentos matemáticos, económicos, estadísticos y financieros necesarios para interpretar, seleccionar, valorar el uso y desarrollo tecnológico y sus aplicaciones.
Capacidad para resolver problemas relacionados con la informática.
4.1 Competencias genéricas
4.2 Competencias específicas
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 11
PRELIMINARESGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja10
Swokowski, E. y Cole, J. (2009): Álgebra y trigonometría con geometría analítica, México, Editorial Cengage Learning.
Este es un texto muy interesante y completo; ha sido seleccionado por la calidad didáctica, la claridad y fácil comprensión de los contenidos; así como la gran cantidad de ejercicios que incluye.
Rodríguez, G. y Blacio, R. (2009): Guía Didáctica de Fundamentos Matemáticos, Loja-Ecuador, Editorial UTPL.
Como profesores de esta asignatura y con el afán de llegar a cada uno de los estudiantes para orientarles y conducirles en el estudio del texto, en el desarrollo de las actividades propuestas, y en definitiva lograr un verdadero aprendizaje, hemos elaborado la presente Guía Didáctica, que esperamos constituya una ayuda efectiva para vuestro trabajo autónomo.
En este material encontrarán breves explicaciones, comentarios de cada uno de los temas, ejercicios propuestos y desarrollados. Además, al final de cada unidad se les ofrece un cuestionario de autoevaluación que permitirá controlar sus progresos en el aprendizaje.
Sobel, M. y Lerner, N. (1996): Álgebra Elemental, México, Editorial Pearson.
En este texto encontrará ejercicios desarrollados y propuestos de la mayoría de los temas que estudiaremos en el presente curso, así como una autoevaluación de cada unidad con su respectivo solucionario.
Peterson, J. (2006): Matemáticas Básicas, Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica, México, Editorial Cecsa.
Es una obra que puede ayudarle a profundizar los temas relacionados a los sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes.
Direcciones Electrónicas:
Profesor en línea. Álgebra básica, [En línea]. Disponible en: http://www.profesorenlinea.cl/swf/links/frame_top.php?dest=http%3A//www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraBasica.htm [Consulta 2009-07-20].
En esta página web usted encontrará una visión general de los fundamentos del Álgebra.
5. Bibliografía
5.1 Básica
5.2 Complementaria
PRELIMINARES Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 11
PRELIMINARESGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja10
Teniendo en cuenta que es una asignatura de carácter aplicativo, se le ofrecen algunas estrategias para favorecer la comprensión y contribuir al logro de aprendizajes significativos.
Para el estudio de la materia usted dispone de un texto básico y una guía didáctica, materiales que ya se detalló en la bibliografía.
Además, usted necesitará acudir a algunos recursos y técnicas de estudio como:
Organizar el tiempo de manera que pueda avanzar secuencialmente en cada una de las unidades y temas para no dejar acumular todo el contenido para el final del bimestre.
Leer comprensivamente y de manera paralela la guía y el texto básico las veces que se requiera.
Es muy importante resolver los ejercicios y las actividades recomendadas en la guía didáctica y en el texto básico.
Aplicar estrategias de aprendizaje como: elaborar resúmenes, esquemas, organizar formularios, cuadros, etc. que le permitan a usted extraer lo esencial, sintetizar y asimilar la temática abordada.
Desarrollar las autoevaluaciones que se incluyen en la guía didáctica.
Participar activamente en el Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), en donde podrá interactuar con sus profesores – tutores y compañeros; dar criterios y opiniones en los foros de discusión que en cada bimestre se le propondrán.
Asistir a las Videoconferencias, en las que se explicará los temas de mayor dificultad y podrá participar con preguntas sobre las inquietudes que hayan surgido en el desarrollo de los contenidos.
Utilizar los recursos web disponibles: videos, presentaciones, podcast que se encuentran en la página principal de la UTPL y a la que se puede ingresar digitando www.utpl.edu.ec
Resolver las evaluaciones a distancia (una por cada bimestre) que sirven como estrategia de aprendizaje y preparación para las evaluaciones presenciales. Recuerde: La evaluación a distancia es de carácter obligatorio y no recuperable; consta de dos partes: prueba objetiva que tiene un valor de dos puntos (2), la prueba de ensayo de dos puntos (2) y la participación activa en el EVA dos puntos (2), lo que da un total de seis puntos (6).
Si en el desarrollo de los contenidos surge alguna dificultad, usted puede comunicarse con nosotros sus profesores – tutores a través de los diferentes medios: telefónicamente de acuerdo al horario establecido, el mismo que consta en la portada de las evaluaciones a distancia, y por el correo electrónico o a través del EVA.
6. Orientaciones generales para el estudio
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 13
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja12
PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 13
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja12
CO
MPE
TEN
CIA
SES
PEC
ÍFIC
ASO
BJET
IVO
S D
E AP
REN
DIZ
AJE
CO
NTE
NID
OS
Uni
dade
s /T
emas
CRO
NO
GRA
MA
ORI
ENTA
TIVO
Tiem
po e
stim
ado
ACTI
VID
ADES
DE
APRE
ND
IZAJ
ERE
CU
RSO
S D
IDÁC
TIC
OS
EVAL
UAC
IÓN
•D
ispon
er d
e fu
ndam
ento
s m
atem
átic
os,
econ
ómic
os, e
stad
ístic
os
y fin
anci
eros
nec
esar
ios
para
inte
rpre
tar,
sele
ccio
nar,
valo
rar e
l uso
y
desa
rrol
lo te
cnol
ógic
o y
sus
aplic
acio
nes.
•C
apac
idad
par
a re
solv
er
prob
lem
as re
laci
onad
os
con
la in
form
átic
a.
Iden
tific
ar y
apl
icar
los
fund
amen
tos
del Á
lgeb
ra.
Uni
dad
1: C
once
ptos
Fu
ndam
enta
les
de
Álge
bra
1.1
Sist
ema
de n
úmer
os
real
es1.
2 Ex
pone
ntes
y ra
dica
les
1.3
Expr
esio
nes
al
gebr
aica
s1.
4 Ex
pres
ione
s fra
ccio
naria
s
Sem
ana
16
hora
s de
aut
oest
udio
4 ho
ras
de in
tera
cció
n
•Fa
mili
ariz
ació
n co
n el
m
ater
ial.
•Re
flexi
ón y
apr
opia
ción
de
los
obje
tivos
de
la u
nida
d.•
Estu
dio
glob
al d
e la
uni
dad.
•Le
ctur
a co
mpr
ensiv
a.•
Des
arro
llo d
e ac
tivid
ades
re
com
enda
das
en la
guí
a di
dáct
ica
y ej
erci
cios
pr
opue
stos
en
el te
xto
básic
o.•
Inte
racc
ión
en e
l EV
A.
•In
icio
del
des
arro
llo d
e la
ev
alua
ción
a d
istan
cia
del
prim
er b
imes
tre.
•Te
xto
básic
o
•G
uía
Did
áctic
a
•En
torn
o V
irtua
l de
Apr
endi
zaje
: fo
ros,
act
ivid
ades
, do
cum
ento
s.
•V
ideo
conf
eren
cia
(prim
er b
imes
tre)
•Re
curs
os e
n lín
ea: v
ideo
s,
pres
enta
cion
es,
podc
ast e
n lín
ea
ww
w.u
tpl.e
du.e
c
•M
edio
s de
C
omun
icac
ión:
te
léfo
no, c
orre
o el
ectró
nico
, Cha
t
•D
esar
rollo
de
las
Aut
oeva
luac
ione
s 1
a la
4.
•Ev
alua
ción
a
dist
anci
a: p
arte
ob
jetiv
a y
de e
nsay
o de
l prim
er b
imes
tre.
•Ev
alua
ción
pr
esen
cial
•Pa
rtici
paci
ón e
n el
Ev
a
PRIM
ER B
IMES
TRE
7. P
roce
so d
e en
seña
nza-
apre
ndiz
aje
para
el l
ogro
de
com
pete
ncia
s
7.1
Plan
ifica
ción
par
a el
trab
ajo
del a
lum
no
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 15
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja14
•Id
entif
icar
y c
arac
teriz
ar
los
tipos
de
ecua
cion
es
y de
sigua
ldad
es.
•Pl
ante
ar, a
naliz
ar y
re
solv
er p
robl
emas
de
apl
icac
ión
de e
cuac
ione
s y
desig
uald
ades
.
Uni
dad
2: E
cuac
ione
s y
Des
igua
ldad
es
2.1
Ecu
acio
nes
2.2
Pro
blem
as a
plic
ados
2.3
Ecu
acio
nes
cuad
rátic
as2.
4 N
úmer
os c
ompl
ejos
2.5
Otro
s tip
os d
e ec
uaci
ones
2.6
Des
igua
ldad
es2.
7 P
robl
emas
de
apl
icac
ión
Sem
anas
2 y
312
hor
as d
e au
toes
tudi
o8
hora
s de
inte
racc
ión
•Re
flexi
ón e
inte
rioriz
ació
n de
los
obje
tivos
de
la
unid
ad.
•Le
ctur
a co
mpr
ensiv
a.•
Des
arro
llo d
e ac
tivid
ades
re
com
enda
das
en la
guí
a di
dáct
ica
y ej
erci
cios
pr
opue
stos
en
el te
xto
básic
o.•
Inte
racc
ión
en e
l EV
A.
•C
ontin
uar c
on e
l des
arro
llo
de la
eva
luac
ión
a di
stan
cia.
•C
arac
teriz
ar,
y gr
afic
ar
func
ione
s en
un
sis
tem
a de
coo
rden
adas
re
ctan
gula
res.
•Ap
licar
op
erac
ione
s en
tre fu
ncio
nes.
Uni
dad
3: F
unci
ones
y
Grá
ficas
3.1
Sist
ema
de
coor
dena
das
rect
angu
lare
s3.
2 G
ráfic
as d
e ec
uaci
ones
3.3
Rec
tas
3.4
Def
inic
ión
de fu
nció
n3.
5 G
ráfic
as d
e fu
ncio
nes
3.6
Tip
os d
e fu
ncio
nes
3.7
Fun
cion
es c
uadr
átic
as3.
8 O
pera
cion
es s
obre
fu
ncio
nes
3.9
Fun
cion
es in
vers
as
Sem
anas
4 y
512
hor
as d
e au
toes
tudi
o8
hora
s de
inte
racc
ión
•Re
flexi
ón y
asim
ilaci
ón d
e lo
s ob
jetiv
os d
e la
uni
dad.
•Le
ctur
a co
mpr
ensiv
a.•
Des
arro
llo d
e ac
tivid
ades
re
com
enda
das
en la
guí
a di
dáct
ica
y ej
erci
cios
pr
opue
stos
en
el te
xto
básic
o.•
Parti
cipa
ción
del
foro
pr
opue
sto
en e
l EV
A.
•Pr
oseg
uir c
on e
l des
arro
llo
de la
eva
luac
ión
a di
stan
cia.
•Id
entif
icar
, gr
afic
ar,
e in
terp
reta
r fu
ncio
nes
polin
omia
les
y ra
cion
ales
.
Uni
dad
4:
Func
ione
s Po
linom
iale
s y
Raci
onal
es
4.1
Fun
cion
es
polin
omia
les
de g
rado
m
ayor
que
24.
3 F
unci
ones
raci
onal
es
Sem
ana
66
hora
s de
aut
oest
udio
4 ho
ras
de in
tera
cció
n
•Re
flexi
ón y
apr
opia
ción
de
los
obje
tivos
de
la u
nida
d.•
Lect
ura
com
pren
siva.
•D
esar
rollo
de
activ
idad
es
reco
men
dada
s en
la g
uía
didá
ctic
a y
ejer
cici
os
prop
uest
os e
n el
text
o bá
sico.
•In
tera
cció
n en
el E
VA
.•
Fina
lizar
el d
esar
rollo
de
la
eval
uaci
ón a
dist
anci
a.
PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 15
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja14
Uni
dade
s 1
a la
4Se
man
as 7
y 8
12 h
oras
de
auto
estu
dio
8 h
oras
de
inte
racc
ión
Nue
va re
visió
n de
co
nten
idos
del
bim
estre
, de
las
auto
eval
uaci
ones
y
eval
uaci
ón a
dist
anci
a co
mo
prep
arac
ión
par
a la
eva
luac
ión
pres
enci
al
corr
espo
ndie
nte
al p
rimer
bi
mes
tre.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 17
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja16
Cri
teri
os
Form
as d
e ev
alua
ción
Actit
udes
Hab
ilida
des
Con
ocim
ient
os
PORCENTAJE
PUNTAJE
Comportamiento ético
Cumplimiento, puntualidad y responsabilidad
Esfuerzo e interés en los trabajos
Respeto a las personas y a las normas de comunicación
Creatividad e iniciativa
Contribución en el trabajo colaborativo y de equipo
Presentación, orden y ortografía
Emite juicios de valor argumentadamente
Dominio del contenido
Investigación (cita fuentes de consulta)
Aporta con criterios y soluciones
Análisis y profundidad en el desarrollo de los temas
1.
Auto
eval
uaci
ón y
act
ivid
ades
re
com
enda
das.
xx
xx
xEs
trate
gia
de a
pren
diza
je*
2. Heteroevaluación
Eval
uaci
ón a
D
ista
ncia
**
Obj
etiv
ax
xx
xx
x10
%2
Ensa
yo
xx
xx
xx
xx
xx
x10
%2
10%
2
Inte
racc
ión
en e
l EV
Ax
xx
xx
xx
xx
xx
30%
6
Prue
ba
Pres
enci
alPr
ueba
s m
ixta
s:ob
jetiv
as y
ens
ayo
xx
xx
xx
xx
x70
%14
3. C
oeva
luac
ión
xx
xx
xx
xx
En a
ctiv
idad
es e
spec
ifíca
s ta
nto
pr
esen
cial
es c
omo
en
el E
VA.
TOTA
L20
pun
tos
en c
ada
bim
estre
Para
apr
obar
la a
sign
atur
a se
req
uier
e ob
tene
r un
pun
taje
mín
imo
de 2
8/40
pun
tos,
que
equ
ival
e al
70%
.
*
Son
est
rate
gias
de
apre
ndiz
aje,
no
tiene
n ca
lifi c
ació
n; p
ero
debe
resp
onde
rlas
con
el fi
n de
aut
ocom
prob
ar s
us p
rogr
esos
en
el a
pren
diza
je
**
Rec
uerd
e: q
ue la
eva
luac
ión
a di
stan
cia
del p
rimer
bim
estre
con
sta
de d
os p
arte
s: u
na o
bjet
iva
y ot
ra d
e en
sayo
, deb
e de
sarr
olla
rla y
ent
rega
rla e
n su
resp
ectiv
o C
entro
Uni
vers
itario
has
ta e
l 15
de n
ovie
mbr
e
(per
íodo
oct
ubre
- feb
rero
) o 1
5 de
may
o (p
erío
do a
bril-
agos
to).
Ten
ga p
rese
nte
que
la fi
nalid
ad d
e la
val
orac
ión
cual
itativ
a es
prin
cipa
lmen
te fo
rmat
iva.
Sr.
estu
dia
nte
:
7.2
Sist
ema
de e
valu
ació
n
PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 17
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja16
UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA
Estimado alumno, iniciamos el estudio de la asignatura abordando temas fundamentales que se requiere conocer dentro del maravilloso mundo de las matemáticas; aunque la matemática va más allá del estudio de los números, comenzaremos revisando el sistema de números reales porque las dificultades que suelen presentarse en temas más avanzados surgen de la falta de comprensión de los principios básicos de la materia.
1.1 Sistema de números reales
Para iniciar el estudio del tema vaya al texto básico y revise el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, la sección 1.1, Números Reales, o si tiene la posibilidad visite el siguiente enlace web disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
¿Qué le pareció la lectura? Le resulto fácil entender la explicación del sistema de números reales, ¿verdad? …
Ahora que ya tiene una idea sobre el tema, es necesario aclararle algunas nociones básicas en relación a este contenido. En el siguiente esquema le ofrecemos los tipos de números usados en matemáticas:
7.3 Orientaciones específi cas para el aprendizaje por competencias
Números complejos
Positivos0Negarivos
Números enteros
Números irracionales
Números racionales
Números reales
3/4, 7/2 Q
Z-...,-3,-2,-1 Z+ 1,2,3,.......
Z+ ....-3,-2,-1,0,1,2,3,...
Q’ π, e
R=QUQ’
Además recuerde, los números reales cumplen con ciertas propiedades, las mismas que con seguridad ya las identificó y revisó la explicación que sobre cada una de ellas se incluye en el texto básico.
Dentro de este primer tema revisemos rápidamente tres conceptos matemáticos que son:
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 19
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja18
Recta numérica
Pues bien, otro de los temas que se encuentra en este apartado es representar el conjunto de números reales y a estos asociarlos con los puntos de una línea recta; teniendo claro que:
A la izquierda del origen (0) se encuentran los reales negativos y a la derecha los reales positivos.
Recuerde, existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta, es decir a cada número real le corresponde un punto en la recta y viceversa.
Los números reales sobre la recta se encuentran ordenados de izquierda a derecha de menor a mayor.
- ∞ .................-30/3,.....-√25......-π -3/2 -1 0 1 3/2 π √25......30/3 ........∞
Valor absoluto
Revise en el texto básico capítulo 1, lo concerniente a valor absoluto, en este tema usted encontrará la definición, propiedades y ejemplos del valor absoluto.
Notación científica
Algo muy importante también es poder expresar en notación científica cantidades sumamente grandes o pequeñas en la forma c x 10n y que deben cumplir con la condición que usted ya revisó en el texto básico; sin embargo, con la finalidad de reforzar lo estudiado de cómo representar un número en notación científica, veamos los siguientes ejemplos:
Convertir el número 4210254 a notación científica.
4.210254 x 106
1. Aplicar la definición de notación científica, que dice que c debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, en este caso vemos que 4 es menor que 10, por lo tanto, cumple con la condición.
2. El exponente n debe ser un número entero, en este caso 6 es un entero positivo e indica que el punto decimal debe moverse 6 lugares a la derecha.
Convertir el número 0.00000000054897 a notación científica.
PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 19
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja18
5.4897 x 10-10 1. Aplicar la definición de notación científica, que dice que c debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10, en este caso vemos que 5 es menor que de 10, por lo tanto cumple con la condición.
2. El exponente n debe ser un número entero, en este caso -10 es un entero negativo e indica que el punto decimal debe moverse 10 lugares a la izquierda.
Espero que estos ejercicios le hayan ayudado a entender mejor lo que es una notación científica, ahora le invito a desarrollar los ejercicios que a continuación se plantean y los que se proponen en el texto básico.
Actividad recomendada
Convierta los siguientes números a notación científica:
5875445639887756 0.000000000023654
Continuemos con el siguiente tema.
1.2 Exponentes y radicales
Empecemos este tema revisando en el texto básico el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, el apartado 1.2, Exponentes y Radicales.
Exponentes
Con la lectura que acaba de realizar seguramente ya logró comprender que la potenciación resulta del producto de factores repetidos, por ejemplo:
7.7.7.7.7, se escribe 75 en donde 7 es la base y 5 el exponente. Una vez que ya asimiló esto, conviene aprender las leyes de exponentes, para simplificar las diferentes expresiones algebraicas que encuentre. Cuando revisó las explicaciones que en el texto básico se incluyen, se habrá dado cuenta que también hay ejercicios desarrollados, los que le ayudarán a comprender de mejor forma la utilización de estas leyes.
Una vez que usted ya tiene claro este tema desarrollemos el siguiente ejercicio, aplicando las leyes de exponentes para los números reales.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 21
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja20
Ejemplo
Simplifique la siguiente expresión:
Simplificación Procedimiento
Como el exponente afecta a toda la fracción, lo que se hace es elevar al exponente tanto el numerador como el denominador.
Como el exponente es negativo, aplicar el siguiente teorema a-1 = 1/a, tanto al numerador como al denominador.
Y por último cuando se tiene un exponente elevado a otro exponente, colocamos la base y multiplicamos los exponentes.
Como se habrá dado cuenta, para poder simplificar se requiere conocer las leyes de exponentes, además, los ejercicios se pueden presentar de diferente forma, pero si sabe el procedimiento y las leyes va a poder aplicarlo en cualquier caso.
Siga desarrollando los ejercicios que se proponen a continuación para que vaya practicando.
Actividad recomendada
Utilizando las leyes de los exponentes simplifique las siguientes expresiones:
Además, puede desarrollar más ejercicios remitiéndose en el texto básico al apartado 1.2 del tema que estamos desarrollando.
PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 21
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja20
Radicales
Los radicales se consideran la operación contraria de la potenciación en la que nos dan la potencia y el exponente y debemos encontrar la base, esta operación se llama radicación. Observe el siguiente gráfico:
Por lo tanto, si M y a son números reales y n es un número entero positivo mayor que 1, entonces a es la raíz n-esima de M si y solo si: an = M.
Al igual que en la potenciación las leyes de los radicales son muy importantes, usted debe familiarizarse con ellas; recuerde que los radicales obedecen a las mismas leyes de los exponentes pero con distinta simbología.
Algo muy importante que usted debe tener en cuenta es que las raíces de índice par y radicando negativo no están definidas dentro del conjunto de los números reales. Una aplicación que se realiza con los radicales es la racionalización que tiene por objeto eliminar los radicales del numerador o del denominador.
Veamos el siguiente ejemplo:
Simplifique la siguiente expresión:
Simplificación Procedimiento
Dividir el radical tanto en el numerador como en el denominador
Sacar las raíces de cada uno de los términos de la expresión.
Para reforzar el aprendizaje de esta parte realice lo siguiente.
Indice
Radical
Radicando
Raíz
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 23
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja22
Actividad recomendada
Es el momento de acudir al texto básico para ubicar los ejercicios, que se encuentran al final del apartado 1.2 y desarrolle los que considere necesarios para entender mejor este tema.
Si al realizar cualquiera de los ejercicios surgiera alguna dificultad, puede comunicarse con sus profesores para despejar las inquietudes que hubieren.
1.3 Expresiones algebraicas
Regrese de nuevo al texto básico y revise el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, el tema 1.3, Expresiones Algebraicas, o si tiene la posibilidad visite el siguiente enlace web disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_elemental#Expresiones_algebraicas
Después de la lectura comprensiva que acaba de realizar, usted ya sabe que:
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.2
Por ejemplo 3x2 es un monomio que posee los siguientes elementos:
2 que es el grado de la expresión.
3 que es el coeficiente.
x2 que es la parte literal de la expresión.
Y el polinomio es una expresión algebraica que se forma de la suma o resta de dos o más monomios. Por ejemplo 3x2+2x-7. Todo esto usted ya lo revisó en su texto básico; así como la definición, clasificación y el algebra de polinomios.
Además, con los polinomios podemos realizar las operaciones fundamentales como son la suma, resta, multiplicación y división, para esto se aplica las propiedades de los números reales.
Veamos el siguiente ejemplo:
Expresemos como polinomio lo siguiente
(3x+2) (x-5) (5x+4)
2 Santos Cuervo, L.(2001): Expresiones Algebraicas, Ministerio de Educación, [en línea] Disponible en: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_ didacticos /Polinomios/monomios.htm [consulta 2009-10-15]
PRIMER BIMESTRE Guía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 23
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja22
Simplificación Procedimiento
3x2 – 15x + 2x -10 (5x+4)Aplicar la multiplicación de polinomios entre los dos primeros factores.
3x2 -13x -10 (5x+4) Simplificar términos semejantes.
15x3 + 12x2 – 65x2 – 52x – 50x -40 Aplicar la multiplicación de polinomios.
15x3– 53x2 – 102x -40 Simplificar términos semejantes.
Otro de los temas que usted debe tener claro es el siguiente:
Productos notables: Nos permiten obtener el resultado directamente sin necesidad de hacer las operaciones respectivas, mediante algunas reglas que ya las revisó en el texto básico.
Veamos entonces el siguiente ejemplo:
(x2 + 2y)( x2 - 2y) = x4- 4y2
Factorización: es transformar en un producto de dos o más polinomios de grado inferior al polinomio dado. Dentro de esta parte hay varios métodos de factorización que usted los debe saber y utilizar en las diferentes operaciones que realice.
Ejemplo
Factorar el siguiente polinomio x5 - 4x3 + 8x2 – 32
Simplificación Procedimiento
(x5 - 4x3) + (8x2 - 32) Agrupar términos.
x3 (x2 - 4) + 8 (x2 - 4) Sacar el factor común de las dos expresiones.
(x3+ 8) (x2 - 4) Igualmente sacar el factor común polinomico.
(x+2) (x2-2x+4) (x+2) (x-2)Resolver la suma de cubos en el primer factor y también en el segundo factor aplicar la diferencia de cuadrados.
(x+2)2(x-2) (x2-2x+4) Simplificar términos semejantes.
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja 25
PRIMER BIMESTREGuía didáctica: Fundamentos Matemáticos
UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja24
Actividad recomendada
Acuda nuevamente al texto básico y desarrolle los ejercicios que se encuentran al final del tema 1.3, realice los que usted considere necesarios para reforzar lo aprendido.
1.4 Expresiones fraccionarias
Una vez que haya estudiado las expresiones algebraicas puede profundizar en las expresiones fraccionarias, en donde debe saber que el numerador y el denominador de la fracción son polinomios o en otras palabras es un cociente de polinomios.
Ahora es el momento para realizar lo siguiente:
Revise en el texto básico el capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra, el acápite 1.4, Expresiones Fraccionarias.
Espero que la lectura le haya resultado de fácil comprensión; sin embargo, para que usted asimile mejor realicemos el siguiente ejercicio.
Simplifique la expresión
Simplificación Procedimiento
Aplicar los casos de factorización para poder simplificar la expresión dada:
En el numerador una diferencia de cuadrados y en el denominador una diferencia de cubos.
Y por último simplificar el factor (y – 5) que se encuentra en el numerador y en el denominador respectivamente.
Actividad recomendada
Es conveniente ir al final de cada sección y desarrollar la mayor cantidad de ejercicios que usted considere necesario.
Si tuvo alguna dificultad no dude en contar con nosotros, que gustosos despejaremos sus inquietudes.